湖南省长沙一中2020-2021学年高一上学期第一次阶段性检测数学试卷 Word版含答案

2020-2021长沙市高中必修一数学上期中试卷附答案一、选择题1．已知集合{}{}2|320,,|05,A x x x x R B x x x N =-+=∈=<<∈，则满足条件A CB ⊆⊆的集合C 的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42．函数2y 34x x =--+的定义域为（ ）A ．(41)--，B ．(41)-，C ．(11)-，D ．(11]-， 3．函数tan sin tan sin y x x x x =+--在区间（2π，32π）内的图象是( ) A ． B ．C ．D ．4．不等式()2log 231a x x -+≤-在x ∈R 上恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)2,+∞B ．(]1,2C ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦5．设()(),0121,1x x f x x x ⎧<<⎪=⎨-≥⎪⎩,若()()1f a f a =+,则1f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A ．2B ．4C ．6D ．86．若函数2()sin ln(14f x x ax x =⋅+的图象关于y 轴对称，则实数a 的值为（ ） A ．2B ．2±C ．4D ．4±7．三个数20.420.4,log 0.4,2a b c ===之间的大小关系是（ ）A ．a c b <<B ．b a c <<C ．a b c <<D ．b c a <<8．已知函数y=f （x ）定义域是[-2，3]，则y=f （2x-1）的定义域是（ ） A ．50,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[]1,4-C ．1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[]5,5-9．已知函数2()2f x ax bx a b =++-是定义在[3,2]a a -的偶函数,则()()f a f b +=（ ） A ．5 B ．5-C ．0D ．201910．函数sin21cos xy x=-的部分图像大致为A ．B ．C ．D ．11．定义在R 上的奇函数()f x 满足()1(2)f x f x +=-，且在()0,1上()3xf x =，则()3log 54f =（ ）A ．32B ．23-C ．23D ．32-12．函数()2log ,0,2,0,x x x f x x ⎧>=⎨≤⎩则函数()()()2384g x f x f x =-+的零点个数是（ ）A ．5B ．4C ．3D ．6二、填空题13．已知函数241,0()3,0x x x x f x x ⎧--+≤=⎨>⎩，则函数(())3f f x =的零点的个数是________.14．函数()22()log 23f x x x =+-的单调递减区间是______． 15．已知函数2,()24,x x mf x x mx m x m⎧≤=⎨-+>⎩ 其中0m >，若存在实数b ，使得关于x 的方程f （x ）=b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________________.16．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋4)＝f (x －2)．若当x ∈[－3,0]时，f (x )＝6－x ，则f (919)＝________.17．已知函数()()212log 22f x mx m x m ⎡⎤=+-+-⎣⎦，若()f x 有最大值或最小值，则m的取值范围为______．18．已知函数()log (4)a f x ax =-（0a >，且1a ≠）在[0,1]上是减函数，则a 取值范围是_________．19．定义在[3,3]-上的奇函数()f x ，已知当[0,3]x ∈时，()34()x x f x a a R =+⋅∈，则()f x 在[3,0]-上的解析式为______．20．已知312ab +=a b =__________. 三、解答题21．已知函数()()221+0g x ax ax b a =-+>在区间[2,3]上有最大值4和最小值1.(1)求a 、b 的值； (2)设()()2g x f x x =-，若不等式()0f x k ->在x ∈(]2,5上恒成立，求实数k 的取值范围．22．已知函数()2(0,)af x x x a R x=+≠∈. （1）判断()f x 的奇偶性；（2）若()f x 在[)2,+∞是增函数，求实数a 的范围. 23．设全集U=R ，集合A={x|1≤x ＜4}，B={x|2a≤x ＜3-a}．（1）若a=-2，求B∩A ，B∩(∁U A)；（2）若A∪B=A ，求实数a 的取值范围． 24．已知函数()f x 的定义域是(0,)+∞，且满足()()()f xy f x f y =+，1()12f =，如果对于0x y <<，都有()()f x f y >． （1）求()1f 的值；（2）解不等式()(3)2f x f x -+-≥-. 25．已知函数2()log (0,1)2axf x a a x-=>≠+. （Ⅰ）当a=3时，求函数()f x 在[1,1]x ∈-上的最大值和最小值；（Ⅱ）求函数()f x 的定义域，并求函数2()()(24)4f x g x ax x a=--++的值域．（用a 表示）26．已知全集U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |1≤x ≤5，x ∈Z}，C ＝{x |2<x <9，x ∈Z}．求 (1)A ∪(B ∩C )；(2)(∁U B )∪(∁U C )．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】 【详解】求解一元二次方程，得{}()(){}2|320,|120,A x x x x x x x x =-+=∈=--=∈R R {}1,2=，易知{}{}|05,1,2,3,4B x x x =<<∈=N .因为A C B ⊆⊆，所以根据子集的定义， 集合C 必须含有元素1,2，且可能含有元素3,4， 原题即求集合{}3,4的子集个数，即有224=个，故选D. 【点评】本题考查子集的概念，不等式，解一元二次方程.本题在求集合个数时，也可采用列举法.列出集合C 的所有可能情况，再数个数即可.来年要注意集合的交集运算，考查频度极高.2．C解析：C 【解析】要使函数有意义，需使210{340x x x +>--+>，即1{41x x >--<<，所以1 1.x -<< 故选C3．D解析：D 【解析】解：函数y=tanx+sinx-|tanx-sinx|=2tan ,tan sin {2sin ,tan sin x x x x x x<≥分段画出函数图象如D 图示， 故选D ．4．C解析：C 【解析】 【分析】由()2223122-+=-+≥x x x 以及题中的条件，根据对数函数的单调性性，对a 讨论求解即可. 【详解】由()2log 231a x x -+≤-可得()21log 23log -+≤a ax x a， 当1a >时，由()2223122-+=-+≥x x x 可知2123-+≤x x a无实数解，故舍去； 当01a <<时，()2212312-+=-+≥x x x a在x ∈R 上恒成立，所以12a ≤，解得112a ≤<. 故选：C 【点睛】本题主要考查对数函数的单调性，涉及到复合函数问题，属于中档题.5．C解析：C 【解析】由1x ≥时()()21f x x =-是增函数可知,若1a ≥,则()()1f a f a ≠+,所以01a <<,由()(+1)f a f a =2(11)a =+-,解得14a =,则1(4)2(41)6f f a ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭,故选C. 【名师点睛】求分段函数的函数值,首先要确定自变量的范围,然后选定相应关系式，代入求解；当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时,应根据每一段解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围．6．B解析：B 【解析】 【分析】根据图象对称关系可知函数为偶函数，得到()()f x f x =-，进而得到ax +=.【详解】()f x Q 图象关于y 轴对称，即()f x 为偶函数 ()()f x f x ∴=-即：()sin ln sin lnsin lnx ax x ax x ⋅+=-⋅=⋅ax ∴+=恒成立，即：222141x a x +-=24a ∴=，解得：2a =±本题正确选项：B 【点睛】本题考查根据函数的奇偶性求解参数值的问题，关键是能够明确恒成立时，对应项的系数相同，属于常考题型.7．B解析：B 【解析】20.4200.41,log 0.40,21<<Q ,01,0,1,a b c b a c ∴<<∴<<，故选B.8．C解析：C 【解析】∵函数y =f (x )定义域是[−2,3]， ∴由−2⩽2x −1⩽3， 解得−12⩽x ⩽2， 即函数的定义域为1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，本题选择C 选项.9．A解析：A 【解析】 【分析】根据函数f （x ）＝ax 2+bx +a ﹣2b 是定义在[a ﹣3，2a ]上的偶函数，即可求出a ，b ，从而得出f （x ）的解析式，进而求出f （a ）+f （b ）的值． 【详解】∵f （x ）＝ax 2+bx +a ﹣2b 是定义在[a ﹣3，2a ]上的偶函数； ∴0320b a a =⎧⎨-+=⎩；∴a ＝1，b ＝0； ∴f （x ）＝x 2+2；∴f （a ）+f （b ）＝f （1）+f （0）＝3+2＝5． 故选：A ． 【点睛】本题考查偶函数的定义，偶函数定义域的对称性，已知函数求值的方法．10．C解析：C 【解析】由题意知，函数sin 21cos xy x =-为奇函数，故排除B ；当πx =时，0y =，故排除D ；当1x =时，sin 201cos 2y =>-，故排除A ．故选C ． 点睛:函数图像问题首先关注定义域，从图像的对称性，分析函数的奇偶性，根据函数的奇偶性排除部分选择项，从图像的最高点、最低点，分析函数的最值、极值，利用特值检验，较难的需要研究单调性、极值等，从图像的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．11．D解析：D 【解析】 【分析】由题意结合函数的性质整理计算即可求得最终结果. 【详解】由题意可得：()354f log =()3log 23f +， 则()354f log =()31log 21f -+，且()()331log 21log 21f f +=--，由于()3log 211,0-∈-，故()()31log 2333log 211log 232f f --=--=-=-，据此可得：()()3312log 21log 213f f +=-=-，()354f log =32-.本题选择D 选项. 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，函数的周期性及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12．A解析：A 【解析】 【分析】通过对()g x 式子的分析，把求零点个数转化成求方程的根，结合图象，数形结合得到根的个数，即可得到零点个数． 【详解】 函数()()()2384g x f x f x =-+=()()322f x f x --⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦的零点即方程()23f x =和()2f x =的根， 函数()2log ,0,2,0x x x f x x ⎧>=⎨≤⎩的图象如图所示：由图可得方程()23f x =和()2f x =共有5个根， 即函数()()()2384g x f x f x =-+有5个零点,故选：A . 【点睛】本题考查函数的零点与方程的根的个数的关系，注意结合图象，利用数形结合求得结果时作图很关键，要标准．二、填空题13．4【解析】【分析】根据分段函数的解析式当时令则解得当时做出函数的图像即可求解【详解】当时令则解得当时令得作出函数的图像由图像可知与有两个交点与有一个交点则的零点的个数为4故答案为：4【点睛】本题考查解析：4 【解析】 【分析】根据分段函数的解析式当0x ≤时，令()3f x =，则2413x x --+=，解得22x =-±0x >时，()31xf x =>，1x =，做出函数()f x ，1,22,22y y y ==-=--.【详解】Q 241,0()3,0x x x x f x x ⎧--+≤=⎨>⎩，∴当0x ≤时，()()2241255f x x x x =--+=-++≤，令()3f x =，则2413x x --+=， 解得22x =-±1220,4223,-<-+<-<--当0x >时，()31xf x =>，令()3f x =得1x =，作出函数()f x ，1,22,22y y y ==-=--由图像可知，()f x 与1y =有两个交点，与22y =-+ 则(())3f f x =的零点的个数为4. 故答案为：4 【点睛】本题考查了分段函数的零点个数，考查了数形结合的思想，属于基础题.14．【解析】设（）因为是增函数要求原函数的递减区间只需求（）的递减区间由二次函数知故填解析：()-3∞-，【解析】设2log y t =，223t x x =+-，（0t >）因为2log y t =是增函数，要求原函数的递减区间，只需求223t x x =+-（0t >）的递减区间，由二次函数知(,3)x ∈-∞-，故填(,3)x ∈-∞-．15．【解析】试题分析：由题意画出函数图象如下图所示要满足存在实数b 使得关于x 的方程f （x ）=b 有三个不同的根则解得故m 的取值范围是【考点】分段函数函数图象【名师点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质函数解析：()3+∞，【解析】试题分析：由题意画出函数图象如下图所示，要满足存在实数b ，使得关于x 的方程f （x ）=b 有三个不同的根，则24m m m -<，解得3m >，故m 的取值范围是(3,)+∞.【考点】分段函数，函数图象【名师点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质、函数与方程、分段函数的概念.解答本题，关键在于能利用数形结合思想，通过对函数图象的分析，转化得到代数不等式.本题能较好地考查考生数形结合思想、转化与化归思想、基本运算求解能力等.16．6【解析】【分析】先求函数周期再根据周期以及偶函数性质化简再代入求值【详解】由f(x+4)=f(x-2)可知是周期函数且所以【点睛】本题考查函数周期及其应用考查基本求解能力解析：6 【解析】 【分析】先求函数周期，再根据周期以及偶函数性质化简()()9191f f =-，再代入求值. 【详解】由f (x +4)=f (x -2)可知,()f x 是周期函数,且6T =,所以()()()919615311f f f =⨯+=()16f =-=.【点睛】本题考查函数周期及其应用，考查基本求解能力.17．或【解析】【分析】分类讨论的范围利用对数函数二次函数的性质进一步求出的范围【详解】解：∵函数若有最大值或最小值则函数有最大值或最小值且取最值时当时由于没有最值故也没有最值不满足题意当时函数有最小值没解析：{|2m m >或2}3m <- 【解析】 【分析】分类讨论m 的范围，利用对数函数、二次函数的性质，进一步求出m 的范围. 【详解】解：∵函数()()212log 22f x mx m x m ⎡⎤=+-+-⎣⎦，若()f x 有最大值或最小值，则函数2(2)2y mx m x m =+-+-有最大值或最小值，且y 取最值时，0y >.当0m =时，22y x =--，由于y 没有最值，故()f x 也没有最值，不满足题意.当0m >时，函数y 有最小值，没有最大值，()f x 有最大值，没有最小值.故y 的最小值为24(2)(2)4m m m m ---，且 24(2)(2)04m m m m--->， 求得 2m >；当0m <时，函数y 有最大值，没有最小值，()f x 有最小值，没有最大值. 故y 的最大值为24(2)(2)4m m m m ---，且 24(2)(2)04m m m m--->， 求得23m <-. 综上，m 的取值范围为{|2m m >或2}3m <-. 故答案为：{|2m m >或2}3m <-. 【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，二次函数、对数函数的性质，二次函数的最值，属于中档题. 18．；【解析】【分析】分为和两种情形分类讨论利用复合函数的单调性结合对数函数的性质求出取值范围【详解】∵函数（且）在上是减函数当时故本题即求在满足时函数的减区间∴求得当时由于是减函数故是增函数不满足题意 解析：(1,4)；【解析】【分析】分为1a >和01a <<两种情形分类讨论，利用复合函数的单调性，结合对数函数的性质求出a 取值范围．【详解】∵函数()log (4)a f x ax =-（0a >，且1a ≠）在[0,1]上是减函数，当1a >时，故本题即求4t ax =-在满足0t >时，函数t 的减区间，∴40a ->，求得14a <<，当01a <<时，由于4t ax =-是减函数，故()f x 是增函数，不满足题意，综上可得a 取值范围为(1,4)，故答案为：(1,4)．【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，对数函数，理解“同增异减”以及注意函数的定义域是解题的关键，属于中档题．19．f （x ）＝4﹣x ﹣3﹣x 【解析】【分析】先根据计算再设代入函数利用函数的奇偶性得到答案【详解】定义在﹣33上的奇函数f （x ）已知当x∈03时f（x ）＝3x+a4x （a∈R）当x ＝0时f （0）＝0解得解析：f （x ）＝4﹣x ﹣3﹣x【解析】【分析】先根据()00f =计算1a =-，再设30x ≤≤﹣ ，代入函数利用函数的奇偶性得到答案.【详解】定义在[﹣3，3]上的奇函数f （x ），已知当x ∈[0，3]时，f （x ）＝3x +a 4x （a ∈R ）， 当x ＝0时，f （0）＝0，解得1+a ＝0，所以a ＝﹣1．故当x ∈[0，3]时，f （x ）＝3x ﹣4x ．当﹣3≤x ≤0时，0≤﹣x ≤3，所以f （﹣x ）＝3﹣x ﹣4﹣x ，由于函数为奇函数，故f （﹣x ）＝﹣f （x ），所以f （x ）＝4﹣x ﹣3﹣x .故答案为：f （x ）＝4﹣x ﹣3﹣x【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性求函数解析式，属于常考题型.20．3【解析】【分析】首先化简所给的指数式然后结合题意求解其值即可【详解】由题意可得：【点睛】本题主要考查指数幂的运算法则整体数学思想等知识意在考查学生的转化能力和计算求解能力解析：3【解析】【分析】首先化简所给的指数式，然后结合题意求解其值即可.【详解】1321223333a b a b a a b +-+====.【点睛】本题主要考查指数幂的运算法则，整体数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 三、解答题21．（1）1,0a b ==；（2）4k <.【解析】【分析】（1）函数()g x 的对称轴方程为1x =，开口向上，则在[]2,3上单调递增，则可根据最值列出方程，可解得,a b 的值.(2)由题意只需()min k f x <，则只需要求出()f x 在(]2,5上的最小值，然后运用基本不等式求最值即可.【详解】解：（1）()g x Q 开口方向向上，且对称轴方程为 1x =，()g x ∴在[]2,3上单调递增()()()()min max2441139614g x g a a b g x g a a b ⎧==-++=⎪∴⎨==-++=⎪⎩. 解得1a =且0b =.（2）()0f x k ->Q 在(]2,5x ∈上恒成立所以只需()min k f x <.有（1）知()()2211112222242222x x f x x x x x x x x -+==+=-++≥-⋅+=---- 当且仅当122x x -=-，即3x =时等号成立. 4k ∴<.【点睛】本题考查二次函数的最值的求法，注意讨论对称轴和区间的位置关系，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和基本不等式的应用，属于中档题. 22．（1）当时，为偶函数，当时，既不是奇函数，也不是偶函数,；（2）(16]-∞，. 【解析】 【分析】【详解】（1）当时，，对任意(0)(0)x ∈-∞+∞U ，，，，为偶函数． 当时，2()(00)a f x x a x x =+≠≠，， 取，得(1)(1)20(1)(1)20f f f f a -+=≠--=-≠，， (1)(1)(1)(1)f f f f ∴-≠--≠，，函数既不是奇函数，也不是偶函数．（2）设122x x ≤<， ，要使函数在[2)x ∈+∞，上为增函数，必须恒成立． 121204x x x x -<>Q ，，即恒成立．又，．的取值范围是(16]-∞，． 23．（1）B ∩A =[1，4），B ∩(∁U A )= [-4,1)∪[4,5)；（2）1[,)2+∞ .【解析】【分析】(1)利用补集的定义求出A 的补集,然后根据交集的定义求解即可直接求解即可；(2 )分类讨论B 是否是空集，列出不等式组求解即可.【详解】（1）∵A ={x |1≤x ＜4}，∴∁U A ={x |x ＜1或x ≥4}，∵B ={x |2a ≤x ＜3-a }，∴a =-2时，B ={-4≤x ＜5}，所以B ∩A =[1，4），B ∩(∁U A )={x |-4≤x ＜1或4≤x ＜5}=[-4,1)∪[4,5).（2）A ∪B =A ⇔B ⊆A ，①B =∅时，则有2a ≥3-a ，∴a ≥1,②B ≠∅时，则有，∴,综上所述，所求a 的取值范围为. 【点睛】本题主要考查集合的交集、集合的补集以及空集的应用，属于简答题.要解答本题，首先必须熟练应用数学的转化与划归思想及分类讨论思想，将并集问题转化为子集问题，其次分类讨论进行解答，解答集合子集过程中，一定要注意空集的讨论，这是同学们在解题过程中容易疏忽的地方，一定不等掉以轻心.24．（1）()10f = （2）{|10}x x -≤<．【解析】【分析】（1）根据()()()f xy f x f y =+，令1x y ==，即可得出()1f 的值；（2）由0x y <<，都有()()f x f y >知()f x 为()0,+∞上的减函数，根据()f x 的单调性，结合函数的定义域，列出不等式解出x 的范围即可.【详解】（1）令1x y ==，则()()()111f f f =+，()10f =.（2）解法一：由x y <<，都有()()f x f y >知()f x 为()0,+∞上的减函数，且030x x ->⎧⎨->⎩，即0x <. ∵()()()f xy f x f y =+，(),0,x y ∈+∞且112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭， ∴()()32f x f x -+-≥-可化为()()1322f x f x f ⎛⎫-+-≥- ⎪⎝⎭，即()()113022f x f f x f ⎛⎫⎛⎫-++-+≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝()()()331112222x x x x f f f f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⇔-+≥⇔-⋅≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则03122x x x <⎧⎪⎨--⋅≤⎪⎩，解得10x -≤<. ∴不等式()()32f x f x -+-≥-的解集为{|10}x x -≤<．【点睛】本题主要考查抽象函数的定义域、不等式的解法，属于中档题.定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数()f x 的定义域为[],a b ，则函数()()f g x 的定义域由不等式()a g x b ≤≤求出.25．（Ⅰ）max ()1f x =，min ()1f x =-；（Ⅱ）()f x 的定义域为(2,2)-，()g x 的值域为(4(1),4(1))a a -+-．【解析】【分析】【详解】试题分析：（Ⅰ）当3a =时，求函数()f x 在[1,1]x ∈-上的最大值和最小值，令()22x u x x-=+，变形得到该函数的单调性，求出其值域，再由()()log a f x u x =为增函数，从而求得函数()f x 在[1,1]x ∈-上的最大值和最小值；（Ⅱ）求函数()f x 的定义域，由对数函数的真数大于0求出函数()f x 的定义域，求函数()g x 的值域，函数()f x 的定义域，即()g x 的定义域，把()f x 的解析式代入()g x 后整理，化为关于x 的二次函数，对a 分类讨论，由二次函数的单调性求最值，从而得函数()g x 的值域．试题解析：（Ⅰ）令24122x u x x -==-++，显然u 在[1,1]x ∈-上单调递减，故u ∈1[,3]3，故3log [1,1]y u =∈-，即当[1,1]x ∈-时，max ()1f x =，（在3u =即1x =-时取得） min ()1f x =-，（在13u =即1x =时取得） (II)由20()2x f x x->⇒+的定义域为(2,2)-，由题易得：2()2,(2,2)g x ax x x =-+∈-， 因为0,1a a >≠，故()g x 的开口向下，且对称轴10x a =>，于是： 1o 当1(0,2)a ∈即1(,1)(1,)2a ∈+∞U 时，()g x 的值域为（11((2),()](4(1),]g g a a a-=-+；2o当12a≥即1(0,]2a∈时，()g x的值域为((2),(2))(4(1),4(1))g g a a-=-+-考点：复合函数的单调性；函数的值域．26．（1）A∪(B∩C)＝{1,2,3,4,5}．（2）(∁U B)∪(∁U C)＝{1,2,6,7,8}．【解析】试题分析：（1）先求集合A,B,C；再求B∩C，最后求A∪(B∩C)（2）先求∁U B，∁U C；再求(∁U B)∪(∁U C)．试题解析：解：(1)依题意有：A＝{1,2}，B＝{1,2,3,4,5}，C＝{3,4,5,6,7,8}，∴B∩C＝{3,4,5}，故有A∪(B∩C)＝{1,2}∪{3,4,5}＝{1,2,3,4,5}．(2)由∁U B＝{6,7,8}，∁U C＝{1,2}；故有(∁U B)∪(∁U C)＝{6,7,8}∪{1,2}＝{1,2,6,7,8}．。

