关于中国古代的一次方程组

中国剩余定理（孙子定理）定义中国古代求解一次同余式组（见同余）的方法。

是数论中一个重要定理。

又称中国剩余定理。

编辑本段内容1、分别找出能任两个数整除，而满足被第三个整除余几的数。

2、将三个未知数加起来，减去这三个数的最小公倍数的整数倍。

N≡R1(mod d1) ≡R2(mod d2)≡R3(mod d3)则N=k1d2d3R1+k2d1d3R2+k3d1d2R3±d1d2d3P其中P为任意非负整数k1是满足k1d2d3≡1(mod d1)的最小正整数k2是满足k2d1d3≡1(mod d2)的最小正整数k3是满足k3d1d2≡1(mod d3)的最小正整数编辑本段解法解法中的三个关键数70，21，15，有何妙用，有何性质呢?首先70是3除余1而5与7都除得尽的数，所以70a是3除余a,而5与7都除得尽的数，21是5除余1，而3与7都除得尽的数，所以21b是5除余b，而3与7除得尽的数。

同理，15c是7除余c，3与5除得尽的数，总加起来 70a+21b+15c 是3除余a，5除余b ，7除余c的数，也就是可能答案之一，但可能不是最小的，这数加减105(105=3*5*7)仍有这样性质，可以多次减去105而得到最小的正数解。

附：如70，其实是要找余2的，但只要找到了余1的再乘2即余二了。

孙子问题的解法，以现代的说法，是找出三个关键数70，21，15。

解法的意思就是用70乘3除所得的余数，21乘5除所得的余数，15乘7除所得的余数，然后总加起来，除以105的余数就是答案。

即题目的答案为70×2+21×3+15×2=140+63+30=233233-2×105=23公式：70a+21b+15c-105n题中有三个数，分别为3、5、7，5*7/3余数为2，取35；3*7/5余数为1，要使余数为3，只需将3*7扩大3倍变成63即可；同样3*5/7的余数为1，要使余数为2，则将3*5扩大2倍，变成30。

中国历史上的方程求解在人类数学发展史上，架设了无数座从未知通向已知的金桥，方程的求解是其中璀璨的一座。

虽然今天我们可以从教科书中了解各种各样方程的解法，但是这一切却经历了相当漫长的岁月。

我国数学家和国外数学家对方程求解都做了大量的研究。

其中我国古代数学家早已系统地解决了部分方程求解的问题，为方程求解的发展做出了巨大的贡献!刘辉与《九章算术》全书分九章，其中第八章为方程(一次方程组解法和正负数)。

《九章算术》其突出成就是在代数方面记载了开平方和开立方的方法、求解一般一元二次方程的数值解法、联立一次方程解法。

以上均比欧洲同类算法早1500多年。

公元263年，刘徽在《九章算术》注中给出了方程定义，论证了方程术和正负术，并提出了互乘相消法和方程新术。

在世界数学史上占有重要地位。

“方程”章在世界数学史上首次阐述了负数及其加减运算法则。

一次方程组问题，采用分离系数的方法表示线性方程组，相当于现在的矩阵。

解线性方程组时使用的直除法，与矩阵的初等变换一致。

这是世界上最早的完整的线性方程组的解法。

在西方，直到17世纪才由莱布尼兹提出完整的线性方程的解法法则。

现在中学讲授的线性方程组的解法和《九章算术》介绍的方法大体相同。

《九章算术》是几代人共同劳动的结晶，它的出现标志着中国古代数学体系的形成。

王孝通与《缉古算经》王孝通，唐代初期数学家。

唐高祖武德年问担任算学博士。

王孝通把毕生的精力都用在数学的研究方面。

称得上是这一时期最伟大的数学家。

他的最大贡献是在总结前人研究的基础上，写作了《缉古算术》。

后因被列为10部算经之一，改称为《缉古算经》。

在这部书中，王孝通第一次提出并解决了开带从立方法，即求三次方程的正根，是我国现存最早的开带从立方的算书，在我国古代数学史上是一个突破。

李约瑟在他的《中国科学技术史》(数学卷)中曾这样描述：在唐代(公元7世纪)，王孝通成功地解决了三次数学方程，在欧洲，斐波那契(公元13世纪)是第一个提出王孝通那类问题解法的人。

关于中国古代的一次方程组
我国古代很早就开始对一次方程组进行研究，其中不少成果被收入古代数学著作《九章算术》(在本书上册里曾介绍过)中.《九章算术》有一章是“方程”，专门讲有关一次方程组的内容.这一章的第一个问题译成现代汉语是这样的：上等谷3束、中等谷2束、下等谷1束，共是39斗(过去农村常用的容积即体积单位)；上等谷2束、中等谷3束、下等谷1束，共是34斗；上等谷1束、中等谷2束、下等谷3束，共是26斗.求上、中、下三等谷每束各是几斗.
书中列出如下图的方程组.
我国古代是用算筹(见本书前面的彩页)来列方程组的.上面的问题用现代数学语言来表述，就相当于，设上等谷每束x斗，中等谷每束y斗，下等谷每束z斗，根据题意，得三元一次方程组
上图中所示，实际上是这个方程组各个方程的系数与相应的常数项.古代解方程组时，也是用算筹做计算工具，具体解法相当于我们现在学的加减消元法.
在代数第一册(上)的教科书中，我们曾介绍过中国古代很早就使用了负数，而负数出现的一个典型实例就是在《九章算术》的“方程”章中.在列方程组时，明确指出，“卖”是正，“买”是负；“余钱”是正，“不足钱”是负；等等.在解方程组时，使用了加减法，可能会出现不够减的问题，我们的祖先就运用“正负术”来解，这也就相当于我们学过的正负数加减法的运算法则(运用正负数及“正负术”的实例可参阅本章复习题五B组第4题).
我们祖先掌握的上述一次方程组的解法，比起欧洲来，要早一千多年，可以说，这是我国古代数学的一个光辉成就.。

