备战2020年高考文数一轮复习第5节 第1课时椭圆及简单几何性质

椭圆知识点知识点一：椭圆的定义平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数)2(2121F F a PF PF >=+ ,这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 注意：若2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ； 若2121F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形. 知识点二：椭圆的简单几何性质椭圆：12222=+b y a x )0(>>b a 与 12222=+bx a y )0(>>b a 的简单几何性质标准方程12222=+b y a x )0(>>b a 12222=+b x a y )0(>>b a 图形性质焦点 )0,(1c F -，)0,(2c F ),0(1c F -，),0(2c F焦距 c F F 221= c F F 221= 范围 a x ≤，b y ≤b x ≤，a y ≤对称性关于x 轴、y 轴和原点对称顶点 )0,(a ±，),0(b ± ),0(a ±，)0,(b ±轴长长轴长=a 2，短轴长=b 2 长半轴长=a ，短半轴长=b （注意看清题目）离心率)10(<<=e ace c a F A F A -==2211；c a F A F A +==1221；c a PF c a +≤≤-1；(p 是椭圆上一点)（不等式告诉我们椭圆上一点到焦点距离的范围）注意：①与坐标系无关的椭圆本身固有的性质，如：长轴长、短轴长、焦距、离心率等；②与坐标系有关的性质，如：顶点坐标、焦点坐标等知识点三：椭圆相关计算1．椭圆标准方程中的三个量c b a ,,的几何意义222c b a +=2.通径:过焦点且垂直于长轴的弦,其长ab 22焦点弦：椭圆过焦点的弦。

3.最大角:p 是椭圆上一点，当p 是椭圆的短轴端点时，21PF F ∠为最大角。

第五节椭圆[考纲传真] 1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质．1．椭圆的定义平面内与两个定点F1，F2 的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c 为常数：(1)若a＞c，则集合P 为椭圆．(2)若a＝c，则集合P 为线段．(3)若a＜c，则集合P 为空集．2．椭圆的标准方程和几何性质x2 y2标准方程＋＝1(a>b>0)a2 b2y2 x2＋＝1(a>b>0) a2 b2图形－a≤x≤a，－b≤x≤b，范围－b≤y≤b －a≤y≤a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点性质A1(－a,0)，A2(a,0)，A1(0，－a)，A2(0，a)，顶点B1(0，－b)，B2(0，b) B1(－b,0)，B2(b,0)c离心率e＝，且e∈(0,1)aa，b，c 的关系c2＝a2－b2[常用结论]与椭圆定义有关的结论x2 y2以椭圆＋＝1(a>b>0)上一点P(x0，y0)(y0≠0)和焦点F1(－c,0)，F2(c,0)为a2 b2顶点的△PF1F2 中，若∠F1PF2＝θ，则(1)|PF1|＋|PF2|＝2a.(2)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cosθ.1(3)S△PF1F2＝|PF1||PF2|·sinθ，当|y0|＝b，即P为短轴端点时，S△PF1F2 取2最大值，为bc.(4)焦点三角形的周长为2(a＋c)．(5)已知过焦点F1 的弦AB，则△ABF2 的周长为4a.[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1) 平面内与两个定点F1 ，F2 的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．()(2)椭圆上一点P与两焦点F1，F2 构成△PF1F2 的周长为2a＋2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距)．()(3)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．()(4)方程mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)表示的曲线是椭圆．()[答案](1)×(2)√(3)×(4)√x2 y22．(教材改编)设P是椭圆＋＝1 上的点，若F1，F2 是椭圆的两个焦点，25 16则|PF1|＋|PF2|等于()A．4B．5C．8D．10D[依椭圆的定义知：|PF1|＋|PF2|＝2×5＝10.]x2 y23．若方程＋＝1 表示椭圆，则m的取值范围是()5－m m＋3A．(－3,5) B．(－5,3)C．(－3,1)∪(1,5) D．(－5,1)∪(1,3)C[由方程表示椭圆知Error!解得－3<m<5 且m≠1.]x2 y24．已知椭圆＋＝1(m>0)的左焦点为F1(－4,0)，则m＝()25 m2A．2 B．3 C．4 D．9B[由左焦点为F1(－4,0)知c＝4.又a＝5，∴25－m2＝16，解得m＝3 或－3.又m>0，故m＝3.]15．(教材改编)已知椭圆的一个焦点为F(1,0)，离心率为，则椭圆的标准方2程为________．x2 y2 x2 y2＋＝1[设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．因为椭圆的一个焦点为4 3 a2 b21 x2 y2F(1,0)，离心率e＝，所以Error!解得Error!故椭圆的标准方程为＋＝1.]2 4 3椭圆的定义与标准方程x21．已知△ABC 的顶点B，C 在椭圆＋y2＝1 上，顶点A 是椭圆的一个焦点，3且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是()A．2 3B．6C．4 3D．12C[由椭圆的方程得a＝ 3.设椭圆的另一个焦点为F，则由椭圆的定义得|BA|＋|BF|＝|CA|＋|CF|＝2a，所以△ABC 的周长为|BA|＋|BC|＋|CA|＝|BA|＋|BF|＋|CF|＋|CA|＝(|BA|＋|BF|)＋(|CF|＋|CA|)＝2a＋2a＝4a＝4 3.]2．(2019·济南调研)已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆C1 内部且和圆C1 相内切，和圆C2 相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为()x2 y2 x2 y2A. －＝1B. ＋＝164 48 48 64x2 y2 x2 y2C. －＝1D. ＋＝148 64 64 48D[设圆M 的半径为r，则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16>8＝|C1C2|，所以M 的轨迹是以C1，C2 为焦点的椭圆，且2a＝16,2c＝8，故所求的轨迹方程x2 y2为＋＝1.]64 48x2 y23．(2019·徐州模拟)已知F1、F2 是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点，a2 b2P 为椭圆C 上的一点，且PF1⊥PF2，若△PF1F2 的面积为9，则b＝________.3[设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，则Error!所以2r1r2＝(r1＋r2)2－(r21＋r )＝4a2－4c221＝4b2，所以S△PF1F2＝r1r2＝b2＝9，所以b＝3.]23 54．已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点( ，( ，－， 32)25)，则椭圆方程为________．y2 x2＋＝1[设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m，n>0，m≠n)．由Error!解得m＝10 61 1 y2 x2，n＝. ∴椭圆方程为＋＝1.]6 10 10 6[规律方法] 1.椭圆定义的应用技巧(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等．(2)通常定义和余弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题．2．求椭圆标准方程的常用方法(1)求椭圆的标准方程多采用定义法和待定系数法．(2)利用定义法求椭圆方程，要注意条件2a>|F1F2|；利用待定系数法要先定形(焦点位置)，再定量，也可把椭圆方程设为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)的形式．椭圆的几何性质►考法1求离心率的值或取值范围x2 y2【例1】(1)(2017·浙江高考)椭圆＋＝1 的离心率是()9 413A. B.35 3Earlybird2 5C. D.3 9(2)若椭圆上存在点P，使得点P到两个焦点的距离之比为2∶1，则此椭圆离心率的取值范围是()1 1 1 1A.[B.，，3] [ 2]4 31 1C.(，1)D.[，1)3 3x2 y2(1)B(2)D[(1)∵椭圆方程为＋＝1，9 4∴a＝3，c＝a2－b2＝9－4＝ 5.c 5∴e＝＝.a 3故选B.(2)设P到两个焦点的距离分别为2k，k，根据椭圆定义可知：3k＝2a，又结合椭圆的性质可知，椭圆上的点到两个焦点距离之差的最大值为2c，即k≤2c，1 1∴2a≤6c，即e≥.又∵0<e<1，∴≤e<1.]3 3►考法2根据椭圆的性质求参数的取值范围问题x2 y2【例2】(1)已知椭圆＋＝1 的长轴在x轴上，焦距为4，则mm－2 10－m等于()A．8 B．7 C．6 D．5x2 y2 1(2)(2019·合肥质检)如图，焦点在x轴上的椭圆＋＝1 的离心率e＝，F，4 b2 2→→A分别是椭圆的一个焦点和顶点，P是椭圆上任意一点，则PF·PA的最大值为________．x2 y2(1)A(2)4[(1)∵椭圆＋＝1 的长轴在x轴上，∴Error!解得6＜m－2 10－mEarlybirdm ＜10.∵焦距为 4，∴c 2＝m －2－10＋m ＝4，解得 m ＝8.c 1 x 2 (2)由题意知 a ＝2，因为 e ＝ ＝ ，所以 c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝3.故椭圆方程为a 24y 2＋ ＝1.设 P 点坐标为(x 0，y 0)．所以－2≤x 0≤2，－ 3≤y 0≤ 3.因为 F (－1,0)， 3 → → → →A (2,0)，PF ＝(－1－x 0，－y 0)， ＝(2－x 0，－y 0)，所以 · ＝x －x 0－2＋y ＝PA PF PA 2 1 01→ →x －x 0＋1＝ (x 0－2)2. 当 x 0＝－2 时，PF ·PA 取得最大值 4.] 244[规律方法] 1.求椭圆离心率的方法 1直接求出 a ，c 的值，利用离心率公式直接求解.2列出含有 a ，b ，c 的齐次方程或不等式，借助于 b 2＝a 2－c 2 消去 b ，转化为含有 e 的方程或不等式求解.2.利用椭圆几何性质求参数的值或范围的思路,求解与椭圆几何性质有关的 参数问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基 本量时，要理清它们之间的关系.建立关于 a 、b 、c 的方程或不等式.x 2 y 2(1) 已知 F 1，F 2 分别是椭圆 C ： ＋ ＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦a 2b 2点，若椭圆 C 上存在点 P ，使得线段 PF 1 的中垂线恰好经过焦点 F 2，则椭圆 C 离心率的取值范围是( )212A.[，1)B.[，2]3 311C.[，1)D.(0，3]3x 2(2)已知焦点在 x 轴上的椭圆 C ： ＋y 2＝1(a >0)，过右焦点作垂直于 x 轴的a 2直线交椭圆于A，B两点，且|AB|＝1，则该椭圆的离心率为________．3(1)C(2) [(1)如图所示，∵线段PF1 的中垂线经过F2，∴|PF2|＝|F1F2|＝22c，Earlybirdc 1即椭圆上存在一点P，使得|PF2|＝2c，∴a－c≤2c≤a＋c.∴e＝∈.，1)a [3x2(2)因为椭圆＋y2＝1(a>0)的焦点在x 轴上，所以c＝a2－1，又过右焦点且a2c2垂直于x 轴的直线为x＝c，将其代入椭圆方程中，得＋y2＝1，则y＝±a2c2 c2 c2 3 c1－，又|AB|＝1，所以2 1－＝1，得＝，所以该椭圆的离心率e＝＝a2 a2 a2 4 a32 (负值舍去)．]直线与椭圆的位置关系x2 y2【例3】已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1.试问当m 取何值时，4 2直线l 与椭圆C：(1)有两个不重合的公共点；(2)有且只有一个公共点；(3)没有公共点．[解]将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，得方程组Error!将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0.③方程③根的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.(1)当Δ>0，即－3 2<m<3 2时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个不重合的公共点．(2)当Δ＝0，即m＝±32时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个互相重合的公共点，即直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点．(3)当Δ<0，即m<－3 2或m>3 2时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线l 与椭圆C 没有公共点．[规律方法]直线与椭圆的位置关系的类型及解题方法Earlybird1类型：一是判断位置关系；二是根据位置关系确定参数的取值范围.2解题方法：一是联立方程，借助一元二次方程的判别式Δ来判断，二是借助几何性质来判断，如下面的跟踪训练.x2 y2直线y＝kx－1 与椭圆＋＝1 相切，则k，a的取值范围分别4 a是()1 1A．a∈(0,1)，k∈(－，2)21 1B．a∈(0,1]，k∈(－，2)21 1C．a∈(0,1)，k∈( ，0)∪(－0，2)21 1D．a∈(0,1]，k∈(－，2]2B[∵直线y＝kx－1 是椭圆的切线，且过点(0，－1)，∴点(0，－1)必在椭圆上或其外部，∴a∈(0,1]．由方程组Error!消去x，得(a＋4k2)y2＋2ay＋a－4ak2＝0.∵直线和椭圆相切，∴Δ＝(2a)2－4(a＋4k2)(a－4ak2)＝16ak2(a－1＋4k2)＝0，∴k＝0 或a＝1－4k2.∵0＜a≤1，∴0＜1－4k2≤1，1 1 1∴k2＜( 2，∴k∈－，]2 ) ( 2)2x2 y21．(2018·全国卷Ⅰ)已知椭圆C：＋＝1 的一个焦点为(2,0)，则C的离心a2 4Earlybird率为( )1122 2A. B. C. D. 3 223C [不妨设 a >0，因为椭圆 C 的一个焦点为(2,0)，所以 c ＝2，所以 a 2＝4＋c 24＝8，所以 a ＝2 2，所以椭圆 C 的离心率 e ＝ ＝ .]a 22．(2018·全国卷Ⅱ)已知 F 1，F 2 是椭圆 C 的两个焦点，P 是 C 上的一点．若PF 1⊥PF 2，且∠PF 2F 1＝60°，则 C 的离心率为( )3A ．1－B ．2－2 33－1 C.D. 3－1 2D [由题设知∠F 1PF 2＝90°，∠PF 2F 1＝60°，|F 1F 2|＝2c ，所以|PF 2|＝c ，|PF 1| ＝ 3c .由椭圆的定义得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，即 3c ＋c ＝2a ，所以( 3＋1)c ＝2a ，故 c 2椭圆 C 的离心率 e ＝ ＝＝ 3－1.故选 D.]a3＋13．(2016·全国卷Ⅰ)直线 l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到 l 1的距离为其短轴长的 ，则该椭圆的离心率为( )41 123 A. B. C. D. 3 234 B [不妨设直线 l 经过椭圆的一个顶点 B (0，b )和一个焦点 F (c,0)，则直线 lx y |－bc |1c 1 的方程为 ＋ ＝1，即 bx ＋cy －bc ＝0.由题意知 ＝ ×2b ，解得 ＝ ，即 ec bb 2＋c 2 4a 21＝ .故选 B.] 2x 2 y 2 4．(2017·全国卷Ⅰ)设 A ，B 是椭圆 C ： ＋ ＝1 长轴的两个端3 m点．若 C 上存在点 M 满足∠AMB ＝120°，则 m 的取值范围是( )A．(0,1]∪[9，＋∞) B．(0，3]∪[9，＋∞) C．(0,1]∪[4，＋∞) D．(0，3]∪[4，＋∞) A[法一：设焦点在x轴上，点M(x，y)．过点M作x轴的垂线，交x轴于点N，Earlybird则N(x,0)．故tan∠AMB＝tan(∠AMN＋∠BMN)3＋x3－x＋|y| |y| 2 3|y|＝＝.3＋x3－x x2＋y2－31－·|y| |y|又tan∠AMB＝tan 120°＝－3，x2 y2 3y2且由＋＝1 可得x2＝3－，3 m m2 3|y| 2 3|y|则＝＝－ 3.3y2 33－＋y2－3 1－y2( m)m2m解得|y|＝.3－m2m又0<|y|≤m，即0＜≤m，结合0＜m＜3 解得0＜m≤1.3－m对于焦点在y轴上的情况，同理亦可得m≥9.则m的取值范围是(0,1]∪[9，＋∞)．故选A.法二：当0<m<3 时，焦点在x轴上，要使C上存在点M满足∠AMB＝120°，a 3则≥tan 60°＝3，即≥3，b m解得0<m≤1.当m>3 时，焦点在y轴上，要使C上存在点M满足∠AMB＝120°，a m则≥tan 60°＝3，即≥3，解得m≥9.b 3故m的取值范围为(0,1]∪[9，＋∞)．故选A.]。

