利息理论第二章

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利息理论——第二章2.2

1. 付款频率低于计息频率的年金
(1)

期末付年金设k为每个付款期间内的计息频率，n为整个付款期的计息次数，每个计息期利率为i，并假设n、k为整数，则付款次数为n/k，且n/k也为整数。现假设每次付款额为1，具体的付款及计息情形见以下现金流时间图：

时间图中，在k，2k，…等时刻上方的1为每次付款额，每次付款相隔k个区间，每个区间利率为i，则第1次付款在0时刻的现值为：(1 i) k vk (1 i)2k v2k 第2次付款在0时刻的现值为： …… (1 第n/k次付款在0时刻的现值为： i)( n/ k )k v( n/ k )k
(2.2.6)

(2.2.6)式也可以直接通过(2.2.5)式得到：
an sk (1 i)
n
sn sk

另外，每次的付款额1可以看作是k期每期期末付款额为R的区间末的年金积累值，即有 1 R sk 1 R sk
这样，在n个计息期，就有n次额度为R的付款，则与原年金等价的所有R形成的年金现值为 Ran 。将 R 1 sk 代入上式，则所求年金现值为 R an sk ，同样，可以求得年金积累值 R 为： sn 1 sk sn sn sk 。也就是说，原始年金等价于一个每期付款额为 1 sk 的n

2.2.1

变动利率年金
在年金标准型中，整个付款期内利率是不变的。这里将介绍变动利率下年金的计算。一般有两种利率变动方式： 1. 各付款期间段的利率不同，即不同时间段的利率不同，如在第一个付款期利率为i1 ，第二个付款期利率为i2 ，…，这样，对于n 期的期末付年金，所有付款的年金现值为：
1 000 6.8019 1.2155 4.2465 12 514.3(元)

利息(利率)理论(思维导图)

第2章利息(利率)理论第1节实物利息论-古典利率理论庞巴维克的时差说和迂回生产说(时差利息论)庞巴维克认为，一切利息形态的产生以及利息的高低都来自时差企业利息产生自迂回生产，资本主义的生产特征是迂回生产，即先生产工具、设备、原料等，然后再生产消费品，利率的高低就取决于迂回生产的时间长短均衡利率的作用在于对可能无限延长的社会平均生产期限加以限制，均衡利率的高低取决于影响迂回生产时间长短的因素，即一国社会经济的总量、劳动力的数量以及生产过程延长所产生的剩余收益费雪的时间偏好与投资机会说在资本供给方面，资本供给的决定因素是社会公众的时间偏好①如果公众更多地偏好现在物品，只有提供更高的利息补偿才能使其进行交换，这就会使利率上升②如果公众更多地偏好未来物品，那么无需很高的利息补偿就能进行交换，这就会使利率下降在资本需求方面，资本需求的决定因素是投资机会①利率：在利率低时，选择生产周期较长的投资机会反之，则选择生产周期较短的投资机会②利润率：只有利润率高于利率，企业家才会投资费雪效应实际利率＝名义利率-通货膨胀率名义利率会随着通货膨胀率的变化而变化，这一利率与预期通货膨胀率之间的关系被称为费雪效应马歇尔的储蓄投资利率决定论2威克赛尔的自然利率说3第2节货币利息论-凯恩斯利率决定理论5第3节利率决定的一般均衡分析8第4节利率结构理论利率的风险结构解释为什么期限相同的债券或贷款的利率会出现差异利率之间出现差异主要是由违约/信用风险、流动性风险、所得税、可赎回条款、可转换条款等因素造成的利率风险结构的模型：Rn＝Rfn+DP+LP+TA+CALLP+COND利率的期限结构是指在某一时点上，不同期限资金的收益率与到期期限之间的关系利率期限结构图称为收益率曲线收益率曲线的形态通常反映三个经验事实①不同期限债券的利率往往同方向变动②短期利率越低，收益率曲线越倾向于向上倾斜③收益率曲线几乎总是向上倾斜，偶尔会出现水平或向下倾斜的情况利率期限结构理论预期理论长期债券的利率等于在其有效期内人们所预期的短期利率的平均值可以解释事实1&2，无法解释事实3在解释收益率曲线倒挂现象时，预期理论是重要的依据市场分割理论关键假定：不同到期期限的债券根本无法相互替代可以解释事实3，无法解释事实1&2流动性溢价理论不同到期期限的债券可以相互替代，但并非完全替代品可以解释事实1&2&3。

