百校联盟2021届高三普通高中教育教学质量监测考试全国卷(新高考)数学试题+图片版含答案

2021届百校联盟高三教育教学质量监测考试12月全国卷（新高考）数学试题一、单选题1．设i 是虚数单位，若复数221z i i=++，则z =（ ）A ．12B ．1CD ．2【答案】C【分析】根据复数除法运算法则，分子分母同乘以共轭复数，计算出复数z ，再代入模长公式计算即可.【详解】()222122212111i z i i i i i i i-=+=+=-+=++-，故z = 故选：C.2．设集合{}24A x x =-<<，{}260B x x x =+-<，则A B =（ ）A ．{}22x x -<< B ．{}32x x -<< C ．{}23x x -<< D ．{}24x x <<【答案】A【分析】利用一元二次不等式的解法化简集合B ，再由交集的定义求解即可. 【详解】因为{}24A x x =-<<，{}{}26032B x x x x x =+-<=-<<，所以{}22A B x x ⋂=-<<， 故选：A. 3．曲线1axy x =-在点()2,2a 处的切线方程为30x y b -+=，则（ ）． A ．3a =，12b =- B ．3a =-，0b = C ．3a =，0b = D ．3a =-，12b =-【答案】D【分析】根据导数几何意义求出函数在2x =处的导数就是其切线斜率即可求出a ，将点代入直线方程求出b .【详解】解：由题意得()()()22111a x axay x x --'==---，所以()2221x ay a ==-=--'，因为直线30x y b -+=的斜率为3， 所以3a -=，故3a =-，故切点为()2,6-，代入切线方程为30x y b -+=得12b =-． 故选：D.【点睛】若已知曲线()y f x =过点00(,)P x y ，求曲线过点P 的切线方程的方法 （1）当点00(,)P x y 是切点时，切线方程为000()()y y f x x x '-=⋅-. （2）当点00(,)P x y 不是切点时，可分以下几步完成： 第一步：设出切点坐标11(,())P x f x '；第二步：写出过点11(,())P x f x '的切线方程111()()()y f x f x x x '-=⋅-； 第三步：将点P 的坐标00(,)x y 代入切线方程求出1x ；第四步：将1x 的值代入方程111()()()y f x f x x x '-=⋅-可得过点00(,)P x y 的切线方程. 4．意大利数学家斐波那契（约1170～1250），以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233…．在实际生活中，很多花朵（如梅花，飞燕草，万寿菊等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在现代物理及化学等领域也有着广泛的应用．已知斐波那契数列{}n a 满足：121a a ==，()21n n n a a a n *++=+∈N ，若3579551k a a a a a a ++++++=，则k =（ ）．A ．2020B ．2021C ．59D ．60【答案】D【分析】根据题意234456,a a a a a a +=+=⋅⋅⋅，将所求化简即可得答案. 【详解】依题意，3579591a a a a a ++++++2357959a a a a a a ++++++=457959a a a a a ++++=+67959585960a a a a a a a ++++==+==，则60k =．故选：D5．已知A ，B 为单位圆22:1O x y +=上的两点，且满足3AB =，点P 为圆O 上一动点，则AP PB ⋅的取值范围是（ ）． A ．33,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．31,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 【答案】B【分析】根据题意 ()()AP PB OP OA OB OP ⋅=-⋅-，化简整理可得()12AP PB OP OA OB ⋅=⋅+-，设AB 的中点为M ，OM 与OP 的夹角为θ，利用数量积公式，结合θ的范围，即可求得答案.【详解】如图，圆的半径为1，且3AB =，易得120AOB ∠=︒．由题意知()()AP PB OP OA OB OP ⋅=-⋅-2OP OB OP OA OB OA OP =⋅--⋅+⋅111cos120OP OB OA OP =⋅--⨯⨯︒+⋅()12OP OA OB =⋅+-．设AB 的中点为M ，则2OA OB OM +=，且12OM =，设OM 与OP 的夹角为θ， 则1122cos 22AP PB OM OP OM OP θ⋅=⋅-=- 11121cos cos 222θθ=⨯⨯⨯-=-．又因为[]0,πθ∈，所以AP PB ⋅的范围为31,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． 故选：B6．已知双曲线()222:10x C y a a-=>的右焦点为F ，O 为坐标原点，以F 为圆心，OF 为半径的圆与双曲线C 的一条渐近线相交于O ，A 两点，若OAF △的面积等于2，则双曲线C 的离心率为（ ）．A ．2B ．2C ．52D ．5【答案】C【分析】设D 为OA 中点，则DF OA ⊥，取渐近线1y x a=，则可求DF 的长，根据1tan DF AOF OD a∠==，结合题意，可求得a 的值，代入公式即可求得答案. 【详解】设D 为OA 中点，则DF OA ⊥，如图所示：渐近线方程为1y x a =±，不妨取1y x a=，(),0F c ．其中2221c a =+， 则2211DF a==+，因为D 为AO 中点．因为1tan DF AOF OD a∠==， 所以OD a =，2AO a =． 则12122OAF S a =⨯⨯=△．解得2a =， 所以离心率52c e a ==． 故选：C7．如图是隋唐天坛，古叫圜丘，它位于唐长安城明德门遗址东约950米，即今西安市雁塔区陕西师范大学以南．天坛初建于隋而废弃于唐末，比北京明清天坛早1000多年，是隋唐王朝近三百年里的皇家祭天之处．某数学兴趣小组为了测得天坛的直径，在天坛外围测得60AB =米，60BC =米，40CD =米，60ABC ∠=︒，120BCD ∠=︒，据此可以估计天坛的最下面一层的直径AD 大约为（ ）．（结果精确到1米） 2 1.414≈3 1.732≈5 2.236≈7 2.646≈）A ．39米B ．43米C ．49米D ．53米【答案】D【分析】求出AC ，在CDA 中，用余弦定理即可求得AD . 【详解】在ACB △中，60AB =，60BC =，60ABC ∠=︒， 所以60AC =，在CDA 中，2222cos60AD AC CD AC CD =+-⋅⋅︒22160402604028002=+-⨯⨯⨯=， 所以20753AD =≈（米）． 故选：D【点睛】解三角形应用题的一般步骤：(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系． (2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型． (3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等. 8．已知关于x 的方程0xxk e e x ⋅-=恰好有3个不相等的实数根，则实数k 的取值范围为（ ）．A ．21e ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭B ．234e ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭C ．11,1e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ．21,12e e ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭【答案】D【分析】转化为函数()x f x =的图象与直线1y k =-有3个交点，利用导数得到函数()f x 的单调性，作出函数的图象，根据图象列式可得结果. 