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典题精讲例1如图2-5-1,ABCD 是正方形,BE ∥AC,AC=CE,EC 的延长线交BA 的延长线于点F,求证：AF=AE.图2-5-1思路分析：建立适当的坐标系,根据坐标运算求出、的坐标,进而证明AF=AE. 证明：如图2-5-2,建立直角坐标系,设正方形边长为1,则A(-1,1),B(0,1).设E(x,y),则BE=(x,y-1）.AC =(1,-1).∵AC ∥BE,图2-5-2∴x·(-1)-1·(y-1)=0.∴x+y-1=0. 又∵|CE |=|AC |,∴x 2+y 2-2=0.由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=⇒⎩⎨⎧=-+=-+.231,231,01,0222y x y x y x （y=231+舍） 即E(231+,231-). 设F(m,1)，由=(m,1)和CE =(231+,231-)共线,得231-m-231+=0. 解得m=-2-3.∴F(-2-3,1), =(-1-3,0), =(231,233+-+). ∴||=31)231()233(22+=--++=||.∴AF=AE. 绿色通道：把几何问题放入适当的坐标系中就赋予了有关点及向量的坐标,从而进行相关运算,使问题得到解决.变式训练已知△ABC 中,A(7,8),B(3,5),C(4,3),M 、N 分别是AB 、AC 的中点,D 是BC 的中点,MN 与AD 交于F,求DF .思路分析：由已知条件可求出、的坐标,然后再由中点坐标公式进一步求出,进而再求出DF .解：∵A(7,8),B(3,5),C(4,3)，∴=(3-7,5-8)=(-4,-3),=(4-7,3-8)=(-3,-5). 又∵D 是BC 的中点,∴=21(+)=(-3.5,-4).又M 、N 分别是、的中点,∴F 为的中点.∴=-21=(1.75,2). 例2一条河的两岸平行，河的宽度为d=500 m ，如图2-5-3所示，一艘船从A 处出发航行到河的正对岸B 处，船的航行速度为|v 1|=10 km/h ，水流速度为|v 2|=4 km/h.图2-5-3(1)试求v 1与v 2的夹角(精确到1°),及船垂直到达对岸所用的时间(精确到0.1 min); (2)要使船到达对岸所用时间最少,v 1与v 2的夹角应为多少?思路解析：船(相对于河岸)的航行路线不能与河岸垂直.原因是船的实际航行速度是船本身(相对于河水)的速度与河水的流速的合速度.解：(1)依题意,要使船到达对岸,就要使v 1与v 2的合速度的方向正好垂直于对岸,所以|v |=161002221-=-v v ≈9.2 km/h, v 1与v 的夹角α满足sinα=||||1v v =0.92,又α为钝角,故v 1与v 2的夹角θ=114°；船垂直到达对岸所用的时间t=2.91000500⨯×60=3.3(min).（2）设v 1与v 2的夹角为θ（如图2-5-4），图2-5-4v 1与v 2在竖直方向上的分速度的和为|v 1|·sinθ，而船到达对岸时，在竖直方向上行驶的路程为d=0.5 km ，从而所用的时间为t=θsin 105.0，显然，当θ=90°时，t 最小，即船头始终向着对岸时，所用的时间最少，t=105.0=0.05 h=3 min. 绿色通道：解决此类问题的关键在于明确“水速+船速=船的实际速度”，注意“速度”是一个向量，既有大小又有方向.结合向量应用的具体问题在理解向量知识和应用两方面下功夫.将物理量之间的关系抽象成数学模型，然后再通过对这个数学模型的研究解释相关物理现象.变式训练如图2-5-5，一物体受到两个大小均为60 N 的力的作用，两力夹角为60°且有一力方向水平，求合力的大小及方向.图2-5-5解：设、分别表示两力，以OA 、OB 为邻边作OACB ，则就是合力.据题意，△OAC 为等腰三角形且∠COA=30°，过A 作AD ⊥OC 垂足为D ，则在Rt △OAD 中，｜OD ｜=｜｜·cos30°=60×23=303,故｜｜=2｜｜=603. 故合力的大小为603 N ，方向与水平方向成30°角.例3(2006四川高考卷，理7)如图2-5-6，已知正六边形P 1P 2P 3P 4P 5P 6，下列向量的数量积中最大的是（ ）A.3121P P P P ∙B.4121P P P P ∙C.5121P P P P ∙ D.6121P P P P ∙图2-5-6思路解析：设边长|21P P |=a ，则∠P 2P 1P 3=6π.|31P P |=3a ,3121P P P P ∙=a ·3a ·23=232a ，∠P 2P 1P 4=3π,|41P P |=2a ,4121P P P P ∙=a ·2a ·21=a 2,5121P P P P ∙=0,6121P P P P ∙＜0,∴数量积中最大的是3121P P P P ∙.答案：A黑色陷阱：本题易因找错向量的夹角或数量积公式用错而出现错误.平面向量的数量积作为平面向量的一个重要内容，由于涉及运算及能够同不等式相联系，因此是一个出题热点.预计此考点仍将是今后高考命题的热点.变式训练如图2-5-7,设四边形ABCD 是⊙O 的内接正方形,P 是⊙O 上的任一点, 求证：|PA |2+|PB |2+|PC |2+|PD |2与P 点的位置无关.图2-5-7思路分析：根据向量的三角形法则表示出、、、,从而判断出|PA |2+|PB |2+|PC |2+|PD |2为定值. 证明：设圆的半径为r.∵=-,=-,=-,=-. 则||2=(-)2=2OA -2·+2OP =2r 2-2·, |PB |2=2r 2-2OB ·OP ,|PC |2=2r 2-2OC ·OP ,|PD |2=2r 2-2OD ·OP ,∴||2+||2+||2+||2=8r 2-2(+++)·=8r 2-2·0·=8r 2(定值). ∴||2+||2+||2+||2与P 点的位置无关.问题探究问题1一位年轻的父亲将不会走路的小孩的两条胳膊悬空拎起,结果造成小孩胳膊受伤,试一试你能用向量知识加以解释吗？导思：这是日常生活中司空见惯的事情，解决这个题目的关键是首先建立数学模型，然后根据数学知识来解决.针对小孩的两条胳膊画出受力图形,然后通过胳膊受力分析,建立数学模型： |F 1|=2cos2||θG ,θ∈［0,π］，来确定何种情景时,小孩的胳膊容易受伤.探究：设小孩的体重为G ,两胳膊受力分别为F 1、F 2,且F 1=F 2,两胳膊的夹角为θ,胳膊受力分析如图2-5-8(不记其他因素产生的力),不难建立向量模型：|F 1|=2cos2||θG ,θ∈［0,π］,当θ=0时，|F 1|=2||G ；当θ=32π时, |F 1|=|G|；又2θ∈(0,2π)时,|F 1|单调递增,故当θ∈(0,32π)时,F 1∈(2||G ,|G |),当θ∈(32π,π)时,|F 1|＞|G |.此时,悬空拎起小孩容易造成小孩受伤.图2-5-8问题2已知一只蚂蚁在地面上的一个三角形区域ABC 内爬行，试探究当蚂蚁爬到这个三角形区域的什么位置时，它到这个三角形的三个顶点间的距离的平方和最小？导思：像这个具体问题要采用其他的办法可能是比较困难的.这样的问题在考虑利用向量的知识来求解时，需要注意考虑如何恰当地将相关向量转化为密切相关的一些向量间的关系，从而将问题解决.探究：本题是一个应用问题，首先应考虑将题目翻译为数学问题：在△ABC 内求一点P ，使得=++222CP BP AP 最小.设=a ,=b ,=t ，则AB AP BP -==t -a ,AC AP CP -==t -b ,=++222CP BP AP t 2+(t -a )2+(t -b )2=3t 2-2t ·(a +b )+a 2+b 2 =3323+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-b a t a 2+b 2-32a ·b ， 所以当AP =t=3ba +，即P 为△ABC 的重心时，AP 2+BP 2+CP 2=最小.。
& 鑫达捷致力于精品文档 精心制作仅供参考 &2.5 平面向量应用举例班级:__________姓名:__________设计人:__________日期:__________♒♒♒♒♒♒♒课后练习 · 练习案♒♒♒♒♒♒♒基础过关1．已知两个力F 1，F 2的夹角为90°，它们的合力大小为10N ，合力与F 1的夹角为60°，那么F 2的大小为 A.5√3NB.5NC.10ND.5√2N2．一个人骑自行车的速度为v 1，风速为v 2，则逆风行驶的速度的大小为 A.v 1-v2B.v 1+v 2C.|v 1|-|v 2|D.v 1v 23．(2012·安徽省合肥一中质检)过△ABC 内部一点M 任作一条直线EF,AD ⊥EF 于D,BE⊥EF 于E,CF ⊥EF 于F,都有AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ +CF⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则点M 是△ABC 的( )A.三条高的交点B.三条中线的交点C.三边中垂线的交点D.三个内角平分线的交点4．用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个灯具，如图，已知灯具的重力为10N ，则每根绳子的拉力大小是____.5．如图所示,若D 是△ABC 内的一点,且AB 2-AC 2=DB 2-DC 2,求证:AD ⊥BC.鑫达捷& 鑫达捷致力于精品文档 精心制作仅供参考 &鑫达捷6．在四边形ABCD 中,对角线AC 、BD 交于点O,且|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,cos ∠DAB=12.求|DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |与|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC⃗⃗⃗⃗⃗ |的值. 7．某人骑车以速度a 向正东行驶,感到风从正北方向吹来,而当速度为2a 时,感到风从东北方向吹来,试求实际风速的大小和方向.8．