专题14 古代数学文化中的二元一次方程组的应用（原卷版）专题解读：因为中考必考又有趣，所以练练很必要！一、《算法统宗》里的二元一次方程组的应用1．（2021秋•招远市期末）程大位是我国明朝商人，珠算发明家，他60岁时完成的《直指算法统宗》是东方古代数学名著，详述了传统的珠算规则，确立了算盘用法，书中有如下问题：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁，意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，大、小和尚各有多少人？请你解决这个问题．2．（2022春•丹阳市期末）我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后两句的意思是：如果每一间客房都住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房都住9人，那么就空出一间房．求该店有客房多少间？该批住店房客多少人？3．（2022春•鄞州区校级月考）我国明代数学读本《算法统宗》中有一道题，其题意为：客人一起分银子，若每人7两，还剩4两；若每人9两，还差8两．问银子共有多少两？4．（2020•蜀山区校级一模）《算法统宗》中有如下问题：“哑子来买肉，难言钱数目，一斤少三十，八两多十八，试问能算者，合与多少肉”，其大意是一个哑子来买肉，说不出钱的数目，买一斤（16两）还差30文钱，买八两多十八文钱，求肉数和肉价，则该问题中，肉价是每两多少文？5．（2019•颍泉区模拟）《算法统宗》是中国古代数学名著之一，其中记载了这样的数学问题：“用绳子测水井深度，绳长的三分之一比井深多4尺；绳长的四分之一比井深多1尺，问绳长、井深各是多少尺？”．若设这个问题中的绳长为x尺，求x的值．二、《九章算术》里的二元一次方程组的应用6．（2022春•溧阳市期末）《九章算术》是我国古代数学名著，卷七“盈不足中有题译文如下：今有人合伙买羊，每人出5钱，会差45钱：每人出7钱，会差3钱．问合伙人数、羊价各是多少？7．（2022•安徽模拟）《九章算术》是我国古代数学的经典北作，书中有这样一个记载：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？”意思是：“甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等．两袋互相交换1枚后．甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计）．问黄金、白银每枚各重多少两？”试求黄金、白银每枚的重量．8．（2022春•铜山区期末）《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，值金十九两；牛二、羊五，值金十六两．问牛、羊各值金几何？”译文如下：“假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子．问每头牛、每只羊分别值多少两银子？”根据以上译文，解决下列问题：（1）求每头牛、每只羊各值多少两银子？（2）某人计划用17两银子买牛和羊（要求既有牛也有羊，且银两须全部用完），共有几种不同的购买方案？请列出所有可能的方案．9．（2022春•青县期末）阅读下列材料：《张丘建算经》是一部数学问题集，其内容、范围与《九章算术》相仿．其中提出并解决了一个在数学史上非常著名的不定方程问题，通常称为“百鸡问题”：“今有鸡母一值钱三，鸡翁一值钱五，鸡雏三值钱一．凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何．”译文：每一只母鸡值三文钱，每一只公鸡值五文钱，每三只小鸡值一文钱．现在用一百文钱买一百只鸡，问这一百只鸡中，公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？结合你学过的知识，解决下列问题：（1）若设母鸡有x只，公鸡有y只，①小鸡有只，买小鸡一共花费文钱；（用含x，y的式子表示）②根据题意，列出一个含有x，y的方程：；（2）若对“百鸡问题”增加一个条件：母鸡数量是公鸡数量的4倍多2只，求此时公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？（3）除了问题（2）中的解之外，请你再直接写出两组符合“百鸡问题”的解．10．（2022•安徽一模）《九章算术》中有这样一道题，原文如下：今有上禾六秉，损实一斗八升，当下禾一十秉．下禾十五秉，损实五升，当上禾五秉．问：上、下禾实一秉各几何？大意为：今有上禾6束，减损其中之“实”1斗8升，与下禾10束之“实”相当；下禾15束，减损其中之“实”5升，与上禾5束之“实”相当．问上、下禾每1束之实各为多少？11．（2022•包河区校级一模）《九章算术》中记载这样一道问题．原文：“今有五雀六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问燕、雀各重几何？”译文：“今有5只雀、6只燕，分别聚集而且用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻．将1只雀、1只燕交换位置而放，重量相等．5只雀、6只燕的总重量为1斤，问雀、燕每只各重多少斤？”请解答上述问题．12．（2022•安徽二模）我国古代的优秀数学著作《九章算术》有一道“竹九节”问题，大意是说：现有一根上细下粗共九节的竹子，自上而下从第2节开始，每一节与前一节的容积之差都相等，且最上面三节的容积共9升，最下面三节的容积共45升，求第五节的容积，及每一节与前一节的容积之差．请解答上述问题．13．（2021春•同安区月考）我国古代数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两．”意思是：“5头牛、2只羊，共值19两银子；2头牛、5只羊，共值16两银子．”（1）求1头牛、1只羊共值多少两银子？以下是小慧同学的解答（请你补充完整）：分析：设1头牛值x 两银子，1只羊值y 两银子，根据题意，可列表分析：品种 单价 个数 总价 合计 所付银两 第一次 牛x 5 5x 5x +2y 19羊y 2 2y 第二次 牛x 2 16 羊y 5 从而列出方程组：{5x +2y =19①(ㅤㅤ)②，则①+②，得 ，所以，x +y ＝ ． 小慧仔细观察两个方程未知数系数之间的关系，通过适当变形整体求得代数式的值，这种解题思想就是我们通常所说的“整体思想”．（2）运用“整体思想”尝试解决以下问题；对于实数x ，y ，定义新运算：x ⊗y ＝ax +by ﹣1，其中a ，b 是常数．已知2⊗5＝4，2⊗3＝2，求1⊗2的值．三、《孙子算经》里的二元一次方程组的应用14．（2022春•滑县期末）《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，绳木各长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还余4.5尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问绳子、长木各长多少尺？请你算一算．15．（2022•蓝田县二模）《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其中有如下问题：今有人盗库绢，不知所失几何，但闻草中分绢，人得六匹，盈六匹；人得七匹，不足七匹．问人、绢各几何？大意是：有几个盗贼偷了仓库里的绢，不知道具体偷盗了多少匹绢，只听盗贼在草丛中分绢时说：“每人分6匹，会剩下6匹；每人分7匹，还差7匹．”问有多少盗贼？多少匹绢？16．（2021•安徽二模）《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，一车空：二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余1辆车：若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？17．（2021•义安区二模）《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知一匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦．问有多少匹大马、多少匹小马？18．（2021•双阳区二模）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，其中有一段文字的大意是：甲、乙两人各有若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱48文；如果乙得到甲所有钱的23，那么乙也共有钱48文．甲、乙两人原来各有多少钱？19．（2020春•武川县期中）“鸡兔同笼”是我国古代著名的数学趣题之一．大约在1500年前成书的《孙子算经》中，就有关于“鸡兔同笼”的记载：“今有雉兔同笼，上有二十五头，下有七十六足，问雉兔各几何？”这四句话的意思是：有若干只鸡兔关在一个笼子里，从上面数，有25个头；从下面数，有76条腿，问笼中各有几只鸡和兔？20．（2018•利辛县模拟）我国民间流传着许多趣味算题，它们多以顺口溜的形式表达，其中《孙子算经》中记载了这样一个数学问题：一群老头去赶集，半路买了一堆梨，一人一个多一梨，一人两个少二梨，请问君子知道否，几个老头几个梨？四、其他古代数学文化中的二元一次方程组的应用21．（2021•蚌埠模拟）我国古典文学名著《西游记》讲述了孙悟空、猪八戒、沙和尚保护唐僧西天取经，沿途降妖除魔，历经九九八十一难，到达西天取得真经修成正果的故事．现请你欣赏下列描述孙悟空追妖精的数学诗：悟空顺风探妖踪，千里只行四分钟，归时四分行六百，风速多少才称雄？解释：孙悟空顺风去查妖精的行踪，4分钟就飞跃1000里，逆风返回时4分钟走了600里，问风速是多少？解答上述问题．22．在我国民间流传着许多诗歌形式的数学算题，这些题目叙述生动、活泼，它们大都是关于方程或方程组的应用题．由于诗歌的语言通俗易懂、雅俗共赏，因而一扫纯数学的枯燥无味之感，令人耳目一新，回味无穷．请根据下列诗意列方程组解应用题．周瑜寿属：而立之年督东吴，早逝英年两位数；十比个位正小三，个位六倍与寿符；哪位同学算得快，多少年寿属周瑜？诗的意思是：周瑜病逝时的年龄是一个大于30的两位数，其十位数上的数字比个位上的数字小3，个位上的数字的6倍正好等于这个两位数，求这个两位数．。

中国剩余定理【定理概述】 中国剩余定理（孙⼦定理）是中国古代求解⼀次同余式组的⽅法。

是数论中⼀个重要定理。

⼀元线性同余⽅程组问题最早可见于中国南北朝时期（公元5世纪）的数学著作《孙⼦算经》卷下第⼆⼗六题，叫做“物不知数”问题，原⽂如下：有物不知其数，三三数之剩⼆，五五数之剩三，七七数之剩⼆。

