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概率论与数理统计第一章 随机事件及其概率第三节 事件的关系及运算一、选择1.事件AB 表示 （ C ）（A ） 事件A 与事件B 同时发生 （B ） 事件A 与事件B 都不发生（C ） 事件A 与事件B 不同时发生 （D ） 以上都不对2.事件B A ,，有B A ⊂，则=B A Y （ B ）（A ） A （B ）B （C ） AB （D ）A B U二、填空1.设,,A B C 表示三个随机事件，用,,A B C 的关系和运算表示⑴仅A 发生为ABC⑵,,A B C 中正好有一件发生为ABC ABC ABC ++⑶,,A B C 中至少有一件发生为A B C ++三、简答题1.任意抛掷一颗骰子，观察出现的点数。
事件A 表示“出现点数为偶数”，事件B 表示“出现点数可以被3整除”，请写出下列事件是什么事件，并写出它们包含的基本事件,,,,A B A B AB A B ++解：A 表示“出现点数为偶数”，{}2,4,6A =B 表示“出现点数可以被3整除”，{}3,6B =A B +表示“出现点数可以被2或3整除”，{}2,3,4,6A B += AB 表示“出现点数既可以被2整除，也可以被3整除”，{}6AB =A B +表示“出现点数既不可以被2整除，也不可以被3整除”，{}1,5A B +=2.向指定目标射击两次。
设事件,,,A B C D 分别表示“两次均未击中”、“击中一次”、“击中两次”、“至少击中一次”，请写出所有基本事件，并用基本事件表示事件,,,A B C D解：基本事件为 1w ：“第一次击中，第二次击中”2w ：“第一次未击中，第二次击中”3w ：“第一次击中，第二次未击中” 4w ：“第一次未击中，第二次未击中”4{}A w =，23{,}B w w =，1{}C w =，123{,,}D w w w =3.袋中有10个球，分别写有号码1---10，其中1，2，3，4，5号球为红球；6，7，8号球为白球；9，10号球为黑球。
§2.3 连续型随机变量连续型r.v.的概念定义设 X是随机变量, 若存在一个非负可积函数 f ( x ), 使得fx(t)F x d)(t=⎰∞-x+∞<<-∞其中F ( x )是它的分布函数则称X是连续型r.v.，f ( x )是它的概率密度函数( p.d.f. )，简记为d.f.-10-550.020.040.060.08xf ( x )xF ( x )分布函数与密度函数 几何意义)(x f yp.d.f. f ( x )的性质❑ 0)(≥x f ❑ 1)(d )(=+∞=⎰∞+∞-F x x f 常利用这两个性质检验一个函数能否作为连续性 r.v.的 d.f. ❑ 在 f ( x ) 的连续点处，)()(x F x f '=f ( x ) 描述了X 在 x 附近单位长度的 区间内取值的概率Ch2-51xx F x x F x F x ∆∆∆)()(lim)(0000-+='+→xx x X x P x ∆∆∆)(lim 000+≤<=+→)(0x f =+∞<<∞-=⎰∞-x tt f x F xd )()(积分 不是Cauchy 积分，而是Lesbesgue 意义下 的积分，所得的变上限的函数是绝对连续 的，因此几乎处处可导)()(000x x X x P x x f ∆+≤<≈∆线段质量长度密度Ch2-52注意: 对于连续型r.v.X , P (X = a ) = 0其中 a 是随机变量 X 的一个可能的取值)()(0a X x a P a X P ≤<-≤=≤∆⎰-=axa xx f ∆d )(⎰-+→≤=≤axa x x x f a X P ∆∆d )(lim)(000=0)(==a X P 命题 连续r.v.取任一常数的概率为零强调 概率为0 (1) 的事件未必不发生(发生))(a X =)(a X x a ≤<-⊂∆0>x ∆事实上对于连续型 r.v. X)(b X a P ≤<)(b X a P ≤≤=)(b X a P <<=)(b X a P <≤=)()(a F b F -=bxf ( x )-10-550.020.040.060.08a⎰=baxx f d )()()()(b F b X P b X P =<=≤)(1)()(a F a X P a X P -=≥=>xf ( x )-10-550.020.040.060.08aCh2-55例1 已知某型号电子管的使用寿命 X 为连 续r.v., 其 d.f.为⎪⎩⎪⎨⎧>=其他,01000,)(2x xc x f (1) 求常数 c(3) 已知一设备装有3个这样的电子管, 每个电子管能否正常工作相互独立, 求在使用的最初1500小时只有一个损坏的概率.)200015001700(<<≤X X P (2) 计算Ch2-56解 (1) 令 1d d )(10002==⎰⎰+∞+∞∞-x xc x x f c = 1000)200015001700(<<≤X X P (2) )20001500,1700(<<≤=X X P )20001500(<<X P )20001500(<<X P )17001500(≤<=X P ⎰=170015002d 1000x x ⎰200015002d 1000x x 514=61.4706.05124≈=Ch2-57(3)设A 表示一个电子管的寿命小于1500小时)15000()(<≤=X P A P 31d 1000150010002==⎰x x 设在使用的最初1500小时三个电子管中损坏的个数为 Y ⎪⎭⎫ ⎝⎛31,3~B 943231)1()1(2133=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛===C P Y PCh2-58例2 设为使 f (x ) 成为某 r.v. X 在 解 由 0)(0)(2>++=⇒≥c bx ax x h x f ),(∞+-∞d.f.