高一数学暑假学习材料

高一数学必修一人教版暑假预科资料暑假是学生们进行自主学习的好时机，对于高一学生来说，暑假预科是很重要的一部分。

高一数学必修一是高中数学的第一个学期，它主要涉及到集合与逻辑、函数与方程、数列与数学归纳法以及三角函数。

下面我将结合教材内容为大家提供一些学习资料和学习方法，希望能帮助到大家。

首先，我们先来了解一下高一数学必修一的教材内容。

这本教材共分为六个单元，分别为：集合与逻辑、函数与方程、数列与数学归纳法、三角函数、数据的收集与统计及统计图与图形。

每个单元都有详细的知识点和例题，通过学习这些内容，可以掌握基本的数学概念和解题技巧。

接下来，我将为大家介绍一些学习资料和学习方法。

1.课本和习题册：课本是最基本的学习资料，建议大家认真阅读教材内容，并多做习题。

通过课本和习题册的练习，可以帮助巩固基本的数学知识，并提高解题能力。

2.网络资源：现在网络上有很多数学学习资源可以供大家参考和学习。

可以通过搜索引擎查找相关的数学学习网站，如有道数学、小猴数学等，这些网站提供了大量的数学知识和解题方法，可以帮助大家更好地理解和掌握数学知识。

3.老师和同学：在学习过程中，可以向老师请教问题，向同学讨论解题方法。

与他人的交流和讨论可以帮助加深对数学知识的理解，并且也可以从他人的解题方法中学习到更多的技巧和思路。

4.做题技巧：在解题过程中，可以注意以下一些技巧：-仔细阅读题目，理解题意；-对于有条件的题目，可以构建方程或者不等式来解题；-注意符号的运用，要清楚各个符号的含义；-多画图或者列表来理清思路，简化解题过程；-对于较长的计算题，可以使用计算器进行计算以节省时间。

通过以上的学习资料和学习方法，相信大家能够更好地进行高一数学必修一的暑期预科学习。

但是记住，只有不断的练习和实践才能真正掌握数学知识，所以要在暑假期间制定一个合理的学习计划，并坚持下去。

最后，祝愿大家在高一数学必修一的学习中有所收获，进一步提升自己的数学水平！。

数学新高一暑假作业
对于新高一的学生来说，暑假作业可以帮助他们巩固和预习数学知识，为即将到来的高中数学学习做好准备。

以下是一些新高一暑假作业的建议：
1. 复习初中数学知识：在高一数学学习中，很多知识都是建立在初中数学基础上的。

因此，建议新高一学生先复习初中数学知识，特别是代数和几何的基础知识，以便更好地适应高中数学学习。

2. 预习高一数学知识：预习是学习高中数学的重要步骤。

学生可以通过阅读教材、查阅资料等方式，了解高中数学的常用概念和基本方法，为开学后的学习打下基础。

3. 做练习题：练习是巩固数学知识的有效方法。

学生可以通过做练习题来加深对数学概念和方法的理解，提高自己的数学思维能力。

4. 阅读数学课外书籍：阅读数学课外书籍可以帮助学生拓宽数学视野，了解数学的趣味性和应用价值。

例如，《数学之美》、《趣味数学》等书籍都是非常适合新高一学生阅读的。

5. 参加数学竞赛或数学夏令营：参加数学竞赛或数学夏令营可以帮助学生提高自己的数学水平，结交志同道合的朋友，为未来的数学学习和竞赛做好准备。

总之，新高一学生要认真对待暑假作业，通过多种方式巩固和预习数学知识，提高自己的数学思维能力，为即将到来的高中数学学习做好充分的准备。

新高一数学暑假提升讲义12 集合的概念、表示、常用数集、空集1.下列各组对象中能构成集合的是（）A ．充分接近3的实数的全体B ．数学成绩比较好的同学C ．小于20的所有自然数D ．未来世界的高科技产品2．设不等式2280x x --＜的解集为M ，下列正确的是（）A ．1,4M M -∉∉B ．1,4M M -∈∉C ．1,4M M -∉∈D ．1,4M M -∈∈3．直线2y x =与3y x 的交点组成的集合是（）A ．{}3,6B ．36,C ．3,6x y ==D ．{}(3,6) 4．已知集合{}2|ln 1A x N x =∈<，则A =（）A ．1|x x e e ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭B ．{}1C ．{}2D ．{}1,2 5．已知集合M ＝{1，m ＋2，m 2＋4}，且5∈M ，则m 的值为A ．1或－1B ．1或3C ．－1或3D ．1，－1或36．方程的解集为{}2|2320x R x x ∈--=，用列举法表示为____________.7．已知集合{}2320A x ax x =-+=，若A 中至少有一个元素，则a 的取值范围是______； 8.已知集合A 含有两个元素a 和a 2，若1∈A，求实数a 的值.9．设集合{|4},11M x x a =≥，则下列关系中正确的是（ ）A ．a M ∈B ．a M ∉C ．{}a M ∈D ．{}a M ∉10．已知集合{}1,0,1A =-，(),|,,x B x y x A y A y ⎧⎫=∈∈∈⎨⎬⎩⎭N ，则集合B 中所含元素的个数为（）A ．3B ．4C ．6D ．911．已知集合{}1,2,3A =，集合{},,B z z x y x A y A ==-∈∈，则集合B 中元素的个数为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．712．已知集合2{2,25,12}A a a a =-+，且3A -∈，则a 等于（ ）A ．-1B ．23-C ．32-D ．32-或-1 13．方程组2040x y x +=⎧⎨-=⎩的解组成的集合为_________. 14．甲､乙两人同时参加一次数学测试,共有20道选择题,每题均有4个选项,答对得3分,答错或不答得0分,甲和乙都解答了所有的试题,经比较,他们只有2道题的选项不同,如果甲最终的得分为54分,那么乙的所有可能的得分值组成的集合为________.15．含有三个实数的集合既可表示成,,1b a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭又可表示成{}2,,0a a b +，20142015a b +=______.16．已知集合(){}21,1A m m =+-，若1A ∈，则m =______.17．已知22{1,251,1}A a a a a =-+++, 2A -∈,求实数a 的值.18．若集合2{|320,}A x ax x a R =-+=∈有且仅有两个子集，求实数a 的取值范围.19．求下列方程或方程组的解集.（1）42617120x x -+= （2）221321x y x y ⎧+=⎨-=⎩20．用合适的方法表示下列集合，并说明是有限集还是无限集.（1）到A 、B 两点距离相等的点的集合（2）满足不等式21x >的x 的集合（3）全体偶数（4）被5除余1的数（5）20以内的质数（6）{(,)|6,,}x y x y x N y N **+=∈∈（7）方程()0,x x a a R -=∈的解集21．用列举法表示下列集合:(1){}2|9A x x ==;(2){|12}B x N x =∈≤≤;(3){}2|320C x x x =-+=.。

