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第一章三角函数1.3 三角函数的诱导公式第1课时诱导公式二、三、四A级基础巩固一、选择题1．sin 7π6的值是()A．－12B．－2C．2 D.12解析：sin 7π6＝sin⎝⎛⎭⎪⎫π＋π6＝－sin π6＝－12.答案：A2．sin 600°＋tan(－300°)的值是()A．－32 B.32C．－12＋ 3 D.12＋ 3解析：原式＝sin(360°＋240°)＋tan(－360°＋60°)＝－sin 60°＋tan 60°＝32. 答案：B3．已知sin(π＋α)＝35，α为第三象限角，则cos(π－α)＝( ) A.35 B ．－35 C.45 D ．－45解析：因为sin (π＋α)＝35，所以sin α＝－35. 因为α为第三象限角，所以cos α＝－45. 所以cos (π－α)＝－cos α＝45. 答案：C4．设f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，其中a ，b ，α，β∈R ，若f (2 017)＝5，则f (2 018)等于( )A ．4B ．3C ．－5D ．5解析：因为f (2 017)＝a sin (2 017π＋α)＋b cos (2 017π＋β)＝－a sin α－b cos β＝5，所以f (2 018)＝a sin (2 018π＋α)＋b cos (2 018π＋β)＝a sin α＋b cos β＝－5.答案：C5．设tan(5π＋α)＝m ，则sin （α＋3π）＋cos （π＋α）sin （－α）－cos （π＋α）的值等于( )A.m ＋1m －1B.m －1m ＋1 C ．－1 D ．1解析：因为tan(5π＋α)＝tan[4π＋(π＋α)]＝tan(π＋α)＝tan α，所以tan α＝m ；所以原式＝sin （π＋α）－cos α－sin α＋cos α＝－sin α－cos α－sin α＋cos α＝tan α＋1tan α－1＝ m ＋1m －1. 答案：A二、填空题6．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝13，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋α＝________． 解析：因为tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋α＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α， 所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋α＝－13. 答案：－137．已知sin(π＋α)＝45，且α是第四象限角，则cos(α－2π)＝________．解析：由sin(π＋α)＝－sin α，得sin α＝－45. 故cos(α－2π)＝cos α＝1－sin 2α＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－452＝35. 答案：358．化简sin 2(π＋α)－cos(π＋α)cos(－α)＋1的值是________．解析：原式＝(－sin α)2－(－cos α)·cos α＋1＝sin 2α＋cos 2α＋1＝2.答案：2三、解答题9．计算下列各式的值：(1)cos π5＋cos 2π5＋cos 3π5＋cos 4π5； (2)sin 420°cos 330°＋sin(－690°)cos(－660°)．解：(1)原式＝⎝⎛⎭⎪⎫cos π5＋cos 4π5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π5＋cos 3π5＝ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos π5＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π5＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos 2π5＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫π－2π5＝ ⎝⎛⎭⎪⎫cos π5－cos π5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π5－cos 2π5＝0. (2)原式＝sin(360°＋60°)cos(360°－30°)＋sin(－2×360°＋30°)·cos(－2×360°＋60°)＝sin 60°cos 30°＋sin 30°cos 60°＝ 32×32＋12×12＝1. 10．已知sin(α＋π)＝45，且sin αcos α<0，求 2sin （α－π）＋3tan （3π－α）4cos （α－3π）的值． 解：因为sin(α＋π)＝45，所以sin α＝－45， 又因为sin αcos α<0，所以cos α>0，cos α＝1－sin 2α＝35， 所以tan α＝－43. 所以原式＝－2sin α－3tan α－4cos α＝ 2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－434×35＝－73. B 级 能力提升1．下列三角函数：①sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫n π＋4π3；②cos ⎝⎛⎭⎪⎫2n π＋π6；③sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n π＋π3；④cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤（2n ＋1）π－π6； ⑤sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤（2n ＋1）π－π3，上述中的n ∈Z. 其中与sin π3的值相同的是( ) A ．①②B ．①③④C ．②③⑤D ．①③⑤ 解析：①sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫n π＋43π＝⎩⎨⎧sin π3（n 为奇数），－sin π3（n 为偶数）； ②cos ⎝⎛⎭⎪⎫2n π＋π6＝cos π6＝sin π3； ③sin ⎝⎛⎭⎪⎫2n π＋π3＝sin π3；④cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤（2n ＋1）π－π6＝cos 5π6＝－sin π3； ⑤sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤（2n ＋1）π－π3＝sin π3. 答案：C2．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin πx （x <0），f （x －1）－1（x >0），则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－116＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116＝________．