(2012·湖南省衡阳一中模考)如图,在△ABC 中,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0, |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=8,|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=6,l 为线段BC 的垂直平分线,l 与BC 交于点D,E 为l 上异于D 的任意一点.(1)求AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB⃗⃗⃗⃗⃗ 的值; (2)判断AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值是否为一个常数,并说明理由. 能力提升1．根据指令(r ,θ)(r ≥0,−180°<θ≤180°)，机器人在平面上能完成下列动作：先原地旋转角度θ(按逆时针方向旋转θ为正，按顺时针方向旋转θ为负)，再朝其面对的方向沿直线行走距离r.(1)机器人位于直角坐标系的坐标原点，且面对x 轴正方向，试给机器人下一个指令，使其移动到点(4,4).(2)机器人在完成(1)中指令后，发现在点(17,0)处有一小球正向坐标原点作匀速直线滚动.已知小球滚动的速度为机器人直线行走速度的2倍，若忽略机器人原地旋转所需的时间，问：机器人最快可在何处截住小球？并给出机器人截住小球所需的指令(取cos81.87∘=√210). 2．如图，已知扇形OAB 的周长2+ 23π，面积为π3，并且|OA⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1.& 鑫达捷致力于精品文档 精心制作仅供参考 &(1)求∠AOB 的大小；(2)如图所示，当点C 在以O 为圆心的圆弧AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 上变动.若OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =xOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +yOB ⃗⃗⃗⃗⃗ 其中 x 、y ∈R ，求xy 的最大值与最小值的和；(3)若点C 、D 在以O 为圆心的圆上，且OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =DO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .问BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角θ取何值时，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ AD⃗⃗⃗⃗⃗ 的值最大？并求出这个最大值.鑫达捷& 鑫达捷致力于精品文档 精心制作仅供参考 &鑫达捷2.5 平面向量应用举例详细答案【基础过关】 1．A 2．C 3．B【解析】本题主要考查向量的几何意义.根据特殊位置法,可以判断,当直线EF 经过C 点时,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ +CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0即为AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,于是|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BE ⃗⃗⃗⃗⃗ |,EF 即为AB 边上的中线,同理,当EF 经过A点时,EF 是BC 边上的中线,因此,点M 是△ABC 的三条中线的交点,故选B. 4．10N5．设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =e,DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =d,则a=e+c,b=e+d,所以a 2-b 2=(e+c)2-(e+d)2=c 2+2e ·c-2e ·d-d 2. 由已知可得a 2-b 2=c 2-d 2,所以c 2+2e ·c-2e ·d-d 2=c 2-d 2,所以e ·(c-d)=0.因为BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =d-c,所以AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =e ·(d-c)=0,所以AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,即AD ⊥BC. 6．如图,在四边形ABCD 中,∵OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =CO ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =DO⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .∴四边形ABCD 为平行四边形.又|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,∴四边形ABCD 为菱形. ∵cos ∠DAB=12,∠DAB ∈(0,π),∴∠DAB=π3,∴△ABD 为正三角形.∴|DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|AO ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3. |CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1.【解析】本题主要利用向量的几何意义,求解平面几何和三角形的问题.解决此类问题,首先要注意向量与几何的内在联系,并利用向量的线性运算、相等向量、共线向量等概念求解. 7．设实际风速为v,由题意可知,此人以速度a 向正东行驶时,感到的风速为v-a,当速度为2a 时感到的风速为v-2a.如图所示,设OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =-a,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =-2a,PO ⃗⃗⃗⃗⃗ =v,& 鑫达捷致力于精品文档 精心制作仅供参考 &∵PO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =v-a,这就是速度为a 时感到的由正北方向吹来的风速, ∵PO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴PB⃗⃗⃗⃗⃗ =v-2a,这就是速度为2a 时感到的由东北方向吹来的风速, 由题意知∠PBO=45°, PA ⊥BO,BA=AO,∴△POB 为等腰直角三角形,∴∠APO=45°,|PO ⃗⃗⃗⃗⃗ | =|PB⃗⃗⃗⃗⃗ | =√2|a|,即|v|=√2|a|. ∴实际风速的大小是√2|a|,为西北风.8．(1)以点D 为坐标原点,BC 所在直线为x 轴,l 所在直线为y 轴建立直角坐标系,则D(0,0),B(-5,0),C(5,0),A(75,245),此时AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-75,-245),CB⃗⃗⃗⃗⃗ =(-10,0), 所以AD⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =-75×(-10)+(-245)×0=14. (2)设点E 的坐标为(0,y)(y ≠0),此时AE⃗⃗⃗⃗⃗ =(-75,y-245), 所以AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =-75×(-10)+(y-245)×0=14为常数,故AE⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值是一个常数. 【解析】本题考查向量在几何中的应用,采用了向量的坐标表示.解题的关键是建立适当的直角坐标系,写出相应点的坐标,代入数量积公式.求平面向量数量积的步骤:首先求a 与b 的夹角θ,θ∈[0°,180°],再分别求|a|,|b|,然后再求数量积,即a ·b=|a||b|cos θ.若知道向量的坐标a=(x 1,y 1),b=(x 2,y 2),则a ·b=x 1x 2+y 1y 2. 【能力提升】1．解：(1)如图，设点()4,4A ，所以42OA =u u u r ，因为OA u u u r 与x 轴正方向的夹角为45o ，所以42,45r θ==o ，故指令为()42,45o(2)设()17,0B ，机器人最快在点(),0P x 处截住小球，由题意2PB AP =u u u r u u u r，得()()22172404x x -=-+-，整理得2321610x x +-=，即()()73230x x -+=，所以7x =或233x =-(舍)， 即机器人最快可在点()7,0P 处截住小球.设OA u u u r 与AP u u u r的夹角为θ，因为()()5,4,4,3,4AP OA AP ===-u u u r u u u r u u u r.鑫达捷& 鑫达捷致力于精品文档 精心制作仅供参考 &鑫达捷2cos cos818710OA AP OA APθ⋅==-=-⋅o u u u r u u u ru u u r u u u r，所以18081.8798.13θ=-=o o o 又5AP =u u u r ，OA u u u r 旋转到AP u u u r 是顺时针旋转，所以指令为()5,98.13-o.2．