2019届九年级数学下册 第二十七章 相似练习 (新版)新人教版

人教版数学九年级下册第二十七章相似习题练习（附答案）一、选择题1.如果一个直角三角形的两条边分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3,4及x，那么x的值()A．只有一个B．可以有2个C．可以有3个D．无数个2.如图，以点O为支点的杠杆，在A端用竖直向上的拉力将重为G的物体匀速拉起，当杠杆OA水平时，拉力为F；当杠杆被拉至OA1时，拉力为F1，过点B1作B1C⊥OA，过点A1作A1D⊥OA，垂足分别为点C、D.①△OB1C∽△OA1D;②OA·OC＝OB·OD；③OC·G＝OD·F1；④F＝F1.其中正确的说法有()A． 1个B． 2个C． 3个D． 4个3.如图，AD是直角三角形ABC斜边上的中线，AE⊥AD交CB延长线于E，则图中一定相似的三角形是()A．△AED与△ACBB．△AEB与△ACDC．△BAE与△ACED．△AEC与△DAC4.如图是小莹设计用手电来测量某古城墙高度的示意图．在点P处放一水平的平面镜，光线从点A 出发经平面镜反射后，刚好射到古城墙CD的顶端C处．已知AB⊥BD，CD⊥BD.且测得AB＝1.4米，BP＝2.1米，PD＝12米．那么该古城墙CD的高度是()A ． 6米B ． 8米C ． 10米D ． 12米5.如图所示格点图中，每个小正方形的边长均为1，△ABC 的三个顶点均在格点上，以原点O 为位似中心，相似比为12，把△ABC 缩小，则点C 的对应点C ′的坐标为( )A ． (1，32)B ． (2,6)C ． (2,6)或(－2，－6)D ． (1，32)或(－1，−32)6.如图，AD ∥BC ，∠D ＝90°，AD ＝2，BC ＝5，DC ＝8.若在边DC 上有点P ，使△PAD 与△PBC 相似，则这样的点P 有( )A ． 1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个7.志远要在报纸上刊登广告，一块10 cm×5 cm 的长方形版面要付广告费180元，他要把该版面的边长都扩大为原来的3倍，在每平方厘米版面广告费相同的情况下，他该付广告费( )A ． 540元B ． 1 080元C ． 1 620元D ． 1 800元8.△ABC 的三边之比为3∶4∶5，与其相似的△DEF 的最短边是9 cm ，则其最长边的长是( ) A ． 5 cm B ． 10 cm C ． 15 cm D ． 30 cm9.如图，已知AB ∥CD ∥EF ，那么下列结论中正确的是( )A ．CD EF ＝AD AFB ．AB CD ＝BC ECC．ADBC ＝AFBED．CEBE ＝AFAD10.如图，四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，若OA∶OA′＝2∶3，则四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为()A． 4∶9B． 2∶5C． 2∶3D．√2∶√311.若a5＝b7＝c8，且3a－2b＋c＝3，则2a＋4b－3c的值是()A． 14 B． 42 C． 7 D．14312.一个数与3、4、6能组成比例，这个数是()A． 2或8B． 8 或4.5C． 4.5 或2D． 2,8或4.513.两个相似三角形的面积比为1∶4，那么它们的周长比为()A． 1∶√2B． 2∶1 C． 1∶4 D． 1∶2二、填空题14.如图，已知△ABC中，D为BC中点，E，F为AB边三等分点，AD分别交CE，CF于点M，N，则AM∶MN∶ND等于____________．15.如图所示，已知∠DAB＝∠CAE，再添加一个条件就能使△ADE∽△ABC，则这个条件可能是________________．(写出一个即可)16.如图，AD ＝DF ＝FB ，DE ∥FG ∥BC ，则S Ⅰ∶S Ⅱ∶S Ⅲ＝__________.17.经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”．如图，线段CD 是△ABC 的“和谐分割线”，△ACD 为等腰三角形，△CBD 和△ABC 相似，∠A ＝46°，则∠ACB 的度数为______________．18.某同学用一等边三角形木板制作一些相似的直角三角形．如图，其方法是：过C 点作CD 1⊥AB 于D 1，再过D 1作D 1D 2⊥CA 于D 2，再过D 2作D 2D 3⊥AB 于D 3，…，若△ABC 的边长为a ，则CD 1＝√32a ，D 1D 2＝√34a ，D 2D 3＝√38a ，依此规律，则D 5D 6的长为________．19.如图是测量玻璃管内径的示意图，点D 正对“10 mm”刻度线，点A 正对“30 mm”刻度线，DE ∥AB .若量得AB 的长为6 mm ，则内径DE 的长为____________ mm.三、解答题20.如图，△ABC 在方格纸中．(1)请建立平面直角坐标系．使A 、C 两点的坐标分别为(2,3)、C (5,2)，求点B 的坐标．(2)以原点O 为位似中心，相似比为2，在第一象限内将△ABC 放大，画出放大后的图形△A ′B ′C ′.(3)计算△A ′B ′C ′的面积S .21.如图，M、N为山两侧的两个村庄，为了两村交通方便，根据国家的惠民政策，政府决定打一直线涵洞．工程人员为了计算工程量，必须计算M、N两点之间的直线距离，选择测量点A、B、C，点B、C分别在AM、AN上，现测得AM＝1千米、AN＝1.8千米，AB＝54米、BC＝45米、AC＝30米，求M、N两点之间的直线距离．22.如图，△ABC与△A1B1C1是位似图形．(1)在网格上建立平面直角坐标系，使得点A的坐标为(－6，－1)，点C1的坐标为(－3,2)，则点B 的坐标为____________；(2)以点A为位似中心，在网格图中作△AB2C2，使△AB2C2和△ABC位似，且位似比为1∶2；(3)在图上标出△ABC与△A1B1C1的位似中心P，并写出点P的坐标为________，计算四边形ABCP 的周长为____________．23.△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC＝∠EDF＝90°，△DEF的顶点E与△ABC 的斜边BC的中点重合，将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q.(1)如图①，当点Q在线段AC上，且AP＝AQ时，求证：△BPE≌△CQE；(2)如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ；并求当BP＝2，CQ＝9时BC 的长．图①图②答案解析1.【答案】B【解析】∵一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形的边长分别是3和4及x，∴x可能是斜边或4是斜边，∴x＝5或√7.∴x的值可以有2个．故选B.2.【答案】D【解析】∵B1C⊥OA，A1D⊥OA，∴B1C∥A1D，∴△OB1C∽△OA1D，故①正确；∴OCOD ＝OBOA1，由旋转的性质，得OB＝OB1，OA＝OA1，∴OA·OC＝OB·OD，故②正确；由杠杆平衡原理，OC·G＝OD·F1，故③正确；∴F1G ＝OCOD＝OB1OA1＝OBOA是定值，∴F1的大小不变，∴F＝F1，故④正确．综上所述，说法正确的是①②③④.故选D.3.【答案】C【解析】∵斜边中线长为斜边的一半，∴AD＝BD＝CD，∴∠C＝∠DAC，∵∠BAE＋∠BAD＝90°，∠DAC＋∠BAD＝90°，∴∠BAE＝∠DAC，∴∠C＝∠BAE，∵∠E＝∠E，∴△BAE∽△ACE.故选C.4.【答案】B【解析】∵∠APB ＝∠CPD ，∠ABP ＝∠CDP ，∴△ABP ∽△CDP ，∴AB CD ＝BP PD， 即1.4CD ＝2.112，解得CD ＝8米．故选B.5.【答案】D【解析】∵以原点O 为位似中心，相似比为12，把△ABC 缩小，∴点C 的对应点C ′的坐标(1，32)或(－1，−32)．故选D.6.【答案】C【解析】∵AD ∥BC ，∠D ＝90°，∴∠C ＝∠D ＝90°，∵DC ＝8，AD ＝2，BC ＝5，设PD ＝x ，则PC ＝8－x .①若PD ∶PC ＝AD ∶BC ，则△PAD ∽△PBC ，则x 8−x ＝25，解得x ＝167；②若PD ∶BC ＝AD ∶PC ，则△PAD ∽△BPC ，则x 5＝28−x ，解得PD ＝4±√6，所以这样的点P 存在的个数有3个．故选C.7.【答案】C【解析】∵一块10 cm×5 cm 的长方形版面要付广告费180元， ∴每平方厘米的广告费为180÷50＝185元， ∴把该版面的边长都扩大为原来的3倍后的广告费为30×15×185＝1 620元故选C.8.【答案】C【解析】∵△ABC 和△DEF 相似，∴△DEF 的三边之比为3∶4∶5，∴△DEF 的最短边和最长边的比为3∶5，设最长边为x ，则3∶5＝9∶x ，解得x ＝15，∴△DEF 的最长边为15 cm ，故选C.9.【答案】C【解析】∵AB ∥CD ∥EF ，∴AD AF ＝BC BE ，A 错误；AD DF ＝BC EC ，B 错误；AD AF ＝BC BE ，∴AD BC ＝AF BE ，C 正确；CE BE ＝DF AF ，D 错误，故选C.10.【答案】A【解析】∵四边形ABCD 和A ′B ′C ′D ′是以点O 为位似中心的位似图形，OA ∶OA ′＝2∶3， ∴DA ∶D ′A ′＝OA ∶OA ′＝2∶3，∴四边形ABCD 与四边形A ′B ′C ′D ′的面积比为(23)2＝49， 故选A.11.【答案】D【解析】设a ＝5k ，则b ＝7k ，c ＝8k ，又3a －2b ＋c ＝3，则15k －14k ＋8k ＝3，得k ＝13，即a ＝53，b ＝73，c ＝83，所以2a ＋4b －3c ＝143.故选D.12.【答案】D【解析】设这个数是x ，则3x ＝4×6或4x ＝3×6或6x ＝3×4， 解得x ＝8或x ＝4.5或x ＝2，所以，这个数是2,8或4.5.故选D.13.【答案】D【解析】∵两个相似三角形的面积比为1∶4，∴它们的相似比为1∶2，∴它们的周长比为1∶2.故选D.14.【答案】5∶3∶2【解析】如图，作PD ∥BF ，QE ∥BC ，∵D 为BC 的中点，∴PD ∶BF ＝1∶2，∵E ，F 为AB 边三等分点，∴PD ∶AF ＝1∶4，∴DN ∶NA ＝PD ∶AF ＝1∶4，∴ND ＝15AD ，AQ ∶AD ＝QE ∶BD ＝AE ∶AB ＝1∶3， ∴AQ ＝13AD ，QM ＝14QD ＝14×23AD ＝16AD ， ∴AM ＝AQ ＋QM ＝12AD ，MN ＝AD －AM －ND ＝310AD ，∴AM ∶MN ∶ND ＝5∶3∶2.15.【答案】∠D ＝∠B【解析】这个条件可能是∠D ＝∠B ；理由如下： ∵∠DAB ＝∠CAE ，∴∠DAB ＋∠BAE ＝∠CAE ＋∠BAE ，即∠DAE ＝∠BAC ，又∵∠D ＝∠B ，∴△ADE ∽△ABC .16.【答案】1∶3∶5【解析】∵DE ∥FG ∥BC ，∴△ADE ∽△AFG ∽△ABC ，∵AD ＝DF ＝FB ，∴AD ∶AF ∶AB ＝1∶2∶3，∴S △ADE ∶S △AFG ∶S △ABC ＝1∶4∶9，∴S Ⅰ∶S Ⅱ∶S Ⅲ＝1∶3∶5.17.【答案】113°或92°【解析】∵△BCD ∽△BAC ，∴∠BCD ＝∠A ＝46°，∵△ACD 是等腰三角形，∠ADC ＞∠BCD ，∴∠ADC ＞∠A ，即AC ≠CD ，①当AC ＝AD 时，∠ACD ＝∠ADC ＝12(180°－46°)＝67°，∴∠ACB ＝67°＋46°＝113°，②当DA ＝DC 时，∠ACD ＝∠A ＝46°，∴∠ACB ＝46°＋46°＝92°. 18.【答案】√364a 【解析】CD 1＝√32a ＝√321a ， D 1D 2＝√34a ＝√322a ， D 2D 3＝√38a =√323a ， 则D 5D 6的长为√326a ＝√364a ， 19.【答案】2【解析】由题意可得DE ∥AB ，∴△CDE ∽△CAB ，∴DE AD ＝DC AC ， 即DE 6＝1030，解得DE ＝2，20.【答案】解 (1)如图画出原点O ，x 轴、y 轴，建立直角坐标系，可知B 的坐标为(2,1)；(2)如(1)中图，画出图形△A ′B ′C ′，即为所求；(3)S △A ′B ′C ′＝12×4×6＝12.【解析】(1)根据A ，C 点坐标进而得出原点位置，进而得出B 点坐标；(2)直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案；(3)直接利用三角形面积求法得出答案．21.【答案】解在△ABC与△AMN中，ACAB ＝3054＝59，AMAN＝1?0001?800＝59，∴ACAB＝AMAN，又∵∠A＝∠A，∴△ABC∽△AMN，∴BCMN ＝ACAM，即45MN＝301?000，解得MN＝1 500米，答：M、N两点之间的直线距离是1 500米；【解析】先根据相似三角形的判定得出△ABC∽△AMN，再利用相似三角形的性质解答即可．22.【答案】解(1)如图所示：点B的坐标为(－2，－5)；故答案为(－2，－5)；(2)如图所示：△AB2C2，即为所求；(3)如图所示：P点即为所求，P点坐标为(－2,1)，四边形ABCP的周长为√42+42＋√22+42＋√22+22＋√22+42＝4√2＋2√5＋2√2＋2√5＝6√2＋4√5.故答案为6√2＋4√5.【解析】(1)直接利用已知点位置得出B点坐标即可；(2)直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案；(3)直接利用位似图形的性质得出对应点交点即可位似中心，再利用勾股定理得出四边形ABCP的周长．23.【答案】(1)证明∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠B＝∠C＝45°，AB＝AC，∵AP＝AQ，∴BP＝CQ，∵E是BC的中点，∴BE＝CE，在△BPE和△CQE中，∵{BE＝CE，∠B＝∠C，BP＝CQ，∴△BPE≌△CQE(SAS)；(2)解连接PQ，∵△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∴∠B＝∠C＝∠DEF＝45°，∵∠BEQ＝∠EQC＋∠C，即∠BEP＋∠DEF＝∠EQC＋∠C，∴∠BEP＋45°＝∠EQC＋45°，∴∠BEP＝∠EQC，∴△BPE∽△CEQ，∴BPCE ＝BECQ，∵BP＝2，CQ＝9，BE＝CE，∴BE2＝18，∴BE＝CE＝3√2，∴BC＝6√2【解析】。

成功是一段路程，而非终点，所以只要在迈向成功的过程中一切顺利，便是成功。

九年级数学下册第二十七章相似[27.1 第1课时 相似图形]一、选择题1．观察图K －6－1中各组图形，其中相似的图形有()图K －6－1A ．3组B ．4组C ．5组D ．6组2．在图K －6－2(b)中，由图K －6－2(a)放大或缩小而得到的图形有()图K －6－2A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个3．图K －6－4中与图K －6－3相似的图形是链接听课例题归纳总结()图K －6－3成功是一段路程，而非终点，所以只要在迈向成功的过程中一切顺利，便是成功。

图K －6－44．下列关于相似图形的说法错误的是( )A ．相似图形的形状一定相同，大小不一定相同B ．全等图形是一种特殊的相似图形C ．同一个人在平面镜和在哈哈镜中的形象是相似图形D ．若甲与乙是相似图形，乙与丙是相似图形，则甲与丙是相似图形二、填空题5．图K －6－5②～⑥中，与图①相似的图形有________(填图形的序号).链接听课例题归纳总结图K －6－56．放大镜下的图形和原来的图形________相似图形；哈哈镜中的图形和原来的图形________相似图形．(填“是”或“不是”)三、解答题7．如图K －6－6是用相似图形设计的图案．成功是一段路程，而非终点，所以只要在迈向成功的过程中一切顺利，便是成功。

图K －6－6(1)想一想：各个图案的基本图形是什么？(2)做一做：自己设计几个漂亮有趣的图案(至少两个)．如何将图K －6－7中的图形ABCDE放大，使新图形的各个顶点仍在格点上？图K －6－7详解详析[课堂达标]1．[解析] B 由观察知(a)(b)(c)(e)中的图形是相似图形．故选B.2．[解析] B 由观察知图(b)中的第3个图形与图(a)相似．应选B.[点评] 注意相似的要求是形状相同，这是判断两个图形是不是相似图形的根本标准．3．D 4.C5．③⑤⑥6．[答案] 是不是[解析] 放大镜下的图形与原来的图形形状相同，大小不相等，所以是相似图形；哈哈镜中的图形与原来的图形形状不同，大小也不相等，所以不是相似图形．7．解：(1)各个图案的基本图形分别是直角三角形、正方形、正五边形．(2)答案不唯一，只要是用相似图形做的，都符合要求．如图：[素养提升][解析] 相似图形只要求形状相同，而与位置无关，这样同学们可以有不同的画法，下图中的图形A′B′C′D′E′只是其中的一种．解：答案不唯一，如图所示．[点评]先确定各个顶点在方格图中的位置，然后再依次连接构成新图形．成功是一段路程，而非终点，所以只要在迈向成功的过程中一切顺利，便是成功。

第二十七章 相似全章测试一、选择题1．如图所示，在△ABC 中，DE ∥BC ，若AD ＝1，DB ＝2，则BCDE的值为( )第1题图A ．32B ．41C ．31 D ．212．如图所示，△ABC 中DE ∥BC ，若AD ∶DB ＝1∶2，则下列结论中正确的是( )第2题图A ．21=BC DEB ．21=∆∆的周长的周长ABC ADE C ．的面积的面积ABC ADE ∆∆31=D ．的周长的周长ABC ADE ∆∆31=3．如图所示，在△ABC 中∠BAC ＝90°，D 是BC 中点，AE ⊥AD 交CB 延长线于E 点，则下列结论正确的是( )第3题图A ．△AED ∽△ACB B ．△AEB ∽△ACDC ．△BAE ∽△ACED ．△AEC ∽△DAC4．如图所示，在△ABC 中D 为AC 边上一点，若∠DBC ＝∠A ，6=BC ，AC ＝3，则CD长为( )第4题图A ．1B ．23 C ．2 D ．25 5．若P 是Rt △ABC 的斜边BC 上异于B ，C 的一点，过点P 作直线截△ABC ，截得的三角形与原△ABC 相似，满足这样条件的直线共有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条6．如图所示，△ABC 中若DE ∥BC ，EF ∥AB ，则下列比例式正确的是( )第6题图A ．BC DEDB AD =B ．AD EF BC BF = C ．FC BF EC AE =D ．BCDE AB EF =7．如图所示，⊙O 中，弦AB ，CD 相交于P 点，则下列结论正确的是( )第7题图A ．P A ·AB ＝PC ·PB B ．P A ·PB ＝PC ·PD C ．P A ·AB ＝PC ·CD D ．P A ∶PB ＝PC ∶PD 8．如图所示，△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，对于下列中的每一个条件第8题图①∠B ＋∠DAC ＝90° ②∠B ＝∠DAC ③CD ：AD ＝AC ：AB ④AB 2＝BD ·BC 其中一定能判定△ABC 是直角三角形的共有( ) A ．3个 B ．2个 C ．1个D ．0个二、填空题9．如图9所示，身高1.6m 的小华站在距路灯杆5m 的C 点处，测得她在灯光下的影长CD 为2.5m ，则路灯的高度AB 为______．图910．如图所示，△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，F 是AD 边上一点，且61=EB AE ，射线CF 交AB 于E 点，则FDAF等于______．第10题图11．如图所示，△ABC中，DE∥BC，AE∶EB＝2∶3，若△AED的面积是4m2，则四边形DEBC 的面积为______．第11题图12．若两个相似多边形的对应边的比是5∶4，则这两个多边形的周长比是______．三、解答题13．已知，如图，△ABC中，AB＝2，BC＝4，D为BC边上一点，BD＝1．(1)求证：△ABD∽△CBA；(2)作DE∥AB交AC于点E，请再写出另一个与△ABD相似的三角形，并直接写出DE的长．14．已知：如图，AB是半圆O的直径，CD⊥AB于D点，AD＝4cm，DB＝9cm，求CB的长．15．如图所示，在由边长为1的25个小正方形组成的正方形网格上有一个△ABC，试在这个网格上画一个与△ABC相似，且面积最大的△A1B1C1(A1，B1，C1三点都在格点上)，并求出这个三角形的面积．16．如图所示，在5×5的方格纸上建立直角坐标系，A(1，0)，B(0，2)，试以5×5的格点为顶点作△ABC与△OAB相似(相似比不为1)，并写出C点的坐标．17．如图所示，⊙O的内接△ABC中，∠BAC＝45°，∠ABC＝15°，AD∥OC并交BC的延长线于D点，OC交AB于E点．(1)求∠D的度数；(2)求证：AC2＝AD·CE．18．已知：如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，点D是BC边上的一个动点(不与B，C点重合)，∠ADE＝45°．(1)求证：△ABD∽△DCE；(2)设BD＝x，AE＝y，求y关于x的函数关系式；(3)当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．19．已知：如图，△ABC 中，AB ＝4，D 是AB 边上的一个动点，DE ∥BC ，连结DC ，设△ABC的面积为S ，△DCE 的面积为S ′．(1)当D 为AB 边的中点时，求S ′∶S 的值；(2)若设,,y SS x AD ='=试求y 与x 之间的函数关系式及x 的取值范围．20．已知：如图，抛物线y ＝x 2－x －1与y 轴交于C 点，以原点O 为圆心，OC 长为半径作⊙O ，交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于另一点D ．设点P 为抛物线y ＝x 2－x －1上的一点，作PM ⊥x 轴于M 点，求使△PMB ∽△ADB 时的点P 的坐标．21．在平面直角坐标系xOy 中，已知关于x 的二次函数y ＝x 2＋(k －1)x ＋2k －1的图象与x 轴交于A ，B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C (0，－3)． 求这个二次函数的解析式及A ，B 两点的坐标．22．如图所示，在平面直角坐标系xOy 内已知点A 和点B 的坐标分别为(0，6)，(8，0)，动点P 从点A 开始在线段AO 上以每秒1个单位长度的速度向点O 移动，同时动点Q 从点B 开始在线段BA 上以每秒2个单位长度的速度向点A 移动，设点P ，Q 移动的时间为t 秒． (1)求直线AB 的解析式；(2)当t 为何值时，△APQ 与△ABO 相似? (3)当t 为何值时，△APQ 的面积为524个平方单位?23．已知：如图，□ABCD 中，AB ＝4，BC ＝3，∠BAD ＝120°，E 为BC 上一动点(不与B 点重合)，作EF ⊥AB 于F ，FE ，DC 的延长线交于点G ，设BE ＝x ，△DEF 的面积为S ． (1)求证：△BEF ∽△CEG ；(2)求用x 表示S 的函数表达式，并写出x 的取值范围； (3)当E 点运动到何处时，S 有最大值，最大值为多少?第二十七章 相似全章测试答案与提示1．C ． 2．D ． 3．C ． 4．C ． 5．C ． 6．C ． 7．B ． 8．A ．9．4．8m ． 10．⋅3111．21m 2． 12．5∶4．13．(1),BABDCB AB =CBA ABD ∠=∠，得△HBD ∽△CBA ；(2)△ABC ∽△CDE ，DE ＝1.5． 14．.cm 133提示：连结AC ．15．提示：.52,10,25111111===C B B A C A △A 1B 1C 1的面积为5． 16．C (4，4)或C (5，2)．17．提示：(1)连结OB ．∠D ＝45°．(2)由∠BAC ＝∠D ，∠ACE ＝∠DAC 得△ACE ∽△DAC ．18．(1)提示：除∠B ＝∠C 外，证∠ADB ＝∠DEC ．(2)提示：由已知及△ABD ∽△DCE 可得.22x x CE -=从而y ＝AC －CE ＝x 2－.12+x (其中20<<x )．(3)当∠ADE 为顶角时：.22-=AE 提示：当△ADE 是等腰三角形时， △ABD ≌△DCE ．可得.12-=x当∠ADE 为底角时：⋅=21AE19．(1)S ＇∶S ＝1∶4；(2)).40(41162<<+-=x x x y 20．提示：设P 点的横坐标x P ＝a ，则P 点的纵坐标y P ＝a 2－a －1．则PM ＝｜a 2－a －1｜，BM ＝｜a －1｜．因为△ADB 为等腰直角三角形，所以欲使△PMB ∽△ADB ，只要使PM ＝BM .即｜a 2－a －1｜＝｜a －1｜．不难得a 1＝0．.2.2.2432-===a a a∴P 点坐标分别为P 1(0，－1)．P 2(2，1)．).21,2().21,2(43+--P P 21．(1)y ＝x 2－2x －3，A (－1，0)，B (3，0)；(2))49,43(-D 或D (1，－2)． 22．(1);643+-=x y (2)1130=t 或;1350(3)t ＝2或3． 23．(1)略；(2));30(8311832≤<+-=x x x S (3)当x ＝3时，S 最大值33=．。

