等价关系和集合分类

Theory:Springer-Verlag;New York:Heiderberg,1979
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注 假如用 n表达一种具有n个元素旳集合上
旳不同等价关系旳个数, 则有下列旳递推公式:
n
n 1 Cnkk ,n 1 其中,Cnk 为二项式系数, 并 k 0
要求 0 1,1 1
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参照文件及阅读材料
[1] 闵嗣鹤, 严士健． 初等数论（第２版）．北京: 高等教育出版社, 1990
本书旳第1章有有关整数整除性旳详细讨论, 第3章 则简介了同余旳概念及其性质． [2] binatorial
5
定义1.1.3 假如～是集合 S 旳一种等价关系, 对a S , 令
a x S | x ~ a 称子集a 为 S 旳一种等价类 (equivalence class) ．S
旳全体等价类旳集合称为集合S 在等价关系下旳商集 (quotient set), 记作 S / ~ ．
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例４ 易知, 三角形旳全等,相同, 数域上n 阶方 阵旳等,相同,相合等都是等价关系, 而例1,例2,例3及 本节开头所述旳关系都不是等价关系．
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例6 设 M 为数域 F 上全体 n 阶方阵旳集合,令 M r 表达全部秩为 r 旳 n 阶方阵构成旳子集.
n
(1) M Mi ;
i0
(2) Mi M j ,i j ．
所以Mi | i 0,1, ,n是M 旳一种分类．
例7 m a | a 0,1,2, ,m 1 是整数集 旳一
种分类．
3
例2 在整数集中, 要求ab a | b．因为 a | b 与a | b有且仅有一种成立, 所以“|”是 旳一种关系． 这个关系也具有反身性和传递性．

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一、等价关系
定理5: 设R是A上的二元关系,设R′=tsr(R)是R的自反对称 传递闭包,那么 (a) R′是A上的等价关系,叫做R诱导的等价关系； (b) R′是包含R的最小等价关系。 证明： r(R)是自反的，所以sr(R)是自反的，对称的，所以 tsr(R)是自反的，对称的，传递的，即R’=tsr(R)是A上 的等价关系。 设R”是包含R的任意等价关系，即R⊆R”，因为R”是 自反的，所以r(R)⊆r(R”)=R”；因为R”是对称的，所以 sr(R)⊆s(R”)=R”;又因为R”是传递的，所以 tsr(R)⊆t(R”)=R”，即R”包含tsr(R)。
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二、划分
定理9：设π是非空集合A上的划分,R是A上的等价关系,那么,
π诱导出R当且仅当R诱导出π。 证：（必要性）假设π诱导出R,R诱导出π′ 设a是A的任一元素,并设B和B′分别是π和π′的块, 使a∈B和B′，那么对任一b b∈B iff ［a］R =［b］R iff b∈B′ 所以,B=B′。 因为a是A的任一元素而π和π′都是A的覆盖,故π=π′。
若是划分，则必是覆盖；若是覆盖，则不一定是划分。
②设A是非空集合, ρ(A)-{∅ } 是A的一个覆盖,而不是A的划分,除非A是单元素集合。
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二、划分
定理6 : 设A是非空集合,R是A上的等价关系。R的等价类集合 {［a］R ｜a∈A}是A的划分。 由上面定理2，3可得出。 定义5：设R是非空集合A上的等价关系,称划分{［a］R｜a∈A} 定理2：设R是集合A上的等价关系,则对所有a,b∈A,或者 ［a］=［b］,或者［a］∩［b］= ∅ 为商集A/R,也叫A模R。
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二、划分
例4：①A={a,b,c}，则 S={{a,b},{b,c}}, Q={{a},{a,b},{a,c}}, D={{a},{b,c}}, G={{a,b,c}}, E={{a},{b},{c}}, F={{a},{a,c}}, 划分 最小划分 最大划分 既不是覆盖，也不是划分 覆盖 覆盖

近世代数中关于集合的划分及其应⽤研究近世代数中关于集合的划分及其应⽤研究摘要我们对集合并不陌⽣，我们所熟知的集合实际上是朴素集合.那么我们为什么要讨论集合的划分呢?因为它在商群、商环、商域等其他⽅⾯中有着极其重要的应⽤.我们要研究集合的划分就必须研究等价关系，因为它们是互相决定的。

因此我们先从等价关系开始说起，之后再来探讨集合的划分，然后观察集合的划分在各⽅⾯的应⽤.第⼀章等价关系与等价类定义1.1：设S 是⼀个⾮空集合，R 是关于S 的元素的⼀个条件.如果对S 中任意⼀个有序元素对（a ，b ），我们总能确定a 与b 是否满⾜条件R ，就称R 是S 的⼀个关系（relation ）.如果a 与b 满⾜条件R ，则称a 与b 满⾜条件R ，则称a 与b 有关系R ，记做aRb ;否则称a 与b ⽆关系R.关系R 也成为⼆元关系.定义1.2：设~是集合A 上的⼀个⼆元关系，若满⾜下列性质：（1）⾃反性：?a ∈A ,a~a;（2）对称性：?a,b ∈A,a~b,则b~a;（3）传递性：?a,b,c ∈A,a~b,b~c,则a~c.则称~A 上的⼀个等价关系.当a~b 时，称a 与b 等价.定义1.3：设⼀个集合A 分成若⼲个⾮空⼦集，使得A 中每⼀个元素属于且只属于⼀个⼦集，则这些⼦集的全体成为A 的⼀个分类。