[经济学]第二章利息

2、按利率在借贷期内是否调整，利率分为固定利率和浮动利率。
固定利率 (fixed rate) 是指在整个借贷期间
内按事先约定的利率计息而不作调整的利率。
浮动利率(floating rate)是指在借贷期间内
随市场利率的变化而定期进行调整的利率。
3、按利率是否考虑了通货膨胀的因素，即真实水平利率分为名义利率和实际利率。名义利率(nominal interest rate)是指包括了通货膨胀因素的利率，通常金融机构公布或采用的利率都是名义利率。实际利率(real interest rate)是指货币购买力不变条件下的利率，通常用名义利率减去通货膨胀率即为实际利率。实际利率 = 名义利率 — 通货膨胀率：Rr = Rn - P 正利率和负利率 :当名义利率高于通货膨胀率、实际利率大于0时，即为正利率；反之则为负利率。
利中率央银行
商业银行在中央银行的存款利率
再贴现率（基准利率）变动
资金量
构其商利它业居民及企业的存款利率率金银金融债券利率融行机及银行同业拆借利率市场利率
经济单位及个人之间的借贷利率
企业债券利率政府债券利率
银行贷款利率资金余缺的指示器
政府买卖有价证券
本利和（S）=P:
复利是单利的对称，是指将按本金计算出来的利息额再加入本金，一并计算出来的利息。
▲复利的利息计算公式为： R
P[( 1 r ) n 1]
▲复利法是指按复利计算利息的方法，即在计息
时把按本金计算出来的利息再加入本金，一并计
5、按信用行为的期限长短，利率分为长期利率和短期利率。 6、按照利率是否具有优惠性质，可划分为：一般利率和优惠利率。

2 利息理论

反过来，在1100元的基础上减少100元成为一年前的价值1000元，其中减少的100元是贴现额。
利息率=利息100元与本金1000元之比=10%
贴现率=贴现额100元与累积额11000元之比=9.1%
18
利率和贴现率的关系
a(1) 1 (1 i) 1 i d i a(1) 1 i 1 i
0.05884
4
0.05870
6
0.05855
12
0.05841
∞
0.05827
i
(m)
0.06000
26
名义贴现率:一年结算多次的规定的年贴现率。
以 d ( m ) 表示，m表示结算次数，
1 d [1
d
(m)
m
(m)
]
m
d m d 1 [1 ] m
27
名义贴现率和利率、名义利率的关系
五、利息力
利息力：衡量确切时点上利率水平的指标。
(m) i 对于名义利率，当结算次数m趋于无穷大时便可以表示确切时点上的利率水平。
定义利息力δ为，
lim i
m
( m)
d (1+i ) x |x 0 (1+i) ln(1 i) |x0 ln(1 i) dx 1 e . 故， e 1 i，
i(m) m 12% 12 i (1 ) 1 (1 ) 1 12.68% m 12
30
(2)实际贴现率为
d (m) m 10% 4 d 1 (1 ) 1 (1 ) 9.63% m 4
(3)由(1 i)1 1 d , 有
i(m) m d (n) n (1 ) (1 ) m n 12% 12 d (2) 2 (1 ) (1 ) 12 2

第二章利息理论基本概念

5%复贴现率计息 10000(1－5%)2 9025 期初投资9025元，两年后获得10000元两年共获得利息： 975
利息的度量三——利息转换频率不同
• 实质利率 i ：以一年为一个利息转换期，该利率记为实质利 • 名义利率 i(m) ：在一年里有m个利息转换期，假如每一期的利率为j，有 i ( m ) mj 。 • 利息力：假如连续计息，那么在任意时刻t的瞬间利率叫作利息力。
2 3
利息度量二——利率和贴现率
• 期末计息——利率
– 第N期实质利率
I (n) in A(n 1)
• 期初计息——贴现率
– 第N期实质贴现率
I (n) dn A(n)
单利场合利率与贴现率的关系
I ( n) dn A(n) a(n) a(n 1) a ( n) i 1 in
复利场合利率与贴现率的关系
I (n) a(n) a(n 1) dn A(n) a ( n) i (1 i ) n 1 (1 i ) n i 1 i
复利场合利率与贴现率的关系
初始值利息积累值
1
v
i d
v 1 d （ 1 i）
1
1 i
1
例2
（2） 3000(1 i ) 4 6000(1 i ) 2 15000
(1 i ) 2 1 6 (舍去负根) 由(1 i ) 1 6
2
i 20.4% （i 2.204舍去)
例7：求时间
• 假定 i
(12)
分别为12%、6%、2%
• 计算在这三种不同的利率场合复利计息，本金翻倍分别需要几年？
例7答案
i (12) 2%时， (1 0.17%)

