【三维设计】高中数学 教师用书 模块综合检测 苏教版必修1

模块素养评价(二)(120分钟 150分)一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．经过圆()x －1 2＋()y ＋1 2＝2的圆心C ，且与直线2x ＋y ＝0垂直的直线方程是( ) A ．2x ＋y －1＝0 B ．2x ＋y ＋1＝0 C ．x －2y －3＝0 D ．x －2y ＋3＝0【解析】选C.设与直线2x ＋y ＝0垂直的直线方程是x －2y ＋c ＝0，把圆()x －1 2＋()y ＋1 2＝2的圆心C(1，－1)代入可得1＋2＋c ＝0，所以c ＝－3， 故所求的直线方程为x －2y －3＝0.2．(2021·某某高二检测)设S n 为等比数列{}a n 的前n 项和，已知3S 3＝a 4－3，3S 2＝a 3－3，则公比q ＝( )A ．3B ．4C ．5D ．6 【解析】3＝a 4－3，3S 2＝a 3－3， 两式作差得3S 3－3S 2＝a 4－a 3＝3a 3， 所以a 4＝4a 3，即q ＝a 4a 3＝4.3．从动点P ()a ，2 向圆C ：()x ＋1 2＋()y ＋1 2＝1作切线，则切线长的最小值为( ) A ．2 B ．2 2 C ．3 D ．10【解析】选B.依题意，圆C ：()x ＋1 2＋()y ＋1 2＝1，圆心是C ()－1，－1 ，半径是1. 从动点P ()a ，2 向圆C ：()x ＋1 2＋()y ＋1 2＝1作的切线，PC ，圆心到切线的垂线组成一个直角三角形，当切线长最小时，PC 为最小， PC ＝()a ＋12＋()2＋12＝()a ＋12＋9 ，当a ＝－1时，PC 取得最小值3，此时切线长为PC 2－r 2 ＝9－1 ＝2 2 .4．已知数列{}a n 是以1为首项，2为公差的等差数列，{}b n 是以1为首项，2为公比的等比数列，设＝ab n ，T n ＝c 1＋c 2＋…＋()n ∈N * ，则当T n <2 020时，n 的最大值是( ) A ．8 B ．9 C ．10 D ．11【解析】{}a n 是以1为首项，2为公差的等差数列，所以a n ＝2n －1. 因为{}b n 是以1为首项，2为公比的等比数列，所以b n ＝2n －1. 所以T n ＝c 1＋c 2＋…＋＝ab 1＋ab 2＋…＋ab n ＝a 1＋a 2＋a 4＋…＋a 2n －1＝(2×1－1)＋(2×2－1)＋(2×4－1)＋…＋()2×2n －1－1 ＝2()1＋2＋4＋…＋2n －1 －n ＝2×1－2n1－2－n ＝2n ＋1－n －2.因为T n <2 020，所以2n ＋1－n －2<2 020，解得n≤9. 则当T n <2 020时，n 的最大值是9.5．(2021·某某高二检测)若实轴长为2的双曲线C ：y 2a 2 －x 2b 2 ＝1(a>0，b>0)上恰有4个不同的点P i (i ＝1，2，3，4)满足P i B ＝2P i A ，其中A(－1，0)，B(1，0)，则双曲线C 的虚轴长的取值X 围为( ) A ．⎝⎛⎭⎫677，＋∞ B ．⎝⎛⎭⎫0，677C ．⎝⎛⎭⎫6147，＋∞ D ．⎝⎛⎭⎫0，6147【解析】选C.依题意可得a ＝1，设P ()x ，y ， 则由PB ＝2PA ， 得()x －12＋y 2＝2()x ＋12＋y 2，整理得⎝⎛⎭⎫x ＋53 2＋y 2＝169.由⎩⎨⎧y 2－x 2b2＝1，⎝⎛⎭⎫x ＋532＋y 2＝169，得⎝⎛⎭⎫1＋1b 2 x 2＋103x ＋2＝0， 依题意可知Δ＝1009 －8⎝⎛⎭⎫1＋1b 2 >0，解得b 2>187 ， 则双曲线C 的虚轴长2b>2187 ＝6147. 6．(2021·某某高二检测)一艘船的燃料费y(单位：元/时)与船速x(单位：km/h)的关系是y ＝1100x 3＋x.若该船航行时其他费用为540元/时，则在100 km 的航程中，要使得航行的总费用最少，航速应为( )A ．30 km/hB ．3032 km/h C ．3034 km/h D ．60 km/h【解析】选A.由题意得，100 km 的航程需要100x 小时，故总的费用f(x)＝⎝⎛⎭⎫1100x 3＋x ＋540 ×100x . 即f(x)＝x 2＋100＋54 000x.故f′(x)＝2x －54 000x 2 ＝2（x 3－27 000）x 2.令f′(x)＝0有x ＝30.故当0<x<30时f′(x)<0，f(x)单调递减，当x>30时f′(x)>0，f(x)单调递增．使得航行的总费用最少，航速应为30 km/h.7．(2021·某某高二检测)已知椭圆C 1：x 2m 2 ＋y 2＝1()m>1 与双曲线C 2：x 2n 2 －y 2＝1()n>0 的焦点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则( ) A ．m>n 且e 1e 2>1 B ．m>n 且e 1e 1<1 C ．m<n 且e 1e 2>1 D ．m<n 且e 1e 2<1【解析】选A.由于椭圆C 1和双曲线C 2的焦点重合，则m 2－1＝n 2＋1，则m 2－n 2＝2>0，因为m>1，n>0，所以m>n.因为e 1＝m 2－1m＝1－1m2 ，e 2＝n 2＋1n＝1＋1n2 ， 所以e 1e 2＝⎝⎛⎭⎫1－1m 2⎝⎛⎭⎫1＋1n 2 ＝ 1＋1n 2－1m 2－1m 2n 2 ＝1＋m 2－n 2－1m 2n 2＝1＋1m 2n2 >1. 8．(2021·某某高二检测)已知f(x)＝e x x －2t(l n x ＋x ＋2x )恰有一个极值点为1，则t 的取值X 围是( )A ．⎝⎛⎦⎤－∞，14 ∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫e 6 B ．⎝⎛⎦⎤－∞，16 C ．⎣⎡⎦⎤0，14 ∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫e 6 D ．⎝⎛⎦⎤－∞，14 【解析】选D.由题意，函数f(x)的定义域为()0，＋∞ ， 对函数f(x)求导得f′(x)＝e x ()x －1x 2 －2t ⎝⎛⎭⎫1x ＋1－2x 2 ＝()x －1[]e x－2t ()x ＋2x 2，因为f(x)＝e xx －2t ⎝⎛⎭⎫ln x ＋x ＋2x 恰有一个极值点为1， 所以e x －2t ()x ＋2 ＝0在()0，＋∞ 上无解， 即t ＝e x2()x ＋2在()0，＋∞ 上无解，令g ()x ＝e x2()x ＋2()x≥0 ，则g′()x ＝2e x ()x ＋2－2e x4()x ＋22＝2e x ()x ＋14()x ＋22>0， 所以函数g ()x 在[)0，＋∞ 上单调递增，当x ∈()0，＋∞ 时， g ()x >g ()0 ＝14 ，所以t≤14.二、多选题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分) 9．(2021·某某高二检测)下列结论正确的是( )A ．已知点P ()x ，y 在圆C ：()x －1 2＋()y －1 2＝2上，则y ＋2x 的最小值是43B ．已知直线kx －y －k －1＝0和以M ()－3，1 ，N ()3，2 为端点的线段相交，则实数k 的取值X 围为－12 ≤k≤32C ．已知点P ()a ，b 是圆x 2＋y 2＝r 2外一点，直线l 的方程是ax ＋by ＝r 2，则l 与圆相交 D ．若圆M ：()x －4 2＋()y －4 2＝r 2()r>0 上恰有两点到点N ()1，0 的距离为1，则r 的取值X 围是()4，6【解析】选CD.A 选项，设k ＝y ＋2x，则y ＝kx －2，因为点P ()x ，y 在圆C ：()x －1 2＋()y －12＝2上，所以直线y ＝kx －2与圆C ：()x －1 2＋()y －1 2＝2有交点， 因此圆心到直线的距离d ＝||k －31＋k 2≤2 ，解得k≤－7或k≥1，故A 错；B 选项，由kx －y －k －1＝0得k ()x －1 －()y ＋1 ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝－1 ，即直线kx －y －k －1＝0过点P ()1，－1 ，因为直线kx －y －k －1＝0和以M ()－3，1 ，N ()3，2 为端点的线段相交，所以只需k≥k PN ＝2－()－13－1＝32或k≤kPM ＝1－()－1－3－1＝－12，故B 错；C 选项，圆x 2＋y 2＝r 2的圆心()0，0 到直线ax ＋by ＝r 2的距离d ＝r 2a 2＋b 2，而点P ()a ，b是圆x 2＋y 2＝r 2外一点，所以a 2＋b 2>r 2，所以d ＝r 2a 2＋b2<r 2r ＝r ，所以直线与圆相交，故C 正确．D 选项，与点N ()1，0 的距离为1的点在圆(x －1)2＋y 2＝1上，由题意知圆M ：()x －4 2＋()y －4 2＝r 2()r>0 与圆(x －1)2＋y 2＝1相交，所以圆心距d ＝MN ＝5满足r －1<d ＝5<r ＋1，解得4<r<6，故D 正确．10．(2021·某某高二检测)已知双曲线C ：x 2a 2 －y 2b 2 ＝1(a>0，b>0)的一个焦点坐标为(2，0)，且两条渐近线的夹角为π3 ，则双曲线C 的标准方程为( )A ．x 22 －y 22 ＝1B ．x 23 －y 2＝1C ．x 2－y 23＝1 D ．x 2－y 2＝1 【解析】选BC.因为焦点坐标为(2，0)，所以c ＝2，设渐近线y ＝ba x 的倾斜角为θ，由两条渐近线的夹角为π3 ，可得2θ＝π3 或π－2θ＝π3 ，解得θ＝π6 或θ＝π3 ，所以b a ＝tan θ＝33 或 3 ，又a 2＋b 2＝c 2＝4，解得a ＝ 3 ，b ＝1或a ＝1，b ＝ 3 ， 所以双曲线C 的方程为x 23 －y 2＝1或x 2－y 23＝1.11．(2021·揭阳高二检测)已知数列{}a n 的前n 项和为S n ＝33n －n 2，则下列说法正确的是( ) A ．a n ＝34－2n B ．S 16为S n 的最小值C ．||a 1 ＋||a 2 ＋…＋||a 16 ＝272D ．||a 1 ＋||a 2 ＋…＋||a 30 ＝450【解析】1＝S 1＝33－1＝32，a n ＝S n －S n －1＝33n －n 2－33()n －1 ＋()n －1 2＝34－2n ()n≥2 ， 对于n ＝1也成立，所以a n ＝34－2n ，故A 正确； 当n<17时，a n >0，当n ＝17时a n ＝0，当n>17时， a n <0，所以S n 只有最大值，没有最小值，故B 错误； 因为当n<17时，a n >0，所以||a 1 ＋||a 2 ＋…＋||a 16 ＝S 16＝33×16－162＝17×16＝272，故C 正确；||a 1 ＋||a 2 ＋…＋||a 30 ＝S 16＋(－a 17－a 18－a 19－…－a 30)＝2S 16－S 30＝2×272－(33×30－302) ＝544－90＝454，故D 错误．12．(2021·某某高二检测)已知函数y ＝f ()x 在R 上可导且f ()0 ＝2，其导函数f′()x 满足f ′()x －f ()x x －2 >0，若函数g ()x 满足e x g ()x ＝f ()x ，下列结论正确的是( )A ．函数g ()x 在()2，＋∞ 上递增 B ．x ＝2是函数g ()x 的极小值点 C ．x≤0时，不等式f ()x ≤2e x 恒成立 D ．函数g ()x 至多有两个零点 【解析】x g(x)＝f(x)， 所以g(x)＝f （x ）e x ，则g′(x)＝f′（x ）－f （x ）e x，当x>2时，f′(x)－f(x)>0，故y ＝g(x)在(2，＋∞)上递增，选项A 正确；x<2时，f′(x)－f(x)<0，故y ＝g(x)在()－∞，2 上递减， 故x ＝2是函数y ＝g(x)的极小值点，故选项B 正确； 由y ＝g(x)在(－∞，2)上递减，则y ＝g(x)在(－∞，0)上递减， 由g(0)＝f （0）e 0 ＝2，得x≤0时，g(x)≥g(0)，故f （x ）e x ≥2，故f(x)≥2e x ，故选项C 错误；若g(2)<0，则y ＝g(x)有2个零点， 若g(2)＝0，则函数y ＝g(x)有1个零点，若g(2)>0，则函数y ＝g(x)没有零点，故选项D 正确． 三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．《周髀算经》中有这样一个问题，从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则冬至的日影子长为______． 【解析】因为从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列{}a n ，冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 4＋a 7＝3a 1＋9d ＝37.5a 12＝a 1＋11d ＝4.5 ，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝－1，a 1＝15.5.所以冬至的日影子长为15.5尺． 答案：14．设定义域为R 的函数f ()x 满足f′()x >f ()x ，则不等式e x －1f ()x <f ()2x －1 的解集为________． 【解析】设F(x)＝f ()x e x，则F′(x)＝f ′()x －f ()x e x ，因为f′()x >f ()x ， 所以F′(x)＞0，即函数F(x)在定义域上单调递增． 因为e x －1f ()x <f ()2x －1 ， 所以f ()x e x ＜f ()2x －1e 2x －1 ，即F(x)＜F(2x －1)， 所以x ＜2x －1，即x ＞1，所以不等式e x －1f ()x <f ()2x －1 的解集为()1，＋∞ . 答案：()1，＋∞15．(2021·某某高二检测)设f(x)与g(x)是定义在同一区间[a ，b]上的两个函数，若函数F(x)＝f(x)－g(x)在[a ，b]上有两个不同的零点，则称f(x)与g(x)在[a ，b]上是“关联函数”．若f(x)＝13x 3＋m 与g(x)＝12 x 2＋2x 在[0，3]上是“关联函数”，则实数m 的取值X 围是________．【解析】令f(x)＝g(x)得m ＝－13 x 3＋12 x 2＋2x ，设函数h(x)＝－13 x 3＋12x 2＋2x ，则直线y ＝m 与函数y ＝h(x)在区间[0，3]上的图象有两个交点，h′(x)＝－x 2＋x ＋2＝－(x －2)(x ＋1)，令h′(x)＝0，可得x ＝2∈[0，3]，列表如下：h(0)＝0，h(3)＝32，如图所示：由图可知，当32 ≤m<103 时，直线y ＝m 与函数y ＝h(x)在区间[0，3]上的图象有两个交点，因此，实数m 的取值X 围是⎣⎡⎭⎫32，103 . 答案：⎣⎡⎭⎫32，10316．(2021·某某高二检测)设F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2a 2－1＝1(a>1)的左、右焦点，P ()1，1为C 内一点，Q 为C 上任意一点．现有四个结论： ①C 的焦距为2；②C 的长轴长可能为10 ； ③QF 2的最大值为a ＋1；④若PQ ＋QF 1的最小值为3，则a ＝2. 其中所有正确结论的编号是________．【解析】对于选项①：因为c 2＝a 2－()a 2－1 ＝1，所以椭圆C 的焦距为2c ＝2，故选项①正确；对于选项②：若椭圆C 的长轴长为10 ，则a 2＝52 ，所以椭圆C 的方程为x 252 ＋y 232＝1，因为152 ＋132>1，所以点P 在C 的外部，这与P 在C 内矛盾，所以选项②不正确．对于选项③：因为c ＝1，Q 为C 上任意一点，由椭圆的几何性质可知，QF 2的最大值为a ＋c ＝a ＋1，故选项③正确；对于选项④：由椭圆定义可知，PQ ＋QF 1＝PQ －QF 2＋2a ，因为||PQ －QF 2 ≤PF 2＝1，所以PQ －QF 2≥－1，所以PQ －QF 2＋2a≥2a －1＝3，此时a ＝2，故选项④正确．答案：①③④四、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)在①a 1＝1，a 1a 5＝a 22 ；②S 3＝9，S 5＝25；③S n ＝n 2.这三个条件中任选一个补充在下面的问题中．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且公差d≠0，若______．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n . 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【解析】(1)若选①：由a 1＝1，a 1a 5＝a 22 ，得a 1(a 1＋4d)＝(a 1＋d)2，即1＋4d ＝(1＋d)2，所以d 2＝2d ，因为d≠0，所以d ＝2，所以a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1.若选②：设等差数列{a n }的首项为a 1，由S 3＝9，S 5＝25，得：⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3d ＝9，5a 1＋5×42·d ＝25， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2， 所以a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1.若选③：当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；当n≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1，显然n ＝1时也满足a n ＝2n －1，所以a n ＝2n －1；(2)由(1)知a n ＝2n －1所以b n ＝1a n a n ＋1 ＝1（2n －1）（2n ＋1）＝12 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1 ， 则T n ＝12 (1－13 ＋13 －15 ＋…＋12n －1 －12n ＋1 )＝12 (1－12n ＋1) ＝n 2n ＋1. 18．(12分)已知函数f ()x ＝x 2＋a l n x.(1)当a ＝－2时，求函数f ()x 在点(e ，f(e))处的切线方程；(2)若g ()x ＝f ()x ＋2x在[1，＋∞)上是单调递增的，某某数a 的取值X 围． 【解析】(1)当a ＝－2时，f ()x ＝x 2－2l n x ，定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2x －2x ＝2x 2－2x ，所以函数f ()x 在点(e ，f(e))处的切线的斜率为f′(e)＝2e 2－2e， 又f(e)＝e 2－2，所以函数f ()x 在点(e ，f(e))处的切线方程为y －(e 2－2)＝2e 2－2e (x －e)，即y ＝2e 2－2ex －e 2. (2)因为g ()x ＝f ()x ＋2x ＝x 2＋2x＋a l n x 在[1，＋∞)上是单调递增的， 所以g′(x)＝2x －2x 2 ＋a x ＝2x 3＋ax －2x 2≥0 在[1，＋∞)上恒成立，即a≥2x－2x 2在[1，＋∞)上恒成立， 因为y ＝2x －2x 2在[1，＋∞)上是单调递减的，所以当x ＝1时，y ＝2x－2x 2取得最大值0， 所以a≥0.19．(12分)已知数列{a n }前n 项和为S n ，a 1＝2，S n ＋1＝S n ＋(n ＋1)⎝⎛⎭⎫3n a n ＋2 .(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n ＋n ，求数列{b n }的前n 项和T n .【解析】(1)由题意知a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝(n ＋1)⎝⎛⎭⎫3a n n ＋2 ，即a n ＋1n ＋1＝3×a n n ＋2， 即a n ＋1n ＋1 ＋1＝3⎝⎛⎭⎫a n n ＋1 ， 因为a 1＝2，所以a 1＋1＝3≠0，所以a n n＋1≠0， 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n ＋1 是首项为3，公比为3的等比数列， 所以a n n＋1＝3n ，所以a n ＝n×3n －n ； (2)由(1)知，b n ＝n×3n ，所以T n ＝1×3＋2×32＋3×32＋…＋n×3n ，①所以3T n ＝1×32＋2×33＋…＋(n －1)×3n ＋n×3n ＋1，②①－②得，－2T n ＝3＋32＋33＋…＋3n －n×3n ＋1＝3（1－3n ）1－3－n×3n ＋1 ＝（1－2n ）3n ＋12 －32， 所以T n ＝（2n －1）3n ＋14 ＋34. 20．(12分)(2021·某某高二检测)已知抛物线C ：y 2＝2px(p>0)的焦点为F ，O 为坐标原点，点P ，Q 是抛物线C 上异于点O 的两个不同的动点，当直线PQ 过点F 时，PQ 的最小值为8.(1)求抛物线C 的方程；(2)若OP ⊥OQ ，证明：直线PQ 恒过定点．【解析】(1)抛物线C 的焦点坐标为F ⎝⎛⎭⎫p 2，0 ，若直线PQ 过点F ，则直线PQ 的斜率一定不为0，不妨设直线PQ 的方程为x ＝my ＋p 2， 代入y 2＝2px 得，y 2－2pmy －p 2＝0，设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2pm ，x 1＋x 2＝m(y 1＋y 2)＋p ＝2pm 2＋p.所以PQ ＝PF ＋QF ＝x 1＋p 2 ＋x 2＋p 2＝2p(m 2＋1). 所以，当m ＝0时，PQ min ＝2p ＝8，所以p ＝4.所以抛物线C 的方程为y 2＝8x.(2)由题意设直线PQ 的方程为x ＝ky ＋t(t≠0)，P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x x ＝ky ＋t ，得y 2－8ky －8t ＝0. 由题意得Δ＝64k 2＋32t>0.所以y 1＋y 2＝8k ，y 1y 2⊥OQ ，所以OP OQ ＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ky 1＋t)(ky 2＋t)＋y 1y 2＝(k 2＋1)y 1y 2＋kt(y 1＋y 2)＋t 2＝－8t(k 2＋1)＋8k 2t ＋t 2＝t 2－8t ＝0，所以t ＝8，(t ＝0不符合题意，故舍去)所以直线PQ 的方程为x ＝ky ＋8，所以直线PQ 恒过定点(8，0).21．(12分)(2021·某某高二检测)已知椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a>b>0)的离心率为33，且椭圆C 过点⎝⎛⎭⎫32，22 . (1)求椭圆C 的标准方程；(2)过椭圆C 右焦点的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，且与圆O ：x 2＋y 2＝2交于E ，F 两点，求AB·EF 2的取值X 围．【解析】(1)由已知可得c a ＝33 ，所以c 2＝13a 2， 故b 2＝a 2－c 2＝23 a 2，即a 2＝32b 2， 所以椭圆的方程为x 232b 2 ＋y 2b 2 ＝1，将点⎝⎛⎭⎫32，22 代入方程得b 2＝2，即a 2＝3， 所以椭圆C 的标准方程为x 23 ＋y 22＝1； (2)由(1)知，c 2＝1，故椭圆的右焦点为(1，0)，①若直线l 的斜率不存在，直线的方程为x ＝1，则A ⎝⎛⎭⎫1，233 ，B ⎝⎛⎭⎫1，－233 ，E(1，1)，F(1，－1)， 所以AB ＝433 ，EF 2＝4，AB·EF 2＝1633； ②若直线l 的斜率存在，设直线l 方程为y ＝k(x －1)，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，联立直线l 与椭圆方程⎩⎪⎨⎪⎧x 23＋y 22＝1y ＝k （x －1），可得(2＋3k 2)x 2－6k 2x ＋3k 2－6＝0， 则x 1＋x 2＝6k 22＋3k 2 ，x 1x 2＝3k 2－62＋3k 2， 所以AB ＝（1＋k 2）（x 1－x 2）2 ＝ （1＋k 2）⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫6k 22＋3k 22－4×3k 2－62＋3k 2 ＝43（k 2＋1）2＋3k 2 ，因为圆心(0，0)到直线l 的距离d ＝|k|k 2＋1 ， 所以在圆O ：x 2＋y 2＝2中由⎝⎛⎭⎫12EF 2 ＝r 2－d 2知，EF 2＝4(r 2－d 2) ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫2－k 2k 2＋1 ＝4（k 2＋2）k 2＋1 ， 所以AB·EF 2＝43（k 2＋1）2＋3k 2 ·4（k 2＋2）k 2＋1＝163（k 2＋2）2＋3k 2 ＝1633 ·k 2＋2k 2＋23＝1633 (1＋43k 2＋23 )， 因为k 2∈[0，＋∞)， 则k 2＋23 ∈⎣⎡⎭⎫23，＋∞ ， 1k 2＋23 ∈⎝⎛⎦⎤0，32 ， 故43k 2＋23 ∈(0，2]，1＋43k 2＋23∈(1，3]， 故1633 (1＋43k 2＋23)∈(1633 ，16 3 ]， 即AB·EF 2∈⎝⎛⎦⎤1633，163 ， 综上，AB·EF 2∈⎣⎡⎦⎤1633，163 . 22．(12分)设函数f(x)＝x 2＋(a －2)x －a l n x(a ∈R ).(1)若a ＝1，求f(x)的极值；(2)讨论函数f(x)的单调性；(3)若n ∈N *，证明：122 ＋232 ＋342 ＋…＋n （n ＋1）2<l n (n ＋1). 【解析】(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，当a ＝1时，f′(x)＝2x －1－1x ＝（2x ＋1）（x －1）x， 若f′(x)>0，则x>1，若f′(x)<0，则0<x<1，所以f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增． 所以f(x)极小值＝f(1)＝0，没有极大值．(2)f′(x)＝2x －a x＋(a －2) ＝（2x ＋a ）（x －1）x(x>0)， ①当a≥0时，若f′(x)>0，则x>1，若f′(x)<0，则0<x<1，所以f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增；②当0<－a 2<1，即－2<a<0时， 若f′(x)>0，则0<x<－a 2或x>1， 若f′(x)<0，则－a 2<x<1，所以f(x)在⎝⎛⎭⎫－a 2，1 上单调递减，在⎝⎛⎭⎫0，－a 2 ，(1，＋∞)上单调递增；③当－a 2＝1，即a ＝－2时，f′(x)≥0恒成立， 所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增；④当－a 2>1，即a<－2时， 若f′(x)>0，则0<x<1或x>－a 2； 若f′(x)<0，则1<x<－a 2， 所以f(x)在⎝⎛⎭⎫1，－a 2 上单调递减，在(0，1)，⎝⎛⎭⎫－a 2，＋∞ 上单调递增．综上所述：当a<－2时，f(x)在(1，－a 2 )上单调递减，在(0，1)，(－a 2，＋∞)上单调递增； 当a ＝－2时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当－2<a<0时，f(x)在⎝⎛⎭⎫－a 2，1 上单调递减， 在⎝⎛⎭⎫0，－a 2 ，(1，＋∞)上单调递增； 当a≥0时，f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增；(3)由(1)知f(x)＝x 2－x －l n x 在(0，1)上单调递减， 所以x ∈(0，1)时，x 2－x －l n x>f(1)＝0，所以x 2－x>l n x ，令x ＝n n ＋1 ，得x 2－x ＝－n （n ＋1）2 ， 所以－n （n ＋1）2 >l n n n ＋1＝－l n n ＋1n ， 即l n n ＋1n >n （n ＋1）2， 所以l n 2>122 ，l n 32 >232 ， l n 43 >342 ，…，l n n ＋1n >n （n ＋1）2， 将以上各式左右两边相加得：l n 2＋l n 32 ＋l n 43 ＋…＋l n n ＋1n >122 ＋232 ＋342 ＋…＋n （n ＋1）2， 所以l n (n ＋1)>122 ＋232 ＋342 ＋…＋n （n ＋1）2.。

1.3 交集、并集整体设计教材分析本节是集合的运算，引导学生从日常生活中的现象中抽象出用数学符号来表示实际问题，再拓宽到数学化的问题.从学生的认知背景出发，培养学生会从感性到理性来研究问题、认知世界.学习中要注意概念的建立，让学生初步认识交集、并集的概念和表示方法，并逐步读懂数学语言,会对语言之间进行转化.三维目标1.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的交集与并集.2.能使用Venn图表达集合的运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.3.学生通过观察和类比，借助Venn图理解集合的基本运算.4.感受集合作为一种语言，在表示数学内容时的简洁性和准确性.重点难点教学重点:交集与并集的概念.教学难点:理解交集与并集的概念,符号之间的区别与联系.课时安排1课时教学过程导入新课设计思路一(复习导入)问题1：我们知道，实数有加法运算.类比实数的加法运算，集合是否也可以“相加”呢？问题2：请同学们考察下列各个集合，你能说出集合C与集合A、B之间的关系吗?(1)A={1,3,5},B={2,4,6},C={1,2,3,4,5,6}；(2)A={有理数}，B={无理数}，C={实数}.引导学生通过观察、类比、思考和交流，得出结论.教师强调集合也有运算，这就是我们本节课所要学习的内容.设计思路二(情境导入)我们看下面图(用投影仪打出，软片做成左右两向遮启式，便于同学在“动态”中进行观察).【设问】1.第一次看到了什么？2.第二次看到了什么？3.第三次又看到了什么？4.阴影部分的界线是一条封闭曲线，它的内部(阴影部分)当然表示一个新的集合，试问这个新集合中的元素与集合A、集合B元素有何关系？推进新课新知探究1.并集：—般地，由所有属于集合A或者属于集合B的元素构成的集合，称为A与B的并集(union set)，记作：A∪B，读作：A并B.其含义用符号表示为：A∪B={x|x∈A,或x∈B}.用Venn图表示如下：请同学们用并集运算符号表示问题2中A、B、C三者之间的关系.2.交集思考：求集合的并集是集合间的一种运算，那么，集合间还有其他运算吗？请同学们考察下面的问题，集合A∩B与集合C之间有什么关系？(1)A={2,4,6,8,10},B={3,5,8,12},C={8}；(2)A={x|x是国兴中学2004年9月入学的高一年级女同学}；(3)B={x|x是国兴中学2004年9月入学的高一年级同学}；(4)C={x|x是国兴中学2004年9月入学的高一年级女同学}.教师组织学生思考、讨论和交流，得出结论，从而得出交集的定义：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素构成的集合，称为A与B的交集(intersection set)，记作：A∩B，读作：A交B.其含义用符号表示为：A∩B={x|x∈A,且x∈B}.接着教师要求学生用Venn图表示交集运算.记忆技巧符号“A∩B”形如帽子戴在头上，产生“交”的感觉，所以开口向下,切记该符号不要与表示子集的符号“⊂”、“⊃”混淆.符号“∪”形如“碰杯”时的杯子，产生并的感觉，所以开口向上.切记，不要与“∩”混淆，更不能与“⊆,⊇”等符号混淆.性质：(1)A∩B=B∩A,A∩B⊆A,A∩B⊆B;(2)若A⊆B，则A∩B=A;(3)A∪B=B∪A,A⊆A∪B,B⊆A∪B;(4)若B⊆A,则A∪B=A;(5)A∪A=U.归纳：(1)交集：两集合的公共元素构成集合.(2)并集：把两个集合合在一起，但要注意元素的互异性.(3)基本方法：抽象的集合关系可用韦恩图表示，实数集中的运算可在数轴上表示.注意点：空集是任何集合的子集；空集与任何集合的交集仍为空集.3.区间为了叙述的方便，在以后的学习中，我们常常会用到区间的概念.设a，b∈R，且a＜b，规定：[a，b]={x|a≤x≤b}；(a，b)={x︱a＜x＜b}；[a，b)={x︱a≤x＜b}；(a，b]={x︱a＜x≤b}；(a，+∞)={x︱x＞a}；(-∞，b)={x︱x＜b}；(-∞，+∞)=R.[a，b]叫闭区间，(a，b)叫开区间，[a，b)，(a，b]叫半开半闭区间；a，b叫做相应区间的端点.应用示例思路1例1 (1)设A={4,5,6,8},B={3,5,7,8}，求A ∪B.(2)设集合A={x|-1＜x ＜2},集合B={x|1＜x ＜3},求A ∪B. 分析：使用交集定义就可以，同时借助数轴.解：(1)A ∪B={3,4,5,6,7,8}；(2)A ∪B={x|-1＜x ＜3}.例2 (１)设平面内直线l 1上点的集合为L 1，直线l 2上点的集合为L 2，试用集合的运算表示l 1与l 2的位置关系；(2)学校里开运动会，设A={x|x 是参加一百米跑的同学}，B={x|x 是参加二百米跑的同学}，C={x|x 是参加四百米跑的同学}，学校规定，在上述比赛中，每个同学最多只能参加两项比赛，请你用集合的运算说明这项规定，并解释集合运算A∩B 与A∩C 的含义. 分析：这是两个应用问题，要注意题意的领会和条件的转化.解：(1)L 1∩L 2=∅时，两条直线平行;L 2=L 1时;两条直线重合;L 1∩L 2≠∅时，两条直线相交.(2)学校的规定是A∩B ，A∩C ，C∩B ，A ，B ，C ；A∩B={既参加一百米跑的又参加二百米跑的同学}，A∩C={既参加一百米跑的又参加四百米跑的同学}.例3 A={x|x 2-px+15=0}，B={x|x 2-5x+p=0}，A ∪B={2,3,5},求p ，q. 分析：先利用交集的性质寻找相关的根.解：利用根与系数的关系，由题意可知A={3,5},B={2,3}，所以p=8,q=6. 点评：集合的涉及面比较广，要注意知识间的联系.例4 设全集U=R ，A=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎩⎨⎧<->+0302|x x x ，B={x|x-a ＞0}；当a 为何实数时分别使(1)A是B 的真子集；(2)A∩B=∅；(3)A ∪B={x|x ＞-2}.分析：先化简集合A ，就可以解决问题了. 解：A={x|-2＜x ＜3},B={x|x ＞a}， (1)由图得a≤-2；(2)由图得a≥3；(3)由图得-2≤a ＜3.点评：利用数轴，直观明了.例5 设集合A={x 2,2x-1,-4},B={x-5,1-x,9}，若A∩B={9}，求A ∪B.解：因为A∩B={9}，所以9∈A ，所以2x-1=9或x 2=9，解得x=5或x=3或x=-3. 当x=5时，x 2=25，2x-1=9，x-5=0，1-x=-4，得出A∩B={-4,9}不合题意,故舍去； 当x=3时，x 2=9，2x-1=5，x-5=-2，1-x=-2不满足集合元素互异性，故舍去； 当x=-3时，x 2=9，2x-1=-7，x-5=-8，1-x=4成立. 综上所述，x=-3.点评：注意前后知识点的联系和解题的格式.思路2例1设全集I=R,A={x|-1＜x＜2}，B={x|-3≤x＜21-或21≤x＜3}，则(1)A∩B=____________；(2)A∪B=____________；(3)A∪B=_____________；(4)A∪B=________；(5)A∩B=____________.分析：使用定义和数轴.解：(1)A∩B={x|-1＜x＜21-或21≤x＜2}；(2)A∪B={x|-3≤x＜3}；(3)A∪B={x|x＜-3或-1＜x＜2或x≥3}；(4)A∪B=(A∩B)={x|x≤-1或21-≤x＜21或x≥2}；(5)A∩B=(A∪B)={x|x＜-3或x≥3}.点评：这是一组问题，解决时要注意它们之间的关系.例2A={x|x2-3x+2=0}，B={x|x2-mx+2m=0}，若A∩B=B，求实数m的取值范围.分析：一元二次方程是一个较为灵活的知识，要注意讨论.解：A={1，2}，A∩B=B⇒B⊆A;(1)当B=∅时，Δ=m2-2m＜0,0＜m＜2；(2)当B={1}时，m=2；(3)当B={2}时，m无解；(4)B={1,2}时，m无解.综上所述，0＜m≤2.点评：本题是对集中情况的讨论问题，有利于培养严密的思维.变式训练1.A={m2,m+1,-3}，B={m-3,2m-1,m2+1}，若A∩B={-3}，求m的值.解：(1)m-3=-3⇒m=0,A={0,1,-3}，B={-3,-1,1}(舍)；(2)2m-1=-3⇒m=-1，A={1,0,-3}，B={-4,-3,2},所以m=-1.2.A={x|2x2-px+q=0},B={x|6x2+(p+2)x+(5+q)=0，若A∩B={21}，求A∪B.解：⎩⎨⎧-=-=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++•++•=+•-•,4,7,0521)2()21(6,021)21(222qpqpqp所以A={21,-4}，B={21,31},所以A∪B={-4,21,31}.例3A={x|x2+(p+2)x+1=0}，若A∩{x|x＞0}=∅，求p的取值范围.分析：根据题意，方程无实数根或有两个负根.解：(1)当A=∅时，Δ=(p+2)2-4＜0⇒-4＜p＜0；(2)当A≠∅时，方程的根均为负数，则⎪⎩⎪⎨⎧><+-≥∆,01,0)2(,0p 得p≥0.综上所述，p ＞-4.点评：无实数根是最容易遗忘的，初中对这类问题研究的较少.例4 五年级一班共45人，其中语文得优者20人，数学得优者15人，均不得优者20人，则两门功课均得优者多少人？分析：这是一个应用问题，是以前的难题，属于推理的一种问题，这里可用Venn 图处理.解：利用文氏图设双优者x 人，所以45=20-x+x+15-x+20，所以x=10. 点评：感觉还是比较容易理解，体现了图形的直观性. 知能训练课本第13页练习1、2、3、4、5任选2—3道题. 解答：1.A∩B={2,4},A ∪B={-2,0,2,4,6}；2.A ，A ，∅，A ，∅，U ；3.A∩B={0},A ∪B=R ；4.{(1，2)}；5.A(或B)，∅，Z ，A(或B). 课堂小结本节课主要讲了两个概念：一是由所有属于集合A 且属于集合B 的元素构成的集合，称为A 与B 的交集,记作：A∩B ；二是由所有属于集合A 或属于集合B 的元素构成的集合，称为A 与B 的并集；记作：A ∪B. 作业1.课外思考：对于集合的基本运算，你能得出哪些运算规律？2.请你举出现实生活中的一个实例，并说明其并集、交集和补集的现实含义.3.课本第13页习题1.3 2、4、5.设计感想本节课研究了两个集合之间的运算及一些符号，从一些实际的情境中产生一些数学概念，他们可以用三种语言：文字、符号、图象，这样能够用简洁的语言来描述世界.但在学习中要注意符号不要混乱，对每个符号的意义都要搞清楚，不然就会适得其反.教师的角色是学生建构知识的忠实支持者，教师的作用从传统的传递知识的权威转变为学生学习的辅导者，成为学生学习的高级伙伴或合作者.教师应该给学生提供复杂的真实问题,他们不仅必须开发或发现这些问题，而且必须认识到复杂问题有多种答案，激励学生对问题解决的多种观点，这显然是与创造性的教学活动宗旨紧密相吻合的.教师必须创设一种良好的学习环境，学生在这种环境中可以通过实验、独立探究、合作学习等方式来展开他们的学习.教师必须保证学习活动和学习内容保持平衡.教师应认识教学目标包括认知目标和情感目标，教学是逐步减少外部控制、增加学生自我控制学习的过程.习题详解课本第13页习题1.31.填表∩∅ A B ∪∅ A B ∅∅∅∅∅∅ A BA ∅ A A∩B A A A A∪BB ∅A∩B B B B A∪B B∩∅ A A ∪∅ A A ∅∅∅∅∅∅ A AA ∅ A ∅ A A A UA ∅∅ A A A U A2.A∩B={x|2≤x≤3}=[2,3];3.A∪B=[-1,1]；4.(1)B⊆A成立，A⊆B不成立；(2)A∩B=B={2,4,6,8},A∪B=A={1,2,3,4,5,6,7,8}；5.(1)线段AB的中垂线；(2)以O为圆心，1为半径的圆；6.第一次进货用A表示，A={圆珠笔，钢笔，铅笔，笔记本，方便面，火腿肠}，第二次进货用B表示，B={铅笔，方便面，汽水，火腿肠}，两次进货构成的集合为A∪B＝{圆珠笔，钢笔，铅笔，笔记本，方便面，火腿肠，汽水}；7.(1)B∩A，(2)A∩B∩C；8.(1)因为A∪B={1,2,3,4,5}，所以(A∪B)={6}；因为A={1,4,6}，B={2,3,5,6}，所以(A)∩(B)={6},所以(A∪B)=(A)∩(B).(2)如图所示(A∪B) B(3)通过(1)、(2)，我们知道(A∪B)=A∩B(德·摩根定律).9.(1)S-A={x｜x为高一(1)班男同学}，A={x｜x为高一(1)班男同学}；(2)如图：(3)A∩B= .。