3.4函数的应用（一）【知识梳理】知识点一一次函数模型形如y＝kx＋b的函数为一次函数模型，其中k≠0.知识点二二次函数模型1．一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．2．顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)．3．两点式：y＝a(x－m)(x－n)(a≠0)．知识点三幂函数模型1．解析式：y＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0)．2．单调性：其增长情况由xα中的α的取值而定．【基础自测】1．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是()2．某厂日产手套总成本y(元)与手套日产量x(副)的函数解析式为y＝5x＋4000，而手套出厂价格为每副10元，则该厂为了不亏本，日产手套至少为()A．200副B．400副C．600副D．800副3．（多选）某商品A以每件2元的价格出售时，销售量为10万件.经过调查，单价每提高0.2元，销售量减少5000件，要使商品A销售总收入不少于22.4万元，该商品A的单价可定为（）A．2.6元B．2.8元C．3元D．3.2元4．用长度为24m 的材料围成一矩形场地，并且中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为______m.5．甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2km.如图表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程y (km)与时间x (min)的关系，其中甲在公园休息的时间是10min ，那么y ＝f (x )的解析式为________________．【例题详解】一、二次函数模型例1一公司某年用128万元购进一台生产设备，使用x 年后需要的维护费总计2214x x +万元，该设备每年创造利润54万元．(1)求使用设备生产多少年，总利润最大，最大是多少？(2)求使用设备生产多少年，年平均利润最大，最大是多少？跟踪训练1目前脱贫攻坚进入决胜的关键阶段，某扶贫企业为了增加工作岗位和增加员工收入，决定投入90万元再上一套生产设备，预计使用该设备后前()*N n n ∈年的支出成本为()2105n n -万元，每年的销售收入95万元.(1)估计该设备从第几年开始实现总盈利；(2)使用若干年后对该设备处理的方案有两种：方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以20万元的价格处理；方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以60万元的价格处理；问哪种方案较为合理？并说明理由.二、分段函数模型例2双碳战略之下，新能源汽车发展成为乘用车市场转型升级的重要方向．根据工信部最新数据显示，截至2022年一季度，我国新能源汽车已累计推广突破1000万辆大关．某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，每生产x (千辆)获利()W x (万元)，230350,02,()240340,26,x x W x x x x +<≤⎧=⎨-++<≤⎩，该公司预计2022年全年其他成本总投入为()2010x +万元．由市场调研知，该种车销路畅通，供不应求．记2022年的全年利润为()f x (单位:万元)．(1)求函数()f x 的解析式;(2)当2022年产量为多少千辆时，该企业利润最大?最大利润是多少?跟踪训练2某电影院每天最多可制作500桶爆米花，每桶售价相同，根据影院的经营经验，当每桶售价不超过20元时，当天可售出500桶；当每桶售价高于20元时，售价每高出1元，当天就少售出20桶.已知每桶爆米花的成本是4元，设每桶爆米花的售价为x （4x >且*x ∈N ）元，该电影院一天出售爆米花所获利润为y 元.（总收入=总成本+利润）(1)求y 关于x 的函数表达式；(2)试问每桶爆米花的售价定为多少元时，该电影院一天出售爆米花所获利润最大？最大利润为多少元？三、幂函数模型例3某企业计划投资生产甲、乙两种产品，根据长期收益率市场预测，投资生产甲产品的利润与投资额成正比，投资生产乙产品的利润与投资额的算术平方根成正比，已知投资1万元时，甲、乙两类产品的利润分别为0.125万元和0.5万元.（1）分别写出两类产品的利润与投资额x 的函数关系式；（2）该企业有100万元资金，全部用于生产甲、乙产品，问怎样分配资金能使得利润之和最大，最大利润为多少万元？跟踪训练3美国对中国芯片的技术封锁，激发了中国“芯”的研究热潮.某公司研发的A ，B 两种芯片都已经获得成功.该公司研发芯片已经耗费资金2千万元，现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测，生产A芯片的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入1千万元，公司获得毛收入0.25千万元；生产B 芯片的毛收入y (千万元)与投入的资金x (千万元)的函数关系为(0)a y kx x =>，其图像如图所示.（1）试分别求出生产A ，B 两种芯片的毛收入y (千万元)与投入的资金x (千万元)的函数关系式；（2）如果公司只生产一种芯片，生产哪种芯片毛收入更大?（3）现在公司准备投入4亿元资金同时生产A ，B 两种芯片.设投入x 千万元生产B 芯片，用()f x 表示公司所获利润，当x 为多少时，可以获得最大利润?并求最大利润.(利润A =芯片毛收入B +芯片毛收入-发耗费资金)【课堂巩固】1．下面是一幅统计图，根据此图得到的以下说法中，正确的个数是（）①这几年生活水平逐年得到提高；②生活费收入指数增长最快的一年是2014年；③生活价格指数上涨速度最快的一年是2015年；④虽然2016年生活费收入增长缓慢，但生活价格指数也略有降低，因而生活水平有较大的改善．A ．1B ．2C ．3D ．42．如图所示，OAB 是边长为2的等边三角形，直线x t =截这个三角形位于此直线左方的图形面积为y （见图中阴影部分），则函数()y f t =的大致图像为（）A ．B ．C ．D ．3．如图所示，液体从一个圆锥形漏斗漏入一个圆柱形桶中，开始时漏斗中盛满液体，经过3秒漏完，圆柱形桶中液面上升速度是一个常量，则漏斗中液面下降的高度H 与下降时间t 之间的函数关系的图象只可能是（）A ．B ．C ．D ．4．某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x （件）与单价P （元）之间的关系为1602P x =-，生产x 件所需成本为C （元），其中50030C x =+，若要求每天获利不少于1300元，则日销量x 的取值范围是（）A ．2030x ≤≤，x *∈NB ．2045x ≤≤，x *∈NC ．1530x ≤≤，x *∈N D ．1545x ≤≤，x *∈N 5．为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”，计费方法如下：每户每月用水量水价不超过310m 的部分2.5元3/m 超过310m 但不超过315m 的部分5元3/m超过315m 的部分7.5元3/m若某户居民本月交纳的水费为65元，则此户居民本月用水量为（）A ．317m B ．315m C ．313m D ．326m 36．“空气质量指数（AQI ）”是定量描述空气质量状况的无量纲指数．当AQI 大于200时,表示空气重度污染,不宜开展户外活动．某地某天0~24时的空气质量指数y 随时间t 变化的趋势由函数10290,01224,1224t t y t -+≤≤⎧⎪=⎨<≤⎪⎩描述,则该天适宜开展户外活动的时长至多为（）A ．5小时B ．6小时C ．7小时D ．8小时7．