下载文档原格式
第六节汽轮机叶片的动强度一、叶片动强度概念运行实践证明：汽轮机叶片除了承受静应力外，还受到因汽流不均匀产生的激振力作用。
该力是由结构因素、制造和安装误差及工况变化等原因引起的。
对旋转的叶片来说，激振力对叶片的作用是周期性的，导致叶片振动，所以叶片是在振动状态下工作的。
当叶片的自振频率等于脉冲激振力频率或为其整数倍时，叶片发生共振，振幅增大，并产生很大的交变动应力。
为了保证叶片安全工作，必须研究微振力和叶片振动特性，以及叶片在动应力作用下的承载能力等问题，这些属于叶片动强度范畴。
运行经验表明，在汽轮机事故中，叶片损坏占相当大比重，其中又以叶片振动损坏为主。
据国外统计，叶片事故约占汽轮机事故25％以上。
据国内1977年对1156台汽轮机统计，发生叶片损坏或断裂事故者约占31．7％。
应该指出，迄今为止还不能精确地对叶片动应力进行理论计算。
因此，下面只介绍激振力和叶片自振频率、动频率的计算，以及叶片安全准则和调频方法。
二、激振力产生的原因及其频率计算叶片的激振力是由级中汽流流场不均匀所致的。
造成流场不均的原因很多，归纳起来可分为两类：一类是叶栅尾迹扰动，即汽流绕流叶栅时，由于附面层的存在，叶栅表面汽流速度近于零、附面层以外汽流速度为主流区速度，当汽流流出叶栅时在出口边形成尾迹，所以在动静叶栅间隙中汽流的速度和压力沿圆周向分布是不均匀的，另一类是结构扰动，如部分进汽、抽汽口、进排汽管以及叶栅节距有偏差等原因引起汽流流场不均匀，都将对叶片产生周期性的激振力，因而使叶片发生振动。
当叶片自振频率与激振力频率相等时，无论激振力是脉冲形式还是简谐形式，都会使叶片发生共振。
当自振频率为激振力频率的整数倍时，只有脉冲形式激振力才会引起叶片共振。
当自振频率等于激振力频率或前者是后者的整数倍而共振时，称为两者合拍。
在汽轮机中叶片的激振力都是以脉冲形式出现的。
因5，6．2所示为叶片自振频率为脉冲激振力频率的三倍时的振幅变化情况。
第五章习题5.1．假设X 和Y 为随机变量，且满足E [X ]=-2, E [Y ]=2, Var[X ]=1, Var[Y ]=9, X 与Y 的相关系数,X Y r =-0.50.5．试由切比雪夫不等式确定满足不等式．试由切比雪夫不等式确定满足不等式{6}P X Y +³c £的最小正数c 之值之值. .解：因为{][][]220[][][]2cov(,)[][]2(,)[][]E X Y E X E Y Var X Y Var X Var Y X Y Var X Var Y r X Y Var X Var Y +=+=-+=+=++=++192(0.5)197=++´-´´=.2[](()[]6)6Var X Y P X Y E X Y ++-+³£由切比雪夫不等式：,有277(6)=636P X Y +³£.得736c =.5.2．设12,X X 为随机变量且0,[]1(1,2)i i EX Var X i ===. . 证明：证明：对任意的0,l >有22121{2}P X X l l+³£．证明：不妨设12(,)X X 为二维连续型随机变量，其密度函数为12,X X f . 由于12222212,[]()(,)X X E X X x y fx y dxdy +¥+¥-¥-¥+=+òò，12122222222212,,22(2)(,)(,)2X X X X x y x y x y P X X f x y dxdy f x y dxdylll l+³+³++³=£òòòò1222,22221212221122(,)2111[][][]22211([]([]))([]([]))22X X x y f x y dxdy E X X E X E X Var X E X Var X E X lll ll l+¥+¥-¥-¥+£=+=+=+++òò111(10)(10)22lll=+++=.5.3．在一枚均匀正四面体的四个面上分别画上1，2，3，4个点个点. . . 现将该四面体重复投现将该四面体重复投掷，(1,2,)i X i =为第i 次投掷向下一面的点数，试求当n ¥®时，211ni i X n =å依概率收敛的极限．的极限．解: 已知已知 (1,2,3,)i X i =的分布列为的分布列为12341/41/41/41/4i X P4422211115[]() , 1,2,3,.42i i k k E X k P X k k i ===×==×==åå可见，222123,,,X X X 是独立同分布的随机变量序列，且有相同的数学期望152，满足辛钦大数定律，因此对任意0e >，有，有 21115lim 02n i n i P X n e ®+¥=æö-³=ç÷èøå,即211ni i X n =å依概率收敛的极限为152.5.4．设{n X }是独立的随机变量序列，且假设{ln }{ln }0.5, 1,2,n n P X n P X n n ===-==，问{n X }是否服从大数定律？是否服从大数定律？