(1)设扇形半径为r ，圆心角∠AOB =α由{2r +αr =2+23π12αr 2=π3得{r =1α=2π3或{r =π3α=6π 又当r =π3,α=6π时，|OA⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1不成立； 当r =1,α=2π3时，|OA⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1成立， 所以∠AOB =2π3(2)如图所示，建立直角坐标系，则A (1，0)，B (−12,√32)，C (cosθ,sinθ).由OC⃗⃗⃗⃗⃗ =xOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +yOB ⃗⃗⃗⃗⃗ 得cosθ=x −y2，sinθ=√32y . 即x =cosθ+√33sinθ,y =2√33sinθ. 则xy =(cosθ+√33sinθ)(2√33sinθ)=23sin(2θ−π6)+13又θ∈[0,23π]，则2θ−π6∈[−π6,7π6]，故(xy)max + (xy)min =1+0=0.(3)由题可知D(−cosθ,−sinθ)& 鑫达捷致力于精品文档 精心制作仅供参考 &BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(cosθ+12,sinθ−√32),AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−cosθ−1，−sinθ)BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =√3sin (θ−π3)−32当θ−π3=π2+2kπ(k ∈Z )且θ∈[0,π],即θ=5π6时(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )max =√3−32【解析】本试题主要考查三角函数与平面向量的综合运用.建立适当的坐标系，将几何问题转化为代数问题，运用向量的数量积的坐标来求解运算.。
2.5 平面向量应用举例问题导学一、向量在平面几何中的应用活动与探究1如图所示，若D是△ABC内的一点，且AB2－AC2=DB2－DC2．求证：AD⊥BC．迁移与应用如图，已知直角梯形ABCD，AD⊥AB，AB=2AD=2CD，过点C作CE⊥AB于E，M为CE的中点，用向量的方法证明：(1)DE∥BC；(2)D，M，B三点共线．(1)利用向量法来解决解析几何问题，首先要将线段看成向量，再把坐标利用向量法则进行运算．(2)要掌握向量的常用知识：①共线；②垂直；③模；④夹角；⑤向量相等则对应坐标相等．二、向量在物理中的应用活动与探究2在风速为75(6－2)km/h的西风中，飞机以150 km/h的航速向西北方向飞行，求没有风时飞机的航速和航向．迁移与应用如图，在细绳O处用水平力F2缓慢拉起所受重力为G的物体，绳子与铅垂方向的夹角为θ，绳子所受到的拉力为F1．求：(1)|F1|，|F2|随角θ的变化而变化的情况；(2)当|F1|≤2|G|时，角θ的取值范围．向量在物理学中的应用一般涉及力或速度的合成与分解，充分借助向量平行四边形法则把物理问题抽象转化为数学问题．同时该类题目往往涉及三角形问题，能够正确作图是解决问题的关键．当堂检测1．若向量1OF ＝(2,2)，2OF ＝(－2,3)分别表示两个力F 1，F 2，则|F 1＋F 2|为( ) A ．(0,5) B ．(4，－1) C ．2 2 D ．52．在四边形ABCD 中，若AB ＋CD ＝0，AC ·BD ＝0，则四边形为( ) A ．平行四边形 B ．矩形 C ．等腰梯形 D ．菱形3．坐标平面内一只小蚂蚁以速度ν＝(1,2)从点A (4,6)处移动到点B (7,12)处，其所用时间长短为( )A ．2B ．3C ．4D ．84．在△ABC 中，若∠C ＝90°，AC ＝BC ＝4，则BA ·BC ＝__________． 5．已知力F ＝(2,3)作用于一物体，使物体从A (2,0)移动到B (－2,3)，则力F 对物体所做的功为________．答案：课前预习导学 【预习导引】 1．向量 2．加3．向量 向量问题 数量积预习交流 提示：所选择基向量的长度和夹角应该是已知的． 课堂合作探究 【问题导学】活动与探究1 思路分析：解答本题可先表示出图中线段对应的向量，找出所给等式所蕴含的等量关系，再利用它计算所需向量的数量积．证明：设AB ＝a ，AC ＝b ，AD ＝e ，DB ＝c ，DC ＝d ，则a ＝e ＋c ，b ＝e ＋d ． ∴a 2－b 2＝(e ＋c )2－(e ＋d )2＝c 2＋2e ·c －2e ·d －d 2． 由已知a 2－b 2＝c 2－d 2，∴c 2＋2e ·c －2e ·d －d 2＝c 2－d 2，即e ·(c －d )＝0． ∵BC ＝BD ＋DC ＝d －c ，∴AD·BC＝e·(d－c)＝0．∴AD⊥BC，即AD⊥BC．迁移与应用证明：以E为原点，AB所在直线为x轴，EC所在直线为y轴建立直角坐标系．令|AD|=1，则|DC|=1，|AB|=2．∵CE⊥AB，而AD=DC，∴四边形AECD为正方形．∴可求得各点坐标分别为：E(0,0)，B(1,0)，C(0,1)，D(－1,1)，A(－1,0)．(1)∵ED=(－1,1)－(0,0)=(－1,1)，BC=(0,1)－(1,0)=(－1,1)，∴ED=BC，∴ED∥BC，即DE∥BC．(2)连接MB，MD，∵M为EC的中点，∴M1 0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴MD=(－1,1)－10,2⎛⎫⎪⎝⎭=11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，MB=(1,0)－10,2⎛⎫⎪⎝⎭=11,2⎛⎫-⎪⎝⎭．∴MD=－MB，∴MD∥MB．又MD与MB有公共点M，∴D，M，B三点共线．活动与探究2思路分析：解本题首先根据题意作图，再把物理问题转化为向量的有关运算求解．解：设ω=风速，v a=有风时飞机的航行速度，νb=无风时飞机的航行速度，νb=νa－ω．如图所示．设|AB |=|νa |，|CB |=|ω|，|AC |=|νb |， 作AD ∥BC ，CD ⊥AD 于D ，BE ⊥AD 于E ， 则∠BAD =45°．设|AB |=150，则|CB |=2)-．∴|CD |=|BE |=|EA |=|DA |=从而|AC |=CAD =30°．∴|νb |=km/h ，方向为北偏西60°．迁移与应用 解：(1)由力的平衡及向量加法的平行四边形法则得G =F 1+F 2，|F 1|=cos θG，|F 2|=|G |tan θ，当θ从0°趋向于90°时，|F 1|，|F 2|都逐渐增大．(2)令|F 1|=cos θG ，由|F 1|≤2|G |得 cos θ≥12． 又因为0°≤θ＜90°，所以0°≤θ≤60°．【当堂检测】1．D 解析：|F 1＋F 2|＝|1OF ＋2OF | ＝|(2,2)＋(－2,3)|＝|(0,5)|＝5．2．D 解析：∵AB ∥CD ，|AB |＝|CD |，且AC ⊥BD ， 故四边形为菱形． 3．B 解析：|ν|＝12＋22＝5，又|AB |＝(7－4)2＋(12－6)2＝45，∴时间t ＝455＝3． 4．16 解析：由∠C ＝90°，AC ＝BC ＝4，知△ABC 是等腰直角三角形， ∴BA ＝42，∠ABC ＝45°，∴BA ·BC ＝42×4×cos 45°＝16．5．1 解析：W ＝F·s ＝F ·AB ＝(2,3)·(－4,3)＝。
2.5 平面向量应用举例（一）导入新课思路 1.(直接导入)向量的概念和运算都有着明确的物理背景和几何背景,当向量和平面坐标系结合后,向量的运算就完全可以转化为代数运算.这就为我们解决物理问题和几何研究带来了极大的方便.本节专门研究平面几何中的向量方法.思路2.(情境导入)由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景,平面几何图形的许多性质,如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来,因此,可用向量方法解决平面几何中的一些问题.下面通过几个具体实例,说明向量方法在平面几何中的运用.（二）推进新课、新知探究、提出问题图1①平行四边形是表示向量加法和减法的几何模型,如图1,你能观察、发现并猜想出平行四边形对角线的长度与两邻边长度之间有什么关系吗？②你能利用所学知识证明你的猜想吗？能利用所学的向量方法证明吗？试一试可用哪些方法?③你能总结一下利用平面向量解决平面几何问题的基本思路吗？活动:①教师引导学生猜想平行四边形对角线的长度与两邻边长度之间有什么关系.利用类比的思想方法,猜想平行四边形有没有相似关系.指导学生猜想出结论:平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和.②教师引导学生探究证明方法,并点拨学生对各种方法分析比较,平行四边形是学生熟悉的重要的几何图形,在平面几何的学习中,学生得到了它的许多性质,有些性质的得出比较麻烦,有些性质的得出比较简单.让学生体会研究几何可以采取不同的方法,这些方法包括综合方法、解析方法、向量方法.图2证明:方法一:如图2.作CE⊥AB于E,DF⊥AB于F,则Rt△ADF≌Rt△BCE.∴AD=BC,AF=BE.由于ACAE2+CE2=(AB+BE)2+CE2=AB2+2AB·BE+BE2+CE2=AB2+2AB·BE+BC2.BD2=BF2+DF2=(AB-AF)2+DF2=AB2-2AB·AF+AF2+DF2=AB2-2AB·AF+AD2=AB2-2AB·BE+BC2.∴AC2+BD2=2(AB2+BC2).图3方法二:如图3.以AB所在直线为x轴,A为坐标原点建立直角坐标系.设B(a,0),D(b,c),则C(a+b,c).∴|AC|2=(a+b)2+c2=a2+2ab+b2+c2,|BD|2=(a-b)2+(-c)2=a2-2ab+b2+c2.∴|AC|2+|BD|2=2a2+2(b2+c2)= 2(|AB|2+|AD|2).用向量方法推导了平行四边形的两条对角线与两条邻边之间的关系.在用向量方法解决涉及长度、夹角的问题时,常常考虑用向量的数量积.