第2课时 函数的解析式与定义域
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科 目数学 年级 高三 备课人 高三数学组 第 课时 2.1函数的解析式及定义域与值域考纲定位 理解函数的概念;掌握简单函数的定义域的求法;掌握求解析式的常用方法.疑难提示 1、要注意区间的正确表示,特别是分清开区间与闭区间的区别;2、简单函数的定义域和值域的求法;3、对符号()y f x =的理解及解析式的求法.【考点整合】1、函数的概念设A 、B 是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系f ,使对于集合A 中的 ,在集合B 中都有 的数()f x 和它对应,那么就称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数,其中x 的取值范围A 叫函数的 , 叫函数的值域,值域是 的子集.2、函数的三要素: 为函数的三要素.两函数相同,当且仅当3、函数的表示法有 , 和 .4、映射的概念设A 、B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应关系f ,使对于集合A 中的 ,在集合B 中都有 的元素y 和它对应,那么就称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个映射.5、函数定义域的求法:6、基本初等函数的值域:(一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、三角函数)【真题演练】1、(2011 浙江)设函数20()0x x f x x x -≤⎧=⎨>⎩若()4f a =,则实数a =( )A.-4或-2B.-4或2C.-2或4D.-2或22、(2012 江西)下列函数中,与函数31y x=定义域相同的函数是( ) A.1sin y x = B.ln x y x = C.x y xe = D.sin x y x= 3、(2012 江西)设函数211()lg 1x x f x x x ⎧+≤=⎨>⎩若((10))f f =( ) A.lg101 B.2 C.1 D.04、(2012 安徽)下列函数中,不满足(2)2()f x f x =的是( )A.()||f x x =B.()||f x x x =-C.()1f x x =+D.()f x x =-5、(2012 江苏)函数6()12log f x x =-的定义域为6、(2010 江苏)已知函数210()10x x f x x ⎧+≥=⎨<⎩,则满足不等式2(1)(2)f x f x ->的x 的取值范围是【经典例题】一、函数的定义域:例1、(1)函数(1)y x x x =-+的定义域为 ; (2)函数02lg(2)(1)12x y x x x -=+-+-的定义域为 ;(3)已知函数()y f x =的定义域是[0,4],则2(1)(3)y f x f x x =++-的定义域是变式训练:1、若函数(1)y f x =+的定义域是[-2,3),则(21)y f x =-的定义域是2、若函数1()x f x e x m=-+的定义域是R ,则实数m 的取值范围是 二、函数的值域例2、分别求下列函数的值域(1)1y x =+ (2)22y x x =-+ (3)22([0,3])y x x x =-+∈ (4)213x y x +=- (5) (6)21y x x =+-变式训练:求下列函数的值域(1)246([1,5))y x x x =-+∈ (2)(0)cx d y a ax b+=≠+其中 (3)21y x x =-- (4)22225(12)1x x y x x x ++=≤≤++三、函数的解析式例3、(1)已知二次函数()f x 的最小值为4,且(2)(0)6f f ==,求()f x 的解析式(2)已知2(1)f x x x +=+,求()f x 的解析式;(3)已知2()()32f x f x x +-=+,求()f x 的解析式(4)已知函数2y x x =+与函数()y g x =的图象关于点(-2,3)对称,求()g x 的解析式(5)设()f x 是R 上的函数,且满足(0)1f =,并且对任意实数,x y 都有()()(21)f x y f x y x y -=--+,求()f x 的解析式变式训练:(1)已知2211()f x x x x +=+,求()f x ;(2)已知12()()3f x f x x+=,求()f x ;【作业】《胜券在握》P4页第1、2题;【上本作业】《胜券在握》P4页第3、4、5题.。
函数定义域与解析式【教学目标】一、函数定义域【知识点】1.函数是一种非空的数集组成的映射,是从自变量x 到应变量y 的对应关系;期中x 的范围叫做定义域;2.定义域的常见形式有分式,根式,指数,对数,复合函数以及抽象函数;【定义域常见类型】一 、具体函数定义域的常见类型:1.分式中分母不为零2.偶次根式非负3.零次幂底数非零4. 当题中出现多个函数的四则运算及复合时,注意考虑每一个函数定义域并取交集二 、抽象函数常见类型1.已知()f x 定义域求()()f g x 定义域2已知()()f g x 定义域求()f x 定义域3. 已知()()f g x 定义域求()()f h x 定义域(一)具体函数【例题讲解】★☆☆例题1:求函数11y x =+的定义域; 答案: {}|1x x ≠−解析: 10,1x x +≠≠−,{}|1x x ∴≠−★☆☆练习1.求函数2123y x x =−−的定义域; 答案:{}|13x x x ≠−≠且解析:2230x x −−≠()()310x x −+≠,{}|13x x x ∴≠−≠且★☆☆例题2. 求函数y答案:{}R|1x x ∈≥解析:,x x −≥≥101,{}R|1x x ∴∈≥★☆☆练习1:求函数y =答案:[)(,-],−∞⋃+∞13解析:2230x x −−≥,()()310x x −+≥13x x ≤−≥或,(][),,∴−∞−⋃+∞13 ★☆☆例题3.求函数()023y x =−的定义域 3,2⎫⎛⎫+∞⎪ ⎪⎭⎝⎭解析:230x −≠3,2⎫⎛⎫+∞⎪ ⎪⎭⎝⎭★☆☆练习1求函数0221x y x −⎛⎫= ⎪+⎝⎭的定义域 ()1,22,2⎫⎛⎫−+∞⎪ ⎪⎭⎝⎭()1,22,2⎫⎛⎫−+∞⎪ ⎪⎭⎝⎭★☆☆例题4..求函数y解析:1010x x −≥−≥且★☆☆练习1.求函数()04y x =−的定义域; 答案:(][)(),13,44,+−∞−∞解析:2230x x −−≥且40x −≠(][)(),13,44,+x ∴∈−∞−∞(二)抽象函数★☆☆例题5.已知()f x 定义域是[]1,3,求()21f x +的定义域答案:[]0,1解析: 因为()f x 的定义是[]1,3,即()f x 中,[]1,3x ∈,那么()21f x +中,[]211,3x +∈,得[]0,1x ∈则()21f x +中,[]0,1x ∈∴ ()21f x +的定义域是[]0,1★☆☆练习1.已知()f x 定义域是()0,1,求()2f x 的定义域答案: ()()1,00,1−解析:因为()f x 的定义是()0,1,即()f x 中,()0,1x ∈,那么()2f x 中, ()20,1x ∈,得()()1,00,1x ∈−则()2f x 中, ()()1,00,1x ∈−∴ ()2f x 的定义域是()()1,00,1x ∈−★☆☆例题6.已知()1f x −定义域是[]3,3−,求()f x 的定义域.答案:[]4,2−.解析:∵()1f x −的定义域为[]3,3−,即33x −≤≤∴412x −≤−≤即函数()f x 定义域为[]4,2−.