【详解】因为关于x 的方程0xxk e e x ⋅-=恰好有3个不相等的实数根，即1x k -=恰好有3个不相等的实数根，设()()xx f x x e=∈R ，则函数()y f x =的图象与直线1y k =-有3个交点，当0x ≥时，()xx f x e =，故()()211222x xxx e xe x xf x xe e --'==，当102x ≤<时，()0f x '>，当12x >时，()0f x '<， 所以函数()f x 在1[0,)2上单调递增，在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递减，且()00f =，1222e f e ⎛⎫=⎪⎝⎭， 当0x <时，()x xf x e-=，故()()2112202x xx x e xe x x xe e f x '-----==-<-，函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，函数()f x 的图象如图：由图可知，12012e k f ⎛⎫<-<=⎪⎝⎭， 所以211e k <<+. 故选：D【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.二、多选题 9．设函数()1122x x f x --=+，则（ ）．A ．()f x 在()0,∞+上单调递增B ．()f x 的最小值是2C ．()f x 的图象关于直线1x =对称D ．()f x 的图象关于点()1,0对称【答案】BC【分析】先根据()()2f x f x =-可判断C 正确，AD 错误，再根据基本不等式即可判断B 正确．【详解】解：对A ，D ，C ，()1122x x f x --=+， ()()()()21121122222x x x x f x f x ------+-=+==∴，即()()2f x f x =-，即()f x 的图象关于直线1x =对称，故C 正确， 函数()f x 的图象关于直线1x =对称，故AD 错误； 对B ，1120,20x x -->>，()11222x x f x --=+≥=∴，当且仅当“1122x x --=”，即“1x =”时取等号，故B 正确. 故选：BC.10．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11n n a S n +=+-，则下列结论正确的是（ ）． A ．若11a =，则数列{}n S n +为等比数列 B ．若11a =，则数列{}1n a +为等比数列 C ．若11a =-，则数列{}n S n +为等差数列 D ．若11a =-，则数列{}1n a +为等差数列【答案】ACD【分析】由n a 与n S 的关系可推出()112n n S n S n +++=+，若11a =则1120S +=≠，由112n n S n S n+++=+可证明{}n S n +为等比数列；由A 求出数列{}n S 的通项公式从而可由1n n n a S S -=-求得{}n a 的通项公式；若11a =-则110S +=，可推出0n S n +=判断C 选项；此时由1n n n a S S -=-可推出10n a +=，即可判断D 选项. 【详解】因为111n n n n a S S S n ++=-=+-即121n n S S n +=+-，所以()112n n S n S n +++=+．若11a =，则1120S +=≠，所以11222n n n n S n S nS n S n++++==++．故数列{}n S n +是以2为首项，2为公比的等比数列，故A 正确；由A 知2n n S n +=，则2nn S n =-，当2n ≥时，1121n n n n a S S --=-=-，由11a =，21a =，33a =可得112a +=，212a +=，314a +=，即32211111a a a a ++≠++，故B 错误； 若11a =-，则110S +=，所以由()112n n S n S n +++=+，得0n S n +=， 此时数列{}n S n +为等差数列，故C 正确；由C 知n S n =-，则当2n ≥时，()1[1]1n n n a S S n n -=-=----=-， 所以1n a =-，10n a +=，此时数列{}1n a +为等差数列，故D 正确． 故选：ACD11．甲、乙、丙三位同学进行乒乓球比赛，设每场比赛双方获胜的概率都为12，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．则下列说法正确的是（ ）． A ．最少进行3场比赛 B ．第三场比赛甲轮空的概率为14C ．乙最终获胜的概率为932D ．丙最终获胜的概率716【答案】BCD【分析】根据题意，依次分析选项，结合相互对立事件的概率计算公式，即可求解. 【详解】根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛，故A 错； 第三场比赛甲轮空，即第三场是乙和丙比赛，则第二场甲一定参赛了，说明第一场甲赢了，第二场是甲和丙比赛，甲输了，所以第三场比赛甲轮空的概率为111224P =⨯=，故B 正确；记事件A 为甲输，事件B 为乙输，事件C 为丙输，记事件M ：甲赢，记事件N ：丙赢，则甲赢的基本事件包括：BCBC ，ABCBC ，ACBCB ，BABCC ，BACBC ，BCACB ，BCABC ，BCBAC ，所以甲赢的概率为()4511972232P M ⎛⎫⎛⎫=+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．由对称性可知，乙赢的概率和甲赢的概率相等， 所以丙赢的概率为()97123216P N =-⨯=． 故选：BCD【点睛】利用相互独立事件求复杂事件概率的解题思路： 1、将待求复杂事件转化为几个彼此互斥简单事件的和；2、将彼此互斥简单的事件中的简单事件，转化为几个已知概率的相互独立事件的积事件；3、代入概率的计算公式进行运算.12．如图，在等边三角形ABC 中，2AB =，点D ，E 分别是AC ，AB 的中点，以DE 为折痕把ADE 折起，使点A 到达点A '的位置（A '∉平面BCDE ），则在ADE 翻转过程中，下列说法正确的是（ ）．A ．四棱锥A BCDE '-的体积的最大值是98B ．当二面角A DE B '--为直二面角时，102A B '=C ．一定存在某个位置，使平面A BC '⊥平面BCDED ．平面A ED '⊥平面BCDE 时，四棱锥A BCDE '-外接球的表面积为13π3【答案】BD【分析】对A ，平面A ED '⊥平面BCDE 3公式计算；对B ，取ED 的中点M ，利用勾股定理即可计算；对C ，根据图像的特点，可知翻折的时候不会出现平面A BC '⊥平面BCDE 的情况；对D ，设球的半径，根据勾股定理列方程求解.【详解】在翻折过程中，平面A ED '⊥平面BCDE 时，四棱锥A BCDE '-体积最大，1313333323428BCDE V S =⋅⋅=⋅⋅=，故A 错误．对于B ，当二面角A DE B '--为直二面角时，取ED 的中点M ，如图所示，可得A M '⊥平面BCDE ，则2222371022A B A M BM ⎛⎫⎛⎫''=+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 正确．对于C ，在翻折过程中，点A '在底面BCDE 的射影不可能在交线BC 上， 因此不满足平面A BC '⊥平面BCDE ，因此C 不正确． 对于D ，平面A ED '⊥平面BCDE 时，设外接球球心为O ，如图，易知BC 中点H 即为四边形BCDE 的外接圆的圆心， 设球的半径为R ，OH d =，则有22233d R ⎫-+=⎪⎪⎝⎭⎝⎭，221d R +=，解得21312R =， 所以外接球的表面积为213π4π3S R ==，故D 正确． 故选：BD.【点睛】关于立体几何的问题的判断，需要注意结合几何体的图分析，一般涉及二面角的问题的求解，一种是采用定义的方法，分别在两个平面内找与交线垂直的线，围成的角即为二面角的平面角，再采用勾股定理或者余弦定理求解角；另一种是利用空间向量的方法，计算平面的法向量，再代入数量积的公式计算.三、填空题13．