4.2指数函数第一课时-人教A版(2021)高中数学必修第一册同步讲义

第二章第一节指数函数第一课时教材把指数函数、对数函数、幂函数当作三种重要的函数模型来学习，强调通过实例和图象的直观，揭示这三种函数模型增长的差异及其关系，从而让学生体会建立和研究一个函数模型的基本过程和方法，学会运用具体的函数模型解决一些实际问题．本章总的教学目标是：了解指数函数模型的实际背景，理解有理数指数幂的意义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算；理解指数函数的概念和意义，掌握f (x )＝a x 的符号及意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的有关性质(单调性、值域、特别点)，通过应用实例的教学，体会指数函数是一种重要的函数模型；理解对数的概念及其运算性质，了解对数换底公式及其简单应用，能将一般对数转化为常用对数或自然对数，通过阅读材料，了解对数的发现历史及其对简化运算的作用；通过具体函数，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，掌握f (x )＝log a x 的符号及意义，体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的有关性质(单调性、值域、特殊点)；知道指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x 互为反函数(a ＞0，a ≠1)，初步了解反函数的概念和f －1(x )的意义；通过实例了解幂函数的概念，结合五种具体函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x －1，y ＝x 12的图象，了解它们的变化情况． 本章的重点是三种初等函数的概念、图象及性质，要在理解定义的基础上，通过几个特殊函数图象的观察，归纳得出一般图象及性质，这种由特殊到一般的研究问题的方法是数学的基本方法．把这三种函数的图象及性质之间的内在联系及本质区别搞清楚是本章的难点． 教材注重从现实生活的事例中引出指数函数概念，所举例子比较全面，有利于培养学生的思想素质和激发学生学习数学的兴趣和欲望．教学中要充分发挥课本的这些材料的作用，并尽可能联系一些熟悉的事例，以丰富教学的情境创设．在学习对数函数的图象和性质时，教材将它与指数函数的有关内容作了比较，让学生体会两种函数模型的增长区别与关联，渗透了类比思想．建议教学中重视知识间的迁移与互逆作用．教材对反函数的学习要求仅限于初步的知道概念，目的在于强化指数函数与对数函数这两种函数模型的学习，教学中不宜对其定义做更多的拓展．教材对幂函数的内容做了削减，仅限于学习五种学生易于掌握的幂函数，并且安排的顺序向后调整，教学中应防止增加这部分内容，以免增加学生的学习负担．通过运用计算机绘制指数函数的动态图象，使学生进一步体会到信息技术在数学学习中的作用，教师要尽量发挥电脑绘图的教学功能．教材安排了“阅读与思考”的内容，有利于加强数学文化的教育，应指导学生认真研读．整体设计教学分析我们在初中的学习过程中，已了解了整数指数幂的概念和运算性质．从本节开始我们将在回顾平方根和立方根的基础上，类比出正数的n 次方根的定义，从而把指数推广到分数指数．进而推广到有理数指数，再推广到实数指数，并将幂的运算性质由整数指数幂推广到实数指数幂．教材为了让学生在学习之外就感受到指数函数的实际背景，先给出两个具体例子：GDP 的增长问题和碳14的衰减问题．前一个问题，既让学生回顾了初中学过的整数指数幂，也让学生感受到其中的函数模型，并且还有思想教育价值．后一个问题让学生体会其中的函数模型的同时，激发学生探究分数指数幂、无理数指数幂的兴趣与欲望，为新知识的学习作了铺垫．本节安排的内容蕴涵了许多重要的数学思想方法，如推广的思想(指数幂运算律的推广)、类比的思想、逼近的思想(有理数指数幂逼近无理数指数幂)、数形结合的思想(用指数函数的图象研究指数函数的性质)等，同时，充分关注与实际问题的结合，体现数学的应用价值．根据本节内容的特点，教学中要注意发挥信息技术的力量，尽量利用计算器和计算机创设教学情境，为学生的数学探究与数学思维提供支持．三维目标1．通过与初中所学的知识进行类比，理解分数指数幂的概念，进而学习指数幂的性质．掌握分数指数幂和根式之间的互化，掌握分数指数幂的运算性质．培养学生观察分析、抽象类比的能力．2．掌握根式与分数指数幂的互化，渗透“转化”的数学思想．通过运算训练，养成学生严谨治学，一丝不苟的学习习惯，让学生了解数学来自生活，数学又服务于生活的哲理．3．能熟练地运用有理指数幂运算性质进行化简、求值，培养学生严谨的思维和科学正确的计算能力．4．通过训练及点评，让学生更能熟练掌握指数幂的运算性质．