湖南省长沙一中2021 2021学年高一上学期期中数学试题湖南省长沙一中2021-2021学年高一上学期期中数学试题2022-2022学年，湖南长沙第一中学，高中，第一中学数学试卷一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.集合M={1,0,1}，n={x|x22x=0}，则m∩n=（）a．{1，0，1}b．{0，1}c．{1}d．{0}2.已知功能，则f[f（2）]=（）a、 0b.1c.2d.33．下列函数中，在区间（0，1）上是增函数的是（）a．y=|x|b．y=3xc、 y=d.y=x2+44.以下函数为偶数函数（a.y=XB.y=2x2）c．y=xd．y=x2十、∈[0，1]5．函数f（x）=2x22x的单调递增区间是（）a．（∞，1]b．[1，+∞）c．（∞，2]d．[2，+∞）6.以下一组不正确的指数和对数公式是（）a.e0=1与ln1=0；b、八,=2与log82=c、 Log39=2和9=3D。

Log33=1和31=37.函数y=loga（x+2）+1的图像交点（）A.（1,2）B.（2,1）C.（2,1）d.（1,1）8．三个数a=0.72，b=log20.7，c=20.7它们之间的大小关系是（）A.A<C<B.B.A<B<CC。

B<a<CD。

B<C<a9．函数f（x）=log3x+x3零点所在大致区间是（）a．（1，2）b．（2，3）c．（3，4）d．（4，5）10.当a>1时，函数y=a在同一坐标系中xy=logax的图像(）a．b．c．d。

二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分.）11．函数f（x）=12.当x∈ （1,2），函数f（x）=3的取值范围为13．函数f（x）=是一个偶数函数，定义字段是[A1，2A]，然后是a+B=x+log3（x+2）的域是14．函数f（x）在（1，1）上是奇函数，且在区间（1，1）上是增函数，f（1t）+f （t）＜0，则t的取值范围是．15.计算机的成本不断下降。

一中2021-2021学年第一学期高三年级阶段性检测〔一〕创作人：历恰面日期：2020年1月1日数学学科一、填空题：本大题一一共14小题，每一小题5分，一共70分．，，那么___________．【答案】【解析】【分析】此题是集合A与集合B取交集。

【详解】因为，所以【点睛】交集是取两集合都有的元素。

是虚数单位)是纯虚数，那么实数的值是___________．【答案】-2【解析】【分析】此题考察的是复数的运算，可以先将复数化简，在通过复数是纯虚数得出结果。

【详解】，因为是纯虚数，所以。

【点睛】假如复数是纯虚数，那么。

3.“〞是“直线与直线互相垂直〞的___________条件〔填“必要不充分〞“充分不必要〞“充要〞或者“既不充分又不必要〞〕．【答案】充分不必要【解析】【分析】可以先通过“直线与直线互相垂直〞解得的取值范围，再通过与“〞进展比照得出结论。

【详解】因为直线与直线互相垂直，所以两直线斜率乘积为或者者一条直线与轴平行、一条与轴平行，所以或者者，解得或者者，由“〞可以推出“或者者〞，但是由“或者者〞推不出“〞，所以为充分不必要条件。

【点睛】在判断充要条件的时候，可以先将“假设A那么B〞中的A和B化为最简单的数集形式，在进展判断。

的递增区间是___________．【答案】【解析】【分析】此题可以先通过的取值范围来将函数分为两段函数，再依次进展讨论。

【详解】当时，，开口向下，对称轴为，所以递增区间是，当时，，开口向上，对称轴是，所以在定义域内无递增区间。

综上所述，递增区间是。

【点睛】在遇到带有绝对值的函数的时候，可以根据的取值范围来将函数分为数段函数，在依次求解。

5.按如下图的程序框图运行后，输出的结果是63，那么判断框中的整数的值是___________．【答案】5【解析】【分析】此题中，，可根据这几个式子依次推导出每一个A所对应的S的值，最后得出结果。

【详解】因为当时输出结果，所以【点睛】在计算程序框图时，理清每一个字母之间的关系，假如次数较少的话可以依次罗列出每一步的运算结果，最后得出答案。

长沙市第一中学2020-2021学年度高一第一学期第一次阶段性检测英语长沙市一中高一英语备课组组稿第二部分阅读(共两节，满分50分)第一节（共15小题；每小题2.5分，满分37.5分）阅读下列短文，从每题所给的A、B、C、D四个选项中选出最佳选项。

APOETRY CHALLENGEWrite a poem about how courage, determination and strength have helped you face challenges in your life.Prizes3 Grand Prizes: Trip to Washigton.D. c. for each of three winners, a parent and one other person of thewinner's choice. Trip includes round-trap air tickets, hotel stay for two nights, and tours of the National Airand Space Museum and the office of National Geographic World.6 First Prizes: The book Sky Pioneer: A Photobiography of Amelia Earhart signed by author CorinneSzabo and pilot Linda Finch.50 Honorable Mentions: Judges will choose up to 50 honorable mention winners, who will each receive aT-shirt in memory of Earhart's final flight.RulesFollow all rules carefully to prevent disqualification(丧失资格).Write a poem using 100 words or fewer. Your poem can be any format, anynumber of lines.⏹Write by hand or type on a single sheet of paper. You may use both thefront and back of the paper.⏹On the same sheet of paper, write or type your name, address,telephone number, and birth date.⏹Mail your entry to us by October 31 this year.21. How many people can each grand prize winner take on the free trip?A. TwoB. ThreeC. FourD. Six22 What will each of the honorable mention winners get?A. A plane ticket.B. A book by Corinne Szabo.C. A special T-shirt.D. A photo of Amelia Earhart.Which of the following will result in disqualification?A. Typing your poem out.B. Writing a poem of 120 words.C. Using both sides of the paper.D. Mailing your entry on October 30.【答案】21. A 22. C 23. B【解析】这是一篇应用文。