利息理论

99.49
15
设rn为n期的短期利率，fn为n期的远期利率，对于以上债券，有
96.15 = 100 1 + r1
92.19
=
100 (1+ y2
)2
99.45 = 8.5 + 8.5 + 108.5 1 + r1 (1 + y2 )2 (1 + y3 )3
16
由此可以得到各期“零息票债券”的到期收益率 y1= …… y2= …… y3= …… ……
z 预期假说解释了利率期限结构随着时间不同而变化的原因。
¾ (1) 收益率曲线向上倾斜时，短期利率预期在未来呈上升趋势。
¾ (2) 收益率曲线向下倾斜时，短期利率预期在未来呈下降趋势。
¾ (3) 当收益率曲线呈水平状态时，短期利率预期在未来保持不变。
26
二、市场分割假说
z 市场分割假说 (Segmented Markets Hypothesis)
(2) 投资者对不同期限的债券具有不同的偏好。如果某个投资者对某种期限的债券具有特殊偏好，那么，该投资者可能更愿意停留在该债券的市场上，表明他对这种债券具有偏好停留
(Preferred Habitat)。
(3) 投资者的决策依据是债券的预期收益率，而不是他偏好的某种债券的期限。
31
三、流动性偏好假说的前提假定
z 流动性偏好假说的基本命题是：长期债券的利率水平等于在整个期限内预计出现的所有短期利率的平均数，再加上由债券供给与需求决定的期限溢价 (Term premium)。
30
5
三、流动性偏好假说的前提假定
(1) 期限不同的债券之间是互相替代的，一种债券的预期收益率确实会影响其他不同期限债券的利率水平。

第二章利息理论基础第四节投资收益分析

i10% or i20%
它们的含义是：若第一年的收益率为10% （20%），则100元在第一年底的价值为110 （120）元，“取出”230元，实际透支120 （110）元，透支部分以收益率10%（20%）计算，在第二年底的价值为132元。
收益率唯一的最常见的情形是：在项目中所有的现金流动只改变一次方向。更直观地是：前期业务的所有净资金都是相同的流向，后期业务都是相反方向的净资金流向，具体在例30的项目中就是。
益率越低越好。
关于收益率有以下几点说明： 1. 收益率是直观地评价在投资期限内的可
能年平均收益水平。投资期限对收益率的影响非常重要。
例31：考虑两种可选的投资项目：A)投资5年，年利率为9%；B)投资10年，年利率为8%。如果两种投资的收益无差异，计算：如果选择A，5年后应将资金用于年利率为多少的投资？
10% 2501.88
（二）收益率
使得投资返回净现时值等于零时的利率称为收益率，也称为“内返回率”。
n
P(i) vtRt 0 t0
收益率表示当收入资金的现值与投入资金的现值相等时所对应的利率。它是一种使得项目在开始时刻的价值收支平衡的临界利率。
备注：1、用线形插值法求得上例中收益率为22.65%。 2、收益率投资方希望收益率越高越好，借贷方希望收
实际上，我们可以认为该活期账户的年利率为 3%；另一方面，如果已知上面活期账户的年利率为3%，6月底（一般国内活期储蓄的利息结算时间）200元提款之前的账户余额为：
BACI 10005003%100050016 1613.13
例37：某保险公司一年的经营数据如下：
然，对于同一笔业务，在同一时刻，因为所处角度
的不同而得到的这两个量数值相同、符号相反。即：