通过以下推导学生可以发现,由于向量能够运算,因此它在解决某些几何问题时具有优越性,它把一个思辨过程变成了一个算法过程,学生可按一定的程序进行运算操作,从而降低了思考问题的难度,同时也为计算机技术的运用提供了方便.教学时应引导学生体会向量带来的优越性.因为平行四边形对角线平行且相等,考虑到向量关系=-,AC=+,教师可点拨学生设=a,=b,其他线段对应向量用它们表示,涉及长度问题常常考虑向量的数量积,为此,我们计算||2与||2.因此有了方法三.方法三:设=a,=b,则AC=a+b,=a-b,||2=|a|2,||2=|b|2.∴||2=·=(a+b)·(a+b)=a·a+a·b+b·a+b·b=|a|2+2a·b+|b|2.①同理||2=|a|2-2a·b+|b|2.②观察①②两式的特点,我们发现,①+②得||2+||2=2(|a|2+|b|2)=2(||2+||2),即平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍.③至此,为解决重点问题所作的铺垫已经完成,向前发展可以说水到渠成.教师充分让学生对以上各种方法进行分析比较,讨论认清向量方法的优越性,适时引导学生归纳用向量方法处理平面几何问题的一般步骤.由于平面几何经常涉及距离(线段长度)、夹角问题,而平面向量的运算,特别是数量积主要涉及向量的模以及向量之间的夹角,因此我们可以用向量方法解决部分几何问题.解决几何问题时,先用向量表示相应的点、线段、夹角等几何元素.然后通过向量的运算,特别是数量积来研究点、线段等元素之间的关系.最后再把运算结果“翻译”成几何关系,得到几何问题的结论.这就是用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”,即(1)建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题;(2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题;(3)把运算结果“翻译”成几何关系.讨论结果:①能.②能想出至少三种证明方法.③略.（三）应用示例图4例1 如图4,ABCD 中,点E 、F 分别是AD 、DC 边的中点,BE 、BF 分别与AC 交于R 、T 两点,你能发现AR 、RT 、TC 之间的关系吗?活动:为了培养学生的观察、发现、猜想能力,让学生能动态地发现图形中AR 、RT 、TC 之间的相等关系,教学中可以充分利用多媒体,作出上述图形,测量AR 、RT 、TC 的长度,让学生发现AR=RT=TC,拖动平行四边形的顶点,动态观察发现,AR=RT=TC 这个规律不变,因此猜想AR=RT=TC.事实上,由于R 、T 是对角线AC 上的两点,要判断AR 、RT 、TC 之间的关系,只需分别判断AR 、RT 、TC 与AC 的关系即可.又因为AR 、RT 、TC 、AC 共线,所以只需判断、、AT 、与之间的关系即可.探究过程对照用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”很容易地可得到结论.第一步,建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题;第二步,通过向量运算,研究几何元素之间的关系;第三步,把运算结果“翻译”成几何关系:AR=RT=TC.解:如图4,设=a ,=b ,=r ,AT =t ,则AC =a +b . 由于与共线,所以我们设r =n(a +b ),n ∈R . 又因为EB =AB -AE =a -21b , ER 与EB 共线,所以我们设=m =m(a -21b ). 因为+=,所以r =21b +m(a -21b ). 因此n(a +b )=21b +m(a -b ),即(n-m)a +(n+21-m )b =0.由于向量a 、b 不共线,要使上式为0,必须⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-.021,0m n m n 解得n=m=31. 所以=31,同理=31.于是=31. 所以AR=RT=TC.点评:教材中本例重在说明是如何利用向量的办法找出这个相等关系的,因此在书写时可简化一些程序.指导学生在今后的训练中,不必列出三个步骤. 变式训练图5如图5,AD 、BE 、CF 是△ABC 的三条高.求证:AD 、BE 、CF 相交于一点. 证明:设BE 、CF 相交于H,并设=b ,=c ,=h , 则BH =h -b ,=h -c ,=c -b .因为BH ⊥AC ,CH ⊥AB , 所以(h -b )·c =0,(h -c )·b =0, 即(h -b )·c =(h -c )·b . 化简得h ·(c -b )=0. 所以AH ⊥BC .所以AH 与AD 共线,即AD 、BE 、CF 相交于一点H.图6例2 如图6,已知在等腰△ABC 中,BB′、CC′是两腰上的中线,且BB′⊥CC′,求顶角A 的余弦值. 活动:教师可引导学生思考探究,上例利用向量的几何法简捷地解决了平面几何问题.可否利用向量的坐标运算呢？这需要建立平面直角坐标系,找出所需点的坐标.如果能比较方便地建立起平面直角坐标系,如本例中图形,很方便建立平面直角坐标系,且图形中的各个点的坐标也容易写出,是否利用向量的坐标运算能更快捷地解决问题呢？教师引导学生建系、找点的坐标,然后让学生独立完成.解:建立如图6所示的平面直角坐标系,取A(0,a),C(c,0),则B(-c,0),OA =(0,a),=(c,a),=(c,0),=(2c,0).因为BB′、CC′都是中线,所以BB =21(BC +)=21［(2c,0)+(c,a)］=(2,23a c ), 同理CC =(2,23ac -).因为BB′⊥CC′,所以22449a c +-=0,a 2=9c 2.所以54299||||2222222=+-=+-=c c c c ca c a AC AB . 点评:比较是最好的学习方法.本例利用的方法与例题1有所不同,但其本质是一致的,教学中引导学生仔细体会这一点,比较两例的异同,找出其内在的联系,以达融会贯通,灵活运用之功效.变式训练图7(2004湖北高考) 如图7,在Rt △ABC 中,已知BC=a.若长为2a 的线段PQ 以点A 为中点,问:BC PQ 与的夹角θ取何值时,CQ BP ∙的值最大?并求出这个最大值. 解:方法一,如图7.∵⊥,∴·=0.∵AC AQ CQ AB AP BP AQ AP -=-=-=,,, ∴)()(-∙-=∙ =∙+∙-∙-∙ =-a 2-AC +·=-a 2+·(-AC ) =-a 2+21·=-a 2+a 2cosθ. 故当cosθ=1,即θ=0,PQ 与BC 的方向相同时,CQ BP ∙最大,其最大值为0.图8方法二:如图8.以直角顶点A为坐标原点,两直角边所在的直线为坐标轴,建立如图所示的平面直角坐标系.设|AB|=c,|AC|=b,则A(0,0),B(c,0),C(0,b),且|PQ|=2a,|BC|=a.设点P的坐标为(x,y),则Q(-x,-y).∴=(x-c,y),=(-x,-y-b),=(-c,b),=(-2x,-2y).∴∙=(x-c)(-x)+y(-y-b)=-(x2+y2)+cx-by.∵2||||a bycxBCPQ -=∴cx-by=a2cosθ.∴∙=-a2+a2cosθ.故当cosθ=1,即θ=0,与的方向相同时, ∙最大,其最大值为0. （四）知能训练图91.如图9,已知AC为⊙O的一条直径,∠ABC是圆周角.求证:∠ABC=90°.证明:如图9.设AO=a,OB=b,则AB=a+b,OC=a,BC=a-b,|a|=|b|.因为·BC=(a+b)·(a-b)=|a|2-|b|2=0,所以⊥.由此,得∠ABC=90°.点评:充分利用圆的特性,设出向量.2.D 、E 、F 分别是△ABC 的三条边AB 、BC 、CA 上的动点,且它们在初始时刻分别从A 、B 、C 出发,各以一定速度沿各边向B 、C 、A 移动.当t=1时,分别到达B 、C 、A.求证:在0≤t≤1的任一时刻t 1,△DEF 的重心不变.图10证明:如图10.建立如图所示的平面直角坐标系,设A 、B 、C 坐标分别为(0,0),(a,0),(m,n).在任一时刻t 1∈(0,1),因速度一定,其距离之比等于时间之比,有111||||||||||||t t FA CF EC BE DB AD -====λ,由定比分点的坐标公式可得D 、E 、F 的坐标分别为(at 1,0),(a+(m-a)t 1,nt 1),(m-mt 1,n-nt 1).由重心坐标公式可得△DEF 的重心坐标为(3,3mm a +).当t=0或t=1时,△ABC 的重心也为(3,3mm a +),故对任一t 1∈[0,1],△DEF 的重心不变. 点评:主要考查定比分点公式及建立平面直角坐标系,只要证△ABC 的重心和时刻t 1的△DEF 的重心相同即可.（五）课堂小结1.由学生归纳总结本节学习的数学知识有哪些:平行四边形向量加、减法的几何模型,用向量方法解决平面几何问题的步骤,即“三步曲”.特别是这“三步曲”,要提醒学生理解领悟它的实质,达到熟练掌握的程度.2.本节都学习了哪些数学方法:向量法,向量法与几何法、解析法的比较,将平面几何问题转化为向量问题的化归的思想方法,深切体会向量的工具性这一特点.（六）作业。