问物⼏何？即，⼀个整数除以三余⼆，除以五余三，除以七余⼆，求这个整数。

《孙⼦算经》中⾸次提到了同余⽅程组问题，以及以上具体问题的解法，因此在中⽂数学⽂献中也会将中国剩余定理称为孙⼦定理。

【求逆元】逆元的含义：模p意义下，1个数a如果有逆元x，那么除以a相当于乘以x。

ax≡1(mod p)。

⼀个数有逆元的充分必要条件是gcd(a,p)=1，此时逆元唯⼀存在，注意这⾥的唯⼀是指在群中唯⼀。

其实如果求出⼀个逆元x0，那么x0 + p*k都会满⾜上⾯的等式，但是我只取p内的正整数x0.【证明】由ax≡1(mod p)等价于这样⼀个⽅程a*x + p*y = 1 ，或者说这个⽅程x有解的话x必然满⾜ ax≡1(mod p)这个⽅程什么时候有解呢？很显然，当gcd(a,p) | 1时有解，所以gcd(a,p)只能是1，即a,p互质，证明完毕。

由此还可以得到⼀个结论，如果要求逆元，可以⽤扩展欧⼏⾥得求⼀组解（x,y），再求出x的最⼩正整数（x+p）%p,x就是a的唯⼀逆元。

⽅法1：费马⼩定理求逆元，p是，且gcd(a,p)=1在模为素数p的情况下，有费马⼩定理a p-1 ≡ 1（mod p）则a * a p-2 ≡ 1（mod p）所以a的逆元就是a p-2，⽤快速幂求即可。

#include<iostream>using namespace std;long long gcd(long long a, long long b){if(b == 0) return a;return gcd(b , a%b);}long long qPow(long long a ,long long n,long long mod){long long ans = 1;//如果n的⼆进制最后⼀位是1 结果参与运算//因为如果是0，那么幂运算之后该项是1,1乘任何数还是那个数，对结果不影响while(n > 0){if(n & 1)ans = (ans* a) % mod;a = (a*a) % mod;//底数加倍n >>= 1;//移位}return ans;}//long long invEle(long long a, long long mod){ //如果a 和模数不互质则必然不存在逆元if(gcd(a,mod) != 1 || mod < 2) return -1; return qPow(a,mod-2,mod);}int main(){long long a,b;int x,y;while(cin>>a>>b){cout<<invEle(a,b)<<endl;}}⽅法2：扩展欧⼏⾥得求逆元（⾼效）typedef long long ll;void extgcd(ll a,ll b,ll& d,ll& x,ll& y){if(!b){ d=a; x=1; y=0;}else{ extgcd(b,a%b,d,y,x); y-=x*(a/b); }}ll inverse(ll a,ll n){ll d,x,y;extgcd(a,n,d,x,y);return d==1?(x+n)%n:-1;}⽅法3：欧拉定理求逆元（很少⽤到）模p不是素数的时候需要⽤到欧拉定理逆元打表：typedef long long ll;const int N = 1e5 + 5;int inv[N];void inverse(int n, int p) {inv[1] = 1;for (int i=2; i<=n; ++i) {inv[i] = (ll) (p - p / i) * inv[p%i] % p;}}【解⽅程组】根据定理概述以及解法，得到以下⽅法int CRT(int a[],int m[],int n){int M = 1;int ans = 0;for(int i=1; i<=n; i++)M *= m[i];for(int i=1; i<=n; i++){int x, y;int Mi = M / m[i];extend_Euclid(Mi, m[i], x, y);ans = (ans + Mi * x * a[i]) % M;}if(ans < 0) ans += M;return ans;}【扩展中国剩余定理】当模数mi两两互质时有以上解法，当模数不确定是否两两互质呢？摘⾃博客:https:///acdreamers/article/details/8050018这种情况就采⽤两两合并的思想，假设要合并如下两个⽅程那么得到在利⽤扩展欧⼏⾥得算法解出的最⼩正整数解，再带⼊得到后合并为⼀个⽅程的结果为这样⼀直合并下去，最终可以求得同余⽅程组的解。

“二元一次方程组”古题今解作者：陆薇薇来源：《初中生世界·七年级》2017年第06期数学是我国古代科学中一门重要的学科，它的历史悠久，成就辉煌.中国古代的许多数学著作，如《九章算术》《孙子算经》等，对我国古代数学的发展起到了极大的推动作用.这些数学名著中的许多问题浅显易懂，趣味性强，也是中国古代文明史传播的一大助力.这些趣题有许多就与二元一次方程组有关，下面我们就一起来走进这些闪烁着前人智慧的趣题吧.我们课本中的趣题“鸡兔同笼”问题就出自我国古代数学名著《孙子算经》.在这本著作中还有这样一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，木长几何？”题目的意思是：用绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺，将绳子对折后再去量长木，长木剩余1尺，问长木有多长？解：设长木的长度是x尺，绳子的长度是y尺，根据题意得，[y=x+4.5，x-1=12y，]解得[x=6.5，y=11.]答：长木的长度是6.5尺.《九章算术》是我国古代第一部数学专著，其中有这样一道名题：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步，今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”这是一道我们熟悉的行程问题，意思是说：走路快的人走100步的时候，走路慢的才走了60步.走路慢的人先走100步，然后走路快的人去追赶，问走路快的人要走多少步才能追上？解：设走路快的人要走x步才能追上走路慢的人，此时走路慢的人又走了y步，根据题意得，[60x=100y，x=y+100，]解得[x=250，y=150.]答：走路快的人要走250步才能追上走路慢的人.我国明代数学家程大位在《算法统宗》中记载了这样一道诗歌形式的“百馍百僧”问题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，几多大僧与小僧？”这道题目的意思是说：有100个僧人和100个馒头，大僧一个人分到三个馒头，小僧三个人分1个馒头，问大僧和小僧各有几人？解：设大僧有x人，小僧有y人，根据题意得，[x+y=100，3x+13y=100，]解得[x=25，y=75.]答：大僧有25人，小僧有75人.元代数学家朱世杰于1303年编著的《四元玉鉴》中有这样一道题目：“九百九十九文钱，及时梨果买一千，一十一文梨九个，七枚果子四文钱.问：梨果多少价几何？”此题的意思是：用999文钱买得梨和果共1000个，梨11文买9个，果4文买7个，问：梨买了多少个，共多少文钱？果买了多少个，共多少文钱？解：设买梨x个，买果y个，根据题意得，[x+y=1000，119x+47y=999，]解得[x=657，y=343.][119]×657=803，[47]×343=196.答：梨有657个，共803文钱，果有343个，共196文钱.通过对这几个题目的赏析，相信同学们已经体会到用二元一次方程组解古趣题的乐趣了吧. 其实，在我国古代还有很多像这样的数学问题，这些题目叙述生动形象，语言优美，一扫数学题的枯燥乏味感.通过解这些题，我们不仅能巩固知识、训练思维，而且还得到了美的享受，何乐而不为呢？（作者单位：江苏省盐城市初级中学）。

中国剩余定理孙子定理是中国古代求解一次同余式组（见同余）的方法。

是数论中一个重要定理。

又称中国余数定理。

一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期（公元5世纪）的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”问题，原文如下：有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。

问物几何？即，一个整数除以三余二，除以五余三，除以七余二，求这个整数。

《孙子算经》中首次提到了同余方程组问题，以及以上具体问题的解法，因此在中文数学文献中也会将中国剩余定理称为孙子定理。

中文名孙子定理外文名Chinese remainder theorem(CRT)分类数学提出孙子问题一元线性同余方程组又名余数定理目录.1公式.2文献.3交换环上推广.主理想整环.一般的交换环.4数论相关.5例题解析公式用现代数学的语言来说明的话，中国剩余定理给出了以下的一元线性同余方程组：有解的判定条件，并用构造法给出了在有解情况下解的具体形式。

中国剩余定理说明：假设整数m1,m2, ... ,m n两两互质，则对任意的整数：a1,a2, ... ,a n，方程组有解，并且通解可以用如下方式构造得到：设是整数m1,m2, ... ,m n的乘积，并设是除了m i以外的n- 1个整数的乘积。