每个⼦集称为⼀个类.类⾥任何⼀个元素称为这个类的⼀个代表.由定义可知，A 的⾮空⼦集族S={i A |i ∈I } 是A 的⼀个分类当且仅当其满⾜下列性质：（1） Ii iA ∈=A; （2）当j i ≠时，=j i A A ?，即不同的类互不相交.定理1.1 设S={i A |i ∈I } 是A 的⼀个分类，规定~为： a~b ?a 与b 同属于同⼀个类，则~是A 上的⼀个等价关系.证明：⾸先由分类的定义，~是A 的⼀个关系.⽽且，显然?a ∈A ，a~a ；⼜?a ，b ∈A ，若a~b ，则a 与b 属于同⼀个类，从⽽b~a ；?a ，b ，c ∈A ，若a~b ，b~c ，则a 与b 属于同⼀个类，b 与c 属于同⼀个类，于是a 与c 属于同⼀个类，从⽽a~c.因此~是A 上的⼀个等价关系.定理1.2 设~是A 上的⼀个等价关系，对于a ∈A ，令[a]={x|x ∈A,x~a},则A 的⼦集族是A 的⼀个分类.证明（1）?a ∈A ，因为,a~a ，所以a ∈[a]，从⽽[a]是⼀个⾮空⼦集，并且[]=∈ A a a A.（2）若[a] [b]≠?,则?c ∈[a] [b]，于是c~a ，c~b ，从⽽a~b.x ∈[a],有x~a ，于是x~b ，所以x ∈[b]，即[a]?[b].同理[b]?[a].这⾥就得到[a]=[b].所以不同的等价类互不相交.该定理中所构成的⼦集[a]称为A 的⼀个包含a 的~等价类.定义4：设~是A 上的⼀个等价关系，由A 的全体不同~等价类所组成的集合族称为A 关于~的商集，记作A/~.第⼆章商群我们研究商群必须要知道：它是由什么样的等价关系确定的什么样的等价类，然后由这些等价类构成的集合再定义⼀种什么样的运算才是商群，最后为了把⼀些较为复杂的群转化较为简单的群，再给出群的同态基本定理.⼀、什么样的等价关系我们知道由⼀个正整数m ，确定了整数间的⼀个等价关系m R ，即a m Rb ?m|a —b ，?a ，b ∈Z .其中Z 是⼀个由1⽣成的循环加群，（m ）是Z 的⼀个⼦加群，且从⽽m R 也可以认为是由Z 的⼀个⼦群（m ）所确定的.现在将这个思想推⼴到⼀般的群中，设H 是群G 的⼀个⼦群，在G 中定义⼀个关系R ：G b a H ab H a b aRb 1-1-∈?∈∈?，，且容易验证R 是⼀个等价关系.利⽤这个等价关系可以决定群G 的⼀个分类.⼆、什么样的等价类定义2.1 设H ≤G ，由等价关系R 所决定的类称为H 的陪集.定理2.1 设H ≤G ，则包含元素a 的陪集等于Ha aH 或.证明将包含元素a 的陪集记作[a].?b ∈[a]，有bRa ，即H h ba H h b a 2-111-∈=∈=且，即b=a 1h =∈a h 2Ha aH =，所以有[a]aH ?=Ha .反之，?b ∈Ha aH =，?21h h ，∈H ，使b=a h ah 21=，于是H h ba H h b a 2-111-∈=∈=且，即bRa ，从⽽b ∈[a]，所以有aH ]a [].a [Ha aH =?=因此.三、商群定理2.2 设G 是群，N G ，令G/N={aN |a ∈G},规定： ,/G bN aN N ab bN aN N ∈?=，，）（则（G/N,?）是⼀个群.证明⾸先证明?是G/N 的代数运算，即G/N 到G/N 的映射，也就是要证与代表元的选取⽆关.设aN N a 1=，，bN N b 1=则N n a a 111-∈=，.N n b b 21-1∈=因为N G ，所以11111使3111n b b n =，这样N n n n b b b n b b a a b b a ab 3231-111-111-11-111-∈====）（）（）（）（）（，从⽽（ab ）N=（11b a ）N ，所以?是G/N 的代数运算，⼜?,/G cN bN aN N ∈，，有=====N bc aN ]bc [a N ]c )ab [(cN N ab cN bN aN ）（）（）（）（），（cN bN aN ??从⽽?满⾜结合律，且,/G aN eN aN aN eN N ∈??=?，从⽽N=eN 是G/N 的单位元.?,/G aN N ∈存在,/G N a 1-N ∈使，eN aN N a N a aN -11-=?=?从⽽.aN N a 1-的逆元是因此G/N 是⼀个群. 该定理中够作的群G/N 称为G 关于N 的商群.四、有限阶群的阶和⼦群阶的关系定理2.3（Lagrange （拉格朗⽇））设G 是有限群，H 是G 的⼦群，则|G|=[G ：H]|H|证明因为G 是有限群，所以[G ：H]有限，设为k ，则G=U U H a H a 21…H a k U .⼜因为在H 和H a i 之间存在⼀个双射，所以|H a i |=|H|，因此|G|=H a 1+…+H a k =k|H|=[G ：H]|H|. 五、群的同态基本定理定理2.4（同态基本定理）设f 是群G 到G ’的同态，则（1）Kerf G ；（2）G/ Kerf ?Imf.证明（1）因为e ∈ Kerf ，所以Kerf ≠?.⼜?a ，b ∈ Kerf ，x ∈G ，即f （a ）=f （b ）=e '，则f （a 1b -）= f （a ）1b f -）（= e '1e -= e ',f(xa -1x )=f(x)f(a)1x f -）（= f(x) e '1x f -）（=e '，从⽽a 1b -，xa -1x ∈ Kerf ，因此Kerf G.（2）在G/ Kerf 到Imf 间规定⼀个法则：Φ：aKerf f （a ）.a) ? aKerf ，bKerf ∈Kerf G/ Kerf ，有aKerf=bKerf ?1a -∈Kerf ?f(1a -b)= e '1a f -）（f （b ）= e ' ? f （a ）=f （b ），从⽽Φ是⼀个G/ Kerf 到Imf 的映射.b ）?a ' ∈ Imf ，?a ∈G ，使 f （a ）= a '，于是Φ（aKerf ）= f （a ）=a '，从⽽Φ是满射.c) ? aKerf ，bKerf ∈Kerf G/ Kerf ，有Φ( aKerf)= Φ( bKerf) ? f （a ）=f （b ）?1a f -）（ f （b ）=e ' ?f(1a -b)=e ' ? 1a -b ∈Kerf ? aKerf=bKerf ，从⽽Φ是单射.d) ? aKerf ，bKerf ∈Kerf G/ Kerf ，有Φ( aKerf ?bKerf) =Φ( abKerf)=f(ab)= f （a ）f （b ）=Φ( aKerf)? Φ( aKerf)? Φ(bKerf)，从⽽Φ保持运算.因此Φ是同构.于是G/ Kerf ?Imf.第三章商环我们研究商环的思路是：在商加群的基础上再定义⼀种乘法运算，使得该种运算在某⼀⼦环下构成代数运算进⽽对该种运算构成半群且慢⾜：乘法运算对加法运算符合左分配律和右分配律，在学习过程中我们发现理想是可以在我们定义的乘法运算下满⾜上⾯条件的⼦环，因此我们先研究什么是理想，从⽽给出商环的定义，最后得出环的同态基本定理.⼀、理想定义3.1 设（R ，+，?）是⼀个环，（A ，+）是（R ，+）的⼀个⼦加群，（1）若?r ∈R ，a ∈A 有ra ∈A ，则称A 是R 的左理想；（2）若?r ∈R ，a ∈A 有ar ∈A ，则称A 是R 的右理想；（3）若A 既是R 的左理想，⼜是R 的右理想，则称A 是R 的⽴、理想，记作A R ．（4）若A R ，且A ≠R ，则称A 是R 的真理想.由定义可知理想⼀定是⼦环.⼆、商环定义3.2 设R 是环，A R ，在商群（R ，+）/(A ，+)={[x]|x ∈R}={x+A| x ∈R }中再规定：[x]?[y]=[xy]，? [x] ，[y] ∈R/A ，则（R/A ，+，?）是⼀个环（R/A 称为R 关于A 的商环或剩余类环，[x]=x+A 称为R 模A 的剩余类）.证明⾸先证明上⾯规定的乘法运算是代数运算，即与代表元的选取⽆关.设[x]=[1x ]，[y]=[1y ]，则x-1x ∈A ，y-1y ∈A.因为A 是R 的理想，所以xy-1x 1y =（x-1x ）y+1x （y-1y ）∈A ，从⽽[xy]= [1x 1y ].其次? [x]，[y] ，[z] ∈ R/A ，有（[x]?[y]）? [z]= [xy] ? [z]=[( xy)z]= [ x(yz)]= [x] ? [yz]= ([y] ? [z])，从⽽?满⾜结合律.且[x] ?（[y] +[z]）= [x] ?（[y] +[z]）=[x(y+z)]=[xy+xz]=[xy]+[xz]= [x]?[y]+ [x] ? [z] 从⽽?对+满⾜左右分配律.同理可证，?对+也满⾜右分配律.因此R/A 是⼀个环.三、环的同态基本定理定理3.1（同态基本定理）设f 是环R 到环R ’的同态，则（1） Kerf R ；（2） R/Kerf ?Imf.证明（1）Kerf 是(R ，+)的⼦加群，⼜a ?∈Kerf ，r ∈ R ，有f （ra ）=f （r ）f （a ）=f （r ）0'=0'， f （ar ）=f （a ）f （r ）=0’f(r)=0'，从⽽ra ，ar ∈Kerf R.（2）因为在R/Kerf 到Imf 间存在⼀个双射： ?：a+Kerf f （a ），且保持加法运算。