人教版九年级数学下册第27章相似单元测试卷学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________ 一、选择题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分，）1. 若aa =23，则aa+a的值等于（）A.53B.25C.35D.522. 下列各组线段中，能成比例线段的一组是（）A.2，3，4，6B.2，3，4，5C.2，3，5，7D.3，4，5，63. 若△aaa∽△aaa，且aa:aa=1:3，则a△aaa:a△aaa=()A.1:3B.1:9C.1:√3D.1:1.54. 有四组线段，每组线段长度如下，则成比例（排列顺序可调换）线段的有（）①1，2，3，4②3，2，6，4③1.1，2.2，3.3，4.4④4，2，3，1.5．A.1组B.2组C.3组D.4组5. 某校要举办国庆联欢会，主持人站在舞台的黄金分割点处最自然得体．如图，若舞台aa的长为20a，a为aa的一个黄金分割点(aa<aa)，则aa的长为（结果精确到0.1a）（）A.6.7aB.7.6aC.10aD.12.4a6. 如图在△aaa中，aa // aa // aa，aa:aa:aa=1:3:6，则a△aaa:a四边形aaaa :a四边形aaaa=()A.1:8:27B.1:4:9C.1:8:36D.1:9:367. 如图，等腰△aaa中，腰aa=a，∠a=36∘，∠aaa的平分线交aa于a，∠aaa的平分线交aa于a．设a=√5−12，则aa=()A.a2aB.a3aC.a a2D.a a38. 如图，在△aaa中，aa=4，aa=3，aa // aa交aa于点a，交aa于点a，若aa=3，则aa的长为（）A.43B.34C.94D.499. 下列说法中正确的有（）①位似图形都相似；②两个等腰三角形一定相似；③两个相似多边形的面积比为4:9，则周长的比为16:81；④若一个三角形的三边分别比另一个三角形的三边长2aa，那么这两个三角形一定相似．A.1个B.2个C.3个D.4个10. 已知：△aaa∽△a′a′a′，且△aaa的面积：△a′a′a′的面积=1:4，则两三角形周长比为（）A.1:4B.1:2C.1:16D.1:5二、填空题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分，）11. 已知四边形aaaa和四边形a1a1a1a1相似，四边形aaaa的最长边和最短边的长分别是10aa和4aa，如果四边形a1a1a1a1的最短边的长是6aa，那么四边形a1a1a1a1中最长的边长是________aa．12. 如图，在△aaa中，∠aaa=90∘，aa=6，aa=8，a是aa上的点，且aa=aa，连接aa，作aa⊥aa于a，点a是aa上的动点，则当aa=________时，△aaa∽△aaa．13. △aaa的长分别是6，8，10，与其相似的三角形的两条边长是3和4，那么这个三角形第三边的长是________．14. 如图，在△aaa中，a为直线aa上任意一点，给出以下判断：①若点a到aa，aa距离相等，且aa=aa，则aa=aa；②若aa⊥aa且aa2=aa⋅aa，则∠aaa=90∘；③若aa=aa，则aa2+aa⋅aa=aa2；④若∠aaa=90∘，且aa⊥aa，则aa2=aa⋅aa．其中正确的是________（把所有正确结论序号都填在横线上）15. 已知线段aa=10aa，a、a是aa上的两个黄金分割点，则线段aa的长为________．16. 如图，要使△aaa和△aaa相似，已具备条件________，还需补充的条件是________，或________，或________．17. 两个相似三角形高的比为1:√3，则它们的相似比为________；对应中线之比为________；对应角平分线之比为________；周长之比为________；面积之比为________．18. 把一个三角形变成和它位似的另一个三角形，若边长缩小到12倍，则面积缩小到原来的________倍．19. 上午某一时刻，身高1.7米的小刚在地面上的投影长为3.4米，则影长26米的旗杆高度为________米．20. 已知在平面直角坐标系中，点a(−3, −1)、a(−2, −4)、a(−6, −5)，以原点为位似中心将△aaa缩小，位似比为1:2，则点a的对应点的坐标为________．三、解答题（本题共计 6 小题，每题 10 分，共计60分，）21. 如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，△aaa和△aaa的顶点都在方格纸的格点上．(1)判断△aaa和△aaa是否相似，并说明理由；(2)以点a为中心，在位似中心的同侧画出△aaa的一个位似△aa1a1，使得它与△aaa的相似比为2:1；(3)求△aaa与△aa1a1的面积比．22. 已知线段a，a，a满足a3=a2=a6，且a+2a+a=26．(1)求a，a，a的值；(2)若线段a是线段a，a的比例中项，求a．23. 如图，在△aaa中，aa为∠aaa的平分线，点a在aa边上，点a在aa 边上，aa // aa，aa=6aa，aa=10aa，aa=8aa，求aa的长．24. 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点a，再在河岸的这一边选取点a和点a，使aa⊥aa，然后再选取点a，使aa⊥aa，用视线确定aa和aa的交点a，此时如果测得aa=160a，aa=80a，aa=50a，求a、a间的大致距离．25. 如图，在△aaa中，点a、a在边aa上，aa=aa=aa，∠aaa= 120∘．(1)试说明△aaa与△aaa相似．(2)若aa=1，aa=a，aa=a，请你求出a与a之间的函数关系式．(3)小明猜想：若aa=aa=1，∠aaa=a，∠aaa=a，只要a与a之间满足某种关系式，问题(2)中的函数关系式仍然成立．你同意小明的观点吗？如果你同意，请求出a与a所满足的关系式；若不同意，请说明理由．26. 已知在aa△aaa中，∠aaa=90∘，∠a=30∘，点a在aa上，且∠aaa=90∘．(1)当点a为线段aa的中点，点a、a分别在线段aa、aa上时（如图1）．过点a 作aa⊥aa于点a，请探索aa与aa之间的数量关系，并说明理由；(2)当aa=√2aa，①点a、a分别在线段aa、aa上，如图2时，请写出线段aa、aa之间的数量关系，并给予证明．②当点a、a分别在线段aa、aa的延长线上，如图3时，请判断①中线段aa、aa之间的数量关系是否还存在．（直接写出答案，不用证明）答案1. C2. A3. B4. B5. B6. A7. B8. C9. A10. B11. 1512. 513. 514. ①②③④15. 10√5−20aa16. ∠aaa=∠aaa∠aaa=∠a∠aaa=∠a aaaa =aaaa17. 1:√31:√31:√31:√31:318. 1419. 1320. (1, 2)或(−1, −2)21. 解：(1)∵aa=2√5，aa=√5，aa=5，aa=√10，aa=√2，aa=2√2，∴aaaa =√10=√102，aaaa=√5√2=√102，aaaa=√52√2=√102，∴aaaa=aaaa=aaaa，∴△aaa∽△aaa；(2)延长aa到点a1，使aa1=2aa，延长aa到点a1，使aa1=2aa，连结a1a1，则△aa1a1为所求，如图；(3)∵△aaa∽△aaa，△aaa∽△a1aa1，∴△aaa∽△a1aa1，∴△aaa与△aa1a1的面积比=(aaa1a1)2=(√52√2)2=58．22. 解：(1)设a3=a2=a6=a，则a=3a，a=2a，a=6a，所以3a+2×2a+6a=26，解得a=2，所以a=3×2=6，a=2×2=4，a=6×2=12.(2)∵线段a是线段a，a的比例中项，∴a2=aa=6×4=24，∴线段a=2√6．23. 解：设aa=aaa，则aa=8−a(aa)；∵aa // aa，∴△aaa∽△aaa，△aaa∽△aaa，∴aaaa=aaaa,aaaa=aaaa，∴aa=aa；而aa=6，aa=10，aa=8−a，aa=8，∴810=8−a8，解得a=85(aa)，即aa的长为85aa．24. a、a间的距离为100a．25. 解：(1)∵aa=aa=aa，∴∠aaa=∠aaa=∠aaa=60∘，∴∠aaa=∠aaa=120∘，∵∠a+∠aaa=60∘，∠aaa+∠aaa=∠aaa−∠aaa=120∘−60∘=60∘，∴∠a=∠aaa，∴△aaa∽△aaa；(2)由(1)得△aaa∽△aaa，∴aaaa =aaaa，∴a1=1a，即a=1a(a>0)；(3)同意，a和a的关系式为a+2a=180∘．过程如下：∵aa=aa，∴∠aaa=∠aaa，∴∠aaa=∠aaa，当aaaa =aaaa时，则有△aaa∽△aaa，∴∠a=∠aaa，∵∠aaa+∠aaa=∠aaa−∠aaa=a−a，∴∠aaa=∠aaa=∠a+∠aaa=a−a，在△aaa中，∠aaa+∠aaa+∠aaa=180∘，∴a−a+a−a+a=180∘，即−a+2a=180∘．26.解：（1）aa=√3aa，理由：如图1，作aa⊥aa，∵∠aaa=90∘，aa⊥aa，∴aa // aa，aa // aa，∴四边形aaaa是矩形，∴∠aaa=90∘∴a是aa的中点，∴aa=12aa，aa=12aa，∵∠aaa=90∘，∠aaa=90∘，∴∠aaa=∠aaa，∴△aaa∽△aaa，∴aaaa=aaaa=aaaa，∵∠a=30∘，在aa△aaa中，cot30∘=aaaa=√3，∴aaaa=√3，即aa=√3aa．(2)解；①aa=√6aa，如图2在aa△aaa中，过点a作aa⊥aa于a，aa⊥aa于点a ∴四边形aaaa是矩形，∴△aaa∽△aaa∴aaaa =aaaa，又∵aa△aaa和aa△aaa中，∠a=30∘，∠a=60∘∴aa=√32aa，aa=12aa∴aaaa =aaaa=√3aaaa∵aa=√2aa ∴aaaa=√6，即：aa=√6aa②如图3，成立．。

九年级数学下册第二十七章相似:图形的相似1．对于四条线段A.B.C.d，如果其中两条线段的比(即它们长度的比)与另两条线段的比相等，如a cb d(即ad＝bc)，我们就说这四条线段________．2．(1)相似多边形的性质：相似多边形的________相等，________成比例；(2)相似多边形的判定：如果两个多边形满足________相等，________成比例，那么这两个多边形相似．3．相似多边形________的比叫做相似比．如果五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′的相似比为k，那么五边形A′B′C′D′E′与五边形ABCDE的相似比为________．4．下列四组图形中，一定相似的是( )A．正方形与矩形B．正方形与菱形C．菱形与菱形D．正五边形与正五边形5．下列各组线段(单位：cm)中，成比例的线段是( )A．1、2、3、4B．1、2、2、4C．3、5、9、13D．1、2、2、36．下列各组图形中，相似的是( )A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④7．已知线段A.B.C.d成比例，且a＝6cm，b＝3cm，32dcm，则线段c的长度为________．8．在中国地理地图册上，连接上海、香港、台湾三地构成一个三角形，用刻度尺测得它们之间的距离如图所示，飞机从台湾直飞上海的距离约为620km，那么飞机从台湾绕道香港再到上海的飞行距离约为多少千米？9．如图，四边形模板ABCD和EFGH相似，求这两块模板中∠α、∠β的度数和x、y、z的值．10．在比例尺为1︰40000的工程示意图上，一段铁路的长度约为54.3cm，它的实际长度约为( )A．0.2172kmB．2.172kmC．21.72kmD．217.2km11．两个相似多边形，一组对应边的长分别为3cm和4.5cm，则这两个多边形的相似比可能是( )A．34B．56C．1 2D．3 212．已知四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似，且AB︰BC︰CD︰DA＝20︰15︰9︰8．若四边形A′B′C′D′的周长为26，则A′B′的长为( )A．6B．10C．7.5D．813．(1)(2014·柳州)若12ab=，则________a bb+=；(2)若23a ba-=，则________ab=．14．已知三条线段的长度分别为1、2、3，请你再添一条线段，使这四条线段的长度能构成一个比例式，则可添加的线段长度为________．15．如图，将矩形ABCD沿线段AE翻折，使点B恰好落在边AD上的点F处，再沿边EF将矩形ABCD剪开，所得的另一个矩形ECDF和原来的矩形相似，则原来的矩形ABCD的宽AB与长AD的比值为________．16．如图，在矩形ABCD和矩形A′B′C′D′中，AB＝16，AD＝10，A′D′＝6，矩形A′B′C′D′的面积为57.6，那么这两个矩形相似吗？17．(2014·南通)如图，E是菱形ABCD的对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，且菱形AEFG与菱形ABCD相似，连接EB.GD．(1)求证：EB＝GD；(2)若∠DAB＝60°，AB＝2，3AG ，求GD的长．18．如图，在矩形ABCD中，AB＝2AD．线段EF＝10，在EF上取一点M，分别以EM、MF为一边作矩形EMNH和矩形MFGN，使矩形MFGN与矩形ABCD相似，令MN＝x．当x为何值时，矩形EMNH的面积S有最大值？最大值是多少？参考答案1．成比例2．(1)对应角对应边(2)对应角对应边3．对应边1 k4．D 5．B 6．B 7．3cm8．设飞机从台湾绕道香港再到上海的飞行距离约为xkm ．由题意，得553 3.6 5.46201010x +=⨯，解得x ＝1860．∴飞机从台湾绕道香港再到上海的飞行距离约为1860km9．∠α＝90°，∠β＝60°，x ＝10.5，y ＝3，z ＝1210．C11．D12．B13．(1)32(2)314或15．16．∵矩形A′B′C′D′的面积为57.6，A′D′＝6，∴A′B′＝9.6．∴1659.63AB A B ==''．根据矩形的性质，知53DC AB D C A B ==''''．同理，10563BC AD B C A D ===''''∴53AB AD DC BC A B A D D C B C ====''''''''．又∵矩形的各内角都是90°，∴矩形ABCD 与矩形A′B′C′D′相似17．(1)∵菱形AEFG 与菱形ABCD 相似，∴∠GAE ＝∠DAB ．∴∠GAE ＋∠GAB ＝∠DAB ＋∠GAB ，即∠EAB ＝∠OAD ．又∵四边形AEFG 和ABCD 是菱形，∴AE ＝AG ，AB ＝AD ．∴△ABE ≌△ADG ．∴EB ＝GD(2)连接BD 交AC 于点O ．∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ＝AB ＝2，BO ⊥AC ，1302OAB DAB ∠=∠=︒．在Rt △AOB 中，112BO AB==．∴AO ==EO AE AO AG AO =+=+=．在Rt △BOE 中，BE===GD BE ==18．∵矩形MFGN与矩形ABCD相似，∴MN MFAD AB=．又∵AB＝2AD，MN＝x，∴MF＝2x．∴EM＝EF－MF＝10－2x．∴22525(102)2102()22S x x x x x=-=-+=--+．∴当52x=时，S有最大值，最大值是25 2．。

第二十七章相似27．1图形的相似01 基础题知识点1相似图形形状相同的图形叫做相似图形．1．下列选项中，哪个才是相似图形的本质属性(C)A．大小不同B．大小相同C．形状相同D．形状不同2．下列各组图形相似的是(B)知识点2比例线段对于四条线段a，b，c，d，如果其中两条线段的比(即它们长度的比)与另两条线段的比相等，如ab＝cd，我们就说这四条线段成比例．3．下列各线段的长度成比例的是(D)A．2 cm，5 cm，6 cm，8 cmB．1 cm，2 cm，3 cm，4 cmC．3 cm，6 cm，7 cm，9 cmD．3 cm，6 cm，9 cm，18 cm4．(常州中考)在比例尺为1∶40 000的地图上，某条道路的长为7 cm，则该道路的实际长度是2.8km.知识点3相似多边形两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边的比叫做相似比．相似多边形的对应角相等，对应边成比例．如：两个大小不同的四边形ABCD和四边形A1B1C1D1中，若∠A＝∠A1，∠B＝∠B1，∠C＝∠C1，∠D＝∠D1，那么四边形ABCD和四边形A1B1C1D1相似．5．两个相似多边形一组对应边分别为3 cm，4.5 cm，那么它们的相似比为(A)A.23B.32C.49D.946．如下的各组多边形中，相似的是(B )A ．(1)(2)(3)B ．(2)(3)C ．(1)(3)D ．(1)(2)7．在一张复印出来的纸上，一个多边形的一条边由原图中的2 cm 变成了6 cm ，这次复印的放缩比例是1∶3． 8．如图所示是两个相似四边形，求边x 、y 的长和α的大小．解：∵两个四边形相似，∴AD A′D′＝BC B′C′＝AB A′B′，即416＝6x ＝7y . ∴x ＝24，y ＝28.∵∠B ＝∠B′＝73°， ∴α＝360°－∠A －∠D －∠B ＝83°.易错点 没有分情况讨论导致漏解9．已知三条线段的长分别为1 cm 、2 cm 、 2 cm ，如果另外一条线段与它们是成比例线段，那么另外一条线段的长为2__cm ，22__cm 或22__cm.02 中档题 10．下列说法：①放大(或缩小)的图片与原图片是相似图形； ②比例尺不同的中国地图是相似图形；③放大镜下的五角星与原来的五角星是相似图形；④放电影时胶片上的图象和它映射到屏幕上的图象是相似图形； ⑤平面镜中，你的形象与你本人是相似的． 其中正确的说法有(D ) A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个11．如图，正五边形FGHMN 与正五边形ABCDE 相似，若AB∶FG＝2∶3，则下列结论正确的是(B )A ．2DE ＝3MNB ．3DE ＝2MNC ．3∠A ＝2∠FD ．2∠A ＝3∠F12．如图所示，两个等边三角形，两个矩形，两个正方形，两个菱形各成一组，每组中的一个图形在另一个图形的内部，对应边平行，且对应边之间的距离都相等，那么两个图形不相似的一组是(B )13．如图所示，它们是两个相似的平行四边形，根据条件可知，α＝125°，m ＝12.14．如图，左边格点图中有一个四边形，请在右边的格点图中画出一个与该四边形相似的图形，要求大小与左边四边形不同．解：如图所示．15．为了铺设一矩形场地，特意选择某地砖进行密铺，为了使每一部分都铺成如图所示的形状，且由8块地砖组成，问：(1)每块地砖的长与宽分别为多少？(2)这样的地砖与所铺成的矩形地面是否相似？试明你的结论．解：(1)设矩形地砖的长为a cm ，宽为b cm ，由题图可知4b ＝60，即b ＝15.因为a ＋b ＝60，所以a ＝60－b ＝45，所以矩形地砖的长为45 cm ，宽为15 cm.(2)不相似．理由：因为所铺成矩形地面的长为2a ＝2×45＝90(cm )，宽为60 cm ，所以长宽＝9060＝32，而a b ＝4515＝31，32≠31，即所铺成的矩形地面的长与宽和地砖的长与宽不成比例．所以它们不相似．03 综合题16．(教材9下P 28习题T 6变式)如图：矩形ABCD 的长AB ＝30，宽BC ＝20.(1)如图1，若沿矩形ABCD 四周有宽为1的环形区域，图中所形成的两个矩形ABCD 与A′B′C′D′相似吗？请说明理由；(2)如图2，x 为多少时，图中的两个矩形ABCD 与A′B′C′D′相似？ 解：(1)不相似，AB ＝30，A′B′＝28，BC ＝20，B′C′＝18，而2830≠1820， 故矩形ABCD 与矩形A′B′C′D′不相似． (2)矩形ABCD 与A′B′C′D′相似， 则A′B′AB ＝B′C′BC 或A′B′BC ＝B′C′AB .则：30－2x 30＝20－220，或30－2x 20＝20－230.解得x ＝1.5或9，故当x ＝1.5或9时，矩形ABCD 与A′B′C′D′相似．27.2 相似三角形27．2.1 相似三角形的判定 第1课时 平行线分线段成比例01 基础题知识点1 相似三角形的定义和相似比如果两个三角形的三个角分别相等，三条边成比例，我们就说这两个三角形相似．