标题-2017-2018学年高中数学三维设计北师大选修1-1：课时跟踪训练(十六) 函数的极值

【三维设计】高中数学 第四章 阶段质量检测 北师大版选修1-1(时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知函数y ＝(x ＋1)2(x －1)，则x ＝－1是函数的( ) A ．极大值点 B ．极小值点 C ．最小值点D ．最大值点解析：∵y ＝x 3＋x 2－x －1，∴y ′＝3x 2＋2x －1＝(3x －1)(x ＋1)， 当x <－1时，y ′>0. 当－1<x <13时，y ′<0.∴x ＝－1是函数的极大值点． 答案：A2．函数f (x )＝2x 2－ln x 的递增区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，24 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0和⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 解析：f ′(x )＝4x －1x ＝4x 2－1x(x >0)，令f ′(x )>0，得x >12.∴f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞. 答案：C3．要做一个圆锥漏斗，其母线长为20 cm ，要使其体积最大，则其高应为( ) A.2033cmB ．100 cmC ．20 cmD.203cm 解析：设圆锥的高为h ，底面圆的半径为R ， 则R 2＋h 2＝l 2，其中h 为圆锥的高，l 为母线长．V ＝13πR 2h ＝13π(l 2－h 2)h ，V ′＝13π(400－3h 2)．令V ′＝0，∴h ＝2033.当0<h <2033时V ′>0，当h >2033时V ′<0，∴h ＝2033是极大值点，也是最大值点．答案：A4．在曲线y ＝x 3＋x －2的切线中，与直线4x －y ＝1平行的切线方程是( ) A ．4x －y ＝0 B ．4x －y －4＝0 C ．2x －y －2＝0D ．4x －y ＝0或4x －y －4＝0解析：y ′＝3x 2＋1，又y ＝4x －1的斜率k ＝4，则3x 2＋1＝4⇒x ＝1或x ＝－1，过点A (1,0)和B (－1，－4)各有一条切线，经检验，A 、B 均不在4x －y ＝1上，故有两条．答案：D5．一点沿直线运动，如果经过t s 后与起点的距离为s ＝14t 4－53t 3＋2t 2，那么速度为零的时刻是( )A ．1 s 末B ．0 sC ．4 s 末D ．0,1,4 s 末解析：s ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14t 4′－⎝ ⎛⎭⎪⎫53t 3′＋(2t 2)′＝t 3－5t 2＋4t ＝0，∴t ＝0,1,4. 答案：D6．函数y ＝2x 3－3x 2－12x ＋5在[0,3]上的最大值与最小值分别是( ) A ．5，－15B ．5,4C ．－4，－15D ．5，－16解析：y ′＝6x 2－6x －12，令y ′＝0，得x ＝－1,2， 又f (2)＝－15，f (0)＝5，f (3)＝－4， ∴最大值、最小值分别是5、－15. 答案：A7．函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9，已知f (x )在x ＝－3处取得极值，则a 等于( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：∵f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋3，又f(x)在x＝－3处取得极值，∴f′(－3)＝30－6a＝0.得a＝5.答案：D8．把长为12 cm的细铁丝锯成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形的面积之和的最小值是( )A.332cm2B．4 cm2C．3 2 cm2D．2 3 cm2解析：设一个三角形的边长为x cm，则另一个三角形的边长为(4－x) cm，两个三角形的面积和为S＝34x2＋34(4－x)2＝32x2－23x＋43(0<x<4)．令S′＝3x－23＝0，则x＝2，且x<2时，S′<0,2<x<4时，S′>0.所以x＝2时，S取最小值2 3.答案：D9．(2011·浙江高考)设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)．若x＝－1为函数f(x)e x 的一个极值点，则下列图像不可能为y＝f(x)的图像的是( )解析：∵[f(x)e x]′＝f′(x)e x＋f(x)(e x)′＝[f′(x)＋f(x)]e x，又x＝－1为函数f(x)e x的一个极值点，∴f′(－1)＋f(－1)＝0，而选项D中f′(－1)>0，f(－1)>0，故D中图像不可能为y ＝f(x)的图像．答案：D10．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价定为p元，销售量为Q，则销售量Q(单位：件)与零售价p(单位：元)有如下关系：Q＝8 300－170p－p2，则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)( )A．30元B．60元C．28 000元D．23 000元解析：设毛利润为L(p)，由题意知L(p)＝pQ－20Q＝Q(p－20)＝(8 300－170p －p 2)(p －20) ＝－p 3－150p 2＋11 700p －166 000， 所以L ′(p )＝－3p 2－300p ＋11 700. 令L ′(p )＝0，解得p ＝30或p ＝－130(舍去)． 此时，L (30)＝23 000.因为在p ＝30附近的左侧L ′(p )>0， 右侧L ′(p )<0，所以L (30)是最大值，即零售价定为每件30元时，最大毛利润为23 000元． 答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填在题中的横线上)11．已知函数f (x )＝kx 3＋3(k －1)x 2－k 2＋1(k >0)的单调减区间是(0,4)，则k 的值是________．解析：f ′(x )＝3kx 2＋6(k －1)x ，由题意0,4为f ′(x )＝3kx 2＋6(k －1)x ＝0的两个根，∴k ＝13.答案：1312．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋23a ⎛⎫- ⎪⎝⎭x ＋1有极大值和极小值，则a 的取值范围是________．解析：令f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋23a ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝0，此方程应有两个不相等的实数根，所以Δ>0.即4a 2－1223a ⎛⎫- ⎪⎝⎭>0，∴a 2－3a ＋2>0，∴a >2或a <1. 答案：(－∞，1)∪(2，＋∞)13．要做一个底面为长方形的带盖的箱子，其体积为72 cm 3，其底面两邻边长之比为1∶2，则它的长为______ cm ，宽为________cm ，高为________cm 时，可使表面积最小．解析：设底面边长为x cm,2x cm ， 则高h ＝722x 2＝36x2.∴表面积S ＝4x 2＋2(x ＋2x )·36x 2＝4x 2＋216x(x >0)，则S ′＝8x －216x2＝x 3－x 2，令S ′＝0，则x ＝3.当x >3时，S ′>0；当x <3时，S ′<0.∴x ＝3时S 取极小值，即为最小值．则长为6，宽为3，高为4. 答案：6 3 414．已知函数f (x )＝2ln x ＋a x2(a ＞0)．若当x ∈(0，＋∞)时，f (x )≥2恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：f (x )≥2，即a ≥2x 2－2x 2ln x ，令g (x )＝2x 2－2x 2ln x ，则g ′(x )＝2x (1－2ln x )． 由g ′(x )＝0，得x ＝e 12，0(舍去)，且0＜x ＜e 12时，g ′(x )＞0，当x ＞e 12时，g ′(x )＜0，∴x ＝e 12时，g (x )取最大值g (e 12)＝e ，∴a ≥e.答案：[e ，＋∞)三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)设函数f (x )＝6x 3＋3(a ＋2)x 2＋2ax . (1)若f (x )的两个极值点为x 1，x 2，且x 1x 2＝1，求实数a 的值；(2)是否存在实数a ，使得f (x )是(－∞，＋∞)上的单调函数？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．解：f ′(x )＝18x 2＋6(a ＋2)x ＋2a .(1)由已知有f ′(x 1)＝f ′(x 2)＝0，从而x 1x 2＝2a18＝1，所以a ＝9.(2)因为Δ＝36(a ＋2)2－4×18×2a ＝36(a 2＋4)>0，所以不存在实数a ，使得f (x )是(－∞，＋∞)上的单调函数．16．(本小题满分12分)已知f (x )＝ax 3＋bx 2－2x ＋c 在x ＝－2时有极大值6，在x ＝1时有极小值，求a ，b ，c 的值；并求f (x )在区间[－3,3]上的最大值和最小值．解：(1)f ′(x )＝3ax 2＋2bx －2，由条件知⎩⎪⎨⎪⎧f －＝12a －4b －2＝0，f＝3a ＋2b －2＝0，f －＝－8a ＋4b ＋4＋c ＝6.解得a ＝13，b ＝12，c ＝83.(2)f (x )＝13x 3＋12x 2－2x ＋83，f ′(x )＝x 2＋x －2＝(x －1)(x ＋2)．列表如下：↗由上表知，在区间[－3,3]上，当x ＝3时，f (x )取最大值6，x ＝1时，f (x )取最小值32.17．(本小题满分12分)已知f (x )＝x 2＋ax ＋b x ，x ∈(0，＋∞)在(0,1)上是减少的，在[1，＋∞)上为增加的，且f (x )的最小值为3，求a 、b 的值．解：∵f (x )在(0,1)上是减少的，在[1，＋∞)上是增加的， ∴f (x )在x ＝1处取极小值，也是最小值， ∴f ′(1)＝0，f (1)＝3.而f ′(x )＝(x ＋bx ＋a )′＝1－b x2， ∴f ′(1)＝1－b ＝0，∴b ＝1. 又f (1)＝1＋b ＋a ＝3，∴a ＝1. 故a ＝1，b ＝1.18．(本小题满分14分)已知某厂生产x 件产品的成本为G ＝25 000＋200x ＋140x 2(元)，请问：(1)要使平均成本最低，应生产多少件产品？(2)若产品以每件500元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？ 解：(1)设平均成本为y 元，则y ＝25 000＋200x ＋140x2x ＝25 000x ＋200＋140x ，∴y ′＝－25 000·1x 2＋140，令y ′＝0，得x ＝1 000(x ＝－1 000舍去)． 又当0<x <1 000时，y ′<0，当x >1 000时，y ′>0，∴当x ＝1 000时，函数取得最小值．因此要使得平均成本最低，应生产1 000件产品．(2)利润函数L＝500x－(25 000＋200x＋140x2)，∴L′＝300－120x，令L′＝0，得x＝6 000.当在x＝6 000附近左侧时，L′>0；当在x＝6 000附近右侧时，L′<0.故当在x＝6 000时，L取得极大值，也是最大值，因此生产6 000件产品能使利润最大．。

