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![2020年高三总复习数学人教旧版-必修4[第1讲 三角函数的概念]讲义(教师版)](https://img.taocdn.com/s1/m/7bb4ddacbe23482fb5da4c67.png)
《三角函数》复习课教学案一、教学目标：1．进一步巩固三角函数的图象、性质和三角变换；2．应用三角函数解决实际问题； 3．渗透数形结合与转化思想．教学目标（修改）1．会根据正、余弦函数的有界性和单调性求简单三角函数的最值和值域；2．运用转化思想，通过变形、换元等方法转化为代数函数求其给定区间内的值域和最 值。
3．通过对最值问题的探索与解决，提高运算能力，增强分析问题和解决问题能力。
体 现数学思想方法在解决三角最值问题中的作用。
二、教学过程： （一）知识点回顾：（略） （二）基础练习：1． 的值等于 ．2．下列函数 中，既是以π为周期的奇函数，又是(0,)2π上的增函数的是 ．3．若方程1cos sin 322cos +=-k x x x 有解，则k4．已知函数sin()yA x ωϕ=+（0,||A ϕπ><）的一段图象 如下图所示，则函数的解析式 ．（三）例题选讲：例1．已知113cos ,cos()7142πααββα=-=<<且0< （1）求tan 2α的值（2）求β的值例２．已知函数（1）求函数f(x)的最小正周期.（2）用五点法作出此函数在一个周期内的简图；并指出其减区间，对称轴和对称中心．（3）如何将此函数的图象变换到 的图象？tan ,cos2,sin 2,sin y x y x y x y x ====2x 3f(x)=sin2x 2y =3sin2x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦πx ∈0,2f(x)-k >000cos75cos15（4）若 时， 恒成立，求实数k 的取值范围．10090ABCD ATPS P TS BC CD PQCR 思考题：如图是一块边长为米的正方形地皮，其中是一半径为米的扇形小山，是弧上一点，其余都是平地，现一开发商想在平地上建造一个有边落在与上的长方形停车场．求长方形停车场的最大面积和最小面积．（四）巩固练习：1．若函数()f x 图象上每一个点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的两倍，然后再将整个图象沿x 轴向右平移2π个单位，向下平移3个单位，恰好得到1sin 2y x =的图象，则()f x = ．2．①存在实数α，使sin α·cos α=1；②)227cos(2)(x x f --=π是奇函数；③83π-=x 是函数)432s i n(3π-=x y 的图象的一条对称轴；④函数)c o s (s i n x y =的值域为]1c os ,0[．其中正确命题的序号是 ．3．函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-π=-0,01),sin()(12x e x x x f x ，若2)()1(=+a f f (1)a ≤，则a 的所有可能值为 ．DABPRQSCT4．已知函数a R a a x x x x f ,(2cos 62sin 62sin )(∈++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫⎝⎛+=ππ为常数）． （1）求函数的最小正周期； （2）求函数的单调递减区间； （3）若⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 时，f(x)的最小值为-2，求a 的值．。
三角函数专题复习（一）1. 三角函数（约16课时）（1）任意角、弧度制：了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化。
（2）三角函数①借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。
②借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式（的正弦、余弦、正切），能画出的图象，了解三角函数的周期性。
③借助图象理解正弦函数、余弦函数在，正切函数在上的性质（如单调性、最大和最小值、图象与x轴交点等）。
④理解同角三角函数的基本关系式：⑤结合具体实例，了解的实际意义；能借助计算器或计算机画出的图象，观察参数A，ω，对函数图象变化的影响。
⑥会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型。
一、要点●疑点●考点1、任意角和弧度制：①、任意角：正角（按逆时针方向旋转形成的角）、负角（按顺时针方向旋转形成的角）、零角（没有作任何旋转的角）；②、象限角：角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的正半轴重合，那么角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角；【注意】：如果角的终边落在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限。