相似三角形对应边的比叫做相似比．相似用符号“∽”表示．如图，在△ABC 和△A 1B 1C 1中，如果∠A ＝∠A 1，∠B ＝∠B 1，∠C ＝∠C 1，AB A 1B 1＝BC B 1C 1＝ACA 1C 1，那么△ABC∽△A 1B 1C 1.1．如图所示，△ADE∽△ACB ，∠AED＝∠B，那么下列比例式成立的是(A )A.AD AC ＝AE AB ＝DE BCB.AD AB ＝AE AC C.AD AE ＝AC AB ＝DE BCD.AD AB ＝AE EC ＝DE BC2．两个三角形相似，且相似比k ＝1，则这两个三角形全等．知识点2 平行线分线段成比例(1)两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．如图1，直线l 1∥l 2∥l 3，分别交直线m ，n 于点A ，B ，C ，D ，E ，F ，则AB BC ＝DE ，AB AC ＝DE ，BC AC ＝EF．图1 图2(2)平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例．如图2，在△ABC 中，DE∥BC，DE 分别交AB ，AC 于点D ，E ，则AD DB ＝AE EC ，AD AB ＝AE AC ，DB AB ＝ECAC ．3．(杭州中考)如图，已知a∥b∥c，直线m 分别交直线a ，b ，c 于点A ，B ，C ，直线n 分别交直线a ，b ，c 于点D ，E ，F.若AB BC ＝12，则DEEF＝(B )A.13B.12C.23D ．14．(成都中考)如图，在△ABC 中，DE∥BC，AD ＝6，DB ＝3，AE ＝4，则EC 的长为(B )A ．1B ．2C ．3D ．4知识点3 相似三角形判定的预备定理平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．如图2，在△ABC 中，DE ∥BC ，DE 分别交AB ，AC 于点D ，E ，则△ADE ∽△ABC. 5．(贵阳中考)如图，在△ABC 中，DE∥BC，AD AB ＝13，BC ＝12.则DE 的长是(B )A ．3B ．4C ．5D ．6第5题图 第6题图6．如图，点E ，F 分别在△ABC 的边AB ，AC 上，且EF∥BC，点M 在边BC 上，AM 与EF 交于点D ，则图中相似三角形共有(B )A ．4对B ．3对C ．2对D ．1对02 中档题7．(上海中考)如图，已知在△ABC 中，点D ，E ，F 分别是边AB ，AC ，BC 上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD∶DB ＝3∶5，那么CF∶CB 等于(A )A ．5∶8B ．3∶8C ．3∶5D ．2∶5第7题图 第8题图8．如图，AB∥CD∥EF，则图中相似三角形有(B )A ．4对B ．3对C ．2对D ．1对9．(遵义中考)如图，△ABC 中，E 是BC 中点，AD 是∠BAC 的平分线，EF∥AD 交AC 于点F.若AB ＝11，AC ＝15，则FC 的长为(C )A ．11B ．12C ．13D ．1410．如图，在△ABC 中，点D ，E 分别为AB ，AC 的中点，连接DE ，线段BE ，CD 相交于点O ，若OD ＝2，则OC ＝4.第10题图 第11题图11．(六盘水中考)如图，在▱ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，在BA 的延长线上取一点E ，连接OE 交AD 于点F ，若CD ＝5，BC ＝8，AE ＝2，则AF ＝169．12．在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝9，点D 在边AB 所在的直线上，且AD ＝2，过点D 作DE∥BC 交边AC 所在直线于点E ，则CE 的长为6或12．13．中国高铁近年来用震惊世界的速度不断发展，已成为当代中国一张耀眼的“国家名片”，修建高铁时常常要逢山开道、遇水搭桥，如图，某高铁在修建时需打通一直线隧道MN(M 、N 为山的两侧)，工程人员为了计算M 、N 两点之间的直线距离，选择作MN 的平行线BC ，并测得AM ＝900米， AB ＝30米，BC ＝45米，求直线隧道MN 的长．解：∵BC∥MN， ∴△ABC∽△AMN. ∴AB AM ＝BC MN ，即30900＝45MN . ∴MN ＝1 350米答： 直线隧道MN 的长为1 350米．14．如图，延长正方形ABCD 的一边CB 至E ，ED 与AB 相交于点F ，过F 作FG∥BE 交AE 于G ，求证：GF ＝FB.证明：∵GF∥AD， ∴GF AD ＝EF ED. 又FB∥DC，∴FB DC ＝EFED .又AD ＝DC ，∴GF AD ＝FBAD .∴GF ＝FB.03 综合题15．如图，AD∥EG∥BC，EG 分别交AB ，DB ，AC 于点E ，F ，G ，已知AD ＝6，BC ＝10，AE ＝3，AB ＝5，求EG ，FG 的长．解：∵在△ABC 中，EG∥BC， ∴△AEG∽△ABC， ∴EG BC ＝AE AB. ∵BC ＝10，AE ＝3，AB ＝5， ∴EG 10＝35，∴EG ＝6. ∵在△BAD 中，EF∥AD， ∴△BEF∽△BAD，∴EF AD ＝BEAB .∵AD ＝6，AE ＝3，AB ＝5， ∴EF 6＝5－35.∴EF ＝125. ∴FG ＝EG －EF ＝185.第2课时 相似三角形的判定定理1，201 基础题知识点1 相似三角形的判定定理1三边成比例的两个三角形相似．如图，已知△ABC 和△DEF 中，AB DE ＝AC DF ＝BCEF，则△ABC∽△DEF.1．将一个三角形的各边长都缩小12后，得到的三角形与原三角形(A )A ．一定相似B ．一定不相似C ．不一定相似D ．无法确定2．若△ABC 各边分别为AB ＝10 cm ，BC ＝8 cm ，AC ＝6 cm ，△DEF 的两边为DE ＝5 cm ，EF ＝4 cm ，则当DF ＝3cm 时，△ABC∽△DEF.3．试判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由．解：相似．理由如下：在Rt△ABC 中，BC ＝AB 2－AC 2＝32－2.42＝1.8， 在Rt△DEF 中，DF ＝DE 2－EF 2＝62－3.62＝4.8， ∴AB DE ＝BC EF ＝AC DF ＝12， ∴△ABC∽△DEF.4．(教材9下P 42例3变式)(佛山中考)网格图中每个方格都是边长为1的正方形．若A ，B ，C ，D ，E ，F 都是格点，试说明△ABC∽△DEF.证明：∵AC ＝2，BC ＝12＋32＝10，AB ＝4，DF ＝22＋22＝22，EF ＝22＋62＝210，ED ＝8，∴AC DF ＝BC EF ＝AB DE ＝12. ∴△ABC∽△DEF.知识点2 相似三角形的判定定理2两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．如图，已知△ABC 和△DEF 中，∠A＝∠D ，且AB DE ＝ACDF，则△ABC∽△DEF.5．能判定△ABC∽△A′B′C′的条件是(B )A.AB A ′B ′＝ACA ′C ′B.AB AC ＝A ′B ′A ′C ′且∠A ＝∠A ′ C.AB BC ＝A ′B ′A ′C ′且∠B ＝∠C ′ D.AB A ′B ′＝ACA ′C ′且∠B ＝∠B ′6．如图，已知△ABC，则下列4个三角形中，与△ABC 相似的是(C )7．如图AB 与CD 相交于点O ，OA ＝3，OB ＝5，OD ＝6，当OC ＝185时，△AOC∽△BOD.8．如图，点C ，D 在线段AB 上，∠A＝∠B，AE ＝3，AD ＝2，BC ＝3，BF ＝4.5，DE ＝5，求CF 的长．解：∵AE BF ＝34.5＝23，AD BC ＝23，∴AE BF ＝AD BC .又∵∠A ＝∠B，∴△AED∽△BFC， ∴AD BC ＝DE CF .∴23＝5CF. ∴CF ＝152.易错点 对应边没有确定时容易漏解9．(随州中考)在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝5，点D 在边AB 上，且AD ＝2，点E 在边AC 上，当AE ＝5或3时，以A ，D ，E 为顶点的三角形与△ABC 相似．02 中档题10．(贵阳中考)如图，在方格纸中，△ABC 和△EPD 的顶点均在格点上，要使△ABC∽△EPD，则点P 所在的格点为(C )A ．P 1B ．P 2C ．P 3D ．P 4 11．如图，在△ABC 中，点P 在AB 上，下列四个条件：①AP∶AC＝AC∶AB；②AC 2＝AP·AB；③AB·CP＝AP·CB.其中能满足△APC 和△ACB 相似的条件有(B )A ．1个B ．2个C ．3个D ．0个第11题图 第12题图12．如图，已知∠DAB＝∠CAE，请补充一个条件：AD AB ＝AEAC，使△ABC∽△ADE.13．如图，AB∥DE，AC∥DF，BC∥EF，求证：△DEF∽△ABC.证明：∵AB∥DE， ∴△ODE∽△OAB. ∴DE AB ＝OE OB. ∵BC∥EF，∴△OEF∽△OBC. ∴EF BC ＝OE OB ＝OF OC. ∵AC∥DF，∴△ODF∽△OAC. ∴DF AC ＝OF OC . ∴DE AB ＝EF BC ＝DF AC. ∴△DEF∽△ABC.14．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为CB 延长线上一点，E 为BC 延长线上一点，且满足AB 2＝DB·CE.求证：△ADB∽△EAC.证明：∵AB ＝AC ， ∴∠ABC ＝∠ACB. ∴∠ABD ＝∠ACE.∵AB 2＝DB·CE，∴AB CE ＝DBAB .又AB ＝AC ，∴AB CE ＝DBAC .∴△ADB∽△EAC.15．如图，正方形ABCD 中，P 是BC 上的点，且BP ＝3PC ，Q 是CD 的中点，求证：△ADQ∽△QCP.证明：设正方形的边长为4a，则AD＝CD＝BC＝4a.∵Q是CD的中点，BP＝3PC，∴DQ＝CQ＝2a，PC＝a.∴DQPC＝ADCQ＝21.又∵∠D＝∠C＝90°，∴△ADQ∽△QCP.03 综合题16．(宿迁中考改编)如图，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝8，AD＝3，BC＝4，点P为AB边上一动点，若△PAD 与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数是(C)A．1 B．2 C．3 D．4第3课时相似三角形的判定定理301 基础题知识点1相似三角形的判定定理3两角分别相等的两个三角形相似．如图，已知△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，∠B＝∠E，则△ABC∽△DEF.1．下列各组图形中有可能不相似的是(A)A．各有一个角是45°的两个等腰三角形B．各有一个角是60°的两个等腰三角形C．各有一个角是105°的两个等腰三角形D．两个等腰直角三角形2．已知△ABC中，∠A＝40°，∠B＝75°，下图各三角形中与△ABC相似的是△EFD，△HGK.3．如图，锐角三角形ABC的边AB，AC上的高线EC，BF相交于点D，请写出图中的两对相似三角形答案不唯一，如△BDE∽△CDF，△ABF∽△ACE等．(用相似符号连接)4．如图，点B、D、C、F在一条直线上，且AB∥EF，AC∥DE，求证：△ABC∽△EFD.证明：∵AB∥EF，AC∥DE，∴∠B＝∠F，∠ACB＝∠EDF.∴△ABC∽△EFD.5．如图，∠1＝∠2，∠C＝∠D.求证：△ABC∽△AED.证明：∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠CAD ＝∠2＋∠CAD， 即∠BAC ＝∠EAD. 又∵∠C ＝∠D， ∴△ABC∽△AED.知识点2 斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似．如图，在Rt △ABC 和Rt △A′B′C′中，∠C ＝90°，∠C′＝90°，AB A′B′＝ACA′C′，则Rt △ABC∽Rt △A′B′C′.6．在△ABC 和△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，AC ＝12，AB ＝15，A′C′＝8，则当A′B′＝10时，△ABC∽△A′B′C′.7．一个直角三角形的一条直角边长和斜边长分别为8 cm 和15 cm ，另一个直角三角形的一条直角边长和斜边长分别是6 cm 和454cm ，这两个直角三角形是(填“是”或“不是”)相似三角形．8．一个直角三角形的两边长分别为3和6，另一个直角三角形的两边长分别为2和4，那么这两个直角三角形不一定(填“一定”“不一定”或“一定不”)相似．易错点 对应角没有确定时容易漏解9．如图，在平面直角坐标系中有两点A(6，0)，B(0，3)，如果点C 在x 轴上(C 与A 不重合)，当点C 的坐标为(－2，0)，(32，0)，(－6，0)时，△BOC 与△AOB 相似．02中档题10．如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，DE∥BC，且∠DCE＝∠B.那么下列判断中，错误的是(D) A．△ADE∽△ABC B．△ADE∽△ACDC．△DEC∽△CDB D．△ADE∽△DCB第10题图第11题图11．(本溪中考)如图，已知△ABC和△ADE均为等边三角形，点D在BC上，DE与AC相交于点F，AB＝9，BD ＝3，则CF等于(B)A．1 B．2 C．3 D．412．如图，已知：∠ACB＝∠ABD＝90°，AB＝6，AC＝2，求AD的长为多少时，图中两直角三角形相似？解：①若△ABC∽△ADB，则ABAD＝ACAB.∴AD＝3；②若△ABC∽△DAB，则ABAD＝BCAB.∴AD＝3 2.综上所述，当AD＝3或32时，两直角三角形相似．13．(毕节中考改编)如图，在▱ABCD中，过点A作AE⊥DC，垂足为E，连接BE，F为BE上一点，且∠AFE＝∠D.求证：△ABF∽△BEC.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，AD＝BC.∴∠D＋∠C＝180°，∠ABF＝∠BEC.又∵∠AFB＋∠AFE＝180°，且∠AFE＝∠D，∴∠C＝∠AFB.又∵∠ABF＝∠BEC，∴△ABF∽△BEC.14．(滨州中考改编)如图，矩形ABCD中，AB＝20，BC＝10，点P为AB边上一动点，DP交AC于点Q.(1)求证：△APQ∽△CDQ；(2)P点从A点出发沿AB边以每秒1个单位长度的速度向B点移动，移动时间为t秒．当t为何值时，DP⊥AC?解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD.∴△APQ∽△CDQ.(2)当DP⊥AC时，∠QCD＋∠QDC＝90°.∵∠ADQ＋∠QDC＝90°，∴∠DCA＝∠ADP.又∵∠ADC＝∠DAP＝90°，∴△ADC∽△PAD.∴ADPA＝DCAD，∴10PA＝2010，解得PA＝5.∴t＝5.03综合题15．如图，在△ABC中，AD、BF分别是BC，AC边上的高，过点D作AB的垂线交AB于点E，交BF于点G，交AC的延长线于点H，求证：DE2＝EG·EH.证明：∵AD、BF分别是BC、AC边上高，∴∠ADB＝∠BED＝90°.∴∠EBD＋∠EDB＝∠EDB＋∠ADE.∴∠EBD＝∠EDA.∴△AED∽△DEB.∴DE2＝AE·BE.又∵∠HFG＝90°，∠BGE＝∠HGF，∴∠EBG＝∠H.∵∠BEG＝∠HEA＝90°，∴△BEG∽△HEA.∴EGAE＝BEEH，即EG·EH＝AE·BE.∴DE2＝EG·EH.27.2.2 相似三角形的性质01 基础题知识点1 相似三角形性质定理1相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．如图，已知△ABC∽△A 1B 1C 1，其相似比为k ，AD 和A 1D 1分别是BC 和B 1C 1边上的高，CF 和C 1F 1分别是AB和A 1B 1边上的中线，BE 和B 1E 1分别是∠ABC 和∠A 1B 1C 1的平分线，则AD A 1D 1＝CF C 1F 1＝BEB 1E 1＝k.1．(兰州中考)已知△ABC∽△DEF，若△ABC 与△DEF 的相似比为34，则△ABC 与△D EF 对应中线的比为(A )A.34B.43C.916D.1692．若△ABC∽△A′B′C′，AB ＝16 cm ，A′B′＝4 cm ，AD 平分∠BAC，A′D′平分∠B′A′C′，A′D′＝3 cm ，则AD ＝12cm . 3．已知：△ABC∽△A′B′C′，AB ＝4 cm ，A′B′＝10 cm ，AE 是△ABC 的一条高，AE ＝4.8 cm .求△A′B′C′中对应高线A′E′的长．解：∵△ABC∽△A′B′C′，∴AE A′E′＝AB A′B′.∴ 4.8A′E′＝410. ∴A′E′＝12 cm.知识点2 相似三角形性质定理2相似三角形周长的比等于相似比．若△ABC∽△A′B′C′，相似比为k ，则△ABC 与△A′B′C′的周长比为k ． 4．若△ABC∽△A′B′C′，相似比为1∶3，则△ABC 与△A′B′C′周长的比为(A )A ．1∶3B ．3∶1C ．1∶9D ．9∶15．如图，在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 上的点，DE∥BC，且AD ＝13AB ，则△ADE 的周长与△ABC 的周长的比为1∶3.知识点3 相似三角形性质定理3相似三角形面积的比等于相似比的平方．若△ABC∽△A′B′C′，相似比为k ，则△ABC 与△A′B′C′的面积比为k 2． 6．(黔西南中考)已知△ABC∽△A′B′C′，且AB A′B′＝12，则S △ABC ∶S △A′B′C′为(C )A ．1∶2B ．2∶1C ．1∶4D ．4∶17．(广东中考)若两个相似三角形的周长比为2∶3，则它们的面积比是4∶9．8．(怀化中考)如图，D ，E 分别是△ABC 的边AB ，AC 上的中点，则S △ADE ∶S △ABC ＝1∶4．第8题图 第9题图9．(滨州中考)如图，平行于BC 的直线DE 把△ABC 分成的两部分面积相等，则AD AB ＝22．10．某小区广场有两块相似三角形的草坪，相似比为2∶3，面积差是30 m 2，则小区广场两块相似三角形的草坪面积分别是24__m 2、54__m 2．02 中档题11．(湘西中考)如图，在▱ABCD 中，E 是AD 边上的中点，连接BE ，并延长BE 交CD 延长线于点F ，则△EDF 与△BCF 的周长之比是(A )A ．1∶2B ．1∶3C ．1∶4D ．1∶5第11题图 第12题图12．(黔西南中考)如图，在△ABC 中，点D 在AB 上，BD ＝2AD ，DE∥BC 交AC 于点E ，则下列结论不正确的是(D )A ．BC ＝3DEB.BD BA ＝CE CAC ．△ADE ∽△ABCD ．S △ADE ＝13S △ABC13．已知△ABC 与△A′B′C′中，∠C ＝∠C′＝90°，∠A＝∠A′，BC ＝6，AC ＝8，A′B′＝20，则△A′B′C′的斜边上的高为485．14．在△ABC 中，AB ＝9，AC ＝12，BC ＝18，D 为AC 上一点，AD ＝4，在AB 上取一点E ，得到△ADE，若这两个三角形相似，则它们的周长之比是4∶9或1∶3．15．如图，在△ABC 中，D ，E 分别是△ABC 的AB ，AC 边上的点，DE∥BC，CF ，EG 分别是△A BC 与△ADE 的中线，已知AD∶DB＝4∶3，AB ＝18 cm ，EG ＝4 cm ，求CF 的长．解：∵AD∶DB ＝4∶3， ∴AD∶AB ＝4∶7. ∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE.∵CF，EG 分别是△ABC 与△ADE 的中线， ∴AD AB ＝EG CF .∴47＝4CF. ∴CF ＝7 cm.16．如图，▱ABCD 中，AE∶EB＝2∶3，DE 交AC 于点F.(1)求证：△AEF∽△CDF；(2)求△AEF 与△CD F 的周长之比；(3)如果△CDF 的面积为20 cm 2，求△AEF 的面积．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴DC∥AB.∴△AEF∽△CDF.(2)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴DC ＝AB.∵AE∶EB ＝2∶3，设AE ＝2k ，则BE ＝3k ，DC ＝5k. 又∵△AEF∽△CDF， ∴C △AEF C △CDF ＝AE DC ＝25. ∴△AEF 与△CDF 的周长之比为2∶5. (3)∵△AEF∽△CDF，∴S △AEF S △CDF ＝(AE DC)2. ∵AE DC ＝25，△CDF 的面积为20 cm 2， ∴△AEF 的面积为165 cm 2.03 综合题17．如图，在△ABC 中，DF∥EG∥BC，且AD ＝DE ＝EB ，△ABC 被DF 、EG 分成三部分，且三部分面积分别为S 1，S 2，S 3，求S 1∶S 2∶S 3的值．解：∵DF∥EG∥BC，∴△ADF∽△AEG∽△ABC. 又∵AD ＝DE ＝EB ，∴三个三角形的相似比是1∶2∶3. ∴面积的比是1∶4∶9.设△ADF 的面积是a ，则△AEG 与△ABC 的面积分别是4a ，9a ， ∴S 2＝3a ，S 3＝5a ，则S 1∶S 2∶S 3＝1∶3∶5.小专题15 相似三角形的基本模型(教材变式)模型1X字型及其变形(1)如图1，对顶角的对边平行，则△ABO∽△DCO；(2)如图2，对顶角的对边不平行，且有另一对角相等，则△ABO∽△CDO.教材母题1：(教材九下P58复习题T9)如图，AD⊥BC，垂足为D，BE⊥AC，垂足为E，AD与BE相交于点F，连接ED.你能在图中找出一对相似三角形，并说明相似的理由吗？解：△AEF∽△BDF.理由：∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠AEF＝∠BDF＝90°.又∵∠AFE＝∠BFD，∴△AEF∽△BDF.1．(恩施中考)如图，在▱ABCD中，AC与BD交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF∶FC 等于(D)A．1∶4B．1∶3C．2∶3D．1∶22．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC与BD相交于点O.找出图中的相似三角形，并说明理由．解：△ABO∽△CDO.理由如下：∵AB∥CD，∴∠OCD ＝∠OAB， ∠ODC ＝∠OBA. ∴△ABO∽△CDO.