★☆☆练习1已知)2f 定义域是[]4,9,求()f x 的定义域答案:[]0,1即函数()f x 定义域为[]0,1.★☆☆例题7.已知()21f x +定义域是()3,5,求()41f x −的定义域答案:()2,3.解析:∵(21)f x +定义域为()3,5,即35x <<,∴72111x <+< ,则()f x 定义域为()7,11,∴(41)f x −定义域为74111x <−<,∴23x <<.即()41f x −的定义域为()2,3.★☆☆练习1已知()1f x +定义域是()2,3−,求()222f x −的定义域2,32⎫⎛⎪ ⎪ ⎭⎝解析:∵()1f x +定义域为()2,3−,即23x −<<,∴114x −<+< ,则()f x 定义域为()1,4−,∴()222f x −定义域为21224x −<−<, 2,32⎫⎛⎪ ⎪ ⎭⎝2,32⎫⎛⎪ ⎪ ⎭⎝★☆☆例题8.若函数()f x = 的定义域为R ,则实数a 的取值范围.答案:(],0−∞解析:偶次根号下非负,当x 的范围为R 时,20x a −≥在R 上恒成立,等价于2a x ≤在R 上恒成立求出a 的范围为0a ≤,(],0a ∴∈−∞★☆☆练习1若函数()212f x x ax a=−+ 的定义域为R ,则实数a 的取值范围. 答案:()0,1解析:分式型函数分母不为零,当x 的范围为R 时,220x ax a −+≠恒成立;2(2)40a a ∆=−−<即01a <<; 所以a 的取值范围是()0,1.知识点要点总结:一 具体函数定义域的常见类型:1.分式中分母不为零2.偶次根式非负3.零次幂底数非零4. 当题中出现多个函数的四则运算及复合时,注意考虑每一个函数定义域并取交集5. 实际问题中除考虑函数解析式有意义外,还应考虑实际问题本身的要求.二.抽象函数的定义域问题(1)若已知函数f (x )的定义域为[a ,b ],其复合函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出;(2)若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ,b ],则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ,b ]上的值域.二、函数的解析式【知识点】求函数解析式的四种常用方法1. 拼凑法:将等号右侧的式子拼凑成关于f 后括号内东西的表达式,然后将其直接写成x .2. 换元法:已知复合函数(())f g x 的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围.3.待定系数法:已知函数类型.①正比例函数:(0)y kx k =≠; ②反比例函数:(0)k y k x=≠; ③一次函数:(0)y kx b k =+≠;④二次函数:2(0)y ax bx c a =++≠.4.方程组法:两个f ,将题目中的x 换成另一个括号内的东西构造方程组.比如:若给出()f x 和()f x −,或()f x 和1()f x 的一个方程,则可以x 代换x −(或1x),构造出另一个方程,解此方程组,消去()f x −(或1()f x)即可求出()f x 的表达式。
重点:理解函数的三要素:定义域、对应法则及值域,会求函数的定义域与函数值,在此过程中培养学生的逻辑推理、数据分析、数学运算的素养。
难点:进一步理解函数的对应关系f,体会函数相等的概念。
学生在第一课时已经学习过函数的概念,并对函数的概念有了深刻的理解。
在此基础上让学生理解函数的三要素、判断两个函数相等,求函数的定义域及值域相对好理解,但是抽象函数的定义域对学生是一个考验。
注意:1、区间是集合的另一种表示形
式,注意与不等式的区别。
如:x ≥-1与[-1,+∞)是完全不同的 2、写区间的端点时,一定注意书写准确
根据具体实例结合数形结合让学
生加深对区间的
理解,使实例成
为理解概念的一
种思维载体。
【练一练】 (1)用区间表示{x |x ≥0且x ≠2}注意区间左端点
【例1】 把下列数集用区间表示: (1){x |x ≥-1}; (2){x |x <0};
(3){x |-1<x <1}; (4){x |0<x <1或2≤x ≤4}.
;
量的值求对应的
函数值,提高学
生数学运算的核
心素养,为求函
数的值域打好基.
础。
通过函数的定义,学生自主归纳出两个函数是同一个函数的概念,培养学生数学抽象的核心素养。
通过具体的例子,使学生掌握同一函数的判断方法.
通过课堂练习,巩固本节学习的内容。
第2课时函数的定义域与值域[目标] 1.了解构成函数的要素,理解函数相等的概念;2.会求简单函数的定义域与值域;3.会求形如f(g(x))的函数的定义域.[重点] 函数相等的概念,求函数的值域.[难点] 求函数的值域,求形如f(g(x))的函数的定义域.知识点一函数相等[填一填]1.条件:①定义域相同;②对应关系完全一致.2.结论:两个函数相等.[答一答]1.若两个函数的定义域和值域相同,它们是否为同一函数?对应关系和值域相同呢?提示:观察下表:对于f1(x)和f2(x),定义域和值域虽相同,但对应关系不同,故不是同一函数;对于f3(x)和f4(x),对应关系和值域虽相同,但定义域不同,故不是同一函数.知识点二函数的定义域[填一填]函数的定义域是使函数有意义的所有自变量的集合.求函数的定义域时,一般遵循以下原则:1.f(x)是整式时,定义域是全体实数的集合.2.f (x )是分式时,定义域是使分母不为0的一切实数的集合. 3.f (x )是偶次根式时,定义域是使被开方式为非负值的实数的集合. 4.零(负)指数幂的底数不能为零.5.对于含字母参数的函数,求其定义域时,需根据问题的具体情况对字母参数进行讨论.6.由实际问题确定的函数,其定义域除使函数有意义外,还要符合问题的实际意义.[答一答]2.函数f (x )=x -1x -2+(x -1)0的定义域为( D ) A .{x |x ≥1} B .{x |x >1}C .{x |1≤x <2或x >2}D .{x |1<x <2或x >2}解析:要使函数有意义,则只需⎩⎪⎨⎪⎧x -1≥0,x -2≠0,x -1≠0,解得1<x <2或x >2,所以函数的定义域为{x |1<x <2或x >2}.故选D.知识点三 函数的值域[填一填]求函数的值域是一个较复杂的问题,要首先明确两点:一是值域的概念,即对于定义域A 上的函数y =f (x ),其值域就是指其函数值的集合:{f (x )|x ∈A };二是函数的定义域、对应关系是确定函数的依据.另外,在求函数的值域时,要根据所给的函数的形式,采用相应的方法.[答一答]3.已知函数y =x 2,x ∈{0,1,2,-1},函数y =x 2的值域是什么?提示:当x =0时,y =0;当x =±1时,y =1;当x =2时,y =4.所以函数的值域是{0,1,4}.类型一 函数相等的判断[例1] 下列各组函数: ①f (x )=x 2-xx ,g (x )=x -1;②f (x )=x x ,g (x )=x x; ③f (x )=x +1·1-x ,g (x )=1-x 2; ④f (x )=(x +3)2,g (x )=x +3;⑤汽车匀速运动时,路程与时间的函数关系f (t )=80t (0≤t ≤5)与一次函数g (x )=80x (0≤x ≤5).其中表示相等函数的是____________(填上所有正确的序号). [答案] ③⑤[解析] ①不同,定义域不同,f (x )定义域为{x |x ≠0},g (x )定义域为R .②不同,对应法则不同,f (x )=1x,g (x )=x .③相同,定义域、对应法则都相同.