课时跟踪训练(一) 命 题1．命题“若x ＞1，则x ＞－1”的否命题是( )A ．若x ＞1，则x ≤－1B ．若x ≤1，则x ＞－1C ．若x ≤1，则x ≤－1D ．若x ＜1，则x ＜－12．给出下列三个命题：( )①“全等三角形的面积相等”的否命题；②“若lg x 2＝0，则x ＝－1”的逆命题；③“若x ≠y ，或x ≠－y ，则|x |≠|y |”的逆否命题．其中真命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 3．(湖南高考)命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是( ) A ．若α≠π4，则tan α≠1 B ．若α＝π4，则tan α≠1 C ．若tan α≠1，则α≠π4 D ．若tan α≠1，则α＝π44．已知命题“若ab ≤0，则a ≤0或b ≤0”，则下列结论正确的是( )A ．真命题，否命题：“若ab ＞0，则a ＞0或b ＞0”B ．真命题，否命题：“若ab ＞0，则a ＞0且b ＞0”C ．假命题，否命题：“若ab ＞0，则a ＞0或b ＞0”D ．假命题，否命题：“若ab ＞0，则a ＞0且b ＞0”5．已知命题：弦的垂直平分线经过圆心，并平分弦所对的弧．若把上述命题改为“若p ，则q ”的形式，则p 是__________________________，q 是_________________________．6．命题“若x 2<4，则－2<x <2”的逆否命题为________________，为________(填“真、假”)命题．7．把命题“两条平行直线不相交”写成“若p ，则q ”的形式，并写出其逆命题、否命题、逆否命题．8．证明：已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，a ，b ∈R ，若f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )，则a ＋b ≥0.答 案1．选C 原命题的否命题是对条件“x ＞1”和结论“x ＞－1”同时否定，即“若x ≤1，则x ≤－1”，故选C.2．选B ①的否命题是“不全等的三角形面积不相等”，它是假命题；②的逆命题是“若x ＝－1，则lg x 2＝0”，它是真命题；③的逆否命题是“若|x |＝|y |，则x ＝y 且x ＝－y ”，它是假命题，故选B.3．选C 以否定的结论作条件、否定的条件作结论得出的命题为逆否命题，即“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠π4”． 4．选B 逆否命题“若a ＞0且b ＞0，则ab ＞0”，显然为真命题，又原命题与逆否命题等价，故原命题为真命题．否命题为“若ab ＞0，则a ＞0且b ＞0”，故选B.5．★答案★：一条直线是弦的垂直平分线 这条直线经过圆心且平分弦所对的弧6．★答案★：若x ≥2或x ≤－2，则x 2≥4 真7．解：原命题：若直线l 1与l 2平行，则l 1与l 2不相交；逆命题：若直线l 1与l 2不相交，则l 1与l 2平行；否命题：若直线l 1与l 2不平行， 则l 1与l 2相交；逆否命题：若直线l 1与l 2相交，则l 1与l 2不平行．8．证明：法一：原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a ，b ∈R ，若a ＋b <0，则f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )”．∵a ＋b <0，∴a <－b ，b <－a .又∵f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，∴f (a )<f (－b )，f (b )<f (－a )．∴f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )，即逆否命题为真命题．∴原命题为真命题．法二：假设a ＋b <0，则a <－b ，b <－a ，又∵f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，∴f (a )<f (－b )，f (b )<f (－a )．∴f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )．这与已知条件f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )相矛盾．因此假设不成立，故a ＋b ≥0.1．选C 原命题的否命题是对条件“x ＞1”和结论“x ＞－1”同时否定，即“若x ≤1，则x ≤－1”，故选C.2．选B ①的否命题是“不全等的三角形面积不相等”，它是假命题；②的逆命题是“若x ＝－1，则lg x 2＝0”，它是真命题；③的逆否命题是“若|x |＝|y |，则x ＝y 且x ＝－y ”，它是假命题，故选B.3．选C 以否定的结论作条件、否定的条件作结论得出的命题为逆否命题，即“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠π4”． 4．选B 逆否命题“若a ＞0且b ＞0，则ab ＞0”，显然为真命题，又原命题与逆否命题等价，故原命题为真命题．否命题为“若ab ＞0，则a ＞0且b ＞0”，故选B.5．★答案★：一条直线是弦的垂直平分线 这条直线经过圆心且平分弦所对的弧6．★答案★：若x ≥2或x ≤－2，则x 2≥4 真7．解：原命题：若直线l 1与l 2平行，则l 1与l 2不相交；逆命题：若直线l 1与l 2不相交，则l 1与l 2平行；否命题：若直线l 1与l 2不平行， 则l 1与l 2相交；逆否命题：若直线l 1与l 2相交，则l 1与l 2不平行．8．证明：法一：原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a ，b ∈R ，若a ＋b <0，则f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )”．∵a ＋b <0，∴a <－b ，b <－a .又∵f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，∴f (a )<f (－b )，f (b )<f (－a )．∴f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )，即逆否命题为真命题．∴原命题为真命题．法二：假设a ＋b <0，则a <－b ，b <－a ，又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，∴f(a)<f(－b)，f(b)<f(－a)．∴f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)．这与已知条件f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)相矛盾．因此假设不成立，故a＋b≥0.。

（新课标）2017-2018学年北师大版高中数学选修1-1模块质量检测一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．命题“π≥3.14”使用的逻辑联结词的情况是( )A．没有使用逻辑联结词B．使用了逻辑联结词“且”C．使用了逻辑联结词“或”D．使用了逻辑联结词“非”答案： C2．命题“如果x≥a2＋b2，那么x≥2ab”的逆否命题是( )A．如果x＜a2＋b2，那么x＜2ab B．如果x≥2ab，那么x≥a2＋b2C．如果x＜2ab，那么x＜a2＋b2 D．如果x≥a2＋b2，那么x＜2ab答案： C3．若k可以取任意实数，则方程x2＋ky2＝1所表示的曲线不可能是( )A．直线B．圆C．椭圆或双曲线D．抛物线解析：本题主要考查圆锥曲线的一般形式：Ax2＋By2＝c所表示的圆锥曲线问题，对于k＝0,1及k＞0且k≠1，或k＜0，分别讨论可知：方程x2＋ky2＝1不可能表示抛物线．答案： D4．曲线f(x)＝x3＋x－2在点P0处的切线平行于直线y＝4x－1，则点P0的坐标为( ) A．(1,0) B．(2,8)C．(1,0)和(－1，－4) D．(2,8)和(－1，－4)解析：f′(x0)＝3x02＋1＝4∴x0＝±1答案： C5．在下列结论中，正确的结论为( )①“p且q”为真是“p或q”为真的充分不必要条件②“p且q”为假是“p或q”为真的充分不必要条件③“p或q”为真是“¬p”为假的必要不充分条件④“¬p”为真是“p且q”为假的必要不充分条件A．①②B．①③C．②④D．③④解析：p且q为真⇒p真且q真⇒p或q为真，故①正确．由¬p为假⇒p为真⇒p或q为真，故③正确．答案： B6．下列结论正确的个数是( )(1)命题“所有的四边形都是矩形”是特称命题； (2)命题“任意x ∈R ，x 2＋1＜0”是全称命题；(3)若p ：存在x ∈R ，x 2＋2x ＋1≤0，则q ：任意x ∈R ，x 2＋2x ＋1≤0是全称命题． A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析： (1)是全称命题，故(1)不正确；(2)是全称命题，正确；(3)既不是全称命题也不是特称命题，不正确．故选B.答案： B7．设a ∈R ，则a ＞1是1a ＜1的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析： 由a ＞1可以推出1a ＜1，反过来由1a ＜1可以得出a ＜0或a ＞1.答案： A8．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，则双曲线x 2a 2－y2b 2＝1的离心率为( )A.54 B.52 C.32D.54解析： 因为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的离心率e 1＝32，所以1－b 2a 2＝e 12＝34，即b 2a 2＝14，而在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1中，设离心率为e 2，则e 22＝1＋b 2a 2＝1＋14＝54，所以e 2＝52.故选B. 答案： B9．函数f(x)＝ax 3＋x ＋1有极值的充要条件是( ) A ．a ＞0 B ．a ≥0 C ．a ＜0D ．a ≤0解析： 函数有极值，即其导数值可等于0，f ′(x)＝3ax 2＋1＝0，∴x 2＝－13a ，∴a ＜0.又∵a ＝0时，f(x)＝x ＋1无极值，∴a ＜0.答案： C10．若椭圆的对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与椭圆的两个焦点组成一个正三角形，焦点到椭圆上点的最短距离为3，则这个椭圆的标准方程为( )A.x 212＋y29＝1 B.x 29＋y212＝1 C.x 212＋y 29＝1或y 212＋x29＝1 D.x 216＋y212＝1 解析： 因为短轴的一个端点与椭圆的两个焦点组成一个正三角形，所以2c ＝a ，又因为a －c ＝3，可知c ＝3，a ＝23，所以b ＝a 2－c 2＝3.所以这个椭圆的标准方程为x212＋y 29＝1或y 212＋x29＝1. 答案： C11．已知命题p ：|x －1|≥2，命题q ：x ∈Z ，如果p 且q 、非q 同时为假，则满足条件的x 为( )A ．{x|x ≤－1或x ≥3，x ∉Z}B ．{x|－1≤x ≤3，x ∉Z}C ．{－1,0,1,2,3}D ．{0,1,2}解析： ∵p 且q 假，非q 为假，∴p 假q 真，排除A ，B ，p 为假，即|x －1|＜2， ∴－1＜x ＜3且x ∈Z.∴x ＝0,1,2. 答案： D12．把一个周长为12 cm 的长方形围成一个圆柱，当圆柱的体积最大时，该圆柱的底面周长与高的比为( )A ．1∶2B ．1∶πC ．2∶1D ．2∶π解析： 设圆柱高为x ，底面半径为r ，则r ＝6－x 2π.圆柱体积V ＝π⎝ ⎛⎭⎪⎫6－x 2π2·x ＝14π(x 3－12x 2＋36x)，0＜x ＜6，V ′＝34π(x －2)(x －6)，当x ＝2时，V 最大．答案： C二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上) 13．命题“若ab 不为零，则a ，b 都不为零”的逆否命题是______．解析： 将原命题的结论和条件的否定分别作为命题的条件和结论，即为其逆否命题． 答案： 若a ，b 至少有一个为零，则ab 为零14．已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4,0)(4,0)，则双曲线的方程为________． 解析： 由题意知c ＝4，e ＝c a ＝2，故a ＝2，所以b 2＝c 2－a 2＝12，双曲线的方程为x 24－y212＝1.答案： x 24－y212＝115．函数f(x)＝a ＋ln xx (a ∈R)的导数等于________．答案： f ′(x)＝1－(a ＋ln x )x 216．已知：①命题“若xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的逆命题； ②命题“所有模相等的向量相等”的否定；③命题“若m ≤1，则x 2－2x ＋m ＝0有实根”的逆否命题； ④命题“若A ∩B ＝A ，则A B ”的逆否命题．其中能构成真命题的是________(填上你认为正确的命题的序号)． 解析： ①逆命题：若x ，y 互为倒数，则xy ＝1.是真命题． ②的否定是：“存在模相等的向量不相等”．是真命题． 如，a ＝(1,1)，b ＝(－1,1)有|a|＝|b|＝2，但a ≠b.③命题“若m ≤1，则x 2－2x ＋m ＝0”是真命题．这是因为当m ＜0时Δ＝(－2)2－4m ＝4－4m ＞0恒成立．故方程有根．所以其逆否命题也是真命题．④若A ∩B ＝A ，则A ⊆B ，故原命题是假命题，因此其逆否命题也是假命题． 