最新高考创新方案一轮复习教案(新课标版)(数学理第1讲+任意角、弧度制及任意角的三角函数名师优秀教案

专题5.1 任意角和弧度制及任意角的三角函数【考纲解读与核心素养】1.了解角、角度制与弧度制的概念，掌握弧度与角度的换算.2. 理解正弦函数、余弦函数、正切函数的定义.3．本节涉及所有的数学核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等. 4.高考预测：（1）三角函数的定义；（2）扇形的面积、弧长及圆心角；（3）在大题中考查三角函数的定义，主要考查：一是直接利用任意角三角函数的定义求其三角函数值；二是根据任意角三角函数的定义确定终边上一点的坐标． 5.备考重点：(1) 理解三角函数的定义；(2) 掌握扇形的弧长及面积计算公式.【知识清单】知识点1．象限角及终边相同的角 1．（1）任意角的分类：①按旋转方向不同分为正角、负角、零角． ②按终边位置不同分为象限角和轴线角． (2)终边相同的角：终边与角α相同的角可写成α＋k ·360°(k ∈Z )． 2.弧度制：①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|α|＝lr ，l 是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为半径．③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制．比值lr 与所取的r 的大小无关，仅与角的大小有关．3.弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度．若一个角的弧度数为α，角度数为n ，则α rad ＝(180απ)°，n °＝n ·π180 rad ．知识点2．三角函数的定义 1.任意角的三角函数定义：设α是一个任意角，角α的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么 （1）点P 的纵坐标叫角α的正弦函数，记作sin α＝y ； （2）点P 的横坐标叫角α的余弦函数，记作cos α＝x ；（3）点P 的纵坐标与横坐标之比叫角α的正切函数，记作tan α＝yx .它们都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数．将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为： 正弦函数y ＝sinx ，x ∈R ； 余弦函数 y ＝cosx ，x ∈R ； 正切函数 y ＝tanx ，x ≠π2＋k π（k ∈Z ）．2．三角函数在各象限内的符号口诀是：一全正、二正弦、三正切、四余弦 知识点3．扇形的弧长及面积公式 (1)弧长公式在半径为r 的圆中，弧长为l 的弧所对的圆心角大小为α，则|α|＝lr ，变形可得l ＝|α|r ，此公式称为弧长公式，其中α的单位是弧度． (2)扇形面积公式由圆心角为1 rad 的扇形面积为πr 22π＝12r 2，而弧长为l 的扇形的圆心角大小为l r rad ，故其面积为S ＝l r ×r 22＝12lr ，将l ＝|α|r 代入上式可得S ＝12lr ＝12|α|r 2，此公式称为扇形面积公式．(3)弧长公式及扇形面积公式的两种表示名称 角度制 弧度制 弧长公式 l ＝n πr180l ＝__|α|r __ 扇形面积公式 S ＝n πr 2360S ＝|α|2r 2 ＝ 12lr 注意事项r 是扇形的半径，n 是圆心角的角度数r 是扇形的半径，α是圆心角的弧度数，l 是弧长【典例剖析】高频考点一 象限角及终边相同的角【典例1】（2019·乐陵市第一中学高三专题练习）如果，那么与终边相同的角可以表示为A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】 由题意得，与终边相同的角可以表示为．故选B ． 【规律方法】象限角的两种判断方法(1)图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角． (2)转化法：先将已知角化为k ·360°＋α(0°≤α＜360°，k ∈Z )的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角．【变式探究】若角α是第二象限角，试确定α2，2α的终边所在位置． 【答案】角α2的终边在第三象限或第四象限或y 轴的负半轴上,2α的终边在第一象限或第三象限. 【解析】∵角α是第二象限角，∴ 22,2k k k Z ππαππ+<<+∈，（1）4242,k k k Z ππαππ+<<+∈，∴ 角α2的终边在第三象限或第四象限或y 轴的负半轴上． （2） ,422k k k Z παπππ+<<+∈，当2 ,k n n Z =∈时， ∴ 22 ,422n n n Z παπππ+<<+∈，∴2α的终边在第一象限． 当2 1 ,k n n Z =+∈时， ∴5322 ,422n n n Z παπππ+<<+∈， ∴2α的终边在第三象限． 综上所述，2α的终边在第一象限或第三象限．【总结提升】象限角与轴线角(终边在坐标轴上的角)的集合表示 (1)象限角：象限角 集合表示第一象限角 {α|k ·360°<α<k ·360°＋90°，k ∈Z } 第二象限角{α|k ·360°＋90°<α<k ·360°＋180°，k ∈Z }第三象限角 {α|k ·360°＋180°<α<k ·360°＋270°，k ∈Z } 第四象限角{α|k ·360°＋270°<α<k ·360°＋360°，k ∈Z }(2)轴线角：角的终边的位置集合表示终边落在x 轴的非负半轴上 {α|α＝k ·360°，k ∈Z } 终边落在x 轴的非正半轴上 {α|α＝k ·360°＋180°，k ∈Z } 终边落在y 轴的非负半轴上 {α|α＝k ·360°＋90°，k ∈Z } 终边落在y 轴的非正半轴上 {α|α＝k ·360°＋270°，k ∈Z } 终边落在y 轴上 {α|α＝k ·180°＋90°，k ∈Z } 终边落在x 轴上 {α|α＝k ·180°，k ∈Z } 终边落在坐标轴上{α|α＝k ·90°，k ∈Z }高频考点二 三角函数的定义 【典例2】已知角的终边过点,且，则的值为( )A. B. C. D.【答案】B 【解析】 由题意可知，，，是第三象限角，可得， 即，解得，故选B. 【典例3】已知角的终边落在直线y ＝2x 上，求sin α、cos α、tan α的值． 【答案】【解析】当角的终边在第一象限时，在角的终边上取点P (1,2)，由r ＝|OP |＝12＋22＝5，得sin α＝25＝255，cos α＝15＝55，tan α＝21＝2． 当角的终边在第三象限时，在角的终边上取点Q (－1，－2)， 由r ＝|OQ |＝－12＋－22＝5，得：sin α＝－25＝－255，cos α＝－15＝－55，tan α＝－2－1＝2．【典例4】（2011·江西高考真题（文））已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若()4,p y 是角θ终边上一点，且25sin θ=-，则y=_______. 【答案】-8 【解析】根据正弦值为负数，判断角在第三、四象限，再加上横坐标为正，断定该 角为第四象限角.=【规律方法】1.已知角α终边上一点P 的坐标，则可先求出点P 到原点的距离r ，然后利用三角函数的定义求解．2.已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后利用三角函数的定义求解相关的问题．