( ( x) ( y)) ( ( x )) ( ( y ))
( )( x )( )( y )
从而，G G . 是G到G的同构映射。
例8 当A是一个平面上的所有三角形组成的集合时，
三角形的全等关系“ ”， 相似关系“~”， 等面积关系“”
但 2 | 4 2与4在同一类， 4不能整除2 4与2不在同一类中，
导出矛盾。
对于R5：aR5b (a, b) 1,R5不能将Z分类，
(2,6) 1 2与6在同一类，(6,3) 1 6与3在同一类， 但(2,3) 1 2与3不在同一类，这是不可能的。
R 定义 设R是非空集合A的一个关系，如果 满足
第一章
重点和难点：
等价关系和集合的分类是密切相关的两个重要概念，教材中 一些较复杂的理论常需用到它们。本节的重点和难点在于熟练 掌握利用已知的集合分类作出相应的等价关系及利用已知的等 价关系作出该集合相应的分类方法。
一、集合的分类
0，2， 4， 例1 设整数集Z {， 4， 3， 2， 1，1， 3， }，并令
Ⅱ对称性： .
若a与b同在一类，那么，b与a同在一类， 所以，a ~ b b ~ a
Ⅲ.传递性：
若a与b同在一类， 同在一类， b与c 那么，a与c同在一类， 所以，a ~ b, b ~ c a ~ c
定理2 集合A的元间的一个等价关系 决定A的一个分类 ~ . 证明： 利用给定的等价关系来 做一个 A的分类.
可知，R1就是例 中的“除以 同余”的关系 1 4 .
例5 在M 2 ( R )中，定义关系
R 2： b) 对，若秩a 秩b; (a,b) 错，若秩a 秩b. (a,

