无锡新领航教育特供：【三维设计】(江苏专版)2013高中数学二轮专题 第一部分 专题8配套专题检

小升初 中高考 高二会考 艺考生文化课 一对一辅导/wxxlhjy QQ:157171090无锡新领航教育特供：【三维设计】（江苏专版）2013高中数学二轮专题 第一部分 专题9配套专题检测1．在等差数列{a n }中，设S 1＝a 1＋a 2＋…＋a n ，S 2＝a n ＋1＋a n ＋2＋…＋a 2n ，S 3＝a 2n ＋1＋a 2n ＋2＋…＋a 3n ，则S 1，S 2，S 3关系为________．解析：S 1＝S n ，S 2＝S 2n －S n ，S 3＝S 3n －S 2n ，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等差数列． 答案：等差数列2．(2012·南京第一次模拟)记等比数列{a m }的前n 项积为T n (n ∈N *)，已知a m －1a m ＋1－2a m ＝0，且T 2m －1＝128，则m ＝________.解析：因为{a m }为等比数列，所以a m －1·a m ＋1＝a 2m .又由a m －1a m ＋1－2a m ＝0，得a m ＝2.则T 2m －1＝a 2m －1m ，所以22m －1＝128，m ＝4. 答案：43．在等比数列{a n }中，a 1＝2，前n 项和为S n ，若数列{a n ＋1}也是等比数列，则S n 等于________．解析：因数列{a n }为等比数列，则a n ＝2qn －1，因数列{a n ＋1}也是等比数列，则3,2q ＋1,2q 2＋1成等比数列，(2q ＋1)2＝3×(2q 2＋1)，即q 2－2q ＋1＝0⇒q ＝1，即a n ＝2，所以S n ＝2n .答案：2n4．设f (n )＝2＋24＋27＋210＋…＋23n ＋10(n ∈N)，则f (n )等于________． 解析：f (n )＝2[1－23n ＋4]1－23＝27(8n ＋4－1)． 答案：27(8n ＋4－1) 5．弹子跳棋共有60颗大小相同的球形弹子，现在棋盘上将它叠成正四面体球垛，使剩下的弹子尽可能的少，那么剩下的弹子有________个．解析：参考公式12＋22＋…＋n 2＝n n ＋12n ＋16.依题意第k 层正四面体有1＋2＋3＋…＋k ＝k k ＋12＝k 2＋k 2个，则前k 层共有12(12＋22＋…＋k 2)＋12(1＋2＋…＋k )＝k k ＋1k ＋26≤60，k 最大为6，剩4.答案：4 6．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 4－a 2＝8，a 3＋a 5＝26，记T n ＝S n n2，如果存在正整数M ，使得对一切正整数n ，T n ≤M 都成立．则M 的最小值是________．。

小升初 中高考 高二会考 艺考生文化课 一对一辅导/wxxlhjy QQ:157171090无锡新领航教育特供：【三维设计】（江苏专版）2013高中数学二轮专题 第一部分 专题17配套专题检测1.(2012·苏北四市三模)如图，圆O 的直径AB ＝4，C 为圆周上一点，BC ＝2，过C 作圆O 的切线l ，过A 作l 的垂线AD 分别与直线l ，圆O 交于点D ，E ，求线段AE 的长．解：在Rt △ABC 中，因为AB ＝4，BC ＝2，所以∠ABC ＝60°，因为l 为过C 的切线，所以∠DCA ＝∠CBA ，所以∠DCA ＝∠ABC ＝60°.又因为AD ⊥DC ，所以∠DAC ＝30°.在△AOE 中，因为∠EAO ＝∠DAC ＋∠CAB ＝60°，且OE ＝OA ，所以AE ＝AO ＝12AB ＝2. 2.如图，⊙O 的直径AB 的延长线与弦CD 的延长线相交于点P ，E 为⊙O 上一点，AE ＝AC ，求证：∠PDE ＝∠POC .证明：因AE ＝AC ，AB 为直径，故∠OAC ＝∠OAE .所以∠POC ＝∠OAC ＋∠OCA＝∠OAE ＋∠OAC ＝∠EAC .又∠EAC ＝∠PDE ，所以∠PDE ＝∠POC .3．(2012·扬州期末)求矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 4 2 6的特征值和特征向量． 解：f (λ)＝(λ＋1)(λ－6)－8＝λ2－5λ－14＝(λ－7)(λ＋2)，由f (λ)＝0，可得λ1＝7，λ2＝－2.由⎩⎪⎨⎪⎧ 7＋1x －4y ＝0，－2x ＋7－6y ＝0可得属于λ1＝7的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12. 由⎩⎪⎨⎪⎧ －2＋1x －4y ＝0，－2x ＋－2－6y ＝0可得属于λ1＝－2的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 4－1. 4．(2012·南通二模)已知M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 22 1，β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤17，计算M 5β.。