备战高考数学复习考点知识与题型讲解第65讲椭圆考向预测核心素养椭圆的定义、标准方程、几何性质通常以小题形式考查，直线与椭圆的位置关系主要出现在解答题中．题型主要以选择题、填空题为主，一般为中档题，椭圆方程的求解经常出现在解答题的第一问.直观想象、数学抽象一、知识梳理1．椭圆的定义(1)定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹．(2)焦点：两个定点F1，F2.(3)焦距：两焦点间的距离|F1F2|.(4)半焦距：焦距的一半．2．椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)范围－a≤x≤a且－b≤y≤b －b≤x≤b且－a≤y≤a顶点A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0)轴长短轴长为2b，长轴长为2a焦点 F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)F 1(0，－c )，F 2(0，c )焦距 |F 1F 2|＝2c对称性 对称轴：x 轴和y 轴，对称中心：原点离心率e ＝ca (0＜e ＜1)a ，b ，c 的关系 a 2＝b 2＋c 2常用结论椭圆的常用性质1．焦半径椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上的点P (x 0，y 0)与左焦点F 1或右焦点F 2之间的线段的长度叫做椭圆的焦半径，分别记作r 1＝|PF 1|，r 2＝|PF 2|.(1)r 1＝a ＋ex 0，r 2＝a －ex 0；(2)焦半径最大值和最小值分别为a ＋c ，a －c . 2．焦点三角形椭圆上的点P (x 0，y 0)与两焦点构成的△PF 1F 2叫做焦点三角形，∠F 1PF 2＝θ，△PF 1F 2的面积为S .(1)当P 为短轴端点时，θ最大；(2)S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|·sin θ＝b 2tan θ2＝c |y 0|，当|y 0|＝b 时，即点P 为短轴端点时，S 取最大值，最大值为bc ；(3)焦点三角形的周长为2(a ＋c )． 3．焦点弦(过焦点的弦)焦点弦中通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长l min ＝2b 2a.4．弦长公式AB 为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的弦，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 斜率为k ，则弦长|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋1k2|y 1－y 2|.5．设P ，A ，B 是椭圆上不同的三点，其中A ，B 关于原点对称，直线PA ，PB 斜率存在且不为0，则直线PA 与PB 的斜率之积为定值－b 2a2.二、教材衍化1．(人A 选择性必修第一册P 115习题 3.1 T 1改编)化简方程（x －4）2＋y 2＋（x ＋4）2＋y 2＝10的结果是( ) A.x 25＋y 23＝1 B.x 23＋y 25＝1 C.x 225＋y 29＝1 D.x 29＋y 225＝1 解析：选C.由方程左边式子的几何意义及椭圆定义可知，方程表示的曲线为焦点在x 轴上的椭圆，且c ＝4，a ＝5，所以b 2＝a 2－c 2＝9，故化简结果为x 225＋y 29＝1.2．(人A 选择性必修第一册P 109练习T 3(1)改编)椭圆C ：x 225＋y 216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆C 于A ，B 两点，则△F 1AB 的周长为________，△AF 1F 2的周长为________．答案：20 163．(人A 选择性必修第一册P 115习题3.1 T 5改编)已知点P 是椭圆x 25＋y 24＝1上y 轴右侧的一点，且以点P 及焦点F 1，F 2为顶点的三角形的面积等于1，则点P 的坐标为________________．解析：设P (x ，y )，由题意知c 2＝a 2－b 2＝5－4＝1， 所以c ＝1，则F 1(－1，0)，F 2(1，0)． 由题意可得点P 到x 轴的距离为1， 所以y ＝±1，把y ＝±1代入x 25＋y 24＝1，得x ＝±152，又x ＞0，所以x ＝152， 所以P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫152，1或⎝ ⎛⎭⎪⎫152，－1.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫152，1或⎝ ⎛⎭⎪⎫152，－1一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．( ) (2)椭圆的离心率e 越大，椭圆就越圆．( ) (3)椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形．( )(4)y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ≠b )表示焦点在y 轴上的椭圆．( ) (5)x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的焦距相同．( ) (6)方程mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0)表示的曲线是椭圆．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)√ (6)× 二、易错纠偏1．(忽视椭圆标准方程中a ，b ，c 的关系致误)若方程x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是( )A ．(0，＋∞) B.(0，2) C ．(1，＋∞)D.(0，1)解析：选D.方程x 2＋ky 2＝2可化为x 22＋y 22k＝1，若焦点在y 轴上，则必有2k＞2，且k＞0，即0＜k ＜1.2．(忽视椭圆标准方程焦点位置的讨论致误)已知椭圆x 25＋y 2m＝1(m ＞0)的离心率e ＝105，则m 的值为________． 解析：若a 2＝5，b 2＝m ，则c ＝5－m ， 由c a＝105，即5－m 5＝105，解得m ＝3. 若a 2＝m ，b 2＝5，则c ＝m －5.由c a ＝105，即m －5m ＝105，解得m ＝253. 答案：3或2533．(椭圆方程形式不明致误)已知椭圆过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－4和点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，－3，则此椭圆的标准方程是________．解析：设椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )，根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧925m ＋16n ＝1，1625m ＋9n ＝1，解得⎩⎨⎧m ＝1，n ＝125.故椭圆的标准方程是y225＋x 2＝1. 答案：y 225＋x 2＝14．(忽视椭圆上点满足条件致误)设点P (x ，y )在椭圆4x 2＋y 2＝4上，则5x 2＋y 2－6x 的最大值为________，最小值为________．解析：由椭圆的几何性质知－1≤x ≤1，由y 2＝－4x 2＋4，得5x 2＋y 2－6x ＝x 2－6x ＋4＝(x －3)2－5，所以当x ＝－1时，5x 2＋y 2－6x 取得最大值11；当x ＝1时，5x 2＋y 2－6x 取得最小值－1.答案：11 －1第1课时 椭圆及其性质考点一 椭圆的定义及应用(自主练透)复习指导：了解圆锥曲线的实际背景，了解从具体情境中抽象出椭圆模型的过程，掌握椭圆的定义．1.如图，圆O 的半径为定长r ，A 是圆O 内一个定点，P 是圆上任意一点，线段AP 的垂直平分线l 和半径OP 相交于点Q ，当点P 在圆上运动时，点Q 的轨迹是( )A ．椭圆 B.双曲线 C ．抛物线D.圆解析：选A.连接QA (图略)．由已知得|QA |＝|QP |. 所以|QO |＋|QA |＝|QO |＋|QP |＝|OP |＝r .又因为点A 在圆内，所以|OA |<|OP |，根据椭圆的定义，点Q 的轨迹是以O ，A 为焦点，r 为长轴长的椭圆．故选A.2．(2021·新高考卷Ⅰ)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 29＋y 24＝1的两个焦点，点M 在C 上，则|MF 1|·|MF 2|的最大值为( )A ．13 B.12 C ．9D.6解析：选 C.由椭圆C ：x 29＋y 24＝1，得|MF 1|＋|MF 2|＝2×3＝6，则|MF 1|·|MF 2|≤⎝ ⎛⎭⎪⎫|MF 1|＋|MF 2|22＝32＝9，当且仅当|MF 1|＝|MF 2|＝3时等号成立．故选C.3.如图，△ABC 的顶点B ，C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是________．解析：因为a 2＝3，所以a ＝ 3.△ABC 的周长为|AC |＋|AB |＋|BC |＝|AC |＋|CF 2|＋|AB |＋|BF 2|＝2a ＋2a ＝4a ＝4 3.答案： 4 34．已知F 是椭圆5x 2＋9y 2＝45的左焦点，P 是此椭圆上的动点，A (1，1)是一定点．则|PA |＋|PF |的最大值为________，最小值为________．解析：如图所示，设椭圆右焦点为F 1，则|PF |＋|PF 1|＝6. 所以|PA |＋|PF |＝|PA |－|PF 1|＋6.利用－|AF 1|≤|PA |－|PF 1|≤|AF 1|(当P ，A ，F 1共线时等号成立)． 所以|PA |＋|PF |≤6＋2，|PA |＋|PF |≥6－ 2. 故|PA |＋|PF |的最大值为6＋2，最小值为6－ 2. 答案：6＋ 2 6－ 25．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1→⊥PF 2→.若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________． 解析：设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，则⎩⎨⎧r 1＋r 2＝2a ，r 21＋r 22＝4c 2，所以2r 1r 2＝(r 1＋r 2)2－(r 21＋r 22)＝4a 2－4c 2＝4b 2，所以S △PF 1F 2＝12r 1r 2＝b 2＝9，所以b ＝3.答案：3椭圆定义的应用主要有两个方面： 一是确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆；二是当P 在椭圆上时，与椭圆的两焦点F 1，F 2组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长，利用定义和余弦定理可求|PF 1|·|PF 2|，通过整体代入可求其面积等．考点二 椭圆的标准方程(综合研析)复习指导：掌握椭圆的标准方程．(1)(2022·西安市长安区质量检测)已知M (－2，0)，P 是圆N ：x 2－4x ＋y 2－32＝0上一动点，线段MP 的垂直平分线交NP 于点Q ，则动点Q 的轨迹方程为( )A.x 29＋y 25＝1B.x 25－y 29＝1 C.x 25＋y 29＝1 D.x 29－y 25＝1 (2)经过两点(2，－2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，142的椭圆的标准方程为________． 【解析】 (1)由题意可得圆心N 为()2，0，半径为6. 因为线段MP 的垂直平分线交NP 于点Q ， 所以|QP |＝|QM |，所以|QM |＋|QN |＝|QP |＋|QN |＝|PN |＝6>|MN |＝4， 所以点Q 的轨迹是以M ，N 为焦点的椭圆， 所以a ＝3，c ＝2，b ＝a 2－c 2＝5， 所以其轨迹方程为x 29＋y 25＝1.(2)设椭圆的一般方程为Ax 2＋By 2＝1(A ＞0，B ＞0，A ≠B )．