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划分(partition)
注： 等价关系Ｒ把Ａ的元素分为若干类，各 类之间没有公共元素。 划分: 设A, AP(A),若A满足 (1) A ; (2) x,y( x,yA xy xy= ) (3) UA = A 则称A为A的一个划分, A中元素称为划分 块(block).
6
例2(续)
tsr(R)=trs(R) str(R)=srt(R) =rts( R ) =rst( R ) 自反 对称 传递 等价关 (等价闭包) 系
7
等价类(equivalence class)
设R是A上等价关系,xA,令 [x]R={ y | yA xRy }, 称[x]R为x关于R的等价类, 简称x的等价类, 简记为[x].
Ｒ是等价关系，但不直观，用关系图表示。
三个不连通的图
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二元关系R是自反的，对称的，传递的，且把Ａ分 成了三个等价类，
（Ａ）＝｛｛０｝，｛１，２，３｝，｛４，５｝｝
A/R＝｛［０］，［１］，［４］｝ 例6 ： Ｒ＝｛（ａ，ｂ）｜ａ≡ｂ （ｍｏｄ３）， ａ，ｂ∈Ｉ｝ 是整数集合Ｉ上模３同余的二元关系. 证明R是等价关系。
等价关系与划分
内容提要 等价关系,等价类,商集 划分, 第二类Stirling数
1
等价(equivalence)关系


定义 同余关系 等价类 商集 划分 划分的加细 Stirling子集数
2
等价关系Equivalence Relations
[定义1] Ａ上的二元关系Ｒ，如果Ｒ是
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也可表示为： [ 定义 ] 集合的划分：把集合Ａ分为若干子 集Ａ1，Ａ2，…，满足： （1）当ｉ≠ｊ时Ａi∩Ａj＝ （2） ａ∈Ａ， ｉ， 使ａ∈Ａi（ｉ＝１，２，…） 则集合 Pr（Ａ）＝｛Ａ 1 ，Ａ 2 ， … ，Ａ n，…｝ 称为Ａ的一个划分/partition。

等价关系,商集和集合的划分1.等价关系所需要的三个性质 --- 自反的，对称的，传递的必须同时具备，缺一不可2.同余关系纠正：同余关系需要三个数，一个正整数m，和两个整数a,b，如果整数(a - b)能够被m整除的话，则称a和b 是同余关系（需要注意的是整数0能够被仍和整数整除，整除的结果为0）1.关于第二点：负号不影响整除关系1通过特定规则（这个特定规则就是上面的这个生成元规则）获取的等价关系的子集称为等价类2.任何等价类都是非空集合，因为在这个等价类中一定包含了生成元本身3.有些等价类是完全相同的，有些等价类是完全不一样的4.所有等价类并在一起就能够得到总的集合a1.第二点的b证明处：证明两个集合没有交集的常用方法是反证法 --- 即证明有交集是矛盾的来得出没有交集这个结论2.关于第三点：两个集合互为子集则这两个集合等价1.商集其实就是集合的集合2.在集合中相同的元素只需要写一个，不用重复写最后一句话的意思就是：直到最后给定集合中的所有的元素都被找完第二部分 --- 集合的划分1.注意这里面的si都是非空集合a的非空子集1.通过等价关系，等价类和商集对集合进行划分1.关系的复合运算是左右两个关系中间一个圈，左右两个集合中间一个乘号这是笛卡尔积 --- 得到的结果是一个序偶集合，其中序偶的定义域由称号左边的集合元素提供，值域由乘号右边的集合元素提供2.上面这个等价关系是由每个划分的块集合的全关系序偶集合取并集得到的一个总的序偶集合，且每个块集合的全关系序偶集合都不一样（因为每个块集合的元素都不相同），所以等价关系这个序偶集合中的任意一个序偶元素都来自于某一个块集合的全关系序偶集合一个集合上的所有等价关系个数与这个集合的所有划分方式的个数相等。