答案： ①②③三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(12分)已知p ：1≤x ≤2，q ：a ≤x ≤a ＋2，且¬p 是¬q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．解析： ∵¬p 是¬q 的必要不充分条件， ∴q 是p 的充分不必要条件． ∴{x|1≤x ≤2}{x|a ≤x ≤a ＋2}，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，a ＋2≥2，∴0≤a ≤1.18．(12分)已知函数f(x)＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，当x ＝－1时，f(x)的极大值为7；当x ＝3时，f(x)有极小值．求：(1)a ，b ，c 的值； (2)函数f(x)的极小值．解析： (1)∵f(x)＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ， ∴f ′(x)＝3x 2＋2ax ＋b ， 而x ＝－1和x ＝3是极值点，所以⎩⎪⎨⎪⎧f ′(－1)＝3－2a ＋b ＝0f ′(3)＝27＋6a ＋b ＝0，解得a ＝－3，b ＝－9.又f(－1)＝－1＋a －b ＋c ＝－1－3＋9＋c ＝7， 故得c ＝2.(2)由(1)可知f(x)＝x 3－3x 2－9x ＋2，而x ＝3是它的极小值点， 所以函数f(x)的极小值为－25.19．(12分)已知动圆过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，与直线x ＝－p 2相切，其中p ＞0，求动圆圆心的轨迹方程．解析： 如图，设M 为动圆圆心，⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0记为点F.过点M 作直线x ＝－p2的垂线，垂足为N ，由题意知|MF|＝|MN|，即动点M 到定点F 与到定直线x ＝－p2的距离相等，由拋物线的定义，知点M 的轨迹为拋物线，其中F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0为其焦点，x ＝－p 2为其准线，所以动圆圆心的轨迹方程为y 2＝2px(p ＞0)．20．(12分)某生产饮料的企业拟投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内，预计年销量Q(万件)与广告费x(万元)之间的函数关系为Q ＝3x ＋1x ＋1(x ≥0)．已知生产此产品的年固定投入3万元，每生产1万件此产品需再投入32万元．若每件售价为“年平均每件成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和．(1)试将利润y(万元)表示为年广告费x(万元)的函数．如果年广告费投入100万元，企业是亏损还是盈利？(2)当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？解析： (1)由题意，每年产销Q 万件，共计成本为(32Q ＋3)万元． 销售收入是(32Q ＋3)·150%＋x ·50%. ∴年利润y ＝年收入－年成本－年广告费 ＝12(32Q ＋3－x)＝12(32×3x ＋1x ＋1＋3－x) ＝－x 2＋98x ＋352(x ＋1)(x ≥0)．∴所求的函数关系式为y ＝－x 2＋98x ＋352(x ＋1)(x ≥0)．当x ＝100时，y<0，即当年广告费投入100万元时，企业亏损．(2)由y ＝－x 2＋98x ＋352(x ＋1)(x ≥0)可得101(101－x )2＝34⇒x ≈89.4，但产品个数必须是自然数，因此产品个数应是89或90件．又由于T(89)≈79.11A ，T(90)≈79.09A ，所以每日生产89件将获得最大利润． 21．(12分)设函数f(x)＝x 3－92x 2＋6x －a.(1)对于任意实数x ，f ′(x)≥m 恒成立，求m 的最大值； (2)若方程f(x)＝0有且仅有一个实根，求a 的取值范围． 解析： (1)f ′(x)＝3x 2－9x ＋6＝3(x －1)(x －2)．因为x ∈(－∞，＋∞)，f ′(x)≥m ，即3x 2－9x ＋(6－m)≥0恒成立， 所以Δ＝81－12(6－m)≤0，解得m ≤－34，即m 的最大值为－34.(2)因为当x ＜1时，f ′(x)＞0；当1＜x ＜2时，f ′(x)＜0； 当x ＞2时，f ′(x)＞0.所以当x ＝1时，f(x)取极大值f(1)＝52－a ；当x ＝2时，f(x)取极小值f(2)＝2－a ，故当f(2)＞0或f(1)＜0时，f(x)＝0仅有一个实根． 解得a ＜2或a ＞52.22．(14分)某椭圆的中心是原点，它的短轴长为22，一个焦点为F(c,0)(c ＞0)，x轴上有一点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c ，0且满足|OF|＝2|FA|，其中a 为长半轴长，过点A 的直线与该椭圆相交于P ，Q 两点．求：(1)该椭圆的方程及离心率； (2)若OP →·OQ →＝0，求直线PQ 的方程．解析： (1)依题意可设椭圆的方程为x 2a 2＋y22＝1(a ＞2)，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－c 2＝2，c ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c －c ，解得⎩⎨⎧a ＝6，c ＝2.所以椭圆的方程为x 26＋y 22＝1，离心率e ＝63.(2)由(1)可得点A(3,0)，由题意知直线PQ 的斜率存在，设为k ， 则直线PQ 的方程为y ＝k(x －3)， 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 26＋y 22＝1，y ＝k (x －3)，得(3k 2＋1)x 2－18k 2x ＋27k 2－6＝0，依题意知，Δ＝12(2－3k 2)＞0，得－63＜k ＜63. 设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝18k 23k 2＋1，x 1x 2＝27k 2－63k 2＋1，从而得y 1＝k(x 1－3)，y 2＝k(x 2－3)，于是y 1y 2＝k 2(x 1－3)(x 2－3)． 因为OP →·OQ →＝0，所以x 1x 2＋y 1y 2＝0， 解得5k 2＝1，从而k ＝±55∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－63，63， 所以直线PQ 的方程为x －5y －3＝0或x ＋5y －3＝0.。

课时跟踪训练(十一) 变化的快慢与变化率1．在曲线y ＝x 2＋1上取一点(1,2)及邻近一点(1＋Δx ，2＋Δy )，则Δy Δx＝( ) A ．Δx ＋1Δx ＋2B ．Δx －1Δx －2C ．Δx ＋2D ．2＋Δx －1Δx2．某质点的运动规律为s ＝t 2＋3，则在时间段(3,3＋Δt )内的平均速度等于( )A ．6＋ΔtB ．6＋Δt ＋9ΔtC ．3＋ΔtD ．9＋Δt3．一块木头沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s 与时间t 之间的函数关系式为s ＝18t 2，则t ＝2时，此木头在水平方向的瞬时速度为( ) A ．2B ．1 C.12 D.144．水以恒速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中，按顺序与各容器对应的水的高度h 与时间t 的函数关系图像相对应的一项是( )A ．①②③④B ．②①③④C ．②①④③D ．②④①③5．函数f (x )＝ln x ＋1从e 到e 2的平均变化率为________．6．质点的运动方程是s (t )＝1t 2，则质点在t ＝2时的速度为________． 7．设某跳水运动员跳水时，相对于水面的高度h (单位：m)与起跳后的时间t (单位：s)的函数关系为h (t )＝－5t 2＋6t ＋10.(1)求该运动员从时间t ＝1到时间t ＝3的平均速度；(2)求该运动员在时间t ＝1处的瞬时速度．8．若一物体运动方程如下：(位移：m ，时间：s)s ＝⎩⎪⎨⎪⎧3t 2＋2， (t ≥3)， ①29＋3(t －3)2， (0≤t ＜3). ② 求：(1)物体在t ∈[3,5]内的平均速度；(2)物体的初速度v 0；(3)物体在t ＝1时的瞬时速度．答 案1．选C Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝(1＋Δx )2＋1－(12＋1)＝(Δx )2＋2Δx ，∴Δy Δx＝Δx ＋2. 2．选A v －＝Δs Δt ＝s (3＋Δt )－s (3)Δt＝[(3＋Δt )2＋3]－(32＋3)Δt＝6＋Δt . 3．选C 因为Δs ＝18(2＋Δt )2－18×22＝12Δt ＋18(Δt )2，所以Δs Δt ＝12＋18Δt ，当Δt 趋于0时，12＋18Δt 趋于12，因此t ＝2时，木块在水平方向瞬时速度为12. 4．选C 以第二个容器为例，由于容器上细下粗，所以水以恒速注入时，开始阶段高度增加得慢，以后高度增加得越来越快，反映在图像上，①符合上述变化情况．而第三个容器在开始时高度增加快，后来时高度增加慢，图像④适合上述变化情况．故应选C.5．解析：Δy ＝f (e 2)－f (e)＝(ln e 2＋1)－(ln e ＋1)＝1，Δx ＝e 2－e ，∴Δy Δx ＝1e 2－e. 答案：1e 2－e 6．解析：Δs Δt ＝s (2＋Δt )－s (2)Δt ＝1(2＋Δt )2－14Δt＝－4＋Δt 4(2＋Δt )2，当Δt 趋于0时，Δs Δt ＝－14. 答案：－147．解：(1)由h (t )＝－5t 2＋6t ＋10，得该运动员从时间t ＝1到时间t ＝3的平均速度： Δh Δt ＝h (3)－h (1)3－1＝－14. 故该运动员从时间t ＝1到时间t ＝3的平均速度为－14 m/s ；(2)∵Δh Δt ＝h (1＋Δt )－h (1)Δt＝[－5(1＋Δt )2＋6(1＋Δt )＋10]－(－5×12＋6×1＋10)Δt＝－5(Δt )2－4(Δt )Δt＝－5·Δt －4，∴当Δt 趋于0时，Δh Δt趋于－4， 即该运动员在时间t ＝1处的瞬时速度为－4 m/s.8．解：(1)∵物体在t ∈[3,5]内的时间变化量为Δt ＝5－3＝2，物体在t ∈[3,5]内的位移变化量为Δs ＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48，∴物体在t ∈[3,5]上的平均速度为Δs Δt ＝482＝24(m/s)． (2)求物休的初速度v 0即求物体在t ＝0的瞬时速度．.∵物体在t ＝0附近的平均变化率为Δs Δt ＝f (0＋Δt )－f (0)Δt＝29＋3[(0＋Δt )－3]2－29－3(0－3)2＝3Δt －18， ∴当Δt 趋于0时，Δs Δt趋于－18， 即物体的初速度为－18 m/s.(3)物体在t ＝1时瞬时速度即为函数在t ＝1处的瞬时变化率．∵物体在t ＝1附近的平均变化率为Δs Δt ＝f (1＋Δt )－f (1)Δt＝29＋3[(1＋Δt )－3]2－29－3(1－3)2Δt＝3Δt －12. ∴当Δt 趋于0时，Δs Δt趋于－12， 即物体在t ＝1时的瞬时速度为－12 m/s.。