③、a：终边相同的角的集合：S={β︱β=α+k·360o，k∈Z}；b：终边在x轴上的角的集合：S={β︱β=k•180o，k∈Z}；c：终边在y轴上的角的集合：S={β︱β=90o+k·180o，k∈Z}；d：终边在坐标轴上的角的集合：S={β︱β=k·90o，k∈Z}；e：终边在直线y=x上的角的集合：S={β︱β=45o+k•180o，k∈Z}④、角度制与弧度制：用度作为单位来度量角的单位制叫着角度制；用实数作为单位来度量角的单位制叫着弧度制；把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫着1弧度的角，用符号rad表示，读着弧度。
如果半径为r的圆的圆心角α所对的弧长为l，那么，角αα的正负由角α的终边的旋转方向决定。
角度制与弧度制的转化只要通过【注意】：今后用弧度制表示角时，“弧度”二字或“rad”通常略去不写，而只写该角所对应的弧度数。
三角函数复习教案_整理三角函数是高中数学中的重要内容，也是后续学习高等数学、物理等学科的基础。
为了帮助学生复习和巩固三角函数的相关知识，特别整理了以下的教案。
一、知识概述1.三角函数的定义及性质：正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数等。
2.三角函数的周期性及相关计算公式。
3.三角函数的图像与性质。
4.三角函数的运算：和差化积、积化和差、倍角公式、半角公式等。
二、教学目标1.熟练掌握三角函数的定义及性质。
2.能够准确绘制三角函数的图像。
3.能够灵活运用三角函数的运算公式。
三、教学重点1.熟练掌握三角函数的图像与性质。
2.掌握三角函数的运算公式及其应用。
四、教学难点能够灵活运用三角函数的运算公式，解决实际问题。
五、教学方法1.板书法：结合图表将三角函数的定义、性质及运算公式进行清晰明了的呈现。
2.演示法：通过具体的例子和解题步骤，引导学生掌握运算的方法和技巧。
3.练习法：通过大量的练习，让学生熟练运用所学的知识和方法。
六、教学内容1.三角函数的定义及性质：（1）正弦函数的定义及性质。
（2）余弦函数的定义及性质。
（3）正切函数的定义及性质。
（4）余切函数的定义及性质。
2.三角函数的周期性及相关计算公式：（1）正弦函数的周期及其计算公式。
（2）余弦函数的周期及其计算公式。
（3）正切函数的周期及其计算公式。
3.三角函数的图像与性质：（1）正弦函数的图像及性质。
（2）余弦函数的图像及性质。
（3）正切函数的图像及性质。
4.三角函数的运算：（1）和差化积公式的推导与应用。
（2）积化和差公式的推导与应用。
（3）倍角公式的推导与应用。
（4）半角公式的推导与应用。
七、教学步骤1.引入新知识，复习前置知识。
2.讲解三角函数的定义及性质。
3.探讨三角函数的周期性及计算公式。
4.分析讨论三角函数的图像及性质。
5.结合具体例子，讲解三角函数的运算公式的推导与应用。
6.练习三角函数的计算与运用。
7.总结与复习。
八、教学辅助资料1.板书及教学用具：教师应准备白板、黑板、彩笔、粉笔等教学用具，及时记录关键公式和重点内容。
三角函数复习教案整理一、教学目标1. 回顾和巩固三角函数的基本概念、性质和公式。
2. 提高学生解决实际问题中涉及三角函数的能力。
3. 培养学生的逻辑思维和运算能力。
二、教学内容1. 三角函数的定义与性质正弦函数、余弦函数、正切函数的定义与性质特殊角的三角函数值2. 三角函数的图象与性质三角函数的图象特点三角函数的周期性、奇偶性、单调性3. 三角函数公式和差公式、倍角公式、半角公式、积化和差与和差化积公式正弦定理、余弦定理4. 三角函数的应用三角函数在几何中的应用三角函数在物理中的应用三、教学重点与难点1. 重点：三角函数的基本概念、性质、公式及应用。
2. 难点：三角函数的图象与性质的理解和应用，以及解决实际问题中的三角函数应用。
四、教学方法1. 采用讲解、示范、练习、讨论相结合的方法。
2. 利用多媒体课件辅助教学，直观展示三角函数的图象和性质。
3. 引导学生通过自主学习、合作交流，提高解决问题的能力。
五、教学过程1. 导入：回顾三角函数的定义与性质，引导学生思考三角函数在实际问题中的应用。
2. 新课：讲解三角函数的图象与性质，通过示例让学生理解并掌握。
3. 练习：让学生通过练习题，巩固所学内容，提高解决问题的能力。
4. 拓展：引导学生思考三角函数在其他领域的应用，如物理、工程等。
5. 小结：总结本节课的主要内容，强调重点和难点。
6. 作业：布置适量作业，让学生巩固所学知识。
六、教学评估1. 课堂讲解：观察学生对三角函数概念、性质和公式的理解程度，以及他们能否熟练运用相关知识解决问题。
2. 练习题：通过学生完成练习题的情况，评估他们对于三角函数图象与性质、公式的掌握程度。
3. 小组讨论：评估学生在合作交流中的参与程度，以及他们解决问题的能力。