小升初 中高考 高二会考 艺考生文化课 一对一辅导/wxxlhjy QQ:157171090无锡新领航教育特供：【三维设计】（江苏专版）2013高中数学二轮专题 第一部分 专题12配套专题检测1．已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，给出下列命题：①若α∥β，则l ⊥m ；②若α⊥β，则l ∥m ；③若l ∥m ，则α⊥β；④若l ⊥m ，则α∥β.其中正确命题的序号是________．解析：②中l 与m 可能异面；④中α与β也可能相交．答案：①③2．已知PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且△PAB ，△PBC ，△PAC 的面积分别为1.5 cm 2,2 cm 2,6 cm 2，则过P ，A ，B ，C 四点的外接球的表面积为________ cm 2.(注S 球＝4πr 2，其中r 为球半径)解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 12PA ·PB ＝1.5，12PB ·PC ＝2，12PC ·PA ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧ PA ＝3，PB ＝1，PC ＝4. 因为PA ，PB ，PC 两两互相垂直，所以可构造长方体．长方体的体对角线长为26，即为外接球的直径，所以外接球的表面积为26π.答案：26π 3．(2012·苏州二模)设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列命题：①若α∥β，m ⊂β，n ⊂α，则m ∥n ；②若α∥β，m ⊥β，n ∥α，则m ⊥n ；③若α⊥β，m ⊥α，n ∥β，则m ∥n ；④若α⊥β，m ⊥α，n ⊥β，则m ⊥n .上面命题中，所有真命题的序号为________．解析：①③中的直线m 与n 可以是异面直线．答案：②④4．多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的顶点，正方体的一个顶点A 在平面α内，其余顶点在α的同侧，正方体上与顶点A 相邻的三个顶点到α的距离分别为1,2和4，P 是正方体的其余四个顶点中的一个，则P 到平面α的距离可能是：①3；②4；③5；④6；⑤7。

小升初 中高考 高二会考 艺考生文化课 一对一辅导/wxxlhjy QQ:157171090无锡新领航教育特供：【三维设计】（江苏专版）2013高中数学二轮专题 第一部分 专题11配套专题检测1．设0<a <b ，a ＋b ＝1，则12，b,2ab ，a 2＋b 2中最大的是________．解析：0<a <b ，a ＋b ＝1，得0<a <12，12<b <1，又2ab ≤a 2＋b 2，b －(a 2＋b 2)＝b －b 2－(1－b )2＝(2b －1)(1－b )>0，所以b 最大．答案：b2．已知函数f (x )＝|lg x |.若a ≠b 且f (a )＝f (b )，则a ＋b 的取值范围是________． 解析：因为f (a )＝f (b )，所以|lg a |＝|lg b |，所以a ＝b (舍去)或b ＝1a，所以a ＋b＝a ＋1a ，又0<a <b ，所以0<a <1<b ，又g (a )＝a ＋1a在(0,1)上为减函数，所以g (a )>g (1)＝1＋1＝2，即a ＋b 的取值范围是(2，＋∞)．答案：(2，＋∞)3．已知点O 是坐标原点，点A (－1,1)，若点M (x ，y )为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，x ≤1，y ≤2上的一个动点，则 OA ·OM 的取值范围是________．解析：区域为三角形区域，三个顶点坐标分别为(0,2)，(1,1)，(1,2)， OA ·OM＝－x ＋y ∈[0,2]．答案：[0,2]4．若实数a ，b ，c 满足2a＋2b＝2a ＋b,2a＋2b ＋2c ＝2a ＋b ＋c，则c 的最大值是________．解析：∵2a ＋b＝2a ＋2b ≥22a ＋b，∴2a ＋b≥4， 又∵2a＋2b＋2c＝2a ＋b ＋c，∴2a ＋b＋2c＝2a ＋b·2c，∴2c2c －1＝2a ＋b≥4，即2c2c －1≥4，即4－3×2c 2c －1≥0， ∴2c≤43，∴c ≤log 243＝2－log 23，∴c 的最大值为2－log 23.答案：2－log 235．已知a ，b 为正数，且直线2x －(b －3)y ＋6＝0与直线bx ＋ay －5＝0互相垂直，则2a ＋3b 的最小值为________．。