④不同,值域不同,f (x )≥0,g (x )∈R .⑤相同,定义域、对应法则都相同.讨论函数问题时,要保持定义域优先的原则.判断两个函数是否相等,要先求定义域,若定义域不同,则不相等;若定义域相同,再化简函数的解析式,若解析式相同,则相等,否则不相等.[变式训练1] 下列各组中两个函数是否表示相等函数? (1)f (x )=6x ,g (x )=63x 3; (2)f (x )=x 2-9x -3,g (x )=x +3;(3)f (x )=x 2-2x -1,g (t )=t 2-2t -1.解:(1)g (x )=63x 3=6x ,它与f (x )=6x 定义域相同,对应关系也相同,所以是相等函数. (2)f (x )=x 2-9x -3=x +3(x ≠3),它与g (x )=x +3的定义域不同,故不是相等函数.(3)虽然自变量用不同的字母表示,但两个函数的定义域和对应关系都相同,故是相等函数.类型二 函数的定义域 命题视角1:求具体函数的定义域[例2] 求下列函数的定义域,结果用区间表示: (1)y =x +2+1x 2-x -6;(2)y =(x +1)0|x |-x .[解] (1)要使函数有意义,则有⎩⎪⎨⎪⎧ x +2≥0,x 2-x -6≠0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ≥-2,x ≠-2且x ≠3,故函数的定义域是(-2,3)∪(3,+∞).(2)要使函数有意义,必须满足⎩⎪⎨⎪⎧x +1≠0,|x |-x >0,解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≠-1,x <0,故函数的定义域是(-∞,-1)∪(-1,0).求函数的定义域就是求使函数式有意义的自变量的取值范围.当一个函数式由两个以上数学式子的和、差、积、商的形式构成时,定义域是使各部分都有意义的公共部分的集合.[变式训练2] 求下列函数的定义域: (1)y =1-x +1x +5;(2)y =31-1-x.解析:(1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧1-x ≥0,x +5≠0,解得x ≤1且x ≠-5.所求定义域为{x |x ≤1且x ≠-5}.(2)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧1-x ≥0,1-1-x ≠0,解得x ≤1且x ≠0.所求定义域为{x |x ≤1且x ≠0}.命题视角2:求抽象函数的定义域[例3] (1)已知函数f (x )的定义域是[-1,4],求函数f (2x +1)的定义域. (2)已知函数f (2x +1)的定义域是[-1,4],求函数f (x )的定义域.[分析] 在对应关系相同的情况下, f (x )中x 应与f (g (x ))中g (x )的取值范围相同,据此可解答该题.[解] (1)由已知f (x )的定义域是[-1,4], 即-1≤x ≤4.故对于f (2x +1)应有-1≤2x +1≤4. ∴-2≤2x ≤3,∴-1≤x ≤32.∴f (2x +1)的定义域是⎣⎡⎦⎤-1,32. (2)由已知f (2x +1)的定义域是[-1,4],即f (2x +1)中,应有-1≤x ≤4,∴-1≤2x +1≤9. ∴f (x )的定义域是[-1,9].因为f (g (x ))就是用g (x )代替了f (x )中的x ,所以g (x )的取值范围与f (x )中的x 的取值范围相同.若已知函数f (x )的定义域为[a ,b ],则函数f (g (x ))的定义域是指满足不等式a ≤g (x )≤b 的x 的取值范围;而已知f (g (x ))的定义域是[a ,b ],指的是x ∈[a ,b ],要求f (x )的定义域,就是求x ∈[a ,b ]时g (x )的值域.[变式训练3] 若函数y =f (x )的定义域是[0,2],则函数g (x )=f (2x )x -1的定义域是( B )A .[0,1]B .[0,1)C .[0,1)∪(1,4]D .(0,1)解析:因为f (x )的定义域为[0,2],所以对于函数g (x )满足0≤2x ≤2,且x ≠1,故x ∈[0,1).类型三 求函数的值域[例4] 求下列函数的值域. (1)f (x )=3x -1,x ∈[-5,2); (2)y =2x +1,x ∈{1,2,3,4,5}; (3)y =x 2-4x +6,x ∈[1,5);(4)y =5x -14x +2.[解] (1)∵x ∈[-5,2),∴-15≤3x <6,∴-16≤3x -1<5,∴函数f (x )=3x -1,x ∈[-5,2)的值域是[-16,5). (2)∵x ∈{1,2,3,4,5},∴2x +1∈{3,5,7,9,11},即所求函数的值域为{3,5,7,9,11}. (3)y =x 2-4x +6=(x -2)2+2.∵x ∈[1,5),∴其图象如图所示, 当x =2时,y =2;当x =5时,y =11. ∴所求函数的值域为[2,11). (4)y =5x -14x +2=54(4x +2)-1-1044x +2=54(4x +2)-1444x +2=54-72(4x +2).∵72(4x +2)≠0,∴y ≠54,∴函数y =5x -14x +2的值域为{y ∈R |y ≠54}.根据函数关系式,选择恰当的方法求函数的值域.(1)对于一次函数,已知自变量的取值范围,依据简单不等式的运算,求得函数的取值范围,即为函数的值域;(2)对于二次函数,可借助图象求函数的值域;(3)通过分离常数,借助反比例函数的特征求值域.无论哪种方法求值域,都应注意定义域的限制.[变式训练4] 求下列函数的值域: (1)y =2x +1,x ∈{0,1,3,4}; (2)y =xx +1;(3)y =x 2-4x ,x ∈[1,4]. 解:(1)∵y =2x +1,x ∈{0,1,3,4}, ∴y ∈{1,3,7,9}.(2)∵y =xx +1=(x +1)-1x +1=1-1x +1,且1x +1≠0, ∴函数y =xx +1的值域为{y |y ≠1}.(3)配方,得y =(x -2)2-4. ∵x ∈[1,4],∴函数的值域为[-4,0].1.函数f (x )=x +1+12-x的定义域为( A ) A .[-1,2)∪(2,+∞) B .(-1,+∞) C .[-1,2)D .[-1,+∞)解析:由⎩⎪⎨⎪⎧x +1≥0,2-x ≠0,解得x ≥-1且x ≠2.故选A.2.函数f (x )=x 2+1(0<x ≤2且x ∈N *)的值域是( D ) A .{x |x ≥1} B .{x |x >1} C .{2,3}D .{2,5}解析:∵0<x ≤2且x ∈N *, ∴x =1或x =2. ∴f (1)=2,f (2)=5, 故函数的值域为{2,5}.3.若函数f (x )与g (x )=32-x -2是相等的函数,则函数f (x )的定义域是[2,6)∪(6,+∞).解析:∵2-x -2≠0,∴x ≠6,又x -2≥0,∴x ≥2,∴g (x )的定义域为[2,6)∪(6,+∞). 故f (x )的定义域是[2,6)∪(6,+∞).4.已知函数f (x )的定义域为{x |-1<x <1},则函数f (2x +1)的定义域为{x |-1<x <0}. 解析:因为f (x )的定义域为{x |-1<x <1}, 所以-1<2x +1<1,解得-1<x <0.所以f (2x +1)的定义域为{x |-1<x <0}. 5.试求下列函数的定义域与值域: (1)f (x )=(x -1)2+1; (2)y =5x +4x -1;(3)y =x -x +1.