模型2 A 字型及其变形(1)如图1，公共角的对边平行，则△ADE ∽△ABC ；(2)如图2，公共角的对边不平行，且有另一对角相等，则△ADE ∽△ABC ；(3)如图3，公共角的对边不平行，两个三角形有一条公共边，且有另一对角相等，则△ACD ∽△ABC .教材母题2：(教材九下P 35例2)如图，Rt △ABC 中，∠C＝90°，AB ＝10，AC ＝8.E 是AC 上一点，AE ＝5，ED⊥AB，垂足为D.求AD 的长．解：∵ED⊥AB， ∴∠EDA ＝90°.又∠C ＝90°，∠A ＝∠A， ∴△AED∽△ABC. ∴AD AC ＝AE AB. ∴AD ＝AC·AE AB ＝8×510＝4.3．如图，点D 是△ABC 的边AC 的上一点，且∠ABD＝∠C.如果AD CD ＝13，求BDBC的值．解：∵∠DAB ＝∠BAC，∠ABD ＝∠C，∴△DAB∽△BAC.∴DABA＝ABAC＝BDBC.∴AB2＝AD·AC.∵ADCD＝13，∴设AD＝a(a＞0)，则CD＝3a.∴AB2＝a(a＋3a)＝4a2.∴AB＝2a.∴BDBC＝DABA＝a2a＝12.模型3双垂直型直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形与原三角形相似，即△ACD∽△ABC∽△CBD.教材母题3：(教材九下P36练习T2)如图，Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高．求证：(1)△ACD∽△ABC；(2)△CBD∽△ABC.证明：(1)∵Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∴∠ACB＝∠ADC＝90°.又∵∠CAD＝∠BAC，∴△ACD∽△ABC.(2)∵∠ACB＝∠CDB＝90°，∠ABC＝∠CBD，∴△CBD∽△ABC.4．如图，在Rt△ABC中，CD⊥AB，D为垂足，且AD＝3，AC＝35，则斜边AB的长为(B)A．36B．15C．95D．3＋35模型4M字型及其变形(1)如图1，Rt△ABD与Rt△BCE的斜边互相垂直，则有△ABD∽△CEB；(2)如图2，点B，C，E在同一条直线上，∠ABC＝∠ACD，则再已知一组条件，可得△ABC与△DCE相似．教材补充：如图，AB⊥BD，ED⊥BD，C是线段BD的中点，且AC⊥CE.已知ED＝1，BD＝4，求AB的长．解：∵AB⊥BD，ED⊥B D，∴∠B＝∠D＝90°，∠ACB＋∠A＝90°.∵AC⊥CE，∴∠ACB＋∠ECD＝90°.∴∠A＝∠ECD.∴△ABC∽△CDE.∴ABCD＝BCDE.又∵C是线段BD的中点，ED＝1，BD＝4，∴AB＝4.5．(宿迁中考)如图，在△ABC中，AB＝AC，点E在边BC上移动(点E不与点B，C重合)，满足∠DEF＝∠B，且点D，F分别在边AB，AC上．(1)求证：△BDE∽△CEF；(2)当点E移动到BC的中点时，求证：FE平分∠DFC.解：(1)证明：∵AB ＝AC ， ∴∠B ＝∠C.∵∠BDE ＝180°－∠B －∠DEB，∠CEF ＝180°－∠DEF －∠DEB，且∠DEF ＝∠B， ∴∠BDE ＝∠CEF. ∴△BDE∽△CEF.(2)∵△BDE∽△CEF，∴BE CF ＝DEEF.∵点E 是BC 的中点，∴BE ＝CE.∴CE CF ＝DEEF .∵∠DEF ＝∠B ＝∠C，∴△DEF∽△ECF. ∴∠DFE ＝∠CFE，即FE 平分∠DFC.小专题16 相似三角形的性质与判定类型1 利用相似三角形求线段长1．(宁夏中考)如图，在△ABC 中，AB ＝6，点D 是AB 的中点，过点D 作DE∥BC，交AC 于点E ，点M 在DE 上，且ME ＝13DM.当AM⊥BM 时，则BC 的长为8.第1题图 第2题图2．如图，已知菱形BEDF 内接于△ABC，点E ，D ，F 分别在AB ，AC 和BC 上．若AB ＝15 cm ，BC ＝12 cm ，则菱形的边长为203cm .3．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D ，E 分别在边BC ，AB 上，且∠ADE＝∠B.如果DE∶AD＝2∶5，BD ＝3，那么AC ＝152.第3题图 第4题图4．(深圳中考)如图，在Rt △ABC 中，∠ABC＝90°，AB ＝3，BC ＝4，在Rt △MPN 中，∠MPN＝90°，点P 在AC 上，PM 交AB 于点E ，PN 交BC 于点F ，当PE ＝2PF 时，AP ＝3.5．如图，在△ABC 中，点D 是BA 边延长线上一点，过点D 作DE∥BC，交CA 延长线于点E ，点F 是DE 延长线上一点，连接AF.(1)如果AD AB ＝23，DE ＝6，求边BC 的长；(2)如果∠FAE＝∠B，FA ＝6，FE ＝4，求DF 的长．解：(1)∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC. ∴AD AB ＝DE BC . ∵DE ＝6，∴BC ＝9.(2)∵∠FAE ＝∠B，∠B ＝∠D， ∴∠EAF ＝∠D. ∵∠F ＝∠F， ∴△FAE∽△FDA. ∴EF FA ＝FA DF . ∴DF ＝FA 2EF＝9.类型2 利用相似三角形求角度6．如图，A ，B ，C ，P 四点均在边长为1的小正方形网格格点上，则∠BAC 的度数是135°.第6题图 第7题图7．如图，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，D 为CB 延长线上一点，E 为BC 延长线上一点，且AB 2＝BD·CE.若∠BAC ＝40°，则∠DAE＝110°.类型3 利用相似三角形求比值8．如图，AB∥DC，AC 与BD 交于点E ，EF∥DC 交BC 于点F ，CE ＝5，CF ＝4，AE ＝BC ，则DCAB等于(B )A.23B.14C.13D.359．如图，D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，且DE∥AC，AE ，CD 相交于点O.若S △DOE ∶S △COA ＝1∶25，则S △BDE 与S △CDE 的比是(B )A ．1∶3B ．1∶4C ．1∶5D ．1∶25第9题图 第10题图10．(桂林中考)如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，过点A 作EA⊥CA 交DB 的延长线于点E.若AB ＝3，BC ＝4，则AO AE 的值为724.类型4 利用相似三角形证明等积式与比例式11．如图，在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 上的点，且BD ＝2AD ，CE ＝2AE.求证：(1)△ADE∽△ABC； (2)DF·BF＝EF·CF.证明：(1)∵BD ＝2AD ，CE ＝2AE ， ∴AB ＝3AD ，AC ＝3AE. ∴AD AB ＝AE AC ＝13. ∵∠A ＝∠A， ∴△ADE∽△ABC. (2)∵AD AB ＝AE AC ＝13，∴DE∥BC.∴△DEF∽△CBF. ∴DF CF ＝EF BF. ∴DF·BF ＝EF·CF.12．如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB 于点D ，E 为AC 的中点，ED ，CB 的延长线交于点F.求证：DFCF ＝BC AC.证明：∵∠ACB ＝90°，CD⊥AB，∴∠A ＋∠ACD ＝∠ACD ＋∠BCD，∠ACB ＝∠BDC ＝90°. ∴∠A ＝∠BCD. ∴△ABC∽△CBD. ∴BC BD ＝AC CD ，即BC AC ＝BD CD . 又∵E 为AC 中点， ∴AE ＝CE ＝ED. ∴∠A ＝∠EDA.∵∠EDA ＝∠BDF， ∴∠FCD ＝∠BDF. 又∠F 为公共角， ∴△FDB∽△FCD. ∴DF CF ＝BD CD. ∴DF CF ＝BC AC.类型5 利用相似求点的坐标13．如图，在平面直角坐标系xOy 中，A(－4，0)，B(0，2)，连接AB 并延长到C ，连接CO.若△COB∽△CAO，则点C 的坐标为(B )A ．(1，52)B ．(43，83)C ．(5，25)D ．(3，23)第13题图 第14题图14．如图，已知直线y ＝－12x ＋2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，在x 轴上有一点C ，使B ，O ，C 三点构成的三角形与△AO B 相似，则点C 的坐标为(－4，0)或(4，0)或(－1，0)或(1，0)．27.2.3 相似三角形应用举例01基础题知识点1利用相似三角形测量物高1．为了加强视力保护意识，小明要在书房里挂一张视力表．由于书房空间狭小，他想根据测试距离为5 m的大视力表制作一个测试距离为3 m的小视力表．如图，如果大视力表中“E”的高度是3.5 cm，那么小视力表中相应“E”的高度是(D)A．3 cm B．2.5 cmC．2.3 cm D．2.1 cm第1题图第2题图2．小明在测量楼高时，先测出楼房落在地面上的影长BA为15米(如图)，然后在A处树立一根高2米的标杆，测得标杆的影长AC为3米，则楼高为10米．3．如图是一束平行的阳光从教室窗户射入的平面示意图，光线与地面所成角∠AMC＝30°，在教室地面的影长MN ＝23米．若窗户的下檐到教室地面的距离BC＝1米，则窗户的上檐到教室地面的距离AC为3米．第3题图第4题图4．(黔南中考)如图是小明设计用手电来测量都匀南沙洲古城墙高度的示意图，点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经过平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝1.2米，BP＝1.8米，PD＝12米，那么该古城墙的高度是8米(平面镜的厚度忽略不计)．知识点2利用相似三角形测量宽度5．(北京中考)如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上．若测得BE＝20 m，EC＝10 m，CD＝20 m，则河的宽度AB等于(B)A．60 m B．40 mC．30 m D．20 m第5题图第6题图6．如图，为了测量一池塘的宽DE，在岸边找到一点C，测得CD＝30 m，在DC的延长线上找一点A，测得AC＝5 m，过点A作AB∥DE交EC的延长线于B，测出AB＝6 m，则池塘的宽DE为(C)A．25 m B．30 mC．36 m D．40 m7．(教材9下P40例6变式)如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔5米有一棵树，在北岸边每隔60米有一根电线杆．小丽站在离南岸边15米的点P处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，则河宽为30米．第7题图第8题图8．如图，测量小玻璃管口径的量具ABC，AB的长为30 cm，AC被分为60等份．如果小玻璃管口DE正好对着量具上20等份处(DE∥AB)，那么小玻璃管口径DE是20cm.02中档题9．如图，铁道口的栏杆短臂OA长1 m，长臂OB长8 m．当短臂外端A下降0.5 m时，长臂外端B升高(B) A．2 m B．4 mC．4.5 m D．8 m第9题图第10题图10．如图，已知零件的外径为25 mm，现用一个交叉卡钳(两条尺长AC和BD相等，OC＝OD)量零件的内孔直径AB.若OC∶OA＝1∶2，量得CD＝10 mm，则零件的厚度x＝2.5mm.11．(遵义中考)“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”这段话摘自《九章算术》，意思是说：如图，矩形ABCD，东边城墙AB长9里，南边城墙AD长7里，东门点E，南门点F分别是AB，AD的中点，EG⊥AB，FH⊥AD，EG＝15里，HG经过A点，则FH＝1.05里．12．(陕西中考)某市为了打造森林城市，树立城市新地标，实现绿色、共享发展理念，在城南建起了“望月阁”及环阁公园，小亮、小芳等同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量“望月阁”的高度，来检验自己掌握知识和运用知识的能力．他们经过观察发现，观测点与“望月阁”底部间的距离不易测得，因此经过研究需要两次测量，于是他们首先用平面镜进行测量，方法如下：如图，小芳在小亮和“望月阁”之间的直线BM上平放一平面镜，在镜面上做了一个标记，这个标记在直线BM上的对应位置为点C.镜子不动，小亮看着镜面上的标记，他来回走动，走到点D时，看到“望月阁”顶端点A在镜面中的像与镜面上的标记重合．这时，测得小亮眼睛与地面的高度ED ＝1.5米，CD＝2米；然后，在阳光下，他们用测影长的方法进行了第二次测量，方法如下：如图，小亮从D点沿DM方向走了16米，到达“望月阁”影子的末端F点处，此时，测得小亮身高FG的影长FH＝2.5米，FG＝1.65米．如图，已知AB⊥BM，ED⊥BM，GF⊥BM，其中，测量时所使用的平面镜的厚度忽略不计，请你根据题中提供的相关信息，求出“望月阁”的高AB的长度．解：由题意，得∠ABC＝∠EDC＝∠GFH＝90°，∠ACB＝∠ECD，∠AFB＝∠GHF.∴△ABC∽△EDC，△ABF∽△GFH.∴ABED＝BCDC，ABGF＝BFFH.∴AB1.5＝BC2，AB1.65＝BC＋16＋22.5.解得AB＝99.∴“望月阁”的高AB为99米．03综合题13．(绍兴中考)课本中有一道作业题：如图，有一块三角形余料ABC，它的边BC＝120 mm，高AD＝80 mm.要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．问加工成的正方形零件的边长是多少mm?小颖解得此题的答案为48 mm，小颖善于反思，她又提出了如下的问题．(1)如果原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图1，此时，这个矩形零件的两条边长又分别为多少mm？请你计算；(2)如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图2，这样，此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长．解：(1)设矩形的边长PN＝2y mm，则PQ＝y mm，由条件可得△APN∽△ABC，∴PNBC＝AEAD，即2y120＝80－y80.解得y ＝2407.∴PN ＝2407×2＝4807(mm )．答：这个矩形零件的两条边长分别为2407mm ，4807 mm.(2)设PN ＝x mm ，由条件可得△APN∽△ABC， ∴PN BC ＝AE AD .即x 120＝80－PQ80. 解得PQ ＝80－23x.∴S ＝PN·PQ ＝x (80－23x )＝－23x 2＋80x＝－23(x －60)2＋2 400.∴S 的最大值为2 400 mm 2，此时PN ＝60 mm ，PQ ＝80－23×60＝40(mm ).。

人教版九年级数学下第二十七章相似单元练习题（含答案）含答案一、选择题1.如图，AD∥BE∥CF，直线m，n与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F，已知AB＝5，BC＝10，DE＝4，则EF的长为()A．12.5B．12C．8D．42.一个数与3、4、6能组成比例，这个数是()A．2或8B．8 或4.5C．4.5 或2D．2,8或4.53.如图，已知△OAB与△OA′B′是相似比为1∶2 的位似图形，点O为位似中心，若△OAB 内一点P(x，y)与△OA′B′内一点P′是一对对应点，则点P′的坐标为()A．(－x，－y)B．(－2x，－2y)C．(－2x,2y)D．(2x，－2y)4.在下列图形中，不是位似图形的是()A．B．C．D．5.如果两个相似三角形的周长比为1∶4，那么这两个三角形的相似比为()A．1∶2B．1∶4C．1∶8D．1∶166.已知图(1)、(2)中各有两个三角形，其边长和角的度数已在图上标注，图(2)中AB、CD交于O点，对于各图中的两个三角形而言，下列说法正确的是()A．只有(1)相似B．只有(2)相似C．都相似D．都不相似7.如图，在直角坐标系xOy中，A(－4,0)，B(0,2)，连接AB并延长到C，连接CO，若△COB∽△CAO，则点C的坐标为()A．(1，)B．(，)C．(，2)D．(，2)8.已知△ABC∽△DEF，△ABC的面积为1，△DEF的面积为4，则△ABC与△DEF的周长之比为()A．1∶2B．1∶4C．2∶1D．4∶19.如图，直角坐标系中，线段AB两端点坐标分别为A(4,2)、B(8,0)，以原点O为位似中心，将线段AB缩小后得到对应线段A1B1，若B1的坐标为(－4,0)，则A1的坐标为()A．(2,1)B．(－2，－1)C．(－1,2)D．(－4，－2)10.两个相似三角形的最短边分别是5 cm和3 cm，它们的周长之差为12 cm，那么小三角形的周长为()A．14 cmB．16 cmC．18 cmD．30 cm二、填空题11.如图，△ABC中，BC＝1.若AD1＝AB，且D1E1∥BC，则D1E1＝；照这样继续下去，D1D2＝D1B，且D2E2∥BC；D2D3＝D2B，且D3E3∥BC；…；Dn－1Dn＝Dn－1B，且DnEn∥BC，则DnEn ＝____________(用含n的式子表示)．12.小红家的阳台上放置了一个晒衣架如图1.图2是晒衣架的侧面示意图，立杆AB、CD相交于点O，B、D两点立于地面，经测量：AB＝CD＝136 cm，OA＝OC＝51 cm，OE＝OF＝34 cm，现将晒衣架完全稳固张开，扣链EF成一条线段，且EF＝32 cm.垂挂在衣架上的连衣裙总长度小于__________ cm时，连衣裙才不会拖落到地面上．图1图213.如图，正方形ABCD中，BC＝2，点M是边AB的中点，连接DM，DM与AC交于点P，点E在DC上，点F在DP上，且∠DFE＝45°.若PF＝，则CE＝________.14.如图，△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(－1,0)．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC放大到原来的2倍．设点B的对应点B′的横坐标是a，则点B的横坐标是______________．15.若＝＝，且a＋b＋c＝6，则a－b＋c＝________.16.如图，在△ABC中，AB≠AC.D、E分别为边AB、AC上的点．AC＝3AD，AB＝3AE，点F为BC边上一点，添加一个条件：________________，可以使得△FDB与△ADE相似．(只需写出一个)17.已知△ABC与△A1B1C1的相似比为2∶3，△A1B1C1与△A2B2C2的相似比为3∶5，那么△ABC 与△A2B2C2的相似比为__________．18.如图，点A1，A2在射线OA上，B1在射线OB上，依次作A2B2∥A1B1，A3B2∥A2B1，A3B3∥A2B2，A4B3∥A3B2，….若△A2B1B2和△A3B2B3的面积分别为1,9，则△A1007B1007A1008的面积是__________．19.如图，AB是半圆直径，半径OC⊥AB于点O，D为半圆上一点，AC∥OD，AD与OC交于点E，连接CD、BD，给出以下三个结论：①OD平分∠COB；②BD＝CD；③CD2＝CE·CO，其中正确结论的序号是________．20.如图，l1∥l2∥l3，两条直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和D、E、F，已知＝，则＝__________.三、解答题21.如图，点C为线段AB上任意一点(不与A、B两点重合)，分别以AC、BC为一腰在AB的同侧作等腰△ACD和等腰△BCE，CA＝CD，CB＝CE，∠ACD与∠BCE都是锐角且∠ACD＝∠BCE，连接AE交CD于点M，连接BD交CE于点N，AE与BD交于点P，连接PC.(1)求证：△ACE≌△DCB；(2)请你判断△AMC与△DPM的形状有何关系，并说明理由．22.课本中有一道作业题：有一块三角形余料ABC，它的边BC＝120 mm，高AD＝80 mm.要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．(1)加工成的正方形零件的边长是多少mm?(2)如果原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图1，此时，这个矩形零件的两条边长又分别为多少？请你计算．(3)如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图2，这样，此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长．23.如图，延长△ABC的边BC到D，使CD＝BC.取AB的中点F，连接FD交AC于点E.求EC∶AC 的值．24.已知：△ABC∽△A′B′C′，它们的周长之差为20，面积比为4∶1，求△ABC和△A′B′C′的周长．25.如图，l1∥l2∥l3，AB＝3，AD＝2，DE＝4，EF＝7.5，求BC、BF的长．26.如图，已知AC∥BD，AB和CD相交于点E，AC＝6，BD＝4，F是BC上一点，S△BEF∶S△EFC ＝2∶3.(1)求EF的长；(2)如果△BEF的面积为4，求△ABC的面积．27.如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，F为CA延长线上一点，∠F＝∠C.(1)若BC＝8，求FD的长；(2)若AB＝AC，求证：△ADE∽△DFE.28.如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交BC，AC于点D，E，BE交AD于点F，AB＝A D.(1)判断△FDB与△ABC是否相似，并说明理由．(2)AF与DF相等吗？为什么？答案解析1.【答案】C【解析】∵AD∥BE∥CF，∴＝，即＝，解得EF＝8，故选C.2.【答案】D【解析】设这个数是x，则3x＝4×6或4x＝3×6或6x＝3×4，解得x＝8或x＝4.5或x＝2，所以，这个数是2,8或4.5.故选D.3.【答案】B【解析】∵P(x，y)，相似比为1∶2，点O为位似中心，∴P′的坐标是(－2x，－2y)．故选B.4.【答案】D【解析】对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形．根据位似图形的概念，A、B、C三个图形中的两个图形都是位似图形；D中的两个图形不符合位似图形的概念，对应顶点不能相交于一点，故不是位似图形．故选D.5.【答案】B【解析】∵两个相似三角形的周长比为1∶4，∴这两个三角形的相似比为1∶4，故选B.6.【答案】C【解析】对于图(1)：180°－75°－35°＝70°，则两个三角形中有两组角对应相等，所以(1)图中的两个三角形相似；对于(2)图：由于＝，∠AOC＝∠DOB，所以△AOC∽△DOB.故选C.7.