几何五大模型精讲-第2讲-蝴蝶模型

小学奥数-几何五大模型(蝴蝶模型)模型三 蝴蝶模型（任意四边形模型）任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：S 4S 3S 2S 1O DCBA①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。

通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。

【例 1】 (小数报竞赛活动试题)如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD ，被对角线AC 、BD 分成四个部分，△AOB 面积为1平方千米，△BOC 面积为2平方千米，△COD 的面积为3平方千米，公园由陆地面积是6．92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？ODCBA【分析】 根据蝴蝶定理求得312 1.5AOD S =⨯÷=△平方千米，公园四边形ABCD 的面积是123 1.57.5+++=平方千米，所以人工湖的面积是7.5 6.920.58-=平方千米【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：⑴三角形BGC 的面积；⑵:AG GC =？任意四边形、梯形与相似模型B【解析】 ⑴根据蝴蝶定理，123BGC S ⨯=⨯V ，那么6BGC S =V ；⑵根据蝴蝶定理，()():12:361:3AG GC =++=． (？？？)【例 2】 四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O (如图所示)。

如果三角形ABD 的面积等于三角形BCD 的面积的13，且2AO =，3DO =，那么CO 的长度是DO 的长度的_________倍。

ABCDOH GA BCD O【解析】 在本题中，四边形ABCD 为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形。

_________________ 个性化辅导讲义之袁州冬雪创作AB C DG 321例2 如图，四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O(如图所示).如果三角形ABD 的面积等于三角形BCD 的面积的，且AO=2，DO=3，那末CO 的长度是DO 的长度的_________倍.ABC D O【触类旁通】 1、如图，平行四边形ABCD 的对角线交于O 点，CEF △、OEF △、ODF △、BOE △的面积依次是2、4、4和6.求：⑴求OCF △的面积；⑵求GCE △的面积.OGF E D C B A2、图中的四边形土地的总面积是52公顷，两条对角线把它分成了4个小三角形，其中2个小三角形的面积分别是6公顷和7公顷.那末最大的一个三角形的面积是多少公顷？76E DC B A板块二 梯形模子的应用【知识梳理】梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)：AB CDOb a S 3S 2S 1S 4①2213::S S a b =②221324::::::S S S S a b ab ab =；③S 的对应份数为()2a b +． 梯形蝴蝶定理给我们提供了处理梯形面积与上、下底之间关系互相转换的渠道，通过构造模子，直策应用结论，往往在题目中有事半功倍的效果．(详细的推理过程我们可以用将在第九讲所要讲的相似模子停止说明) 例3 如图，22S =，34S =，求梯形的面积.S 4S 3S 2S 1【触类旁通】 1、如下图，梯形ABCD 的AB 平行于CD ，对角线AC ，BD 交于O ，已知AOB △与BOC △的面积分别为25 平方厘米与35平方厘米，那末梯形ABCD 的面积是________平方厘米．3525OAB C D例4 如图，梯形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，已知梯形上底为2，且三角形ABO 的面积等于三角形BOC 面积的，求三角形AOD 与三角形BOC 的面积之比．OA B C D【触类旁通】1、在下图的正方形ABCD 中，E 是BC 边的中点，AE 与BD 相交于F 点，三角形BEF 的面积为1平方厘米，那末正方形ABCD 面积是多少平方厘米？。

_________________OD CBA【举一反三】1、如图,四边形被两条对角线分成4个三角形,其中三个三角形的面积已知。

求:⑴三角形BGC 的面积;⑵AG:GC=？AB C DG 321例2 如图,四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O(如图所示)。