解:(1)函数的定义域为R ,因为(x -1)2+1≥1,所以函数的值域为{y |y ≥1}. (2)函数的定义域为{x |x ≠1},y =5x +4x -1=5+9x -1,所以函数的值域为{y |y ≠5}.(3)要使函数式有意义,需x +1≥0,即x ≥-1,故函数的定义域为{x |x ≥-1}.设t =x +1,则x =t 2-1(t ≥0),于是y =t 2-1-t =(t -12)2-54,又t ≥0,故y ≥-54,所以函数的值域为{y |y ≥-54}.——本课须掌握的三大问题1.两个函数当且仅当它们的三要素完全相同时才表示同一函数,根据它们之间的关系,判断两个函数是否为同一函数,主要看它们的定义域和对应法则是否相同.因为只要定义域相同,对应法则相同,则值域就相同.2.研究函数问题必须树立“定义域优先”原则.求函数定义域一般有三种类型:(1)函数来自实际问题的定义域;(2)已知函数解析式求定义域;(3)抽象函数求定义域.3.求值域的方法有:(1)观察法:根据定义域和对应关系求出;(2)数形结合法:作出函数的图象,然后求解;(3)配方法:配方求解;(4)分离常数法:添一项、减一项,分离出常数再求解;(5)换元法:可以将无理函数转换成有理函数再求解.学习至此,请完成课时作业7 学科素养培优精品微课堂 复合函数与抽象函数开讲啦 1.复合函数的概念如果函数y =f (t )的定义域为A ,函数t =g (x )的定义域为D ,值域为C ,则当C ⊆A 时,称函数y =f (g (x ))为f (t )与g (x )在D 上的复合函数,其中t 叫做中间变量,t =g (x )叫做内层函数,y =f (t )叫做外层函数.2.抽象函数的概念没有给出具体解析式的函数,称为抽象函数. 3.抽象函数或复合函数的定义域理解抽象函数或复合函数的定义域,要明确以下几点: (1)函数f (x )的定义域是指x 的取值范围.(2)函数f (φ(x ))的定义域是指x 的取值范围,而不是φ(x )的范围.(3)f (t ),f (φ(x )),f (h (x ))三个函数中的t ,φ(x ),h (x )在对应关系f 下的范围相同. [典例] 若函数f (x )的定义域为[0,1],求g (x )=f (x +m )+f (x -m )(m >0)的定义域. [解] ∵f (x )的定义域为[0,1],∴g (x )=f (x +m )+f (x -m )中自变量x 需满足⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤x +m ≤1,0≤x -m ≤1,解得⎩⎪⎨⎪⎧-m ≤x ≤1-m ,m ≤x ≤1+m .当1-m =m ,即m =12时,x =12;当1-m >m ,即0<m <12时,如图1,m ≤x ≤1-m .当1-m <m ,即m >12时,如图2,x ∈∅.综上所述,当0<m <12时,g (x )的定义域为[m,1-m ];当m =12时,g (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫12;当m >12时,函数g (x )的定义域为∅.[对应训练] 已知函数f (x +3)的定义域为[-4,5],则函数f (2x -3)的定义域为⎣⎡⎦⎤1,112. 解析:∵函数f (x +3)的定义域为[-4,5],∴-4≤x ≤5,∴-1≤x +3≤8,即函数f (x )的定义域为[-1,8].由-1≤2x -3≤8,解得1≤x ≤112.故函数f (2x -3)的定义域为⎣⎡⎦⎤1,112.。
第2课时 函数相等复 习1.函数的概念.2.函数的定义域的求法.导入新课思路1.当实数a 、b 的符号相同,绝对值相等时,实数a=b;当集合A 、B 中元素完全相同时,集合A=B;那么两个函数满足什么条件才相等呢?引出课题:函数相等.思路2.我们学习了函数的概念,y=x 与y=xx 2是同一个函数吗?这就是本节课学习的内容,引出课题:函数相等.推进新课新知探究提出问题①指出函数y=x+1的构成要素有几部分?②一个函数的构成要素有几部分?③分别写出函数y=x+1和函数y=t+1的定义域和对应关系,并比较异同.④函数y=x+1和函数y=t+1的值域相同吗?由此可见两个函数的定义域和对应关系分别相同,值域相同吗?⑤由此你对函数的三要素有什么新的认识?讨论结果:①函数y=x+1的构成要素为:定义域R ,对应关系x→x+1,值域是R.②一个函数的构成要素为:定义域、对应关系和值域,简称为函数的三要素.其中定义域是函数的灵魂,对应关系是函数的核心.当且仅当两个函数的三要素都相同时,这两个函数才相同. ③定义域和对应关系分别相同.④值域相同.⑤如果两个函数的定义域和对应关系分别相同,那么它们的值域一定相等.因此只要两个函数的定义域和对应关系分别相同,那么这两个函数就相等.应用示例思路11.下列函数中哪个与函数y=x 相等? (1)y=(x )2;(2)y=33x ;(3)y=2x ;(4)y=x x 2. 活动:让学生思考两个函数相等的条件后,引导学生求出各个函数的定义域,化简函数关系式为最简形式.只要它们定义域和对应关系分别相同,那么这两个函数就相等.解:函数y=x 的定义域是R ,对应关系是x→x.(1)∵函数y=(x )2的定义域是[0,+∞),∴函数y=(x )2与函数y=x 的定义域R 不相同.∴函数y=(x )2与函数y=x 不相等.(2)∵函数y=33x 的定义域是R , ∴函数y=33x 与函数y=x 的定义域R 相同. 又∵y=33x =x,∴函数y=33x 与函数y=x 的对应关系也相同. ∴函数y=33x 与函数y=x 相等.(3)∵函数y=2x 的定义域是R ,∴函数y=2x 与函数y=x 的定义域R 相同.又∵y=2x =|x|,∴函数y=2x 与函数y=x 的对应关系不相同.∴函数y=2x 与函数y=x 不相等. (4)∵函数y=xx 2的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞), ∴函数y=xx 2与函数y=x 的定义域R 不相同, ∴函数y=(x )2与函数y=x 不相等.点评:本题主要考查函数相等的含义.讨论函数问题时,要保持定义域优先的原则.对于判断两个函数是否是同一个函数,要先求定义域,若定义域不同,则不是同一个函数;若定义域相同,再化简函数的解析式,若解析式相同(即对应关系相同),则是同一个函数,否则不是同一个函数. 变式训练判断下列各组的两个函数是否相同,并说明理由.①y=x-1,x ∈R 与y=x-1,x ∈N ;②y=4-x 2与y=2-x ·2x +;③y=1+x 1与u=1+x1; ④y=x 2与y=x 2x ;⑤y=2|x|与y=⎩⎨⎧<-≥;0,2,0,2x x x x ⑥y=f(x)与y=f(u).是同一个函数的是________(把是同一个函数的序号填上即可).解:只需判断函数的定义域和对应法则是否均相同即可.①前者的定义域是R ,后者的定义域是N ,由于它们的定义域不同,故不是同一个函数;②前者的定义域是{x|x≥2或x≤-2},后者的定义域是{x|x≥2},它们的定义域不同,故不是同一个函数;③定义域相同均为非零实数,对应法则相同都是自变量取倒数后加1,那么值域必相同,故是同一个函数;④定义域是相同的,但对应法则不同,故不是同一个函数;⑤函数y=2|x|=⎩⎨⎧<-≥,0,2,0,2x x x x 则定义域和对应法则均相同,那么值域必相同,故是同一个函数;⑥定义域相同,对应法则相同,那么值域必相同,故是同一个函数.故填③⑤⑥.思路21.判断下列函数f(x)与g(x)是否表示同一个函数,说明理由.(1)f(x)=(x-1)0,g(x)=1. (2)f(x)=x-1,g(x)=12x -x 2+.