小升初 中高考 高二会考 艺考生文化课 一对一辅导/wxxlhjy QQ:157171090无锡新领航教育特供：【三维设计】（江苏专版）2013高中数学二轮专题 第一部分 专题4配套专题检测1．若存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x －9都相切，则实数a 的取值为________．解析：设过(1,0)的直线与y ＝x 3相切于点(x 0，x 30)，所以切线方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)，即y ＝3x 20x －2x 30，又(1,0)在切线上，则x 0＝0或x 0＝32， 当x 0＝0时，由y ＝0与y ＝ax 2＋154x －9相切可得a ＝－2564，当x 0＝32时，由y ＝274x －274与y ＝ax 2＋154x －9相切可得a ＝1. 答案：－2564或1 2．设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，则点P 横坐标的取值范围为________． 解析：由曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4.可得曲线C 在点P 处切线的斜率范围为[0,1]，又y ′＝2x ＋2，设点P 的横坐标为x 0，则0≤2x 0＋2≤1，解得－1≤x 0≤－12. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－12 3．(2012·启东期末)若函数f (x )＝13x 3－12ax 2＋(a －1)·x ＋1在区间(1,4)上是减函数，在区间(6，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝x 2－ax ＋(a －1)，令f ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝a －1，结合图象知4≤a －1≤6，故a ∈[5,7]．答案：[5,7]4．(2012·通州中学期末)已知函数f (x )＝ln x －12ax 2－2x (a ≠0)存在单调递减区间，则实数a 的取值范围是________． 解析：f ′(x )＝1x －ax －2＝－ax 2＋2x －1x .因为函数f ′(x )存在单调递减区间，所以。

小升初 中高考 高二会考 艺考生文化课 一对一辅导/wxxlhjy QQ:157171090 无锡新领航教育特供：【三维设计】（江苏专版）2013高中数学二轮专题 第一部分 专题3配套专题检测一、填空题1．(2012·南通调研)设P 是函数y ＝x (x ＋1)图象上异于原点的动点，且该图象在点P 处的切线的倾斜角为θ，则θ的取值范围是________． 解析：依题意得，y ＝x 32＋x 12，y ′＝32x 12＋12x －12 (x >0)，当x >0时，y ′＝32x 12＋ 12x －12≥2 32x 12×12x －12＝ 3，即该图象在点P 处的切线的斜率不小于3，即tan θ≥ 3.又θ∈[0，π)，因此π3≤θ＜π2，即θ的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，π2. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，π2 2．若方程ln x －2x －a ＝0有两个不等的实数根，则实数a 的取值范围是________． 解析：作出y ＝ln x 和y ＝2x ＋a 的图象，分析方程ln x －2x －a ＝0，有两个不等的实数根问题，即是研究y ＝ln x 和y ＝2x ＋a 的图象交点问题，如图可知，y ＝2x ＋a 与y ＝ln x 相切时，a ＝－1－ln 2，只要a <－1－ln 2，图象都有两个不等的交点， 即a ∈(－∞，－1－ln 2)．答案：(－∞，－1－ln 2)3．若函数f (x )＝3x＋ln x 在区间(m ，m ＋2)上单调递减，则实数m 的范围是________． 解析：由f (x )＝3x ＋ln x ，得f ′(x )＝－3x 2＋1x ＝x －3x2，由f ′(x )<0得0<x <3，所以f (x )的减区间是(0,3]．由(m ，m ＋2)⊆(0,3]得0≤m ≤1.答案：[0,1]4．f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极值10，则a ＝________，b ＝________. 解析：f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧ f ′1＝0，f 1＝10，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋b ＝－3，a 2＋a ＋b ＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝－11.经检验，当a ＝－3，b ＝3时，x ＝1不是极值点；当a ＝4，b ＝－11时，符合题意．。

小升初 中高考 高二会考 艺考生文化课 一对一辅导/wxxlhjy QQ:157171090无锡新领航教育特供：【三维设计】（江苏专版）2013高中数学二轮专题 第一部分 专题6配套专题检测1．把函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，φ为锐角)的图象沿x 轴向右平移π8个单位长度或向左平移3π8个单位长度都可以得到g (x )的图象，若g (x )为奇函数，则函数f (x )的图象的对称轴方程为________．解析：根据题意可以画出函数f (x )的部分草图，如图所示．故易知函数f (x )的一条对称轴应为y 轴，其方程为x ＝0，再结合函数的周期性，可得所求的对称轴方程为x ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8－－π8·k ＋0(k ∈Z)，即x ＝k π4(k ∈Z)． 答案：x ＝k π4(k ∈Z)2．已知函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值等于________．解析：∵f (x )＝2sin ωx (ω>0)的最小值是－2时，x ＝2k πω－π2ω(k ∈Z)， ∴－π3≤2k πω－π2ω≤π4. ∴ω≥－6k ＋32且ω≥8k －2.∴ωmin ＝32. 答案：323．(2012·盐城第二次模拟)函数f (x )＝sin 2x sin π6－cos 2x cos 5π6在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上的单调递增区间为________．解析：依题意得f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，当2k π－π≤2x －π6≤2k π，即k π－5π12≤x ≤k π＋π12， 其中k ∈Z 时，函数f (x )是增函数，因此函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12，π12.。