某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利润y （单位：10万元）与营运年数()*N x x ∈为二次函数关系（如图所示），则每辆客车营运（）年时，其营运的年平均利润yx最大.A ．3B ．4C ．5D ．68．某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图所示，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形的两边长x ，y 应分别为________．9．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3千米(不超过3千米按起步价付费)；超过3千米但不超过8千米时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8千米时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．若某人乘坐出租车行驶了5.6千米，则需付车费________元，若某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此出租车行驶了________千米．10．有300m长的篱笆材料，如果利用已有的一面墙(设长度够用)作为一边，围成一块矩形菜地，问矩形的长、宽各为多少时，这块菜地的面积最大？11．某家庭进行网上理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的年收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的年收益与投资额的算术平方根成正比.已知投资1万元时两类产品的年收益分别为0.125万元和0.5万元（如图）.(1)分别写出两种产品的年收益与投资的函数关系式；(2)该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大年收益，其最大年收益是多少万元？12．手机上网每月使用量在500分钟以下(包括500分钟)、60分钟以上(不包括60分钟)按30元计费，超过500分钟的部分按0.15元/分钟计费，假如上网时间过短，使用量在1分钟以下不计费，在1分钟以上(包括1分钟)按0.5元/分钟计费，手机上网不收通话费和漫游费．①12月份小王手机上网使用量20小时，要付多少钱？②小舟10月份付了90元的手机上网费，那么他上网时间是多少？③电脑上网费包月60元/月，根据时间长短，你会选择哪种方式上网呢？【课时作业】1．在线直播带货已经成为一种重要销售方式，假设直播在线购买人数y （单位；人）与某产品销售单价x （单位：元）满足关系式：4020my x x =-+-，其中20<x <100，m 为常数，当该产品销售单价为25时，在线购买人数为2015人；假设该产品成本单价为20元，且每人限购1件；下列说法错误的是（）A ．实数m 的值为10000B ．销售单价越低，直播在线购买人数越多C ．当x 的值为30时利润最大D ．利润最大值为100002．《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资､薪金所得不超过5000元的部分不必纳税，超过5000元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分段累计计算：全月应纳税所得额税率不超过3000元的部分3%超过3000元至12000元的部分10%超过12000元至25000元的部分20%有一职工八月份收入20000元，该职工八月份应缴纳个税为（）A ．2000元B ．1500元C ．990元D ．1590元3．将进货价为每个80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，每涨价1元，销售量就减少20个，为了使商家利润有所增加，则售价a （元/个）的取值范围应是（）A ．90100a <<B ．90110a <<C ．100110a <<D ．80100a <<4．为配制一种药液，进行了二次稀释，先在容积为40L 的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出L V 用水补满，搅拌均匀，第二次倒出4L 5V 后用水补满，若第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的60%，则V 的最小值为（）A ．5B ．10C ．15D ．205．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为（）m ．A ．400B ．12C ．20D ．306．在2h 内将某种药物注射进患者的血液中，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减.下面能反映血液中药物含量Q 随时间t 变化的图象是（）A ．B ．C ．D ．7．如图一直角墙角，两边的长度足够长，P 处有一棵树与两墙的距离分别是am 、4m ，其中012a <<，不考虑树的粗细，现在想用16m 长的篱笆，借助墙角围成一个矩形的花圃ABCD ，设此矩形花圃的最大面积为S （单位：2m ），若将这棵树围在花圃内，则函数()S f a =的图象大致是（）A．B．C ．D．8．已知某商品的进货成本为10（元/件），经过长时间调研，发现售价x （元）与月销售量y （件）满足函数关系式216008000y x x=+．为了获得最大利润，商品售价应为（）A ．80元B ．60元C ．50元D ．40元9．某商场以每件30元的价格购进一种商品，根据销售经验，这种商品每天的销量m （件）与售价x （元）满足一次函数1002m x =-，若要每天获得最大的销售利润，则每件商品的售价应定为___________元.10．长为5、宽为4的矩形，当长增加x ，且宽减少2x时面积最大，此时x ＝___________，最大面积S ＝___________．11．某工厂生产某种零件的固定成本为20000元，每生产一个零件要增加投入100元，已知总收入Q （单位：元）关于产量x （单位：个）满足函数：21400,0400280000,400x x x Q x ⎧-≤≤⎪=⎨⎪>⎩.(1)将利润P （单位：元）表示为产量x 的函数；（总收入＝总成本＋利润）(2)当产量为何值时，零件的利润最大？最大利润是多少元？(3)当产量为何值时，零件的单位利润最大？最大单位利润是多少元？12．销售甲、乙两种商品所得利润分别是12,y y 万元，它们与投入资金x 万元的关系分别为1y a =+，2y bx =（其中,,m a b 都为常数），函数12,y y 对应的曲线12,C C 如图所示．（1）求函数1y 与2y 的解析式；（2）若该商场一共投资10万元经销甲、乙两种商品，求该商场所获利润的最大值．13．要建造一面靠墙、且面积相同的两间相邻的长方形居室（靠墙一侧利用原有墙体），如图所示.如果已有材料可建成的围墙总长度为30m ，那么当宽x （单位：m ）为多少时，才能使所建造的居室总面积最大？居室的最大总面积是多少？（不考虑墙体厚度）14．共享单车给市民出行带来了诸多便利，某公司购买了一批单车投放到某地给市民使用，据市场分析，每辆单车的营运累计利润y （单位：元）与营运天数x （*N x ∈）满足函数关系式21608002y x x =-+-．(1)要使营运累计利润高于800元，求营运天数的取值范围；(2)每辆单车营运多少天时，才能使每天的平均营运利润y x的值最大？15．牧场中羊群的最大蓄养量为m 只，为保证羊群的生长空间，实际蓄养量不能达到最大蓄养量，必须留出适当的空闲率．已知羊群的年增长量y 只和实际蓄养量x 只与空闲率的乘积成正比，比例系数为k (k >0)．(空闲率指空闲量与最大蓄养量的比值)(1)写出y 关于x 的函数关系式，并指出这个函数的定义域；(2)求羊群年增长量的最大值；(3)当羊群的年增长量达到最大值时，求k 的取值范围．。