(3)f(x)=x 2,g(x)=(x+1)2.(4)f(x)=x 2-1,g(u)=u 2-1.活动:学生思考函数的概念及其三要素,教师引导学生先判断定义域是否相同,当定义域相同时,再判断它们的对应关系是否相同.解:(1)∵f(x)=(x-1)0的定义域是{x|x≠1},函数g(x)=1的定义域是R ,∴函数f(x)=(x-1)0与函数g(x)=1的定义域不同.∴函数f(x)=(x-1)0与函数g(x)=1不表示同一个函数.(2)∵f(x)=x-1的定义域是R ,g(x)=12x -x 2+=21)-(x 的定义域是R , ∴函数f(x)=x-1与函数g(x)=12x -x 2+的定义域相同.又∵g(x)=12x -x 2+=21)-(x =|x-1|, ∴函数f(x)=x-1与函数g(x)=12x -x 2+的对应关系不同.∴函数f(x)=x-1与函数g(x)=12x -x 2+不表示同一个函数.(3)很明显f(x)=x 2和g(x)=(x+1)2的定义域都是R ,又∵f(x)=x 2和g(x)=(x+1)2的对应关系不同,∴函数f(x)=x 2和g(x)=(x+1)2不表示同一个函数.(4)很明显f(x)=x 2-1与g(u)=u 2-1的定义域都是R ,又∵f(x)=x 2-1与g(u)=u 2-1的对应关系也相同,∴函数f(x)=x 2-1与g(u)=u 2-1表示同一个函数.变式训练1.2007湖北黄冈模拟,理13已知函数f(x)满足f(ab)=f(a)+f(b)且f(2)=p,f(3)=q,则f(36)=_______. 解:由题意得f(36)=f(6×6)=f(6)+f(6)=2f(6)=2f(2×3)=2[f(2)+f(3)]=2p+2q.答案:2p+2q2.函数y=f(x)的图象与直线x=2的公共点共有( )A.0个B.1个C.0个或1个D.不确定答案:C2.设y 是u 的函数y=f(u),而u 又是x 的函数u=g(x),设M 表示u=g(x)的定义域,N 是函数y=f(u)的值域,当M∩N≠∅时,则y 成为x 的函数,记为y=f[g(x)].这个函数叫做由y=f(u)及u=g(x)复合而成的复合函数,它的定义域为M∩N,u 叫做中间变量,f 称为外层函数,g 称为内层函数.指出下列复合函数外层函数和内层函数,并且使外层函数和内层函数均为基本初等函数. (1)y=11+x ;(2)y=(x 2-2x+3)2;(3)y=x x112+-1. 活动:让学生思考有哪些基本初等函数,它们的解析式是什么. 解:(1)设y=u 1,u=x+1, 即y=11+x 的外层函数是反比例函数y=u1,内层函数是一次函数u=x+1. (2)设y=u 2,u=x 2-2x+3,即y=(x 2-2x+3)2的外层函数是二次函数y=u 2,内层函数是二次函数u=x 2-2x+3.(3)设y=u 2+u-1,u=x 1, 即y=xx 112+-1的外层函数是二次函数y=u 2+u-1,内层函数是反比例函数u=x 1. 点评:到目前为止,我们所遇到的函数大部分是复合函数,并且是由正、反比例函数和一、二次函数复合而成的,随着学习的深入,我们还会学习其他复合函数.复合函数是高考重点考查的内容之一,应引起我们的重视.变式训练1.2004重庆高考,文2设f(x)=1122+-x x ,则)21()2(f f =_______. 答案:-12.2006安徽高考,理15函数f(x)对任意实数x 满足条件f(x+2)=)(1x f ,若f(1)=-5,则f [f(5)]=.分析:∵函数f(x)对任意实数x 满足条件f(x+2)=)(1x f ,∴f(x+4)=f [(x+2)+1]=)2(1+x f =f(x). ∴f(1)=f(1+4)=f(5).又∵f(1)=-5,∴f(5)=-5.∴f [f(5)]=f(-5)=f(-5+4)=f(-1)=f(-1+4)=f(3)=f(1+2)=)1(1f =51-. 答案:51-知能训练1.下列给出的四个图形中,是函数图象的是( )A.①B.①③④C.①②③D.③④图1-2-1-2答案:B2.函数y=f(x)的定义域是R ,值域是[1,2],则函数y=f(2x-1)的值域是_______.答案:[1,2]3.下列各组函数是同一个函数的有________.①f(x)=3x ,g(x)=x x ;②f(x)=x 0,g(x)=01x ; ③f(x)=u 2-,g(u)=u2-;④f(x)=-x 2+2x,g(u)=-u 2+2u. 答案:②③④拓展提升问题:函数y=f(x)的图象与直线x=m 有几个交点?探究:设函数y=f(x)定义域是D,当m ∈D 时,根据函数的定义知f(m)唯一,则函数y=f(x)的图象上横坐标为m 的点仅有一个(m,f(m)),即此时函数y=f(x)的图象与直线x=m 仅有一个交点;当m D 时,根据函数的定义知f(m)不存在,则函数y=f(x)的图象上横坐标为m 的点不存在,即此时函数y=f(x)的图象与直线x=m 没有交点.综上所得,函数y=f(x)的图象与直线x=m 有交点时仅有一个,或没有交点.课堂小结(1)复习了函数的概念,总结了函数的三要素;(2)学习了复合函数的概念;(3)判断两个函数是否是同一个函数.作业1.设M={x|-2≤x≤2},N={y|0≤y≤2},给出下列4个图形,其中能表示以集合M 为定义域,N 为值域的函数关系是( )图1-2-1-3分析:A 中,当0<x≤2时,N 中没有元素与x 对应,不能构成函数关系;C 中一个x 有两个y 与之对应,所以不是函数关系;D中,表示函数关系,但是表示的函数值域不是N.答案:B2.某公司生产某种产品的成本为1000元,以1100元的价格批发出去,随生产产品数量的增加,公司收入_______,它们之间是关系________.分析:由题意,多生产一单位产品则多收入100元.生产产品数量看成是自变量,公司收入看成是因变量,容易得出对于自变量的每一个确定值,因变量都有唯一确定值与之对应,从而判断两者是函数关系.答案:增加函数3.函数y=x2与S=t2是同一函数吗?答:函数的确定只与定义域与对应关系有关,而与所表示的字母无关,因此y=x2与S=t2表示的是同一个函数.因此并非字母不同便是不同的函数,这是由函数的本质决定的.设计感想本节教学内容主要是依据高考说明,对课本内容适当拓展,重点对函数的相等问题进行了引申,设计时对拓展的内容采取渐进式,设计时本着逐步提高、拓展,不能急于求成,否则事倍功半.。
函数定义域、值域与解析式(一)知识梳理1、求函数解析式的常用方法 方法总结:(1)若已知函数的类型(如一次函数、二次函数),则用待定系数法;(2)若已知复合函数)]([x g f 的解析式,则可用换元法或配凑法; (3)若已知抽象函数的表达式,则常用解方程组消参的方法求出)(x f ;(4)若已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时,一般用代入法。
2、函数的定义域方法总结:如没有标明定义域,则认为定义域为使得函数解析式有意义的x 的取值范围,实际操作时要注意:① 分母不能为0;② 对数的真数必须为正;③ 偶次根式中被开方数应为非负数;④ 零指数幂中,底数不等于0;⑤ 负分数指数幂中,底数应大于0;⑥ 若解析式由几个部分组成,则定义域为各个部分相应集合的交集;⑦ 如果涉及实际问题,还应使得实际问题有意义,而且注意:研究函数的有关问题一定要注意定义域优先原则,实际问题的定义域不要漏写。
