多边形

探索多边形的奥秘多边形是平面几何中的重要概念。

它不仅在日常生活中常见，而且在数学领域有着广泛的应用。

本文将探索多边形的奥秘，从其定义、特征、分类和性质四个方面展开，帮助读者更好地理解和运用多边形。

一、多边形的定义多边形是由若干个边和顶点组成的闭合图形。

其中，每条边都与相邻的两条边相交于一个顶点，而且相邻的两条边不共线。

这个定义表明多边形具有封闭性和有序性的特点。

二、多边形的特征1. 边和顶点：多边形由一条条边连接而成，每条边与相邻的两条边相交于一个顶点。

2. 角度和内角和：多边形的每个顶点都对应一个内角，多边形的内角和等于360度。

3. 对称性：多边形可以具有对称轴，通过该轴，可以将多边形划分为具有相同形状和大小的两部分。

4. 外角和：连续两个内角的补角称为多边形的外角，所有外角的和等于360度。

三、多边形的分类1. 三角形：三边和三个内角确定的多边形，是最简单的多边形。

2. 四边形：四边和四个内角确定的多边形。

3. 五边形：五边和五个内角确定的多边形。

4. 六边形：六边和六个内角确定的多边形。

5. n边形：n条边和n个内角确定的多边形。

四、多边形的性质1. 内角和公式：n边形的内角和等于(n-2) * 180度。

这个公式可以帮助我们计算多边形的内角和，从而判断多边形的类型。

2. 外角和公式：n边形的外角和等于360度。

这个公式的推导基于多边形的内角和公式。

3. 边数和顶点数的关系：n边形有n个顶点。

4. 对角线数：n边形的对角线数等于n(n-3)/2。

5. 正多边形：所有边相等且所有内角相等的多边形称为正多边形。

综上所述，多边形是由边和顶点组成的封闭图形，具有一定的特征和性质。

通过对多边形的定义、特征、分类和性质的探索，我们可以更好地理解和应用多边形。

无论是在几何学、建筑学还是其他领域，多边形都具有重要的地位和应用价值，因此深入研究多边形的奥秘对于提高数学素养和解决实际问题都具有积极意义。

多边形重要知识点总结导读：一、多边形1、多边形：由一些线段首尾顺次连结组成的图形，叫做多边形2、多边形的边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边。

3、多边形的顶点：多边形每相邻两边的公共端点叫做多边形的顶点。

4、多边形的对角线：连结多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线。

5、多边形的周长：多边形各边的长度和叫做多边形的周长。

6、凸多边形：把多边形的任何一条边向两方延长，如果多边形的其他各边都在延长线所得直线的问旁，这样的多边形叫凸多边形。

说明：一个多边形至少要有三条边，有三条边的叫做三角形；有四条边的叫做四边形；有几条边的叫做几边形。

今后所说的多边形，如果不特别声明，都是指凸多边形。

7、多边形的角：多边形相邻两边所组成的角叫做多边形的内角，简称多边形的角。

8多边形的外角：多边形的角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做多边形的外角。

注意：多边形的外角也就是与它有公共顶点的内角的邻补角。

二、平行四边形1、平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形2、平行四边形性质定理1平行四边形的对角相等。

5、平行四边形性质定理3:平行四边形的对角线互相平分。

6、平行四边形判定定理1：一组对边平行且相等的四边形是平7、平行四边形判定定理2:两组对边分别相等的四边形是平行8平行四边形判定定理3:对角线互相平分的四边形是平行四9、平行四边形判定定理4:两组对角分别相等的四边形是平行3、平行四边形性质定理2:平行四边形的对边相等。