课时跟踪检测（四）全集与补集层级一学业水平达标1．设集合U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2}，B＝{2,3,4}，则∁U(A∪B)等于( )A．{2} B．{5}C．{1,2,3,4} D．{1,3,4,5}解析：选B∵A＝{1,2}，B＝{2,3,4}，∴A∪B＝{1,2,3,4}．又U＝{1,2,3,4,5}，∴∁U(A∪B)＝{5}．2．已知集合A＝{x∈R|－2＜x＜6}，B＝{x∈R|x＜2}，则A∪(∁R B)＝( )A．{x|x＜6} B．{x|－2＜x＜2}C．{x|x＞－2} D．{x|2≤x＜6}解析：选C由B＝{x∈R|x＜2}，得∁R B＝{x|x≥2}．又A＝{x∈R|－2＜x＜6}，所以A∪(∁R B)＝{x|x＞－2}．3．若P＝{x|x＜1}，Q＝{x|x＞－1}，则( )A．P⊆Q B．Q⊆PC．∁R P⊆Q D．Q⊆∁R P解析：选C∵P＝{x|x＜1}，∴∁R P＝{x|x≥1}，又Q＝{x|x＞－1}，∴∁R P⊆Q.4．已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{3,4,5}，B＝{1,3,6}，那么集合{2,7}是( )A．A∪B B．A∩BC．∁U(A∩B) D．∁U(A∪B)解析：选D∵A＝{3,4,5}，B＝{1,3,6}∴A∪B＝{1,3,4,5,6}又U＝{1,2,3,4,5,6,7}∴∁U(A∪B)＝{2,7}．5．已知A＝{x|x＋1＞0}，B＝{－2，－1,0,1}，则(∁R A)∩B＝( )A．{－2，－1} B．{－2}C．{－1,0,1} D．{0,1}解析：选A因为A＝{x|x＞－1}，所以∁R A＝{x|x≤－1}，所以(∁R A)∩B＝{－2，－1}．6．设全集为U，用集合A，B的交集、并集、补集符号表示图中的阴影部分．(1)________；(2)________．答案：(1)∁U(A∪B) (2)(∁U A)∩B7．已知全集U＝{x|x≥－3}，集合A＝{x|－3＜x≤4}，则∁U A＝________.解析：借助图形可知∁U A＝{x|x＝－3或x＞4}．答案：{x|x＝－3或x＞4}8．已知全集U＝{2,3，a2－a－1}，A＝{2,3}，若∁U A＝{1}，则实数a的值是________．解析：∵U＝{2,3，a2－a－1}，A＝{2,3}，∁U A＝{1}，∴a2－a－1＝1，即a2－a－2＝0，∴a＝－1或a＝2.答案：－1或29．已知集合A＝{x|－2＜x＜3}，B＝{x|m＜x＜m＋9}，若(∁R A)∩B＝B.求实数m的取值范围．解：∁R A＝{x|x≤－2，或x≥3}，由(∁R A)∩B＝B，得B⊆∁R A，∴m＋9≤－2，或m≥3.故m 的取值范围是{m|m≤－11，或m≥3}．10．已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2＜x＜3}，B＝{x|－3≤x≤2}，求A∩B，∁A∪B，A∩∁U B，∁U(A∪B)．U解：如图所示．∵A＝{x|－2＜x＜3}，B＝{x|－3≤x≤2}，U＝{x|x≤4}，∴∁U A＝{x|x≤－2，或3≤x≤4}，∁U B＝{x|x＜－3，或2＜x≤4}，A∪B＝{x|－3≤x＜3}．∴A∩B＝{x|－2＜x≤2}，(∁U A)∪B＝{x|x≤2，或3≤x≤4}，A∩(∁B)＝{x|2＜x＜3}，∁U(A∪B)＝{x|x＜－3，或3≤x≤4}．U层级二应试能力达标1．设全集U＝M∪N＝{1,2,3,4,5}，M∩(∁U N)＝{2,4}，则N＝( )A．{1,2,3} B．{1,3,5}C．{1,4,5} D．{2,3,4}解析：选B由M∩(∁U N)＝{2,4}，可得集合N中不含元素2,4，集合M中含有元素2,4，故N ＝{1,3,5}．2.已知全集U＝Z，集合A＝{0,1}，B＝{－1,0,1,2}，则图中阴影部分所表示的集合为( )A．{－1,2} B．{－1,0}C．{0,1} D．{1,2}解析：选A图中阴影部分表示的集合为(∁U A)∩B，因为A＝{0,1}，B＝{－1,0,1,2}，所以(∁U A)∩B ＝{－1,2}．3．设S为全集，则下列几种说法中，错误的个数是( )①若A∩B＝∅，则(∁S A)∪(∁S B)＝S；②若A∪B＝S，则(∁S A)∩(∁S B)＝∅；③若A∪B＝∅，则A＝B.A．0 B．1C．2 D．3解析：选A①如图，(∁S A)∪(∁S B)＝S，正确．②若A∪B＝S，则(∁S A)∩(∁S B)＝∁S(A∪B)＝∅，正确．③若A∪B＝∅，则A＝B＝∅，正确．4．已知M，N为集合I的非空真子集，且M，N不相等，若N∩(∁I M)＝∅，则M∪N等于( )A ．MB ．NC ．ID ．∅解析：选A 根据题意画出Venn 图，由图可知M ∪N ＝M .5．设全集U 是实数集R ，M ＝{x |x ＜－2，或x ＞2}，N ＝{x |1≤x ≤3}，如图所示，则阴影部分所表示的集合为________．解析：∵M ＝{x |x ＜－2，或x ＞2}，N ＝{x |1≤x ≤3}， ∴M ∪N ＝{x |x ＜－2，或x ≥1}． ∴阴影部分所表示的集合为 ∁U (M ∪N )＝{x |－2≤x ＜1}． 答案：{x |－2≤x ＜1}6．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________人．解析：设两项运动都喜欢的人数为x ，画出Venn 图得到方程15－x ＋x ＋10－x ＋8＝30⇒x ＝3，∴喜爱篮球运动但不爱乒乓球运动的人数为15－3＝12(人)．答案：127．已知集合A ＝{x |x 2＋ax ＋12b ＝0}和B ＝{x |x 2－ax ＋b ＝0}，满足(∁R A )∩B ＝{2}，A ∩(∁R B )＝{4}，求实数a ，b 的值．解：由条件(∁R A )∩B ＝{2}和A ∩(∁R B )＝{4}，知2∈B ，但2∉A ；4∈A ，但4∉B .将x ＝2和x ＝4分别代入B ，A 两集合中的方程得⎩⎪⎨⎪⎧ 22－2a ＋b ＝0，42＋4a ＋12b ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧4－2a ＋b ＝0，4＋a ＋3b ＝0.解得a ＝87，b ＝－127即为所求．8．设全集是实数集R ，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 12≤x ≤3，B ＝{x |x 2＋a ＜0}．(1)当a ＝－4时，求A ∩B 和A ∪B ； (2)若(∁R A )∩B ＝B ，求实数a 的取值范围．解：(1)∵A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 12≤x ≤3，当a ＝－4时，B ＝{x |－2＜x ＜2}，∴A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 12≤x ＜2，A ∪B ＝{x |－2＜x ≤3}．(2)∁R A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx ＜12，或x ＞3，当(∁R A )∩B ＝B 时，B ⊆∁R A .当B ＝∅，即a ≥0时，满足B ⊆∁R A ；当B ≠∅，即a ＜0时，B ＝{x |－－a ＜x ＜－a }．要使B ⊆∁R A ，需要－a ≤12，解得－14≤a ＜0.综上可得，实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－14，＋∞.。

课时跟踪训练(七) 圆锥曲线1．平面内到一定点F和到一定直线l(F在l上)的距离相等的点的轨迹是_____________．2．设F1、F2为定点，PF1－PF2＝5，F1F2＝8，则动点P的轨迹是________．3．以F1、F2为焦点作椭圆，椭圆上一点P1到F1、F2的距离之和为10，椭圆上另一点P2满足P2F1＝P2F2，则P2F1＝________.4．平面内动点P到两定点F1(－2,0)，F2(2,0)的距离之差为m，若动点P的轨迹是双曲线，则m的取值范围是________．5．已知椭圆上一点P到两焦点F1、F2的距离之和为20，则PF1·PF2的最大值为________．6．已知抛物线的焦点为F，准线为l，过F作直线与抛物线相交于A、B两点，试判断以AB为直径的圆与l的位置关系．7．动点P(x，y)的坐标满足x－2＋y2＋x＋2＋y2＝8.试确定点P的轨迹．8．在相距1 600 m 的两个哨所A，B，听远处传来的炮弹爆炸声，已知当时的声速是340 m/s，在A哨所听到爆炸声的时间比在B哨所听到时间早3 s．试判断爆炸点在怎样的曲线上？答案课时跟踪训练(七)1．过点F 且垂直于l 的直线2．解析：∵5＜8，满足双曲线的定义，∴轨迹是双曲线． 答案：双曲线3．解析：∵P 2在椭圆上，∴P 2F 1＋P 2F 2＝10，又∵P 2F 1＝P 2F 2，∴P 2F 1＝5.答案：54．解析：由题意可知，|m |＜4，且m ≠0，∴－4<m <4，且m ≠0. 答案：(－4,0)∪(0,4)5．解析：∵PF 1＋PF 2＝20，∴PF 1·PF 2≤(PF 1＋PF 22)2＝(202)2＝100.答案：1006．解：如图，取AB 的中点O 2，过A 、B 、O 2分别作AA 1⊥l ，BB 1⊥l ，O 2O 1⊥l ，根据抛物线的定义，知AA 1＝AF ，BB 1＝BF ， ∴O 2O 1＝AA 1＋BB 12＝AF ＋BF 2＝AB 2＝R (R 为圆的半径)，∴以AB 为直径的圆与l 相切．7．解：设A (2,0)，B (－2,0)， 则x －2＋y 2表示PA ，x ＋2＋y 2表示PB ，又AB ＝4，∴PA ＋PB ＝8＞4，∴点P 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆．8．解：由题意可知点P 离B 比离A 远，且PB －PA ＝340×3＝1 020 m ，而AB ＝1 600 m ＞1 020 m ，满足双曲线的定义，∴爆炸点应在以A ，B 为焦点的双曲线的靠近A 的一支上．。

北师大版2017-2018学年高中数学选修2-3全册课时跟踪训练目录课时跟踪训练(一) 分类加法计数原理和分步乘法计数原理1 课时跟踪训练(二)排列与排列数公式 (4)课时跟踪训练(三)排列的应用 (7)课时跟踪训练(四)组合与组合数公式 (10)课时跟踪训练(五)组合的应用 (13)课时跟踪训练(六)简单计数问题 (16)课时跟踪训练(七)二项式定理 (19)课时跟踪训练(八)二项式系数的性质 (22)课时跟踪训练(九)离散型随机变量及其分布列 (25)课时跟踪训练(十)超几何分布 (28)课时跟踪训练(十一)条件概率与独立事件 (31)课时跟踪训练(十二)二项分布 (35)课时跟踪训练(十三)离散型随机变量的均值 (39)课时跟踪训练(十四)离散型随机变量的方差 (44)课时跟踪训练(十五)正态分布 (48)阶段质量检测（一） (51)阶段质量检测（二） (56)阶段质量检测（三） (64)阶段质量检测(一) 计数原理 (72)阶段质量检测(二) 概率 (78)阶段质量检测(三) 统计案例 (86)阶段质量检测(四) 模块综合检测 (94)课时跟踪训练(一) 分类加法计数原理和分步乘法计数原理1．一个三层书架，分别放置语文书12本，数学书14本，英语书11本，从中任取一本，则不同的取法共有( )A ．37种B ．1 848种C ．3种D ．6种2．从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数a ，b 组成复数a ＋b i ，其中虚数有( )A ．30个B ．42个C ．36个D ．35个3．现有高一学生9人，高二学生12人，高三学生7人，自发组织参加数学课外活动小组，从中推选两名来自不同年级的学生做一次活动的主持人，不同的选法共有( )A ．756种B ．56种C ．28种D ．255种4.用4种不同的颜色给矩形A ，B ，C ，D 涂色，要求相邻的矩形涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有( )A ．12种B ．24种C ．48种D ．72种5．为了对某农作物新品种选择最佳生产条件，在分别有3种不同土质，2种不同施肥量，4种不同的种植密度，3种不同的种植时间的因素下进行种植试验，则不同的实验方案共有________种．6．如图，A →C ，有________种不同走法．7．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1，其中a ，b ∈{1,2,3,4,5}．(1)求满足条件的椭圆的个数；(2)如果椭圆的焦点在x 轴上，求椭圆的个数．8．某艺术小组有9人，每人至少会钢琴和小号中的1种乐器，其中7人会钢琴，3人会小号，从中选出会钢琴和会小号的各1人，有多少种不同的选法？答案1．选A根据分类加法计数原理，得不同的取法为N＝12＋14＋11＝37(种)．2．选C完成这件事分为两个步骤：第一步，虚部b有6种选法；第二步，实部a有6种选法．由分步乘法计数原理知，共有虚数6×6＝36 个．3．选D推选两名来自不同年级的两名学生，有N＝9×12＋12×7＋9×7＝255(种)．4．选D先涂C，有4种涂法，涂D有3种涂法，涂A有3种涂法，涂B有2种涂法．由分步乘法计数原理，共有4×3×3×2＝72种涂法．5．解析：根据分步乘法计数原理，不同的方案有N＝3×2×4×3＝72(种)．答案：726．解析：A→C的走法可分两类：第一类：A→C，有2种不同走法；第二类：A→B→C，有2×2＝4种不同走法．根据分类加法计数原理，得共有2＋4＝6种不同走法．答案：67．解：(1)由椭圆的标准方程知a≠b，要确定一个椭圆，只要把a，b一一确定下来这个椭圆就确定了．∴要确定一个椭圆共分两步：第一步确定a，有5种方法；第二步确定b，有4种方法，共有5×4＝20个椭圆．(2)要使焦点在x轴上，必须a>b，故可以分类：a＝2,3,4,5时，b的取值列表如下：故共有1＋2＋38．解：由题意可知，在艺术小组9人中，有且仅有1人既会钢琴又会小号(把该人称为“多面手”)，只会钢琴的有6人，只会小号的有2人，把选出会钢琴、小号各1人的方法分为两类：第一类：多面手入选，另1人只需从其他8人中任选一个，故这类选法共有8种．第二类：多面手不入选，则会钢琴者只能从6个只会钢琴的人中选出，会小号者也只能从只会小号的2人中选出，故这类选法共有6×2＝12种．因此有N＝8＋12＝20种不同的选法．