展示函数图象，让学生通过观察，进而研究指数函数的性质，让学生体验数学的简洁美和统一美．重点难点教学重点：(1)分数指数幂和根式概念的理解．(2)掌握并运用分数指数幂的运算性质．(3)运用有理指数幂性质进行化简、求值．教学难点：(1)分数指数幂及根式概念的理解．(2)有理指数幂性质的灵活应用．课时安排3课时教学过程第1课时作者：路致芳导入新课思路1.同学们在预习的过程中能否知道考古学家如何判断生物的发展与进化，又怎样判断它们所处的年代？(考古学家是通过对生物化石的研究来判断生物的发展与进化的，第二个问题我们不太清楚)考古学家是按照这样一条规律推测生物所处的年代的．教师板书本节课题：指数函数——指数与指数幂的运算．思路2.同学们，我们在初中学习了平方根、立方根，那么有没有四次方根、五次方根…n 次方根呢？答案是肯定的，这就是我们本堂课研究的课题：指数函数——指数与指数幂的运算．推进新课新知探究提出问题(1)什么是平方根？什么是立方根？一个数的平方根有几个，立方根呢？(2)如x4＝a，x5＝a，x6＝a根据上面的结论我们又能得到什么呢？(3)根据上面的结论我们能得到一般性的结论吗？(4)可否用一个式子表达呢？活动：教师提示，引导学生回忆初中的时候已经学过的平方根、立方根是如何定义的，对照类比平方根、立方根的定义解释上面的式子，对问题(2)的结论进行引申、推广，相互交流讨论后回答，教师及时启发学生，具体问题一般化，归纳类比出n次方根的概念，评价学生的思维．讨论结果：(1)若x2＝a，则x叫做a的平方根，正实数的平方根有两个，它们互为相反数，如：4的平方根为±2，负数没有平方根，同理，若x 3＝a ，则x 叫做a 的立方根，一个数的立方根只有一个，如：－8的立方根为－2.(2)类比平方根、立方根的定义，一个数的四次方等于a ，则这个数叫a 的四次方根．一个数的五次方等于a ，则这个数叫a 的五次方根．一个数的六次方等于a ，则这个数叫a 的六次方根．(3)类比(2)得到一个数的n 次方等于a ，则这个数叫a 的n 次方根．(4)用一个式子表达是，若x n ＝a ，则x 叫a 的n 次方根．教师板书n 次方根的意义：一般地，如果x n ＝a ，那么x 叫a 的n 次方根(n －throot)，其中n ＞1且n ∈N *.可以看出数的平方根、立方根的概念是n 次方根的概念的特例．提出问题(1)你能根据n 次方根的意义求出下列数的n 次方根吗？(多媒体显示以下题目).①4的平方根；②±8的立方根；③16的4次方根；④32的5次方根；⑤－32的5次方根；⑥0的7次方根；⑦a 6的立方根.(2)平方根，立方根，4次方根，5次方根，7次方根，分别对应的方根的指数是什么数，有什么特点？4，±8，16，－32，32，0，a 6分别对应什么性质的数，有什么特点？(3)问题(2)中，既然方根有奇次的也有偶次的，数a 有正有负，还有零，结论有一个的，也有两个的，你能否总结一般规律呢？(4)任何一个数a 的偶次方根是否存在呢？活动：教师提示学生切实紧扣n 次方根的概念，求一个数a 的n 次方根，就是求出的那个数的n 次方等于a ，及时点拨学生，从数的分类考虑，可以把具体的数写出来，观察数的特点，对问题(2)中的结论，类比推广引申，考虑要全面，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路．讨论结果：(1)因为±2的平方等于4，±2的立方等于±8，±2的4次方等于16,2的5次方等于32，－2的5次方等于－32,0的7次方等于0，a 2的立方等于a 6，所以4的平方根，±8的立方根，16的4次方根，32的5次方根，－32的5次方根，0的7次方根，a 6的立方根分别是±2，±2，±2,2，－2,0，a 2.(2)方根的指数是2,3,4,5,7…特点是有奇数和偶数．总的来看，这些数包括正数，负数和零．(3)一个数a 的奇次方根只有一个，一个正数a 的偶次方根有两个，是互为相反数.0的任何次方根都是0.(4)任何一个数a 的偶次方根不一定存在，如负数的偶次方根就不存在，因为没有一个数的偶次方是一个负数．类比前面的平方根、立方根，结合刚才的讨论，归纳出一般情形，得到n 次方根的性质：①当n 为偶数时，正数a 的n 次方根有两个，是互为相反数，正的n 次方根用n a 表示，如果是负数，负的n 次方根用－n a 表示，正的n 次方根与负的n 次方根合并写成±n a (a ＞0)．②n 为奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数，这时a 的n 次方根用符号n a 表示．③负数没有偶次方根；0的任何次方根都是零．上面的文字语言可用下面的式子表示：a 为正数：⎩⎨⎧ n 为奇数， a 的n 次方根有一个为n a ，n 为偶数， a 的n 次方根有两个为±n a .a 为负数：⎩⎪⎨⎪⎧n 为奇数， a 的n 次方根只有一个为n a ，n 为偶数， a 的n 次方根不存在.