4、平行四边形性质定理2推论：夹在平行线间的平行线段相等。

行四边形四边形边形四边形说明：（1）平行四边形的定义、性质和判定是研究特殊平行四边形的基础。

同时又是证明线段相等，角相等或两条直线互相平行的重要方法。

（2）平行四边形的定义即是平行四边形的一个性质，又是平行四边形的一个判定方法。

三、矩形矩形是特殊的平行四边形，从运动变化的观点来看，当平行四边形的一个内角变为90°时，其它的边、角位置也都随之变化。

多边形的特性与分类知识点总结多边形是由若干条线段构成的封闭图形，它在几何学中占据着重要的地位。

本文将总结多边形的特性与分类知识点，以帮助读者更好地理解和应用多边形的相关概念。

一、多边形的特性1. 边和顶点：多边形由若干条线段组成，这些线段被称为边。

对于多边形内的每个交点，我们称之为顶点。

2. 闭合性：多边形是封闭的，即它的起点和终点相连，形成一个封闭的图形。

3. 内角和外角：多边形的内角是指多边形内部两条邻边之间的角度。

而多边形的外角是指多边形的一条边的延长线与相邻边之间的角度。

4. 对角线：多边形内部的两个非相邻顶点可以通过一条线段连接，这条线段被称为对角线。

二、多边形的分类根据边的数量和长度，多边形可分为以下几类：1. 三角形：三角形是指有三条边和三个顶点的多边形。

根据三条边的长度关系，三角形可以进一步分为等边三角形、等腰三角形和一般三角形。

- 等边三角形：三条边的长度相等。

- 等腰三角形：两条边的长度相等。

- 一般三角形：三条边的长度都不相等。

2. 四边形：四边形是指有四条边和四个顶点的多边形。

根据四条边的性质，四边形可以进一步分为矩形、正方形、平行四边形和菱形。

- 矩形：四个角都是直角的四边形。

- 正方形：四条边的长度都相等且四个角都是直角的四边形。

- 平行四边形：有两对边是平行的四边形。

- 菱形：四条边的长度都相等的四边形。

3. 多边形（五边形及以上）：多边形除了三角形和四边形之外，还包括五边形、六边形等。

根据边的数量，多边形可以被进一步细分。

通过边数分类：- 五边形：有五条边和五个顶点的多边形。

- 六边形：有六条边和六个顶点的多边形。

- 七边形：有七条边和七个顶点的多边形。

- 八边形：有八条边和八个顶点的多边形。

通过角数分类：- 正多边形：所有内角和边数相等的多边形。

- 凸多边形：从多边形内部选择两个顶点，与其他顶点的连线完全在多边形内部的多边形。

需要注意的是，多边形的分类并不是互斥的，一个多边形可能符合多个分类标准。

知识要点梳理边形的内角和等于180°（n-2）。

360°。

边形的对角线条数等于1/2·n （n-3）3、4、6/。

拼成360度的角3、4。

知识点一：多边形及有关概念 1、 多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形. （1）多边形的一些要素： 边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边． 顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点． 内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n 边形有n 个内角。

外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。

（2）在定义中应注意： ①一些线段（多边形的边数是大于等于3的正整数）； ②首尾顺次相连，二者缺一不可; ③理解时要特别注意“在同一平面内”这个条件,其目的是为了排除几个点不共面的情况,即空间 多边形. 2、多边形的分类: (1)多边形可分为凸多边形和凹多边形，画出多边形的任何一条边所在的直线，如果整个多边形都在这 条直线的同一侧，则此多边形为凸多边形，反之为凹多边形（见图1）.本章所讲的多边形都是指凸 多边形. 凸多边形 凹多边形 图1 (2)多边形通常还以边数命名，多边形有n 条边就叫做n 边形．三角形、四边形都属于多边形，其中三角 形是边数最少的多边形．知识点二：正多边形 各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形。

如正三角形、正方形、正五边形等。

正三角形 正方形 正五边形 正六边形 正十二边形要点诠释： 各角相等、各边也相等是正多边形的必备条件，二者缺一不可. 如四条边都相等的四边形不一定是正方形，四个角都相等的四边形也不一定是正方形，只有满足四边都相等且四个角也都相等的四边形才是正方形知识点三：多边形的对角线 多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线. 如图2，BD 为四边形ABCD 的一条对角线。

要点诠释： (1)从n 边形一个顶点可以引(n －3)条对角线，将多边形分成(n －2)个三角形。

知识点一：多边形及有关概念1、多边形的定义：2、多边形的分类:(1)多边形可分为凸多边形和凹多边形，画出多边形的任何一条边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，则此多边形为凸多边形，反之为凹多边形（见图1）.本章所讲的多边形都是指凸多边形.凸多边形凹多边形图1知识点二：正多边形各角相等、各边也相等是正多边形的必备条件，二者缺一不可. 如四条边都相等的四边形不一定是正方形，四个角都相等的四边形也不一定是正方形，只有满足四边都相等且四个角也都相等的四边形才是正方形知识点三：多边形的对角线(1)从n边形一个顶点可以引(n－3)条对角线，将多边形分成(n－2)个三角形。