课时跟踪训练(二) 排列与排列数公式1．5A 35＋4A 24等于( )A ．107B ．323C ．320D ．3482.A 345！等于( ) A.120 B.125 C.15D.1103．设a ∈N ＋，且a <27，则(27－a )(28－a )·…·(34－a )等于( ) A ．A 827－a B ．A 27－a34－aC ．A 734－aD ．A 834－a4．若从4名志愿者中选出2人分别从事翻译、导游两项不同工作，则选派方案共有( ) A ．16种 B ．6种 C ．15种D ．12种5．已知9！＝362 880，那么A 79＝________. 6．给出下列问题：①从1,3,5,7这四个数字中任取两数相乘，可得多少个不同的积？ ②从2,4,6,7这四个数字中任取两数相除，可得多少个不同的商？③有三种不同的蔬菜品种，分别种植在三块不同的试验田里，有多少种不同的种植方法？④有个头均不相同的五位同学，从中任选三位同学按左高右低的顺序并排站在一排照相，有多少种不同的站法？上述问题中，是排列问题的是________．(填序号)7．(1)计算4A 48＋2A 58A 88－A 59；(2)解方程3A x 8＝4A x －19.8．从语文、数学、英语、物理4本书中任意取出3本分给甲、乙、丙三人，每人一本，试将所有不同的分法列举出来．答案1．选D 原式＝5×5×4×3＋4×4×3＝348. 2．选C A 345！＝4×3×25×4×3×2×1＝15.3．选D 8个括号里面是连续的自然数，依据排列数的概念，选D.4．选D 4名志愿者分别记作甲、乙、丙、丁，则选派方案有：甲乙，甲丙，甲丁，乙甲，乙丙，乙丁，丙甲，丙乙，丙丁，丁甲，丁乙，丁丙，即共有A 24＝12种方案．5．解析：A 79＝9！(9－7)！＝362 8802＝181 440. 答案：181 4406．解析：对于①，任取两数相乘，无顺序之分，不是排列问题；对于②，取出的两数，哪一个作除数，哪一个作被除数，其结果不同，与顺序有关，是排列问题；对于③，三种不同的蔬菜品种任一种种植在不同的试验田里，结果不同，是排列问题；对于④，选出的三位同学所站的位置已经确定，不是排列问题．答案：②③7．解：(1)原式＝4A 48＋2×4A 484×3×2A 48－9A 48＝4＋824－9＝1215＝45. (2)由3A x 8＝4A x －19，得3×8！(8－x )！＝4×9！(10－x )！，化简，得x 2－19x ＋78＝0，解得x 1＝6，x 2＝13. 又∵x ≤8，且x －1≤9，∴原方程的解是x ＝6.8．解：从语文、数学、英语、物理4本书中任意取出3本，分给甲、乙、丙三人，每人一本，相当于从4个不同的元素中任意取出3个元素，按“甲、乙、丙”的顺序进行排列，每一个排列就对应着一种分法，所以共有A 34＝4×3×2＝24种不同的分法．不妨给“语文、数学、英语、物理”编号，依次为1,2,3,4号，画出下列树形图：由树形图可知，按甲乙丙的顺序分的分法为：语数英语数物语英数语英物语物数语物英数语英数语物数英语数英物数物语数物英英语数英语物英数语英数物英物语英物数物语数物语英物数语物数英物英语物英数课时跟踪训练(三)排列的应用1．6个人站成一排，甲、乙、丙3人必须站在一起的所有排列的总数为()A．A66B．3A33C．A33·A33D．A44·A332．(北京高考)从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为()A．24 B．18C．12 D．63．由数字1,2,3,4,5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23 145且小于43 521的数共有()A．56个B．57个C．58个D．60个4．(辽宁高考)6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为() A．144 B．120C．72 D．245．(大纲全国卷)6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有________种．(用数字作答)6．有A，B，C，D，E五位学生参加网页设计比赛，决出了第一到第五的名次，A，B 两位学生去问成绩，老师对A说：“你的名次不知道，但肯定没得第一名”；又对B说：“你是第三名”．请你分析一下，这五位学生的名次排列共有________种不同的可能．7．由A，B，C等7人担任班级的7个班委．(1)若正、副班长两职只能由这三人中选两人担任，有多少种分工方案？(2)若正、副班长两职至少要选三人中的1人担任，有多少种分工方案？8．如图，某伞厂生产的“太阳”牌太阳伞蓬是由太阳光的七种颜色组成的，七种颜色分别涂在伞蓬的八个区域内，且恰有一种颜色涂在相对区域内，则不同的颜色图案的此类太阳伞至多有多少种？答案1．选D甲、乙、丙3人站在一起有A33种站法，把3人作为一个元素与其他3人排列有A44种，共有A33·A44种．2．选B若选0，则0只能在十位，此时组成的奇数的个数是A23；若选2，则2只能在十位或百位，此时组成的奇数的个数是2×A23＝12，根据分类加法计数原理得总个数为6＋12＝18.3．选C首位为3时，有A44＝24个；首位为2时，千位为3，则有A12A22＋1＝5个，千位为4或5时有A12A33＝12个；首位为4时，千位为1或2有A12A33＝12个，千位为3时，有A12A22＋1＝5个．由分类加法计数原理知，共有符合条件的数字24＋5＋12＋12＋5＝58(个)．4．选D剩余的3个座位共有4个空隙供3人选择就座，因此任何两人不相邻的坐法种数为A34＝4×3×2＝24.5．解析：法一：先把除甲、乙外的4个人全排列，共有A44种方法．再把甲、乙两人插入这4人形成的五个空位中的两个，共有A25种不同的方法．故所有不同的排法共有A44·A25＝24×20＝480(种)．法二：6人排成一行，所有不同的排法有A66＝720(种)，其中甲、乙相邻的所有不同的排法有A55A22＝240(种)，所以甲、乙不相邻的不同排法共有720－240＝480(种)．答案：4806．解析：先安排B有1种方法，再安排A有3种方法，最后安排C，D，E共A33种方法．由分步乘法计数原理知共有3A33＝18种方法．答案：187．解：(1)先安排正、副班长有A23种方法，再安排其余职务有A55种方法，依分步乘法计数原理，共有A23A55＝720种分工方案．(2)7人的任意分工方案有A77种，A，B，C三人中无一人任正、副班长的分工方案有A24 A55种，因此A，B，C三人中至少有1人任正、副班长的方案有A77－A24A55＝3 600种．8.解：如图，对8个区域进行编号，任选一组对称区域(如1与5)同色，用7种颜色涂8个区域的不同涂法有7！种，又由于1与5,2与6,3与7,4与8是对称的，通过旋转后5,6,7,8,1,2,3,4与1,2,3,4,5,6,7,8是同一种涂色，即重复染色2次，故此种图案至多有7！2＝2 520种．课时跟踪训练(四)组合与组合数公式1．给出下面几个问题：①10人相互通一次电话，共通多少次电话？②从10个人中选出3个作为代表去开会，有多少种选法？③从10个人中选出3个不同学科的课代表，有多少种选法？④由1,2,3组成无重复数字的两位数．其中是组合问题的有()A．①③B．②④C．①②D．①②④2．若A3n＝12C2n，则n等于()A．8 B．5或6C．3或4 D．43．下列四个式子中正确的个数是()(1)C m n＝A m nm！；(2)A m n＝n A m－1n－1；(3)C m n÷C m＋1n ＝m＋1n－m；(4)C m＋1n＋1＝n＋1m＋1C m n.A．1个B．2个C．3个D．4个4．若C7n＋1－C7n＝C8n，则n等于()A．12 B．13C．14 D．155．从2,3,5,7四个数中任取两个不同的数相乘，有m个不同的积，任取两个不同的数相除，有n个不同的商，则m∶n＝________.6．方程C x28＝C3x－828的解为________．7．计算：(1)C58＋C98100C77；(2)C05＋C15＋C25＋C35＋C45＋C55.8．在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人去参加市级培训，在下列条件下，有多少种不同的选法？(1)任意选5人；(2)甲、乙、丙三人必须参加； (3)甲、乙、丙三人不能参加； (4)甲、乙、丙三人只能有1人参加．答案1．选C ①是组合问题，因为甲与乙通了一次电话，也就是乙与甲通了一次电话，没有顺序的区别；②是组合问题，因为三个代表之间没有顺序的区别；③是排列问题，因为三个人担任哪一科的课代表是有顺序区别的；而④中选出的元素还需排列，有顺序问题是排列．所以①②是组合问题．2．选A ∵A 3n ＝12C 2n ，∴n (n －1)(n －2)＝12×n (n －1)2.解得n ＝8. 3．选D 因为C m n ＝n ！m ！(n －m )！＝1m ！·n ！(n －m )！＝A m nm ！，故(1)正确；因为n A m －1n －1＝n ·(n －1)！(n －m )！＝n ！(n －m )！＝A m n ，故(2)正确； 因为Cmn÷Cm ＋1n＝n ！m ！(n －m )÷n ！(m ＋1)！(n －m －1)！＝n ！m ！(n －m )！×(m ＋1)！(n －m －1)！n ！＝m ＋1n －m，故(3)正确．因为C m ＋1n ＋1＝(n ＋1)！(m ＋1)！(n －m )！，n ＋1m ＋1C m n ＝n ＋1m ＋1·n ！m ！(n －m )！＝(n ＋1)！(m ＋1)！(n －m )！，所以C m ＋1n ＋1＝n ＋1m ＋1C m n，故(4)正确． 4．选C C 7n ＋1－C 7n ＝C 8n ，即C 7n ＋1＝C 8n ＋C 7n ＝C 8n ＋1，所以n ＋1＝7＋8，即n ＝14.5．解析：∵m ＝C 24，n ＝A 24，∴m ∶n ＝12. 答案：126．解析：当x ＝3x －8，解得x ＝4；当28－x ＝3x －8，解得x ＝9. 答案：4或97．解：(1)原式＝C 38＋C 2100×1＝8×7×63×2×1＋100×992×1 ＝56＋4 950＝5 006.(2)原式＝2(C 05＋C 15＋C 25)＝2(C 16＋C 25)＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋5×42×1＝32. 8．解：(1)C 512＝792种不同的选法．(2)甲、乙、丙三人必须参加，只需从另外的9人中选2人，共有C 29＝36种不同的选法． (3)甲、乙、丙三人不能参加，只需从另外的9人中选5人，共有C 59＝126种不同的选法．(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加，分两步：第一步从甲、乙、丙中选1人，有C 13＝3种选法；第二步从另外的9人中选4人有C 49种选法．共有C 13C 49＝378种不同的选法．课时跟踪训练(五)组合的应用1．9件产品中，有4件一等品，3件二等品，2件三等品，现在要从中抽出4件产品，抽出产品中至少有2件一等品的抽法种数为()A．81B．60C．6 D．112．以一个正三棱柱的顶点为顶点的四面体有()A．6个B．12个C．18个D．30个3．从10名大学毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为()A．85 B．56C．49 D．284．在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为()A．10 B．11C．12 D．155．(大纲全国卷)从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖，2名二等奖，3名三等奖，则可能的决赛结果共有________种．(用数字作答)6．某校开设9门课程供学生选修，其中A，B，C三门由于上课时间相同，至多选一门．学校规定，每位同学选修4门，共有________种不同选修方案．(用数字作答) 7．12件产品中，有10件正品，2件次品，从这12件产品中任意抽出3件．(1)共有多少种不同的抽法？(2)抽出的3件中恰好有1件次品的抽法有多少种？(3)抽出的3件中至少有1件次品的抽法有多少种？8．10双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任意取出4只，试求各有多少种情况出现如下结果：(1)4只鞋子没有成双的；(2)4只鞋子恰成两双；(3)4只鞋中有2只成双，另2只不成双．答案1．选A分三类：恰有2件一等品，有C24C25＝60种取法；恰有3件一等品，有C34C15＝20种取法；恰有4件一等品，有C44＝1种取法．∴抽法种数为60＋20＋1＝81.2．选B从6个顶点中任取4个有C46＝15种取法，其中四点共面的有3种．所以满足题意的四面体有15－3＝12个．3．选C由条件可分为两类：一类是甲、乙两人只有一人入选，有C12·C27＝42种不同选法，另一类是甲、乙都入选，有C22·C17＝7种不同选法，所以共有42＋7＝49种不同选法．4．