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专项训练七 相似
一、选择题
1．两个相似三角形的面积比为1∶4，则它们的相似比为( ) A ．1∶4 B ．1∶2 C ．1∶16 D ．无法确定
2．如图，在△ABC 中，点D 在边AB 上，BD ＝2AD ，DE ∥BC 交AC 于点E ，若线段DE ＝5，则线段BC 的长为( )
A ．7.5
B ．10
C ．15
D ．20
第2题图 第3题图 第4题图
3．如图，下列条件不能判定△ADB ∽△ABC 的是( )
A ．∠ABD ＝∠AC
B B ．∠ADB ＝∠AB
C C ．AB 2＝A
D ·AC D.AD AB ＝AB
BC
4．如图，为估算学校旗杆的高度，身高1.6米的小红同学沿着旗杆在地面的影子AB 由A 向B 走去，当她走到点C 处时，她的影子的顶端正好与旗杆的影子的顶端重合，此时测得AC ＝2m ，BC ＝8m ，则旗杆的高度是( )
A ．6.4m
B ．7m
C ．8m
D ．9m
5．如图，线段CD 两个端点的坐标分别为C (1，2)、D (2，0)，以原点为位似中心，将线段CD 放大得到线段AB ，若点B 的坐标为(5，0)，则点A 的坐标为( )
A ．(2，5)
B ．(2.5，5)
C ．(3，5)
D ．(3，6)
第5题图 第6题图 第7题图 第8题图
6．(舟山中考)如图，矩形ABCD 中，AD ＝2，AB ＝3，过点A ，C 作相距为2的平行线段AE ，CF ，分别交CD ，AB 于点E ，F ，则DE 的长是( )
A. 5
B.136 C ．1 D.5
6
7．(丽水中考)如图，已知⊙O 是等腰Rt △ABC 的外接圆，点D 是AC ︵
上一点，BD 交AC 于点E ，
若BC ＝4，AD ＝4
5
，则AE 的长是( )
A ．3
B ．2
C ．1
D ．1.2 8．★若两个扇形满足弧长的比等于它们半径的比，则称这两个扇形相似．如图，如果扇形AOB 与扇形A 1O 1B 1是相似扇形，且半径OA ∶O 1A 1＝k (k 为不等于0的常数)．那么下面四个结论：①∠AOB
＝∠A 1O 1B 1；②△AOB ∽△A 1O 1B 1；③AB
A 1
B 1
＝k ；④扇形AOB 与扇形A 1O 1B 1的面积之比为k 2.成立
的个数为( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
二、填空题 9．(衡阳中考)若△ABC 与△DEF 相似且面积之比为25∶16，则△ABC 与△DEF 的周长之比为________．
10．如图，直线l 1、l 2、…、l 6是一组等距的平行线，过直线l 1上的点A 作两条射线，分别与直线l 3、l 6相交于点B 、E 、C 、F .若BC ＝2，则EF 的长是________．
第10题图 第11题图
11．如图，正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，AF ⊥DE 于点O ，则AO
DO 等于________．
12．(龙东中考)平行四边形ABCD 中，点E 在直线AD 上，AE ＝1
3
AD ，连接CE 交BD 于点F ，
则EF ∶FC 的值是________．
三、解答题
13．如图，在8×8的正方形网格中，△CAB 和△DEF 的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．
(1)填空：AC ＝________，AB ＝________；
(2)判断△CAB 和△DEF 是否相似，并说明理由．
14．如图，要在宽为22米的大道两边安装路灯，路灯的灯臂CD 长2米，且与灯柱BC 成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线DO 与灯臂CD 垂直，当灯罩的轴线DO 通过公路路面的中心线时照明效果最佳，求路灯灯柱BC 的高度．
15．如图，⊙O 的半径为5，点P 在⊙O 外，PB 交⊙O 于A 、B 两点，PC 交⊙O 于D 、C 两点．
(1)求证：P A ·PB ＝PD ·PC ；
(2)若P A ＝454，AB ＝19
4
，PD ＝DC ＋2，求点O 到PC 的距离．
16．★(南充中考)已知正方形ABCD 的边长为1，点P 为正方形内一动点，若点M 在AB 上，且满足△PBC ∽△P AM ，延长BP 交AD 于点N ，连接CM .
