信号与系统采样定理

香农奈奎斯特采样定理
香农-奈奎斯特采样定理（Shannon-Nyquist Sampling Theorem）是一项基本的信号处理原理，它规定了一个连续时间信号的采样频率应该至少是该信号中最高频率成分的两倍，以便在离散时间中完整地重构原始信号。

这个定理是由克劳德·香农（Claude Shannon）和哈里·奈奎斯特（Harry Nyquist）在20世纪初提出的。

具体来说，香农-奈奎斯特采样定理表述如下：
如果一个连续时间信号的最高频率成分为f_max，那么为了在离散时间中准确地重建原始信号，采样频率f_s（采样率）必须满足：
f_s ≥ 2 * f_max
这意味着采样频率应至少是信号中最高频率的两倍。

如果采样频率不满足这个条件，就会出现所谓的"混叠"或"奈奎斯特折叠"，导致信号在离散时间中无法准确还原。

香农-奈奎斯特采样定理在数字信号处理、通信系统、音频处理、图像处理和各种数据采集应用中具有重要作用。

它强调了适当选择采样频率的重要性，以避免信息丢失和混叠问题，确保准确的信号重建。

因此，合理的采样频率选择是数字信号处理的基本原则之一。

简述采样定理的基本内容采样定理，也被称为奈奎斯特定理（Nyquist theorem）或香农-奈奎斯特采样定理（Shannon-Nyquist sampling theorem），是在信号处理领域中至关重要的一条基本原理。

它对数字信号处理、通信系统以及采样率等方面具有重要的指导意义。

1. 采样定理的基本内容采样定理表明，如果要正确恢复连续时间信号的完整信息，就需要以至少两倍于信号最高频率的采样频率对信号进行采样。

采样频率应该大于等于信号最高频率的两倍，即Fs >= 2 * Fmax。

采样定理的原理基于奈奎斯特频率，奈奎斯特频率是指信号频谱中的最高频率成分。

如果采样频率小于奈奎斯特频率的两倍，那么采样信号中将出现混叠现象，即频谱中的不同频率成分相互干扰，导致原信号无法准确恢复。

2. 采样定理的应用采样定理在多个领域都有广泛的应用，以下是几个常见的应用领域：音频处理：在音频信号的数字化处理中，采样定理保证了通过合适的采样率可以准确还原原始音频信号，同时避免了音频信号的混叠现象。

这就是为什么音频 CD 的采样率是44.1kHz，超过人类可听到的最高频率20kHz的两倍。

通信系统：在数字通信系统中，为了正确传输模拟信号，信号需要经过模数转换（采样）和数模转换两个过程。

采样定理确保了在采样时不会丢失信号的信息，同时在接收端通过恢复出原始信号。

这对于保证通信质量和准确传输数据来说非常关键。

图像处理：在数字图像采集中，采样定理用于设置合适的采样率，以避免图片出现信息丢失和混叠现象。

在数字摄影中，也需要根据采样定理来选择适当的像素密度，以保证图像的质量和细节。

3. 采样定理的局限性和改进采样定理的一个重要前提是信号是带限的，即信号的频谱有一个上限，超过这个上限的频率成分可以被忽略。

然而，在实际应用中，许多信号并不是严格带限的，因此采样定理可能无法完全适用。

为了克服采样定理的局限性，一种常见的方法是使用过采样（oversampling）技术。

课题一信号调制与解调题目说明：从语音，图像的原始信息变过来的原始信号频谱分量频率较低，不适宜在信道中长距离传输。

因此，在通信系统的发送通端常需要有调制过程将其转换为适合传输的信号，在接收端则需要有调节过程，将信号还原成原来的信息，以便更准确的利用信息。

原理分析：调制就是按调制信号的变化规律去改变某些参数。

解调是调制的逆过程，即从已调制信号中恢复或提取调制信号的过程。

幅度调制是正弦型载波的幅度随调制信号变化的过程。

采用模拟调制利用正旋波载波的幅度调制，频率调制和相位调制的方式进行信号的处理。

同步解调端本振信号频率必须与发射端调制的载波信号的频率和相位相同才能实现同步解调。

脉冲调制信号只有在脉冲出现才需要存在，在其他时间内等于零，这样就有可能在这空余的时间间隔中去传输其他路德信号，发送端和接受端的转换开关按照同样的顺序和周期轮流接通各个通道，在信道中传送的是各个脉冲幅度调制信号的和，各个脉冲出现在不同的时间段。

