福建省高考数学（理科）-专题练习
平面向量与复数
=
a b．若向量
B．[2-
的直径，C，D
MD NC的值是（
2
二、填空题．共
且AP xAB y AD
=+．当
12．（本小题满分15分）
已知a，b是两个单位向量．
（Ⅰ）若|32|3
-=
a b，试求|3+|
a b的值；
（Ⅱ）若a，b的夹角为60，试求向量2+
=
m a b与23
=-
n b a的夹角．
13．已知向量(=
a，
1
(
2
=
b，存在非零实数k和t，使得向量2
+(3)
t
=-
x a b，+
k t
=-
y a b，
且⊥x y ．问2
k t t
+是否存在最小值？若存在，求其最小值；若不存在，说明理由．
福建省高考数学（理科）-专题练习
平面向量与复数
答 案
11．解：由1+i z =，可知1i z =-，代入2+2(+2)az bz a z =得：
2(1+i)+2(1i)[+2(1+i)]a b a -=，即2+2+(-2)i (+2)4+4(+2)i a b a b a a =-
则()2
+2+2424(+2)
a b a a b a ⎧=-⎪⎨-=⎪⎩，解得42a b =-⎧⎨=⎩或21a b =-⎧⎨=-⎩．
12．解：（Ⅰ）∵a ，b 是两个单位向量，∴||||1==a b ，又|
32|3-=a
b ， ∴
229||12+4||9-=a a b b ，即1
3
=
a b ．
∴
|3+|
==a b
（Ⅱ）
|m|====， +9||===|n |b a
227
(2+)(23)2||+6||2
=-=-=-m n a b b a b a b a ，
7
2
27
7
-
=
=-m n
m ||n |180，∴夹角120．
13．解：由已知得， ||2=a ，||1=b ，0=a b 。
由⊥x y 得，2[+(3)](+)0t k t --=a b a b ， 即23+(+3+)+(3)0k t k k t t t ---=a a a b b b ，
所以3
4+30k t t --=，334
t t
k -=，
所以22+17(+43)k t t t =-≥-，
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平面向量与复数
解 析
一、选择题
1．由题意-1-i ，其对应的点坐标为2(1-)-2-1-i i
z i ===，位于第二象限，故选B ．
3．由
||||||||c a c b c a c b ⋅∙=得，2m =，故选D ． 另解：OA 、OB 关于直线y x =对称，故点C 在直线y x =上，2m =，故选D ．
5．设(1,0)=a ， (0,1)=b ，(,)x y =c ，则22(-1)+(-1)1x y =。
设1+cos ,x α= 1+sin y α=，则
||c ==1|c |1≤≤，故选A ．
另解：由||a +b |-(+)|1=c a b ||c ≤≤，故选A ． 6
．
+MD MO OD =，+NC NO OC =，所以
(+)(+)+++-4+12+1826MD NC MO OD NO OC MO NO MO OC OD NO OD OC ∙==∙∙∙∙==
另解：以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，则(2,0)N 、(2,0)M -、(3,C 、
(3,-D ，(-1,MD =，(1,MC =，故26MD MC ∙=，故选C ．
二、填空题 7．因为
3+2i (3+2i)(2+3i)
i,2-3i 2-3i 2+3i)==（）(所以其模为1．
10．设BP tBC
=，则
1
+++(++)(1-)+
2
A P A
B B P A B t B
C A B t B A A
D D C t A B
====，故
13
+1+
22
x y t
=≤．
三、解答题
11．解：由1+i
z=，可知1-i
z=，代入2
+2(+2)
az bz a z
=得：
[]2
(1+i)+2(1-i)+2(1+i)
a b a
=，即()2
+2+(-2)i+24+4(+2)i
a b a b a a
=
则
()2
+2+2-4
-24(+2)
a b a
a b a
⎧=
⎪
⎨
=
⎪⎩
，解得
-4
2
a
b
=
⎧
⎨
=
⎩
或
-2
-1
a
b
=
⎧
⎨
=
⎩
．
12．解：（1）a，b是两个单位向量，||1
==
a|b|，又|3-23
=
a b|，
22
9||-12+4|9
∙=
a a
b b|，即
1
3
∙=
a b。
|3|
∴+==
a b
（2）||
m==
||===
n，
22
7
(2)(23)2||6||
⋅=+⋅-=+⋅-=-
m n a b b a b a b a，
，0180
θ
≤≤，∴夹角120．
13．解：由已知得，2
=
a，1
=
b，0
⋅=
a b。
由⊥
x y得，2
[(3)]()0
t k t
+-⋅-+=
a b a b，
即23
(3)(3)0
k t k k t t t
-⋅+-++⋅+-⋅=
a a a
b b b，
所以3
430
k t t
-+-=，
33
4
t t
k
-
=，
所以
2
2
17
(43)
k t
t t
+
=+-≥-，。