长沙市第一中学2021-2022学年度高一第一学期期中考试数学时量：120分钟满分：150分一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.已知集合{}2=P x x x <，则（）A.1P -∈B.0P∉ C.[]0,1P⊆ D.{}0,1P ⊂≠2.函数()122xxf x =+在定义域R 上是（）A.增函数B.减函数C.奇函数D.偶函数3.已知集合{}1S x ax ==是集合{}210T x x =-=的子集，则符合条件的实数a 的值共（）A.1个B.2个C.3个D.无数个4.“12x >”是“12x <”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.函数()f x x =-）A.(],0-∞ B.[)0,+∞ C.(],1-∞ D.[)1,+∞6.已知,,a b R a b ∈>，则下列不等式不恒成立的是（）A .a b +> B.0a b -> C.22a b > D.11a b<7.设0.10.10.20.2,0.1,0.1a b c ---===，则,,a b c 的大小关系正确的是（）A.a b c<< B.a c b<< C.c a b<< D.c b a<<8.设函数()y f x =的定义域为R ，对于任一给定的正数p ，定义函数()()()(),,p f x f x p f x p f x p⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，则称()p f x 为()f x 的“p 界函数”．若函数()221f x x x =--，则下列结论：①()222f =；②()2f x 的值域为[]22-,；③()2f x 在[]1,1-上单调递减；④函数()21y f x =+为偶函数．其中正确的结论共有（）A .4个B.3个C.2个D.1个二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9.下列各组函数中，()f x 与()g x 是同一函数的是（）A.()()2,f x g x ==B.()()12,2xxf xg x -⎛⎫== ⎪⎝⎭C.()()f x g x == D.()()3,9xxf xg x ==10.下列函数中既是奇函数且在()0,1x ∈上递增的函数是（）A.()1f x x x=+B.()1f x x x=-C.()11f x x x =+--D.()1,01,0x x f x x x +>⎧=⎨-<⎩11.下列命题中正确的是（）A.已知集合,M P 满足命题“1212,,0x M x P x x ∀∈∃∈-=”为真命题，则M P ⊆B.已知集合,M P 满足命题“221212,,0x M x P x x ∀∈∃∈-=”为真命题，则M P⊆C.已知集合M 满足命题“2,2x M x x ∃∈-<”为真命题，则{}12M x x ⊆-<<D.已知集合M 满足命题“,11x M x ∃∈-≥”为假命题，则{}02M x x ⊆<<12.如果对任意一个三角形，只要它的三边长,,a b c 都在函数()f x 的定义域内，就有()()(),,f a f b f c 也是某个三角形的三边长，则称()f x 为“三角形型函数”．则下列函数中为“三角形型函数”的是（）A.()()1,0,2f x x x =∈+∞ B.()()12,0,f x x x =∈+∞C.()()2,0,xf x x =∈+∞ D.()()1,0,1f x x x x =+∈+∞+三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知函数()xf x a-=（其中0,1a a >≠）在R 上递增，则a 的取值范围是__________．14.设函数()20,0x f x x x <=≥⎪⎩，则使得()1f a =的a 的值为__________．15.函数()f x =A ，若3A ∈，则a 的取值范围是__________．16.已知()2,01,0x a x f x x a x ⎧-<⎪=⎨--≥⎪⎩（1）若1a =，则()f x 的最小值为__________；（2）若存在两个不同的实数12,x x 使得()()120f x f x ==，则实数a 的取值范围是__________．四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17.已知集合()()12212,,4x A x B f x f x x x A -⎧⎫⎧=<<==∈⎨⎨⎬⎩⎩⎭．（1）求集合,A B ；（2）求()()R RA B痧．18.从偶函数的定义出发，证明函数()y f x =是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称.19.已知函数()231x f x a =--是奇函数．（1）求实数a 的值，并说明理由；（2）求函数()f x 的值域．20.新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺，某地政府决定为防护服生产企业A 公司扩大生产提供x （[]0,10x ∈）（万元）的专项补贴，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服，A 公司在收到政府x （万元）补贴后，防护服产量将增加到1264t k x ⎛⎫=⋅-⎪+⎝⎭（万件），其中k 为工厂工人的复工率（[]0.5,1k ∈），A 公司生产t 万件防护服还需投入成本20950x t ++（万元）．（1）将A 公司生产防护服的利润y （万元）表示为补贴x （万元）的函数（政府补贴x 万元计入公司收入）；（2）当复工率0.8k =时，政府补贴多少万元才能使A 公司的防护服利润达到最大？并求出最大值．21.已知二次函数()2f x ax bx =+满足()22f =．（1）设0,0a b >>，求12a a b++的最小值；（2）若对[]()0,2,21x f x x ∀∈≤+恒成立，求实数a 的取值范围．22.已知函数()1x f x x =-．（1）讨论函数()f x 的奇偶性和单调性，并说明理由；（2）若函数()f x 与()2g x k x =⋅的图象有四个不同的公共点，求实数k 的取值范围．长沙市第一中学2021-2022学年度高一第一学期期中考试数学时量：120分钟满分：150分一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.已知集合{}2=P x x x <，则（）A.1P-∈ B.0P∉ C.[]0,1P⊆ D.{}0,1P ⊂≠【答案】B 【解析】【分析】解不等式确定集合P ，然后根据集合的定义和包含关系判断．【详解】由已知{}2={|01}P x x x x x <=<<，因此只有0P ∉正确．故选：B ．2.函数()122xxf x =+在定义域R 上是（）A.增函数B.减函数C.奇函数D.偶函数【答案】D 【解析】【分析】根据奇偶性的定义，复合函数的单调性判断．【详解】11()22()22xxx x f x f x ---=+=+=，函数为偶函数，1()22x xf x =+是由函数1(0)y u u u=+>与函数2x u =复合所得，其中2x u =是R 上的增函数，且(0,)u ∈+∞，0x <时，01u <<，0x >时，1u >，但1y u u=+在(0,1)上递减，在(1,)+∞上递增，所以()f x 在(,0)-∞上递减，在(0,)+∞上递增，排除AB ．故选：D ．3.已知集合{}1S x ax ==是集合{}210T x x =-=的子集，则符合条件的实数a 的值共（）A.1个B.2个C.3个D.无数个【答案】C 【解析】【分析】根据题意可得{}1,1T =-，结合S T ⊆,则分类讨论当S =∅，{}1S =，{}1S =-三种情况，分别求出a 的值，即可得出结果.【详解】解：由题可知，集合{}1S x ax ==，集合{}{}2101,1T x x =-==-，S T ⊆ ,则当S =∅时，可知0a =显然成立；当{}1S =时，可得1a =，符合题意；当{}1S =-时，可得1a =-，符合题意；故满足条件的实数a 的值共3个.故选：C.4.“12x >”是“12x <”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据充分必要条件的定义判断．【详解】12x >时12x <成立，12x <时如112x =-<，则1x =-12<，因此只能是充分不必要条件，故选：A ．5.函数()f x x =-）A.(],0-∞ B.[)0,+∞ C.(],1-∞ D.[)1,+∞【答案】C 【解析】【分析】根据题意10x -≥，利用换元法，令t =，得出0t ≥，21x t =-，则将原式转化为关于t 的二次函数，再根据二次函数的图象与性质，即可求出()f x 的最值，即可得出答案.【详解】解：由题可得10x -≥，令t =0t ≥，21x t =-，所以()22151,024f x t t t x t ⎛⎫==--=-++≥ ⎪⎝⎭，当0t =时，()f x 取得最大值为1，没有最小值，所以函数()f x x =-(],1-∞.故选：C.6.已知,,a b R a b ∈>，则下列不等式不恒成立的是（）A.0a b +>B.0a b ->C.22a b > D.11a b<【答案】D 【解析】【分析】根据题意可知0a >，在讨论b 的正负，一一判断即可.【详解】由题意可知，0a >.因0a b >≥，所以22a b >，即22a b >，故C 正确；当0b ≥时，a b >，此时0a b +>与0a b ->都成立，而当0b <时，a b >-，此时0a b +>与0a b ->也都成立，因此AB 正确；当0b <时，因0a >，所以11a b>，故D 错.故选：D.7.设0.10.10.20.2,0.1,0.1a b c ---===，则,,a b c 的大小关系正确的是（）A.a b c<< B.a c b<< C.c a b<< D.c b a<<【答案】A 【解析】【分析】结合函数的单调性确定正确选项.【详解】函数0.1y x -=在()0,∞+上递减，所以a b <.函数0.1x y =在R 上递减，所以b c <.所以a b c <<.故选：A8.设函数()y f x =的定义域为R ，对于任一给定的正数p ，定义函数()()()(),,p f x f x p f x p f x p⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，则称()p f x 为()f x 的“p 界函数”．若函数()221f x x x =--，则下列结论：①()222f =；②()2f x 的值域为[]22-,；③()2f x 在[]1,1-上单调递减；④函数()21y f x =+为偶函数．其中正确的结论共有（）A .4个B.3个C.2个D.1个【答案】B 【解析】【分析】根据题意，表示出函数()2f x 的解析式，再结合图像性质一一判断即可.【详解】由2212x x --≤，解得13x -≤≤，因此()2221,132,12,3x x x f x x x ⎧---≤≤⎪=<-⎨⎪>⎩.对于①，()22222211f =-⨯-=-，故①错；对于②，当13x -≤≤时，22212x x -≤--≤，结合()2f x 的解析式可知，()2f x 的值域为[]22-,，故②正确；对于③，当11x -≤≤时，()()2221f x f x x x ==--，结合图像性质可知，()2f x 在[]1,1-上单调递减，故③正确；对于④，()222,2212,22,2x x y f x x x ⎧--≤≤⎪=+=<-⎨⎪>⎩，结合图像可知函数()21y f x =+为偶函数，故④正确.故选：B.二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9.下列各组函数中，()f x 与()g x 是同一函数的是（）A.()()2,f x g x ==B.()()12,2xx f x g x -⎛⎫== ⎪⎝⎭C.()()f x g x == D.()()3,9xxf xg x ==【答案】BC【解析】【分析】确定函数的定义域与对应法则是否相同即可得．【详解】A 中()f x 定义域是[0,)+∞，()g x 的定义域是R ，不是同一函数；B 中1()22xxf x -⎛⎫== ⎪⎝⎭，与()g x 定义域、对应法则都相同，是同一函数；C 中两个函数定义域都是[1,)+∞，且()f x ==，与()g x 的对应法则相同，是同一函数；D 中两个函数的对应法则不相同，不是同一函数．故选：BC ．10.下列函数中既是奇函数且在()0,1x ∈上递增的函数是（）A.()1f x x x=+B.()1f x x x=-C.()11f x x x =+-- D.()1,01,0x x f x x x +>⎧=⎨-<⎩【答案】BCD 【解析】【分析】根据奇偶性定义判断奇偶性，化简函数式后，根据函数的表达式判断单调性．【详解】A ．1()()f x x f x x-=--=-，是奇函数，由对勾函数性质知其在(0,1)上递减，B ．1()()f x x f x x-=-+=-，是奇函数，y x =是R 上的增函数，1y x =在(0,)+∞上是减函数，因此1()f x x x=-在(0,)+∞上递增，B 正确；C ．()1111()f x x x x x f x -=-+---=--+=-，是奇函数，(0,1)x ∈时，()1(1)2f x x x x =+--=，是增函数，C 正确；D ．0x >时，()1f x x =+是增函数，又0x >时，0x -<，()1()f x x f x -=--=-，0x <时，()1(1)()f x x x f x -=-+=--=-，所以()f x 是奇函数，D 正确．故选：BCD ．11.下列命题中正确的是（）A.已知集合,M P 满足命题“1212,,0x M x P x x ∀∈∃∈-=”为真命题，则M P ⊆B.已知集合,M P 满足命题“221212,,0x M x P x x ∀∈∃∈-=”为真命题，则M P⊆C.已知集合M 满足命题“2,2x M x x ∃∈-<”为真命题，则{}12M x x ⊆-<<D.已知集合M 满足命题“,11x M x ∃∈-≥”为假命题，则{}02M x x ⊆<<【答案】AD 【解析】【分析】结合命题的真假性对选项进行分析，由此确定正确选项.【详解】A ，“1212,,0x M x P x x ∀∈∃∈-=”为真命题，21x x =,则M P ⊆，A 正确.B ，“()()2212121212,,0x M x P x x x x x x ∀∈∃∈-=+-=”为真命题，21x x =或21x x =-，所以,M P 不一定有包含关系，B 错误.C ，“2,2x M x x ∃∈-<”为真命题，()()22210,12x x x x x --=-+<-<<，如RM =符合，所以C 错误.D ，“,11x M x ∃∈-≥”为假命题，“,11x M x ∀∈-<”为真命题，111x -<-<，02x <<，则{}02M x x ⊆<<，D 正确.故选：AD12.如果对任意一个三角形，只要它的三边长,,a b c 都在函数()f x 的定义域内，就有()()(),,f a f b f c 也是某个三角形的三边长，则称()f x 为“三角形型函数”．则下列函数中为“三角形型函数”的是（）A.()()1,0,2f x x x =∈+∞ B.()()12,0,f x x x =∈+∞C.()()2,0,xf x x =∈+∞ D.()()1,0,1f x x x x =+∈+∞+【答案】ABD 【解析】【分析】根据题意，要使()f x 为“三角形型函数”，只需满足两边之和大于第三边，结合函数单调性与不等式的性质，一一判断即可.【详解】根据题意，设0a b c <≤≤，且a b c +>.对于选项A ，易知()12f x x =在()0,∞+上单调递增，因此()()()22a b cf a f b f c ++=>=，故()()(),,f a f b f c 也是某个三角形的三边长，故A 正确；对于选项B ，易知()12f x x =在()0,∞+上单调递增，因此()()f a f b +=，()f c =，因2a b c =++，所以()()()f a f b f c +>，故()()(),,f a f b f c 也是某个三角形的三边长，故B 正确；对于选项C ，当2a b ==，3c =时，()()()8f a f b f c +==，因此不满足题意，故C 错；对于选项D ，()1111f x x x =++-+，结合对勾函数易知()f x 在()0,∞+上单调递增，因()()()111111f a f b a b c f c a b c +=+++>+=+++，所以()()(),,f a f b f c 也是某个三角形的三边长，故D 正确.故选：ABD.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知函数()xf x a -=（其中0,1a a >≠）在R 上递增，则a 的取值范围是__________．【答案】(0,1)【解析】【分析】根据指数函数的单调性求解．【详解】1()xxf x aa -⎛⎫== ⎪⎝⎭是增函数，则11a >，01a <<．故答案为：(0,1)．14.设函数()20,0x f x x x <=≥⎪⎩，则使得()1f a =的a 的值为__________．【答案】1【解析】【分析】根据分段函数定义分类讨论可得．【详解】0a <时，()1f a ==，0a =舍去，0a ≥时，2()1f a a ==，1a =，故答案为：1．15.函数()f x =A ，若3A ∈，则a 的取值范围是__________．【答案】1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】对a 进行分类讨论，结合函数定义域求得a 的取值范围.【详解】当0a =时，()(),0f x x =∈-∞，()3,0∉-∞，所以0a =不符合题意.所以0a ≠.由于3A ∈，所以()()3160310,,660a a a a a ⎧-+≥-≥⎨++≠⎩解得6a <-或13a ≥.()()12010,220ax x a ax x a x a ⎧-+≥-≥⎨++≠⎩①，当6a <-时，①解得1x a ≤或2ax >-，6,32aa ->->，3A ∉，所以6a <-不符合题意.当13a ≥时，①解得2a x <-或1x a≥，(]10,3a∈，3A ∈，符合题意.综上所述，a 的取值范围是1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.故答案为：1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭16.已知()2,01,0x a x f x x a x ⎧-<⎪=⎨--≥⎪⎩（1）若1a =，则()f x 的最小值为__________；（2）若存在两个不同的实数12,x x 使得()()120f x f x ==，则实数a 的取值范围是__________．【答案】①.1-②.()0,∞+【解析】【分析】（1）1a =时，结合指数函数、绝对值的知识求得()f x 的最小值.（2）对a 进行分类讨论，结合“存在两个不同的实数12,x x 使得()()120f x f x ==”求得a 的取值范围.【详解】（1）1a =时，()21,011,0xx f x x x ⎧-<⎪=⎨--≥⎪⎩，()()0,20,1,211,0x x x <∈-∈-，0x ≥，11,10,111x x x -≥--≥--≥-，所以()f x 的最小值为1-.（2）()2,01,0x a x f x x a x ⎧-<⎪=⎨--≥⎪⎩，0x <，021,21x x a a a <<-<-<-，10,1x a x a --==+或1x a =-.若0a ≤，则20x a ->，而10x a =-<，()f x 至多只有1个零点，不符合题意.当01a <<时，()f x 在区间(),0-∞上，()220,log ,0xa x a -==∈-∞，()10,11,2x a x a =-<=+∈，符合题意.当1a =时，()211,0x-∈-，()()00,20f f ==，符合题意.当1a >时，210x a a -<-<，10,12x a x a =->=+>，符合题意.综上所述，a 的取值范围是()0,∞+.故答案为：1-；()0,∞+四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17.已知集合()()12212,,4x A x B f x f x x x A -⎧⎫⎧=<<==∈⎨⎨⎬⎩⎩⎭．（1）求集合,A B ；（2）求()()R RA B痧．【答案】（1）1=,42A ⎛⎫⎪⎝⎭，2,22B ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭;（2）[)2,2⎛∞+∞ ⎝⎦ -，.【解析】【分析】(1)直接解指数型不等式即可得出集合A ，由A 的结果可求出幂函数()12f x x =的值域，从而得出集合B ；(2)根据补集的运算分别求出A R ð和B R ð，再由并集的运算即可求出()()R RA B痧的结果.【小问1详解】解：由题可知，32222112=222=,442x xA x x ---⎧⎫⎧⎛⎫=<<<<⎨⎨⎬ ⎪⎩⎝⎭⎩⎭，()()12,B f x f x x x A ⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭，可知当1,42x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，得12,22x ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，即(),22f x ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，所以,22B ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭.【小问2详解】解：由（1）得1=,42A ⎛⎫⎪⎝⎭，,22B ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，则[)1=4,2R A ⎛⎤∞+∞ ⎥⎝⎦ -，ð，[)=2,2R B ⎛∞+∞ ⎝⎦ -，ð,所以()()[)=2,2R R A B ⎛∞+∞ ⎝⎦ -，痧.18.从偶函数的定义出发，证明函数()y f x =是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称.【答案】证明见详解.【解析】【分析】根据()f x 是偶函数的定义，从充分性和必要性两个方面进行推导即可.【详解】不妨设()f x 的定义域为D ，先证，若函数()y f x =是偶函数，则它的图象关于y 轴对称.因为()f x 是偶函数，即()()f x f x =-对任意的x D ∈恒成立，任取()f x 上的一点为()(),x f x ，因为()()f x f x =-，故点()(),x f x -均在()f x 的图象上，又该两点关于y 轴对称，且x 具有任意性，即对函数()f x 上的任意一点，其关于y 轴对称的点也一定在()f x 上，即()f x 的图象关于y 轴对称，即证；再证：若()f x 的图象关于y 轴对称，则()f x 是偶函数.因为()f x 的图象关于y 轴对称，故对图象上的任意一点()(),x f x ，其关于y 轴的对称点()(),x f x -一定也在()f x 上.故点()(),x f x -满足()f x 的解析式，也即()()f x f x -=，又因为x 具有任意性，故()()f x f x -=对任意的x D ∈恒成立.也即()f x 是偶函数.即证.综上所述：函数()y f x =是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称.【点睛】本题考查充要条件的证明，涉及函数奇偶性，属综合基础题.19.已知函数()231x f x a =--是奇函数．（1）求实数a 的值，并说明理由；（2）求函数()f x 的值域．【答案】（1）a =1-，理由见解析．（2）(,1)(1,)-∞-+∞ 【解析】【分析】（1）根据奇函数的定义求解；（2）利用指数函数性质和不等式性质求解．【小问1详解】由题意22232()()222031313131x x x x x f x f x a a a a -⨯-+=-+-=+=+=----，1a =-，【小问2详解】由（1）2()131x f x =---2113x=-+-，30x >且31x ≠，031x <<时，0131x <-<，2213x>-，所以()1f x >，31x >时，130x -<．2013x<-，所以()1f x <-，综上，()f x 的值域是(,1)(1,)-∞-+∞ ．20.新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺，某地政府决定为防护服生产企业A 公司扩大生产提供x （[]0,10x ∈）（万元）的专项补贴，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服，A 公司在收到政府x （万元）补贴后，防护服产量将增加到1264t k x ⎛⎫=⋅-⎪+⎝⎭（万件），其中k 为工厂工人的复工率（[]0.5,1k ∈），A 公司生产t 万件防护服还需投入成本20950x t ++（万元）．（1）将A 公司生产防护服的利润y （万元）表示为补贴x （万元）的函数（政府补贴x 万元计入公司收入）；（2）当复工率0.8k =时，政府补贴多少万元才能使A 公司的防护服利润达到最大？并求出最大值．【答案】（1）3601808204ky k x x =---+，[]0,10x ∈，[]0.5,1k ∈（2）当复工率0.8k =时，政府补贴2万元才能使A 公司的防护服利润达到最大值60万元【解析】【分析】(1)根据题意得()8020950y x t x t =+-+-，代入1264t k x ⎛⎫=⋅- ⎪+⎝⎭化简即可；(2)根据题意，代入0.8k =，再结合均值不等式即可求解.【小问1详解】由题意得()802095030820y x t x t t x =+-+-=--1236030682018082044k k x k x x x ⎛⎫=---=--- ⎪++⎝⎭，即3601808204ky k x x =---+，[]0,10x ∈，[]0.5,1k ∈.【小问2详解】由0.8k =，得288288144820812444y x x x x =---=--+++，因()28828888432248326444x x x x +=++-≥⨯-=++，当且仅当2x =时取等号，所以6412460y ≤-+=.故当复工率0.8k =时，政府补贴2万元才能使A 公司的防护服利润达到最大值60万元.21.已知二次函数()2f x ax bx =+满足()22f =．（1）设0,0a b >>，求12a a b++的最小值；（2）若对[]()0,2,21x f x x ∀∈≤+恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）3；（2）2,2⎡⎫+-+∞⎪⎢⎪⎣⎭.【解析】【分析】（1）根据题意可得()1a a b ++=，利用整体代换，从而可得()121223a b a a a b a a b a a b a a b+⎛⎫+=+⋅++=++⎡⎤ ⎪⎣⎦+++⎝⎭，再利用基本不等式求最值，即可得出结果；（2）由题得出12b a =-，从而得()()212f x ax a x =+-，结合条件可知()221a x x x -≤+对[]0,2x ∀∈恒成立，分类讨论0a ≥和0a <两种情况，可知当0a ≥时，易知满足题意；当0a <时，可知当0x =或2x =时，()2201a x x x -=≤+恒成立，再通过分离参数法将问题转化为212x a x x +≥-在()0,2上恒成立，令()212x g x x x +=-，()0,2x ∈，化简运算得出()()()13141g x x x =++-+，利用基本不等式求出3141x x ++-+的最小值，从而得出()g x 的最大值，从而得出a 的范围；最后综合即可得出结果.【小问1详解】解：已知二次函数()2f x ax bx =+满足()22f =，得422a b +=，则21a b +=，即()1a a b ++=，又因为0,0a b >>，()121223a b a a a b a a b a a b a a b+⎛⎫∴+=+⋅++=++⎡⎤ ⎪⎣⎦+++⎝⎭33+=≥+，即123a a b +≥++，当且仅当2a b a a a b+=+时，取等号，得12a a b++的最小值为3.【小问2详解】解：已知二次函数()2f x ax bx =+满足()22f =，得422a b +=，所以12b a =-，则()()212f x ax a x =+-，又因为对[]()0,2,21x f x x ∀∈≤+恒成立，则()()21221f x ax a x x =+-≤+，即()221a x x x -≤+对[]0,2x ∀∈恒成立，又因为当[]0,2x ∈时，()()2220x x x x -=-≤，10x +>，可知当0a ≥时，()221a x x x -≤+在[]0,2x ∈恒成立，符合题意；当0a <时，可知当0x =或2x =时，()2201a x x x -=≤+恒成立，则212x a x x+≥-在()0,2上恒成立，令()212x g x x x+=-，()0,2x ∈，则()()()()()222211112214114431413x x x x g x x x x x x x x x x ++++====-++--+-+++-++()()()()()()2111331413141411x x x x x x x +===+-+++-+++-++，02x << ，113x ∴<+<，则31441x x ++-≥-+，当且仅当311x x +=+时，即()11,3x +=时，取等号，此时3141x x ++-+的最小值为4，则()max 22g x +==-，所以22a ≥+-，又0a <，解得：202a +-≤<，综上得：实数a的取值范围为2,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎪⎣⎭.22.已知函数()1xf x x =-．（1）讨论函数()f x 的奇偶性和单调性，并说明理由；（2）若函数()f x 与()2g x k x =⋅的图象有四个不同的公共点，求实数k 的取值范围．【答案】（1）()f x 为奇函数，减区间是(,1)-∞-，(1,1)-，(1,)+∞；（2）(,4)(4,)-∞-⋃+∞【解析】【分析】（1）先确定奇偶性，然后通过分类讨论0x ≥的单调性，利用奇偶性得出单调性；（）结合函数图象得出结论．【小问1详解】10x -≠，1x ≠±，函数定义域是{|1}x x ≠±，()()11x xf x f x x x --==-=----，函数是奇函数，0x ≥时，111()1111x x f x x x x -+===+---，[0,1)x ∈时，在[0,1)和(1,)+∞上函数递减，又()f x 是奇函数，所以()f x 在(,1)-∞-和(1,0]-上也是递减，即()f x 在(,1)-∞-同，(1,1)-，(1,)+∞上都是递减函数．【小问2详解】2()g x kx =是偶函数，首先原点是它们图象的一个交点，作出函数图象，()f x 是奇函数，由图象知在(,1)-∞-和(1,)+∞上两个图象总共有且只有一个交点：0k >时在(1,)+∞上有一个交点，在(,1)-∞-上无交点，0k <时，在(,1)-∞-上有一个交点，在(1,)+∞上无交点，因此由题意，在(1,1)-上两个函数图象除原点外还有两个交点．即21xkx x =-在(1,1)-上除0外还有两个不等实根，0x ≠，1(1)x x k=-，0x >时，22111(1)(24x x x x x k =-=-=--，所以1104k -<<，4k <-，0x <时，22111(1)(24x x x x x k =--=--=-++，所以1104k <<，4k >，综上k 的取值范围是(,4)(4,)-∞-⋃+∞．。