若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角α的三角函数值． 【变式探究】1.（浙江省嘉兴市第一中学期中）已知角的终边与单位圆交于点，则的值为( )A. B. C. D.【答案】B 【解析】由三角函数的定义可得．故选B ．2.已知角的终边在射线上，则等于（ ）A.B.C. D.【答案】A 【解析】由题得在第四象限,且，所以故答案为：A.【总结提升】(1)已知角α的终边在直线上的问题时，常用的解题方法有以下两种：①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值． ②注意到角的终边为射线，所以应分两种情况处理，取射线上任意一点坐标(a ，b )，则对应角的正弦值sin α＝b a 2＋b2，余弦值cos α＝aa 2＋b2，正切值tan α＝ab． (2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论． 高频考点三：三角函数值的符号判定 【典例5】已知且，则角的终边所在的象限是A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 【答案】B【解析】依据题设及三角函数的定义可知角终边上的点的横坐标小于零，纵坐标大于零，所以终边在第二象限，应选答案B.【典例6】确定下列各式的符号： (1)sin105°·cos230°； (2)sin 7π8·tan 7π8；(3)cos6·tan6． 【答案】【解析】先确定角所在象限，进而确定各式的符号． (1)∵105°、230°分别为第二、第三象限角， ∴sin105°>0，cos230°<0． 于是sin105°·cos230°<0． (2)∵π2<7π8<π，∴7π8是第二象限角，则sin 7π8>0，tan 7π8<0． ∴sin 7π8·tan 7π8<0．(3)∵3π2<6<2π，∴6是第四象限角．∴cos6>0，tan6<0，则cos6·tan6<0． 【总结提升】判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定值的符号．如果角不能确定所在象限，那就要进行分类讨论求解． 【变式探究】1.已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－2,3] B ．(－2,3) C ．[－2,3)D ．[－2,3]【答案】A【解析】 ∵00cos ，sin αα≤>，∴角α的终边落在第二象限或y 轴的正半轴上． ∴39020a a ⎧-≤⎨+>⎩∴23－a <≤.故选A.2.(1)判断下列各式的符号： ①sin3·cos4·tan5；②α是第二象限角，sin α·cos α．(2)若cos θ<0且sin θ>0，则θ2是第( )象限角．A ．一B ．三C ．一或三D ．任意象限角【答案】（1）①正，②负；（2）C【解析】 (1)①π2<3<π，π<4<3π2，3π2<5<2π，∴sin3>0，cos4<0，tan5<0，∴sin3·cos4·tan5>0． ②∵α是第二象限角，∴sin α>0，cos α<0，∴sin αcos α<0．(2)由cos θ<0且sin θ>0，知θ是第二象限角，所以θ2是第一或三象限角．高频考点四：扇形的弧长及面积公式【典例7】（2018·湖北高考模拟（理））《九章算术》是中国古代第一部数学专著，成于公元一世纪左右，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就.其中《方田》一章中记载了计算弧田（弧田就是由圆弧和其所对弦所围成弓形）的面积所用的经验公式：弧田面积=（弦×矢＋矢×矢），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为，弦长为的弧田.其实际面积与按照上述经验公式计算出弧田的面积之间的误差为（ ）平方米.（其中，） A ．15 B ．16 C ．17 D ．18【答案】B 【解析】因为圆心角为，弦长为，所以圆心到弦的距离为半径为40，因此根据经验公式计算出弧田的面积为，实际面积等于扇形面积减去三角形面积，为，因此两者之差为，选B.【典例8】（2019·河南高考模拟（理））已知圆O 与直线l 相切于A ，点,P Q 同时从点A 出发，P 沿着直线l 向右、Q 沿着圆周按逆时针以相同的速度运动，当Q 运动到点A 时，点P 也停止运动，连接OQ ，OP （如图），则阴影部分面积1S ，2S 的大小关系是（ ）A ．12S S =B ．12S S ≤C ．12S S ≥D ．先12S S <，再12S S =，最后12S S >【答案】A 【解析】如图所示，因为直线l 与圆O 相切，所以OA AP ⊥， 所以扇形的面积为1122AOQ S AQ r AQ OA =⋅⋅=⋅⋅扇形，12AOP S OA AP ∆=⋅⋅, 因为AQ AP =，所以扇形AOQ 的面积AOP AOQ S S ∆=扇形, 即AOP AOQ AOB AOB S S S S ∆-=-扇形扇形扇形， 所以12S S =，【典例9】已知一扇形的周长为40 cm ，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？【答案】r=10cm, θ＝＝2rad, 100 cm 2【解析】设扇形的圆心角为θ，半径为r ，弧长为l ，面积为S ，则l ＋2r ＝40，∴l ＝40－2r .(0<r <20) ∴S ＝12lr ＝12×(40－2r )r ＝20r －r 2＝－(r －10)2＋100．∴当半径r ＝10 cm 时，扇形的面积最大，最大值为100 cm 2，此时θ＝l r ＝40－2×1010＝2(rad)．【总结提升】1.(1) 弧度制下l ＝|α|·r ，S ＝12lr ，此时α为弧度．扇形面积公式，扇形中弦长公式，扇形弧长公式在角度制下，弧长l ＝n πr 180，扇形面积S ＝n πr 2360，此时n 为角度，它们之间有着必然的联系．(2)在解决弧长、面积及弓形面积时要注意合理应用圆心角所在的三角形．2.当扇形周长一定时，其面积有最大值，最大值的求法是把面积S 转化为r 的函数，函数思想、转化为方程的思想是解决数学问题的常用思想． 【变式探究】1.（2019·甘肃高三月考（理））若一个扇形的周长与面积的数值相等，则该扇形所在圆的半径不可能等于( )A ．5B ．2C ．3D ．4 【答案】B 【解析】因为扇形的周长与面积的数值相等，所以设扇形所在圆的半径为R ，扇形弧长为l ，则lR=2R+l ，所以即是lR=4R+2l ， ∴l=∵l＞0，∴R＞2 故选：B ．2.已知扇形的周长是12，面积是8，则扇形的中心角的弧度数是（ ） A. 1 B. 4 C. 1或4 D. 2或4 【答案】C【解析】设扇形的半径为r ，弧长为 l ，则121282l r S lr +===，，∴解得28r l ==， 或44r l ==， 41lrα==或，故选C ．3.一个扇形的周长为20 cm ，当扇形的圆心角α等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？并求出这个扇形的最大面积．【答案】圆心角α等于2弧度时，这个扇形的最大面积是25 cm 2． 【解析】设扇形的半径为r cm ，则弧长为l ＝(20－2r ) cm ． 由0<l <2πr ，得0<20－2r <2πr ，∴10π＋1<r <10．于是扇形的面积为S ＝12(20－2r )r ＝－(r －5)2＋25(10π＋1<r <10)．当r ＝5时，l ＝10，α＝2，S 取到最大值，此时最大值为25 cm 2．故当扇形的圆心角α等于2弧度时，这个扇形的面积最大，最大面积是25 cm 2． 【特别提醒】应用弧度制解决问题的方法(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度；(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决； (3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．。

