带通采样定理精编版

【精品】采样定理采样定理是一项重要的数学定理，也被称为香农定理。

它是指在一定条件下，对于一个具有有限带宽的周期信号，若以不小于其最高频率两倍的采样频率对其进行采样，则能够完全还原原信号。

它的本质是基于信号的频域特性，它使得我们可以用数字信号来表达连续时间的信号。

从数学上来讲，我们可以用傅里叶变换来理解采样定理。

对于一个连续时间的周期函数f(t)，其傅里叶变换为F(ω)，其中ω为频率。

傅里叶变换告诉我们一个重要的性质：当我们对一个周期函数进行采样时，相当于在其频谱中插入了一系列的零点。

这使得我们可以通过离散的频率来重构原来的连续信号。

为了恢复原信号，我们需要对采样频率的选择进行限制。

采样定理的条件就是，采样频率应当不小于信号最高频率的两倍。

只有在这种情况下，我们才能通过采样信号的离散频率来还原出原信号。

采样定理主要的应用是数字信号处理。

当我们需要将一段连续时间的信号转化成数字信号时，采样定理就非常有用。

通过采样定理，我们可以将连续时间信号的频率特性进行傅里叶变换，然后用数字信号模拟出离散的频谱特性。

这些数字信号可以用于设计数字滤波器，对信号进行降噪和滤波。

此外，采样定理还可以用于音频和视频信号的数字化。

例如，如果我们想传输一段高质量的音频信号，就可以在适当的采样频率下对其进行采样，然后用数字信号来重建原始信号，而数字信号可以被更轻松地传输和储存。

总之，采样定理是数字信号处理中非常基础的一项数学定理。

它告诉我们一个重要的事实：当我们用数字信号模拟连续时间信号时，必须满足一定的条件，以保证信号的完整性和精确度。

这个定理在现代通讯和音视频处理技术中经常被使用，它使得我们可以利用数字信号来模拟和处理复杂的连续时间信号。

采样定理简介关于采样定理的介绍⼀、采样定理简介采样定理，⼜称⾹农采样定律、奈奎斯特采样定律，是信息论，特别是通讯与信号处理学科中的⼀个重要基本结论.E. T. Whittaker（1915年发表的统计理论），克劳德·⾹农与Harry Nyquist都对它作出了重要贡献。

另外，V. A. Kotelnikov 也对这个定理做了重要贡献。

采样是将⼀个信号（即时间或空间上的连续函数）转换成⼀个数值序列（即时间或空间上的离散函数）。

采样得到的离散信号经保持器后，得到的是阶梯信号，即具有零阶保持器的特性。

如果信号是带限的，并且采样频率⾼于信号最⾼频率的⼀倍，那么，原来的连续信号可以从采样样本中完全重建出来。

带限信号变换的快慢受到它的最⾼频率分量的限制，也就是说它的离散时刻采样表现信号细节的能⼒是⾮常有限的。

采样定理是指，如果信号带宽⼩于奈奎斯特频率（即采样频率的⼆分之⼀），那么此时这些离散的采样点能够完全表⽰原信号。

⾼于或处于奈奎斯特频率的频率分量会导致混叠现象。

⼤多数应⽤都要求避免混叠，混叠问题的严重程度与这些混叠频率分量的相对强度有关。

采样过程所应遵循的规律，⼜称取样定理、抽样定理。

采样定理说明采样频率与信号频谱之间的关系，是连续信号离散化的基本依据。

采样定理是1928年由美国电信⼯程师H.奈奎斯特⾸先提出来的，因此称为奈奎斯特采样定理。

1933年由苏联⼯程师科捷利尼科夫⾸次⽤公式严格地表述这⼀定理，因此在苏联⽂献中称为科捷利尼科夫采样定理。

1948年信息论的创始⼈.⾹农对这⼀定理加以明确地说明并正式作为定理引⽤，因此在许多⽂献中⼜称为⾹农采样定理。

采样定理有许多表述形式，但最基本的表述⽅式是时域采样定理和频域采样定理。

采样定理在数字式遥测系统、时分制遥测系统、信息处理、数字通信和采样控制理论等领域得到⼴泛的应⽤。

时域采样定理频带为F的连续信号f(t)可⽤⼀系列离散的采样值f(t1),f(t1±Δt)，f(t1±2Δt)，...来表⽰,只要这些采样点的时间间隔Δt≤1/2F，便可根据各采样值完全恢复原来的信号f(t)。