2020-2021长沙市高中必修一数学上期中一模试题(及答案)一、选择题1．设集合{1,2,3,4}A =，{}1,0,2,3B =-，{|12}C x R x =∈-≤<，则()A B C =U IA ．{1,1}-B ．{0,1}C ．{1,0,1}-D ．{2,3,4}2．设奇函数()f x 在(0)+∞，上为增函数，且(1)0f =，则不等式()()0f x f x x--<的解集为（ ）A ．(10)(1)-⋃+∞，， B ．(1)(01)-∞-⋃，， C ．(1)(1)-∞-⋃+∞，， D ．(10)(01)-⋃，， 3．设集合{|32}M m m =∈-<<Z ，{|13}N n n M N =∈-≤≤⋂=Z ，则A ．{}01，B ．{}101-，，C ．{}012，， D ．{}1012-，，， 4．设log 3a π=，0.32b =，21log 3c =，则（ ） A ．a c b >>B ．c a b >>C ．b a c >>D ．a b c >>5．函数()sin lg f x x x =-的零点个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．36．已知定义域为R 的函数()f x 在[1,)+∞单调递增，且(1)f x +为偶函数，若(3)1f =，则不等式(21)1f x +<的解集为（ ） A ．(1,1)- B ．(1,)-+∞ C ．(,1)-∞ D ．(,1)(1,)-∞-+∞U7．函数sin21cos xy x=-的部分图像大致为A ．B ．C ．D ．8．函数f(x)=23x x +的零点所在的一个区间是 A ．（-2，-1）B ．（-1,0）C ．（0,1）D ．（1,2）9．函数()f x 的图象如图所示,则它的解析式可能是( )A ．()212xx f x -= B ．()()21xf x x =-C ．()ln f x x =D ．()1xf x xe =-10．若函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---≤⎧=⎨>⎩单调递增,则实数a 的取值范围是( ) A ．9,34⎛⎫⎪⎝⎭ B ．9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．()1,3D ．()2,311．已知集合{}22(,)1A x y x y =+=，{}(,)B x y y x ==，则A B I 中元素的个数为（ ） A ．3B ．2C ．1D ．012．函数2xy x =⋅的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：如果顾客选购物品的总金额不超过600元，则不享受任何折扣优惠；如果顾客选购物品的总金额超过600元，则超过600元部分享受一定的折扣优惠，折扣优惠按下表累计计算.某人在此商场购物获得的折扣优惠金额为30元，则他实际所付金额为____元．14．已知函数()()22log f x x a =+，若()31f =，则a =________．15．若函数()y f x =的定义域是[0,2]，则函数0.5()log (43)g x x =-的定义域是__________．16．某在校大学生提前创业,想开一家服装专卖店,经过预算,店面装修费为10000元,每天需要房租水电等费用100元,受营销方法、经营信誉度等因素的影响,专卖店销售总收入P 与店面经营天数x 的关系是P(x)=21300,0300245000,300x x x x ⎧-≤<⎪⎨⎪≥⎩则总利润最大时店面经营天数是___.17．如果函数221xx y a a =+-（0a >，且1a ≠）在[]1,1-上的最大值是14，那么a 的值为__________.18．若幂函数()af x x =的图象经过点1(3)9，，则2a -=__________.19．某班有36名同学参加数学、物理、化学竞赛小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有__________人．20．已知实数0a ≠，函数2,1()2,1x a x f x x a x +<⎧=⎨--≥⎩若()()11f a f a -=+，则a 的值为___________． 三、解答题21．已知满足(1)求的取值范围； (2)求函数的值域．22．已知函数()222,00,0,0x x x f x x x mx x ⎧-+>⎪==⎨⎪+<⎩是奇函数．（1）求实数m 的值；（2）若函数()f x 在区间[]1,2a --上单调递增，求实数a 的取值范围.23．已知定义域为R 的函数()221x x af x -+=+是奇函数．()1求实数a 的值；()2判断函数()f x 在R 上的单调性，并利用函数单调性的定义加以证明．24．2019年，随着中国第一款5G 手机投入市场，5G 技术已经进入高速发展阶段.已知某5G 手机生产厂家通过数据分析，得到如下规律：每生产手机()010x x ≤≤万台，其总成本为()G x ，其中固定成本为800万元，并且每生产1万台的生产成本为1000万元（总成本=固定成本+生产成本），销售收入()R x 万元满足()24004200,05,20003800,510.x x x R x x x ⎧-+≤≤=⎨-<≤⎩（1）将利润()f x 表示为产量x 万台的函数；（2）当产量x 为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少万元？ 25．已知函数()2(0,)af x x x a R x=+≠∈. （1）判断()f x 的奇偶性；（2）若()f x 在[)2,+∞是增函数，求实数a 的范围.26．已知函数()f x 的定义域是(0,)+∞，且满足()()()f xy f x f y =+，1()12f =，如果对于0x y <<，都有()()f x f y >． （1）求()1f 的值；（2）解不等式()(3)2f x f x -+-≥-.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】分析：由题意首先进行并集运算，然后进行交集运算即可求得最终结果. 详解：由并集的定义可得：{}1,0,1,2,3,4A B ⋃=-， 结合交集的定义可知：(){}1,0,1A B C ⋃⋂=-. 本题选择C 选项.点睛：本题主要考查并集运算、交集运算等知识，意在考查学生的计算求解能力.2．D解析：D 【解析】由f (x )为奇函数可知，()()f x f x x--＝()2f x x<0.而f (1)＝0，则f (－1)＝－f (1)＝0. 当x >0时，f (x )<0＝f (1)； 当x <0时，f (x )>0＝f (－1)． 又∵f (x )在(0，＋∞)上为增函数， ∴奇函数f (x )在(－∞，0)上为增函数． 所以0<x <1，或－1<x <0. 选D点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为(())(())f g x f h x >的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在外层函数的定义域内3．B解析：B 【解析】试题分析：依题意{}{}2,1,0,1,1,0,1,2,3,M N =--=-∴{}1,0,1M N ⋂=-. 考点：集合的运算4．C解析：C 【解析】 【分析】先证明c<0,a>0,b>0,再证明b>1,a<1，即得解. 【详解】 由题得21log 3c =2log 10<=，a>0,b>0. 0.30log 3log 1,22 1.a b πππ====所以b a c >>.故答案为C 【点睛】(1)本题主要考查指数函数对数函数的单调性，考查实数大小的比较，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.（2）实数比较大小，一般先和“0”比，再和“±1”比.5．D解析：D 【解析】 【分析】画出函数图像，根据函数图像得到答案. 【详解】如图所示：画出函数sin y x =和lg y x =的图像，共有3个交点. 当10x >时，lg 1sin x x >≥，故不存在交点. 故选：D .【点睛】本题考查了函数的零点问题，画出函数图像是解题的关键.6．A解析：A 【解析】 【分析】由函数y ＝f （x +1）是定义域为R 的偶函数，可知f （x ）的对称轴x ＝1，再利用函数的单调性，即可求出不等式的解集． 【详解】由函数y ＝f （x +1）是定义域为R 的偶函数，可知f （x ）的对称轴x ＝1，且在[1，+∞）上单调递增，所以不等式f （2x+1）＜1=f （3）⇔ |2x+1﹣1|）＜|3﹣1|， 即|2x |＜2⇔|x |＜1，解得-11x ＜＜ 所以所求不等式的解集为：()1,1-. 故选A ． 【点睛】本题考查了函数的平移及函数的奇偶性与单调性的应用，考查了含绝对值的不等式的求解，属于综合题．7．C解析：C 【解析】 由题意知，函数sin 21cos xy x =-为奇函数，故排除B ；当πx =时，0y =，故排除D ；当1x =时，sin 201cos 2y =>-，故排除A ．故选C ． 点睛:函数图像问题首先关注定义域，从图像的对称性，分析函数的奇偶性，根据函数的奇偶性排除部分选择项，从图像的最高点、最低点，分析函数的最值、极值，利用特值检验，较难的需要研究单调性、极值等，从图像的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．8．B解析：B 【解析】试题分析：因为函数f(x)=2x +3x 在其定义域内是递增的，那么根据f(-1)=153022-=-<,f （0）=1+0=1>0,那么函数的零点存在性定理可知，函数的零点的区间为（-1,0），选B ． 考点：本试题主要考查了函数零点的问题的运用．点评：解决该试题的关键是利用零点存在性定理，根据区间端点值的乘积小于零，得到函数的零点的区间．9．B解析：B 【解析】 【分析】根据定义域排除C ，求出()1f 的值，可以排除D ，考虑()100f -排除A . 【详解】根据函数图象得定义域为R ，所以C 不合题意；D 选项，计算()11f e =-，不符合函数图象；对于A 选项， ()10010099992f -=⨯与函数图象不一致；B 选项符合函数图象特征.故选：B 【点睛】此题考查根据函数图象选择合适的解析式，主要利用函数性质分析，常见方法为排除法.10．B解析：B 【解析】 【分析】利用函数的单调性，判断指数函数底数的取值范围，以及一次函数的单调性，及端点处函数值的大小关系列出不等式求解即可 【详解】解：Q 函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---⎧=⎨>⎩…单调递增， ()301373a a a a⎧->⎪∴>⎨⎪-⨯-≤⎩解得934a ≤<所以实数a 的取值范围是9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭． 故选：B ． 【点睛】本题考查分段函数的应用，指数函数的性质，考查学生的计算能力，属于中档题．11．B解析：B 【解析】试题分析：集合中的元素为点集，由题意，可知集合A 表示以()0,0为圆心，1为半径的单位圆上所有点组成的集合，集合B 表示直线y x =上所有的点组成的集合，又圆221x y +=与直线y x =相交于两点,22⎛ ⎝⎭，22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，则A B I 中有2个元素.故选B.【名师点睛】求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件.集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.12．A解析：A 【解析】 【分析】先根据奇偶性舍去C,D,再根据函数值确定选A. 【详解】因为2xy x =⋅为奇函数，所以舍去C,D; 因为0x >时0y >,所以舍去B ，选A. 【点睛】有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路(1)由解析式确定函数图象的判断技巧：（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．(2)由实际情景探究函数图象．关键是将问题转化为熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题．二、填空题13．1120【解析】【分析】明确折扣金额y 元与购物总金额x 元之间的解析式结合y ＝30＞25代入可得某人在此商场购物总金额减去折扣可得答案【详解】由题可知：折扣金额y 元与购物总金额x 元之间的解析式y∵y＝解析：1120【解析】 【分析】明确折扣金额y 元与购物总金额x 元之间的解析式，结合y ＝30＞25，代入可得某人在此商场购物总金额, 减去折扣可得答案． 【详解】由题可知：折扣金额y 元与购物总金额x 元之间的解析式，y ()()006000.0560060011000.11100251100x x x x x ⎧≤⎪=-≤⎨⎪-+⎩，＜，＜，＞ ∵y ＝30＞25 ∴x ＞1100∴0.1（x ﹣1100）+25＝30 解得，x ＝1150， 1150﹣30＝1120，故此人购物实际所付金额为1120元． 【点睛】本题考查的知识点是分段函数，正确理解题意，进而得到满足条件的分段函数解析式是解答的关键．14．-7【解析】分析：首先利用题的条件将其代入解析式得到从而得到从而求得得到答案详解：根据题意有可得所以故答案是点睛：该题考查的是有关已知某个自变量对应函数值的大小来确定有关参数值的问题在求解的过程中需解析：-7 【解析】分析：首先利用题的条件()31f =，将其代入解析式，得到()()2391f log a =+=，从而得到92a +=，从而求得7a =-，得到答案.详解：根据题意有()()2391f log a =+=，可得92a +=，所以7a =-，故答案是7-. 点睛：该题考查的是有关已知某个自变量对应函数值的大小，来确定有关参数值的问题，在求解的过程中，需要将自变量代入函数解析式，求解即可得结果，属于基础题目.15．【解析】首先要使有意义则其次∴解得综上点睛：对于抽象函数定义域的求解(1)若已知函数f(x)的定义域为ab 则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b 求出；(2)若已知函数f(g(x))解析：3,14⎛⎫⎪⎝⎭【解析】首先要使(2)f x 有意义，则2[0,2]x ∈， 其次0.5log 430x ->，∴022 0431xx≤≤⎧⎨<-<⎩，解得0131 4xx≤≤⎧⎪⎨<<⎪⎩，综上3,14x⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．点睛：对于抽象函数定义域的求解(1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出；(2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域．16．200【解析】【分析】根据题意列出总利润L(x)的分段函数然后在各个部分算出最大值比较大小就能确定函数的最大值进而可求出总利润最大时对应的店面经营天数【详解】设总利润为L(x)则L(x)=则L(x)解析：200【解析】【分析】根据题意，列出总利润L(x)的分段函数，然后在各个部分算出最大值，比较大小，就能确定函数的最大值，进而可求出总利润最大时对应的店面经营天数.【详解】设总利润为L(x),则L(x)=2120010000,0300 210035000,300x x xx x⎧-+-≤<⎪⎨⎪-+≥⎩则L(x)=21(200)10000,0300 210035000,300x xx x⎧--+≤<⎪⎨⎪-+≥⎩当0≤x<300时,L(x)max=10000,当x≥300时,L(x)max=5000,所以总利润最大时店面经营天数是200.【点睛】本题主要考查分段函数的实际应用，准确的写出各个部分的函数关系式是解决本题的关键. 17．3或【解析】【分析】令换元后函数转化为二次函数由二次函数的性质求得最大值后可得但是要先分类讨论分和求出的取值范围【详解】设则对称轴方程为若则∴当时解得或（舍去）若则∴当时解得或（舍去）答案：3或【点解析：3或1 3【解析】 【分析】令x t a =，换元后函数转化为二次函数，由二次函数的性质求得最大值后可得a ．但是要先分类讨论，分1a >和01a <<求出t 的取值范围． 【详解】设0x t a =>，则221y t t =+-，对称轴方程为1t =-. 若1,[1,1]a x >∈-，则1,xt a a a ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，∴当t a =时，2max 2114y a a =+-=，解得3a =或5a =-（舍去）.若01a <<，[1,1]x ∈-，则1,xt a a a⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦∴当1t a =时，2max 112114y a a ⎛⎫=+⨯-= ⎪⎝⎭解得13a =或15a =-（舍去）答案：3或13【点睛】本题考查指数型复合函数的最值，本题函数类型的解题方法是用换元法把函数转化为二次函数求解．注意分类讨论．18．【解析】由题意有：则： 解析：14【解析】 由题意有：13,29aa =∴=-， 则：()22124a--=-=. 19．8【解析】【分析】画出表示参加数学物理化学竞赛小组集合的图结合图形进行分析求解即可【详解】由条件知每名同学至多参加两个小组故不可能出现一名同学同时参加数学物理化学竞赛小组设参加数学物理化学竞赛小组的解析：8 【解析】 【分析】画出表示参加数学、物理、化学竞赛小组集合的Venn 图，结合图形进行分析求解即可． 【详解】由条件知，每名同学至多参加两个小组，故不可能出现一名同学同时参加数学、物理、化学竞赛小组，设参加数学、物理、化学竞赛小组的人数构成的集合分别为A ，B ，C ， 则()0card A B C ⋂⋂=，()6card A B ⋂=，()4card B C ⋂=， 由公式()card A B C ⋃⋃()()()()()()card A card B card C card A B card A C card B C =++-⋂-⋂-⋂知()3626151364card A C =++---⋂，故()8card A C ⋂=即同时参加数学和化学小组的有8人， 故答案为8．【点睛】本小题主要考查Venn 图表达集合的关系及运算、Venn 图的应用、集合中元素的个数等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于基础题．20．【解析】【分析】分两种情况讨论分别利用分段函数的解析式求解方程从而可得结果【详解】因为所以当时解得：舍去；当时解得符合题意故答案为【点睛】本题主要考查分段函数的解析式属于中档题对于分段函数解析式的考解析：34a =-【解析】 【分析】分0a >，0a <两种情况讨论，分别利用分段函数的解析式求解方程()()11f a f a -=+，从而可得结果.【详解】因为2,1()2,1x a x f x x a x +<⎧=⎨--≥⎩所以，当0a >时，()()2(1)(11)21a f a f a a a a -+=-+=⇒--+，解得：3,2a =-舍去；当0a <时，()()2(1)(11)21a f a f a a a a ++=--=⇒--+，解得34a =-，符合题意，故答案为34-. 【点睛】本题主要考查分段函数的解析式，属于中档题.对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解决这类题一定要层次清楚，思路清晰.三、解答题21．(1) (2)【解析】试题分析（1）先将不等式化成底相同的指数，再根据指数函数单调性解不等式（2）令，则函数转化为关于 的二次函数，再根据对称轴与定义区间位置关系确定最值，得到值域. 试题解析： 解：(1) 因为由于指数函数在上单调递增(2) 由（1）得令，则，其中因为函数开口向上，且对称轴为函数在上单调递增的最大值为，最小值为函数的值域为. 22．（1）2；（2）(]1,3. 【解析】 【分析】（1）设0x <，可得0x ->，求出()f x -的表达式，利用奇函数的定义可得出函数()y f x =在0x <时的解析式，由此可求出实数m 的值；（2）作出函数()y f x =的图象，可得出函数()y f x =的单调递增区间为[]1,1-，于是可得出[][]1,21,1a --⊆-，进而得出关于实数a 的不等式组，解出即可. 【详解】（1）()222,00,0,0x x x f x x x mx x ⎧-+>⎪==⎨⎪+<⎩Q 为奇函数，当0x <时，0x ->，则()()()2222f x x x x x -=--+⨯-=--， 则()()22f x f x x x =--=+，2m ∴=；（2）由（1）可得()222,00,02,0x x x f x x x x x ⎧-+>⎪==⎨⎪+<⎩，作出函数()y f x =如下图所示：由图象可知，函数()y f x =的单调递增区间为[]1,1-，由题意可得[][]1,21,1a --⊆-，则121a -<-≤，解得13a <?. 因此，实数a 的取值范围是(]1,3. 【点睛】本题考查奇函数解析式的求解，同时也考查了利用函数在区间上的单调性求参数，考查运算求解能力，属于中等题.23．（1）1；（2）减函数，证明见解析 【解析】 【分析】（1）奇函数在0x =处有定义时，()00f =，由此确定出a 的值，注意检验是否为奇函数；（2）先判断函数单调性，然后根据函数单调性的定义法完成单调性证明即可. 【详解】()1根据题意，函数()221x x af x -+=+是定义域为R 奇函数，则()0020021af -+==+，解可得1a =，当1a =时，()()12121212x xx xf x f x -----=-==-++，为奇函数，符合题意； 故1a =；()2由()1的结论，()12121221x x xf x -==-++，在R 上为减函数； 证明：设12x x <，则()()()()()2212121222112221212121x x x x x x f x f x -⎛⎫⎛⎫-=---= ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭， 又由12x x <，则()21220x x->，()1210x+>，()2210x+>， 则()()120f x f x ->， 则函数()f x 在R 上为减函数． 【点睛】本题考查函数奇偶性单调性的综合应用，难度一般.(1)定义法证明函数单调性的步骤：假设、作差、变形、判号、下结论；(2)当奇函数在0x =处有定义时，一定有()00f =.24．(1) ()24003200800,05,10004600,510.x x x f x x x ⎧-+-≤≤=⎨-<≤⎩ (2) 当产量为4万台时，公司所获利润最大，最大利润为5600万元. 【解析】 【分析】（1）先求得总成本函数()G x ，然后用()()()f x R x G x =-求得利润()f x 的函数表达式.（2）用二次函数的最值的求法，一次函数最值的求法，求得当产量x 为何值时，公司所获利润最大，且求得最大利润. 【详解】（1）由题意得()8001000G x x =+.因为()24004200,05,20003800,510.x x x R x x x ⎧-+≤≤=⎨-<≤⎩所以()()()24003200800,05,10004600,510.x x x f x R x G x x x ⎧-+-≤≤=-=⎨-<≤⎩（2）由（1）可得，当05x ≤≤时，()()240045600f x x =--+. 所以当4x =时，()max 5600f x =（万元）当510x <≤时，()10004600f x x =-，()f x 单调递增， 所以()()105400f x f ≤=（万元）.综上，当4x =时，()max 5600f x =（万元）.所以当产量为4万台时，公司所获利润最大，最大利润为5600万元. 【点睛】本小题主要考查分段函数模型在实际生活中的运用，考查二次函数、一次函数最值有关问题的求解，属于基础题. 25．（1）当时，为偶函数，当时，既不是奇函数，也不是偶函数,；（2）(16]-∞，.【解析】 【分析】 【详解】 （1）当时，，对任意(0)(0)x ∈-∞+∞U ，，，，为偶函数．当时，2()(00)af x x a x x=+≠≠，， 取，得(1)(1)20(1)(1)20f f f f a -+=≠--=-≠，，(1)(1)(1)(1)f f f f ∴-≠--≠，，函数既不是奇函数，也不是偶函数．（2）设122x x ≤<，，要使函数在[2)x ∈+∞，上为增函数，必须恒成立．121204x x x x -<>Q，，即恒成立． 又，．的取值范围是(16]-∞，． 26．（1）()10f = （2）{|10}x x -≤<． 【解析】 【分析】（1）根据()()()f xy f x f y =+，令1x y ==，即可得出()1f 的值；（2）由0x y <<，都有()()f x f y >知()f x 为()0,+∞上的减函数，根据()f x 的单调性，结合函数的定义域，列出不等式解出x 的范围即可. 【详解】（1）令1x y ==，则()()()111f f f =+，()10f =.（2）解法一：由x y <<，都有()()f x f y >知()f x 为()0,+∞上的减函数，且30x x ->⎧⎨->⎩，即0x <. ∵()()()f xy f x f y =+，(),0,x y ∈+∞且112f ⎛⎫=⎪⎝⎭，∴()()32f x f x -+-≥-可化为()()1322f x f x f ⎛⎫-+-≥-⎪⎝⎭，即()()113022f x f f x f ⎛⎫⎛⎫-++-+≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝()()()331112222x x x x f f f f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⇔-+≥⇔-⋅≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 则03122x x x <⎧⎪⎨--⋅≤⎪⎩，解得10x -≤<.∴不等式()()32f x f x -+-≥-的解集为{|10}x x -≤<． 【点睛】本题主要考查抽象函数的定义域、不等式的解法，属于中档题.定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数()f x 的定义域为[],a b ，则函数()()f g x 的定义域由不等式()a g x b ≤≤求出.。