如果三角形ABD 的面积等于三角形BCD 的面积的,且AO=2,DO=3,那么CO 的长度就是DO 的长度的_________倍。

AB C D O【举一反三】 1、如图,平行四边形ABCD 的对角线交于O 点,CEF △、OEF △、ODF △、BOE △的面积依次就是2、4、4与6。

求:⑴求OCF △的面积;⑵求GCE △的面积。

OG FED C B A2、图中的四边形土地的总面积就是52公顷,两条对角线把它分成了4个小三角形,其中2个小三角形的面积分别就是6公顷与7公顷。

那么最大的一个三角形的面积就是多少公顷？3525OAB CD例4 如图,梯形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O,已知梯形上底为2,且三角形ABO 的面积等于三角形BOC 面积的,求三角形AOD 与三角形BOC 的面积之比. OA B C D【举一反三】1、在下图的正方形ABCD 中,E 就是BC 边的中点,AE 与BD 相交于F 点,三角形BEF 的面积为1平方厘米,那么正方形ABCD 面积就是多少平方厘米？A B C DE F【课堂总结】我的收获我的疑惑【课后作业】1、 如图相邻两个格点间的距离就是1,则图中阴影三角形的面积为_________。

小学奥数几何篇五大模型蝴蝶定理一、蝴蝶定理的定义与公式蝴蝶定理是小学奥数几何篇中的一个重要模型，它描述了在等腰三角形中，一条平行于底边的线段将底边平分，并且这条线段与等腰三角形的两腰相交于同一点时，该线段的中点与等腰三角形的顶点、底边的中点以及两腰上的交点形成一个等腰三角形。

蝴蝶定理的公式如下：设等腰三角形ABC中，AB=AC，底边BC的长度为2a，点D在BC上，且BD=DC=a，点E在AB上，点F在AC上，DE平行于BC，交AB于点E，交AC于点F，点G为DE的中点，连接AG、BG、CG，则AG=BG=CG。

二、蝴蝶定理的应用1. 在等腰三角形中求边长：通过蝴蝶定理，可以快速求出等腰三角形中未知边的长度。

例如，已知等腰三角形ABC中，AB=AC，底边BC 的长度为2a，点D在BC上，且BD=DC=a，点E在AB上，点F在AC上，DE平行于BC，交AB于点E，交AC于点F，点G为DE的中点，连接AG、BG、CG，求AG的长度。

解答：根据蝴蝶定理，AG=BG=CG，又因为AB=AC，所以AG=AB/2=a。

2. 在等腰三角形中求角度：通过蝴蝶定理，可以求出等腰三角形中未知角的度数。

例如，已知等腰三角形ABC中，AB=AC，底边BC的长度为2a，点D在BC上，且BD=DC=a，点E在AB上，点F在AC上，DE平行于BC，交AB于点E，交AC于点F，点G为DE的中点，连接AG、BG、CG，求∠AGB的度数。

解答：由于AG=BG=CG，所以△AGB是等边三角形，∠AGB=60°。

3. 在等腰三角形中求面积：通过蝴蝶定理，可以求出等腰三角形中未知部分的面积。

例如，已知等腰三角形ABC中，AB=AC，底边BC的长度为2a，点D在BC上，且BD=DC=a，点E在AB上，点F在AC上，DE平行于BC，交AB于点E，交AC于点F，点G为DE的中点，连接AG、BG、CG，求△AGB的面积。

