中心焦点判别与Liapunov 量

系统复杂性的度量方法∗宋学锋（中国矿业大学管理学院，中国徐州，221008）摘要：本文在前人工作的基础上，对系统复杂性的度量问题进行系统了地总结、分析和研究，首先，具体给出了浑沌系统的定性和定量判别方法；然后，提出了度量浑沌复杂性的“浑沌度”的概念和计算方法；最后，系统总结了结构复杂性的五种度量方法。

关键词：复杂性，浑沌，度量0．引 言国家自然科学基金委员会于1999年8月4日至6日在京郊九华山庄召开了以“复杂系统与复杂性科学”为主题的科学论坛。

与会专家一致认为，目前的科学发展正处于一个新的转折点，其突出标志之一就是复杂性科学的兴起。

在我国应大力提倡和加强对复杂性科学这个虽还处于萌芽状态，但已被有些科学家誉为是“21世纪的科学”的跨学科的新兴领域的研究。

根据复杂性科学目前的研究情况，我们认为可以将之分为两大学派：“自然科学学派”和“组织行为科学学派”。

自然科学学派认为系统的复杂性存在于客观系统中，主要强调复杂性存在的“客观性”，因此，在对复杂性的研究上主要强调从复杂系统内部的客观演化机理方面来进行研究；如：浑沌理论与非线性动力学、自适应系统理论、系统动力学理论等就属于自然科学学派的范畴。

而组织行为科学学派则认为系统的复杂性来自人的“脑”中[1]，强调的是复杂性的“相对性”，因此，在对复杂性的研究上强调从复杂系统的外部通过改进和提高人类组织的认识水平来“管理”客观复杂性。

如：结构复杂性科学[2]等理论就属于组织行为科学学派的范畴。

然而，作为新兴的学科，人们对如何判别和度量系统的复杂性（Complexity）尚未达成共识，或者说尚未认识清楚。

因此，本文在前人工作的基础上，特就系统复杂性的度量问题进行总结、分析和研究，旨在抛砖引玉，以便尽快将这一复杂性科学的基本问题研究清楚，为复杂性科学的进一步研究和发展奠定扎实的基础。

以下，我们分别从浑沌系统与结构复杂性两个方面，采用定性与定量相结合、微观分析和宏观综合相结合的方法来总结和探讨复杂系统的度量问题。

斐波纳奇混合轴心点系统指标原理详解斐波纳奇混合轴心点系统指标原理详解先建立一个概念P= ( H + L + 2C ) / 4 {H代表高价位, L代表低价位, C代表收市价}这个计算出的P值，是当时的市场绝对均价下文用到P值公式是变体。

Pivot Point是一套非常“单纯”的阻力支持体系，大概是10年前一个做期货的高手发明的方法，至今已经广泛的用在股票、期货、国债、指数等高成交量的商品上。

经典的Pivot Point是7点系统，就是7个价格组成的，目前广泛使用的13点系统，其实都是一样的，不过是多加了6个价格罢了，用于大成交量的商品。

原理公式下面的就是原理公式：pivot:= (high + low + close) / 3;（用前一天的最高、最低和收盘）r1:= 2*pivot - low;s1:= 2*pivot - high;r2:= pivot + (r1-s1);s2:= pivot - (r1-s1);r3:= high - (2 * (low - pivot));s3:= low - (2 * (high - pivot));sm1:=(pivot+s1)/2;sm2:=(s1+s2)/2;原理公式有变体：R2 = P + (H - L) = P + (R1 - S1)R1 = (P x 2) - LP = (H + L + C) / 3 （用前一天的最高、最低和收盘）S1 = (P x 2) - HS2 = P - (H - L) = P - (R1 - S1)sm3:=(s2+s3)/2;rm1:=(pivot+r1)/2;rm2:=(r1+r2)/2;rm3:=(r2+r3)/2;pivot是所谓的轴心，就是阻力系统的中心，其他r/s的都是阻力和支持，带m的是2条阻力的中心价。