系数 a , b , c 必须且只需满足何条件？12)()(-++=c bx ax x f ax h b ax x h 2)(,2)(=''+='⇒当 )(02)(0x h a x h a ⇒>=''⇒>有最小值ab c x h 4/)(2m in -=上的Ch2-59另外由04/2>-a b c 当且仅当 时)(2>++=c bx ax x h 142)()(212=-=++=-∞∞-∞∞-⎰⎰bac dx c bx ax dx x f π得.4422π=-b ac 所以系数 a , b , c 必须且只需满足下列条件,0>a ,04/2>-a b c .4422π=-b ac 可省略作业 P83 习题二16 18(1) 均匀分布 常见的连续性随机变量的分布 若 X 的 d.f. 为⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他,0,1)(b x a ab x f 则称 X 服从区间( a , b )上的均匀分布或称 ),(~b a U X X 服从参数为 a , b 的均匀分布. 记作X 的分布函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=1,,0a b a x bx b x a a x ≥<≤<,,⎰∞-=x t t f x F d )()(xf ( x )a bxF ( x )ba,),(),(b a d c ⊂∀x a b d X c P d 1)(dc ⎰-=<<ab c d --=即 X 落在(a ,b )内任何长为 d – c 的小区间的概率与小区间的位置无关, 只与其长度成正 比. 这正是几何概型的情形. 进行大量数值计算时, 若在小数点后第 k 位进行四舍五入, 则产生的误差可以看作服从的 r.v. 随机变量 ⎪⎭⎫ ⎝⎛---k k U 1021,1021应用场合例3 秒表最小刻度值为0.01秒. 若计时精 度是取最近的刻度值, 求使用该表计时产生的随机误差X 的 d.f. 并计算误差的绝对值不超过0.004秒的概率.[]005.0005.0~-U X 解 X 等可能地取得区间 []005.0005.0-⎪⎩⎪⎨⎧≤=其他,0005.0,100)(x x f 8.0100)004.0(004.0004.0==≤⎰-dx X P 所以 上的任一值，则Ch2-66(2) 指数分布 若 X 的d.f. 为⎩⎨⎧>=-其他,00,)(x e x f xλλ则称 X 服从 参数为 λ 的指数分布)(~λE X 记作 X 的分布函数为 ⎩⎨⎧≥-<=-0,10,0)(x e x x F xλ λ > 0 为常数Ch2-671xF ( x )xf ( x )Ch2-68对于任意的 0 < a < b ,bab a xee a F b F xe b X a P λλλλ----=-==<<⎰)()(d )(应用场合 用指数分布描述的实例有：随机服务系统中的服务时间 电话问题中的通话时间无线电元件的寿命动物的寿命 指数分布 常作为各种“寿命”分布的近似Ch2-69若 X ~Ｅ(λ),则故又把指数分布称为“永远年轻”的分布)()(t X P s X t s X P >=>+>指数分布的“无记忆性”事实上)()()(),()(s X P t s X P s X P s X t s X P s X t s X P >+>=>>+>=>+>)()(1)(1)(1)(1)(t X P e ee s F t s F s X P t s X P ts t s >===-+-=≤-+≤-=--+-λλλ命题Ch2-70解 (1) )()(t T P t F T ≤=⎩⎨⎧>>-<=0),(10,0t t T P t )0)(()(==>t N P t T P tt ee t λλλ--==!0)(0例4 假定一大型设备在任何长为 t 的时间内 发生故障的次数 N ( t ) ~ (λt), 求π(1)相继两次故障的时间间隔 T 的概率分布; (2)设备已正常运行８小时的情况下,再正常 运行 10 小时的概率.Ch2-71⎩⎨⎧>-<=-0,10,0)(t e t t F tλ⎩⎨⎧><=-0,0,0)(t e t t f tλλ即 )(~λE T )8108()818(>+>=>>T T P T T P λ10)10(-=>=eT P (2) 由指数分布的“无记忆性”(3) 正态分布 若X 的 d.f. 为+∞<<∞-=--x ex f x 222)(21)(σμσπ则称 X 服从参数为 μ , σ 2 的正态分布 记作 X ~ N ( μ , σ 2 )σμ,为常数，0>σ 亦称高斯(Gauss)分布N (-3 , 1.2 )-6-5-4-3-2-10.050.10.150.20.250.33-=μCh2-74 f (x) 的性质：图形关于直线x = μ对称, 即f (μ + x) = f (μ - x)1在x = μ时, f (x) 取得最大值σπ2在x = μ±σ时, 曲线 y = f (x) 在对应的点处有拐点曲线 y = f (x) 以x 轴为渐近线曲线 y = f (x) 的图形呈单峰状Ch2-7521)()(1)()(=>=-==≤μμμμX P F F X P -6-5-4-3-2-10.050.10.150.20.250.3Ch2-76 f ( x) 的两个参数：μ—位置参数即固定σ, 对于不同的μ, 对应的f (x)的形状不变化，只是位置不同σ—形状参数固定μ，对于不同的σ，f ( x) 的形状不同.