第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数[知识能否忆起]1．任意角 (1)角的分类：①按旋转方向不同分为正角、负角、零角． ②按终边位置不同分为象限角和轴线角． (2)终边相同的角：终边与角α相同的角可写成α＋k ·360°(k ∈Z )． (3)弧度制：①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|α|＝lr，l 是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为半径．③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制．比值l r与所取的r 的大小无关，仅与角的大小有关．④弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度． ⑤弧长公式：l ＝|α|r ，扇形面积公式：S 扇形＝12lr ＝12|α|r 2.2．任意角的三角函数 (1)任意角的三角函数定义：设α是一个任意角，角α的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么角α的正弦、余弦、正切分别是：sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x，它们都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数．(2)三角函数在各象限内的符号口诀是：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 3．三角函数线设角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P ，过P 作PM 垂直于x 轴于M .由三角函数的定义知，点P 的坐标为(cos_α，sin_α)，即P (cos_α，sin_α)，其中cos α＝OM ，sin α＝MP ，单位圆与x 轴的正半轴交于点A ，单位圆在A 点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T ，则tan α＝AT .我们把有向线段OM 、MP 、AT 叫做α的余弦线、正弦线、正切线.[小题能否全取]1．－870°的终边在第几象限( ) A ．一 B ．二 C ．三D ．四解析：选C 因－870°＝－2×360°－150°.－150°是第三象限角． 2．已知角α的终边经过点(3，－1)，则角α的最小正值是( ) A.2π3 B.11π6 C.5π6D.3π4解析：选B ∵sin α＝－12＝－12，且α的终边在第四象限，∴α＝116π.3．(教材习题改编)若sin α<0且tan α>0，则α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角D ．第四象限角解析：选C 由sin α<0，知α在第三、第四象限或α终边在y 轴的负半轴上，由tan α>0，知α在第一或第三象限，因此α在第三象限．4．若点P 在2π3角的终边上，且P 的坐标为(－1，y )，则y 等于________．解析：因tan 2π3＝－3＝－y ，∴y ＝ 3.答案： 35．弧长为3π，圆心角为135°的扇形半径为________，面积为________． 解析：弧长l ＝3π，圆心角α＝34π，由弧长公式l ＝α·r 得r ＝lα＝3π34π＝4，面积S ＝12lr ＝6π. 答案：4 6π1.对任意角的理解(1)“小于90°的角”不等同于“锐角”“0°～90°的角”不等同于“第一象限的角”．其实锐角的集合是{α|0°<α<90°}，第一象限角的集合为{α|k ·360°<α<k ·360°＋90°，k ∈Z }．(2)终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同，终边相同的角的同一三角函数值相等．2．三角函数定义的理解三角函数的定义中，当P (x ，y )是单位圆上的点时有sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x ，但若不是单位圆时，如圆的半径为r ，则sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x.典题导入[例1] 已知角α＝45°，(1)在－720°～0°范围内找出所有与角α终边相同的角β；(2)设集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k2×180°＋45°，k ∈Z ，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k4×180°＋45°，k ∈Z ，判断两集合的关系．[自主解答] (1)所有与角α有相同终边的角可表示为： β＝45°＋k ×360°(k ∈Z )， 则令－720°≤45°＋k ×360°<0°，得－765°≤k ×360°<－45°，解得－765360≤k <－45360，从而k ＝－2或k ＝－1，代入得β＝－675°或β＝－315°.(2)因为M ＝{x |x ＝(2k ＋1)×45°，k ∈Z }表示的是终边落在四个象限的平分线上的角的集合；而集合N ＝{x |x ＝(k ＋1)×45°，k ∈Z }表示终边落在坐标轴或四个象限平分线上的角的集合，从而：MN .由题悟法1．利用终边相同角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k 赋值来求得所需角．2．已知角α的终边位置，确定形如k α，π±α等形式的角终边的方法：先表示角α的范围，再写出k α、π±α等形式的角范围，然后就k 的可能取值讨论所求角的终边位置．以题试法1．(1)给出下列四个命题：①－3π4是第二象限角；②4π3是第三象限角；③－400°是第四角限角；④－315°是第一象限角．其中正确的命题有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个(2)如果角α是第二象限角，则π－α角的终边在第________象限．解析：(1)－3π4是第三象限角，故①错误.4π3＝π＋π3，从而4π3是第三象限角正确．－400°＝－360°－40°，从而③正确．－315°＝－360°＋45°，从而④正确．(2)由已知π2＋2k π<α<π＋2k π(k ∈Z )，则－π－2k π<－α<－π2－2k π(k ∈Z )，即－π＋2k π<－α<－π2＋2k π(k ∈Z )，故2k π<π－α<π2＋2k π(k ∈Z )，所以π－α是第一象限角． 答案：(1)C (2)一典题导入[例2] (1)已知角α的终边上有一点P (t ，t 2＋1)(t >0)，则tan α的最小值为( ) A ．1B ．