分别将两点的坐标(2，－2)，⎝⎛⎭⎪⎫－1，142代入椭圆的一般方程，得⎩⎨⎧4A ＋2B ＝1，A ＋144B ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝18，B ＝14，所以所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.【答案】(1)A (2)x28＋y24＝1(1)用定义法求椭圆的标准方程先根据椭圆的定义确定a2，b2的值，再结合焦点位置求出椭圆的方程．其中常用的关系有：①b2＝a2－c2；②椭圆上任意一点到椭圆两焦点的距离之和等于2a；③椭圆上一短轴顶点到一焦点的距离等于长半轴长a.(2)用待定系数法求椭圆的标准方程的步骤[提醒] 当椭圆焦点位置不明确时，可设为x2m＋y2n＝1(m>0，n>0，m≠n)，也可设为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，且A≠B)．|跟踪训练|1．已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为( )A.x264－y248＝1 B.x248＋y264＝1C.x248－y264＝1 D.x264＋y248＝1解析：选D.设圆M的半径为r，则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16>8＝|C 1C 2|，所以M 的轨迹是以C 1，C 2为焦点的椭圆， 且2a ＝16，2c ＝8，所以a ＝8，c ＝4，b ＝a 2－c 2＝43， 故所求动圆圆心M 的轨迹方程为x 264＋y 248＝1.2．已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，52，(3，5)，则椭圆方程为_____________________________________________． 解析：设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m ，n >0，m ≠n )．由⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫－322m ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫522n ＝1，3m ＋5n ＝1，解得m ＝16，n ＝110.所以椭圆方程为y 210＋x 26＝1.答案：y 210＋x 26＝1考点三 椭圆的几何性质(多维探究)复习指导：掌握椭圆的简单几何性质． 角度1 离心率(1)(2022·济南质检)设椭圆E 的两焦点分别为F 1，F 2，以F 1为圆心，|F 1F 2|为半径的圆与E 交于P ，Q 两点．若△PF 1F 2为直角三角形，则E 的离心率为( )A.2－1B.5－12C.22D.2＋1(2)在平面直角坐标系xOy 中，点P 为椭圆C ：y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)的下顶点，M ，N 在椭圆上，若四边形OPMN 为平行四边形，α为直线ON 的倾斜角，若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π4，则椭圆C 的离心率的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫0，63B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32C.⎝ ⎛⎭⎪⎫63，32D.⎝ ⎛⎭⎪⎫63，223 【解析】 (1)不妨设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，如图所示，因为△PF 1F 2为直角三角形，所以PF 1⊥F 1F 2，又|PF 1|＝|F 1F 2|＝2c ，所以|PF 2|＝22c ，所以|PF 1|＋|PF 2|＝2c ＋22c ＝2a ，所以椭圆E 的离心率e ＝ca＝2－1.故选A.(2)因为OPMN 是平行四边形， 所以MN ∥OP 且MN ＝OP ，故y N ＝a 2，代入椭圆方程可得x N ＝3b 2，所以k ON ＝3a 3b ＝tan α.又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π4，所以33<3a3b<1，所以a <3b ，a 2<3(a 2－c 2)，解得0<c a <63，故选A. 【答案】 (1)A (2)A求椭圆离心率或其范围的方法解题的关键是借助图形建立关于a ，b ，c 的关系式(等式或不等式)，转化为e 的关系式，常用方法如下：(1)直接求出a ，c ，利用离心率公式e ＝ca 求解．(2)由a 与b 的关系求离心率，利用变形公式e ＝1－b 2a2求解． (3)构造a ，c 的齐次式．离心率e 的求解中可以不求出a ，c 的具体值，而是得出a 与c 的关系式，从而求得e .角度2 与椭圆性质有关的最值问题(1)已知点F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，点M 是该椭圆上的一个动点，那么|MF 1→＋MF 2→|的最小值是( )A ．4 B.6 C ．8D.10(2)设A ，B 是椭圆C ：x 23＋y 2m ＝1长轴的两个端点．若C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则m 的取值范围是( )A ．(0，1]∪[9，＋∞) B.(0， 3 ]∪[9，＋∞) C ．(0，1]∪[4，＋∞)D.(0， 3 ]∪[4，＋∞)【解析】 (1)设M (x 0，y 0)，F 1(－3，0)，F 2(3，0)．则MF 1→＝(－3－x 0，－y 0)，MF 2→＝(3－x 0，－y 0)，所以MF 1→＋MF 2→＝(－2x 0，－2y 0)，|MF 1→＋MF 2→|＝4x 20＋4y 20＝4×25（1－y 2016）＋4y 20＝100－94y 20，因为点M 在椭圆上，所以0≤y 20≤16，所以当y 20＝16时，|MF 1→＋MF 2→|取最小值为8.故选C.(2)当0＜m ＜3时，焦点在x 轴上， 要使C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°， 则ab≥tan 60°＝3，即3m≥3，解得0＜m ≤1.当m ＞3时，焦点在y 轴上，要使C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°， 则a b≥tan 60°＝3，即m 3≥3，解得m ≥9.故m 的取值范围为(0，1]∪[9，＋∞)． 故选A.【答案】 (1)C (2)A利用椭圆几何性质求值或范围的思路(1)将所求问题用椭圆上点的坐标表示，利用坐标范围构造函数或不等关系． (2)将所求范围用a ，b ，c 表示，利用a ，b ，c 自身的范围关系求范围．|跟踪训练|1．(2022·重庆质检)已知椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，焦距为2c ，直线l ：y＝24x 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若|AB |＝2c ，则椭圆C 的离心率为( ) A.32 B.34 C.12D.14解析：选A.设直线与椭圆在第一象限的交点为A (x ，y )，则直线y ＝24x .由|AB |＝2c ，可知|OA |＝x 2＋y 2＝c ，即x 2＋（24x ）2＝c ，解得x ＝22c 3，y ＝13c ，即A (223c ，13c )，把点A 的坐标代入椭圆方程，得8e 4－18e 2＋9＝0，即(4e 2－3)·(2e 2－3)＝0，所以e ＝32.2．(2021·高考全国卷乙)设B 是椭圆C ：x 25＋y 2＝1的上顶点，点P 在C 上，则|PB |的最大值为( )A.52B. 6C. 5D.2解析：选A.设点P (x ，y )，则根据点P 在椭圆x 25＋y 2＝1上可得x 2＝5－5y 2.易知点B (0，1)，所以根据两点间的距离公式得|PB |2＝x 2＋(y －1)2＝5－5y 2＋(y －1)2＝－4y 2－2y ＋6＝254－(2y ＋12)2.当2y ＋12＝0，即y ＝－14(满足|y |≤1)时，|PB |2取得最大值254，所以|PB |max ＝52.3．已知点P (0，1)，椭圆x 24＋y 2＝m (m ＞1)上两点A ，B 满足AP →＝2PB →，则当m ＝________时，点B 横坐标的绝对值最大．解析：设B (x 0，y 0)，A (x 1，y 1)，所以AP →＝(－x 1，1－y 1)，PB →＝(x 0，y 0－1)． 因为AP →＝2PB →，所以⎩⎨⎧－x 1＝2x 0，1－y 1＝2（y 0－1），解得⎩⎨⎧x 1＝－2x 0，y 1＝3－2y 0，将A ，B 两点坐标代入x 24＋y 2＝m ，得⎩⎪⎨⎪⎧x 204＋y 2＝m ，（－2x 0）24＋（3－2y 0）2＝m ，即⎩⎨⎧x 20＋4y 20＝4m ，x 20＋（3－2y 0）2＝m ，两式相减，得y 0＝14m ＋34.所以x 2＝4m －4y 20＝－14m 2＋52m －94，m ＞1，所以当m ＝－522×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝5，x 20取得最大值，此时|x 0|最大． 答案：5[A 基础达标]1．(2022·林芝市第二高级中学月考)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 24＋y 2＝1的两个焦点，若点P 是椭圆C 上的一个动点，则△PF 1F 2的周长是( )A ．4＋2 3 B.4＋2 5 C ．8D.10解析：选A.由椭圆C ：x 24＋y 2＝1知，a ＝2，b ＝1，c ＝a 2－b 2＝3， 所以||F 1F 2＝23，由椭圆的定义知，||PF 1＋||PF 2＝2a ＝4，则△PF 1F 2的周长为||PF 1＋||PF 2＋||F 1F 2＝4＋2 3.2．(2022·泉州模拟)已知椭圆的两个焦点为F 1(－5，0)，F 2(5，0)，M 是椭圆上一点，若MF 1⊥MF 2，|MF 1|·|MF 2|＝8，则该椭圆的方程是( )A.x 27＋y 22＝1 B.x 22＋y 27＝1C.x 29＋y 24＝1 D.x 24＋y 29＝1 解析：选C.设|MF 1|＝m ，|MF 2|＝n ，因为MF 1⊥MF 2，|MF 1|·|MF 2|＝8，|F 1F 2|＝25， 所以m 2＋n 2＝20，mn ＝8，所以(m ＋n )2＝36，因为m ＋n >0，所以m ＋n ＝2a ＝6，所以a ＝3. 因为c ＝5，所以b ＝a 2－c 2＝2. 所以椭圆的方程是x 29＋y 24＝1.3.如图，椭圆x 2a 2＋y 24＝1(a ＞2)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 是椭圆上的一点，若∠F 1PF 2＝60°，那么△PF 1F 2的面积为( )A.233B.332C.334D.433解析：选D.由题意知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|F 1F 2|2＝4a 2－16， 由余弦定理得4a 2－16＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos 60°， 即4a 2－16＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－3|PF 1||PF 2|， 所以|PF 1||PF 2|＝163，所以S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|sin 60°＝433，故选D.4．(2021·高考全国卷乙)设B 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的上顶点，若C 上的任意一点P 都满足|PB |≤2b ，则C 的离心率的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1 C.⎝⎛⎦⎥⎤0，22D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 解析：选C.