进门测试建议5min①关于x 的二次方程x 2+2(m +3)x +2m +14=0有两根，且一个大于1，一个小于1，求m 的范围； ②关于x 的二次方程x 2+2(m +3)x +2m +14=0有两根，且在内，求m 的范围；③关于x 的二次方程x 2+2(m +3)x +2m +14=0有两根，且在[1，3]之外，求m 的范围；④关于x 的二次方程mx 2+2(m +3)x +2m +14=0有两根，且一个大于4，一个小于4，求m 的范围． 【答案】(1)；(2)；(3)；(4)． 课堂导入建议10min柯西柯西1789年8月21日生于巴黎，他的父亲路易·弗朗索瓦·柯西是法国波旁王朝的官员，在法国动荡的政治漩涡中一直担任公职．由于家庭的原因，柯西本人属于拥护波旁王朝的正统派，是一位虔诚的天主教徒．他在纯数学和应用数学的功力是相当深厚的，很多数学的定理和公式也都以他的名字来称呼，如柯西不等式、柯西积分公式...在数学写作上，他是被认为在数量上仅次于欧拉的人，他一生一共著作了789篇论文和几本书，其中有些还是经典之作，不过并不是他所有的创作质都很高，因此他还曾被人批评高产而轻率，这点倒是与数学王子相反，据说，法国科学院''会刊''创刊的时候，由于柯西的作品实在太多，以致于科学院要负担很大的印刷费用，超出科学院的预算，因此，科学院后来规定论文最长的只能够到四页，所以，柯西较长的论文只得投稿到其他地方．精讲精练214m <-2755m -<≤-214m <-19013m -<<[0,1]2=++x px【解析】由px q x+≥对于一切实数q≥①, q=-2p-26.行驶中的汽车，在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离． 在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离s (m)与汽车的车速(km/h)满足下列关系：s ＝n v 100＋v 2400(n 为常数，且n ∈N *)，做了两次刹车试验，有关试验数据如图所示，其中⎩⎪⎨⎪⎧6＜s 1＜814＜s 2＜17.（1）求n 的值；（2）要使刹车距离不超过12.6 m ，则行驶的最大速度是多少？【答案】（1）n=6，（2）60 km/h【解析】(1)依题意得⎩⎨⎧6＜40n 100＋1 600400＜814＜70n 100＋4 900400＜17，解得⎩⎪⎨⎪⎧5＜n ＜1052＜n ＜9514，又n ∈N *，所以n ＝6.(2)s ＝3v 50＋v 2400≤12.6⇒v 2＋24v －5 040≤0⇒－84≤v ≤60，因为v ≥0，所以0≤v ≤60，即行驶的最大速度为60 km/h.7. 设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，函数F (x )＝f (x )－x 的两个零点为m ，n (m ＜n )． （1）若m ＝－1，n ＝2，求不等式F (x )＞0的解集； （2）若a ＞0，且0＜x ＜m ＜n ＜1a，比较f (x )与m 的大小．【解析】（1）当a ＞0时，不等式F (x )＞0的解集为{x |x ＜－1或x ＞2}；当a ＜0时，解集为{x |－1＜x ＜2}． （2）由函数F (x )＝f (x )－x 的两个零点为m ，n ，得f (x )－m ＝a (x －m )(x －n )＋x －m ＝(x －m )(ax －an ＋1)，∵a ＞0，且0＜x ＜m ＜n ＜1a ，∴x －m ＜0,1－an ＋ax ＞0.∴f (x )－m ＜0，即f (x )＜m .温故知新建议15min课后巩固1、将本节课错题进行组卷，进行二次练习，培养错题管理习惯；2、对笔记本进行复习，培养复习习惯。