七、教学反思1. 针对课堂讲解，反思教学方法是否适合学生的学习需求，是否需要调整讲解方式和节奏。
2. 针对练习题，反思习题难度是否适中，是否需要增加或调整习题类型。
三角函数复习教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）掌握三角函数的定义及性质；（2）熟练运用三角函数公式进行计算；（3）理解三角函数在实际问题中的应用。
2. 过程与方法：（1）通过复习，巩固三角函数的基本概念；（2）学会运用归纳法、类比法等方法总结三角函数的性质；（3）提高运用三角函数解决实际问题的能力。
3. 情感态度与价值观：（1）培养学生的团队协作精神；二、教学内容1. 三角函数的定义与性质（1）正弦函数、余弦函数、正切函数的定义；（2）三角函数的周期性；（3）三角函数的奇偶性；（4）三角函数的单调性。
2. 三角函数公式（1）和差化积公式；（2）积化和差公式；（3）倍角公式；（4）半角公式。
3. 三角函数在实际问题中的应用（1）角度与弧度的互化；（2）三角函数在几何问题中的应用；（3）三角函数在物理问题中的应用。
三、教学重点与难点1. 教学重点：（1）三角函数的定义与性质；（2）三角函数公式的运用；（3）三角函数在实际问题中的应用。
2. 教学难点：（1）三角函数公式的灵活运用；（2）解决实际问题时的三角函数求解。
四、教学方法1. 采用讲解法、问答法、讨论法等教学方法；2. 利用多媒体课件辅助教学，增强学生的直观感受；3. 设置适量练习，巩固所学知识。
五、教学过程1. 导入：通过复习三角函数的基本概念，引导学生回顾已学知识，为新课的学习做好铺垫。
2. 讲解：（1）讲解三角函数的定义与性质，通过示例让学生理解并掌握；（2）介绍三角函数公式，引导学生学会运用公式解决实际问题；（3）讲解三角函数在实际问题中的应用，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
3. 练习：布置适量练习题，让学生巩固所学知识，并及时给予解答和指导。
4. 总结：对本节课的主要内容进行总结，强调重点和难点，鼓励学生课后进行自主复习。
5. 课后作业：布置课后作业，巩固课堂所学知识，提高学生的实际运用能力。
六、教学评估1. 课堂问答：通过提问，了解学生对三角函数定义与性质的理解程度。
第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数授课提示：对应学生用书第50页［基础梳理］1．任意角的概念（1)我们把角的概念推广到任意角,任意角包括正角、负角、零角．①正角：按逆时针方向旋转形成的角；②负角：按顺时针方向旋转形成的角；③零角:如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角．(2）终边相同角：与α终边相同的角可表示为:｛β|β＝α＋2kπ，k∈Z｝．2．弧度与角度的互化(1)1弧度的角:长度等于半径长的弧所对的圆心角．（2）角α的弧度数公式:｜α｜＝错误!．(3）角度与弧度的换算：360°＝2π rad,1°＝错误!rad，1 rad＝（错误!)°≈57°18′。
(4)扇形的弧长及面积公式：弧长公式：l＝α·r．面积公式：S＝错误!l·r＝错误!α·r2.3．任意角的三角函数(1)定义:设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y),则sin α＝y，cos α＝x,tan α＝错误!(x≠0）．（2）几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点,正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP，OM，AT分别叫作角α的正弦线、余弦线和正切线．4．终边相同的角的三角函数sin(α＋k·2π)＝sin__α,cos（α＋k·2π)＝cos__α,tan(α＋k·2π）＝tan__α（其中k∈Z），即终边相同的角的同一三角函数的值相等．1．一个口诀三角函数值在各象限的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦．2．两个关注点（1）利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．(2)在同一个问题中采用的度量制度必须一致，不能混用．3．三角函数定义的推广设点P（x，y)是角α终边上任意一点且不与原点重合，r＝｜OP｜,则sin α＝错误!，cos α＝错误!,tan α＝错误!.4．四种角的终边关系(1）β，α终边相同⇔β＝α＋2kπ,k∈Z。