集合的等价关系和划分概述在集合论中，等价关系和划分是两个重要的概念。

等价关系是指集合中的元素之间存在一种特定的关系，而划分则是将集合分为不相交的子集合。

本文将对这两个概念进行详细解释和讨论。

等价关系等价关系是一种二元关系，通常用符号“≡”表示。

对于集合A中的元素a和b，如果满足以下三个条件，则称a和b具有等价关系：1. 反身性（Reflexivity）：对于集合A中的任意元素a，a≡a成立。

2. 对称性（Symmetry）：对于集合A中的任意元素a和b，如果a≡b，那么b≡a也成立。

3. 传递性（Transitivity）：对于集合A中的任意元素a、b和c，如果a≡b且b≡c，那么a≡c也成立。

等价关系可以将集合中的元素划分为等价类。

每个等价类包含具有相同等价关系的元素。

等价类之间两两不相交，并且它们的并集等于整个集合。

划分划分是将集合分为不相交的子集合的过程。

对于集合A，如果存在一个集合P，满足以下两个条件，则称P为A的一个划分：1. P中的每个元素都是A中的子集。

2. P中的元素两两不相交，并且它们的并集等于A。

划分可以通过等价关系来构建。

对于集合A中的元素a，可以定义P(a)为包含a的所有等价类组成的集合。

那么P={P(a)|a∈A}就是A的一个划分。

应用和重要性等价关系和划分在数学和计算机科学等领域具有广泛的应用。

它们可以用于建模和解决各种问题，例如图论、数据库设计和自然语言处理等。

在图论中，等价关系可以表示两个节点之间的等价性，从而简化网络分析和图算法的实现。

在数据库设计中，划分可以将数据分为多个不相交的部分，提高查询效率和数据管理的灵活性。

在自然语言处理中，等价关系和划分可以用于语义分析和情感分类等任务。

综上所述，了解和理解集合的等价关系和划分对于理解和应用集合论的相关概念和方法具有重要意义。

结论集合的等价关系和划分是集合论中的重要概念。

等价关系是一种特定的二元关系，可以将集合划分为等价类。

定义3.5―2设k是一正整数而a,b∈I. 如果对某整数m，a-b=m·k，那么a和b是模k等 价,写成 a≡b(modk) 整数k叫做等价的模数。 （a除以k的余数与b除以k的余数相等 ）
例 [0] ={ kn|k∈Z}, [1] ={ 1+kn|k∈Z}, [2] ={ 2+kn|k∈Z},…, [n-1]={(n-1)+kn|k∈Z}.
(b)将一张纸撕成几片,则所得的各个碎片是 该纸的一个划分(参看图3.5―5). π={A1,A2,A3,A4}是A的划分,秩是4.
图 3.5―5
(c)集合族 {{x,-x}|x∈I }是I的秩无限的一个划分。 的秩无限的一个划分。
(d)设A是非空集合， 是非空集合，那么ρ(A)-{∅}是非空集合族， 是非空集合族，这 个集合族是A的一个覆盖， 的一个覆盖，而不是A的划分， 的划分，除非A是单 元素集合。 元素集合。
1. 在全体中国人所组成的集合上定义的“ 在全体中国人所组成的集合上定义的“同姓” 同姓”关系； 关系； 2. 对任何非空集合A，A上的全关系； 上的全关系； 3. 三角形的“ 三角形的“相似关系” 相似关系”、“全等关系” 全等关系”； 4. 直线的“ 直线的“平行关系” 平行关系”； 5. “朋友” 朋友”关系。 关系。
离散数学
Discrete Mathematics
3.5等价关系和划分
张晓 西北工业大学计算机学院 zhangxiao@ 2011-1-10
目录
3.5.1 等价关系 3.5.2 划分 3.5.3 划分的积与和
8个定义 16个定理
2011-1-10
离散数学
2
3.5.1 等价关系
定理 3.5―7 设A是非空集合， R是 A上的等价 关系。R的等价类集合{［ a］ R｜ a∈A}是A 的划分。 的划分 定义3.5―6 设R是非空集合A上的等价关系， 称划分{［a］R｜a∈A}为商集 商集A/R，也叫A 模R。 显然， ∪A/R=A（商集就是A的一个划分 ） 由商集的定义和定理3.5―5立即可得: 定理 3.5―8 设 R1 和 R2 是非空集合 A 上的等价 关系，那么R1=R2当且仅当A/R1=A/R2。

集合知识点考点总结1. 集合的基本概念(1) 集合的定义：集合是由一些确定的对象组成的整体。

这些对象可以是数字、字母、符号或者其他事物。

(2) 元素：组成集合的每个对象都称为集合的元素，通常用小写字母表示。

(3) 无序性：集合中的元素没有顺序之分，即两个相同的集合只有相同的元素组成，元素的排列次序不同，它们之间也是相等的。

(4) 互异性：集合中的元素各不相同，即每个元素在集合中只能出现一次。

(5) 集合的表示方法：集合可以用列举法、描述法和等价关系法表示。

2. 集合的分类(1) 空集：不包含任何元素的集合称为空集，通常用符号∅表示。

(2) 单集：只包含一个元素的集合称为单集。

(3) 有限集和无限集：集合中元素的个数有限的称为有限集，否则称为无限集。

(4) 相等集：具有相同元素的集合称为相等集。

3. 集合的运算(1) 并集：设A和B是两个集合，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A和B的并集，通常用符号∪表示。

(2) 交集：设A和B是两个集合，由所有既属于集合A又属于集合B的元素组成的集合称为A和B的交集，通常用符号∩表示。

(3) 补集：设U是一个给定的集合，A是U的一个子集，由所有属于U而不属于A的元素组成的集合称为A的补集，通常用符号A'表示。

(4) 差集：设A和B是两个集合，由所有属于集合A而不属于集合B的元素组成的集合称为A和B的差集，通常用符号A-B表示。

4. 集合的运算法则和性质(1) 交换律：对于任意的集合A和B，A∪B = B∪A，A∩B = B∩A。

(2) 结合律：对于任意的集合A、B和C，(A∪B)∪C = A∪(B∪C)，(A∩B)∩C = A∩(B∩C)。

(3) 分配律：对于任意的集合A、B和C，A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C)，A∪(B∩C) =(A∪B)∩(A∪C)。