2021年沪教版高一数学暑假作业：余弦函数的图像与性质【含答案】一、单选题1．下列命题中正确的是（ ） A ．cos y x =在第二象限是减函数 B ．tan y x =在定义域内是增函数 C ．|cos(2)|3y x π=+的周期是2π D ．sin ||y x =是周期为2π的偶函数【答案】C【分析】根据函数的图象与图象变换进行判断．【详解】解：由余弦函数图象可知cos y x =在[]()2,2k k k Z πππ+∈上单调递减，故单调递减，但是在第二象限内不具有单调性，故A 错误；由正切函数的图象可知tan y x =在每一个周期内都是增函数，故tan y x =在定义域内不是增函数，故B 错误．cos(2)3y x π=+的周期为π，则|cos(2)|3y x π=+的图象是由cos(2)3y x π=+的图象将x 轴下方的部分翻折到x 轴上方得到的，故周期减半， |cos(2)|3y x π∴=+的周期是2π，故C 正确． sin ||y x =是偶函数，其图象是将sin y x =在y 轴右侧的函数图象翻折到y 轴左侧，所以函数sin ||y x =不是周期函数，故D 错误． 故选：C ．2．若()y f x =的图像与cos y x =的图象关于x 轴对称，则()y f x =的解析式为（ ） A ．()cos y x =- B ．cos y x =- C ．cos y x = D ．cos y x =【答案】B【分析】根据()f x -、()f x -、()fx 与()f x 的图象特征依次判断即可得到结果.【详解】对于A ，()cos cos y x x =-=，图象与cos y x =重合，A 错误； 对于B ，()y f x =与()y f x =-图象关于x 轴对称，cos y x ∴=-与cos y x =图象关于x 轴对称，B正确；对于C ，当0x ≥时，cos cos y x x ==，可知其图象不可能与cos y x =关于x 轴对称，C 错误； 对于D ，将cos y x =位于x 轴下方的图象翻折到x 轴上方，就可以得到cos y x =的图象，可知其图象与cos y x =的图象不关于x 轴对称，D 错误.故选：B.3．函数cos y x =在区间(),3ππ上的图像的对称轴是（ ） A ．3x π= B ．52x π=C ．2x π=D ．x π=【答案】C【分析】根据余弦函数的性质即可求出对称轴.【详解】由余弦函数的性质可得函数cos y x =关于,x k k Z π=∈对称， 又(),3x ππ∈，则2x π=，故函数cos y x =在区间(),3ππ上的图像的对称轴是2x π=. 故选：C.4．若函数()3sin 12f x x ππ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则()f x 是（ ） A ．周期为1的奇函数 B ．周期为2的偶函数C ．周期为1的非奇非偶函数D ．周期为2的非奇非偶函数．【答案】B【分析】先化简()f x 的解析式可得()3cos 1f x x π=-，由正弦函数的周期公式和奇偶性的定义法可得答案.【详解】()3sin 13cos 12f x x x πππ⎛⎫=--=-⎪⎝⎭所以()f x 的最小正周期为22T ππ==又()()()3cos 13cos 1f x x x f x ππ-=--=-=，所以()f x 为偶函数. 故选：B二、填空题5．已知余弦函数过点,6m π⎛⎫-⎪⎝⎭，则m 的值为__________． 3【分析】将,6m π⎛⎫-⎪⎝⎭代入余弦函数即可求解. 【详解】设余弦函数为cos y x =， 由函数过点,6m π⎛⎫-⎪⎝⎭可得3cos 6m π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭. 36．方程2cos 303⎛⎫++= ⎪⎝⎭x π的解集是____________. 【答案】22x x k ππ⎧=+⎨⎩或72,6x k k Z ππ⎫=-∈⎬⎭【分析】由题意可得出3cos 3x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，可得出3x π+的等式，由此可求得原方程的解集. 【详解】2cos 303x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，3cos 3x π⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭ ()5236x k k Z πππ∴+=±∈，解得22x k ππ=+或()726x k k Z ππ=-∈，因此，方程2cos 303⎛⎫+= ⎪⎝⎭x π的解集是22x x k ππ⎧=+⎨⎩或72,6x k k Z ππ⎫=-∈⎬⎭. 故答案为：22x x k ππ⎧=+⎨⎩或72,6x k k Z ππ⎫=-∈⎬⎭. 【点睛】本题考查余弦方程的求解，考查计算能力，属于基础题. 7．函数2sin 3cos =+y x x 的值域为_____________． 【答案】[3,3]-【分析】设cos x t =，[]1,1t ∈-，得到231324y t ⎛⎫=--+⎪⎝⎭，根据二次函数性质得到值域.【详解】22sin 3cos 1cos 3cos y x x x x =+=-+，设cos x t =，[]1,1t ∈-，则223133124y t t t ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭，函数在[]1,1t ∈-上单调递增，故1t =时，max 1313y =-++=，1t =-时，min 1313y =--+=-，故值域为[3,3]-. 故答案为：[3,3]-.【点睛】本题考查了三角函数的值域，意在考查学生的计算能力和转化能力，换元是解题的关键. 8．函数()lg cos f x x x =-在(,)-∞+∞内的零点个数为__________． 【答案】4【分析】在同一平面直角坐标系中作出函数|lg |y x =和cos y x =的图像如图， 结合图像的对称性可以看出两函数|lg |y x =和cos y x =的图像应有4个交点， 即函数()lg cos f x x x =-在(),-∞+∞内有4个零点， 故答案为：4．点睛：本题旨在考查化归转化的数学思想、函数方程思想、数形结合思想等数学思想的综合运用，求解时依据函数的对称性，先画出y 轴右边的函数的图像相交的情形，再根据对称性确定y 轴左边的函数的图像相交的情形，最终使得问题获解． 9．当3,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()arcsin cos y x =的值域是______. 【答案】,42ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 【分析】令cos t x =，3,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，再利用反正弦函数的性质求解. 【详解】令cos t x =，3,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以212t -≤≤， 因为arcsin y t =在2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增， 所以arcsin 42t ππ-≤≤，所以函数()arcsin cos y x =的值域是,42ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 故答案为：,42ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【点睛】本题主要考查反正弦函数的图象和性质，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.10．函数2()sin cos 2f x x x =+-的值域是________ 【答案】3[3,]4--【分析】化简得到2()cos cos 1f x x x =-+-，设cos x t =，得到21324y t ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，根据二次函数性质得到值域.【详解】22()sin cos 2cos cos 1f x x x x x =+-=-+-,设cos x t =，[]1,1t ∈-，则2213124y t t t ⎛⎫=-+-=--- ⎪⎝⎭， 当12t =时，函数有最大值为34-；当1t =-时，函数有最小值为3-.故函数值域为3[3,]4--. 故答案为：3[3,]4--.【点睛】本题考查了三角函数的值域，意在考查学生的计算能力和转化能力，换元转化为二次函数是解题的关键.11．方程2cos 210x -=的解集是___________. 【答案】{|6x x k ππ=+或,}6x k k Z ππ=-∈【分析】根据余弦函数的图象与性质解三角方程即可. 【详解】由2cos 210x -=可得：1cos 22x =， 所以223x k ππ=+或223x k ππ=-，()k ∈Z即6x k ππ=+或6x k ππ=-故答案为：{|6x x k ππ=+或,}6x k k Z ππ=-∈【点睛】本题主要考查了余弦函数的图象与性质，三角方程的解法，属于中档题. 三、解答题12．作出函数[]32cos ,,y x x ππ=-∈-的大致图象，并分别写出使0y >和0y <的x 的取值范围． 【答案】图象见解析；当,,66⎡⎫⎛⎤∈--⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦x ππππ时，0y >；当,66x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，0y <. 【分析】利用五点作图法可得函数大致图象，令0y =，确定函数零点，数形结合得到所求x 的取值范围. 【详解】由五点作图法可知：x π-2π-2ππcos x1-0 11-y32+ 3 32- 3 32+由此可得函数大致图象如下图所示：令0y =32cos 0x =，3cos 2x ∴=，又[],x ππ∈-，6x π∴=-或6π，结合图象可知：当,,66⎡⎫⎛⎤∈--⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦x ππππ时，0y >；当,66x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，0y <. 【点睛】本题考查五点作图法的应用、与余弦函数有关的不等式的求解；求解不等式可确定函数零点后，通过数形结合的方式来求解.13．利用“五点法”作出函数1cos y x =-，[]0,2x π∈的图像． 【分析】根据“五点法”的步骤先描点，再画出图象. 【详解】先找出五个关键点，列表如下：x2ππ32π 2π1cos y x =-0 121描点作出函数图象如下：14．求下列函数的单调递增区间： （1）3sin 24y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭； （2）2cos 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭； （3）sin y x =；（4）()22sin 2sin cos 3cos ,f x x x x x x R =++∈．【答案】（1）37,88k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦；（2）5,88k k ππππ⎡⎤-+-+⎢⎥⎣⎦；（3）,2k k πππ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦；（4）3,88k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦．【分析】（1）利用诱导公式变形，由正弦型复合函数的单调性求解； （2）余弦型复合函数的单调性求解； （3）画出函数图象，结合函数图象即可判断；（4）首先利用二倍角公式及辅助角公式将函数化简，再根据正弦函数的性质计算可得．【详解】解：（1）2sin 22sin 244y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．由3222242k x k πππππ+-+，得3878k x k ππππ++，k Z ∈． 3sin 24y x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭的单调增区间为37,88k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈， （2）因为2cos 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭由2224k x k ππππ-++，k Z ∈，得588k x k ππππ-+≤≤-+，k Z ∈． 2cos 24y x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭的单调增区间为5,88k k ππππ⎡⎤-+-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈， （3）sin y x =的图象是由sin y x =位于x 轴下方的图象关于x 轴翻折上去，函数图象如下所示：由函数图象可得函数的单调递增区间为,2k k πππ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈ （4）因为()22sin 2sin cos 3cos ,f x x x x x x R =++∈所以()sin 2cos 222224f x x x x π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭令222,242k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，解得3,88k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，故函数的单调递增区间为3,,88k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦15．如图，设A 、B 是半径为1的圆O 上的动点，且A 、B 分别在第一、二象限，C 是圆O 与x 轴正半轴的交点，△AOB 为等边三角形，记以Ox 轴正半轴为始边、射线OA 为终边的角为θ.（1）若点A 的坐标为34(,)55，求5sin()5cos()3cot()2πθπθθ--++-值；（2）设2()||f BC θ=，求函数()f θ的解析式和值域. 【答案】（1）3；（2）()22cos()3f πθθ=-+，值域为(2,23).【分析】（1）根据A 的坐标，利用三角函数的定义，求出sin θ，cos θ，再利用诱导公式，即可得到结论； （2）由题意，cos cos()3COB πθ∠=+，利用余弦定理，可得函数()f θ的解析式，从而可求函数的值域．【详解】解：（1）A 的坐标为34,55⎛⎫ ⎪⎝⎭，以Ox 轴正半轴为始边，射线OA 为终边的角为θ∴根据三角函数的定义可知，4sin 5θ=，3cos 5θ=，4tan 3θ=∴5sin()5cos()3cot()2πθπθθ--++-5sin 5cos 3tan θθθ=-++4345533553=-⨯+⨯+⨯=；（2）)AOB 为正三角形，3AOB π∴∠=．cos cos()3COB πθ∴∠=+222()||||||2||||cos 22cos 3f BC OC OB OC OB COB πθθ⎛⎫∴==+-∠=-+ ⎪⎝⎭62ππθ<<， 5236πππθ∴<+<， 3cos 03πθ⎛⎫<+< ⎪⎝⎭，所以222cos 233πθ⎛⎫<-+< ⎪⎝⎭(2()2,3f θ∴+∈．【点睛】本题考查任意角的三角函数的定义，考查余弦定理求边长的平方，考查学生的计算能力，属于中档题．。