2C.12D. 2(2)(2012·大庆模拟)已知角α的终边上一点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3，cos 2π3，则角α的最小正值为( )A.5π6 B.2π3 C.5π3D.11π6[自主解答] (1)根据已知条件得tan α＝t 2＋1t ＝t ＋1t≥2，当且仅当t ＝1时，tan α取得最小值2.(2)由题意知点P 在第四象限，根据三角函数的定义得cos α＝sin 2π3＝32，故α＝2k π－π6(k ∈Z )，所以α的最小正值为11π6.[答案] (1)B (2)D由题悟法定义法求三角函数值的两种情况(1)已知角α终边上一点P 的坐标，则可先求出点P 到原点的距离r ，然后利用三角函数的定义求解．(2)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后利用三角函数的定义求解相关的问题．若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角α的三角函数值．以题试法2．(1)(2012·东莞调研)已知角α的终边与单位圆的交点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，32，则tan α＝( ) A. 3 B ．± 3 C.33D ．±33(2)(2012·潍坊质检)已知角α的终边经过点P (m ，－3)，且cos α＝－45，则m 等于( )A ．－114B.114C ．－4D ．4解析：(1)选B 由|OP |2＝x 2＋34＝1，得x ＝±12，tan α＝± 3.(2)选C 由题意可知，cos α＝m m 2＋9＝－45， 又m <0，解得m ＝－4.典题导入[例3] (1)已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角．(2)已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大？ [自主解答] (1)设圆心角是θ，半径是r ， 则⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋r θ＝1012θ·r 2＝4⇒⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，θ＝8(舍)，⎩⎪⎨⎪⎧r ＝4，θ＝12，故扇形圆心角为12.(2)设圆心角是θ，半径是r ， 则2r ＋r θ＝40.S ＝12θ·r 2＝12r (40－2r )＝r (20－r )＝－(r －10)2＋100≤100， 当且仅当r ＝10时，S max ＝100.所以当r ＝10，θ＝2时，扇形面积最大．若本例(1)中条件变为：圆弧长度等于该圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数是________．解析：设圆半径为R ，则圆内接正方形的对角线长为2R ， ∴正方形边长为2R ，∴圆心角的弧度数是2RR＝ 2.答案： 2由题悟法1．在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷．2．记住下列公式：①l ＝αR ；②S ＝12lR ；③S ＝12αR 2.其中R 是扇形的半径，l 是弧长，α(0<α<2π)为圆心角，S 是扇形面积．以题试法3．若扇形的面积为定值，当扇形的圆心角为多少弧度时，该扇形的周长取到最小值？ 解：设扇形的圆心角为α，半径为R ，弧长为l ，根据已知条件12lR ＝S 扇，则扇形的周长为：l ＋2R ＝2S 扇R ＋2R ≥4S 扇，当且仅当2S 扇R＝2R ，即R ＝S 扇时等号成立，此时l ＝2S 扇，α＝lR＝2，因此当扇形的圆心角为2弧度时，扇形的周长取到最小值．1．将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是( ) A.π3B.π6C ．－π3D ．－π6解析：选C 将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角． 故A 、B 不正确，又因为拨快10分钟，故应转过的角为圆周的16.即为－16×2π＝－π3.2．已知扇形的周长是6 cm ，面积是2 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是( ) A ．1或4 B ．1 C ．4D ．8解析：选A 设扇形的半径和弧长分别为r ，l ，则易得⎩⎪⎨⎪⎧l ＋2r ＝6，12lr ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧l ＝4r ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧l ＝2，r ＝2.故扇形的圆心角的弧度数是4或1.3．已知角α和角β的终边关于直线y ＝x 对称，且β＝－π3，则sin α＝( )A ．－32B.32C ．－12D.12解析：选D 因为角α和角β的终边关于直线y ＝x 对称，所以α＋β＝2k π＋π2(k∈Z )，又β＝－π3，所以α＝2k π＋5π6(k ∈Z )，即得sin α＝12.4．设θ是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，则θ2是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角解析：选B ∵θ是第三象限角，∴θ2为第二或第四象限角．又∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，∴cos θ2＜0，知θ2为第二象限角．5．(2012·宜春模拟)给出下列各函数值：①sin(－1 000°)；②cos(－2 200°)；③tan(－10)；④sin 7π10cos πtan17π9，其中符号为负的是( )A ．①B ．②C ．③D ．④解析：选C sin(－1 000°)＝sin 80°>0；cos(－2 200°) ＝cos(－40°)＝cos 40°>0；tan(－10)＝tan(3π－10)<0； sin 7π10cos πtan 17π9＝－sin7π10tan17π9，sin 7π10>0，tan 17π9<0，∴原式>0.6．已知sin θ－cos θ>1，则角θ的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选B 由已知得(sin θ－cos θ)2>1,1－2sin θcos θ>1，sin θcos θ<0，且sin θ>cos θ，因此sin θ>0>cos θ，所以角θ的终边在第二象限．7．在直角坐标系中，O 是原点，A (3，1)，将点A 绕O 逆时针旋转90°到B 点，则B 点坐标为__________．解析：依题意知OA ＝OB ＝2，∠AOx ＝30°，∠BOx ＝120°，设点B 坐标为(x ，y )，所以x ＝2cos 120°＝－1，y ＝2sin 120°＝3，即B (－1，3)． 答案：(－1，3)8．若β的终边所在直线经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3π4，sin 3π4，则sin β＝________，tan β＝________.解析：因为β的终边所在直线经过点P ⎝⎛⎭⎪⎫cos 3π4，sin 3π4，所以β的终边所在直线为y ＝－x ，则β在第二或第四象限．所以sin β＝22或－22，tan β＝－1. 答案：22或－22－1 9.如图，角α的终边与单位圆(圆心在原点，半径为1)交于第二象限的点A ⎝⎛⎭⎪⎫cos α，35，则cos α－sin α＝________.