已知函数()2log ,01,02xx x f x x >⎧⎪=⎨⎛⎫≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，且()()10f a f +-=，则实数a =______．【答案】14【分析】先求()12f -=，得()2f a =-，结合解析式可得0a >，()2log 2f a a ==-，从而得解.【详解】因为()12f -=，()20f a +=， 所以()2f a =-，由()2log ,01,02xx x f x x >⎧⎪=⎨⎛⎫≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，知0x ≤时，()120xf x ⎛⎫= ⎪⎭>⎝，所以0a >，()2log 2f a a ==-，解得14a =． 故答案为：14. 14．已知圆()22:11E x y +=-的圆心与抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 重合，过点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，与圆E 交于M ，N 两点（其中A 点和M 点在第一象限），则AM BN ⋅=______． 【答案】1【分析】由题意，求得抛物线方程为24y x =，设直线:1l x ty =+，联立方程组，求得124y y =-，结合抛物线的定义求得1AM x =，2BN x =，根据()2221212124416y y y y BN M x A x ⋅==⋅=，即可求解. 【详解】由题意，圆()22:11E x y +=-的圆心坐标为(1,0)，可得12p=，即2p =， 所以抛物线方程为24y x =，设()11,A x y ，()22,B x y ，直线:1l x ty =+，代入抛物线方程，得2440y ty --=，所以124y y =-，因为圆E 的圆心为抛物线焦点F ，根据抛物线的定义知，1AF x =+，21BF x =+，故1AM x =，2BN x =，所以()2221212124416y y y y BN M x A x ⋅==⋅=， 因为124y y =-，所以1AM BN ⋅=． 故答案为：1.【点睛】与抛物线的焦点有关问题的解题策略：1、与抛物线的焦点有关的问题，一般情况下都与抛物线的定义有关：“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决与过抛物线焦点的弦有关问题的重要途径；2、特别提醒：主要灵活运用抛物线上一点(,)P x y 到焦点F 的距离：2PF px =+或2PF p y =+. 15．如图，点C 在以AB 为直径的圆周上运动（C 点与A ，B 不重合)，P 是平面ABC 外一点，且PA ⊥平面ABC ，2PA AB ==，过C 点分别作直线AB ，PB 的垂线，垂足分别为M ，N ，则三棱锥B CMN -体积的最大值为______．255【分析】根据垂直关系得出111332BMN V S CM BN MN CM =⋅=⨯⨯⋅⋅△，设BN x =，则可得()(56212620x x V x -=<<，再利用导数可求出最值.【详解】因为PA ⊥平面ABC ，CM ⊂平面ABC ，所以PA CM ⊥， 又CM AB ⊥，PAAB A =，所以CM ⊥平面PAB ，因为PB ⊂平面PAB ，所以CM PB ⊥，又因为CN PB ⊥，CM CN C ⋂=，所以PB ⊥平面CMN ， 又MN ⊂平面CMN ，所以PB MN ⊥， 三棱锥B CMN -体积111332BMN V S CM BN MN CM =⋅=⨯⨯⋅⋅△，由2PA AB ==，可知PAB △为等腰直角三角形，设BN x =，则MN x =，BM =，在直角三角形ABC 中，又CM AB ⊥，所以2CM AM BM =⋅，因为2AB =，所以2AM =，所以CM =故111326V BN MN CM x =⨯⨯⋅⋅=16x ==0x =<<，令56u x =-，则()45466x x x u ='-=，令0u '=，则x =当06x <<时，0u '>；当6x <<0u '<，故当6x =56u x =-取最大值，此时V 也取最大值，最大值为2max16V =⎝⎭125125618618=⨯=⨯=．. 【点睛】本题考查立体几何中的体积问题，解题的关键是证明垂直关系，得出11320V BN MN CM x =⨯⨯=⋅⋅<<，利用导数求出最值.四、双空题16．已知函数()sin 2sin f x x x =⋅，则()f x 的最小正周期为______；()f x 的最大值为______．【答案】π【分析】由正弦函数性质先确定()f x 的一个周期是π，然后证明π是最小正周期，在(0,)π上利用导数确定函数的单调性，结合(0)()0f f π==可得最小正周期，从而可得最大值．【详解】由题()sin 2sin f x x x =⋅，则()()()()πsin 2πsin πsin 2sin f x x x x x f x +=+⋅+=⋅-=⎡⎤⎣⎦， 从而π是函数的周期，当0πx ≤≤，()sin 2sin f x x x =⋅，则()6sin cos cos f x x x x ⎛'=+- ⎝⎭⎝⎭，设0παβ<<<，且cos α=，cos β=，则当0x α<<时，()0f x '>，()f x 单调递增， 当x αβ<<时，()0f x '<，()f x 单调递减， 当πx β<<时，()0f x '>，()f x 单调递增，又()()π00f f ==，所以函数的最小值正周期是π，最大值为()9f α=．故答案为：π． 【点睛】关键点点睛：本题考查求函数的最小正周期．方法是由部分函数的性质确定函数的一个周期，然后证明此周期是最小正周期即可，证明时可在一个周期内确定函数的性质，如单调性，以排除此区间内的周期性．从而得最小正周期．五、解答题17．在①2cos 3B =-；②7a =；③3b =，这三个条件中任选两个，补充在下面问题中，使问题中的三角形存在，并求ABC 的面积．问题：在ABC 中，a ，b ，c 是角A ，B ，C 所对的边，已知()sin sin sin B C A C -=-，补充的条件______和______．【答案】答案见解析.【分析】利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式，结合sin 0C ≠，可得1cos 2A =，结合A 的范围可求π3A =，若补充的条件中有①，则21cos 32B =-<-且(0,)B π∈，可得23B π>,推出A B π+>，矛盾；可得只能补充的条件为②③，利用余弦定理解得c的值，进而根据三角形的面积公式即可求解. 【详解】在ABC 中，πA B C ++=， 那么由()sin sin sin B C A C -=-， 可得()()sin sin sin A C C A C +-=-，sin cos cos sin sin sin cos cos sin A C A C C A C A C +-=-，∴2cos sin sin 0A C C =≠，∴1cos 2A =， ∴在ABC 中，π3A =． 补充的条件为②③时，三角形存在， 补充的条件为①②或①③时，三角形不存在， 理由如下：若补充的条件中有①，因为21cos 32B =-<-，且()0,πB ∈，所以2π3B >． 所以πA B +>，矛盾．所以ABC 不能补充的条件①，只能补充的条件为②③， 因为2222cos a b c bc A =+-，所以222173232c c =+-⨯⨯⨯，解得8c =，或5c =-（舍）．所以ABC 的面积1sin 2S bc A ==． 【点睛】关键点点睛：利用三角恒等变形推出π3A =，结合此条件可排除选择①是解决此问题的关键所在，选②③后利用余弦定理求边c ，根据三角形面积公式即可求解.18．已知数列{}n a 是等差数列，23a =且2372a a =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若10a >，设数列{}n b 满足231232222n n n b b b b a ++++=，n *∈N ，求数列{}n b 的前n 项和．【答案】（1）1n a n =+或()31n a n =-；（2）3122n n T =-. 【分析】（1）设等差数列的基本量1,a d ，根据条件建立方程组解出，可求解通项公式 （2）由数列{}2nn b ⋅的前n 项和为1n +，可先求出{}2nn b ⋅的通项公式（注意分类讨论），再求出n b ，再求出{}n b 的前n 项和. 