零的n 次方根为零，记为n 0＝0.可以看出数的平方根、立方根的性质是n 次方根的性质的特例．思考根据n 次方根的性质能否举例说明上述几种情况？活动：教师提示学生对方根的性质要分类掌握，即正数的奇偶次方根，负数的奇次方根，零的任何次方根，这样才不重不漏，同时巡视学生，随机给出一个数，我们写出它的平方根，立方根，四次方根等，看是否有意义，注意观察方根的形式，及时纠正学生在举例过程中的问题．解：答案不唯一，比如，64的立方根是4,16的四次方根为±2，－27的5次方根为5－27，而－27的4次方根不存在等．其中5－27也表示方根，它类似于n a 的形式，现在我们给式子n a 一个名称——根式．根式的概念： 式子n a 叫根式，其中a 叫被开方数，n 叫根指数． 如3－27中，3叫根指数，－27叫被开方数．思考na n 表示a n 的n 次方根，等式n a n ＝a 一定成立吗？如果不一定成立，那么n a n 等于什么？活动：教师让学生注意讨论n 为奇偶数和a 的符号，充分让学生多举实例，分组讨论．教师点拨，注意归纳整理． 〔如3(－3)3＝3－27＝－3，4(－8)4＝|－8|＝8〕． 解答：根据n 次方根的意义，可得：(n a )n ＝a .通过探究得到：n 为奇数，n a n ＝a .n 为偶数，n a n ＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧ a ，－a ，a ≥0，a <0. 因此我们得到n 次方根的运算性质： ①(n a )n ＝a .先开方，再乘方(同次)，结果为被开方数．②n 为奇数，n a n ＝a .先奇次乘方，再开方(同次)，结果为被开方数．n 为偶数，n a n ＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧ a ，－a ，a ≥0，a <0.先偶次乘方，再开方(同次)，结果为被开方数的绝对值．应用示例思路1例题 求下列各式的值： (1)3(－8)3；(2)(－10)2；(3)4(3－π)4；(4)(a －b )2(a >b )．活动：求某些式子的值，首先考虑的应是什么，明确题目的要求是什么，都用到哪些知识，关键是啥，搞清这些之后，再针对每一个题目仔细分析．观察学生的解题情况，让学生展示结果，抓住学生在解题过程中出现的问题并对症下药．求下列各式的值实际上是求数的方根，可按方根的运算性质来解，首先要搞清楚运算顺序，目的是把被开方数的符号定准，然后看根指数是奇数还是偶数，如果是奇数，无需考虑符号，如果是偶数，开方的结果必须是非负数．解：(1)3(－8)3＝－8；(2)(－10)2＝10；(3)4(3－π)4＝π－3；(4)(a－b)2＝a－b(a>b)．点评：不注意n的奇偶性对式子na n的值的影响，是导致问题出现的一个重要原因，要在理解的基础上，记准，记熟，会用，活用．例1下列各式中正确的是()A.4a4＝a B.6(－2)2＝3－2C．a0＝1D.10(2－1)5＝2－1.活动：教师提示，这是一道选择题，本题考查n次方根的运算性质，应首先考虑根据方根的意义和运算性质来解，既要考虑被开方数，又要考虑根指数，严格按求方根的步骤，体会方根运算的实质，学生先思考哪些地方容易出错，再回答．解析：(1)4a4＝a，考查n次方根的运算性质，当n为偶数时，应先写na n＝|a|，故A项错．(2)6(－2)2＝3－2，本质上与上题相同，是一个正数的偶次方根，根据运算顺序也应如此，结论为6(－2)2＝32，故B项错．(3)a0＝1是有条件的，即a≠0，故C项也错．(4)D项是一个正数的偶次方根，根据运算顺序也应如此，故D项正确．所以答案选D. 答案：D点评：本题由于考查n次方根的运算性质与运算顺序，有时极易选错，选四个答案的情况都会有，因此解题时千万要细心．例23＋22＋3－22＝__________.活动：让同学们积极思考，交流讨论，本题乍一看内容与本节无关，但仔细一想，我们学习的内容是方根，这里是带有双重根号的式子，去掉一层根号，根据方根的运算求出结果是解题的关键，因此将根号下面的式子化成一个完全平方式就更为关键了，从何处入手？需利用和的平方公式与差的平方公式化为完全平方式．正确分析题意是关键，教师提示，引导学生解题的思路．解析：因为3＋22＝1＋22＋(2)2＝(1＋2)2＝2＋1，3－22＝(2)2－22＋1＝(2－1)2＝2－1，所以3＋22＋3－22＝2 2.答案：2 2点评：不难看出3－22与3＋22形式上有些特点，即是对称根式，是A±2B形式的式子，我们总能找到办法把其化成一个完全平方式．思考上面的例2还有别的解法吗？活动：教师引导，去根号常常利用完全平方公式，有时平方差公式也可，同学们观察两个式子的特点，具有对称性，再考虑并交流讨论，一个是“＋”，一个是“－”，去掉一层根号后，相加正好抵消．