长沙市2024年下学期高一年级第一阶段性测试数学试卷（答案在最后）分量：150分时量：150分钟命题人：一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.下列各图中，不能表示y是x的函数的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用函数的定义，对各个选项逐一分析判断，即可求出结果.【详解】由函数的定义知，每一个x的取值，有且仅有一个y值与之对应，由选项A，C和D的图象可知，每一个x的取值，有且仅有一个y值与之对应，所以选项A，C和D错误，由选项B的图象知，存在x的取值，一个x的取值，有两个y值与之对应，所以不能表示y是x的函数，故选：B.2.已知：11(a ba b>∈R,，且0)ab≠，下列不等关系一定成立的是（）A.a b>B.a b<C.a b ab+> D.22ab a b>【答案】D【解析】【分析】通过赋值法举反例排除A,B,C项，对于D项，则可寻找条件成立的充要条件，再用作差法判断即得.【详解】对于A ，可取2,1a b =-=-，满足11a b>，但得不到a b >，故A 错误；对于B ，可取1,1a b ==-，满足11a b >，但不满足a b <，故B 错误；对于C ，可取2,1a b =-=-，满足11a b>，但32a b ab +=-<=，故C 错误；对于D ，因110()0b aab b a a b ab->⇔>⇔->，而22()ab a b ab b a -=-，故必有22ab a b >成立，即D 正确.故选：D.3.已知集合{}3,N A x x x =≤∈，{}221,,B m m m =-，{}3,,32C m m =-，若B C =，则A B ⋂的子集个数为（）A.2B.4C.7D.8【答案】B 【解析】【分析】本题根据B 、C 两集合相等，则元素相同，然后分类讨论求出参数m ，进而求出两个集合，再求集合A 、B 的交集，然后可求子集的个数.【详解】由题意得，{}0,1,2,3A =，又集合B C =，若213m -=，则2m =，此时{}2,3,4B =，则{}2,3A B =I ，故A B ⋂子集个数为224=；若21m m -=，则1m =，此时显然,B C 集合不成立，舍去；若2132m m -=-，1m =，同理舍去.综上得：2m =时，A B ⋂子集个数为4个；故选：B.4.已知函数()y f x =的定义域为[]1,4-，则21y +=）A.[]5,5- B.31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C.(]1,5 D.35,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】【分析】根据抽象函数定义域和具体函数定义域求法直接构造不等式求解即可.【详解】()y f x = 的定义域为[]1,4-，121410x x -≤+≤⎧∴⎨->⎩，解得：312x <≤，21y +∴=的定义域为31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦.故选：B.5.已知(31)4,1(),1a x a x f x ax x -+<⎧=⎨-≥⎩是定义在R 上的减函数，则实数a 的取值范围是（）A.11,83⎡⎫⎪⎢⎣⎭B.11,83⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】A 【解析】【分析】由函数()f x 是R 上的减函数，可得3100314a a a a a -<⎧⎪-<⎨⎪-+≥-⎩，求解即可.【详解】∵函数()f x 是R 上的减函数，∴3100314a a a a a-<⎧⎪-<⎨⎪-+≥-⎩，解得1183a ≤<.故选：A.6.为了加强家校联系，王老师组建了一个由学生､家长和教师组成的QQ 群.已知该群中男学生人数多于女学生人数，女学生人数多于家长人数，家长人数多于教师人数，教师人数的两倍多于男学生人数.则该QQ 群人数的最小值为（）A.20B.22C.26D.28【答案】B 【解析】【分析】设教师人数为，家长人数为y ，女学生人数为z ，男学生人数为t ，由题意得到46x y z t x +++≥+，再由教师人数的两倍多于男学生人数得到x 的范围求解.【详解】设教师人数为，家长人数为y ，女学生人数为z ，男学生人数为t ，x 、y 、z 、t ∈Z ，则1,12y x z y x ≥+≥+≥+，123t z y x ≥+≥+≥+，则46x y z t x +++≥+，又教师人数的两倍多于男学生人数，23x x ∴>+，解得3x >，当=4x 时，22x y z t +++≥，此时总人数最少为22.故选:B.7.若a b >，且2ab =，则22(1)(1)a b a b-++-的最小值为（）A.2B.4-C.4-D.2-【答案】D 【解析】【分析】首先利用条件等式将表达式变形，然后利用基本不等式求最小值，一定要注意取等条件是否成立.【详解】因为2ab =，所以由题意222222(1)(1)2222a b a b a b a b aba b a b a b-++++-+++==----()()23622a b aba b a ba b-+=-=-+---，因为a b >，所以0a b ->，所以由基本不等式可得()22(1)(1)622a b a b a b a b-++=-+-≥---，当且仅当2ab a b a b=⎧⎪-=⎨⎪>⎩时等号成立，即当且仅当22a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或22a b ⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩时等号成立，综上所述，22(1)(1)a b a b-++-的最小值为2-.故选：D.【点睛】关键点点睛，解决本题的关键是要利用条件等式对已知表达式变形，利用基本不等式后要注意到取等条件的成立与否.8.关于函数()()1xf x x x=∈+R 的性质，①等式()()0f x f x -+=对x ∈R 恒成立；②函数()f x 的值域为()1,1-；③若12x x ≠，则一定有()()12f x f x ≠；④存在无数个0x ，满足()0011f x f x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭其中正确结论个数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】D 【解析】【分析】根据函数的解析式先判断函数奇偶性得①正确；再将定义域分段去掉绝对值，化简函数式后利用不等式性质分析判断②；利用函数的奇偶性和局部单调性得出函数为R 上的增函数即可判断③；分析发现函数在0x <时即满足条件，故可判断④正确.【详解】对于①，由()()11x xf x f x x x--==-=-+-+可得()()0f x f x -+=对R x ∈恒成立，故①正确；对于②，当0x >时，()()1111111x x f x x x x+-===-+++，因为0x >，所以11x +>，所以1011x <<+，所以1011x >->-+，所以11101x >->+，所以()01f x <<，当0x <时，()()1111111x x f x x x x--+===-+---，因为0x <，则11x ->，则1011x<<-，故得11101x-<-+<-，即()10f x -<<，当0x =时，()0f x =，综上，()f x 的值域为−1,1，所以②正确；对于③，当0x >时，()111f x x=-+为增函数，由①知()f x 为奇函数，因为()f x 的图象在R 上连续，所以()f x 在R 上为增函数，所以当12x x ≠，则一定有()()12f x f x ≠，所以③正确；对于④，当0x <时，10x<，()1x f x x =-，111111()x f x x x==--则()111(1111x x f x f x x x x-+=+==----，所以存在无数个00x <，满足()001()1f x f x +=-，所以④正确，即正确的结论共有4个，故选：D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.命题:p x ∃∈R ，210x x -+=．命题q ：任意两个等边三角形都相似．关于这两个命题，下列判断正确的是（）A.p 是真命题B.:p x ⌝∀∈R ，210x x -+≠C.q 是真命题 D.q ⌝：存在两个等边三角形，它们不相似【答案】BCD 【解析】【分析】根据根的判别式可判断命题p 的真假，根据等边三角形的性质判断命题q 的真假，从而判断AC ，根据命题的否定可判断BD.【详解】对于方程210x x -+=，()2141130∆=--⨯⨯=-<,所以x ∀∈R ，210x x -+=无解，故p 是假命题，故A 错误；:p x ⌝∀∈R ，210x x -+≠，故B 正确；任意两个等边三角形都相似，故q 是真命题，故C 正确；q ⌝：存在两个等边三角形，它们不相似，故D 正确.故选:BCD.10.已知集合{}222|80A x x a x a =++-=,{}2|(2)0B x x =+=,且A B A B = ．集合D 为a 的取值组成的集合，则下列关系中正确的是（）A.2D -∈B.2D ∉C.D ∅⊆D.0D∉【答案】ACD 【解析】【分析】根据已知条件得出A B =，再得出集合D ，最后结合元素和集合的关系判断各个选项.【详解】因为A B A B = ，所以A B =，因为{}2B =-，所以{}{}222802A xx a x a =++-==-∣，所以()()2224180a a ∆=-⨯⨯-=且224280a a -⨯+-=，所以24a =，{}2,2D =-，所以2,2,0,D D D D -∈∈∉∅⊆.故选：ACD.11.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名的函数R 1,Q()0,Q x f x x ∈⎧=⎨∈⎩ð，被称为狄利克雷函数，其中R 为实数集，Q 为有理数集，则以下关于狄利克雷函数()f x 的结论中，正确的是（）A.函数()f x 满足：()()f x f x -=B.函数()f x 的值域是[]0,1C.对于任意的x ∈R ，都有()()1ff x =D.在()f x 图象上不存在不同的三个点、、A B C ，使得ABC V 为等边三角形【答案】AC 【解析】【分析】利用R 1,Q()0,Q x f x x ∈⎧=⎨∈⎩ð，对选项A ，B 和C 逐一分析判断，即可得出选项A ，B 和C 的正误，选项D ，通过取特殊点()0,1,,,033A B C ⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，此时ABC V 为等边三角形，即可求解.【详解】由于R 1,Q()0,Q x f x x ∈⎧=⎨∈⎩ð，对于选项A ，设任意x ∈Q ，则()(),1x f x f x -∈-==Q ；设任意Q x ∈R ð，则()()Q,0x f x f x -∈-==R ð，总之，对于任意实数()(),x f x f x -=恒成立，所以选项A 正确，对于选项B ，()f x 的值域为{}0,1，又{}[]0,10,1≠，所以选项B 错误，对于选项C ，当x ∈Q ，则()()()()1,11f x ff x f ===，当Q x ∈R ð，则()()()()0,01f x f f x f ===，所以选项C 正确，对于选项D ，取()330,1,,0,,033A B C ⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，此时3AB AC BC ===，得到ABC V 为等边三角形，所以选项D 错误，故选：AC ．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知14,263x y x y -≤-≤-≤+≤，则8z x y =-的取值范围是__________.【答案】510z -≤≤【解析】【分析】利用不等式的性质可求z 的取值范围.【详解】设()()()()866x y m x y n x y m n x n m y -=-++=++-，则168m n n m +=⎧⎨-=-⎩，故12n m =-⎧⎨=⎩，因为14,263x y x y -≤-≤-≤+≤，则()()228,362x y x y -≤-≤-≤-+≤，故()()52610x y x y -≤--+≤即510z -≤≤，故答案为：510z -≤≤.13.在22{|1}1x A x x -=<+，22{|0}B x x x a a =++-<，设全集U =R ，若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是_____【答案】4a ≥或3a ≤-【解析】【分析】根据充分必要条件的定义，对a 进行分类讨论，可得答案.【详解】解不等式2211x x -<+，即301x x -<+，得13x -<<，得(1,3)A =-，{|()(1)0}B x x a x a =++-<，“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，∴A 为B 的真子集，分类讨论如下：①1a a -=-，即12a =时，B =∅，不符题意；②1a a -<-，即12a >时，{|1}B x a x a =-<<-，此时需满足113a a -≤-⎧⎨-≥⎩，（等号不同时成立），解得4a ≥，满足题意，③1a a ->-，即12a <时，{|1}B x a x a =-<<-，此时，113a a -≤-⎧⎨-≥⎩，（等号不同时成立），解得3a ≤-，满足题意，综上，4a ≥或3a ≤-时，满足“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件.故答案为：4a ≥或3a ≤-14.设函数()f x 的定义域为R ，满足1(1)()2f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =--.若对任意[,)x m ∈+∞，都有8()9f x ≤，则m 的取值范围是___________.【答案】43m ≥-【解析】【分析】求得()f x 在区间(](]1,0,2,1---上的解析式，画出()f x 的图象，结合图象列不等式，由此求得m 的取值范围.【详解】(]1,0x ∈-时，(]10,1x +∈，而(]0,1x ∈时，()()1,f x x x =--所以()()()()11111f x x x x x ⎡⎤+=-++-=-+⎣⎦，又()()21f x f x +=，所以当(]1,0x ∈-时，()()()2121f x f x x x =+=-+，当(]2,1x ∈--时，()()()()()()2122111412f x f x x x x x ⎡⎤=+=-⨯+++=-++⎣⎦，作出示意图如下图所示：要使()89f x ≤，则需1x x ≥，结合上图，由()()84129x x -++=，解得143x =-，所以43m ≥-.【点睛】关键点点睛：所给的抽象函数关系式，如本题中的1(1)()2f x f x +=，然后要关注题目所给的已知区间的函数解析式，结合这两个条件来求得其它区间的函数解析式.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知集合{}|()(2)0A x x m x =-+<，{}|0B x x m =+<.（1）当1m =时，求A B ⋂；（2）若A B B = ，求实数m 的取值范围．【答案】（1）()2,1A B ⋂=--（2）(],0-∞【解析】【分析】（1）根据条件，得到{}21A x x =-<<，{}1B x x =<-，即可求出结果；（2）根据条件得到A B ⊆，再分2m =-、2m >-和2m <-三种情况进行讨论，即可求出结果.【小问1详解】当1m =时，()(){}{}12021A x x x x x =-+<=-<<，{}{}101B x x x x =+<=<-，所以()2,1A B ⋂=--．【小问2详解】）因为A B B = ，则A B ⊆，当2m =-时，A =∅，有A B ⊆，符合题意，当2m >-时，{}{}2,A x x m B x x m =-<<=<-，由A B ⊆，则m m -≥，解得0m ≤，所以(]2,0m ∈-，当2m <-时，{}{}2,A x m x B x x m =<<-=<-，由A B ⊆，则2m -≥-，解得2m ≤，所以(),2m ∞∈--，综上所述，实数m 的取值范围是(],0-∞．16.已知函数()()2,0af x x x x x=+∈≠R ．（1）若1a =，求()f x 在{10x x ∈-≤<R 或01}x <≤上的值域；（2）证明：当0a >时，函数()f x 在区间,2∞⎛-- ⎝⎦上单调递增．【答案】（1）(),⎡-∞-⋃+∞⎣（2）证明见解析【解析】【分析】（1）直接利用基本不等式计算即可求解；（2）直接利用定义法即可判断函数()f x 的单调性.【小问1详解】当()11,2a f x x x==+，若(]0,1x ∈，则()12f x x x =+≥22x =时成立；若[)1,0x ∈-，则()112[(2)()]f x x x x x =+=--+-≤--，等号当且仅当22x =-时成立．所以()f x 在{10x x ∈-≤<R 或01}x <≤上的值域为：(),⎡-∞-⋃+∞⎣．【小问2详解】12,,2x x ⎛∀∈-∞- ⎝⎦，且12x x <，有()()()12121212122222a a a a f x f x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()211212121212222a x x x x x x x x a x x x x --=-+=-．由122,,2a x x ⎛∈-∞- ⎝⎦得：1222,22a a x x <-≤-．所以12120,202a x x x x a >>->，又由12x x <，得120x x -<．于是：()12121220x x x x a x x --<，即()()12f x f x <．所以，函数()2a f x x x =+在区间,2⎛-∞- ⎝⎦上单调递增．17.已知()y f x =在()0,∞+上有意义，单调递增且满足()()()()21,f f xy f x f y ==+．（1）求证：()()22f x f x =；（2）求不等式的()()32f x f x ++≤的解集．【答案】（1）证明见解析（2）{}|01x x <≤【解析】【分析】（1）根据条件，通过令y x =，即可证明结果；（2）根据条件得到()()()34f x x f +≤，再利用()f x 在区间()0,∞+上的单调性，即可求出结果.【小问1详解】因为()()()f xy f x f y =+，令y x =，得到()()()()22f x f x f x f x =+=，所以()()22f x f x =.【小问2详解】()()()()()()332224f x f x f x x f f ++=+≤== ，又函数()f x 在区间()0,∞+上单调递增，所以()03034x x x x ⎧>⎪+>⎨⎪+≤⎩，解得01x <≤，所以不等式的()()32f x f x ++≤的解集为{}|01x x <≤.18.我们知道，当0a b ≥>时，如果把2,,112a b a b a b++话，一个美丽、大方、优雅的均值不等式链2__________11a b a b ≥≥≥≥≥+便款款的、含情脉脉的降临在我们面前.这个均值不等式链神通巨大，可以解决很多很多的由定值求最值问题.（1）填空写出补充完整的该均值不等式链；2__________11a b a b≥≥≥≥≥+（2）如果定义：当0a b ≥>时，a b -为,a b 间的“缝隙”.2a b +间的“缝隙”为M ，2a b +与间的缝隙为N ，请问M 、N 谁大？给出你的结论并证明.【答案】（1）2112a b a b a b+≥≥≥≥≥+（2）M N ≤，见解析【解析】【分析】（1）由题得2112a b a b a b+≥≥≥≥≥+；（2）M N ≤（当且仅当a b =时取等号），再利用作差比较法证明即可.【详解】（1）2112a b a b a b+≥≥≥≥≥+（2）M N ≤（当且仅当a b =时取等号）证明：∵()22a b a b M N a b ⎫⎛++⎛-=--=-+⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭又∵()222222()22a b a b ab a b ab ⎫⎛⎫++-+=+-++⎪ ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭222a b ab ⎛⎫+=-- ⎪ ⎪⎝⎭20=--≤⎭（当且仅当a b =时取=号）.∴22()a b +≤+⎭a b +≤+∴M N ≤（当且仅当a b =时取=号）.【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，考查作差比较法证明不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.19.对于函数()f x ，若存在0x ∈R ，使()00f x x =成立，则称0x 为()f x 的不动点．（1）已知函数()23f x x x =--，求函数()f x 的不动点；（2）若对于任意的b ∈R ，二次函数()()218f x ax b x b =+-+-（0a ≠）恒有两个相异的不动点，求实数a 的取值范围；（3）若函数()()211f x mx m x m =-+++在区间()0,2上有唯一的不动点，求实数m 的取值范围．【答案】（1）1,3-（2）()0,6（3）11m -<≤或3m =【解析】【分析】（1）求函数()f x 的不动点，即求方程()00f x x =的根，即求方程20003x x x --=的解；（2）二次函数()()218f x ax b x b =+-+-（0a ≠）恒有两个相异的不动点，等价于方程()2280ax b x b +-+-=有两个不等实根，对于任意的b ∈R 恒成立，只需要不等式()()2414810b a b a -+++>恒成立，求实数a 的取值范围即可；（3）在区间0,2上，函数()()221g x mx m x m =-+++有唯一零点，应用零点存在性定理即可，同时还要关注区间边界函数值为零和判别式为零的情形.【小问1详解】设0x 为不动点，因此()00f x x =，即20003x x x --=，解得01x =-或03x =，所以1,3-为函数()f x 的不动点．【小问2详解】方程()f x x =，即()218ax b x b x +-+-=，有()2280ax b x b +-+-=，因为0a ≠，于是得一元二次方程()2280ax b x b +-+-=有两个不等实根，即判别式()()()22Δ(2)480414810b a b b a b a =--->⇔-+++>，依题意，对于任意的b ∈R ，不等式()()2414810b a b a -+++>恒成立，只需关于未知数b 的方程()()2414810b a b a -+++=无实数根，则判别式()()2Δ16116810a a =+-+<，整理得260a a -<，解得06a <<，所以实数a 的取值范围是()0,6．【小问3详解】由()()211f x mx m x m x =-+++=，得()2210mx m x m -+++=，由于函数()f x 在0,2上有且只有一个不动点，即()2210mx m x m -+++=在0,2上有且只有一个解令()()221g x mx m x m =-+++①()()020g g ⋅<，则()()110m m +-<，解得11m -<<；②()00g =，即1m =-时，方程可化为20x x --=，另一个根为1-，不符合题意，舍去；③()20g =，即1m =时，方程可化为2320x x -+=，另一个根为1，满足；④0∆=，即()()22410m m m +-+=，解得233m =±，（i ）当233m =时，方程的根为()221222m m x m m -++=-==，满足；（ii ）当3m =-时，方程的根为()221222m m x m m -++-=-==，不符合题意，舍去；综上，m 的取值范围是11m -<≤或3m =．。