第六讲 圆的方程（一）热点透析考查目标 1.考查圆的方程的形式及应用；2.利用待定系数法求圆的方程．达成目标 1.熟练掌握圆的方程的两种形式及其特点；2.会利用代数法、几何法求圆的方程，注意圆的方程形式的选择．（二）知识回顾1． 圆的定义在平面内，到 的距离等于 的点的集合叫圆． 2． 确定一个圆最基本的要素是 和 3． 圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)，其中( )为圆心， 为半径． 4． 圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是 ，其中圆心为⎝⎛⎭⎫－D 2，－E2，半径r ＝D 2＋E 2－4F2.5． 确定圆的方程的方法和步骤确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为： (1)根据题意，选择标准方程或一般方程；(2)根据条件列出关于a ，b ，r 或D 、E 、F 的方程组； (3)解出a 、b 、r 或D 、E 、F 代入标准方程或一般方程． 6． 点与圆的位置关系点和圆的位置关系有三种．圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，点M (x 0，y 0) (1)点在圆上： ； (2)点在圆外： ； (3)点在圆内： . [难点正本 疑点清源]1． 确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质(1)圆心在过切点且垂直切线的直线上；(2)圆心在任一弦的中垂线上；(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线． 2． 圆的一般方程的特征圆的一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，若化为标准式，即为⎝⎛⎫x ＋D 22＋⎝⎛⎭⎫y ＋E 22＝D 2＋E 2－4F 4.由于r 2相当于D 2＋E 2－4F4. 所以①当D 2＋E 2－4F >0时，圆心为⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2，半径r ＝D 2＋E 2－4F 2.②当D 2＋E 2－4F ＝0时，表示一个点⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2. ③当D 2＋E 2－4F <0时，这样的圆不存在．附件：当堂过手训练（快练五分钟，稳准建奇功！）1． 若方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则a 的取值范围是______________．2． (2011·辽宁)已知圆C 经过A (5,1)，B (1,3)两点，圆心在x 轴上，则圆C 的方程为______________． 3． (2011·四川)圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0的圆心坐标是( )A ．(2,3)B ．(－2,3)C ．(－2，－3)D ．(2，－3)4． (2012·辽宁)将圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0平分的直线是( )A ．x ＋y －1＝0B ．x ＋y ＋3＝0C ．x －y ＋1＝0D ．x －y ＋3＝05． (2012·湖北)过点P (1,1)的直线，将圆形区域{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为( )A ．x ＋y －2＝0B ．y －1＝0C ．x －y ＝0D ．x ＋3y －4＝0二、高频考点专题链接题型一 求圆的方程例1 根据下列条件，求圆的方程：(1)经过P (－2,4)、Q (3，－1)两点，并且在x 轴上截得的弦长等于6； (2)圆心在直线y ＝－4x 上，且与直线l ：x ＋y －1＝0相切于点P (3，－2)．探究提高 求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程．一般来说，求圆的方程有两种方法：①几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量．②代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解．(1)已知圆C 与直线x －y ＝0及x －y －4＝0都相切，圆心在直线x ＋y ＝0上，则圆C 的方程为( )A ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝2B ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2C ．(x －1)2＋(y －1)2＝2D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2(2)经过点A (5,2)，B (3,2)，圆心在直线2x －y －3＝0上的圆的方程为 ____________________．题型二 与圆有关的最值问题例2 已知实数x 、y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0.(1)求yx 的最大值和最小值；(2)求y －x 的最大值和最小值．探究提高 与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：(1)形如μ＝y －bx －a形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；(2)形如t ＝ax ＋by 形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；(3)形如(x－a)＋(y－b)形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．已知M为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q(－2,3)．(1)求|MQ|的最大值和最小值；(2)若M(m，n)，求n－3m＋2的最大值和最小值．题型三与圆有关的轨迹问题例3设定点M(－3,4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM、ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹．探究提高求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：①直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．②定义法：根据圆、直线等定义列方程．③几何法：利用圆的几何性质列方程．④代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点轨迹方程是() A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4D．(x＋2)＋(y－1)＝1反思总结利用方程思想求解圆的问题典例：(12分)已知圆x2＋y2＋x－6y＋m＝0和直线x＋2y－3＝0交于P，Q两点，且OP⊥OQ(O为坐标原点)，求该圆的圆心坐标及半径．温馨提醒(1)在解决与圆有关的问题中，借助于圆的几何性质，往往会使得思路简捷明了，简化思路，简便运算．(2)本题中三种解法都是用方程思想求m值，即三种解法围绕“列出m的方程”求m值．(3)本题的易错点：不能正确构建关于m的方程，找不到解决问题的突破口，或计算错误．方法与技巧1．确定一个圆的方程，需要三个独立条件．“选形式、定参数”是求圆的方程的基本方法，是指根据题设条件恰当选择圆的方程的形式，进而确定其中的三个参数．2．解答圆的问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质，简化运算．失误与防范1．求圆的方程需要三个独立条件，所以不论是设哪一种圆的方程都要列出系数的三个独立方程．2．过圆外一定点，求圆的切线，应该有两个结果，若只求出一个结果，应该考虑切线斜率不存在的情况．巩固练习(时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．若圆x2＋y2－2ax＋3by＝0的圆心位于第三象限，那么直线x＋ay＋b＝0一定不经过() A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．若点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是()A．－1<a<1 B．0<a<1C．a>1或a<－1 D．a＝±13．(2011·安徽)若直线3x＋y＋a＝0过圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心，则a的值为() A．－1 B．1 C．3 D．－34．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为() A．x2＋(y－2)2＝1 B．x2＋(y＋2)2＝1C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1二、填空题(每小题5分，共15分)5．若圆x2＋y2－4x＋2my＋m＋6＝0与y轴的两交点A，B位于原点的同侧，则实数m的取值范围是______________．6．以直线3x－4y＋12＝0夹在两坐标轴间的线段为直径的圆的方程为________________．7．已知点M(1,0)是圆C：x2＋y2－4x－2y＝0内的一点，那么过点M的最短弦所在直线的方程是__________．三、解答题(共22分)8．(10分)根据下列条件求圆的方程：(1)经过点P(1,1)和坐标原点，并且圆心在直线2x＋3y＋1＝0上；(2)过三点A(1,12)，B(7,10)，C(－9,2)．9．(12分)一圆经过A(4,2)，B(－1,3)两点，且在两坐标轴上的四个截距的和为2，求此圆的方程．拓展训练(时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1．若直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相交，则P(a，b) () A．在圆上B．在圆外C．在圆内D．以上都有可能2．已知圆C：x2＋y2＋mx－4＝0上存在两点关于直线x－y＋3＝0对称，则实数m的值为() A．8 B．－4 C．6 D．无法确定3．已知圆的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，且与直线3x＋4y＋4＝0相切，则圆的方程是()A．x2＋y2－4x＝0 B．x2＋y2＋4x＝0C．x2＋y2－2x－3＝0 D．x2＋y2＋2x－3＝0二、填空题(每小题5分，共15分)4．已知圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0关于直线y＝2x＋b成轴对称，则a－b的取值范围是________．5．若PQ是圆O：x2＋y2＝9的弦，PQ的中点是M(1,2)，则直线PQ的方程是____________．6．已知AC、BD为圆O：x2＋y2＝4的两条相互垂直的弦，垂足为M(1，2)，则四边形ABCD的面积的最大值为________．三、解答题7．(13分)圆C通过不同的三点P(k,0)，Q(2,0)，R(0,1)，已知圆C在点P处的切线斜率为1，试求圆C的方程．。