【答案】B【解析】∵A(－4,0)，B(0,2)，∴OA＝4，OB＝2，∵△COB∽△CAO，∴＝＝＝＝，∴CO＝2CB，AC＝2CO，∴AC＝4CB，∴＝，过点C作CD⊥y轴于点D，∵AO⊥y轴，∴AO∥CD，∴△AOB∽△CDB，∴＝＝＝，∴CD＝AO＝，BD＝OB＝，∴OD＝OB＋BD＝2＋＝，∴点C的坐标为.故选B.8.【答案】A【解析】∵△ABC∽△DEF，∴△ABC的面积：△DEF的面积＝△ABC与△DEF的周长之比的平方，而△ABC的面积为1，△DEF的面积为4，∴△ABC与△DEF的周长之比＝1∶2.故选A.9.【答案】B【解析】∵线段AB两端点坐标分别为A(4,2)、B(8,0)，以原点O为位似中心，将线段AB缩小后得到对应线段A1B1，若B1的坐标为(－4,0)，∴对应点在原点的两侧，且位似比为2∶1，则A1的坐标为(－2，－1)．故选B.10.【答案】C【解析】根据题意，得两三角形的周长的比为5∶3，设两三角形的周长分别为5x cm,3x cm，则5x－3x＝12，解得x＝6，所以3x＝18，即小三角形的周长为18 cm.故选C.11.【答案】1－【解析】∵D1E1∥BC，∴△AD1E1∽△ABC，∴＝，∵BC＝1，AD1＝AB，∴D1E1＝；∵D1D2＝D1B，∴AD2＝AB，同理可得：D2E2＝＝1－＝1－，D3E3＝＝1－，∴DnEn＝1－.12.【答案】120【解析】∵AB、CD相交于点O，∴∠AOC＝∠BOD∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝(180°－∠BOD)，同理可证：∠OBD＝∠ODB＝(180°－∠BOD)，∴∠OAC＝∠OBD，∴AC∥BD，在Rt△OEM中，OM＝＝30(cm)，过点A作AH⊥BD于点H，同理可证：EF∥BD，∴∠ABH＝∠OEM，则Rt△OEM∽Rt△ABH，∴＝，AH＝＝＝120(cm)，所以垂挂在衣架上的连衣裙总长度小于120 cm时，连衣裙才不会拖落到地面上．13.【答案】【解析】如图，连接EF.∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝DA＝2，∠DAB＝90°，∠DCP＝45°，∴AM＝BM＝1，在Rt△ADM中，DM＝＝＝，∵AM∥CD，∴＝＝，∴DP＝DM＝，∵PF＝，∴DF＝DP＝PF＝，∵∠EDF＝∠PDC，∠DFE＝∠DCP，∴△DEF∽△DPC，∴＝，∴＝，∴DE＝，∴CE＝CD－DE＝2－＝.故答案为.14.【答案】(a＋3)【解析】设点B的横坐标为x，则B、C间的横坐标的长度为－1－x，B′、C间的横坐标的长度为a＋1，∵△ABC放大到原来的2倍得到△A′B′C，∴2(－1－x)＝a＋1，解得x＝(a＋3)．15.【答案】3【解析】设＝＝＝k，则a＝2k，b＝3k，c＝7k，∵a＋b＋c＝6，∴2k＋3k＋7k＝6，解得k＝，所以，a＝2×＝1，b＝3×＝，c＝7×＝，所以，a－b＋c＝1－＋＝3.16.【答案】DF∥AC(或∠BFD＝∠A)【解析】DF∥AC，或∠BFD＝∠A.理由：∵∠A＝∠A，＝＝，∴△ADE∽△ACB，∴①当DF∥AC时，△BDF∽△BAC，∴△BDF∽△EAD.②当∠BFD＝∠A时，∵∠B＝∠AED，∴△FBD∽△AED.17.【答案】2∶5【解析】∵△ABC与△A1B1C1的相似比为2∶3，△A1B1C1与△A2B2C2的相似比为3∶5，∴AB∶A1B1＝2∶3，A1B1∶A2B2＝3∶5，设AB＝2x，则A1B1＝3x，A2B2＝5x，∴AB∶A2B2＝2∶5，∴△ABC与△A2B2C2的相似比为2∶5.18.【答案】34 031【解析】∵△A2B1B2和△A3B2B3的面积分别为1,9，A3B3∥A2B2，A3B2∥A2B1，∴∠B1B2A2＝∠B2B3A3，∠A2B1B2＝∠A3B2B3，∴△A2B1B2∽△A3B2B3,∴＝＝＝＝，∵A3B2∥A2B1，∴△OA2B1∽△OA3B2，∴＝＝＝，∴△OB1A2的面积为，△A1B1A2的面积为，△A2B2A3的面积为3，△A3B3A4的面积为27，…∴△A1 007B1 007A1 008的面积为×3(2 017－1)＝34 031，故答案为34 031.19.【答案】①②③【解析】①∵OC⊥AB，∴∠BOC＝∠AOC＝90°.∵OC＝OA，∴∠OCA＝∠OAC＝45°.∵AC∥OD，∴∠BOD＝∠CAO＝45°，∴∠DOC＝45°，∴∠BOD＝∠DOC，∴OD平分∠COB.故①正确；②∵∠BOD＝∠DOC，∴BD＝CD.故②正确；③∵∠AOC＝90°，∴∠CDA＝45°，∴∠DOC＝∠CDA.∵∠OCD＝∠OCD，∴△DOC∽△EDC，∴＝，∴CD2＝CE·CO.故③正确．故答案为①②③.20.【答案】【解析】∵l1∥l2∥l3，∴＝，∵＝，∴＝.21.【答案】(1)证明∵∠ACD＝∠BCE，∴∠ACD＋∠DCE＝∠BCE＋∠DCE，∴∠ACE＝∠DCB，又∵CA＝CD，CE＝CB，在△ACE和△DCB中，∴△ACE≌△DCB(SAS)．(2)解△AMC∽△DMP.理由：∵△ACE≌△DCB，∴∠CAE＝∠CDB，又∵∠AMC＝∠DMP，∴△AMC∽△DMP.【解析】(1)证明∠ACE＝∠DCB，根据“SAS”证明全等；(2)由(1)得∠CAM＝∠PDM，又∠AMC＝∠DMP，所以两个三角形相似．22.【答案】解(1)如图1，设正方形的边长为x mm，则PN＝PQ＝ED＝x，∴AE＝AD－ED＝80－x，∵PN∥BC，∴△APN∽△ABC，∴＝，即＝，解得x＝48.∴加工成的正方形零件的边长是48 mm；(2)如图2，设PQ＝x，则PN＝2x，AE＝80－x，∵PN∥BC，∴△APN∽△ABC，∴＝，即＝，解得x＝，∴2x＝，∴这个矩形零件的两条边长分别为mm，mm；(3)如图3，设PN＝x(mm)，矩形PQMN的面积为S(mm2)，由条件可得△APN∽△ABC，∴＝，即＝，解得PQ＝80－x.则S＝PN·PQ＝x(80－x)＝－x2＋80x＝－(x－60)2＋2 400，故S的最大值为2 400 mm2，此时PN＝60 mm，PQ＝80－×60＝40(mm)．【解析】(1)设正方形的边长为x mm，则PN＝PQ＝ED＝x，AE＝AD－ED＝80－x，通过证明△APN∽△ABC，利用相似比可得到＝，然后根据比例性质求出x即可；(2)由于矩形是由两个并排放置的正方形所组成，则可设PQ＝x，则PN＝2x，AE＝80－x，然后与(1)的方法一样求解；(3)设PN＝x，用PQ表示出AE的长度，然后根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式并用x表示出PN，然后根据矩形的面积公式列式计算，再根据二次函数的最值问题解答．23.【答案】解取BC中点G，则CG＝BC，连接GF，如图所示：又∵F为AB中点，∴FG∥AC，且FG＝AC，∴EC∥FG，∴＝，∵CG＝BC，DC＝BC，设CG＝k，那么DC＝BC＝2k，DG＝3k，∴＝＝即EC＝FG，∵FG＝AC∴EC＝AC，∴EC∶AC＝1∶3.【解析】取BC中点G，则CG＝BC，连接GF，得出FG∥AC，FG＝AC，证出EC＝FG，进而得出答案．24.【答案】解∵△ABC∽△A′B′C′，面积比为4∶1，∴相似比为2∶1，周长比为2∶1.∵周长比相差1，而周长之差为20，∴每份周长为20，∴△ABC的周长是2×20＝40，△A′B′C′的周长是1×20＝20.【解析】根据面积的比等于相似比的平方可求出相似比的值，相似三角形周长的比等于相似比可分别求出周长．25.【答案】解∵l1∥l2∥l3，∴＝，∵AB＝3，AD＝2，DE＝4，∴＝，解得BC＝6，∵l1∥l2∥l3，∴＝，∴＝，解得BF＝2.5.【解析】由平行线分线段成比例解答即可．26.【答案】解(1)∵AC∥BD，∴＝，∵AC＝6，BD＝4，∴＝＝.∵△BEF和△CEF同高，且S△BEF∶S△CEF＝2∶3，∴＝，∴＝.∴EF∥BD，∴＝，∴＝，∴EF＝.(2)∵AC∥BD，EF∥BD，∴EF∥AC，∴△BEF∽△ABC，∴＝.∵＝，∴＝.∵S△BEF＝4，∵＝，∴S△ABC＝25.【解析】27.【答案】解(1)∵D、E分别是边AB、AC的中点，∴DE＝BC，DE∥BC.∴∠AED＝∠C.∵∠F＝∠C，∴∠AED＝∠F，∴FD＝DE＝BC＝4；(2)∵AB＝AC，DE∥BC.∴∠B＝∠C＝∠AED＝∠ADE，∵∠AED＝∠F，∴∠ADE＝∠F，又∵∠AED＝∠AED，∴△ADE∽△DFE.【解析】(1)利用三角形中位线的性质得出DE∥BC，进而得出∠AED＝∠F，即可得出FD＝DE，即可得出答案；(2)利用等腰三角形的性质和平行线的性质得出∠B＝∠C＝∠AED＝∠ADE，即可得出∠ADE ＝∠F，即可得出△ADE∽△DFE.28.【答案】解(1)∵DE是BC垂直平分线，∴BE＝CE，∴∠EBC＝∠ECB，∵AB＝AD，∴∠ABC＝∠ADB，∴△FDB∽△ABC；(2)∵△FDB∽△ABC，∴＝＝，∴AB＝2FD，∵AB＝AD，∴AD＝2FD，∴DF＝AF.【解析】(1)易证∠EBC＝∠ECB和∠ABC＝∠ADB，即可判定△FDB与△ABC相似；(2)根据相似三角形对应边比例相等的性质即可求得DF＝AB，即可解题．人教版数学九年级下册第二十七章相似单元检测题人教版数学九年级下册第二十七章相似单元检测题一、选择题1. 下列图形中,不是相似图形的有( B )A. 0组B. 1组C. 2组D. 3组2.如图，在等边△ABC中，D为AC边上的一点，连接BD，M为BD上一点，且∠AMD＝60°，AM交BC于E.当M为BD中点时，的值为( B )A．B．C．D．3.若m、n、a、b成比例线段，则下列各式正确的是( A )A．m∶n＝a∶b B．m∶n＝b∶aC．a∶b＝n∶m D．a∶m＝n∶b4.如图，用放大镜将图形放大，这种图形的改变是( A )A．相似B．平移C．轴对称D．旋转5.如图所示，△ABC与△A′B′C′相似，那么下列记法中正确的是( C )A.△ACB ∽△A ′B ′C ′B.△BAC ∽△C ′B ′A ′C.△BCA ∽△B ′C ′A ′D.△ABC ∽△C ′A ′B ′ 6.在△ABC 与△A ′B ′C ′中，有下列条件：(1)＝，(2)＝；(3)∠A ＝∠A ′；(4)∠C ＝∠C ′，如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△ABC ∽△A ′B ′C ′的共有( C ) A ． 1组 B ． 2组 C ． 3组 D ． 4组7. 位似图形的位似中心可以在( D )A ．原图形外B ．原图形内C ．原图形上D ．以上三种可能都有 8.下列说法中正确的是( D )①在两个边数相同的多边形中，如果各对应边成比例，那么这两个多边形相似； ②两个矩形有一组邻边对应成比例，这两个矩形相似； ③有一个角对应相等的平行四边形都相似； ④有一个角对应相等的菱形都相似． A ． ①② B ． ②③ C ． ③④ D ． ②④9.已知y ＋z x ＝x ＋z y ＝x ＋y z ＝k ，则y ＝kx ＋k 的图象一定经过的象限是( B )A ．一、二B ．二、三C ．二、四D ．一、三10.若△ABC ～△A ′B ′C ′，面积比为1∶4，则△ABC 与△A ′B ′C ′的相似比为( D ) A ． 16∶1 B ． 1∶16C ． 2∶1D ． 1∶2二、填空题 11. 如图,四边形ABCD ∽四边形A'B'C'D',则∠1= ,AD = .【答案】70° 2812.如图，已知矩形OABC 与矩形ODEF 是位似图形，P 是位似中心，若点B 的坐标为(2,4)，点E 的坐标为(－1,2)，则点P 的坐标为________．【答案】(－2,0)13.若k ＝a －2b c ＝b －2c a ＝c －2ab ，且a ＋b ＋c ≠0，则k ＝ .【答案】-114.两个相似多边形，如果它们对应顶点所在的直线______________________，那么这样的两个图形叫做位似图形． 【答案】相交于一点15. 如图,△ABC 与△A'B'C'是位似图形,点O 是位似中心,若OA =2AA',S △ABC =8,则S △A'B'C'= .【答案】18 二、解答题16.如图，AC 是圆O 的直径，AB 、AD 是圆O 的弦，且AB ＝AD ，连接BC 、D C.(1)求证：△ABC ≌△ADC ；(2)延长AB 、DC 交于点E ，若EC ＝5 cm ，BC ＝3 cm ，求四边形ABCD 的面积．【答案】(1)证明 ∵AC 是圆O 的直径， ∴∠ABC ＝∠D ＝90°， 在Rt △ABC 与Rt △ADC 中，，∴Rt △ABC ≌Rt △ADC ；(2)解 由(1)知Rt △ABC ≌Rt △ADC ， ∴CD ＝BC ＝3，AD ＝AB ， ∴DE ＝5＋3＝8，∵∠EAD ＝∠ECB ，∠D ＝∠EBC ＝90°， ∴△EAD ∽△ECB ， ∴＝，∵BE ＝＝4，∴＝，∴AD ＝6，∴四边形ABCD 的面积＝S △ABC ＋S △ACD ＝2××3×6＝18 cm 217.已知四边形ABCD 和A 1B 1C 1D 1中，AB A 1B 1＝BC B 1C 1＝CD C 1D 1＝AD A 1D 1＝35，且周长之差为12cm ，两个四边形的周长分别是多少？解：设四边形ABCD 和四边形A 1B 1C 1D 1的周长分别为C 1和C 2，∵AB A 1B 1＝BC B 1C 1＝CD C 1D 1＝AD A 1D 1＝35，∴AB ＋BC ＋CD ＋AD A 1B 1＋B 1C 1＋C 1D 1＋A 1D 1＝35，∴C 1C 2＝35，∴C 1＝35C 2，∵C 2－C 1＝12，∴C 2－35C 2＝12，∴C 2＝30，∴C 1＝18.答：两个四边形的周长分别为18cm 和30cm.18.如图，已知△ABC中，点D在边BC上，∠DAB＝∠B，点E在边AC上，满足AE·CD＝AD·CE.(1)求证：DE∥AB；(2)如果点F是DE延长线上一点，且BD是DF和AB的比例中项，连接AF.求证：DF＝AF.【答案】证明(1)∵AE·CD＝AD·CE，∴＝，∵∠DAB＝∠B，∴AD＝BD，∴＝，∴DE∥AB；(2)∵BD是DF和AB的比例中项，∴BD2＝DF·AB，∵AD＝BD，∴AD2＝DF·AB，∴＝＝1，∵DE∥AB，∴∠ADF＝∠BAD，∴△ADF∽△DBA，∴＝，∴DF＝AF.19.如图所示，△ABC是等边三角形，P是BC上一点，且△ABP∽△PCD.求∠APD的度数．解：△ABP∽△PCD，∴∠BAP＝∠CPD.∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°，∴∠BAP＋∠BPA＝180°－60°＝120°，∴∠BPA＋∠CPD＝120°，∴∠APD＝180°－(∠BPA＋∠CPD)＝180°－120°＝60°.20.如图，已知：D，E分别是△ABC的AB，AC边上的点，且△ABC∽△ADE，AD∶DB＝1∶3，DE＝2，求BC的长．【答案】解∵AD∶DB＝1∶3，∴AD∶AB＝1∶4，∵△ABC∽△ADE，∴AD∶AB＝DE∶BC，∵DE＝2，∴BC＝8.21.在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC边上一点，过点D作∠ADE＝45°，DE 交AC于点E，求证：△ABD∽△DCE.【答案】证明如图所示：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴△ABC为等腰直角三角形，∴∠B＝∠C＝45°，∴∠1＋∠2＝180°－∠B＝135°，∵∠ADE＝45°，∴∠2＋∠3＝135°，∴∠1＝∠3，∵∠B＝∠C，∴△ABD ∽△DCE .22. 如图,在平面直角坐标系中,△ABC 的顶点坐标为A (-2,3),B (-3,2),C (-1,1).(1)若将△ABC 向右平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度,请画出平移后的△A 1B 1C 1; (2)画出△A 1B 1C 1绕原点旋转180°后得到的△A 2B 2C 2;(3)△A'B'C'与△ABC 是位似图形,请写出位似中心的坐标: ; (4)顺次连接C ,C 1,C',C 2,所得到的图形是轴对称图形吗? (1) 【答案】如答图.(2) 【答案】如答图. (3) 【答案】(0,0)(4) 【答案】如答图,所得图形是轴对称图形.人教版九下数学《第27章相似》单元测试卷（解析版）一．选择题（共10小题）1．已知2x＝3y，则下列比例式成立的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝2．已知线段a、b、c、d满足ab＝cd，把它改写成比例式，错误的是（）A．a：d＝c：b B．a：b＝c：d C．d：a＝b：c D．a：c＝d：b 3．已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，则下列等式中成立的是（）A．AB2＝AC•CB B．CB2＝AC•AB C．AC2＝BC•AB D．AC2＝2BC•AB 4．AD是△ABC的中线，E是AD上一点，AE：ED＝1：3，BE的延长线交AC于F，AF：FC＝（）A．1：3B．1：4C．1：5D．1：65．通过一个3倍的放大镜看一个△ABC，下面说法正确的是（）A．△ABC放大后，∠A是原来的3倍B．△ABC放大后周长是原来的3倍C．△ABC放大后，面积是原来的3倍D．以上都不对6．如图，一张矩形纸片ABCD的长AB＝a，宽BC＝b．将纸片对折，折痕为EF，所得矩形AFED与矩形ABCD相似，则a：b＝（）A．2：1B．：1C．3：D．3：27．如图所示，△ACB∽△A′CB′，∠BCB′＝30°，则∠ACA′的度数为（）A．20°B．30°C．35°D．40°8．如图，已知在△ABC中，P为AB上一点，连接CP，以下条件中不能判定△ACP∽△ABC 的是（）A．∠ACP＝∠B B．∠APC＝∠ACB C．D．9．如图，点F是▱ABCD的边CD上一点，直线BF交AD的延长线于点E，则下列结论错误的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝10．如图，身高1.6m的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA由B向A走去，当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC＝3.2m，CA＝0.8m，则树的高度为（）A．4.8 m B．6.4 m C．8 m D．10 m二．填空题（共5小题）11．已知3x＝5y，则＝．12．在比例尺为1：2000的地图上，测得A、B两地间的图上距离为4.5厘米，则其实际距离为米．13．点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），AB＝2，则AC＝．（用根号表示）14．如图，在△ABC中，DE∥BC，若AD＝1，DB＝2，则的值为．15．若一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，则此三角形的周长扩大为原来的倍．三．解答题（共5小题）16．已知线段a、b、c满足，且a+2b+c＝26．（1）求a、b、c的值；（2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x．17．如图，A、B两地隔着湖水，从C地测得CA＝50m，CB＝60m，∠ACB＝145°，用1厘米代表10米（就是1：1000的比例尺）画出如图的图形．量出AB的长（精确到1毫米），再换算出A、B间的实际距离．18．定义：如图1，点C在线段AB上，若满足AC2＝BC•AB，则称点C为线段AB的黄金分割点．如图2，△ABC中，AB＝AC＝2，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D．（1）求证：点D是线段AC的黄金分割点；（2）求出线段AD的长．19．如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和点D、E、F．（1）如果AB＝6，BC＝8，DF＝21，求DE的长；（2）如果DE：DF＝2：5，AD＝9，CF＝14，求BE的长．20．如图，菱形、矩形与正方形的形状有差异，我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为“接近度”．在研究“接近度”时，应保证相似图形的“接近度”相等．（1）设菱形相邻两个内角的度数分别为m°和n°，将菱形的“接近度”定义为|m﹣n|，于是|m﹣n|越小，菱形越接近于正方形．①若菱形的一个内角为70°，则该菱形的“接近度”等于；②当菱形的“接近度”等于时，菱形是正方形．（2）设矩形相邻两条边长分别是a和b（a≤b），将矩形的“接近度”定义为|a﹣b|，于是|a﹣b|越小，矩形越接近于正方形．你认为这种说法是否合理？若不合理，给出矩形的“接近度”一个合理定义．2019年人教版九下数学《第27章相似》单元测试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．【分析】把各个选项依据比例的基本性质，两内项之积等于两外项之积，已知的比例式可以转化为等积式2x＝3y，即可判断．【解答】解：A、变成等积式是：xy＝6，故错误；B、变成等积式是：3x＝2y，故错误；C、变成等积式是：2x＝3y，故正确；D、变成等积式是：3x＝2y，故错误．故选：C．【点评】本题主要考查了判断两个比例式是否能够互化的方法，即转化为等积式，判断是否相同即可．2．【分析】根据比例的基本性质：两外项之积等于两内项之积．对选项一一分析，选出正确答案．【解答】解：A、a：d＝c：b⇒ab＝cd，故正确；B、a：b＝c：d⇒ad＝bc，故错误；C、d：a＝b：c⇒dc＝ab，故正确；D、a：c＝d：b⇒ab＝cd，故正确．故选：B．【点评】掌握比例的基本性质，根据比例的基本性质实现比例式和等积式的互相转换．3．【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（）叫做黄金比．【解答】解：根据线段黄金分割的定义得：AC2＝BC•AB．故选：C．【点评】本题主要考查了黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键，难度适中．4．【分析】作DH∥BF交AC于H，根据三角形中位线定理得到FH＝HC，根据平行线分线段成比例定理得到＝＝，计算得到答案．【解答】解：作DH∥BF交AC于H，∵AD是△ABC的中线，∴FH＝HC，∵DH∥BF，∴＝＝，∴AF：FC＝1：6，故选：D．【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．5．【分析】根据相似三角形的性质，相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方来判断．【解答】解：用一个能放大3倍的放大镜看△ABC，则看到的三角形与△ABC相似，相似比是3：1，A、两个相似三角形的对应角相等，故A错；B、周长的比等于相似比，即△ABC放大后，周长是原来的3倍，故B正确；C、面积的比是相似比的平方，即9：1，△ABC放大后，面积是原来的9倍，故C错；D、A选项错误，故D错．