3、求值域的几种常用方法 方法总结:(1)直接法:(从自变量x 的范围出发,推出()y f x =的取值范围)(2)图象法:如果函数的图象比较容易作出,则可根据图象直观地得出函数的值域 (3)函数的单调性法:(4)配方法:对于(可化为)“二次函数型”的函数常用配方法, (5)基本不等式法 : 如对勾函数y=x+m x,(m>0),m<0就是单调函数了 (6)数形结合法:其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义,如两点的距离公式、直线斜率等等(7)判别式法:通过对二次方程的实根的判别求值域。
如求函数22122+-+=x x x y 的值域(8)换元法:通过等价转化换成常见函数模型(如二次函数),如y ax b cx d =+±+(a 、b 、c 、d 均为常数,且0a ≠)的函数常用此法求解。
(9)分离常数法:常用来求“分式型”函数的值域。
如求函数3243x y x +=-的值域(10)函数有界性法:直接求函数的值域困难时,可以利用已学过函数的有界性,反客为主来确定函数的值域。
第二讲 函数的定义域、值域知识梳理·双基自测ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE 知识梳理知识点一 函数的定义域 函数y =f(x)的定义域1.求定义域的步骤:(1)写出使函数式有意义的不等式(组); (2)解不等式(组);(3)写出函数定义域.(注意用区间或集合的形式写出) 2.求函数定义域的主要依据 (1)整式函数的定义域为R. (2)分式函数中分母不等于0.(3)偶次根式函数被开方式大于或等于0. (4)一次函数、二次函数的定义域均为R . (5)函数f(x)=x 0的定义域为{x|x≠0}. (6)指数函数的定义域为R . (7)对数函数的定义域为(0,+∞). 知识点二 函数的值域 基本初等函数的值域:1.y =kx +b(k≠0)的值域是R .2.y =ax 2+bx +c(a≠0)的值域是:当a>0时,值域为⎩⎨⎧y ⎪⎪⎪⎭⎬⎫y ≥4ac -b 24a ;当a<0时,值域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪⎪y ≤4ac -b 24a . 3.y =kx (k≠0)的值域是{y|y≠0}.4.y =a x(a>0且a≠1)的值域是(0,+∞). 5.y =log a x(a>0且a≠1)的值域是R .重要结论1.定义域是一个集合,要用集合或区间表示,若用区间表示,不能用“或”连接,而应该用并集符号“∪”连接.2.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集,其值域等于各段函数的值域的并集. 3.函数f(x)与f(x +a)(a 为常数a≠0)的值域相同.双基自测题组一 走出误区1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若两个函数的定义域与值域相同,则这两个函数相等.( × ) (2)函数y =xx -1定义域为x>1.( × ) (3)函数y =f(x)定义域为[-1,2],则y =f(x)+f(-x)定义域为[-1,1].( √ ) (4)函数y =log 2(x 2+x +a)的值域为R ,则a 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤-∞,14.( √ ) (5)求函数y =x 2+3x 2+2的值域时有以下四种解法.判断哪种解法是正确的.[解法一](不等式法):y =x 2+3x 2+2=x 2+2+1x 2+2≥2,∴值域为[2,+∞).( × ) [解法二](判别式法):设x 2+2=t(t≥2),则y =t +1t ,即t 2-ty +1=0,∵t∈R,∴Δ=y 2-4≥0,∴y≥2或y ≤-2(舍去).( × )[解法三](配方法):令x 2+2=t(t≥2),则y =t +1t =⎝ ⎛⎭⎪⎫t -1t 2+2≥2.( × )[解法四](单调性法):易证y =t +1t 在t≥2时是增函数,所以t =2时,y min =322,故y∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫322,+∞.( √ ) [解析] (4)y =log 2(x 2+x +a)值域为R 应满足Δ≥0,即1-4a≥0,∴a≤14.题组二 走进教材2.(必修1P 17例1改编)函数f(x)=2x-1+1x -2的定义域为( C )A .[0,2)B .(2,+∞)C .[0,2)∪(2,+∞)D .(-∞,2)∪(2,+∞)[解析] 使函数有意义满足⎩⎪⎨⎪⎧2x-1≥0x -2≠0,解得x≥0且x≠2,故选C .3.(必修1P 32T5改编)函数f(x)的图象如图,则其最大值、最小值分别为( B )A .f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-32B .f(0),f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32 C .f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-32,f(0) D .f(0),f(3)4.(必修1P 39BT1改编)已知函数f(x)=x +9x ,x∈[2,4]的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤6,132.[解析] 当x =3时取得最小值6,当x =2取得最大值132,值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤6,132.题组三 走向高考5.(2020·北京,11,5分)函数f(x)=1x +1+ln x 的定义域是(0,+∞).[解析] 要使函数f(x)有意义,则⎩⎪⎨⎪⎧x +1≠0,x>0,故x>0,因此函数f(x)的定义域为(0,+∞).6.(2016·北京,5分)函数f(x)=xx -1(x≥2)的最大值为2.[解析] 解法一:(分离常数法)f(x)=x x -1=x -1+1x -1=1+1x -1,∴x≥2,∴x-1≥1,0<1x -1≤1,∴1+1x -1∈(1,2],故当x =2时,函数f(x)=xx -1取得最大值2.解法二:(反解法)令y =x x -1,∴xy-y =x ,∴x=y y -1.∵x ≥2,∴y y -1≥2,∴y y -1-2=2-yy -1≥0,解得1<y≤2,故函数f(x)的最大值为2.解法三:(导数法)∵f(x)=x x -1,∴f′(x)=x -1-x (x -1)2=-1(x -1)2<0,∴函数f(x)在[2,+∞)上单调递减,故当x =2时,函数f(x)=xx -1取得最大值2.考点突破·互动探究KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU考点一 求函数的定义域——多维探究 角度1 求具体函数的定义域例1 (1)(2021·长春质检)函数y =ln (1-x )x +1+1x 的定义域是( D )A .[-1,0)∪(0,1)B .[-1,0)∪(0,1]C .(-1,0)∪(0,1]D .(-1,0)∪(0,1)(2)(2021·宣城八校联考期末)函数y =-x 2+2x +3lg (x +1)的定义域为( B )A .(-1,3]B .(-1,0)∪(0,3]C .[-1,3]D .[-1,0)∪(0,3][解析] (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1-x>0,x +1>0,x≠0,解得-1<x<0或0<x<1.所以原函数的定义域为(-1,0)∪(0,1).