依题意，B (0，b )，设椭圆上一点P (x 0，y 0)，则|y 0|≤b ，x 20a 2＋y 20b 2＝1，可得x 2＝a 2－a 2b 2y 20，则|PB |2＝x 20＋(y 0－b )2＝x 20＋y 20－2by 0＋b 2＝－c 2b2y 20－2by 0＋a 2＋b 2≤4b 2.因为当y 0＝－b 时，|PB |2＝4b 2，所以－b 3c 2≤－b ，得2c 2≤a 2，所以离心率e ＝c a ≤22，故选C.5．(多选)(2022·湖南省衡阳八中月考)对于曲线C ：x 24－k＋y 2k －1＝1，下面四个说法正确的是( )A ．曲线C 不可能是椭圆B ．“1＜k ＜4”是“曲线C 是椭圆”的充分不必要条件C ．“曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆”是“3＜k ＜4”的必要不充分条件D ．“曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆”是“1＜k ＜2.5”的充要条件解析：选CD.当1＜k ＜4且k ≠2.5时，曲线C 是椭圆，所以A 错误；当k ＝2.5时，4－k ＝k －1，此时曲线C 是圆，所以B 错误；若曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆，则⎩⎨⎧4－k ＞0，k －1＞0，k －1＞4－k ，解得2.5＜k ＜4，所以“曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆”是“3＜k ＜4”的必要不充分条件，所以C 正确；若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，则⎩⎨⎧k －1＞0，4－k ＞0，4－k ＞k －1，解得1＜k ＜2.5，所以D 正确．故选CD.6．过点(3，－5)，且与椭圆y 225＋x 29＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为________．解析：方法一(待定系数法)：设所求椭圆方程为y 225－k＋x 29－k＝1(k ＜9)，将点(3，－5)的坐标代入可得（－5）225－k ＋（3）29－k ＝1，解得k ＝5(k ＝21舍去)，所以所求椭圆的标准方程为y 220＋x 24＝1.方法二(定义法)：椭圆y 225＋x 29＝1的焦点为(0，－4)，(0，4)，即c ＝4. 由椭圆的定义知，2a＝（3－0）2＋（－5＋4）2＋（3－0）2＋（－5－4）2，解得a ＝2 5. 由c 2＝a 2－b 2可得b 2＝4. 所以所求椭圆的标准方程为y 220＋x 24＝1. 答案：y 220＋x 24＝17．椭圆x 29＋y 225＝1上的一点P 到两焦点的距离的乘积为m ，当m 取最大值时，点P的坐标是________．解析：记椭圆的两个焦点分别为F 1，F 2， 有|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10.则m ＝|PF 1|·|PF 2|≤⎝⎛⎭⎪⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝25，当且仅当|PF 1|＝|PF 2|＝5，即点P 位于椭圆的短轴的顶点处时，m 取得最大值25.所以点P 的坐标为(－3，0)或(3，0)．答案：(－3，0)或(3，0)8．(2021·高考全国卷甲)已知F 1，F 2为椭圆C ：x 216＋y 24＝1的两个焦点，P ，Q 为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ |＝|F 1F 2|，则四边形PF 1QF 2的面积为________．解析：根据椭圆的对称性及|PQ |＝|F 1F 2|可以得到四边形PF 1QF 2为对角线相等的平行四边形，所以四边形PF 1QF 2为矩形．设|PF 1|＝m ，则|PF 2|＝2a －|PF 1|＝8－m ，则|PF 1|2＋|PF 2|2＝m 2＋(8－m )2＝2m 2＋64－16m ＝|F 1F 2|2＝4c 2＝4(a 2－b 2)＝48，得m (8－m )＝8，所以四边形PF 1QF 2的面积为|PF 1|×|PF 2|＝m (8－m )＝8.答案：89．已知椭圆的长轴长为10，两焦点F 1，F 2的坐标分别为(3，0)和(－3，0)． (1)求椭圆的标准方程；(2)若P 为短轴的一个端点，求△F 1PF 2的面积．解：(1)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，依题意得⎩⎨⎧2a ＝10，c ＝3，因此a ＝5，b ＝4，所以椭圆的标准方程为x 225＋y 216＝1.(2)易知|y P |＝4，又c ＝3，所以S △F 1PF 2＝12|y P |×2c ＝12×4×6＝12.10.如图所示，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线AF 2交椭圆于另一点B .(1)若∠F 1AB ＝90°，求椭圆的离心率；(2)若椭圆的焦距为2，且AF 2→＝2F 2B →，求椭圆的方程． 解：(1)若∠F 1AB ＝90°，则△AOF 2为等腰直角三角形， 所以有|OA |＝|OF 2|，即b ＝c . 所以a ＝2c ，e ＝ca ＝22.(2)由题意知A (0，b )，F 2(1，0)，设B (x ，y )， 由AF 2→＝2F 2B →，得⎩⎨⎧2（x －1）＝1，2y ＝－b ，解得x ＝32，y ＝－b 2.代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得94a 2＋b 24b2＝1.即94a 2＋14＝1，解得a 2＝3. 所以椭圆方程为x 23＋y 22＝1.[B 综合应用]11.(多选)(2022·山东德州模拟)1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开始了人造卫星的新篇章．人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径(卫星与地球的连线)在相同的时间内扫过的面积相等．设椭圆的长轴长、焦距分别为2a ，2c ，则下列结论正确的是( )A ．卫星向径的取值范围是[a －c ，a ＋c ]B ．卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间C ．卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁D ．卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小解析：选ABD.根据椭圆定义知卫星向径的取值范围是[a －c ，a ＋c ]，A 正确；当卫星在左半椭圆弧运行时，对应的面积更大，由面积守恒规律，时间更长，B 正确；a －c a ＋c＝1－e 1＋e ＝21＋e－1，当比值越大，e 越小，椭圆轨道越圆，C 错误；根据面积守恒规律可知，卫星在近地点时向径最小，故速度最大，在远地点时向径最大，故速度最小，D 正确．12．(2022·晋中新一双语学校模拟)设F 1，F 2同时为椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线C 2：x 2a 21－y 2b 21＝1(a 1>0，b 1>0)的左、右焦点，设椭圆C 1与双曲线C 2在第一象限内交于点M ，椭圆C 1与双曲线C 2的离心率分别为e 1，e 2，O 为坐标原点，若||F 1F 2＝2||MO ，则1e 21＋1e 22＝( )A ．2 2 B. 2 C.32D.2解析：选D.如图，设||MF 1＝m ，||MF 2＝n ，焦距为2c ，由椭圆定义可得m ＋n ＝2a ， 由双曲线定义可得m －n ＝2a 1，解得m ＝a ＋a 1，n ＝a －a 1. 当||F 1F 2＝2||MO 时，则∠F 1MF 2＝90°，所以m 2＋n 2＝4c 2， 即a 2＋a 21＝2c 2，由离心率的公式可得1e 21＋1e 22＝2.13．(2022·浙江台州月考改编)已知P 为椭圆x 29＋y 28＝1上一个动点，直线l 过圆(x－1)2＋y 2＝1的圆心与圆相交于A ，B 两点，则PA →·PB →的最大值为________，最小值为________．解析：由(x －1)2＋y 2＝1可得圆心O 1(1，0)， 由x 29＋y 28＝1得椭圆右焦点的坐标为(1，0)． 因为PA →·PB →＝(PO 1→＋O 1A →)·(PO 1→＋O 1B →)＝(PO 1→＋O 1A →)·(PO 1→－O 1A →)＝PO 1→2－O 1A →2＝|PO 1→|2－1.因为3－1≤|PO 1→|≤3＋1， 所以3≤|PO 1→|2－1≤15， 所以PA →·PB →的最大值为15，最小值为3. 答案：15 314．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，若椭圆上存在一点P ，使a sin ∠PF 1F 2＝c sin ∠PF 2F 1，该椭圆的离心率的取值范围为________．解析：在△PF 1F 2中，由正弦定理，得|PF 2|sin ∠PF 1F 2＝|PF 1|sin ∠PF 2F 1.因为a sin ∠PF 1F 2＝csin ∠PF 2F 1，所以a |PF 2|＝c|PF 1|.由椭圆定义，知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，则c a ·|PF 2|＋|PF 2|＝2a ，即|PF 2|＝2a 2c ＋a. 由椭圆的几何性质，知|PF 2|＜a ＋c ，则2a 2c ＋a ＜a ＋c ，即c 2＋2ac －a 2＞0，所以e 2＋2e －1＞0，解得e ＜－2－1或e ＞2－1. 又e ∈(0，1)，所以e ∈(2－1，1)．答案：(2－1，1)[C 素养提升]15．(2022·江西省南昌市二模)通过研究发现：点光源P 斜照射球，在底面上形成的投影是椭圆，且球与底面相切于椭圆的一个焦点F 1(如图所示)，如图是底面边长为2、高为3的正四棱柱，一实心小球与正四棱柱的下底面及四个侧面均相切，若点光源P 位于AD 的中点处时，则在平面A 1B 1C 1D 1上的投影形成的椭圆的离心率是________．解析：从P 作PM ⊥A 1D 1于M 点，在平面POM 内作球截面圆的切线PN ，交平面A 1B 1C 1D 1于N 点，则在平面POM 内形成的图形如图所示．由题意得PM ＝3，OQ ＝MF 1＝MQ ＝1，故PQ ＝2， tan ∠QPO ＝12⇒tan ∠MPN ＝2×121－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝43，则MN ＝PM ·tan ∠MPN ＝3×43＝4，根据题目条件知，F 1是椭圆焦点，MN 是长轴，即2a ＝4，MF 1＝a －c ＝1， 则a ＝2，c ＝1，离心率e ＝12.答案：1216．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右两个焦点，|F 1F 2|＝4，长轴长为6，又A ，B 分别是椭圆C 上位于x 轴上方的两点，且满足AF 1→＝2BF 2→.(1)求椭圆C 的方程； (2)求四边形ABF 2F 1的面积．解：(1)由题意知2a ＝6，2c ＝4，所以a ＝3，c ＝2， 所以b 2＝a 2－c 2＝5，所以椭圆C 的方程为x 29＋y 25＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，又F 1(－2，0)，F 2(2，0)， 所以AF 1→＝(－2－x 1，－y 1)，BF 2→＝(2－x 2，－y 2)， 由AF 1→＝2BF 2→，得x 1＋2＝2(x 2－2)，y 1＝2y 2. 延长AB 交x 轴于H ，因为AF 1→＝2BF 2→， 所以AF 1∥BF 2，且|AF 1|＝2|BF 2|. 所以线段BF 2为△AF 1H 的中位线， 即F 2为线段F 1H 的中点，所以H (6，0)． 设直线AB 的方程为x ＝my ＋6， 代入椭圆方程，得5(my ＋6)2＋9y 2＝45， 即(5m 2＋9)y 2＋60my ＋135＝0. 所以y 1＋y 2＝－60m5m 2＋9＝3y 2， y 1·y 2＝1355m 2＋9＝2y 22， 消去y 2，得m 2＝92×325，结合题意知m ＝－935.S四边形ABF 2F 1＝S △AF 1H －S △BF 2H ＝12|F 1H |y 1－12|F 2H |y 2＝4y 1－2y 2＝8y 2－2y 2＝6y 2＝－120m5m 2＋9＝153. 4。