解答：由于△AGB是等边三角形，所以△AGB的面积=（a^2 √3）/ 4。

小学奥数几何篇五大模型蝴蝶定理(附答案)在小学奥数的几何部分，蝴蝶定理是一个非常有用的工具，它可以帮助我们解决一些复杂的几何问题。

蝴蝶定理主要描述了在四边形中，当两条对角线互相垂直时，四边形被分成四个小三角形，而这四个小三角形的面积之间存在一定的关系。

蝴蝶定理的内容如下：设四边形ABCD中，AC和BD是互相垂直的对角线，交于点O。

设四个小三角形的面积分别为S1、S2、S3、S4。

那么，蝴蝶定理可以表述为：S1 + S2 = S3 + S4。

这个定理听起来可能有些抽象，但实际上它的应用非常广泛。

我们可以通过蝴蝶定理来解决一些看似复杂的问题。

下面，我将通过一些例子来展示蝴蝶定理的应用。

例1：在四边形ABCD中，AC和BD是互相垂直的对角线，且AC =8cm，BD = 6cm。

如果三角形ABC的面积是24cm²，那么三角形ADC的面积是多少？解答：根据蝴蝶定理，我们有S1 + S2 = S3 + S4。

由于三角形ABC的面积是24cm²，所以S1 = 24cm²。

又因为AC = 8cm，BD = 6cm，我们可以计算出三角形ADC的面积S3 = 1/2 AC BD = 1/2 8cm6cm = 24cm²。

因此，三角形ADC的面积也是24cm²。

例2：在四边形ABCD中，AC和BD是互相垂直的对角线，且AC = 10cm，BD = 5cm。

如果三角形ABC的面积是20cm²，那么三角形ADC的面积是多少？解答：同样地，根据蝴蝶定理，我们有S1 + S2 = S3 + S4。

由于三角形ABC的面积是20cm²，所以S1 = 20cm²。

又因为AC = 10cm，BD = 5cm，我们可以计算出三角形ADC的面积S3 = 1/2 AC BD = 1/2 10cm 5cm = 25cm²。

因此，三角形ADC的面积是25cm²。

_________________ 个性化指点课本之羊若含玉创作AB C DG 321例2 如图，四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O(如图所示).如果三角形ABD 的面积等于三角形BCD 的面积的，且AO=2，DO=3，那么CO 的长度是DO 的长度的_________倍.ABC D O【触类旁通】 1、如图，平行四边形ABCD 的对角线交于O 点，CEF △、OEF △、ODF △、BOE △的面积依次是2、4、4和6.求：⑴求OCF △的面积；⑵求GCE △的面积.OGF E D C B A2、图中的四边形土地的总面积是52公顷，两条对角线把它分成了4个小三角形，其中2个小三角形的面积分离是6公顷和7公顷.那么最大的一个三角形的面积是若干公顷？76E DC B A板块二 梯形模子的应用【知识梳理】梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)：AB CDOb a S 3S 2S 1S 4①2213::S S a b =②221324::::::S S S S a b ab ab =；③S 的对应份数为()2a b +． 梯形蝴蝶定理给我们提供懂得决梯形面积与上、下底之间关系互相转换的渠道，通过结构模子，直策应用结论，往往在题目中有事半功倍的效果．(具体的推理进程我们可以用将在第九讲所要讲的相似模子进行说明) 例3 如图，22S =，34S =，求梯形的面积.S 4S 3S 2S 1【触类旁通】 1、如下图，梯形ABCD 的AB 平行于CD ，对角线AC ，BD 交于O ，已知AOB △与BOC △的面积分离为25 平方厘米与35平方厘米，那么梯形ABCD 的面积是________平方厘米．3525OAB C D例4 如图，梯形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，已知梯形上底为2，且三角形ABO 的面积等于三角形BOC 面积的，求三角形AOD 与三角形BOC 的面积之比．OA B C D【触类旁通】1、在下图的正方形ABCD 中，E 是BC 边的中点，AE 与BD 相交于F 点，三角形BEF 的面积为1平方厘米，那么正方形ABCD 面积是若干平方厘米？。

模型三 蝴蝶模型（任意四边形模型）任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：S 4S 3S 2S 1O DCBA①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。

通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。

【例 1】 (小数报竞赛活动试题)如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD ，被对角线AC 、BD 分成四个部分，△AOB 面积为1平方千米，△BOC 面积为2平方千米，△COD 的面积为3平方千米，公园由陆地面积是6．92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？A【分析】 根据蝴蝶定理求得312 1.5AOD S =⨯÷=△平方千米，公园四边形ABCD 的面积是123 1.57.5+++=平方千米，所以人工湖的面积是7.5 6.920.58-=平方千米【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：⑴三角形BGC 的面积；⑵:AG GC =？B【解析】 ⑴根据蝴蝶定理，123BGCS ⨯=⨯，那么6BGCS=；⑵根据蝴蝶定理，()():12:361:3AG GC =++=． (？？？)【例 2】 四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O (如图所示)。