【详解】（1）∵23a =，∴13a d +=， ①∵2372a a =，∴()()211226a d a d +=+， ②由①②得：112d a =⎧⎨=⎩或130d a =⎧⎨=⎩，当112d a =⎧⎨=⎩时，1n a n =+． 当130d a =⎧⎨=⎩时，()31n a n =-．所以数列{}n a 的通项公式为1n a n =+或()31n a n =-． （2）∵10a >，∴1n a n =+，2312322221n n b b b b n ++++=+， ①()231123122222n n b b b b n n --++++=≥， ②①－②得：21nn b =，2n ≥， 得12n nb =，2n ≥， 1n =时，11b =不满足上式，所以1,11,22n nn b n =⎧⎪=⎨≥⎪⎩， 所以2n ≥时，12231111222n n nT b b b =+++=++++211113122112212n n -⎛⎫- ⎪⎝⎭=+=--，当1n =时，11T =满足上式，所以3122n nT =-． 【点睛】1、利用基本量,根据通项公式和求和公式，列出方程组,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确；2、给出n S 与n a 的递推关系，求n a ，常用思路是：一是利用1n n n a S S -=-转化为n a 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为n S 的递推关系，先求出n S 与n 之间的关系，再求n a .19．如图，四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为菱形，160ABC A AC ∠=∠=︒，1AC BA ⊥．（1）证明：11A A A C =；（2）若二面角1A AC B --为直二面角，求直线BD 与平面1A BC 所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2）55． 【分析】（1）设BD 交AC 于点O ，连接1A O ，证明1A O 是AC 中垂线即可得出结论； （2）建立空间直角坐标系，求出平面1A BC 的法向量，利用线面夹角公式sin n BD n BDθ⋅=代值计算即可.【详解】（1）设BD 交AC 于点O ，连接1A O ，因为底面ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥，且O 为AC 及BD 的中点． 因为1AC BA ⊥，1BDBA B =，所以AC ⊥平面1A BO ．因为1AO ⊂平面1A BO ，所以1A O AC ⊥， 又AO CO =，所以11A A A C =． （2）因为1A O AC ⊥，BO AC ⊥，所以1A OB ∠即为二面角1A AC B --的平面角，因为二面角1A AC B --为直二面角，所以1A O OB ⊥， 从而OB ，OC ，1OA 两两垂直，如图，以O 为原点，OB ，OC ，1OA 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的坐标系，因为底面ABCD 为菱形，11A A A C =，160ABC A AC ∠=∠=︒， 所以ABC 和1A AC 均为等边三角形， 设2AB =，则)3,0,0B，()0,1,0C ，(13A ，()3,0,0D -．()3,1,0BC =-，(13,0,3BA =-，()23,0,0BD =-，设平面1A BC 的法向量为(),,n x y z =，可得100n BC n BA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即30330x y x z ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，不妨令1x =，则3y =1z =，可取()1,3,1n =，设直线BD 与平面1A BC 所成角为θ， 则235sin 523n BD n BDθ-⋅===⋅ 所以直线BD 与平面1A BC 5． 【点睛】利用向量求直线与平面所成的角有两个思路：（1）分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角).（2）通过平面的法向量来求.若直线l 与平面α的夹角为θ，直线l 的方向向量l 与平面α的法向量n 的夹角为β，则2πθβ=-或2πθβ=-，故有sin cos l n l nθβ⋅==⋅.20．设椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>的左顶点A 在抛物线22:8C y x =的准线上，F是椭圆1C 的右焦点，且椭圆1C 的焦距为2，过点F 且斜率不为0的直线l 与椭圆1C 交于D ，E 两点，直线AD 和AE 分别与直线4x =交于点M ，N ． （1）求椭圆1C 的方程；（2）22MF NF +是否存在最小值，若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）22143x y +=；（2）存在，36． 【分析】（1）求出抛物线的准线方程为2x =-，求得(2,0)A -，求得2a =，利用焦距求出c ，即可求得椭圆的方程；（2）设()()()004,,4,,,M m N n D x y ，直线4x =与x 轴交点为()4,0P ，写出AM 的方程，联立方程组，利用根与系数的关系及判别式，求出D 得坐标，然后推出直线FD 的斜率,FD FE k k ，利用数量积为0，转化为222MF NFMN +=，即可求解.【详解】（1）由题意，抛物线22:8C y x =的准线为2x =-，椭圆左顶点A 在抛物线22:8C y x =的准线上，所以()2,0A -，2a =，椭圆1C 的焦距为2，所以22c =，所以1c =，所以2223b a c =-=，所以椭圆1C 的方程为22143x y +=．（2）22MF NF +存在最小值为36，理由如下：设()4,M m ，()4,N n ，()00,D x y ，直线4x =与x 轴交点为()4,0P ，易知0m ≠，0n ≠，直线AM 的方程为()26my x =+， 联立得()2226143m y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，整理得()()222227441080m x m x m +++-=，则()()()2222442741080mm m ∆=-+->成立，由2024108227m x m --=+，解得20254227m x m-=+， 所以()002182627m my x m =+=+，所以22254218,2727m m D m m ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，当3m =时，22542127m m-=+，即DE x ⊥轴， 由椭圆的对称性可得3n =，即3MP FP NP ===， 又因为3PF =，90MPF NPF ∠=∠=︒，所以45MFP NFP ∠=∠=︒，90MFN ∠=︒，此时22236MF NFMN +==，当3m ≠时，3n ≠，直线FD 的斜率2222180********27FDmmm k m m m -+==---+， 同理269FE nk n=-， 因为DE 过点F ，所以226699m nm n =--，所以9mn =-，()3,FM m =，()3,FN n =，90FM FN mn ⋅=+=所以90MFN ∠=︒，222MF NFMN +=，3m ≠且3n ≠，所以6MN MP NP m n =+=+>==，22236MF NF MN +=>，综上可知，22MF NF +的最小值为36． 【点睛】解答圆锥曲线的定点、定值问题的策略：1、参数法：参数解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中核心变量（通常为变量k ）；②利用条件找到k 过定点的曲线0(),F x y =之间的关系，得到关于k 与,x y 的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标；2、由特殊到一般发：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.