6.2 信号采样与保持
采样器与保持器是离散系统的两个基本环节，为了定量研究离散系统，必须用数学方法对信号的采样过程和保持过程加以描述。
6.2.1 信号采样
在采样过程中，把连续信号转换成脉冲或数码序列的过程，称为采样过程。
实现采样的装置，称为采样开关或采样器。
如果采样开关以周期T 时间闭合，并且闭合的时间为τ，这样就把一个连续函数变成了一个断续的脉冲序列，如图6-3(b)所示。
()e t *()e t 由于采样开关闭合持续时间很短，即T τ<<，因此在分析时可以近似认为0τ≈。
这样可以看出，当采样器输入为连续信号时，输出采样信号就是一串理想脉冲，采样瞬时的脉冲等于相应瞬时的值，如图6-3(c) 所示。
()e t *()e t ()e
t
图6-3 信号的采样
根据图6-3(c)可以写出采样过程的数学描述为
*()(0)()()()()()e t e t e T t T e nT t nT δδδ=+−++−+L L )−nT (6-1) 或 (6-2) *
()()()()(δδ∞∞
=−∞=−∞=−=∑∑n n e t e nT t nT e t t nT 式中，是采样拍数。
由式（6-2）可以看出，采样器相当于一个幅值调制器，理想采样序 n 列可看成是由理想单位脉冲序列对连续量调制而形成的，如图 *
()e t ()()δδ∞
=−∞=−∑T n t t 6-4所示。
其中，()T t δ是载波，只决定采样周期，而为被调制信号，其采样时刻的值决定调制后输出的幅值。
()e t ()e nT
图6-4 信号的采样
6.2.2 采样定理
一般采样控制系统加到被控对象上的信号都是连续信号，那么，如何将离散信号不失真地恢复到原来的形状，便涉及采样频率如何选择的问题。
采样定理指出了由离散信号完全恢复相应连续信号的必要条件。
由于理想单位脉冲序列()T t δ是周期函数，可以展开为复数形式的傅氏级数
()ωδ+∞=−∞=
∑s jn t T n n t c e (6-3)
式中，T s /2πω=为采样角频率，T 为采样周期，是傅氏级数系数，它由下式确定
n c /2/2
1()d ωδ+−−=∫s T jn t n T T c t e T t (6-4) 在]2,2[T T +−区间中，)(t T δ仅在0=t 时有值，且，所以
1|0==−t t jn s e ω0011()d δ+−=
∫n c t t T T
= （6-5） 将式(6-5)代入式(6-3)，得 1()ωδ+∞=−∞
=∑s jn t T n t e T （6-6） 再把式(6-6)代入式(6-2)，有
*
11()()()ωω+∞+∞
=−∞=−∞==∑∑s s jn t jn t n n e t e t e e nT e T T （6-7） 将式（6-7）两边取拉氏变换，由拉氏变换的复数位移定理，得到
∑+∞−∞=+=n s
jn s E T s E )(1)(*
ω (6-8) 令ωj s =，得到采样信号的傅氏变换 )(*t e *
1()[()]ωωω+∞=−∞=+∑s n E j E j n T （6-9)
式中，)(ωj E 为相应连续信号的傅氏变换，)(t e (j )E ω为的频谱。
一般来说，连续信号的频带宽度是有限的，其频谱如图6-5(a)所示，其中包含的最高频率为)(t e h ω。
式（6-9）表明，采样信号具有以采样频率为周期的无限频谱，除主频谱外，还包含无限多个附加的高频频谱分量（如图6-5(b)所示），只不过在幅值上变化了*
()e t 1T 倍。
为了准确复现被采样的连续信号，必须使采样后的离散信号的主频谱和高频频谱彼此不混叠，这样就可以用一个理想的低通滤波器（其幅频特性如图6-5(b)中虚线所示）滤掉全部附加的高频频谱分量，保留主频谱。
图6-5 信号的频谱
如果连续信号频谱中所含的最高频率为)(t e h ω，则频谱不混叠的条件为 *
()e t h
h s T ωπωω≤≥或2 (6-10) 这就是香农(Shanoon)采样定理。
采样定理说明，当采样频率大于或等于信号所含最高频率的两倍时，才有可能通过理想滤波器，把原信号完整地恢复出来。
否则会发生频率混叠如图6-5(c)所示。
此时，即使使用理想滤波器，也无法将主频谱分离出来，因而就难以准确复现原有的连续信号。
6.2.3 采样周期的选择