(2)要使函数有意义,x 需满足⎩⎪⎨⎪⎧-x 2+2x +3≥0,x +1>0,x +1≠1,解得-1<x<0或0<x≤3,所以函数的定义域为(-1,0)∪(0,3]. 角度2 求抽象函数的定义域例2 已知函数f(x)的定义域为(-1,0),则函数f(2x +1)的定义域为( B ) A .(-1,1) B .⎝⎛⎭⎪⎫-1,-12C .(-1,0)D .⎝ ⎛⎭⎪⎫12,1[解析] 由函数f(x)的定义域为(-1,0),则使函数f(2x +1)有意义,需满足-1<2x +1<0,解得-1<x<-12,即所求函数的定义域为⎝⎛⎭⎪⎫-1,-12. [引申1]若将本例中f(x)与f(2x +1)互换,结果如何? [解析] f(2x +1)的定义域为(-1,0),即-1<x<0, ∴-1<2x +1<1,∴f(x)的定义域为(-1,1).[引申2]若将本例中f(x)改为f(2x -1)定义域改为[0,1],求y =f(2x +1)的定义域,又该怎么办? [解析] ∵y=f(2x -1)定义域为[0,1].∴-1≤2x-1≤1,要使y =f(2x +1)有意义应满足-1≤2x +1≤1,解得-1≤x≤0, 因此y =f(2x +1)定义域为[-1,0]. 名师点拨 MING SHI DIAN BO函数定义域的求解策略(1)已知函数解析式:构造使解析式有意义的不等式(组)求解. (2)实际问题:由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解. (3)抽象函数:①若已知函数f(x)的定义域为[a ,b],其复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b 求出; ②若已知函数f[g(x)]的定义域为[a ,b],则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]时的值域. 〔变式训练1〕(1)(角度1)函数f(x)=1ln (x +1)+4-x 2的定义域为( B )A .[-2,0)∪(0,2]B .(-1,0)∪(0,2]C .[-2,2]D .(-1,2](2)(角度1)(2021·安徽芜湖检测)如果函数f(x)=ln(-2x +a)的定义域为(-∞,1),那么实数a 的值为( D )A .-2B .-1C .1D .2(3)(角度2)已知函数y =f(x 2-1)的定义域为[-3,3],则函数y =f(x)的定义域为[-1,2]. [解析] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x +1>0,ln (x +1)≠0,4-x 2≥0,得-1<x≤2,且x≠0.故选B .(2)因为-2x +a>0,所以x<a 2,所以a2=1,得a =2.故选D .(3)因为y =f(x 2-1)的定义域为[-3,3],所以x∈[-3,3],x 2-1∈[-1,2],所以y =f(x)的定义域为[-1,2].考点二,求函数的值域——师生共研例3 求下列函数的值域. (1)y =1-|x|1+|x|;(2)y =-2x 2+x +3; (3)y =x 2+x +1x ;(4)y =x -1-2x ; (5)y =x +1-x 2;(6)y =|x +1|+|x -2|.[解析] (1)解法一:分离常数法: y =1-|x|1+|x|=-1+21+|x|, ∵|x|≥0,∴|x|+1≥1,∴0<2|x|+1≤2.∴-1<-1+21+|x|≤1.即函数值域为(-1,1].解法二:反解法:由y =1-|x|1+|x|,得|x|=1-y 1+y.∵|x|≥0,∴1-y 1+y ≥0,∴-1<y≤1,即函数值域(-1,1].(2)解法一:配方法:y =-2⎝ ⎛⎭⎪⎫x -142+258,∴0≤y ≤524,∴值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,524.解法二:复合函数法: y =t ,t =-2x 2+x +3, 由t =-2x 2+x +3,解得t≤258,又∵y=t 有意义,∴0≤t≤258,∴0≤y ≤524,∴值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,524.(3)y =x 2+x +1x =x +1x +1解法一:基本不等式法由y =x +1x +1(x≠0),得y -1=x +1x.∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪x +1x =|x|+⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x ≥2|x|·⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x =2,∴|y -1|≥2,即y≤-1或y≥3.即函数值域为(-∞,-1]∪[3,+∞)解法二:判别式法由y =x 2+x +1x ,得x 2+(1-y)x +1=0.∵方程有实根,∴Δ=(1-y)2-4≥0.即(y -1)2≥4,∴y-1≤-2或y -1≥2.得y≤-1或y≥3.即函数的值域为(-∞,-1]∪[3,+∞). 解法三:导数法(单调性法)令y′=1-1x 2=(x +1)(x -1)x 2<0, 得-1<x<0或0<x<1.∴函数在(0,1)上递减,在(1,+∞)上递增,此时y≥3; 函数在(-1,0)上递减,在(-∞,-1)上递增,此时y≤-1. ∴y ≤-1或y≥3.即函数值域为(-∞,-1]∪[3,+∞). (4)解法一:换元法设1-2x =t(t≥0),得x =1-t22,∴y =1-t 22-t =-12(t +1)2+1≤12(t≥0),∴y ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤-∞,12.即函数的值域为⎝ ⎛⎦⎥⎤-∞,12.解法二:单调性法∵1-2x≥0,∴x≤12,∴定义域为⎝ ⎛⎦⎥⎤-∞,12.又∵函数y =x ,y =-1-2x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫-∞,12上均单调递增,∴y≤12-1-2×12=12,∴y∈⎝⎛⎦⎥⎤-∞,12. (5)三角换元法:设x =sin θ,θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π2,π2,y =sin θ+cos θ=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ+π4, ∵θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π2,π2,∴θ+π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π4,3π4,∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ+π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-22,1,∴y∈[-1,2].(6)解法一:绝对值不等式法:由于|x +1|+|x -2|≥|(x+1)-(x -2)|=3, 所以函数值域为[3,+∞).解法二:数形结合法: y =⎩⎪⎨⎪⎧-2x +1(x<-1),3(-1≤x≤2),2x -1(x>2).画出此分段函数的图象如图,可知值域为[3,+∞). 名师点拨 MING SHI DIAN BO求函数值域的一般方法(1)分离常数法:形如y =cx +d ax +b(a≠0)的函数;如例3(1).