高中数学三维设计人教A版浙江专版必修5：课时跟踪检测(二) 余弦定理

课时作业2 余弦定理时间：45分钟 分值：100分一、选择题(每小题6分，共计36分)1．在△ABC 中，a ＝4，b ＝4，C ＝30°，则c 2等于( ) A ．32－16 3 B ．32＋16 3 C ．16D ．48解析：由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝42＋42－2× 4×4×32＝32－16 3. 答案：A2．在△ABC 中，a 2－c 2＋b 2＝－3ab ，则角C ＝( ) A ．60° B ．45°或135° C ．150°D ．30°解析：cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－3ab 2ab ＝－32.∵0°<C <180°，∴C ＝150°. 答案：C3．在△ABC 中，a ＝7，b ＝43，c ＝13，则△ABC 的最小角为( ) A.π3 B.π6C.π4D.π12解析：∵c <b <a ， ∴最小角为角C .∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝49＋48－132×7×43＝32.∴C ＝π6，故选B.答案：B4．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 满足b 2＝ac ，且c ＝2a ，则cos B ＝( )A.14B.34C.24D.23解析：因为b 2＝ac 且c ＝2a ，由余弦定理：cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac ＝a 2＋4a 2－2a 24a2＝34，故选B. 答案：B5．在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝7，则AB →·AC →等于( ) A.152B ．－152C.1532D ．15解析：∵cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝52＋32－722×5×3＝－12，∴AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|·cos A ＝5×3×(－12)＝－152，故选B.答案：B6．△ABC 中，下列结论：①a 2>b 2＋c 2，则△ABC 为钝角三角形；②a 2＝b 2＋c 2＋bc ，则A 为60°；③a 2＋b 2>c 2，则△ABC 为锐角三角形；④若A :B :C ＝1:2:3，则a :b :c ＝1:2:3，其中正确的个数为( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：①∵cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc<0，∴A 为钝角，正确；②∵cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－12，∴A ＝120°，错误；③∵cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab>0，∴C 为锐角，但A 或B 不一定为锐角，错误； ④∵A ＝30°，B ＝60°，C ＝90°， ∴a :b :c ＝1:3:2，错误．故选A. 答案：A二、填空题(每小题8分，共计24分)7．在△ABC 中，a 2＋b 2<c 2，且sin C ＝32，则C ＝________. 解析：由余弦定理cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab<0，知C 是钝角．∴由sin C ＝32得C ＝120°. 答案：120°8．已知等腰三角形的底边长为6，一腰长为12，则顶角的余弦值为________．解析：设顶角为A ，则cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝122＋122－622×12×12＝78.答案：789．在锐角△ABC 中，边长a ＝1，b ＝2，则边长c 的取值范围是________． 解析：∵c 2＝a 2＋b 2－2ab ·cos C ＝1＋4－4cos C ＝5－4cos C ， 又∵0<C <π2，∴cos C ∈(0,1)．∴c 2∈(1,5)． ∴c ∈(1，5)． 答案：(1，5) 三、解答题(共计40分)10．(10分)在△ABC 中，C ＝2A ，a ＋c ＝10，cos A ＝34，求b .解：由正弦定理得c a ＝sin C sin A ＝sin2A sin A＝2cos A ， ∴c a ＝32.又a ＋c ＝10，∴a ＝4，c ＝6. 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得b 2＋2012b ＝34，∴b ＝4或b ＝5.当b ＝4时，∵a ＝4，∴A ＝B . 又C ＝2A ，且A ＋B ＋C ＝π，∴A ＝π4，与已知cos A ＝34矛盾，不合题意，舍去．当b ＝5时，满足题意，∴b ＝5.11．(15分)(2012·浙江卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b sin A＝3a cos B .(1)求角B 的大小；(2)若b ＝3，sin C ＝2sin A ，求a ，c 的值．解：(1)由b sin A ＝3a cos B 及正弦定理a sin A ＝bsin B ，得sin B ＝3cos B .所以tan B ＝3，所以B ＝π3.(2)由sin C ＝2sin A 及a sin A ＝csin C，得c ＝2a .由b ＝3及余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得9＝a 2＋c 2－ac . 所以a ＝3，c ＝2 3.12．(15分)在△ABC 中，a ＋b ＝10，而cos C 的值是方程2x 2－3x －2＝0的一个根，求三角形周长的最小值．解：设三角形的另一边是c ，方程2x 2－3x －2＝0的根是x ＝－12或x ＝2.∵－1＜co s C ＜1，∴cos C ＝－12.由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2－2ab (－12)＝(a ＋b )2－ab ＝100－ab ＝100－a ·(10－a ) ＝100＋a 2－10a ＝75＋(a －5)2.要使三角形的周长最小，只要c 最小，当a ＝5时，c 2最小，∴c 最小，c 的最小值是75＝53， ∴三角形周长的最小值是10＋5 3.。

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课时提升作业（二）余弦定理一、选择题（每小题5分，共25分）1.在ZSABC 中，边 a, b, c 所对的角分别为 A, B, C, b 二3, c 二5, A 二 120。

,则 a=（）【解析】选 A. a 2=b 2+c 2-2bccosA=9+25- 2x 3x 5c os 120° =49 ,所以 a=7・2•在ZXABC 中，a=3, b 二&, c 二2,那么角 B 等于（ ）A. 30°B. 45°C. 60°D. 120°【解析】选C. cosB=所以B=60°・3. （2015 -吉林高二检测）在AABC 中，内角A, B, C 的对边分别是/ b, c,若 a 2-b 2=V*3bc, sinC=2\3sinB,则 A=（ ）60分）A. 7B. V19C. 49D. 1925分钟基础练、 （25分钟AABC ( )A. 一定是锐角三角形B. —定是直角三角形C. 一定是钝角三角形D.是锐角或直角三角形 【解析】选C.& [b 「・〈0 ,即cosC<0・因为 0。

«180° ，所以 90。

«180° ・所以△ ABC 为钝角三角形.【补偿训练】在 Z\ABC 中,si nA : sinB : sinC=3 ： 5 ： 7, jUljAABC 是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.无法确定【解析】选C.由正弦定理，得 a : b : c 二sinA : sinB : sinC 二3 : 5 : 7・设 a=3k , b=5k , c=7k( k>0),由于c>b>a ,故角(：是公ABC 中最大的角，因为2ab 2x5kx3k=4<o ，所以090° ,即公ABC 为钝角三角形5•在ZSABC 中，已知 AB 二7, BC 二5, AC 二6,则AB • BC 等于( ) A. 30° B. 60° D.150°C. 120° 【解析】选A.由余弦定理得 :cosA= “,由题知 b 2-a 2=-V'3bc , c 2=2V3bc ,则 cos A 二莒,又 0° <A<180° ,所以 A=30° ・4•在AABC 中，角A, B, C 的对边分别为a, b, c,若二^竺>0,则 ZabA. 19B.-14C.-18D.-19【解析】选D.设公ABC三边分别为a , b , c ,则a=5 f b=6 , c二7 , cos羽號异曙’所以晶-BC=7x 5x〔-曙)T9・二、填空题(每小题5分，共15分)6.在AABC 中,若(a-c) (a+c) =b (b+c),则A=【解析】因为(a-c) (a+c) =b( b+c),所以 a 2- c 2=b 2+bc ,即 b 2+c 2- a 2=- be.所以COS 啓心“ -be 1答案:120°7•如图，在Z\ABC 中，点 D 在 AC ±, AB 丄BD, BC=3V3, BD 二5, sin ZABC 二手，则CD 的长度等于 ________ •【解析】由题意可得 sinZ.ABC=^=sinf + Z.CBD j=cosZ_CBD , 再根据余弦定理可得CC?=BC 2+BD?- 2BC ・BD ・cos 乙CBt>27+25・2x 3<3X 5x 筈=16 , 可得CD=4.答案：48-（2°15 •北京高考）在SC 中，a=4, b=5,皿则鑑二 -------------- •【解题指南】利用二倍公式展开si n 2A ,再利用正余弦定理角化边. ©2十［解析］8in2A -2slnAcosA -2abe 2 2bc 2bc 2因为 0° <A<180° ，所以 A=120° .sine sinea{b 24c 2 - a 2 )4+-4C答案：1 三、解答题（每小题10分，共20分）9. （2015 -济宁高二检测）设锐角AABC的内角A, B, C的对边分别为A B __申sin^ADBsinB 由正弦定理得 于是AB=竺竺i 竺 slnEWsln6Q ； sin45*a, b, c,.目.有 a 二2bsinA.(1) 求B 的大小.⑵若 a=3V3, c=5,求 b.【解析】(1)由a=2bsinA ,根据正弦定理得si nA=2si nBsi nA,所以si /由于△ ABC 是锐角三角形，所以皑・(2) 根据余弦定理,得b 2=a 2+c 2- 2accos B=27+25- 45=7 ,所以b=V7・10. (2015 •天津高一检测)如图，在AABC 中，已知B 二45。

2017-2018学年高中数学三维设计人教A版浙江专版必修5讲义：第二章-2.2-等差数列-Word 版含答案等差数列第一课时等差数列的概念及通项公式预习课本P36～38，思考并完成以下问题(1)等差数列的定义是什么？如何判断一个数列是否为等差数列？(2)等差数列的通项公式是什么？(3)等差中项的定义是什么？[新知初探]1．等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前已知等差数列{a n}的首项为a1，公差为d.[点睛]由等差数列的通项公式a n＝a1＋(n －1)d可得a n＝dn＋(a1－d)，如果设p＝d，q＝a1－d，那么a n＝pn＋q，其中p，q是常数．当p≠0时，a n是关于n的一次函数；当p＝0时，a n＝q，等差数列为常数列．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列()(2)等差数列{a n}的单调性与公差d有关()(3)根据等差数列的通项公式，可以求出数列中的任意一项()(4)若三个数a，b，c满足2b＝a＋c，则a，b，c一定是等差数列()解析：(1)错误．若这些常数都相等，则这个数列是等差数列；若这些常数不全相等，则这个数列就不是等差数列．(2)正确．当d>0时为递增数列；d＝0时为常数列；d<0时为递减数列．(3)正确．只需将项数n代入即可求出数列中的任意一项．(4)正确．若a，b，c满足2b＝a＋c，即b －a＝c－b，故a，b，c为等差数列．答案：(1)×(2)√(3)√(4)√2．等差数列{a n}中，a1＝1，d＝3，a n＝298，则n的值等于()A．98B．100C ．99D ．101解析：选B a n ＝a 1＋(n －1)d ＝3n －2，令a n ＝298，即3n －2＝298⇒n ＝100.3．在等差数列{a n }中，若a 1·a 3＝8，a 2＝3，则公差d ＝( )A ．1B ．－1C ．±1D ．±2解析：选C 由已知得，⎩⎨⎧a 1(a 1＋2d )＝8，a 1＋d ＝3，解得d ＝±1.4．若log 32，log 3(2x －1)，log 3(2x ＋11)成等差数列．则x 的值为________．解析：由log 3(2x ＋11)－log 3(2x －1)＝log 3(2x －1)－log 32，得：(2x )2－4·2x －21＝0，∴2x ＝7，∴x ＝log 27.答案：log 27等差数列的通项公式及应用[典例] 在等差数列{a n }中，(1)已知a 5＝－1，a 8＝2，求a 1与d ；(2)已知a 1＋a 6＝12，a 4＝7，求a 9.[解] (1)∵a 5＝－1，a 8＝2，∴⎩⎨⎧ a 1＋4d ＝－1，a 1＋7d ＝2，解得⎩⎨⎧a 1＝－5，d ＝1. (2)设数列{a n }的公差为d .由已知得，⎩⎨⎧ a 1＋a 1＋5d ＝12，a 1＋3d ＝7，解得⎩⎨⎧a 1＝1，d ＝2. ∴a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1，∴a 9＝2×9－1＝17.在等差数列{a n }中，首项a 1与公差d 是两个[活学活用]1．2 016是等差数列4,6,8，…的()A．第1 006项 B．第1 007项C．第1 008项D．第1 009项解析：选B∵此等差数列的公差d＝2，∴a n＝4＋(n－1)×2，a n＝2n＋2，即2 016＝2n＋2，∴n＝1 007.2．