选B与信息0110至多有两个位置上的数字对应相同的信息包括三类：第一类：与信息0110只有两个对应位置上的数字相同有C24＝6个；第二类：与信息0110只有一个对应位置上的数字相同有C14＝4个；第三类：与信息0110没有一个对应位置上的数字相同有C04＝1个．∴与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息有6＋4＋1＝11个．5．解析：第一步决出一等奖1名有C16种情况，第二步决出二等奖2名有C25种情况，第三步决出三等奖3名有C33种情况，故可能的决赛结果共有C16C25C33＝60种情况．答案：606．解析：分两类完成：第一类，A，B，C三门课程都不选，有C46种不同的选修方案；第二类，A，B，C三门课程恰好选修一门，有C13·C36种不同选修方案．故共有C46＋C13·C36＝75种不同的选修方案．答案：757．解：(1)有C312＝220种抽法．(2)分两步：先从2件次品中抽出1件有C12种方法；再从10件正品中抽出2件有C210种方法，所以共有C12C210＝90种抽法．(3)法一(直接法)：分两类：即包括恰有1件次品和恰有2件次品两种情况，与(2)小题类似共有C12C210＋C22C110＝100种抽法．法二(间接法)：从12件产品中任意抽出3件有C312种方法，其中抽出的3件全是正品的抽法有C310种方法，所以共有C312－C310＝100种抽法．8．解：(1)从10双鞋子中选取4双，有C410种不同选法，每双鞋子中各取一只，分别有2种取法，根据分步乘法计数原理，选取种数为N＝C410·24＝3 360(种)．即4只鞋子没有成双有3 360种不同取法．(2)从10双鞋子中选取2双有C210种取法，所以选取种数为N＝C210＝45(种)，即4只鞋子恰成双有45种不同取法．(3)先选取一双有C110种选法，再从9双鞋中选取2双有C29种选法，每双鞋只取一只各有2种取法．根据分步乘法计数原理，不同取法为N＝C110C29·22＝1 440(种)．课时跟踪训练(六)简单计数问题1．从4名男生和3名女生中选3人分别从事三项不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则选派的方案共有()A．108种B．186种C．216种D．270种2．12名同学合影，站成了前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是()A．C28A23B．C28A66C．C28A26D．C28A253．(大纲全国卷)将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有()A．12种B．18种C．24种D．36种4．6个人分乘两辆不同的汽车，每辆车最多坐4人，则不同的乘车方法有() A．40种B．50种C．60种D．70种5．将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有________种．6.要在如图所示的花圃中的5个区域中种入4种颜色不同的花，要求相邻区域不同色，有________种不同的种法．7．如图，在∠AOB的两边上，分别有3个点和4个点，连同角的顶点共8个点．这8个点能作多少个三角形？8．有9本不同的课外书，分给甲、乙、丙三名同学，求在下列条件下，各有多少种分法？(1)甲得4本，乙得3本，丙得2本；(2)一人得4本，一人得3本，一人得2本．答案1．选B(1)直接法：从4名男生和3名女生中选出3人，至少有1名女生的选派方案可分为三类：①恰好有1名女生，2名男生，有C13C24A33种方法；②恰好有2名女生，1名男生，有C23C14A33种方法；③恰好有3名女生，有C33A33种方法；由分类加法计数原理得共有C13 C24A33＋C23C14A33＋C33A33＝186种不同的选派方案．(2)间接法：从全部方案数中减去只派男生的方案数，则有A37－A34＝186种不同的选派方案．2．选C从后排8人中选2人安排到前排6个位置中的任意两个位置即可，所以选法种数是C28A26.3．选A由分步乘法计数原理，先排第一列，有A33种方法，再排第二列，有2种方法，故共有A33×2＝12种排列方法．4．选B先分组再排列，一组2人一组4人有C26＝15种不同的分法；两组各3人共有C36A22＝10种不同的分法，所以共有(15＋10)×2＝50种不同的乘车方法．5．解析：有两种满足题意的放法：(1)1号盒子里放2个球，2号盒子里放2个球，有C24C22种放法；(2)1号盒子里放1个球，2号盒子里放3个球，有C14C33种放法．综上可得，不同的放球方法共有C24C22＋C14C33＝10种．答案：106．解析：区域5有4种种法，区域1有3种种法，区域4有2种种法，若1,3同色，区域2有2种种法，或1,3不同色，区域2有1种种法，所以共有4×3×2×(1×2＋1×1)＝72种不同的种法．答案：727．解：从8个点中，任选3点共有C38种选法，其中有一个5点共线和4点共线，故共有C38－C34－C35＝42个不同的三角形．8．解：(1)分三步完成：第一步：从9本不同的书中，任取4本分给甲，有C49种方法；第二步：从余下的5本书中，任取3本给乙，有C35种方法；第三步：把剩下的书给丙，有C22种方法．∴共有不同的分法为C49C35C22＝1 260种．(2)分两步完成：第一步：按4本、3本、2本分成三组有C49C35C22种方法；第二步：将分成的三组书分给甲、乙、丙三个人，有A33种方法．∴共有C49C35C22A33＝7 560种．课时跟踪训练(七) 二项式定理1．(x －2y )7的展开式中的第4项为( ) A ．－280x 4y 3 B ．280x 4y 3 C ．－35x 4y 3D ．35x 4y 32．在(x －3)10的展开式中，x 6的系数是( ) A ．－27C 610B ．27C 410 C ．－9C 610D ．9C 4103．(大纲全国卷)(1＋x )8(1＋y )4的展开式中x 2y 2的系数是( ) A ．56 B ．84 C ．112D ．1684．已知⎝⎛⎭⎫2x 3＋1x n 的展开式中的常数项是第7项，则正整数n 的值为( ) A ．7 B ．8 C ．9D ．105．(安徽高考)若⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 3x 8的展开式中x 4的系数为7，则实数a ＝________. 6．(浙江高考)设二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13x 5的展开式中常数项为A ，则A ＝________.7.⎝⎛⎭⎪⎫x ＋23x n展开式第9项与第10项二项式系数相等，求x 的一次项系数．8．在⎝⎛⎭⎪⎫2x 2－13x 8的展开式中，求：(1)第5项的二项式系数及第5项的系数； (2)倒数第3项．答案1．选A (x －2y )7的展开式中的第4项为T 4＝C 37x 4(－2y )3＝(－2)3C 37x 4y 3＝－280x 4y 3. 2．选D T k ＋1＝C k 10·x 10－k (－3)k ，令10－k ＝6，知k ＝4，∴T 5＝C 410x 6(－3)4，即x 6的系数为9C 410.3．选D 在(1＋x )8展开式中含x 2的项为C 28x 2＝28x 2，(1＋y )4展开式中含y 2的项为C 24y2＝6y 2，所以x 2y 2的系数为28×6＝168，故选D.4．选B ⎝⎛⎭⎫2x 3＋1x n 的展开式的通项T r ＋1＝C r n 2n －r x 3n －4r，由r ＝6时，3n －4r ＝0.得n ＝8.5．解析：二项式⎝⎛⎭⎪⎫x ＋a 3x 8展开式的通项为T r ＋1＝C r 8a rx 8－43r ，令8－43r ＝4，可得r ＝3，故C 38a 3＝7，易得a ＝12. 答案：126．解析：T r ＋1＝(－1)r C r 5x 15－5r 6，令15－5r ＝0，得r ＝3，故常数项A ＝(－1)3C 35＝－10.答案：－107．解：由题意知，C 8n ＝C 9n .∴n ＝17.∴T r ＋1＝C r 17x 17－r 2·2r ·x －r 3＝C r 17·2r ·x 17－r 2－r 3. ∴17－r 2－r3＝1. 解得r ＝9.∴T r ＋1＝C 917·x 4·29·x －3， 即T 10＝C 917·29·x . 其一次项系数为C 917·29. 8．解：法一：利用二项式的展开式解决．(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－13x 8＝(2x 2)8－C 18(2x 2)7·13x＋C 28(2x 2)6·⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2－C 38(2x 2)5·⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋C 48(2x 2)4·⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 4－C 58(2x 2)3·⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 5＋C 68(2x 2)2·⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 6－C 78(2x 2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 7＋C 88⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 8，则第5项的二项式系数为C 48＝70，第5项的系数C 48·24＝1 120. (2)由(1)中⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－13x 8的展开式可知倒数第3项为C 68·(2x 2)2·⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 6＝112x 2. 法二：利用二项展开式的通项公式．(1)T 5＝C 48(2x 2)8－4·⎝⎛⎭⎪⎫－13x 4＝C 48·24·x 203， 则第5项的二项式系数是C 48＝70， 第5项的系数是C 48·24＝1 120. (2)展开式中的倒数第3项即为第7项， T 7＝C 68·(2x 2)8－6·⎝⎛⎭⎪⎫－13x 6＝112x 2.课时跟踪训练(八) 二项式系数的性质1．(x －1)11展开式中x 的偶次项系数之和是( ) A ．－2 048 B ．－1 023 C ．－1 024D ．1 0242．若C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n能被7整除，则x ，n 的值可能为( )A ．x ＝4，n ＝3B ．x ＝4，n ＝4C ．x ＝5，n ＝4D ．x ＝6，n ＝53．若⎝⎛⎫x ＋1x n 展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为( ) A ．10 B ．20 C ．30D ．1204．在⎝⎛⎭⎫ax －1x 4的展开式中各项系数之和是16.则a 的值是( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．－1或35．若(x 2＋1)(2x ＋1)9＝a 0＋a 1(x ＋2)＋a 2(x ＋2)2＋…＋a 11(x ＋2)11，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11的值为________．6．若(2x ＋3)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2的值为________． 7．已知(1＋3x )n 的展开式中，末三项的二项式系数的和等于121，求展开式中二项式系数最大的项．8．对二项式(1－x )10，(1)展开式的中间项是第几项？写出这一项． (2)求展开式中各二项式系数之和．(3)求展开式中除常数项外，其余各项的系数和．答案1．选C 令f (x )＝(x －1)11，偶次项系数之和是f (1)＋f (－1)2＝(－2)112＝－1 024.2．选C 由C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n ＝(1＋x )n－1分别将选项A ，B ，C ，D 代入检验知，仅有x ＝5，n ＝4适合．3．选B 由2n ＝64，得n ＝6，∴T k ＋1＝C k 6x 6－k ⎝⎛⎭⎫1x k ＝C k 6x6－2k(0≤k ≤6，k ∈N )．由6－2k ＝0，得k ＝3.∴T 4＝C 36＝20.4．选D 由题意可得(a －1)4＝16，a －1＝±2， 解得a ＝－1或a ＝3.5．