2020-2021学年湖南省长沙市雅礼中学高一上学期第一次月考数学试题一、单选题1．若集合{},,a b c 中的三个元素可构成某个三角形的三条边长，则此三角形一定不是（ ） A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形【答案】D【解析】根据集合中元素的互异性可知，D 正确；给,,a b c 取特值可知，,,A B C 不正确. 【详解】根据集合中元素的互异性可知，a b c ≠≠，所以此三角形一定不是等腰三角形，故D 正确；当3,4,5a b c ===时，三角形为直角三角形，故A 不正确； 当 6.8.9a b c ===时，三角形为锐角三角形，故B 不正确； 当6,8,11a b c ===时，三角形为钝角三角形，故C 不正确； 故选：D. 【点睛】本题考查了集合中元素的互异性，属于基础题. 2．集合{}12A x x =-≤≤，{}1B x x =<，则()A B =R（ ）A ．{}1x x > B ．{}1x x ≥C ．{}12x x <≤D ．{}12x x ≤≤【答案】D【解析】根据{}1B x x =<，利用补集的定义求得RB ，然后再利用交集运算求解.【详解】因为{}1B x x =<， 所以{}R1B x x =≥.又{}12A x x =-≤≤，(){}R 12A B x x ∴⋂=≤≤.故选：D 【点睛】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题.3．设A 、B 、U 均为非空集合，且满足A B U ⊆⊆，则下列各式中错误的是（ ） A ．()U C A B U =B ．()()U U UC A C B C B = C ．()U A C B ⋂=∅D ．()()U U C A C B U =【答案】D【解析】做出韦恩图，根据图形结合交集、并集、补集定义，逐项判断，即可得出结论. 【详解】A B U ⊆⊆，如下图所示，则U U C B C A ⊆，()U C A B U =，选项A 正确，()()U U U C A C B C B =，选项B 正确， ()U A C B ⋂=∅，选项C 正确，()()U U U C A C B C A U =≠，所以选项D 错误.故选:D.【点睛】本题考查集合交、并、补计算，利用韦恩图是解题的关键，属于基础题. 4．“a ，b 为正数”是“2a b ab +>”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】通过举反例可得答案. 【详解】当0a b =>时，2a b ab +=，故“a ，b 为正数”是“2a b ab +>的不充分条件当1,0a b ==时，满足a b +>a ，b 为正数，故“a ，b 为正数”是“a b +>的不必要条件综上：“a ，b 为正数”是“a b +>的既不充分也不必要条件 故选：D 【点睛】本题考查的是充分条件和必要条件的判断，较简单.5．已知命题p ：01x ∃>，2010x ->，那么p ⌝是（ ）A ．01x ∀>，210x ->B ．01x ∃>，2010x -≤ C ．01x ∀>，2010x -≤D ．01x ∃≤，2010x -≤【答案】C【解析】直接利用特称量词的否定得到答案. 【详解】解：命题P ：01x ∃>，2010x ->，那么P ⌝：01x ∀>，2010x -≤.故选：C. 【点睛】本题考查了特称量词的否定，属于简单题.6．已知函数(21)43(R)f x x x -=+∈，若()15f a =，则实数a 之值为（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】D【解析】令21x a -=，则12a x +=，再由1()43152+=⨯+=a f a 求解. 【详解】令21x a -=，则12a x +=， 所以1()43252a f a a +=⨯+=+， 由2515a +=， 解得5a =. 故选：D ． 【点睛】本题主要考查已知函数值求参数问题，属于基础题.7．已知命题“x ∃∈R ，使()214204x x a ++-≤”是假命题，则实数a 的取值范围是（ ） A ．0a < B ．04a ≤≤ C ．4a ≥ D ．94a >【答案】D【解析】根据特称命题的真假关系即可得到结论． 【详解】 解：命题“x R ∃∈，使()214204x x a ++-”是假命题， ∴命题“x R ∀∈，使()214204x x a ++->”是真命题， 即判别式()21144204a ∆=-⨯⨯-<，所以94a >， 故选：D ． 【点睛】本题主要考查含有量词的命题的真假应用，利用一元二次不等式的性质是解决本题的关键，基础题．8．已知2x >，则函数()124f x x x =+-的最小值为（ ）A ．2+B ．2+C ．2D ．【答案】A【解析】对()11222242f x x x x x =+=-++--进行变形，然后利用基本不等式求最小值即可. 【详解】 当2x >时，()1122222242f x x x x x =+=-++≥=--当且仅当1222x x -=-，即22x =+取等号，所以()f x 的最小值为2 故选： A.本题考查了利用基本不等式求最小值，注意等号成立的条件.二、多选题9．使0ab >成立的充分不必要条件可以是（ ） A ．0a >，0b > B ．0a b +>C ．0a <，0b <D ．1a >，1b >【答案】ACD【解析】根据题意逐一判断即可. 【详解】由0a >，0b >可以推出0ab >，反之不成立，故A 满足题意 当5,4a b ==-时满足0a b +>，但不满足0ab >，故B 不满足题意 由0a <，0b <可以推出0ab >，反之不成立，故C 满足题意 由1a >，1b >可以推出0ab >，反之不成立，故D 满足题意 故选：ACD 【点睛】本题考查的是充分必要条件的判断，较简单. 10．（多选题）下列命题为真命题的是（ ） A ．若0a b >>，则22ac bc > B ．若0a b <<，则22a ab b >> C ．若0a b >>且0c <，则22c ca b > D ．若a b >且11a b>，则0ab < 【答案】BCD 【解析】当0c 时，可判断选项A 不成立；分别利用不等式的性质可判断选项BCD正确． 【详解】 选项A ：当0c时，不等式不成立，故本命题是假命题；选项B : 2222,00a b a b a ab ab b a ab b a b ⎧<<⎧⇒>⇒>∴>>⎨⎨<<⎩⎩，所以本命题是真命题； 选项C : 22222211000,0c ca b a b c a b a b >>⇒>>⇒<<<∴>，所以本命题是真命题； 选项D :111100,00b aa b b a ab a b a b ab->⇒->⇒>>∴-<∴<，所以本命题是真命题； 故选:BCD ．本题以命题的形式考查不等式性质的应用，熟记公式是解题的关键，考查学生的计算能力，属于中档题．11．已知a∈Z，关于x的一元二次不等式260x x a-+≤的解集中有且仅有3个整数，则a的值可以是（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】CD【解析】设2()6f x x x a=-+，其图象是开口向上，对称轴是3x=的抛物线，如图所示．利用数形结合的方法得出，若关于x的一元二次不等式260x x a-+的解集中有且仅有3个整数，则(2)0{(1)0ff>，从而解出所有符合条件的a的值．【详解】设()26f x x x a=-+，其图像为开口向上，对称轴是3x=的抛物线，如图所示.若关于x的一元二次不等式260x x a-+≤的解集中有且仅有3个整数，因为对称轴为3x=，则2226201610⎧-⨯+≤⎨-⨯+>⎩aa解得58a<≤，又a∈Z，故a可以为6，7，8.故选：CD【点睛】本题考查了有特殊要求的一元二次不等式的解法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．12．下列说法正确的是（）A ．若x ∈R ，则12x x+≥ B ．若15x y -≤<≤，则60x y -≤-<C ．“1x >或2y >”是“3x y +>”的必要不充分条件D ．若a ab b ，则a b >【答案】BCD【解析】A. 由0x <判断； B.根据15x y -≤<≤，由不等式的基本性质判断；，C.利用等价命题判断； D.令()22,0,0x x f x x x x x ⎧≥==⎨-<⎩，利用函数的单调性判断；如图所示：【详解】A. 当0x <时，12x x+≥不成立，故错误； B.因为15x y -≤<≤，所以51y -≤-≤，由不等式的基本性质，则60x y -≤-<，故正确；C. “1x >或2y >”，则“3x y +>”的逆否命题是“3x y +≤”，则“1x ≤且2y ≤”是假命题，故不充分，“1x >或2y >”，则“3x y +>”的否命题是“1x ≤且2y ≤” ，则“3x y +≤”是真命题，故必要，故正确；D.当()22,0,0x x f x x x x x ⎧≥==⎨-<⎩，如图所示：()f x 在R 上递增，由()()f a f b >则a b >，故正确；故选：BCD 【点睛】本题主要考查不等式的基本性质以及逻辑条件的判断，还考查分析求解问题的能力，属于中档题.三、填空题13．设{}|13A x x=-<≤，{}|=>B x x a，若A B⊆，则a的取值范围是______.【答案】1a≤-【解析】依据题中条件:“A B⊆”结合数轴求解即可，本题即要考虑a对应的点与区间[]1,3-的端点的关系即得.【详解】根据题意画出数轴，如图所示，结合数轴:A B⊆,a∴对应的点必须在区间[]1,3-的左端点1-的左侧，1a∴≤-.故答案为：1a≤-.【点睛】本题主要考查的是元素与集合、集合之间的关系，是基础题.14．已知()0,01,01,0xf x xx x<⎧⎪==⎨⎪+>⎩，则()()()1f f f-=______．【答案】2【解析】先求出()1f-，进而可求出()()1f f-，最后即可求出()()()1f f f-【详解】解：因为10-<，所以()10f-=，则()()()101f f f-==，因为10>，所以()()()()112f f f f-==，故答案为:2.【点睛】本题考查了分段函数函数值的求解，属于基础题.15．若{}13x x x∃∈≤≤，使得不等式220x x a++≥成立，则实数a的取值范围为______．【答案】15a ≥-【解析】令()22f x x x =--，求出()f x 的最小值即可.【详解】解：即{}13x x x ∃∈≤≤，使22a x x ≥--成立， 令()()22211f x x x x =--=-++，{}13x x x ∈≤≤时，()()22211f x x x x =--=-++单调递减，()()()31513f f x f =-≤≤=-，则实数a 的取值范围为15a ≥-.故答案为：15a ≥-. 【点睛】考查不等式能成立求参数的取值范围，基础题.四、双空题16．已知a ，b R +∈，1a b +=，则： （1）1122a b +++的最小值是______． （2）11b a b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的最小值是______．【答案】452+ 【解析】(1)将1a b +=配凑为()()225a b +++=，然后利用常数代换后，再利用基本不等式，即可求出1122a b +++最小值； (2)将11b a b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭通分后可得21b ab+，然后将分母中的利用1的代换可得2222b a ab ab ++，再利用基本不等式，即可求出最小值. 【详解】(1)由于a ，b R +∈，1a b +=，则()()225a b +++=所以11111[(2)(2)]22522a b a b a b ⎛⎫+=++++ ⎪++++⎝⎭ 12211522b a a b ++⎛⎫=+++ ⎪++⎝⎭1222522b a a b ++⎛⎫=++ ⎪++⎝⎭14255⎛⎫≥= ⎪ ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==时等号成立； (2)()2222211122b a b b b a ab b a b ab ab ab+++++⎛⎫+===⎪⎝⎭2)2ab ab=≥，当且仅当a =，即2a =，1b =时等号成立.【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最小值，属于中档题.在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特点灵活变形，配凑出和或积为常数的形式，主要思路为：(1)对所求目标函数的不等式求解，常用方法为：拆项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法；(2)根据条件变形，常用“1”的代换求目标函数的最值.五、解答题17．已知集合{}2|2A x x -=≤≤，集合{}|1B x x =>. （1）求()R C B A ⋂；（2）设集合{}|6M x a x a =<<+，且A M M ⋃=，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）(){|21}R C B A x x ⋂=-≤≤（2）{}|42a a -<<- 【解析】（1）根据集合的补集和并集的定义计算即可 （2）根据并集的定义得出关于a 的不等式组，求出解集即可 【详解】 （1）集合{}1B x x =.则{}|1R C B x x =≤集合{}|22A x x =-≤≤， 则(){}|21R C B A x x ⋂=-≤≤ (2)集合{}|6M x a x a =<<+，且A M M ⋃=622a a +>⎧∴⎨<-⎩,解得42a -<<-故实数a 的取值范围为{}|42a a -<<- 【点睛】本题主要考查了交集、并集、补集的运算，在解答时需要将并集转化为子集问题来求解． 18．设集合{}2|230A x x x =+-<，集合{|||1}B x x a =+<. （1）若3a =，求AB ；（2）设命题 : p x A ∈，命题:q x B ∈，若p 是q 成立的必要不充分条件，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）{|41}AB x x =-<<；（2）02a ≤≤.【解析】（1）解一元二次不等式、绝对值不等式化简集合,A B 的表示，再利用集合并集的定义，结合数轴进行求解即可；（2）根据必要不充分对应的集合间的子集关系，结合数轴进行求解即可. 【详解】（1）{}{}2|230|31A x x x x x =+-<=-<<.因为3a =，所以{||3|1}{|42}B x x x x =+<=-<<-， 因此{|41}AB x x =-<<；（2）{}|31A x x =-<<，{|||1}{|11}B x x a x a x a =+<=--<<-， 因为p 是q 成立的必要不充分条件，所以集合B 是集合A 的真子集，因此有1113a a -≤⎧⎨-->-⎩或1113a a -<⎧⎨--≥-⎩，解得02a ≤≤.【点睛】本题考查了集合的并集的运算，考查了由必要不充分条件求参数问题，考查了一元二次不等式、绝对值不等式的解法，考查了数学运算能力.19．已知函数()f x = （1）求()f x 的定义域； （2）求()f x 的值域．【答案】（1）[]1,3；（2）2,⎡⎣.【解析】（1）利用偶次根式被开方数非负可解出函数()y f x =的定义域；（2）把()f x =()24f x =+，再求241612x x -+-的值域即可，然后逆推回去即可求解函数()y f x =的值域.【详解】 解：（1）由220620x x -≥⎧⎨-≥⎩，得()f x 的定义域为[]1,3；（2）易知()0f x ≥．又()222624f x x x =-+-=+4=+2x =时，()221x --+有最大值1，1x =或3x =时，()221x --+有最小值0，所以[]1,3x ∈时，易得()[]24,8f x ∈，故求()f x 的值域为2,⎡⎣．【点睛】本题考查函数定义域的求解，同时也考查了函数值域的求解，将问题转化为二次函数在区间上的值域问题是解答的关键，考查化归与转化思想，属于中等题.20．已知p ：x R ∀∈，()221x m x >+，q ：0x R ∃∈，200210x x m +--=，（1）若q 是真命题，求实数m 的取值范围； （2）若p 、q ⌝均为真命题，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）2m ≥-；（2）2m <-.【解析】（1）条件可转化为方程2210x x m +--=有实根，然后可求出答案； （2）先求出p 为真命题的答案，然后结合（1）可得出实数m 的取值范围． 【详解】（1）因为q ：0R x ∃∈，200210x x m +--=为真命题，所以方程2210x x m +--=有实根，所以判别式()4410m ∆=++≥， 得实数m 的取值范围为2m ≥-．（2）()221x m x >+可化为220mx x m -+<，若p ：R x ∀∈，()221x m x >+为真命题，则220mx x m -+<对任意的x ∈R 恒成立，当0m =时，不等式可化为20x -<，显然不恒成立； 当0m ≠时，有2440m m <⎧⎨-<⎩，∴1m <-．由（1）知，若q ⌝为真命题，则2m <-， 又p 、q ⌝均为真命题，所以实数m 需满足12m m <-⎧⎨<-⎩，解得2m <-，所以实数m 的取值范围为2m <-． 【点睛】本题考查的是命题和命题否定的真假性的应用，考查了分类讨论的思想，属于基础题. 21．某单位决定投资3200元建一仓库（长方体状），该仓库的高度为一定值，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每1m 长造价40元；两侧墙砌砖，每1m 长造价45元（不考虑铁栅及墙体的厚度和高度）．（1）若该仓库不需要做屋顶，求该仓库占地面积S 的最大值；（2）若为了使仓库防雨，需要为仓库做屋顶，顶部每21m 造价20元，则当仓库占地面积S 取最大值时，正面铁栅应设计为多长？ 【答案】（1）64009；（2）15米． 【解析】（1）设铁栅长为()0x x >米，一侧砖墙长为()0y y >米，则仓库占地面积S xy =，由条件可得402453200x y +⨯=，然后利用基本不等式求出xy 的最大值即可；（2）根据题意可得40245203200x y xy +⨯+=，然后利用基本不等式可求出答案. 【详解】设铁栅长为()0x x >米，一侧砖墙长为()0y y >米，则仓库占地面积Sxy =．（1）402453200x y +⨯=，49320x y +=≥=64009S xy =≤ 当且仅当40x =，1609y =时取等号，故该仓库占地面积S 的最大值为64009． （2）依题设，得40245203200x y xy +⨯+=，由基本不等式得3200202020xy xy S ≥==，则1600S +≤，即)10160≤10≤，从而100S ≤，当且仅当4090x y =且100xy =即15x =时取等号，所以S 的最大值是100平方米，故此时铁栅的长是15米． 【点睛】本题考查的是基本不等式的实际应用，考查了学生的阅读理解能力，属于基础题. 22．（1）已知a ，b ，c 均为正数，求证：233223323b c a a c b a b ca b c+-+-+-++≥； （2）已知正数x ，y 满足2x y +=，若2212x y a x y <+++恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）证明见解析；（2）45a <. 【解析】（1）利用综合法结合基本不等式证明不等式；（2）先求出12155x y +++=，再结合基本不等式求出2212x y x y +++的最小值，即得解. 【详解】（1）证明∵a ，b ，c 均为正数，∴222b a a b +≥ 323c a a c +≥ 32223c bb c+≥ 以上三式相加，得233262323b a c a c b a b a c b c+++++≥ ∴233211132323b a c a c b a b a c b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-++-++-≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭即233223323b c a a c b a b ca b c+-+-+-++≥．（当且仅当23a b c ==时等号成立）． （2）解：由于正数x ，y 满足2x y +=，所以()()125x y +++=，所以：12155x y +++= 则()()222211221212x y x y x y x y +-+-+=+++++，()()()()221211242412x x y y x y +-+++-++=+++， 14122412x y x y =+-+++-+++14112x y =+-++，121415512x y x y ⎛⎫++⎛⎫=++-⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，()()()4112441115525155x y y x ++=+++-≥-+=++， (当且仅当23x =，43y =等号成立) 要使2212x y a x y <+++恒成立，只需满足22min12x y a x y ⎛⎫<+ ⎪++⎝⎭即可，故45a <． 【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，考查不等式的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.。

长沙市第一中学2020-2021学年度高一第一学期第一次阶段性检测含解析长沙市第一中学2020-2021学年度高一第一学期第一次阶段性检测英语长沙市一中高一英语备课组组稿第二部分阅读(共两节，满分50分)第一节（共15小题；每小题2.5分，满分37.5分）阅读下列短文，从每题所给的A、B、C、D四个选项中选出最佳选项。

APOETRY CHALLENGEWrite a poem about how courage, determination and strength have helped you face challenges in your life.Prizes3 Grand Prizes: Trip to Washigton.D. c. for each of three winners, a parent and one other person of thewinner's choice. Trip includes round-trap air tickets, hotel stay for two nights, and tours of the National Airand Space Museum and the office of National Geographic World.6 First Prizes: The book Sky Pioneer: A Photobiography of Amelia Earhart signed by author CorinneSzabo and pilot Linda Finch.50 Honorable Mentions: Judges will choose up to 50 honorable mention winners, who will each receive aT-shirt in memory of Earhart's final flight.RulesFollow all rules carefully to prevent disqualification(丧失资格).Write a poem using 100 words or fewer. Your poem can be any format, anynumber of lines.Write by hand or type on a single sheet of paper. You may use both thefront and back of the paper.On the same sheet of paper, write or type your name, address, telephone number, and birth date.Mail your entry to us by October 31 this year.21. How many people can each grand prize winner take on the free trip?A. TwoB. ThreeC. FourD. Six22 What will each of the honorable mention winners get?A. A plane ticket.B. A book by Corinne Szabo.C. A special T-shirt.D. A photo of Amelia Earhart.Which of the following will result in disqualification?A. Typing your poem out.B. Writing a poem of 120 words.C. Using both sides of the paper.D. Mailing your entry on October 30.【答案】21. A 22. C 23. B【解析】这是一篇应用文。