高一数学课时跟踪检测(全一册)苏教版必修课时跟踪检测一棱柱棱锥和棱台课时跟踪检测二圆柱圆锥圆台和球课时跟踪检测三直观图画法课时跟踪检测四平面的基本性质课时跟踪检测五空间两条直线的位置关系课时跟踪检测六直线与平面平行课时跟踪检测七直线与平面垂直课时跟踪检测八两平面平行课时跟踪检测九两平面垂直课时跟踪检测十空间几何体的表面积课时跟踪检测十一空间几何体的体积课时跟踪检测十二直线的斜率课时跟踪检测十三直线的点斜式方程课时跟踪检测十四直线的两点式方程课时跟踪检测十五直线的一般式方程课时跟踪检测十六两条直线的平行课时跟踪检测十七两条直线的垂直课时跟踪检测十八两条直线的交点课时跟踪检测十九平面上两点之间的距离课时跟踪检测二十点到直线的距离课时跟踪检测二十一圆的标准方程课时跟踪检测二十二圆的一般方程课时跟踪检测二十三直线与圆的位置关系课时跟踪检测二十四圆与圆的位置关系课时跟踪检测二十五空间直角坐标系课时跟踪检测二十六空间两点间的距离课时跟踪检测（一）棱柱、棱锥和棱台层级一学业水平达标1．关于如图所示的4个几何体,说法正确的是( )A．只有②是棱柱B．只有②④是棱柱C．只有①②是棱柱D．只有①②④是棱柱解析：选D 解决这类问题,要紧扣棱柱的定义：有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行．图①②④满足棱柱的定义,正确；图③不满足侧面都是平行四边形,不正确．2．下面结论是棱台具备的性质的是( )①两底面相似；②侧面都是梯形；③侧棱都相等；④侧棱延长后都交于一点.A．①③B．①②④C．②④D．②③④解析：选B 用棱台的定义可知选B.3．下面图形中,为棱锥的是( )A．①③ B．①③④C．①②④ D．①②解析：选 C 根据棱锥的定义和结构特征可以判断,①②是棱锥,③不是棱锥,④是棱锥．故选C.4．下列图形中,不能折成三棱柱的是( )解析：选C C中,两个底面均在上面,因此不能折成三棱柱,其余均能折为三棱柱．5．一个棱锥的各条棱都相等,那么这个棱锥一定不是( )A．三棱锥B．四棱锥C．五棱锥D．六棱锥解析：选D 若满足条件的棱锥是六棱锥,则它的六个侧面都是正三角形,侧面的顶角都是60°,其和为360°,则顶点在底面内,与棱锥的定义相矛盾．6．一个棱柱至少有________个面,面数最少的一个棱锥有________个顶点,顶点最少的一个棱台有________条侧棱．答案：5 4 37．两个完全相同的长方体,长、宽、高分别为5 cm,4 cm,3 cm,把它们重叠在一起组成一个新长方体,在这些新长方体中,表面积最大的长方体的表面积为________ cm2.解析：将两个长方体侧面积最小的两个面重合在一起,得到的长方体的表面积最大,此时,所得的新长方体的长、宽、高分别为10 cm,4 cm,3 cm,表面积的最大值为2×(10×4＋3×4＋3×10)＝164.答案：1648.如图,三棱台ABC­A′B′C′,沿A′BC截去三棱锥A′­ABC,则剩余部分是________．解析：在图中截去三棱锥A′­ABC后,剩余的是以BCC′B′为底面,A′为顶点的四棱锥．答案：四棱锥A′­BCC′B′9．如图,观察并分别判断①中的三棱镜,②中的螺杆头部模型有多少对互相平行的平面,其中能作为棱柱底面的分别有几对．解：图①中有1对互相平行的平面,只有这1对可以作为棱柱的底面．图②中有4对互相平行的平面,只有1对可以作为棱柱的底面．10.在一个长方体的容器中,里面装有少量水,现在将容器绕着其底部的一条棱倾斜,在倾斜的过程中．(1)水面的形状不断变化,可能是矩形,也可能变成不是矩形的平行四边形,对吗？(2)水的形状也不断变化,可以是棱柱,也可能变为棱台或棱锥,对吗？(3)如果倾斜时,不是绕着底部的一条棱,而是绕着其底部的一个顶点,上面的第(1)题和第(2)题对不对？解：(1)不对；水面的形状是矩形,不可能是其他非矩形的平行四边形．(2)不对；此几何体是棱柱,水比较少时,是三棱柱,水多时,可能是四棱柱,或五棱柱；但不可能是棱台或棱锥．(3)用任意一个平面去截长方体,其截面形状可以是三角形,四边形,五边形,六边形,因而水面的形状可以是三角形,四边形,五边形,六边形；水的形状可以是棱锥,棱柱,但不可能是棱台．层级二 应试能力达标1．下列命题正确的是( )A ．有两个面互相平行,其余各面都是四边形的几何体叫做棱柱B ．棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面C ．棱柱的侧面是平行四边形,底面不是平行四边形D ．棱柱的侧棱都相等,侧面都是平行四边形解析：选D 根据棱柱的定义可知D 正确．2．下列说法正确的是( )A ．有2个面平行,其余各面都是梯形的几何体是棱台B ．多面体至少有3个面C ．各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体D ．九棱柱有9条侧棱,9个侧面,侧面为平行四边形解析：选D 选项A 错误,反例如图1；一个多面体至少有4个面,如三棱锥有4个面,不存在有3个面的多面体,所以选项B 错误；选项C 错误,反例如图2,上、下底面是全等的菱形,各侧面是全等的正方形,它不是正方体；根据棱柱的定义,知选项D 正确．3．用一平行于棱锥底面的平面截某棱锥,截得的棱台上、下底面面积比为1∶4,截去的棱锥的高是3 cm,则棱台的高是( )A ．12 cmB ．9 cmC ．6 cmD ．3 cm解析：选D 设原棱锥的高为h cm,依题意可得⎝ ⎛⎭⎪⎫3h 2＝14,解得h ＝6,所以棱台的高为6－3＝3(cm)．4．五棱柱中,不同在任何侧面,且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线,那么一个五棱柱共有对角线( )A ．20条B ．15条C ．12条D ．10条解析：选D 由题意,知五棱柱的对角线一定为上底面的一个顶点和下底面的一个顶点的连线,因为不同在任何侧面内,故从一个顶点出发的对角线有2条,所以五棱柱共有对角线2×5＝10(条)．故选D.5．在正方体上任意选择4个顶点,则可以组成的平面图形或几何体是________．(写出所有正确结论的编号)①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形,另一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．解析：如图,在正方体ABCD­A1B1C1D1上,若取A,B,C,D四个顶点,可得矩形；若取D,A,C,D1四个顶点,可得③中所述几何体；若取A,C,D1,B1四个顶点,可得④中所述几何体；若取D,D1,A,B四个顶点,可得⑤中所述几何体．故填①③④⑤.答案：①③④⑤6.如图,M是棱长为2 cm的正方体ABCD­A1B1C1D1的棱CC1的中点,沿正方体表面从点A到点M的最短路程是________ cm.解析：由题意,若以BC为轴展开,则A,M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为2 cm,3 cm,故两点之间的距离是13cm.若以BB1为轴展开,则A,M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为1,4,故两点之间的距离是17 cm.故沿正方体表面从点A到点M的最短路程是13 cm.答案：137．根据下列关于空间几何体的描述,说出几何体的名称．(1)由6个平行四边形围成的几何体．(2)由7个面围成,其中一个面是六边形,其余6个面都是有一个公共顶点的三角形．(3)由5个面围成的几何体,其中上、下两个面是相似三角形,其余3个面都是梯形,并且这些梯形的腰延长后能相交于一点．解：(1)这是一个上、下底面是平行四边形,四个侧面也是平行四边形的四棱柱．(2)这是一个六棱锥,其中六边形面是底面,其余的三角形面是侧面．(3)这是一个三棱台,其中相似的两个三角形面是底面,其余三个梯形面是侧面．8.如图在正方形ABCD中,E,F分别为AB,BC的中点,沿图中虚线将3个三角形折起,使点A,B,C重合,重合后记为点P.问：(1)折起后形成的几何体是什么几何体？(2)若正方形边长为2a ,则每个面的三角形面积为多少？解：(1)如图折起后的几何体是三棱锥．(2)S △PEF ＝12a 2,S △DPF ＝S △DPE ＝12×2a ×a ＝a 2, S △DEF ＝32a 2. 课时跟踪检测（二） 圆柱、圆锥、圆台和球层级一 学业水平达标1．有下列四个说法,其中正确的是( )A ．圆柱的母线与轴垂直B ．圆锥的母线长等于底面圆直径C ．圆台的母线与轴平行D ．球的直径必过球心解析：选D A ：圆柱的母线与轴平行；B ：圆锥的母线长与底面圆的直径不具有任何关系；C ：圆台的母线延长线与轴相交．故D 正确．2．如图所示的图形中有( )A ．圆柱、圆锥、圆台和球B ．圆柱、球和圆锥C ．球、圆柱和圆台D ．棱柱、棱锥、圆锥和球解析：选B 根据题中图形可知,(1)是球,(2)是圆柱,(3)是圆锥,(4)不是圆台,故应选B.3．下列说法中正确的个数是( )①用一个平面去截一个圆锥得到一个圆锥和一个圆台；②圆锥中过轴的截面是一个等腰三角形；③分别以矩形(非正方形)的长和宽所在直线为旋转轴,旋转一周得到的两个几何体是两个不同的圆柱．A ．0B ．1C．2 D．3解析：选C ①中,必须用一个平行于底面的平面去截圆锥,才能得到一个圆锥和一个圆台,故①说法错误；显然②③说法正确．故说法正确的有2个．4．如图所示的几何体是由下列哪个平面图形通过旋转得到的( )解析：选A 由题图知平面图应是一个直角三角形和一个直角梯形构成,故A正确．5．一个直角三角形绕斜边旋转360°形成的空间几何体是( )A．一个圆锥B．一个圆锥和一个圆柱C．两个圆锥D．一个圆锥和一个圆台答案：C6．将一个直角梯形绕其较短的底边所在的直线旋转一周得到一个几何体,则该几何体的结构特征是________________________________．答案：一个圆柱被挖去一个圆锥后所剩的几何体7．用平行于圆锥底面的平面截圆锥,所得截面面积与底面面积的比是1∶3,这个截面把圆锥的母线分为两段的比是________．解析：∵截面面积与底面面积的比为1∶3,故小圆锥与大圆锥的相似比为1∶3,故小圆锥与大圆锥的母线长之比为1∶3,故小圆锥与所得圆台的母线长比为1∶(3－1)．答案：1∶(3－1)8．将边长为4 cm和8 cm的矩形纸片卷成一个圆柱的侧面,则圆柱的轴截面的面积为________cm2.解析：当以4 cm为母线长时,设圆柱底面半径为r,则8＝2πr,∴2r＝8π.∴S轴截面＝4×8π＝32π(cm)2.当以8 cm为母线长时,设圆柱底面半径为R,则2πR＝4,2R＝4π.∴S轴截面＝8×4π＝32π(cm)2.综上,圆锥的轴截面面积为32πcm 2. 答案：32π9．将长为4宽为3的矩形ABCD 沿对角线AC 折起,折起后A ,B ,C ,D 在同一个球面上吗？若在求出这个球的直径．解：因为对角线AC 是直角三角形ABC 和直角三角形ADC 的公共斜边,所以AC 的中点O 到四个点的距离相等,即O 为该球的球心．所以AC 为球的一条直径,由勾股定理得AC ＝42＋32＝5.10．如图所示,直角梯形ABCD 中,AB ⊥BC ,绕着CD 所在直线l 旋转,试画出立体图并指出几何体的结构特征．解：如图①,过A ,B 分别作AO 1⊥CD ,BO 2⊥CD ,垂足分别为O 1,O 2,则Rt △CBO 2绕l 旋转一周所形成的曲面围成几何体是圆锥,直角梯形O 1ABO 2绕l 旋转一周所形成的曲面围成的几何体是圆台,Rt△ADO 1绕l 旋转一周所形成的曲面围成的几何体是圆锥．① ② 综上,所得几何体下面是一个圆锥,上面是一个圆台挖去了一个以圆台上底面为底面的圆锥．(如图②所示)．层级二 应试能力达标1．下列结论正确的是( )A ．用一个平面去截圆锥,得到一个圆锥和一个圆台B ．经过球面上不同的两点只能作一个最大的圆C ．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等,则此棱锥可能是正六棱锥D ．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线解析：选D 须用平行于圆锥底面的平面截才能得到圆锥和圆台,故A 错误；若球面上不同的两点恰为最大的圆的直径的端点,则过此两点的大圆有无数个,故B错误；正六棱锥的侧棱长必然要大于底面边长,故C错误．故选D.2.若圆柱体被平面截成如图所示的几何体,则它的侧面展开图是( )解析：选D 结合几何体的实物图,从截面最低点开始高度增加缓慢,然后逐渐变快,最后增加逐渐变慢,不是均衡增加的,所以A、B、C错误．3．一个正方体内接于一个球,过球心作一截面,如下图所示,则截面的可能图形是( )A．①②B．②④C．①②③D．②③④解析：选C 当截面平行于正方体的一个侧面时得③,当截面过正方体对角面时得②,当截面不平行于任何侧面也不过对角面时得①,但无论如何都不能得出④.4．已知半径为5的球的两个平行截面的周长分别为6π和8π,则两平行平面间的距离为( )A．1 B．2C．1或7 D．2或6解析：选C 由截面的周长分别为6π和8π得两个截面半径分别为3和4,又球的半径为5,故圆心到两个截面的距离分别为4和3,故当两个截面在球心同一侧时,平行平面间的距离为4－3＝1,当两个截面在球心两侧时,平行平面间的距离为4＋3＝7.5．如果圆锥的侧面展开图是半圆,那么这个圆锥的顶角(圆锥轴截面中两条母线的夹角)是________．解析：设底面半径为r,母线为l,则2πr＝πl,∴l＝2r.故两条母线的夹角为60°.答案：60°6．圆锥底面半径为1 cm,高为 2 cm,其中有一个内接正方体,则这个内接正方体的棱长为________ cm.解析：圆锥的轴截面SEF、正方体对角面ACC 1A1如图．设正方体的棱长为x cm,则AA1＝x cm,A1C1＝2x cm.作SO ⊥EF 于点O ,则SO ＝ 2 cm,OE ＝1 cm.∵△EAA 1∽△ESO ,∴AA 1SO ＝EA 1EO ,即x 2＝1－22x1.∴x ＝22,即该内接正方体的棱长为22 cm. 答案：227．一个圆锥的底面半径为2,高为6,在其中有一个高为x 的内接圆柱．(1)用x 表示圆柱的轴截面面积S ；(2)当x 为何值时,S 最大？解：(1)如图,设内接圆柱的底面圆半径为r , 由已知得6－x 6＝r2,∴r ＝6－x3,∴S ＝2×6－x3×x ＝－23x 2＋4x (0<x <6)．(2)当x ＝－42×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝3时,S 最大．8.如图所示,已知圆柱的高为80 cm,底面半径为10 cm,轴截面上有P ,Q 两点,且PA ＝40 cm,B 1Q ＝30 cm,若一只蚂蚁沿着侧面从P 点爬到Q 点,问：蚂蚁爬过的最短路径长是多少？解：将圆柱侧面沿母线AA 1展开,得如图所示矩形．∴A 1B 1＝12·2πr ＝πr ＝10π(cm)．过点Q 作QS ⊥AA 1于点S ,在Rt △PQS 中,PS ＝80－40－30＝10(cm),QS ＝A1B 1＝10π(cm)．∴PQ＝PS2＋QS2＝10π2＋1(cm)．即蚂蚁爬过的最短路径长是10π2＋1 cm.课时跟踪检测（三）直观图画法层级一学业水平达标1．根据斜二测画法的规则画直观图时,把Ox,Oy,Oz轴画成对应的O′x′,O′y′,O′z′,则∠x′O′y′与∠x′O′z′的度数分别为( ) A．90°,90°B．45°,90°C．135°,90° D．45°或135°,90°解析：选D 根据斜二测画法的规则,∠x′O′y′的度数应为45°或135°,∠x′O′z′指的是画立体图形时的横轴与纵轴的夹角,所以度数为90°.2．已知一个建筑物上部为四棱锥,下部为长方体,且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样,长方体的长、宽、高分别为20 m,5 m,10 m,四棱锥的高为8 m,如果按1∶500 的比例画出它的直观图,那么在直观图中,长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为( ) A．4 cm,1 cm,2 cm,1.6 cmB．4 cm,0.5 cm,2 cm,0.8 cmC．4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cmD．4 cm,0.5 cm,1 cm,0.8 cm解析：选C 直观图中长、宽、高应分别按原尺寸的1500,11 000,1500计算,最后单位转化为 cm.3．利用斜二测画法画边长为1 cm的正方形的直观图,可能是下面的( )解析：选C 正方形的直观图是平行四边形,且边长不相等,故选C项．4.如右图所示的水平放置的三角形的直观图,D′是△A′B′C′中B′C′边的中点,且A′D′平行于y′轴,那么A′B′,A′D′,A′C′三条线段对应原图形中线段AB,AD,AC中( )A．最长的是AB,最短的是ACB．最长的是AC,最短的是ABC．最长的是AB,最短的是ADD．最长的是AD,最短的是AC解析：选C 因为A′D′∥y′轴,所以在△ABC中,AD⊥BC,又因为D′是B′C′的中点,所以D是BC中点,所以AB＝AC>AD.5．水平放置的△ABC ,有一边在水平线上,用斜二测画法作出的直观图是正三角形A ′B ′C ′,则△ABC 是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．任意三角形解析：选C 将△A ′B ′C ′还原,由斜二测画法知,△ABC 为钝角三角形． 6．利用斜二测画法得到 ①三角形的直观图是三角形； ②平行四边形的直观图是平行四边形； ③正方形的直观图是正方形； ④矩形的直观图是矩形．以上结论,正确的是________(填序号)．解析：斜二测画法得到的图形与原图形中的线线相交、相对线线平行关系不会改变,因此三角形的直观图是三角形,平行四边形的直观图是平行四边形．答案：①②7.如图,矩形O ′A ′B ′C ′是水平放置的一个平面图形的直观图,其中O ′A ′＝6,O ′C ′＝3,B ′C ′∥x ′轴,则原平面图形的面积为________．解析：在直观图中,设B ′C ′与y ′轴的交点为D ′,则易得O ′D ′＝32,所以原平面图形为一边长为6,高为62的平行四边形,所以其面积为6×62＝36 2.答案：36 28.如图,一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°,腰和上底长均为1的等腰梯形,则这个平面图形的面积是________．解析：由题意知平面图形为直角梯形ABCD ,其中,AD ＝AD ′＝1,BC ＝B ′C ′＝1＋2,AB ＝2,即S 梯形ABCD ＝(1＋1＋2)2×2＝2＋ 2.答案：2＋ 29.如图所示,梯形ABCD 中,AB ∥CD ,AB ＝4 cm,CD ＝2 cm,∠DAB ＝30°,AD ＝3 cm,试画出它的直观图．解：(1)如图(a)所示,在梯形ABCD 中,以边AB 所在的直线为x 轴,点A 为原点,建立平面直角坐标系xOy .如图(b)所示,画出对应的x ′轴,y ′轴,使∠x ′O ′y ′＝45°.(2)在图(a)中,过D 点作DE ⊥x 轴,垂足为E .在x ′轴上取A ′B ′＝AB ＝4 cm,A ′E ′＝AE ＝3×32≈2.598 (cm)；过点E ′作E ′D ′∥y ′轴,使E ′D ′＝12ED ,再过点D ′作D ′C ′∥x ′轴,且使D ′C ′＝DC ＝2 cm.(3)连结A ′D ′,B ′C ′,并擦去x ′轴与y ′轴及其他一些辅助线,如图(c)所示,则四边形A ′B ′C ′D ′就是所求作的直观图．10．已知底面是正六边形,侧面都是全等的等腰三角形的六棱锥．请画出它的直观图． 解：作法：(1)画六棱锥P ­ABCDEF 的底面．①在正六边形ABCDEF 中,取AD 所在直线为x 轴,对称轴MN 所在直线为y 轴,两轴交于点O .画相应的x ′轴和y ′轴、z ′轴,三轴交于点O ′,使∠x ′O ′y ′＝45°,∠x ′O ′z ′＝90°.②以O ′为中点,在x ′轴上取A ′D ′＝AD ,在y ′轴上取M ′N ′＝12MN ,以N ′为中点画B ′C ′,使B ′C ′∥O ′x ′,B ′C ′＝BC ；再以M ′为中点画E ′F ′,使E ′F ′∥O ′x ′,E ′F ′＝EF .③连结A ′B ′,C ′D ′,D ′E ′,F ′A ′,得到正六边形ABCDEF 水平放置的直观图A ′B ′C ′D ′E ′F ′.(2)画六棱锥的顶点．在O ′z ′上截取点P ,使PO ′＝PO .(3)成图,连结PA ′,PB ′,PC ′,PD ′,PE ′,PF ′,并擦去辅助线,改被遮挡部分为虚线,即得六棱锥P ­ABCDEF 的直观图六棱锥P ­A ′B ′C ′D ′E ′F ′.层级二 应试能力达标1.已知水平放置的△ABC 按斜二测画法得到如图所示的直观图,其中B ′O ′＝C ′O ′＝1,A ′O ′＝32,那么原△ABC 是一个( ) A ．等边三角形 B ．直角三角形C ．三边中有两边相等的等腰三角形D ．三边互不相等的三角形解析：选A 根据斜二测画法的原则,得BC ＝B ′C ′＝2,OA ＝2A ′O ′＝2×32＝3,AO ⊥BC ,∴AB ＝AC ＝BC ＝2,∴△ABC 是等边三角形． 2.用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图所示,AB 边平行于y 轴,BC ,AD 平行于x 轴．已知四边形ABCD 的面积为2 2 cm 2,则原平面图形A ′B ′C ′D ′的面积为( )A ．4 cm 2B ．4 2 cm 2C ．8 cm 2D ．8 2 cm 2解析：选C 依题意,可知∠BAD ＝45°,则原平面图形A ′B ′C ′D ′为直角梯形,上、下底边分别为B ′C ′,A ′D ′,且长度分别与BC ,AD 相等,高为A ′B ′,且长度为梯形ABCD 的高的22倍,所以原平面图形的面积为8 cm 2.3．如图是利用斜二测画法画出的△ABO 的直观图,已知O ′B ′＝4,A ′B ′∥y ′ 轴,且△ABO 的面积为16,过A ′作A ′C ′⊥x ′轴,则A ′C ′的长为( )A ．2 2 B. 2 C ．16 2D ．1解析：选A 因为A ′B ′∥y ′轴,所以在△ABO 中,AB ⊥OB .又△ABO 的面积为16,所以12AB ·OB ＝16.所以AB ＝8,所以A ′B ′＝4.如图,作A ′C ′⊥O ′B ′于点C ′,所以B ′C ′＝A ′C ′,所以A ′C ′的长为4sin 45°＝2 2.4．已知两个圆锥,底面重合在一起,其中一个圆锥顶点到底面的距离为 2 cm,另一个圆锥顶点到底面的距离为3 cm,则其直观图中这两个顶点之间的距离为( )A ．2 cmB ．3 cmC ．2.5 cmD ．5 cm解析：选D 圆锥顶点到底面的距离即圆锥的高,故两顶点间距离为2＋3＝5 cm,在直观图中与z 轴平行的线段长度不变,仍为5 cm.5．有一个长为5,宽为4 的矩形,则其直观图的面积为________． 解析：由于该矩形的面积为S ＝5×4＝20,所以由公式S ′＝24S ,得其直观图的面积为S ′＝24S ＝5 2. 答案：5 26.水平放置的△ABC 的斜二测直观图如图所示,已知A ′C ′＝3,B ′C ′＝2,则AB 边上的中线的实际长度为________．解析：由直观图知,原平面图形为直角三角形,且AC ＝A ′C ′＝3,BC＝2B′C′＝4,计算得AB＝5,所求中线长为2.5.答案：2.57．在水平位置的平面M内有一边长为1的正方形A′B′C′D′.如图,其中对角线A′C′在水平位置,已知该正方形是某个四边形用斜二测画法画出的直观图,试画出该四边形的真实图形并求出其面积．解：四边形ABCD的真实图形如图所示．∵A′C′为水平位置,∴四边形ABCD中,DA⊥AC.∵DA＝2D′A′＝2,AC＝A′C′＝2,∴S四边形ABCD＝AC·AD＝2 2.8．如图,正方形O′A′B′C′的边长为1 cm,它是水平放置的一个平面图形的直观图．请画出原来的平面图形的形状,并求原图形的周长与面积．解：如图,建立直角坐标系xOy,在x轴上取OA＝O′A′＝1 cm；在y轴上取OB＝2O′B′＝2 2 cm；在过点B的x轴的平行线上取BC＝B′C′＝1 cm.连结O,A,B,C各点,即得到了原图形．由作法可知,OABC为平行四边形,OC＝OB2＋BC2＝8＋1＝3 cm,∴平行四边形OABC的周长为(3＋1)×2＝8 cm,面积为S＝1×22＝2 2 cm2.课时跟踪检测（四）平面的基本性质层级一学业水平达标1．如果直线a⊂平面α,直线b⊂平面α,M∈a,N∈b,M∈l,N∈l,则( )A．l⊂αB．l⊄αC．l∩α＝M D．l∩α＝N解析：选A ∵M∈a,a⊂α,∴M∈α,同理,N∈α,又M∈l,N∈l,故l⊂α.2．下列命题中正确命题的个数是( )①三角形是平面图形；②梯形是平面图形；③四边相等的四边形是平面图形；④圆是平面图形．A．1个B．2个C．3个D．4个解析：选C 根据公理1可知①②④正确,③错误．故选C.3．已知直线m⊂平面α,P∉m,Q∈m,则( )A．P∉α,Q∈αB．P∈α,Q∉αC．P∉α,Q∉αD．Q∈α解析：选D 因为Q∈m,m⊂α,所以Q∈α.因为P∉m,所以有可能P∈α,也可能有P∉α.4．如果两个平面有一个公共点,那么这两个平面( )A．没有其他公共点B．仅有这一个公共点C．仅有两个公共点D．有无数个公共点解析：选D 根据公理2可知,两个平面若有一个公共点,则这两个平面有且只有一个经过该点的公共直线．故选D.5．若直线l上有两个点在平面α外,则( )A．直线l上至少有一个点在平面α内B．直线l上有无穷多个点在平面α内C．直线l上所有点都在平面α外D．直线l上至多有一个点在平面α内解析：选D 由已知得直线l⊄α,故直线l上至多有一个点在平面α内．6．过同一点的4条直线中,任意3条都不在同一平面内,则这4条直线确定平面的个数是________．解析：设四条直线为a,b,c,d,则这四条直线中每两条都确定一个平面,因此,a与b,a 与c,a与d,b与c,b与d,c与d都分别确定一个平面,共6个平面．答案：67．已知α,β是不同的平面,l,m,n是不同的直线,P为空间中一点．若α∩β＝l,m⊂α,n⊂β,m∩n＝P,则点P与直线l的位置关系用符号表示为________．解析：因为m⊂α,n⊂β,m∩n＝P,所以P∈α且P∈β.又α∩β＝l,所以点P在直线l上,所以P∈l.答案：P∈l8．空间有四个点,如果其中任意三个点不共线,则经过其中三个点的平面有________个．解析：用平面四边形和三棱锥的四个顶点判断,经过其中三个点的平面有1或4个．答案：1或49.如图,在正方体ABCD­A1B1C1D1中,判断下列命题是否正确,并说明理由．(1)由点A,O,C可以确定一个平面；(2)由点A,C1,B1确定的平面为平面ADC1B1.解：(1)不正确．因为点A,O,C在同一条直线上,故不能确定一个平面．(2)正确．因为点A,B1,C1不共线,所以可确定一个平面．又因为AD∥B1C1,所以点D∈平面AB1C1.所以由点A,C1,B1确定的平面为平面ADC1B1.10.如图,已知平面α,β,且α∩β＝l.设梯形ABCD中,AD∥BC,且AB⊂α,CD⊂β,求证：AB,CD,l共点(相交于一点)．证明：∵在梯形ABCD中,AD∥BC,∴AB,CD是梯形ABCD的两条腰．∴AB,CD必定相交于一点,设AB∩CD＝M.又∵AB⊂α,CD⊂β,∴M∈α,且M∈β.∴M∈α∩β.又∵α∩β＝l,∴M∈l,即AB,CD,l共点．层级二应试能力达标1．能确定一个平面的条件是( )A．空间三个点B．一个点和一条直线C．无数个点D．两条相交直线解析：选D 不在同一条直线上的三个点可确定一个平面,A,B,C条件不能保证有不在同一条直线上的三个点,故不正确．2．下列推理错误的是( )A．A∈l,A∈α,B∈l,B∈α⇒l⊂αB．A∈α,A∈β,B∈α,B∈β⇒α∩β＝ABC．l⊄α,A∈l⇒A∉αD．A,B,C∈α,A,B,C∈β,且A,B,C不共线⇒α与β重合解析：选C 当l⊄α,A∈l时,也有可能A∈α,如l∩α＝A,故C错．3.如图,已知平面α∩平面β＝l,P∈β且P∉l,M∈α,N∈α,又MN∩l＝R,M,N,P三点确定的平面记为γ,则β∩γ是( )A．直线MP B．直线NPC．直线PR D．直线MR解析：选C 因为MN⊂γ,R∈MN,所以R∈γ.又α∩β＝l,MN∩l＝R,所以R∈β.又P ∈β,P∈γ,所以P,R均为平面γ与β的公共点,所以β∩γ＝PR.4．在空间四边形ABCD中,在AB,BC,CD,DA上分别取E,F,G,H四点,如果GH,EF交于一点P,则( )A．P一定在直线BD上B．P一定在直线AC上C．P在直线AC或BD上D．P既不在直线BD上,也不在AC上解析：选B 由题意知GH⊂平面ADC.因为GH,EF交于一点P,所以P∈平面ADC.同理,P ∈平面ABC.因为平面ABC∩平面ADC＝AC,由公理2可知点P一定在直线AC上．5．三条直线两两相交,它们可以确定________个平面．解析：若三条直线两两相交,且不共点,则只能确定一个平面；若三条直线两两相交,且共点,则可以确定1个或3个平面．答案：1或36．三个平面两两相交,则将空间分成________个部分．解析：三个平面两两相交(1)若交于同一条直线,则将空间分成6个部分；(2)若交于三条交线①三条交线交于一点,则将空间分成8个部分；②若三条交线互相平行,则将空间分成7个部分；所以,三个这样的平面将空间分成6或7或8个部分．答案：6或7或87. 如图,直角梯形ABDC中,AB∥CD,AB>CD,S是直角梯形ABDC所在平面外一点,画出平面SBD和平面SAC的交线．解：延长AC,BD交于T, 连结ST,∵T∈AC,AC⊂平面SAC,。