解析：由题图知sin α＝35，又点A 在第二象限，故cos α＝－45.∴cos α－sin α＝－75.答案：－7510．一个扇形OAB 的面积是1 cm 2，它的周长是4 cm ，求圆心角的弧度数和弦长AB . 解：设圆的半径为r cm ，弧长为l cm ， 则⎩⎪⎨⎪⎧12lr ＝1，l ＋2r ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝2.∴圆心角α＝lr＝2.如图，过O 作OH ⊥AB 于H .则∠AOH ＝1弧度． ∴AH ＝1·sin 1＝sin 1(cm)， ∴AB ＝2sin 1(cm)．11.如图所示，A ，B 是单位圆O 上的点，且B 在第二象限，C 是圆与x 轴正半轴的交点，A 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45，△AOB 为正三角形．(1)求sin ∠COA ； (2)求cos ∠COB .解：(1)根据三角函数定义可知sin ∠COA ＝45.(2)∵△AOB 为正三角形，∴∠AOB ＝60°， 又sin ∠COA ＝45，cos ∠COA ＝35，∴cos ∠COB ＝cos(∠COA ＋60°) ＝cos ∠COA cos 60°－sin ∠COA sin 60° ＝35·12－45·32＝3－4310. 12．(1)设90°<α<180°，角α的终边上一点为P (x ，5)，且cos α＝24x ，求sin α与tan α的值；(2)已知角θ的终边上有一点P (x ，－1)(x ≠0)，且tan θ＝－x ，求sin θ，cos θ. 解：(1)∵r ＝x 2＋5，∴cos α＝xx 2＋5， 从而24x ＝xx 2＋5， 解得x ＝0或x ＝± 3. ∵90°<α<180°， ∴x <0，因此x ＝－ 3.故r ＝22，sin α＝522＝104，tan α＝5－3＝－153.(2)∵θ的终边过点(x ，－1)， ∴tan θ＝－1x，又tan θ＝－x ，∴x 2＝1，∴x ＝±1. 当x ＝1时，sin θ＝－22，cos θ＝22； 当x ＝－1时，sin θ＝－22，cos θ＝－22.1．(2013·聊城模拟)三角形ABC 是锐角三角形，若角θ终边上一点P 的坐标为(sin A－cos B ，cos A －sin C )，则sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值是( ) A ．1B ．－1C ．3D ．4解析：选B 因为三角形ABC 是锐角三角形，所以A ＋B >90°，即A >90°－B ，则sin A >sin(90°－B )＝cos B ，sin A －cos B >0，同理cos A －sin C <0，所以点P 在第四象限，sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|＝－1＋1－1＝－1. 2．(2012·山东高考)如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P 的位置在(0,0)，圆在x轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于(2,1)时，OP 的坐标为________．解析：设A (2,0)，B (2,1)，由题意知劣弧P A 长为2，∠ABP ＝21＝2.设P (x ，y )，则x ＝2－1×cos ⎝⎛⎭⎪⎫2－π2＝2－sin 2，y ＝1＋1×sin ⎝⎛⎭⎪⎫2－π2＝1－cos 2， ∴OP 的坐标为(2－sin 2,1－cos 2)．答案：(2－sin 2,1－cos 2)3．(1)确定－cos 8·tan 5的符号； (2)已知α∈(0，π)，且sin α＋cos α＝m (0<m <1)，试判断式子sin α－cos α的符号．解：(1)∵－3,5,8分别是第三、第四、第二象限角，∴tan(－3)>0，tan 5<0，cos 8<0，∴原式大于0.(2)若0<α<π2，则如图所示，在单位圆中，OM ＝cos α，MP ＝sin α， ∴sin α＋cos α＝MP ＋OM >OP ＝1.若α＝π2，则sin α＋cos α＝1. 由已知0<m <1，故α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π. 于是有sin α－cos α>0.1．已知点P (sin α－cos α，tan α)在第一象限，则在[0,2π]内，α的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫π2，3π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π，5π4 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π，5π4 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4，3π2 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π 解析：选B 由已知sin α－cos α>0，tan α>0故⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎪⎫π，5π4. 2．已知角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，求sin α，cos α，tan α的值． 解：∵角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，∴在角α的终边上任取一点P (4t ，－3t )(t ≠0)，则x ＝4t ，y ＝－3t ，r ＝x 2＋y 2＝t 2＋－3t 2＝5|t |，当t >0时，r ＝5t ，sin α＝y r ＝－3t 5t ＝－35， cos α＝x r ＝4t 5t ＝45， tan α＝y x ＝－3t 4t ＝－34； 当t <0时，r ＝－5t ，sin α＝y r ＝－3t －5t ＝35， cos α＝x r ＝4t －5t ＝－45， tan α＝y x ＝－3t 4t ＝－34. 综上可知，sin α＝－35，cos α＝45，tan α＝－34； 或sin α＝35，cos α＝－45，tan α＝－34. 3．已知0<α<π2，求证： (1)sin α＋cos α>1；(2)sin α<α<tan α.证明：如图，设α的终边与单位圆交于P 点，作PM ⊥x 轴，垂足为M ，过点A (1,0)作AT ⊥x 轴，交α的终边于T ，则sin α＝MP ，cos α＝OM ，tan α＝AT .(1)在△OMP中，∵OM＋MP>OP，∴cos α＋sin α>1.(2)连接PA，则S△OPA<S扇形OPA<S△OTA，即12OA·MP<12OA·α<12OA·AT，即sin α<α<tan α.。