福州高一数学暑假课外辅导内容不管平时学习有多刻苦多认真，如果学生不能运用知识解答各类题目，无法掌握题目的思路和解题的方法，那么考试成绩不会好到哪里去。

为了能够在考试中发挥出自己真正的水平，星火教育小编希望同学们利用暑假时间，把握做题的方法和技巧，努力提高自身的考试成绩，争取考上自己喜欢的学校。

下面，给同学们带来做题的方法和技巧，希望同学们能够认真阅读，从中参考借鉴。

一、认真审题，审慎解题在做题的时候，学生常常会不认真审题，草草看了一眼之后就马上开始做题，没有完全吃透题目的要求和条件，无法挖掘出题目的潜在条件，导致解题的时候没有思路，这样做错题目的几率就会大大增加。

星火教育网小编建议同学们在做题的时候一定要认真审题，准确找到题目的关键字、中心意思，从中获取更多的解题信息，才而迅速找到解题的思路和方向。

二、做题要又快又准考试的题量较大、做题时间比较紧张，在这样的情况下，学生要做到准确答题。

只有准确回答题目要求，学生才能在考试中取得高分。

只有准确回答题目要求，学生才可以不用重复检查解题思路和过程。

在平时练习的时候，学生要有意识的提高自己的做题速度和准确率，能否又好又快的解答考试中的所有题目，需要靠平时进行大量的训练。

如果学生在做题的时候一味的讲求做题速度，只会落得错误百出。

星火教育小编希望同学们能够牢固掌握数学知识，熟练运用知识解答各类题目，学会适当的放慢做题速度，让自己在考场中发挥出自己真实的数学水平。

三、妥善处理难题和容易题，提高做题速度。

在做题的时候，学生应该遵循先易后难的顺序解答题目。

学生要养成拿到题目后浏览全部题目一遍的习惯，弄清楚题目的数量和难度，合理安排各题的做题时间，不要在某一道题目上花费太长的时间和精力，那样既浪费了做题时间，也影响了自己接下来的做题心态。

近几年的数学考试题目已经从“一题把关”转变为“多题把关”的形式，因此解答题也设置了多个小问题，开头的小问题容易，但是到最后的小问题就难易解答。

新东方高一数学讲义电子版暑假
暑假讲义数学电子版考点：
考点1：相似三角形的概念、相似比的意义、画图形的放大和缩小
考核要求：(1)理解相似形的概念，(2)掌握相似图形的特点以及相似比的意义，能将已知图形按照要求放大和缩小。