而通过接收端的开关以后各路接受端接收到的相当于某一路信号脉冲幅度的结果，可以用低通滤波器进行解调。

实验内容：1.将一正旋信号x(n)=sin(2πn/256)分别以100000Hz的载波和1000000Hz的取样频率进行调制,写出MATLAB脚本实现抑制载波幅度调制，实现同步解调，滤波输出的波形。

2.分别作出cos(10t)cos(w c t)和[1+0.5sin(10t)]cos(w c t)的波形图和频谱图，并对上面调制信号进行解调，观察与源图的区别。

模块设计1：1.产生一个输入信号 2.产生一个载波信号3.构造用于解调的低通滤波器4.低通滤波解调5.画图MATLAB程序1：>> clear; %清除已存在变量n=0:0.0001:256; %自变量e=sin(2*pi*n/256); %调治信号s=cos(100000*n); % 载波信号a=e.*s; % 调制b=a.*s; % 解调[nb,na]=butter(4,100,'s'); % 低通滤波sys=tf(nb,na); % 构建sys对象c=lsim(sys,b,n); %低通滤波subplot(2,2,1) % 图形输出语句plot(n,e);title('调制信号'); %图形标题>> xlabel('n'),ylabel('e(n)'); %横纵坐标变量>> grid on %坐标网格>> subplot(2,2,2) % 图形输出语句>> plot(n,a);>> title('调幅信号'); %图形标题>> xlabel('n'),ylabel('a(n)'); %横纵坐标变量>> grid on %坐标网格>> subplot(2,2,3) % 图形输出语句>> plot(n,b);>>title('解调波形'); %图形标题>> xlabel('n'),ylabel('b(n)'); %横纵坐标变量>> grid on %坐标网格>> subplot(2,2,4) % 图形输出语句>> plot(n,c);>> title('滤波后的波形')；%图形标题>>xlabel('n'),ylabel('e(n)'); %横纵坐标变量>> grid on %坐标网格模块设计2：1.产生两个输入信号 2.用克诺内科内积产生两个周期行序列脉冲3.调制并向加4.构造用于解调的低通滤波器5.低通滤波解调 6画图MATLAB程序2：>> clear; % 清除变量t=0:0.001:9.999; % 定义自变量取值范围和间隔e1=cos(10*t).*cos(600*t); % 输入信号e2=(1+0.5*sin(10*t)).*cos(600*t); %输入信号p0=ones(1,2500);p1=kron(p0,[1,0,0,0]); %第一个序列脉冲p2=kron(p0,[0,0,1,0]); % 第二个序列脉冲a=p1.*e1+p2.*e2; 调制并向加[nb,na]=butter(4,20,'s'); % 用于解调的低通滤波器sys=tf(nb,na); %构建sys对象b1=a.*p1; % 取得第一路信号的脉冲调制信号c1=lsim(sys,b1,t);%通过低通滤波解调输出b2=a.*p2; %取得第二路信号的脉冲调制信号c2=lsim(sys,b2,t); % 通过低通滤波解调输出subplot(4,2,1) % 图形输出语句plot(t,e1);title('第一路输出信号'),xlabel('t'),ylabel('e(t)');grid on%图形横纵坐标，标题，坐标网格subplot(4,2,2) % 图形输出语句plot(t,e2);title('第二路输出信号'),xlabel('t'),ylabel('e(t)');grid on%图形横纵坐标，标题，坐标网格subplot(4,2,3) % 图形输出语句plot(t,e1.*p1);title('第一路脉冲调制信号'),xlabel('t'),ylabel('e(t)');grid on %图形横纵坐标，标题，坐标网格subplot(4,2,4) % 图形输出语句plot(t,e2.*p2);title('第二路脉冲调制信号'),xlabel('t'),ylabel('e(t)');grid on %图形横纵坐标，标题，坐标网格subplot(4,2,5) % 图形输出语句plot(t,a);title('合成的传输信号'),xlabel('t'),ylabel('e(t)');grid on%图形横纵坐标，标题，坐标网格subplot(4,2,6) % 图形输出语句plot(t(5001:5250),a(5001:5250));title('局部放大后的合成信号'),xlabel('t'),ylabel('e(t)');grid on%图形横纵坐标，标题，坐标网格实验总结：通过对理论知识的学习，使自己对信号的调制与解调具有一定的认知水平，然后开始做实验，此时要理论结合实践，作出波形图后要考虑与理论波形进行比较，比较的方法是，首先判断所测波形是否正确，若不正确找出错误原因，若正确则分析实测波形与理论波形不完全相同的原因。