同时借助平方差，又可去掉根号，因此把两个式子的和看成一个整体，两边平方即可，探讨得另一种解法．另解：利用整体思想，x＝3＋22＋3－22，两边平方，得x2＝3＋22＋3－22＋2(3＋22)(3－22)＝6＋232－(22)2＝6＋2＝8，所以x＝2 2.点评：对双重二次根式，特别是A±2B形式的式子，我们总能找到办法将根号下面的式子化成一个完全平方式，问题迎刃而解，另外对A＋2B±A－2B的式子，我们可以把它们看成一个整体利用完全平方公式和平方差公式去解．(教师用多媒体显示在屏幕上)1．以下说法正确的是()A．正数的n次方根是一个正数B．负数的n次方根是一个负数C．0的任何次方根都是零D．a的n次方根用na表示(以上n＞1且n∈N*)答案：C2．化简下列各式：(1)664；(2)4(－3)2；(3)4x 8；(4)6x 6y 3；(5)(x －y )2.答案：(1)2；(2)3；(3)x 2；(4)|x |y ；(5)|x －y |.3．计算7＋40＋7－40＝__________.解析：7＋40＋7－40＝(5)2＋25·2＋(2)2＋(5)2－25·2＋(2)2＝(5＋2)2＋(5－2)2＝5＋2＋5－ 2＝2 5.答案：2 5拓展提升问题：n a n ＝a 与(n a )n ＝a (n ＞1，n ∈N )哪一个是恒等式，为什么？请举例说明． 活动：组织学生结合前面的例题及其解答，进行分析讨论，解决这一问题要紧扣n 次方根的定义． 通过归纳，得出问题结果，对a 是正数和零，n 为偶数时，n 为奇数时讨论一下．再对a 是负数，n 为偶数时，n 为奇数时讨论一下，就可得到相应的结论．解：(1)(n a )n ＝a (n ＞1，n ∈N )．如果x n ＝a (n ＞1，且n ∈N )有意义，则无论n 是奇数或偶数，x ＝n a 一定是它的一个n次方根，所以(n a )n ＝a 恒成立．例如：(43)4＝3，(3－5)3＝－5.(2)n a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ a ，|a |，当n 为奇数，当n 为偶数. 当n 为奇数时，a ∈R ，n a n ＝a 恒成立．例如：525＝2，5(－2)5＝－2.当n 为偶数时，a ∈R ，a n ≥0，n a n 表示正的n 次方根或0，所以如果a ≥0，那么n a n ＝a .例如434＝3，40＝0；如果a ＜0，那么n a n ＝|a |＝－a ，如(－3)2＝32＝3，即(n a )n ＝a (n ＞1，n ∈N )是恒等式，n a n ＝a (n ＞1，n ∈N )是有条件的．点评：实质上是对n 次方根的概念、性质以及运算性质的深刻理解．课堂小结学生仔细交流讨论后，在笔记上写出本节课的学习收获，教师用多媒体显示在屏幕上．1．如果x n ＝a ，那么x 叫a 的n 次方根，其中n ＞1且n ∈N *.用式子n a 表示，式子n a 叫根式，其中a 叫被开方数，n 叫根指数．(1)当n 为偶数时，a 的n 次方根有两个，是互为相反数，正的n 次方根用n a 表示，如果是负数，负的n 次方根用－n a 表示，正的n 次方根与负的n 次方根合并写成±n a (a ＞0)．(2)n 为奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数，这时a 的n次方根用符号n a 表示．(3)负数没有偶次方根.0的任何次方根都是零．2．掌握两个公式：n为奇数时，(na)n＝a，n为偶数时，na n＝|a|＝⎩⎪⎨⎪⎧a，－a，a≥0，a<0.作业课本习题2.1A组1. 补充作业：1．化简下列各式：(1)681；(2)15－32；(3)4x8；(4)6a2b4.解：(1)681＝634＝332＝39；(2)15－32＝－1525＝－32；(3)4x8＝4(x2)4＝x2；(4)6a2b4＝6(|a|·b2)2＝3|a|·b2.2．若5<a<8，则式子(a－5)2－(a－8)2的值为__________．解析：因为5<a<8，所以(a－5)2－(a－8)2＝a－5－8＋a＝2a－13.答案：2a－133.5＋26＋5－26＝__________.解析：对双重二次根式，我们觉得难以下笔，我们考虑只有在开方的前提下才可能解出，由此提示我们想办法去掉一层根式，不难看出5＋26＝(3＋2)2＝3＋ 2.同理5－26＝(3－2)2＝3－ 2.所以5＋26＋5－26＝2 3.答案：2 3设计感想学生已经学习了数的平方根和立方根，根式的内容是这些内容的推广，本节课由于方根和根式的概念和性质难以理解，在引入根式的概念时，要结合已学内容，列举具体实例，根式na的讲解要分n是奇数和偶数两种情况来进行，每种情况又分a>0，a<0，a＝0三种情况，并结合具体例子讲解，因此设计了大量的类比和练习题目，要灵活处理这些题目，帮助学生加以理解，所以需要用多媒体信息技术服务教学．。