(2)n边形共有条对角线。

知识点四：多边形的内角和、外角和公式1.公式：边形的内角和为.2、.公式：多边形的外角和等于360°.知识点五：镶嵌的概念和特征1、定义：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面(或平面镶嵌)。

这里的多边形可以形状相同，也可以形状不相同。

2、实现镶嵌的条件：拼接在同一点的各个角的和恰好等于360°；相邻的多边形有公共边。

3、常见的一些正多边形的镶嵌问题：(1)正多边形实现镶嵌的条件：边长相等；顶点公用；在一个顶点处各正多边形的内角之和为360°。

(2)只用一种正多边形镶嵌地面对于给定的某种正多边形，怎样判断它能否拼成一个平面图形，且不留一点空隙？解决问题的关键在于正多边形的内角特点。

当围绕一点拼在一起的几个正多边形的内角加在一起恰好组成一个周角360°时，就能铺成一个平面图形。

因而，用相同的正多边形地砖铺地面，只有正三角形、正方形、正六边形的地砖可以用。

注意：任意四边形的内角和都等于360°。

所以用一批形状、大小完全相同但不规则的四边形地砖也可以铺成无空隙的地板，用任意相同的三角形也可以铺满地面。

(3)用两种或两种以上的正多边形镶嵌地面用两种或两种以上边长相等的正多边形组合成平面图形，关键是相关正多边形“交接处各角之和能否拼成一个周角”的问题。

知识点一：多边形及其有关概念(1)多边形定义： 在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形. 多边形按组成它的线段的条数分为三角形、四边形、五边形、 六边形、……由n 条线段组成的多边形就叫做n 边形•如图，是一个五边形，可表示为五边形ABCDE三角形是最简单，边数最少的多边形 ⑵多边形的边：组成多边形的线段叫做多边形的边. (3) 多边形的内角、外角:是五边形的外角.(4) 多边形的对角线:①「定义：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线•如图， AC AD就是五边形 ABCD 囲的两条对角线.② 拓展理解：一个n 边形从一个顶点可以引(n — 3)条对角线，把n 边形分成(n — 2)个三角形•一个n多边形多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角， 边的延长线组成的角叫做多边形的外角•如图，/也称为多边形的角；多边形的边与它的邻 B,Z C,Z D,…是五边形的内角，/ 1边形一共有n(n~3)条对角线.(5) 凸多边形和凹多边形：①在图(1)中，画出四边形ABCD勺任何一条边所在的直线，整个图形都在这条直线的同一侧，这样的四边形叫做凸四边形，这样的多边形称为凸多边形；②在图(2)中，画出DC或BC所在直线，整个四边形不都在这条直线的同一侧，我们称这个四边形为凹四边形，像这样的多边形称为凹多边形.【例1】填空：(1) 十边形有_______ 个顶点，_________ 个内角，__________ 个外角，从一个顶点出发可画_______ 条对角线，它共有__________ 条对角线.(2) 从多边形一个顶点出发画对角线将它分成了四个三角形，这个多边形是________ 边形.变式1:过n边形的一个顶点的所有对角线，把多边形分成8个三角形，则这个多边形的边数是()•A. 8 B • 9 C • 10 D • 11变式3: 一个多边形的对角线的条数等于它的边数的4倍，求这个多边形的内角和.知识点二：正多边形(1) 定义：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形.如等边三角形、正方形等.(2) 特点：不仅边都相等，角也都相等，两个条件必须同时具备才是正多边形.如长方形四个角都是直角，都相等，但边不等，所以不是正多边形.注：正多边形外角的特征因为边数相同的正多边形各个内角都相等，同顶点的内角与外角互为邻补角，所以边数相同的正多边形的各个外角也相等.【例2】下列说法正确的个数有().(1) 由四条线段首尾顺次相接组成的图形是四边形；(2) 各边都相等的多边形是正多边形；(3) 各角都相等的多边形一定是正多边形；(4) 正多边形的各个外角都相等.知识点三：多边形的内角和(1) 公式：n 边形内角和等于(n — 2) x 180°.形的内角和等于 180°x 3= 540°形的内角和等于 180°x 4= 720°形，n 边形的内角和等于 180°x ( n — 2).所以多边形内角和等于(n — 2) x 180°. ⑶应用:①运用多边形内角和公式可以求出任何边数的多边形的内角和; 边数相同的多边形内角和也相等， 因此已知多边形内角和也能求出边数.【例3】选择:150°,则此多边形的一个顶点引出的对角线的条数是A. 7 B . 8 C . 9 D . 10变式1 :若一个四边形的四个内角度数的比为 3 : 4 : 5 : 6,则这个四边形的四个内角的度数分别为 ___________ .变式2: 一个多边形的内角和等于1 440 °，则它的边数为 ___________ .变式3: 一个多边形的内角和不可能是 ().A. 1 800 ° B . 540° C. 720° D . 810①从五边形的一个顶点出发,2条对角线，它们将五边形分成 3个三角形，五边②从六边形的一个顶点出发， 可以画 3条对角线，它们将六边形分成 4个三角形，六边③从n 边形的一个顶点出发,可以画 (n — 3)条对角线，它们将n 边形分成(n — 2)个三角②由多边形内角和公式可知,(1) 十边形的内角和为( A. 1 260 ° B . 1 440 ° C. 1 620 ° D . 1 8 00°一个多边形的内角和为 720°,那么这个多边形的对角线共有( ).A. 6条B . 7条C. 8条(3)多边形的每一个内角都是 (2)探究过程：如图,可以画知识点四：多边形的外角和(1) 公式：多边形的外角和等于360°(2) 探究过程：如图，以六边形为例.①外角和：在每个顶点处各取一个外角，即/ 1,/ 2,/ 3,/ 4,/ 5,/ 6,它们的和为外角和.②因为同顶点处的一个内角和外角互为邻补角，所以六边形内、外角和等于180°X6 =1 080。