故选：B．【点评】本题考查对相似三角形性质的理解．（1）相似三角形周长的比等于相似比．（2）相似三角形面积的比等于相似比的平方．（3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．6．【分析】根据折叠性质得到AF＝AB＝a，再根据相似多边形的性质得到＝，即＝，然后利用比例的性质计算即可．【解答】解：∵矩形纸片对折，折痕为EF，∴AF＝AB＝a，∵矩形AFED与矩形ABCD相似，∴＝，即＝，∴（）2＝2，∴＝．故选：B．【点评】本题考查了相似多边形的性质：相似多边形对应边的比叫做相似比．相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．7．【分析】根据相似三角形性质求出∠ACB＝∠A′CB′，都减去∠A′CB即可．【解答】解：∵△ACB∽△A′CB′，∴∠ACB＝∠A′CB′，∴∠ACB﹣∠A′CB＝∠A′CB′﹣∠A′CB，∴∠ACA′＝∠BCB′，∵∠BCB′＝30°，∴∠ACA′＝30°，故选：B．【点评】本题考查了相似三角形性质的应用，注意：相似三角形的对应角相等．8．【分析】A、加一公共角，根据两角对应相等的两个三角形相似可以得结论；B、加一公共角，根据两角对应相等的两个三角形相似可以得结论；C、其夹角不相等，所以不能判定相似；D、其夹角是公共角，根据两边的比相等，且夹角相等，两三角形相似．【解答】解：A、∵∠A＝∠A，∠ACP＝∠B，∴△ACP∽△ABC，所以此选项的条件可以判定△ACP∽△ABC；B、∵∠A＝∠A，∠APC＝∠ACB，∴△ACP∽△ABC，所以此选项的条件可以判定△ACP∽△ABC；C、∵，当∠ACP＝∠B时，△ACP∽△ABC，所以此选项的条件不能判定△ACP∽△ABC；D、∵，又∠A＝∠A，∴△ACP∽△ABC，所以此选项的条件可以判定△ACP∽△ABC，本题选择不能判定△ACP∽△ABC的条件，故选：C．【点评】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是关键．9．【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得CD∥AB，AD∥BC，CD＝AB，AD＝BC，然后平行线分线段成比例定理，对各项进行分析即可求得答案．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，AD∥BC，CD＝AB，AD＝BC，∴＝，故A正确，选项不符合题意；∴＝正确，B选项不符合题意；＝，正确，故C不符合题意；∴＝，错误，D符合题意．故选：D．【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，找准对应关系，避免错选其他答案．10．【分析】可由平行线分线段成比例求解线段的长度．【解答】解：由题意可得，＝，即树高＝＝8m，故选：C．【点评】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握平行线分线段成比例的性质是解题的关键．二．填空题（共5小题）11．【分析】根据两外项的积等于两内项的积，可得答案．【解答】解：∵3x＝5y，∴＝，故答案为：．【点评】本题考查了比例的性质，利用了比例的性质：外项的积等于内项的积．12．【分析】根据比例尺＝图上距离：实际距离，依题意列出比例式，即可求得实际距离．【解答】解：设A，B两地的实际距离为xcm，则：1：2000＝4.5：x，解得x＝9000．9000cm＝90m．故答案为：90．【点评】本题考查了比例尺的定义．要求能够根据比例尺由图上距离正确计算实际距离，注意单位的换算．13．【分析】用AC表示出BC，然后根据黄金分割点的定义列方程求解即可．【解答】解：∵AC＞BC，AB＝2，∴BC＝AB﹣AC＝2﹣AC，∵点C是线段AB的黄金分割点，∴AC2＝AB•BC，∴AC2＝2（2﹣AC），整理得，AC2+2AC﹣4＝0，解得AC＝﹣1+，AC＝﹣1﹣（舍去）．故答案为：﹣1+．【点评】本题考查了黄金分割，熟记黄金分割点的定义并列出关于AC的方程是解题的关键．14．【分析】根据平行线分线段成比例定理推出＝，代入求出即可．【解答】解：∵DE∥BC，∴＝，∵AD ＝1，BD ＝2，∴AB ＝3，∴＝，故答案为：．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，注意：一组平行线被两条直线所截的对应线段成比例中的对应．题目较好，但是一道比较容易出错的题目．15．【分析】由题意一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，根据相似三角形的性质及对应边长成比例来求解．【解答】解：∵一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，∴扩大后的三角形与原三角形相似，∵相似三角形的周长的比等于相似比，∴这个三角形的周长扩大为原来的5倍，故答案为：5．【点评】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的周长的比等于相似比．三．解答题（共5小题）16．【分析】（1）设比值为k ，然后用k 表示出a 、b 、c ，再代入等式求解得到k ，然后求解即可；（2）根据比例中项的定义列式求解即可．【解答】解：（1）设＝＝＝k ，则a ＝3k ，b ＝2k ，c ＝6k ，所以，3k +2×2k +6k ＝26，解得k ＝2，所以，a ＝3×2＝6，b ＝2×2＝4，c ＝6×2＝12；（2）∵线段x 是线段a 、b 的比例中项，∴x2＝ab＝6×4＝24，∴线段x＝2．【点评】本题考查了比例的性质，比例线段，利用“设k法”用k表示出a、b、c可以使计算更加简便．17．【分析】根据比例尺的定义，1厘米代表10米，把CA＝50m，CB＝60m，转化为CA ＝5cm，CB＝6cm，结合题意画图，再测量AB的长，最后换算出A、B间的实际距离．【解答】解：如图，测得AB长约10.5cm，换算成实际距离约为10.5×1000＝10500cm＝105m．即A、B间的实际距离是105m．【点评】本题考查了比例问题以及两点之间的距离是连接两点的线段的长度．18．【分析】（1）判断△ABC∽△BDC，根据对应边成比例可得出答案．（2）根据黄金比值即可求出AD的长度．【解答】解：（1）∵∠A＝36°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝72°，∵BD平分∠ABC，∴∠CBD＝∠ABD＝36°，∠BDC＝72°，∴AD＝BD，BC＝BD，∴△ABC∽△BDC，∴＝，即＝，∴AD2＝AC•CD．∴点D是线段AC的黄金分割点．（2）∵点D是线段AC的黄金分割点，∴AD＝AC，∵AC＝2，∴AD＝﹣1．【点评】本题考查了黄金分割的知识，解答本题的关键是仔细审题，理解黄金分割的定义，注意掌握黄金比值．19．【分析】（1）根据三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例可得，再由AB＝6，BC＝8，DF＝21即可求出DE的长．（2）过点D作DG∥AC，交BE于点H，交CF于点G，运用比例关系求出HE及HB 的长，然后即可得出BE的长．【解答】解：（1）∵AD∥BE∥CF，∴，∵AB＝6，BC＝8，DF＝21，∴，∴DE＝9．（2）过点D作DG∥AC，交BE于点H，交CF于点G，则CG＝BH＝AD＝9，∴GF＝14﹣9＝5，∵HE∥GF，∴，∵DE：DF＝2：5，GF＝5，∴，∴HE＝2，∴BE＝9+2＝11．【点评】本题考查平行线分线段成比例的知识，综合性较强，关键是掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．20．【分析】（1）根据相似图形的定义知，相似图形的形状相同，但大小不一定相同，相似图形的“接近度”相等．所以若菱形的一个内角为70°，则该菱形的“接近度”等于|m﹣n|；当菱形的“接近度”等于0时，菱形是正方形；（2）不合理，举例进行说明．【解答】解：（1）①∵内角为70°，∴与它相邻内角的度数为110°．∴菱形的“接近度”＝|m﹣n|＝|110﹣70|＝40．②当菱形的“接近度”等于0时，菱形是正方形．（2）不合理．例如，对两个相似而不全等的矩形来说，它们接近正方形的程度是相同的，但|a﹣b|却不相等．合理定义方法不唯一．如定义为，越小，矩形越接近于正方形；越大，矩形与正方形的形状差异越大；当时，矩形就变成了正方形，即只有矩形的越接近1，矩形才越接近正方形．【点评】正确理解“接近度”的意思，矩形的“接近度”|a﹣b|越小，矩形越接近于正方形．这是解决问题的关键．。

第二十七章 相似27．1 图形的相似基础题知识点1 相似图形1．下列各组图形相似的是(B)2．下列各项中不是相似图形的是(C)A ．放大镜里看到的三角板与原来的三角板B ．同一张底片洗出的2寸相片和1寸相片C ．哈哈镜里看到的人像与真人像D ．课本里的中国地图和教室墙上挂的中国地图 知识点2 成比例线段3．下列各组线段成比例的是(D) A ．2 cm ，5 cm ，6 cm ，8 cm B ．1 cm ，2 cm ，3 cm ，4 cm C ．3 cm ，6 cm ，7 cm ，9 cm D ．3 cm ，6 cm ，9 cm ，18 cm4．已知线段a ，b ，c ，d 成比例，且a b ＝cd，其中a ＝8 cm ，b ＝4 cm ，c ＝12 cm ，则d ＝6cm.5．在比例尺为1∶200 000的地图上，测得A ，B 两地间的图上距离为4.5 cm ，则A ，B 两地间的实际距离为9__000m. 知识点3 相似多边形6．两个相似多边形一组对应边分别为3 cm ，4.5 cm ，那么它们的相似比为(A) A.23B.32C.49D.947．一个多边形的边长分别为2，3，4，5，6，另一个和它相似的多边形的最长边长为24，则这个多边形的最短边长为(B) A ．6 B ．8 C ．12 D ．108．(莆田中考)下列四组图形中，一定相似的是(D) A ．正方形与矩形 B ．正方形与菱形 C ．菱形与菱形D ．正五边形与正五边形9．如图是两个相似四边形，已知数据如图所示，则x ＝325，α＝80°．10．如图，四边形ABCD 的对角线相交于点O ，A ′，B ′，C ′，D ′分别是OA ，OB ，OC ，OD 的中点，判断四边形ABCD 与四边形A ′B ′C ′D ′是否相似，并说明理由．解：四边形ABCD 与四边形A ′B ′C ′D ′相似． 理由：∵A ′，B ′分别是OA ，OB 的中点， ∴A ′B ′∥AB ，A ′B ′＝12AB.∴∠OA ′B ′＝∠OAB ，A ′B ′AB ＝12.同理，∠OA ′D ′＝∠OAD ，A ′D ′AD ＝12.∴∠B ′A ′D ′＝∠BAD ，A ′B ′AB ＝A ′D ′AD.同理，∠A ′D ′C ′＝∠ADC ，∠D ′C ′B ′＝∠DCB ，∠C ′B ′A ′＝∠CBA ， A ′B ′AB ＝A ′D ′AD ＝D ′C ′DC ＝B ′C ′BC ， ∴四边形ABCD 与四边形A ′B ′C ′D ′相似．中档题11．用一个10倍的放大镜看一个15°的角，看到的角的度数为(C) A ．150° B ．105° C ．15° D ．无法确定大小12．已知四条线段的长度分别为2，x －1，x ＋1，4，且它们是成比例线段，则x 的值为(B) A ．2 B ．3 C ．－3 D ．3或－313．如图，正五边形FGHMN 与正五边形ABCDE 相似，若AB ∶FG ＝2∶3，则下列结论正确的是(B)A ．2DE ＝3MNB ．3DE ＝2MNC ．3∠A ＝2∠FD ．2∠A ＝3∠F14．(教材P28T5的变式)如图，DE ∥BC ，DE ＝3，BC ＝9，AD ＝1.5，AB ＝4.5，AE ＝1.4，AC ＝4.2.(1)求AD AB ，AE AC ，DEBC 的值；(2)证明△ADE 与△ABC 相似.解：(1)AD AB ＝1.54.5＝13，AE AC ＝1.44.2＝13， DE BC ＝39＝13. (2)∵DE ∥BC,∴∠D ＝∠B ，∠E ＝∠C.又∵∠DAE ＝∠BAC ，AD AB ＝AE AC ＝DEBC ，∴△ADE 与△ABC 相似．15．如图，G 是正方形ABCD 对角线AC 上一点，作GE ⊥AD ，GF ⊥AB ，垂足分别为点E ，F.求证：四边形AFGE 与四边形ABCD 相似．证明：∵四边形ABCD 是正方形，AC 是对角线， ∴∠DAC ＝∠BAC ＝45°. 又∵GE ⊥AD ，GF ⊥AB ，∴EG ＝FG ，且AE ＝EG ，AF ＝FG. ∴AE ＝EG ＝FG ＝AF. 又∵∠EAF ＝90°，∴四边形AFGE 为正方形． ∴AF AB ＝FG BC ＝GE CD ＝AEAD，且∠EAF ＝∠DAB ，∠AFG ＝∠ABC ，∠FGE ＝∠BCD ，∠AEG ＝∠ADC. ∴四边形AFGE 与四边形ABCD 相似．综合题16．(教材P28T8的变式)如图，把矩形ABCD 对折，折痕为MN ，矩形DMNC 与矩形ABCD 相似，已知AB ＝4. (1)求AD 的长；(2)求矩形DMNC 与矩形ABCD 的相似比．解：(1)若设AD ＝x(x ＞0)，则DM ＝x2.∵矩形DMNC 与矩形ABCD 相似，∴AD AB ＝DCDM ，即x 4＝4x 2.解得x ＝42(舍负)． ∴AD 的长为4 2.(2)矩形DMNC 与矩形ABCD 的相似比为 DC AD ＝442＝22.27．2 相似三角形 27．2.1 相似三角形的判定 第1课时 平行线分线段成比例基础题知识点1 相似三角形的有关概念1．如图所示，△ADE ∽△ACB ，∠AED ＝∠B ，那么下列比例式成立的是(A)A.AD AC ＝AE AB ＝DE BCB.AD AB ＝AE ACC.AD AE ＝AC AB ＝DE BCD.AE EC ＝DE BC2．已知△ABC 和△A ′B ′C ′相似，且△ABC 与△A ′B ′C ′的相似比为R 1，△A ′B ′C ′与△ABC 的相似比为R 2，则R 1与R 2的关系是(D) A ．R 1＝R 2 B ．R 1R 2＝－1 C ．R 1＋R 2＝0 D ．R 1R 2＝1 知识点2 平行线分线段成比例定理及推论3．如图，AB ∥CD ∥EF ，则下列结论不正确的是(C) A.AC CE ＝BD DFB.AC AE ＝BD BFC.BD CE ＝AC DFD.AE CE ＝BF DF4．(兰州中考)如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，若AD DB ＝23，则AEEC ＝(C)A.13B.25C.23D.355．(临沂中考)如图，已知AB ∥CD ，AD 与BC 相交于点O.若BO OC ＝23，AD ＝10，则AO ＝4．6．如图，EG ∥BC ，GF ∥CD ，AE ＝3，EB ＝2，AF ＝6，求AD 的值．解：∵EG ∥BC ，∴AE EB ＝AGGC .∵GF ∥CD ，∴AG GC ＝AFFD .∴AE EB ＝AF FD ，即32＝6FD. ∴FD ＝4.∴AD ＝AF ＋FD ＝10.知识点3 相似三角形判定的预备定理7．(杭州中考)如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，DE ∥BC ，若BD ＝2AD ，则(B) A.AD AB ＝12B.AE EC ＝12C.AD EC ＝12D.DE BC ＝128．(自贡中考)如图，在△ABC 中，MN ∥BC 分别交AB ，AC 于点M ，N.若AM ＝1，MB ＝2，BC ＝3，则MN 的长为1.9．如图，△ABC 中，点D 在BC 上，EF ∥BC ，分别交AB ，AC ，AD 于点E ，F ，G ，图中共有几对相似三角形？分别是哪几对？解：共有3对相似三角形，分别是：△AEG ∽△ABD ，△AGF ∽△ADC ，△AEF ∽△ABC.中档题10．(天津中考)如图，在▱ABCD 中，点E 是边AD 的中点，EC 交对角线BD 于点F ，则EF ∶FC 等于(D) A ．3∶2 B ．3∶1 C ．1∶1 D ．1∶211．(恩施中考)如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，∠ADE ＝∠EFC ，AD ∶BD ＝5∶3，CF ＝6，则DE 的长为(C) A ．6 B ．8 C ．10 D ．1212．(南京中考)如图，AB ，CD 相交于点O ，OC ＝2，OD ＝3，AC ∥BD.EF 是△ODB 的中位线，且EF ＝2，则AC 的长为83．13．在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝9，点D 在边AB 所在的直线上，且AD ＝2，过点D 作DE ∥BC 交边AC 所在的直线于点E ，则CE 的长为6或12．14．小明正在攀登一个如图所示的攀登架，DE 和BC 是两根互相平行的固定架，DE ＝10米，BC ＝18米，小明从底部固定点B 开始攀登，攀行8米，遇上第二个固定点D ，小明再攀行多少米可到达这个攀登架的顶部A?解：∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE.∴ADAB＝DEBC，即ADAD＋8＝1018.∴AD＝10.答：小明再攀行10米可到达这个攀登架的顶部A.15．如图，已知：AB＝AD，AC＝AE，FG∥DE.求证：△ABC∽△AFG.证明：∵AB＝AD，AC＝AE，∠BAC＝∠DAE，∴△ABC≌△ADE.∴BC＝DE，∠B＝∠ADE，∠C＝∠AED.∵FG∥DE，∴△AFG∽△ADE.∴AFAD＝AGAE＝FGDE.∴AFAB＝AGAC＝FGBC.又∵∠C＝∠AED＝∠G，∠B＝∠ADE＝∠F，∠BAC＝∠FAG，∴△ABC∽△AFG.综合题16．如图，AD∥EG∥BC，EG分别交AB，DB，AC于点E，F，G，已知AD＝6，BC＝10，AE＝3，AB＝5，求EG，FG的长．解：∵在△ABC中，EG∥BC，∴△AEG∽△ABC.∴EGBC＝AEAB，即EG 10＝35.∴EG ＝6. ∵在△BAD 中，EF ∥AD ， ∴△BEF ∽△BAD.∴EF AD ＝BEBA ，即EF 6＝5－35.∴EF ＝125. ∴FG ＝EG －EF ＝185.第2课时 相似三角形的判定定理1，2基础题知识点1 三边成比例的两个三角形相似1．有甲、乙两个三角形木框，甲三角形木框的三边长分别为1，2，5，乙三角形木框的三边长分别为5，5，10，则甲、乙两个三角形(A)A ．一定相似B ．一定不相似C ．不一定相似D ．无法判断2．已知△ABC 的三边长分别为6 cm ，7.5 cm ，9 cm ，△DEF 的一边长为4 cm ，当△DEF 的另两边长是下列哪一组数据时，这两个三角形相似(C) A ．2 cm ，3 cm B ．4 cm ，5 cm C ．5 cm ，6 cm D ．6 cm ，7 cm3．(宜昌模拟)下列四个三角形中，与图甲中的三角形相似的是(B)4．如图，在△ABC 中，AB ＝25，BC ＝40，AC ＝20.在△ADE 中，AE ＝12，AD ＝15，DE ＝24，试判断这两个三角形是否相似，并说明理由．解：相似．理由：∵AC AE ＝2012＝53，AB AD ＝2515＝53，BC DE ＝4024＝53， ∴AC AE ＝AB AD ＝BC DE . ∴△ABC ∽△ADE.知识点2 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似5．如图，在△ABC 与△ADE 中，∠BAC ＝∠D ，要使△ABC 与△ADE 相似，还需满足下列条件中的(C) A.AC AD ＝AB AEB.AC AD ＝BC DEC.AC AD ＝AB DED.AC AD ＝BC AE6．如图，已知△ABC ，则下列4个三角形中，与△ABC 相似的是(C)7．在△ABC 和△A ′B ′C ′中，若∠B ＝∠B ′，AB ＝6，BC ＝8，B ′C ′＝4，则当A ′B ′＝3时，△ABC ∽△A ′B ′C ′.8．如图，已知AB ·AD ＝AC ·AE ，∠B ＝30°，则∠E ＝30°．9．如图，已知正方形ABCD 中，P 是BC 上的点，且BP ＝3PC ，Q 是CD 的中点，求证：△ADQ ∽△QCP.证明：设正方形的边长为4a ，则AD ＝CD ＝BC ＝4a. ∵Q 是CD 的中点，BP ＝3PC ， ∴DQ ＝CQ ＝2a ，PC ＝a. ∴DQ PC ＝AD CQ ＝21. 又∵∠D ＝∠C ＝90°， ∴△ADQ ∽△QCP.中档题10．如图，在正方形网格上，若使△ABC ∽△PBD ，则点P 应在________处(C) A ．P 1 B ．P 2 C ．P 3 D ．P 411．如图，在等边△ABC 中，D ，E 分别在AC ，AB 上，且AD ∶AC ＝1∶3，AE ＝BE ，则有(B) A ．△AED ∽△BED B ．△AED ∽△CBD C ．△AED ∽△ABD D ．△BAD ∽△BCD12．(杭州中考)如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，∠AED ＝∠B ，射线AG 分别交线段DE ，BC 于点F ，G ，且AD AC ＝DF CG .(1)求证：△ADF ∽△ACG ； (2)若AD AC ＝12，求AFFG的值．解：(1)证明：∵∠AED ＝∠B ，∠DAE ＝∠BAC ， ∴∠ADF ＝∠C. 又∵AD AC ＝DF CG ，∴△ADF ∽△ACG. (2)∵△ADF ∽△ACG. ∴AD AC ＝AF AG ＝12. ∴AFFG＝1.13．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝1，BC ＝5－12，在AC 边上截取AD ＝BC ，连接BD.(1)通过计算，判断AD 2与AC ·CD 的大小关系； (2)求∠ABD 的度数．解：(1)∵AD ＝BC ＝5－12，∴AD 2＝(5－12)2＝3－52. ∵AC ＝1，∴CD ＝1－5－12＝3－52.∴AD 2＝AC ·CD.(2)∵AD 2＝AC ·CD ， ∴BC 2＝AC ·CD ，即BC CD ＝ACBC.又∵∠C ＝∠C ，∴△ABC ∽△BDC.∴AB BD ＝ACBC .又∵AB ＝AC ，∴BD ＝BC ＝AD.∴∠A ＝∠ABD ，∠ABC ＝∠C ＝∠BDC.设∠A ＝∠ABD ＝x ，则∠BDC ＝∠A ＋∠ABD ＝2x ， ∴∠ABC ＝∠C ＝∠BDC ＝2x.∴∠A ＋∠ABC ＋∠C ＝x ＋2x ＋2x ＝180°. 解得x ＝36°. ∴∠ABD ＝36°.综合题14．(武汉中考改编)如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6 cm ，BC ＝8 cm ，动点P 从点B 出发，在BA 边上以每秒5 cm 的速度向点A 匀速运动，同时动点Q 从点C 出发，在CB 边上以每秒4 cm 的速度向点B 匀速运动，运动时间为t 秒(0＜t ＜2)，连接PQ.