(4) 吸收律：对于任意的集合A和B，A∪(A∩B) = A，A∩(A∪B) = A。

近世代数第一章基本概念答案§ 1 ． 集合1.A B ⊂，但B 不是A 的真子集，这个情况什么时候才能出现？ 解 由题设以及真子集的定义得，A 的每一个元都属于B ，因此B A ⊂.于是由A B ⊂ B A ⊂得B A =.所以上述情况在A=B 时才能出现.2. 假设B A ⊂,?=⋂B A ?=⋃B A解 （i ） 由于B A ⊂,所以A 的每一个元都属于B ,即A 的每一个元都是A 和B 的共同元，因而由交集的定义得B A A ⋂⊂但显然有A B A ⊂⋂所以A B A =⋂(ii) 由并集的定义，B A ⋃的每一个元素都属于A 和B 之一，但B A ⊂,所以B A ⋃的每一元素都属于B :B B A ⊂⋃另一方面B A B ⋃⊂,所以B B A =⋃.§ 2 ． 映射1. A ={1,2,…，100}.找一个A A ⨯到A 的映射.解 用()b a ,表示A A ⨯的任意元素，这里a 和b 都属于A .按照定义做一个满足要求的映射即可，例如 Φ： ()b a ,→a 就是这样的一个，因为Φ替A A ⨯的任何元素()b a ,规定了一个唯一的象a ,而A a ∈.读者应该自己再找几个A A ⨯到A 的映射. 2.在你为习题1所找的映射之下，是不是A 的每一个元都是A A ⨯的一个元的象?解 在上面给出的映射Φ之下，A 的每一个元素都是A A ⨯的一个元的象，因为()b a ,中的a 可以是A 的任一元素.你自己找到的映射的情况如何？有没有出现A 的元素不都是象的情况？假如没有，找一个这样的映射.§ 3 ．代数运算1. A ={所有不等于零的偶数}.找一个集合D ，使得普通除法是A A ⨯到D 的代数运算.是不是找得到一个以上的这样的D ？解 一个不等于零的偶数除一个不等于零的偶数所得结果总是一个不等于零的有理数.所以取 D ={所有不等于零的有理数} 普通除法就是一个A A ⨯到D 的代数运算.可以找得到一个以上的满足要求的D .读者可以自己找几个. 2.{}c b a A ,,=.规定A 的两不同的代数运算.解 （i ）我们用运算表来给出A 的一个代数运算： a b ca a a ab a a ac a a a按照这个表，通过 ，对于A 的任何两个元素都可以得出一个唯一确定的结果a 来，而a 仍属于A ，所以 是A 的人一个代数运算.这个代数运算也可以用以下方式来加以描述 : ()y x a y x o =→, 对一切A y x ∈, (ii)同理: ()y x x y x o =→, 对一切A y x ∈,也是A 的一个代数运算.读者可用列表的方法来给出这个代数运算.读者应自己给出几个A 的代数运算.§4 ．结合律1. A ={所有不等于零的实数}， 是普通的除法:ba b a =o 这个代数运算适合不适合结合律？解 这个代数运算 不适合结合律.例如， 当4=a 2==c b时()122224224)(====o o o o o c b a ()()414224224==⎪⎭⎫ ⎝⎛==o o o o o c b a所以当a ,b 和c 取上述值时()()c b a c b a o o o o ≠2. A ={所有实数}，代数运算： （a,b ）→a+2b=a b适合不适合结合律？解读者可以用解上一题的方法来证明，所给代数运算不适合结合律.3.A={a,b,c}.由表a b ca ab cb bc ac c a b给出的代数运算适合不适合结合律？解所给代数运算 适合结合律.为了得出这个结论，需要对元素a,b,c的27（=33）种排列（元素允许重复出现）加以验证.但是利用元素a的特性，可以把验证简化.仔细考察运算表，我们发现以下规律：对集合A的任意元素x来说，都有a x=x a=x由此得出，对于有a出现的排列，结合律都成立.这一点读者可以自己验证.还剩下a不出现的排列.这样的排列共有8（=32）种.我们在这里验证4种，其余4种读者可以自己验证.（b b） b=c b=ab (b b)=b c=a所以（b b） b=b (b b)(b b) c=c c=bb (b c)=b a=b所以 (b b) c=b (b c)(b c) b=a b=bb (c b)= b a=b所以 (b c) b=b (c b)(b c) c=a c=cb (c c)=b b=c所以 (b c) c=b (c c)§5．交换律1.A={所有实数}. 是普通减法：a b= a b这个代数运算适合不适合交换律？解容易验证，当a = 1，b = 2时a b b a ≠ 所以这个代数运算不适合交换律. 2. A ={a , b ,c , d}，由表 a b c da abcd b b d a c c c a b d d d c a b所给的代数运算适合不适合交换律？解 要回答这个问题，只须考察一下运算表，看一看关于主对角线对称的位置上，有没有不相同的元素.易知此运算表不对称，所以此代数运算不适合交换律。

4.4 等价关系与划分等价关系：同时具有自反、对称和传递性。

等价关系是最重要、最常见的二元关系之一。

4.4 等价关系与划分定义4.13设R为非空集合A上的关系，如果R是自反的、对称的和传递的定义4.13，则称R为A上的等价关系。

设R为等价关系，如果<x,y> R，称x等价于y，记作x~y。

例如，实数集上的相等关系、幂集上的各子集间的相等关系，三角形集合上的三角形的相似关系都是等价关系。

因为等价关系是自反、对称和传递的，可以通过关系矩阵和关系图判断某关系是否是等价关系。

设A ={1, 2, …, 8}，A 上的关系R 定义如下：R={<x, y> | x, y ∈A ∧x ≡y(mod 3)}其中x ≡y(mod 3)叫做x 与y 模3相等，即x 除以3的余数与y 除以3的余数相等或x −y 可被3整除。

可以验证R 为A上的等价关系：例4.21 4.4 等价关系与划分（1）自反：∀x∈A，x ≡x(mod 3)，即<x, x>∈R。

（2）对称：∀x, y∈A，若x ≡y(mod 3)即<x, y>∈R，则y ≡x(mod 3)即<y, x>∈R。

（3）传递：∀x, y, z∈A，若x ≡y(mod 3)且y ≡z(mod 3)，则x ≡z(mod 3)。

该关系的关系图如下：Sed ut perspiciatis unde omnis.68%定义4.14设R 为非空集合A 上的等价关系， x ∈A ，令[x]R ={y | y ∈A ∧xRy}称[x]R 为x 关于R 的等价类，简称为x 的等价类，简记为[x]。

x 的等价类就是A 中所有与x 等价的元素构成的集合。

如例4.21中的等价类有：[1] = [4] = [7] = {1, 4, 7}[2] = [5] = [8] = {2, 5, 8}[3] = [6] = {3, 6}4.4 等价关系与划分定理4.144.4 等价关系与划分定理4.19设R 是非空集合A 上的等价关系，则（1）∀x∈A，必定有[x]≠∅且[x]⊆A 。

《抽象代数》教学大纲一、课程基本信息课程编码：061112B中文名称：抽象代数英文名称：AbstractA1gebra课程类别：专业基础课程总学时：48（理论40,实践8）总学分：3适用专业：数学与应用数学先修课程：高等代数二、课程的性质、目标和任务抽象代数（或近世代数）是数学与应用数学专业学生的一门专业课，是高等代数的继续和提高，本课程主要研究各种代数系统一-群、环、域等的结构。