第一节任意角和弧度制及三角函数的概念【课程标准】1.了解任意角的概念和弧度制;2.能进行弧度与角度的互化;3.借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.【考情分析】考点考法:高考命题常以角为载体,考查扇形的弧长、面积、三角函数的定义;三角函数求值是高考热点,常以选择题或填空题的形式出现.核心素养:数学抽象、数学运算【必备知识·逐点夯实】【知识梳理·归纳】1.角的概念的推广(1)定义:角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形.(2)分类按旋转方向正角、负角、零角按终边位置象限角和轴线角(3)相反角:我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角.角α的相反角记为__-α__.(4)终边相同的角:所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z}.2.弧度制的定义和公式(1)定义:把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角,弧度单位用符号rad表示.(2)公式角α的弧度数公式|α|=l r(弧长用l表示)角度与弧度的换算1°=180rad;1rad=(180)°弧长公式弧长l=|α|r扇形面积公式S=12lr=12|α|r23.任意角的三角函数(1)任意角的三角函数的定义(推广):设P(x,y)是角α终边上异于原点的任意一点,其到原点O的距离为r,则sinα=, cosα=,tanα=(x≠0).(2)三角函数值在各象限内的符号:一全正、二正弦、三正切、四余弦.(3)三角函数的定义域三角函数sinαcosαtanα定义域R R{α|α≠kπ+π2,k∈Z}【基础小题·自测】类型辨析改编易错题号12,341.(多维辨析)(多选题)下列说法正确的是()A.-π3是第三象限角B.若角α的终边过点P(-3,4),则cosα=-35C.若sinα>0,则α是第一或第二象限角D.若圆心角为π3的扇形的弧长为π,则该扇形面积为3π2【解析】选BD.因为-π3是第四象限角,所以选项A错误;由三角函数的定义可知,选项B正确;由sinα>0可知,α是第一或第二象限角或终边在y轴的非负半轴上,所以选项C错误;由扇形的面积公式可知,选项D正确.2.(必修第一册P175练习T1改题型)-660°等于()A.-133πB.-256πC.-113πD.-236π【解析】选C.-660°=-660×π180=-113π.3.(必修第一册P176习题T2改条件)下列与角11π4的终边相同的角的表达式中正确的是()A.2kπ+135°(k∈Z)B.k·360°+11π4(k∈Z)C.k·360°+135°(k∈Z)D.kπ+3π4(k∈Z)【解析】选C.与11π4的终边相同的角可以写成2kπ+3π4(k∈Z)或k·360°+135°(k∈Z),但是角度制与弧度制不能混用,排除A,B,易知D错误,C正确.4.(忽视隐含条件)设α是第二象限角,P(x,8)为其终边上的一点,且sinα=45,则x=()A.-3B.-4C.-6D.-10【解析】选C.因为P(x,8)为其终边上的一点,且sinα=45,所以sinα=45,解得x=±6,因为α是第二象限角,所以x=-6.【巧记结论·速算】α所在象限与2所在象限的关系α所在象限一二三四α2所在象限一、三一、三二、四二、四【即时练】设θ是第三象限角,且|cos2|=-cos2,则2是()A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角【解析】选B.因为θ是第三象限角,所以2的终边落在第二、四象限,又|cos2|= -cos2,所以cos2<0,所以2是第二象限角.【核心考点·分类突破】考点一象限角及终边相同的角[例1](1)(2023·宁波模拟)若α是第二象限角,则()A.-α是第一象限角B.2是第三象限角C.3π2+α是第二象限角D.2α是第三或第四象限角或在y轴负半轴上【解析】选D.因为α是第二象限角,可得π2+2kπ<α<π+2kπ,k∈Z,对于A,可得-π-2kπ<-α<-π2-2kπ,k∈Z,此时-α位于第三象限,所以A错误;对于B,可得π4+kπ<2<π2+kπ,k∈Z,当k为偶数时,2位于第一象限;当k为奇数时,2位于第三象限,所以B错误;对于C,可得2π+2kπ<3π2+α<5π2+2kπ,k∈Z,即2(k+1)π<3π2+α<π2+2(k+1)π,k∈Z,所以3π2+α位于第一象限,所以C错误;对于D,可得π+4kπ<2α<2π+4kπ,k∈Z,所以2α是第三或第四象限角或在y轴负半轴上,所以D正确.(2)在-720°~0°内所有与45°终边相同的角为-675°和-315°.【解析】所有与45°终边相同的角可表示为β=45°+k×360°(k∈Z),当k=-1时,β=45°-360°=-315°,当k=-2时,β=45°-2×360°=-675°.【解题技法】1.知α确定kα,(k∈N*)的终边位置的步骤(1)写出kα或的范围;(2)根据k的可能取值确定kα或的终边所在位置.2.求适合某些条件的角的方法(1)写出与这个角的终边相同的角的集合;(2)依据题设条件,确定参数k的值,得出结论.【对点训练】已知角θ在第二象限,且|sin2|=-sin2,则角2在()A.第一象限或第三象限B.第二象限或第四象限C.第三象限D.第四象限【解析】选C.因为角θ是第二象限角,所以θ∈(π2+2kπ,π+2kπ),k∈Z,所以2∈(π4+kπ,π2+kπ),k∈Z,所以角2在第一或第三象限.又|sin2|=-sin2,所以sin2<0,所以角2在第三象限.考点二弧度制及其应用[例2]已知扇形的圆心角是α,半径为R,弧长为l.(1)若α=π3,R=10cm,求扇形的弧长l.(2)(一题多法)若扇形的周长是16cm,当扇形的圆心角为多少弧度时,这个扇形的面积最大?(3)若α=π3,R=2cm,求扇形的弧所在的弓形的面积.【解析】(1)因为α=π3,R=10cm,所以l=|α|R=π3×10=10π3(cm).(2)方法一:由题意知2R+l=16,所以l=16-2R(0<R<8),则S=12lR=12(16-2R)R=-R2+8R=-(R-4)2+16,当R=4cm时,S max=16cm2,l=16-2×4=8(cm),α==2,所以S的最大值是16cm2,此时扇形的半径是4cm,圆心角α=2rad.方法二:S=12lR=14l·2R≤14·(r22)2=16,当且仅当l=2R,即R=4cm时,S的最大值是16cm2.此时扇形的圆心角α=2rad.(3)设弓形面积为S弓形,由题意知l=2π3cm,所以S弓形=12×2π3×2-12×22×sinπ3=(2π3-3)cm2.【解题技法】应用弧度制解决问题时的注意事项(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时,要注意角的单位必须是弧度.(2)求扇形面积最大值的问题时,常转化为基本不等式或二次函数的最值问题.(3)在解决弧长和扇形面积问题时,要合理地利用圆心角所在的三角形.【对点训练】若扇形的周长是16cm,圆心角是360π度,则扇形的面积(单位cm2)是16.【解析】设扇形的半径为r cm,圆心角弧度数为α=360π·π180=2,所以αr+2r=16即4r=16,所以r=4,所以S=12αr2=12×2×16=16.答案:【加练备选】已知弧长为60cm的扇形面积是240cm2,求:(1)扇形的半径;(2)扇形圆心角的弧度数.【解析】设扇形的弧长为l,半径为r,面积为S,圆心角为α.(1)由题意得S=12lr=12×60r=240,解得r=8(cm),即扇形的半径为8cm.(2)α==608=152,所以扇形圆心角的弧度数为152rad.考点三三角函数的定义及应用【考情提示】三角函数的定义主要考查利用定义求三角函数值及三角函数值符号的应用,常与三角函数求值相结合命题,题目多以选择题、填空题形式出现.角度1利用定义求三角函数值[例3](1)已知角α的终边经过点P(2,-3),则sinα=-31313,tanα=-32.【解析】因为x=2,y=-3,所以点P到原点的距离r=22+(-3)2=13.则sinα===-31313,tanα==-32.