第二章利息理论基础

m
m
余额：1
i (m) 1
m
(1 i (m) ) 2
…
(1 i (m) ) m1
m
m
图(1-2A) 名义利率图
(1 i (m) ) m 1 i m
名义贴现率
用符号d(m)记每一度量期付m次利息的名义贴现率。所谓名义贴现率d(m)，是指每 1/m个度量期支付利息一次，而在每1/m 个度量期上的实质贴现率为d(m)/m。
(1-16A) (1-16B) (1-16C)
相同度量期内等价的名义利率与名义贴现率有如下的关系（m，p可以不相同）
1） (1 i(m) )m (1 d ( p) ) p
m
p
2) 若m p,则有
(1 i(m) )m (1 d (m) )m
m
m
例（1）求与实质利率8％等价的每年计息2次的年名义利率以及每年计息4次的年名义贴现率；
2. 短期两者差异不大，长期两者显著差异
3. 复利几乎用于所有的金融业务，单利只用于短期计算或复利不足期近似计算。
a (t)
1
0
1
e ^(it) (1+i)^t (1+it)
t
三、贴现率与现值函数 1、实质贴现率
一个度量期上的实质贴现率为该度量期内产生的利息金额与期末的积累值之比。通常用字母d来表示实质贴现率。
I＝P×i×t
A(t)＝P＋I＝P(1+it)
注意：i和t的单位必须一致，即若利率取年利率，时期t必须以年计；若利率取月利率，t必须以月计。
例：如果每年单利率为8％，投资额为2000 元，求（1）4年后的利息（2）3个月后的利息（3）4年后的本利和
解：

利息理论(第二版) (第2章)

项。
2.1.2 年金的含义及其延伸
– 年金含义的延伸
1）时间间隔可以是年、季度、月、周、日、瞬时； 2）支付款项的金额可以相等也可以不等；可以是确定也可以是不确定；支付期和计息期可以相同也可以不同。 3
2.1 年金的含义
2.1.3 年金的分类
1．按照年金的支付时间和支付金额是否确定，年金可以分为确定年金(Annuity-certain)和风险年金(Contingent annuity)。 2．按照年金的支付期限长短，年金可以分为定期年金（Period-certain annuity)和永续年金（Perpetuity）。 3．按照年金的支付周期不同，年金可以分为非连续年金 (每年(季、月、…)支付一次)和连续年金。 4．按照年金在每期的支付时点不同，年金可以分为期初付年金（先付年金）和期末付年金（后付年金）。 5．按照年金开始支付的时间不同，年金可以分为即期年金和延期年金。 6．按照每次付款的金额是否相等，年金可以分为等额年金(Level annuity)和变额年金(Variable annuity)。
1）向银行借款50000元，期限8年，在年实际利率6％之下，每年初分期还款 7596元； 2）签订租赁合同1，一次性支付50000元租金租下这间仓库，租期8年； 3）签订租赁合同2，出租这间仓库，租期8年，要求对方每年初支付8000元租金，其中7596元还银行，每年可获利 8000－7596＝404（元）。
50000 8000 8000 0 1 2 7596 7596 50000 3 4 5 6
8000 7 7596 8
12
2.2 年金的现值
2.2.3 期末付永续年金的现值
• 永续年金（perpetuity）及其现值的概念

第二章利息论

26
第四节
利率的种类
一、名义利率与实际利率名义利率是以名义货币表示的利率，即借贷契约或有价证券上载明的利率。实际利率是名义利率扣除通货膨胀因素以后的真实利率。实际利率＝名义利率－通货膨胀率二、市场利率与基准利率市场利率是由借贷双方在资金市场上相互竞争形成的利率。基准利率一般是指中央银行的再贴现率和再贷款利率，是带动和影响其他利率的中心利率。三、固定利率与浮动利率固定利率是指在整个借贷期内利率不随借贷资金供求状况变化而变化的利率。浮动利率，又称可变利率，是指在借贷期内利率随借贷资金市场供求状况的变化而定期调整的利率。实行浮动利率的目的是避免市场利率和物价的变动对借贷双方带来损失的风险。
资本的供求决定利率即储蓄与投资为自变量利率为因变量储蓄与投资决定利率其关系方程式标本无需切片处理而代之在标本表面涂上一层铂金当电子撞击标本表面各点时便产生次及电子呈现立体状态可观察标本的形状及表面的特征
第二章利息论
【本章重点和难点】

掌握利息和利率的基本概念以及有关利息的一些基本知识。重点掌握利息的来源、影响利率水平的因素以及利率市场化改革的必要性及内容。掌握有关利率和利息的计算方法。
25
第三节
利率的决定
• （4）汇率外汇汇率上升，本币贬值，外汇需求下跌，从而使得本币相对充裕，国内利率便趋于稳定，并在稳定中下降。外汇汇率下跌，本币升值，对外汇需求增加，本币的供应处于相对紧张状态，从而迫使国内市场上的利率上扬。 • （5）国家经济政策目前，各国政府与中央银行往往通过调节货币供应量、调整基准利率等手段来影响市场利率，达到调节经济的目的。 • 此外，利率管制、经济周期以及国际政治关系等等都可能对利息率的变化有不同程度的影响。