第1课时指数函数的概念最新课程标准：(1)通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念．(2)能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点.知识点一指数函数的定义函数y＝a x(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量．定义域为R.状元随笔指数函数解析式的3个特征(1)底数a为大于0且不等于1的常数．(2)自变量x的位置在指数上，且x的系数是1.(3)a x的系数是1.知识点二指数函数的图象与性质状元随笔底数a与1的大小关系决定了指数函数图象的“升”与“降”．当a>1时，指数函数的图象是“上升”的；当0<a<1时，指数函数的图象是“下降”的．[教材解难]规定底数a>0且a≠1的理由(1)如果a ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧当x >0时，a x恒为0；当x <0时，a x无意义.(2)如果a <0，比如y ＝(－2)x，这时对于x ＝12，14，18，116，…在实数范围内函数值不存在．(3)如果a ＝1，那么y ＝1x＝1是常量，对此就没有研究的必要． [基础自测]1．下列各函数中，是指数函数的是( ) A ．y ＝(－3)xB ．y ＝－3xC ．y ＝3x －1D ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x解析：根据指数函数的定义y ＝a x(a >0且a ≠1)可知只有D 项正确． 答案：D 2．函数f (x )＝12x－1的定义域为( ) A ．R B ．(0，＋∞) C ．[0，＋∞) D．(－∞，0)解析：要使函数有意义，则2x－1>0，∴2x>1，∴x >0. 答案：B3．在同一坐标系中，函数y ＝2x与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象之间的关系是( )A ．关于y 轴对称B ．关于x 轴对称C ．关于原点对称D ．关于直线y ＝x 对称解析：由作出两函数图象可知，两函数图象关于y 轴对称，故选A. 答案：A4．函数f (x )＝1－e x的值域为________．解析：由1－e x≥0得e x≤1，故函数f (x )的定义域为{x |x ≤0}，所以0<e x≤1，－1≤－e x<0,0≤1－e x<1，函数f (x )的值域为[0,1)．答案：[0,1)题型一 指数函数概念的应用[经典例题]例1 (1)若函数f (x )＝(2a －1)x是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(1，＋∞)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 D ．(－∞，1)(2)指数函数y ＝f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，14，那么f (4)·f (2)等于________． 【解析】 (1)由已知，得0<2a －1<1，则12<a <1，所以实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1. (2)设y ＝f (x )＝a x (a >0，a ≠1)，所以a －2＝14，所以a ＝2，所以f (4)·f (2)＝24×22＝64. 【答案】 (1)C (2)64(1)根据指数函数的定义可知，底数a>0且a≠1，a x的系数是1.(2)先设指数函数为f(x)＝a x，借助条件图象过点(－2，14)求a ，最后求值．方法归纳(1)判断一个函数是指数函数的方法①看形式：只需判定其解析式是否符合y ＝a x(a >0，且a ≠1)这一结构特征．②明特征：指数函数的解析式具有三个特征，只要有一个特征不具备，则不是指数函数． (2)已知某函数是指数函数求参数值的基本步骤跟踪训练1 (1)若函数y ＝(3－2a )x为指数函数，则实数a 的取值范围是________； (2)下列函数中是指数函数的是________．(填序号)①y ＝2·(2)x②y ＝2x －1③y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ④y ＝x x⑤y ＝31x -⑥y ＝x13.解析：(1)若函数y ＝(3－2a )x为指数函数，则⎩⎪⎨⎪⎧3－2a >0，3－2a ≠1，解得a <32且a ≠1.(2)①中指数式(2)x的系数不为1，故不是指数函数；②中y ＝2x －1＝12·2x ，指数式2x 的系数不为1，故不是指数函数；④中底数为x ，不满足底数是唯一确定的值，故不是指数函数；⑤中指数不是x ，故不是指数函数；⑥中指数为常数且底数不是唯一确定的值，故不是指数函数．故填③.答案：(1)(－∞，1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32 (2)③ 1.指数函数系数为1. 2．底数>0且≠1.题型二 指数函数[教材P 114例1]例2 已知指数函数f (x )＝a x(a >0，且a ≠1)，且f (3)＝π，求f (0)，f (1)，f (－3)的值．【解析】 因为f (x )＝a x ，且f (3)＝π，则a 3＝π，解得a ＝π13，于是f (x )＝π3x .所以，f (0)＝π0＝1，f (1)＝π13＝3π，f (－3)＝π－1＝1π. 状元随笔 要求f(0)，f(1)，f(－3)的值，应先求出f(x)＝a x的解析式，即先求a 的值．教材反思求指数函数的解析式时，一般采用待定系数法，即先设出函数的解析式，然后利用已知条件，求出解析式中的参数，从而得到函数的解析式，其中掌握指数函数的概念是解决这类问题的关键．因为底数a 是大于0且不等于1的实数，所以a ＝－3应舍去．