通过本课程的学习，使学生获得一定的抽象代数基础知识，受到代数方法的初步训练，提高辩证思维和逻辑推理能力，并为进一步学习专业知识打下基础。

三、课程教学基本要求1、授课：以课堂讲授为主，采取板书配以多媒体的方式。

2、习题课：进行典型问题分析，方法总结，难题讲解，与学生黑板演题相结合，训练学生的逻辑思维能力，解题能力和思维严密性。

3、作业：每次课后配以一定量的书面作业，按学院统一要求每周批改一次。

4、辅导：每周进行答疑辅导。

四、课程教学内容及要求第一章基本概念（6学时）【教学目标与要求】1、理解代数运算，同态与同构等概念。

2、掌握等价关系，集合的分类等概念。

【教学重点与难点】1、教学重点：代数运算、同态与同构。

2、教学难点：等价关系与集合分类的内在联系。

【教学内容】1.1集合1.2映射与变换1.3代数运算14运算律1.5同态与同构1.6等价关系与集合的分类第二章群（16学时）【教学目标与要求】1、掌握群和半群的定义，熟知群和半群的一些典型实例；理解元素阶的定义和性质。

2、理解并掌握循环群的概念和表示。

3、了解变换群，理解置换群。

4、理解陪集、指数的概念和Iagrange定理。

【教学重点与难点】1、教学重点：群的概念，子群、循环群、置换群、陪集的概念和基本性质。

2、教学难点：变换群。

【教学内容】2.1群的定义和初步性质2.2群中元素的阶2.3子群2.4循环群2.5变换群2.6置换群3.7陪集、指数和1agrange定理第三章正规子群和群的同态与同构（14学时）【教学目标与要求】1、掌握正规子群和商群的定义和性质。

若R1 = R 2，对任意a ∈ A， 则[a ]R1 = {x | x ∈ A ∧ xR1a} = {x | x ∈ A ∧ xR 2a} = [a ]R 2， 所以{[a ]R1 | a ∈ A} = {[a ]R 2 | a ∈ A}。
充分性：
反之，假设{[a ]R1 | a ∈ A} = {[a ]R 2 | a ∈ A}，对任意[a ]R1， 必存在[c ]R 2 ∈ {[a ]R 2 | a ∈ A}，使得[a ]R1 = [c ]R 2，故 < a , b >∈ R1 ⇔ a ∈ [a ]R1 ∧ b ∈ [a ]R1 ⇔ a ∈ [c ]R 2 ∧ b ∈ [c ]R 2 ⇒< a, b >∈ R 2，所以R1 ⊆ R 2，类似有R 2 ⊆ R1，所以R1 R 2。 ＝
8
一、等价关系
定理5: 设R是A上的二元关系,设R′=tsr(R)是R的自反对称 传递闭包,那么 (a) R′是A上的等价关系,叫做R诱导的等价关系； (b) R′是包含R的最小等价关系。 证明： r(R)是自反的，所以sr(R)是自反的，对称的，所以 tsr(R)是自反的，对称的，传递的，即R’=tsr(R)是A上 的等价关系。 设R”是包含R的任意等价关系，即R⊆R”，因为R”是 自反的，所以r(R)⊆r(R”)=R”；因为R”是对称的，所以 sr(R)⊆s(R”)=R”;又因为R”是传递的，所以 tsr(R)⊆t(R”)=R”，即R”包含tsr(R)。
13
B∈π
二、划分
例5：设A={a,b,c,d,e}，划分S={{a,b},{c},{d,e}}, 由S确 定A上等价关系R。 解：R={a,b} ×{a,b} ∪{c} ×{c} ∪{d,e} ×{d,e} = {〈a,a〉, 〈a,b〉, 〈b,a〉, 〈b,b〉, 〈c,c〉, 〈d,d〉, 〈d,e〉, 〈e,d〉, 〈e,e〉} 若已知等价关系，求划分，则把有R关系的元素放到一 个划分块即可。

习就感 觉 非常 吃力 ， 关键 问题 就在 于本 科学 习 近世代 数 的时候 没有把 “ 集 合 分 类 与 等 价 关 系 ”学 好 ， 没 有 把握其 本 质思想 ．
的一 种有 效方 法 ， 比如 构 造 商 群 、 商环、 域等等 ， 我 们
最 熟悉 的有 限域 Ｚ。 （ Ｐ为素数 ） 和 有理 数域都 是 通过
化 等 概 念 有很 大 帮 助 ， 还 是 构 造 新 的代 数 对 象 的 手段 之 一 ． 文 章就 如 何 让 学 生 更 深 入 理 解 和 掌握
该 知 识 点 进 行 了探 讨 ．
关 键 词 ：集合分类； 等价 关系； 商； 局部化
中图分 类号 ： Ｇ４ ２ ｏ 文献标 识码 ： Ａ 文章 编号 ： １ ６ ７ ３ —８ ４ ６ ２ （ ２ ｏ １ ５ ） ０ ３ —０ １ ｏ ｏ －０ ３
者发 现 ， 很 多学 生 对 “ 集 合 分 类 与 等 价 关 系 ”并 不 熟
思想 、 理 论 与方 法 的应用 日臻 广 泛． “ 集合 分类 与 等价
关 系” 是 近世 代数 课程 的一 个 非 常 重 要 的知 识 点 ， 对 学好 这 门课 程有 很大 的影 响 ． 对集 合进 行 分类 是 研究
１ ０ ０
２ ０ １ ５年 第 ３ 期
●赵
静 。 陈 向阳 ／“ 集合分 类 与等价 关 系” 新 讲
高度概 括性 的概念 转 化 为具 体 的 、 直 观 的例 子 ， 缺 乏
容 易理 解 的具体 实例 的支 撑 ． 所以， 在授 课过 程 中 ， 教
自于不 同省份 的 同学之 间则 “ 没 有关 系” ． 还 是 这个 班 级， 如果 规定 “ 如果 两个 同 学住在 同一 个宿 舍 ， 则 说他 们有 关 系 ； 否则， 称之 为没 有关 系” ． 同样 ， 按 照这个 规 则， 住在 同一 个宿 舍 的 同学 之 间都 是 “ 有关 系”的 ， 而