带通采样定理和低通采样定理模拟信号经过采样转换成数字信号，时域分析为模拟信号与采样的周期冲击串相乘，根据傅里叶变换的时频对应关系可知，频域以采样周期为周期的频谱搬移过程，低通采样定理要求采样频率大于信号最高上限频率的2倍，频谱搬移的过程不会导致频谱混叠，带通采样频率小于这一条件，当满足一定的条件后频谱也不会混叠，但是此时频带发生传动，信号的重构和低通信号有很大差别。

一、低通采样周期性频谱搬移低通采样的原理分析见数字信号处理(西电版)。

首先，低通采样实现的原理是进行周期性的频谱搬移，实际FFT 变换的结果只有(O:fs或者-fs/2:fs/2),周期频谱搬移就是每个周期的信号频谱相同，只是索引值不同带来的结果不同，可以保持一个周期频谱不变，改变对应的真实频率范围获得搬移的效果。

@——fftshift()函数对应的真实频谱范围：fs*(-N/2:N/2-1)/N @------fft()函数对应的真实频谱范围：fs*(0:N-1)/N庚宙IB茸障站霆号的魚谒E 64 2 Q 24€B .:1.■U的耳 IS r/电 £写抽Mil保持原始信号的频谱不变，转换频谱搬移周期，刚好达到两倍采 样频率，谱结构如下：结论：（1） 低通采样定理的周期性频谱搬移以采样频率为周期，采样频率 必须大于信号最高上限的二倍，否则就会导致频谱混叠。

（2） 低通采样后的信号重构只需要经过低通滤波器即可。

二、带通采样定理原理和重构分析 1、带通采样定理原理带通采样定理：一个频带限制在f L ，f H 内的连续时间信号X t ，信号带宽B f H f L ，令N 为不大于f H B 的最大正整数，当采样频率f s 满足一 下条件-]I -1 ir■ qr n 11I 1 : !i i…-一.....r1i ii ii :1 11 1iiJLJi L i*L1JiL ] JL€则可以由采样后的序列无失真的重构原始信号 x t 原理分析:X(f)Xs(f)采样后的信号在频域变现为周期性的频谱搬移，为了能够重构原 始信号，选择合适的采样频率，使f H ，f L 和f L ，f H 的频带分量不会 和延拓分量出现混叠，这样通过升采样后经过带通滤波器即可恢复原 始信号，分析正频率附近无混叠的条件：保证延拓的频谱分量f H mf s , f L mf s 和 f H (m 1)f s , h (m 1)f s 与无拓展频率分量不会混叠，即满足以下关系:整理可得，2f Hf 2fL m 1 s m当m 0时，f s 2f H ，此时为低通采样定理(奈奎斯特采样定理) 延拓周期还要保证f s 2B ，f s2f LfHfL 01)fsf H m 1 f s f H2f L f Lf s B带通采样定理由此而来2、重构分析低通采样后的信号经过低通滤波器后即可恢复原始信号，低通信号的抽样和恢复比起带通信号来要简单。

采样定理的证明与推导
采样定理，⼜称⾹农采样定理，奈奎斯特采样定理，只要采样频率⼤于或等于有效信号最⾼频率的两倍，采样值就可以包含原始信号的所有信息，被采样的信号就可以不失真地还原成原始信号。

设输⼊连续信号：
采样输出信号：
采样的过程如下图所⽰，可看作⼀段周期为T、宽度为τ的矩形脉冲载波信号S（t）
显然，τ越窄，采样越精确，当τ<<T时，采样的矩形脉冲信号接近于冲击信号，具有冲击信号的性质。

所以
那么理想采样为：
对上述⼏个信号作傅⾥叶变换：
对于，由频域卷积定理（时域乘积等于频域卷积，下⾯公式Xc与S是卷积）：
由于S（t）是⼀个周期函数，可以表⽰成傅⾥叶级数
,其中
那么：
根据冲激函数的性质得到：
从上可知理想采样信号是连续时间信号频谱的周期延拓函数，其频域周期等于采样周期，⽽频谱幅度则为1/T，所以除去⼀个常数因⼦外，每⼀个延拓的的谱分量都和原频谱分量相同。

从图像上来理解会更直观⼀些
图a是输⼊信号Xc(t)在频域上的图像
图b是采样信号S(t)在频域上的图像
图c是成功采样后得到的信号Xs(t)在频域上的图像
图d是⼀次失败的采样，由此结果⽆法还原回原信号
从图c与d中我们可以看到，只有使延拓的的谱分量之间不发⽣重叠，才能最终还原出原始信号，为此上图中的Ωs应该⼤于等于2倍的Ωn，图中的Ωs即位采样的频率，Ωn为原信号的最⾼频率。