跟踪训练2 若指数函数f (x )的图象经过点(2,9)，求f (x )的解析式及f (－1)的值． 解析：设f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)，将点(2,9)代入，得a 2＝9，解得a ＝3或a ＝－3(舍去)．所以f (x )＝3x .所以f (－1)＝3－1＝13.设f(x)＝a x，代入(2,9)求出a.一、选择题1．下列函数中，指数函数的个数为( )①y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1；②y ＝a x (a >0，且a ≠1)；③y ＝1x；④y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122x －1.A ．0B ．1C ．3D ．4解析：由指数函数的定义可判定，只有②正确． 答案：B 2．已知f (x )＝3x －b(b 为常数)的图象经过点(2,1)，则f (4)的值为( )A ．3B ．6C ．9D ．81解析：由f (x )过定点(2,1)可知b ＝2， 所以f (x )＝3x －2，f (4)＝9.可知C 正确．答案：C3．当x ∈[－1,1]时，函数f (x )＝3x－2的值域是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，53 B ．[－1,1] C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－53，1 D ．[0,1] 解析：因为指数函数y ＝3x在区间[－1,1]上是增函数，所以3－1≤3x ≤31，于是3－1－2≤3x－2≤31－2，即－53≤f (x )≤1.故选C.答案：C4．在同一平面直角坐标系中，函数f (x )＝ax 与g (x )＝a x的图象可能是( )解析：需要对a 讨论：①当a >1时，f (x )＝ax 过原点且斜率大于1，g (x )＝a x是递增的；②当0<a <1时，f (x )＝ax 过原点且斜率小于1，g (x )＝a x是减函数，显然B 正确．答案：B 二、填空题 5．下列函数中：①y ＝2·(2)x；②y ＝2x －1；③y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x；④y ＝31x -；⑤y ＝x13.是指数函数的是________(填序号)． 解析：①中指数式的系数不为1；②中y ＝2x －1＝12·2x的系数亦不为1；④中自变量不为x ；⑤中的指数为常数且底数不是唯一确定的值．答案：③6．若指数函数y ＝f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，116，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝________. 解析：设f (x )＝a x(a >0且a ≠1)． 因为f (x )过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，116，所以116＝a －2，所以a ＝4. 所以f (x )＝4x，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝432-＝18. 答案：187．若关于x 的方程2x－a ＋1＝0有负根，则a 的取值范围是________． 解析：因为2x＝a －1有负根， 所以x <0， 所以0<2x<1. 所以0<a －1<1. 所以1<a <2. 答案：(1,2) 三、解答题8．若函数y ＝(a 2－3a ＋3)·a x是指数函数，求a 的值．解析：由指数函数的定义知⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a ＋3＝1，①a >0且a ≠1，②由①得a ＝1或2，结合②得a ＝2. 9．求下列函数的定义域和值域：(1)y ＝21x－1；(2)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13222x －.解析：(1)要使y ＝21x－1有意义，需x ≠0，则21x≠1；故21x－1>－1且21x－1≠0，故函数y ＝21x－1的定义域为{x |x ≠0}，函数的值域为(－1,0)∪(0，＋∞)．(2)函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13222x －的定义域为实数集R ，由于2x 2≥0，则2x 2－2≥－2.故0<⎝ ⎛⎭⎪⎫13222x －≤9，所以函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13222x －的值域为(0,9]． [尖子生题库]10．设f (x )＝3x，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x .(1)在同一坐标系中作出f (x )，g (x )的图象；(2)计算f (1)与g (－1)，f (π)与g (－π)，f (m )与g (－m )的值，从中你能得到什么结论？解析：(1)函数f (x )与g (x )的图象如图所示：(2)f (1)＝31＝3，g (－1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1＝3；f (π)＝3π，g (－π)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－π＝3π；f (m )＝3m ，g (－m )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m ＝3m .从以上计算的结果看，两个函数当自变量取值互为相反数时，其函数值相等，即当指数函数的底数互为倒数时，它们的图象关于y 轴对称．。