设为模的数论倒数(为模意义下的逆元)方程组的通解形式为在模的意义下，方程组只有一个解：证明 [1]：从假设可知，对任何，由于，所以这说明存在整数使得这样的叫做模的数论倒数。

考察乘积可知：所以满足：这说明就是方程组的一个解。

另外，假设和都是方程组的解，那么：而两两互质，这说明整除. 所以方程组的任何两个解之间必然相差的整数倍。

而另一方面，是一个解，同时所有形式为：的整数也是方程组的解。

所以方程组所有的解的集合就是：文献一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期（公元5世纪）的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”问题，原文如下：有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。

中国古代对解方程的研究中国是世界著名的文明古国之一，其数学的发展史更是源远流长.古老的华夏先民在从事社会生产实践活动中，逐渐形成了数量的概念，并认识了各种简单的几何图形.特别是随着农业生产活动的逐渐发达，人们为了解决他们生产和日常生活中碰到的问题，数学也就随之诞生了.如在农业生产中为适时播种、收割，需要制订与之相应的天文历法，而哪怕是编制最简单的天文历法也离不开数学。

如建造房屋、丈量土地、测定方位、建设水利工程等等也都需要数学.不管是在遥远的古代，还是在数学飞速发展的现代，代数方程问题一直都是数学发展、数学教育和数学研究的最核心环节之一.中国古代数学家们在求解代数方程领域取得了许多创造性的成果.这些风格独特、影响深远的杰出成就，在世界数学发展史中占有非常重要的地位.实际上，中国古代数学的主要特点，就是以建立算法、求解各种类型方程为主线.在中国古代，数学家们不仅创造了一系列先进的算法，还用这些算法解决了各式各样的实际问题.定义 设是一域（如是有理数域Q 、实数域或复数域C ），F F R x 是一未定元.令10()n n f x a x a x a =+++L其中，10,,,n a a a F ∈L .则我们称()f x 为域上关于F x 的多项式.称为0a ()f x 的常数项.如果a ，则称其为0n ≠()f x 的首项系数，并规定()f x 的次数为n ，记deg ()f x n =.特别地，称为一元次方程.如果存在元素10()0nn f x a x a x a =+++=L n β，使得 10()0n n f a a a βββ=+++=L则称β为()f x 的一个根.一般地，根据中国古代数学发展的特点，我们大致把中国数学发展的历史分为三个阶段：初期，体系形成和发展时期以及中西方融合时期.而在讨论代数方程问题时，现在的习惯是按方程的次数进行分类讨论.所以，下面我们将主要按方程的次数，并结合中国古代数学发展的特点，分四个方面，即对数的认识、一次方程解法、二次方程解法、3次以上方程解法，对中国古代在代数方程领域取得的主要成就作一简单介绍.§1、对数的认识 一、对自然数的认识原始社会末期，随着私有制和易货交易的产生，数与形的概念开始形成，并有了一定的发展，如在“仰韶文化”遗址出土的陶器上，就已刻有表示数字1、2、3、4的符号.在“半坡文化”遗址出土的陶器上，有用1到8个圆点组成的等边三角形和分正方形为100个小正方形的图案，而且“半坡遗址”的房基址都是圆形和方形.为了画圆、作方，确定平直，华夏的先民还创造了规、矩、准、绳等作图与测量工具.据《史记·夏本纪》记载，夏禹在治水时已经使用了这些工具（原文：“左准绳，右规矩，载四时，以开九州，通九道，陂九泽，度九山”）.实际上，到了原始社会末期和奴隶制早期，中国古代已经开始使用文字符号取代结绳记事了.大约在公元前2000年左右，在黄河流域中下游一带，开始出现了中国历史上的第一个奴隶制王朝---夏（约公元前2100年-公元前1600年）.伴随着奴隶制出现的社会分工，使得大规模的土木、水利工程建设成为可能.在商朝时期（约公元前1600年-公元前1028年），中国历史上的第二个奴隶制王朝，就已经有了比较成熟的文字，这就是刻在龟甲和兽骨上的甲骨文.在甲骨文中已经有了一套十进制的数字和记数法，其中最大的数字为三万.例如“八日辛亥允戈伐二千六百五十六人”，就是说八日辛亥那一天，在战争中杀了2656个俘虏.中国古代的记数法，从一开始就采用了十进制，这一点比其它文明所用的记数法，有着显著的优越性.与此同时，殷（商）人用十个天干和十二个地支组成甲子、乙丑、丙寅、丁卯等60个名称来记60年的日期；在周代（约公元前1027年-公元前256年），又把以前用阴、阳符号构成的八卦表示八种事物发展为六十四卦，表示64种事物.西周时期（约公元前1027年-公元前771年）的青铜器上面的文字---金文中的记数法和商代的完全一样，以后一直沿用下来，直到今天.在《礼记·内则》篇中就提到，西周的贵族子弟从九岁开始便要学习数目和记数方法.他们要接受礼、乐、射、驭、书、数的训练，作为“六艺”之一的数，已经开始成为专门的课程.春秋时期（公元前770年-公元前476年）的齐桓公，就曾把会背“九九”乘法歌的人当作贵客请进“招贤馆”，虽然这在当时已经不算什么了不起的学问了（原文：东野鄙人以“九九”求见，桓公使人戏之.鄙人曰：夫“九九”，薄能耳，而犹礼之，况贤于“九九”者呼）.在《管子》、《荀子》等一些古书中也都有“九九”中的句子（如《管子》地员第五十八中就有：二七十四、三七二十一、四七二十八等）.另外，春秋战国（公元前475年-公元前222年）之际，筹算也已经得到普遍使用，筹算记数法已使用十进位制，这种记数法对世界数学的发展具有划时代的意义.这个时期的测量学在生产上得到了广泛应用，在数学上亦有相应的提高.根据有关文献记载，以及钱币上铸造出的数字纹样和陶器上留下的陶文记载，最迟在春秋战国时期，人们已经十分熟练地运用算筹进行计算了.出土的战国时期楚国的墓葬中就已有竹制的算筹实物（见图示）.二、对分数的认识中国封建社会大约始于春秋战国时期，在两汉时期（公元前206年-公元220年）得到巩固和发展.随着生产力的不断提高，各种科学技术水平也不断向前发展.农业生产要求更精确的历法.战国时期，人们就已经掌握了设定每年为13654日的“四分历”.数学同时也是天文学著作的《周髀算经》（成书年代不晚于公元前2世纪，西汉：公元前206年-公元8年），正是在这样的历史条件下出现的，其中包括了象3487134513365940194×÷这样复杂的分数计算.秦、汉（秦：公元前221年-公元前207年）是封建社会的巩固和上升时期，经济和社会文化都得到迅速发展.中国古代数学体系正是形成于这个时期，它的主要标志是算术已成为一个专门的学科，以《九章算术》为代表的数学著作已经出现.《九章算术》是战国、秦、汉封建社会创立并巩固时期，数学发展的总结，就其数学成就来说，堪称世界数学名著，其中记述的分数四则运算、比例算法、面积和体积计算等都非常先进.《九章算术》（成书于东汉初期，东汉：公元25年-公元196年），其具体著者和准确的成书年代现已不可考.它采取的是以问题集的形式编写的，收录246个问题，分为9章，即方田---田地面积计算；粟米---谷物交换；衰分---比例分配；少广---开平方、立方；商功---体积计算；均输---按比例摊牌；盈不足---根据两次假设求解；方程---一次方程求解；勾股---利用勾股定理测量.可以看出《九章算术》的内容非常丰富，几乎包含了当时社会生活的各个方面.在《九章算术》的第一卷（方田）就着重介绍了分数的四则运算法则.如在解答第6问题时，就有“副置分母子之数，以少减多，更相减损，求其等也.以等数约之”之语.“更相减损”就是辗转相减，它与我们现在使用的辗转相除法在理论上是完全一致的.在作通分运算时，如果分数的分母是互素的，则以分母的乘积作为公分母；如果分数的分母不是互素的，则按《九章算术》的第四卷（少广）所介绍的方法，以分母的最小公倍数作为公分母.在“《九章算术》注”里，刘徽明确了分数的基本运算性质.如其中的“约而言之者，其分粗；繁而言之者，其分细.虽则粗细有殊，然其实一也”，这说的就是我们现在的a at b bt=；如其中的“凡母互乘子谓之齐，群母相乘谓之同”，说的就是，在作分数加、减运算时，只有分母相同才可以进行运算.三、对负数的认识《九章算术》的最重要成就是在它的代数方面.它引入了负数的概念及运算法则，这在世界数学史上是最早的.例如，在《九章算术》第八卷（方程）第八问中，就有卖数为正，买数为负；余钱为正，不足钱为负的记载（原文：今有卖牛二、羊五，以买十三豕，有余钱一千.卖牛三、豕三，以买九羊，钱适足.卖羊六、豕八，以买五牛，钱不足六百.问牛、羊、豕价各几何？）.在同一卷（方程）的3，4，5，6，14等问题中，也有关于正负数的论述.特别地，在第3个问题的后面，给出了更一般情况下正负数的运算性质.原文：“正负术曰：同名相除，异名相益，正无入负之，负无入正之.其异名相除，同名相益，正无入正之，负无入负之.”这段话用今天的数学语言写出来，就是()(), ()(), 0()a b a b a b a b a ±−±=±−±−=±+−±=m m a .四、对无理数的认识在中国古代虽然没有确切的无理数概念，但已经有了无理数不同于有理数的朦胧意识.例如，在《九章算术》第四卷（少广）第16和22问题中就正确叙述了开平方、立方的运算性质.如其中的“若实有分者，通分内子为定实.乃开之，讫，开其母报除.若母不可开者，又以母乘定实，乃开之，讫，令如母而一.”一语的现代数学表达形式就是b==.而其中的“若积有分者，通分内子为定实.定实乃开之，讫，开其母以报除.若母不可开者，又以母再乘定实，乃开之.讫，令如母而一.”一语的现代数学表达形式为b==.我们知道，许多根式形式的数是无理数.这一点中国的古人也是完全知道的.例如在《九章算术》第四卷（少广）第16问题中就有：“若开之不尽者为不可开，当以面命之.”之述.这就是说，开不尽的数，就是不尽根数，即无理数.