《三角函数》复习教案【知识网络】学法：1．注重化归思想的运用．如将任意角的三角函数值的问题化归为锐角的三角函数的问题，将不同名的三角函数问题化成同名的三角函数的问题，将不同角的三角函数问题化成同角的三角函数问题等2．注意数形结合思想的运用．如讨论函数性质等问题时，要结合函数图象思考，便易找出解题思路和问题答案．第1课 三角函数的概念【学习目标】理解任意角的概念、弧度的意义． 能正确地进行弧度与角度的换算． 掌握终边相同角的表示方法． 掌握任意角的正弦、余弦、正切的意义．了解余切、正割、余割的定义． 掌握三角函数的符号法则． 【考点梳理】考点一、角的概念与推广1．任意角的概念：正角、负角、零角 2．象限角与轴线角：与α终边相同的角的集合：},2|{Z k k ∈+=απββ 第一象限角的集合：{|22,}2k k k Z πβπβπ<<+∈第二象限角的集合：{|22,}2k k k Z πβπβππ+<<+∈第三象限角的集合：3{|22,}2k k k Z πβππβπ+<<+∈ 第四象限角的集合：3{|222,}2k k k Z πβπβππ+<<+∈ 终边在x 轴上的角的集合：{|,}k k Z ββπ=∈ 终边在y 轴上的角的集合：{|,}2k k Z πββπ=+∈终边在坐标轴上的角的集合：{|,}2k k Z πββ=∈ 要点诠释：要熟悉任意角的概念，要注意角的集合表现形式不是唯一的，终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，还要注意区间角与象限角及轴线角的区别与联系. 考点二、弧度制1．弧长公式与扇形面积公式： 弧长l r α=⋅，扇形面积21122S lr r α==扇形（其中r 是圆的半径，α是弧所对圆心角的弧度数）.2．角度制与弧度制的换算：180π=；18010.017451()57.305718'180rad rad rad ππ=≈=≈=；要点诠释：要熟悉弧度制与角度制的互化以及在弧度制下的有关公式. 考点三、任意角的三角函数1. 定义：在角α上的终边上任取一点(,)P x y ，记22r OP x y ==+则sin y r α=, cos x r α=, tan y x α=，cot x y α=，sec rxα=，csc r y α=.2. 三角函数线：如图，单位圆中的有向线段MP ，OM ，AT 分别叫做α的正弦线，余弦线，正切线.3. 三角函数的定义域：sin y α=，cos y α=的定义域是R α∈；tan y α=，sec y α=的定义域是{|,}2k k Z πααπ≠+∈；cot y α=，csc y α=的定义域是{|,}k k Z ααπ≠∈.4. 三角函数值在各个象限内的符号：要点诠释：①三角函数的定义是本章内容的基础和出发点，正确理解了三角函数的定义，则三角函数的定义域、三角函数在各个象限内的符号以及同角三角函数之间的关系便可以得到牢固掌握．利用定义求三角函数值时，也可以自觉地根据角的终边所在象限进行分情况讨论.②三角函数线是三角函数的几何表示，是处理有关三角问题的重要工具，它能把某些繁杂的三角问题形象直观地表达出来．有关三角函数值的大小比较问题、简单三角不等式及简单三角方程的解集的确定等问题的解决常结合使用三角函数线，这是数形结合思想在三角中的具体运用. 【典型例题】类型一、角的相关概念 例1.已知θ是第三象限角,求角2θ的终边所处的位置. 【答案】2θ是第二或第四象限角 【解析】方法一：∵θ是第三象限角，即322,2k k k Z πππθπ+<<+∈， ∴3,224k k k Z πθπππ+<<+∈, 当2k n =时，322,224n n n Z πθπππ+<<+∈, ∴2θ是第二象限角， 当21k n =+时，3722,224n n n Z πθπππ+<<+∈, ∴2θ是第四象限角， ∴2θ是第二或第四象限角.方法二：由图知:2θ的终边落在二，四象限. 【总结升华】（1）要熟练掌握象限角的表示方法．本题容易误认为2θ是第二象限角，其错误原因为认为第三象限角的范围是3(,)2ππ．解决本题的关键就是为了凑出2π的整数倍，需要对整数进行分类．（2）确定“分角”所在象限的方法：若θ是第k (1、2、3、4)象限的角，利用单位圆判断nθ，(*n N ∈)是第几象限角的方法：把单位圆上每个象限的圆弧n 等份，并从x 正半轴开始，沿逆时针方向依次在每个区域标上1、2、3、4，再循环，直到填满为止，则有标号k 的区域就是角nθ (*n N ∈)终边所在的范围。
三角函数复习教案一、教学目标1. 知识点：（1）掌握三角函数的定义及性质；（2）了解三角函数在实际问题中的应用；（3）熟练运用三角函数公式进行计算。
2. 能力目标：（1）提高学生的逻辑思维能力；（2）培养学生的数学表达能力；（3）提升学生的数学解决问题的能力。
二、教学内容1. 三角函数的定义及性质（1）正弦函数、余弦函数、正切函数的定义；（2）三角函数的周期性；（3）三角函数的奇偶性；（4）三角函数的单调性。
2. 三角函数公式（1）和差化积公式；（2）积化和差公式；（3）倍角公式；（4）半角公式。
三、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究三角函数的性质和公式；2. 利用多媒体课件，直观展示三角函数的图像和实际应用问题；3. 开展小组讨论，培养学生的合作意识；4. 进行适量练习，巩固所学知识。
四、教学步骤1. 导入新课，回顾三角函数的定义及性质；2. 讲解三角函数公式，并通过例题演示公式的应用；3. 开展小组讨论，让学生自主探究三角函数的性质和公式；4. 利用多媒体课件，展示三角函数在实际问题中的应用；5. 进行课堂练习，巩固所学知识。