若σ1< σ2则212121σπσπ>比x=μ±σ2 所对应的拐点更靠近直线x=μ附近值的概率更大. x = μ±σ1 所对应的拐点前者取μCh2-77 Show[fn1,fn3]σ大σ小-6-5-4-3-2-10.1 0.2 0.3 0.4 0.5几何意义σ大小与曲线陡峭程度成反比数据意义σ大小与数据分散程度成正比正态变量的条件若r.v.X①受众多相互独立的随机因素影响②每一因素的影响都是微小的③且这些正、负影响可以叠加则称X 为正态r.v.可用正态变量描述的实例极多：各种测量的误差；人体的生理特征；工厂产品的尺寸；农作物的收获量；海洋波浪的高度；金属线抗拉强度；热噪声电流强度；学生的考试成绩；一种重要的正态分布+∞<<∞-=-x e x x 2221)(πϕ是偶函数，分布函数记为+∞<<∞-=Φ⎰∞--x t ex xt d 21)(22π其值有专门的表供查.—— 标准正态分布N (0,1)密度函数5.0)0(=Φ-3-2-11230.10.20.30.4)(1)(x x ΦΦ-=-1)(2)|(|-=<a a X P Φ-x x)(1)(x x ΦΦ-=-1)(2)|(|-=<a a X P Φ-3-2-11230.10.20.30.4Ch2-83对一般的正态分布 ：X ~ N ( μ ,σ 2)其分布函数 ⎰∞---=xt tex F d 21)(222)(σμσπ作变量代换 σμ-=t s ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=σμΦx x F )(⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=<<σμΦσμΦa b a F b F b X a P )()()(⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=>σμΦa a F a X P 1)(1)(例5 设 X ~ N (1,4) , 求 P (0 ≤ X ≤ 1.6)解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=≤≤210216.1)6.10(ΦΦX P ()()5.03.0--=ΦΦ()()]5.01[3.0ΦΦ--=]6915.01[6179.0--=3094.0=P380 附表3例6 已知 ),2(~2σN X 且 P ( 2 < X < 4 ) = 0.3, 求 P ( X < 0 ).解一 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=<σΦ20)0(X P ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=σΦ21⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=<<σΦσΦ2224)42(X P )0(2ΦσΦ-⎪⎭⎫ ⎝⎛=3.0=8.02=⎪⎭⎫ ⎝⎛σΦ2.0)0(=<X P解二 图解法0.22.0)0(=<X P 由图-22460.050.10.150.20.3Ch2-87例 3σ 原理设 X ~ N ( μ , σ 2), 求 )3|(|σμ<-X P 解 )33()3|(|σμσμσμ+<<-=<-X P X P ⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=σμσμΦσμσμΦ33()()33--=ΦΦ()132-=Φ19987.02-⨯=9974.0=一次试验中, X 落入区间( μ - 3σ , μ +3σ ) 的概率为 0.9974, 而超出此区间可能性很小 由3σ 原理知，1)(3,0)(3≈Φ>≈Φ-<b b a a 时时当Ch2-88标准正态分布的上 α 分位数 z α 设 X ~ N (0,1) , 0 < α < 1, 称满足αα=>)(z X P 的点 z α 为X 的上α 分位数z α α常用 数据 645.105.0=z 96.1025.0=z -3-2-11230.10.20.30.4例7 设测量的误差 X ~ N (7.5,100)(单位:米) 问要进行多少次独立测量，才能使至 少有一次误差的绝对值不超过10米的 概率大于0.9 ?解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-=≤105.710105.710)10|(|ΦΦX P ()()75.125.0--=ΦΦ()()]75.11[25.0ΦΦ--=5586.0=设A表示进行n 次独立测量至少有一次误差的绝对值不超过10米-(>-AP=n)19.05586)1(.0n > 3故至少要进行 4 次独立测量才能满足要求.作业 P 84 习题二 22 24 26 27X , 求其密度函数 f (x ). A BC h .M 问 题 第 6 周 在高为 h 的 ABC 中任取一点 M , 点 M 到 AB 的距离为随机变量 X , 求其密度函数 f (x ).问 题A B C h .M第 7 周问题上海某年有 9万名高中毕业生参加高考, 结果有5.4万名被各类高校录取.考试满分为600分，540分以上有2025人 , 360分以下有13500 人.试估计高校录取最低分.在高为 h 的 ABC 中任取一点 M , 点 M 到 AB 的距离为随机变量 X , 如何求其密度函数 f (x )？A BCh.M 思考题附录。