不明白的就用EXCEL做个表在图上把价格标出来。

这套系统虽然简单，但是被老外弄出来一些道道。

原理分析应用1、 pivot有吸引作用，在没有大的多头或是空头进场的情况下，价格是在r1和s1之间围绕轴心运动的，但是运动可能是没有规律的。

平面系统中心与焦点判定问题的若干注释作者：韩茂安来源：《上海师范大学学报·自然科学版》2013年第06期摘要：常微分方程理论是数学的一个十分重要的学科，其主要任务是研究解的性态，其中平面系统中心与焦点的判定问题是常微分方程定性理论的重要内容之一.对于高维（包括无穷维）系统，在一定条件下可以通过中心流形定理降维至二维自治系统，因此，平面系统中心与焦点的判定问题是最基本的内容.微分方程定性理论著作，都会不同程度地论过这一问题.针对这一问题进行总结、思考和研究，对已有概念做一些引伸，对已有结果给出新的认识与证明，提出一些新的结论.这些内容都很难在现有文献中找到.关键词： Poincaré映射；中心；可积性；首次积分；周期函数中图分类号： O 175.12文献标识码： A文章编号： 10005137（2013）06056515收稿日期： 20131012基金项目：国家自然科学基金（11271261）作者简介：韩茂安（1961-），男，上海师范大学数理学院教授.1Poincaré映射与中心、焦点概念考虑二维Ck自治系统dxdt=f（x，y），dydt=g（x，y），（1）其中f，g为Ck光滑函数，k≥1.设原点为（1）的孤立奇点，则f（0，0）=g（0，0）=0.如所周知，如果矩阵（f，g）（x，y）（0，0）有特征值α±β i，β≠0，则原点为（1）的焦点、中心奇点或中心-焦点.对线性系统来说，焦点与中心都有明确的定义，对非线性系统来说，大多常微分方程书中都没有给出明确的定义.如果矩阵（f，g）（x，y）（0，0）有零特征值，则原点也有可能是焦点或中心，一般是从几何相图上来理解这些概念，但一般书中也没有给出明确的定义.为了引出一般系统（1）以原点为焦点或中心的定义，先从Poincaré映射入手.设在原点的某邻域内有一条通过原点的Cr上述讨论表明，为了研究函数P在含零的小区间上的光滑性，不妨把光滑曲线L取在x轴上.事实上，情况还不是这么简单，因为还要对（1）引入坐标变换，把（1）化为较标准的形式，这时候曲线L也会随之而变.不过，这些过程都不会引起实质性的麻烦.下面对初等奇点的情况讨论Poincaré映射的光滑性，本文最后一节作者将对幂零奇点情况讨论Poincaré映射的光滑性及其解析性质，以及涉及幂零焦点稳定性和幂零中心存在性等问题.设矩阵（f，g）（x，y）（0，0）的特征值为一对共轭复根α± β i，且β≠0.则经过一个线性变换可把（1）化成下述形式：dxdt=α x+β y+f1（x，y），dydt=-β x+α y+g1（x，y），（5）其中f1与g1为非线性项，且为Ck函数.如果对方程（1）来说，把曲线L取在x轴上，由于直线在线性变换之下的像还是直线，那么对方程（5）来说曲线L就位于过原点的某一直线上，又注意到方程（5）的线性部分在任何旋转变换下是不变的，于是（5）的曲线L就不妨取在x轴上，此时，按照定义1.1系统（5）就有一个Poincaré映射P（a），其几何意义就是（5）从点（a，0）出发的正半轨绕原点一周后与x轴交点的横坐标，其中a≠0.此外，补充定义P（0）=0.当然，这个映射P是存在的，利用平面系统有关经典定理可知，利用下面的方法也能独立地获得这一结论.用极坐标把（5）化为一个一维周期系统，并利用这个周期系统来研究映射P的存在性和光滑性等.本节之开始已引入了定义于曲线截线上的Poincaré映射，一般教材上都是取直线截线（特别是在焦点型奇点附近）来讨论焦点的稳定性和阶数.因为直线在非线性变换下之像必是曲线，因此取曲线截线是必要的.焦点的稳定性和阶数跟截线的选取无关，它们在变量变换下也不改变.这些证明详见文献[5]和[6].2初等焦点的稳定性与后继函数的性质考虑系统（5）.按照定义1.2，如果存在r0>0使对一切a∈（0，r0）有P（a）-a0或=0），则称原点为系统（5）的稳定焦点（不稳定焦点或中心），其中P为上节所引入的（5）的Poincaré映射.像这种利用Poincaré映射定义的稳定性称为轨道稳定性.另一方面，已知原点又可视为（5）的零解，则可以讨论它在Lyapunov意义下的稳定性.另外，一维周期方程（8）的零解r=0也有Lyapunov意义下的稳定性问题.这些稳定性之间的关系如下：定理 2.1设f1，g1为Ck函数，k≥1，则对Ck系统（5），下列几点等价：（1）原点为（5）的稳定焦点（依照定义1.2的轨道稳定）；（2）原点为系统（5）的焦点且是稳定的（在Lyapunov意义下）；（3）原点为系统（5）的渐近稳定零解（在Lyapunov意义下）；（4）解r=0为一维周期系统（8）的渐近稳定零解（在Lyapunov意义下）.文献[4]与[7]详细证明了这一定理.由上述定理可知，至少有4种方式来定义焦点的稳定性，且这4种方式是彼此等价的.本文作者用的是定理所列的第一种方式.文献[4]用的是第二种方式.