已知等差数列{a n}中，a15＝33，a61＝217，试判断153是不是这个数列的项，如果是，是第几项？解：设首项为a1，公差为d，则a n＝a1＋(n －1)d，由已知⎩⎨⎧ a 1＋(15－1)d ＝33，a 1＋(61－1)d ＝217，解得⎩⎨⎧a 1＝－23，d ＝4. 所以a n ＝－23＋(n －1)×4＝4n －27，令a n ＝153，即4n －27＝153，解得n ＝45∈N *，所以153是所给数列的第45项. 等差中项的应用[典例] 已知等差数列{a n }，满足a 2＋a 3＋a 4＝18，a 2a 3a 4＝66.求数列{a n }的通项公式．[解] 在等差数列{a n }中，∵ a 2＋a 3＋a 4＝18，∴3a 3＝18，a 3＝6.∴⎩⎨⎧ a 2＋a 4＝12，a 2·a 4＝11，解得⎩⎨⎧ a 2＝11，a 4＝1或⎩⎨⎧a 2＝1，a 4＝11.当⎩⎨⎧a 2＝11，a 4＝1时，a 1＝16，d ＝－5. a n ＝a 1＋(n －1)d ＝16＋(n －1)·(－5)＝－5n ＋21.当⎩⎨⎧a 2＝1，a 4＝11时，a 1＝－4，d ＝5. a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－4＋(n －1)·5＝5n －9.三数a ，b ，c 成等差数列的条件是b ＝a ＋c 2(或2b ＝a ＋c )，可用来进行等差数列的判定或有关等差中项的计算问题．如若证{a n }为等差数列，可证2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)．[活学活用]1．已知数列8，a,2，b ，c 是等差数列，则a ，b ，c 的值分别为________，________，________.解析：因为8，a,2，b ，c 是等差数列，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 8＋2＝2a ，a ＋b ＝2×2，2＋c ＝2b .解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝5，b ＝－1，c ＝－4.答案：5 －1 －42．已知数列{a n }中，a 3＝2，a 7＝1，且数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n ＋1为等差数列，则a 5＝________. 解析：由数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n＋1为等差数列，则有1a 3＋1＋1a 7＋1＝2a 5＋1，可解得a 5＝75. 答案：75等差数列的判定与证明[典例] 已知数列{a n }满足a 1＝4，a n ＝4－4a n －1(n >1)，记b n ＝1a n －2.求证：数列{b n }是等差数列．证明：[法一 定义法]∵b n ＋1＝1a n ＋1－2＝1⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫4－4a n －2＝a n 2(a n －2)， ∴b n ＋1－b n ＝a n 2(a n －2)－1a n －2＝a n －22(a n －2)＝12，为常数(n ∈N *)． 又b 1＝1a 1－2＝12， ∴数列{b n }是首项为12，公差为12的等差数列． [法二 等差中项法]∵b n ＝1a n －2， ∴b n ＋1＝1a n ＋1－2＝1⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫4－4a n －2＝a n 2(a n －2). ∴b n ＋2＝a n ＋12(a n ＋1－2)＝4－4a n 2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫4－4a n －2＝a n －1a n －2.∴b n ＋b n ＋2－2b n ＋1＝1a n －2＋a n －1a n －2－2×a n 2(a n －2)＝0. ∴b n ＋b n ＋2＝2b n ＋1(n ∈N *)，∴数列{b n }是等差数列．等差数列判定的常用的2种方法(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (常数)(n ∈N *)⇔{a n }为等差数列．(2)等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)⇔{a n }为等差数列．[活学活用]已知1a ，1b ，1c 成等差数列，并且a ＋c ，a －c ，a ＋c －2b 均为正数，求证：lg(a ＋c )，lg(a －c )，lg(a ＋c －2b )也成等差数列．解：∵1a，1b，1c成等差数列，∴2b＝1a＋1c，∴2b＝a＋cac，即2ac＝b(a＋c)．(a＋c)(a＋c－2b)＝(a＋c)2－2b(a＋c)＝(a＋c)2－2×2ac＝a2＋c2＋2ac－4ac＝(a－c)2.∵a＋c，a＋c－2b，a－c均为正数，上式左右两边同时取对数得，lg[(a＋c)(a＋c－2b)]＝lg(a－c)2，即lg(a＋c)＋lg(a＋c－2b)＝2lg(a－c)，∴lg(a＋c)，lg(a－c)，lg(a＋c－2b)成等差数列．层级一学业水平达标1．已知等差数列{a n}的通项公式为a n＝3－2n，则它的公差为()A．2B．3C．－2 D．－3解析：选C∵a n＝3－2n＝1＋(n－1)×(－2)，∴d ＝－2，故选C.2．若等差数列{a n }中，已知a 1＝13，a 2＋a 5＝4，a n ＝35，则n ＝( )A ．50B ．51C ．52D ．53解析：选D 依题意，a 2＋a 5＝a 1＋d ＋a 1＋4d ＝4，代入a 1＝13，得d ＝23. 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝13＋(n －1)×23＝23n －13，令a n ＝35，解得n ＝53. 3．设x 是a 与b 的等差中项，x 2是a 2与－b 2的等差中项，则a ，b 的关系是( )A ．a ＝－bB ．a ＝3bC ．a ＝－b 或a ＝3bD ．a ＝b ＝0解析：选C 由等差中项的定义知：x ＝a ＋b 2，x 2＝a 2－b 22， ∴a 2－b 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，即a 2－2ab －3b 2＝0. 故a ＝－b 或a ＝3b .4．数列{a n }中，a 1＝2,2a n ＋1＝2a n ＋1，则a 2 015的值是( )A ．1 006B ．1 007C ．1 008D ．1 009 解析：选D 由2a n ＋1＝2a n ＋1，得a n ＋1－a n ＝12，所以{a n }是等差数列，首项a 1＝2，公差d ＝12， 所以a n ＝2＋12(n －1)＝n ＋32， 所以a 2 015＝2 015＋32＝1 009. 5．等差数列{a n }的首项为70，公差为－9，则这个数列中绝对值最小的一项为( )A ．a 8B ．a 9C ．a 10D ．a 11解析：选B |a n |＝|70＋(n －1)×(－9)|＝|79－9n |＝9⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪879－n ，∴n ＝9时，|a n |最小． 6．在等差数列{a n }中，a 3＝7，a 5＝a 2＋6，则a 6＝________.解析：设等差数列{a n }的公差为d ，由题意，得⎩⎨⎧ a 1＋2d ＝7，a 1＋4d ＝a 1＋d ＋6.解得⎩⎨⎧a 1＝3，d ＝2. ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝3＋(n －1)×2＝2n ＋1. ∴a 6＝2×6＋1＝13.答案：137．已知{a n }为等差数列，且a 7－2a 4＝－1，a 3＝0，则公差d ＝________.解析：根据题意得：a 7－2a 4＝a 1＋6d －2(a 1＋3d )＝－a 1＝－1， ∴a 1＝1.又a 3＝a 1＋2d ＝1＋2d ＝0，∴d ＝－12. 答案：－128．已知数列{a n }满足：a 2n ＋1＝a 2n ＋4，且a 1＝1，a n >0，则a n ＝________.解析：根据已知条件a 2n ＋1＝a 2n ＋4，即a 2n ＋1－a 2n ＝4.∴数列{a 2n }是公差为4的等差数列，则a 2n ＝a 21＋(n －1)×4＝4n －3.∵a n >0，∴a n ＝4n －3. 答案：4n －39．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝2a n a n ＋2，则数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n 是否为等差数列？说明理由．解：数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n 是等差数列，理由如下： 因为a 1＝2，a n ＋1＝2a n a n ＋2， 所以1a n ＋1＝a n ＋22a n ＝12＋1a n ， 所以1a n ＋1－1a n＝12(常数)． 所以⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n 是以1a 1＝12为首项，公差为12的等差数列．10．若1b ＋c ，1a ＋c ，1a ＋b是等差数列，求证：a 2，b 2，c 2成等差数列．证明：由已知得1b ＋c ＋1a ＋b ＝2a ＋c，通分有2b ＋a ＋c (b ＋c )(a ＋b )＝2a ＋c. 进一步变形有2(b ＋c )(a ＋b )＝(2b ＋a ＋c )(a ＋c )，整理，得a 2＋c 2＝2b 2，所以a 2，b 2，c 2成等差数列．层级二 应试能力达标1．若数列{a n }为等差数列，a p ＝q ，a q ＝p (p ≠q )，则a p ＋q 为( )A ．p ＋qB ．0C ．－(p ＋q ) D.p ＋q 2解析：选B ∵a p ＝a 1＋(p －1)d ，a q ＝a 1＋(q －1)d ，∴⎩⎨⎧a 1＋(p －1)d ＝q ， ①a 1＋(q －1)d ＝p . ② ①－②，得(p －q )d ＝q －p .∵p ≠q ，∴d ＝－1.代入①，有a 1＋(p －1)×(－1)＝q ，∴a 1＝p ＋q －1.∴a p ＋q ＝a 1＋(p ＋q －1)d ＝p ＋q －1＋(p ＋q －1)×(－1)＝0.2．已知x ≠y ，且两个数列x ，a 1，a 2，…，a m ，y 与x ，b 1，b 2，…，b n ，y 各自都成等差数列，则a 2－a 1b 2－b 1等于( ) A.m nB.m ＋1n ＋1C.n mD.n ＋1m ＋1解析：选D 设这两个等差数列公差分别是d 1，d 2，则a 2－a 1＝d 1，b 2－b 1＝d 2.第一个数列共(m ＋2)项，∴d 1＝y －x m ＋1；第二个数列共(n ＋2)项，∴d 2＝y －x n ＋1.这样可求出a 2－a 1b 2－b 1＝d 1d 2＝n ＋1m ＋1. 3．已知数列{a n }，对任意的n ∈N *，点P n (n ，a n )都在直线y ＝2x ＋1上，则{a n }为( )A ．公差为2的等差数列B ．公差为1的等差数列C ．公差为－2的等差数列D ．非等差数列解析：选A 由题意知a n ＝2n ＋1，∴a n ＋1－a n＝2，应选A.4．如果a1，a2，…，a8为各项都大于零的等差数列，且公差d≠0，则()A．a3a6>a4a5B．a3a6<a4a5C．a3＋a6>a4＋a5D．a3a6＝a4a5解析：选B由通项公式，得a3＝a1＋2d，a6＝a1＋5d，那么a3＋a6＝2a1＋7d，a3a6＝(a1＋2d)(a1＋5d)＝a21＋7a1d＋10d2，同理a4＋a5＝2a1＋7d，a4a5＝a21＋7a1d＋12d2，显然a3a6－a4a5＝－2d2<0，故选B.5．数列{a n}是首项为2，公差为3的等差数列，数列{b n}是首项为－2，公差为4的等差数列．若a n＝b n，则n的值为________．解析：a n＝2＋(n－1)×3＝3n－1，b n＝－2＋(n－1)×4＝4n－6，令a n＝b n，得3n－1＝4n－6，∴n＝5.答案：56．在数列{a n}中，a1＝3，且对于任意大于1的正整数n ，点(a n ， a n －1)都在直线x －y －3＝0上，则a n ＝________.解析：由题意得a n －a n －1＝3，所以数列{a n }是首项为3，公差为3的等差数列，所以a n ＝3n ，a n ＝3n 2.答案：3n 27．已知数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＝2a n －1＋2n (n ≥2，且∈N *)．(1)求a 2，a 3；(2)证明：数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n 是等差数列； (3)求数列{a n }的通项公式a n .解：(1)a 2＝2a 1＋22＝6，a 3＝2a 2＋23＝20.(2)证明：∵a n ＝2a n －1＋2n (n ≥2，且n ∈N *)，∴a n 2n ＝a n －12n －1＋1(n ≥2，且n ∈N *)， 即a n 2n －a n －12n －1＝1(n ≥2，且n ∈N *)，∴数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n 是首项为a 121＝12，公差d ＝1的等差数列．(3)由(2)，得a n 2n ＝12＋(n －1)×1＝n －12， ∴a n ＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫n －12·2n .8．数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝(λ－3)a n ＋2n (n∈N *)．(1)当a 2＝－1时，求λ及a 3的值；(2)是否存在λ的值，使数列{a n }为等差数列？若存在求其通项公式；若不存在说明理由．解：(1)∵a 1＝2，a 2＝－1，a 2＝(λ－3)a 1＋2，∴λ＝32. ∴a 3＝－32a 2＋22，∴a 3＝112. (2)∵a 1＝2，a n ＋1＝(λ－3)a n ＋2n ，∴a 2＝(λ－3)a 1＋2＝2λ－4.a3＝(λ－3)a2＋4＝2λ2－10λ＋16.若数列{a n}为等差数列，则a1＋a3＝2a2.即λ2－7λ＋13＝0.∵Δ＝49－4×13<0，∴方程无实数解．∴λ值不存在．