长沙市一中高一第一学期第一次单元测试数 学 试 卷满 分：120分 时间：100分钟 出卷人：艾简书 校对：任竞争一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，请将正确选项填在答卷上）1．有下列说法：（1）0{0}∈，（2）{1,2,3}{2,1,3}=，（3）集合{|45}x x <<可以表示成区间（4，5），其中正确的个数有（ ） A ．0个 B ．1个C ．2个D ．3个2．若{|0A x x =<<，{|12}B x x =≤<，则A B = （ ）A ．(,0]-∞B ．[2,)+∞C ．(0,2)D ．3．下图是气温y 与时间t 的函数关系图，从图中可知当气温0y <时，时间t 的范围是（ ）A ．(0,1)B ．(1,5)C ．(5,)+∞D ．(0,5)4．下列说法错误．．的一项是（ ） A ．2()1f x x =+是偶函数 B ．3()f x x =是奇函数C ．1()f x x=图象关于原点对称D ．2()21f x x x =++图象关于y 轴对称5．下列集合A 到集合B 的对应f 是映射的是（ ） A ．{1,0,1}A =-，{1,0,1}B =-，:f A 中的数平方 B ．{0,1}A =，{1,0,1)}B =-，:f A 中的数求平方根 C ．A Z =，B Q =，:f A 中的数取倒数 D ．A R =，B Z =，:f A 中的数取绝对值 6．下列结论正确的一项是（ ） A ．120.990.99-->B ．33log 1.8log 1.7<C ． 1.81.733<D ．0.30.3log 1.8log 1.7<7．已知2,0()1,0x x f x x x⎧≤⎪=⎨->⎪⎩，则()f x 图象大致是（ ）8．已知()f x 为奇函数，且0x ≥时，()(2)f x x x =-，当0x <时，()f x 的表示式为（ ） A ．(2)x x -- B ．(2)x x -+ C ．)2(x x -D ．(2)x x --+9．某城市房价从1500元/m 2，经过4年时间增加到了6000元/m 2，则这4年间平均每年增长率是（ ）A ．1125元B ．100%C1D10．设a 、b 、c 均为正数，且122log a a =，121()log 2bb =，21()log 2cc =，则（ ）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．b a c <<二、填空题（共5题，每题4分，共20分，请将正确答案填在答卷上）11．观察右图()y f x =图象得()f x 值域是 ．12．已知y k x b =+为R 上减函数，则2y kx b =+的递减区间是 ．13．函数y =的定义域是 （用区间表示）14．设{|2,1}xA y y x ==≥，12{|log ,1}B y y x x ==≤，则A B = .15．如图中正OAB ∆边长为4，动直线CD ⊥x 轴，设OC x =，CD 截三角形OAB 左边部分面积为y ，写出y 关于x 的解析式为 ．长沙市一中高一第一学期第一次单元测试数 学 答 卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）11． 12． 13． 14．15．三、解答题（共5题，每题12分，共60分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（本小题12分）画出下列函数的图像，并根据图像说出函数()y f x =的单调区间（1）256y x x =-- （2）y = 2x17．（本小题12分）化简或计算：（1÷（2）3325log 18log 2log 5log 4-+⋅18．（本小题12分）（1）已知xy a =图象过(2,4)，且()1x ag x b a =-+是奇函数，求()g x 解析式，（2）已知21()log 1xf x x-=+的定义域为(1,1)-,判定()f x 奇偶性并证明；19．（本小题12分）如图：要修建从居民区O 点到风景区P 点的公路，其中AB 是原有一条笔直的公路可供利用，从O 到A 修路造价为a 万元/km ，原有公路改建费用为2a万元/km ，当PD 长为l （1)2≤≤l ）时，该段造价为（l 2 + 1）a 万元，已知OA ⊥AB ，PB ⊥AB ，AB = 1．5km ，OA =km ．PB = 1 km,在AB 上求一点D 、使沿折线O →A →D →P 修建公路总造价最少？并求最小值20．（本小题12分）已知31≤a ≤1，若函数()221f x ax x =-+在区间[1，3]上的最大值为()M a ，最小值为()N a ，令()()()g a M a N a =-．（1）求()g a 的函数表达式；（2）判断函数()g a 在区间[31，1]上的单调性，并求出()g a 的最小值．长沙市一中高一第一学期第一次单元测试数 学 试 卷 教师卷满 分：120分 时间：100分钟 出卷人：艾简书 校对：任竞争一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，请将正确选项填在答卷上）1．有下列说法：（1）0{0}∈，（2）{1,2,3}{2,1,3}=，（3）集合{|45}x x <<可以表示成区间（4，5），其中正确的个数有（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个答案：D2．若{|0A x x =<<，{|12}B x x =≤<，则A B = （ ）A ．(,0]-∞B ．[2,)+∞C ．(0,2)D ．答案：C3．下图是气温y 与时间t 的函数关系图，从图中可知当气温0y <时，时间t 的范围是（ ）A ．(0,1)B ．(1,5)C ．(5,)+∞D ．(0,5)答案：B4．下列说法错误．．的一项是（ ） A ．2()1f x x =+是偶函数 B ．3()f x x =是奇函数C ．1()f x x=图象关于原点对称D ．2()21f x x x =++图象关于y 轴对称答案：D5．下列集合A 到集合B 的对应f 是映射的是（ ） A ．{1,0,1}A =-，{1,0,1}B =-，:f A 中的数平方 B ．{0,1}A =，{1,0,1)}B =-，:f A 中的数求平方根 C ．A Z =，B Q =，:f A 中的数取倒数 D ．A R =，B Z =，:f A 中的数取绝对值 答案：A6．下列结论正确的一项是（ ） A ．120.990.99-->B ．33log 1.8log 1.7<C ． 1.81.733<D ．0.30.3log 1.8log 1.7<答案：D7．已知2,0()1,0x x f x x x⎧≤⎪=⎨->⎪⎩，则()f x 图象大致是（ ）答案：A8．已知()f x 为奇函数，且0x ≥时，()(2)f x x x =-，当0x <时，()f x 的表示式为（ ）A ．(2)x x --B ．(2)x x -+C ．)2(x x -D ．(2)x x --+答案：B9．某城市房价从1500元/m 2，经过4年时间增加到了6000元/m 2，则这4年间平均每年增长率是（ ）A ．1125元B ．100%C1D答案：C 41500(1)6000x +=，1x = 10．设a 、b 、c 均为正数，且122log a a =，121()log 2bb =，21()log 2cc =，则（ ）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．b a c << 答案：A 作有关图象可知二、填空题（共5题，每题4分，共20分，请将正确答案填在答卷上）11．观察右图()y f x =图象得()f x 值域是 ． 答案：[1,1]-12．已知y kx b =+为R 上减函数，则2y kx b =+的递减区间是 ． 答案：[0,)+∞13．函数y =的定义域是 （用区间表示） 答:[2,+）∞14．设{|2,1}x A y y x ==≥，12{|log ,1}B y y x x ==≤，则A B = .答案：{|2}y y ≥或[2,)+∞15．如图中正OAB ∆边长为4，动直线CD ⊥x 轴，设OC x =，CD 截三角形OAB 左边部分面积为y ，写出y 关于x 的解析式为 ．答案：22,02),24x x y x x <≤=⎨⎪-<≤⎪⎩三、解答题（共5题，每题12分，共60分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）16、画出下列函数的图像，并根据图像说出函数()y f x =的单调区间 （1）256y x x =-- （2）y = 2x解:1)图要求是开口向上的抛物线,两根要准确(-6与1) (4)减区间( 2.5( 2.5,)-∞+++∞，），增区间为..........................+2分 2)图要求是增函数,过定点(0,1),值域（0，+）∞ (4)增区间是（-∞+∞，）……………………+2分 17．化简或计算：（1÷ （2）3325log 18log 2log 5log 4-+⋅ 解析：原式=6ab ……………………+6分 2）3325log 18log 2log 5log 4-+⋅解析：原式=318lg52lg 2log 2242lg 2lg5+⋅=+=……………………+6分 18． （1）已知x y a =图象过(2,4)，且()1xag x b a =-+是奇函数，求()g x 解析式， （2）已知21()log 1xf x x-=+的定义域为(1,1)-,判定()f x 奇偶性并证明； 解析： （1）2a =，1b =．221()12121x x x g x -=-=++........................+6分 （2）()f x 为奇函数，证明略 (6)19．如图：要修建从居民区O 点到风景区P 点的公路，其中AB 是原有一条笔直的公路可供利用，从O 到A 修路造价为a 万元/km ，原有公路改建费用为2a万元/km ，当PD 长为l （1)2≤≤l ）时，该段造价为（l 2 + 1）a 万元，已知OA ⊥AB ，PB ⊥AB ，AB= 1.5km ，OA PB = 1 km,在AB 上求一点D 、使沿折线O →A →D →P 修建公路总造价最少？并求最小值解析： 设BD = x则PD =[1，2) ， AD = 1.5 – x， OA总费用yy a + （1.5 – x ）+2a（PD a)12+ a + （1.5 – x ）2aa x )1)1((22+++ (4)= a 21.522xx -++） =（x 2 –1124x + a （0)5.1≤≤x (4)当x= 14时，总造价最小为43(16y a = (4)1120．已知31≤a ≤1，若函数()221f x ax x =-+在区间[1，3]上的最大值为()M a ，最小值为()N a ，令()()()g a M a N a =-． （1）求()g a 的函数表达式；（2）判断函数()g a 在区间[31，1]上的单调性，并求出()g a 的最小值 . 解析：（1）∵)(,131x f a ∴≤≤的图像为开口向上的抛物线，且对称轴为].3,1[1∈=ax ∴()f x 有最小值aa N 11)(-= (1)当2≤a 1≤3时，a ∈[)(],21,31x f 有最大值()()11M a f a ==-； (1)当1≤a 1<2时，a ∈（)(],1,21x f 有最大值M （a ）=f （3）=9a －5; …………+2分 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<+-≤≤+-=∴).121(169),2131(12)(a a a a a a a g …………+2分 （2）设1211,32a a ≤<≤则 121212121()()()(1)0,()(),g a g a a a g a g a a a -=-->∴> ]21,31[)(在a g ∴上是减函数. …………+2分 设1211,2a a <<≤ 则121212121()()()(9)0,()(),g a g a a a g a g a a a -=--<∴< ()11(,1]2g a ∴在上是增函数…………+2分. ∴当12a =时，()g a 有最小值21…………+2分．。

湖南省长沙一中2020-2021学年高一数学上学期第一次阶段性检测试题时间：120分钟 分值：150分一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.已知全集U =R ，201x A x x ⎧+⎫=≥⎨⎬-⎩⎭，则U A =( ) A.{}21x x -<< B.{}21x x x ≤-≥或 C.{}21x x x ≤->或 D.{}21x x -<≤2.函数()f x =+的定义域为( )A.[)3,1-B.[]3,1-C.[)3,-+∞D.(),1-∞ 3.下列函数为偶函数，且在()0,+∞单调递增的是( ) A.1y x = B.2y x x =+ C.22y x =- D.2y x =- 4.命题“x ∀∈R ，321x x +≤”的否定是( )A.x ∀∈R ，321x x +>B.x ∀∈R ，321x x +≥C.x ∃∈R ，321x x +>D.x ∃∈R ，321x x +≥5.若P =+Q =+()0a ≥，则P 、Q 的大小关系为( )A.P Q >B.P Q =C.P Q <D.由a 的取值确定6.函数()f x 在(),-∞+∞单调递减，且为奇函数，若()21f =-，则满足()111f x -≤-≤的x 的取值范围为( )A.[]2,2-B.[]1,3-C.[]1,3D.[]1,1-7.已知()2x ϕ=()()2231x f x x ϕ=-，则32f ⎛⎫= ⎪⎝⎭( ) A.15- B.15 C.13- D.138.已知a ，b 都是正数，且3ab a b ++=，则2a b +的最小值为( )A.2-B.3-C.2D.3+二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.)9.已知集合{}24P x x ==，N 为自然数集，则下列表示正确的是( )A.2P ∈B.{}2,2P =-C.{}P ∅⊆D.P N10.下列函数的最小值为4的有( ) A.224y x x =+ B.92y x x =+- C.2y = D.()1111y x x x =++>- 11.以下选项中，是0a <，0b <的一个必要条件的为( )A.0a b ->B.1a b <-C.0a b +<D.21a b +<12.设[]x 表示不超过x 的最大整数，如：[]1.21=，[]1.22-=-，[]y x =又称为取整函数，在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等均按“取整函数”进行计费，以下关于“取整函数”的描述，正确的是( )A.x ∀∈R ，[][]22x x =B.,x y ∀∈R ，若[][]x y =，则1x y ->-C.x ∀∈R ，[][]122x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦D.不等式[][]2230x x --≥的解集为{}02x x x <≥或 三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.)13.已知函数()21,12,1x f x x x x <=+≥⎪⎩，则()()0f f =________. 14.已知集合{}220A x x x =--=，{}1B x ax ==，若AB B =，则实数的所有可能的取值组成的集合为________. 15.用{}min ,,a b c 表示a 、b 、c 三个数中的最小值，则()()1241,4,0min f x x x x x ⎧⎫++>⎨⎬⎩⎭=的最大值为________. 16.高二某班共有60人，每名学生要从物理、化学、生物、历史、地理、政治这六门课程中选择3门进行学习.已知选择物理、化学、生物的学生各有至少25人，这三门学科均不选的有15人.这三门课程均选的有10人，三门中任选两门课程的均至少有16人.三门中只选物理与只选化学均至少有6人，那么该班选择物理与化学但未选生物的学生至多有________人.四、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)17.(本小题满分10分)。