第2课时集合的表示1．掌握集合的两种常用表示方法(列举法和描述法)．(重点、难点)2．通过实例选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用．3．了解集合相等的概念，并能用于解决问题．(重点)4．了解集合的不同的分类方法．[基础·初探]教材整理1列举法阅读教材P6第1～2自然段，完成下列问题．将集合的元素一一列举出来，并置于花括号“{ }”内．用这种方法表示集合，元素之间要用逗号分隔，但列举时与元素的次序无关．用列举法表示由1,2,3,4组成的集合为________．【解析】易知集合中含有的元素为1,2,3,4，故用列举法可以表示为{1,2,3,4}．【答案】{1,2,3,4}教材整理2集合相等阅读教材P6第3自然段，完成下列问题．如果两个集合所含的元素完全相同(即A中的元素都是B的元素，B中的元素也都是A的元素)，那么称这两个集合相等．(1)集合{1,2,3}与{3,2,1}________相等集合．(填“是”或“不是”)(2)若集合{1，a}与集合{2，b}相等，则a＋b＝________.【解析】(1)集合{1,2,3}与{3,2,1}元素完全相同，故两集合是相等集合．(2)由于{1，a}＝{2，b}，故a＝2，b＝1，∴a＋b＝3.【答案】(1)是(2)3教材整理3描述法阅读教材P6第4自然段，完成下列问题．将集合的所有元素都具有的性质(满足的条件)表示出来，写成{x|p(x)}的形式．(1)不等式x－7<3的解集用描述法可表示为________．(2)集合{(x，y)|y＝x＋1}表示的意义是________．【解析】(1)∵x－7<3，∴x<10，故解集可表示为{x|x<10}．(2)集合的代表元素是点(x，y)，共同特征是y＝x＋1，故它表示直线y＝x＋1上的所有点组成的集合．【答案】(1){x|x<10} (2)直线y＝x＋1上的所有点组成的集合教材整理4集合的三种表示方法阅读教材P6第5自然段至例1，完成下列问题．1．Venn图法表示集合用一条封闭曲线的内部来表示集合的方法叫做Venn图法．2．三种表示方法的关系一个集合可以采用不同的表示方法表示，即集合的表示方法不唯一．用三种形式表示由2,4,6,8四个元素组成的集合．【解】列法举：{2,4,6,8}．描述法：{x|2≤x≤8，且x＝2k，k∈Z}．Venn图法：教材整理5集合的分类阅读教材P6最后两自然段，完成下列问题．若方程x2－4＝0的解组成的集合记作A；不等式x>3的解组成的集合记作B；方程x2＝－1的实数解组成的集合记作C.则集合A，B，C中，________是有限集，________是空集，________是无限集．【解析】∵x2－4＝0，∴x＝±2，即A中只有2个元素，A为有限集；大于3的实数有无数个，则B 为无限集；x 2＝－1无实根，则C 为空集． 【答案】 A C B[小组合作型]用适当的方法表示下列集合：(1)B ＝{(x ，y )|x ＋y ＝4，x ∈N *，y ∈N *}； (2)不等式3x －8≥7－2x 的解集；(3)坐标平面内抛物线y ＝x 2－2上的点的集合；(4)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪99－x ∈N ，x ∈N . 【精彩点拨】 (1)(4)中的元素个数很少，用列举法表示；(2)(3)中的元素无法一一列举，用描述法表示．【自主解答】 (1)∵x ＋y ＝4，x ∈N *，y ∈N *， ∴⎩⎨⎧ x ＝1，y ＝3，或⎩⎨⎧ x ＝2，y ＝2，或⎩⎨⎧x ＝3，y ＝1. ∴B ＝{(1,3)，(2,2)，(3,1)}． (2)由3x －8≥7－2x ，可得x ≥3，所以不等式3x －8≥7－2x 的解集为{x |x ≥3}． (3){(x ，y )|y ＝x 2－2}． (4)∵99－x∈N ，x ∈N ， ∴当x ＝0,6,8这三个自然数时，99－x＝1,3,9也是自然数，∴A ＝{0,6,8}．1．集合表示法的选择对于有限集或元素间存在明显规律的无限集，可采用列举法；对于无明显规律的无限集，可采用描述法．2．用列举法时要注意元素的不重不漏，不计次序，且元素与元素之间用“，”隔开． 3．用描述法表示集合时，常用的模式是{x |p (x )}，其中x 代表集合中的元素，p (x )为集合中元素所具备的共同特征．要注意竖线不能省略，同时表达要力求简练、明确．[再练一题]1．试分别用列举法和描述法表示下列集合： (1)方程x 2－x －2＝0的解集；(2)大于－1且小于7的所有整数组成的集合．【解】 (1)方程x 2－x －2＝0的根可以用x 表示，它满足的条件是x 2－x －2＝0，因此，用描述法表示为{x ∈R |x 2－x －2＝0}；方程x 2－x －2＝0的根是－1,2，因此，用列举法表示为{－1,2}．(2)大于－1且小于7的整数可以用x 表示，它满足的条件是x ∈Z 且－1<x <7，因此，用描述法表示为{x ∈Z |－1<x <7}；大于－1且小于7的整数有0,1,2,3,4,5,6，因此，用列举法表示为{0,1,2,3,4,5,6}．(1)集合A ＝{x |x 3－x ＝0，x∈N }与B ＝{0,1}________相等集合．(填“是”或“不是”)(2)若集合A ＝{1，a ＋b ，a }，集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，ba ，b 且A ＝B ，则a ＝________，b ＝________.【精彩点拨】 (1)解出集合A ，并判断与B 是否相等；(2)找到相等的对应情况，解方程组即可．【自主解答】 (1)x 3－x ＝x (x 2－1)＝0，∴x ＝±1或x ＝0. 又x ∈N ，∴A ＝{0,1}＝B .(2)由分析，a ≠0，故a ＋b ＝0，∴b ＝－a . ∴ba ＝－1，∴a ＝－1，b ＝1. 【答案】 (1)是 (2)－1 1已知集合相等求参数，关键是根据集合相等的定义，建立关于参数的方程(组)，求解时还要注意集合中元素的互异性．[再练一题]2．已知集合A ＝{a ，a ＋b ，a ＋2b }，B ＝{a ，ax ，ax 2}．若A ＝B ，求实数x 的值． 【解】 若⎩⎨⎧a ＋b ＝ax ，a ＋2b ＝ax2，则a ＋ax 2－2ax ＝0，∴a (x －1)2＝0，即a ＝0或x ＝1.当a ＝0时，集合B 中的元素均为0，故舍去； 当x ＝1时，集合B 中的元素均为a ，故舍去． 若⎩⎨⎧a ＋b ＝ax2，a ＋2b ＝ax ，则2ax 2－ax －a ＝0. 又∵a ≠0， ∴2x 2－x －1＝0， 即(x －1)(2x ＋1)＝0. 又∵x ≠1， ∴x ＝－12.经检验，当x ＝－12时，A ＝B 成立． 综上所述，x ＝－12.[探究共研型]探究1 集合{x |x 2【提示】 表示方程x 2－1＝0的根组成的集合，即{±1}． 探究2集合A ＝{x |ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)}可能含有几个元素，每一种情况对a ，b ，c 的要求是什么？【提示】 因a ≠0，故ax 2＋bx ＋c ＝0一定是二次方程，其根的情况与Δ的正负有关．若A 中无元素，则Δ＝b 2－4ac <0，若A 中只有一个元素，则Δ＝b 2－4ac ＝0，若A 中有两个元素，则Δ＝b 2－4ac >0.集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}，若集合A中只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合A.【精彩点拨】A中只有一个元素说明方程kx2－8x＋16＝0可能是一次方程，也可能是二次方程，但Δ＝0.【自主解答】(1)当k＝0时，原方程为16－8x＝0.∴x＝2，此时A＝{2}．(2)当k≠0时，由集合A中只有一个元素，∴方程kx2－8x＋16＝0有两个相等实根，则Δ＝64－64k＝0，即k＝1，从而x1＝x2＝4，∴集合A＝{4}．综上所述，实数k的值为0或1.当k＝0时，A＝{2}；当k＝1时，A＝{4}．1．用列举法表示集合的步骤(1)求出集合中的元素；(2)把这些元素写在花括号内．2．用列举法表示集合的优点是元素一目了然；缺点是不易看出元素所具有的属性．[再练一题]3．已知函数f (x)＝x2－ax＋b(a，b∈R)．集合A＝{x|f (x)－x＝0}，B＝{x|f (x)＋ax＝0}，若A＝{1，－3}，试用列举法表示集合B.【解】A＝{1，－3}，∴错误!⇒错误!⇒错误!∴f (x)＋ax＝x2＋3x－3＋(－3x)＝0＝x2－3，∴x＝±3，∴B＝{±3}.1．集合{x∈N*|x－3<2}用列举法可表示为________．【解析】∵x－3<2，∴x<5.又x∈N*，∴x＝1,2,3,4.【答案】 {1,2,3,4}2．若集合A ＝{－1,1}，B ＝{0,2}，则集合{z |z ＝x ＋y ，x ∈A ，y ∈B }中的元素的个数为________．【解析】 当x ，y 从A ，B 中取值时，z 可以为－1,1,3，共3个． 【答案】 33．方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3，x －y ＝－1的解集不可表示为________．①错误!；②错误!；③{1,2}；④{(1,2)}．【解析】 方程组的解应是有序数对，③是数集，不能作为方程组的解． 【答案】 ③4．已知M ＝{2，a ，b }，N ＝{2a,2，b 2}，且M ＝N ，则a ＋b ＝________. 【解析】 ∵M ＝N ，则有⎩⎨⎧ a ＝2a ，b ＝b2或⎩⎨⎧ a ＝b2，b ＝2a ，解得⎩⎨⎧a ＝0，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14，b ＝12，∴a ＋b ＝1或34.【答案】 1或345．已知集合A ＝{x |y ＝x 2＋3}，B ＝{y |y ＝x 2＋3}，C ＝{(x ，y )|y ＝x 2＋3}，它们三个集合相等吗？试说明理由．【解】 三个集合不相等，这三个集合都是描述法给出的，但各自的意义不一样． 集合A 表示y ＝x 2＋3中x 的范围，x ∈R ，∴A ＝R ，集合B 表示y ＝x 2＋3中y 的范围，B ＝{y |y ≥3}，集合C 表示y ＝x 2＋3上的点组成的集合．。

苏教版高中数学必修1教案5篇苏教版高中数学必修1教案5篇语文教案数学教案英语教案物理教案化学教案生物教案政治教案历史教案推文网 > 教学资源 > 教案模板 > 数学教案 >苏教版高中数学必修1教案2023-10-13 10:03:45|思敏推荐文章苏教版小升初数学教案热度：苏教版二年级数学下册教案热度：2023年苏教版小学五年级数学教案范文热度：苏教版小学五年级数学教案范文2023热度：苏教版一年级下册数学教案热度：苏教版高中数学必修1教案5篇教案是以系统方法为指导。

教案把教学各要素看成一个系统，分析教学问题和需求，确立解决的程序纲要，使教学效果最优化。

下面小编给大家带来关于苏教版高中数学必修1教案，方便大家学习苏教版高中数学必修1教案1教学目标：(1) 了解集合、元素的概念，体会集合中元素的三个特征;(2) 理解元素与集合的 ;属于 ;和 ;不属于 ;关系;(3) 掌握常用数集及其记法;教学重点：掌握集合的基本概念;教学难点：元素与集合的关系;教学过程：一、引入课题军训前学校通知：8月15日8点，高一年级在体育馆集合进行军训动员;试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生?在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定(是高一而不是高二、高三)对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念--集合(宣布课题)，即是一些研究对象的总体。

阅读课本P2-P3内容二、新课教学(一)集合的有关概念1. 集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。

2. 一般地，我们把研究对象统称为元素(element)，一些元素组成的总体叫集合(set)，也简称集。

3. 思考1：判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由：(1) 大于3小于11的偶数;(2) 我国的小河流;(3) 非负奇数;(4) 方程的解;(5) 某校2007级新生;(6) 血压很高的人;(7) 著名的数学家;(8) 平面直角坐标系内所有第三象限的点(9) 全班成绩好的学生。

综合测评(满分:150分;时间:120分钟)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.直线x-√3y-3=0的倾斜角为()A.π6B.π3C.2π3D.5π62.函数f(x)=1+1x 的图象在点(12, x(12))处的切线的斜率为 ()A.2B.-2C.4D.-43.已知F1,F2为定点,F1F2=4,在同一平面内的动点M满足MF1+MF2=t(t为常数),且t≥4,则动点M的轨迹是()A.椭圆B.线段C.圆D.线段或椭圆4.在等比数列{a n}中,a2+a3=1,a4+a5=2,则a6+a7= ()A.2B.2√2C.4D.4√25.已知两圆的方程分别是C1:(x-3)2+(y+2)2=1,C2:(x-7)2+(y-1)2=36,则这两圆的位置关系是()A.内含B.内切C.相交D.外切6.我国古代数学名著《增删算法统宗》中有如下问题:“一个公公有九个儿,若问生年总不知,知长排来争三岁,其年二百七岁期,借问长儿多少岁,各儿岁数要详推.”其大致意思是:一个公公有九个儿子,若问他们的生年是不知道的,但从老大的生年开始排列,后面每个儿子都比前面一个儿子小3岁,九个儿子共207岁,则老大的岁数是 ()A.38B.35C.32D.297.已知在平面直角坐标系xOy中,双曲线C:x2x2-x2x2=1(a>0,b>0)的左焦点为F,点M,N在双曲线C上,若四边形OFMN为菱形,则双曲线C的离心率为 ()A.√3-1B.√5-1C.√3+1D.√5+18.已知函数f(x)=ln x+ax2+(2+a)x(a<0),g(x)=xe x-2,对任意的x0∈(0,2],关于x的方程f(x)=g(x0)在(0,e]上都有实数根,则实数a的取值范围为()(其中e=2.718 28…为自然对数的底数)A.[-1e ,0) B.(-∞,-1e]C.[-e,0)D.(-∞,-e]二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)9.已知方程mx2+ny2=1(m,n∈R),则()A.当mn>0时,方程表示椭圆B.当mn<0时,方程表示双曲线C.当m=0时,方程表示两条直线D.此方程表示的曲线不可能为抛物线10.设等差数列{a n}的首项为a1,公差为d,其前n项和为S n,已知S16>0,S17<0,则下列结论正确的是()A.a1>0,d<0B.a8+a9>0C.S8与S9均为S n的最大值D.a9<011.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F到其准线的距离为2,过点F的直线与抛物线交于P,Q 两点,M为线段PQ的中点,O为坐标原点,则()A.抛物线C的准线方程为y=-1B.线段PQ的长度的最小值为4C.S△OPQ≥2D.xx⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·xx⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-312.已知f(x)=e x·x3,则下列结论正确的是()A. f(x)在R上单调递增B. f(log52)<f(e-12)<f(ln π)C.方程f(x)=-1有实数根D.存在实数k,使得方程f(x)=kx有4个实数根三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中横线上)13.在平面直角坐标系xOy中,已知直线l1:x+ay=0和直线l2:2x-(a-3)y-4=0,a∈R,若l1与l2平行,则l1与l2之间的距离为.14.已知数列{a n}的前n项和为S n,若a1=1,a n+1=3S n(n∈N*),则a6=.15.已知函数f(x)=x3+ax2+x+1在区间(-23,-13)内是减函数,则实数a的取值范围是.16.已知椭圆x2x2+x2x2=1(a>b>0)的短轴长为2,上顶点为A,左顶点为B,左、右焦点分别是F1、F2,且△F1AB的面积为2-√32,则椭圆的标准方程为;若点P为椭圆上的任意一点,则1xx1+1xx2的取值范围是.(第一个空2分,第二个空3分)四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)在①S4-a3=a6;②S3是a1与a9的等差中项;③a1+a3+a5+a7+a9=5S3这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并解答.记S n为等差数列{a n}的前n项和,已知a3=5,且.(1)求{a n}的通项公式;(2)在(1)的条件下,记b n=1x x·x x+1,求数列{b n}的前n项和T n.注:选择多个条件分别解答时,按第一个解答计分.18.(本小题满分12分)已知某曲线C:x2+y2+2x-4y+a=0.(1)若此曲线是圆,求a的取值范围,并求出其圆心和半径;(2)若a=1,且此曲线与直线l:x-y+1=0相交于M,N两点,求弦长MN.19.(本小题满分12分)设数列{a n}的前n项和为S n,已知S2=4,a n+1=2S n+1(n∈N*).数列{b n}是首项为a1,公差不为零的等差数列,且b1,b2,b7成等比数列.(1)求数列{a n}和{b n}的通项公式;(2)若c n=x xx x,数列{c n}的前n项和为T n,且T n<m恒成立,求m的取值范围.20.(本小题满分12分)新冠肺炎疫情发生后,某地政府为了支持企业复工复产,决定向当地企业发放补助款,其中对纳税额x(万元)在[4,8]之间的小微企业做统一方案,方案要求同时具备下列两个条件:①补助款f(x)(万元)随企业原纳税额x(万元)的增加而增加;②补助款不低于原纳税额的50%.经测算,政府决定采用f(x)=x4-xx+4(其中m为参数)作为补助款发放的函数模型.(1)当参数m=13时是否满足条件,并说明理由;(2)求同时满足条件①②的参数m的取值范围.21.(本小题满分12分)已知抛物线C:x2=2py(p>0)的准线方程为y=-1,直线l过点P(0,-1),且与抛物线C交于A,B两点.点A关于y轴的对称点为A',连接A'B.(1)求抛物线C的标准方程;(2)问直线A'B是否过定点?若是,求出定点坐标;若不是,请说明理由.22.(本小题满分12分)已知函数f(x)=e x-1-x-ax2,g(x)=bx-b ln x,其中e为自然对数的底数.(1)若当x≥0时,不等式f(x)≥0恒成立,求实数a的取值范围;(2)若x>0,证明:(e x-1)ln(x+1)>x2.答案全解全析一、单项选择题1.A 直线x -√3y -3=0可化为y =√33x -√3,斜率k =tan α=√33,又α∈[0,π),∴α=π6.故选A .2.D 因为f (x )=1+1x ,所以f'(x )=-1x 2, 所以 f'(12)=-4.故选D .3.D 当t =4时,点M 的轨迹是线段F 1F 2;当t >4时,点M 的轨迹是椭圆.故选D .4.C 设等比数列{a n }的公比为q ,则x 4+x 5x 2+x 3=x 2x 2+x 3x 2x 2+x 3=q 2=2,∴a 6+a 7=a 4q 2+a 5q 2=(a 4+a 5)q 2=2×2=4.故选C .5.B 根据两圆的方程得到两圆的圆心间的距离d =√(7-3)2+(1+2)2=5,又圆C 1的半径r 1=1,圆C 2的半径r 2=6,且d ,r 1,r 2满足r 2-r 1=d ,所以两圆内切.6.B 由题意可知,九个儿子的年龄可以看成以老大的年龄为首项,公差为-3的等差数列,记此等差数列为{a n },则9a 1+9×82×(-3)=207,解得a 1=35,故选B .7.C 由题意可知OF =c ,由四边形OFMN 为菱形,可得MN =OF =c ,设点M 在F 的上方,可知M 、N 关于y 轴对称,可设M (-x 2,√3x2),代入双曲线方程可得 (-x 2)2x 2-(√3x2)2x 2=1,结合a 2+b 2=c 2,可得c 4+4a 4-8a 2c 2=0,两边同除以a 4,可得e 4+4-8e 2=0,解得e 2=4+2√3或e 2=4-2√3,因为e >1,所以e =√4+2√3=√(1+√3)2=√3+1,故选C .8.C 由题意,g (x )=xe x -2,x ∈(0,2],g'(x )=e x -x e x (e x )2=1-x e x ,令g'(x )=0,得x =1,当0<x <1时,g'(x )>0;当1<x ≤2时,g'(x )<0,故当x =1时,g (x )取得极大值,也是最大值,为1e -2,且g (0)=-2,g (2)=2e 2-2>-2,设g (x )=x ex -2,x ∈(0,2]的值域为A ,则A =(-2,1e-2].设f (x )=ln x +ax 2+(2+a )x ,x ∈(0,e]的值域为B ,因为对任意的x 0∈(0,2],关于x 的方程f (x )=g (x 0)在(0,e]上都有实数根, 所以A ⊆B.因为当x →0+,f (x )→-∞,所以只需f (x )max ≥1e -2. 易得f'(x )=1x +2ax +2+a =(2x +1)(xx +1)x ,令f'(x )=0,得x =-1x 或x =-12(舍去),当-1x ≥e,即-1e ≤a <0时,f (x )在(0,e]上是增函数, 则f (x )max =f (e)=1+a e 2+2e+a e ≥1e -2, 解得a ≥-(2e +e -1e 3+e 2),∴-1e ≤a <0.当-1x <e,即a <-1e 时,f (x )在(0,-1x )上单调递增,在(-1x ,e ]上单调递减,则f (x )max =f (-1x )=ln (-1x )+1x -2x -1≥1e -2,即ln (-1x )-1x ≥1e -1,令h (x )=ln x +x ,易知h (x )在(0,+∞)上单调递增, 而h (1e )=1e -1, 于是-1x ≥1e ,解得-e ≤a <-1e . 综上,实数a 的取值范围为-e ≤a <0. 二、多项选择题9.BD 当mn >0时,将原方程整理,得x 21x +x 21x=1,若m ,n 同负或1x =1x,则方程不表示椭圆,A 错误;当mn <0时,1x 与1x 异号,方程表示双曲线,B 正确;当m =0时,方程为ny 2=1,当n ≤0时,方程无解,故C 错误;无论m 、n 为何值,此方程都不可能表示抛物线,D 正确.故选BD . 10.ABD ∵S 16=16(x 1+x 16)2>0,∴a 8+a 9=a 1+a 16>0,∴B 正确. 又S 17=17(x 1+x 17)2=17a 9<0,∴a 9<0,∴a 8>0,∴d =a 9-a 8<0,∴a 1>0,∴A、D 正确.易知S 8是S n 的最大值,S 9不是S n 的最大值,∴C 错误.故选ABD .11.BCD 因为抛物线的焦点F 到其准线的距离为2,所以p =2,所以抛物线C 的焦点为F (1,0),准线方程为x =-1,故选项A 错误;当直线PQ 垂直于x 轴时,线段PQ 的长度最小,此时不妨设P (1,2),Q (1,-2),所以PQ min =4,故选项B 正确;设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),直线PQ 的方程为x =my +1,联立{x =xx +1,x 2=2xx ,消去x ,将p =2代入可得y 2-4my -4=0,所以y 1+y 2=4m ,y 1y 2=-4,S△OPQ=12×OF ×|y 1-y 2|=12×1×√(x 1+x 2)2-4x 1x 2=12×√16x 2+16≥2,当且仅当m =0时“=”成立,故选项C 正确;x 1x 2=(my 1+1)(my 2+1)=m (y 1+y 2)+m 2y 1y 2+1=1,y 1y 2=-4,所以xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=-3,故选项D 正确.故选BCD .12.BCD ∵f (x )=e x ·x 3, ∴f'(x )=e x(x 3+3x 2). 令f'(x )=0,得x =0或x =-3. 当x <-3时,f'(x )<0,f (x )单调递减, 当x >-3时,f'(x )≥0,f (x )单调递增,A 错误. 又0<log 52<12<e -12<1<lnπ,∴f (log 52)<f (e -12)<f (lnπ),B 正确. ∵f (0)=0,f (-3)=e -3·(-3)3=-(3e )3<-1,∴f (x )=-1有实数根,C 正确. 显然x =0是方程f (x )=kx 的根, 当x ≠0时,k =x (x )x=e x ·x 2,设g (x )=e x ·x 2(x ≠0),则g'(x )=x (x +2)e x ,令g'(x )=0,得x =0或x =-2.当x 发生变化时,g'(x ),g (x )的变化情况如下表:x (-∞,-2)-2 (-2,0) 0 (0,+∞) g'(x ) + 0 - 0 + g (x )↗4x 2↘↗画出函数g (x )的大致图象,如图所示,∴当0<k <4e 2时,g (x )=k 有3个实数根,∴D 正确.故选BCD . 三、填空题 13.答案 √2解析 由于直线l 1与l 2平行,则2a =-(a -3)且0≠-4a ,解得a =1,所以直线l 1的方程为x +y =0,直线l 2的方程为x +y -2=0,因此,直线l 1与l 2之间的距离为√22=√2.14.答案 768解析 由a n +1=3S n ,得S n +1-S n =3S n ,即S n +1=4S n ,又S 1=a 1=1,所以数列{S n }是首项为1,公比为4的等比数列,所以S n =4n -1,所以a 6=S 6-S 5=45-44=3×44=768. 15.答案 [2,+∞)解析 ∵f (x )=x 3+ax 2+x +1,∴f'(x )=3x 2+2ax +1,∵函数f (x )在区间-23,-13内是减函数,∴f'(x )≤0在区间(-23,-13)内恒成立,即a ≥-3x 2-12x 在区间(-23,-13)内恒成立,令g (x )=-3x 2-12x (-23<x <-13),则g'(x )=-32+12x 2=-3x 2+12x 2,∴当x ∈(-23,-√33)时,g'(x )<0,g (x )单调递减;当x ∈(-√33,-13)时,g'(x )>0,g (x )单调递增, 又g (-23)=74,g (-13)=2,∴g (x )<2,∴a ≥2.16.答案x 24+y 2=1;[1,4]解析 由题意可知2b =2,则b =1,x △x 1xx =12(a -c )b =x -x 2=2-√32,故有{x -x =2-√3,x 2=x 2-x 2=1,x >0,x >0,解得{x =2,x =√3,所以椭圆的标准方程为x 24+y 2=1.由题意可得2-√3≤PF 1≤2+√3,PF 1+PF 2=2a =4,所以1xx 1+1xx 2=xx 1+xx 2xx 1·xx 2=4xx 1·(4-xx 1),因为PF 1·(4-PF 1)=-(xx 1-2)2+4∈[1,4],所以1xx 1+1xx 2=4xx1·(4-xx 1)∈[1,4].四、解答题17.解析 (1)选择条件①: 设等差数列{a n }的公差为d ,则{x 1+2x =5,4x 1+4×32x -x 1-2x =x 1+5x ,(2分) 解得{x 1=1,x =2,(4分)∴a n =2n -1. (5分) 选择条件②:设等差数列{a n }的公差为d ,则{x 1+2x =5,2(3x 1+3×22x )=x 1+x 1+8x , (2分) 解得{x 1=1,x =2,(4分)∴a n =2n -1. (5分)选择条件③:设等差数列{a n }的公差为d ,则{x 1+2x =5,5x 5=5(x 1+4x )=5(3x 1+3×22x ),(2分) 解得{x 1=1,x =2,(4分)∴a n =2n -1. (5分) (2)由(1)可得b n =1x x ·x x +1=1(2x -1)(2x +1)=12(12x -1-12x +1),(7分)∴T n =b 1+b 2+…+b n=12(11-13+13-15+…+12x -1-12x +1) =12(1-12x +1)=x2x +1.(10分)18.解析 (1)方程x 2+y 2+2x -4y +a =0可化为(x +1)2+(y -2)2=5-a. (2分) 若其曲线是圆,则5-a >0,得a <5.(4分)其圆心坐标为C (-1,2),半径r =√5-x . (6分) (2)当a =1时,曲线的方程为(x +1)2+(y -2)2=4, (7分) 它表示的是圆,圆心为C (-1,2),半径r =2. (8分)圆心到直线l 的距离d =√2=√2. (10分)∴弦长MN =2√x 2-x 2=2√4-2=2√2. (12分) 19.解析 (1)∵a n +1=2S n +1(n ∈N *),① ∴当n ≥2时,a n =2S n -1+1,② ①-②,化简可得a n +1=3a n , (1分) 即数列{a n }是以3为公比的等比数列, (2分)又∵S 2=4, ∴a 1+3a 1=4,解得a 1=1,即a n =3n -1. (3分) 设数列{b n }的公差为d (d ≠0),b 1=a 1=1, ∵b 1,b 2,b 7成等比数列, ∴1×(1+6d )=(1+d )2, (4分) 解得d =4或d =0(舍去),即b n =4n -3,∴数列{a n }和{b n }的通项公式分别为a n =3n -1,b n =4n -3. (6分) (2)由(1)得c n =x x x x =4x -33x -1, (7分)∴T n =(13)0+5×(13)1+9×(13)2+…+(4n -3)(13)x -1,③13T n =(13)1+5×(13)2+9×(13)3+…+(4n -7)×(13)x -1+(4n -3)(13)x,④ ③-④,得23T n =1+4×(13)1+4×(13)2+…+4×(13)x -1-(4n -3)(13)x=3-(4n +3)(13)x. (10分) ∴T n =92-3(4x +3)2(13)x,即有T n <92恒成立,由T n <m 恒成立, 可得m ≥92,即m 的取值范围是[92,+∞). (12分)易错警示 (1)利用a n =S n -S n -1(n ≥2)求a n 时,要注意n ≥2这一限制条件;(2)当数列{a n }、{b n }分别为等差数列、等比数列时,数列{a n ·b n }或{xx x x}的前n 项和一般用错位相减法求解,但在求和时要特别注意两式相减后抵消了哪些项、各项的符号有没有发生变化等. 20.解析 (1)当m =13时,函数f (x )=x 4-13x +4(x ∈[4,8]),可得f'(x )=14+13x 2>0, 所以f (x )在区间[4,8]上为增函数,满足条件①; (2分) 又因为f (4)=74<2=12×4,所以当m =13时不满足条件②. (3分)综上可得,当参数m =13时不满足条件. (5分) (2)由函数f (x )=x 4-xx+4,可得f'(x )=14+x x 2=x 2+4x 4x 2,x ∈[4,8], (6分)所以当m ≥0时,f'(x )≥0,满足条件①; (8分) 当m <0时,令f'(x )=0,可得x =2√-x (负值舍去), 当x ∈[2√-x ,+∞)时,f'(x )≥0,f (x )单调递增, 所以此时若要满足条件①,应有2√-x ≤4,解得-4≤m <0. 综上可得,m ≥-4. (10分)由条件②可知,f (x )≥x2,即不等式x 4+xx ≤4在[4,8]上恒成立,等价于m ≤-14x 2+4x =-14(x -8)2+16在[4,8]上恒成立. 当x =4时,y =-14(x -8)2+16取得最小值,最小值为12, 所以m ≤12. (11分)综上,参数m 的取值范围是[-4,12]. (12分)21.解析 (1)因为抛物线C :x 2=2py (p >0)的准线方程为y =-1, 所以x2=1,即p =2, (3分)所以抛物线C 的标准方程为x 2=4y. (4分)(2)由题意知直线l 的斜率存在,故可设直线l 的方程为y =kx -1,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则A'(-x 1,y 1),联立{x 2=4x ,x =xx -1,得x 2-4kx +4=0.则Δ=16k 2-16>0,x 1x 2=4,x 1+x 2=4k , (6分) 所以k A'B =x 2-x 1x 2+x 1=x 224-x 124x 1+x 2=x 2-x 14. (7分)于是直线A'B 的方程为y -x 224=x 2-x 14(x -x 2),所以y =x 2-x 14x +x 224-(x 2-x 1)x 24,即y =x 2-x 14x +1, (10分)当x =0时,y =1.即直线A'B 过定点(0,1). (12分)22.解析 (1)由已知得f'(x )=e x-1-2ax , (1分) 令h (x )=e x-1-2ax ,则h'(x )=e x-2a , 当x ≥0时,e x ≥1.故当2a ≤1时,h'(x )=e x-2a ≥0恒成立, ∴h (x )在[0,+∞)上单调递增,∴h (x )≥h (0)=0,即f'(x )≥0,∴f (x )在[0,+∞)上为增函数, ∴f (x )≥f (0)=0恒成立,∴a ≤12时满足条件. (3分)当2a >1时,令h'(x )=0,解得x =ln2a ,在[0,ln2a )上,h'(x )<0,h (x )在[0,ln2a )上单调递减, ∴当x ∈[0,ln2a )时,有h (x )≤h (0)=0,即f'(x )≤0,当且仅当x =0时,f'(x )=0,故f (x )在[0,ln2a )上为减函数,∴f (x )<f (0)=0,不符合题意. (5分)综上,实数a 的取值范围为(-∞,12]. (6分) (2)证明:由(1)得,当a =12,x >0时,e x>1+x +x 22成立,即e x-1>x +x 22=x 2+2x 2成立, (7分)∵x >0, ∴ln(x +1)>0,要证不等式(e x-1)ln(x +1)>x 2, 只需证e x-1>x 2ln(x +1), (8分) 只需证x 2+2x 2>x 2ln(x +1),只需证ln(x +1)>2x2+x 成立, (9分) 设F (x )=ln(x +1)-2xx +2(x >0), (10分) 则F'(x )=1x +1-4(x +2)2=x 2(x +1)(x +2)2,∴当x >0时,F'(x )>0恒成立,故F (x )在(0,+∞)上单调递增, 又F (0)=0, ∴F (x )>0恒成立, ∴原不等式成立. (12分)。