(1)如图a ，若点M 在线段AB 上，求证：AP ⊥BN ，AM ＝AN ；
(2)①如图b ，在点P 运动过程中，满足△PBC ∽△P AM 的点M 在AB 的延长线上时，AP ⊥BN 和AM ＝AN 是否成立？(不需说明理由)
②是否存在满足条件的点P ，使得PC ＝1
2
？请说明理由．
参考答案与解析
1．B 2.C 3.D 4.C 5.B
6．D 解析：过F 作FH ⊥AE 于H .∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ＝CD ，AB ∥CD .∵AE ∥CF ，∴四边形AECF 是平行四边形，∴AF ＝CE ，∴DE ＝BF ，∴AF ＝3－DE .∵∠FHA ＝∠D ＝∠DAF
＝90°，∴∠AFH ＋∠HAF ＝∠DAE ＋∠F AH ＝90°，∴∠DAE ＝∠AFH ，∴△ADE ∽△FHA ，∴AE
AF
＝
AD FH ，∴AE ＝AF .∵AE ＝4＋DE 2，∴4＋DE 2＝3－DE ，∴DE ＝56
. 7．C 解析：∵等腰Rt △ABC 中BC ＝4，AB 为⊙O 的直径，∴AC ＝4，AB ＝42，∠D ＝90°.
在Rt △ABD 中，∵AD ＝45，AB ＝42，∴BD ＝28
5.∵∠D ＝∠C ，∠DAC ＝∠CBE ，
∴△ADE ∽△BCE .∵AD ∶BC ＝4
5
∶4＝1∶5，∴△ADE 和△BCE 的相似比为1∶5.设AE ＝x ，∴BE
＝5x ，∴DE ＝28
5
－5x ，∴CE ＝28－25x .∵AC ＝4，∴x ＋28－25x ＝4，解得x ＝1.
8．D 解析：由扇形相似的定义可得n πr 180n 1πr 1180
＝r
r 1，所以n ＝n 1，故①正确；因为∠AOB ＝∠A 1O 1B 1，
OA ∶O 1A 1＝k ，所以△AOB ∽△A 1O 1B 1，故②正确；因为△AOB ∽△A 1O 1B 1，所以AB A 1B 1＝OA
O 1A 1
＝k ，
故③正确；由扇形面积公式n
360·πr 2可得到④正确．
9．5∶4 10.5 11.1
2
12.23或43 解析：∵AE ＝1
3
AD ，∴分两种情况：①当点E 在线段AD 上时，如图①所示．∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AD ＝BC ，∴△EFD ∽△CFB ，∴EF ∶FC ＝DE ∶BC .∵AE ＝13AD ，∴DE ＝23AD ＝2
3
BC ，∴DE ∶BC ＝2∶3，∴EF ∶FC ＝2∶3；②当点E 在线段DA 的延长线上时，如图②所示．同①得△EFD ∽△CFB ，∴EF ∶FC ＝DE ∶BC .∵AE ＝13AD ，∴DE ＝43AD ＝4
3
BC ，
∴DE ∶BC ＝4∶3，∴EF ∶FC ＝4∶3.综上所述，EF ∶FC 的值是23或4
3
.
13．解：(1)25 210
(2)相似．理由如下：△CAB 与△DEF 均为等腰直角三角形，故相似． 14．解：延长OD ，BC 交于点P .由题意得OB ＝11米，CD ＝2米，∠ODC ＝∠PDC ＝∠B ＝90°，∠BCD ＝120°，∴∠P ＝30°，∴在直角△CPD 中，PD ＝CD ·tan60°＝23米，PC ＝CD ÷sin30°＝4
米．∵∠P ＝∠P ，∠PDC ＝∠B ＝90°，∴△PDC ∽△PBO ，∴PD PB ＝CD OB ，∴PB ＝PD ·OB CD ＝
23×11
2
＝113(米)，∴BC ＝PB －PC ＝(113－4)米．
答：路灯灯柱BC 的高度为(113－4)米．
15．(1)证明：连接AD ，BC .∵四边形ABCD 内接于⊙O ，∴∠P AD ＝∠PCB ，∠PDA ＝∠PBC ，
∴△P AD ∽△PCB ，∴P A PC ＝PD
PB
，∴P A ·PB ＝PC ·PD ；
(2)解：连接OD ，作OE ⊥DC ，垂足为E .∵P A ＝454，AB ＝19
4
，PD ＝DC ＋2，∴PB ＝16，PC ＝
2DC ＋2.∵P A ·PB ＝PD ·PC ，∴45
4
×16＝(DC ＋2)(2DC ＋2)，解得DC ＝8或DC ＝－11(舍去)，∴DE