2020-2021学年湖南省长沙市某校高一（上）1月月考数学试卷一、选择题1. 已知M ={y|y =x 2−4, x ∈R}，P ={x|2≤x ≤4}，则M 与P 的关系是( ) A.M ⊇P B.M ∈P C.M ∩P =⌀ D.M =P2. 已知命题p:∀x ∈[0,2],x 2−3x +2>0，则¬p 是( ) A.∃x ∈[0,2],x 2−3x +2<0 B.∃x ∈[0,2],x 2−3x +2≤0C.∃x ∈(−∞,0)∪(2,+∞),x 2−3x +2<0D.∀x ∈[0,2],x 2−3x +2≤03. 设a =30.1，b =lg5−lg2，c =log 3910，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.a <b <c B.a <c <b C.c <b <a D.c <a <b4. 已知 f(x)={3x +1，x >0，2x 2−1，x <0， 若f(a)+f(−1)=8，则实数a 的值为( )A.−2B.2C.±2D.±35. 已知α∈(0,π)， cos (α+π6)=35，则cos (π6−2α)=( ) A.2425B.−2425C.−725D.7256. 为了得到函数y =sin2x 的图象，可以将函数y =sin (2x +π3)的图象( )A.向左平移π6个单位 B.向右平移π6个单位 C.向左平移π3个单位D.向右平移π3个单位7. 已知p ：m −1<x <m +1，q ：(x −2)(x −6)<0，且q 是p 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为( ) A.3≤m ≤5 B.3<m <5C.m >5或m <3D.m >5或m ≤38. 若函数f(x)=(x −a)(x −b)(a >b)的图象如图所示，则g(x)=a −x +b 的图象可能是( )A. B.C. D.二、多选题下列式子不正确的是( )A.1.52.5>1.53.4B.1.70.3<0.92.3C.(15)23<(12)23D.0.80.5<0.90.4若a ，b ，c ∈R ，则下列命题正确的是( ) A.若ab ≠0且 a <b ，则1a >1b B.若0<a <1，则a 3<a C.若a >b >0，则b+1a+1>baD.若c <b <a 且 ac <0 ，则cb 2<ab 2给出下列四个结论，其中正确的结论是( ) A.函数y =(12)−x2+1的最大值为12B.已知函数y =log a (2−ax)在(0, 1)上是减函数，则a 的取值范围是(1, 2)C.已知定义在R 上的奇函数f(x)在(−∞, 0)内有1010个零点，则函数f(x)的零点个数为2021D.已知函数f(x)是定义域为R 的奇函数，且f(x +5)是偶函数，则f(2000)+f(2010)+f(2020)=0高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的”高斯函数”为：设x ∈R ，用[x]表示不超过x 的最大整数，则y =[x ]称为高斯函数，例如：[−3.5]=−4，[2.4]=2. 已知函数f (x )=e x1+e x −12，则关于函数g(x)=[f(x)]的叙述中正确的是( )A.g (x )是偶函数B.f (x )是奇函数C.f (x )在R 上是增函数D.g (x )的值域是{−1,0,1}三、填空题函数f(x)=2x−11−x(x ∈[−2,1))的值域为________.四、解答题 (1)(12)−3+(7√3)0−(16)34+(√23×√3)6；(2)log 142+2lg4+lg 58+e ln2.已知函数f(x)=x 2−x +m ． (1)当m =−2时，解不等式f(x)>0；(2)若m >0，f(x)<0的解集为(a,b)，求1a +4b 的最小值．已知sinα=4√37，cos (α+β)=−1114，且α,β∈(0,π2).(1)求cos (2α+β)的值；(2)求β的值．已知函数f (x )=Asin (ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π2)图象上相邻的两个最值点为(π12,2)，(7π12,−2). (1)求f (x )的解析式：(2)求函数f (x )的单调递增区间；(3)求函数f (x )在区间[0,π2]上的最大值和最小值．小李大学毕业后选择自主创业，开发了一种新型电子产品.2020年9月1日投入市场销售，在9月份的30天内，前20天每件售价P （元）与时间x （天，x ∈N ∗）满足一次函数关系，其中第一天每件售价为63元，第10天每件售价为90元；后10天每件售价均为120元．已知日销售量Q （件）与时间x （天）之间的函数关系是Q =−x +50(x ∈N ∗)．(1)写出该电子产品9月份每件售价P （元）与时间x （天）的函数关系式；(2)9月份哪一天的日销售金额最大？并求出最大日销售金额．（日销售金额=每件售价×日销售量）.已知函数f (x )=a⋅4x −14x +1是定义在R 上的奇函数．(1)求a 的值；(2)判断并证明函数f (x )的单调性，并利用结论解不等式： f (x 2−2x )+f (3x −2)<0；(3)是否存在实数k ，使得函数f (x )在区间[m,n ]上的取值范围是[k 4m ,k4n ]？若存在，求出实数k 的取值范围；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析2020-2021学年湖南省长沙市某校高一（上）1月月考数学试卷一、选择题1.【答案】A【考点】集合的包含关系判断及应用【解析】先利用二次函数y=x2−4的值域化简集合M，最后结合两个集合之间的包含关系即得M与P的关系．【解答】解：∵y=x2−4≥−4，∴M={y|y=x2−4,x∈R}={y|y≥−4}，∵P={y|2≤y≤4}，∴M⊇P．故选A.2.【答案】B【考点】全称命题与特称命题命题的否定【解析】根据特称命题其否定为全称命题，将“存在”改为“任意的”，即可得答案．【解答】解：命题p：∀x∈[0,2]，x2−3x+2>0是全称命题，¬p：∃x∈[0,2]，x2−3x+2≤0.故选B.3.【答案】C【考点】指数式、对数式的综合比较【解析】利用指数，对数的性质即可比较得解．【解答】解：由题意可得：a=30.1>30=1，b=lg5−lg2∈(0, 1)，c=log3910<0，则a>b>c．故选C.4.【答案】C【考点】分段函数的应用函数的求值【解析】此题暂无解析【解答】解：∵f(x)={3x+1,x>02x2−1,x<0,∴x=−1时，f(−1)=1.∵f(a)+f(−1)=8，∴f(a)=7，当a>0时，3a+1=7，解得a=2，符合题意；当a<0时，2a2−1=7，解得a=±2，a=2，不符合题意，舍去，故a=−2.综述，a=±2.故选C.5.【答案】A【考点】诱导公式二倍角的余弦公式运用诱导公式化简求值【解析】先用二倍角公式求出cos(2α+π3)，再由诱导公式可得答案.【解答】解：sin(π6−2α)=sin(π6+π2−π2−2α)=sin[(−2α−π3)+π2]=cos(−2α−π3)=cos(2α+π3)=cos2(α+π6)=cos2(α+π6)−sin2(α+π6)=2cos2(α+π6)−1=−725，所以cos(π6−2α)=2425.故选A . 6. 【答案】 B【考点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换 【解析】根据sin2x =sin [2(x −π6)+π3],即可解决本题. 【解答】解：sin2x =sin [2(x −π6)+π3]，∴ 需将函数y =sin(2x +π3)向右平移π6个单位．故选B ． 7. 【答案】 A【考点】根据充分必要条件求参数取值问题 【解析】先解(x −2)(x −6)<0得2<x <6，而根据q 是p 的必要不充分条件便得到{m −1≥2m +1≤6，解该不等式组即得m的取值范围． 【解答】解：由题易得，p ：m −1<x <m +1， q ：2<x <6，∵ q 是p 的必要不充分条件， 即由p 能得到q ，q 不能得到p ， ∴ {m −1≥2，m +1≤6，∴ 3≤m ≤5，∴ m 的取值范围是[3, 5]． 故选A . 8. 【答案】 C【考点】函数的图象与图象的变换 指数函数的图象 【解析】根据二次函数的图象，确定a ，b 的范围，结合指数函数的图象和性质进行判断即可． 【解答】解：由二次函数的图象知，a >1，−1<b <0， 则g(x)=a −x +b =(1a )x +b ， 则0<1a<1，则g(x)是减函数，排除A ，B ，g(0)=1+b ∈(0, 1)，排除D .故选C . 二、多选题 【答案】 A,B【考点】有理数指数幂的化简求值 指数函数单调性的应用幂函数的单调性、奇偶性及其应用 【解析】利用指数函数单调性进行函数值大小比较，借助中间量，幂函数单调性的应用. 【解答】解：因为y =1.5x 是单调递增函数，又2.5<3.4，所以1.52.5<1.53.4，所以A 不正确； 因为1.70.3>1.70=1，0.92.3<0.90=1，所以1.70.3>0.92.3，所以B 不正确； 因为y =x 23在(0,+∞)上单调递增，所以(15)23<(12)23，所以C 正确； 因为0.80.5=2√55，0.90.4>0.90.5=3√1010>2√55，所以0.80.5<0.90.4，所以D 正确.故选AB . 【答案】 B,C【考点】不等式的基本性质 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：A ，取a =−2,b =1，则1a >1b 不成立，故A 错误； B ，若0<a <1，则a 3−a =a(a 2−1)<0， ∴ a 3<a ，故B 正确；C ，若a >b >0，则a(b +1)−b(a +1)=a −b >0， ∴ b+1a+1>ba ，故C 正确；D ，若c <b <a 且 ac <0 ，则a >0，c <0， 而b 可能为0，∴ cb 2<ab 2不正确，故D 错误. 故选BC .【答案】C,D【考点】复合函数的单调性函数的零点函数的周期性【解析】举出反例可说明选项A错误，由函数的单调性得到关于a的不等式组可得实数a的取值范围，由奇函数的性质可得函数的零点个数，由题意首先确定函数的周期性，然后计算f(2000)+f(2010)+f(2020)的值即可．【解答】解：A，当x=1时，y=1，函数的最大值不是12，故A错误；B，由a>0可得函数y=2−ax单调递减，若要使函数y=log a(2−ax)在(0, 1)上是减函数，则{a>1,2−a≥0,解得a∈(1, 2]，故B错误；C，由奇函数的性质可得函数f(x)在(0, +∞)内有1010个零点，且f(0)=0，所以函数f(x)的零点个数为2021，故C正确；D，因为函数f(x)是奇函数，f(x+5)是偶函数，所以f(x+5)=f(−x+5)=−f(x−5)，所以f(x+20)=−f(x+10)=f(x)，所以函数f(x)的周期为20，所以f(2000)=−f(2010)即f(2000)+f(2010)=0，f(2020)=f(0+20×101)=f(0)=0，所以f(2000)+f(2010)+f(2020)=0，故D正确．故选CD.【答案】B,C【考点】函数的值域及其求法函数奇偶性的判断函数单调性的判断与证明【解析】此题暂无解析【解答】解：因为g(1)=[f(1)]=[e1+e −12]=0，g(−1)=[f(−1)]=[11+e−12]=−1，所以g(1)≠g(−1)，g(1)≠−g(−1)，所以函数g(x)既不是奇函数也不是偶函数，故A错误；f(x)=e x1+e x−12=1+e x−11+e x−12=12−1e x+1，定义域R，且f(−x)=e−x1+e−x−12=11+e x−12=−f(x)，故f(x)为奇函数，故B正确；设x1<x2，f(x1)−f(x2)=e x11+e x1−e x21+e x2=e x1−e x2(1+e x1)(1+e x2)<0，所以f(x)在R上是增函数，故C正确；因为函数f(x)=ex1+e x−12=12−11+e x，由e x>0，则1+e x>1，则有−12<f(x)<12，则g(x)=[f(x)]={−1,0}，故D错误.故选BC.三、填空题【答案】[−53,+∞)【考点】函数的值域及其求法【解析】利用分离常数法，将f(x)变形为f f(x)=2x−11−x=2x−2+11−x=−2−1x−1，判断其单调性后，即可得解．【解答】解：f(x)=2x−11−x=2x−2+11−x=−2−1x−1，所以f(x)在[−2,1)单调递增，因为f(−2)=−53，且当x→1时，f(x)→+∞，所以f(x)的值域为[−53,+∞).故答案为：[−53,+∞).四、解答题【答案】解：(1)原式=23+1−(24)34+(213×312)6=8+1−8+22×33=109.(2)原式=log22log214+lg42+lg58+e ln2=−12+lg(16×58)+2=52.【考点】有理数指数幂的化简求值对数及其运算 【解析】 【解答】解：(1)原式=23+1−(24)34+(213×312)6=8+1−8+22×33=109. (2)原式=log 22log 214+lg42+lg 58+e ln2=−12+lg (16×58)+2=52.【答案】解：(1)当m =−2时，f(x)=x 2−x −2． 令f(x)=x 2−x −2=(x −2)(x +1)>0， 解得x >2或x <−1．∴ 不等式的解集为{x|x >2或x <−1}． (2)∵ f(x)<0的解集为(a,b)，∴ a 和b 是方程f(x)=x 2−x +m =0的两根， ∴ a +b =1，ab =m >0，即a 、b 均为正数， ∴ 1a+4b=(a +b)(1a+4b)=5+ba+4a b≥5+2√4=9，当且仅当b a=4a b，即b =2a 时，等号成立，故1a +4b 的最小值为9．【考点】一元二次不等式的解法基本不等式在最值问题中的应用 【解析】（1）令f(x)=x 2−x −2=(x −2)(x +1)>0，解之即可；（2）由题知，a 和b 是方程f(x)=x 2−x +m =0的两根，由韦达定理得，a +b =1，ab =m >0，即a 、b 均为正数，再利用“乘1法”即可求得1a+4b 的最小值．【解答】解：(1)当m =−2时，f(x)=x 2−x −2． 令f(x)=x 2−x −2=(x −2)(x +1)>0， 解得x >2或x <−1．∴ 不等式的解集为{x|x >2或x <−1}． (2)∵ f(x)<0的解集为(a,b)，∴ a 和b 是方程f(x)=x 2−x +m =0的两根， ∴ a +b =1，ab =m >0，即a 、b 均为正数， ∴ 1a +4b =(a +b)(1a +4b )=5+ba +4a b≥5+2√4=9，当且仅当b a=4a b，即b =2a 时，等号成立，故1a+4b的最小值为9．【答案】解：(1)∵ α,β∈(0,π2)，sinα=4√37，∴ cosα=√1−sin 2α=17，∵ α+β∈(0,π)，cos (α+β)=−1114，∴ sin (α+β)=√1−cos 2(α+β)=5√314， ∴ cos(2α+β)=cosαcos(α+β)−sinαsin(α+β)=−7198. (2)sinβ=sin (α+β−α)=sin (α+β)cosα−cos (α+β)sinα=√32. 又∵ β∈(0,π2)，∴ β=π3. 【考点】两角和与差的余弦公式同角三角函数间的基本关系 两角和与差的正弦公式 【解析】 【解答】解：(1)∵ α,β∈(0,π2)，sinα=4√37，∴ cosα=√1−sin 2α=17，∵ α+β∈(0,π)，cos (α+β)=−1114，∴ sin (α+β)=√1−cos 2(α+β)=5√314， ∴ cos(2α+β)=cosαcos(α+β)−sinαsin(α+β)=−7198. (2)sinβ=sin (α+β−α)=sin (α+β)cosα−cos (α+β)sinα=√32. 又∵ β∈(0,π2)，∴ β=π3.【答案】解：(1)由题知，A=2，12T=7π12−π12=π2，所以T=π=2πω，ω=2. 所以f(x)=2sin(2x+φ),代入点(π12,2)，有2sin(2×π12+φ)=2,π6+φ=π2+2kπ(k∈Z)，φ=π3+2kπ(k∈Z)，又因为|φ|<π2，所以k=0，φ=π3，所以f(x)=2sin(2x+π3).(2)由−π2+2kπ≤2x+π3≤π2+2kπ，k∈Z，得−5π12+kπ≤x≤π12+kπ，k∈Z，所以函数的单调递增区间为[−5π12+kπ,π12+kπ](k∈Z).(3)令t=2x+π3，则y=2sint，因为x∈[0,π2]，所以t∈[π3,4π3]，当t∈[π3,4π3]时，sint∈[−√32,1]，所以当t=π2即x=π12时，f(x)有最大值2；当t=4π3即x=π2时，f(x)有最小值−√3.【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式正弦函数的单调性正弦函数的定义域和值域【解析】【解答】解：(1)由题知，A=2，12T=7π12−π12=π2，所以T=π=2πω，ω=2. 所以f(x)=2sin(2x+φ), 代入点(π12,2)，有2sin(2×π12+φ)=2,π6+φ=π2+2kπ(k∈Z)，φ=π3+2kπ(k∈Z)，又因为|φ|<π2，所以k=0，φ=π3，所以f(x)=2sin(2x+π3).(2)由−π2+2kπ≤2x+π3≤π2+2kπ，k∈Z，得−5π12+kπ≤x≤π12+kπ，k∈Z，所以函数的单调递增区间为[−5π12+kπ,π12+kπ](k∈Z).(3)令t=2x+π3，则y=2sint，因为x∈[0,π2]，所以t∈[π3,4π3]，当t∈[π3,4π3]时，sint∈[−√32,1]，所以当t=π2即x=π12时，f(x)有最大值2；当t=4π3即x=π2时，f(x)有最小值−√3.【答案】解：(1)设P=kx+b，由题意{k+b=63,10k+b=90,解得k=3，b=60．故该电子产品9月份每件售价P（元）与时间x（天）的函数关系式为P={3x+60,1≤x≤20,x∈N∗,120,21≤x≤30,x∈N∗.(2)设9月份的日销售金额为y元，则y={(3x+60)(−x+50),1≤x≤20,x∈N∗,120(−x+50),21≤x≤30,x∈N∗,当1≤x≤20时，y=(3x+60)(−x+50)=−3x2+90x+3000=−3(x−15)2+3675，则当x=15时，y取得最大值为3675元；当21≤x≤30时，y=120(−x+50)为减函数，当x=21时，y取最大值为3480元．综上所述，9月份第15天的日销售金额最大，最大日销售金额为3675元．【考点】根据实际问题选择函数类型分段函数的应用【解析】(1)设P =kx +b ，由题意列关于k 与b 的方程组，求得k 与b 的值，再由分段函数可得9月份每件售价P （元）与时间x （天）的函数关系式；(2)分段利用配方法及函数的单调性求最值，则答案可求． 【解答】解：(1)设P =kx +b ， 由题意{k +b =63,10k +b =90,解得k =3，b =60．故该电子产品9月份每件售价P （元）与时间x （天）的函数关系式为 P ={3x +60,1≤x ≤20,x ∈N ∗,120,21≤x ≤30,x ∈N ∗.(2)设9月份的日销售金额为y 元，则y ={(3x +60)(−x +50),1≤x ≤20,x ∈N ∗,120(−x +50),21≤x ≤30,x ∈N ∗,当1≤x ≤20时，y =(3x +60)(−x +50)=−3x 2+90x +3000=−3(x −15)2+3675， 则当x =15时，y 取得最大值为3675元；当21≤x ≤30时，y =120(−x +50)为减函数， 当x =21时，y 取最大值为3480元．综上所述，9月份第15天的日销售金额最大，最大日销售金额为3675元． 【答案】 解：(1)∵ f (x )=a⋅4x −14x +1是定义域在R 上的奇函数，∴ f (0)=0， 即a =1.(2)f (x )是在R 上的增函数，证明如下： 设任意x 1，x 2∈R 且x 1<x 2， f (x 1)−f (x 2)=(1−24x 1+1)−(1−24x 2+1)=24x 2+1−24x 1+1=2(4x 1−4x 2)(4x 2+1)(4x 1+1). ∵ x 1<x 2，∴ 4x 1<4x 2，4x 1+1>0，4x 2+1>0， ∴ f (x 1)<f (x 2)，∴ f (x )在(−∞,+∞)上是单调增函数．∵ f (x 2−2x )+f (3x −2)<0且f (x )是奇函数， ∴ f (x 2−2x )<f (2−3x )， ∴ x 2−2x <2−3x ， ∴ −2<x <1.(3)假设存在实数k ，使之满足题意， 由(2)可得函数f (x )在[m,n]上单调递增，∴ {f (m )=k 4m ，f(n)=k4n ，∴ {4m −14m +1=k4m ，4n −14n +1=k4n，∴ m ，n 为方程4x −14x +1=k4x 的两个根，即方程4x −14x +1=k4x 有两个不等的实根. 令4x =t >0，即方程t 2−(1+k)t −k =0有两个不等的正根， ∴ {1+k2>0，Δ>0，−k >0， ∴ −3+2√2<k <0，∴ 存在实数k ，使得函数f (x )在[m,n ]上的取值范围是[k4m ,k4n ]， 并且实数k 的取值范围是(−3+2√2,0)． 【考点】函数奇偶性的性质函数单调性的判断与证明 函数单调性的性质 奇偶性与单调性的综合 一元二次不等式的解法 函数恒成立问题 函数的值域及其求法 【解析】左侧图片未给出解析 【解答】 解：(1)∵ f (x )=a⋅4x −14x +1是定义域在R 上的奇函数，∴ f (0)=0， 即a =1.(2)f (x )是在R 上的增函数，证明如下： 设任意x 1，x 2∈R 且x 1<x 2， f (x 1)−f (x 2)=(1−24x 1+1)−(1−24x 2+1)=24x 2+1−24x 1+1=2(4x 1−4x 2)(4x 2+1)(4x 1+1).∵x1<x2，∴4x1<4x2，4x1+1>0，4x2+1>0，∴ f(x1)<f(x2)，∴ f(x)在(−∞,+∞)上是单调增函数．∵ f(x2−2x)+f(3x−2)<0且f(x)是奇函数，∴ f(x2−2x)<f(2−3x)，∴x2−2x<2−3x，∴−2<x<1.(3)假设存在实数k，使之满足题意，由(2)可得函数f(x)在[m,n]上单调递增，∴{f(m)=k4m，f(n)=k4n，∴{4m−14m+1=k4m，4n−14n+1=k4n，∴ m，n为方程4x−14x+1=k4x的两个根，即方程4x−14x+1=k4x有两个不等的实根.令4x=t>0，即方程t2−(1+k)t−k=0有两个不等的正根，∴{1+k2>0，Δ>0，−k>0，∴−3+2√2<k<0，∴ 存在实数k，使得函数f(x)在[m,n]上的取值范围是[k4m ,k4n]，并且实数k的取值范围是(−3+2√2,0)．。

2020-2021学年湖南省长沙市宗第一中学高一数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知函数y=2sin（ωx+θ）+a（ω＞0，0＜θ＜π，a＞0）为偶函数，其图象与直线y=2+a的交点的横坐标为x1，x2，若|x1﹣x2|的最小值为π，则（）A．ω=2，B．，C．，D．ω=2，参考答案：A【考点】H7：余弦函数的图象．【分析】根据|x1﹣x2|的最小值是函数y的最小周期求出ω，根据函数y为偶函数求出θ的值．【解答】解：函数y=2sin（ωx+θ）+a（ω＞0，0＜θ＜π，a＞0）为偶函数，∴θ=；函数y的图象与直线y=2+a的交点的横坐标为x1，x2，且|x1﹣x2|的最小值为π，∴函数y=2sin（ωx+θ）的最小周期为π；∴ω==2．故选：A．2. 已知，，，则（）A. B. C.D.参考答案：D试题分析：，故选D.考点：集合的基本运算.3. 已知向量，则下列结论正确的是A. B. C. D.参考答案：B，，选B。

4. 如果函数在区间上单调递减，那么实数的取值范（）A. B. C. D.参考答案：B5. 在△ABC中，已知，则C=（）A.300B.1500C.450D.1350参考答案：C6. 下列四组中的函数与，是同一函数的是（）A． B．C． D．参考答案：A7. 设函数，则下列结论错误的是( )A．不是周期函数 B．是偶函数C．的值域为 D．不是单调函数参考答案：A试题分析：是周期函数，如；，所以是偶函数；的值域为；不是单调函数，如，因此结论错误的是A.8. 若函数是上的减函数，则实数的取值范围是（）．A．B．C．D．参考答案：C∵是上的减函数，∴，解得．9. （5分）已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是（）A．108cm3 B．100cm3 C．92cm3 D．84cm3参考答案：B考点：由三视图求面积、体积．专题：立体几何．分析：由三视图可知：该几何体是一个棱长分别为6，6，3，砍去一个三条侧棱长分别为4，4，3的一个三棱锥（长方体的一个角）．据此即可得出体积．解答：由三视图可知：该几何体是一个棱长分别为6，6，3，砍去一个三条侧棱长分别为4，4，3的一个三棱锥（长方体的一个角）．∴该几何体的体积V=6×6×3﹣=100．故选B．点评：由三视图正确恢复原几何体是解题的关键．10. 若数列满足：，，则数列的前项和数值最大时，的值是( )A.6B.7C.8D.9参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知，，且，则的最小值是______.参考答案：25【分析】由条件知,结合”1”的代换,可得,展开后结合基本不等式,即求得的最小值．【详解】因为,,所以当且仅当时取等号,所以故答案为：25【点睛】本题考查基本不等式的简单应用,注意”1”的代换.使用基本不等式,需注意”一正二定三相等”的原则,属于基础题.12. 已知函数f（x）=，有下列四个结论：①函数f（x）在区间[﹣，]上是增函数：②点（，0）是函数f（x）图象的一个对称中心；③函数f（x）的图象可以由函数y=sin2x的图象向左平移得到；④若x∈[0，]，则函数f（x）的值域为[0，]．则所有正确结论的序号是．参考答案：①②【考点】正弦函数的图象．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】画出函数的图象，①根据函数的单调性即可求出单调增区间；②根据函数的对称中心即可求出函数f（x）的对称中心；③根据函数图象的平移即可得到结论；④根据函数单调性和定义域即可求出值域，进而得到正确结论的个数【解答】解：∵f（x）=，画出函数的图象如图所示∴函数f（x）的增区间为{x|﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈z}即{x|﹣π+kπ≤x≤+kπ，k∈z}，∴区间[﹣，]是函数f（x）一个增函数：故①正确，∴函数f（x）图象的对称中心为2x+=kπ，即x=kπ﹣，当k=1时，x=，∴点（，0）是函数f（x）图象的一个对称中心，故②正确，对于③函数f（x）的图象可以由函数y=sin2x的图象向左平移得到，故③错误；对于④x∈[0，]，则函数f（x）的值域为[﹣1，]，故④错误．故答案为：①②【点评】本题考查了正弦函数的单调性及对称性，同时要求学生掌握三角函数的有关性质（单调性，周期性，奇偶性，对称性等）．13. 方程的实数解的个数是参考答案：214. 如右图，棱长为的正方体中，为线段上的动点(不含端点)，下列结论：①与平面所成角为②③二面角的大小为④的最小值为其中正确结论的序号是．（写出所有正确结论的序号）参考答案：②③④15. 对于，表示的最大奇数因子，如：，设，则▲ . 参考答案：略16. 若函数满足，则参考答案：-1略17. 已知，动点M满足，且，则在方向上的投影的取值范围是．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。

湖南省邵阳市邵东县第一中学2020-2021学年高一数学上学期第一次月考试题（含解析）第Ⅰ卷（选择题，共48分）一．选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{}1,3,A m =，{}1,B m =，若A B A ⋃=，则m =（ ） A. 0或3 B. 0或3C. 1或3D. 1或3【答案】B 【解析】 因为,所以,所以或.若，则,满足.若，解得或.若，则，满足.若，显然不成立，综上或，选B.2.设x 取实数，则()f x 与()g x 表示同一个函数的是（ ）A. ()()2,f x x g x x ==B. ()()()22,x xf xg x xx ==C. ()()()01,1f x g x x ==- D. ()()29,33x f x g x x x -==-+【答案】B 【解析】 【分析】对于同一函数问题，先判断函数定义域是否一致，再判断解析式是否一致，均一致时则为同一函数；也可以先判断值域是否一致，若不一致时，一定不为同一函数。

【详解】选项A ：()f x 值域为R ，()g x 值域为[)0+，∞，二者值域不同，故不为同一函数，故A 不满足；选项B ：()f x 定义域需满足0x x ≠⎧⎨≥⎩，即()0,x ∈+∞，()g x 的定义域为()0,∞+，二者定义域相同，对于解析式，()1x f x x ==，()1xg x x==，二者解析式相同，故B 满足；选项C ：()f x 定义域为R ，()g x 定义域需满足10x -≠，即{}|1x x x ∈≠，二者定义域不同，故C 不满足；选项D ：()f x 定义域需满足30x +≠，即{}|3x x x ∈≠-，()g x 定义域为R ，二者定义域不同，故D 不满足，综上，选B【点睛】本题考查同一函数问题，判断两函数是否为同一函数可以：①定义域与解析式均相同时，为同一函数；②当值域易于判断时，若值域不同，则不为同一函数。