章末综合测评(一)集合(满分：150分时间：120分钟)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3}，则()A．A＝B B．A∩B＝∅C．A B D．B AD[因为A＝{1,2,3}，B＝{2,3}，所以2,3∈A且2,3∈B,1∈A但1B，所以B A．]2．下列各式中，正确的个数是：①{0}∈{0,1,2}；②{0,1,2}⊆{2,1,0}；③∅⊆{0,1,2}；④∅＝{0}；⑤{0,1}＝{(0,1)}；⑥0＝{0}．()A．1 B．2C．3 D．4B[对①，集合与集合之间不能用∈符号，故①不正确；对②，由于两个集合相等，任何集合都是本身的子集，故②正确；对③，空集是任何集合的子集，故③正确；对④，空集是不含任何元素的集合，而{0}是含有1个元素的集合，故④不正确；对⑤，集合{0,1}是数集，含有2个元素，集合{(0,1)}是点集，只含1个元素，故⑤不正确；对⑥，元素与集合只能用∈或符号，故⑥不正确．故选B．]3．集合A＝{0,6,8}的非空子集的个数为()A．3 B．6C．7 D．8C[集合A＝{0,6,8}含有3个元素，含有3个元素的集合的非空子集个数为23－1＝7．故选C ．]4．若M ＝{x ∈Z |－6≤x ≤6}，N ＝{x |x 2－5x －6＝0}，则M ∩N ＝( )A ．{2,3}B ．{1,6}C ．{－1,6}D ．{－2,3}C [M ＝{x ∈Z |－6≤x ≤6}＝{－6，－5，－4，－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5,6}， N ＝{x |x 2－5x －6＝0}＝{－1,6}，则M ∩N ＝{－1,6}．故选C ．]5．若集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ＝k 2＋14，k ∈Z ，集合N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ＝k 4＋12，k ∈Z ，则( ) A ．M ＝NB ．N ⊆MC ．MN D ．以上均不对 C [M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ＝k 2＋14，k ∈Z ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ＝2k ＋14，k ∈Z ． N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ＝k 4＋12，k ∈Z ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ＝k ＋24，k ∈Z ． 又2k ＋1，k ∈Z 为奇数，k ＋2，k ∈Z 为整数，所以MN ．] 6．已知全集U ＝R ，则正确表示集合M ＝ {－1,0,1} 和N ＝{x |x 2＋x ＝0}关系的Venn 图是( )A ．B ．C ．D ．B [由N ＝{x |x 2＋x ＝0}，得N ＝{－1,0}．因为M ＝{－1，0,1}，所以NM ，故选B ．]7．若x ∈A ，则1x ∈A ，就称A 是“伙伴关系”集合，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，0，12，2，3的所有非空子集中具有“伙伴关系”的集合个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4C [M 中具有伙伴关系的元素组是－1，12，2，故具有伙伴关系的集合有{－1}，⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，2，⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，2．共3个．] 8．向50名学生调查对A ，B 两事件的态度，有如下结果：赞成A 的人数是全体的五分之三，其余的不赞成；赞成B 的比赞成A 的多3人，其余的不赞成；另外，对A ，B 都不赞成的学生数比对A ，B 都赞成的学生数的三分之一多1人．那么，对A ，B 都赞成的学生数是( )A ．20B ．21C ．30D ．33B [赞成A 的人数为50×35＝30，赞成B 的人数为30＋3＝33．如图所示，记50名学生组成的集合为U ，赞成事件A 的学生全体为集合M ；赞成事件B 的学生全体为集合N ．设对事件A ，B 都赞成的学生人数为x ，则对A ，B 都不赞成的学生人数为x 3＋1．赞成A 而不赞成B 的人数为30－x ，赞成B 而不赞成A 的人数为33－x ．依题意(30－x )＋(33－x )＋x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋1＝50，解得x ＝21．]二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．已知集合A ＝{x |x ＝2k －1，k ∈Z }，B ＝{x |x ＝2k ，k ∈Z }，C ＝{x |x ＝4k －1，k ∈Z }，D ＝{x |x ＝4k －2，k ∈Z }，若a ，b ∈A ，c ∈B ，则( )A ．a ＋b ∈DB ．a ＋b ∈BC ．a ＋c ∈CD ．a ＋c ∈ABD [因为a ，b ∈A ，c ∈B ，设a ＝2k 1－1，b ＝2k 2－1，c ＝2k 3，k 1，k 2，k 3∈Z ．由a ＋b ＝2(k 1＋k 2－1)∈B ，a ＋c ＝2(k 1＋k 3)－1∈A ，故选BD ．]10．已知集合P＝{x|－2<x≤5}，Q＝{x|k－1≤x≤k＋1}，当k∈M时，P∩∁R Q ＝P恒成立，则集合M可以为()A．(－∞，－3] B．[6，＋∞)C．{8，－8} D．(－∞，－3]∪(6，＋∞)ACD[要使得P∩∁R Q＝P，必有P⊆∁R Q，即Q⊆∁R P＝{x|x≤－2或x>5}，即k＋1≤－2或k－1>5，所以k≤－3或k>6时，P∩∁R Q＝P恒成立，故选ACD．]11．集合A＝{2,0,1,7}，B＝{x|x2－2∈A，x－2A}，则集合B可以为() A．{2} B．{－3}C．{2} D．{－3}BCD[由x2－2∈A，可得x2＝4,2,3,9，即x＝±2，±2，±3，±3．又x－2A，所以x≠2，x≠3，故x＝－2，±2，±3，－3．因此，集合B＝{－2，－2，2，－3，3，－3}．所以，BCD都正确，故选BCD．]12．已知集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|x＜m}，且A⊆∁R B，那么m的值可以是() A．1 B．2 C．3 D．0AD[根据补集的概念，∁R B＝{x|x≥m}．又∵A⊆∁R B，∴m≤1，故m的值可以是1,0，故选AD．]三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．设全集I是实数集R，M＝(－1,0]∪(2，＋∞)与N＝(－2,2)都是I的子集，则图中阴影部分所表示的集合为．(－2，－1]∪(0,2)[阴影部分可以表示为{x|x∈N且x M}＝{x|x∈N且x∈∁R M}＝N∩∁R M＝{x|－2<x≤－1或0<x<2}＝(－2，－1]∪(0,2)．]14．已知{1,3}⊆A ⊆{1,3,5,7,9,11}，则符合条件的集合A 有 个． 16 [因为{1,3}⊆A ，所以集合A 中一定有1,3这两个元素．又因为A ⊆{1,3,5,7,9,11}，所以满足条件集合A 的个数等价于满足∅⊆B ⊆{5,7,9,11}的集合B 的个数．而B 有24＝16个．故符合条件的集合A 有16个．]15．设A ＝{4，a }，B ＝{2，ab }，若A ＝B ，则a ＝ ，b ＝ ．(本题第一空2分，第二空3分)2 2 [因为A ＝{4，a }，B ＝{2，ab }，A ＝B ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 4＝ab ，a ＝2，解得a ＝2，b ＝2．]16．已知集合A ＝{x |x 2－5x －6＝0}，B ＝{x |mx ＋1＝0}，若B ⊆A ，则实数m 组成的集合为 ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫－16，0，1 [因为A ＝{x |x 2－5x －6＝0}＝{6，－1}，且B ⊆A ，所以B ＝{－1}或B ＝{6}或B ＝∅，当B ＝{－1}时，－m ＋1＝0⇒m ＝1；当B ＝{6}时，6m ＋1＝0⇒m ＝－16；当B ＝∅时，m ＝0．所以综上可得，实数m 组成的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－16，0，1．] 四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知集合A ＝{x |x 2－7x ＋6＜0}，B ＝{x |4－t ＜x ＜t }，R 为实数集．(1)当t ＝4时，求A ∪B 及A ∩∁R B ；(2)若A ∩B ＝A ，求实数t 的取值范围．[解] (1)由x 2－7x ＋6<0得1<x <6，则A ＝(1,6)，当t ＝4时，B ＝(0,4)，∁R B ＝(－∞，0]∪[4，＋∞)，所以A ∪B ＝(0,6)，A ∩∁R B ＝[4,6)．(2)由A ∩B ＝A 得A ⊆B ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 4－t ≤1，t ≥6，所以t ≥6，实数t 的取值范围为[6，＋∞)．18．(本小题满分12分)已知A ＝{x |－2＜x ＜－1或x ＞1}，B ＝{x |a ≤x ＜b }，A ∪B ＝{x |x ＞－2}，A ∩B ＝{x |1＜x ＜3}，求实数a ，b 的值．[解] 因为A ∩B ＝{x |1＜x ＜3}，所以b ＝3，所以－1≤a ≤1，又因为A ∪B ＝{x |x >－2}，所以－2＜a ≤－1，所以a ＝－1．19．(本小题满分12分)设全集U ＝R ，M ＝{m |方程mx 2－x －1＝0有实数根}，N ＝{n |方程x 2－x ＋n ＝0有实数根}，求(∁U M )∩N ．[解] 当m ＝0时，x ＝－1，即0∈M ；当m ≠0时，Δ＝1＋4m ≥0，即m ≥－14，所以∁U M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪ m <－14． 而对于N ，Δ＝1－4n ≥0，即n ≤14，所以N ＝⎩⎨⎧ n ⎪⎪⎪⎭⎬⎫n ≤14，所以(∁U M )∩N ＝⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x <－14． 20．(本小题满分12分)已知集合A ＝{3,4，m 2－3m －1}，B ＝{2m ，－3}，若A ∩B ＝{－3}，求实数m 的值并求A ∪B ．[解] 因为A ∩B ＝{－3}，所以－3∈A ．又A ＝{3,4，m 2－3m －1}，所以m 2－3m －1＝－3，解得m ＝1或m ＝2．当m ＝1时，B ＝{2，－3}，A ＝{3,4，－3}，满足A ∩B ＝{－3}， 所以A ∪B ＝{－3,2,3,4}．当m ＝2时，B ＝{4，－3}，A ＝{3,4，－3}，不满足A ∩B ＝{－3}，舍去． 综上知m ＝1，A ∪B ＝{－3,2,3,4}．21．(本小题满分12分)设全集U ＝R ，集合A ＝{x |－5<x <4}，集合B ＝{x |x <－6或x >1}，集合C ＝{x |x －m <0}，若C ⊇(A ∩B )且C ⊇((∁U A )∩(∁U B ))，求实数m 的取值范围．[解] 因为A ＝{x |－5<x <4}，B ＝{x |x <－6或x >1}，所以A ∩B ＝{x |1<x <4}．又∁U A ＝{x |x ≤－5或x ≥4}，∁U B ＝{x |－6≤x ≤1}，所以(∁U A )∩(∁U B )＝{x |－6≤x ≤－5}．而C ＝{x |x <m }，当C ⊇(A ∩B )时，m ≥4，当C ⊇((∁U A )∩(∁U B ))时，m >－5．所以实数m 的取值范围为m ≥4．22．(本小题满分12分)已知集合A ＝{x |1<x <3}，集合B ＝{x |2m <x <1－m }．(1)当m ＝－1时，求A ∪B ；(2)若A ⊆B ，求实数m 的取值范围；(3)若A ∩B ＝∅，求实数m 的取值范围．[解] (1)当m ＝－1时，B ＝{x |－2<x <2}，则A ∪B ＝{x |－2<x <3}．(2)由A ⊆B 知，⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m >2m ，2m ≤1，1－m ≥3，解得m ≤－2，即实数m 的取值范围为(－∞，－2]．(3)由A∩B＝∅，得①若2m≥1－m，即m≥13时，B＝∅，符合题意．②若2m<1－m，即m<13时，需⎩⎨⎧m<13，1－m≤1或⎩⎨⎧m<13，2m≥3，得0≤m<13或∅，即0≤m<13，综上知m≥0，即实数m的取值范围为[0，＋∞)．。

(满分50分时间25分钟)一、选择题(每小题3分，共30分)1．ATP的结构简式可表示为A－P～P～P，下列图示正确表示ATP的是 ( )解析：ATP是由1分子腺嘌呤、1分子核糖和3分子磷酸组成，其图示如A项所示。

答案：A2．用小刀将数只萤火虫的发光器割下，干燥后研磨成粉末状。

取两支试管，标上甲、乙，各加入2 mL水和等量的萤火虫发光器研磨粉末，结果发现两支试管均有短时间黄色荧光出现。

一段时间后出现的现象和再进行分别处理出现的结果如下：甲一段时间后，试管中黄色荧光消失加入2 mLATP溶液，试管中又出现黄色荧光乙一段时间后，试管中黄色荧光消失加入2 mL葡萄糖溶液，试管中不出现黄色荧光由此分析得出的正确结论是 ( ) A．葡萄糖不是能源物质B．萤火虫发光不需要消耗能量C．ATP是直接能源物质D．葡萄糖氧化分解可产生ATP解析：加入ATP溶液，试管中出现黄色荧光，说明ATP是生命活动的直接能源物质；加入葡萄糖溶液，试管未出现黄色荧光，说明葡萄糖未能氧化分解产生ATP。

答案：C3．在下列四种化合物的化学组成中，“○”中所对应的含义最接近的是 ( )A．①和② B．②和③C ．③和④D ．①和④解析：①ATP 中“A—P”代表腺嘌呤核糖核苷酸；②核苷酸中“A”是腺嘌呤；③DNA 片段中“A”代表腺嘌呤脱氧核苷酸；④RNA 片段中“A ”代表腺嘌呤核糖核苷酸。

所以只有D 项含义最接近。

答案：D4．关于ATP 12−−→←−−酶酶ADP ＋Pi ＋能量的反应叙述，不．正确的是 ( ) A ．上述过程中存在着能量的释放和贮存B ．所有生物体内ADP 转变成ATP 所需能量都来自细胞呼吸C ．这一反应无休止地在活细胞中进行D ．这一过程保证了生命活动的顺利进行解析：ATP 水解时释放能量，ATP 合成时贮存能量；ATP 合成所需能量对于动物来说来自细胞呼吸，对于绿色植物来说来自光合作用和细胞呼吸；ATP 与ADP 无休止地相互转化，保证生命活动的顺利进行。

设计表现图教材：〔凤凰国标教材〕普通高中课程标准实验教科书通用技术〔必修1〕文档内容：设计表现图章节：第六章设计图样的绘制第一节设计表现图课时：第2课时作者：X亚莲〔某某省嵊州市黄泽中学〕一、教学目标1. 知识与技能目标(1)了解效果图的作用，并能识读效果图。

(2)学习并掌握基本几何体的正等轴测图的画法。

2. 过程与方法目标经历轴测坐标的建立过程和正等轴测图的绘制过程，建立起更好的空间观念。

3. 情感态度和价值观目标通过轴测图的绘制，提高规X作图的能力，培养良好的作图习惯和细致严谨的工作态度，激发学习的兴趣和求知欲，形成良好的学习态度。

二、教学重点学习并掌握基本几何体的正等轴测图的画法。

三、教学难点学习并掌握基本几何体的正等轴测图的画法。

四、教学方法教师讲解、学生模仿练习的方法。

五、设计思想1. 教材分析设计图样的识读与绘制是普通高中通用技术课的重要内容之一，其中第一节的第四部分是有关正等轴测图的内容，只是简要的介绍了正等轴测图的作用与绘制步骤，篇幅虽然不大，看看“学习并掌握形体的正等轴测图的画法〞的目标——要求却不低。

因此如何使学生深刻的理解和熟练的绘制正等轴测图就成为了设计这堂课的重中之重。

2. 设计理念轴测图也是常用的工程图样之一，主要用于草图的绘制、产品说明书并有助于对三视图的识读和理解。

因此，也是本章主要内容之一。

但在要求上可以稍低一些。

鉴于高一数学中有关于“轴二测〞的内容，因此把正等轴测图作为重点内容。

本课设计的宗旨是通过轴测图的绘制，提高规X作图的能力，培养良好的作图习惯和细致严谨的工作态度，激发学习的兴趣和求知欲，形成良好的学习态度。

3. 教学策略设计透视效果图增加了“透视〞的概念，这里却并不宜讲解，故避开“透视〞一词，直接说效果图为好。

效果图的识读比较浅显，却有较强的视觉冲击力，可以提高学生的学习兴趣。

关于正等轴测图，首先介绍什么是正等轴测图，并通过书本上的两个例子说明正等轴测图的作图方法，最后让学生动手实践。

第六单元模型或原型的制作一、【知识点梳理】1.模型或原型的特性与作用不同阶段的模型：草模、概念模型、结构模型、功能模型、展示模型2.材料的性能与规划（1）木材、金属材料、塑料以及新材料的一般性能与特性（2）选择和规划材料：材料的性能、成本以及规划3.工艺的类别与选择（1）木工工艺①画线：在锯割之前，要在木料上进行测量和画线，画线主要画出加工构件的轮廓线等。

常用工具有木工铅笔、角尺、钢直尺、钢卷尺、墨斗等。

②锯割：锯割是将给定的木料沿着所画轮廓线等锯开的一种操作。

常见工具有板锯、框锯、钢丝锯、单刃刀锯、双刃刀锯等。

③刨削：较粗糙的木料表面可以刨削使其光滑，另外木料略厚时也可以刨削使其符合加工要求。

常见工具有平刨、线刨、边刨、槽刨。

④钻孔：木料凿孔一般有圆形孔(钻孔)、腰形孔、长方形孔(榫眼)等，凿孔的目的是为了构件间的连接或者调节。

常见工具有凿子、台钻、手摇钻、手电钻等。

⑤连接：木质构件通过装配组成一定功能的木制品。

常见方式有榫接、钉接、合页连接、胶水连接等。

⑥表面处理：在经过锯割、刨削、凿孔、连接等工艺后，木制品或者构件的表面比较粗糙、不够光滑、有木刺或者连接处都凸起等，这就需要进一步进行表面处理，一般可以用木工锉进行锉削，砂纸进行打磨，最后表面刷漆。

常见工具有砂纸、水平抛光机等。

（2）金工工艺1．金工一般流程：①下料→划线→锯割→锉削→钻孔→攻丝(套丝)→连接→表面处理。

②下料→划线→钻孔→锯割→锉削→攻丝(套丝)→连接→表面处理。

注意事项：a．一般的金属加工先划线再锯割锉削再钻孔攻丝，锯割后必须紧跟锉削使表面光滑；当先锯割影响到圆孔的定位钻孔时，先划线钻孔再锯割锉削。

b．钻孔前要冲眼，钻孔后才能攻丝，攻丝和套丝之前要倒角；表面处理、淬火、折弯一般放在最后(折弯→淬火→表面处理)。

c．金工特殊流程小工件一般先钻孔再锯割；通孔、精度要求高，钻孔一般在最后。

2. ①锯割推锯加压，回拉不加压。

②锉削推锉时，左手施压由大变小，右手由小变大。

§1.1 集合的含义及其表示（1）【教学目标】1．初步理解集合的概念，知道常用数集的概念及其记法.2．理解集合的三个特征，能判断集合与元素之间的关系，正确使用符号∈.3．能根据集合中元素的特点，使用适当的方法和准确的语言将其表示出来，并从中体会到用数学抽象符号刻画客观事物的优越性． 【考纲要求】1． 知道常用数集的概念及其记法.2． 理解集合的三个特征，能判断集合与元素之间的关系，正确使用符号∈. 【课前导学】1．集合的含义： 构成一个集合.（1）集合中的元素及其表示： . （2）集合中的元素的特性： . （3）元素与集合的关系：（i ）如果a 是集合A 的元素，就记作__________读作“___________________”； （ii ）如果a 不是集合A 的元素，就记作______或______读作“_______________”. 【思考】构成集合的元素是不是只能是数或点？【答】 2．常用数集及其记法：一般地，自然数集记作____________，正整数集记作__________或___________， 整数集记作________，有理数记作_______，实数集记作________. 3．集合的分类：按它的元素个数多少来分： （1）________________________叫做有限集； （2）___________________ _____叫做无限集；（3）______________ _叫做空集，记为_____________ 4.集合的表示方法：（1）______ __________________叫做列举法； （2）________________ ________叫做描述法.（3）______ _________叫做文氏图 【例题讲解】 例1、 下列每组对象能否构成一个集合？(1) 高一年级所有高个子的学生；(2)平面上到原点的距离等于2的点的全体； (3)所有正三角形的全体； (4)方程22x =的实数解；(5)不等式12x +≥的所有实数解.例2、用适当的方法表示下列集合①由所有大于10且小于20的整数组成的集合记作A ；②直线y x =上点的集合记作B ；③不等式453x -<的解组成的集合记作C ； ④方程组2x y x y +=⎧⎨-=⎩的解组成的集合记作D ；⑤第一象限的点组成的集合记作E ； ⑥坐标轴上的点的集合记作F .例3、已知集合{}2|210,A x ax x x R =-+=∈,若A 中至多只有一个元素，求实数a 的取值范围.【课堂检测】1．下列对象组成的集体：①不超过45的正整数；②鲜艳的颜色；③中国的大城市；④绝对值最小的实数；⑤高一（2）班中考500分以上的学生，其中为集合的是____________ 2．已知2a ∈A ，a 2-a ∈A ，若A 含2个元素，则下列说法中正确的是 ①a 取全体实数； ②a 取除去0以外的所有实数； ③a 取除去3以外的所有实数；④a 取除去0和3以外的所有实数3．已知集合{0,1,2}A x =+，则满足条件的实数x 组成的集合B =【教学反思】§1.1 集合的含义及其表示（2）【教学目标】1．进一步加深对集合的概念理解； 2．认真理解集合中元素的特性；3. 熟练掌握集合的表示方法，逐渐培养使用数学符号的规范性. 【考纲要求】3． 知道常用数集的概念及其记法.4． 理解集合的三个特征，能判断集合与元素之间的关系，正确使用符号∈. 【课前导学】1．集合()(){}3,2,1,0=A ，则集合A 中的元素有 个. 2．若集合{}|0,x ax x R =∈为无限集，则a = . 3. 已知x 2∈{1，0，x }，则实数x 的值 . 4. 集合12|,6A x x N N x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭,则集合A = . 【例题讲解】例1、 观察下面三个集合，它们表示的意义是否相同？(1){}2|1A x y x ==+(2){}2|1B y y x ==+(3){}2(,)|1C x y y x ==+例2、含有三个实数的集合可表示为,,1b a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，也可表示为{}2,,0a a b +，求20112011a b +.例3、已知集合{}222,(1),33A a a a a =++++，若1A ∈,求a 的值.【课堂检测】1. 用适当符号填空：(1){}2|,1_____A x x x A ==- (2){}2|60,3____B x x x B =+-=(){}C R x x x C ___52,,22|3∈≤=2．设,a b R ∈,集合{}1,,0,,b a b a b a ⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭，则b a -= .3．将下列集合用列举法表示出来:(){};6|1N m N m m A ∈-∈=且 ()⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈∈-=N x N x x B ,99|2【教学反思】§1.2 子集·全集·补集（1）【教学目标】1.理解子集、真子集概念，会判断和证明两个集合包含关系，会判断简单集合的相等关系；2.通过概念教学，提高学生逻辑思维能力，渗透等价转化思想；渗透问题相对论观点. 【考纲要求】1.能判断存在子集关系的两个集合谁是谁的子集，进一步确定其是否是真子集.2.清楚两个集合包含关系的确定，主要靠其元素与集合关系来说明.【课前导学】1． 子集的概念及记法：如果集合A 的任意一个元素都是集合B 的元素（ ），则称 集合 A 为集合B 的子集,记为_________或_________读作“_________”或“______________”用符号语言可表示为：________________ ，如右图所示：________________. 2．子集的性质：① A A ② ____A ∅ ③ ,A B B C ⊆⊆,则___A C 【思考】:A B ⊆与B A ⊆能否同时成立？【答】 3．真子集的概念及记法：如果A B ⊆，并且A B ≠，这时集合A 称为集合B 的真子集,记为_________或_________读作“____________________”或“__________________” 4．真子集的性质：①∅是任何 的真子集 符号表示为___________________ ②真子集具备传递性 符号表示为___________________ 【例题讲解】例1、下列说法正确的是_________（1） 若集合A 是集合B 的子集，则A 中的元素都属于B ； （2） 若集合A 不是集合B 的子集，则A 中的元素都不属于B ； （3） 若集合A 是集合B 的子集，则B 中一定有不属于A 的元素； （4） 空集没有子集.例2.以下六个关系，其中正确的是_________（1）{}∅⊆∅；（2）{}∅∈∅（3）{0}∅⊆（4）0∉∅（5）{0}∅≠（6）{}∅=∅例3．（1）写出集合｛a ，b ｝的所有子集，并指出子集的个数；（2）写出集合｛a ，b ，c ｝的所有子集，并指出子集的个数．【思考】含有n 个不同元素的集合有 个子集，有 个真子集，有 个非空真子集.例4.集合{|1}A x x =>，集合{|}B x x a =>.(1) 若A B ⊆,求a 的取值范围；(2)若A B ≠⊂,求a 的取值范围.【课堂检测】1．下列关系一定成立的是________(){}13|10x x ≠⊂≤ ()2{1,2}{2,1}⊆ ()(){}(){}3|,2,13=+∈y x y x 2．集合{},0)2)(1(|=--=x x x x A 则集合A 的非空子集有 个.3．若{}{}{},,16|,,23|,,13|Z n n c c C Z n n b b B Z n n a a A ∈+==∈-==∈+==则集合A,B,C 的包含关系为 .【教学反思】§1.2 子集·全集·补集（2）【教学目标】1.理解全集、补集概念，会进行简单集合的运算；2.通过概念教学，提高学生逻辑思维能力，渗透等价转化思想；渗透问题相对论观点. 【考纲要求】1. 理解全集、补集概念，会进行简单集合的运算；2. 通过概念教学，提高学生逻辑思维能力. 【课前导学】 1．全集的概念：如果集合U 包含我们所要研究的各个集合，这时U 可以看做一个全集.全集通常记作_____ 2．补集的概念：设____________，由U 中不属于A 的所有元素组成的集合称为U 的子集A 的补集, 记为_____读作“__________________________”即：U C A =_______________________U C A 可用右图阴影部分来表示：_______________________3．补集的性质：① U C ∅=__________________ ② U C U =__________________ ③ ()U U C C A =______________【例题讲解】例1已知全集2{2,3,23},{|21|,2},{5}U U a a A a C A =+-=-=，求实数a 的值.例2设,{|16},{|22}U R A x x B x a x a ==-≤≤=+≤≤，若U B C A ⊆,求实数a 的取值范围.例3若方程20x x a ++=至少有一个非负实数根，求a 的取值范围.【课堂检测】1．全集{}{}1,2,3,4,5,1,5,,U U A B C A ≠==⊂则集合B 有 个.2．全集{},321,23|,-=>==a x x A R U 则下面正确的有()1U a C A ≠⊂ ()2U a C A ∈ (){}3a A ∈ (){}4U a C A ≠⊂3．（1）已知全集{},3|-≥=x x U 集合{},1|>=x x A 则U C A = . （2）设全集{},|31,,U Z A x x k k Z ===±∈则U C A 为 .【教学反思】§1.3 交集·并集（1）【教学目标】1． 理解交集和并集的概念，会求两个集合的交集和并集； 2． 提高学生的逻辑思维能力，培养学生数形结合的能力； 3． 渗透由具体到抽象的过程； 【考纲要求】交集和并集的概念、符号之间的区别与联系. 【课前导学】1．交集： 叫做A 与B 的交集.记作 ，即： .2．并集： 叫做A 与B 的并集， 记作 ，即: . 3．设集合{}{},,3|,,2|N n n x x B N n n x x A ∈==∈==则________=⋂B A 4．设{}{}{},3,3,1,13,2,12=⋂-=--=P M P m m M 则m 的值为 . 【例题讲解】例1．设{1,0,1},{0,1,2,3},A B =-=求A B 及A B .例2．设22{|20},{|6(2)50},A x x px q B x x p x q =-+==++++=若1{}2A B =,求A B .例3． 设集合{24},{}A x x B x x a =-≤≤=<. （1）若A B B =,求a 的取值范围；（2）若A B =∅,求a 的取值范围.【课堂检测】1．设集合{}{}{},4,3,2,3,2,1,2,1===C B A 则()__________.A B C =2．若集合{}{}|23,|23,S x x x T x x =≤≥=≤≤或则_________ST =.3．设集合{}21,|0 2.5,|,32U R A x x B x x x ⎧⎫==<<=≥≤-⎨⎬⎩⎭或则()()U U C A C B = .4．已知{}{},1,1,3,3,1,122+--=-+-=a a a B a a A 则{}2,______A B a =-=则.【教学反思】§1.3 交集·并集（2）【教学目标】、（1）掌握集合交集及并集有关性质；运用性质解决一些简单问题； （2）掌握集合的有关术语和符号；使学生树立创新意识. 【考纲要求】集合的交、并运算及正确地表示一些简单集合. 【课前导学】 1．有关性质：AA = A ∅= AB B A A A = A ∅= A B B A2．区间：设,,,a b R a b ∈<且规定[,]a b = ， (,)a b = ， [,)a b = ， (,]a b = ， (,)a +∞= ， (,]b -∞= ， (,)-∞+∞= .3. {1,2,3,4,5,6},{2,3,5},{1,4},())(),U U U U A B C A B C A C B ===求与(并探求(),U C AB,U U C A C B 三者之间的关系.4.求满足{1,2}PQ =的集合,P Q 共有多少组？【例题讲解】例1设{}{}{},7,1,4,4,2,1,1,22-=+-=+--=C x y B x x A 且C B A = ，求y x ,的值及B A .例2设22{|1|,3,5},{21,2,21},A a B a a a a a =+=+++-若{2,3}A B =,求A B .例3设222{|40},{|2(1)10}.A x x x B x x a x a =+==+++-= （1）若A B B =,求a 的值；（2）若A B B =,求a 的值.例4设全集3{(,)|,},{(,)|1},{(,)|1}2y U x y x R y R M x y P x y y x x -=∈∈===≠+-，求().U C M P【课堂检测】1．设集合{},,3|Z x x x I ∈<={},2,1=A {},2,1,2--=B 则()U AC B 等于 .2．若{}{},,非正整数非负整数==B A 则=B A , =B A . 3．设R U =，{},,50|<≤=x x A {},1|≥=x x B 则()()=B C A C U U . 4．已知集合C B A ,,满足C B B A =，则C A ____.【教学反思】§2.1.1 函数的概念与图像（1）【教学目标】1． 通过现实生活中的实例体会函数是描述变量之间的依赖关系得重要模型，理解函数概念； 2． 了解构成函数的三要素：定义域、对应法则、值域，会求一些简单函数的定义域并能说出他们的值域 .【考纲要求】了解构成函数的三要素；【课前导学】1．函数的定义：设A ，B 是两个 数集，如果按照某种确定的 ，使对于集合A 中的 一个数x ，在集合B 中 和它对应，那么这样的对应叫做从A 到B 的一个函数，记为 ，其中x 叫 ，x 的取值范围叫做函数的 ，与x 的值相对应的y 的值叫 ，y 的取值范围叫做函数的 ；2．在对应法则R y R x b x y y x f ∈∈+=→,,,:中，若52→，则→-2 ；3．下列图象中不能．．作为函数()y f x =的图象的是：【例题讲解】 例1 （1）N x x x ∈→,； （2）R x x x ∈+→,11； （3）,y x →其中+∈∈-=N y N x x y ,,1；（4）y x →，其中{}{}3,2,1,0,1,1,0,1,21-∈-∈-=y x x y 以上4个对应中，为函数的有 .④①变式：下列各组函数中，为同一函数的是 ； （1）()3-=x x f 与()962+-=x x x g （2）()1-=x x f 与12)(2+-=t t t g（3）24)(2+-=x x x f 与2)(-=x x g （4）2)(x x f π=与圆面积y 是半径x 的函数例2 求下列函数的定义域：（1）xx f -=11)( （2）22y x =+*变式：若)(x f y =的定义域为[]4,1，)2(+x f 的定义域为 ；例3已知函数223y x x =--+，求1(0),(1),(),()(1)2f f f f n f n --.变式1：函数223,(32)y x x x =--+-≤≤的值域是 函数223y x x =--+，{}2,1,0,1,2--∈x 的值域是 .变式2：若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数2x y =，值域为{}4,1的“同族函数”共有 个；【课堂检测】1. 对于集合{|06}A x x =≤≤，{|03}B y y =≤≤，有下列从A 到B 的三个对应：①12x y x →=；②13x y x →=；③x y x →=；其中是从A 到B 的函数的对应的序号为 ；2. 函数3()|1|2f x x =+-的定义域为 ____________3. 若2()(1)1,{1,0,1,2,3}f x x x =-+∈-，则((0))f f = ；【教学反思】§2.1.1 函数的概念与图像（2）【教学目标】通过现实生活中的实例体会函数是描述变量之间的依赖关系得重要模型，理解函数概念；了解 构成函数的三要素：定义域、对应法则、值域，会求一些简单函数的定义域并能说出他们的值 域 .【考纲要求】了解构成函数的三要素；【课前导学】1． 求下列函数的定义域： （1）22-⋅+=x x y （2）322--=x xy2． 函数)(x f y =的定义域为[]4,1-，则函数)2(x f y =的定义域为 ；3．求下列函数的值域：（1）)20(1≤<-=x x y （2）2y x=（3）)30(322≤≤+-=x x x y【例题讲解】例1.求下列函数的定义域：（1）()01x yx x+=- （2）1y x=例2.求下列函数的值域： （1）32y x =- （2）[)246,1,5y x x x =-+∈（3）2845y x x =-+ （4）y x =例3（1）已知函数y =R ，求实数m 的取值范围； （2）设[]1,(1)A b b =>，函数21()(1)12f x x =-+，当x A ∈，()f x 的值域也是A ，求b 的值.【课堂检测】 1.函数y =的定义域为 ，111y x=+的定义域为 .2.函数211y x =+的值域为 .3.函数y x =的值域为 .【教学反思】§2.1.1 函数的概念与图像（3）【教学目标】1．理解函数图象的意义；2．能正确画出一些常见函数的图象；3．会利用函数的图象求一些简单函数的值域、判断函数值的变化趋势； 4．从“形”的角度加深对函数的理解. 【课前导学】1．函数的图象：将函数()f x 自变量的一个值0x 作为 坐标，相应的函数值作为 坐标，就得到坐标平面上的一个点00(,())x f x ，当自变量 ，所有这些点组成的图形就是函数()y f x =的图象．2．函数()y f x =的图象与其定义域、值域的对应关系：函数()y f x =的图象在x 轴上的射影构成的集合对应着函数的 ，在y 轴上的射影构成的集合对应着函数的 .3. 函数()f x x =与2()x g x x =的图象相同吗？并画出函数2()x g x x=的图像.4.画出下列函数的图象：（1）()1f x x =+； （2）2()(1)1,[1,3)f x x x =-+∈；（3）5y x =，{1,2,3,4}x ∈； （4）()f x =【例题讲解】例1. 画出函数2()1f x x =+的图象，并根据图象回答下列问题： （1）比较(2),(1),(3)f f f -的大小； （2）若120x x <<（或120x x <<，或12||||x x <）比较1()f x 与2()f x 的大小；（3）分别写出函数2()1f x x =+（(1,2]x ∈-），2()1f x x =+（(1,2]x ∈）的值域．例2. 已知函数()f x =⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤-<+)1(,)1(-1,)1(322x x x x x ，x(1)画出函数图象；(2)求(((2)))f f f -的值(3)求当()7f x =-时，求x 的值；例3作出下列函数的图像;(1) 234y x x =+- (2) 221y x x =--【课堂检测】1.函数()f x 的定义域为[]2,3-，则()y f x =的图像与直线2x =的交点个数为 .2. 函数)(x f y =的图象如图所示，填空：（1）=)0(f ______；（2）=)1(f ______；（3）=)2(f _________； （4）若1121<<<-x x ，则)()(21x f x f 与的大小关系是 _______________.3.画出函数()xf x x x=+的图像.【教学反思】§2.1.2函数的表示方法（1）【教学目标】1． 掌握函数的三种表示方法（图象法、列表法、解析法），理解同一个函数可以用不同的方法来表示；2． 了解分段函数，会作其图，并简单地应用； 3． 会用待定系数法、换元法求函数的解析式. 【考纲要求】在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数. 【课前导学】1.一次函数一般形式为 .2.二次函数的形式：（1）一般式： ； （2）交点式： ； （3）顶点式： .3.已知()31f x x =-，()23g x x =+，则 [()]f g x = ， [()]g f x = .4.已知函数()f x 是二次函数，且满足(0)1,(1)()2f f x f x x =+-=，求()f x .【例题讲解】例1.下表所示为x 与y 间的函数关系：那么它的解析式为 .例2. 函数()f x 在闭区间[1,2]-上的图象如下图所示，则求此函数的解析式．例3. （1）已知一次函数)(x f 满足[]34)(+=x x f f ，求)(x f .（2）已知2(1)2f x x x +=-，求()f x ．1【课堂检测】1.已知21,0()21,0x x f x x x ⎧+≥=⎨+<⎩，(2)f -= ；2(1)f a += .2.已知1)f x =+，则()f x = .3.若二次函数2223y x mx m =-+-+的图像对称轴为20x +=，则m = ，顶点坐标为 .【教学反思】X k b 1 . c o m§2.1.2函数的表示方法（2）【教学目标】掌握函数的三种表示方法（图象法、列表法、解析法），会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；会用待定系数法、换元法求函数的饿解析式；通过实际问题体会数学知识的广泛应用性，培养抽象概括能力和解决问题的能力.【考纲要求】在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数.【课前导学】 1．函数()01)(2≠+=x x x x f ，则)1(x f 是 ； 2．已知1)1(+=+x x f ，那么)(x f 的解析式为 ；3．一个面积为2100m 的等腰梯形，上底长为xm ，下底长为上底长的3倍，则高y 与x 的解 析式为 ；4．某种笔记本每本5元，买x （{}4,3,2,1∈x ）个笔记本的钱数记为y （元），则以x 为自变量的函数y 的解析式为 ；【例题讲解】例1. 动点P 从边长为1的正方形ABCD 的顶点A 出发，顺次经过B 、C 、D 再回到A ，设x 表示点P 的行程，y 表示线段PA 的长，求y 关于x 的函数解析式.变式:如图所示，梯形ABCD 中，CD AB //，5==BC AD ，,10=AB 4=CD ，动 点P 自B 点出发沿DA CD BC →→路线运动，最后到达A 点，设点P 的运动路程 为x ，ABP ∆的面积为y ，试求)(x f y =的解析式并作出图像.例2已知函数满足1()2()f x f ax x+=， （1）求(1),(2)f f 的值； （2）求()f x 的解析式.【课堂检测】1．周长为定值l 的矩形，它的面积S 是此矩形的长为x 的函数，则该函数的解析式 为 ；2.若函数()f x 满足关系式1()2()3f x f x x+=，则(2)f = ；【教学反思】§2.1.3函数的单调性（1）【教学目标】1． 会运用函数图象判断函数是递增还是递减；2． 理解函数的单调性，能判别或证明一些简单函数的单调性； 3． 注意必须在函数的定义域内或其子集内讨论函数的单调性. 【考纲要求】通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性，学会运用函数图象理解和研究函数的性质 【课前导学】1．下列函数中，在区间()2,0上为增函数的是 ； （1）xy 1=（2）12-=x y （3）x y -=1 （4）2)12(-=x y 2．若b x k x f ++=)12()(在()+∞∞-,上是减函数，则k 的取值范围是 ； 3．函数122-+=x x y 的单调递增区间为 ； 4．画出函数12+=x y 的图象，并写出单调区间.【例题讲解】例1：画出下列函数图象，并写出单调区间．（1）22y x =-+； （2）1y x=；（3）21, 0()22, 0x x f x x x ⎧+≤=⎨-+>⎩．例2.求证函数1()1f x x=-在()0,+∞上是减函数.思考：在(),0-∞是 函数，在定义域内是减函数吗？例3.求证函数3()f x x x =+在(),-∞+∞上是增函数.【课堂检测】1．函数1062+-=x x y 在单调增区间是 ； 2．函数11-=xy 的单调递减区间为 ； 3．函数⎩⎨⎧<≥=)0()0(2x xx xy 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；4．求证：函数x x x f +-=2)(在⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-21,上是单调增函数.【教学反思】§2.1.3函数的单调性（2）【教学目标】1．理解函数的单调性、最大（小）值极其几何意义； 2．会用配方法、函数的单调性求函数的最值； 3．培养识图能力与数形语言转换的能力. 【课前导学】1．函数12+-=x y 在[]2,1-上的最大值与最小值分别是 ； 2．函数x x y +-=2在[]0,3-上的最大值与最小值分别是 ；3．函数12+-=x y 在[]3,1上最大值与最小值分别是 ； 4．设函数)0()(≠=a xax f ，若)(x f 在()0,∞-上是减函数，则a 的取值范围为 .【例题讲解】例1. (1)若函数2()45f x x mx m =-+-在[2,)-+∞上是增函数，在(,2]-∞-上是减函数，则实数m 的值为 ；（2）若函数2()45f x x mx m =-+-在[2,)-+∞上是增函数，则实数m 的取值范围为 ；（3）若函数2()45f x x mx m =-+-的单调递增区间为[2,)-+∞，则实数m 的值为 ．例 2.已知函数)(x f y =的定义域是],[b a ，a c b <<.当],[c a x ∈时，)(x f 是单调增函数；当],[b c x ∈时，)(x f 是单调减函数，试证明)(x f 在c x =时取得最大值.例3.（1）求函数1()f x x x=+的单调区间； （2）求函数221()x x f x x -+=，1,44x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域.【课堂检测】1. 函数1)1()(--=x a x f 在()+∞∞-,上是减函数实数a 的取值范围是 .2. 函数2()4(0)f x x mx m =-+>在(,0]-∞上的最小值是 .3. 函数()f x =的最小值是 ，最大值是 ．【教学反思】§2.1.3 函数的奇偶性（1）【教学目标】3． 了解函数奇偶性的含义；4． 掌握判断函数奇偶性的方法，能证明一些简单函数的奇偶性；5． 初步学会运用函数图象理解和研究函数的性质。