实际上，刘徽（《九章算术》注的作者）自己也知道开不尽的数不能表示成有理数的形式.如他说：“凡开积为方，方之自乘当还复其积分.令不加借算而命分，则常微少.其加借算而命分，则又微多.其数不可得而定.”但非常遗憾的是他没能进一步将这一理念引深.然而，他为了近似地表示不尽根数，便创造了十进制分数制.如他说：“微数无名者以为分子，其一退以十为母，其再退以百为母.退之弥下，其分弥细.”这就是说，将小数点后的第一位数作为以十为分母的分数，第二位数作为以百为分母的分数等等.这种思想与今天数学中处理无理数的表示与计算问题时，采取的办法非常相似，没有什么本质差别.只是中国古代数学家对此的记述文字十分简约罢了.但是不管怎样，我们还是应该看到中国古代数学家没能觉察到“开不尽”现象中存在的内在矛盾，即“不可公度性”.自然中国古代数学家也就没能建立起无理数概念及其理论.一直到公元1852年-公元1859年，李善兰在上海墨海书馆与英国传教士、汉学家伟烈亚力等人合作翻译出版了《几何原本》的剩余章节（1606年，意大利传教士利玛窦与徐光启合作翻译了《几何原本》的前六卷）之时，中国数学家才窥见到了“不可公度性”的意义.刘徽（生卒年月不详，生活在曹魏末和晋初，曹魏：公元220年-公元265年），中国古代伟大的数学家.他继承和发展了战国时期百家争鸣的思想，对数学知识进行了必要的“析理”，使数学著作变得简单而周密，也更利于理解、学习和应用.他的“《九章算术》注”不只是对《九章算术》进行一般性的解释和推导，而是在论述过程中有了巨大的发展．他的著作《九章算术注》和《海岛算经》，是他留给人类的宝贵数学文化遗产．刘徽对《九章算术》作的注（公元263年，三国曹魏景元4年），充分展示了他对数学发展所作出的杰出贡献．他是世界上最早提出、并用十进制分数来表示无理数的人，他提出了正确的正负数概念及其运算法则.他是中国最早明确主张用逻辑推理的方式来论证数学命题的人．他提出了“割圆术”---将圆周用内接或外切正多边形穷竭的一种求圆面积和圆周长的方法，而且他利用“割圆术”求出了圆周率π的近似值为3.14.他还为彻底求出球的体积公式指明了正确的方向（祖冲之，公元429年-公元500年，采用刘徽的方法，计算出圆周率π的值介于3.1415926和之间，其后祖冲之之子祖暅采用刘徽的方法，得到了正确的球体体积公式3.1415927343V rπ=）.刘徽在“割圆术”中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”的思想，被珍视为是中国古代极限观念的佳作．在《海岛算经》一书中，刘徽精心选编了九个测量问题，这些题目的创造性、复杂性和富有的代表性，在当时的世界都是领先的．§2、一次方程解法实际上，中国古代所说的“方程”是我们现在说的方程组，而不是指现代单一一个方程.我们知道，并不是所有的方程组都有解.为了保证方程组能有确切的解，刘徽对方程组提出了正确的前提理论要求，即“行之左右无所同存，且为有所据而言耳”.这就是说，在方程组中不能有相依的方程，也不能有相互矛盾的方程.一、线性方程在《九章算术》之中就有许多使用消元法，解三元一次方程组的问题.从《张丘建算经》（约公元484年成书，南北朝）的记述之中，我们还能看到，中国古代数学家已经知道两个三元一次方程组成的方程组可以有三组解的例子.首先，让我们看一下《九章算术》之中记载的方程求解问题.《九章算术》第八卷（方程）之中的第一个题记载：“今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗.问上、中、下禾实一秉各几何？答曰：上禾一秉，九斗、四分斗之一；中禾一秉，四斗、四分斗之一；下禾一秉，二斗、四分斗之三.”用今天的数学语言描述，就是如果我们假设上、中、下禾每秉各有,,x y z 斗，则根据题意有一次方程组323233232x y z x y z x y z 946++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩而且方程组的解为119,4,244x y z ===34. 那么，中国的古人是如何求出这些解的呢？事实上，在《九章算术》之中已经提出了解一般一次线性方程组的解法，即原文：“方程术曰，置上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗，于右方.中、左禾列如右方.以右行上禾遍乘中行而以直除.又乘其次，亦以直除.然以中行中禾不尽者遍乘左行而以直除.左方下禾不尽者，上为法，下为实.实即下禾之实.求中禾，以法乘中行下实，而除下禾之实.余如中禾秉数而一，即中禾之实.求上禾亦以法乘右行下实，而除下禾、中禾之实.余如上禾秉数而一，即上禾之实.实皆如法，各得一斗.”将上述语言用现代数学表示方法（中国元代数学家朱世杰使用了本质上与此相同的布列形式）写出来，就是321392313412326⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠(2)3×⎯⎯⎯→3213969310212326⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠(2)(1)2−×⎯⎯⎯⎯→321390512412326⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠(3)3×⎯⎯⎯→321390512436978⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠(3)(1)−⎯⎯⎯→321390512404839⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠(3)5×⎯⎯⎯→321390512402040195⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠(3)(2)4−×⎯⎯⎯⎯→3213905124003699⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠(3)9÷⎯⎯⎯→321390512400411⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠(2)4×⎯⎯⎯→3213902049600411⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠(2)(3)−⎯⎯⎯→3213902008500411⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠(2)5÷⎯⎯⎯→321390401700411⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠(1)4×⎯⎯⎯→12841560401700411⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠(1)(2)2(3)−×−⎯⎯⎯⎯⎯→12001110401700411⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠. 所以，我们可以将原方程组求解问题转化成简单方程组12111417411x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩的求解问题.至此，非常容易就得到119,4,244x y z ===34是这个简单方程组的一组解. 实际上，这里使用的方法和我们今天所使用的解线性方程组的方法是完全一样的（利用矩阵行变换消元）！无论如何，我们不应该忽视这样一个事实：《九章算术》第八卷共有18个这类问题，其所得到的答案全部正确！其次，让我们看一个《张丘建算经》中记载的最后一个问题---著名的“百鸡问题”. 原文：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一.凡百钱，买鸡百只.问鸡翁、母、雏各几何？”翻译成今天的数学语言，就是如果我们假设买公鸡x 只，买母鸡只，买小鸡只，则所要解决的问题就是求方程组y z 100153103x y z x y z ++=⎧⎪⎨++=⎪⎩0 的正整数解.那么这个方程组如何解呢？ 我们先简化方程组1111001531003⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠(2)3(1)×−⎯⎯⎯⎯→1111001480200⎛⎞⎜⎟⎝⎠(2)2÷⎯⎯⎯→111100740100⎛⎞⎜⎟⎝⎠， 所以，只需考虑等价方程组10074100x y z x y ++=⎧⎨+=⎩. 又710044(25)x y y =−=−，(7,4)1=，所以x 一定是的倍数，即可令44x k =.当然，此时.所以，将它们代入方程组中的第一式，有257y =−k 753z k =+.故4257753x k y k z k =⎧⎪=−⎨⎪=+⎩.如果令，则有对应的3组解分别为(.事实上，因为1,2,3k =4,18,78), (8,11,81), (12,4,84),,x y z 都必须介于1和100之间，所以，只有这3组解是“百鸡问题”的解.《张丘建算经》（约公元484年成书，南北朝）共3卷，现在能见到的该书记述了92个问题.该书取得的突出成就，是在最大公约数和最大公因数的计算、各种等差数列问题，以及不定方程求解问题等方面.人们熟知的著名“百鸡问题”就记载于《张丘建算经》的第三卷之中.《张丘建算经》的作者张丘建生活在南北朝的北魏时期（公元386年-公元534年），但其具体生卒年月不详.二、同余式方程秦九韶（约公元1209—1261年，南宋）的“大衍求一术”，不仅圆满解决了不定式方程“孙子定理”的求解问题，还使一次同余式方程的求解问题成为一门系统的数学理论---中国剩余定理，这是中国宋、元时期数学发展的一项重大成就.