现在，引入后继函数或位移函数，即d（a）=P（a）-a，于是，如果对充分小的a>0有d （a）0），这等价于原点就是稳定（不稳定）焦点，则利用轨线的不相交性，可知此时对充分小的-a>0应有d（a）>0（0函数ad（a）恒正或恒负，也就是说ad（a）是一个定号函数.详之，如果原点是稳定焦点（不稳定焦点），则函数ad（a）是定正的（定负的）.由此可知，如果d（a）=dmam+o（am），dm≠0，m≤ k，则下标m必为奇数（即m=2l+1），且原点是稳定的当且仅当dm很多系统都含有一个或多个不定常数，称这些常数为参数，而所考虑系统的焦点稳定性可能会随着参数的改变而发生变化.若设（5）的右端函数依赖于参数δ，则自然地，函数P与d 都依赖于该参数，可将它们分别写为P（a，δ）与d（a，δ）.现在要考虑函数d（a，δ）关于变量a的在a=0的幂级数的性质，因此，需要假设（5）是C∞系统，详之，假设（5）的右端函数关于（x，y）是无穷次连续可微的，而关于参数δ是Cr的，其中r≥1.那么函数d（a，δ）关于a是C∞的，而关于δ是Cr的.从而可将d（a，δ）在a=0展开成下述幂级数： d（a，δ）=∑j≥1vj（δ）aj，（9）其中每个vj（δ）关于δ都是Cr的.如果（5）的右端函数在原点邻域内是解析的（即它们可展成在原点邻域内收敛的幂级数），则d（a，δ）必为解析函数，即上述级数在a=0的某邻域内收敛.有关Hopf分支中极限环个数的研究，可参考著作[5，6，11，15-17]等.3中心、首次积分与周期函数本节仍研究系统（5），并假设它是解析的.大数学家Poincaré与Lyapunov都曾研究过解析系统出现初等中心的充要条件，并由后来的数学家给出严格的证明或推广.Poincaré获得的结论是：解析系统（5）以原点为中心当且仅当所有Lyapunov常数Lk都等于零.Lyapunov得到的结论是：解析系统（5）以原点为中心当且仅当所有Lyapunov常数Lk都等于零，且相应的无穷级数V（x，y）必收敛到一个解析的首次积分.这里，函数V（x，y）称为某系统的首次积分，如果该函数沿着这一系统的解取常数值.于是，有下列结论.定理3.1解析系统（5）以原点为中心当且仅当它有形如（15）的解析首次积分.很多著作中称上述定理为 Lyapunov中心定理.然而，大多书中只是叙述该结论而未给出证明.这里参考[13]中对Poincaré定理的证明（根据[13]，这个证明实际上是Picard于1928年给出的）来给出一个初等证明.这里给出的证明之主要思路与[13]相同，但仔细比较就可发现有些细节是不同的，特别是需要应用引理2.1.在上述定理的条件下，积分因子μ理论上是一定存在的，而且满足恒等式（μ X）′x+（μ Y）′y≡0，但在实际问题中一般是难于求出的.可以利用上述恒等式给出（5）具有一些特殊形式的积分因子的充要条件和（5）有只与x有关的积分因子的充要条件.利用上述恒等式还可以给出解析系统（5）为可积系统的必要条件.事实上，如果解析系统（5）为可积系统，则利用上述等式就可以求出μ在原点展开式的诸系数（可设μ（0，0）=1）.上述定理对非解析系统仍类似成立，由上述证明易见下述结论成立.推论3.1如果（5）是以原点为中心的Ck系统，且存在于原点邻域内为Ck+1的首次积分V（x，y）=x2+y2+h.o.t.，k≥1，则必存在Ck-1的积分因子μ（x，y），且μ（0，0）≠0，使得（25）成立.文献[8]利用上述定理还研究了极限环在焦点与中心邻域内的分支问题，这里不再给出.参考文献：[1]韩茂安，朱德明.微分方程分支理论[M].北京：煤炭工业出版社，1994.[2]韩茂安.动力系统的周期解与分支理论[M].北京：科学出版社，2002.[3]HALE J K，KOCAK H.Dynamics and Bifurcations[M].New York：Springer-Verlag，1991.[4]赵爱民，李美丽，韩茂安.微分方程基本理论[M].北京：科学出版社，2013.[5]HAN M A.Bifurcation Theory of Limit Cycles[M].Beijing：Science Press，2013.[6]HAN M A.Bifurcation Theory of Limit Cycles of Planar Systems[M]∥CANADA A，DRABEK P，FONDA A.Handbook of Differential Equations，Ordinary DifferentialEquations.Elsevier，2006.[7]韩茂安，周盛凡，邢业朋，等.常微分方程[M].北京：高等教育出版社，2011.[8]HAN M A，ROMANOVSKI V G.Limit cycle bifurcations from a nilpotent focus or enter of planar systems[J].Abstract and Applied Analysis，2012，Article ID 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integral； period function（责任编辑：冯珍珍）。