第1章集合1．1集合的含义及其表示(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)初步理解集合的含义，知道常用数集及其记法．(2)初步了解“属于”关系的意义，理解集合相等的含义．(3)初步了解有限集、无限集的意义，并能恰当地应用列举法或描述法表示集合．2．过程与方法(1)通过实例，初步体会元素与集合的“属于”关系，从观察分析集合的元素入手正确地理解集合．(2)观察关于集合的几组实例，并通过自己动手举出各种集合的例子，初步感受集合语言在描述客观现实和数学对象中的意义．(3)通过实例体会有限集与无限集，理解列举法和描述法的含义，学会用恰当的形式表示给定集合，掌握集合的表示方法．3．情感、态度与价值观(1)了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系．(2)在学习运用集合语言的过程中，增强学生认识事物的能力，初步培养学生实事求是、扎实、严谨的科学态度．●重点、难点重点：集合的含义及集合的表示方法．难点：集合的特征性质和概念以及运用特征性质用描述法表示一些简单的集合．(教师用书独具)●教学建议1．关于集合含义的教学建议教师在教学过程中通过大量具体实例，引导学生抽象出集合的含义，这样可以培养学生主动学习的习惯，提高阅读与理解、合作与交流的能力．2．关于元素、集合及其关系的表示的教学对于元素，集合的字母表示以及元素与集合之间的“属于”或“不属于”关系．建议教师让学生在具体运用中逐渐熟悉，对于常用数集的表示也要求学生记住．3．关于列举法和描述法表示集合的教学建议教师讲清元素不多的有限集常用列举法表示，无限集常用描述法表示，同时也要说明两种方法的优缺点．●教学流程创设问题情境，通过具体实例，引入两个集合的交集与并集的概念⇒引导学生借助Venn图，理解集合的交集与并集运算，并探究两种基本运算的性质。

⇒借助数轴直观表示，使学生理角区间的符合表示方法⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握集合交集运算的方法⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握集合并集运算的方法⇒通过例3及其变式训练，使学生掌握利用交集、并集的性质求参数范围的方法⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈、矫正课标解读 1.理解集合的含义，知道常用数集及其记法(重点)．2．了解属于关系和集合相等的意义(重点)．3．了解有限集、无限集、空集的意义．4．掌握集合的表示方法——列举法、描述法和Venn图法，并能正确地表示一些简单的集合(重点、难点).集合的概念观察下面的语句(1)高一(2)班的女生；(2)方程x2－2＝0的所有实根；(3)2012年7月参加伦敦奥运会的代表团；(4)高一(2)班的所有帅哥；(5)高一(2)班的好学生．1．上面语句中女生、实根、代表团、帅哥、好学生哪些能被清晰的确定出来？【提示】女生、实根、代表团．2．以上语句中为什么有的不能确定？【提示】因帅哥、好学生标准无法确定．1．元素与集合的概念一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合．集合中的每一个对象称为该集合的元素，简称元．2．元素与集合的符号表示通常用大写拉丁字母来表示集合，例如集合A、集合B等；通常用小写拉丁字母表示集合的元素，例如元素a，b等.元素与集合的关系某中学2013级高一年级的20个班构成一个集合，则高一(6)班是这个集合的元素吗？高二(3)班呢？【提示】高一(6)班是这个集合中的元素，高二(3)班不是．1．元素与集合的关系(1)属于(符号：∈)，a是集合A中的元素．记作a∈A，读作“a属于A”．(2)不属于(符号：∉或∈)，a不是集合A中的元素，记作a∉A或a∈A.读作“a不属于A”．2．常用数集及符号表示数集名称自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号表示N N*或N＋Z Q R集合的表示方法观察下列集合(1)中国的直辖市．(2)12的所有正因数．(3)不等式x－2≥3的解集．(4)所有偶数的集合．1．上述四个集合中的元素能分别一一列举出来吗？【提示】(1)、(2)中元素可以一一列举出来，(3)、(4)中元素不能一一列举，因为它们中的元素有无穷多个．2．设(3)、(4)中元素为x，请用等式(或不等式)分别将它们表示出来．【提示】(3)中元素x≥5，(4)中元素x＝2n，n∈N.1．列举法将集合的元素一一列举出来，并置于花括号“{}”内．用这种方法表示集合，元素之间要用逗号分隔，但列举时与元素的次序无关．2．描述法将集合的所有元素都具有的性质(满足的条件)表示出来，写成{x|p(x)}的形式．3．集合相等如果两个集合所含的元素完全相同(即A中的元素都是B的元素，B中的元素也都是A的元素)，那么称这两个集合相等．集合的分类你班的学生人数可数吗？你能举出一个不可数的集合吗？【提示】可数自然数集．有限集：含有有限个元素的集合称为有限集．无限集：含有无限个元素的集合称为无限集．空集：不含任何元素的集合称为空集，记作∅ .集合的有关概念下列每组对象能否构成一个集合？(1)所有的好人；(2)平面上到原点的距离等于2的点的全体；(3)正三角形的全体；(4)方程x2＝2的实数解；(5)不等式x＋1>0的所有实数解．【思路探究】看一组对象能否构成集合，关键是看这组对象是不是确定的．【自主解答】“所有的好人”无确定的标准，因此(1)不能构成集合．而(2)(3)(4)(5)的对象尽管有点、图形、实数等不同之处，但它们是确定的．所以(2)(3)(4)(5)能构成集合．判断一组对象的全体能否构成集合，关键是看能否找到一个明确的标准，来判断整体中的每一个对象是不是确定的，若元素是确定的，又能看做一个整体，便构成一个集合，否则，就不能构成集合，同时要兼顾集合中每个对象所代表的元素的无序性和互异性．下列对象：①不超过π的正整数；②高一数学课本中的所有难题；③所有的正三角形；④我国近代著名的数学家．其中能够构成集合的序号是________．【解析】由集合定义知①③中的对象可构成集合；②中的“难”与④中的“著名”都无明确的界限，不确定，所以不能构成集合．【答案】 ①③用列举法表示集合用列举法表示下列集合：(1)A ＝{x |－2≤x ≤2，x ∈Z }；(2)B ＝{(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫2x ＋y ＝8，x －y ＝1； (3)M ＝{x |(x －2)2(x －3)＝0}；(4){自然数中五个最小数的完全平方数}； (5)P ＝{y |y ＝－x 2＋6，x ∈N ，y ∈N }．【思路探究】 解答本题首先弄清集合中元素的性质特点，然后按要求改写． 【自主解答】 (1)∵－2≤x ≤2，x ∈Z ， ∴x ＝－2，－1,0,1,2， ∴A ＝{－2，－1,0,1,2}．(2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ＝8，x －y ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2，∴B ＝{(3,2)}．(3)∵2和3是方程的根，∴M ＝{2,3}． (4){0,1,4,9,16}．(5)∵y ＝－x 2＋6≤6，且x ∈N ，y ∈N ， ∴x ＝0,1,2，y ＝6,5,2， ∴P ＝{6,5,2}．应用列举法应注意的问题：(1)用列举法表示集合，要注意是数集还是点集；(2)列举法适合表示有限集，当集合中元素个数较少时，用列举法表示集合比较方便，且使人一目了然．因此，判定集合是有限集还是无限集，选择适当的表示方法是关键．把本题(5)中集合P 改为“{(x ，y )|y ＝－x 2＋6，x ∈N ，y ∈N }”，求相应问题． 【解】 点(x ，y )满足条件y ＝－x 2＋6，x ∈N ，y ∈N ，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2∴Q ＝{(0,6)，(1,5)，(2,2)}．用描述法表示集合用描述法表示下列集合．(1)正奇数集；(2)使y ＝ 2 006x 2＋x －6有意义的实数x 的集合；(3)坐标平面内，在第二象限内的点所组成的集合； (4)坐标平面内，不在第一、三象限内的点所组成的集合．【思路探究】 本题主要考查集合的表示方法，可以把自然语言转化为集合语言，用描述法表示出来．【自主解答】 (1){x |x ＝2n ＋1，n ∈N }， 也可表示为{x |x ＝2n －1，n ∈N *}． (2){x |x ≠2且x ≠－3，x ∈R }． (3){(x ，y )|x <0且y >0，x ∈R ，y ∈R }． (4){(x ，y )|xy ≤0，x ∈R ，y ∈R }．使用描述法时，应注意六点： (1)写清楚集合中的代表元素； (2)说明该集合中元素的性质；(3)不能出现未被说明的字母；(4)多层描述时，应当准确使用“且”“或”；(5)所有描述的内容都要写在花括号内；(6)用于描述的语句力求简明、确切．用描述法表示下列集合：(1)偶数集；(2)被3除余2的正整数的集合；(3)不等式2x－3<0的解集．【解】(1)偶数可用式子x＝2n，n∈Z表示，所以偶数集可表示为{x|x＝2n，n∈Z}．(2)设被3除余2的数为x，则x＝3n＋2，n∈Z，但元素为正整数，故x＝3n＋2，n∈N，所以被3除余2的正整数集合可表示为{x|x＝3n＋2，n∈N}．(3)不等式2x－3<0，即x<32，所以不等式2x－3<0的解集可表示为{x|x<32}.运用方程的思想解决集合相等问题(12分)已知集合A＝{a，a＋b，a＋2b}，B＝{a，ac，ac2}．若A＝B，求c的值．【思路点拨】要求c的值此题应根据相等的两个集合元素完全相同及集合中元素的确定性、互异性、无序性列方程求解．【规范解答】①若a＋b＝ac且a＋2b＝ac2，消去b得：a＋ac2－2ac＝0，当a＝0时，集合B中的三个元素均为0，和元素的互异性相矛盾，故a≠0.∴c2－2c＋1＝0，即c＝1，但c＝1时，B中的三个元素相同，此时无解；②若a＋b＝ac2且a＋2b＝ac，消去b得：2ac2－ac－a＝0，∵a≠0，∴2c2－c－1＝0，9分即(c－1)(2c＋1)＝0，又c≠1，故c＝－12. 11分综上所述，c＝－12.1．根据两集合中的元素完全相同，列出a，b，c满足的方程求解，这就是方程思想的应用．2．解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增根，这需要解题后进行检验．1．集合的概念可以从以下几个方面来理解：(1)集合是一个“整体”；(2)构成集合的对象必须具有“确定”且“不同”这两个特征．这两个特征不是模棱两可的．判定一组对象能否构成一个集合，关键要看是否有一个明确的客观标准来鉴定这些对象，若鉴定对象确定的客观标准存在，则这些对象就能构成集合，否则不能构成集合．2．集合的表示方法：列举法简明、直观适用于元素个数较少的集合；描述法应用更广泛，多适用于元素个数有无穷多的集合．3．集合的分类：集合分为有限集和无限集，根据元素的特性，还可以分为数集、点集、图形集等．1．下列各组对象不能确定一个集合的是________．①某校高一年级开设的课程；②某校高一年级任教的教师；③某校高一年级1998年出生的学生；④某校高一年级比较聪明的学生．【解析】 因为①②③中对象都是确定的，它们都能确定一个集合，而④中“比较聪明”没有明确的判断标准，故④不能确定一个集合．【答案】 ④2．下列关系式中，正确的序号是________．①a ∈{a ，b }；②0∈∅；③{x |x 2≤0}＝∅；④{x |x 2＋2x ＋5＝0}＝∅.【解析】 空集不含任何元素，故②错；0∈{x |x 2≤0}，故③错；①④正确． 【答案】 ①④3．下列叙述中，正确的个数是________．①1是集合N 中最小的数 ②若－a ∉N ，则a ∈N ③若a ∈N *，b ∈N ，则a ＋b 的最小值为2 ④方程x 2－4x ＝－4的解集为{2,2}．【解析】 N 中的最小数为0，故①错误；②可举反例：a ＝13，则－a ＝－13∉N ，但a ＝13∉N ，故②不正确；③可取a ＝1，b ＝0，则a ＋b ＝1，其最小值不为2，故③错；④方程的解集应为{2}，故④错．所以正确个数为0.【答案】 04．用适当的方法表示下列集合． (1)中国古代四大发明的集合； (2)由大于0小于2的实数组成的集合； (3)绝对值等于1的实数的集合； (4)方程x (x 2＋2x －3)＝0的解集； (5)不等式x 2＋2≤0的解集．【解】 (1)中国古代四大发明的集合可用列举法表示为{指南针，造纸术，火药，印刷术}．(2)由大于0且小于2的实数组成的集合用描述法可表示为{x |0<x <2}．(3)绝对值等于1的实数的集合用描述法可表示为{x ||x |＝1}，用列举法可表示为{－1,1}． (4)方程x (x 2＋2x －3)＝0的解集用描述法可表示为{x |x (x 2＋2x －3)＝0}，用列举法可表示为{－3,0,1}．(5)不等式x 2＋2≤0的解集为∅.一、填空题1．下列条件能形成集合的是________． (1)充分小的负数全体 (2)爱好飞机的一些人；(3)某班本学期视力较差的同学 (4)某校某班某一天所有课程．【解析】 综观(1)(2)(3)的对象不确定，唯有(4)某校某班某一天所有课程的对象确定，故能形成集合的是(4)．【答案】 (4)2．方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2x －y ＝5的解集用列举法表示为________；用描述法表示为________．【解析】 因⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2x －y ＝5的解集为方程组的解．解该方程组x ＝72，y ＝－32.则用列举法表示为{(72，－32)}；用描述法表示为⎩⎪⎨⎪⎧(x ，y )⎪⎪⎪⎪ ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ＋y ＝2x －y ＝5.【答案】 {(72，－32)} ⎩⎨⎧(x ，y )⎪⎪⎪ ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ＋y ＝2x －y ＝53．函数y ＝x 2－2x －1图象上的点组成的集合为A ，试用“∈”或“∉”号填空． ①(0，－1)________A ；②(1，－2)________A ； ③(－1,0)________A .【解析】 把各点分别代入函数式，可知(0，－1)∈A ，(1，－2)∈A ，(－1,0)∉A .【答案】 ∈，∈，∉4．(2013·徐州高一检测)若一个集合中的三个元素a ，b ，c 是△ABC 的三边长，则此三角形一定不是________三角形．(用“锐角，直角，钝角，等腰”填空)【解析】 由集合中元素的互异性可知a ≠b ≠c ，故该三角形一定不是等腰三角形． 【答案】 等腰5．用描述法表示如图1－1－1所示中阴影部分的点(包括边界上的点)的坐标的集合是________．图1－1－1【解析】 由图可知，所表示的集合为{(x ，y )|－2≤x ≤0，且－2≤y ≤0}． 【答案】 {(x ，y )|－2≤x ≤0，且－2≤y ≤0}6．(2013·南京高一检测)若集合A ＝{x |3x －a <0，x ∈N }表示二元集，则实数a 的取值范围是________．【解析】 由3x －a <0得，x <a 3，又x ∈N 且满足上述条件的只有两个元素，故1<a3≤2，解得3<a ≤6.【答案】 3<a ≤67．已知x 、y 、z 为非零实数，代数式x |x |＋y |y |＋z |z |＋|xyz |xyz 的值所组成的集合是M ，则M ＝________.【解析】 分四种情况讨论：x ，y ，z 中三个都为正，代数式的值为4；x ，y ，z 中两个为正，一个为负，代数式值为0；x ，y ，z 中一个为正、两个为负，代数式值为0；x ，y ，z 都为负数时代数式值为－4.∴M ＝{－4,0,4}． 【答案】 {－4,0,4}8．设三元素集A ＝{x ，yx ，1}，B ＝{|x |，x ＋y,0}，其中x ，y 为确定常数且A ＝B ，则x 2013－y 2 013的值等于________．【解析】 由题意，知{x ，yx，1}＝{|x |，x ＋y,0}．∵x≠0，∴yx＝0，即y＝0.又∵x≠1，且|x|＝1，∴x＝－1，∴x2 013－y2 013＝(－1)2 013－0＝－1.【答案】－1二、解答题9．用列举法表示下列集合：(1){y|y＝－x2－2x＋3，x∈R，y∈N}；(2)方程x2＋6x＋9＝0的解集；(3){20以内的质数}；(4){(x，y)|x2＋y2＝1，x∈Z，y∈Z}；(5){(x，y)}|x∈N，且1≤x<4，y－2x＝0}；(6){a|65－a∈N，且a∈N}．【解】(1)y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，即y≤4，又y∈N，∴y＝0,1,2,3,4.故{y|y＝－x2－2x＋3，x∈R，y∈N}＝{0,1,2,3,4}．(2)由x2＋6x＋9＝0得x1＝x2＝－3，∴方程x2＋6x＋9＝0的解集为{－3}．(3){20以内的质数}＝{2,3,5,7,11,13,17,19}．(4)因x∈Z，y∈Z，则x＝－1,0,1时，y＝0,1，－1.那么{(x，y)|x2＋y2＝1，x∈Z，y∈Z}＝{(－1,0)，(0,1)，(0，－1)，(1,0)}．(5)当x∈N且1≤x<4时，x＝1,2,3，此时y＝2x，即y＝2,4,6，那么{(x，y)|x∈N且1≤x<4，y－2x＝0}＝{(1,2)，(2,4)，(3,6)}．(6)当a＝－1,2,3,4时，65－a分别为1,2,3,6，故{a|65－a∈N，且a∈N}＝{－1,2,3,4}．10．用描述法表示下列集合：(1)被5除余1的正整数集合；(2)大于4的全体奇数构成的集合；(3)坐标平面内，两坐标轴上点的集合；(4)三角形的全体构成的集合； (5){2,4,6,8}．【解】 (1){x |x ＝5k ＋1，k ∈N }； (2){x |x ＝2k ＋1，k ≥2，k ∈N }； (3){(x ，y )|xy ＝0，x ∈R ，y ∈R }； (4){x |x 是三角形}或{三角形}； (5){x |x ＝2n,1≤n ≤4，n ∈N }．11．已知p ∈R ，且集合A ＝{x |x 2－px －52＝0}，集合B ＝{x |x 2－92x －p ＝0}，12∈A ，求集合B 中的所有元素．【解】 ∵12∈A ，∴14－p 2－52＝0，∴p ＝－92.∴B ＝{x |x 2－92x ＋92＝0}．又方程x 2－92x ＋92＝0的两根为x ＝32或x ＝3.∴B ＝{32，3}.(教师用书独具)若集合A ＝{x |x ＝3n ＋1，n ∈Z }，B ＝{x |x ＝3n ＋2，n ∈Z }，M ＝{x |x ＝6n ＋3，n ∈Z }． (1)若m ∈M ，问是否有a ∈A ，b ∈B ，使m ＝a ＋b?(2)对于任意a ∈A ，b ∈B ，是否一定有a ＋b ＝m 且m ∈M ？证明你的结论．【思路探究】 (1)由m ∈M ，可写出m 的表达式，再根据A 、B 中元素特征，寻找a 、b ；(2)可先表示a 、b ，然后找a ＋b ，最后观察a ＋b 的形式．【自主解答】(1)由m＝6k＋3＝3k＋1＋3k＋2(k∈Z)，令a＝3k＋1，b＝3k＋2，则m＝a＋b.故若m∈M，一定有a∈A，b∈B，使m＝a＋b成立．(2)设a＝3k＋1，b＝3l＋2，k、l∈Z，则a＋b＝3(k＋l)＋3.∴当k＋l＝2p(p∈Z)时，a＋b＝6p＋3∈M，此时有m∈M，使a＋b＝m成立；当k＋l ＝2p＋1(p∈Z)时，a＋b＝6p＋6∉M，此时不存在m使a＋b＝m成立．在探索过程中，要紧抓各集合元素的特征，利用构造法去寻找，同时注意分类讨论．设P，Q为两个非空实数集合，定义集合P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，若P＝{0,2,5}，Q＝{1,2,6}，则P＋Q中元素的个数是________个．【解析】∵P＝{0,2,5}，Q＝{1,2,6}，∴当a＝0且b＝1,2,6时，a＋b＝1,2,6；当a＝2且b＝1,2,6时，a＋b＝3,4,8；当a＝5且b＝1,2,6时，a＋b＝6,7,11.由上可知，只有一个相同的元素6，其他均不相同，故P＋Q＝{1,2,3,4,6,7,8,11}．其所含元素个数为8.【答案】81.2子集、全集、补集(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)了解集合之间包含的含义，能识别给定集合的子集．(2)理解子集、真子集的概念．(3)能使用Venn图表达集合间的关系，体会直观图示对理解抽象概念的作用．2．过程与方法让学生通过观察身边的实例，发现集合间的基本关系，体验其现实意义．3．情感、态度与价值观(1)树立数形结合的思想．(2)体会类比对发现新结论的作用．●重点、难点重点：集合间的包含与相等关系，子集与其子集的概念．难点：难点是属于关系与包含关系的区别．(教师用书独具)●教学建议1．关于子集、真子集的概念，建议教师让学生从三个方面去理解它们．自然语言、符号语言、图形语言(Venn图)，特别是图形语言即Venn图表示可以形象直观地表示集合间的关系，故学时要让学生知道表示集合的Venn图的边界是封闭曲线，它可以是圆、矩形，也可以是其他封闭曲线．2．关于包含符号“⊆”的理解，建议教师提醒学生符号的方向不要搞错，如A⊆B与B⊇A是相同的，而A⊆B与A⊇B是不同的，同时强调“A⊆B”包含两层含义；即“A B”或“A＝B”．3．关于补集的教学建议教师讲解时：①充分利用Venn图的直观性引进概念，讲清概念的含义．②语言表述要确切无误．“∁U A是A在全集U中的补集”，不能把它简单地说成∁U A是A的补集，因为补集是在全集的前提下建立的概念，即补集是一个相对概念．4．关于全集的教学建议教师讲解时突出强调全集是相对于研究的问题而言的，如我们只在整数范围内研究问题则z为全集，而当问题扩展到实数集时，则R为全集．●教学流程创设问题情境，能过实例，引入子集、真子集、空集等概念及其表示法⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!错误!课标解读1.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合间是否具有包含关系(重点)．2．了解全集与空集的含义，能在给定全集的基础上求已知集合的补集(重点)．3．能通过分析元素的特点判断集合间的关系，并能根据集合间的关系确定一些参数的取值(难点).子集的概念及其性质给出两个集合A＝{2,4}，B＝{1,2,3,4}．1．集合A中的元素都是集合B中的元素吗？【提示】是．2．集合B中的元素都是集合A中的元素吗？【提示】不全是．1．子集如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素(若a∈A，则a∈B)，那么集合A称为集合B的子集，记为A⊆B或B⊇A，读作“集合A包含于集合B”或“集合B包含集合A”．可用Venn图表示为：子集的性质：(1)A⊆A，即任何一个集合是它本身的子集．(2)∅⊆A，即空集是任何集合的子集．2．真子集的概念真子集：如果A⊆B，并且A≠B，那么集合A称为集合B的真子集，记为A B或B A，读作“A真包含于B”或“B真包含A”．补集、全集的概念A＝{高一(1)班参加足球队的同学}，B＝{高一(1)班没有参加足球队的同学}，U＝{高一(1)班的同学}．1．集合A，B，U有何关系？【提示】U＝A∪B.2．B中元素与U和A有何关系？【提示】B中元素在U中不在A中．1．补集(1)定义：设A⊆S，由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集．记为∁S A(读作“A在S中的补集”)．(2)符号表示∁S A＝{x|x∈S，且x∉A}．(3)图形表示：2．全集如果集合S包含我们所要研究的各个集合，这时S可以看做一个全集，全集通常记作U.子集、真子集的概念已知集合M满足{1,2}M⊆{1,2,3,4}，写出集合M.【思路探究】可按集合M中含有元素的个数分类讨论求解．【自主解答】①若M中含有3个元素时，M为{1,2,3}和{1,2,4}．②若M中含有4个元素时，M为{1,2,3,4}因此满足条件的集合M有3个即{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．1．本类问题实质是考查包含于“⊆”和真包含于“”的运用，解答本题首先分清两符号的含义，确定集合中元素的个数然后进行分类讨论.2.求集合的子集问题时，一般可以按照子集元素个数分类，再依次写出符合要求的子集．集合子集、真子集个数的规律为：含n 个元素的集合有2n个子集，有2n－1个真子集，有2n－2个非空真子集，其中空集和集合本身易漏掉．将本题中条件改为{1,2}⊆M⊆{1,2,3,4,5}如何求解？【解】①当M中含有2个元素时，M为{1,2}；②当M中含有3个元素时，M为{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}；③当M中含有4个元素时，M为{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}；④当M中含有5个元素时，M为{1,2,3,4,5}．∴满足条件的集合M为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}．集合的补集已知全集U，集合A＝{1,3,5,7}，∁U A＝{2,4,6}，∁U B＝{1,4,6}，求集合B.【思路探究】先由集合A与∁U A求出全集，再由补集定义求出集合B，或利用Venn 图求出集合B.【自主解答】法一A＝{1,3,5,7}，∁U A＝{2,4,6}，∴U＝{1,2,3,4,5,6,7}，又∁U B＝{1,4,6}，∴B＝{2,3,5,7}．法二借助Venn图，如图所示，由图可知B＝{2,3,5,7}．根据补集定义，借助Venn图，可直观地求出全集，此类问题，当集合中元素个数较少时，可借助Venn图；当集合中元素无限时，可借助数轴，利用数轴分析法求解．(1)若U＝{1,2,3,4,5}，S＝{1,2,3,4}，A＝{1,2}，则∁U A＝________，∁S A＝________.(2)已知全集U＝{x|x≥－3}，集合A＝{x|x>1}，则∁U A＝________.【解析】(1)∵U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2}，结合补集的定义可知∁U A＝{3,4,5}．同理可求，当S＝{1,2,3,4}时，∁S A＝{3,4}．(2)∵U＝{x|x≥－3}，A＝{x|x>1}，如图所示：∴∁U A＝{x|－3≤x≤1}．【答案】(1){3,4,5}{3,4}(2){x|－3≤x≤1}由集合间的关系确定参数的范围已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1<x<m＋1}，且B⊆A.求实数m的取值范围．【思路探究】讨论集合B→列关于m的不等式(组)→求m的取值范围【自主解答】∵B⊆A，(1)当B＝∅时，m＋1≤2m－1，解得m≥2.(2)当B≠∅时，有⎩⎪⎨⎪⎧－3≤2m－1m＋1≤42m－1<m＋1，解得－1≤m<2，综上得m≥－1.1．解答本题注意不能忽视B＝∅的情形．当集合中含有字母参数时，一般需要分类讨论．2．对于用不等式给出的集合，已知集合的包含关系求相关参数的范围(值)时，常采用数形结合的思想，借助数轴解答．(2013·银川高一检测)设集合A＝{x|a－2<x<a＋2}，B＝{x|－2<x<3}，(1)若A B，求实数a的取值范围；(2)是否存在实数a使B⊆A?【解】 (1)借助数轴可得，a 应满足的条件为⎩⎪⎨⎪⎧ a －2>－2，a ＋2≤3，或⎩⎪⎨⎪⎧a －2≥－2，a ＋2<3，解得0≤a ≤1.(2)同理可得a 应满足的条件为⎩⎪⎨⎪⎧a －2≤－2，a ＋2≥3，得a 无解，所以不存在实数a 使B ⊆A .子集、全集、补集的综合应用已知集合A ＝{x |x ≥m }，集合B ＝{x |－2<x <3}，(1)若全集U ＝R ，且A ⊆∁U B ，求m 的取值范围；(2)若集合C ＝{x |m ＋1<x <2m }，且C ⊆∁A B ，求m 的取值范围． 【思路探究】 (1)先求∁U B ，再利用A ⊆∁U B 得m 的取值范围． (2)先求∁A B ，再利用C ⊆∁A B 得m 的取值范围．【自主解答】 (1)由题意知∁U B ＝{x |x ≤－2或x ≥3}， ∵A ⊆∁U B ，如图：∴m ≥3，∴m 的取值范围为[3，＋∞)． (2)由题意知B ⊆A ，∴m ≤－2， ∴∁A B ＝{x |m ≤x ≤－2或x ≥3}，①若C＝∅，即m＋1≥2m，即m≤1时，m≤－2.②若C≠∅，即m＋1<2m，即m>1，与m≤－2矛盾，故此种情况不存在．综上，m的取值范围为(－∞，－2]．针对此类问题，已知补集之间的关系求参数的取值范围时，常根据补集的定义及集合之间的关系，并借助数轴．列出参数a应满足的关系式，具体操作时要注意端点值的“取”与“不取”．设全集U＝R，A＝{x|x>1}，B＝{x|x＋a<0}，且B∁U A，求实数a的取值范围．【解】∵U＝R，A＝{x|x>1}，∴∁U A＝{x|x≤1}．∵x＋a<0，x<－a，∴B＝{x|x<－a}．又∵B∁U A，∴－a≤1，∴a≥－1.忽略空集的情形导致错误已知集合A＝{x|x2－2x－3＝0}，B＝{x|ax－2＝0}，且B⊆A，求实数a的值．【错解】A＝{x|x2－2x－3＝0}＝{－1,3}．由于B⊆A，因此B＝{－1}或B＝{3}．当B＝{－1}时，由a×(－1)－2＝0，可得a＝－2；当B＝{3}时，由a×3－2＝0，可得a＝23.综上所述，实数a的值为－2或23.【错因分析】B为空集时，显然也满足已知条件．解题时，需注意空集是任何一个集合的子集(这个“任何一个集合”当然也包含空集本身)，是任何非空集合的真子集．【防范措施】根据“A⊆B”条件，在求相关参数值时，不可忽视集合A可以为空集这个特殊情况，同时还要进行检验，看是否满足元素的互异性．【正解】A＝{x|x2－2x－3＝0}＝{－1,3}．当B≠∅时，由于B⊆A，因此B＝{－1}或B＝{3}．①当B＝{－1}时，由a×(－1)－2＝0，可得a＝－2；②当B＝{3}时，由a×3－2＝0，可得a＝23.当B＝∅时，ax－2＝0无解，可得a＝0.综上所述，实数a的值为－2或2或0.31．正确地理解子集、真子集的概念：如果A是B的子集(即A⊆B)，那么有A是B的真子集(A B)或A与B相等(A＝B)两种情况．“A B”和“A＝B”二者必居其一．反过来，A是B的真子集(A B)也可以说A是B的子集(A⊆B)；A＝B也可以说成A是B的子集(A⊆B)．2．用Venn图表达集合与集合之间的关系，直观、方便，尤其是抽象集合之间关系的问题，常用Venn图求解．3．全集为研究一个问题的所有元素的全体，即该问题所涉及的元素的范围，是一个相对的概念，全集因问题的不同而异．4．补集与全集密不可分．同一集合在不同全集下的补集是不同的，因而说集合的补集的前提是必须先明确全集，一个集合与它的补集是互为补集的关系，补集也是一种思想，是一种思考和处理问题的思维方式．1．已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,4,5}，则∁U A＝________.【解析】根据补集的定义，可知∁U A＝{1,3,6,7}．【答案】{1,3,6 ,7}2．集合A ＝{0,1,2}的真子集个数是________．【解析】 集合A ＝{0,1,2}的真子集有∅，{0}，{1}，{2}，{0,1}，{1,2}，{0,2}共7个． 【答案】 73．设x 、y ∈R ，A ＝{(x ，y )|y ＝x }，B ＝{(x ，y )|yx ＝1}，则A 、B 的关系是________．【解析】 ∵B ＝{(x ，y )|yx ＝1}＝{(x ，y )|y ＝x ，且x ≠0}，故B A .【答案】 B A4．已知集合A ＝{x |－4≤x ≤－2}，集合B ＝{x |x －a ≥0}． (1)若A ⊆B ，求a 的取值范围；(2)若全集U ＝R ，且A ⊆∁U B ，求a 的取值范围． 【解】 ∵A ＝{x |－4≤x ≤－2}，B ＝{x |x ≥a }． (1)由A ⊆B ，结合数轴(如图所示)．可知a 的范围为a ≤－4.(2)∵U ＝R ，∴∁U B ＝{x |x <a }，要使A ⊆∁U B ，结合数轴(如图所示)．只需a >－2.一、填空题1．下列命题中正确的个数为________． (1)空集没有子集；(2)任何集合至少有两个子集；(3)空集是任何集合的真子集；(4)若∅A，则A≠∅.【解析】(1)不正确，∅⊆∅；(2)不正确，∅只有一个子集；(3)不正确，∅没有真子集；(4)正确，理由同(3)．【答案】 12．若全集U＝R，集合A＝{x|x≥1}，则∁U A＝________.【解析】如图所示：∁U A＝{x|x<1}．【答案】{x|x<1}3．设A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|x－a≥0}，若A B，实数a的取值范围为________．【解析】B＝{x|x≥a}，∵A B，∴结合数轴可得a≤1.【答案】a≤14．设A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x<a}，若A B则实数a的取值范围是________．【解析】利用数轴易知应有a≥2.【答案】a≥25．已知集合A＝{1,3，－a3}，B＝{1，a＋2}，若B⊆A，则实数a＝________.【解析】∵B⊆A，∴a＋2＝3或a＋2＝－a3，解得a＝1或a＝－1，由互异性舍去a ＝－1，∴a＝1.【答案】 16．设全集U＝{1,2，x2－2}，A＝{1，x}，则∁U A＝______.【解析】若x＝2，则x2－2＝2，此时U＝{1,2,2}与互异性矛盾，不成立，所以x≠2.从而只能有x＝x2－2，解得x＝－1或x＝2(舍去)．当x＝－1时，U＝{1,2，－1}，A＝{1，－1}，所以∁U A ＝{2}． 【答案】 {2}7．集合A {0,1,2,3}，且A 中的元素至少有一个奇数，这样的集合有________个． 【解析】 含有一个元素时：{1}，{3}；含有两个元素时：{0,1}，{1,2}，{0,3}，{2,3}，{1,3}； 含有三个元素时：{0,1,2}，{0,1,3}，{0,2,3}，{1,2,3}； 含有四个元素时：{0,1,2,3}． 【答案】 128．(2013·徐州高一检测)若非空集合A ＝{x |2a ＋1≤x ≤3a －5}，B ＝{x |x <3或x >22}，则能使A ⊆∁R B 成立的所有a 的集合是________．【解析】 ∵B ＝{x |x <3或x >22}， ∴∁R B ＝{x |3≤x ≤22}． 又∵A ≠∅且A ⊆∁R B ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧3a －5≥2a ＋1，3a －5≤22，2a ＋1≥3，∴6≤a ≤9.【答案】 {a |6≤a ≤9} 二、解答题9．已知{a }⊆A ⊆{a ，b ，c }，求所有满足条件的集合A . 【解】 A 中含有一个元素时，A 为{a }， A 中含有两个元素时，A 为{a ，b }，{a ，c }， A 中含有三个元素时，A 为{a ，b ，c }．所以满足条件的集合A 为{a }，{a ，b }，{a ，c }，{a ，b ，c }． 10．设U ＝{0,1,2,3}，A ＝{x ∈U |x 2＋mx ＝0}， 若∁U A ＝{1,2}，求实数m 的值．【解】 ∵∁U A ＝{1,2}，U ＝{0,1,2,3}，∴A ＝{0,3}， ∴0,3是方程x 2＋mx ＝0的两根，∴m ＝－3.11．设全集U ＝R ，A ＝{x |3m －1<x <2m }，B ＝{x |－1<x <3}，若A ∁U B ，求实数m 的范围．【解】 由题意知，∁U B ＝{x |x ≥3或x ≤－1}， (1)若A ∁U B ，且A ≠∅，则3m －1≥3或2m ≤－1， ∴m ≤－12或m ≥43.又A ≠∅，∴3m －1<2m ，∴m <1，即m ≤－12.(2)若A ＝∅，则3m －1≥2m ，m ≥1，综上所述：m ≤－12或m ≥1.(教师用书独具)若方程x 2＋x ＋a ＝0至少有一个根为非负实数，求实数a 的取值范围．【思路探究】 该题中“至少有一个根为非负实数”种类多，较复杂，但其反面为“无非负实根”的情况较简单．这正是运用补集的思想解题．【自主解答】 若方程x 2＋x ＋a ＝0无非负实根， 即方程无实根或有两个负根，则有： ①方程无实根， Δ＝1－4a <0，解得a >14.②方程有两个负根，即⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝1－4a≥0，x1＋x2＝－1<0，x1x2＝a>0.解得0<a≤14.综上所述，满足题意的a的取值范围是{a|a≤0}．若集合A＝{x|x2＋x＋m＝0，x∈R}至少含有一个元素，求m的取值范围．【解】当集合为∅时，方程x2＋x＋m＝0无解，即Δ＝1－4m<0，解得m>14.所以，当集合{x|x2＋x＋m＝0，x∈R}至少含有一个元素时，实数m的取值范围为{m|m≤14}．当题设条件中含有“至少”“至多”等词语且包含的情况较多时，在解答过程中往往进行分类讨论，为了避免分类讨论，我们可以利用补集思想来求解，即采用“正难则反”的原则从问题的对立面出发，进行求解，最后取相应的集合的补集．1．3交集、并集(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的交集与并集．(2)能使用Venn图表达集合的运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用．。