五、课后作业1. 复习三角函数的定义及性质；2. 熟练掌握三角函数公式，并进行相关计算；3. 思考实际问题中三角函数的应用。
教学反思：在课后对教学效果进行反思，根据学生的掌握情况，调整教学策略，以提高教学效果。
关注学生的学习兴趣，激发学生的学习积极性，提高学生的数学素养。
六、教学评价1. 评价内容：（1）三角函数定义及性质的理解；（2）三角函数公式的掌握及运用；（3）实际问题中三角函数的应用。
2. 评价方法：（1）课堂问答；（2）课后作业；（3）小组讨论；（4）测试卷。
七、教学拓展1. 深入了解三角函数在科学、工程、医学等领域的应用；2. 探究三角函数与其他数学学科的联系；3. 研究三角函数的历史发展。
八、教学资源1. 教材；2. 多媒体课件；3. 练习题；4. 相关论文及资料。
期末《三角函数》复习1一、知识点整理与归纳:1、角的概念的推广、角的集合的表示、角的度量制与换算换算关系:：180()π= 弧度 ，弧长公式:l r θ= ，扇形面积公式:21122S lr r θ== 2、三角函数的定义熟记三角函数在各象限的符号：sin ,cos ,tan y x yr r xααα=== 3、三角函数线及简单应用（判断正负、比较大小，解方程或不等式等） 4、正弦函数sin y x =、余弦函数cos y x =、正切函数tan y x =的图像和性质： y=sinx y=cosx y=tanx定义域: R R ⎭⎬⎫⎩⎨⎧+≠∈2,|ππk x R x x 值域: [-1,1] [-1,1] R 周期: 2π 2π π 奇偶性: 奇函数 偶函数 奇函数 单调区间:增区间;⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-ππππk k 22,22; []πππk k 2,2+-; ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-ππππk k 2,2减区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππk k 223,22; []πππk k 2,2+ 无减区间对称轴:2ππ+=k xπk x = 无对称轴对称中心: ()0,πk ⎪⎭⎫⎝⎛+0,2ππk ⎪⎭⎫⎝⎛0,2πk （以上k 均为整数） 5、函数sin()y A x ϖϕ=+的图像和性质：作图时常用两种方法：①五点法：②图象变换法：(1)sin()sin()sin sin()(2)sin ()y x y x y x y A x y x y six x ϕϖϕϖϕϖϖϕ=+→=+=→→=+=→=+6、结合函数B x A y ++=)sin(ϕω），（其中00>>ωA 的简图可知： 该函数的最大值是B A +，最小值是A B -，周期是ωπ2=T ，频率是πω2=f ，相位是ϕω+x ，初相是ϕ； 7、几组重要公式一）同角三角函数的基本关系式：1）平方关系：1cos sin 22=+αα；αααα2222tan 11cos cos 1tan 1+=⇔=+2）商式关系：αααtan cos sin =；sin α=tan α²cos α 二）诱导公式：“奇变偶不变，符号看象限”。
三）和角公式和差角公式：()S αβ+：sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+ ，()S αβ-：()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-()C αβ-：cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+ ，()C αβ+：()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-()T αβ+：()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=- ，()T αβ-：()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+ 四）二倍角公式：sin 22sin cos ααα=，22cos2cos sin ααα=-，22tan tan 21tan ααα=- 五）合一变形公式： a sin α＋b cos α＝22b a +sin （α＋φ）＝22b a +cos （α－θ）六）降次公式： 221cos 21cos 2cos ,sin 22αααα+-==， (sin α±cos α)2＝1±sin2α， 七）正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin ===及其变形公式有： （1）C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===；（2）Rc C R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin ===； （3）sin sin sin ::::A B C a b c =等．八）余弦定理：2222cos a b c bc A =+- 及其变形：222cos 2b c a A bc+-=等；九）三角形面积公式：1111sin sin sin 2222ABC S ah bc A ab C ac B ∆====．8、利用正弦定理、余弦定理和三角形内角和定理，可以解决以下四类解斜三角形问题：（1）已知两角和任一边，求其它两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步求其它的边和角， （3）已知三边求三内角；（4）已知两边和它们的夹角，求第三边和其它两个内角。