解析：令x ＝－1，则原式可化为[(－1)2＋1][2×(－1)＋1]9＝－2＝a 0＋a 1(2－1)＋…＋a 11(2－1)11，∴a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11＝－2.答案：－26．解析：(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2＝(a 0＋a 2＋a 4＋a 1＋a 3)·(a 0＋a 2＋a 4－a 1－a 3)＝(a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4)·(a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4)，令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝(2＋3)4，令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4＝(－2＋3)4＝(2－3)4，于是(2＋3)4·(2－3)4＝1.答案：17．解：由题意知C n n ＋C n －1n ＋C n －2n ＝121，即C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＝121，∴1＋n ＋n (n －1)2＝121，即n 2＋n －240＝0，解得n ＝15或－16(舍)．∴在(1＋3x )15的展开式中二项式系数最大的项是第八、九两项．且T 8＝C 715(3x )7＝C 71537x 7， T 9＝C 815(3x )8＝C 81538x 8.8．解：(1)展开式共11项，中间项为第6项，T 6＝C 510(－x )5＝－252x 5. (2)C 010＋C 110＋C 210＋…＋C 1010＝210＝1 024.(3)设(1－x )10＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10. 令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10＝0. 令x ＝0，得a 0＝1.∴a1＋a2＋…＋a10＝－1.课时跟踪训练(九)离散型随机变量及其分布列1．一个袋子中有质量相等的红、黄、绿、白四种小球各若干个，一次倒出三个小球，下列变量是离散型随机变量的是()A．小球滚出的最大距离B．倒出小球所需的时间C．倒出的三个小球的质量之和D．倒出的三个小球的颜色种数2．袋中有大小相同的5个钢球，分别标有1,2,3,4,5五个号码．在有放回地抽取条件下依次取出2个球，设两个球号码之和为随机变量X，则X所有可能值的个数是() A．25B．10C．9 D．53．设随机变量X等可能取值1,2,3，…，n，若P(X<4)＝0.3，则n＝()A．3 B．4C．10 D．不确定4．设随机变量X等可能地取值1,2,3,4，…，10.又设随机变量Y＝2X－1，P(Y<6)的值为()A．0.3 B．0.5C．0.1 D．0.25．随机变量Y的分布列如下：则(1)x＝(3)P(1＜Y≤4)＝________.6．随机变量X的分布列为P(X＝k)＝Ck(k＋1)，k＝1,2,3，其中C为常数，则P(X≥2)＝________.7．若离散型随机变量X的分布列为：求常数a8．设S 是不等式x 2－x －6≤0的解集，整数m ，n ∈S .(1)记“使得m ＋n ＝0成立的有序数组(m ，n )”为事件A ，试列举A 包含的基本事件； (2)设X ＝m 2，求X 的分布列．答案1．选D A ，B 不能一一列举，不是离散型随机变量，而C 是常量，是个确定值，D 可能取1,2,3，是离散型随机变量．2．选C 第一次可取1,2,3,4,5中的任意一个，由于是有放回抽取，第二次也可取1,2,3,4,5中的任何一个，两次的号码和可能为2,3,4,5,6,7,8,9,10.3．选C ∵X 等可能取1,2,3，…，n ， ∴X 的每个值的概率均为1n.由题意知P (X <4)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝3n ＝0.3，∴n ＝10.4．选A Y <6，即2X －1<6，∴X <3.5.X ＝1,2,3，P ＝310.5．解析：(1)由 i ＝16p i ＝1，∴x ＝0.1.(2)P (Y ＞3)＝P (Y ＝4)＋P (Y ＝5)＋P (Y ＝6) ＝0.1＋0.15＋0.2＝0.45.(3)P (1＜Y ≤4)＝P (Y ＝2)＋P (Y ＝3)＋P (Y ＝4) ＝0.1＋0.35＋0.1＝0.55. 答案：(1)0.1 (2)0.45 (3)0.556．解析：由P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝1，得C 1×2＋C 2×3＋C 3×4＝1，∴C ＝43.P (X ≥2)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝432×3＋433×4＝13.答案：137．解：由离散型随机变量的性质得 ⎩⎪⎨⎪⎧9a 2－a ＋3－8a ＝1，0≤9a 2－a ≤1，0≤3－8a ≤1，解得a ＝13，或a ＝23(舍)．所以随机变量X 的分布列为：8．解：(1)由x 2－x －6≤0，得－2≤x ≤3， 即S ＝{x |－2≤x ≤3}．由于m ，n ∈Z ，m ，n ∈S 且m ＋n ＝0，所以A 包含的基本事件为(－2,2)，(2，－2)，(－1,1)，(1，－1)，(0,0)．(2)由于m 的所有不同取值为－2，－1,0,1,2,3， 所以X ＝m 2的所有不同取值为0,1,4,9， 且有P (X ＝0)＝16，P (X ＝1)＝26＝13，P (X ＝4)＝26＝13，P (X ＝9)＝16.故X 的分布列为课时跟踪训练(十) 超几何分布1．一个小组有6人，任选2名代表，求其中甲当选的概率是( ) A.12 B.13 C.14D.152．在一个口袋中装有5个白球和3个黑球，这些球除颜色外完全相同，从中摸出3个球，至少摸到2个黑球的概率等于( )A.27 B.38 C.37D.9283．某12人的兴趣小组中，有5名“三好生”，现从中任意选6人参加竞赛，用X 表示这6人中“三好生”的人数，则C 35C 37C 612是表示的概率是( )A ．P (X ＝2)B ．P (X ＝3)C ．P (X ≤2)D ．P (X ≤3)4．从一副不含大、小王的52张扑克牌中任意抽出5张，则至少有3张A 的概率为( )A.C 34C 248C 552B.C 348C 24C 552C ．1－C 148C 44C 552D.C 34C 248＋C 44C 148C 5525．某小组共有10名学生，其中女生3名，现选举2名代表，至少有1名女生当选的概率为________．6．知识竞答，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个，小张抽4题，则小张抽到选择题至少2道的概率为________．7．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X 是一个随机变量，求X 的分布列．8．在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品，其余6张没有奖品．(1)顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X 的分布列． (2)顾客乙从10张奖券中任意抽取2张． ①求顾客乙中奖的概率；②设顾客乙获得的奖品总价值Y 元，求Y 的分布列．答案1．选B 设X 表示2名代表中有甲的个数，X 的可能取值为0,1， 由题意知X 服从超几何分布，其中参数为N ＝6，M ＝1，n ＝2，则P (X ＝1)＝C 11C 15C 26＝13.2．选A 黑球的个数X 服从超几何分布，则至少摸到2个黑球的概率P (X ≥2)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝C 23C 15C 38＋C 33C 05C 38＝27.3．选B 6人中“三好生”的人数X 服从超几何分布，其中参数为N ＝12，M ＝5，n＝6，所以P (X ＝3)＝C 35C 37C 612.4．选D 设X 为抽出的5张扑克牌中含A 的张数．则P (X ≥3)＝P (X ＝3)＋P (X ＝4)＝C 34C 248C 552＋C 44C 148C 552.5．解析：至少有1名女生当选包括1男1女，2女两种情况，概率为C 13C 17＋C 23C 210＝815. 答案：8156．解析：由题意知小张抽到选择题数X 服从超几何分布(N ＝10，M ＝6，n ＝4)， 小张抽到选择题至少2道的概率为：P (X ≥2)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＋P (X ＝4)＝C 26C 24C 410＋C 36C 14C 410＋C 46C 04C 410＝3742.答案：37427．解：由题意知，旧球个数X 的所有可能取值为3,4,5,6.则P (X ＝3)＝C 33C 312＝1220，P (X ＝4)＝C 23C 19C 312＝27220，P (X ＝5)＝C 29C 13C 312＝108220＝2755，P (X ＝6)＝C 39C 312＝84220＝2155.所以X 的分布列为8．解：(1)抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况，故X 的取值只有0和1两种情况． P (X ＝1)＝C 14C 110＝410＝25，则P (X ＝0)＝1－P (X ＝1)＝1－25＝35.因此X 的分布列为(2)①顾客乙中奖可分为互斥的两类：所抽取的2张奖券中有1张中奖或2张都中奖．故所求概率P ＝C 14C 16＋C 24C 06C 210＝3045＝23. ②Y 的所有可能取值为0,10,20,50,60，且P (Y ＝0)＝C 04C 26C 210＝1545＝13，P (Y ＝10)＝C 13C 16C 210＝1845＝25，P (Y ＝20)＝C 23C 06C 210＝345＝115，P (Y ＝50)＝C 11C 16C 210＝645＝215，P (Y ＝60)＝C 11C 13C 210＝345＝115.因此随机变量Y 的分布列为课时跟踪训练(十一) 条件概率与独立事件1．抛掷一颗骰子一次，A 表示事件：“出现偶数点”，B 表示事件：“出现3点或6点”，则事件A 与B 的关系是( )A ．相互互斥事件B ．相互独立事件C ．既相互互斥又相互独立事件D ．既不互斥又不独立事件2．设A ，B 为两个事件，若事件A 和B 同时发生的概率为310，在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率为12，则事件A 发生的概率为( )A.25 B.35 C.45D.3103．某农业科技站对一批新水稻种子进行试验，已知这批水稻种子的发芽率为0.8，出芽后的幼苗成活率为0.9，在这批水稻种子中，随机地取出一粒，则这粒水稻种子发芽能成长为幼苗的概率为( )A ．0.02B ．0.08C ．0.18D ．0.724．从某地区的儿童中挑选体操学员，已知儿童体型合格的概率为15，身体关节构造合格的概率为14，从中任挑一儿童，这两项至少有一项合格的概率是(假定体型与身体关节构造合格与否相互之间没有影响)( )A.1320B.15C.14D.255．有一个数学难题，在半小时内，甲能解决的概率是12，乙能解决的概率是13，两人试图独立地在半小时内解决它，则两人都未解决的概率为________，问题得到解决的概率为________．6．从编号为1,2，…，10的10个大小相同的球中任取4个，已知选出4号球的条件下，选出球的最大号码为6的概率为________．7．1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1。