如果三角形ABD 的面积等于三角形BCD 的任意四边形、梯形与相似模型面积的13，且2AO =，3DO =，那么CO 的长度是DO 的长度的_________倍。

AB C DOH GA BC D O【解析】 在本题中，四边形ABCD 为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形。

看到题目中给出条件:1:3ABD BCD S S =，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法。

蝴蝶模型☺知识总览一、蝴蝶模型1、任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：①S S S S 3421::=或者1324S S S S ⨯=⨯ ②()()1243::AO OC S S S S =++蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。

通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。

2、梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)： ①2213::S S a b =②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③S 的对应份数为()2a b +．O DCBA s 4s 3s 2s 1A BCDO baS 3S 2S 1S 41、图中的四边形土地的总面积是52公顷，两条对角线把它分成了4个小三角形，其中2个小三角形的面积分别是6公顷和7公顷．那么最大的一个三角形的面积是多少公顷？☺典例精讲2、如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD ，被对角线AC 、BD 分成四个部分，△AOB 面积为1平方千米，△BOC 面积为2平方千米，△COD 的面积为3平方千米，公园由陆地面积是6．92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？EDCB A76OCDBA3、如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：⑴三角形BGC 的面积；⑵AG:GC=？☺跟踪练习3、如图，平行四边形ABCD 的对角线交于O 点，CEF △、OEF △、ODF △、BOE △的面积依次是2、4、4和6．求：⑴求OCF △的面积；⑵求GCE △的面积．CBOGF EDC BA4、如图，22S =，34S =，求梯形的面积。

随堂练习：如下图，梯形ABCD 的AB 平行于CD ，对角线AC ，BD 交于O ，已知AOB △与BOC △的面积分别为25 平方厘米与35平方厘米，那么梯形ABCD 的面积是________平方厘米．☺典例精讲5、梯形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，已知梯形上底为2，且三角形ABO 的面积等于三角形BOC 面积的23，求三角形AOD 与三角形BOC 的面积之比．3525OABCDO ABCD6、如图，正方形ABCD 面积为3平方厘米，M 是AD 边上的中点．求图中阴影部分的面积．☺跟踪练习6、如图所示，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，对角线AC ，BD 相交于点O 。

_________________板块一 任意四边形模型【例题精讲】例1 如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD ，被对角线AC 、BD 分成四个部分，△AOB 面积为1平方千米，△BOC 面积为2平方千米，△COD 的面积为3平方千米，公园由陆地面积是6．92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？OD CBA【举一反三】1、如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知。

求：⑴三角形BGC 的面积；⑵AG:GC=？AB C DG 321例2 如图，四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O(如图所示)。

如果三角形ABD 的面积等于三角形BCD 的面积的，且AO=2，DO=3，那么CO 的长度是DO 的长度的_________倍。

A B C DO③S 的对应份数为()2a b +． 梯形蝴蝶定理给我们提供了解决梯形面积与上、下底之间关系互相转换的渠道，通过构造模型，直接应用结论，往往在题目中有事半功倍的效果．(具体的推理过程我们可以用将在第九讲所要讲的相似模型进行说明)例3 如图，22S =，34S =，求梯形的面积。

S 4S 3S 2S 1【举一反三】 1、如下图，梯形ABCD 的AB 平行于CD ，对角线AC ，BD 交于O ，已知AOB △与BOC △的面积分别为25 平方厘米与35平方厘米，那么梯形ABCD 的面积是________平方厘米．3525OAB C D例4 如图，梯形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，已知梯形上底为2，且三角形ABO 的面积等于三角形BOC 面积的，求三角形AOD 与三角形BOC 的面积之比．OA B C D。