专题23 多边形考点一：多边形1. 多边形的概念：由多条线段首位顺次连接组成的图形叫做多边形。

2. 多边形的对角线：连接任意两个不相邻的顶点得到的线段叫多边形的对角线。

多边形一个顶点引出的对角线条数为：()3-n条，把多边形分成了()2-n个三角形。

多边形所有对角线条数为：()23-nn条。

（n表示多边形的边数）3. 对变形的内角和：多边形的内角和计算公式为：()︒⨯-1802n。

（n表示多边形的边数）4. 多边形的外角和：任意多边形的外角和都是360°。

1．（2022•大连）六边形内角和的度数是（ ）A．180°B．360°C．540°D．720°【分析】根据多边形的内角和公式可得答案．【解答】解：六边形的内角和的度数是（6﹣2）×180°＝720°．故选：D．2．（2022•柳州）如图，四边形ABCD的内角和等于（ ）A．180°B．270°C．360°D．540°【分析】根据四边形的内角和等于360°解答即可．【解答】解：四边形ABCD的内角和为360°．故选：C．3．（2022•临沂）如图是某一水塘边的警示牌，牌面是五边形，这个五边形的内角和是（ ）A．900°B．720°C．540°D．360°【分析】根据多边形的内角和公式：（n﹣2）•180°即可得出答案．【解答】解：（5﹣2）×180°＝540°，故选：C．4．（2022•河北）如图，将三角形纸片剪掉一角得四边形，设△ABC与四边形BCDE的外角和的度数分别为α，β，则正确的是（ ）A．α﹣β＝0B．α﹣β＜0C．α﹣β＞0D．无法比较α与β的大小【分析】利用多边形的外角和都等于360°，即可得出结论．【解答】解：∵任意多边形的外角和为360°，∴α＝β＝360°．∴α﹣β＝0．故选：A．5．（2022•怀化）一个多边形的内角和为900°，则这个多边形是（ ）A．七边形B．八边形C．九边形D．十边形【分析】根据多边形的内角和公式：（n﹣2）•180°列出方程，解方程即可得出答案．【解答】解：设多边形的边数为n，（n﹣2）•180°＝900°，解得：n ＝7．故选：A ．6．（2022•福建）四边形的外角和度数是 ．【分析】根据多边形的外角和都是360°即可得出答案．【解答】解：四边形的外角和度数是360°，故答案为：360°．7．（2022•淮安）五边形的内角和是 °．【分析】根据多边形的内角和是（n ﹣2）•180°，代入计算即可．【解答】解：根据题意得：（5﹣2）•180°＝540°，故答案为：540°．8．（2022•眉山）一个多边形外角和是内角和的92，则这个多边形的边数为 ．【分析】多边形的内角和定理为（n ﹣2）×180°，多边形的外角和为360°，根据题意列出方程求出n 的值．【解答】解：设这个多边形的边数为n ，根据题意可得：，解得：n ＝11，故答案为：11．考点二：正多边形1. 正多边形的概念：每一条边都相等且每个角都相等的多边形叫做正多边形。