95% 采样定理
95% 采样定理是指在信号的最高频率是采样频率的一半时，可以以至少95%的置信度重构信号。

根据采样定理，信号的最高频率应小于等于采样频率的一半才能完全重构该信号。

这是因为信号的频谱在采样频率的一半处有一个极限，称为奈奎斯特频率。

采样频率是指在单位时间内对信号进行采样的次数，通常用赫兹(Hz) 表示。

如果信号的最高频率超过了采样频率的一半，采样会导致信号重叠，使得信号无法被完全恢复。

以95%的置信度来说，如果信号的最高频率小于采样频率的一半，信号可以以至少95%的重构度进行恢复。

这意味着在恢复的信号中，至少有95%的能量和原始信号相匹配。

采样定理在数字信号处理、音频和图像处理等领域中非常重要，它提供了一种合理的采样率选择，以确保信号的完整性和准确性。

采样定理和奈奎斯特定理1 采样定理采样定理又称为抽样定理或者采样-再构建定理，是数字信号处理和声学认知中重要的定理。

它指出，只要采样信号的频率高于Nyquist 频率，就可以从采样信号中恢复原始信号。

采样定理可以说是数字信号处理中的经典成果之一。

采样定理的发现最早属于美国科学家Harry Nyquist，他于1928年提出了采样定理，他的定理又称为Nyquist定理，他明确的指出了采样和记录信号的条件，要求采样信号的频率必须大于称之为Nyquist 频率的二倍才能精确的采样出信号描述的形状。

采样定理的核心精神是这样的，只要待采样的信号具有有限的频带，并且采样频率超过该信号的Nyquist频率，就能够通过采样频率正确得采样出信号，这样采样出来的信号就没有任何失真。

在NJQ频率(Nyquist频率)可以称为最低保真度频率，任何高于NJQ频率的采样都可以保证无失真，任何低于NJQ的采样将产生失真。

2 奈奎斯特定理奈奎斯特定理是由乔治·梅克尔·奈奎斯特于 1947年发现的，它是数字信号处理的概念，主要指出了数字信号处理系统中滤波器的特性。

它是采样定理的推广，是信号处理领域当之无愧的重要定理。

奈奎斯特定理指出，任何有限带宽的滤波器都可以通过采样和再构造技术被完全模拟，而且采样频率只需要比滤波器的有效频带宽度大一倍即可。

在实际的数字信号处理系统中，滤波器的频率和时间的信息表示在数字空间中就会消失不见，因为它们的分量频率没有被采样到，而奈奎斯特定理恰好可以解决这个问题，滤波器就可以在数字空间重新被模拟出来，这就可以恢复数字信号处理系统中分量频率的时间和频率的信息表示。