∴不存在λ的值使{a n}成等差数列．第二课时等差数列的性质预习课本P39练习第4、5题，思考并完成以下问题(1)等差数列通项公式的推广形式是什么？(2)等差数列的运算性质是什么？[新知初探]1．等差数列通项公式的推广通项公式通项公式的推2.等差数列的性质若{a n}是公差为d的等差数列，正整数m，n，p，q满足m＋n＝p＋q，则a m＋a n＝a p＋a q.(1)特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，a m＋a n＝2a k.(2)对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a1＋a n＝a2＋a n－1＝…＝a k＋a n－k＋1＝….(3)若{a n}是公差为d的等差数列，则①{c＋a n}(c为任一常数)是公差为d的等差数列；②{ca n}(c为任一常数)是公差为cd的等差数列；③{a n＋a n＋k}(k为常数，k∈N*)是公差为2d 的等差数列．(4)若{a n}，{b n}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pa n＋qb n}(p，q是常数)是公差为pd1＋qd2的等差数列．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若{a n}是等差数列，则{|a n|}也是等差数列()(2)若{|a n|}是等差数列，则{a n}也是等差数列()(3)若{a n}是等差数列，则对任意n∈N*都有2a n＋1＝a n＋a n＋2()(4)数列{a n}的通项公式为a n＝3n＋5，则数列{a n}的公差与函数y＝3x＋5的图象的斜率相等()解析：(1)错误．如－2，－1,0,1,2是等差数列，但其绝对值就不是等差数列．(2)错误．如数列－1,2，－3,4，－5其绝对值为等差数列，但其本身不是等差数列．(3)正确．根据等差数列的通项可判定对任意n∈N*，都有2a n＋1＝a n＋a n＋2成立．(4)正确．因为a n＝3n＋5的公差d＝3，而直线y＝3x＋5的斜率也是3.答案：(1)×(2)×(3)√(4)√2．在等差数列{a n}中，若a5＝6，a8＝15，则a14等于()A．32B．33C．－33 D．29解析：选B∵数列{a n}是等差数列，∴a5，a8，a11，a14也成等差数列且公差为9，∴a14＝6＋9×3＝33.3．在等差数列{a n}中，已知a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8＝()A．90 B．270C．180 D．360解析：选C因为a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450，所以a5＝90，所以a2＋a8＝2a5＝2×90＝180.4．在等差数列{a n}中，已知a2＋2a8＋a14＝120，则2a9－a10的值为________．解析：∵a2＋a14＝2a8，∴a2＋2a8＋a14＝4a8＝120，∴a8＝30.∴2a9－a10＝(a8＋a10)－a10＝a8＝30.答案：30等差数列的性质应用[典例](1)已知等差数列{a n}中，a2＋a4＝6，则a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝()A．30B．15C．5 6 D．10 6(2)设{a n}，{b n}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，则a37＋b37＝() A．0 B．37C．100 D．－37[解析](1)∵数列{a n}为等差数列，∴a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝(a1＋a5)＋(a2＋a4)＋a3＝52(a2＋a4)＝52×6＝15.(2)设c n＝a n＋b n，由于{a n}，{b n}都是等差数列，则{c n}也是等差数列，且c1＝a1＋b1＝25＋75＝100，c2＝a2＋b2＝100，∴{c n}的公差d＝c2－c1＝0.∴c37＝100，即a37＋b37＝100.[答案](1)B(2)C本例(1)求解主要用到了等差数列的性质：若m＋n＝p＋q，则a m＋a n＝a p＋a q.对于此性质，应注意：必须是两项相加等于两项相加，否则不一定成立．例如，a15≠a7＋a8，但a6＋a9＝a7＋a8；a1＋a21≠a22，但a1＋a21＝2a11.本例(2)应用了等差数列的性质：若{a n}，{b n}是等差数列，则{a n＋b n}也是等差数列．灵活运用等差数列的某些性质，可以提高我们分析、解决数列综合问题的能力，应注意加强这方面的锻炼．[活学活用]1．已知{a n}为等差数列，若a1＋a5＋a9＝π，则cos(a2＋a8)的值为()A ．－12B ．－32 C.12 D.32 解析：选A a 1＋a 5＋a 9＝3a 5＝π，所以a 5＝π3，而a 2＋a 8＝2a 5＝2π3，所以cos(a 2＋a 8)＝cos 2π3＝－12，故选A. 2．在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8＝10，则3a 5＋a 7＝( )A ．10B ．18C ．20D ．28解析：选C 由等差数列的性质得：3a 5＋a 7＝2a 5＋(a 5＋a 7)＝2a 5＋(2a 6)＝2(a 5＋a 6)＝2(a 3＋a 8)＝20，故选C.灵活设元求解等差数列[典例] (1)三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，求这三个数．(2)四个数成递增等差数列，中间两项的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数．[解] (1)设这三个数依次为a －d ，a ，a ＋d ，则⎩⎨⎧ (a －d )＋a ＋(a ＋d )＝9，(a －d )a ＝6(a ＋d )，解得⎩⎨⎧a ＝3，d ＝－1.∴这三个数为4,3,2. (2)法一：设这四个数为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d (公差为2d )，依题意，2a ＝2，且(a －3d )(a ＋3d )＝－8，即a ＝1，a 2－9d 2＝－8，∴d 2＝1，∴d ＝1或d ＝－1.又四个数成递增等差数列，所以d ＞0，∴d ＝1，故所求的四个数为－2,0,2,4.法二：若设这四个数为a ，a ＋d ，a ＋2d ，a＋3d (公差为d )，依题意，2a ＋3d ＝2，且a (a ＋3d )＝－8，把a ＝1－32d 代入a (a ＋3d )＝－8， 得⎝⎛⎭⎪⎪⎫1－32d ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋32d ＝－8， 即1－94d 2＝－8， 化简得d 2＝4，所以d ＝2或－2.又四个数成递增等差数列，所以d ＞0，所以d ＝2，a ＝－2.故所求的四个数为－2,0,2,4.常见设元技巧(1)某两个数是等差数列中的连续两个数且知其和，可设这两个数为：a －d ，a ＋d ，公差为2d ；(2)三个数成等差数列且知其和，常设此三数为：a －d ，a ，a ＋d ，公差为d ；(3)四个数成等差数列且知其和，常设成a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，公差为2d .[活学活用]已知成等差数列的四个数，四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这个等差数列．解：设这四个数依次为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d (公差为2d )．由题设知⎩⎨⎧(a －3d )＋(a －d )＋(a ＋d )＋(a ＋3d )＝26，(a －d )(a ＋d )＝40， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝132，d ＝32或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝132，d ＝－32.∴这个数列为2,5,8,11或11,8,5,2.等差数列的实际应用[典例]某公司经销一种数码产品，第一年可获利200万元，从第二年起由于市场竞争方面的原因，其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？[解]设从第一年起，第n年的利润为a n 万元，则a1＝200，a n＋1－a n＝－20(n∈N*)，∴每年的利润构成一个等差数列{a n}，从而a n＝a1＋(n－1)d＝200＋(n－1)×(－20)＝220－20n.若a n<0，则该公司经销这一产品将亏损．∴由a n＝220－20n<0，得n>11，即从第12年起，该公司经销此产品将亏损．[活学活用]某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4 km(不含4 km)计费10元．如果某人乘坐该市的出租车去往14 km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付车费________元．解析：根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4 km时，每增加1 km，乘客需要支付1.2元．所以可以建立一个等差数列{a n}来计算车费．令a1＝11.2，表示4 km处的车费，公差d＝1.2，那么当出租车行至14 km处时，n＝11，此时需要支付车费a11＝11.2＋(11－1)×1.2＝23.2(元)．答案：23.2层级一学业水平达标1．在等差数列{a n}中，已知a4＋a8＝16，则a2＋a10＝()A．12B．16C．20 D．24解析：选B因为数列{a n}是等差数列，所以a2＋a10＝a4＋a8＝16.2．在等差数列{a n}中，a1＋a9＝10，则a5的值为()A．5 B．6C．8 D．10解析：选A由等差数列的性质，得a1＋a9＝2a5，又∵a1＋a9＝10，即2a5＝10，∴a5＝5.3．下列说法中正确的是()A．若a，b，c成等差数列，则a2，b2，c2成等差数列B．若a，b，c成等差数列，则log2a，log2b，log2c成等差数列C．若a，b，c成等差数列，则a＋2，b＋2，c＋2成等差数列D．若a，b，c成等差数列，则2a,2b,2c成等差数列解析：选C因为a，b，c成等差数列，则2b＝a＋c，所以2b＋4＝a＋c＋4，即2(b＋2)＝(a＋2)＋(c＋2)，所以a＋2，b＋2，c＋2成等差数列．4．在等差数列{a n}中，a1＝2，a3＋a5＝10，则a 7＝( )A ．5B ．8C ．10D ．14解析：选B 由等差数列的性质可得a 1＋a 7＝a 3＋a 5＝10，又a 1＝2，所以a 7＝8.5．等差数列{a n }中， a 2＋a 5＋a 8＝9，那么方程x 2＋(a 4＋a 6)x ＋10＝0的根的情况( )A ．没有实根B ．两个相等实根C ．两个不等实根D ．无法判断解析：选A 由a 2＋a 5＋a 8＝9得a 5＝3，∴a 4＋a 6＝6，方程转化为x 2＋6x ＋10＝0.因为Δ<0，所以方程没有实根．6．若三个数成等差数列，它们的和为9，平方和为59，则这三个数的积为________．解析：设这三个数为a －d ，a ，a ＋d ，则⎩⎨⎧a －d ＋a ＋a ＋d ＝9，(a －d )2＋a 2＋(a ＋d )2＝59.解得⎩⎨⎧ a ＝3，d ＝4或⎩⎨⎧a ＝3，d ＝－4.∴这三个数为－1,3,7或7,3，－1.∴它们的积为－21.答案：－217．若a ，b ，c 成等差数列，则二次函数y ＝ax 2－2bx ＋c 的图象与x 轴的交点的个数为________．解析：∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c ， ∴Δ＝4b 2－4ac ＝(a ＋c )2－4ac ＝(a －c )2≥0. ∴二次函数y ＝ax 2－2bx ＋c 的图象与x 轴的交点个数为1或2.答案：1或28．已知等差数列{a n }满足a m －1＋a m ＋1－a 2m －1＝0，且m >1，则a 1＋a 2m －1＝________.解析：因为数列{a n }为等差数列，则 a m －1＋a m ＋1＝2a m ，则a m －1＋a m ＋1－a 2m －1＝0可化为2a m －a 2m －1＝0，解得a m ＝1，所以a 1＋a 2m －1＝2a m＝2.答案：29．在等差数列{a n}中，若a1＋a2＋…＋a5＝30，a6＋a7＋…＋a10＝80，求a11＋a12＋…＋a15.解：法一：由等差数列的性质得a1＋a11＝2a6，a2＋a12＝2a7，…，a5＋a15＝2a10.∴(a1＋a2＋…＋a5)＋(a11＋a12＋…＋a15)＝2(a6＋a7＋…＋a10)．∴a11＋a12＋…＋a15＝2(a6＋a7＋…＋a10)－(a1＋a2＋…＋a5)＝2×80－30＝130.法二：∵数列{a n}是等差数列，∴a1＋a2＋…＋a5，a6＋a7＋…＋a10，a11＋a12＋…＋a15也成等差数列，即30,80，a11＋a12＋…＋a15成等差数列．∴30＋(a11＋a12＋…＋a15)＝2×80，∴a11＋a12＋…＋a15＝130.10．有一批影碟机原销售价为每台800元，在甲、乙两家家电商场均有销售．甲商场用如下的方法促销：买一台单价为780元，买两台单价都为760元，依次类推，每多买一台则所买各台单价均再减少20元，但每台最低价不能低于440元；乙商场一律都按原价的75%销售．某单位购买一批此类影碟机，问去哪家商场买花费较少．解：设单位需购买影碟机n台，在甲商场购买每台售价不低于440元，售价依台数n成等差数列．设该数列为{a n}．a n＝780＋(n－1)(－20)＝800－20n，解不等式a n≥440，即800－20n≥440，得n≤18.当购买台数小于等于18台时，每台售价为(800－20n)元，当台数大于18台时，每台售价为440元．到乙商场购买，每台售价为800×75%＝600元．作差：(800－20n)n－600n＝20n(10－n)，当n<10时，600n<(800－20n)n，当n＝10时，600n＝(800－20n)n，当10<n≤18时，(800－20n)n<600n，当n>18时，440n<600n.即当购买少于10台时到乙商场花费较少，当购买10台时到两商场购买花费相同，当购买多于10台时到甲商场购买花费较少．层级二应试能力达标1．