考点2：平行线分线段成比例定理、三角形一边的平行线的有关定理
考核要求：理解并利用平行线分线段成比例定理解决一些几何证明和几何计算。

注意：被判定平行的一边不可以作为条件中的对应线段成比例使用。

考点3：相似三角形的概念。

考核要求：以相似三角形的概念为基础，抓住相似三角形的特征，理解相似三角形的定义。

考点4：相似三角形的判定和性质及其应用。

考核要求：熟练掌握相似三角形的判定定理(包括预备定理、三个判定定理、直角三角形相似的判定定理)和性质，并能较好地应用。

考点5：三角形的重心。

考核要求：知道重心的定义并初步应用。

考点6：相似的各种模型。

考点7：相似与函数综合的应用。

考核要求：掌握函数基本性质和相似结合的共性与计算方法。

第一讲集合的概念与表示考点1：集合的概念【知识点的认识】1.(1)集合的含义：集合是一定范围的,确定的,可以区别的事物,当作一个整体来看待,就叫做集合,简称集,其中各事物叫做集合的元素或简称元,是具有某种特定性质的事物的总体．(2)一般情况下,集合用英文大写字母,,,a b c表A B C表示．元素用英文小写字母,,,示；(3)不含任何元素的集合叫做空集,记作∅．2．元素与集合的关系：∈；如果a是集合A中的元素,就说a属于A,记作a A∉．如果a不是集合A中的元素,就说a不属于A,记作a A3．某些常见的数集(数集即元素是数的集合)的写法：4①确定性：集合中的元素是确定的,不能模棱两可．②互异性：集合中的元素是互不相同的,相同的元素在集合中只能算作一个．③无序性：集合中的元素是无次序关系的．题型一：判断能否构成集合例1：下列研究对象能否构成一个集合？如果能,采用适当的方式表示它．(1)小于5的自然数；(2)某班所有个子高的同学；(3)不等式2x+1＞7的整数解．【解答】:(1)小于5的自然数为0,1,2,3,4,元素确定,所以能构成集合．为{0,1,2,3,4}．(2)个子高的标准不确定,所以集合元素无法确定,所以不能构成集合．(3)由2x +1＞7得x ＞3,因为x 为整数,集合元素确定,但集合元素个数为无限个,所以用描述法表示为{x |x ＞3,且x ∈Z }．例2.(1)(2018秋•兴庆区校级期末)下面给出的四类对象中,能组成集合的是( ) A ．高一某班个子较高的同学 B ．比较著名的科学家 C ．无限接近于4的实数D ．到一个定点的距离等于定长的点的全体【解答】解：选项A ,B ,C 所描述的对象没有一个明确的标准,故不能构成一个集合, 选项D 的标准唯一,故能组成集合． 故选：D ．(2)(2018秋•玉山县校级月考)下列给出的命题正确的是( ) A ．高中数学课本中的难题可以构成集合 B ．有理数集Q 是最大的数集 C ．空集是任何非空集合的真子集 D ．自然数集N 中最小的数是1【解答】解：A 、难题不具有确定性,不能构造集合,故本选项错误；B 、实数集R 就比有理数集Q 大,故本选项错误；C 、空集是任何非空集合的真子集,故本选项正确；D 、自然数集N 中最小的数是0,故本选项错误；故选：C ．题型二：元素与集合关系例3.用∈,∉填空．①1-___N ；②3-___*N ；③12__Z ；④3.14___Q ___Q ；⑥2-___R ；⑦π___R ；【解答】∉；∈；∉；∈；∉；∈；∈．例4.(1)(2018秋•泸州期末)下列关系中,正确的是( )A ．0N +∈B ．32Z ∈C ．Q π∉D ．0∈∅【考点】12：元素与集合关系的判断 【解答】解：选项:0A N +∉,错误；选项C ,Q π∉,正确； 选项D ,0∉∅,错误； 故选：C ．(2)(2018秋•兴庆区校级期末)下列元素与集合的关系表示正确的是( )①*0N ∈； Z ； ③32Q ∈； ④Q π∈A ．①②B ．②③C ．①③D ．③④【解答】解：①0不是正整数,*0N ∴∈错误；④π是无理数,Q π∴∈错误；∴表示正确的为②③．故选：B ．题型三：元素的性质例5.(1)(2016秋•昌江区校级期末)若集合中三个元素为边可构成一个三角形,则该三角形一定不可能是( ) A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形【解答】解：若集合中三个元素为边可构成一个三角形, 则由集合元素的互异性可得,三个元素互不相等, 故该三角形一定不可能是等腰三角形, 故选：D ．(2)若221x x +，，是一个集合中的三个元素,实数x 应满足什么条件？ 【解答】1x ≠±且2x ≠．(3)(2017秋•莲湖区校级月考)以实数x ,x -,||x ( )个元素． A ．0B ．1C ．2D ．3故选：C ．(4)下列叙述中正确的个数是( )①若a -∈Z ,则a ∈Z ；②若a -∉N ,则a ∈N ；③a ∈Z ,若a -∉N ,则a ∈N ；④a ∈Z ,若a ∈N ,则a -∉N ． A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【解答】C ．考点2：集合的表示法——列举法与描述法5．集合的表示法⑴ 列举法：把集合的所有元素都列举出来或列出几个元素作为代表,其它元素用省略号表示,并写在大括号“{ }”内的表示集合的方法．例如：{12345}，，，，,{12345}，，，，，． ⑵ 描述法(又称特征性质描述法)：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法,形如{|()}x A p x ∈,()p x 称为集合的特征性质,x 称为集合的代表元素．A 为x 的范围,有时也写为{|()}x p x x A ∈，． 例如：大于3的所有整数用描述法表示为{|3}x x ∈>Z ． 方程260x x +-=的实根用描述法表示为2{|60}x x x ∈+-=R ．题型四：集合的表示方法例6.(1)将下列用描述法表示的集合用列举法表示出来：①2{|10}A x x =∈-=R ；②2{|10}B x x =∈-=Z ；③2{|10}C x x =∈-=N ； ④22{()|0}D x y x y =+=，；⑤{()|1E x y y x ==-，，且2}y x =． 【解答】①{11}-，；②{11}-，；③{1}；④{(00)}，；⑤{(12)}--，． (2)用通俗的语言(即自然语言)描述下面集合表示的含义：①{|21}x x k k ∈=-∈R Z ，；②{|2}x x k k ∈=∈R Z ，；③21()|y x x y y x ⎧⎫=+⎧⎪⎪⎨⎨⎬=⎪⎪⎩⎩⎭， 【解答】①由所有的奇数构成的集合；②由所有的偶数构成的集合；③直线与抛物线的交点．例7.(1)(2017秋•内蒙古期末)下列集合表示正确的是( ) A ．{2,4}B ．{2,4,4 }C ．{1,3,3}D ．{漂浪女生}【解答】解：在A 中,{2,4}表示集合,正确； 在B 中,{2,4,4}不满足集合中元素的互异性,错误； 在C 中,{1,3,3}不满足集合中元素的互异性,错误； 在D 中,{漂浪女生},不满足集合中元素的确定性,错误． 故选：A ．(2)(2017秋•桂林期末)集合2{|}A x x x ==中所含元素为( ) A ．0,1B ．1-,1C ．1-,0D ．1【解答】解：根据题意,20x x x =⇒=或1, 则{0A =,1},其中的元素为0、1, 故选：A ．(3)(2018秋•南康区校级月考)把集合2{|450}x x x --=用列举法表示为( ) A ．{1x =-,5}x =B ．{|1x x =-或5}x =C ．2{450}x x --=D ．{1-,5}【解答】解：根据题意,解2450x x --=可得1x =-或5, 用列举法表示可得{1-,5}； 故选：D ．(4)(2018秋•江岸区校级月考)下列叙述正确的是( ) A ．方程2210x x ++=的根构成的集合为{1-,1}-B ．{}22102030x x R x x Rx ⎧+>⎫⎧⎪⎪∈+==∈⎨⎨⎬+<⎪⎪⎩⎩⎭C ．集合{(,)|5M x y x y =+=,6}xy =表示的集合是{2,3}D ．集合{1,3,5}与集合{3,5,1]是不同的集合 【解答】解：选项A ：集合中的元素互异,故错误；误,选项D ：元素相同即集合相等,故错误． 故选：B ．例8.(1)(2018•江西二模)设集合{1A =,2,3},{2B =,3,4},{|M x x ab ==,a A ∈,}b B ∈,则M 中的元素个数为( ) A ．5B ．6C ．7D ．8【解答】解：集合{1A =,2,3},{2B =,3,4}, {|M x x ab ==,a A ∈,}b B ∈, {2M ∴=,3,4,6,8,9,12}．M ∴中的元素个数为7．故选：C ．(2)(2017•陆川县校级模拟)已知集合{0A =,1,2},{|B z z x y ==+,x A ∈,}y A ∈,则(B =)A ．{0,1,2,3,4}B ．{0,1,2}C ．{0,2,4}D ．{1,2}【解答】解：{0A =,1,2},{|B z z x y ==+,x A ∈,}y A ∈,①当0x =,0y =；1x =,1y =；2x =,2y =时,0x y +=,2,4, ②当0x =,1y =；1x =,2y =时,1x y +=,3, ③当1x =,0y =；2x =,1y =时,1x y +=,3, ④当0x =,2y =时,2x y +=, ⑤当2x =,0y =时,2x y +=,综上,集合B 中元素有：{0,1,2,3,4}． 故选：A ．考点3：集合的表示法——图示法与区间表示法⑶ 图示法：用平面内的一个封闭曲线的内部表示一个集合,这个区域通常叫做维恩(Venn)图．图示法常用在表示集合的相互关系与运算中．⑷ 区间表示法：设a b ∈R ，,且a b <,实数a 与b 都叫做相应区间的端点；“+∞”读作“正无穷大”, “-∞”读作“负无穷大”．实数集R 也可以用()-∞+∞，表示． 例10.将下面的集合表示成区间：(1){|12}x x -<≤；(2){|240}x x ->；(3){|420}x x -≥． 【解答】⑴(12]-，；⑵(2)+∞，；⑶(2]-∞，． 例11.把下列集合表示成区间(1){|1}x x ≤；(2)2{|2}y y x x =-+；(2)2{|22111}y y x x x =++-<<，．课后综合巩固1.(2018秋•玉山县校级月考)下列给出的命题正确的是( )A ．高中数学课本中的难题可以构成集合B ．有理数集Q 是最大的数集C ．空集是任何非空集合的真子集D ．自然数集N 中最小的数是1【解答】解：A 、难题不具有确定性,不能构造集合,故本选项错误；B 、实数集R 就比有理数集Q 大,故本选项错误；C 、空集是任何非空集合的真子集,故本选项正确；D 、自然数集N 中最小的数是0,故本选项错误；故选：C ． 2.用∈,∉填空．①1-___N ；②3-___*N ；③12__Z ；④3.14___Q ___Q ；⑥___R ；⑦π___R ；【解答】∉；∈；∉；∈；∉；∈；∈．3.(2017秋•莲湖区校级月考)以实数x ,x -,||x ()个元素． A ．0B ．1C ．2D ．3故选：C ．4.(2017•陆川县校级模拟)已知集合{0A =,1,2},{|B z z x y ==+,x A ∈,}y A ∈,则(B =)A ．{0,1,2,3,4}B ．{0,1,2}C ．{0,2,4}D ．{1,2}【解答】解：{0A =,1,2},{|B z z x y ==+,x A ∈,}y A ∈,。