第六章设计图样的绘制第二节常见的技术图样——三视图一、教材分析1．课标要求本节选自江苏教育出版社普通高中课程标准实验教科书通用技术·必修1《技术与设计1》中第六章第二节《常见的技术图样》中第一课时的内容。

语言的基本特征是传递信息。

人类在长期的技术活动中创造了多种技术语言以满足各类信息传递的需要，技术图样就是专业技术语言的一种，它作为交流媒介在设计思想逐步展开和确定的过程中起到了重要作用，并在此过程中形成了特定的规范与应用范围。

对于这部分内容课程标准提出了“能识读一般的机械加工图、线路图、效果图等常见的技术图样，能绘制草图和简单的三视图”的要求，明确定位本章的教学侧重于培养学生识读技术图样的能力，形成运用技术图样表达技术设计的思想和方法。

2．教材地位三视图作为一种技术图样是设计交流与表达的一种常用的技术语言形式，是整个技术产品设计过程中进行信息交流的关键。

通过本节的学习，学生可以掌握“能绘制简单三视图”的知识和技能，学会一种设计交流的技术语言。

同时本节内容也是后续知识“形体的尺寸标注”和“机械加工图”的基础。

3．教学内容分析常见的技术图样包括正投影与三视图、形体的尺寸标注、机械加工图、剖视图、线路图等内容。

本节课是第1课时，其内容主要包括正投影、三视图的形成和投影规律、如何绘制三视图等。

教师在教学中要注重培养学生细致、严谨的态度，培养学生的空间想象能力，注重提高学生规范作图的能力。

二、学情分析通过前面章节的学习，学生对草图和正等轴测图有了一定的了解，有光线投射成影的感知和体验。

此节内容面对的是高一学生，这些学生在数学中已经接触过一些简单的三视图，对三视图有了解，但是对于三视图的画法还没有掌握。

教学可以从学生的现有知识和经验出发，逐步引导学生对三视图的相关知识的学习，通过动手实践来使学生掌握三视图的绘图、识图的方法，建构三视图完整的知识体系。

课程设计思想高中通用技术课“三视图”内容的教学受到课时安排限制，在教学中要分析和结合学生学情，特别关注学生在初中劳动技术或高中数学中已有的“三视图”基础。

一、填空题1．集合A ＝{0,1,2}的真子集个数是________．解析：集合A 的真子集有∅，{0}，{1}，{2}，{0,1}，{1,2}和{0,2}，共7个． 答案：72．已知集合A ＝{1,2,3,4,5,6}，B ＝{4,5,6,7,8}，C ⊆A ，C ⊆B ，则集合C 最多含有________个元素．解析：由题意知C 最多含有3个元素：4,5,6.答案：33．已知集合A ＝{x |x ＝k 3，k ∈Z}，B ＝{x |x ＝k6，k ∈Z}，则A 与B 的关系为________． 解析：∵k 3＝2k 6，∴k 3∈B ，∴A ⊆B ，但B 中元素16∉A ，∴A B . 答案：A B4．已知a 是实数，若集合{x |ax ＝1}是任何集合的子集，则a 的值是__________． 解析：∵集合{x |ax ＝1}是任何集合的子集，∴该集合为∅，当a ＝0时，ax ＝1无解．∴a ＝0.答案：05．设A ＝{x |1<x <2}，B ＝{x |x <a }，若AB ，则实数a 的取值范围是__________． 解析：∵AB ，(如图) ∴a ≥2，即a 的取值范围是{a |a ≥2}．答案：{a |a ≥2}6．已知M ＝{y |y ＝x 2－2x －1，x ∈R}，N ＝{x |－2≤x ≤4}，则集合M 与N 之间的关系是________．解析：∵y ＝(x －1)2－2≥－2，∴M ＝{y |y ≥－2}，∴NM . 答案：N M二、解答题7．已知集合M 满足{1,2}⊆M ⊆{1,2,3,4,5}，求所有满足条件的集合M .解：因为{1,2}⊆M ，则1∈M,2∈M ，故集合M 中一定有元素1,2.又因为M ⊆{1,2,3,4,5}，即若x ∈M ，则x ∈{1,2,3,4,5}，所以若集合M 中除1,2外还有其他元素，则只能从3,4,5中选取部分或全部数，故满足条件的集合M 含有两个元素时为{1,2}；含有三个元素时可以为{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}；含有四个元素时可以为{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}；含有五个元素时为{1,2,3,4,5}．综上满足条件的集合M 有{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2，5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}．8．已知M ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，N ＝{x |x 2－2x ＋a ＝0}，若N ⊆M ，求实数a 的取值范围． 解：∵M ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}＝{1,2}，又N ⊆M ，∴N ＝∅，或N ＝{1}，或N ＝{2}，或N ＝{1,2}．(1)当N ＝∅时，方程x 2－2x ＋a ＝0的判别式Δ＝4－4a <0，即a >1.(2)当N ＝{1}时，有⎩⎪⎨⎪⎧1＋1＝2，1×1＝a ， ∴a ＝1.(3)当N ＝{2}时，有⎩⎪⎨⎪⎧ 2＋2＝2，2×2＝a ，不成立．(4)当N ＝{1,2}时，有⎩⎪⎨⎪⎧1＋2＝2，1×2＝a ，不成立． 综上可知，实数a 的取值范围为a ≥1.9．设集合A ＝{x |a －2＜x ＜a ＋2}，B ＝{x |－2＜x ＜3}，(1)若A B ，求实数a 的取值范围；(2)是否存在实数a 使B ⊆A?解：(1)借助数轴可得，a 应满足的条件为⎩⎪⎨⎪⎧ a －2>－2，a ＋2≤3，或⎩⎪⎨⎪⎧a －2≥－2，a ＋2<3，解得0≤a ≤1.(2)同理可得a 应满足的条件为⎩⎪⎨⎪⎧a －2≤－2，a ＋2≥3， 得a 无解，所以不存在实数a 使B ⊆A .。

三维设计高中数学必修1篇一：高中数学必修1教案第一章集合与函数概念1.1 集合1.1.1 集合的含义与表示课标三维定向〖知识与技能〗1、了解集合的含义，体会元素与集合的―属于‖关系。

2、掌握集合中元素的特性。

3、能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用。

〖过程与方法〗通过实例，从集合中的元素入手，正确表示集合，结合集合中元素的特性，学会观察、比较、抽象、概括的思维方法，领悟分类讨论的数学思想。

〖情感、态度、价值观〗在运用集合语言解决问题的过程中，逐步养成实事求是、扎实严谨的科学态度，学会用数学思维方法解决问题。

〖重点〗集合的含义与表示方法。

〖难点〗集合表示方法的恰当选择及应用。

教学过程设计一、阅读课本：P2—6（10分钟）（学生课前预习）二、核心内容整合1、为什么要学习集合——现代数学的基础（数学分支）2、集合的含义：把研究对象称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。

3、集合的特性（1）确定性。

问题：―高个子‖能不能构成集合？我国的小河流呢？〖知识链接〗模糊数学（―模糊数学简介‖、―浅谈模糊数学‖）（2）互异性：集合中的元素不重复出现。

如{1，1，2}不能构成集合（3）无序性——相等集合，如{1，2} = {2，1}4、元素与集合之间的―属于‖关系：a?A,a?A5、一些常用数集的记法：N（N*，N+），Z，Q，R。

如：R+表示什么？6、集合的表示法：（1）列举法：把集合的元素一一列举出来，并用花括号―{}―括起来。

例1、用列举法表示下列集合：（1）小于10的所有自然数组成的集合；{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}（2）方程x?x的所有实数根组成的集合；（0，1）（3）由1 ~ 20以内的所有质数组成的集合。

（难点：质数的概念）1 2{2，3，5，7，11，13，17，19}（2）描述法：用集合所含元素的共同特征表示。

{x|x?P} 例2、试分别用列举法和描述法表示下列集合：（1）方程x?2?0的所有实数根组成的集合；列举法：；描述法：{x|x2?2?0}。

章末综合测评(一) 直线与方程(满分：150分 时间：120分钟)一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设直线x ＋my ＋n ＝0的倾斜角为θ，则它关于y 轴对称的直线的倾斜角是( ) A ．θB ．π2－θC ．π－θD ．π2＋θC [设关于y 轴对称的直线的倾斜角为α，则有α＋θ＝π，所以α＝π－θ．故选C ．] 2．与直线l ：mx －m 2y －1＝0垂直于点P (2，1)的直线的一般方程是( ) A ．x ＋y －3＝0B ．x ＋y ＋3＝0 C ．x －y －3＝0D ．m 2x ＋my －1＝0A [由已知可得2m －m 2－1＝0⇒m ＝1⇒k ＝1⇒y －1＝－1(x －2)⇒x ＋y －3＝0，这就是所求直线方程，故选A ．]3．已知直线MN 的斜率为4，其中点N (1，－1)，点M 在直线y ＝x ＋1上，则点M 的坐标为( )A ．(2，3)B ．(4，5)C ．(2，1)D ．(5，7) A [∵点M 在直线y ＝x ＋1上，∴设M (x 0，x 0＋1)， 则直线MN 的斜率k ＝x 0＋1－(－1)x 0－1＝x 0＋2x 0－1＝4，解得：x 0＝2，∴M 的坐标为(2，3)．]4．若直线x ＋(1＋m )y －2＝0与直线mx ＋2y ＋4＝0平行，则m 的值是( ) A ．1B ．－2 C ．1或－2D ．－32A [①当m ＝－1时，两直线分别为x －2＝0和x －2y －4＝0，此时两直线相交，不合题意．②当m ≠－1时，两直线的斜率都存在，由直线平行可得⎩⎪⎨⎪⎧－11＋m ＝－m2，21＋m ≠－2，解得m＝1．综上可得m ＝1．故选A ．]5．两直线l 1：3x －2y －6＝0，l 2：3x －2y ＋8＝0，则直线l 1关于直线l 2对称的直线方程为( )A ．3x －2y ＋24＝0B ．3x －2y －10＝0C ．3x －2y －20＝0D ．3x －2y ＋22＝0 D [设所求直线方程为3x －2y ＋C ＝0(C ≠－6)，由题意可知，所求直线到直线l 2的距离等于直线l 1、l 2间的距离，∴||C －832＋(－2)2＝||－6－832＋(－2)2，∵C ≠－6， 解得C ＝22．因此，所求直线的方程为3x －2y ＋22＝0．]6．已知A (2，5)，B (4，1)，若点P (x ，y )在线段AB 上，则2x －y 的最小值为( ) A ．－1B ．3 C ．7D ．8A [直线AB 的斜率为k AB ＝5－12－4＝－2，所以直线AB 的方程为y －1＝－2(x －4)，即y ＝－2x ＋9．所以，线段AB 的方程为y ＝－2x ＋9(2≤x ≤4)， 所以，2x －y ＝2x －(－2x ＋9)＝4x －9∈[－1，7]， 因此，2x －y 的最小值为－1．]7．已知P (x 1，y 1)是直线l 1：f (x ，y )＝0上一点，Q (x 2，y 2)是l 外一点，则方程f (x ，y )＝f (x 1，y 1)＋f (x 2，y 2)表示的直线( )A ．与l 重合B ．与l 交于点PC ．过Q 与l 平行D ．过Q 与l 相交C [由题意可得f (x 1，y 1)＝0，f (x 2，y 2)≠0，则方程f (x ，y )－f (x 1，y 1)－f (x 2，y 2)＝0，即f (x ，y )－f (x 2，y 2)＝0，它与直线l ：f (x ，y )＝0的一次项系数相等，但常数项不相等，故f (x ，y )－f (x 2，y 2)＝0表示过Q 点且与l 平行的直线，故选C ．]8．已知点A (1，1)，B (3，5)到经过点(2，1)的直线l 的距离相等，则l 的方程为( ) A ．2x －y －3＝0 B ．x ＝2C ．2x －y －3＝0或x ＝2D ．以上都不对C [当A ，B 都在l 的同侧时，设l 的方程为y －1＝k (x －2)，此时，AB ∥l ，所以k ＝k AB＝5－13－1＝2，l 的方程为2x －y －3＝0． 当A ，B 在l 的两侧时，A ，B 到x ＝2的距离相等，因此，l 的方程为x ＝2，故选C ．]二、选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．若A (－4，2)，B (6，－4)，C (12，6)，D (2，12)，下面结论中正确的是( ) A ．AB ∥CD B ．AB ⊥AD C ．|AC |＝|BD |D ．AC ⊥BDABCD [k AB ＝－4－26＋4＝－35，k CD ＝12－62－12＝－35．且C 不在直线AB 上，∴AB ∥CD ，故A 正确；又因为k AD ＝12－22＋4＝53，∴k AB ·k AD ＝－1，∴AB ⊥AD ，故B 正确；∵|AC |＝6－22＋12＋42＝417， |BD |＝2－62＋12＋42＝417，∴|AC |＝|BD |．故C 正确；又k AC ＝6－212＋4＝14，k BD ＝12＋42－6＝－4．∴k AC ·k BD ＝－1， ∴AC ⊥BD ，故D 正确．]10．已知点(－1，2)和⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫33，0在直线l ：ax －y ＋1＝0(a ≠0)的同侧，则直线l 的斜率取值可能为( )A ．－65B ．－32C ．1D ．3AB [因为点(－1，2)和⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫33，0在直线l ：ax －y ＋1＝0(a ≠0)的同侧，所以(－a －2＋1)·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫33a －0＋1＞0，即(a ＋1)(a ＋3)＜0，所以－3＜a ＜－1，易知直线l 的斜率k ＝a ， 即－3＜k ＜－1，结合选项，故选AB ．]11．已知平面上一点M (5，0)，若直线上存在点P 使|PM |＝4，则称该直线为“切割型直线”．下列直线中是“切割型直线”的是( )A ．y ＝x ＋1B ．y ＝2C ．y ＝43x D ．y ＝2x ＋1BC [对于A ，d 1＝|5－0＋1|2＝32>4；对于B ，d 2＝2<4；对于C ，d 3＝|5×4－3×0|5＝4；对于D ，d 4＝|5×2－0＋1|5＝115>4，所以符合条件的有BC ．]12．已知直线x sin α＋y cos α＋1＝0(α∈R )，则下列命题正确的是( ) A ．直线的倾斜角是π－αB ．无论α如何变化，直线不过原点C ．无论α如何变化，直线总和一个定圆相切D ．当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积不小于1BCD [根据直线倾斜角的X 围为[0，π)，而π－α∈R ，所以A 不正确；当x ＝y ＝0时，x sin α＋y cos α＋1＝1≠0，所以直线必不过原点，B 正确；由点到直线的距离公式得原点到直线的距离为1，所以直线总和单位圆相切，C 正确；当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积为S ＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－sin α·⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－cos α＝1|sin 2α|≥1，所以D 正确，故选BCD ．]三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上) 13．已知点M (a ，b )在直线3x ＋4y ＝15上，则a 2＋b 2的最小值为________．3[a 2＋b 2的最小值为原点到直线3x ＋4y ＝15的距离d ＝|0＋0－15|32＋42＝3．]14．过点P (0，1)作直线l ，使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P 平分，则直线l 的方程为________．x ＋4y －4＝0[设l 1与l 的交点为A (a ，8－2a )，则由题意知，点A 关于点P 的对称点B (－a ，2a －6)在l 2上，代入l 2的方程得－a －3(2a －6)＋10＝0，解得a ＝4，即点A (4，0)在直线l 上，所以直线l 的方程为x ＋4y －4＝0．]15．若直线l 被直线l 1：x －y ＋1＝0与l 2：x －y ＋3＝0截得的线段长为22，则直线l 的倾斜角θ(0°≤θ<90°)的值为________．15°或75°[易求得平行线l 1，l 2之间的距离为|1－3|2＝2． 画示意图(图略)可知，要使直线l 被l 1，l 2截得的线段长为22，必须使直线l 与直线l 1，l 2成30°的夹角．∵直线l 1，l 2的倾斜角为45°，∴直线l 的倾斜角为45°－30°＝15°或45°＋30°＝75°．] 16．已知点A (－3，1)，点M 、N 分别是x 轴和直线2x ＋y －5＝0上的两个动点，则||AM＋||MN 的最小值等于________．1255[作点A (－3，1)关于x 轴的对称点A ′(－3，－1)，则|AM |＋|MN |＝|A ′M |＋|MN |，最小值即为A ′(－3，－1)到直线2x ＋y －5＝0的距离，d ＝|－6－1－5|5＝1255，所以|AM |＋|MN |的最小值为1255．]四、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知△ABC 的顶点A (－2，1)，B (4，3)，C (2，－2)，试求： (1)AB 边的中线所在直线的方程； (2)AC 边上的高所在直线的方程． [解](1)线段AB 的中点坐标为(1，2)，所以AB 边上的中线所在直线的方程是：y －2－2－2＝x －12－1，即4x ＋y －6＝0．(2)由已知k AC ＝1－－2－2－2＝－34，则AC 边上高的斜率是43，AC 边上的高所在直线方程是y －3＝43(x －4)，即4x －3y －7＝0．18．(本小题满分12分)当k 为何值时，直线3x －(k ＋2)y ＋k ＋5＝0与直线kx ＋(2k －3)y ＋2＝0：(1)相交；(2)垂直；(3)平行；(4)重合．[解](1)若直线3x －(k ＋2)y ＋k ＋5＝0与直线kx ＋(2k －3)y ＋2＝0相交， 则有3(2k －3)＋k (k ＋2)≠0，解得k ≠1且k ≠－9．(2)若直线3x －(k ＋2)y ＋k ＋5＝0与直线kx ＋(2k －3)y ＋2＝0垂直， 则有3k －(k ＋2)(2k －3)＝0， 解得k ＝1±132．(3)若直线3x －(k ＋2)y ＋k ＋5＝0与直线kx ＋(2k －3)y ＋2＝0平行， 则有3(2k －3)＋k (k ＋2)＝0， 解得k ＝1或k ＝－9；当k ＝1时，两条直线方程均为x －y ＋2＝0，重合，故舍去；当k ＝－9，两条直线分别为3x ＋7y －4＝0和9x ＋21y －2＝0，平行，符合题意，所以k ＝－9．(4)由(3)可知，k ＝1，直线3x －(k ＋2)y ＋k ＋5＝0与直线kx ＋(2k －3)y ＋2＝0重合． 19．(本小题满分12分)如图，已知点A (4，0)，B (0，2)，直线l 过原点，且A 、B 两点位于直线l 的两侧，过A 、B 作直线l 的垂线，分别交l 于C 、D 两点．(1)当C 、D 重合时，求直线l 的方程； (2)当||AC ＝23||BD 时，求线段CD 的长度．[解](1)当C 、D 重合时，AB ⊥l ，直线AB 的斜率为k AB ＝0－24－0＝－12，所以，直线l 的斜率为k ＝－1k AB ＝2，因此，直线l 的方程为y ＝2x ．(2)设直线l 的斜率为k 的方程为kx －y ＝0，可知k >0， 则||AC ＝4k1＋k 2，||BD ＝21＋k 2，∵||AC ＝23||BD ，可得4k1＋k 2＝431＋k 2，解得k ＝3，∴||AC ＝23，||BD ＝1，由勾股定理可得||OC ＝||OA 2－||AC 2＝2，||OD ＝||OB 2－||BD 2＝3，因此，||CD ＝||OC －||OD ＝2－3．20．(本小题满分12分) 已知直线方程为()2－m x ＋()2m ＋1y ＋3m ＋4＝0，其中m ∈R ．(1)当m 变化时，求点Q ()3，4到直线的距离的最大值；(2)若直线分别与x 轴、y 轴的负半轴交于A ，B 两点，求△AOB 面积的最小值及此时的直线方程．[解](1)直线方程为(2－m )x ＋(2m ＋1)y ＋3m ＋4＝0， 可化为(2x ＋y ＋4)＋m (－x ＋2y ＋3)＝0对任意m 都成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋2y ＋3＝0，2x ＋y ＋4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2，所以直线恒过定点(－1，－2)．设定点为P (－1，－2)，当m 变化时，PQ ⊥直线时，点Q (3，4)到直线的距离最大，可知点Q 与定点P (－1，－2)的连线的距离就是所求最大值，即3＋12＋4＋22＝213．(2)由于直线经过定点P (－1，－2)，直线的斜率k 存在且k ≠0， 因此可设直线方程为y ＋2＝k (x ＋1)，可得与x 轴、y 轴的负半轴交于A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －1，0，B (0，k －2)两点，∴2－kk<0，k －2<0，解得k <0．∴S △AOB ＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪2k －1|k －2|＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －1(k －2)＝2＋2－k ＋－k 2≥2＋2＝4， 当且仅当k ＝－2时取等号，面积的最小值为4， 此时直线的方程为y ＋2＝－2(x ＋1)， 即2x ＋y ＋4＝0．21．(本小题满分12分)已知一束光线经过直线l 1：3x －y ＋7＝0和l 2：2x ＋y ＋3＝0的交点M ，且射到x 轴上一点N (1，0)后被x 轴反射．(1)求点M 关于x 轴的对称点P 的坐标； (2)求反射光线所在的直线l 3的方程； (3)求与直线l 3的距离为10的直线方程．[解](1)由⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＋7＝0，2x ＋y ＋3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1，∴M (－2，1)．∴点M 关于x 轴的对称点P 的坐标为(－2，－1)． (2)易知l 3经过点P 与点N ，∴l 3的方程为y －0－1－0＝x －1－2－1，即x －3y －1＝0．(3)设与l 3平行的直线为y ＝13x ＋b ．根据两平行线之间的距离公式，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪b ＋131＋19＝10，解得b ＝3或b ＝－113，∴与直线l 3的距离为10的直线方程为y ＝13x －113或y ＝13x ＋3，即x －3y －11＝0或x －3y ＋9＝0．22．(本小题满分12分) 如图，设直线l 1：x ＝0，l 2：3x －4y ＝0．点A 的坐标为(1，a )⎝ ⎛⎭⎪⎫a >34．过点A 的直线l 的斜率为k ，且与l 1，l 2分别交于点M ，N (M ，N 的纵坐标均为正数)．(1)某某数k 的取值X 围；(2)设a ＝1，求△MON 面积的最小值； (3)是否存在实数a ，使得1||OM ＋1||ON 的值与k 无关？若存在，求出所有这样的实数a ；若不存在，说明理由．[解](1)直线l 的方程为y －a ＝k (x －1)，令x ＝0得，y ＝a －k ，由y ＝a －k >0，得k <a ，∵a >34，∴k ≤34，由⎩⎪⎨⎪⎧ y －a ＝k x －13x －4y ＝0 得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4k －4a 4k －3y ＝3k －3a 4k －3 (4k －3＝0时，方程组无解，不合题意)，由y ＝3k －3a 4k －3>0，∵k >34，∴k >a 或k <34， 综上k <34．即k ∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，34． (2)由(1)得M (0，1－k )，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫4k －44k －3，3k －34k －3，||OM ＝1－k ，||ON ＝5k －14k －3， 设直线l 2的倾斜角为θ，则tan θ＝34，cos θ＝45， ∴sin ∠MON ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝cos θ＝45， S △OMN ＝12×(1－k )×5k －14k －3×45＝21－k 23－4k，令t ＝3－4k ，则t >0，k ＝3－t 4， S △OMN ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－3－t 42t ＝18⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t ＋2≥18⎝⎛⎭⎪⎪⎫2t ×1t ＋2＝12． 当且仅当t ＝1t， 即t ＝1，k ＝12时等号成立， ∴S △OMN 的最小值是12． (3)假设存在满足题意的a ，由(1)||OM ＝a －k ，||ON ＝5k －a 4k －3＝5a －k 3－4k，∴1||OM ＋1||ON ＝1a －k ＋3－4k 5a －k ＝8－4k5a －k ，此式与k 值无关， 则8a ＝－4－1，a ＝2． 所以，存在a ＝2，1||OM ＋1||ON 的值与k 无关．。