已知等差数列{a n}：1,0，－1，－2，…；等差数列{b n}：0,20,40,60，…，则数列{a n＋b n}是()A．公差为－1的等差数列B．公差为20的等差数列C．公差为－20的等差数列D．公差为19的等差数列解析：选D(a2＋b2)－(a1＋b1)＝(a2－a1)＋(b2－b1)＝－1＋20＝19.2．已知数列{a n }为等差数列且a 1＋a 7＋a 13＝4π，则tan(a 2＋a 12)的值为( )A. 3 B ．±3 C ．－33D ．－ 3解析：选D 由等差数列的性质得a 1＋a 7＋a 13＝3a 7＝4π，∴a 7＝4π3.∴tan(a 2＋a 12)＝tan(2a 7)＝tan 8π3＝tan2π3＝－ 3.3．若方程(x 2－2x ＋m )(x 2－2x ＋n )＝0的四个根组成一个首项为14的等差数列，则|m －n |＝( )A ．1 B.34 C.12D.38解析：选C 设方程的四个根a 1，a 2，a 3，a 4依次成等差数列，则a 1＋a 4＝a 2＋a 3＝2，再设此等差数列的公差为d ，则2a 1＋3d ＝2， ∵a 1＝14，∴d ＝12，∴a 2＝14＋12＝34，a 3＝14＋1＝54，a 4＝14＋32＝74，∴|m －n |＝|a 1a 4－a 2a 3| ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪14×74－34×54＝12.4．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为( )A ．1升 B.6766升 C.4744升 D.3733升 解析：选B 设所构成的等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则有⎩⎨⎧a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3，a 7＋a 8＋a 9＝4，即⎩⎨⎧4a 1＋6d ＝3，3a 1＋21d ＝4.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1322，d ＝766，则a 5＝a 1＋4d ＝6766，故第5节的容积为6766升．5．已知{a n }为等差数列，且a 6＝4，则a 4a 7的最大值为________．解析：设等差数列的公差为d ，则a 4a 7＝(a 6－2d )(a 6＋d )＝(4－2d )(4＋d )＝－2(d ＋1)2＋18，即a 4a 7的最大值为18.答案：186．已知数列{a n }满足a 1＝1，若点⎝⎛⎭⎪⎫a n n ，a n ＋1n ＋1在直线x －y ＋1＝0上，则a n ＝________.解析：由题设可得a n n －a n ＋1n ＋1＋1＝0，即a n ＋1n ＋1－a nn ＝1，所以数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n n 是以1为公差的等差数列，且首项为1，故通项公式a nn ＝n ，所以a n ＝n 2.答案：n 27．数列{a n }为等差数列，b n ＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫12a n ，又已知b 1＋b 2＋b 3＝218，b 1b 2b 3＝18，求数列{a n }的通项公式．解：∵b 1＋b 2＋b 3＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫12a 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12a 3＝218，b 1b 2b 3＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫12a 1＋a 2＋a 3＝18，∴a 1＋a 2＋a 3＝3.∵a 1，a 2，a 3成等差数列，∴a 2＝1，故可设a 1＝1－d ，a 3＝1＋d ，由⎝⎛⎭⎪⎪⎫121－d ＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫121＋d＝218，得2d＋2－d＝174，解得d ＝2或d ＝－2.当d ＝2时，a 1＝1－d ＝－1，a n ＝－1＋2(n －1)＝2n －3；当d ＝－2时，a 1＝1－d ＝3，a n ＝3－2(n －1)＝－2n＋5.8．下表是一个“等差数阵”：a1…47()()()…ja2…712()()()…ja3…()()()()()…ja4…()()()()()…j……………………a i1a i2a i3a i4a i5…a ij………………………其中每行、每列都是等差数列，a ij表示位于第i行第j列的数．(1)写出a45的值；(2)写出a ij的计算公式，以及2 017这个数在“等差数阵”中所在的一个位置．解：通过每行、每列都是等差数列求解．(1)a45表示数阵中第4行第5列的数．先看第1行，由题意4,7，…，a15，…成等差数列，公差d＝7－4＝3，则a15＝4＋(5－1)×3＝16.再看第2行，同理可得a25＝27.最后看第5列，由题意a15，a25，…，a45成等差数列，所以a45＝a15＋3d＝16＋3×(27－16)＝49.(2)该“等差数阵“的第1行是首项为4，公差为3的等差数列a1j＝4＋3(j－1)；第2行是首项为7，公差为5的等差数列a2j ＝7＋5(j－1)；…第i行是首项为4＋3(i－1)，公差为2i＋1的等差数列，∴a ij＝4＋3(i－1)＋(2i＋1)(j－1)。

1．1.2余弦定理内 容 标 准学 科 素 养 1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握余弦定理．2.能用余弦定理解决简单的三角形问题.提升数学运算 发展逻辑推理 应用直观想象[基础认识]知识点余弦定理预习教材P 5－7，思考并完成以下问题(1)如果已知一个三角形的两条边及其所夹的角(如已知a ，b 及角C )，这个三角形大小、形状完全确定吗？可以用a ，b 及C 表示边c 吗？提示：完全确定三角形，可以用a 、b 及C 表示c . (2)如果C ＝90°，边c 如何表示？ 提示：c 2＝a 2＋b 2.(3)如果C 是任意角，C ∈(0，π)，如图． 设CB →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c ，如何运用向量求|AB →|?提示：c ＝a －b ，|c |2＝(a －b )2＝|a |2＋|b |2－2a·b ＝a 2＋b 2－2ab cos C ，即c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ． 余弦定理文字语言三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍 符号语言a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ，b 2＝c 2＋a 2－2ac cos_B ， c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_Ccos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝b 2＋a 2－c 22ab.思考(1)勾股定理c 2＝a 2＋b 2与余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 有什么关系 提示：前者是后者的特例(C ＝90°)．(2)△ABC 中，B ＝60°，a ＝12c ，△ABC 一定是直角三角形吗？提示：b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝14c 2＋c 2－2×12c 2×12＝34c 2.∴a 2＋b 2＝14c 2＋34c 2＝c 2，故C ＝90°，△ABC 为直角三角形．[自我检测]1．在△ABC 中，已知a ＝4，b ＝6，C ＝120，则边c 的值是( ) A ．8 B ．217C ．62D ．219 答案：D2．在△ABC 中，若a 2－c 2＋b 2＝ab ，则cos C ＝________. 答案：12授课提示：对应学生用书第5页 探究一已知两边及夹角解三角形[阅读教材P 7例3]方法步骤： (1)先用余弦定理求a 2. (2)用正弦定理求较小的角C . (3)由A ＋B ＋C ＝180°求角B .[例1] (1)在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝22，C ＝15°，求A . [解析]∵cos15°＝cos(45°－30°)＝6＋24， 由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝4＋8－22×(6＋2)＝8－43， ∴c ＝6－ 2.∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32.又0°＜A ＜180°，∴A ＝30°.(2)在△ABC 中，已知b ＝3，c ＝33，B ＝30°，求A ，C 和a .[解析]法一：由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得32＝a 2＋(33)2－2a ×33×cos30°，即a 2－9a ＋18＝0，解得a ＝3或a ＝6.当a ＝3时，A ＝30°，C ＝120°；当a ＝6时，由正弦定理，得sin A ＝a sin Bb ＝6×123＝1.∴A ＝90°，∴C ＝60°.法二：由b ＜c ，B ＝30°，b ＞c sin30°＝33×12＝332知本题有两解．由正弦定理，得sin C＝c sin B b ＝33×123＝32，∴C ＝60°或120°.当C ＝60°时，A ＝90°，由勾股定理，得a ＝b 2＋c 2＝32＋(33)2＝6；当C ＝120°时，A ＝30°，△ABC 为等腰三角形，∴a ＝3.方法技巧已知三角形的两边及其夹角解三角形的方法 (1)先利用余弦定理求出第三边，其他角的求解有两种思路：一是利用余弦定理的推论求解；二是利用正弦定理(已知两边和一边的对角)求解． (2)若用正弦定理求解，需对角的取值进行取舍，而用余弦定理就不存在这些问题(在(0，π)上，余弦值对应的角是唯一的)，故用余弦定理求解较好．跟踪探究1.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝3，b ＝2，cos(A ＋B )＝13，则c ＝( ) A ．4 B.15 C ．3 D.17答案：D2．在△ABC 中，若a ＝2，b ＋c ＝7，cos B ＝－14，则b ＝________.解析：∵b ＋c ＝7，∴c ＝7－b . 由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 即b 2＝4＋(7－b )2－2×2×(7－b )×(－14)，解得b ＝4. 答案：4探究二已知三边解三角形 [阅读教材P 7例4]方法步骤： (1)用余弦定理变式求某角的余弦值． (2)用余弦定理变式求另一角的余弦值． (3)结合A ＋B ＋C ＝180°，求第三个角．[例2]△ABC 中，a ＝23，b ＝22，c ＝6＋2，解该三角形．[解析]法一：∵cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝8＋8＋43－122×22×(6＋2)＝12，∴A ＝60°，∵cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12＋8＋43－843(6＋2)＝22，∴B ＝45°，∴C ＝75°. 法二：由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝8＋8＋43－122×22×(6＋2)＝12，∴A ＝60°，由正弦定理得sin B ＝b sin A a ＝22×3223＝22，∵a ＞b ，∴B ＝45°，∴C ＝180°－A －B ＝75°， ∴A ＝60°，B ＝45°，C ＝75°.延伸探究1.将本例改为：若三角形三边长之比是1∶3∶2，则其所对角之比是( ) A ．1∶2∶3 B ．1∶3∶2 C ．1∶2∶ 3D.2∶3∶2解析：设三角形三边长分别为m ，3m,2m (m ＞0)，最大角为A ， 则cos A ＝m 2＋(3m )2－(2m )22m ·3m ＝0，∴A ＝90°. 设最小角为B ，则cos B ＝(2m )2＋(3m )2－m 22·2m ·3m ＝32，∴B ＝30°， ∴C ＝60°.故三角形三角之比为1∶2∶3. 答案：A方法技巧已知三边解三角形的方法及注意事项(1)利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，值非负，角为锐角或直角；值为负，角为钝角，思路清晰，结果唯一．(2)由余弦定理的推论求一个内角的余弦值，确定角的大小；由正弦定理求第二个角的正弦值，结合“大边对大角、大角对大边”法则确定角的大小，最后由三角形内角和为180°确定第三个角的大小．(3)若已知三角形三边的比例关系，常根据比例的性质引入k ，从而转化为已知三边求解． 探究三已知三边关系解三角形[教材练习P 25B 组3题]研究一下，一个三角形能否具有以下两个性质： (1)三边是连续的三个自然数； (2)最大角是最小角的2倍．解析：设△ABC 的三边分别为a ＝n －1，b ＝n ，c ＝n ＋1(n ≥2，且n ∈N )，同时C ＝2A . 由sin C sin A ＝n ＋1n －1得2cos A ＝n ＋1n －1. 又∵cos A ＝(n ＋1)2＋n 2－(n －1)22n (n ＋1)＝n ＋42(n ＋1)，∴2×n ＋42(n ＋1)＝n ＋1n －1，∴n ＝5适合题意．故存在这个三角形，三边分别为4,5,6.[例3]在△ABC 中，已知a 2＋c 2＝b 2＋ac ，且sin A ∶sin C ＝(3＋1)∶2，求角C . [解析]∵a 2＋c 2＝b 2＋ac ，a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ．∴2ac cos B ＝ac ，∴cos B ＝12.∵0°＜B ＜180°，∴B ＝60°，A ＋C ＝120°. ∵sin A sin C ＝3＋12，∴2sin A ＝(3＋1)sin C . ∴2sin(120°－C )＝(3＋1)sin C .∴2sin 120°cos C －2cos 120°sin C ＝(3＋1)sin C ， ∴sin C ＝cos C ，∴tan C ＝1，∴C ＝45°.延伸探究2.