9、解斜三角形的应用题的解题步骤：（1）分析属于哪种类型的问题（如：测量距离、高度、角度等）； （2）依题意画出示意图，并把已知量标在示意图中；（3）最后确定用哪个定理转化、哪个定理求解，并进行求解； （4）检验并作答. 二、例 题：例1、求下列函数的单调区间：（1）y =21sin （4π－32x ）；（2）y = －｜sin （x +4π）｜。
解：（1）减区间为［3k π－8π3，3k π+8π9］，增区间为［3k π+8π9，3k π+8π21］（k ∈Z ）。
（2）增区间为［k π+4π，k π+4π3］，减区间为［k π－4π，k π+4π］（k ∈Z ）。
例2、定义在区间⎪⎭⎫⎝⎛20π,上的函数y=6cosx 的图像与y=5tanx 的图像的交点为P ，过点P 作PP 1⊥x 轴于点P 1，直线PP 1与y=sinx 的图像交于点P 2,则线段P 1P 2的长为_________。
解：23例3、已知434π<α<π，40π<β<，53)4cos(-=α+π，135)43sin(=β+π，求sin(α + β)的值。
解：6563例4、已知电流I 与时间t 的关系式为sin()I A t ωϕ=+。
（１）右图是sin()I A t ωϕ=+（ω＞0，||2πϕ<）在一个周期内的图象，根据图中数据求sin()I A t ωϕ=+的解析式； （２）如果t 在任意一段1150秒的时间内，电流sin()I A t ωϕ=+都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？解:（１）由图可知 A ＝300。
周期T ＝2（1180＋1900）＝175。
∴ ω＝2T π＝150π。
故所求的解析式为1300sin[150)]=300sin(150)9006I t t πππ=++（。
（２）依题意周期2T πω=≤1150，（ω>0）∴ ω≥300π＞942，又ω∈N *，故最小正整数ω＝943。
例5、已知函数()f x2cos 2cos 1()x x x x R +-∈。
(1)求函数()f x 的最小正周期及在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值： (2)若06()5f x =，0,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求0cos 2x 的值。
解：（1）由2()cos 2cos 1f x x x x =+-，得2()cos )(2cos 1)2cos 22sin(2)6f x x x x x x x π=+-=+=+，所以T π=；因为()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭在区间0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数，在区间,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，又(0)1,2,162f f f ππ⎛⎫⎛⎫===- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为2，最小值为-1 （2）由（1）可知006()2sin 265f x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以03sin 265x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，由0,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得0272,636x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，从而04cos 265x π⎛⎫+==- ⎪⎝⎭所以00cos 2cos 266x x ππ⎡⎤⎛⎫=+-=⋅⋅⋅= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦。