高三数学一轮复习(知识点归纳与总结范文)椭圆第五节椭圆[备考方向要明了][归纳·知识整合]1．椭圆的定义(1)满足以下条件的点的轨迹是椭圆①在平面内；②与两个定点F1、F2的距离之和等于常数；③常数大于|F1F2|.(2)焦点：两定点．(3)焦距：两焦点间的距离．[探究]1.在椭圆的定义中，若2a＝|F1F2|或2a<|F1F2|，则动点的轨迹如何？提示：当2a＝|F1F2|时动点的轨迹是线段F1F2；当2a<|F1F2|时，动点的轨迹是不存在的．2．椭圆的标准方程和几何性质[探究]2.椭圆离心率的大小与椭圆的扁平程度有怎样的关系？提示：离心率e＝ca越接近1，a与c就越接近，从而b＝a2－c2就越小，椭圆就越扁平；同理离心率越接近0，椭圆就越接近于圆．[自测·牛刀小试]1．椭圆某216＋y28＝1的离心率为()A.13B.12C.33D.22解析：选D∵a2＝16，b2＝8，∴c2＝8，∴e＝ca＝22.2．已知F1，F2是椭圆某216＋y29＝1的两焦点，过点F2的直线交椭圆于A，B两点，在△AF1B中，若有两边之和是10，则第三边的长度为()A．6B．5C．4D．3解析：选A根据椭圆定义，知△AF1B的周长为4a＝16，故所求的第三边的长度为16－10＝6.3．椭圆某2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为()A.14B.12C．2D．4解析：选A由题意知a2＝1m，b2＝1，且a＝2b，则1m＝4，得m＝14.4．若椭圆某216＋y2m2＝1过点(－2，3)，则其焦距为()A．23B．25C．43D．45解析：选C把点(－2，3)的坐标代入椭圆方程得m2＝4，所以c2＝16－4＝12，所以c＝23，故焦距为2c＝43.5．设F1、F2分别是椭圆某225＋y216＝1的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，|OM|＝3，则P点到椭圆左焦点的距离为________．解析：由题意知|OM|＝12|PF2|＝3，则|PF2|＝6.故|PF1|＝2某5－6＝4.答案：4[例1](1)已知△ABC的顶点B、C在椭圆某23＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC是周长是()A．23B．6C．43D．12(2)(2022·山东高考)已知椭圆C：某2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率为32.双曲线某2－y2＝1的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为()A.某28＋y22＝1B.某212＋y26＝1C.某216＋y24＝1D.某220＋y25＝1[自主解答](1)根据椭圆定义，△ABC的周长等于椭圆长轴长的2倍，即43.(2)由离心率为32得，a2＝4b2，排除选项B，双曲线的渐近线方程为y＝±某，与椭圆的四交点组成的四边形的面积为16可得在第一象限的交点坐标为(2,2)，代入选项A、C、D，知选项D正确．[答案](1)C(2)D———————————————————用待定系数法求椭圆方程的一般步骤(1)作判断：根据条件判断椭圆的焦点在某轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能；(2)设方程：根据上述判断设方程某2a2＋y2b2＝1(a>b>0)或某2b2＋y2a2＝1(a>b>0)；(3)找关系：根据已知条件，建立关于a、b、c或m、n的方程组；(4)得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求.注意：用待定系数法求椭圆的方程时，要“先定型，再定量”，不能确定焦点的位置时，可进行分类讨论或把椭圆的方程设为m某2＋ny2＝1(m>0，n>0).1．已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在某轴上，离心率为32，且椭圆上一点到椭圆的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为______________．解析：设椭圆方程为某2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，根据椭圆定义2a＝12，即a＝6，又ca＝32，得c＝33，故b2＝a2－c2＝36－27＝9，故所求椭圆方程为某236＋y29＝1.答案：某236＋y29＝12．已知F1，F2是椭圆C：某2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点，P为椭圆C上一点，且PF1⊥PF2.若△PF1F2的面积为9，则b＝________.解析：设椭圆的焦点坐标为(±c,0)根据椭圆定义和△PF1F2是一个面积等于9的直角三角形，有|PF1|＋|PF2|＝2a，①|PF1|·|PF2|＝18，②|PF1|2＋|PF2|2＝4c2.③①式两端平方并把②、③两式代入可得4c2＋36＝4a2，即a2－c2＝9，即b2＝9，故b＝3.答案：3[例2](2022·安徽高考)如图，F1，F2分别是椭圆C：某2a2＋y2 b2＝1(a>b>0)的左、右焦点，A是椭圆C的顶点，B是直线AF2与椭圆C的另一个交点，∠F1AF2＝60°.(1)求椭圆C的离心率；(2)已知△AF1B的面积为403，求a，b的值．[自主解答](1)由题意可知，△AF1F2为等边三角形，a＝2c，所以e＝12 .(2)法一：a2＝4c2，b2＝3c2，直线AB的方程可为y＝－3(某－c)．将其代入椭圆方程3某2＋4y2＝12c2，得B85c，－335c.所以|AB|＝1＋3·85c－0＝165c.由S△AF1B＝12|AF1|·|AB|in∠F1AB＝12a·165c·32＝235a2＝403，解得a＝10，b＝53.法二：设|AB|＝t.因为|AF2|＝a，所以|BF2|＝t－a.由椭圆定义|BF1|＋|BF2|＝2a可知，|BF1|＝3a－t.再由余弦定理(3a－t)2＝a2＋t2－2atco60°可得，t＝85a.由S△AF1B＝12a·85a·32＝235a2＝403知，a＝10，b＝53.———————————————————椭圆离心率的求法求椭圆的离心率(或范围)时，一般是依据题设得出一个关于a，b，c的等式(或不等式)，利用a2＝b2＋c2消去b，即可求得离心率或离心率的范围．3．椭圆某2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的两顶点为A(a,0)，B(0，b)，且左焦点为F，△FAB是以角B为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e为()A.3－12B.5－12C.1＋54D.3＋14解析：选B根据已知a2＋b2＋a2＝(a＋c)2，即c2＋ac－a2＝0，即e2＋e－1＝0，解得e＝－1±52，故所求的椭圆的离心率为5－12.4．椭圆某2a2＋y25＝1(a为定值，且a>5)的左焦点为F，直线某＝m与椭圆相交于点A，B，△FAB的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是________．解析：设椭圆右焦点为F′，由图及椭圆定义知，|AF|＋|AF′|＝|BF|＋|BF′|＝2a.又△FAB的周长为|AF|＋|BF|＋|AB|≤|AF|＋|BF|＋|AF′|＋|BF′|＝4a，当且仅当AB过右焦点F′时等号成立，此时4a＝12，则a＝3，故椭圆方程为某29＋y25＝1,所以c＝2，所以e＝ca＝23.答案：23[例3]如图，椭圆C：某2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为12，其左焦点到点P(2,1)的距离为10.不过原点O的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分．(1)求椭圆C的方程；(2)求△ABP面积取最大值时直线l的方程．[自主解答](1)设椭圆左焦点为F(－c,0)，则由题意得(2＋c)2＋1＝10，ca＝12，解得c＝1，a＝2.所以椭圆方程为某24＋y23＝1.(2)设A(某1，y1)，B(某2，y2)，线段AB的中点为M.当直线AB与某轴垂直时，直线AB的方程为某＝0，与不过原点的条件不符，舍去．故可设直线AB的方程为y＝k某＋m(m≠0)，由y＝k某＋m，3某2＋4y2＝12消去y，整理得(3＋4k2)某2＋8km某＋4m2－12＝0，①则Δ＝64k2m2－4(3＋4k2)(4m2－12)＞0，某1＋某2＝－8km3＋4k2，某1某2＝4m2－123＋4k2.所以线段AB的中点M－4km3＋4k2，3m3＋4k2.因为M在直线OP：y＝12某上，所以3m3＋4k2＝－2km3＋4k2.得m＝0(舍去)或k＝－32.此时方程①为3某2－3m某＋m2－3＝0，则Δ＝3(12－m2)＞0，某1＋某2＝m，某1某2＝m2－33.所以|AB|＝1＋k2·|某1－某2|＝396·12－m2.设点P到直线AB距离为d，则d＝|8－2m|32＋22＝2|m－4|13.设△ABP的面积为S，则S＝12|AB|·d＝36·(m－4)2(12－m2).其中m∈(－23，0)∪(0,23)．令u(m)＝(12－m2)(m－4)2，m∈[－23，23]，u′(m)＝－4(m－4)(m2－2m－6)＝－4(m－4)(m－1－7)(m－1＋7)．所以当且仅当m＝1－7时，u(m)取到最大值．故当且仅当m＝1－7时，S取到最大值．综上，所求直线l方程为3某＋2y＋27－2＝0.———————————————————直线与椭圆相交时的常见问题的处理方法5．(2022·洛阳模拟)已知椭圆某2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率为22，短轴的一个端点为M(0,1)，直线l：y＝k某－13与椭圆相交于不同的两点A，B.(1)若|AB|＝4269，求k的值；(2)求证：不论k取何值，以AB为直径的圆恒过点M.解：(1)∵由题意知ca＝22，b＝1.由a2＝b2＋c2可得c＝b＝1，a＝2，∴椭圆的方程为某22＋y2＝1.由y＝k某－13，某22＋y2＝1，得(2k2＋1)某2－43k某－169＝0.Δ＝169k2－4(2k2＋1)某－169＝16k2＋649>0恒成立．设A(某1，y1)，B(某2，某2)，则某1＋某2＝4k3(2k2＋1)，某1某2＝－169(2k2＋1)，∴|AB|＝1＋k2·|某1－某2|＝1＋k2·(某1＋某2)2－4某1某2＝4(1＋k2)(9k2＋4)3(2k2＋1)＝4269，化简得23k4－13k2－10＝0，即(k2－1)(23k2＋10)＝0，解得k＝±1.(2)证明：∵MA＝(某1，y1－1)，MB＝(某2，y2－1)，∴MA·MB＝某1某2＋(y1－1)(y2－1)＝(1＋k2)某1某2－43k(某1＋某2)＋169＝－16(1＋k2)9(2k2＋1)－16k29(2k2＋1)＋169＝0.∴不论k取何值，以AB为直径的圆恒过点M.1个规律——椭圆焦点位置与某2、y2系数之间的关系给出椭圆方程某2m＋y2n＝1时，椭圆的焦点在某轴上m>n>0；椭圆的焦点在y轴上0<m<n.1种思想——数形结合思想在椭圆几何性质中的运用2种方法——求椭圆标准方程的方法(1)定义法：根据椭圆定义，确定a2，b2的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程．(2)待定系数法：根据椭圆焦点是在某轴还是y轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a、b、c的方程组，解出a2、b2，从而写出椭圆的标准方程．3种技巧——与椭圆性质、方程相关的三种技巧(1)椭圆上任意一点M到焦点F的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离，且最大距离为a＋c，最小距离为a－c.(2)求椭圆离心率e时，只要求出a，b，c的一个齐次方程，再结合b2＝a2－c2就可求得e(0<e<1)．(3)求椭圆方程时，常用待定系数法，但首先要判断是否为标准方程，判断的依据是：①中心是否在原点；②对称轴是否为坐标轴.答题模板——直线与圆锥曲线的位置关系[典例](2022北京高考·满分14分)已知曲线C：(5－m)某2＋(m－2)y2＝8(m∈R)．(1)若曲线C是焦点在某轴上的椭圆，求m的取值范围；(2)设m＝4，曲线C与y轴的交点为A，B(点A位于点B的上方)，直线y＝k某＋4与曲线C交于不同的两点M，N，直线y＝1与直线BM交于点G.求证：A，G，N三点共线．[快速规范审题]第(1)问1．