小升初 中高考 高二会考 艺考生文化课 一对一辅导/wxxlhjy QQ:157171090无锡新领航教育特供：【三维设计】（江苏专版）2013高中数学二轮专题 第二部分 专题1配套专题检测1．已知圆x 2＋y 2＝4，则经过点P (2,4)，且与圆相切的直线方程为________．解析：由22＋42>4得点P 在圆x 2＋y 2＝4外，由几何性质分析知过点P 且与圆相切的直线有两条，设直线斜率为k ，则切线方程为y －4＝k (x －2)，由圆心到切线的距离为2，解得k ＝34.由此可知斜率不存在时也满足题意，解得切线方程为3x －4y ＋10＝0或x ＝2. 答案：3x －4y ＋10＝0或x ＝22．△ABC 中，已知sin A ＝12，cos B ＝513，则cos C ＝________. 解析：∵0<cos B ＝513<22，且B 为△ABC 的一个内角， ∴45°<B <90°，且sin B ＝1213. 若A 为锐角，由sin A ＝12，得A ＝30°，此时cos A ＝32. 若A 为钝角，由sin A ＝12，得A ＝150°，此时A ＋B >180°，这与三角形的内角和为180°相矛盾，可见A ≠150°.∴cos C ＝cos[π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B )＝－[cos A ·cos B －sin A ·sin B ]＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤32·513－12·1213＝12－5326. 答案：12－53263．若函数f (x )＝13(a －1)x 3＋12ax 2－14x ＋15在其定义域内有极值点，则a 的取值范围为________．解析：由题意得f ′(x )＝(a －1)x 2＋ax －14＝0有解． 当a －1＝0时，满足；当a －1≠0时，只需Δ＝a 2＋(a －1)>0.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1－52∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋52，＋∞。

小升初 中高考 高二会考 艺考生文化课 一对一辅导/wxxlhjy QQ:157171090 无锡新领航教育特供：【三维设计】（江苏专版）2013高中数学二轮专题 第一部分 专题19配套专题检测1.(2012·苏北四市三模)在三棱锥S —ABC 中，底面是边长为23的正三角形，点S 在底面ABC 上的射影O 恰是BC 的中点，侧棱SA 和底面成45°角．(1) 若D 为侧棱SA 上一点，当SD DA 为何值时，BD ⊥AC ；(2) 求二面角S —AC —B 的余弦值大小．解：以O 点为原点，OC 为x 轴，OA 为y 轴，OS 为z 轴建立空间直角坐标系．因为△ABC 是边长为23的正三角形，又SA 与底面所成角为45°，所以∠SAO ＝45°.所以SO ＝AO ＝3.所以O (0,0,0)，C (3，0,0)，A (0,3,0)，S (0,0,3)，B (－3，0，0)．(1)设AD ＝a ，则D ⎝⎛⎭⎪⎫0，3－22a ，22a ，所以 BD ＝ ⎝⎛⎭⎪⎫3，3－22a ，22a ， AC ＝(3，－3,0)．若BD ⊥AC ，则 BD · AC ＝3－3⎝⎛⎭⎪⎫3－22a ＝0，解得a ＝22，而AS ＝32，所以SD ＝ 2.所以SD DA ＝222＝12. (2)因为 AS ＝(0，－3,3)， BC ＝(23，0,0)．设平面ACS 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧ n 1· AC ＝x ，y ，z ·3，－3，0＝3x －3y ＝0，n 1· AS ＝x ，y ，z ·0，－3，3＝－3y ＋3z ＝0，令z ＝1，则x ＝3，y ＝1，所以n 1＝(3，1,1)．而平面ABC 的法向量为n 2＝(0,0,1)，所以cos 〈n 1，n 2〉＝3×0＋1×0＋1×112＋12＋32·1＝15，显然所求二面角的平面角为锐角，。