4.2.2 指数函数的图象和性质说课稿今天我说课的题目是《指数函数的图象和性质》，下面我将从说教材、说学情、说教法学法、说教学过程、说板书设计这五个方面进行我的说课。

一、说教材首先，教材的地位和作用。

本节课选自人民教育出版社2019版必修第一册第四章第二节第二课时。

前面幂函数的学习为指数函数的研究提供了方法和依据，也为后续对数的学习奠定基础，在知识系统中起了承上启下的作用。

同时，在实际生活中有着广泛的应用，因此它也是对学生进行情感价值观教育的好素材。

其次，教学目标。

根据数学核心素养的要求，制定如下目标：1.能画出具体指数函数的图象2.能根据指数函数的图象说明指数函数的性质3.掌握指数函数的性质并解决简单问题。

最后，教学重难点。

通过对教学目标的分析，确定本节课的重点为指数函数的图象、性质，难点为指数函数图象和性质的探索与概括的过程。

…………………………………………………………………………………第二，说学情通过前一阶段的教学，学生对函数和图象的认识有了一定的认知结构，主要体现在三个层面: 知识层面:学生已初步掌握了函数的基本性质和简单的指数运算技能。

能力层面:学生在初中已经掌握了用描点法描绘函数的图象，幂函数的学习提供了按“背景-概念-图象和性质-应用”的顺序研究函数。

情感层面:学生思维活跃，乐于合作，有探究问题的意识，但思维的严谨性和分类讨论、归纳推理等能力有待于提高。

…………………………………………………………………………………第三，说教法学法在教法上，本节课主要采用四个问题与两个探究为载体的任务驱动式教学方法，启发引导学生归纳总结。

德国教育家第斯多惠曾说过“一个坏的教师奉送知识，一个好的教师则教人发现知识。

”在终身学习的时代背景之下，这就要求教师在教学过程中不能仅仅教授学科专业知识，更加注重学生对学习方法的把握，培养学生独立获取知识的能力。

为此，在教学过程中我将从以下几个方面渗透学法：1.学会作图识图，培养学生从函数图象中归纳函数性质。