若以B ，P ，Q 为顶点的三角形与△ABC 相似，求t 的值．解：由题意，得BP ＝5t ，QC ＝4t ，AB ＝10 cm ，BC ＝8 cm. ①∵∠PBQ ＝∠ABC ，∴若△BPQ ∽△BAC ，则还需BP BA ＝BQBC，即5t 10＝8－4t 8.解得t ＝1； ②∵∠PBQ ＝∠CBA ，∴若△BPQ ∽△BCA ，则还需BP BC ＝BQ BA ，即5t 8＝8－4t 10.解得t ＝3241. 综上所述，当t ＝1或3241时，以B ，P ，Q 为顶点的三角形与△ABC 相似．第3课时相似三角形的判定定理3基础题知识点1 两角分别相等的两个三角形相似1．有一个角为30°的两个直角三角形一定(B)A．全等B．相似C．既全等又相似D．无法确定2．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，则下列说法中错误的是(C)A．△ACD∽△CBD B．△ACD∽△ABCC．△BCD∽△ABC D．△BCD∽△BAC3．如图，锐角△ABC的边AB，AC上的高线CE，BF相交于点D，请写出图中的一对相似三角形答案不唯一，如：△BDE∽△CDF，△ABF∽△ACE．(用相似符号连接)4．已知△ABC中，∠A＝40°，∠B＝75°，下图各三角形中与△ABC相似的是△EFD，△HGK.5．(毕节中考)如图，在△ABC中，D为AB边上一点，且∠BCD＝∠A，已知BC＝22，AB＝3，则BD＝8 3．6．如图，点D，E在BC上，且FD∥AB，FE∥AC.求证：△ABC∽△FDE.证明：∵FD∥AB，FE∥AC，∴∠B＝∠FDE，∠C＝∠FED.∴△ABC∽△FDE.7．如图，已知D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，∠A＝35°，∠C＝90°，∠AED＝55°.求证：AD·AB＝AE·AC.证明：∵∠A ＝35°，∠C ＝90°，∴∠B ＝180°－∠A －∠C ＝180°－35°－90°＝55°. ∴∠B ＝∠AED ＝55°.又∵∠A ＝∠A ，∴△ABC ∽△AED. ∴AD AC ＝AEAB，即AD ·AB ＝AE ·AC.知识点2 斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似8．在△ABC 和△A 1B 1C 1中，∠A ＝∠A 1＝90°，添加下列条件不能判定两个三角形相似的是(D) A ．∠B ＝∠B 1B.AB A 1B 1＝AC A 1C 1C.AB A 1B 1＝BC B 1C 1D.AB B 1C 1＝AC A 1C 19．一个直角三角形的一条直角边长和斜边长分别为8 cm 和15 cm ，另一个直角三角形的一条直角边长和斜边长分别为6 cm 和454cm ，这两个直角三角形是(填“是”或“不是”)相似三角形．10．在△ABC 和△A ′B ′C ′中，∠C ＝∠C ′＝90°，AC ＝12，AB ＝15，A ′C ′＝8，则当A ′B ′＝10时，△ABC ∽△A ′B ′C ′.中档题11．(荆州中考)如图，点P 在△ABC 的边AC 上，要判断△ABP ∽△ACB ，添加一个条件，不正确的是(D)A ．∠ABP ＝∠CB ．∠APB ＝∠ABC C.AP AB ＝AB AC D.AB BP ＝AC CB12．(毕节中考)如图，△ABC 中，AE 交BC 于点D ，∠C ＝∠E ，AD ∶DE ＝3∶5，AE ＝8，BD ＝4，则DC 的长等于(A)A.154B.125C.203D.17413．下列命题：①所有的等腰三角形都相似；②有一个角是50°的两个等腰三角形相似；③有一个角是60°的两个等腰三角形相似；④有一个角是110°的两个等腰三角形相似；⑤所有的等腰直角三角形都相似．其中真命题是③④⑤(填序号)．14．(齐齐哈尔中考)经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”．如图，线段CD 是△ABC 的“和谐分割线”，△ACD 为等腰三角形，△CBD 和△ABC 相似，∠A ＝46°，则∠ACB 的度数为113°或92°．15．(天津中考改编)如图，在边长为9的正三角形ABC 中，BD ＝3，∠ADE ＝60°，求AE 的长．解：∵△ABC 是边长为9的等边三角形， ∴∠B ＝∠C ＝60°，AB ＝BC ＝AC ＝9. ∴∠BAD ＋∠ADB ＝120°. ∵∠ADE ＝60°，∴∠CDE ＋∠ADB ＝120°. ∴∠BAD ＝∠CDE. 又∵∠B ＝∠C ， ∴△ABD ∽△DCE. ∴AB DC ＝BD CE ，即99－3＝3CE.∴CE ＝2. ∴AE ＝9－2＝7.16．如图，已知∠ACB ＝∠ABD ＝90°，AB ＝6，AC ＝2，求AD 的长为多少时，图中两直角三角形相似？解：①若△ABC ∽△ADB ，则需AB AD ＝AC AB ，即6AD ＝26.∴AD ＝3. ②若△ABC ∽△DAB ， 则需AB DA ＝BC AB，即6AD ＝6－46.∴AD ＝3 2. 综上所述，当AD ＝3或32时，图中两直角三角形相似．综合题17．(滨州中考改编)如图，矩形ABCD 中，AB ＝20，BC ＝10，点P 为AB 边上一动点，DP 交AC 于点Q. (1)求证：△APQ ∽△CDQ ；(2)P 点从A 点出发沿AB 边以每秒1个单位长度的速度向B 点移动，移动时间为t 秒．当t 为何值时，DP ⊥AC?解：(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴AB ∥CD.∴∠APQ ＝∠CDQ. 又∵∠AQP ＝∠CQD ， ∴△APQ ∽△CDQ. (2)当t ＝5时，DP ⊥AC. 理由：∵t ＝5，∴AP ＝5. ∴AP AD ＝510. 又∵DA DC ＝1020，∴AP AD ＝DA DC. 又∵∠PAD ＝∠ADC ＝90°， ∴△PAD ∽△ADC. ∴∠ADP ＝∠DCA.∵∠ADP ＋∠CDP ＝∠ADC ＝90°， ∴∠DCA ＋∠CDP ＝90°.∴∠DQC ＝90°，即DP ⊥AC.小专题(四) 相似三角形的基本模型模型1 X 字型及其变形(1)如图1，对顶角的对边平行，则△ABO ∽△DCO ；(2)如图2，对顶角的对边不平行，且∠OAB ＝∠OCD ，则△ABO ∽△CDO.1．(恩施中考)如图，在▱ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 为OD 的中点，连接AE 并延长交DC 于点F ，则DF ∶FC 等于(D) A ．1∶4 B ．1∶3 C ．2∶3 D ．1∶22．(黔东南中考)将一副三角尺如图所示叠放在一起，则BE EC 的值是33．3．如图，已知∠ADE ＝∠ACB ，BD ＝8，CE ＝4，CF ＝2，求DF 的长．解：∵∠ADE ＝∠ACB ，∴180°－∠ADE ＝180°－∠ACB ，即∠BDF ＝∠ECF. 又∵∠BFD ＝∠EFC ， ∴△BDF ∽△ECF. ∴BD EC ＝DF CF ，即84＝DF2.∴DF ＝4.模型2 A 字型及其变形(1)如图1，公共角的对边平行，则△ADE ∽△ABC ；(2)如图2，公共角的对边不平行，且有另一对角相等，则△ADE ∽△ABC ；(3)如图3，公共角的对边不平行，两个三角形有一条公共边，且有另一对角相等，则△ACD ∽△ABC.4．如图，在锐角△ABC 中，点D ，E 分别在边AC ，AB 上，AG ⊥BC 于点G ，AF ⊥DE 于点F ，∠EAF ＝∠GAC.求证：△ADE ∽△ABC.证明：在△AEF 和△ACG 中， ∠AFE ＝∠AGC ＝90°， ∠EAF ＝GAC ， ∴△AEF ∽△ACG. ∴∠AEF ＝∠ACG.在△ADE 和△ABC 中， ∠BAC 为公共角， ∠AEF ＝∠ACG ， ∴△ADE ∽△ABC.5．如图，AD 与BC 相交于E ，点F 在BD 上，且AB ∥EF ∥CD ，求证：1AB ＋1CD ＝1EF.证明：∵AB ∥EF ， ∴△DEF ∽△DAB. ∴EF AB ＝DF DB. 又∵EF ∥CD ， ∴△BEF ∽△BCD. ∴EF CD ＝BF BD. ∴EF AB ＋EF CD ＝DF DB ＋BF BD ＝BDBD ＝1. ∴1AB ＋1CD ＝1EF.模型3 双垂型直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似，即△ACD∽△ABC∽△CBD.6．如图，在Rt△ABC中，CD⊥AB，D为垂足，且AD＝3，AC＝35，则斜边AB的长为(B)A．3 6 B．15C．9 5 D．3＋357．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，AD＝9，BD＝4，那么CD＝6，AC＝313．模型4 M字型及其变形(1)如图1，Rt△ABD与Rt△BCE的斜边互相垂直，则有△ABD∽△CEB；(2)如图2，点B，C，E在同一条直线上，∠ABC＝∠ACD，则再已知一组条件，可得△ABC与△DCE相似．图1 图28．(江西中考)如图，正方形ABCD中，点E，F，G分别在AB，BC，CD上，且∠EFG＝90°.求证：△EBF∽△FCG.证明：∵四边形ABCD为正方形，∴∠B＝∠C＝90°.∴∠BEF＋∠BFE＝90°.∵∠EFG＝90°，∴∠BFE＋∠CFG＝90°.∴△EBF ∽△FCG.9．如图，△ABC 中，AC ＝6，AB ＝4，点D ，A 在直线BC 同侧，且∠ACD ＝∠ABC ，CD ＝2，点E 是线段BC 延长线上的动点，要使△DCE 和△ABC 相似，求线段CE 的长.解：∵∠ACE ＝∠ACD ＋∠DCE ＝∠B ＋∠A ，∠ACD ＝∠B ，∴∠DCE ＝∠A. ∴∠A 与∠DCE 是对应角．∴△DCE 和△ABC 相似有两种情况： ①若△BAC ∽△ECD ，则需满足BA CE ＝ACCD ，即4CE ＝62.∴CE ＝43； ②若△BAC ∽△DCE ，则需满足BA DC ＝AC CE ，即42＝6CE .∴CE ＝3. 综上所述，CE 的长为43或3.10．如图，在正方形ABCD 中，E 为边AD 的中点，点F 在边CD 上，且∠BEF ＝90°. (1)求证：△ABE ∽△DEF ；(2)若AB ＝4，延长EF 交BC 的延长线于点G ，求BG 的长．解：(1)证明：∵四边形ABCD 为正方形， ∴∠A ＝∠D ＝90°.∴∠ABE ＋∠AEB ＝90°.∵∠BEF ＝90°，∴∠AEB ＋∠DEF ＝90°. ∴∠ABE ＝∠DEF.∴△ABE ∽△DEF. (2)∵AB ＝AD ＝4，E 为AD 的中点， ∴AE ＝DE ＝2.由(1)知，△ABE ∽△DEF ， ∴AB DE ＝AE DF ，即42＝2DF . ∴DF ＝1.∴CF ＝3. ∵ED ∥CG ，∴EDGC＝DFCF，即2GC＝13.∴GC＝6.∴BG＝BC＋GC＝10.小专题(五) 利用三角形相似证明乘积式一、直接法——三点定形法 “三点定形法”，即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法．具体做法有两种：一种是“横定”，即看比例式上面两条线段和下面两条线段能否分别组成三角形；另一种是“竖定”，即看等号左右两边的两条线段能否组成一个三角形．【例1】 如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB 的垂直平分线交AB 于D ，交AC 于点E ，交BC 延长线于F.求证：CD 2＝DE ·DF.【思路点拨】 先将乘积式化成比例式为CD DE ＝DFCD ，然后不管是“横定”还是“竖定”都是△CDE 和△CDF ，则只需证明这两个三角形相似即可．证明：∵∠ACB ＝90°， ∴∠F ＋∠FEC ＝90°. ∵DF ⊥AB ，∴∠A ＋∠AED ＝90°. ∵∠AED ＝∠FEC ， ∴∠A ＝∠F.∵CD 是Rt △ABC 斜边AB 的中线，∴CD ＝DA. ∴∠A ＝∠ACD.∴∠ACD ＝∠F. 又∵∠CDE ＝∠FDC ， ∴△CDE ∽△FDC. ∴CD FD ＝DEDC.∴CD 2＝DE ·DF.1．(黄冈中考)如图，AB 是半圆O 的直径，点P 是BA 延长线上一点，PC 是⊙O 的切线，切点为C ，过点B 作BD ⊥PC 交PC 的延长线于点D ，连接BC ，求证： (1)∠PBC ＝∠CBD ； (2)BC 2＝AB ·BD.证明：(1)连接OC ，∵PC 是⊙O 的切线， ∴OC ⊥PD.又∵BD ⊥PC ，∴OC ∥BD.∴∠CBD ＝∠OCB. ∵OC ＝OB ，∴∠OBC ＝∠OCB. ∴∠PBC ＝∠CBD.(2)连接AC ，∵AB 是半圆O 的直径，又∵∠ABC＝∠CBD，∴△ACB∽△CDB.∴CBDB＝ABCB，即BC2＝AB·BD.二、间接法方法1 等量过渡法(等线段代换法)遇到“三点定形法”无法解决欲证的问题时，即如果线段比例式中的四条线段都在图形中的同一条直线上，不能组成三角形，或四条线段虽然组成两个三角形，但这两个三角形并不相似，那就需要根据已知条件找到与比例式中某条线段相等的一条线段来代替这条线段，如果没有，可考虑添加简单的辅助线，然后再应用“三点定形法”确定相似三角形．【例2】如图，△ABC中，AD平分∠BAC, AD的垂直平分线FE交BC的延长线于E.求证：DE2＝BE·CE.【思路点拨】观察图形发现，乘积式中的线段都在一条直线上，无法直接利用“三点定形法”找三角形，由条件“EF是AD的垂直平分线”可知DE＝AE，将乘积式中的DE换成AE，即可找出两个三角形△ABE和△ACE，则只需证明这两个三角形相似即可．证明：连接AE，∵EF是AD的垂直平分线，∴AE＝DE, ∠ADE＝∠DAE.∵AD平分∠BAC,∴∠BAD＝∠DAC.∵∠ACE＝∠ADC＋∠DAC，∠BAE＝∠DAE＋∠BAD，∴∠ACE＝∠BAE.又∵∠AEC＝∠BEA，∴△ACE∽△BAE.∴AEBE＝CEAE.∴AE2＝BE·CE，即DE2＝BE·CE.2．如图，在⊙O中，直径AB垂直弦CD于E，过点A作∠DAF＝∠DAB，过点D作AF的垂线，垂足为F，交AB的延长线于点P，连接CO并延长交⊙O于点G，连接EG.求证：(1)DF是⊙O的切线；(2)OC2＝OE·OP.∵OA ＝OD ，∴∠OAD ＝∠ODA. ∵∠DAF ＝∠DAB ， ∴∠ODA ＝∠DAF. ∴OD ∥AF. ∵DF ⊥AF ， ∴DF ⊥OD.∴DF 是⊙O 的切线．(2)在△ODE 和△OPD 中，∵∠ODP ＝∠OED ＝90°，∠DOP ＝∠EOD ， ∴△ODE ∽△OPD.∴OD OP ＝OE OD ，即OD 2＝OE ·OP. 又∵OC ＝OD ， ∴OC 2＝OE ·OP.方法2 等比过渡法(等比代换法)当用“三点定形法”不能确定三角形，同时也无等线段代换时，可以考虑用“等比代换法”，即考虑利用第三组线段的比为比例式搭桥，也就是通过对已知条件或图形的深入分析，找到与求证的结论中某个比相等的比，并进行代换，然后再用“三点定形法”来确定三角形．【例3】 如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC ，E 是AC 的中点，ED 交AB 的延长线于点F.求证：AB ·AF ＝AC ·DF. 【思路点拨】 运用“竖定”的两个三角形△ABC 和△ADF 明显不相似，一个是直角三角形，一个是钝角三角形．由条件“直角三角形斜边上的高”这一基本图形，可知△ABD ∽△CAD ，即AB CA ＝BD AD ，所以利用BDAD 这个桥梁，只需证明DF AF ＝BDAD即可．证明：∵AD ⊥BC ，E 是AC 的中点， ∴DE ＝EC. ∴∠EDC ＝∠C.∵∠BAC ＝∠ADC ＝90°，∴∠BAD ＋∠DAC ＝90°，∠DAC ＋∠C ＝90°. ∴∠BAD ＝∠C.∵∠BDF ＝∠EDC ，∴∠BDF ＝∠BAD. 又∵∠F 为公共角，∴△BDF ∽△DAF.∴BD DA ＝DFAF.∵∠ADB ＝∠ADC ＝90°， ∠BAD ＝∠C ，∴△ABD ∽△CAD.∴BD AD ＝ABCA .∴AB AC ＝DFAF ，即AB ·AF ＝AC ·DF.3．如图，△ABC 中，AB<AC ，在AB ，AC 上分别截取BD ＝CE ，DE ，BC 的延长线相交于点F ，求证：AB ·DF ＝AC ·EF.证明：过E 作EM ∥AB ，交BC 于点M ， 则△EMC ∽△ABC. ∴EM AB ＝EC AC . ∴AB AC ＝EM EC. 同理可得△EMF ∽△DBF ，∴EF DF ＝EMBD .又∵BD ＝EC ，∴EF DF ＝EMEC .∴AB AC ＝EFDF，即AB ·DF ＝AC ·EF.方法3 等积过渡法(等积代换法)用“三点定形法”无法确定三角形，又不能找到相等的线段或相等的比作代换，这时可考虑直接将乘积式换成相等的乘积式．【例4】如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是斜边AB 上的高，G 是DC 延长线上一点，过B 作BE ⊥AG ，垂足为E ，交CD 于点F.求证：CD 2＝DF ·DG. 【思路点拨】由“CD 是Rt △ABC 斜边AB 上的高”这一基本模型可知CD 2＝AD ·BD ，只需证明AD ·BD ＝DF ·DG 即可．∴∠ACD＋∠BCD＝∠BCD＋∠CBD＝90°.∴∠ACD＝∠CBD.∴△ACD∽△CBD.∴CDBD＝ADCD，即CD2＝AD·BD.∵BE⊥AG，∴∠G＋∠CFE＝90°.∵∠DBF＋∠BFD＝90°，∴∠G＝∠DBF.∴△BDF∽△GDA.∴BDGD＝DFDA，即AD·BD＝DF·DG.∴CD2＝DF·DG.4．如图，已知CE是Rt△ABC的斜边AB上的高，BG⊥AP.求证：CE2＝ED·EP.证明：∵CE是Rt△ABC的斜边AB上的高，∴△ACE∽△CBE.∴CEBE＝AECE，即CE2＝AE·BE.∵CE⊥AB，BG⊥AP,∴∠EBD＋∠EDB＝∠P＋∠GDP＝90°.∴∠EBD＝∠P.∴△AEP∽△DEB.∴AEDE＝EPEB，即AE·EB＝ED·EP.∴CE2＝ED·EP.周周练 (27.1～27.2.1)(时间：45分钟 满分：100分)一、选择题(每小题4分，共32分)1．(杭州中考)如图，已知直线a ∥b ∥c ，直线m 交直线a ，b ，c 于点A ，B ，C ，直线n 交直线a ，b ，c 于点D ，E ，F ，若AB BC ＝12，则DEEF＝(B)A.13B.12C.23D ．12．下列两个图形一定相似的是(D) A ．任意两个等腰三角形 B ．任意两个矩形 C ．任意两个菱形D ．任意两个等边三角形3．(哈尔滨中考)如图，在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 边上的点，DE ∥BC ，点F 为BC 边上一点，连接AF 交DE 于点G ，则下列结论中一定正确的是(C) A.AD AB ＝AE ECB.AC GF ＝AE BDC.BD AD ＝CE AED.AG AF ＝AC EC4．如图，在▱ABCD 中，EF ∥AB ，DE ∶EA ＝2∶3，EF ＝4，则AB 的长为(C) A.163 B ．8 C ．10D ．165．如图，在矩形ABCD 中，E ，F 分别是CD ，BC 上的点，若∠AEF ＝90°，则一定有(C)A．△ADE∽△AEFB．△ECF∽△AEFC．△ADE∽△ECFD．△AEF∽△ABF6．(安徽中考)如图，△ABC中，AD是中线，BC＝8，∠B＝∠DAC，则线段AC的长为(B)A．4 B．4 2C．6 D．437．如图，D是△ABC的边AB上一点，下列条件：①∠ACD＝∠B；②AC2＝AD·AB；③AB边上与点C距离相等的点D有两个；④∠B＝∠ACB，其中，一定使△ABC∽△ACD的有(B)A．1个B．2个C．3个D．4个8．在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：甲：将边长为3，4，5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似．对于两人的观点，下列说法正确的是(A)图1 图2A．两人都对B．两人都不对C．甲对，乙不对D．甲不对，乙对二、填空题(每小题4分，共24分)9．在比例尺为1∶10 000 000的地图上，量得甲、乙两个城市之间的距离是8 cm，那么甲、乙两个城市之间的实际距离应为800__km.10．如图，x＝2．11．(娄底中考)如图，已知∠A＝∠D，要使△ABC∽△DEF，还需添加一个条件，你添加的条件是AB∥DE(答案不唯一)．(只需写一个条件，不添加辅助线和字母)12．如图，点O 是△ABC 中任意一点，且AD ＝12OD ，BE ＝13BO ，CF ＝13CO ，则△ABC ∽△DEF ，其相似比为3∶2．13．(宁夏中考)如图，在△ABC 中，AB ＝6，点D 是AB 的中点，过点D 作DE ∥BC ，交AC 于点E ，点M 在DE 上，且ME ＝13DM.当AM ⊥BM 时，则BC 的长为8．14．如图，AB 是半圆直径，半径OC ⊥AB 于点O ，AD 平分∠CAB 交弧BC 于点D ，连接CD ，OD ，给出以下四个结论：①AC ∥OD ；②CE ＝OE ；③△ODE ∽△ADO ；④2CD 2＝CE ·AB.其中正确结论的序号是①④．三、解答题(共44分)15．(10分)如图，在△ABC 中，已知DE ∥BC ，AD ＝4，DB ＝8，DE ＝3.求： (1)ADAB 的值； (2)BC 的长．解：(1)∵AD ＝4，DB ＝8， ∴AB ＝AD ＋DB ＝4＋8＝12. ∴AD AB ＝412＝13. (2)∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC. ∴DE BC ＝AD AB. 又∵DE ＝3，∴3BC ＝13.∴BC ＝9.16．(10分)如图，在△ABC 中，D 为AC 边上一点，∠DBC ＝∠A. (1)求证：△BDC ∽△ABC ；(2)如果BC ＝6，AC ＝3，求CD 的长．解：(1)证明：∵∠DBC ＝∠A ，∠C ＝∠C ， ∴△BDC ∽△ABC. (2)∵△BDC ∽△ABC ， ∴BC AC ＝CD BC， 即63＝CD6.∴CD ＝2. 17．(12分)如图，在平面直角坐标系中，已知OA ＝12 cm ，OB ＝6 cm ，点P 从点O 开始沿OA 边向点A 以1 cm/s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BO 边向点O 以1 cm/s 的速度移动，如果P ，Q 同时出发，用t(单位：秒)表示移动的时间(0≤t ≤6)，那么当t 为何值时，△POQ 与△AOB 相似？解：①∵∠POQ ＝∠BOA ，若△POQ ∽△BOA ， 则OQ OA ＝OP OB ，即6－t 12＝t 6.解得t ＝2； ②∵∠POQ ＝∠AOB ，若△POQ ∽△AOB ， 则OQ OB ＝OP OA ，即6－t 6＝t 12.解得t ＝4. 综上所述，当t ＝2或t ＝4时，△POQ 与△AOB 相似．