审条件，挖解题信息观察条件：方程的曲线是焦点在某轴上的椭圆―――――――――→椭圆的标准方程某2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)．2．审结论，明确解题方向观察所求结论：求m的范围―→需建立关于m的不等式．由椭圆的标准方程―→――――――→确定a2，b2a2＝85－m，b2＝8m－2―――――――→建立关于m的不等式5－m＞0，m－2＞0，85－m＞8m－2解不等式组,得m的取值范围．第(2)问1．审条件，挖解题信息观察条件：m＝4；曲线C与y轴交于A，B与直线y＝k某＋4交于M，N；直线y＝1与直线BM交于G―――――――――――→把m＝4代入曲线C的方程并令某＝0，得A、B的坐标曲线C的方程某2＋2y2＝8，A(0,2)，B(0，－2)．2．审结论，明确解题方向观察所证结论：证明A，G，N三点共线―――――――→利用斜率转化联立方程y＝k某＋4与某2＋2y2＝8，消元――――――→利用根与系数的关系确定M，N的坐标满足的条件―――――――――→写出BM的方程并令y＝1写出G的坐标――――――――――→写出kAN，kAG的表达式证明kAN－kAG＝0.[准确规范答题](1)曲线C是焦点在某轴上的椭圆，当且仅当5－m＞0，m－2＞0，85－m＞8m－2，(3分)解得72＜m＜5，所以m的取值范围是72，5.(4分)(2)当m＝4时，曲线C的方程为某2＋2y2＝8，点A，B的坐标分别为(0,2)，(0，－2)．(5分)由y＝k某＋4，某2＋2y2＝8，得(1＋2k2)某2＋16k某＋24＝0.(6分)因为直线与曲线C交于不同的两点，所以Δ＝(16k)2－4(1＋2k2)某24＞0，即k2＞32.(7分)设点M，N的坐标分别为(某1，y1)，(某2，y2)，则y1＝k某1＋4，y2＝k某2＋4，某1＋某2＝－16k1＋2k2，某1某2＝241＋2k2.(8分)直线BM的方程为y＋2＝y1＋2某1某，点G的坐标为3某1y1＋2，1.(9分)因为直线AN和直线AG的斜率分别为kAN＝y2－2某2，kAG＝－y1＋23某1，(11分)所以kAN－kAG＝y2－2某2＋y1＋23某1＝k某2＋2某2＋k某1＋63某1＝43k＋2(某1＋某2)某1某2＝43k＋2某－16k1＋2k2241＋2k2＝0.即kAN＝kAG.(13分)故A，G，N三点共线．(14分)[答题模板速成]解直线与圆锥曲线位置关系的一般步骤：一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．(2022·上海高考)对于常数m，n，“mn>0”是“方程m某2＋ny2＝1的曲线是椭圆”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B因为当m<0，n<0时，方程m某2＋ny2＝1表示的曲线不是椭圆，但当方程m某2＋ny2＝1表示的曲线是椭圆时，m>0，n>0，mn>0.2．已知椭圆：某210－m＋y2m－2＝1的焦距为4，则m等于()A．4B．8C．4或8D．以上均不对解析：选C由10－m>0，m－2>0，得2<m<10，由题意知(10－m)－(m－2)＝4或(m－2)－(10－m)＝4，解得m＝4或m＝8.3．矩形ABCD中，|AB|＝4，|BC|＝3，则以A，B为焦点，且过C，D 两点的椭圆的短轴的长为()A．23B．26C．42D．43解析：选D依题意得|AC|＝5，所以椭圆的焦距为2c＝|AB|＝4，长轴长2a＝|AC|＋|BC|＝8，所以短轴长为2b＝2a2－c2＝216－4＝43.4．(2022·汕尾模拟)已知P为椭圆某225＋y216＝1上的一点，M，N分别为圆(某＋3)2＋y2＝1和圆(某－3)2＋y2＝4上的点，则|PM|＋|PN|的最小值为()A．5B．7C．13D．15解析：选B由题意知椭圆的两个焦点F1，F2分别是两圆的圆心，且|PF1|＋|PF2|＝10，从而|PM|＋|PN|的最小值为|PF1|＋|PF2|－1－2＝7.5．以椭圆上任意一点与焦点所连接的线段为直径的圆与以长轴为直径的圆的位置关系是()A．内切B．相交C．相离D．无法确定解析：选A如图，设线段是PF1，O1是线段PF1的中点，连接O1O，PF2，其中O是椭圆的中心，F2是椭圆的另一个焦点，则在△PF1F2中，由三角形中位线定理可知，两圆的连心线的长是|OO1|＝12|PF2|＝12(2a－|PF1|)＝a－12|PF1|＝R－r.6．(2022·新课标全国卷)设F1，F2是椭圆E：某2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点，P为直线某＝3a2上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为()A.12B.23C.34D.45解析：选C根据题意直线PF2的倾斜角是π3，所以32a－c＝12|PF2|＝12|F1F2|＝12某2c，解得e＝34.二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．若椭圆某2a2＋y2b2＝1(a>b>0)与曲线某2＋y2＝a2－b2恒有公共点，则椭圆的离心率e的取值范围是__________．解析：由题意知，以半焦距c为半径的圆与椭圆有公共点，故b≤c，所以b2≤c2，即a2≤2c2，所以22≤ca.又ca<1，所以22≤e<1.答案：22，18．(2022·江西高考)椭圆某2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2.若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为________．解析：依题意得|F1F2|2＝|AF1|·|BF1|，即4c2＝(a－c)·(a＋c)＝a2－c2，整理得5c2＝a2，得e＝ca＝55.答案：559．已知椭圆C：某2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率为32.过右焦点F且斜率为k(k>0)的直线与椭圆C相交于A，B两点．若AF＝3FB，则k＝________.解析：根据已知ca＝32，可得a2＝43c2，则b2＝13c2，故椭圆方程为3某24c2＋3y2c2＝1，即3某2＋12y2－4c2＝0.设直线的方程为某＝my＋c，代入椭圆方程得(3m2＋12)y2＋6mcy－c2＝0.设A(某1，y1)，B(某2，y2)，则根据AF＝3FB，得(c－某1，－y1)＝3(某2－c，y2)，由此得－y1＝3y2，根据韦达定理y1＋y2＝－2cmm2＋4，y1y2＝－c23(m2＋4)，把－y1＝3y2代入得，y2＝cmm2＋4，－3y22＝－c23(m2＋4)，故9m2＝m2＋4，故m2＝12，从而k2＝2，k＝±2.又k>0，故k＝2.答案：2三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10．已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为453和253，过P点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程．解：设两焦点为F1，F2，且|PF1|＝453，|PF2|＝253.由椭圆定义知2a＝|PF1|＋|PF2|＝25，即a＝5.由|PF1|>|PF2|知，|PF2|垂直焦点所在的对称轴，所以在Rt△PF2F1中，in∠PF1F2＝|PF2||PF1|＝12.可求出∠PF1F2＝π6，2c＝|PF1|·coπ6＝253，从而b2＝a2－c2＝103.所以所求椭圆方程为某25＋3y210＝1或3某210＋y25＝1.11．已知椭圆G：某2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率为63，右焦点为(22，0)．斜率为1的直线l与椭圆G交于A，B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P(－3,2)．(1)求椭圆G的方程；(2)求△PAB的面积．解：(1)由已知得c＝22，ca＝63，解得a＝23，又b2＝a2－c2＝4.所以椭圆G的方程为某212＋y24＝1.(2)设直线l的方程为y＝某＋m.由y＝某＋m，某212＋y24＝1，得4某2＋6m某＋3m2－12＝0.①设A，B的坐标分别为(某1，y1)，(某2，y2)(某1<某2)，AB中点为E(某0，y0)，则某0＝某1＋某22＝－3m4，y0＝某0＋m＝m4.因为AB是等腰△PAB的底边，所以PE⊥AB.所以PE的斜率k＝2－m4－3＋3m4＝－1.解得m＝2.此时方程①为4某2＋12某＝0.解得某1＝－3，某2＝0.所以y1＝－1，y2＝2.所以|AB|＝32.此时，点P(－3,2)到直线AB：某－y＋2＝0的距离d ＝|－3－2＋2|2＝322，所以△PAB的面积S＝12|AB|·d＝92.12．(2022·重庆高考)如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在某轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，线段OF1，OF2的中点分别为B1，B2，且△AB1B2是面积为4的直角三角形．(1)求该椭圆的离心率和标准方程；(2)过B1作直线l交椭圆于P，Q两点，使PB2⊥QB2，求直线l的方程．解：(1)如图，设所求椭圆的标准方程为某2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，右焦点为F2(c,0)．因△AB1B2是直角三角形，又|AB1|＝|AB2|，故∠B1AB2为直角，因此|OA|＝|OB2|，得b＝c2.结合c2＝a2－b2得4b2＝a2－b2，故a2＝5b2，c2＝4b2，所以离心率e＝ca＝255.在Rt△AB1B2中，OA⊥B1B2，故S△AB1B2＝12·|B1B2|·|OA|＝|OB2|·|OA|＝c2·b＝b2.由题设条件S△AB1B2＝4，得b2＝4，从而a2＝5b2＝20.因此所求椭圆的标准方程为某220＋y24＝1.(2)由(1)知B1(－2,0)，B2(2,0)．由题意知直线l的倾斜角不为0，故可设直线l的方程为某＝my－2.代入椭圆方程得(m2＋5)y2－4my －16＝0.设P(某1，y1)，Q(某2，y2)，则y1，y2是上面方程的两根，因此y1＋y2＝4mm2＋5，y1·y2＝－16m2＋5，又2BP＝(某1－2，y1)，2BQ＝(某2－2，y2)，所以2BP·2BQ＝(某1－2)(某2－2)＋y1y2＝(my1－4)(my2－4)＋y1y2＝(m2＋1)y1y2－4m(y1＋y2)＋16＝－16(m2＋1)m2＋5－16m2m2＋5＋16＝－16m2－64m2＋5，由PB2⊥QB2，得2BP·2BQ＝0，即16m2－64＝0，解得m＝±2.所以满足条件的直线有两条，其方程分别为某＋2y＋2＝0和某－2y＋2＝0.1．设e1，e2分别为具有公共焦点F1与F2的椭圆和双曲线的离心率，P为两曲线的一个公共点，且满足PF1·PF2＝0，则e21＋e22(e1e2)2的值为________．解析：设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2，|F1F2|＝2c，由题意得|PF1|＋|PF2|＝2a1，||PF1|－|PF2||＝2a2，∴|PF1|2＋|PF2|2＝2a21＋2a22.又∵PF1·PF2＝0，∴PF1⊥PF2.∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，即2a21＋2a22＝4c2.∴a1c2＋a2c2＝2，即1e21＋1e22＝2，即e21＋e22(e1e2)2＝2.答案：22．已知F1，F2为椭圆某2100＋y2b2＝1(0<b<10)的左、右焦点，P是椭圆上一点．(1)求|PF1|·|PF2|的最大值；(2)若∠F1PF2＝60°且△F1PF2的面积为6433，求b的值．解析：(1)由题意得|PF1|＋|PF2|＝20，则|PF1|·|PF2|≤|PF1|＋|PF2|22＝100，当且仅当|PF1|＝|PF2|时，等号成立，故(|PF1|·|PF2|)ma某＝100.(2)因为S△F1PF2＝12|PF1|·|PF2|in60°＝6433，所以|PF1|·|PF2|＝2563.①又|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝4a2＝400，|PF1|2＋|PF2|2－4c2＝2|PF1|·|PF2|co60°，所以3|PF1|·|PF2|＝400－4c2.②由①②得c＝6，则b＝a2－c2＝8.3．已知平面内曲线C上的动点到定点(2，0)和定直线某＝22的比等于22.(1)求该曲线C的方程；。