李雅普诺夫判别法全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：李雅普诺夫判别法，是数学中一种判别矩阵是否正定的方法。

该方法是由俄国数学家雅科夫利·波格斯坦和罗马诺夫·尼古拉耶维奇提出的，因此被称为李雅普诺夫判别法。

正定矩阵在数学和工程领域有着广泛的应用，通过判别一个矩阵是否正定，可以在实际问题中做出更精准的决策。

正定矩阵在矩阵论中有着重要的地位，它的定义是对于任意非零向量x，都有x^TAX>0成立的矩阵，其中A是一个n×n的矩阵，x为n维列向量，x^T表示x的转置。

这里的正定矩阵是指对于任意非零向量x，都有x^TAX>0成立，且如果x^TAX≥0，只有当x=0时，等号成立。

正定矩阵具有很好的性质，比如它的行列式大于0，主对角线元素都是正数。

在实际问题中，我们可能需要判断一个矩阵是否正定，这时就可以使用李雅普诺夫判别法。

该方法的核心思想是通过构造一个Lyapunov函数来判断矩阵的正定性。

Lyapunov函数是非负函数，一般而言，当函数值为0时，对应的矩阵是正定的，当函数值大于0时，对应的矩阵不是正定的。

具体来说，对于一个实对称矩阵A，我们可以构造一个Lyapunov 函数V(x)=x^TAx，其中x是n维向量。

如果矩阵A是正定的，则Lyapunov函数V(x)一定是大于0的，且当x=0时，V(x)=0。

这就是判别正定矩阵的基本思路。

如果Lyapunov函数V(x)是大于等于0的，则矩阵A不是正定的。

根据Lyapunov函数的定义，我们可以得到一个重要的结论：如果矩阵A的所有主子式都大于0，且对于每一个n×n的子矩阵H，有det(H)>0，那么矩阵A是正定的。

这是由于正定矩阵的性质所决定的，即对于任意非零向量x，都有x^TAX>0成立。

在工程领域，正定矩阵的应用十分广泛。

在控制系统中，正定矩阵可以用来判断系统的稳定性。

如果系统的状态矩阵是正定的，那么系统就是稳定的。

课程教学大纲(理论课)课程名称：稳定性理论适用专业：数学与应用数学课程类别：学科知识深化课程制订时间： 2006年8月数学与计算机科学学院制《稳定性理论》课程教学大纲（2002年制订，2006年修订）一、课程代码：0501142013二、课程类别：学科知识深化课程(选修)三、预修课程：数学分析、高等代数、常微分方程、矩阵论四、学分：3学分五、学时：54学时（其中实验部分8学时）六、课程概述：稳定性理论是数学与应用数学专业及信息与计算科学选修课程。

该理论由法国数学家H.poincave和俄国数学家A.M.Liapunov所共同开创。

其基本思想是放弃传统意义下的求解企图，直接根据微分方程本身的结构去探求解的性态。

它在工程技术、自动控制和卫星通讯等尖端领域以及现代物理、生物、化学、西方经济学等领域中有着广泛而重要的应用，是数学联系实际的一个重要分支。

本课程是不通过求解而直接从微分方程来研究其解的某些重要性态和轨线的全局结构。

它与数值求解法互有优势，相辅相成，也是进一步研究分支、浑沌等微分动力系统的基础，在非线性振动、控制、生命科学等领域中有着广泛的应用。

在定性分析部分将着重于平面系统的研究，通过奇点性态、极限环等学习，了解方程轨线的全局结构；稳定性部分主要介绍确定各种稳定性的一次近似系统法和Liapuov函数法。

利用李亚普诺夫第二方法判定简单方程组零解的稳定性等，则要求必须较好的掌握。

七、教学目的：通过本课程的学习，使学生了解和掌握常微稳定性理论和定性理论的基本思想，了解这一理论中最基本的概念、问题和方法，获取解决一些实际问题的必要的数学知识，为进一步学习和阅读该方向现代文献打下一定的入门基础。

八、学时分配表九、教学基本内容：第一章基本定理教学要求：一、理解常微分方程组的解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路，并将该证明方法与picard迭代序列的逐次逼近法进行对比学习。

二、掌握解的延拓定理及延拓条件。