该网络公司每销售一件“小型会议”，“中型会议”，“大型会议”产品，可以获得的销售利润分别为150，350，550（单位：元）．（1）根据统计结果估计该网络公司每销售一件网络会议产品获得的平均销售利润； （2）该公司为了解月广告费用x （单位：万元）对月销售量y （单位：百件）的影响，对近5个月的月广告费用i x 和月销售量()1,2,3,4,5i y i =数据做了初步处理，发现k y a x =⋅可以作为月销售量y （百件）关于月广告费用x （万元）的回归方程，同时得到如下一些统计量的值．表中ln i i u x =，ln i i v y =，5115i i u u ==∑，5115i i v v ==∑．（ⅰ）建立y 关于x 的回归方程；（取 4.15964e =）（ⅱ）结合（ⅰ）的结果及所求的回归方程估计该公司应投入多少广告费，才能使得该产品月收益达到最大？（收益＝销售利润－广告费用）参考公式：对于一组数据()11,u v ，()22,u v ，…，(),n n u v ，其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()121ˆniii ni i u u v v u u β==--=-∑∑，ˆˆav u β=-． 【答案】（1）400元；（2）（ⅰ）1464y x =；（ⅱ）256万元.【分析】（1）根据题意，写出每销售一件网络会议产品的销售利润的分布列，计算期望；（2）对函数取对，换元以后代入最小二乘法计算回归方程；（3）根据收益＝销售利润－广告费用，列出函数关系式，换元以后求导，判断函数的单调性，即可得函数的最大值.【详解】（1）设每销售一件网络会议产品的销售利润为ξ元， 则ξ的所有可能取值为150，350，550， 三类产品的频率分别为0.15，0.45，0.4，所以()1500.15P ξ==，()3500.45P ξ==，()5500.4P ξ==， 所以随机变量ξ的分布列为：所以()1500.153500.455500.4400E ξ=⨯+⨯+⨯=， 故每销售一件网络会议产品的销售利润估计值为400元．（2）（ⅰ）由b y a x =⋅得，()ln ln ln ln by a xa b x =⋅=+，令ln u x =，ln y υ=，ln c a =，则c bu υ=+，由表中数据可得，()()()515210.41ˆ0.251.64iii ii u u bu u υυ==--===-∑∑， 则24.8716.30ˆˆ0.25 4.15955cbu υ=-=-⨯=， 所以，ˆ 4.1590.25u υ=+，即()144.159ˆln 4.1590.25ln ln y x e x =+=⋅， 因为 4.15964e =，所以14ˆ64y x =， 故所求的回归方程为1464y x =．（ⅱ）设月收益为z 万元，则()14256z E y x x x ξ=⋅-=-，设14t x =，()4256f t t t =-，则()()332564464f t t t '=-=-，当()0,4t ∈时，()0f t '>，()f t 在()0,4单调递增， 当()4t ,∈+∞时，()0f t '<，()f t 在()4,+∞单调递减，所以当4t =，即256x =时，z 有最大值为768，即该公司投入256万元广告费，能使得该产品每月的收益达到最大768万元． 【点睛】关于概率统计类的解答题，一是考查随机变量及其分布，正态分布问题，一般需要列分布列求解期望，需要注意题目是属于超几何分布问题还是二项分布问题；二是考查回归分析，利用最小二乘法求解回归方程，如果是非线性的情况需要换元变为线性的情况求解；三是考查样本估计总体，频率分布直方图，需要计算中位数、平均数和方差等数字特征；四是考查独立性检验问题，建立22⨯列联表，代入公式计算卡方比较大小判断.22．已知函数()()2ln 2xf x e x ax a =--∈R 在点11,22f⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线与y 轴垂直．（1）求实数a 的值；（2）()1f x kx ≥+对一切0x >恒成立，求实数k 的取值范围． 【答案】（1）22a e =-；（2）(],0-∞． 【分析】（1）求出导数，由题可知102f ⎛⎫=⎪⎭'⎝，即可求出a ； （2）可知2121f k⎛⎫≥+ ⎪⎝⎭，可得0k ≤，再利用导数求出()f x 的最小值112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即可判断.【详解】（1）()212xf x ea x'=--， ()f x 在12x =的切线斜率为12202f e a ⎛⎫=--= ⎪'⎝⎭，解得22a e =-． （2）由（1）知，()()2ln 222xf x e x e x =---，由()1f x kx ≥+对一切0x >恒成立，故有2121f k⎛⎫≥+⎪⎝⎭， 又112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故112k +≤，从而0k ≤，由()()2ln 222xf x ex e x =---，则()21222xf x ee x '=--+，()2214xf x e x''=+， 由()f x ''在()0,∞+上恒大于零，()f x '在()0,∞+上单调递增， 又102f ⎛⎫=⎪⎭'⎝，故102x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减； 12x >时，()0f x '>，()f x 单调递增，故()f x 有最小值112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 而当0k ≤时，112k x +≤恒成立，即()12f x kx ≥+恒成立， 故实数k 的取值范围为(],0-∞．【点睛】本题考查不等式的恒成立问题，解题的关键是利用导数求出函数()f x 的最小值，结合不等式恒成立得解.。

新高考五省百校联盟2021届高三上学期12月份联考数学试题（含答案解析）高考真题高考模拟高中联考期中试卷期末考试月考试卷学业水平同步练习新高考五省百校联盟2021届高三上学期12月份联考数学试题（含答案解析）1 已知集合，集合，则A∩B=（）．A．B．C．D．【答案解析】 C由，得，故．2 设复数z满足，则（）．A． B． C． D．【答案解析】 B，所以，所以．3 已知，，，则（）．A．B． C．D．【答案解析】 B，，故．4 函数的图象大致为（）．A．B．C．D．【答案解析】 C为奇函数，排除A，B；当时，，，排除D．5 已知，且，则的最小值是（）．A． B． C．20 D．25【答案解析】 D由得．所以．6 已知展开式的各项系数之和为64，则展开式中的系数为（）．A．10或2970B．10或1890C．10 D．1890【答案解析】 A展开式的各项系数之和为，解得或．当时，的系数为．当时，的系数为．故选A．7 意大利数学家斐波那契的名著《算盘书》中有一经典的“生兔问题”：一对小兔子（雌雄各一），过一个月就长成一对大兔子，大兔子每过一个月都要生出一对雌雄各一的小兔子，若照此生下去，且无死亡，问一年后有多少对兔子？每月兔子总数形成“斐波那契”数列：1，1，2，3，5，8，…，则一年后共有兔子（）．A．144对 B．232对 C．375对D．376对【答案解析】 A由题可知数列为1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，共144对．8 已知三棱锥P﹣ABC三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，且， M， N 分别为该三棱锥内切球和外接球上的动点，则M、N两点间的距离最大值为（）．A． B． C．D．【答案解析】 D由已知可将该三棱锥补成如图所示正方体．则三棱锥内切球球心，外接球球心，以及内切球与面的切点三点均在上，且．设内切球半径为，外接球半径为，则．由，，解得，故、两点间距离的最大值为．9 （多选题）关于平面向量，，，下列说法不正确的是（）．A．若，，则B．C．若，且，则D．若，则【答案解析】 ABD当时，A不成立；B显然错误；，则，即，即，故C正确；当时，D不成立．