2.5 平面向量应用举例知识梳理一、向量在平面几何中的应用平面几何中的共线、共点、平行、线段间的关系、直线的夹角等问题，都可以考虑重新用向量的知识来试着解决它们.对于平面几何中的共线（平行）问题，往往可以转化为考虑与其相关的一对向量的平行问题.对于平面几何中的直线共点问题，常常可以转化为考虑先由其中某两条直线确定一个交点，然后再通过借助于向量的知识来说明其他直线也过这点.对于平面几何中的线段间的关系问题，又往往可以考虑相关向量的模长问题等来帮助解决.对于求直线l 1:A 1x+B 1y+C 1=0与直线l 2:A 2x+B 2y+C 2=0的夹角，则只要求与这两条直线平行的两个向量的夹角，再取这两个向量的夹角或其补角，即与直线l 1、l 2分别平行的向量m =(-B 1,A 1)，n =(-B 2,A 2)，设向量m 、n 的夹角为θ，则cosθ=212121212121||||B A B A B B A A n m n m +∙++=∙,当cosθ＜0时，直线l 1、l 2的夹角等于π-θ；当cosθ≥0时，直线l 1、l 2的夹角等于θ.二、向量在物理中的应用力向量：力向量不同于自由向量，它不仅包括大小、方向两个要素，而且还有作用点.大小相同方向相同的两个自由向量互为相等向量，但大小和方向相同的两个力，如果作用点不同，那么它们是不相等的.但是力是具有大小和方向的量，在不计作用点的情况下，可利用向量运算法则进行计算.速度向量：向量是既有大小又有方向的量，物理中有很多量都是这种量，除了上面所研究的力外，速度也是既有大小又有方向的量.一质点在运动中每一个时刻都有一个速度向量. 知识导学要学好本节内容，可结合实例掌握处理几何问题的代数方法，结合不用向量方法如何证明“思考”,对不同解题方法进行比较,从中体会向量方法的优越性所在.用向量方法解答物理问题的模式策略：(1)建模,把物理问题转化为数学问题；(2)解模,解答得到的数学问题；(3)回答,利用解得的数学答案解释物理现象.疑难突破1.如何用向量方法“三步曲”解决“证明平行四边形的对角线互相平分”这个平面几何问题. 剖析：第一步,建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题.作平行四边形ABCD,M 是对角线AC 、BD 的交点.设AB =a ,AD =b . 第二步,通过向量运算,研究几何元素之间的关系.由向量加法法则AM +MB =a +AM +MD =b .故2AM +MB +MD =a +b .另外, AM +MC =a +b .两式相减得AM -MC +MB +MD =0. 因为-与共线, +与共线.由向量共线的等价条件,存在实数λ、μ,使AM-MC=λAC,MB+MD=μBD.∴λ+μ=0.而与不共线,∴λ=μ=0,即-=+=0.∴=,=.第三步,把运算结果“翻译”成几何关系.∴M既是AC的中点,又是BD的中点,即AC和BD互相平分.2.向量问题和物理问题有哪些相关知识？剖析：（1）力、速度、加速度、位移都是向量；（2）力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的加减法，运动的叠加亦用到向量的合成；（3）动量mv是数乘向量；（4）功的定义即是力F与位移s的数量积.3.用向量的有关知识研究物理中有关力与速度等问题.其基本思路和方法为何？剖析：(1)认真分析物理现象，深刻把握物理量之间的相互关系；(2)通过抽象、概括，把物理现象转化为与之相关的向量问题；(3)利用向量知识解决这个向量问题，并获得这个向量问题的解；(4)利用这个结果，对原物理现象作出解释.。
平面向量的应用举例（平面几何中的向量方法）【知识与技能】平面向量的应用举例,包括几何中的应用和物理中的应用两部分内容.本节的重点是向量法解决平面几何问题的“三步曲”,难点是如何将实际问题中的几何关系转化为向量关系.【过程与方法】教材通过两个例题介绍了向量方法在平面几何中的应用.例1中用向量方法推导了平行四边形的两条对角线与两邻边之间的关系.可以发现,由于向量能够运算,因此它在解决某些几何问题时具有优越性,它把一个思辨过程变成了一个算法过程,只要按程序进行运算操作,即可思考问题的难度，通过例1的学习要明确用向量解决平面几何问题的“三步曲”.例2通过向量之间的关系判断线段之间的关系阐述了平面几何中的向量方法.应结合不用向量方法如何证明“思考”,对不同解题方法进行比较,从中体会向量方法的优越性所在.向量在物理中的应用,实际上是把物理问题转化为向量问题,然后再通过向量运算解决向量问题,最后再用所获得的结果解释物理现象.2.5.2 向量在物理中的应用【知识与技能】本节的重点是掌握用向量解决实际问题的方法以及向量法解决几何问题的“三步曲”,难点是如何将实际问题转化为向量问题,培养学生把物理量之间的关系抽象成数学模型的能力.【过程与方法】教材通过两个例题介绍了向量方法在物理中的应用.向量在物理中的应用,实际上是把物理问题转化为向量问题,然后再通过向量运算解决向量问题,最后再用所获得的结果解释物理现象.例3是生活经常遇到的问题,首先将实际现象抽象为数学模型,得到模型后发现是一个简单的向量问题.例4的关键在于对“行驶最短航程”的意义的解释,即分析中给出的船必须垂直于河岸行驶,这时船的速度与水流速度的合速度应当垂直于河岸.【补充例题】1．利用向量的坐标运算，解决两直线的夹角，判定两直线平行、垂直问题例1已知向量321,,OP OP OP 满足条件0321=++OP OP OP 1===，求证：321P P P ∆是正三角形解：令O 为坐标原点，可设()()()333222111sin ,cos ,sin ,cos ,sin ,cos θθθθθθP P P由321OP OP OP -=+，即()()()332211sin cos sin ,cos sin ,cos θθθθθθ--=+⎩⎨⎧-=+-=+321321sin sin sin cos cos cos θθθθθθ 两式平方和为()11cos 2121=+-+θθ，()21cos 21-=-θθ，由此可知21θθ-的最小正角为0120，即1OP 与2OP 的夹角为0120，同理可得1OP 与3OP 的夹角为0120，2OP 与3OP的夹角为0120，这说明321,,P P P 三点均匀分部在一个单位圆上，所以321P P P ∆为等腰三角形.例2 求等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角 的度数解：如图，分别以等腰直角三角形的两直角边为x 轴、y 轴建立直角坐标系，设()()a B a A 2,0,0,2，则()()a C a D ,0,0,，从而可求： ()()a a a a 2,,,2-=-=,()()aa a a a a 552,,2cos ⋅-⋅-==θ =545422-=-a a . ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∴54arccos θ. 2．利用向量的坐标运算，解决有关线段的长度问题例3已知ABC ∆，AD 为中线，求证()2222221⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=BC AC AB AD 证明：以B 为坐标原点，以BC 所在的直线为x 轴建立如图2直角坐标系，设()()0,,,c C b a A ，⎪⎭⎫ ⎝⎛0,2c D ，则 ()22222402b a ac c b a c ++-=-+⎪⎭⎫⎝⎛-=， 221⎪⎭ ⎝-⎪⎭⎫+. =()442122222222c ac b a c b a c b a +-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-++，=221⎪⎭ ⎝-⎪⎭⎫+，()2222221⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=BC AC AB AD . 3．利用向量的坐标运算，用已知向量表示未知向量例4 已知点O 是，，内的一点，0090BOC 150AOB =∠=∠∆ABC,,,OA c OCb OB a===设,312===试用.,c b a 表示和解：以O 为原点，OC ，OB 所在的直线为x 轴和y 轴建立如图3所示的坐标系.由OA=2，0120=∠AOx ，所以()(),31-A ,120sin 2,120cos 200，即A ，易求()()3,0C 1-0B ，，，设()()().31-3--331-3,01-031-,OA 21122121⎪⎩⎪⎨⎧==⎩⎨⎧==+=+=λλλλλλλλ，，，，即OC OB① ②c a 31-=. 例5 如图，，的夹角为与，与530120,100=== 用OB OA ，表示.OC 解：以O 为坐标原点，以OA 所在的直线为x 轴，建立如图所示的直角坐标系，则()0,1A ，()，，即，所以由⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∠25235C ,30sin 5,5cos30C 30COA 000 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-23,21B 同理可求 ()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=23,21-0125235,2121λλλλ，，即 .3353310232521-23521221⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==λλλλλ， 3353310+=∴. 4．利用向量的数量积解决两直线垂直问题例6 求证：三角形的三条高交于同一点[分析]如图，已知ABC ∆中，由AC BE BC AD ⊥⊥,，,H BE AD = 要证明,AB CH ⊥利用向量法证明AB CH ⊥，只要证得0=⋅即可；证明中，要充分利用好0=⋅，0=⋅这两个条件.证明：H BC AD ,⊥ 在AD 上，∴0=⋅而 -=，0)(=⋅-，即0=⋅-⋅ ① 又-=⊥, ，0=⋅∴即0)(=⋅-0=⋅-⋅∴ ②①-②得： 0=⋅-⋅， 即()0=-⋅AC BC CH 从而0=⋅，⊥∴， AB CH ⊥∴.5．利用向量的数量积解决有关距离的问题，距离问题包括点到点的距离，点的线的距离，点到面的距离，线到线的距离，线到面的距离，面到面的距离.例7 求平面内两点),(),,(2211y x B y x A 间的距离公式[分析]已知点),(),,(2211y x B y x A 求B A ,两点间的距离|,|AB 这时，我们就可以构造出向量，那么),,(1212y y x x --=而||||AB =， 根据向量模的公式得212212)()(||y y x x -+-=，从而求得平面内两点间的距离公式为212212)()(||y y x x AB -+-=.解：设点),(),,(2211y x B y x A ，),(1212y y x x AB --=∴ 212212)()(||y y x x -+-=∴ ,而||||AB =∴点A 与点B 之间的距离为：212212)()(||y y x x AB -+-=6.利用向量的数量积解决线与线的夹角及面与面的夹角问题. 