三、课后作业1、设α是第二象限角，P (x ，5)为其终边上一点，且cos α＝24x ，则sin α的值 . 解：1042、已知α是锐角，且10α与α的终边相同，则角α的大小为 40°或80° ..3、满足sin α<22，且α∈(0，π)的角α的集合是_____________．答案： ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π4、已知tan α＝23，则 sin 2α－2sin αcos α＋4cos 2α的值为 .答案：28135、已知cos(3π2＋α)＝－35，且α是第四象限角，则cos(－3π＋α)的值为 .解：－456、函数y ＝tan x ＋sin x －|tan x －sin x |在区间(π2，3π2)内的图象大致是( D )7、已知sin α、cos α是方程3x 2－2x ＋a ＝0的两根，则实数a 的值为 .解： a ＝－56.8、函数32tan(3)4y x π=-的单调递减区间是 ．答案： ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π3－π4，k π3＋π12(k ∈Z ) 9、若sin α＋sin 2α＝1，则cos 2α＋cos 4α的值为 .解： 110、已知f (x )＝2sin ωx (0<ω<1)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上的最大值是2，则ω＝________.解：ω＝34.11、已知sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2mm ＋5，则tan θ＝________. 解：－34或－51212、化简： sin(2π－α)tan(α＋π)tan(－α－π)cos(π－α)tan(3π－α)= .解：原式＝－sin αtan α(－tan α)－cos α(－tan α)＝tan 2α.13、曲线sin()y A x ωϕ=+的一个最高点为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，3，从相邻的最低点到这个最高点的图象交x 轴于⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0，最低点纵坐标为－3，求此曲线的解析式.解：y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π414、将最小正周期为π2的函数g (x )＝2sin(ωx ＋φ＋π4)(ω>0，|φ|<2π)的图象向左平移π4个单位长度，则得到偶函数图象，求满足题意的φ的所有可能的值．解： ∵T ＝2πω＝π2，∴ω＝4，∴g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋φ＋π4左移π4个单位得到y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋φ＋π4＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4x ＋π＋φ＋π4＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋φ＋π4为偶函数， ∴φ＋π4＝k π＋π2，∴φ＝k π＋π4，(k ∈Z )，∵|φ|<2π，∴φ＝π4，5π4，－3π4，－7π4.15、已知函数.3cos 33cos 3sin )(2xx x x f += （1）将f(x)写成sin()A x B ωφ++的形式，（2）求其图象对称中心；解：（1）2()sin()33x f x π=+（2）由)332sin(π+x =0即z k k x z k k x ∈-=∈=+πππ213)(332得，即对称中心的横坐标为z k k ∈-，π213，所以所求对称中心为312k π-（ ∈（k Z ）16、（1）已知关于x 的方程2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝k 在[0，π]上有两解，求实数k 的取值范围．（2）设关于x 的方程sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝k ＋12在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2内有两个不同根α、β，求α＋β的值及k 的取值范围．解：（1）令y 1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，(0≤x ≤π)，y 2＝k ，在同一坐标系内作出它们的图象如图，由图象可知，当1≤k <2时，直线y 2＝k 与曲线y 1＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4 (0≤x ≤π)有两个公共点，即1≤k <2时，原方程有两解．（2）在同一坐标系中画出函数y ＝sin(2x ＋π6)及y ＝k ＋12的图象，由图易见当12≤k ＋12<1时，即0≤k <1时，直线l 与曲线C 有两个交点，且两交点的横坐标为α、β，从图象中还可看出α、β关于x ＝π3对称，故α＋β＝2π3. 综上可知，0≤k <1，且α＋β＝2π3.。