将本例条件变为：在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a 2＝b 2－c 2＋2ac ，则角B 的大小是( )A ．45°B ．60°C ．90°D ．135°解析：因为a 2＝b 2－c 2＋2ac ，所以a 2＋c 2－b 2＝2ac .由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac＝2ac 2ac ＝22，又0°＜B ＜180°，所以B ＝45°. 答案：A3．将本例条件改为：“在△ABC 中，sin 2A －sin 2C ＝(sin A －sin B )·sin B ”，求角C . 解析：由sin 2A －sin 2C ＝sin A ·sin B －sin 2B ，结合正弦定理得a 2－c 2＝ab －b 2，即a 2＋b 2－c 2＝ab ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，C ∈(0，π)，∴C ＝π3.方法技巧在三角形的边角关系中，含有a 2，b 2，c 2或ab ，bc ，ca 等形式的等式条件，可以变形为余弦定理的形式，求角或求边．探究四用余弦定理判定三角形的形状[教材P 10B 组第2题]在△ABC 中，如果有性质a cos A ＝b cos B ，试问这个三角形的形状具有什么特点？用余弦定理如何判定？解析：由于cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac，∴a ×b 2＋c 2－a 22bc ＝b ×a 2＋c 2－b 22ac ，即a 2(b 2＋c 2－a 2)＝b 2(a 2＋c 2－b 2)， ∴(a 2－b 2)[c 2－(a 2＋b 2)]＝0， ∴a ＝b 或c 2＝a 2＋b 2.∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．[例4]在△ABC 中，a cos A ＋b cos B ＝c cos C ，试判断三角形的形状．[解析]由余弦定理cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab 和a cos A ＋b cos B＝c cos C 得a ·b 2＋c 2－a 22bc ＋b ·a 2＋c 2－b 22ac ＝c ·a 2＋b 2－c 22ab，∴(a 2－b 2－c 2)(a 2－b 2＋c 2)＝0， ∴a 2＝b 2＋c 2或b 2＝a 2＋c 2. ∴△ABC 是直角三角形．方法技巧判断三角形形状的基本思想和两条思路跟踪探究3.在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B ＜sin 2C ，则△ABC 的形状是( ) A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形D ．不能确定解析：由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ，原式变为a 2＋b 2＜c 2，又结合余弦定理变形得cos C＝a 2＋b 2－c 22ab＜0，所以角C 为钝角，△ABC 为钝角三角形．答案：A授课提示：对应学生用书第6页[课后小结]余弦定理的特点(1)揭示的规律：余弦定理指的是三角形中的三条边与其中一个角的余弦之间的关系，它含有四个不同的量，知道其中的三个量，就可求得第四个量．(2)适用的三角形的条件：主要适用于已知三角形的两边及一角或三边． ①已知三角形的两边及一角解三角形的方法：已知三角形的两边及一角解三角形，必须先判断该角是给出两边中一边的对角，还是给出两边的夹角．若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求第三边；若是给出两边中一边的对角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边(也可以两次应用正弦定理求出第三边)．②已知三边解三角形的方法：先用余弦定理的变式求两个内角的余弦值，再求角，最后用内角和为180°求第三角． (3)判断三角形的形状时，经常用到以下结论：①△ABC 为直角三角形⇔a 2＝b 2＋c 2或c 2＝a 2＋b 2或b 2＝a 2＋c 2. ②△ABC 为锐角三角形⇔a 2＋b 2＞c 2，且b 2＋c 2＞a 2，且c 2＋a 2＞b 2. ③△ABC 为钝角三角形⇔a 2＋b 2＜c 2或b 2＋c 2＜a 2或c 2＋a 2＜b 2. ④若sin2A ＝sin2B ，则A ＝B 或A ＋B ＝π2.[素养培优]忽视分类讨论及三角形中的隐含条件致误在钝角三角形ABC 中，a ＝1，b ＝2，求边c 的取值范围．易错分析此题易出现两个错误：一是只考虑了角C 是钝角的情况，事实上角B 也可能是钝角；二是没有考虑到在三角形中“两边之和大于第三边”的隐含条件．考查了分类讨论思想、逻辑推理、数学运算、直观想象的学科素养． 自我纠正因为a ＝1，b ＝2，所以1＜c ＜3.若角B 是钝角，则cos B ＜0，即12＋c 2－222×1·c ＜0，解得1＜c ＜3；若角C 是钝角，则cos C ＜0，即12＋22－c 22×1×2＜0，解得5＜c ＜3.综上，边c 的取值范围是(1，3)∪(5，3)．。

1．1.2余弦定理[目标] 1.了解向量法推导余弦定理的过程；2.能利用余弦定理求三角形中的边角问题；3.能利用正、余弦定理解决综合问题．[重点] 能利用余弦定理求三角形中的边角问题．[难点] 余弦定理的推导及能利用正、余弦定理解决综合问题．知识点一余弦定理[填一填][答一答]1．在△ABC中，若a2＝b2＋c2，a2>b2＋c2，a2<b2＋c2，能否说△ABC分别是直角三角形，钝角三角形，锐角三角形？提示：若a2＝b2＋c2，则△ABC是直角三角形；若a2>b2＋c2，则△ABC是钝角三角形；若a2<b2＋c2，则△ABC不一定是锐角三角形，因为a不一定是最大边．2．已知三角形内角的余弦值求角时，是否存在多解的情况？提示：在已知三角形内角的余弦值求角时，由于函数y＝cos x在(0，π)上单调递减，所以角的余弦值与角一一对应，故不存在多解的情况．知识点二余弦定理及其推论的应用[填一填]余弦定理及其推论可解决两类基本的解三角形的问题：一类是已知两边及夹角解三角形；另一类是已知三边解三角形．[答一答]3．在三角形中，已知两边及一边的对角，可用正弦定理解三角形，能否用余弦定理解该三角形？提示：能用余弦定理解．设另一边为x，由余弦定理列出方程求解．4．余弦定理推论的作用有什么？提示：余弦定理的推论是余弦定理的第二种形式，适用于已知三角形三边来确定三角形的角的问题．用余弦定理的推论还可以根据角的余弦值的符号来判断三角形中的角是锐角还是钝角．类型一已知三角形三边解三角形[例1]已知△ABC中，a b c＝26(3＋1)，求△ABC 的各内角度数．[分析]根据三边比例关系设出三边，然后用余弦定理推论求出两个内角，再用三角形内角和定理求出第三个内角． [解] ∵a b c ＝26(3＋1)，令a ＝2k ，b ＝6k ，c ＝(3＋1)k (k >0)． 由余弦定理的推论得：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝6＋(3＋1)2－42×6×(3＋1)＝22，∴A ＝45°， cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝4＋(3＋1)2－62×2×(3＋1)＝12， ∴B ＝60°.∴C ＝180°－A －B ＝180°－45°－60°＝75°.已知三角形的三边求三角时，一般利用余弦定理的推论先求出两角，再根据三角形内角和定理求出第三个角.,利用余弦定理的推论求角时，应注意余弦函数在(0，π)上是单调的.当余弦值为正时，角为锐角；当余弦值为负时，角为钝角.[变式训练1] (1)在△ABC 中，已知a 2＝b 2＋c 2＋bc ，则角A 为( C )A.π3B.π6C.2π3D.π3或2π3解析：在△ABC 中，由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－bc 2bc ＝－12.∵A ∈(0，π)，∴A ＝2π3.(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a －b ＝4，a ＋c ＝2b ，且最大角为120°，则此三角形的最大边长为14.解析：已知a －b ＝4，则a >b 且a ＝b ＋4.又a ＋c ＝2b ，则b ＋4＋c ＝2b ，所以b ＝c ＋4，则b >c ，从而知a >b >c ，所以a 为最大边，故A＝120°，b ＝a －4，c ＝2b －a ＝a －8. 由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋c 2＋bc ＝(a －4)2＋(a －8)2＋(a －4)(a －8)，即a 2－18a ＋56＝0，解得a ＝4或a ＝14.又b ＝a －4>0，所以a ＝14，即此三角形的最大边长为14.类型二 已知三角形两边及一角解三角形[例2] (1)在△ABC 中，已知b ＝3，c ＝23，A ＝30°，求a ；(2)在△ABC 中，已知b ＝3，c ＝33，B ＝30°，求角A 、角C 和边a .[分析] (1)已知两边及其夹角，可直接利用余弦定理求出第三条边；(2)已知两边及一边的对角，可利用余弦定理求解，也可利用正弦定理求解．[解] (1)由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝32＋(23)2－2×3×23cos30°＝3，所以a ＝ 3.(2)解法一：由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得32＝a 2＋(33)2－2a ×33×cos30°，即a 2－9a ＋18＝0，解得a ＝3或a ＝6.当a ＝3时，A ＝30°，C ＝120°；当a ＝6时，由正弦定理，得sin A ＝a sinB b ＝6×123＝1.∴A ＝90°，∴C ＝60°.解法二：由b <c ，B ＝30°，b >c sin30°＝33×12＝332，知本题有两解．由正弦定理，得sin C ＝c sin B b ＝33×123＝32，∴C ＝60°或120°.当C ＝60°时，A ＝90°，由勾股定理，得a ＝b 2＋c 2＝32＋(33)2＝6；当C ＝120°时，A ＝30°，△ABC 为等腰三角形，∴a ＝3.已知三角形的两边及一角解三角形的方法：已知三角形的两边及一角解三角形，必须先判断该角是给出两边中一边的对角，还是给出两边的夹角．若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求第三边；若是给出两边中一边的对角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边(也可以两次应用正弦定理求出第三边)．[变式训练2] 设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos C ＝－14，3sin A ＝2sin B ，则c ＝4.解析：由3sin A ＝2sin B 及正弦定理知：3a ＝2b .又因为a ＝2，所以b ＝3.由余弦定理得：c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝4＋9－2×2×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝16，所以c ＝4.类型三 判断三角形的形状[例3] 在△ABC 中，若(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，且sin C ＝2cos A sin B ，试判断△ABC 的形状．[分析] 判断三角形的形状时，一般有两种思路：一种是考虑三角形的三边关系；另一种是考虑三角形的内角关系．当然有时可将边和角巧妙结合，同时考虑．[解] 方法一：利用边的关系来判断．由正弦定理得sin C sin B ＝c b ，由2cos A sin B ＝sin C ，得cos A ＝sin C 2sin B ＝c 2b .又cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，∴c 2b ＝b 2＋c 2－a 22bc ，即c 2＝b 2＋c 2－a 2，∴a ＝b .又(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，∴(a ＋b )2－c 2＝3ab ，∴4b 2－c 2＝3b 2，∴b ＝c .综上，a ＝b ＝c ，∴△ABC 为等边三角形．方法二：利用角的关系来判断．∵△ABC 中，sin C ＝sin(A ＋B )，又2cos A sin B ＝sin C ＝sin A cos B ＋cos A sin B ，∴sin(A －B )＝0，又∵－180°<A －B <180°，∴A －B ＝0°.即A ＝B .又∵(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，∴(a ＋b )2－c 2＝3ab ，∴a 2＋b 2－c 2＝ab .∴由余弦定理知2ab cos C ＝ab ，∴cos C ＝12.∴C ＝60°，∴△ABC 为等边三角形．利用三角形的边角关系判断三角形的形状时，需要从“统一”入手，即使用转化思想解决问题.一般有两条思考路线：(1)先化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量关系.(2)先化角为边，再进行代数恒等变换，求出三边之间的数量关系.[变式训练3] 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝13，b ＝3c ，试判断△ABC 的形状．解：由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A .又因为cos A ＝13，b ＝3c ，所以a 2＝b 2＋c 2－2×3c ×c ×13＝b 2－c 2. 所以a 2＋c 2＝b 2，所以B ＝π2，所以△ABC 是直角三角形．1．在△ABC 中，已知A ＝30°，且3a ＝3b ＝12，则c 的值为( C )A ．4B ．8C ．4或8D ．无解解析：由3a ＝3b ＝12，得a ＝4，b ＝43，利用余弦定理可得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即16＝48＋c 2－12c ，解得c ＝4或c ＝8.2．