解析：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－116＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－116π＝sin π6＝12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56－1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－16－2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6－2＝－52， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－116＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116＝12－52＝－2. 答案：－23．已知α是第二象限角，且tan α＝－2.(1)求cos 4α－sin 4α的值；(2)设角k π＋α(k ∈Z)的终边与单位圆x 2＋y 2＝1交于点P ，求点P 的坐标．解：(1)原式＝(cos 2α＋sin 2α)(cos 2α－sin 2α)＝cos 2α－sin 2α＝ cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝1－（－2）21＋（－2）2＝－35. (2)由tan α＝－2得sin α＝－2cos α，代入sin 2α＋cos 2α＝1得cos 2α＝15，因为α是第二象限，所以cos α<0，所以cos α＝－55，sin α＝tan αcos α＝255. 当k 为偶数时，P 的坐标⎩⎨⎧x ＝cos （k π＋α）＝cos α＝－55，y ＝sin （k π＋α）＝sin α＝255，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－55，255. 当k 为奇数时，P 的坐标 ⎩⎨⎧x ＝cos （k π＋α）＝cos （π＋α）＝－cos α＝55，y ＝sin （k π＋α）＝sin （π＋α）＝－sin α＝－255，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫55，－255. 综上，点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－55，255或⎝ ⎛⎭⎪⎫55，－255.。
第1课时 诱导公式二、三、四1.掌握π±α，－α，π2－α的终边与α的终边的对称性.2.理解和掌握诱导公式二、三、四的内涵及结构特征，掌握这三个诱导公式的推导方法和记忆方法.3.会初步运用诱导公式二、三、四求三角函数的值，并会进行一般的三角关系式的化简和证明.1.特殊角的终边对称性(1)π＋α的终边与角α的终边关于 对称，如图①； (2)－α的终边与角α的终边关于 对称，如图②； (3)π－α的终边与角α的终边关于 对称，如图③； (4)π2－α的终边与角α的终边关于直线 对称，如图④.【做一做1】 已知α的终边与单位圆的交点为PA. P 11,22⎛- ⎝⎭B.P 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32C.P 3⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32D.P 4⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12诱导公式一～四可用口诀“函数名不变，符号看象限”记忆，其中“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名，“符号”是指等号右边是正号还是负号，“看象限”是指把α看成锐角时等式左边三角函数值的符号.【做一做2－1】 若cos α＝m ，则cos(－α)等于( )A.mB.－mC.|m |D.m 2【做一做2－2】 若sin(π＋α)＝13，则sin α等于( )A.13B.－13C.3D.－3 【做一做2－3】 已知tan α＝4，则tan(π－α)等于( )A.π－4B.4C.－4D.4－π 3.公式一～四的应用【做一做3】 若cos 61°＝m ，则cos(－2 041°)＝( ) A.m B.－m C.0 D.与m 无关答案：1．(1)原点 (2)x 轴 (3)y 轴 (4)y ＝x【做一做1】 C 由于π＋α，－α，π－α，π2－α的终边与α的终边分别关于原点、x 轴、y 轴、直线y ＝x 对称，则P 1⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32，P 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32，P 3⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，P 4⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12. 2．tan α －sin α cos α －cos α －tan α 同名函数值 【做一做2－1】 A 【做一做2－2】 B 【做一做2－3】 C【做一做3】 B cos(－2 041°)＝cos 2 041°＝cos(5×360°＋241°)＝cos 241°＝cos(180°＋61°)＝－cos 61°＝－m .对诱导公式一～四的理解剖析：(1)在角度制和弧度制下，公式都成立.(2)公式中的角α可以是任意角.但对于正切函数而言，公式成立是以正切函数有意义为前提条件的.(3)公式一～公式四，等式两边的“函数名”不变，是对三角函数名称而言.(4)利用公式求三角函数.“符号看象限”看的应该是诱导公式中，把α看成锐角时原函数值的符号，而不是α的三角函数值的符号，例如sin(2π－α)＝－sin α，当α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，易错误地认为sin(2π－α)＝sin α.题型一 求任意角的三角函数值【例1】 求值：(1)sin 1 320°；(2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－316π. 反思：求任意角的三角函数值的步骤是：先用诱导公式三化为正角的三角函数值，再用诱导公式一化为0～2π的三角函数值，再用公式二或四化为锐角的三角函数值.这实质上也是将任意角的三角函数值化为锐角的三角函数值的过程，即负→正→［0，2π)→锐角.题型二 化简三角函数式【例2】 化简：cos(α＋π)sin 2(α＋3π)tan(α＋π)cos 3(－α－π). 分析：先用诱导公式化为α的三角函数，使角统一，再切化弦或弦化切，以保证三角函数名最少.反思：利用诱导公式主要是进行角的转化，可以达到统一角的目的. 