10 （多选题）2020年上半年受疫情影响，我国居民人均消费支出情况也受到了影响，现统计出2015-2020年上半年我国居民人均消费支出情况如图所示，则下列说法正确的是（）．A．从2015年到2019年我国居民人均消费支出逐年减少B．若2020年下半年居民消费水平与上半年相当，则全年消费与2018年基本一致C．若2020年下半年居民消费水平比上半年提高20％，则全年消费支出将超过2019年D．随着疫情的有效控制，2020年下半年居民消费水平比上半年有所提高，居民人均消费支出较2019年减少不会超过10％【答案解析】 BDA显然错误；，与2018年基本一致，B正确；，不会超过，C错误；％％，不会超过10％，D正确．11 （多选题）已知棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1，点M、N为正方体表面上两动点，则下列说法正确的是（）．A．当M为A1C1的中点时，有平面B．若点M，N均在线段A1C1上运动，且，则三棱锥的体积为定值C．以点D为球心作半径为的球面，则球面被正方体表面所截得的弧长之和为D．当点M在平面内运动，点N在平面内运动时（M，N不重合），与的夹角最大为【答案解析】 BC，但与，都不垂直，A错误；如图，，B正确；所截得的弧为3个半径为2的圆弧，弧长和为，C 正确；当点在上运动时，平面，，此时夹角为，D错误．12 （多选题）已知函数，为的一个零点，为f(x)图像的一条对称轴，f(x)右移个单位长度得到函数，则下列说法正确的是（）．A．B．若f(x)在上单调递减，则C．若，则D．若为偶函数，则的最小值为5【答案解析】 ABDA，，①，②由①②，得．又，故，所以，A正确．B，的单调递减区间为，，则，解得．又，所以．此时，B正确．C，，所以．所以，C错误．D，为偶函数，则，所以．因为，所以，D正确．13 已知，，则______．【答案解析】由已知可得，，则，．14 某班预备在今年的元旦晚会中排15个节目，其中弹唱类6个，小品、相声类4个，舞蹈类4个，魔术类1个，甲、乙两人计划从中各选1个节目参加，且两人不选择同一个节目，则两人选择同一类节目的概率为______．【答案解析】．15 已知命题，命题．若是的充分条件，则a的取值范围为______．【答案解析】由，解得．因为是的充分条件，所以在上恒成立．设，其图象如图．所以．16 已知函数，若函数使得方程恰有3个不同根，则实数a的取值范围为______．【答案解析】由已知得的图象如图(1)．(1)当时，要使得方程恰有3个不同根，则需存在，使得，即．又的图象如图(2)，故．(2)当时，由图(1)知需与函数相切．设切点为，则，即过点，故，解得．因为，故．所以．(3)当时，显然符合题意．综上，实数的取值范围为．17 ①；②；③，B为锐角．从以上三个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答．已知△ABC内角A、B、C的对边分别为a、b、c，______，若3，求△ABC周长的最大值．【答案解析】解：选择①．由正弦定理，得，即．因为，所以，即t．因为，所以．由余弦定理，得，即．由均值不等式知（“＝”成立）．故，即．所以周长，即周长的最大值为．选择②．由二倍角公式，得．解得或．在中，，故．所以．(下同)选择③．因为，所以，解得．因为，所以．(下同)18 在等差数列{an}中，，．（1）求数列{an}的通项公式；（2）对任意，将数列{an}中落入区间内的项的个数记为，求数列的前m项和．【答案解析】解：(1)因为数列是等差数列，所以．所以．设公差为，因为，所以．由可得，所以．所以．(2)由，得，所以，所以，所以，所以．19 已知函数．（1）若f(x)在点处的切线斜率为2，求f(x)在上的最大值；（2）若函数f(x)有两个不同的零点，求m的取值范围．【答案解析】解：(1)函数的定义域为，，所以，所以，所以，，所以在上单调递增．又，所以，所以在上单调递增．所以．(2)由可得．设，则，所以在上单调递增，在上单调递减，所以当时，有极大值，且，当时，，所以其图象如图所示．要使得有两个零点，即与的图象有两个不同的交点，需．所以的取值范围是．20 随着生产力和国家经济实力的提升，网购成为了人们心中首选的购物方式．方便快捷、价格实惠、商品丰富成为吸引消费者进行网购的主要因素．据统计，全国约有55％的居民进行网购，而其中年龄在40岁及以下的约占．（1）如果采用分层抽样的方式从“网购”与“非网购”居民中随机抽取40人，其中“网购”居民中年龄在40岁及以下的有16人，“非网购”居民中年龄在40岁及以下的有5人，试问是否有99.5％的把握认为是否网购与年龄有关？（2）“双十一”期间各大电商平台积极宣传促销，全网销售额达到2674亿元，其中天猫占比高达60％，若从网购居民中随机选取3人，用表示所选3人中在天猫购买商品的人数，求的分布列和数学期望．附：【答案解析】解：(1)由题意可得列联表如下：网购非网购合计40岁及以下1652140岁以上61319合计221840，所以有％的把握认为是否网购与年龄有关．(2)由题意可知，，，，．所以的分布列为123数学期望．21 如图（1），已知梯形ABCD，，，，将沿向上翻折，构成如图（2）所示的四棱锥，M为PB的中点．（1）证明：平面；（2）当四棱锥体积最大时，若二面角的余弦值为，求直线CM与平面所成角的余弦值．【答案解析】 (1)证明：如图，取的中点，连接，，，则．又，故．所以四边形为平行四边形，所以．又平面，平面，所以平面．(2)解：当平面时，四棱锥体积最大．又，故以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系．设，则，，，，则，．设平面的法向量，则，即．令，则．又平面的法向量，所以．解得．所以．设直线与平面所成角为，则，故，即直线与平面所成角的余弦值为．22 已知函数，．（1）当，且时，①试求函数f(x)的单调区间；②证明：．（2）当时，若是上的单调函数，求的最小值．【答案解析】 (1)解：①当，且时，．因为的定义域为，，又，则当时，，当时，，故函数，的单调增区间是，单调减区间是．②证明：由①知时，在处取得最大值，最大值为．所以，即．令，因为，所以，则只要证．令，，则，则当时，，当时，．故在上单调递增，在上单调递减，故，故成立，即．因此，时，．(2)解：，因为在上单调，所以或恒成立．当时，设，则，所以有两个相异的根，，且．不妨设，则当时，，即，所以在上单调递增；当时，，即，所以在上单调递减．所以不合题意．当时，则对恒成立．即在恒成立，设，只需．因为，当且仅当时取等号．所以，即．所以，当且仅当，时取等号．当，时，且不恒为0，此时在内单调递增．所以的最小值为．。

浙江省2020〜2021学年高三百校12月联考数学注意事项：1.本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答.答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、学号、姓名；2.本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页，全卷满分150分，考试时间120分钟.参考公式：球的表面积公式柱体的体积公式24S R π=V Sh=球的体积公式其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高343V R π=台体的体积公式其中R 表示球的半径()1213V h S S =++锥体的体积公式其中1S ，2S 分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高13V Sh=其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高第Ⅰ卷（共40分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{}04P x x =∈≤≤R ，集合{}220Q x x x =∈-<R ，则P Q ⋂=（）A.{}02x x ≤≤ B.{}02x x << C.{}04x x ≤≤ D.{}24x x ≤≤2.已知a ∈R ，若2i3i 1ia +=++，则a =（）A.2B.2-C.3D.43.在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.