自1852年英国传教士伟烈亚力著文介绍“孙子定理”后，秦九韶的求解同余式方程方法引起了欧洲学者的广泛重视.西方数学文献，一直把“孙子定理”称为“中国剩余定理”.“孙子定理”因最初记载于《孙子算经》而得名.其原文为：“今有物，不知其数.三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二.问：物几何？答曰：二十三.术曰：三三数之，剩二，置一百四十；五五数之，剩三，置六十三；七七数之，剩二，置三十.并之，得二百三十三，以二百一十减之，即得.凡三三数之，剩一，则置七十五；五五数之，剩一，则置二十一；七七数之，剩一，则置十五.一百六以上，以一百五减之，即得.”上面的文字用今天的数学语言写出来，就是求同余式方程组⎪⎩⎪⎨⎧≡≡≡)7(mod 2)5(mod 3)3(mod 2x x x的解，而且其求解的过程为2703212152105140633021023x =×+×+×−×=++−= 即所求解是.23实际上，是满足题设的最小正整数解.23《孙子算经》全书共分3卷，大约在公元67年-270年已经成书，其作者不详.上卷主要论述筹算的制度和运算法则；中卷论述了分数的应用问题，包括面积、体积、等比数列等的计算问题；对后世影响最大的是该书的下卷，特别是其中的第26个问题，就是前面提到的“孙子定理”.另外，比较有名的“鸡兔同笼”问题是记载于该卷的第31个问题.现在通行的“孙子定理”或称为中国剩余定理，其表达形式为定理（中国剩余定理） 设k m m m ,,,21Λ是个两两互素的整数，则同余式方程组k⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≡≡≡)(mod )(mod )(mod 2211k k m a x m a x m a x ΛΛΛ， 对于模有唯一解k m m m m Λ21=)(mod 111m a x m m a x m m x k k k++≡Λ， 其中)(mod 1i i im x m m ≡. □ 从上面定理解的表达式中，我们知道其求解的关键步骤（秦九韶最先给出了求解方法）是要先求解同余式方程1(mod )ax m ≡，其中，.显然，此同余式方程等价于不定方程(,)1a m =1ax my −=.然后，利用辗转相除法，并将辗转相除的过程逆推，则完全可以求出满足上面方程的,x y .这种求解的思想方法是中国古代数学家最先提出来的.下面让我们通过一个例子看一下，如何求解二元一次不定方程的解.1ax my −=例 试求不定方程25111x y +=的解.解 因为(2，并且5,11)1=251123113323211=×+=×+=×+ 所以，13213(1133)1(25112)(11(25112)3)25411(9)=−×=−−××=−×−−−××=×+×−即是不定方程254, 9x y ==−111x y +=一组解. □ 现在，让我们再来看前面“孙子定理”的问题.先分别求同余式)3(mod 135≡x ， )5(mod 121≡x 和)7(mod 115≡x的解，得到.于是所求的《孙子算经》中问题的解为1232(mod3), 1(mod5), 1(mod 7)x x x ===352221131512(mod105)233(mod105) 23(mod105).x ≡××+××+××==秦九韶（约公元1209年—1261年，南宋），字道古.先后在湖北、安徽、江苏和浙江等地做官.他知识渊博，当时人们称他“性极机巧，星象、音律、算术以至营造等事无不精究”.1261年左右，他被贬至梅州（今广东梅县），不久死于任上.他与李冶，杨辉，朱世杰并称中国宋、元时期四大数学家.他早年在杭州“访习于太史，又尝从隐君子受数学”，1247年，他写成著名的《数书九章》（原名《数术大略》，明朝后期被改名为《数书九章》）.他取得的最重要数学成就是“大衍求一术”（一次同余式方程组解法）和“正负开方术”（高次方程数值解法）.《数书九章》以问题集的形式收录了81个问题，分成9类．主要包括：1、大衍类---一次同余式组解法；2、天时类---历法计算、降水量等；3、田域类---土地面积；4、测望类---勾股、重差；5、赋役类---均输、税收；6、钱谷类---粮谷转运、仓窖容积；7、营建类---建筑、施工等；8、军族类---营盘布置、军需供应；9、市物类---交易、利息等．《数书九章》中记录了许多秦九韶的创造性成就，它继承和发展了《九章算术》的精神，概括了宋、元时期中国传统数学的主要成就，在世界数学史上占有崇高的地位．§3、二次方程解法一、一元二次方程探求二次方程求根公式 20ax bx c ++=2b x a−±= 的研究，早在中国古代的数学名著《九章算术》之中就已经出现了.《九章算术》第九卷中的第二十个问题：“今有邑方不知大小，各中开门.出北门二十步有木.出南门十四步，折而西行一千七百七十五步见木.问邑方几何？答曰：二百五十步.术曰：以出北门步数乘西行步数，倍之，为实.并出南门步数为从法，开方除之，即邑方.”把上述文字翻译成今天的数学语言，就是要求二次方程2(2014)22017750x x ++−××=的解x ，并且指出其中一解是250.至于他们是如何具体求解的，古人只用一句话“开方除之”作了概括.但是，我们从赵爽的记述中，还是可以找到一些中国古代求解方程方法痕迹的.赵爽（东汉末年三国时期的吴国人，三国：公元220年-公元280年，吴：公元222年-公元280年）不仅给出了二次方程2220x cx a −+=的一个正确求根公式x =还用勾股图形的方法给出了求解的全过程.其原文为：“其倍弦为广袤合，而令勾股见者，自乘为实，四实以减之，开其余，所得为差.以差减合，其半余为广.减广于弦， 即所求也”.把上面文字翻译成现在数学的语言形式，就是说，已知一个矩形的面积为一直角三角形的直角边长的平方，令其为，且已知矩形的周长为一直角三角形的斜边边长的2倍，令其为.如果设矩形的长、宽分别为2a 2c ,x y ，则我们要求的是下面方程 22xy a x y c⎧=⎨+=⎩ 的解,x y 是多少？实际上，上面方程组等价于二次方程222z cz a 0−+=.现在就让我们看看赵爽的解法.因为， ()224()x y xy x y +−=−所以， 22()(2)4()2x y c a x y −=−−= 又已知2x y +=c ，而()(2)x y x y y +−−=，所以， y =2x c y =−. 需要注意的是，赵爽只考虑了,x y 中为正根的情况，即他只考虑了一个根.现在我们知道，二次方程是有两个根的.但是，从赵爽的二次方程求根解法中，我们完全可以断定：赵爽知道二次方程根与系数之间的关系，即如果令,x y 是二次方程222z cz a 0−+=的根，则 22, x y c xy a +==. 事实上，“赵爽的注”是世界上最早的关于二次方程求根公式和求解过程的记载. 继赵爽的“《周髀算经》注”之后，中国又有一些文献记载了对二次方程求解问题的研究.如《张丘建算经》中就记述了二次方程233682514054x x 15+−×=的解为2123x =.二次方程 2155940x x +−=的解为.还有8世纪的憎一行（公元683年-公元727年，唐代）在研究二次方程18x =20, ,0x bx c b c ++=> 的过程中用到了求根公式2b x −+= 此外，如杨辉（13世纪，南宋）、朱世杰（《算学启蒙》，公元1299年）等也都对二次方程求解问题进行过有意义的研究.到13世纪末，中国数学家已经分别给出了二次方程22220,0,0,0,x bx c x bx c x bx c x bx c ++=+−=−+=−−=的正确求根公式.当然，他们都没能给出一般情形下二次方程的求根公式.另外，他们也没有意识到二次方程有两个根.此后，中国数学家在二次方程求根问题研究方面就没有什么特别的进展了.《周髀算经》是现存中国古代数学著作中最早的一本，其中记述的分数运算和勾股定理是中国古代数学最早取得的宝贵成就之一.《周髀算经》的作者不详，但该书成书的年代应不晚于公元前2世纪的西汉时期（公元前206年-公元8年）.书中记述的有些事件可以追述至西周时期（约公元前1027年-公元前771年）.这部著作主要阐述了“盖天说”的宇宙模型，但其间也提到了西周初期使用矩测量高、深、广、远的方法，以及环矩可以为圆等例子.《周髀算经》的一开头就记述了中文数学文献中最早的一个勾股定理（西方数学界称之为Pythagoras 定理）特例，即我们熟知的“勾三、股四、弦五”一语.其原文为：“商高曰：数之法，出于圆方.圆出于方，方出于矩.矩出于九九八十一.故折矩.以为句广三，股修四，径隅五.既方其外，半之一矩.环而共盘，得成三四五.两矩共长二十有五，是谓积矩.故禹之所以治天下者，此数之所生也”.赵爽（生活在3世纪前后），字君卿，是东汉末年三国时期（三国：公元220年-公元280年，吴：公元222年-公元280年）的吴国人.他自称负薪余日，研究《周髀算经》，可见他还是一个没脱离体力劳动的天文学家和数学家.他的主要贡献是深入研究了《周髀算经》，并为该书写了序，而且为其作了详细的注释，其中一段500多字的“勾股圆方图”注文是中国数学史上具有极高价值的文献.另外他对二次方程解法过程的记述，是目前世界上能见到的最早的关于二次方程解法过程的描述.二、勾股定理从《周髀算经》记载的勾股定理特例，及其其他与之相关的事实，我们可以清楚地看到，中国古代人民早在几千年以前就已经发现、并应用勾股定理这一重要数学原理了.中国古代的数学家不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作出理论上的证明.最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽.赵爽创制了一幅“勾股圆方图”（见示图），用形数结合的方法，给出了勾股定理的详细证明.。