采样定理由此证毕。

抽样定理抽样的分类：（1） 根据信号是低通型的还是带通型的，抽样定理分低通抽样定理和带通抽样定理；（2） 用来抽样的脉冲序列是等间隔的还是非等同间隔的，又分为均匀抽样定理和非均匀抽样定理；（3） 抽样的脉冲序列是冲击序列还是非冲击序列，又分为理想抽样和实际抽样。

低通型连续信号抽样定理抽样定理是通信原理中十分重要的定理之一，是模拟信号数字化的理论基础。

低通型连续信号的抽样定理：一个频带限制在(0,)H f 赫内的时间连续信号()m t ，若以12H f 的间隔对他进行等间隔抽样，则()m t 将被所得到的抽样值完全确定。

说明：抽样过程中满足抽样定理时，PCM 系统应无失真。

这一点与量化过程有本质区别。

量化是有失真的，只不过失真的大小可以控制。

低通型连续抽样定理证明设()m t 的频带为(0,)H f ，图中将时间连续信号()m t 和周期性冲激序列()T t δ相乘，用()s m t 表示此抽样函数，即()()()s T m t m t t δ=假设()m t 、()T t δ、()s m t 的频谱分别为()M ω、()T δω、()s M ω。

按照频域卷积定理，1()[()()]2s T M M ωωδωπ=因为 2()()T S n n T πδωδωω∞=-∞=-∑ 2S Tπω=所以， 1()[()*()]s s n M M n T ωωδωω∞=-∞=-∑由卷积关系，上式可写成1()()s s n M M n T ωωω∞=-∞=-∑ 上式表明，已抽样信号()s m t 的频谱()s M ω是无穷多个间隔为s ω的()M ω相迭加而成。

这表明()s M ω包含()M ω迭全部信息。

带通型抽样定理。

带通采样（Under-sampling）是指在采样过程中，采样频率低于信号的最大频率的奈奎斯特频率（Nyquist rate）。

带通采样主要用于对带通信号进行采样，其原理是通过对信号带宽的压缩，实现低采样率下的信号采集。

在ADC（模拟数字转换器）中，带通采样技术可以应用于下变频（down-converting）过程，以降低采样率和系统复杂度。

带通采样原理：1. 信号带宽：信号的带宽是指信号的最高频率与最低频率之差。

对于带通信号，其带宽通常远低于信号的最高频率。

2. 奈奎斯特定理：根据奈奎斯特定理，当采样频率大于等于信号最高频率的两倍时，可以通过采样得到原始信号的完整信息。

3. 带通采样：对于带通信号，可以采用带通采样方法，即将信号带宽压缩到较窄的范围内，从而降低采样率。

带通采样定理指出，当采样频率大于信号带宽的2倍时，可以实现信号的完整重建。

4. 欠采样：带通采样是一种欠采样（under-sampling）方法，采样频率低于奈奎斯特频率。

欠采样可能导致信号失真和混叠，但通过后续的信号处理和滤波，可以降低失真和混叠的影响。

在ADC中，带通采样技术可以应用于下变频过程：1. 带通采样与下变频：在ADC中，带通采样技术可以用于降低采样率，从而降低系统复杂度和成本。

通过将信号带宽压缩到较窄的范围内，可以在较低的采样率下实现信号的采集。

2. 下变频：下变频过程是指将信号从较高的频率转换到较低的频率。

在ADC中，带通采样可以应用于下变频过程，以降低采样率和系统复杂度。

3. 数字滤波：在下变频过程中，可能需要对信号进行数字滤波，以去除混叠和失真。

数字滤波器的设计需要考虑信号的带宽和采样率等因素。

带通采样（欠采样）原理及其在ADC中下变频的应用可以帮助降低采样率和系统复杂度，从而提高ADC的性能和效率。

在实际应用中，需要根据信号特性和系统需求，选择合适的带通采样方法和下变频策略。

带通采样是一种采样率低于奈奎斯特频率的采样方法，主要用于对带通信号进行采样。

带通采样编辑带通采样又叫IF采样、调和采样、下奈奎斯特采样和下采样等[1]。

实际中遇到的许多信号是带通型信号?这种信号的带宽往往远小于信号中心频率。

若带通信号的上截止频率为fH,下截止频率为fL, 这时并不需要抽样频率高于两倍上截止频率fH,可按照带通抽样定理确定抽样频率。

带通采样定理：设带通信号m(t),其频率限制在fL与fH之间，带宽为B=fH-fL，如果最小抽样速率fs=2fH/m,m是一个不超过fH/B的最大整数，那么m(t),可以完全由其抽样值确定。