已知四棱锥S ABCD-为阳马，SD⊥底面ABCD，其三视图如图所示，正视图是等腰直角三角形，其直角边长为2，俯视图是边长为2的正方形，则该阳马的表面积为（）正视图侧视图俯视图A.8B.4C.8D.834.若实数x，y满足约束条件40,3540,5340,x yx yx y-+≥⎧⎪++≥⎨⎪+-≤⎩则2z x y=+的最大值为（）A.5-B.1C.2D.55.已知函数()22logf x x x=⋅，其图象可能是（）A B C D6.已知,a b∈R，条件p：a b>，条件q：lg lg1a b>+，则p是q的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.设1F，2F分别是椭圆1C和双曲线2C的公共焦点，P是的一个公共点，且12PF PF<，线段1PF的垂直平分线经过点2F，若1C和2C的离心率分别为1e，2e，则1211e e+的值为（）A.2B.3C.32D.528.已知数列{}n a 是首项为a ，公差为1的等差数列，数列{}n b 满足1nn na b a +=.若对任意的*n ∈N ，都有5n b b ≥成立，则实数a 的取值范围是（）A.[]6,5-- B.()6,5-- C.[]5,4-- D.()5,4--9.已知函数()()()22210,e e 0x ax x xf x ax x ⎧-+<⎪=⎨-+-≥⎪⎩有两个零点，则实数a 的取值范围是（）A.(),e +∞ B.()2e ,+∞C.()20,eD.()0,e 10.在正四面体ABCD 中，M ，N 分别为AD ，BC 的中点，P 为线段MB 上的动点（包括端点），记PN 与CD 所成角的最小值为α，PN 与平面BCD 所成角的最大值为β，则（）A.αβ= B.αβ> C.αβ< D.2παβ+=第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（本大题共7小题，单空每题4分，双空每题6分，共36分）11.已知5sin 5x =，且 0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则tan x =，sin 21cos 2sin sin 24x xx x ππ++=⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.12.已知()()4234501234512x x a a x a x a x a x a x +-=+++++，则3a =，024a a a ++=.13.抛物线24y x =-的焦点在直线l ：210x my ++=上，则m =，若焦点在y 轴上的双曲线的一条渐近线与直线l 平行，则双曲线的离心率为.14.一袋中有除颜色不同其他都相同的2个白球，2个黄球，1个红球，从中任意取出3个，有黄球的概率是，若ξ表示取到黄球球的个数，则()E ξ=.15.若实数x ，y 满足条件222x y -=，且2122yM x x+<，则M 的最小值为.060816.已知平面向量a r ，b r ，c r ，d u r 满足1a b ==r r ，2c =r ，0a b ⋅=r r ，1c d -=r u r ，则2a b d ++r r u r的取值范围为.17.已知1a >，若对于任意的1,3x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，不等式()4ln 3e ln xx x a a -≤-恒成立，则a 的最小值为.三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算过程）18.（本小题满分14分）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sin sin sin sin A C bB C a c-=-+.（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若ABC △为锐角三角形，且2a =，求ABC △周长的取值范围.19.（本小题满分15分）如图，在四棱锥P ABCD -中，60APB BPD APD ∠=∠=∠=︒，4PB PD BC CD ====，6AP =.（Ⅰ）证明：AP BD ⊥；（Ⅱ）求PC 与平面PAD 所成角的正弦值.20.（本小题满分15分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，()121n n a S n ++=+∈N ，数列{}n b 满足11b =，1n n n b b a +=+.（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n c 满足1nn n n a c b b +=⋅且()12211n n c c c b λ+++≥-+L 对任意n +∈N 恒成立，求实数λ的取值范围.21.（本小题满分15分）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的长轴长为4，焦距为（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设直线l ：y kx m =+与椭圆C 交于P ，Q 两个不同的点，且0OP OQ ⋅=uu u r uuu r，O 为坐标原点，问：是否存在实数λ，使得PQ OP OQ λ=⋅uu u r uu u r uuu r恒成立？若存在，请求出实数λ，若不存在，请说明理由.22.（本小题满分15分）已知函数()e sin 1xf x ax x =-+-.（Ⅰ）当2a =时，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）当12a ≤<时，证明：函数()f x 有2个零点.2020〜2021学年高三百校12月联考数学参考答案1.B 由题意可得{}02Q x x =<<，{}02P Q x x ⋂=<<.故选B.2.D由题意可得()()2i 3i 1i 24i a +=++=+，4a =.故选D.3.A 由本题三视图知，该阳马是底面为正方形的四棱锥，两个侧面是等腰直角三角形，另外两个侧面是直角三角形，2248S =++=.故选A.4.C可如图所示，数形结合可知，当直线2z x y =+经过点()2,2-时，max 2z =.故选C.5.A 根据题意，函数()f x 为偶函数，图象关于y 轴对称，有两个零点为1x =±，排除B 和C ，同时利用二次函数2y x =和对数函数2log y x =对图象在x →+∞的趋势影响，可知答案选A.6.B由题意可得，若lg lg 1a b >+，则100a b >>，故a b >；反之，若a b >，当其中有负数时，q 不成立.故选B.7.A根据题意，设双曲线2C 的方程为22221x y a b-=，焦点()2,0F c ，则2122PF F F c ==，122PF c a =-，121122c a a e e c c-+=+=.故选A.8.D根据题意，1n a n a =+-，111n n n n a b a a +==+，有511n a a ≥对任意*n ∈N 成立.因此数列{}n a 单调递增且50a <，60a >，所以56510,610,a a a a =+-<⎧⎨=+->⎩故54a -<<-.故选D.9.B当0x =时，()201e f =--，∴0x =不是函数()f x 的零点.当0x <时，由()0f x =，得221x a x -=，设()221x h x x -=，()()3210x h x x-'=<，则()h x 在(),0-∞上单调递减，且()0h x <.当0x >时，()0f x =等价于2e e x a x +=，令()2e e x g x x +=，()22e e e x x x g x x --'=，得()g x 在()0,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增，()2min (2)e g x g ==，()2e g x ≥.因为()f x 有2个零点，所以2e a >.故选B.10.C 最小角、最大角定理，PN 与CD 所成最小角为CD 与平面BCM 所成的角，即DCM ∠，PN与平面BCD 所成最大角为二面角M BC D --，在正四面体中，易得tan tan 3DCM α∠==，tan tan 2DNM β∠==，则αβ<.