课时跟踪检测（二十二） 实际问题的函数建模层级一 学业水平达标1．在一次数学试验中，采集到如下一组数据：则x ，y 的函数关系与下列哪类函数最接近？(其中a ，b 为待定系数)( ) A ．y ＝a ＋bx B ．y ＝a ＋b x C ．y ＝ax 2＋bD ．y ＝a ＋bx解析：选B 在坐标系中描出各点，知模拟函数为y ＝a ＋b x . 2．某自行车存车处在某一天总共存放车辆4000辆，存车费为：电动自行车0.3元/辆，普通自行车0.2元/辆．若该天普通自行车存了x 辆，存车费总收入为y 元，则y 与x 的函数关系式为( )A ．y ＝0.2x (0≤x ≤4 000)B ．y ＝0.5x (0≤x ≤4 000)C ．y ＝－0.1x ＋1 200(0≤x ≤4 000)D ．y ＝0.1x ＋1 200(0≤x ≤4 000)解析：选C 由题意得y ＝0.3(4 000－x )＋0.2x ＝－0.1x ＋1 200. 3．某厂日产手套的总成本y (元)与日产量x (双)之间的关系为y ＝5x ＋40 000.而手套出厂价格为每双10元，要使该厂不亏本至少日产手套( )A ．2 000双B ．4 000双C ．6 000双D ．8 000双解析：选D 由5x ＋40 000≤10x ，得x ≥8 000，即日产手套至少8 000双才不亏本． 4．一个人以6米/秒的速度去追停在交通灯前的汽车，当他离汽车25米时，交通灯由红变绿，汽车以1米/秒2的加速度匀加速开走，那么( )A ．此人可在7秒内追上汽车B ．此人可在10秒内追上汽车C ．此人追不上汽车，其间距最少为5米D ．此人追不上汽车，其间距最少为7米解析：选D 设汽车经过t 秒行驶的路程为s 米，则s ＝12t 2，车与人的间距d ＝(s ＋25)－6t ＝12t 2－6t ＋25＝12(t －6)2＋7.当t ＝6时，d 取得最小值7.5．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x 万件时的生产成本为C (x )＝12x 2＋2x ＋20(万元)．一万件售价是20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为( )A ．18万件B ．20万件C ．16万件D ．8万件解析：选A 利润L (x )＝20x －C (x )＝－12(x －18)2＋142，当x ＝18时，L (x )有最大值．6．将进货单价为8元的商品按10元/个销售时，每天可卖出100个，若此商品的销售单价涨1元，日销售量就减少10个，为了获取最大利润，此商品的销售单价应定为________元．解析：设销售单价应涨x 元， 则实际销售单价为(10＋x )元， 此时日销售量为(100－10x )个，每个商品的利润为(10＋x )－8＝2＋x (元)， ∴总利润y ＝(2＋x )(100－10x )＝－10x 2＋80x ＋200 ＝－10(x －4)2＋360(0＜x ＜10，且x ∈N *) ∴当x ＝4时y 有最大值，此时单价为14元． 答案：147．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v 米/秒和燃料的质量M 千克、火箭(除燃料外)的质量m 千克的函数关系式是v ＝2000·ln ⎝⎛⎭⎫1＋Mm .当燃烧质量是火箭质量的________倍时，火箭的最大速度可达12千米/秒． 解析：当v ＝12 000时，2 000·ln ⎝⎛⎭⎫1＋Mm ＝12 000， ∴ln ⎝⎛⎭⎫1＋M m ＝6，∴Mm ＝e 6－1. 答案：e 6－18．某合资企业2011年的产值达200万美元，2016年的产值达6 400万美元，则平均每年增长的百分率为________．解析：设增长的百分率为x ，∵200(1＋x )5＝6 400， ∴(1＋x )5＝32，∴x ＝1. 答案：100%9．某学校准备购买一批电脑，在购买前进行的市场调查显示：在相同品牌、质量与售后服务的条件下，甲、乙两公司的报价都是每台6000元．甲公司的优惠条件是购买10台以上的，从第11台开始按报价的七折计算，乙公司的优惠条件是均按八五折计算．(1)分别写出在两公司购买电脑的总费用y 甲，y 乙与购买台数x 之间的函数关系式； (2)根据购买的台数，你认为学校应选择哪家公司更合算？解：(1)由题意知，y 甲＝⎩⎪⎨⎪⎧6 000x ，0≤x ≤10，4 200x ＋18 000，x ≥11，y 乙＝5 100x (x ∈N)．(2)当x ≤10时，显然y 甲＞y 乙；当x ＞10时，令y 甲＞y 乙，即4 200x ＋18 000＞5 100x ，解得x＜20.所以当购买的台数不超过20台时，应选择乙公司，当购买台数超过20台时，应选择甲公司．10.某医疗研究所开发一种新药，如果成人按规定的计量服用，据监测：服药后每毫升血液中含药量y (μg )与时间t (h )之间近似满足如图所示的曲线．(1)写出服药后y 与t 之间的函数关系式； (2)据测定：每毫升血液中含药量不少于4μg 时治疗疾病有效，假若某病人一天中第一次服药为上午7：00，问一天中怎样安排服药时间(共4次)效果最佳？解：(1)依题意得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧6t ，0≤t ≤1，－23t ＋203，1<t ≤10.(2)设第二次服药时在第一次服药后t 1小时， 则－23t 1＋203＝4，解得t 1＝4，因而第二次服药应在11：00.设第三次服药在第一次服药后t 2小时，则此时血液中含药量应为前两次服药后的含药量的和， 即有－23t 2＋203－23(t 2－4)＋203＝4，解得t 2＝9小时，故第三次服药应在16：00.设第四次服药在第一次服药后t 3小时(t 3>10)， 则此时第一次服进的药已吸收完，血液中含药量应为第二、第三次的和－23(t 3－4)＋203－23(t 3－9)＋203＝4，解得t 3＝13.5小时，故第四次服药应在20：30.层级二 应试能力达标1．某工厂一年中12月份的产量是1月份产量的m 倍，那么该工厂这一年中的月平均增长率是( )A.m11 B.m 12 C.12m －1D.11m －1解析：选D 设该厂1月份产量为a ，这一年中月平均增长率为x ，则a (1＋x )11＝ma ，解得x ＝11m －1.2．春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂．已知每一天荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，且荷叶20天可以完全长满池塘水面．当荷叶覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了( )A ．10天B ．15天C ．19天D ．2天解析：选C 荷叶覆盖水面面积y 与生长时间x 的函数关系式为y ＝2x .当x ＝20时，长满水面，所以生长19天时，布满水面一半．3．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L 1＝5.06x －0.15x 2和L 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为( )A ．45.606 万元B ．45.6 万元C ．45.56 万元D ．45.51 万元解析：选B 设该公司在甲地销售x 辆，则在乙地销售(15－x )辆，利润为L (x )＝5.06x －0.15x 2＋2(15－x )＝－0.15x 2＋3.06x ＋30＝－0.15⎝⎛⎭⎫x －153152＋0.15×1532225＋30，由于x 为整数，所以当x ＝10时，L (x )取最大值L (10)＝45.6，即能获得的最大利润为45.6万元．4．某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n 次涨停(每次上涨10%)，又经历了n 次跌停(每次下跌10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为( )A ．略有盈利B ．略有亏损C ．没有盈利也没有亏损D ．无法判断盈亏情况解析：选B 设该股民购这支股票的价格为a ，则经历n 次涨停后的价格为a (1＋10%)n ＝a ×1.1n ，经历n 次跌停后的价格为a ×1.1n ×(1－10%)n ＝a ×1.1n ×0.9n ＝a ×(1.1×0.9)n ＝0.99n ·a ＜a ，故该股民这支股票略有亏损．5．某商人购货，进价已按原价a 扣去25%.他希望对货物订一新价，以便按新价让利20%销售后仍可获得售价25%的纯利，则此商人经营这种货物的件数x 与按新价让利总额y 之间的函数关系式是________．解析：设新价为b ，则售价为b (1－20%)． 因为原价为a ，所以进价为a (1－25%)．依题意， 有b (1－20%)－a (1－25%)＝b (1－20%)·25%， 化简，得b ＝54a .∴y ＝b ·20%·x ＝54a ·20%·x ，即y ＝a4x (x ∈N ＋)．答案：y ＝a4x (x ∈N ＋)6．为了预防甲流的发生，某学校决定对教室用药熏消毒法进行消毒，根据药学原理，从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)之间的函数关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧10t ，0≤t ≤0.1，⎝⎛⎭⎫116t －0.1，t ＞0.1.据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室学习．那么从药物释放开始，至少需要经过________小时后，学生才能回到教室．解析：由题意可得y ≤0.25＝14，即得⎩⎪⎨⎪⎧ 10t ≤14，0≤t ≤0.1或⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫116t －0.1≤14，t ＞0.1，得0≤t ≤140，或t ≥0.6.因为前0.1个小时药物浓度是逐渐增大的，故至少需要经过0.6小时后才可回教室．答案：0.67．2014年第17届亚运会在韩国仁川举行．某特许专营店销售运动会纪念章，每枚进价为5元，同时每销售一枚这种纪念章还需向运动会管理处交特许经营管理费2元，预计这种纪念章以每枚20元的价格销售时该店一年可销售2000枚，经过市场调研发现每枚纪念章的销售价格在每枚20元的基础上每减少一元则增加销售400枚，而每增加一元则减少销售100枚，现设每枚纪念章的销售价格为x (元)．(1)写出该特许专营店一年内销售这种纪念章所获得的利润y (元)与每枚纪念章的销售价格x 的函数关系式(并写出这个函数的定义域)；(2)当每枚纪念章销售价格x 为多少元时，该特许专营店一年内利润y (元)最大，并求出这个最大值．解：(1)依题意得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧[2 000＋400(20－x )](x －7)，0＜x ≤20，[2 000－100(x －20)](x －7)，20＜x ＜40. ∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧400(25－x )(x －7)，0＜x ≤20，100(40－x )(x －7)，20＜x ＜40.此函数的定义域为(0,40)．(2)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧400[－(x －16)2＋81]，0＜x ≤20，100⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫x －4722＋1 0894，20＜x ＜40.当0＜x ≤20，则当x ＝16时，y max ＝32 400(元)． 当20＜x ＜40，则当x ＝472时，y max ＝27 225(元)综上可得当x ＝16时，该特许专营店获得的利润最大为32 400元．8．某学习小组在暑期社会实践活动中，通过对某商场一种品牌服装销售情况的调查发现：该服装在过去的一个月内(以30天计)每件的销售价格P (x )(百元)与时间x (天)的函数关系近似满足P (x )＝1＋kx (k 为正常数)，日销售量Q (x )(件)与时间x (天)的部分数据如下表所示：已知第10(1)求k 的值．(2)给出以下四种函数模型：①Q (x )＝ax ＋b ，②Q (x )＝a |x －25|＋b ，③Q (x )＝a ·b x ，④Q (x )＝a ·l og b x .请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述日销售量Q (x )(件)与时间x (天)的变化关系，并求出该函数的解析式．(3)求该服装的日销售收入f (x )(1≤x ≤30，x ∈N *)(百元)的最小值．解：(1)依题意知第10天的日销售收入为P (10)·Q (10)＝⎝⎛⎭⎫1＋k10×110＝121，解得k ＝1. (2)由表中的数据知，当时间变化时，日销售量有增有减并不单调，故只能选②Q (x )＝a |x －25|＋b .从表中任意取两组值代入可求得Q (x )＝125－|x －25|(1≤x ≤30，x ∈N *)．(3)由(2)知Q (x )＝125－|x －25|＝⎩⎪⎨⎪⎧100＋x (1≤x ＜25，x ∈N *)，150－x (25≤x ≤30，x ∈N *)，∴f (x )＝P (x )·Q (x )＝⎩⎨⎧x ＋100x ＋101(1≤x ＜25，x ∈N *)，150x －x ＋149(25≤x ≤30，x ∈N *).当1≤x ＜25时，y ＝x ＋100x 在[1,10]上是减函数，在[10,25)上是增函数，所以当x ＝10时，f (x )取得最小值，f (x )min ＝121；当25≤x ≤30时，y ＝150x －x 为减函数，所以当x ＝30时，f (x )取得最小值，f (x )min ＝124.综上所述，当x ＝10时，f (x )取得最小值，f (x )min ＝121. 从而，该服装的日销售收入的最小值为121百元．。