(2)若角60°的终边上有一点A(4,a),则a=43.【解析】由题设知:tan60°=4=3,即a=43.角度2三角函数值的符号[例4](1)若sinαtanα<0,且cos tan>0,则角α是()A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角【解析】选B.由sinαtanα<0,知α是第二象限或第三象限角,由cos tan>0,知α是第一象限或第二象限角,所以角α是第二象限角.(2)sin2cos3tan4的值()A.小于0B.大于0C.等于0D.不存在【解析】选A.因为π2<2<3<π<4<3π2,所以sin2>0,cos3<0,tan4>0.所以sin2cos3tan4<0.【解题技法】与三角函数定义有关的解题策略(1)利用三角函数的定义,已知角α终边上一点P的坐标,可以求出α的三角函数值;已知角α的三角函数值,也可以求出点P的坐标.(2)利用角所在的象限判定角的三角函数值的符号时,特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况.【对点训练】1.(多选题)设△ABC的三个内角分别为A,B,C,则下列各组数中有意义且均为正值的是()A.tan A与cos BB.cos B与sin CC.tan2与cos2D.tan2与sin C【解析】选CD.因为A,B的范围不确定,所以A选项不满足条件;cos B与sin C都有意义,但cos B不一定为正值,故B选项不满足条件;因为B,C∈(0,π),所以2,2∈(0,π2),所以C选项满足条件;因为0<A<π,所以0<2<π2,所以tan2>0,又因为0<C<π,所以sin C>0,故D选项满足条件.2.已知角θ的终边经过点(2a+1,a-2),且cosθ=35,则实数a的值是()A.-2B.211C.-2或211D.1【解析】选B.由题设可知=35且2a+1>0,即a>-12,所以42+4r152+5=925,则11a2+20a-4=0,解得a=-2或a=211,又a>-12,所以a=211.【加练备选】已知角α的终边上一点P的坐标为(sin5π6,cos5π6),则角α的最小正值为5π3.【解析】因为sin5π6>0,cos5π6<0,所以角α的终边在第四象限,根据三角函数的定义,可知sinα=cos5π6=-32,故角α的最小正值为α=2π-π3=5π3.。

第三章三角函数、解三角形第1讲任意角和弧度制及任意角的三角函数[考纲解读］1。

了解任意角的概念及弧度制的概念,能进行弧度与角度的互化．(重点)2.理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，并能熟练运用基本知识与基本技能、转化与化归思想等．(重点、难点)[考向预测］从近三年高考情况来看，本讲内容属于基础考查范围．预测2021年高考会考查三角函数的定义、根据终边上点的坐标求三角函数值或根据三角函数值求参数值．常以客观题形式考查，属中、低档试题.1．任意角的概念（1)定义:角可以看成平面内的一条射线绕着错误!端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)角的分类（3）终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内,可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°,k∈Z｝．2．弧度制的定义和公式（1)定义：把长度等于错误!半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0。

(2)公式3．任意角的三角函数定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y）,那么sinα＝错误!y,cosα＝错误!x，tanα＝错误!错误!.1．概念辨析（1）锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角．()（2）角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关．()（3)不相等的角终边一定不相同．（）（4)三角形的内角必是第一、第二象限角．(）答案（1）×（2）√（3）×(4）×2．小题热身(1)下列与错误!的终边相同的角的表达式中正确的是(）A．2kπ＋45°(k∈Z）B．k·360°＋错误!（k∈Z）C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋5π4（k∈Z）答案C解析角度制与弧度制不能混用,排除A,B；因为错误!＝2π＋π4，所以与错误!终边相同的角可表示为k·360°＋45°(k∈Z)或k·360°－315°等，故选C。

4.1 任意角、弧度制及任意角的三角函数考纲索引1.任意角的概念.2.弧度与角度的互化.3.任意角的三角函数.教学目标1.了解任意角的概念.2.了解弧度制的概念,能进行弧度与角度的互化.3.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.知识梳理1.任意角(1)角的概念的推广①按旋转方向不同分为、、.②按终边位置不同分为和.(2)终边相同的角终边与角α相同的角可写成_______2.弧度与角度的互化(1)1弧度的角长度等于长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角,用符号rad表示.(2)角α的弧度数如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l,那么角α的弧度数的绝对值是|α|= ______.(3)角度与弧度的换算①1°=rad;②1rad=180π︒⎛⎫⎪⎝⎭(4)扇形的弧长、面积公式设扇形的弧长为l,圆心角大小为α(rad),半径为r,则l=rα,扇形的面积为S= =.3.任意角的三角函数(1)定义:设角α的终边与单位圆交于P(x,y),则sinα=,cosα=,tanα= (x≠0).(2)几何表示:三角函数线可以看作是三角函数的几何表示.三角函数线(Ⅰ) (Ⅱ) (Ⅲ) (Ⅳ)有向线段为正弦线;有向线段为余弦线;有向线段为正切线基础自测1.下列与94π的终边相同的角的关系式中正确的是().2.若sinα<0且tanα>0,则α是().A. 第一象限角B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角3.已知角α的终边上一点A(2,2),则α的大小为().4.已知角α的终边经过点P(-x,-6),且5cos13α=-,则x的值为.5.弧长为3π,圆心角为135°的扇形半径为,面积为.指点迷津◆一条规律三角函数值在各象限的符号规律概括为:一全正、二正弦、三正切、四余弦.◆两个技巧(1)在利用三角函数定义时,点P可取终边上任一点,如有可能则取终边与单位圆的交点,|OP|=r一定是正值.(2)在解简单的三角不等式时,利用单位圆及三角函数线是一个小技巧.◆三个注意(1)注意易混概念的区别:第一象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角,第一类是象限角,第二类、第三类是区间角.(2)角度制与弧度制可利用180°=πrad进行互化,在同一个式子中,采用的度量制度必须一致,不可混用,不可写α=2kπ+60°,k∈Z.(3)注意熟记0°~360°间特殊角的弧度表示,以方便解题.◆四个公式(1)与α终边相同的角度公式(2)角的弧度数(弧长公式)(3)扇形面积公式(4)三角函数定义公式考点透析考向一角的概念及表示例1(1)如果α是第三象限的角,那么-α,2α的终边落在何处?