题型三 求三角函数式的值【例3】 已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝33，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫α－π6的值.分析：注意到⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝π，可以把5π6＋α化成π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α，又α－π6＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α，利用诱导公式即可. 反思：此类题目要灵活运用诱导公式，在做题时要注意观察角与角之间的关系，例如5π6＋α＝π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α，从而利用诱导公式把未知三角函数值用已知三角函数值表示出来. 题型四 易错辨析易错点 在化简求值中，往往对n π＋α(n ∈Z )与2k π＋α(k ∈Z )混淆而忽略对n 的讨论【例4】 化简：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4n ＋14π＋x ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4n －14π－x (n ∈Z ).错解：原式＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫n π＋π4＋x ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫n π－π4－x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＋cos 4x π⎡⎤⎛⎫-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋x .错因分析：错在没有对n 进行分类讨论，关键是对公式一没有理解透.反思：化简sin(k π＋α)，cos(k π＋α)(k ∈Z )时，需对k 是奇数还是偶数分类讨论，可以证明tan(k π＋α)＝tan α(k ∈Z )是成立的.答案：【例1】 解：(1)sin 1 320°＝sin(3×360°＋240°)＝sin 240°＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－32； (2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－316π＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6π＋5π6＝cos 5π6 ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π－π6＝－cos π6＝－32.【例2】 解：原式＝－cos α－sin α2tan α－cos α3＝sin 2αtan α·cos 2α＝tan 2αtan α＝tan α. 【例3】 解：∵cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－33，sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝sin 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝23，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋α－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝－33－23＝－2＋33.【例4】 正解：原式＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫n π＋π4＋x ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫n π－π4－x .(1)当n 为奇数时，即n ＝2k ＋1(k ∈Z )时， 原式＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k ＋1π＋π4＋x ＋cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k ＋π－π4－x ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4－x ＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ；(2)当n 为偶数时，即n ＝2k (k ∈Z )时， 原式＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋π4＋x ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－π4－x＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4－x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x .故原式＝⎩⎪⎨⎪⎧－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ，n 为奇数，2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ，n 为偶数.1．20cos 3π⎛⎫- ⎪⎝⎭等于( )A.12C.12-D.2．sin 600°＋tan 240°的值是( )A.2-B.2 C.12- D.12+3．已知sin(45°＋α)＝513，则sin(135°－α)＝________.4．已知α∈0,2π⎛⎫⎪⎝⎭，tan(π－α)＝34-，则sin α＝________.5．化简tan(2)sin(2)cos(6)cos()sin(5)πθπθπθθππθ-----+.答案：1．C 20πcos 3⎛⎫-⎪⎝⎭＝20πcos 3＝2πcos 6π3⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝2πcos 3＝12-. 2．B sin 600°＋tan 240°＝sin(360°＋240°)＋tan(180°＋60°)＝sin 240°＋tan 60°＝sin(180°＋60°)＋tan 60°＝－sin 60°＋tan 60°＝-. 3.513 sin(135°－α)＝sin [180°－(45°＋α)]＝sin(45°＋α)＝513. 4.35 由于tan(π－α)＝－tan α＝34-，则tan α＝34.解方程组2sin 3,cos 4sin cos 1,αααα2⎧=⎪⎨⎪+=⎩得sin α＝±35，又α∈π0,2⎛⎫⎪⎝⎭，所以sin α＞0.所以sin α＝35. 5．解：原式＝tan()sin()cos()(cos )(sin )θθθθθ-----＝(tan )(sin )cos cos sin θθθθθ--＝tan θ.。