苏教版高中数学必修1 全册课时作业目录1.1第1课时集合的含义1.1第2课时集合的表示1.2子集、全集、补集1.3交集、并集2.1.1函数的概念和图象2.1.2习题课2.1.2函数的表示方法2.1.3习题课2.1.3第1课时函数的单调性2.1.3第2课时函数的最大（小）值2.1.3第3课时奇偶性的概念2.1.3第4课时奇偶性的应用2.1.4映射的概念2.2.1函数的单调性（一）2.2.1函数的单调性（二）2.2.1分数指数幂2.2.2 习题课2.2.2习题课2.2.2函数的奇偶性2.2.2指数函数（一）2.2.2指数函数（二）2.2习题课2.3.1第1课时对数的概念2.3.1第2课时对数运算2.3.2习题课2.3.2对数函数（一）2.3.2对数函数（二）2.3映射的概念2.4幂函数2.5.1函数的零点2.5.2用二分法求方程的近似解2.5习题课2.6习题课2.6函数模型及其应用3.1.1分数指数幂3.1.2指数函数（一）3.1.2指数函数（二）3.1习题课3.2.1第1课时对数（一）3.2.1第2课时对数（二）3.2.2对数函数（一）3.2.2对数函数（二）3.2习题课3.3幂函数3.4.1习题课3.4.1第1课时函数的零点3.4.1第2课时用二分法求方程的近似解3.4.2习题课3.4.2函数模型及其应用第1章集合§1.1集合的含义及其表示第1课时集合的含义课时目标 1.通过实例了解集合的含义，并掌握集合中元素的三个特性.2.体会元素与集合间的“从属关系”.3.记住常用数集的表示符号并会应用．1．一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个________．集合中的每一个对象称为该集合的________，简称______．2．集合通常用________________表示，用____________________表示集合中的元素．3．如果a是集合A的元素，就说a________集合A，记作a____A，读作“a______A”，如果a不是集合A的元素，就说a__________A，记作a____A，读作“a________A”．4．集合中的元素具有________、________、________三种性质．5．实数集、有理数集、整数集、自然数集、正整数集分别用字母____、____、____、____、____或______来表示．一、填空题1．下列语句能确定是一个集合的是________．(填序号)①著名的科学家；②留长发的女生；③2010年广州亚运会比赛项目；④视力差的男生．2．集合A只含有元素a，则下列各式正确的是________．(填序号)①0∈A；②a∉A；③a∈A；④a＝A.3．已知M中有三个元素可以作为某一个三角形的边长，则此三角形一定不是________．(填序号)①直角三角形；②锐角三角形；③钝角三角形；④等腰三角形．4．由a2,2－a,4组成一个集合A，A中含有3个元素，则实数a的取值可以是________．(填序号)①1；②－2；③6；④2.5．已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m的值为________．6．由实数x、－x、|x|、x2及－3x3所组成的集合，最多含有________个元素．7．由下列对象组成的集体属于集合的是________．(填序号)①不超过π的正整数；②本班中成绩好的同学；③高一数学课本中所有的简单题；④平方后等于自身的数．8．集合A中含有三个元素0,1，x，且x2∈A，则实数x的值为________．9．用符号“∈”或“∉”填空－2______R，－3______Q，－1_______N，π______Z.二、解答题10．判断下列说法是否正确？并说明理由．(1)参加2010年广州亚运会的所有国家构成一个集合； (2)未来世界的高科技产品构成一个集合；(3)1,0.5，32，12组成的集合含有四个元素；(4)高一(三)班个子高的同学构成一个集合．11．已知集合A 是由a －2,2a 2＋5a,12三个元素组成的，且－3∈A ，求a .能力提升 12．设P 、Q 为两个非空实数集合，P 中含有0,2,5三个元素，Q 中含有1,2,6三个元素，定义集合P ＋Q 中的元素是a ＋b ，其中a ∈P ，b ∈Q ，则P ＋Q 中元素的个数是多少？13．设A为实数集，且满足条件：若a∈A，则11－a∈A (a≠1)．求证：(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素；(2)集合A不可能是单元素集．1．考查对象能否构成一个集合，就是要看是否有一个确定的特征(或标准)，能确定一个个体是否属于这个总体，如果有，能构成集合，如果没有，就不能构成集合．2．集合中元素的三个性质(1)确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素属于不属于这个集合是确定的．要么是该集合中的元素要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否构成集合．(2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．(3)无序性：集合与其中元素的排列顺序无关，如由元素a，b，c与由元素b，a，c组成的集合是相等的集合．这个性质通常用来判断两个集合的关系．第1章集合§1.1集合的含义及其表示第1课时集合的含义知识梳理1．集合元素元 2.大写拉丁字母A，B，C…小写拉丁字母a，b，c，… 3.属于∈属于不属于∉不属于4．确定性互异性无序性 5.R Q Z N N*N＋作业设计1．③解析①、②、④都因无法确定其构成集合的标准而不能构成集合．2．③解析由题意知A中只有一个元素a，∴0∉A，a∈A，元素a与集合A的关系不应用“＝”．3．④解析集合M的三个元素是互不相同的，所以作为某一个三角形的边长，三边是互不相等的．4．③解析因A中含有3个元素，即a2,2－a,4互不相等，将各项中的数值代入验证知填③. 5．3解析由2∈A可知：若m＝2，则m2－3m＋2＝0，这与m2－3m＋2≠0相矛盾；若m2－3m＋2＝2，则m＝0或m＝3，当m＝0时，与m≠0相矛盾，当m＝3时，此时集合A＝{0,3,2}，符合题意．6．2解析 因为|x |＝±x ，x 2＝|x |，－3x 3＝－x ，所以不论x 取何值，最多只能写成两种形式：x 、－x ，故集合中最多含有2个元素． 7．①④解析 ①④中的标准明确，②③中的标准不明确．故答案为①④. 8．－1解析 当x ＝0,1，－1时，都有x 2∈A ，但考虑到集合元素的互异性，x ≠0，x ≠1，故答案为－1.9．∈ ∈ ∉ ∉10．解 (1)正确．因为参加2010年广州亚运会的国家是确定的，明确的． (2)不正确．因为高科技产品的标准不确定．(3)不正确．对一个集合，它的元素必须是互异的，由于0.5＝12，在这个集合中只能作为一元素，故这个集合含有三个元素． (4)不正确，因为个子高没有明确的标准． 11．解 由－3∈A ，可得－3＝a －2或－3＝2a 2＋5a ，∴a ＝－1或a ＝－32.则当a ＝－1时，a －2＝－3,2a 2＋5a ＝－3，不符合集合中元素的互异性，故a ＝－1应舍去．当a ＝－32时，a －2＝－72，2a 2＋5a ＝－3，∴a ＝－32.12．解 ∵当a ＝0时，b 依次取1,2,6，得a ＋b 的值分别为1,2,6； 当a ＝2时，b 依次取1,2,6，得a ＋b 的值分别为3,4,8； 当a ＝5时，b 依次取1,2,6，得a ＋b 的值分别为6,7,11.由集合元素的互异性知P ＋Q 中元素为1,2,3,4,6,7,8,11共8个．13．证明 (1)若a ∈A ，则11－a∈A .又∵2∈A ，∴11－2＝－1∈A .∵－1∈A ，∴11－－1＝12∈A .∵12∈A ，∴11－12＝2∈A . ∴A 中另外两个元素为－1，12.(2)若A 为单元素集，则a ＝11－a，即a 2－a ＋1＝0，方程无解．∴a ≠11－a，∴A 不可能为单元素集．第2课时 集合的表示课时目标 1.掌握集合的两种表示方法(列举法、描述法).2.能够运用集合的两种表示方法表示一些简单集合．1．列举法将集合的元素____________出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法．2．两个集合相等如果两个集合所含的元素____________，那么称这两个集合相等． 3．描述法将集合的所有元素都具有的______(满足的______)表示出来，写成{x |p (x )}的形式． 4．集合的分类(1)有限集：含有________元素的集合称为有限集． (2)无限集：含有________元素的集合称为无限集． (3)空集：不含任何元素的集合称为空集，记作____．一、填空题1．集合{x ∈N ＋|x －3<2}用列举法可表示为___________________________________． 2．集合{(x ，y )|y ＝2x －1}表示________．(填序号) ①方程y ＝2x －1； ②点(x ，y )；③平面直角坐标系中的所有点组成的集合； ④函数y ＝2x －1图象上的所有点组成的集合．3．将集合⎩⎪⎨⎪⎧x ，y |⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ＋y ＝52x －y ＝1表示成列举法为______________．4．用列举法表示集合{x |x 2－2x ＋1＝0}为________．5．已知集合A ＝{x ∈N |－3≤x ≤3}，则有________．(填序号) ①－1∈A ；②0∈A ；③3∈A ；④2∈A .6．方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3x －y ＝－1的解集不可表示为________．①{(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3x －y ＝－1}；②{(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝2}；③{1,2}；④{(1,2)}．7．用列举法表示集合A ＝{x |x ∈Z ，86－x∈N }＝______________________________.8．下列各组集合中，满足P ＝Q 的为________．(填序号) ①P ＝{(1,2)}，Q ＝{(2,1)}； ②P ＝{1,2,3}，Q ＝{3,1,2}；③P ＝{(x ，y )|y ＝x －1，x ∈R }，Q ＝{y |y ＝x －1，x ∈R }．9．下列各组中的两个集合M 和N ，表示同一集合的是________．(填序号) ①M ＝{π}，N ＝{3.141 59}； ②M ＝{2,3}，N ＝{(2,3)}；③M ＝{x |－1<x ≤1，x ∈N }，N ＝{1}；④M ＝{1，3，π}，N ＝{π，1，|－3|}． 二、解答题10．用适当的方法表示下列集合①方程x (x 2＋2x ＋1)＝0的解集；②在自然数集内，小于1 000的奇数构成的集合； ③不等式x －2>6的解的集合；④大于0.5且不大于6的自然数的全体构成的集合．11．已知集合A ＝{x |y ＝x 2＋3}，B ＝{y |y ＝x 2＋3}，C ＝{(x ，y )|y ＝x 2＋3}，它们三个集合相等吗？试说明理由．能力提升12．下列集合中，不同于另外三个集合的是________．①{x |x ＝1}；②{y |(y －1)2＝0}；③{x ＝1}；④{1}．13．已知集合M ＝{x |x ＝k 2＋14，k ∈Z }，N ＝{x |x ＝k 4＋12，k ∈Z }，若x 0∈M ，则x 0与N 的关系是____________________________________________________．1．在用列举法表示集合时应注意：①元素间用分隔号“，”；②元素不重复；③元素无顺序；④列举法可表示有限集，也可以表示无限集，若元素个数比较少用列举法比较简单；若集合中的元素较多或无限，但出现一定的规律性，在不发生误解的情况下，也可以用列举法表示． 2．在用描述法表示集合时应注意：(1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)，是数、还是有序实数对(点)、还是集合、还是其他形式？(2)元素具有怎样的属性？当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑．第2课时 集合的表示知识梳理1．一一列举 2.完全相同 3.性质 条件 4．(1)有限个 (2)无限个 (3)∅ 作业设计 1．{1,2,3,4}解析 {x ∈N ＋|x －3<2}＝{x ∈N ＋|x <5}＝{1,2,3,4}． 2．④解析 集合{(x ，y )|y ＝2x －1}的代表元素是(x ，y )，x ，y 满足的关系式为y ＝2x －1，因此集合表示的是满足关系式y ＝2x －1的点组成的集合． 3．{(2,3)}解析 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝5，2x －y ＝1.得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3.所以答案为{(2,3)}．4．{1}解析 方程x 2－2x ＋1＝0可化简为(x －1)2＝0， ∴x 1＝x 2＝1，故方程x 2－2x ＋1＝0的解集为{1}． 5．② 6．③解析 方程组的集合中最多含有一个元素，且元素是一对有序实数对，故③不符合． 7．{5,4,2，－2}解析 ∵x ∈Z ，86－x∈N ，∴6－x ＝1,2,4,8.此时x ＝5,4,2，－2，即A ＝{5,4,2，－2}． 8．②解析 ①中P 、Q 表示的是不同的两点坐标；②中P ＝Q ；③中P 表示的是点集，Q 表示的是数集． 9．④解析 只有④中M 和N 的元素相等，故答案为④.10．解 ①∵方程x (x 2＋2x ＋1)＝0的解为0和－1， ∴解集为{0，－1}；②{x |x ＝2n ＋1，且x <1 000，n ∈N }； ③{x |x >8}；④{1,2,3,4,5,6}．11．解 因为三个集合中代表的元素性质互不相同，所以它们是互不相同的集合．理由如下：集合A 中代表的元素是x ，满足条件y ＝x 2＋3中的x ∈R ，所以A ＝R ； 集合B 中代表的元素是y ，满足条件y ＝x 2＋3中y 的取值范围是y ≥3， 所以B ＝{y |y ≥3}．集合C 中代表的元素是(x ，y )，这是个点集，这些点在抛物线y ＝x 2＋3上，所以C ＝{P |P是抛物线y ＝x 2＋3上的点}． 12．③解析 由集合的含义知{x |x ＝1}＝{y |(y －1)2＝0} ＝{1}，而集合{x ＝1}表示由方程x ＝1组成的集合． 13．x 0∈N解析 M ＝{x |x ＝2k ＋14，k ∈Z }，N ＝{x |x ＝k ＋24，k ∈Z }，∵2k ＋1(k ∈Z )是一个奇数，k ＋2(k ∈Z )是一个整数， ∴x 0∈M 时，一定有x 0∈N .§1.2子集、全集、补集课时目标 1.理解子集、真子集的意义，会判断两集合的关系.2.理解全集与补集的意义，能正确运用补集的符号.3.会求集合的补集，并能运用Venn图及补集知识解决有关问题．1．子集如果集合A的__________元素都是集合B的元素(若a∈A则a∈B)，那么集合A称为集合B的________，记作______或______．任何一个集合是它本身的______，即A⊆A. 2．如果A⊆B，并且A≠B，那么集合A称为集合B的________，记为______或(______)．3．______是任何集合的子集，______是任何非空集合的真子集．4．补集设A⊆S，由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A的______，记为______(读作“A在S中的补集”)，即∁S A＝{x|x∈S，且x∉A}．5．全集如果集合S包含我们所要研究的各个集合，这时S可以看做一个______，全集通常记作U.集合A相对于全集U的补集用Venn图可表示为一、填空题1．集合P＝{x|y＝x＋1}，集合Q＝{y|y＝x－1}，则P与Q的关系是________．2．满足条件{1,2}M⊆{1,2,3,4,5}的集合M的个数是________．3．已知集合U＝{1,3,5,7,9}，A＝{1,5,7}，则∁U A＝________.4．已知全集U＝R，集合M＝{x|x2－4≤0}，则∁U M＝________.5．下列正确表示集合M＝{－1,0,1}和N＝{x|x2＋x＝0}关系的Venn图是_____________________________．6．集合M＝{x|x＝3k－2，k∈Z}，P＝{y|y＝3n＋1，n∈Z}，S＝{z|z＝6m＋1，m∈Z}之间的关系是________．7．设U＝{0,1,2,3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，若∁U A＝{1,2}，则实数m＝________. 8．设全集U＝{x|x<9且x∈N}，A＝{2,4,6}，B＝{0,1,2,3,4,5,6}，则∁U A＝________，∁U B＝______，∁B A＝________.9．已知全集U，A B，则∁U A与∁U B的关系是____________________．二、解答题10．设全集U＝{x∈N*|x<8}，A＝{1,3,5,7}，B＝{2,4,5}．(1)求∁U(A∪B)，∁U(A∩B)；(2)求(∁U A)∪(∁U B)，(∁U A)∩(∁U B)；(3)由上面的练习，你能得出什么结论？请结事Venn图进行分析．11．已知集合A＝{1,3，x}，B＝{1，x2}，设集合U＝A，求∁U B.能力提升12．设全集是数集U＝{2,3，a2＋2a－3}，已知A＝{b,2}，∁U A＝{5}，求实数a，b的值．13．已知集合A＝{x|1<ax<2}，B＝{x|－1<x<1}，求满足A⊆B的实数a的取值范围．1．子集概念的多角度理解(1)“A是B的子集”的含义是：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，即由任意x∈A能推出x∈B.(2)不能把“A⊆B”理解成“A是B中部分元素组成的集合”，因为当A＝∅时，A⊆B，但A中不含任何元素；又当A＝B时，也有A⊆B，但A中含有B中的所有元素，这两种情况都有A⊆B.2．∁U A的数学意义包括两个方面：首先必须具备A⊆U；其次是定义∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}，补集是集合间的运算关系．3．补集思想做题时“正难则反”策略运用的是补集思想，即已知全集U，求子集A，若直接求A困难，可先求∁U A，再由∁U(∁U A)＝A求A.§1.2子集、全集、补集知识梳理1．任意一个子集A⊆B B⊇A子集 2.真子集A B B A3．空集空集 4.补集∁S A 5.全集作业设计1．P Q解析∵P＝{x|y＝x＋1}＝{x|x≥－1}，Q＝{y|y≥0}，∴P Q.2．7解析M中含三个元素的个数为3，M中含四个元素的个数也是3，M中含5个元素的个数只有1个，因此符合题意的共7个．3．{3,9}解析在集合U中，去掉1,5,7，剩下的元素构成∁U A.4．{x|x<－2或x>2}解析∵M＝{x|－2≤x≤2}，∴∁U M＝{x|x<－2或x>2}．5．②解析由N＝{－1,0}，知N M.6．S P＝M解析运用整数的性质方便求解．集合M、P表示成被3整除余1的整数集，集合S表示成被6整除余1的整数集．7．－3解析∵∁U A＝{1,2}，∴A＝{0,3}，故m＝－3.8．{0,1,3,5,7,8} {7,8} {0,1,3,5}解析由题意得U＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8}，用Venn图表示出U，A，B，易得∁U A＝{0,1,3,5,7,8}，∁U B＝{7,8}，∁B A＝{0,1,3,5}．9．∁U B∁U A解析画Venn图，观察可知∁U B∁U A.10．解 (1)∵U ＝{x ∈N *|x <8}＝{1,2,3,4,5,6,7}，A ∪B ＝{1,2,3,4,5,7}，A ∩B ＝{5}，∴∁U (A ∪B )＝{6}，∁U (A ∩B )＝{1,2,3,4,67}．(2)∵∁U A ＝{2,4,6}，∁U B ＝{1,3,6,7}，∴(∁U A )∪(∁U B )＝{1,2,3,4,6,7}，(∁U A )∩(∁U B )＝{6}．(3)∁U (A ∪B )＝(∁U A )∩(∁U B )(如左下图)；∁U (A ∩B )＝(∁U A )∪(∁U B )(如右下图)．11．解 因为B ⊆A ，因而x 2＝3或x 2＝x .①若x 2＝3，则x ＝± 3.当x ＝3时，A ＝{1,3，3}，B ＝{1,3}，此时∁U B ＝{3}；当x ＝－3时，A ＝{1,3，－3}，B ＝{1,3}，U ＝A ＝{1,3，－3}，此时∁U B ＝{－3}．②若x 2＝x ，则x ＝0或x ＝1. 当x ＝1时，A 中元素x 与1相同，B 中元素x 2与1也相同，不符合元素的互异性，故x ≠1； 当x ＝0时，A ＝{1,3,0}，B ＝{1,0}，U ＝A ＝{1,3,0}，从而∁U B ＝{3}． 综上所述，∁U B ＝{3}或{－3}或{3}． 12．解 ∵∁U A ＝{5}，∴5∈U 且5∉A .又b ∈A ，∴b ∈U ，由此得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋2a －3＝5，b ＝3.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝3经检验都符合题意．13．解 (1)当a ＝0时，A ＝∅，满足A ⊆B .(2)当a >0时，A ＝{x |1a <x <2a}．又∵B ＝{x |－1<x <1}，A ⊆B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1a ≥－1，2a ≤1，∴a ≥2.(3)当a <0时，A ＝{x |2a <x <1a}．∵A ⊆B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ≥－1，1a ≤1，∴a ≤－2.综上所述，a ＝0或a ≥2或a ≤－2.§1.3交集、并集课时目标 1.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集.2.能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用．1．交集(1)定义：一般地，由____________________元素构成的集合，称为集合A与B的交集，记作________．(2)交集的符号语言表示为A∩B＝__________.(3)交集的图形语言表示为下图中的阴影部分：(4)性质：A∩B＝______，A∩A＝____，A∩∅＝____，A∩B＝A⇔______.2．并集(1)定义：一般地，________________________的元素构成的集合，称为集合A与B的并集，记作______．(2)并集的符号语言表示为A∪B＝______________.(3)并集的图形语言(即Venn图)表示为图中的阴影部分：(4)性质：A∪B＝______，A∪A＝____，A∪∅＝____，A∪B＝A⇔______，A____A∪B，A∩B____A∪B.一、填空题1．若集合A＝{0,1,2,3}，B＝{1,2,4}，则集合A∪B＝________.2．集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x<1}，则A∩B＝________.3．若集合A＝{参加北京奥运会比赛的运动员}，集合B＝{参加北京奥运会比赛的男运动员}，集合C＝{参加北京奥运会比赛的女运动员}，则下列关系正确的是________．①A⊆B；②B⊆C；③A∩B＝C；④B∪C＝A.4．已知集合M＝{(x，y)|x＋y＝2}，N＝{(x，y)|x－y＝4}，那么集合M∩N＝________. 5．设集合A＝{5,2a}，集合B＝{a，b}，若A∩B＝{2}，则a＋b等于________．6．集合M＝{1,2,3,4,5}，集合N＝{1,3,5}，则下列关系正确的是________．①N∈M；②M∪N＝M；③M∩N＝M；④M>N.7．设集合A＝{－3,0,1}，B＝{t2－t＋1}．若A∪B＝A，则t＝________.8．设集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，则实数a＝________. 9．设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|－1<x≤4}，C＝{x|－3<x<2}且集合A∩(B∪C)＝{x|a≤x≤b}，则a＝______，b＝______.二、解答题10．已知方程x2＋px＋q＝0的两个不相等实根分别为α，β，集合A＝{α，β}，B＝{2,4,5,6}，C＝{1,2,3,4}，A∩C＝A，A∩B＝∅.求p，q的值．11．设集合A＝{－2}，B＝{x|ax＋1＝0，a∈R}，若A∩B＝B，求a的值．能力提升12．定义集合运算：A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}．设A＝{1,2}，B＝{0,2}，则集合A*B的所有元素之和为________．13．设U＝{1,2,3}，M，N是U的子集，若M∩N＝{1,3}，则称(M，N)为一个“理想配集”，求符合此条件的“理想配集”的个数(规定(M，N)与(N，M)不同)．1．对并集、交集概念全方面的感悟(1)对于并集，要注意其中“或”的意义，“或”与通常所说的“非此即彼”有原则性的区别，它们是“相容”的．“x∈A，或x∈B”这一条件，包括下列三种情况：x∈A但x∉B；x∈B但x∉A；x∈A且x∈B.因此，A∪B是由所有至少属于A、B两者之一的元素组成的集合．(2)A∩B中的元素是“所有”属于集合A且属于集合B的元素，而不是部分，特别地，当集合A和集合B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是A∩B＝∅.2．集合的交、并运算中的注意事项(1)对于元素个数有限的集合，可直接根据集合的“交”、“并”定义求解，但要注意集合元素的互异性．(2)对于元素个数无限的集合，进行交、并运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点值取到与否．拓展交集与并集的运算性质，除了教材中介绍的以外，还有A⊆B⇔A∪B＝B，A⊆B⇔A ∩B ＝A .这种转化在做题时体现了化归与转化的思想方法，十分有效．§1.3 交集、并集知识梳理 1．(1)所有属于集合A 且属于集合B 的 A ∩B (2){x |x ∈A ，且x ∈B } (4)B ∩A A ∅ A ⊆B 2.(1)由所有属于集合A 或属于集合B A ∪B (2){x |x ∈A ，或x ∈B } (4)B ∪A A A B ⊆A ⊆ ⊆ 作业设计1．{0,1,2,3,4} 2．{x |－1≤x <1}解析 由交集定义得{x |－1≤x ≤2}∩{x |x <1}＝{x |－1≤x <1}． 3．④解析 参加北京奥运会比赛的男运动员与参加北京奥运会比赛的女运动员构成了参加北京奥运会比赛的所有运动员，因此A ＝B ∪C . 4．{(3，－1)}解析 M 、N 中的元素是平面上的点，M ∩N 是集合，并且其中元素也是点，解⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，x －y ＝4，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1.5．3解析 依题意，由A ∩B ＝{2}知2a ＝2， 所以，a ＝1，b ＝2，a ＋b ＝3. 6．②解析 ∵N M ，∴M ∪N ＝M . 7．0或1解析 由A ∪B ＝A 知B ⊆A ， ∴t 2－t ＋1＝－3①或t 2－t ＋1＝0②或t 2－t ＋1＝1③①无解；②无解；③t ＝0或t ＝1. 8．1解析 ∵3∈B ，由于a 2＋4≥4，∴a ＋2＝3，即a ＝1. 9．－1 2解析 ∵B ∪C ＝{x |－3<x ≤4}，∴A (B ∪C )， ∴A ∩(B ∪C )＝A ，由题意{x |a ≤x ≤b }＝{x |－1≤x ≤2}， ∴a ＝－1，b ＝2.10．解 由A ∩C ＝A ，A ∩B ＝∅，可得：A ＝{1,3}，即方程x 2＋px ＋q ＝0的两个实根为1,3.∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋3＝－p 1×3＝q ，∴⎩⎪⎨⎪⎧p ＝－4q ＝3.11．解 ∵A ∩B ＝B ，∴B ⊆A .∵A ＝{－2}≠∅，∴B ＝∅或B ≠∅.当B ＝∅时，方程ax ＋1＝0无解，此时a ＝0.当B ≠∅时，此时a ≠0，则B ＝{－1a}，∴－1a ∈A ，即有－1a ＝－2，得a ＝12.综上，得a ＝0或a ＝12.12．6解析 x 的取值为1,2，y 的取值为0,2，∵z ＝xy ，∴z 的取值为0,2,4，所以2＋4＝6. 13．解 符合条件的理想配集有 ①M ＝{1,3}，N ＝{1,3}． ②M ＝{1,3}，N ＝{1,2,3}． ③M ＝{1,2,3}，N ＝{1,3}． 共3个．第2章 函数 §2.1 函数的概念 2.1.1 函数的概念和图象课时目标 1.理解函数的概念，明确函数的三要素.2.能正确使用区间表示数集，表示简单函数的定义域、值域.3.会求一些简单函数的定义域、值域．1．一般地，设A ，B 是两个非空的数集，如果按某种对应法则f ，对集合A 中的每一个元素x ，在集合B 中都有惟一的元素y 和它对应，那么这样的对应叫做从A 到B 的一个________，通常记为y ＝f(x)，x ∈A.其中，所有的输入值x 组成的集合A 叫做函数y ＝f(x)的________． 2．若A 是函数y ＝f(x)的定义域，则对于A 中的每一个x ，都有一个输出值y 与之对应．我们将所有输出值y 组成的集合称为函数的________． 3．函数的三要素是指函数的定义域、值域、对应法则．一、填空题1．对于函数y ＝f(x)，以下说法正确的有________个． ①y 是x 的函数；②对于不同的x ，y 的值也不同；③f(a)表示当x ＝a 时函数f(x)的值，是一个常量； ④f(x)一定可以用一个具体的式子表示出来．2．设集合M ＝{x|0≤x≤2}，N ＝{y|0≤y≤2}，那么下面的4个图形中，能表示集合M 到集合N 的函数关系的有________．3．下列各组函数中，表示同一个函数的是________．①y ＝x －1和y ＝x 2－1x ＋1；②y ＝x 0和y ＝1；③f(x)＝x 2和g(x)＝(x ＋1)2；④f(x)＝x 2x 和g(x)＝xx2. 4．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为y ＝2x 2－1，值域为{1,7}的“孪生函数”共有________个． 5．函数y ＝1－x ＋x 的定义域为________． 6．函数y ＝x ＋1的值域为________．7．已知两个函数f(x)和g(x)的定义域和值域都是{1,2,3}，其定义如下表：x 1 2 3 f(x) 2 3 1x 1 2 3 g(x) 1 3 2x 1 2 3 g[f(x)]填写后面表格，其三个数依次为：________.8．如果函数f(x)满足：对任意实数a ，b 都有f(a ＋b)＝f(a)f(b)，且f(1)＝1，则f 2f 1＋f 3f 2＋f 4f 3＋f 5f 4＋…＋f 2 011f 2 010＝________. 9．已知函数f(x)＝2x －3，x ∈{x ∈N |1≤x ≤5}，则函数f (x )的值域为________．10．若函数f (x )的定义域是[0,1]，则函数f (2x )＋f (x ＋23)的定义域为________．二、解答题11．已知函数f (1－x1＋x)＝x ，求f (2)的值．能力提升12．如图，该曲线表示一人骑自行车离家的距离与时间的关系．骑车者9时离开家，15时回家．根据这个曲线图，请你回答下列问题：(1)最初到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？ (2)何时开始第一次休息？休息多长时间？ (3)第一次休息时，离家多远？(4)11：00到12：00他骑了多少千米？(5)他在9：00～10：00和10：00～10：30的平均速度分别是多少？ (6)他在哪段时间里停止前进并休息用午餐？13．如图，某灌溉渠的横断面是等腰梯形，底宽为2 m，渠深为1.8 m，斜坡的倾斜角是45°.(临界状态不考虑)(1)试将横断面中水的面积A(m2)表示成水深h(m)的函数；(2)确定函数的定义域和值域；(3)画出函数的图象．1．函数的判定判定一个对应法则是否为函数，关键是看对于数集A中的任一个值，按照对应法则所对应数集B中的值是否唯一确定，如果唯一确定，就是一个函数，否则就不是一个函数．2．由函数式求函数值，及由函数值求x，只要认清楚对应法则，然后对号入座就可以解决问题．3．求函数定义域的原则：①当f(x)以表格形式给出时，其定义域指表格中的x的集合；②当f(x)以图象形式给出时，由图象范围决定；③当f(x)以解析式给出时，其定义域由使解析式有意义的x的集合构成；④在实际问题中，函数的定义域由实际问题的意义确定．第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ§2.1函数的概念和图象2．1.1 函数的概念和图象知识梳理1．函数定义域 2.值域作业设计1．2解析①、③正确；②不对，如f(x)＝x2，当x＝±1时y＝1；④不对，f(x)不一定可以用一个具体的式子表示出来，如南极上空臭氧空洞的面积随时间的变化情况就不能用一个具体的式子来表示． 2．②③解析 ①的定义域不是集合M ；②能；③能；④与函数的定义矛盾． 3．④解析 ①中的函数定义域不同；②中y ＝x 0的x 不能取0；③中两函数的对应法则不同． 4．9解析 由2x 2－1＝1,2x 2－1＝7得x 的值为1，－1,2，－2，定义域为两个元素的集合有4个，定义域为3个元素的集合有4个，定义域为4个元素的集合有1个，因此共有9个“孪生函数”． 5．{x|0≤x≤1}解析 由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧1－x≥0，x≥0，解得0≤x≤1.6．[0，＋∞) 7．3 2 1解析 g[f(1)]＝g(2)＝3，g[f(2)]＝g(3)＝2，g[f(3)]＝g(1)＝1. 8．2 010解析 由f(a ＋b)＝f(a)f(b)，令b ＝1，∵f(1)＝1，∴f(a＋1)＝f(a)，即f a ＋1f a＝1，由a 是任意实数，所以当a 取1,2,3，…，2 010时，得f 2f 1＝f 3f 2＝…＝f 2 011f 2 010＝1.故答案为2 010.9．{－1,1,3,5,7}解析 ∵x＝1,2,3,4,5，∴f(x)＝2x －3＝－1,1,3,5,7.10．[0，13]解析 由⎩⎪⎨⎪⎧0≤2x≤1，0≤x＋23≤1，得⎩⎪⎨⎪⎧0≤x≤12，－23≤x≤13，即x∈[0，13]．11．解 由1－x 1＋x ＝2，解得x ＝－13，所以f(2)＝－13.12．解 (1)最初到达离家最远的地方的时间是12时，离家30千米． (2)10：30开始第一次休息，休息了半小时． (3)第一次休息时，离家17千米． (4)11：00至12：00他骑了13千米．(5)9：00～10：00的平均速度是10千米/时；10：00～10：30的平均速度是14千米/时．(6)从12时到13时停止前进，并休息用午餐较为符合实际情形．13．解 (1)由已知，横断面为等腰梯形，下底为2 m ，上底为(2＋2h)m ，高为h m ，∴水的面积A ＝[2＋2＋2h ]h 2＝h 2＋2h(m 2)．(2)定义域为{h|0<h<1.8}．值域由二次函数A＝h2＋2h(0<h<1.8)求得．由函数A＝h2＋2h＝(h＋1)2－1的图象可知，在区间(0,1.8)上函数值随自变量的增大而增大，∴0<A<6.84.故值域为{A|0<A<6.84}．(3)函数图象如下确定．由于A＝(h＋1)2－1，对称轴为直线h＝－1，顶点坐标为(－1，－1)，且图象过(0,0)和(－2,0)两点，又考虑到0<h<1.8，∴A＝h2＋2h的图象仅是抛物线的一部分，如下图所示．2.1.2 函数的表示方法课时目标 1.掌握函数的三种表示方法——解析法、图象法、列表法.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当方法表示函数．1．函数的三种表示法(1)列表法：用列表来表示两个变量之间函数关系的方法． (2)解析法：用等式来表示两个变量之间函数关系的方法． (3)图象法：用图象表示两个变量之间函数关系的方法． 2．分段函数在定义域内不同部分上，有不同的解析表达式，像这样的函数通常叫做分段函数．一、填空题1．一个面积为100 cm 2的等腰梯形，上底长为x cm ，下底长为上底长的3倍，则把它的高y 表示成x 的函数为________．2．一水池有2个进水口，1个出水口，进出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．(至少打开一个水口)给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水．则正确论断的个数是________．3．如果f (1x )＝x1－x，则当x ≠0时，f (x )＝________.4．已知f (x )＝2x ＋3，g (x ＋2)＝f (x )，则g (x )＝__________________________________. 5．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x －5 x ≥6f x ＋2x <6，则f (3)＝_________________________________. 6．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －3 x ≥9f [f x ＋4] x <9，则f (7)＝________________________________.7．一个弹簧不挂物体时长12 cm ，挂上物体后会伸长，伸长的长度与所挂物体的质量成正比例．如果挂上3 kg 物体后弹簧总长是13.5 cm ，则弹簧总长y (cm)与所挂物体质量x (kg)之间的函数关系式为________________________________．8．已知函数y ＝f (x )满足f (x )＝2f (1x)＋x ，则f (x )的解析式为____________．9．已知f (x )是一次函数，若f (f (x ))＝4x ＋8，则f (x )的解析式为________． 二、解答题 10．已知二次函数f (x )满足f (0)＝f (4)，且f (x )＝0的两根平方和为10，图象过(0,3)点，求f (x )的解析式．11．画出函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3的图象，并根据图象回答下列问题： (1)比较f (0)、f (1)、f (3)的大小；(2)若x 1<x 2<1，比较f (x 1)与f (x 2)的大小； (3)求函数f (x )的值域．能力提升12．在交通拥挤及事故多发地段，为了确保交通安全，规定在此地段内，车距d 是车速v (公里/小时)的平方与车身长S (米)的积的正比例函数，且最小车距不得小于车身长的一半．现假定车速为50公里/小时，车距恰好等于车身长，试写出d 关于v 的函数关系式(其中S 为常数)．13．设f (x )是R 上的函数，且满足f (0)＝1，并且对任意实数x ，y ，有f (x －y )＝f (x )－y (2x －y ＋1)，求f (x )的解析式．1．如何作函数的图象一般地，作函数图象主要有三步：列表、描点、连线．作图象时一般应先确定函数的定义域，再在定义域内化简函数解析式(可能有的要表示为分段函数)，再列表描出图象，并在画图象的同时注意一些关键点，如与坐标轴的交点、分段函数的区间端点等． 2．如何求函数的解析式求函数的解析式的关键是理解对应法则f 的本质与特点(对应法则就是对自变量进行对应处理的操作方法，与用什么字母表示无关)，应用适当的方法，注意有的函数要注明定义域．主要方法有：代入法、待定系数法、换元法、解方程组法(消元法)． 3．分段函数是一个函数而非几个函数．分段函数的定义域是各段上“定义域”的并集，其值域是各段上“值域”的并集． 分段函数的图象应分段来作，特别注意各段的自变量取区间端点处时函数的取值情况，以决定这些点的实虚情况．2．1.2 函数的表示方法作业设计1．y ＝50x(x>0)解析 由x ＋3x2·y＝100，得2xy ＝100.∴y ＝50x (x>0)．2．1解析 由题意可知在0点到3点这段时间，每小时进水量为2，即2个进水口同时进水且不出水，所以①正确；从丙图可知3点到4点水量减少了1，所以应该是有一个进水口进水，同时出水口也出水，故②错；当两个进水口同时进水，出水口也同时出水时，水量保持不变，也可由题干中的“至少打开一个水口”知③错．3.1x －1解析 令1x ＝t ，则x ＝1t ，代入f(1x )＝x1－x，则有f(t)＝1t 1－1t＝1t －1.4．2x －1解析 由已知得：g(x ＋2)＝2x ＋3， 令t ＝x ＋2，则x ＝t －2， 代入g(x ＋2)＝2x ＋3，则有g(t)＝2(t －2)＋3＝2t －1. 5．2解析 ∵3<6，∴f(3)＝f(3＋2)＝f(5)＝f(5＋2)＝f(7)＝7－5＝2. 6．6解析 ∵7<9，∴f(7)＝f[f(7＋4)]＝f[f(11)]＝f(11－3)＝f(8)． 又∵8<9，∴f(8)＝f[f(12)]＝f(9)＝9－3＝6. 即f(7)＝6.7．y ＝12x ＋12解析 设所求函数解析式为y ＝kx ＋12，把x ＝3，y ＝13.5代入，得13.5＝3k ＋12，k ＝12. 所以所求的函数解析式为y ＝12x ＋12.8．f(x)＝－x 2＋23x(x≠0)解析 ∵f(x)＝2f(1x)＋x ，①∴将x 换成1x ，得f(1x )＝2f(x)＋1x .②由①②消去f(1x )，得f(x)＝－23x －x3，即f(x)＝－x 2＋23x (x≠0)．9．f(x)＝2x ＋83或f(x)＝－2x －8解析 设f(x)＝ax ＋b(a≠0)，则f(f(x))＝f(ax ＋b)＝a 2x ＋ab ＋b.∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4ab ＋b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝83或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2b ＝－8.10．解 设f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)． 由f(0)＝f(4)知⎩⎪⎨⎪⎧f 0＝c ，f 4＝16a ＋4b ＋c ，f 0＝f 4，得4a ＋b ＝0.①又图象过(0,3)点， 所以c ＝3.②设f(x)＝0的两实根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－b a ，x 1·x 2＝ca.所以x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝(－b a )2－2·c a＝10.即b 2－2ac ＝10a 2.③由①②③得a ＝1，b ＝－4，c ＝3.所以f(x)＝x 2－4x ＋3.11．解 因为函数f(x)＝－x 2＋2x ＋3的定义域为R ，列表：x … －2 －1 0 1 2 3 4 …y … －5 0 3 4 3 0 －5…连线，描点，得函数图象如图：(1)根据图象，容易发现f (0)＝3， f (1)＝4，f (3)＝0， 所以f (3)<f (0)<f (1)．(2)根据图象，容易发现当x 1<x 2<1时，有f (x 1)<f (x 2)．(3)根据图象，可以看出函数的图象是以(1,4)为顶点，开口向下的抛物线，因此，函数的值域为(－∞，4]．12．解 根据题意可得d ＝kv 2S .∵v ＝50时，d ＝S ，代入d ＝kv 2S 中，解得k ＝12 500.∴d ＝12 500v 2S .当d ＝S2时，可解得v ＝25 2.∴d ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 2 0≤v <25212 500v 2S v ≥252.13．解 因为对任意实数x ，y ，有 f (x －y )＝f (x )－y (2x －y ＋1)， 所以令y ＝x ，有f (0)＝f (x )－x (2x －x ＋1)，即f (0)＝f (x )－x (x ＋1)．又f (0)＝1，∴f (x )＝x (x ＋1)＋1＝x 2＋x ＋1.。