解: []ln 0.5(ln )0.50,i E X i i =´+-´=22222[][]([]) (ln )0.5(ln )0.50ln , 1,2,3,.i i i Var X E X E X i i i i =-=´+-´-==则1111[][]0, n n i i i i E X E X n n ====åå 22111111[][]ln , 1,2,3,.n n n i i i i i Var X Var X i n n n n ======ååå利用切比雪夫不等式：对任意0e >，由，由12111[]11([])ni n n i i i i i Var X n P X E X n n e e===-³£ååå, 得2211222111ln ln 1ln (0)nnni i ii i nn nnP X n n e eee===-³££=ååå，从而有从而有211ln 0lim (0)lim 0nin n i n P X n n e e ®+¥®+¥=£-³£=å,得 11lim (0)0n i n i P X n e ®+¥=-³=å.即随机变量序列{}n X 服从大数定律服从大数定律. .5.5．设{n X }是独立同分布的随机变量序列，且假设[]2, []6n n E X Var X ==，证明：22212345632313,Pn n n X X X X X X X X X a n n --++++++¾¾®®¥，并确定常数a 之值．之值．解:232313 1,2,3,k k k k Y X X X k --=+=令.由于{}k X 是独立同分布的随机变量序列，所以{}k Y 也是独立同分布的随机变量序列也是独立同分布的随机变量序列,,且223231332313[][][][] k k k k k k k E Y E X X X E X E X X ----=+=+232323132 ([]([]))[][] (62)2214, 1,2,.k k k k Var XE XE X E X k ---=++=++´==可见，序列{}k Y 满足辛钦大数定律的条件满足辛钦大数定律的条件. . . 根据辛钦大数定律，得根据辛钦大数定律，得根据辛钦大数定律，得1214, PnY Y Y n n+++¾¾®®+¥ 即2221234563231314, Pn n nX X X X X X X X X n n--++++++¾¾®®+¥ 所以，a =14.5.6．设随机变量X ~B(100,0.8)B(100,0.8)，试用棣莫弗—拉普拉斯定理求，试用棣莫弗—拉普拉斯定理求{80100}P X £<的近似值．似值．解:由~(100,0.8)X B 知[]1000.880, []1000.80.216E X Var X =´==´´=. 根据棣莫弗根据棣莫弗--拉普拉斯定理作近似计算，有拉普拉斯定理作近似计算，有99[]80[](80100)(8099)[][]E X E X P X P X Var X Var X æöæö--£<=££»F -F ç÷ç÷ç÷ç÷èøèø()()99808080 4.75010.5=0.51616--æöæö=F -F =F -F =-ç÷ç÷èøèø.5.7．一仪器同时收到50个信号k X ，k =1,2,=1,2,………………,50. ,50. ,50. 设设150,,X X 相互独立，且都服从区间服从区间[0[0[0，，9]9]上的均匀分布，试求上的均匀分布，试求501(250)k k P X =>å的近似值．的近似值．解：由~(0,9) , (0,9) , 1,1,2,,50k X U k =，有，有[]92kE X =，[]()212790124kVar X =-=.根据林德伯格根据林德伯格--莱维定理作近似计算，有莱维定理作近似计算，有5050112501250k k k k P X P X ==æöæö>=-£ç÷ç÷èøèøåå250509/215027/4-´æö»-Fç÷´èø()1 1.3610.9130.087=-F =-=.5.8．一个复杂的系统由n 个相互独立起作用的部件所组成，每个部件损坏的概率为0.100.10，，为了使整个系统正常运行，至少需要80%80%或或80%80%以上的部件正常工作，问以上的部件正常工作，问n 至少为多大才能使整个系统正常工作的概率不小于95%95%．．解: : 将将n 个部件编号：个部件编号：1,2,...,n, 1,2,...,n, 1,2,...,n, 记记1, 1,2,,.0,i i X i n ì==íî若第个部件正常工作个部件正常工作,,否则否则,,则 ~(1,0.9)i X B ，且12,,,n X X X 相互独立相互独立. .依题意，要求有依题意，要求有110.80.95nii P X n =æö³³ç÷èøå即要求满足即要求满足 10.80.95n i i P X n =æö³³ç÷èøå.根据棣莫弗根据棣莫弗--拉普拉斯定理作近似计算，有拉普拉斯定理作近似计算，有10.80.90.811330.90.1ni i n n n n P X n n =æöæö-´-æöæö³»-F =-F =F ÷ç÷ç÷ç÷ç´´èøèøèøèøå. 由(1.65)0.95F =，应有 1.653n ³，即()23 1.6524.5025n ³´=，取25n =.。