采样周期T 是离散控制系统设计中的一个重要因素。
采样定理只给出了不产生频率混
叠时采样周期T 的最大值（或采样角频率s ω的最小值）
，显然，T 选得越小，即采样角频率s ω选得越高，对控制过程的信息获得的便越多，控制效果也会更好。
但是，如果T 选得过小，将增加不必要的计算负担，就难以实现较复杂的控制律。
反之，T 选得过大，会给控制过程带来较大的误差，影响系统的动态性能，甚至导致系统不稳定。
因此，采样周期T 要依据实际情况综合考虑，合理选择。
从频率性能指标来看，控制系统的闭环频率响应通常具有低通滤波特性。
当随动系统输入信号的频率高于其闭环幅频特性的带宽频率b ω时，信号通过系统将会明显衰减，因此可
以近似认为通过系统的控制信号最高频率分量为b ω。
一般随动系统的开环截止频率c ω与闭
环系统的带宽频率b ω比较接近，近似有c b ωω≈，因此可以认为，一般随动系统控制信号的最高频率分量为c ω，超过ωc 的频率分量通过系统时将被大幅度衰减掉。
根据工程实践经验，随动系统的采样角频率可选为
10ωω≈s c 因为2s T π=，所以采样周期可选为
15c
T π
ω=× 从时域性能指标来看，采样周期T 可根据阶跃响应的调节时间s t ，按经验公式 140s T t =
选取。
6.2.4 零阶保持器
为了控制被控对象，需要将数字计算器输出的离散信号恢复成连续信号。
保持器就是将离散信号转换成连续信号的装置。
根据采样定理，当2s h ωω≥时，离散信号的频谱不会产生混叠，此时用一个幅频特性如图6-5(b)中虚线所示的理想滤波器，就可以将离散信号的主频分量完整地提取出来，从而可以不失真地复现原连续信号。
但是，上述的理想滤波器实际上是不存在的。
因此，必须寻找在特性上接近理想滤波器，而物理上又可以实现的滤波器。
零阶保持器实现简单，是工程上最常用的一种保持器。
步进电机、数控系统中的寄存器等都是零阶保持器的实例。
零阶保持器的作用是把前一采样时刻的采样值一直保持到下一采样时刻，从而使采样信号变成阶梯信号，如图6-6所示。
因为在每个采样周期内的值保持常数，其导数为零，故称之为零阶保持器。
nT )
(nT e T n )1(+*()e t ()h e t ()h e t
图6-6 零阶保持器的输出特性
给零阶保持器输入一个理想单位脉冲)(t δ，则其单位脉冲响应函数是幅值为1，持续时间为T
的矩形脉冲，如图6-7所示，它可分解为两个单位阶跃函数的和，即
)(t g h )(1)(1)(T t t t g h −−= （6-11）
图6-7 零阶保持器的脉冲响应
对脉冲响应函数(t)取拉氏变换，可得零阶保持器的传
递函数
h g
s
e s e s s G Ts
Ts h −−−=−=11)( （6-12） 式(6-12)中，令ωj s =，便得到零阶保持器的频率特性
2/2/2/2/2
)2sin(2)(21)(T j T j T j T j T j h e T T T j e e e j e j G ωωωωωωωωωω−−−−=−=−= (6-13) 若以采样角频率T s /2πω=来表示，则式（6-13）可表示为
)()
()(sin 2)(s j s s s h e j G ωωπωωπωωπωπω−= （6-14） 根据式（6-14），可画出零阶保持器的幅频特性()h G j ω和相频特性)(ωj G h ∠如图6-8所示。
由图可见，零阶保持器具有如下特点：
零阶保持器幅频特性的幅值随频率的增大而衰减，具有明显的低通滤波特性，但与理想滤波器特性相比，当2/s ωω=时，其幅值只有初值的63．7％。
另外，零阶保持器除了允许主频谱分量通过外，还允许一部分高频分量通过。
同时，从相频特性可以看出，零阶保持器会产生相角滞后，所以，经过恢复以后所得到的连续信号与原有信号是有区别的。
()h e t ()e
t
图6-8 零阶保持器的频率特性
如果把零阶保持器输出的阶梯信号的中点连接起来，如图6-6中点画线所示，可以得到与连续信号形状一致但在时间上落后)(t e h )(t e 2T 的曲线)2(T t e −。
所以，粗略地讲，引入零阶保持器，相当于给系统增加了一个延迟时间为2T 的延迟环节，会使系统总的相角滞后增大，对系统的稳定性不利，这与零阶保持器相角滞后特性是一致的。