“鸡兔同笼”补遗北师大版八年级（上）第五章第三节介绍了《应用二元一次方程组-——鸡兔同笼》,本文再介绍与之相关的一些知识,供同学们学习时参考．今有雉兔同笼，上有三十五头．下有九十四足，问雉兔各几何？它出自我国古代数学著作《孙子算经》中著名的“雉兔同笼”问题．书中给出的解法是:“上置头，下置足,半其足,以头除（此处‘除’之意为‘除去’即减去）足，以足除头，即得．”书中先设“金鸡独立”，玉兔双腿（即“半其足”)，这时共有腿数为94÷2 = 47．在这47条腿中,每数一条腿应该有一只鸡，而每数两条腿才有一只兔,所以：兔数为 47－35 = 12，即“以头除足”．鸡数为 35－12 =23．这道题用列二元一次方程组的方法可以很容易求解：设鸡有x 只，兔有y 只，则由题意，可得352494.x y x y +=⎧⎨+=⎩解这个方程组，得2312x y =⎧⎨=⎩． 我们再把这个解法一般化：在一般情况下，设鸡有x 只,兔有y 只，A 为鸡、兔总共只数，B 为鸡、兔总共足数．则24.x y A x y B +=⎧⎨+=⎩解之，可得22.2B x A B y A ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 这就是说，兔数为腿数的二分之一(半其足），与总头数之差（以头除足）．在古代朱世杰《算学启蒙》（1299年）《永乐大典》中的《丁巨算法》（1355年）严恭《通原算法》中,也载有鸡兔同笼问题，朱世杰的解法与《孙子算经》不同,而与现代的算术解法则几乎完全一样．今有鸡兔100,共足272只，只云鸡足二，兔足四，问鸡兔各几何？其解法是：“列一百，以兔足乘之，得数内减共足余一百二十八为实，列鸡、兔足以少减多余二为法而一得鸡，反减一百即兔，合问．”又术曰：“倍一百以减共足余半之即兔也．”此即：鸡数 (100×4－272）÷（4－2） = 64．兔数 100－64 = 36．或兔数 （272－100×2）÷2 = 36．鸡数 100－36 = 64．吴敬《九章算法比类大全》（1450年）卷六也载有几个很有趣味的类似的诗词古体算题，如争强斗胜八臂一头号夜叉，三头六臂是哪吒．两处争强来斗胜，二相胜负正交加．三十六头齐厮打，一百八手乱相抓．旁边看者殷勤问，几个哪吒几夜叉？吴敬原书的解法：置列互乘对减得 108×3－36×6 = 108为被除数，3×8－1×6 = 18为除数，故：夜叉数为108÷18 = 6．哪吒数为（36－6）÷3 = 10．此法与现在的方程组解法相类似：设夜叉数为x ，哪吒数为y ，则86108.336x y x y +=⎧⎨+=⎩解得6.10x y =⎧⎨=⎩“鸡兔同笼”问题，在我国民间流传十分广泛，民间流传有“野鸡兔子四十九,一百条腿地下走．借问英贤能算士,野鸡兔子各多少？（请同学们自己列方程组解答）．下面这道题是流传于我国民间的“板凳木马问题”它同“鸡兔问题”很相似．板凳木马三十三，共足一百单；请问能算者，它们各若干？这道题的意思是:板凳木马的总数是33个,腿的总数是101条．板凳、木马各有多少个？（注：板凳4条腿，木马3条腿）解：设有板凳x 个，木马y 个,根据题意，得33,43101.x y x y +=⎧⎨+=⎩解得2,31.x y =⎧⎨=⎩即板凳有2条，木马有31个． 在李汝珍(约公元1763 － 1830）著的古典小说《镜花缘》中有这样一段趣味故事：宗伯府的女主人卞宝云邀请众女才子们到府中的小鳌山观灯．当众才女在一片音乐声中来到小鳌山时，只见楼上楼下俱挂着许多灯球,五彩缤纷，秀丽壮观，宛如列星，高低错落．一时竟难分辨其有灯多少，卞宝云请精通筹算的才女米兰芬，算一算楼上楼下大小灯球的数目．她告诉米兰芬：“楼上的灯有两种;一种上做三个大灯球，下缀六个小灯球；另一种上做三个大灯球，下缀18个小灯球．楼下的灯也分两种：一种一个大球下缀两个小球；另一种是一个大球下缀四个小球．”她请米兰芬算一算楼上楼下大小灯球各多少盏?米兰芬想了一想，请宝云命人查一查楼上楼下大小灯球各多少个．查的结果是：楼上大灯球396个，小灯球1440个;楼下大灯球360个，小灯球1200个．米兰芬采用《孙子算经》中雉兔同笼“的解法,先算楼下的:一大四小灯的盏数：1200÷2－360 = 240．一大二小灯的盏数:360－240 = 120．楼上三大十八小的盏数：(1440÷2－396）÷6 = 54．三大六小的盏数：（396－3×54）÷3 = 78．用列二元一次方程组的方法求解如下：解：设楼下一个大球下缀两个小球的灯有x 盏，一个大球下缀四个小球的灯有y 盏，根据题意，得360,241200.x y x y +=⎧⎨+=⎩ 解得120,240.x y =⎧⎨=⎩答：（略）．请同学们用同样的方法算一算楼上两种灯的盏数．在我国明朝永乐年间,由翰林学士解缙等人编撰的《永乐大典》中也有类似的题目，请看下面这道题： 钱二十贯,买四百六十尺，绫每尺四十三，罗每尺四十四．问绫、罗几何？这道题的意思是：用20贯钱买了460尺绫和罗，绫的价格是每尺43文,罗的价格是每尺44文．问买了绫、罗各多少尺?（贯：古代货币单位；文：古代货币单位．1贯＝1000文；尺：已经废止使用的市制长度单位．）经过我们仔细地观察、比较，可以发现，此题也可以归为“鸡兔问题”来求解．解：设买绫x 尺，买罗y 尺，根据题意，得460,434420000.x y x y +=⎧⎨+=⎩解得240,220.x y =⎧⎨=⎩即买绫240尺，买罗220尺． 在《九章算术》中的：“玉石问题”也属于这一类:今有玉方一寸,重七两；石方一寸，重六两．今有石方三寸，中有玉，并一十一斤．问玉、石各重几何?（斤、两：都是已经废止使用的重量单位．古代，1斤＝16两；寸：是已经废止使用的市制长度单位．）这道题的意思是：宝玉1立方寸重7两，石料1立方寸重6两．现有宝玉和石料混合在一起的一个正方体，棱长是3寸，重量是11斤．在这个正方体中的宝玉和石料各重多少两？解：设这个正方体中宝玉x 寸，石料y 寸，根据题意,得33,76176.x y x y ⎧+=⎨+=⎩ 解得14,13.x y =⎧⎨=⎩则有宝玉：14×7＝98（两），石料：13×6＝78（两)．答：（略）中国的鸡兔问题后来传到了日本．日本江户时代出版社出版的《算法童子问》一书中就有许多类似这样解法的题目．下面这道题就是这本书中比较典型的一道：院子里有狗,厨房的菜墩上有章鱼．狗和章鱼的总头数是14,总足数是96，求狗和章鱼各有多少．（注：章鱼有8只足．）解:设狗有x 条,章鱼有y 尾，根据题意,得14,4896.x y x y +=⎧⎨+=⎩ 解得4,10.x y =⎧⎨=⎩即有狗4条，有章鱼10尾．列一次方程组解“鸡兔问题”的方法你学会了吗？下面的题目请你尝试一下:1． 鸡兔同笼不知数，三十六头笼中露；看来脚有一百只，几多鸡儿几多兔．2． 一千官兵一千布，一官四尺无零数；四兵才得布一尺,请问官兵多少数？答案：1．14只兔，22只鸡．2．200军官，800士兵．。