降采样：2048HZ对信号来说是过采样了，事实上只要信号不混叠就好（满足尼奎斯特采样定理），所以可以对过采样的信号作抽取，即是所谓的“降采样”。

在现场中采样往往受具体条件的限止，或者不存在300HZ的采样率，或调试非常困难等等。

若R>>1，则Rfs/2就远大于音频信号的最高频率fm，这使得量化噪声大部分分布在音频频带之外的高频区域，而分布在音频频带之内的量化噪声就会相应的减少，于是，通过低通滤波器滤掉fm以上的噪声分量，就可以提高系统的信噪比。

原采样频率为2048HZ，这时信号允许的最高频率是1024HZ（满足尼奎斯特采样定理），但当通过滤波器后使信号的最高频率为16HZ，这时采样频率就可以用到32HZ（满足尼奎斯特采样定理，最低为32HZ，比32HZ高都可以）。

从2048HZ降到32HZ，便是每隔64个样本取1个样本。

这种把采样频率降下来，就是降采样downsample）。

这样做的好处是减少数据样点，也就是减少运算时间，在实时处理时常采用的方法。

过采样：过采样定义：就是用高于nyquist频率进行采样，好处是可以提高信噪比，缺点是处理数据量大。

过采样是使用远大于奈奎斯特采样频率的频率对输入信号进行采样。

设数字音频系统原来的采样频率为fs，通常为44.1kHz或48kHz。

若将采样频率提高到R×fs，R称为过采样比率，并且R>1。

带通采样定理和低通采样定理模拟信号经过采样转换成数字信号，时域分析为模拟信号与采样的周期冲击串相乘，根据傅里叶变换的时频对应关系可知，频域以采样周期为周期的频谱搬移过程，低通采样定理要求采样频率大于信号最高上限频率的2倍，频谱搬移的过程不会导致频谱混叠，带通采样频率小于这一条件，当满足一定的条件后频谱也不会混叠，但是此时频带发生传动，信号的重构和低通信号有很大差别。

一、低通采样周期性频谱搬移低通采样的原理分析见数字信号处理(西电版)。

首先，低通采样实现的原理是进行周期性的频谱搬移，实际FFT 变换的结果只有(O:fs或者-fs/2:fs/2),周期频谱搬移就是每个周期的信号频谱相同，只是索引值不同带来的结果不同，可以保持一个周期频谱不变，改变对应的真实频率范围获得搬移的效果。

@——fftshift()函数对应的真实频谱范围：fs*(-N/2:N/2-1)/N @------fft()函数对应的真实频谱范围：fs*(0:N-1)/N庚宙IB茸障站霆号的魚谒E 64 2 Q 24€B .:1.■U的耳 IS r/电 £写抽Mil保持原始信号的频谱不变，转换频谱搬移周期，刚好达到两倍采 样频率，谱结构如下：结论：（1） 低通采样定理的周期性频谱搬移以采样频率为周期，采样频率 必须大于信号最高上限的二倍，否则就会导致频谱混叠。

（2） 低通采样后的信号重构只需要经过低通滤波器即可。

二、带通采样定理原理和重构分析 1、带通采样定理原理带通采样定理：一个频带限制在f L ，f H 内的连续时间信号X t ，信号带宽B f H f L ，令N 为不大于f H B 的最大正整数，当采样频率f s 满足一 下条件-]I -1 ir■ qr n 11I 1 : !i i…-一.....r1i ii ii :1 11 1iiJLJi L i*L1JiL ] JL€则可以由采样后的序列无失真的重构原始信号 x t 原理分析:X(f)Xs(f)采样后的信号在频域变现为周期性的频谱搬移，为了能够重构原 始信号，选择合适的采样频率，使f H ，f L 和f L ，f H 的频带分量不会 和延拓分量出现混叠，这样通过升采样后经过带通滤波器即可恢复原 始信号，分析正频率附近无混叠的条件：保证延拓的频谱分量f H mf s , f L mf s 和 f H (m 1)f s , h (m 1)f s 与无拓展频率分量不会混叠，即满足以下关系:整理可得，2f Hf 2fL m 1 s m当m 0时，f s 2f H ，此时为低通采样定理(奈奎斯特采样定理) 延拓周期还要保证f s 2B ，f s2f LfHfL 01)fsf H m 1 f s f H2f L f Lf s B带通采样定理由此而来2、重构分析低通采样后的信号经过低通滤波器后即可恢复原始信号，低通信号的抽样和恢复比起带通信号来要简单。