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∴ 对任意的 t( > 0), 都有 a (t ) = 1 + it
例 2 试计算 500 元经过两年半的累计为 615 元的对应的单利率 . 另外， 500 另外，元以单利率 7.8%, 累积多少时间可达到 630 元？
解： 615 = 500 (1 + 2 .5 i ) i = 9 .2 % 500 (1 + 0 .078 t ) = 630
％，问例 1 已知单利利率为 4％，问：多少时间后它对应的实际利率可以达到 2 .5 % ?
解：
i ∵ it = 1 + it
4% ∴ 2 .5 % = 1 + 4% t
t = 15
问题：为大于零的任意实数单利该如何计算？为大于零的任意实数，问题：若t为大于零的任意实数，单利该如何计算？
a ′ (t ) = a (t ).a ′ (0 ) ⇒ a ′ (0 ) = ⇒ a ′ (0 ) = [ln a (t )]′ a (t )
a ′ (0 ) = [ln a (t )]′
积分：在等式两端从 0－ t积分：
∫ [ln a (s )]′ds = ∫
t 0
t
0
a ′ (0 )ds
ln a (t ) − ln a (0 ) = ta ′ (0 )
一、累积函数与实际利率
1.1 累积函数－－指期初的元本金在时刻的累积值，是度量利累积函数－－指期初的1元本金在时刻的累积值，－－指期初的元本金在时刻t的累积值率和利息基本的工具。率和利息基本的工具。
注：累积函数通常记为 a (t )
累积函数的性质：累积函数的性质：
1、 a (0 )＝1 2、 a (t )一般为递增函数，及利息一般为正。一般为递增函数，息一般为正。 a (t )为非连续函数。为非连续函数。 3、若连续接转利息， a (t )为连续函数：若间断结转利息，为连续函数：转利息，若连续接转利息，
a (t ) = 1 + it ( t = 0 ,1, 2 ...)
称为单利率．其中 i称为单利率．
问题：单利率是否就为实际利率？问题：单利率是否就为实际利率？
为 a (t + 1 ), 则从时点 t开始的一个时期内的实际利率 i t 应为 :
为单利利率，令 i为单利利率，在时点 t的累积值为 a (t ), 在时点 t + 1的累积值
ln a (t ) = ln a (0 ) + ta ′ (0 ) = ta ′ (0 )
∵ a (t ) = (1 + i ) t ∴ ln( 1 + i ) t = ta ′ (0 )
∴ t ln( 1 + i ) = ta ′ (0 ) ∴ ln( 1 + i ) = a ′ (0 ) ∴ ln a (t ) = t ln( 1 + i )
a (t + 1 ) − a (t ) it = a (t )
[1 + i (t + 1)] − (1 + it ) =
1 + it
i = 1 + it
结论：这是一个关于时间的单调递减的函数的单调递减的函数，结论：这是一个关于时间t的单调递减的函数，并且随的增大，着t的增大，实际利率将减小．的增大实际利率将减小．问题：为什么在每一个时期中所获得的利息金额相等，问题：为什么在每一个时期中所获得的利息金额相等，但实际利率却越来越来小呢？但实际利率却越来越来小呢？
∴ a (t ) = (1 + i ) t
(1)9 个月后的累积值 (2 )2 年零 3 个月后的累积值
若单利、％，试计算元本金：例 1 若单利、复利的年利率为 5％，试计算 2000 元本金：
(1 + 0.05 )0.75 = 2074 .54 (元 ) (1 解： ) 2000 . 2000 .(1 + 0 .05 × 0 .75 ) = 2075 (元 ) (2 )
1元本金经过时期 t + s赚取的利息，等与它经过时期 t赚取赚取的利息，赚取的利息．的利息再加上经过时期 s赚取的利息．
(t + s )i = ti + si
其中：其中： t, s是任意的正实数
(t + s )i = ti + si 1 + (t + s )i = (1 + ti ) + (1 + si ) − 1
复利方式），），问例 2 已知 600 元投资两年将产生利息 264 元（复利方式），问： 2000 元以同样的实际利率投资 3 年的终值？年的终值？
解： 600 (1 + i )2 = 864 i = 20 %
3 2000 (1 + 0 .2 ) = 3456 ( 元 )