18．(12分)(六盘水中考)如图，在Rt △ACB 中，∠ACB ＝90°，点O 是AC 边上的一点，以O 为圆心，OC 为半径的圆与AB 相切于点D ，连接OD. (1)求证：△ADO ∽△ACB ；(2)若⊙O 的半径为1，求证：AC ＝AD ·BC.证明：(1)∵AB是⊙O的切线，∴OD⊥AB.∴∠ADO＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠ADO.又∵∠A＝∠A，∴△ADO∽△ACB.(2)由(1)知△ADO∽△ACB，∴ADAC＝ODBC.∴AD·BC＝AC·OD.又∵OD＝1，∴AC＝AD·BC.27.2.2 相似三角形的性质基础题知识点1 相似三角形对应线段的比等于相似比1．(重庆中考A 卷)已知△ABC ∽△DEF ，△ABC 与△DEF 的相似比为4∶1，则△ABC 与△DEF 对应边上的高之比为4∶1 .2．如图，△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为3∶4，AD ，A ′D ′分别是边BC ，B ′C ′上的中线，则AD ∶A ′D ′＝3∶4．3．若两个三角形相似，相似比为8∶9，则它们对应角平分线之比是8∶9，若其中较小三角形的一条角平分线的长为6 cm ，则另一个三角形对应角平分线长为274__cm ．4．已知△ABC ∽△A ′B ′C ′，CD 是AB 边上的中线，C ′D ′是A ′B ′边上的中线，CD ＝4 cm ，C ′D ′＝10 cm ，AE 是△ABC 的一条高，AE ＝4.8 cm.求△A ′B ′C ′中对应高线A ′E ′的长．解：∵△ABC ∽△A ′B ′C ′，CD 是AB 边上的中线，C ′D ′是A ′B ′边上的中线，且AE ，A ′E ′是对应的高线， ∴AE A ′E ′＝CDC ′D ′，即 4.8A ′E ′＝410. ∴A ′E ′＝12 cm.知识点2 相似三角形周长的比等于相似比5．(西双版纳中考)如图，AB ∥CD ，AO OD ＝23，则△AOB 的周长与△DOC 的周长比是(D)A.25B.32C.49D.236．如果两个相似三角形的一组对应边分别为3 cm 和5 cm ，且较小三角形的周长为15 cm ，那么较大三角形的周长为25cm.7．已知△ABC ∽△DEF ，△ABC 和△DEF 的周长分别为20 cm 和25 cm ，且BC ＝5 cm ，DF ＝4 cm ，求EF 和AC 的长．解：∵相似三角形周长的比等于相似比， ∴EF BC ＝2520.∴EF ＝54BC ＝54×5＝254(cm)．同理AC DF ＝2025，∴AC ＝45DF ＝45×4＝165(cm)．∴EF 的长是254 cm ，AC 的长是165cm.知识点3 相似三角形面积的比等于相似比的平方8．(南京中考)若△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为1∶2，则△ABC 与△A ′B ′C ′面积的比为(C) A ．1∶2 B ．2∶1 C ．1∶4 D ．4∶19．(铜仁中考)如图，在▱ABCD 中，点 E 在边DC 上，DE ∶EC ＝3∶1，连接AE 交BD 于点F ，则△DEF 的面积与△BAF 的面积之比为(B)A ．3∶4B ．9∶16C ．9∶1D ．3∶1中档题10．(南京中考)如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD DB ＝12，则下列结论中正确的是(C)A.AE AC ＝12B.DE BC ＝12C.△ADE 的周长△ABC 的周长＝13D.△ADE 的面积△ABC 的面积＝1311．如图，D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，且DE∥AC，AE，CD相交于点O，若S△DOE∶S△COA＝1∶25，则BE∶CE＝(B)A．1∶3 B．1∶4C．1∶5 D．1∶2512．(金华中考)如图，直线l1，l2，…，l6是一组等距离的平行线，过直线l1上的点A作两条射线，分别与直线l3，l6相交于点B，E和C，F.若BC＝2，则EF的长是5．13．(凉山中考)在▱ABCD中，M，N是AD边上的三等分点，连接BD，MC相交于O点，则S△MOD∶S△COB＝19或49．14．如图，D是△ABC的边BC上一点，AB＝4，AD＝2，∠DAC＝∠B，如果△ABD的面积为15，求△ACD的面积．解：∵∠DAC＝∠B，∠C＝∠C，∴△ACD∽△BCA.∴S△ACDS△BCA＝(ADAB)2＝(24)2＝14.∴S△ACDS△BAD＋S△ACD＝14.∵△ABD的面积为15，∴S△ACD＝5.15．如图，在△ABC中，BC>AC，点D在BC上，且DC＝AC，∠ACB的平分线CF交AD于F，点E是AB的中点，连接EF.(1)求证：EF∥BC；(2)若四边形BDFE的面积为6，求△ABD的面积．解：(1)证明：∵DC＝AC，CF平分∠ACB，∴AF＝DF.又∵点E 是AB 的中点， ∴EF 是△ABD 的中位线． ∴EF ∥BD ，即EF ∥BC.(2)由(1)知，EF ∥BD ，∴△AEF ∽△ABD. ∴S △AEFS △ABD ＝(AE AB)2. 又∵点E 是AB 的中点，∴AE AB ＝12.∴S △AEF S △ABD ＝14.∴S △AEF ＝14S △ABD . ∴S △ABD －6＝14S △ABD .∴S △ABD ＝8.综合题16．(内江中考)如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，CM 是∠BCD 的平分线，且CM ⊥AB ，M 为垂足，AM ＝13AB.若四边形ABCD 的面积为157，则四边形AMCD 的面积是1．小专题(六) 三角形内接特殊四边形问题——教材P58T11的变式与应用教材母题：如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC ，边BC ＝120 mm ，高AD ＝80 mm.把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB ，AC 上，这个正方形零件的边长是多少？【母题分析】 (1)从总体上讲本题考查的是相似三角形的性质：相似三角形对应高的比等于相似比． (2)解决本题的关键点：由EF ∥GH ，得到△AEF ∽△ABC.(3)考查形式：正方形内接于三角形，解决正方形的边长与三角形边长之间的关系．解：设正方形的边长为x mm ，则EF ＝x mm ， ∵AD ⊥BC ，AD ＝80 mm ， ∴AK ＝(80－x)mm.∵正方形EFHG 内接于△ABC ，∴EF ∥GH. ∴△AEF ∽△ABC.∴EF BC ＝AKAD ，即x 120＝80－x 80.解得x ＝48. ∴这个正方形零件的边长是48 mm.【方法指导】 解决本题的关键：(1)“内接”，所谓内接就是正方形的四个顶点都在三角形的边上，正因如此，故：①正方形的一边与三角形的一边平行，从而得到三角形相似；②大三角形的高等于正方形的边长与小三角形的高之和．(2)方程思想，利用相似三角形的性质——“相似三角形对应高的比等于相似比”这个等量关系，将已知边和未知边放在一个方程中．1．(遂宁中考)如图，矩形DEFG 的边EF 在△ABC 的边BC 上，点D 在边AB 上，点G 在边AC 上，△ADG 的面积是40，△ABC 的面积是90，AM ⊥BC 于M ，交DG 于N ，则AN ∶AM ＝2∶3．2．如图，在Rt △ABC 中，AB ＝BC ，∠B ＝90°，AC ＝102，四边形BDEF 是△ABC 的内接正方形(点D ，E ，F 在三角形的边上)，则此正方形的面积是25．3．(安顺中考)如图，矩形EFGH 内接于△ABC ，且边FG 落在BC 上，AD ⊥BC ，BC ＝3，AD ＝2，EF ＝23EH ，那么EH 的长为32．4．如图，已知锐角△ABC 中，边BC 长为12，高AD 长为8.矩形EFGH 的边GH 在BC 边上，其余两个顶点E ，F 分别在AB ，AC 边上，EF 交AD 于点K. (1)求EFAK的值； (2)设EH ＝x ，矩形EFGH 的面积为S ，求S 与x 的函数关系式，并求S 的最大值．解：(1)∵EF ∥BC ，∴△AEF ∽△ABC.∵AK ，AD 分别是△AEF ，△ABC 的高， ∴AK AD ＝EF BC . ∴EF AK ＝BC AD ＝32. (2)∵EH ⊥BC ，AD ⊥BC ，∴EH ∥AD. ∴△BEH ∽△BAD.∴EH AD ＝BEBA ①.同理EF BC ＝AE AB ②.①＋②，得EH AD ＋EFBC ＝1.∵EH ＝x ，AD ＝8，BC ＝12， ∴EF ＝12－32x.∴S ＝EH ·EF ＝－32x 2＋12x ＝－32(x －4)2＋24.∴S 的最大值为24.5．如图，Rt△ABC(∠C＝90°)中有三个内接正方形，DF＝9 cm，GK＝6 cm，求第三个正方形的边长PQ.解：设PQ＝x cm，∵GK∥PQ，∴∠FKG＝∠KQP.又∵∠FGK＝∠KPQ＝90°，∴△FGK∽△KPQ.∴FGKP＝GKPQ.∵FG＝EF－EG＝9－6＝3，∴36－x＝6x.解得x＝4.∴第三个正方形的边长PQ为4 cm.6．(怀化中考)如图，△ABC为锐角三角形，AD是BC边上的高，正方形EFGH的一边FG在BC上，顶点E，H 分别在AB，AC上，已知BC＝40 cm，AD＝30 cm.(1)求证：△AEH∽△ABC；(2)求这个正方形的边长与面积．解：(1)证明：∵四边形EFGH是正方形，∴EH∥BC.∴∠AEH＝∠B，∠AHE＝∠C.∴△AEH∽△ABC.(2)设AD与EH交于点M.∵∠EFD＝∠FEM＝∠FDM＝90°，∴四边形EFDM是矩形．∴EF＝DM.设正方形EFGH的边长为x cm.∵△AEH∽△ABC，∴EHBC＝AMAD，即x40＝30－x30.∴x＝1207.。

人教版九年级下册（新）第二十七章 相似 测试题（时间：45分钟 总分：100分）班级______________姓名_______________学号__________________一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1．已知：线段a=5cm ，b=2cm ，则a b =（ ） A ．14 B ．4 C ．52 D ．25 2．把mn=pq（mn ≠0）写成比例式，写错的是（ ）A ．m q p n =B ．p n m q= C ．q n m p = D ．m p n q = 3．某班某同学要测量学校升旗的旗杆高度，在同一时刻，量得某一同学的身高是1.5m ，影长是1m ，旗杆的影长是8m ，则旗村的高度是（ ）A ．12mB ．11mC ．10mD ．9m4．下列说法正确的是（ ）A ．矩形都是相似图形；B ．菱形都是相似图形C ．各边对应成比例的多边形是相似多边形；D ．等边三角形都是相似三角形5．要做甲、乙两个形状相同（相似）的三角形框架，•已知三角形框架甲的三边分别为50cm ，60cm ，80cm ，三角形框架乙的一边长为20cm ，那么符合条件的三角形框架乙共有（ ）种A ．1B ．2C ．3D ．46.如图（1），△DEF 是由△ABC 经过位似变换得到的，点O 是位似中心，D ，E ，F 分别是OA ，OB ，OC 的中点，则△DEF 与△ABC 的面积比是（ ）A ．1:2B ．1:4C ．1:5D ．1:67．如图（2），△ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC 于D ，若AB=2，B=3，则CD 的长是（ ）A ．83B ．23C ．43D ．538．如图（3），若∠1=∠2=∠3，则图中相似的三角形有（ ）A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对二、填空题（本大题共6小题，小题5分，共30分）9．若235a b c ==（abc ≠0），则a b c a b c++-+=_________． 图（1） 图（3） 图（2）10．把长为20cm的线段进行黄金分割，则较短线段长约是________cm．（精确到0.01 cm）11．两个相似三角形的一对对应边长分别为20cm，25cm，它们的周长差为63cm，则这两个三角形的周长分别是_______．12．如图（4），点D是Rt△ABC的斜边AB上一点，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F，若AF=•5，BE=10，则四边形DECF的面积是__________．(4) (5)13．如图（5），BD平分∠ABC，且AB=4，C=6，则当BD=______时，△ABD∽△DBC．14．在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=60，CD=15，E、F分别为AD、BC上一点，且EF∥AB，•若梯形DEFC∽梯形EABF，那么EF=_________．三、解答题（本大题共30分，每题10分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做点．△ACB和△DCE的顶点都在格点上，ED的延长线交AB于点F．（1）求证：△ACB∽△DCE；（2）求证：EF⊥AB．∥，点F在BC上，连DF与AB的延长线交于点G．16.如图，梯形ABCD中，AB CD△∽△；（1）求证：CDF BGF（2）当点F 是BC 的中点时，过F 作EF CD ∥交AD 于点E ，若6cm 4cm AB EF ==，，求CD 的长．17.如图①，四边形ABCD 是正方形, 点G 是BC 上任意一点，DE ⊥AG 于点E ，BF ⊥AG 于点F .(1) 求证：DE －BF = EF ．(2) 当点G 为BC 边中点时, 试探究线段EF 与GF 之间的数量关系， 并说明理由．(3) 若点G 为CB 延长线上一点，其余条件不变．请你在图②中画出图形，写出此时DE 、BF 、EF 之间的数量关系（不需要证明）．答案：一、选择题1．C 2．D 3．A 4．D 5．C 6．C 7．D 8． D二、填空题DC F EAB G9．5210．7.64 11．252cm ，315cm 12．150 13．6 14．30三、解答题15.证明：（1）∵ 3,2AC DC = 63,42BC CE ==∴ .AC BC DC CE =又 ∠ACB =∠DCE =90°，∴ △ACB ∽△DCE ．（2）∵ △ACB ∽△DCE ，∴ ∠ABC ＝∠DEC ．又 ∠ABC ＋∠A =90°，∴ ∠DEC ＋∠A =90°．∴ ∠EFA =90°． ∴ EF ⊥AB ．16.（1）证明：∵梯形ABCD ，AB CD ∥，∴CDF FGB DCF GBF ∠=∠∠=∠，，∴CDF BGF △∽△．（2） 由（1）CDF BGF △∽△，又F 是BC 的中点，BF FC =∴CDF BGF △≌△，∴DF FG CD BG ==，又∵EF CD ∥，AB CD ∥，∴EF AG ∥，得2EF BG AB BG ==+．∴22462BG EF AB =-=⨯-=，∴2cm CD BG ==．17.(1) 证明:∵ 四边形ABCD 是正方形, BF ⊥AG , DE ⊥AG∴ DA =AB ， ∠BAF + ∠DAE = ∠DAE + ∠ADE = 90°∴ ∠BAF = ∠ADE∴ △ABF ≌ △DAE∴ BF = AE , AF = DE∴ DE －BF = AF －AE = EF（2）EF = 2FG 理由如下：∵ AB ⊥BC , BF ⊥AG , AB =2 BG∴ △AFB ∽△BFG ∽△ABG ∴2===FGBF BF AF BF AB ∴ AF = 2BF , BF = 2 FG由(1)知, AE = BF，∴EF = BF = 2 FG(3) 如图DE + BF = EF【素材积累】1、一个房产经纪人死后和上帝的对话一个房产经纪人死后，和上帝喝茶。

第二十七章测评(时间:45分钟,满分:100分)一、选择题(每小题4分,共32分.下列各小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)1.如图,直线l1∥l2∥l3,直线AC分别交l1,l2,l3于点A,B,C,直线DF分别交l1,l2,l3于点D,E,F,AC与DF相交于点H,且AH=2,HB=1,BC=5,则的值为()A. B.2 C. D.2.如图,锐角三角形ABC的高CD和高BE相交于点O,则与△DOB相似的三角形个数是()A.1B.2C.3D.43.如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点O在坐标原点,边OA在x轴上,OC在y轴上.如果矩形OA'B'C'与矩形OABC关于点O位似,且矩形OA'B'C'的面积等于矩形OABC面积的,那么点B'的坐标是()A.(3,2)B.(-2,-3)C.(2,3)或(-2,-3)D.(3,2)或(-3,-2)4.如图,在△ABC中,∠C=90°,D是AC上一点,DE⊥AB于点E.若AC=8,BC=6,DE=3,则AD的长为()A.3B.4C.5D.65.已知△ABC三个顶点的坐标分别为(1,2),(-2,3),(-1,0),把它们的横坐标和纵坐标分别变成原来的2倍,得到点A',B',C'.下列说法正确的是()A.△A'B'C'与△ABC是位似图形,位似中心是点(1,0)B.△A'B'C'与△ABC是位似图形,位似中心是点(0,0)C.△A'B'C'与△ABC是相似图形,但不是位似图形D.△A'B'C'与△ABC不是相似图形6.如图,梯形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,G是BD的中点.若AD=3,BC=9,则GO∶BG=()A.1∶2B.1∶3C.2∶3D.11∶207.如图,点F是▱ABCD的边CD上一点,直线BF交AD的延长线于点E,则下列结论错误的是()A.B.C.D.8.如图,小正方形的边长均为1,则下列图形中的三角形(阴影部分)与△ABC相似的是()二、填空题(每小题4分,共24分)9.如图,已知图中的每个小方格都是边长为1的小正方形,每个小正方形的顶点称为格点.若△ABC与△A1B1C1是位似图形,且顶点都在格点上,则位似中心的坐标是.10.△ABC的三边长分别为5,12,13,与它相似的△DEF的最小边长为15,则△DEF的周长为.11.美是一种感觉,当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时,越给人一种美感.如图,某女士身高165 cm,下半身长x与身高l的比值是0.60,为尽可能达到好的效果,她应穿的高跟鞋的高度大约为.(精确到1 cm)12.如图,在△ABC中,AB=6,AC=4,P是AC的中点,过P点的直线交AB于点Q.若以A,P,Q为顶点的三角形和以A,B,C为顶点的三角形相似,则AQ的长为.13.如图,小明在A时测得某树的影长为2 m,在B时又测得该树的影长为8 m.若两次日照的光线互相垂直,则树的高度为m.14.右图为一古老的捣碎器,已知支撑柱AB的高为0.3 m,踏板DE长为1.6 m,支撑点A到踏脚D的距离为0.6 m,现在踏脚着地,则捣头点E距地面m.三、解答题(共44分)15.(10分)如图,方格纸中有一条美丽可爱的小金鱼.(1)在同一方格纸中,画出将小金鱼图案绕原点O旋转180°后得到的图案;(2)在同一方格纸中,并在y轴的右侧,将原小金鱼图案以原点O为位似中心放大,使它们的相似比为2∶1,画出放大后小金鱼的图案.16.(10分)某高中为高一新生设计的学生板凳从侧面看到的图形如图所示.其中BA=CD,BC=20 cm,BC,EF平行于地面AD且到地面AD的距离分别为40 cm,8 cm,为使板凳两腿底端A,D之间的距离为50 cm,则横梁EF的长应为多少?(材质及其厚度等暂忽略不计)17.(12分)如图,在△ABC中,延长BC到点D,使CD=BC.取AB的中点F,连接FD交AC于点E.(1)求的值;(2)若AB=a,FB=EC,求AC的长.18.(12分)如图,在四边形ABCD中,AC平分∠DAB,∠ADC=∠ACB=90°,E为AB的中点.(1)求证:AC2=AB·AD;(2)求证:CE∥AD;(3)若AD=4,AB=6,求的值.参考答案第二十七章测评一、选择题1.D2.C3.D4.C5.B6.A根据△AOD∽△COB,可以知道.由于G是BD的中点,从而可以得到GO∶BG=1∶2.7.C8.B二、填空题9.(9,0)要确定△ABC与△A1B1C1的位似中心,只要连接A1A,C1C并延长,其交点即为位似中心,然后再根据画图的结果,确定位似中心的坐标即可.10.90∵△ABC的三边长分别为5,12,13,∴△ABC的周长为5+12+13=30.∵与它相似的△DEF的最小边长为15,∴△DEF的周长∶△ABC的周长=15∶5=3∶1,∴△DEF的周长为3×30=90.11.8 cm12.3或由于以A,P,Q为顶点的三角形和以A,B,C为顶点的三角形有一个公共角(∠A),因此依据相似三角形的判定方法,过点P的直线PQ应有两种作法:一是过点P作PQ∥BC,这样根据相似三角形的性质可得,即,解得AQ=3;二是过点P作∠APQ=∠ABC,交边AB于点Q,这时△APQ∽△ABC,于是有,即,解得AQ=.所以AQ的长为3或.13.4直角三角形被斜边上的高分成的两个小直角三角形都与原三角形相似,如图.这个基本图形可称之为“母子三角形”,树高EH所在的两个“子三角形”相似,即Rt△ECH∽Rt△DEH,得EH2=HC·HD=2×8.所以EH=4m.或者利用勾股定理,得消去ED2,得EC2=20,所以EH2=16,所以EH=4m.14.0.8∵△ABD∽△ECD,∴AD∶ED=AB∶EC,∴0.6∶1.6=0.3∶EC,解得EC=0.8m.三、解答题15.解如图所示.16.解过点C作CM∥AB,交EF,AD于点N,M,作CP⊥AD,交EF,AD于点Q,P.由题意得,四边形ABCM是平行四边形,∴EN=AM=BC=20cm.∴MD=AD-AM=50-20=30(cm).由题意知CP=40cm,PQ=8cm,∴CQ=32cm.∵EF∥AD,∴△CNF∽△CMD.∴,即,解得NF=24cm.∴EF=EN+NF=20+24=44(cm),即横梁EF的长应为44cm.17.解(1)过点F作FM∥AC,交BC于点M.∵F为AB的中点,∴M为BC的中点,即FM∥AC,且FM=AC.由FM∥AC,得△FMD∽△ECD.∴,∴EC=FM=AC=AC.∴.(2)∵AB=a,∴FB=AB=a.又FB=EC,∴EC=a.∵EC=AC,∴AC=3EC=a.18.(1)证明∵AC平分∠DAB,∴∠DAC=∠CAB.又∠ADC=∠ACB=90°,∴△ADC∽△ACB.∴,∴AC2=AB·AD.(2)证明∵E为AB的中点,∴CE=AB=AE,∠EAC=∠ECA.∵AC平分∠DAB,∴∠CAD=∠CAB.∴∠DAC=∠ECA.∴CE∥AD.(3)解∵CE∥AD,∴∠DAF=∠ECF,∠ADF=∠CEF,∴△AFD∽△CFE,∴.∵CE=AB,∴CE=×6=3.又AD=4,由,得,∴,∴.。