例8 证明: βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-分析：如图，单位圆上任取两点B A ,,以Ox 为始边，OB OA ,为终边的角分别为αβ,，设出B A ,两点的坐标，即得到,的坐标，则βα-为向量,的夹角；利用向量的夹角公式，即可得证.证明：在单位圆O 上任取两点B A ,，以Ox 为始边，以OB OA ,为终边的角分别为αβ,，则A 点坐标为),sin ,(cos ββB 点坐标为)sin ,(cos αα； 则向量=),sin ,(cos ββ=)sin ,(cos αα，它们的夹角为βα-， ,1||||==βαβαsin sin cos cos +=⋅,由向量夹角公式得：==-)cos(βαβαβαsin sin cos cos +,从而得证.注：用同样的方法可证明=+)cos(βαβαβαsin sin cos cos -7.利用向量的数量积解决有关不等式、最值问题.例9 证明柯西不等式2212122222121)()()(y y x x y x y x +≥+⋅+ 证明：令),(),,(2211y x b y x a == （1） 当0 =a 或0 =b 时，02121=+=⋅y y x x b a ，结论显然成立； （2） 当0 ≠a 且0 ≠b 时，令θ为b a ,的夹角，则],0[πθ∈ θcos ||||2121b a y y x x b a =+=⋅. 又 1|cos |≤θ ||||||b a b a ≤⋅∴（当且仅当b a //时等号成立） 222221212121||y x y x y y x x +⋅+≤+∴∴2212122222121)()()(y y x x y x y x +≥+⋅+.（当且仅当2211y x y x =时等号成立） 例10求x x x x y 22cos 3cos sin 2sin ++=的最值解：原函数可变为x x y 2cos 2sin 2++=，所以只须求x x y 2cos 2sin +='的最值即可，构造{}{}1,1,2cos ,2sin ==x x ，那么22cos 2sin =≤=+x x . 故22,22min max -=+=y y .。
§2.5 平面向量应用举例 2．5.1 平面几何中的向量方法课时目标 经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题及其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力．1．向量方法在几何中的应用(1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的等价条件：a ∥b (b ≠0)⇔________⇔______________________. (2)证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形等，常用向量垂直的等价条件：非零向量a ，b ，a ⊥b ⇔____________⇔______________.(3)求夹角问题，往往利用向量的夹角公式cos θ＝______________＝___________________. (4)求线段的长度或证明线段相等，可以利用向量的线性运算、向量模的公式：|a |＝_______ 2．直线的方向向量和法向量(1)直线y ＝kx ＋b 的方向向量为________，法向量为________．(2)直线Ax ＋By ＋C ＝0的方向向量为________，法向量为________．一、选择题1．在△ABC 中，已知A (4,1)、B (7,5)、C (－4,7)，则BC 边的中线AD 的长是( )A ．2 5 B.52 5 C ．3 5 D.7252．点O 是三角形ABC 所在平面内的一点，满足OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →，则点O 是△ABC 的( )A ．三个内角的角平分线的交点B ．三条边的垂直平分线的交点C ．三条中线的交点D ．三条高的交点3．已知直线l 1：3x ＋4y －12＝0，l 2：7x ＋y －28＝0，则直线l 1与l 2的夹角是( ) A ．30° B ．45° C ．135° D ．150°4．若O 是△ABC 所在平面内一点，且满足|OB →－OC →|＝|OB →＋OC →－2OA →|，则△ABC 的形状是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形5．已知点A (3，1)，B (0,0)，C (3，0)，设∠BAC 的平分线AE 与BC 相交于E ，那么有BC→＝λCE →，其中λ等于( )A ．2 B.12 C ．－3 D ．－136．已知非零向量AB →与AC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0且AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，则△ABC 的形状是( )A ．三边均不相等的三角形B ．直角三角形C ．等腰(非等边)三角形D ．等边三角形题 号 1 2 3 4 5 6 答 案二、填空题7．如图，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，则m ＋n 的值为__________________．8．已知平面上三点A 、B 、C 满足|AB →|＝3，|BC →|＝4，|CA →|＝5.则AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →＝________________.9．设平面上有四个互异的点A 、B 、C 、D ，已知(DB →＋DC →－2DA →)·(AB →－AC →)＝0，则△ABC 的形状一定是__________．10．在直角坐标系xOy 中，已知点A (0,1)和点B (－3,4)，若点C 在∠AOB 的平分线上且|OC→|＝2，则OC →＝__________________.三、解答题11．在△ABC 中，A (4,1)，B (7,5)，C (－4,7)，求∠A 的平分线的方程．12．P 是正方形ABCD 对角线BD 上一点，PFCE 为矩形．求证：P A ＝EF 且P A ⊥EF .能力提升13．已知点O ，N ，P 在△ABC 所在平面内，且|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，NA →＋NB →＋NC →＝0，P A →·PB→＝PB ·PC →＝PC →·P A →，则点O ，N ，P 依次是△ABC 的( ) A ．重心、外心、垂心 B ．重心、外心、内心 C ．外心、重心、垂心 D ．外心、重心、内心 14．求证：△ABC 的三条高线交于一点．1．利用向量方法可以解决平面几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题．利用向量解决平面几何问题时，有两种思路：一种思路是选择一组基底，利用基向量表示涉及的向量，一种思路是建立坐标系，求出题目中涉及到的向量的坐标．这两种思路都是通过向量的计算获得几何命题的证明．2．在直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)上任取两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则P 1P 2→(λ∈R 且λ≠0)也是直线l 的方向向量．所以，一条直线的方向向量有无数多个，它们都共线．同理，与直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)垂直的向量都叫直线l 的法向量．一条直线的法向量也有无数多个．熟知以下结论，在解题时可以直接应用． ①y ＝kx ＋b 的方向向量v ＝(1，k )，法向量为n ＝(k ，－1)．②Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)的方向向量v ＝(B ，－A )，法向量n ＝(A ，B )．§2.5 平面向量应用举例 2．5.1 平面几何中的向量方法答案知识梳理1．(1)a ＝λb x 1y 2－x 2y 1＝0 (2)a·b ＝0 x 1x 2＋y 1y 2＝0(3)a·b|a||b |x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22(4)x 2＋y 22．(1)(1，k ) (k ，－1) (2)(B ，－A ) (A ，B ) 作业设计1．B [BC 中点为D ⎝⎛⎭⎫32，6，AD →＝⎝⎛⎭⎫－52，5， ∴|AD →|＝525.]2．D [∵OA →·OB →＝OB →·OC →， ∴(OA →－OC →)·OB →＝0. ∴OB →·CA →＝0.∴OB ⊥AC .同理OA ⊥BC ，OC ⊥AB ， ∴O 为垂心．]3．B [设l 1、l 2的方向向量为v 1，v 2，则 v 1＝(4，－3)，v 2＝(1，－7)，∴|cos 〈v 1，v 2〉|＝|v 1·v 2||v 1|·|v 2|＝255×52＝22. ∴l 1与l 2的夹角为45°.]4．B [∵|OB →－OC →|＝|CB →|＝|AB →－AC →|， |OB →＋OC →－2OA →|＝|AB →＋AC →|， ∴|AB →－AC →|＝|AB →＋AC →|，∴四边形ABDC 是矩形，且∠BAC ＝90°. ∴△ABC 是直角三角形．] 5．C[如图所示，由题知∠ABC ＝30°，∠AEC ＝60°，CE ＝33，∴|BC ||CE |＝3，∴BC →＝－3CE →.] 6．D [由⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0，得角A 的平分线垂直于BC .∴AB ＝AC . 而AB →|AB →|·AC →|AC →|＝cos 〈AB →，AC →〉＝12，又〈AB →，AC →〉∈[0°，180°]，∴∠BAC ＝60°.故△ABC 为正三角形，选D.] 7．