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若c 2－a 2－b 22ab >0，则△ABC ( C )A ．一定是锐角三角形B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．是锐角或直角三角形解析：由c 2－a 2－b 22ab >0得－cos C >0，所以cos C <0，从而C 为钝角，因此△ABC 一定是钝角三角形．3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若a ＝2，B ＝π6，c ＝23，则b ＝2.解析：由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝4＋12－2×2×23×32＝4，所以b ＝2.4．在△ABC 中，已知a ＝7，b ＝3，c ＝5，则最大的角是120°. 解析：∵a >c >b ，∴A 为最大角．cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32＋52－722×3×5＝－12， 又∵0°<A <180°，∴A ＝120°.5．在△ABC 中，已知a ＝5，b ＝3，角C 的余弦值是方程5x 2＋7x－6＝0的根，求第三边c 的长．解：5x 2＋7x －6＝0可化为(5x －3)·(x ＋2)＝0.∴x 1＝35，x 2＝－2(舍去)．∴cos C ＝35.根据余弦定理，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C＝52＋32－2×5×3×35＝16.∴c ＝4，即第三边长为4.——本课须掌握的四大方面1．适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立．2．结构特征：“平方”、“夹角”、“余弦”．3．揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系式，它描述了任意三角形中边与角的一种数量关系．4．主要功能：余弦定理的主要功能是实现三角形中边角关系的互化． 莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。

X解析：选A 设AB= x ，则在Rt △ ABC 中，C B=寸，所以BD = a +课时跟踪检测（三） 解三角形的实际应用举例层级一学业水平达标 1.学校体育馆的人字屋架为等腰三角形，如图，测得 其跨度AB 的长为（ ） A. 12 mB. 8 mC. 3 ：3 mD. 4 '3 m 解析：选D 由题意知，/ A =Z B = 30°, 所以/ C = 180°— 30°— 30°= 120°, AB AC由正弦定理得，sin L sin B' 即 AB= A 。

$ in B C = 4 •驾20= 4 :'3.sin B sin 30 ¥2.一艘船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔 P 的南偏西75°距塔68 n mile的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这只船的航行速度为 （）A.宁 n mile/hB. 34 .： 6 n mile/hC.号 n mile/hD. 34 ：2 n mile/h解析：选A 如图所示,在厶PMh 中，• PM ° = •黑°,sin 45 sin 120••• MN= 68；' 3= 34 ；6… 3.如图，D, C, B 三点在地面同一直线上， n mile/h.a （ a <3 ），贝U A 点离地面的高度 AB 等于（ a sin a - sin 3sin 3 — a a sin a - sin 3co s a — 3a sin a • cos 3sin3 — aa co sa - sin3cosa — 3A.B.C. D. DC= a ,从C, D 两点测得x「,寸，又因为如图，BD= 100,/ BDA= 45°,/ BCA= 30°,解析:xxxa在Rt △ ABD 中, BD=，所以BD= a +=，从中求得x =tan atan 3 tan a11tan a tan 3a sin a sin 卩ta n 3 — tan a~ sin 3 cos a — sin a cos 卩一 sin 卩一 aa tan a tan 卩 a Sin a前卩，故选A.4. 设甲、乙两幢楼相距 20 m,从乙楼底望甲楼顶的仰角为 60°,从甲楼顶望乙楼顶的俯角为 A. 30°，则甲、乙两幢楼的高分别是20 3 m , 40y^ mB . 10 3 m,20 寸3 mC. 10( 3 — 2)m,20 3 m解析：选 A 由题意，知h 甲=20tan 60 ° = 20 3(m), 響(m).h 乙=20tan 60 ° — 20tan 305.甲船在岛 B 的正南A 处，AB= 10 km ，甲船以4 km/h 自岛B 出发以6 km/h 的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、 的速度向正北航行，同时乙船 乙两船相距最近时，它们的航行时间是()150 A. min C. 21.5 minD. 2.15 h解析：选A 由题意可作出如图所示的示意图，设两船航行甲船位于C 点，乙船位于D 点，如图.则BC= 10— 4t , BD= 6t , / CBD= 120°, 此时两船间的距离最近，根据余弦定理得CD = BC + BD — 2BC- BD Cos / CBDt 小时后,5=(10 — 4t )2 + 36t 2 + 6t (10 — 4t ) = 28t 2— 20t + 100,所以当 t =初时，CD 取 得最小值，即两船间的距离最近，所以它们的航行时间是号min ，故选A.6•某人从A 处出发，沿北偏东 60°行走3 3 km 到B 处，再沿正东方向行走 2 km 到C 处，贝UA , C 两地的距离为km.解析：如图所示，由题意可知 AB= 3.3, BC= 2,/ ABC= 150°. 由余弦定理，得AC = 27 + 4 — 2X3 3 X 2X cos 150 ° = 49, AC= 7.则A , C 两地的距离为7 km. 答案：77.坡度为45°的斜坡长为100 m 现在要把坡度改为 30°,则坡底要伸长 m.北设 CD )= x ，所以(x + DA • tan 30 ° = DA- tan 45=50( 6- 2)m. 答案：50(6- 2)&一蜘蛛沿东北方向爬行x cm 捕捉到一只小虫，然后向右转105°,爬行10 cm 捕捉答案：呼9.如图，甲船以每小时 30 2海里的速度向正北方向航行，乙船按固 定方向匀速直线航行，当甲船位于A 处时，乙船位于甲船的北偏西 105°方向的B 1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达 A 处时，乙 船航行到甲船的北偏西 120°方向的 B 处，此时两船相距10 2海里，求 乙船航行的速度.解：如图，连接 八^,在厶A 1A 2B 2中，易知/ AAB = 60°,又易求得AA ?= 30^J 2X 3= 10^2= A 2B 2,3•••△ AAR 为正三角形， ••• AB = 10 谑.在厶ABB 中，易知/ BAB = 45°,• ( B1B 2) 2= 400+ 200-2X 20X 102X 彳=200,• BB = 10 屉•••乙船每小时航行 30 2海里.10.如图所示，某旅游景点有一座风景秀丽的山峰，山上有一条笔直的山路 BC 和一条索道AC 小王和小李打算不坐索道，而是花2个小时的时间进行徒步攀登.已知/ABC=又 DA= BD- cos 45 =100X所以x =DA- tan 45tan 30 °到另一只小虫，这时它向右转135°爬行回它的出发点，那么 x =________cm. 解析：如图所示，设蜘蛛原来在 O 点，先爬行到 A 点，再爬行到B点，易知在厶 AOB 中 AB= 10 cm ，/ OA = 75°,/ ABO= 45则/ AO = 60°，由正弦定理知:AB- sin / ABO 10X sin 45 sin/ AOB sin 60 °10 .63 (cm).¥ = 50 , 2,120°,/ AD(= 150°, BD= 1千米，AC= 3千米.假设小王和小李徒步攀登的速度为每小时1.2千米，请问：两位登山爱好者能否在 2个小时内徒步登上山峰(即从B 点出发到达C点).在厶 ADC 中，由余弦定理得： AC = AD + DC — 2AD- DC- cos 150。

在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 a sinA sinB sinC正弦定理和余弦定理1．1.1 正弦定理预习课本 P2 ～3，思考并完成以下问题(1)直角三角形中的边角之间有什么关系？(2)正弦定理的内容是什么？利用它可以解哪两类三角形？(3)解三角形的含义是什么？[新知初探]1．正弦定理b c＝ ＝ .sinA sinBsinA c sinCsinA sinC3[点睛] 正弦定理的特点(1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立．(2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式．(3)刻画规律：正弦定理刻画了三角形中边与角的一种数量关系，可以实现三角形中边角关系的互化．2．解三角形一般地，把三角形的三个角 A ，B ，C 和它们的对边 a ，b ，c 叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)正弦定理适用于任意三角形()(2)在△ABC 中，等式 bsinA ＝asinB 总能成立()(3)在△ABC 中，已知 a ，b ，A ，则此三角形有唯一解( )解析：(1)正确．正弦定理适用于任意三角形．a b(2)正确．由正弦定理知 ＝ ，即 bsinA ＝asinB.(3)错误．在△ABC 中，已知 a ，b ，A ，此三角形的解有可能是无解、一解、两解的情况，具体情况由 a ，b ，A 的值来定．答案：(1)√(2)√ (3)×sinA2．在△ABC 中，下列式子与 a 的值相等的是()b A.csinC C. sinB B.cD.a c解析：选 C由正弦定理得， ＝ ，sinA sinC所以 a ＝ c .3．在△ABC 中，已知 A ＝30°，B ＝60°，a ＝10，则 b 等于()A ．5 210 3 C. B ．10 3D ．5 6解析：选 B由正弦定理得，b ＝ asinB sinA ＝ 10×132＝10 3.26 5 6sinB sinA sinA sin 45° sinA sinC sinA sin 45° 8× 2＋ 6 D. 3sinA sinB sin 60°sin 45° 解析：选 B由正弦定理得， ＝ ，即 ＝ ，所以 AC ＝ × ＝ACπ4．在△ABC 中，A ＝ ，b ＝2，以下错误的是()A ．若 a ＝1，则 c 有一解4C ．若 a ＝ ，则 c 无解 B ．若 a ＝ 3，则 c 有两解D ．若 a ＝3，则 c 有两解π解析：选 Da ＝2 sin ＝1 时，c 有一解；当 a<1 时，c 无解；当 1<a<2 时，c 有两个解；a>2 时，c 有一解．故选 D.已知两角及一边解三角形[典例] 在△ABC 中，已知 a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，求 A ，b ，c.[解] A ＝180°－(B ＋C )＝180°－(60°＋75°)＝45°，b a asinB 8×sin 60° 由正弦定理 ＝ ，得 b ＝ ＝ ＝4 6，由 a c asinC 8×sin 75°＝ ，得 c ＝ ＝ ＝4 2＝4( 3＋1)． 2已知三角形任意两角和一边解三角形的基本思路(1)由三角形的内角和定理求出第三个角．(2)由正弦定理公式的变形，求另外的两条边．[注意] 若已知角不是特殊角时，往往先求出其正弦值 (这时应注意角的拆并，即将非特殊角转化为特殊角的和或差，如 75°＝45°＋30°)，再根据上述思路求解．[活学活用]在△ABC 中，若 A ＝60°，B ＝45°，BC ＝3 2，则 AC ＝()A ．4 3C. 3B ．2 32BC AC 3 2 3 2 2 3 222 3，故选 B.sinA sin45°2sinB2sin45°sinB2sin45°综上可知：A＝60°，C＝75°，c＝6＋222解：∵acsinA sinC2sinC sin60°已知两边及其中一边的对角解三角形[典例]在△ABC中，a＝3，b＝2，B＝45°，求A，C，c.323 [解]由正弦定理及已知条件，有＝，得sinA＝.∵a>b，∴A>B＝45°.∴A＝60°或120°.bsinC 当A＝60°时，C＝180°－45°－60°＝75°，c＝2sin75°6＋2＝＝；bsinC 当A＝120°时，C＝180°－45°－120°＝15°，c＝2sin15°6－2＝＝.6－2或A＝120°，C＝15°，c＝.已知三角形两边和其中一边的对角解三角形的方法(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值．(2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角、大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一．(3)如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论．[活学活用]在△ABC中，c＝6，C＝60°，a＝2，求A，B，b.c asinC2＝，∴sinA＝＝.∴A＝45°或A＝135°.又∵c>a，∴C>A.∴A＝45°.∴B＝75°，b＝csinB6·sin75°＝＝3＋1.三角形形状的判断ππ[典例]在△ABC中，acos2－A＝bcos2－B，判断△ABC的形状．解：[法一化角为边]ππ∵acos2－A＝bcos2－B，∴asinA ＝bsinB ．由正弦定理可得：a· ＝b· ，2 2 ．．．．．用的公式为：sinA ＝ a 2R 2R 2R．．．．．解：由正弦定理， a sinA sinB sinC2 2 2 3577＝b ＝ .解析：选 A根据正弦定理得a b2R 2R∴a 2＝b △2，∴a ＝b ，∴ ABC 为等腰三角形．[法二化边为角]π π∵acos 2－A ＝bcos 2－B ，∴asinA ＝bsin B.由正弦定理可得：2R sinA ＝2R sinB ，即 sinA ＝sinB ，∴A ＝B .