因此，奈奎斯特定理可以为数字信号处理系统提供了完美的模拟滤波器，可以实现信号的恢复。

而且，奈奎斯特定理具有无失真、精度远超传统数字信号处理的优点，因此它在数字信号处理的领域中得到了广泛的应用。

实验八抽样定理一实验目的1 了解电信号的采样方法与过程以及信号恢复的方法。

2 验证抽样定理。

二原理说明1 离散时间信号可以从离散信号源获得，也可以从连续时间信号经抽样而获得。

抽样信号f S（t）可以看成是连续信号f（t）和一组开关函数s（t）的乘积。

即：f S（t）= f（t）×s（t）如图8-1所示。

T S为抽样周期，其倒数f S =1/T S称为抽样频率。

图8-1 对连续时间信号进行的抽样对抽样信号进行傅里叶分析可知，抽样信号的频谱包含了原连续信号以及无限多个经过平移的原信号频谱。

平移后的频率等于抽样频率f S及其各次谐波频率2 f S、3f S、4f S、5f S ……。

当抽样信号是周期性窄脉冲时，平移后的频谱幅度按sinx/x规律衰减。

抽样信号的频谱是原信号频谱周期性的延拓，它占有的频带要比原信号频谱宽得多。

2 正如测得了足够的实验数据以后，我们可以在坐标纸上把一系列数据点连接起来，得到一条光滑的曲线一样，抽样信号在一定条件下也可以恢复到原信号。

只要用一截止频率等于原信号频谱中最高频率f max的低通滤波器，滤除高频分量，经滤波后得到的信号包含了原信号频谱的全部内容，故在低通滤波器的输出可以得到恢复后的原信号。

(a)连续信号的频谱(b)高抽样频率时的抽样信号及频谱（不混叠）(c)低抽样频率时的抽样信号及频谱（混叠）图8-2冲激抽样信号的频谱图3 信号得以恢复的条件是f S>2B,其中f S为抽样频率，B为原信号占有的频带宽度。

而f min =2B为最低的抽样频率，又称为“奈奎斯特抽样率”。

当f S <2B时，抽样信号的频谱会了生混叠，从发生混迭后的频谱中，我们无法用低通滤波器获胜者得原信号频谱的全部内容。

在实际使用中，仅包含有限频谱的信号是极少的，因此即使f S=2B，恢复后的信号失真还是难免的。

图8-2画出了当抽样频率f S>2B（不混迭时）及f S<2B（混迭时）两种情况下冲激抽样信号的频谱图。

采样,其他名称：取样，指把时间域或空间域的连续量转化成离散量的过程。

1采样简介解释1所谓采样(sampling)就是采集模拟信号的样本。

采样是将时间上、幅值上都连续的模拟信号，在采样脉冲的作用，转换成时间上离散（时间上有固定间隔）、但幅值上仍连续的离散模拟信号。

所以采样又称为波形的离散化过程。

解释2把模拟音频转成数字音频的过程,就称作采样，所用到的主要设备便是模拟/数字转换器（Analog to Digital Converter，即ADC，与之对应的是数/模转换器,即DAC）。

采样的过程实际上是将通常的模拟音频信号的电信号转换成二进制码0和1，这些0和1便构成了数字音频文件。

采样的频率越大则音质越有保证。

由于采样频率一定要高于录制的最高频率的两倍才不会产生失真，而人类的听力范围是20Hz～20KHz，所以采样频率至少得是20k×2=40KHz，才能保证不产生低频失真，这也是CD音质采用44.1KHz(稍高于40kHz是为了留有余地)的原因。

通过周期性地以某一规定间隔截取音频信号，从而将模拟音频信号变换为数字信号的过程。

每次采样时均指定一个表示在采样瞬间的音频信号的幅度的数字。

2采样频率每秒钟的采样样本数叫做采样频率。

采样频率越高，数字化后声波就越接近于原来的波形，即声音的保真度越高，但量化后声音信息量的存储量也越大。

采样频率与声音频率之间的关系：根据采样定理，只有当采样频率高于声音信号最高频率的两倍时，才能把离散模拟信号表示的声音信号唯一地还原成原来的声音。

目前在多媒体系统中捕获声音的标准采样频率定为44.1kHz、22.05kHz和11.025kHz三种。

而人耳所能接收声音频率范围大约为20Hz--20KHz，但在不同的实际应用中，音频的频率范围是不同的。

例如根据CCITT公布的声音编码标准，把声音根据使用范围分为以下三级：·电话语音级：300Hz-3.4kHz·调幅广播级：50Hz-7kHz·高保真立体声级：20Hz-20kHz因而采样频率11.025kHz、22.05kHz、44.1kHz正好与电话语音、调幅广播和高保真立体声（CD音质）三级使用相对应。

奈奎斯特采样定理是数字信号处理中的重要定理之一。

它指出：对于一个带宽为B的信号，要想完美地还原这个信号，我们就需要以至少2B的频率进行采样。

也就是说，如果信号的最高频率为f_max，则我们需要以至少2f_max的采样率进行采样，才能够完美地还原原始信号。

1. 奈奎斯特采样定理的数学原理奈奎斯特采样定理是由美国工程师哈里·S·布莱克提出的。

定理的数学原理可以用数学公式来表达：如果一个连续时间信号x(t)的频率谱在[-B, B]内没有能量，那么这个信号可以由它以1/(2B)的采样率得到的采样序列唯一地确定。