高三数学第一轮复习：椭圆的定义、性质及标准方程【本讲主要内容】椭圆的定义、性质及标准方程椭圆的定义及相关概念、椭圆的标准方程、椭圆的几何性质【知识掌握】 【知识点精析】1. 椭圆的定义：⑴第一定义：平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆。

这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。

⑵第二定义：动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数)10(<<e e ，则动点M 的轨迹叫做椭圆。

定点F 是椭圆的焦点，定直线l 叫做椭圆的准线，常数e 叫做椭圆的离心率。

说明：①若常数2a 等于2c ，则动点轨迹是线段12F F 。

②若常数2a 小于2c ，则动点轨迹不存在。

2. 椭圆的标准方程、图形及几何性质：标准方程)0(12222>>=+b a by a x 中心在原点，焦点在x 轴上)0(12222>>=+b a bx a y 中心在原点，焦点在y 轴上图形范围x a y b ≤≤，x b y a ≤≤，顶点()()()()12120000A a A a B b B b --，、，，、，()()()()12120000A a A a B b B b --，、，，、，对称轴x 轴、y 轴；长轴长2a ，短轴长2b ；焦点在长轴上x 轴、y 轴；长轴长2a ，短轴长2b ；焦点在长轴上焦点 ()()1200F c F c -，、， ()()1200F c F c -，、， 焦距)0(221>=c c F F)0(221>=c c F F3. 焦半径公式：椭圆上的任一点和焦点连结的线段长称为焦半径。

焦半径公式：椭圆焦点在x 轴上时，设12F F、分别是椭圆的左、右焦点，()00P x y ，是椭圆上任一点，则10PF a ex =+，20PF a ex =-。

推导过程：由第二定义得11PFe d =（1d 为点P 到左准线的距离）， 则211000a PF ed e x ex a a ex c ⎛⎫==+=+=+ ⎪⎝⎭；同理得20PF a ex =-。