(A ＋B ＝π不合题意舍去)故△ABC 为等腰三角形．利用正弦定理判断三角形的形状的两条途径(1)化角为边．将题目中的所有条件，利用正弦定理化角为边，再根据多项式的有关知识(分解因式、配方等)得到边的关系，如 a ＝b ，a 2＋b 2＝c 2 等，进而确定三角形的形状．利b c，sinB ＝ ，sinC ＝ .(2)化边为角．将题目中所有的条件，利用正弦定理化边为角，再根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系，进而确定三角形的形状．利用的公式为：a ＝2R sinA ，b ＝2R sinB ，c ＝2R sinC ．[活学活用]在△ABC 中，已知 acosA ＝bcosB ，试判断△ABC 的形状．b c＝ ＝ ＝2R ，所以 acosA ＝bcosB 可化为 sinA cosA ＝sinB cosB ，sin A ＝sin B ，又△ABC 中，A ，B ，C ∈(0，π) 所以 2A ＝2B 或 2A ＋2B ＝π，即 A ＝B 或 A ＋B ＝△π，所以 A BC 的形状为等腰或直角三角形．层级一 学业水平达标1．在△ABC 中，a ＝5，b ＝3，则 sinA ∶sinB 的值是()5 A.3 C. 3 B.5 D.sinA a 5sinB 3sinA sinB 64解析：选A由正弦定理得aππ，64B.3C.6B＝32．在△ABC中，a＝bsinA，则△ABC一定是()A．锐角三角形C．钝角三角形解析：选B由题意有B．直角三角形D．等腰三角形a b＝b＝，则sinB＝1，即角B为直角，故△ABC是直角三角形．sinA cosC3．在△ABC中，若a＝c，则C的值为()A．30°C．60°B．45°D．90°sinA sinC cosC解析：选B由正弦定理得，a＝c＝c，则cosC＝sinC，即C＝45°，故选B.ππ4．△ABC中，A＝，B＝，b＝2，则a等于()A．1C.3B．2D．232＝sin sin∴a＝1，故选A.5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a＝3bsinA，则sinB＝() A.333D．－63解析：选B由正弦定理得a＝2R sinA，b＝2R sinB，所以sinA＝3sinB sinA，故sin 3.6．下列条件判断三角形解的情况，正确的是______(填序号)．①a＝8，b＝16，A＝30°，有两解；②b＝18，c＝20，B＝60°，有一解；③a＝15，b＝2，A＝90°，无解；④a＝40，b＝30，A＝120°，有一解．解析：①中a＝bsin A，有一解；②中csin B<b<c，有两解；③中A＝90°且a>b，有一解；④中a>b且A＝120°，有一解．综上，④正确．答案：④2R 2R2R2 2 2 2 解析：由正弦定理及已知得 ＝ ，∴ ＝2. a ＝csinA sinC sin 75° 解：∵ asinA sinB sinC 2 asinB 2 2sin 45° sinA sin 30° ＝4.1∴c ＝asinCsinA sin 30° 1 27．在△ABC 中，若(sinA ＋sinB )(sinA －sinB )＝sinC ，则△ABC 的形状是________．a b解析：由已知得 sinA －sinB ＝sinC ，根据正弦定理知 sin A ＝ ，sin B ＝ ，sin Cc＝ ，a b c 所以 2R 2－ 2R 2＝ 2R 2，即 a 2－b 2＝c 2，故 b 2＋c 2＝a △2.所以ABC 是直角三角形．答案：直角三角形8．在锐角△ABC 中，BC ＝1，B ＝2A ，则AC cosA＝________.1 AC AC sinA sin A cosA答案：29．已知一个三角形的两个内角分别是 45°，60°，它们所夹边的长是 1，求最小边长．解：设△ABC 中，A ＝45°，B ＝60°，则 C ＝180°－(A ＋B )＝75°.因为 C >B >A ，所以最小边为 a.又因为 c ＝1，由正弦定理得，1×sin 45° ＝ ＝ 3－1，所以最小边长为 3－1.10．在△ABC 中，已知 a ＝2 2，A ＝30°，B ＝45°，解三角形．b c ＝ ＝ ，22 2×∴b ＝ ＝ ＝2∴C ＝180°－(A ＋B )＝180°－(30°＋45°)＝105°，2 2sin 105°2 2sin 75° ＝＝2＝4 2sin(30°＋45°)＝2＋2 3.层级二 应试能力达标1．在△ABC 中，角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，如果 c ＝ 3a ，B ＝30°，那么角 C 等于()A ．120°B ．105°＝ 3 3sinC ＋ cosC ，即 sinC ＝－ 3cosC ，∴tan C ＝－ 3.又 0°<C <180°，sinA ＋sinB ＋sinC 333sinA sinA ＋sinB ＋sinCsin 60° 33 边的 2 倍，所以 c ＝2a ，所以 sinC ＝2sinA ，即 sin 3 －A ＝2sinA 3 所以 A ＝ ，从而 C ＝ ，则三个角 A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，故选 A.sinA sinB sin 60°sin 45°C ．90°D ．75°解析：选 A∵c ＝ 3a ，∴sinC ＝ 3sinA ＝ 3sin(180°－30°－C )＝ 3sin(30°＋C )12 2∴C ＝120°.故选 A.2．已知 a ，b ，c 分别是△ABC 的内角 A ，B ，C 的对边，若△ABC 的周长为 4( 2＋1)，且 sinB ＋sinC ＝ 2sinA ，则 a ＝()A. 2C ．4B ．2D ．2 2解析：选 C 根据正弦定理，sinB ＋sinC ＝ 2sinA 可化为 b ＋c ＝ 2a ，∵△ABC 的周长为 4( 2＋1)，a ＋b ＋c ＝4 2＋1 ，∴解得 a ＝4.故选 C.b ＋c ＝ 2a ，a ＋b ＋c 3．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝ 13，则 等于()8 3A.26 3 C. 2 39 B.D ．2 3a ＋b ＋c a解析：选 B由 a ＝2R sinA ，b ＝2R sinB ，c ＝2R sinC 得 ＝2R ＝13 2 39＝ ＝ .4．在△ABC 中，若 A <B <C ，且 A ＋C ＝2B ，最大边为最小边的 2 倍，则三个角 A ∶B ∶C ＝()A ．1∶2∶3C ．3∶4∶5B ．2∶3∶4D ．4∶5∶6π解析：选 A由 A <B <C ，且 A ＋C ＝2B ，A ＋B ＋C ＝π，可得 B ＝ ，又最大边为最小2π 3tan A ＝ ，又 0<A <π，π π6 25．在△ABC 中，A ＝60°，B ＝45°，a ＋b ＝12，则 a ＝________.a b a b解析：因为 ＝ ，所以 ＝ ，所以 3 2 2 sinC sinA· ＝5sin 120°5 .142 答案：3 3sinA 3cosC sinA sinC· 3(2)由 CA ·CB ＝|CA ||CB |cosC ＝ ba ＝4 得 ab ＝8，2b ＝a ，①又因为 a ＋b ＝12，②由①②可知 a ＝12(3－ 6)．答案：12(3－ 6)6．在△ABC 中，若 A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则 sinB ＝_______.AB BC 解析：由正弦定理，得 ＝ ，即sinC ＝ AB sinABC7 14可知 C 为锐角，∴cosC ＝ 1－sinC＝11.∴sinB ＝sin(180°－120°－C )＝sin(60°－C )＝sin 60°·cosC －cos 60°·sinC ＝ 3 3 14 .14a c7．在△ABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c 且 ＝ .(1)求角 C 的大小；(2)如果 CA CB ＝4，求△ABC 的面积．a c＝ ，解：(1)由a sinA ＝c3cosC， 得 sinC ＝ 3cosC ，π故 tan C ＝ 3，又 C ∈(0，π) 所以 C ＝ .121 1 3所以 S △ABC ＝2absinC ＝2×8× 2＝2 3.8．在△ABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，已知 bcos C ＋ 3bsin C －a －c＝0.(1)求 B ；(2)若 b ＝ 3，求 a ＋c 的取值范围．3 ((2)由(1)得：2R＝b解：(1)由正弦定理知：sinB cosC＋3sinB sinC－sinA－sinC＝0，∵sinA＝sin B＋C)＝sinB cosC＋cosB sinC代入上式得：3sinB sinC－cosB sinC－sinC＝0.∵sinC>0，∴3sinB－cosB－1＝0，π1即sin B－6＝2，π∵B∈(0，π)，∴B＝.sinB＝2，a＋c＝2R(sinA＋sinC)π＝23sin C＋6.2ππ∵C∈0，3，∴23sin C＋6∈(3，23]，∴a＋c的取值范围为(3，23]．1．1.2余弦定理预习课本P5～6，思考并完成以下问题(1)余弦定理的内容是什么？(2)已知三角形的两边及其夹角如何解三角形？(3)已知三角形的三边如何解三角形？[新知初探]余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，余弦定理公式表达b2＝a2＋c2－2accos_B，c2＝a2＋b2－2abcos_C余弦定理语言叙述三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍2ac 2bc 2bc 2cosA ＝b 2＋c 2－a 22bc推论a 2＋c 2－b 2c osB ＝ ，cosC ＝ a 2＋b 2－c 22ab[点睛] 余弦定理的特点(1)适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立．(2)揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系，它含有四个不同的量，知道其中的三个量，就可求得第四个量．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此，它适应于任何三角形()(2)在△ABC 中，若 a 2>b 2＋c △2，则 ABC 一定为钝角三角形( )(3)在△ABC 中，已知两边和其夹角时，△ABC 不唯一()解析：(1)正确．余弦定理反映了任意三角形的边角关系，它适合于任何三角形．b 2＋c 2－a 2(2)正确．当 a 2>b 2＋c 2 时，cosA ＝<0.因为 0<A <π，故 A 一定为钝角，△ABC 为钝角三角形．(3)错误．当△ABC 已知两边及其夹角时可利用余弦定理求得第三边长且唯一，因此△ABC 唯一确定．答案：(1)√(2)√ (3)×2．在△ABC 中，已知 a ＝9，b ＝2 3，C ＝150°，则 c 等于( )A. 39C ．10 2B ．8 3D ．7 3解析：选 D 由余弦定理得：c ＝ 92＋ 2 3 2－2×9×2 3×cos 150°＝ 147＝7 3.3．在△ABC 中，已知 a 2＝b 2＋c 2＋bc ，则角 A 等于()A ．60°C ．120°B ．45°D ．30°b 2＋c 2－a 2 1解析：选 C由 cosA ＝ ＝－ ，∴A ＝120°.44C.2D.22ac2a·2a4610224．在△ABC中，已知b2＝ac且c＝2a，则cosB等于()1 A.43B.3a2＋c2－b2解析：选B由b2＝ac且c＝2a得cosB＝a2＋4a2－2a23＝＝.故选B.已知两边与一角解三角形π[典例](1)在△ABC中，已知b＝60cm，c＝603cm，A＝，则a＝________cm；(2)在△ABC中，若AB＝5，AC＝5，且cosC＝910，则BC＝________. [解析](1)由余弦定理得：a＝602＋6032－2×60×603×cos π6＝4×602－3×602＝60(cm)．9(2)由余弦定理得：(5)＝52＋BC2－2×5×BC×，所以BC2－9BC＋20＝0，解得BC＝4或BC＝5.[答案](1)60(2)4或5已知三角形的两边及一角解三角形的方法先利用余弦定理求出第三边，其余角的求解有两种思路：一是利用余弦定理的推论求出其余角；二是利用正弦定理(已知两边和一边的对角)求解．若用正弦定理求解，需对角的取值进行取舍，而用余弦定理就不存在这些问题(在(0，π)上，余弦值所对角的值是唯一的)，故用余弦定理求解较好．[活学活用]在△ABC中，a＝23，c＝6＋2，B＝45°，解这个三角形．解：根据余弦定理得，b2＝a2＋c2－2accosB＝(23)＋(6＋2)－2×23×(6＋2)×cos45°＝8，2bc22bc2cosA＝＝＝，∴A＝45°.sinA sinB sin45°sinB得sinB＝6·2∴b＝2 2.b2＋c2－a28＋6＋22－2321又∵cosA＝＝＝，2×22×6＋2∴A＝60°，C＝180°－(A＋B)＝75°.已知三角形的三边解三角形[典例]在△ABC中，已知a＝23，b＝6，c＝3＋3，解此三角形．[解]法一：由余弦定理的推论得b2＋c2－a262＋3＋32－2322cosA＝＝＝，2×6×3＋3∴A＝45°.同理可求B＝30°，故C＝180°－A－B＝180°－45°－30°＝105°.法二：由余弦定理的推论得b2＋c2－a262＋3＋32－23222bc2×6×3＋32a b236由正弦定理＝知＝，sin45°1＝.23由a>b知A>B，∴B＝30°.故C＝180°－A－B＝180°－45°－30°＝105°.(1)已知三边求角的基本思路是：利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，值为正，角为锐角；值为负，角为钝角，其思路清晰，结果唯一．(2)若已知三角形的三边的关系或比例关系，常根据边的关系直接代入化简或利用比例性质，转化为已知三边求解．[活学活用]已知a，b，c是△ABC三边之长，若满足等式(a＋b－c)·＋b＋c)＝ab，则C的大小为()A．60°C．120°B．90°D．150°解析：选C∵(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，∴c2＝a2＋b2＋ab，2ab2ab 2ab 22 2 2 22－c 2a 2＋c 2－b 2 2ac 2ab 2 4a 2 2 2 2 2 2bc 2ca 2aba 2＋b 2－c 2由余弦定理可得，cosC ＝a 2＋b 2－ a 2＋b 2＋ab ab 1 ＝ ＝－ ＝－ ，∵0°<C <180°，∴C ＝120°，故选 C.