(2)写出终边在直线上的角的集合.『审题视点』利用象限角及终边相同的角的表示方法求角.『课堂记录』『方法总结』(1)利用终边相同的角的集合S={β|β=2kπ+α,k∈Z}判断一个角β所在的象限时,只需把这个角写成『0,2π)范围内的一个角α与2π的整数倍的和,然后判断角α的象限.(2)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角,方法是先写出这个角的终边相同的所有角的集合,然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需角.变式训练1.若角θ的终边与角的终边相同,求在『0,2π)内终边与角的终边相同的角.考向二三角函数的定义例2已知角θ的终边经过点P(-,m)(m≠0)且sinθ=,试判断角θ所在的象限,并求cosθ和tanθ的值.『审题视点』根据三角函数定义求m,再求cosθ和tanθ.『方法总结』1.三角函数定义的理解在直角坐标系xOy中,设P(x,y)是角α终边上任意一点,且|PO|=r,则.2.定义法求三角函数值的两种情况(1)已知角α终边上一点P的坐标,则可先求出点P到原点的距离r,然后利用三角函数的定义求解.(2)已知角α的终边所在的直线方程,则可先设出终边上一点的坐标,求出此点到原点的距离,然后利用三角函数的定义求解相关的问题.若直线的倾斜角为特殊角,也可直接写出角α的三角函数值.变式训练2.角α终边上一点P(4m,-3m)(m≠0),则2sinα+cosα的值为.考向三弧度制的应用例3已知半径为10的圆O中,弦AB的长为10.(1)求弦AB所对的圆心角α的大小;(2)求α所在的扇形弧长l及弧所在的弓形的面积S.『审题视点』△AOB是等边三角形,∠AOB=60°,S弓=S扇-S△AOB.『方法总结』(1)引进弧度制后,实现了角度与弧度的相互转化,在弧度制下可以应用弧长公式:l=r|α|,扇形面积公式:S=lr=r2|α|,求弧长和扇形的面积.(2)应用上述公式时,要先把角统一用弧度制表示.利用弧度制比角度制解题更为简捷、方便.变式训练3.已知扇形周长为40,当它的半径和圆心角取何值时,才使扇形面积最大?考向四三角函数线及应用例4在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围.并由此写出角α的集合:『审题视点』作出满足的角的终边,然后根据已知条件确定角α终边的范围.『方法总结』利用单位圆解三角不等式(组)的一般步骤是:(1)用边界值写出角的终边位置;(2)根据不等式(组)定出角的范围;(3)求交集,找单位圆中公共的部分;(4)写出角的关系式.变式训练4.求函数y=lg(3-4sin2x)的定义域.经典考题典例已知角θ的终边上一点P(3a,4a)(a≠0),求角θ的正弦、余弦和正切值.真题体验1. (2014·全国大纲)已知角α的终边经过点(-4,3),则cosα等于().2.若tanα>0,则().A. sinα>0B. cosα>0C. sin2α>0D. cos2α>0答案知识梳理1. (1) ①正角负角零角②象限角轴线角(2) α+k·360°(k∈Z)或α+k·2π (k∈Z)2. (1) 半径3. (1) y x(2) MP OM AT基础自测1. C2. C3. C4.5. 46π考点透析所以角-α的终边在第二象限.所以角2α的终边在第一、二象限及y轴的非负半轴.(2) 在(0, π)内终边在直线上的角是,所以终边在直线上的角的集合为.『例4』(1) 作直线交单位圆于A, B两点,连接OA, OB,则OA与OB围成的区域(图(1)中阴影部分)即为角α的终边的范围,故满足条件的角α的集合为.(1) (2)(2) 作直线交单位圆于C, D两点,连接OC, OD,则OC与OD围成的区域(图(2)中阴影部分)即为角α终边的范围,故满足条件的角α的集合为.变式训练4. (1) 因为3-4sin2x>0, 所以sin2x<, 所以.利用三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影部分所示),所以(k∈Z).(第4题)经典考题真题体验1. D『解析』根据题意, .2. C『解析』因为,所以选C.。

富县高级中学集体备课教案年级：高三(文) 科目：数学授课人:1审核人签字:3年级：高三(文) 科目：数学授课人:富县高级中学集体备课教案5审核人签字：年月日富县高级中学集体备课教案年级：高三(文) 科目：数学授课人:7审核人签字：年月日富县高级中学集体备课教案年级：高三(文) 科目：数学授课人:9审核人签字：年月日富县高级中学集体备课教案年级：高三(文) 科目：数学授课人:COS a ；(4)sin a± e os 2sin a±n .4.函数f( a=) acos oF bsin a (a b 为常数),可化为 f( a 寸 a2+ b2 sin( a f( e) a2+ b2 cos(方$)其中$可由a , b 的值唯一确定.二：题型归类 深度剖析 题型一：三角函数式的化简与求值1 t a【例1】(1)化简：+ atan 2tanz9, sin a 3 = I ，求 cos( a B 的值.题型三：三角函数的给值求角1 II【例I 】 已知cos %=-，cos(尸3 e —,且O v 37 14v aV n ，求 3.题型四：三角变换的综合应用1【例4】 已知f(x) =1 + sin2x —tanxn n2sin x + 4 sin x — 4 .(1) 若 tan = 2，求 f( 0的值； (2) 若 x €，n ，求f(x)的取值范围.归纳小结：(1) 拆角、拼角技巧：2 a= ( aF 3F ( — 3，a= ( a、a+ 3 a — 3 a — 3 3 a+ 3— 3 3= 2 - 2 ， 2 = a+ 2 - 2F 3 .(2) 化简技巧：切化弦， “1的代换等.a-• 1 + tan (2)求值：［2si n50 ° +sinlO (°tanlO ° \2sin280题型二：三角函数的给值求值 n【例2】已知0V 3V 2< aVn,且 cos a —㊁审核人签字：年月日富县高级中学集体备课教案年级：高三(文) 科目：数学授课人:过程1(3) S = 尹 + b+ c)(r为内切圆半径).1(4) 设p = 2(a+ b + c),则S=寸p p—a p —b p—c .4•解二角形问题一般可用以下几步解答：第一步：利用正弦定理或余弦定理实现边角互化(本题为边化角)第二步：三角变换、化简、消兀，从而向已知角(或边)转化第三步：代入求值第四步：反思回顾，查看关键点，易错点，如本题中公式应用是否正确二：题型归类深度剖析题型一：利用正弦定理解三角形【例1 】在厶ABC 中，a=^/3, b=^, B = 45° 求A, C 和边c.题型二：利用余弦定理解三角形【例2】在厶ABC中，a、b、c分别是角A、B、cosB bC的对边，且cosC=—2a+ c.(1) 求角B的大小；(2) 若b =浙3, a+ c= 4,求厶ABC的面积. 题型三：正弦定理、余弦定理的综合应用【例3】已知a, b, c分别为△ ABC三个内角A, B , C 的对边，acosC+Q3asinC—b—c = 0.(1) 求A;(2) 若a= 2,A ABC的面积为寸3,求b, c.归纳小结：(1)已知两边及一边的对角，利用正弦定理求其他边或角•可能有一解、两解、无解.(2)判定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换.审核人签字:富县高级中学集体备课教案年级：高三(文) 科目：数学授课人:审核人签字：年月日。