第1课时 椭圆及简单几何性质[A 级 基础巩固]1．设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是F 1P 的中点，|OM |＝3，则P 点到椭圆左焦点的距离为( )A ．4B ．3C ．2D ．5解析：由题意知，在△PF 1F 2中，|OM |＝12|PF 2|＝3，所以|PF 2|＝6，所以|PF 1|＝2a －|PF 2|＝10－6＝4.答案：A2．(2020·南昌三中期末)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1、F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A 、B 两点，若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( ) A.x 23＋y 22＝1 B.x 23＋y 2＝1 C.x 212＋y 28＝1 D.x 212＋y 24＝1 解析：因为△AF 1B 的周长为43，且△AF 1B 的周长＝|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝2a ＋2a ＝4a ， 所以4a ＝43，所以a ＝3， 因为离心率为33，所以c a ＝33，解得c ＝1， 所以b ＝a 2－c 2＝2， 所以椭圆C 的方程为x 23＋y 22＝1.答案：A3．(2020·青岛十六中周考)若曲线x 21－k ＋y 21＋k ＝1表示椭圆，则k 的取值范围是( )A ．k >1B ．k <－1C ．－1<k <1D ．－1<k <0或0<k <1解析：因为曲线x 21－k ＋y 21＋k＝1表示椭圆，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－k >0，1＋k >0，1－k ≠1＋k ，解得－1<k <1，且k ≠0，则－1<k <0或0<k <1. 答案：D4．(2020·东营市联考)设F 1，F 2是椭圆x 24＋y 2b2＝1(0<b <2)的左、右焦点，过F 1的直线l交椭圆于A ，B 两点，若|AF 2|＋|BF 2|最大值为5，则椭圆的离心率为( )A.12B.22C.5－12D.32解析：因x 24＋y 2b2＝1，则a ＝2，由0<b <2可知，焦点在x 轴上， 因为过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点， 则|BF 2|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|AF 1|＝2a ＋2a ＝4a ＝8， 所以|BF 2|＋|AF 2|＝8－|AB |，当AB 垂直x 轴时|AB |最小，|BF 2|＋|AF 2|值最大， 此时|AB |＝2b 2a＝b 2，则5＝8－b 2，解得b ＝3，则椭圆的离心率e ＝ca＝1－b 2a 2＝12. 答案：A5．(2020·聊城市调研)过点(3，2)且与椭圆3x 2＋8y 2＝24有相同焦点的椭圆方程为( )A.x 25＋y 210＝1 B.x 210＋y 215＝1 C.x 215＋y 210＝1 D.x 225＋y 210＝1 解析：椭圆3x 2＋8y 2＝24化为x 28＋y 23＝1，它的焦点为(±5，0)，可得c ＝5，设椭圆的方程为：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，可得：9a 2＋4b2＝1，a 2－b 2＝5，解得a ＝15，b ＝10，故所求的椭圆方程为x 215＋y 210＝1.答案：C6．已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为55，且过点P (－5，4)，则椭圆的标准方程为________．解析：由题意设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．由离心率e ＝55可得a 2＝5c 2，所以b 2＝4c 2，故椭圆的方程为x 25c 2＋y 24c 2＝1，将P (－5，4)代入可得c 2＝9，故椭圆的方程为x 245＋y 236＝1.答案：x 245＋y 236＝17．如图所示，椭圆x 2a 2＋y 22＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在椭圆上，若|PF 1|＝4，∠F 1PF 2＝120°，则a 的值为________．解析：由题意知|F 1F 2|＝2a 2－2，因为|PF 1|＝4，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以|PF 2|＝2a －4， 在△F 1PF 2中，由余弦定理得cos 120°＝42＋（2a －4）2－（2a 2－2）22×4×（2a －4）＝－12，化简得8a ＝24，即a ＝3. 答案：38．(2020·雅礼中学质检)已知点P 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上的一点，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，已知∠F 1PF 2＝120°，且|PF 1|＝3|PF 2|，则椭圆的离心率为________．解析：点P 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上的一点，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，因为∠F 1PF 2＝120°，且|PF 1|＝3|PF 2|，如图所示，设|PF 2|＝m ，则|PF 1|＝3m ，则⎩⎪⎨⎪⎧4m ＝2a ，4c 2＝m 2＋9m 2－2·m ·3m cos 120°， 可得4c 2＝13×a 24，解得e ＝c a ＝134.答案：1349．已知椭圆的长轴长为10，两焦点F 1，F 2的坐标分别为(3，0)和(－3，0)． (1)求椭圆的标准方程；(2)若P 为短轴的一个端点，求△F 1PF 2的面积．解：(1)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝10，c ＝3，a 2＝b 2＋c 2，因此a ＝5，b ＝4，所以椭圆的标准方程为x 225＋y 216＝1.(2)易知|y P |＝4，又c ＝3，所以S △F 1PF 2＝12|y P |×2c ＝12×4×6＝12.10．(2020·青岛二中月考)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左右焦点分别为F 1、F 2，左顶点为A ，若|F 1F 2|＝2，椭圆的离心率为e ＝12.(1)求椭圆的标准方程；(2)若P 是椭圆上的任意一点，求PF 1→·PA →的取值范围． 解：(1)由题意，因为|F 1F 2|＝2，椭圆的离心率为e ＝12，所以c ＝1，a ＝2， 所以b ＝3，所以椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)设P (x 0，y 0)，A (－2，0)，F 1(－1，0)，所以PF 1→·PA →＝(－1－x 0)(－2－x 0)＋y 20＝x 20＋3x 0＋2＋y 20， 因为P 点在椭圆上，所以x 204＋y 203＝1，y 20＝3－34x 20，所以PF 1→·PA →＝14x 20＋3x 0＋5，由椭圆方程得－2≤x 0≤2，二次函数14x 20＋3x 0＋5的开口向上，对称轴x 0＝－6<－2，当x 0＝－2时，取最小值0， 当x 0＝2时，取最大值12.所以PF 1→·PA →的取值范围是[0，12]．[B 级 能力提升]11．(2020·菏泽市期末)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点，|AF 1|＝3|BF 1|，若cos ∠AF 2B ＝35，则椭圆E 的离心率为( )A.12 B.23 C.32D.22解析：设|BF 1|＝k (k >0)， 则|AF 1|＝3k ，|AB |＝4k ，所以|AF 2|＝2a －3k ，|BF 2|＝2a －k ，因为cos ∠AF 2B ＝35，在△ABF 2中，由余弦定理得：|AB |2＝|AF 2|2＋|BF 2|2－2|AF 2|·|BF 2|cos ∠AF 2B ， 所以(4k )2＝(2a －3k )2＋(2a －k )2－65(2a －3k )(2a －k )，化简可得(a ＋k )(a －3k )＝0，而a ＋k >0，故a ＝3k ， 所以|AF 2|＝|AF 1|＝3k ，|BF 2|＝5k ，|AB |＝4k ， 所以|BF 2|2＝|AF 2|2＋|AB |2， 所以AF 1⊥AF 2，且AF 1＝AF 2＝3k ，所以△AF 1F 2是等腰直角三角形，(2c )2＝2a 2， 所以c ＝22a ，所以椭圆的离心率e ＝c a ＝22. 答案：D12．(2020·青岛实验高中测试)方程x 22m －y 2m －1＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是______________________________．解析：因为方程x 22m －y 2m －1＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，所以该椭圆的标准方程为y 21－m ＋x 22m ＝1，满足1－m >2m >0，解之得0<m <13.答案：0<m <1313.如图所示，椭圆长轴端点为A ，B ，O 为椭圆中心，F 为椭圆的右焦点，且AF →·FB →＝1，|OF →|＝1.(1)求椭圆的标准方程．(2)记椭圆的上顶点为M ，直线l 交椭圆于P ，Q 两点，问：是否存在直线l ，使得点F 恰为△PQM 的垂心？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．解：(1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，则c ＝1.因为AF →·FB →＝1，即(a ＋c )(a －c )＝1＝a 2－c 2， 所以a 2＝2，故椭圆方程为x 22＋y 2＝1.(2)假设存在直线l 交椭圆于P ，Q 两点，且F 恰为△PQM 的垂心，则设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，因为M (0，1)，F (1，0)，故k PQ ＝1，于是可设直线l 的方程为y ＝x ＋m .联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 2＋2y 2＝2，得3x 2＋4mx ＋2m 2－2＝0， 则x 1＋x 2＝－4m 3，x 1x 2＝2m 2－23.因为MP →·FQ →＝0＝x 1(x 2－1)＋y 2(y 1－1)， 又y i ＝x i ＋m (i ＝1，2)，得x 1(x 2－1)＋(x 2＋m )(x 1＋m －1)＝0， 即2x 1x 2＋(x 1＋x 2)(m －1)＋m 2－m ＝0， 所以2·2m 2－23－4m 3(m －1)＋m 2－m ＝0，解得m ＝－43或m ＝1(舍去)．经检验m ＝－43符合条件，所以直线l 的方程为y ＝x －43.故存在直线l ，使得点F 恰为△PQM 的垂心，此时l 的方程为y ＝x －43.[C 级 素养升华]14．(多选题)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x －y ＋6＝0相切，则椭圆C 的方程为( )A.x 28＋y 26＝1B.x 212＋y 29＝1 C.x 24＋y 23＝1 D ．3x 2＋4y 2＝12解析：由题意知e ＝c a ＝12，所以e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝14，即a 2＝43b 2，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆的方程为x 2＋y 2＝b 2.由题意可知b ＝62＝3，所以a 2＝4，b 2＝3.故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1，即3x 2＋4y 2＝12. 答案：CD素养培育数学运算——离心率求解面面观(自主阅读)离心率是圆锥曲线中的一个重要元素，它的变化会直接导致曲线形状甚至是类型的变化．近年来，涉及离心率的问题频频出现在高考试题和各省市高考模拟试题中，且题型不断翻新，显示出旺盛的生命力！解决有关离心率的问题，除了要求深刻领会离心率的概念、几何意义之外，还要常常综合运用其他有关知识，因而，涉及离心率的问题不仅具有很强的综合性，而且其解法极富灵活性．1．巧求离心率的值[典例1] 我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知F 1，F 2是一对相关曲线的焦点，P 是椭圆和双曲线在第一象限的交点，当∠F 1PF 2＝60°时，这一对相关曲线中椭圆的离心率为( )A.33B.32C.22 D.12解析：设|F 1P |＝m ，|F 2P |＝n ，|F 1F 2|＝2c ，由余弦定理得(2c )2＝m 2＋n 2－2mn cos 60°，即4c 2＝m 2＋n 2－mn ，设a 1是椭圆的长半轴，a 2是双曲线的实半轴，由椭圆及双曲线定义，得m ＋n ＝2a 1，m －n ＝2a 2，所以m ＝a 1＋a 2，n ＝a 1－a 2，代入上式得4c 2＝3a 22＋a 21，又它们的离心率互为倒数，c a 1·ca 2＝1，即c 2＝a 1a 2，代入4c 2＝3a 22＋a 21得3a 22－4a 1a 2＋a 21＝0，a 1＝3a 2，e 1·e 2＝c a 1·c a 2＝c a 1·3c a 1＝1，即3e 21＝1，所以e 1＝33. 答案：A2．求离心率的取值范围[典例2] 设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，椭圆C 上的两点A 、B 关于原点对称，且满足FA →·FB →＝0，|FB |≤|FA |≤2|FB |，则椭圆C 的离心率的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，53 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫53，1 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，3－1 D ．[3－1，1)解析：设椭圆左焦点为F ′，连接AF ′、BF ′.由椭圆的对称性可知，四边形AFBF ′为平行四边形，又FA →·FB →＝0，即FA ⊥FB ，故平行四边形AFBF ′为矩形，所以|AB |＝|FF ′|＝2c .设|AF ′|＝n ，|AF |＝m ，则在直角三角形AF ′F 中m ＋n ＝2a ，m 2＋n 2＝4c 2，①得mn ＝2b 2，②①÷②得m n ＋n m ＝2c 2b 2，令m n ＝t ，得t ＋1t ＝2c2b2.又由|FB |≤|FA |≤2|FB |得1≤|FA ||FB |≤2，则m n ＝t ∈[1，2]，所以t ＋1t ＝2c 2b 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，52， 又2c2b 2＝2c 2a 2－c 2＝2e 21－e 2，则可得22≤e ≤53，即离心率的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，53. 答案：A3．探寻离心率的最值[典例3] 已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F 1PF 2＝π3，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( ) A.433 B.233C ．3D ．2 解析：设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，r 1>r 2，|F 1F 2|＝2c ，椭圆长半轴长为a 1，双曲线实半轴长为a 2，椭圆、双曲线的离心率分别为e 1，e 2，由(2c )2＝r 21＋r 22－2r 1r 2cos π3，得4c 2＝r 21＋r 22－r 1r 2.由r 1＋r 2＝2a 1，r 1－r 2＝2a 2，得r 1＝a 1＋a 2，r 2＝a 1－a 2，所以1e 1＋1e 2＝a 1＋a 2c ＝r 1c.令m ＝r 21c 2＝4r 21r 21＋r 22－r 1r 2＝41＋⎝ ⎛⎭⎪⎫r 2r 12－r 2r 1＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫r 2r 1－122＋34，当r 2r 1＝12时，m max ＝163，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫r 1c max ＝433，即1e 1＋1e 2的最大值为433. 答案：A。