有关方程的历史知识
方程这个名词，最早见于我国古代算书《九章算术》．《九章算术》是在我国东汉初年编定的一部现有传本的、最古老的中国数学经典著作．书中收集了246个应用问题和其他问题的解法，分为九章，“方程”是其中的一章．在这一章里的所谓“方程”，是指一次方程组．例如其中的第一个问题实际上就是求解三元一次方程组
古代是将它用算筹布置起来解的，如图所示，图中各行由上而下列出的算筹表示x，y，z的系数与常数项．我国古代数学家刘徽注释《九章算术》说，“程，课程也．二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程．”这里所谓“如物数程之”，是指有几个未知数就必须列出几个等式．一次方程组各未知数的系数用算筹表示时好比方阵，所以叫做方程．
上述方程的概念，在世界上要数《九章算术》中的“方程”章最早出现．其中解方程组的方法，不但是我国古代数学中的伟大成就，而且是世界数学史上一份非常宝贵的遗产．这一成就进一步证明：中华民族是一个充满智慧和才干的伟大民族．。

龙源期刊网 方程史话作者：郑洁来源：《学苑创造·B版》2011年第11期方程这个词，最早见于我国古代算书《九章算术》。

《九章算术》是我国东汉初年编定的一部现有传本的、最古老的中国数学经典著作。

书中收集了246个应用问题和其他问题的解法，分为九章，“方程”是其中的一章。

我国古代数学家刘徽在注释《九章算术》时说：“程，课程也。

二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程。

”这里所谓“如物数程之”，是指有几个未知数就必须列出几个等式。

一次方程组各未知数的系数用算筹表示时好比方阵，所以叫做方程。

《九章算术》不仅提出了“方程”的概念，还介绍了解方程组的方法，它是我国古代数学中的伟大成就，而且是世界数学史上一份非常宝贵的遗产。

用方程解决问题，可以直观地将题目中的等量关系表现出来。

下面，我们就来试一试吧！1. 果园里有梨树和桃树共200棵，梨树的棵数是桃树的4倍，果园里有梨树和桃树各多少棵？________________________________________________________2. 妈妈今年34岁，比小明的年龄的3倍还多4岁，小明今年几岁？________________________________________________________《留在眼镜上的指纹》答案：1.众所周知，戴老花镜需要时不时地擦试镜片。

所以，上面的指纹一定是嫌疑人在老人被害后才留下的。

2.汗液掌纹和指纹是间接证据，只能证明嫌疑人去过被害人家。

间接证据必须与其他证据相结合、经过严密的逻辑推理才能证明嫌疑人有罪。

3.照片的造假破绽是：图a与b的月亮弯曲方向相反，一周内月亮变化不可能这么大；图c客轮烟囱冒出的烟与旗杆上旗帜的飘向相反。