2解析 ∵O 是BC 的中点， ∴AO →＝12(AB →＋AC →)＝m 2AM →＋n 2AN →，∴MO →＝AO →－AM →＝(m 2－1)AM →＋n 2AN →.又∵MN →＝AN →－AM →，MN →∥MO →，∴存在实数λ，使得MO →＝λMN →，即⎩⎨⎧m2－1＝－λ，n2＝λ，化简得m ＋n ＝2. 8．－25解析 △ABC 中，B ＝90°，cos A ＝35，cos C ＝45，∴AB →·BC →＝0，BC →·CA →＝4×5×⎝⎛⎭⎫－45＝－16， CA →·AB →＝5×3×⎝⎛⎭⎫－35＝－9. ∴AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →＝－25. 9．等腰三角形解析 ∵(DB →＋DC →－2DA →)·(AB →－AC →)＝[(DB →－DA →)＋(DC →－DA →)]·(AB →－AC →) ＝(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝AB →2－AC →2 ＝|AB →|2－|AC →|2＝0，∴|AB →|＝|AC →|，∴△ABC 是等腰三角形．10.⎝⎛⎭⎫－105，3105 解析已知A (0,1)，B (－3,4)， 设E (0,5)，D (－3,9)， ∴四边形OBDE 为菱形．∴∠AOB 的角平分线是菱形OBDE 的对角线OD .设C (x 1，y 1)，|OD →|＝310，∴OC →＝2310OD →.∴(x 1，y 1)＝2310×(－3,9)＝⎝⎛⎭⎫－105，3105，即OC →＝⎝⎛⎭⎫－105，3105.11．解 AB →＝(3,4)，AC →＝(－8,6)， ∠A 的平分线的一个方向向量为： AB →|AB →|＋AC →|AC →|＝⎝⎛⎭⎫35，45＋⎝⎛⎭⎫－45，35＝⎝⎛⎭⎫－15，75. ∵∠A 的平分线过点A .∴所求直线方程为－75(x －4)－15(y －1)＝0.整理得：7x ＋y －29＝0.12．证明 以D 为坐标原点，DC 所在直线为x 轴，DA 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系如图所示，设正方形边长为1，|DP →|＝λ，则A (0,1)，P ⎝⎛⎭⎫2λ2，2λ2，E ⎝⎛⎭⎫1，22λ，F ⎝⎛⎭⎫22λ，0， 于是P A →＝⎝⎛⎭⎫－22λ，1－22λ，EF →＝⎝⎛⎭⎫22λ－1，－22λ.∴|P A →|＝⎝⎛⎭⎫22λ－12＋⎝⎛⎭⎫－22λ2＝λ2－2λ＋1， 同理|EF →|＝λ2－2λ＋1， ∴|P A →|＝|EF →|，∴P A ＝EF .∴P A →·EF →＝⎝⎛⎭⎫－22λ⎝⎛⎭⎫2λ2－1＋⎝⎛⎭⎫1－22λ⎝⎛⎭⎫－22λ＝0，∴P A →⊥EF →.∴P A ⊥EF . 13．C[如图，∵NA →＋NB →＋NC →＝0， ∴NB →＋NC →＝－NA →.依向量加法的平行四边形法则，知|N A →|＝2|ND →|，故点N 为△ABC 的重心． ∵P A →·PB →＝PB →·PC →， ∴(P A →－PC →)·PB →＝CA →·PB →＝0.同理AB →·PC →＝0，BC →·P A →＝0， ∴点P 为△ABC 的垂心． 由|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，知点O 为△ABC 的外心．] 14．证明如图所示，已知AD ，BE ，CF 是△ABC 的三条高． 设BE ，CF 交于H 点， 令AB →＝b ，AC →＝c ，AH →＝h ， 则BH →＝h －b ，CH →＝h －c ，BC →＝c －b . ∵BH →⊥AC →，CH →⊥AB →， ∴(h －b )·c ＝0，(h －c )·b ＝0， 即(h －b )·c ＝(h －c )·b整理得h·(c －b )＝0，∴AH →·BC →＝0∴AH ⊥BC ，∴AH →与AD →共线． AD 、BE 、CF 相交于一点H .附赠材料答题六注意 ：规范答题不丢分提高考分的另一个有效方法是减少或避免不规范答题等非智力因素造成的失分,具体来说考场答题要注意以下六点:第一,考前做好准备工作。
马鸣风萧萧高中数学学习材料唐玲出品2.5 平面向量应用举例班级:__________姓名:__________设计人:__________日期:__________♒♒♒♒♒♒♒课后练习·练习案♒♒♒♒♒♒♒基础过关1．已知两个力，的夹角为90°，它们的合力大小为10N，合力与的夹角为60°，那么的大小为A. B.5N C.10N D.2．一个人骑自行车的速度为v1，风速为v2，则逆风行驶的速度的大小为A.v1-v2B.v1+v2C.|v1|-|v2|D.3．(2012·安徽省合肥一中质检)过△ABC内部一点M任作一条直线EF,AD⊥EF于D,BE ⊥EF于E,CF⊥EF于F,都有++=0,则点M是△ABC的()A.三条高的交点B.三条中线的交点C.三边中垂线的交点D.三个内角平分线的交点4．用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个灯具，如图，已知灯具的重力为10N，则每根绳子的拉力大小是____.精心制作仅供参考唐玲出品5．如图所示,若D是△ABC内的一点,且AB2-AC2=DB2-DC2,求证:AD⊥BC.6．在四边形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,且||=||=1,+=+=0,cos∠DAB=.求|+|与|+|的值.7．某人骑车以速度a向正东行驶,感到风从正北方向吹来,而当速度为2a时,感到风从东北方向吹来,试求实际风速的大小和方向.8．(2012·湖南省衡阳一中模考)如图,在△ABC中,·=0, ||=8,||=6,l为线段BC 的垂直平分线,l与BC交于点D,E为l上异于D的任意一点.(1)求·的值;(2)判断·的值是否为一个常数,并说明理由.能力提升1．根据指令(r,θ)(r≥0,−180°<θ≤180°)，机器人在平面上能完成下列动作：先原地旋转角度θ(按逆时针方向旋转θ为正，按顺时针方向旋转θ为负)，再朝其面对的方向沿直线行走距离r.(1)机器人位于直角坐标系的坐标原点，且面对x轴正方向，试给机器人下一个指令，使其移动到点(4,4).(2)机器人在完成(1)中指令后，发现在点(17,0)处有一小球正向坐标原点作匀速直线滚动.已知小球滚动的速度为机器人直线行走速度的2倍，若忽略机器人原地旋转所需的时马鸣风萧萧间，问：机器人最快可在何处截住小球？并给出机器人截住小球所需的指令取.2．如图，已知扇形OAB的周长2+，面积为，并且.(1)求的大小；(2)如图所示，当点C在以O为圆心的圆弧上变动.若其中、，求的最大值与最小值的和；(3)若点C、D在以O为圆心的圆上，且.问与的夹角取何值时，的值最大？并求出这个最大值.精心制作仅供参考唐玲出品2.5 平面向量应用举例详细答案【基础过关】1．A2．C3．B【解析】本题主要考查向量的几何意义.根据特殊位置法,可以判断,当直线EF经过C点时,++=0即为+=0,于是||=||,EF即为AB边上的中线,同理,当EF经过A点时,EF是BC边上的中线,因此,点M是△ABC的三条中线的交点,故选B.4．10N5．设=a,=b,=e,=c,=d,则a=e+c,b=e+d,所以a2-b2=(e+c)2-(e+d)2=c2+2e·c-2e·d-d2.由已知可得a2-b2=c2-d2,所以c2+2e·c-2e·d-d2=c2-d2,所以e·(c-d)=0.因为=+=d-c,所以·=e·(d-c)=0,所以⊥,即AD⊥BC.6．如图,在四边形ABCD中,∵+=+=0,∴=,=.∴四边形ABCD为平行四边形.又||=||=1,∴四边形ABCD为菱形.∵cos∠DAB=,∠DAB∈(0,π),∴∠DAB=,∴△ABD为正三角形.∴|+|=|+|=||=2||=.|+|=||=||=1.【解析】本题主要利用向量的几何意义,求解平面几何和三角形的问题.解决此类问题,首先要注意向量与几何的内在联系,并利用向量的线性运算、相等向量、共线向量等概念求解.7．设实际风速为v,由题意可知,此人以速度a向正东行驶时,感到的风速为v-a,当速度为2a时感到的风速为v-2a.马鸣风萧萧如图所示,设 =-a, =-2a, =v,∵ + = ,∴ =v-a,这就是速度为a 时感到的由正北方向吹来的风速, ∵ + = ,∴=v-2a,这就是速度为2a 时感到的由东北方向吹来的风速, 由题意知∠PBO=45°, PA ⊥BO,BA=AO, ∴△POB 为等腰直角三角形,∴∠APO=45°,| | =|| = |a|,即|v|= |a|. ∴实际风速的大小是 |a|,为西北风.8．(1)以点D 为坐标原点,BC 所在直线为x 轴,l 所在直线为y 轴建立直角坐标系,则D(0,0),B(-5,0),C(5,0),A( ,),此时 =(- ,-), =(-10,0), 所以 ·=-×(-10)+(-)×0=14. (2)设点E 的坐标为(0,y)(y≠0),此时=(-,y-), 所以 · =-×(-10)+(y-)×0=14为常数,故 ·的值是一个常数. 【解析】本题考查向量在几何中的应用,采用了向量的坐标表示.解题的关键是建立适当的直角坐标系,写出相应点的坐标,代入数量积公式.求平面向量数量积的步骤:首先求a 与b 的夹角θ,θ∈[0°,180°],再分别求|a|,|b|,然后再求数量积,即a·b=|a||b|cos θ.若知道向量的坐标a=(x 1,y 1),b=(x 2,y 2),则a·b=x 1x 2+y 1y 2. 【能力提升】1．解：(1)如图，设点()4,4A ，所以42OA =，因为OA 与x 轴正方向的夹角为45，所以42,45r θ==，故指令为()42,45(2)设()17,0B ，机器人最快在点(),0P x 处截住小球， 由题意2PB AP =，得()()22172404x x -=-+-，整理得2321610x x +-=， 即()()73230x x -+=，所以7x =或233x =-(舍)， 即机器人最快可在点()7,0P 处截住小球.设OA 与AP 的夹角为θ，因为()()5,4,4,3,4AP OA AP ===-.精心制作仅供参考唐玲出品2cos cos818710OA AP OA APθ⋅==-=-⋅，所以18081.8798.13θ=-=又5AP =，OA 旋转到AP 是顺时针旋转，所以指令为()5,98.13-. 2．(1)设扇形半径为 ，圆心角由得或又当,时，不成立； 当 ,时，成立， 所以(2)如图所示，建立直角坐标系，则A (1，0)，B，C .由得，. 即. 则又，则，故.(3)由题可知马鸣风萧萧，当且即时【解析】本试题主要考查三角函数与平面向量的综合运用.建立适当的坐标系，将几何问题转化为代数问题，运用向量的数量积的坐标来求解运算.。