(2)反解法:形如y =cf (x )+daf (x )+b (a≠0,f(x)值域易求)的函数;如例3(1).(3)配方法:形如y =af 2(x)+bf(x)+c(a≠0)的函数;如例3(2). (4)不等式法;如例3(3).(5)单调性法:通过研究函数单调性,求出最值,进而确定值域.(6)换元法:形如y =ax +b±cx +d (c≠0)的函数;如例3(4);形如y =ax +b±c 2-x 2(c≠0)的函数采用三角换元,如例3(5).(7)数形结合法:借助函数图象确定函数的值域,如例3(6). (8)导数法. 〔变式训练2〕 求下列函数的值域: (1)y =1-x 21+x 2;(2)y =x +41-x ;(3)y =2x 2-x +12x -1⎝ ⎛⎭⎪⎫x>12.[解析] (1)解法一:y =1-x 21+x 2=-1+21+x 2,因为x 2≥0,所以x 2+1≥1,所以0<21+x 2≤2.所以-1<-1+21+x 2≤1.即函数的值域为(-1,1].解法二:由y =1-x 21+x 2,得x 2=1-y 1+y . 因为x 2≥0,所以1-y 1+y≥0.所以-1<y≤1,即函数的值域为(-1,1]. (2)设t =1-x ,t≥0,则x =1-t 2,所以原函数可化为y =1-t 2+4t =-(t -2)2+5(t≥0), 所以y≤5,所以原函数的值域为(-∞,5]. (3)y =2x 2-x +12x -1=x (2x -1)+12x -1=x +12x -1=x -12+12x -12+12, 因为x>12,所以x -12>0,所以x -12+12x -12≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫x -12·12⎝ ⎛⎭⎪⎫x -12=2, 当且仅当x -12=12x -12,即x =1+22时取等号.所以y≥2+12,即原函数的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫2+12,+∞. 导数法:y′=4x 2-4x +1(2x -1)2,∴y 在⎝ ⎛⎦⎥⎤12,1+22递减,在⎝ ⎛⎭⎪⎫1+22,+∞递增,∴y ≥2+12.名师讲坛·素养提升MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG 已知函数的定义域或值域求参数的取值范围例4 已知函数f(x)=lg [(a 2-1)x 2+(a +1)x +1].(1)若f(x)的定义域为R ,求实数a 的取值范围; (2)若f(x)的值域为R ,求实数a 的取值范围.[分析] (1)由f(x)的定义域为R 知(a 2-1)x 2+(a +1)·x +1>0的解集为R ,即(a 2-1)x 2+(a +1)x +1>0恒成立;(2)由f(x)的值域为R 知(a 2-1)x 2+(a +1)x +1能取所有正数,即y =(a 2-1)x 2+(a +1)x +1图象的开口向上且与x 轴必有交点.[解析] (1)依题意(a 2-1)x 2+(a +1)x +1>0,对一切x∈R 恒成立,当a 2-1≠0时,其充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a 2-1>0,Δ=(a +1)2-4(a 2-1)<0,即⎩⎪⎨⎪⎧a>1或a<-1,a>53或a<-1. ∴a<-1或a>53.又a =-1时,f(x)=1>0,满足题意.∴a ≤-1或a>53.(2)依题意,只要t =(a 2-1)x 2+(a +1)x +1能取到(0,+∞)上的任何值,则f(x)的值域为R ,故有a 2-1>0,Δ≥0,解得-1≤a≤53,又当a 2-1=0,即a =1时,t =2x +1符合题意;a =-1时不合题意,∴-1<a≤53.名师点拨 MING SHI DIAN BO已知函数的定义域,等于是知道了x 的范围,(1)当定义域不是R 时,往往转化为解集问题,进而转化为与之对应的方程解的问题,此时常利用代入法或待定系数法求解;(2)当定义域为R 时,往往转化为恒成立的问题,常常结合图形或利用最值求解.〔变式训练3〕(1)已知函数y =mx 2-6mx +m +8的定义域为R ,则实数m 的取值范围为[0,1].(2)(2021·甘肃天水三中阶段测试)若函数y =x 2-3x -4的定义域为[0,m],值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤-254,-4,则实数m 的取值范围是( C )A .(0,4]B .⎣⎢⎡⎦⎥⎤32,4C .⎣⎢⎡⎦⎥⎤32,3D .⎣⎢⎡⎭⎪⎫32,+∞ [解析] (1)①当m =0时,y =8,其定义域为R. ②当m≠0时,由定义域为R 可知, mx 2-6mx +m +8≥0对一切实数x 均成立,于是有⎩⎪⎨⎪⎧m>0,Δ=(-6m )2-4m (m +8)≤0, 解得0<m≤1,∴m 的取值范围是[0,1].(2)由x 2-3x -4=-254得x =32;由x 2-3x -4=-4,得x =0或x =3,又函数y =x 2-3x -4的定义域为[0,m],值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤-254,-4,∴32≤m≤3. 另:由y =x 2-3x -4=⎝ ⎛⎭⎪⎫x -322-254,∴32≤m ≤3.。
讲解新课:一.函数定义及函数三要素1.函数的概念:设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数。
记作:y=f(x),x∈A。
其中,x 叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域。
注意:(1)“y=f(x)”是函数符号,可以用任意的字母表示,如“y=g(x)”;(2)函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值,一个数,而不是f乘x2.构成函数的三要素:定义域、对应关系和值域(1)解决一切函数问题必须认真确定该函数的定义域,函数的定义域包含三种形式:①自然型:指函数的解析式有意义的自变量x的取值范围(如:分式函数的分母不为零,偶次根式函数的被开方数为非负数,对数函数的真数为正数,等等);②限制型:指命题的条件或人为对自变量x的限制,这是函数学习中重点,往往也是难点,因为有时这种限制比较隐蔽,容易犯错误;③实际型:解决函数的综合问题与应用问题时,应认真考察自变量x的实际意义。
(2)求函数的值域是比较困难的数学问题,中学数学要求能用初等方法求一些简单函数的值域问题①配方法(将函数转化为二次函数);②判别式法(将函数转化为二次方程);③不等式法(运用不等式的各种性质);④函数法(运用基本函数性质,或抓住函数的单调性、函数图象等)。
3.两个函数的相等:函数的定义含有三个要素,即定义域A、值域C和对应法则f。
当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后,函数的值域也就随之确定。
因此,定义域和对应法则为函数的两个基本条件,当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时,这两个函数才是同一个函数。
4.区间(1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间;(2)无穷区间;(3)区间的数轴表示5.映射的概念一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:A→B为从集合A到集合B的一个映射。