利用余弦定理判断三角形形状[典例] 在△ABC 中，若 b 2sinC ＋c 2sinB ＝2bccosB cosC ，试判断△ABC 的形状．解：[法一化角为边]将已知等式变形为b 2(1－cos C )＋c 2(1－cos B )＝2bccosB cosC .由余弦定理并整理，得b 2＋c 2－b 2 a 2＋b 2－c 2 2ab 2ac 2a 2＋c 2－b 2 a 2＋b 2－c 2＝2bc× ×，[ a2＋b 2－c 2 ＋ a 2＋c 2－b 2 ] 4a 4 ∴b 2＋c 2＝ ＝4a 2＝a 2.∴A ＝90°.∴△ABC 是直角三角形．[法二化边为角]由正弦定理，已知条件可化为sinC sinB ＋sinC sinB ＝2sinB sinC cosB cosC .又 sinB sinC ≠0，∴sinB sinC ＝cosB cosC ，即 cos(B ＋C )＝0.又∵0°<B ＋C <180°，∴B ＋C ＝90°，∴A ＝90°.∴△ABC 是直角三角形．利用余弦定理判断三角形形状的两种途径(1)化边的关系：将条件中的角的关系，利用余弦定理化为边的关系，再变形条件判断．(2)化角的关系：将条件转化为角与角之间关系，通过三角变换得出关系进行判断．[活学活用]在△ABC 中，acosA ＋bcosB ＝ccosC ，试判断△ABC 的形状．b 2＋c 2－a 2 c 2＋a 2－b 2 a 2＋b 2－c 2解：由余弦定理知 cos A ＝ ，cos B ＝ ，cos C ＝ ，代入已2bc 2ca 2ab 2 故 cosB ＝ 24 ° sinB sinB sin 45° 2R 2ac 2R 2bc 2Rc 2 2 · 2· · · 2· · · · 2R ·2R· · 2Rc 2R2c知条件得b 2＋c 2－a 2 c 2＋a 2－b 2 c 2－a 2－b 2 a· ＋b· ＋c·＝0，通分得 a 2(b 2＋c 2－a 2)＋b 2(a 2＋c 2－b 2)＋c 2(c 2－a 2－b 2)＝0，展开整理得(a 2－b 2) ＝c 4.∴a 2－b 2＝±c 2，即 a 2＝b 2＋c 2 或 b 2＝a 2＋c 2.根据勾股定理知△ABC 是直角三角形.正、余弦定理的综合应用题点一：利用正、余弦定理解三角形1．△ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，asin A ＋csin C － 2asin C ＝bsinB.(1)求角 B 的大小；(2)若 A ＝75°，b ＝2，求 a ，c.解：(1)由正弦定理得 a 2＋c 2－ 2ac ＝b 2.由余弦定理得 b 2＝a 2＋c 2－2accos B.2，因此 B ＝45°.(2)sinA ＝sin (30 ＋45°)＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝2＋ 6.sinA故由正弦定理得 a ＝b·＝1＋ 3.由已知得，C ＝180°－45°－75°＝60°，sinC sin 60° c ＝b· ＝2× ＝ 6.题点二：利用正、余弦定理证明三角形中的恒等式2．在△ABC 中，求证 a 2sin B ＋b 2sin A ＝2absinC .证明：法一：(化为角的关系式)a 2sin 2B ＋b 2sin 2A ＝(2R sinA ) 2sinB cos B ＋(2R sinB ) 2sinA cos A ＝8R 2sinA sinB (sinA cosB ＋cosA sinB )＝8R 2sinA sinB sinC ＝2· sinA · sinB sinC ＝2absinC .∴原式得证．法二：(化为边的关系式)2b a 2＋c 2－b 2 2a b 2＋c 2－a 2 ab左边＝a 2 2sinB cos B ＋b 2 2sinA cos A ＝a 2· · ＋b 2· · ＝ (a 2＋c 2－b 2＋b 2＋c 2－a 2)＝∴原式得证．ab c· 2＝2ab· ＝2absinC ＝右边，2 cosA ＝ ＝ ＝ .、2bc 22．在△ABC 中，若 a ＝8，b ＝7，cosC ＝13，则最大角的余弦值是()5 6 7 82题点三：正、余弦定理与三角函数、平面向量的交汇应用3．已知△ABC 的周长为 4( 2＋1)，角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，且有 sinB＋sinC ＝ 2sinA .(1)求边长 a 的值；(2)若△ABC 的面积为 S ＝3sinA ，求 AB ·AC 的值．解：(1)由正弦定理，得 b ＋c ＝ 2a.①又 a ＋b ＋c ＝4( 2＋1)，②联立①②，解得 a ＝4.(2)∵S △ABC ＝3sinA ，1∴ bcsinA ＝3sinA ，即 bc ＝6.又∵b ＋c ＝ 2a ＝4 2，∴由余弦定理得b 2＋c 2－a 2 b ＋c 2－2bc －a 2 1 2bc 2bc 3∴ AB ·AC ＝bccosA ＝2.正、余弦定理是解决三角形问题的两个重要工具，这类题目往往结合基本的三角恒等变换，同时注意三角形中的一些重要性质，如内角和为 180° 大边对大角等．层级一 学业水平达标1．在△ABC 中，已知(a ＋b ＋c)(b ＋c －a)＝3bc ，则角 A 等于()A ．30°C ．120°B ．60°D ．150°解析：选 B ∵(b ＋c) －a 2＝b 2＋c 2＋2bc －a 2＝3bc ，∴b 2＋c 2－a 2＝bc ，b 2＋c 2－a 2 1 ∴cosA ＝ ＝ ，∴A ＝60°.141 1 1 1A ．－B ．－C ．－D ．－解析：选 C 由余弦定理，得14 2bc 7 2×7×3 2ab 2ab 2 3 33 2 6B. 或 3D. 或 2 3 3 13c 2＝a 2＋b 2－2abcosC ＝82＋72－2×8×7×＝9，所以 c ＝3，故 a 最大，所以最大角的余弦值为b 2＋c 2－a 2 72＋32－82 1cosA ＝ ＝ ＝－.c 2－a 2－b 23．在△ABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，若 >0，则△ABC ()A ．一定是锐角三角形B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．是锐角或直角三角形c 2－a 2－b 2解析：选 C由 >0 得－cosC >0，所以 cosC <0，从而 C 为钝角，因此△ABC 一定是钝角三角形．4．若△ABC 的内角 A ，B ，C 所对的边 a ，b ，c 满足(a ＋b) －c 2＝4，且 C ＝60°，则ab 的值为()4A.C ．1B ．8－4 32 D.解析：选 A 由(a ＋b) －c 2＝4，得 a 2＋b 2－c 2＋2ab ＝4，由余弦定理得 a 2＋b 2－c 2＝42abcosC ＝2abcos 60°＝ab ，则 ab ＋2ab ＝4，∴ab ＝ .5．在△ABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，若(a 2＋c 2－b 2)tanB ＝ 3ac ，则角 B 的值为()πA.π C. π 2π 3 3π 5π 6 6解析：选 B 因为(a 2＋c 2－b 2)tanB ＝ 3ac ，所以 2accosB tan B ＝ 3ac ，即 sinB ＝3，π 2π所以 B ＝ 或 B ＝ ，故选 B.6．已知 a ，b ，c 为△ABC 的三边，B ＝120°，则 a 2＋c 2＋ac －b 2＝________.解析：∵b 2＝a 2＋c 2－2accosB ＝a 2＋c 2－2accos 120°＝a 2＋c 2＋ac ，∴a 2＋c 2＋ac －b 2＝0.答案：03∴( 3) ＝a 2＋12－2a×1×cos2π， 42 2bc 2 2×3×5 ∴sinA ＝sin 120°＝ 3.2 2 a ＝ 14 2π7．在△ABC 中，若 b ＝1，c ＝ 3，C ＝ ，则 a ＝________.解析：∵c 2＝a 2＋b 2－2abcosC ，3∴a 2＋a －2＝0，即(a ＋2)(a －1)＝0，∴a ＝1，或 a ＝－2(舍去)．∴a ＝1.答案：118．在△ABC 中，若 a ＝2，b ＋c ＝7，cosB ＝－ ，则 b ＝________.解析：因为 b ＋c ＝7，所以 c ＝7－b.由余弦定理得：b 2＝a 2＋c 2－2accosB ，1即b 2＝4＋(7－b)－2×2×(7－b)× －4 ，解得 b ＝4.答案：49．在△ABC 中，A ＋C ＝2B ，a ＋c ＝8，ac ＝15，求 b.解：在△ABC 中，∵A ＋C ＝2B ，A ＋B ＋C ＝180°，∴B ＝60°.由余弦定理，得 b 2＝a 2＋c 2－2accosB ＝(a ＋c) －2ac －2accosB1＝82－2×15－2×15× ＝19.∴b ＝ 19.10．在△ABC 中，已知 a ＝7，b ＝3，c ＝5，求最大角和 sinC .解：∵a>c>b ，∴A 为最大角．由余弦定理的推论，得b 2＋c 2－a 2 32＋52－72 1cosA ＝ ＝ ＝－.又∵0°<A <180°，∴A ＝120°，2csinA 由正弦定理，得 sinC ＝ 5×7 32 53 ＝.∴最大角 A 为 120°，sinC ＝ 5 3 14.2 2c2 2c 2 2c b －c 2 2 2B. 322bc 2层级二 应试能力达标1．在△ABC 中，有下列关系式：①asinB ＝bsinA ；②a ＝bcosC ＋ccosB ；③a 2＋b 2－c 2＝2abcosC ；④b ＝csinA ＋asinC .一定成立的有()A ．1 个C ．3 个B ．2 个D ．4 个解析：选 C 对于①③，由正弦、余弦定理，知一定成立．对于②，由正弦定理及 sinA ＝sin(B ＋C )＝sinB cosC ＋sinC cosB ，知显然成立．对于④，利用正弦定理，变形得 sinB＝sinC sinA ＋sinA sinC ＝2sinA sinC ，又 sinB ＝sin(A ＋C )＝cosC sinA ＋cosA sinC ，与上式不一定相等，所以④不一定成立．故选 C.2．在△ABC 中，角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，若 C ＝120°，c ＝ 2a ，则 a ，b 的大小关系为()A ．a>bC ．a ＝bB ．a<bD ．不能确定解析：选 A 在 ABC 中，c 2＝a 2＋b 2－2abcos 120°＝a 2＋b 2＋ab.∵c ＝ 2a ，∴2a 2＝a 2＋b 2＋ab ，∴a 2－b 2＝ab>0，∴a 2>b 2，∴a>b.B a ＋c3．在△ABC 中，cos ＝ ，则△ABC 是( )A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形B a ＋c cosB ＋1 a ＋c 解析：选 B∵cos ＝ ，∴ ＝ ，a a 2＋c 2－b 2 a∴cosB ＝c ，∴ 2ac ＝c ，∴a 2＋c 2－b 2＝2a 2，即 a 2＋b 2＝c △2，∴ ABC 为直角三角形．asin 30°－C4．在△ABC 中，内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c.若 b 2＋c 2＋bc －a 2＝0，则＝()1A.1C ．－2D ．－32b 2＋c 2－a 2 1解析：选 A由余弦定理得 cosA ＝ ，又 b 2＋c 2＋bc －a 2＝0，则 cosA ＝－ ，b －c sin60°－C －sinC4 4 12cosC － sinC2BC ·AC 2 2 sinC5b . cosB AC (1)求sinC4sinA sinB sinC则 b ＝ ksinB sinBcosB sinB因此 ＝2.(2)由sinC又 0°<A <180°，则 A ＝120°，有 B ＝60°－C ，所以 asin 30°－C sinA sin30°－C＝ ＝3 3cosC － sinC ＝ .故选 A. 3 32 25．在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝ 6，BC ＝1＋ 3，AD 为边 BC 上的高，则 AD 的长是 ________．BC 2＋AC 2－AB 2 2 2解析：∵cosC ＝ ＝ ，∴sinC ＝ ，∴AD ＝AC sinC ＝ 3.答案： 3sinB6．在△ABC 中，A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则 的值为________．解析：由余弦定理可得 49＝AC 2＋25－2×5×AC ×cos 120°，整理得：AC 2＋5· －24＝0，解得 AC ＝3 或 AC ＝－8(舍去)，sinB AC 3再由正弦定理可得sinC ＝AB ＝5.3答案：cosA －2cosC 2c －a7．在△ABC 中，内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c.已知 ＝sinA 的值；(2)若 cosB ＝△1， ABC 的周长为 5，求 b 的长．a b c解：(1)由正弦定理可设 ＝ ＝ ＝k ，2c －a 2ksinC －ksinA 2sinC －sinA ＝ ，cosA －2cosC 2sinC －sinA所以 ＝ ，即(cosA －2cosC )sinB ＝(2sinC －sinA )cosB ，化简可得 sin(A ＋B )＝2sin(B ＋C )．又 A ＋B ＋C ＝π，所以 sinC ＝2sinA ，sinCsinAsinA ＝2，得 c ＝2a.44有ACsin∠ADC＝DC∵AC＝3DC，所以sin∠ADC＝3sin∠DAC＝3∴sinB＝ACBC＝33，cosB＝6即(22)＝6x2＋4x2－2×6x×2x×6＝2x2，BD·1由余弦定理及cosB＝，1得b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋4a2－4a2×＝4a2，所以b＝2a.又a＋b＋c＝5，所以a＝1，因此b＝2.8．如图，D是直角三角形△ABC斜边BC上一点，AC＝3DC.(1)若∠DAC＝30°，求B；(2)若BD＝2DC，且AD＝22，求DC.解：(1)在△ADC中，根据正弦定理，sin∠DAC，2，又∠ADC＝∠B＋∠BAD＝∠B＋60°>60°，∴∠ADC＝120°，∴∠C＝180°－120°－30°＝30°，∴∠B＝60°.(2)设DC＝x，则BD＝2x，BC＝3x，AC＝3x，3，AB＝6x，在△ABD中，AD2＝AB2＋BD2－2AB cosB，3得x＝2.故DC＝2.。