训练案一知能提升[A.基础达标]1 .一个人骑自行车的速度为A . V 1 —v 2 V 1 ,风速为V 2，则逆风行驶的速度的大小为 ( )B . V 1+ V 2V 1 C . |V 1— |V 2|D. 一 V 2解析：选C.根据速度的合成可知.2. 已知平面内四边形ABCD 和点0,若OA = a , OB= b , OC= c , OD = d ,且a + c = b + d,则四边形ABCD 为()A .菱形B .梯形C .矩形D .平行四边形 解析：选D.由题意知a — b = d -c , ••• BA = C D ,•••四边形ABCD 为平行四边形.故选 3.平行四边形ABCD 的三个顶点分别是 A(4,2), B(5,7), C( — 3,4)，则顶点D 的坐标是()A . (12,5)B . (— 2,9)C . (3,7)D . (— 4, — 1)O O— 3—x = 1, 解析：选 D.设 D(x , y)，由 AB = DC ，知 (1,5) = (— 3—x,4 — y),即*4—y = 5, |x =— 4,解得故选D.y =— 1.4. 在平面直角坐标系中，0(0,0), P(6,8)，将向量0P 绕点O 按逆时针旋转 严后得向量0Q ，则点Q 的坐 标是()A . (— 7 2, — .2)B . (— 7 .2,2)C . (— 4 .6,— 2)D . (— 4 .6, 2)解析：选 A.将向量 OP = (6,8)，按逆时针旋转 32后，得 O M = (8,— 6), OQ = — ；(OP + O M I) = (— 7 .2, —岑2),所以点Q 的坐标是(—7 2，—叮2).B 是圆心为C ,半径为 5的圆上两点，且|AB|= 5,则AC CB 等于(B.f 解析：选A.由已知得厶ABC 为正三角形，向量A C 与CB 的夹角为120°所以A C C B = .5 • 5cos 120 =— 52.解析：设小车位移为s,则|S = 10米,W F = F s= |F ||S c os 60 °1=10X 10 X 2= 50(焦耳). 答案：50活学巧练跟踪验证D. 5.已知A , D.5 ；3 2 6.如图所示，一力作用在小车上，其中力 10米时，力F 做的功为 __________ 焦耳.F 的大小为10牛，方向与水平面成60。
角, 当小车向前运动7.在△ ABC中，已知|AB|=|AC|= 4，且AB AC= 8，则这个三角形的形状是解析：•/ AB AC = 4X 4 cos A = 8,n 17 n ncos A= 2，-/ A = 3，•••△ ABC 是正三角形.答案：正三角形n& 一纤夫用纤绳拉船沿直线方向前进 60 m ,若纤绳与行进的方向夹角为,此人的拉力的大小为 50 N ,6则纤夫对船所做的功为 _________ .n解析：由题意可知，纤夫拉力|F |= 50 N ，位移|s |= 60 m ，拉力F 与位移s 的夹角为§,所以纤夫对船所n做的功 W = F s = |F | |s |cos 6= 1 500 3（J ）.答案：1 500 3 J9 •如图所示，P 是厶ABC 内一点，且满足AP + 2E3P + 3CP = 0,设Q 为CP 延长线与AB 的交点，求证: CQ = 2CP.证明：•/ A P = A Q + QP , B P = B Q + Qp, • (AQ + QP)+ 2(BQ + QP) + 3CP = 0, • AQ + 3QP + 2BQ + 3CP = 0.又••• A , B , Q 三点共线，C , P , Q 三点共线, 故可设AQ =治Q , CP = Q 5, •- ?BQ + 3QP + 2BQ + 3 jjQP = 0,•（入 + 2）BQ + （3 + 3J QP = 0.而BQ , QP 为不共线向量， j + 2 = 0, 13 + 3 j= 0,A - 2,解得* j=- 1,• CP =- QP = P Q.故CQ = CP + PQ = 2CP.10.已知力F 与水平方向的夹角为 30 °斜向上），大小为50 N ，一个质量为8 kg 的木块受力F 的作用 在动摩擦因数 尸0.02的水平平面上运动了 20 m .力F 和摩擦力f 所做的功分别为多少？（取重力加速度大 小为 10 m/s 2）解：如图所示，设木块的位移为=50 X 20 X# = 500 ..；3（J ）.将力F 分解成竖直向上的分力 f 12则 |f i |=|F |sin 30 =°0X 1 = 25(N).所以 |f |= p(|G |- |f 1|)= 0.02 X (8 X 10-25)= 1.1(N). 因此 fs = |f | |s |cos 180 = 1.1 X 20 X (— 1)=- 22(J).As ,则:F s = |F | |s |cos 30故力F 和摩擦力f 所做的功分别为500 3 J 和一22 J.[B.能力提升]1.水平面上的物体受到力 F 1, F 2的作用，F 1水平向右，F 2与水平向右方向的夹角为0,物体在运动过程中，力F 1与F 2的合力所做的功为 W ,若物体一直沿水平地面运动，则力F 2对物体做功的大小为( )|F 2| |F 2|cos 0 A. - W B. 2 W |F1|+ |F 2||F1|+ |F 2|C. 回 WD. |F 2|cos 0 W |F 1|cos 0+ |F 2| |F 1|+ |F 2|cos 0 解析：选D.设物体的位移是s , 根据题意有(|F 1|+ |F 2|cos 0)|s |= W , 即|s |=W，所以力F 2对物体做功的大小为 |F 1汁 |F 2|cos 02.在厶 ABC 中，(BC + BA) A C = |AC|2，则△ ABC 的形状一定是( )A .等边三角形B .等腰三角形C .直角三角形D .等腰直角三角形解析：选 C.由(BC + BA )A C = |AC|2,—— —— —— —— 得(BC + BA) AC — AC2 = 0, 所以 A C (BC + B A — A C )= 0, 所以 AC (BC + BA + CA)= 0, 即 AC (BC + CA + BA)= 0, 所以 2AC BA = 0,所以AC 丄BA ，所以/ A = 90° 所以△ ABC 是直角三角形.—* 1 —* 2 —*3.已知P ABC 所在平面内一点，且满足 AP = "AC + "AB ，则△ APB 的面积与厶APC 的面积之比为5 5 解析：5AP = A C + 2AB ,2A P — 2A B = A C — A P — 2A P ,—2(PA + PB)= PC ,则C , P , E 三点共线，连接 PE 交AB 于点0,则PC = 2EP =F 2|cos B W |F i |+|F 2|cos 0 .如图所示，以PA , PB 为邻边作?PAEB ,40P ,.S ^APB 2S ^APO 2|0P| 1— —|PC| = 2.S ^APC S ^APC答案：1 : 24 .有一两岸平行的河流，水速大小为1, 的方向行驶.解析：如图，为使小船所走路程最短，那么 小船的速度大小为.2,为使所走路程最短，小船应朝 v 水+ v 船应与河岸垂直.又|v 水|=|AB|= 1 ,|v 船|= |AC|= 2，/ ADC = 90 ° •••/ CAD = 45° 答案：与水速成135°角5. 如图，已知直角梯形 ABCD , AD 丄AB , AB = 2AD = 2CD ，过点C 作CE 丄AB 于点E , M 为CE 的中 点，用向量的方法证明：⑴DE // BC ;(2)D , M , B 三点共线.证明：以E 为原点，AB 所在直线为x 轴，EC 所在直线为y 轴建立直角坐标系.令|AD|= 1,则|DC|= 1, |AB|= 2.•/ CE 丄 AB ,而 AD = DC , •四边形AECD 为正方形. •可求得各点坐标分别为：E(0,0), B(1,0), C(0,1), D(- 1,1), A( — 1,0).⑴•/ ED = (— 1,1)— (0,0) = (— 1,1),BC = (0,1) — (1,0) = (— 1,1), • ED = BC ,A E D // BC ，即 DE // BC.1(2)连接 MD , MB ，: M 为 EC 的中点，• M(0 ,"), • MD = (— 1,1)— (0, 1) = (— 1 , J),T1 1MB = (1,0) — (0 , 2)= (1, — 2). 又MD 与MB 有公共点M , • D , M , B 三点共线.6. (选做题)如图，在直角三角形 ABC 中，已知BC = a ,若长为2a 的线段PQ 以A 为中点，问P Q 与BC 的夹角B 取何值时，BP CQ 的值最大，并求出这个最大值.解：以直角顶点为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系,MD //MB1c//A X<fi H设AB = c, AC= b,贝U A(0,0), B(c,O), C(0 , b), 且PQ = 2a, BC = a.设点P(x, y),贝U Q( —x,—y),—2y),所以BP CQ= (x—c)(—所以EB P = (x—c, y), CQ= (—x,—y—b), BC = (—c, b), PQ = (—2x,2 i 2x) + y( —y—b)=—(x + y )+ cx—by. 所以cos e=邑•& = c x—2^ f f a ?|PQ||BC|所以cx—by= a2cos e,所以BP CQ = —a2+ a2cos e,故当cos e= 1，即e= 0(B P与C Q的方向相同)时，BP C Q最大，其最大值为0.。