第7章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设终边在y轴的负半轴上的角的集合为M,则()A.M={α|α=3π2+kπ,k∈Z}B.M={α|α=3π2-kπ2,k∈Z}C.M={α|α=-π2+kπ,k∈Z}D.M={α|α=-π2+2kπ,k∈Z}解析终边在y轴的负半轴上的角为-π2+2kπ,k∈Z,所以终边在y轴的负半轴上的角可以表示为αα=-π2+2kπ,k∈Z.故选D.2.下列函数中,周期为4π的是()A.y=sin 4xB.y=cos 2xC.y=tan x2D.y=sin x2中,T=2π12=4π,故选D.3.已知角α的终边经过点P(-2,4),则sin α-cos α的值等于()A.3√55B.-3√35C.15D.-2√33角α的终边经过点P(-2,4),∴sinα=√(-2)+42=2√55,cosα=√(-2)+42=-√55,则sinα-cosα=3√55,故选A.4.(2021新高考Ⅰ,6)若tan θ=-2,则sinθ(1+sin2θ)sinθ+cosθ=()A.-6B.-25C.25D.65=sinθ(sinθ+cosθ)2sinθ+cosθ=sin θ(sin θ+cos θ)=sin 2θ+sin θcos θ=sin 2θ+sinθcosθsin 2θ+cos 2θ=tan 2θ+tanθtan 2θ+1=4-24+1=25.故选C . 5.化简√1+2sin (π+3)sin (3π2+3)等于( )A.cos 3-sin 3B.sin 3-cos 3C.-sin 3-cos 3D.sin 3+cos 3,√1+2sin (π+3)sin (3π2+3)=√1+2sin3cos3=√(sin3+cos3)2 =|sin3+cos3|,∵3π4<3<π,∴sin3+cos3<0,∴原式为-sin3-cos3,故选C .6.函数y=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<2π)一个周期的图象如图所示,则φ=( )A.πB.3π4C.5π4D.π4或5π4y=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<2π)一个周期的图象,可得A=4,2πω=7π2+π2,∴ω=12.再根据五点法作图可得12×(-π2)+φ=π,∴φ=5π4,故选C .7.已知函数f (x )=cos ωx+π6(ω>0)的最小正周期为π,则该函数图象( )A.关于点π6,0对称B.关于直线x=π6对称C.关于点π3,0对称 D.关于直线x=π3对称解析由已知可得ω=2πT=2ππ=2,所以f (x )=cos 2x+π6.因为fπ6=0,所以点π6,0是对称中心,直线x=π6不是对称轴,所以A 正确,B 错误;因为fπ3≠0,所以点π3,0不是对称中心,所以C 错误;因为fπ3=-√32≠±1,所以直线x=π3不是对称轴,所以D 错误.故选A .8.如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin π6x+φ+k ,据此函数可知,这段时间水深y (单位:m)的最大值为( )A.5B.6C.8D.10解析由题意可知当sinπ6x+φ取最小值-1时,函数取最小值y min =-3+k=2,得k=5,∴y=3sinπ6x+φ+5,当sin π6x+φ取最大值1时,函数取最大值y max =3+5=8.二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分. 9.下列等式正确的是( ) A.sinπ2+α=cos α B.cos(α-π)=-cos αC.sin 600°=√32 D.tanπ2-αtan α=1由诱导公式可知正确;sin600°=sin240°=-sin60°=-√32,C 不正确.故选ABD . 10.函数y=2sin (π6-2x)在下列区间上为增函数的有( )A.-2π3,-π6B.π12,7π12C.π3,5π6D.5π6,π2sin (2x -π6),由π2+2k π≤2x-π6≤32π+2k π(k ∈Z ), 可得π3+k π≤x ≤56π+k π(k ∈Z ).当k=1时, 函数y 的增区间为π3,5π6;当k=-1时,函数y 的增区间为-2π3,-π6.11.函数f (x )=sinx|cosx |在区间[-π,π]内的大致图象不可能的是( )解析x ∈[-π,π],故不可能为B,D,当x ∈-π,-π2时,cos x<0,f (x )=sinx-cosx=-tan x ,故A 不可能.12.若θ∈3π4,π,则下列各式中正确的有( )A.sin θ+cos θ<0B.sin θ-cos θ>0C.|sin θ|<|cos θ|D.sin θ+cos θ>0解析若θ∈3π4,π,则sin θ∈0,√22,cos θ∈-1,-√22,∴sin θ+cos θ<0,故A 成立;sin θ-cos θ>0,故B 成立;|sin θ|<|cos θ|,故C 成立;sin θ+cos θ<0,故D 不成立. 三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分. 13.已知α∈π,3π2,tan α=2,则cos α= . -√55 解析由tan α=sinαcosα=2,sin 2α+cos 2α=1,联立得cos 2α=15,由α∈π,3π2知cos α<0,所以cos α=-√55.14.函数y=√16-x 2+√sinx 的定义域为 .-4,-π]∪[0,π],得{16-x 2≥0,sinx ≥0.∴{-4≤x ≤4,2kπ≤x ≤2kπ+π,k ∈Z .如图,可得函数的定义域为[-4,-π]∪[0,π].15.已知函数f (x )=2tan a πx+π6(a>0)的最小正周期是3,则a= ,f (x )的对称中心为 . 答案1332k-12,0,k ∈Z 解析函数f (x )=2tan a πx+π6(a>0)的最小正周期是3,则3=πaπ,得a=13,所以函数f (x )=2tan 13πx+π6,由13πx+π6=12k π,k ∈Z ,得x=32k-12,故对称中心为32k-12,0,k ∈Z . 16.已知sin(540°+α)=-45,若α为第二象限角,则[sin (180°-α)+cos (α-360°)]2tan (180°+α)= .-3100sin(540°+α)=sin(360°+180°+α)=sin(180°+α)=-sin α=-45,所以sin α=45, 又因为α为第二象限角, 所以cos α=-√1-sin 2α=-35,tan α=-43,所以[sin (180°-α)+cos (α-360°)]2tan (180°+α)=(sinα+cosα)2tanα=-3100.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(10分)已知角α的终边上一点P (m ,√2),且cos α=-√33. (1)计算m 及tan α; (2)求sin (π-α)+2sin(π2-α)cos (α-2π)-cos(α-3π2)的值.∵角α的终边上一点P (m ,√2),且cos α=-√33=√m 2+2,∴m=-1,∴tan α=√2m =-√2.(2)sin (π-α)+2sin(π2-α)cos (α-2π)-cos(α-3π2)=sinα+2cosαcosα+sinα=tanα+21+tanα=√21-√2=-√2.18.(12分)已知一扇形的圆心角为α(α>0),所在圆的半径为R. (1)若α=90°,R=10 cm,求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积;(2)若扇形的周长是一定值C (C>0),当α为多少弧度时,该扇形有最大面积?设弧长为l ,弓形面积为S 弓,则α=90°=π2,R=10,l=π2×10=5π(cm),S 弓=S 扇-S △=12×5π×10-12×102=25π-50(cm 2).(2)扇形周长C=2R+l=2R+αR ,∴R=C2+α,∴S 扇=12αR 2=12α(C2+α)2=C 22·14+α+4α≤C 216.当且仅当α2=4,即α=2时,扇形面积有最大值C 216.19.(12分)(1)已知α∈[0,π2],且sin αcos α=1225,求sin α+cos α的值; (2)如果sin α+3cos α=0,求sin 2α+2sin αcos α的值.因为α∈[0,π2],所以sin α+cos α>0,sin α+cos α=√(sinα+cosα)2=√1+2sinαcosα=√4925=75.(2)因为sin α+3cos α=0,所以tan α=-3, sin 2α+2sin αcos α=sin 2α+2sinαcosαsin 2α+cos 2α=tan 2α+2tanαtan 2α+1=310.20.(12分)用“五点法”作函数f (x )=A sin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<π2的图象时,在列表过程中,列出了部分数据如表:π3π(1)先将表格补充完整,再写出函数f (x )的解析式,并求f (x )的最小正周期; (2)若方程f (x )=m 在[-π2,0]上存在两个不相等的实数根,求实数m 的取值范围.根据T4=5π12−π6,解得T=π,所以ω=2. 当x=π6时,2×π6+φ=π2,解得φ=π6,由于函数的最大值为2,故A=2. 所以函数的解析式为f (x )=2sin (2x +π6). 所以函数的最小正周期为π.(2)由于f (x )=2sin (2x +π6),当x ∈-π2,0时,整理得2x+π6∈[-5π6,π6].所以f (x )∈[-2,1]. 所以函数的值域为[-2,1],①当m=-2时,函数的图象与直线y=m 有一个交点. ②当-2<m<-1时,函数的图象与直线y=m 有两个交点. ③当m=-1时,函数的图象与直线y=m 正好有两个交点. ④当m>-1时,函数的图象与直线y=m 有一个交点.故m 的取值范围是(-2,-1]. 21.(12分)函数f (x )=A sin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<π2的一段图象如图所示.将函数f (x )的图象向右平移m (m>0)个单位长度,可得到函数g (x )的图象,且图象关于原点对称. (1)求f (x )的解析式并求其增区间;(2)求实数m 的最小值,并写出此时g (x )的表达式;(3)在(2)的条件下,设t>0,关于x 的函数h (x )=g (tx2)在区间[-π3,π4]上的最小值为-2,求实数t 的取值范围. 解(1)由函数f (x )=A sin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<π2的一段图象可知,A=2,12·2πω=11π12−5π12,∴ω=2.∵-π12+5π122=π6,根据“五点法”作图可得2·π6+φ=π2,∴φ=π6,f (x )=2sin 2x+π6.令2k π-π2≤2x+π6≤2k π+π2,求得k π-π3≤x ≤k π+π6,可得f (x )的增区间为[kπ-π3,kπ+π6],k ∈Z .(2)将函数f (x )的图象向右平移m (m>0)个单位长度,可得到函数g (x )=2sin (2x -2m +π6)的图象.∵g (x )的图象关于原点对称, ∴-2m+π6=k π(k ∈Z ),∴m 的最小值为π12,故g (x )=2sin2x.(3)∵t>0,函数h (x )=gtx 2=2sin tx 在区间[-π3,π4]上的最小值为-2,∴π3≥14·2πt,∴t ≥32,∴t 的取值范围是[32,+∞).22.(12分)某摩天轮的最高点距离地面的高度为90米,最低点距离地面10米,摩天轮上均匀设置了36个座舱(如图).开启后,摩天轮按逆时针方向匀速转动,游客在座舱离地面最近时的位置进入座舱,摩天轮转完一周后在相同的位置离开座舱.摩天轮转一周需要30分钟,当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时.(1)经过t 分钟后游客甲距离地面的高度为H 米,已知H 关于t 的函数关系式满足H (t )=A sin(ωt+φ)+B 其中A>0,ω>0,|φ|≤π2,求摩天轮转动一周的解析式H (t ); (2)问:游客甲坐上摩天轮后多长时间,距离地面的高度恰好为30米?(3)若游客乙在游客甲之后进入座舱,且中间相隔5个座舱,在摩天轮转动一周的过程中,记两人距离地面的高度差为h 米,求h 的最大值.H 关于t 的函数关系式为H (t )=A sin(ωt+φ)+B ,由{A +B =90,-A +B =10,解得A=40,B=50.又t=0时,H (0)=40sin φ+50=10,解得sin φ=-1,所以φ=-π2.又T=30,所以ω=2πT=2π30=π15,所以摩天轮转动一周的解析式为 H (t )=40sinπ15t-π2+50.(2)令H (t )=30,得40sin π15t-π2+50=30,即sinπ15t-π2=-12,所以cos π15t=12, 解得π15t=π3,或π15t=5π3,解得t=5,或t=25.所以游客甲坐上摩天轮后5分钟,和25分钟时,距离地面的高度恰好为30米. (3)由题意知,游客甲距离地面高度解析式为 y 甲=40sinπ15t-π2+50,游客乙距离地面高度解析式为 y 乙=40sin [(π15t -π3)-π2]+50, 则h=|y 甲-y 乙|=40cos π15t-cosπ15t-π3=4012cos π15t-√32sin π15t=40cosπ15t+π3.令π15t+π3=π,解得t=10,此时h=|y 甲-y 乙|取得最大值为40.所以两人距离地面的高度差h 的最大值为40米.。

模块综合检测卷(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的)1．已知全集U＝{1，2，3，4}，A＝{1，2}，B＝{2，3}，则∁U(A∪B)＝() A．{3} B．{4}C．{3，4} D．{1，3，4}解析：由于A＝{1，2}，B＝{2，3}，所以A∪B＝{1，2，3}．所以∁U(A∪B)＝{4}．答案：B2．当a＞1时，在同一平面直角坐标系中，函数y＝a－x与y＝log a x的图象是()答案：A3．已知集合A＝{x|y＝x＋1}，B＝{y|y＝x2＋1}，则A∩B＝()A．∅B．[－1，1]C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞)解析：A＝{x|y＝x＋1}＝{x|x≥－1}，B＝{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}．所以A∩B＝[1，＋∞)．答案：D4．设f(x)是R上的偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，若x1＜0，x1＋x2＞0，则()A．f(－x1)＞f(－x2)B．f(－x1)＝f(－x2)C．f(－x1)＜f(－x2)D．f(－x1)与f(－x2)大小不确定解析：由x1＜0，x1＋x2＞0得x2＞－x1＞0，又f(x)是R上的偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，所以f(－x2)＝f(x2)＜f(－x1)．答案：A5．已知函数f(x)的单调递增区间是(－2，3)，则y＝f(x＋5)的单调递增区间是()A．(3，8) B．(－7，－2)C．(－2，3) D．(0，5)解析：由于f(x)的单调递增区间是(－2，3)，则f(x＋5)的单调递增区间满足－2＜x＋5＜3，即－7＜x＜－2.答案：B6．若x∈[0，1]，则函数y＝x＋2－1－x的值域是()A ．[2－1，3－1]B ．[1， 3 ]C ．[2－1， 3 ]D ．[0，2－1]解析：该函数为增函数，自变量最小时，函数值最小；自变量最大时，函数值最大．故y min ＝2－1，y max ＝ 3.答案：C7．下列不等式正确的是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1612＜⎝ ⎛⎭⎪⎫1312＜⎝ ⎛⎭⎪⎫1614 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1614＜⎝ ⎛⎭⎪⎫1612＜⎝ ⎛⎭⎪⎫1312C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13 12＜⎝ ⎛⎭⎪⎫1614＜⎝ ⎛⎭⎪⎫1612 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫13 12＜⎝ ⎛⎭⎪⎫1612＜⎝ ⎛⎭⎪⎫1614 答案：A8．已知函数f (x )＝e x －1，g (x )＝－x 2＋4x －3，若有f (a )＝g (b )，则b 的取值范围为( )A ．[2－2，2＋2]B ．(2－2，2＋2)C ．[1，3]D ．(1，3)解析：f (x )＝e x －1>－1，g (x )＝－x 2＋4x －3＝－(x －2)2＋1≤1，若有f (a )＝f (b )，则g (b )∈(－1，1]，即－b 2＋4b －3>－1⇒2－2<b <2＋ 2.答案：B9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1－2， x ≤1，－log 2（x ＋1），x ＞1，且f (a )＝－3，则f (6－a )＝( )A ．－74B ．－54C ．－34D ．－14解析：当a ≤1时，f (a )＝2a －1－2＝－3， 则2a －1＝－1不成立，舍去． 当a ＞1时，f (a )＝－log 2(a ＋1)＝－3. 所以a ＋1＝8，a ＝7. 此时f (6－a )＝f (－1)＝2－2－2＝－74. 答案：A10．设偶函数f (x )＝log a |x ＋b |在(0，＋∞)上是单调减函数，则f (b －2)与f (a ＋1)的大小关系是( )A ．f (b －2)＝f (a ＋1)B ．f (b －2)＞f (a ＋1)C ．f (b －2)＜f (a ＋1)D ．不能确定解析：由于y ＝log a |x ＋b |是偶函数，b ＝0， 所以y ＝log a |x |.又在(0，＋∞)上是单调递减函数， 所以0＜a ＜1.所以f (b －2)＝f (－2)＝f (2)，f (a ＋1)中1＜a ＋1＜2. 所以f (2)＜f (a ＋1)，因此f (b －2)＜f (a ＋1)． 答案：C11．某食品的保鲜时间y (单位：小时)与贮存温度x (单位：℃)满足函数关系y＝e kx ＋b (e ＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时， 则该食品在33 ℃的保鲜时间是( )A ．16小时B ．20小时C ．24小时D ．28小时解析：由题设得e b ＝192，① e 22k ＋b ＝e 22k ·e b ＝48，②将①代入②得e 22k ＝14，则e 11k ＝12.当x ＝33时，y ＝e 33k ＋b ＝(e 11k )3·e b＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123×192＝24.所以该食品在33 ℃的保鲜时间是24小时． 答案：C12．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2－ax ＋5，x ＜1，1＋1x ， x ≥1，在R 上单调，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[4，＋∞)D ．[2，4]解析：当x ≥1时，f (x )＝1＋1x 为减函数，所以f (x )在R 上应为单调递减函数， 要求当x ＜1时，f (x )＝x 2－ax ＋5为减函数，所以a2≥1，即a ≥2，并且满足当x ＝1时，f (x )＝1＋1x 的函数值不大于x ＝1时f (x )＝x 2－ax ＋5的函数值，即1－a ＋5≥2，解得a ≤4.所以实数a 的取值范围[2，4]． 答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．2－3，312与log 25三个数中最大的数是________．解析：由于2－3＜1，312＜2，log 25＞2. 所以这三个数中最大的数为log 25. 答案：log 2514．函数y ＝x －2x －3lg4－x 的定义域是__________．解析：由题知⎩⎪⎨⎪⎧x －2≥0，x －3≠0，4－x ＞0，所以2≤x ＜4且x ≠3.答案：[2，3)∪(3，4)15．已知函数f (x )＝b －2x2x ＋1为定义是区间[－2a ，3a －1]上的奇函数，则a ＋b＝________．解析：由于函数f (x )＝b －2x2x ＋1为定义是区间[－2a ，3a －1]上的奇函数，所以－2a ＋3a －1＝0，所以a ＝1.又f (0)＝b －2020＋1＝b －12＝0，所以b ＝1.故a ＋b ＝2. 答案：216．若函数f (x )＝|4x －x 2|－a 的零点个数为3，则a ＝________.解析：作出g (x )＝|4x －x 2|的图象，g (x )的零点为0和4.由图象可知，将g (x )的图象向下平移4个单位时，满足题意，所以a ＝4.答案：4三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程式演算步骤)17．(本小题满分10分)设函数f (x )＝ax 2＋(b －8)x －a －ab 的两个零点分别是－3和2.(1)求f (x )；(2)当函数f (x )的定义域是[0，1]时，求函数f (x )的值域． 解：(1)由于f (x )的两个零点是－3和2， 所以函数图象过点(－3，0)，(2，0)． 所以有9a －3(b －8)－a －ab ＝0.① 4a ＋2(b －8)－a －ab ＝0.② ①－②得b ＝a ＋8.③③代入②得4a ＋2a －a －a (a ＋8)＝0，即a 2＋3a ＝0， 由于a ≠0， 所以a ＝－3. 所以b ＝a ＋8＝5. 所以f (x )＝－3x 2－3x ＋18.(2)由(1)得f (x )＝－3x 2－3x ＋18＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34＋18，图象的对称轴方程是x ＝－12，又0≤x ≤1，所以f (x )min ＝f (1)＝12，f (x )max ＝f (0)＝18. 所以函数f (x )的值域是[12，18]．18．(本小题满分12分)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ＞0)，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），x ＞0，－f （x ），x ＜0，若f (－1)＝0，且对任意实数x 均有f (x )≥0， (1)求F (x )的表达式；(2)当x ∈[－2，2]时，g (x )＝f (x )－kx 是单调函数，求k 的取值范围． 解：(1)由于f (x )＝ax 2＋bx ＋1，f (－1)＝0， 所以a －b ＋1＝0.又由于对任意实数x ，均有f (x )≥0， 所以Δ＝b 2－4a ≤0. 所以(a ＋1)2－4a ≤0. 所以a ＝1，b ＝2. 所以f (x )＝x 2＋2x ＋1.所以F (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x ＋1，x ＞0，－x 2－2x －1，x ＜0.(2)由于g (x )＝f (x )－kx ＝x 2＋2x ＋1－kx ＝x 2＋(2－k )x ＋1， 在[－2，2]上是单调函数， 所以k －22≥2或k －22≤－2，解之得k ≥6或k ≤－2.所以k 的取值范围是{k |k ≥6或k ≤－2}．19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2x －1x ，其定义域为{x |x ≠0}．(1)用单调性的定义证明函数f (x )在区间(0，＋∞)上为增函数；(2)利用(1)所得到的结论，求函数f (x )在区间[1，2]上的最大值与最小值． (1)证明：设x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1＜x 2，则x 2－x 1＞0. f (x 2)－f (x 1)＝2x 2－1x 2－2x 1－1x 1＝x 2－x 1x 1x 2.由于x 1＜x 2， 所以x 2－x 1＞0.又由于x 1，x 2∈(0，＋∞)， 所以x 2x 1＞0，f (x 2)－f (x 1)＞0.故f (x )＝2x －1x在区间(0，＋∞)上为增函数．(2)解：由于f (x )＝2x －1x 在区间(0，＋∞)上为增函数，所以f (x )min ＝f (1)＝2－11＝1，f (x )max ＝f (2)＝2×2－12＝32.20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x m－4x，且f (4)＝3.(1)求m 的值； (2)推断f (x )的奇偶性；(3)若不等式f (x )－a ＞0在区间[1，＋∞)上恒成立，求实数a 的取值范围． 解：(1)由于f (4)＝3，所以4m－44＝3，所以m ＝1.(2)由(1)知f (x )＝x －4x，其定义域为{x |x ≠0}，关于原点对称．又f (－x )＝－x －4－x＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －4x ＝－f (x )，所以f (x )是奇函数．(3)由于y ＝x ，y ＝－1x 在区间[1，＋∞)上都是增函数，所以f (x )在区间[1，＋∞)上为增函数，所以f (x )≥f (1)＝－3. 由于不等式f (x )－a ＞0在区间[1，＋∞)上恒成立， 即不等式a ＜f (x )在区间[1，＋∞)上恒成立， 所以a ＜－3，故实数a 的取值范围是(－∞，－3)．21．(本小题满分12分)“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．争辩表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在肯定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v (单位：千克/年)是养殖密度x (单位：尾/立方米)的函数．当x 不超过4(尾/立方米)时，v 的值为2(千克/年)；当4≤x ≤20时，v 是x 的一次函数；当x 达到20(尾/立方米)时，因缺氧等缘由，v 的值为0(千克/年)．(1)当0＜x ≤20时，求函数v (x )的表达式；(2)当养殖密度x 为多大时，鱼的年生长量(单位：千克/立方米)f (x )＝x ·v (x )可以达到最大，并求出最大值．解：(1)由题意：当0＜x ≤4时，v (x )＝2；当4＜x ≤20时，设v (x )＝ax ＋b ，明显该函数在[4，20]是减函数， 由已知得⎩⎨⎧20a ＋b ＝0，4a ＋b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－18，b ＝52.故函数v (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2，0＜x ≤4，x ∈N *，－18x ＋52，4≤x ≤20，x ∈N *.(2)依题意并由(1)可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ， 0＜x ≤4，x ∈N *，－18x 2＋52x ， 4≤x ≤20，x ∈N *.当0≤x ≤4时，f (x )为增函数，故f max (x )＝f (4)＝4×2＝8；当4≤x ≤20时，f (x )＝－18x 2＋52x ＝－18(x 2－20x )＝－18(x －10)2＋10028，f max (x )＝f (10)＝12.5.所以，当0＜x ≤20时，f (x )的最大值为12.5.当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值约为12.5千克/立方米．22．(本小题满分12分)已知奇函数f (x )＝m －g （x ）1＋g （x ）的定义域为R ，其中g (x )为指数函数，且过定点(2，9)．(1)求函数f (x )的解析式；(2)若对任意的t ∈[0，5]，不等式f (t 2＋2t ＋k )＋f (－2t 2＋2t －5)＞0恒成立，求实数k 的取值范围．解：(1)设g (x )＝a x (a ＞0，且a ≠1)，则a 2＝9. 所以a ＝－3(舍去)或a ＝3， 所以g (x )＝3x ，f (x )＝m －3x1＋3x. 又f (x )为奇函数，且定义域为R ，所以f (0)＝0， 则m －301＋30＝0，所以m ＝1，所以f (x )＝1－3x 1＋3x. (2)设x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝1－3x 11＋3x 1－1－3x 21＋3x 2＝2（3x 2－3x 1）（1＋3x 1）（1＋3x 2）.由于x 1＜x 2， 所以3x 2－3x 1＞0， 所以2（3x 2－3x 1）（1＋3x 1）（1＋3x 2）＞0，所以f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)， 所以函数f (x )在R 上单调递减．要使对任意的t ∈[0，5]，f (t 2＋2t ＋k )＋f (－2t 2＋2t －5)＞0恒成立， 即f (t 2＋2t ＋k )＞－f (－2t 2＋2t －5)恒成立． 由于f (x )为奇函数，所以f (t 2＋2t ＋k )＞f (2t 2－2t ＋5)恒成立．又由于函数f(x)在R上单调递减，所以对任意的t∈[0，5]，t2＋2t＋k＜2t2－2t＋5恒成立，即对任意的t∈[0，5]，k＜t2－4t＋5＝(t－2)2＋1恒成立．而当t∈[0，5]时，1≤(t－2)2＋1≤10，所以k＜1.。