例 3 试确定按单利和复利计算 , 年息 11%, 问开始时应投资多少元使得在第 5 年末本金和利息总和能积累至 1000 元？
1 .i = 1 .a (1 ) − a (0 ) = a (1 ) − 1 a (1 ) = 1 + i
i = a (1 ) − a (0 )
a (1 ) − a (0 ) = a (0 ) A (1 ) − A (0 ) = A (0 ) I (1 ) = A (0 )
实际利率也可表示成为某个时期赚取的利息金额与期初的本金金额之比。金额之比。
(1 + i )t + s − (1 + i )t = (1 + i )t
更一般的，的累积值：更一般的，当本金金额为 A (0 )时，则在时刻 t的累积值： A (t ) = A (0 ).a (t )
A (t ) a (t ) = A (0 )
若 I (t )表示 0－ t时期的利息额 I (t ) = A (t ) − A (0 )
1.2 实际利率－－指1元本金在某个时刻末赚取的利息，一般用实际利率－－－－指元本金在某个时刻末赚取的利息元本金在某个时刻末赚取的利息， i表示。表示。表示用累积函数表示实际利率，用累积函数表示实际利率，则有
（解： x (1 + 0 .11 × 5 ) = 1000 ⇒ x = 645 .16 元）
y (1 + 0 .11 ) = 1000 ⇒ y = 593 .47 元）（
5
复利与单利的区别：复利与单利的区别：
1、若利率水平为一常数，单利条件下的实际利率为时间的递减、若利率水平为一常数，函数；而复利条件下与时间无关。函数；而复利条件下与时间无关。
a ′ (0 )ds
a (t ) − a (0 ) = ta ′ (0 ) ⇒ a (t ) = a (0 ) + ta ′ (0 ) ⇒ a (t ) = 1 + ta ′ (0 ) ∵ a (t ) = 1 + it ∴ 1 + it = 1 + ta ′ (0 ) ∴ i = a ′ (0 )
利息理论
第二章利息度量
E-mail:cxdzlh@ Tel:49936260
本金(资金的现值）：初始投资的资本的金额。本金资金的现值）：初始投资的资本的金额。资金的现值）：初始投资的资本的金额累积值（资金的终值）：过一定时期后收到的总金额。）：过一定时期后收到的总金额累积值（资金的终值）：过一定时期后收到的总金额。利息：累积值与本金之间的金额差值。利息：累积值与本金之间的金额差值。
a ′ (t ) = lim
a (t + ∆ t ) − a (t ) ∆t → 0 ∆t a (t ).a (∆ t ) − a (t ) = lim ∆t → 0 ∆t a (∆ t ) − 1 a (∆ t ) − a (0 ) = a (t ). lim = a (t ). lim ∆t → 0 ∆t → 0 ∆t ∆t
2000 .(1 + 0 .05 )
2 .25
=3; 0 .05 × 2 .25 ) = 2225 (元 )
结论：若单利率＝复利利率，则当复利;而当结论：若单利率＝复利利率，则当0<t<1时，单利复利而当时单利>复利 t>1时，单利复利．复利．时单利<复利
积值为 a (t + 1 ), 则从时点 t开始的一个时期内的实际利率 i t 应为: 令 i为复利利率，在时点 t的累积值为 a (t ), 在时点 t + 1的累为复利利率，
a (t + 1 ) − a (t ) (1 + i ) t + 1 − (1 + i ) it = = a (t ) (1 + i ) t
设总量函数为：试计算：例 1：设总量函数为： A (t ) = t 2 + 2t + 3, 试计算： a (t ), I (n )
t 2 + 2t + 3 A (t ) = 解： ∵ a (t ) = 3 A (0 )
I (n ) = A (n ) − A (0 )
= n 2 + 2n + 3 − 3
[ a (t ) + a (∆ t ) − 1] − a (t ) = lim ∆t → 0 ∆t
结论：单利条件下累积函数的变化律为一常数．结论：单利条件下累积函数的变化律为一常数．
a ′ (t ) = a ′ (0 )
积分：在等式两端从 0－ t积分：
∫ a ′(s )ds = ∫
t 0
t
0
∵ A (t ) = A (0 ).a (t )
∴ A (10 ) = A (0 ).a (5 ) = 100 .(0 .08 × 25 + 1 )

利息理论第二章

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