COVA={<1,2>,<1,3>,<2,4>,<2,6>,<3,6>,<4, 12>,<6,12> }。
3-12.2 哈斯图
根据上述定义，可以简化偏序关系的关系图 得到哈斯图(Hasse diagram)，具体画法如下： 1. 用小圆圈代表元素；
2. 若x ≤ y，x y，将代表y的小圆圈放在代
表x的小圆圈之上，
3. 如果<x,y> COVA，则在y与x之间用直线连
接。
例3的哈斯图
12
4
6
2
3
1
注意到：哈斯图中的边不再需要用有向边。因为 若u，v两点间有边，且u在v的下层，则表示u ≤ v， 所以边的方向一定是从下层结点指向上层结点的。
由关系图改画为哈斯图的方法
首先去掉自环，然后去掉封闭边，再按照有 向边的方向，将结点位置进行重新排列，即有向 边起始的结点放下层，终点的结点放上层；最后 把有向边改为无向边。
例1:验证实数集R上的小于等于关系“” 是偏序 关系。（见书140页例题1）。
证明：1. 对于任何实数aR,有aa成立，故“” 是自反的。
2. 对于任何实数a,bR，如果ab，ba，则必有 a=b，故“”是反对称的。
3. 如果ab，bc 那么必有ac，故“”是传递 的。
因此“” 是一个偏序关系。
例如，定义在自然数集合N上的“小于等于” 关系“≤”是偏序关系，且对任意i，jN，必有 i≤j 或 j≤i 成立，故也是全序关系。
3-12.3 极大(小)元，最大(小)元
定义3-12.5[最大(小)元、极大(小)元]： 设<A, >为偏序集，BA，则：

高中数学集合知识点大全集合，简称集，是数学中一个基本概念，也是集合论的主要研究对象。

集合论的基本理论创立于19世纪，关于集合的最简单的说法就是在朴素集合论(最原始的集合论)中的定义，即集合是“确定的一堆东西”，集合里的“东西”则称为元素。

下面小编给大家分享一些高中数学集合知识点大全，希望能够帮助大家，欢迎阅读!高中数学集合知识点1.集合的有关概念。

1)集合(集)：某些指定的对象集在一起就成为一个集合(集).其中每一个对象叫元素注意：①集合与集合的元素是两个不同的概念，教科书中是通过描述给出的，这与平面几何中的点与直线的概念类似。

②集合中的元素具有确定性(a?A和a?A，二者必居其一)、互异性(若a?A，b?A，则a≠b)和无序性({a,b}与{b,a}表示同一个集合)。

③集合具有两方面的意义，即：凡是符合条件的对象都是它的元素;只要是它的元素就必须符号条件2)集合的表示方法：常用的有列举法、描述法和图文法3)集合的分类：有限集，无限集，空集。

4)常用数集：N，Z，Q，R，2.子集、交集、并集、补集、空集、全集等概念。

1)子集：若对x∈A都有x∈B，则A B(或A B);2)真子集：A B且存在x0∈B但x0 A;记为A B(或，且 )3)交集：A∩B={x| x∈A且x∈B}4)并集：A∪B={x| x∈A或x∈B}5)补集：CUA={x| x A但x∈U}注意：①? A，若A≠?，则? A ;②若，，则 ;③若且，则A=B(等集)3.弄清集合与元素、集合与集合的关系，掌握有关的术语和符号，特别要注意以下的符号：(1) 与、?的区别;(2) 与的区别;(3) 与的区别。

4.有关子集的几个等价关系①A∩B=A A B;②A∪B=B A B;③A B C uA C uB;④A∩CuB = 空集CuA B;⑤CuA∪B=I A B。

5.交、并集运算的性质①A∩A=A，A∩? = ?，A∩B=B∩A;②A∪A=A，A∪? =A，A∪B=B∪A;③Cu (A∪B)= CuA∩CuB，Cu (A∩B)= CuA∪CuB;6.有限子集的个数：设集合A的元素个数是n，则A有2n个子集，2n-1个非空子集，2n-2个非空真子集。

[3]R={3,7}
=[7]R
余数为3的等价类
[4]R={4}
余数为0的等价类
总结：
（1）集合中的10个元素都有一个等价类。
（2）各等价类之间或者完全相等或者不相交。
（3）所有等价类的并集就是A。
第12页
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[1]R=[5]R=[9]R={1,5,9} [2]R=[6]R=[10]R=[14]R={2,6,10,14} [3]R=[7]R={3,7} [4]R={4}
整数集合上的“小于”关系 不是等价关系。
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例3-10.2 集合A={1,2,3,4,5,6,7,9,10,14}，R是A上的模4同 余关系，试通过关系图说明R是等价关系。
分析：R={<x,y>|x除以4与y除以4的余数相同}
<x,y>∈R x(mod 4)=y(mod 4)或x≡y(mod 4)
每个关系子图即为一个等价类，位于此子图中的元 素的等价类相同，等于该子图中的所有元素构成的 集合。
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2、等价类性质
R是A上等价关系，任意x,y,z∈A
⑴同一个等价类中的元素，彼此有等价关系R。
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二
元 关
性 质
系
自反 对称 传递 反对称 反自反
等价关系
有 向 图
等 价 类
商 集
划 分
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二、 等价类
1、定义3-10.2 : x的等价类 R是A上的等价关系，对任何x∈A，集合[x]R称为 由x生成的R等价类，简称x的等价类： [x]R={y|y∈A∧xRy} 简化写法：y∈[x]R xRy 讨论： （1）等价类[x]R是一个集合，且[x]R A。 （2）[x]R中的元素是在等价关系R中，与x有 等价关系R的所有元素组成的集合。 （3）[x]R Φ， x∈[x]R。