奈奎斯特采样定理的数学原理提醒我们，在进行信号采样时，一定要确保采样频率要大于信号的最高频率的两倍。

只有这样，我们才能够在数字领域中完美地还原出原始信号。

2. 信号的最高频率与3dB截止频率的关系在信号处理中，我们通常会涉及到信号的频谱分析。

而在频谱分析中，一个重要的概念就是3dB截止频率。

3dB截止频率是指在传输函数的曲线图中，当频率为该值时，其幅度衰减了3dB。

在控制系统的频率响应中，3dB截止频率是系统在频率响应特性上的一个重要标志。

那么，信号的最高频率和3dB截止频率之间有着怎样的关系呢？其实，信号的最高频率就是指信号中包含的最大频率成分。

而在信号处理系统中，为了避免信号中的高频成分对系统造成混叠失真，需要将信号通过低通滤波器进行滤波。

而这个滤波器的3dB截止频率就是为了限制信号中的高频分量，从而避免混叠失真。

信号的最大频率与信号处理系统中的3dB截止频率密切相关。

在设计信号处理系统时，需要根据信号中的最大频率成分来确定滤波器的3dB截止频率，以确保系统能够有效地工作并避免信号失真。

3. 结语奈奎斯特采样定理和信号的最高频率以及3dB截止频率是数字信号处理领域中非常重要的概念。

了解这些概念对于设计和实现数字信号处理系统至关重要，并且对于保证系统的性能和可靠性有着重要的意义。

采样定理详解：3个主要条件只需满⾜其中任意2个采样定理采样定理解决的问题是确定合理的采样间隔△t以及合理的采样长度T，保障采样所得的数字信号能真实地代表原来的连续信号x(t)。

衡量采样速度⾼低的指标称为采样频率fs。

⼀般来说，采样频率fs越⾼，采样点越密，所获得的数字信号越逼近原信号。

为了兼顾计算机存储量和计算⼯作量，⼀般保证信号不丢失或歪曲原信号信息就可以满⾜实际需要了。

这个基本要求就是所谓的采样定理，是由Shannon提出的，也称为Shannon采样定理。

Shannon采样定理规定了带限信号不丢失信息的最低采样频率为式中fm为原信号中最⾼频率成分的频率。

采集的数据量⼤⼩N为因此，当采样长度⼀定时，采样频率越⾼，采集的数据量就越⼤。

使⽤采样频率时有两个问题需要注意。

正确估计原信号中最⾼频率成分的频率，对于采⽤电涡流传感器测振的系统来说，⼀般确定为最⾼分析频率为12.5X，采样模式为同步整周期采集，若选择频谱分辨率为400线，需采集1024点数据，若每周期采集32点，采样长度为32周期。

同样的数据量可以通过改变每周期采样点数提⾼基频分辨率，这对于识别次同步振动信号是必要的，但降低了最⾼分析频率，如何确定视具体情况⽽定。

采样定理解析采样定理实际上涉及了3个主要条件，当确定其中2个条件后，第3个条件⾃动形成。

这3个条件是进⾏正确数据采集的基础，必须理解深刻。

条件1：采样频率控制最⾼分析频率采样频率(采样速率)越⾼，获得的信号频率响应越⾼，换⾔之，当需要⾼频信号时，就需要提⾼采样频率，采样频率应符合采样定理基本要求。

这个条件看起来似乎很简单，但对于⼀个未知信号，其中所含最⾼频率信号的频率究竟有多⾼，实际上我们是⽆法知道的。

解决这个问题需要2个步骤，⼀是指定最⾼测量频率，⼆是采⽤低通滤波器把⾼于设定最⾼测量频率的成分全部去掉(这个低通滤波器就是抗混滤波器)。

现实的抗混滤波器与理论上的滤波器存在差异，因此信号中仍会存在⼀定混叠成分，⼀般在计算频谱后将⾼频成分去掉，⼀般频谱线数取时域数据点的1/2.56，或取频域幅值数据点的1/1.28，即128线频谱取100线，256线频谱取200线，512线频谱取400线等等。