故选C.11.1212.16113.1614.9106515.2原式()2222121122244x y y y y x x x x -⎛⎫=+=-++ ⎪⎝⎭，令y t x =，有2222x x t -=，则22201x t =≥-，因此()1,1t ∈-，则原式2112244t t =-++<，M 的最小值为2.16.3⎡⎤+⎣⎦令()1,0a =r ，()0,1b =r ，(),c x y =r，设C 的坐标为(),x y ，C 的轨迹为圆心在原点，半径为2的圆上.设(),d x y '='u r，D 的坐标为(),x y ''，D 的轨迹为圆心在原点，大圆半径为3，小圆半径为1的圆环上.()22,1a b d d ++=---r r u r u r 表示D 与点()2,1P --的距离，由图可知，故2a b d ++r r u r的取值范围为3⎡⎤+⎣⎦.17.3e()()4ln 3e ln 3ln 3e ln x x x x a a x x a a x-≤-⇔-≤--()()3ln 3e ln e x x x x a a ⇔-≤-令()ln f x x x =-，()111x f x x x'-=-=，∴()f x 在[)1,+∞上单调递增.∵1a >，1,3x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，∴[)3,e 1,xx a ∈+∞，∴33e exx xx a a ⇔≤⇔≤恒成立，只需max ()a g x ≥.令()3e x x g x =，()33e xxg x -'=，∴当1x =时，()g x 的最大值为3e，∴3e a ≥，∴a 的最小值为3e.18.解：（Ⅰ）由sin sin sin sin A C b B C a c -=-+，利用正弦定理可得a c bb c a c-=-+，化为222b c a bc +-=.由余弦定理可得2221cos 22b c a A bc +-==，()0,A π∈，所以3A π=.（Ⅱ）在ABC △中由正弦定理得sin sin sin3a b cB Cπ==，又2a =，所以sin 3b B =，43432sin sin 333c C B π⎛⎫==- ⎪⎝⎭，故434324333sin sin cos 4sin 3333226b c B B B B B ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.因为02B π<<且()3B b c π≠≠，且B ，C 都是锐角，从而62B ππ<<且3B π≠，故2363B πππ<+<且62B ππ+≠，所以3sin 126B π⎛⎫<+< ⎪⎝⎭，()b c +∈，故周长a b c ++的取值范围是()2+.19.解：（Ⅰ）因为60APB APD ∠∠==︒，PD PB =，所以APB APD ≌△△，所以AD AB =.取BD 的中点E ，连接AE ，PE ，所以AE BD ⊥，PE BD ⊥，所以BD ⊥平面PAE .又AP ⊂平面PAE ，所以AP BD ⊥.（Ⅱ）解法1（几何法）：在APB △中，根据余弦定理得2222cos 6028AB AP PB AP PB =+-⋅⋅⋅︒=，所以AB =.又因为2BE =，所以AE =，PE =，所以222AP AE PE =+，即AE PE ⊥.设点C 到平面PAD 的距离为h ，PC 与平面PAD 所成角为θ，因为C PAD P ACD V V --=，即1133PAD ACD h S PE S ⋅=⋅⋅△△，所以23ACD PADPE S h S ⋅==△△，所以22sin 6h PC θ+==，所以PC 与平面PAD 所成角的正弦值为226+.解法2（坐标法）：在APB △中，根据余弦定理得2222cos 6028AB AP PB AP PB =+-⋅⋅⋅︒=，所以AB =.又因为2BE =，所以AE =，PE =，所以222AP AE PE =+，即AE PE ⊥.又因为PE DB ⊥，AE DB E ⋂=，AE ，DB ⊂平面ABCD ，所以PE ⊥平面ABCD .如图，以E 为原点，分别以ED ，EA ，EP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系E xyz -，则()A ，()2,0,0D，(P，()0,C -，()2,AD =-uuu r，(DP =-uu u r，(0,PC =--uu u r.0608设平面PAD 的法向量为(),,n x y z =r，则0,0,n AD n DP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r uuu r r uu u r即20,20,x x ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩令1y =，则x =，z =，所以n =r.设PC 与平面PAD 所成角为θ，22sin cos ,6PC n θ+==uu u r r ，所以PC 与平面PAD所成角的正弦值为26+.20.解：（Ⅰ），∵11a =，()121n n a S n ++=+∈N ，∴()121,2n n a S n n -+=+∈≥N ，∴()112n n n n a a S S +--=-，即12n n n a a a +-=，∴()13,2n n a a n n ++=∈≥N ，而21213a a =+=，∴213a a =，∴数列{}n a 是以1为首项，3为公比的等比数列，∴()13n n a n -+=∈N .∵113n n n b b -+=+，∴()()()112211n n n n n b b b b b b b b ---=-+-++-+L ()0112303133133311132n n n n ----⨯-+=++++=+=-L .（Ⅱ）()()11111134311231313131313122n n n n n n n n n n n n a c b b -----+⋅⎛⎫====- ⎪⋅++⎛⎫⎛⎫++++⎝⎭⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令123n n T c c c c =++++L ，则011211111112313131313131n n n T -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L112231n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭2131n =-+，∵()211n n T b λ≥-+对任意n +∈N 恒成立，∴12311211312n n λ-⎛⎫+-≥⨯-⋅+ ⎪+⎝⎭对任意n +∈N 恒成立，∴只需()1min2313n n λ-⎛⎫ ⎪- ⎪+⋅⎝⎭即可.()()211122313333n n n n y ----=-=+⋅⋅+，令131n t -=≥，则223y t t -=+，在1t =，即当1n =时取到最小值12-，∴12λ≤-.21.解：（Ⅰ）由题意可知2a =，c =2221b a c =-=，∴椭圆C 的标准方程为2214x y +=.（Ⅱ）∵0OP OQ ⋅=uu u r uuu r，故OPQ △为直角三角形，设原点到直线l 的距离为d ，由1122OPQ S PQ d OP OQ =⋅⋅=⋅⋅uu u r uu u r uuu r △，要求实数λ，使得PQ OP OQ λ=⋅uu u r uu u r uuu r 恒成立，即1dλ=.设点()11,P x y ，()22,Q x y ，联立方程221,4,x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩∴()222148440k x kmx m +++-=，∴12221228,1444,14km x x k m x x k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩()()22222(8)41444014km k m m k ∆=-+->⇒<+.∴()22222222222212121222448441414m k k k m m k m k m y y k x x km x x m k k --++-+⋅=+++==++，∵0OP OQ ⋅=uu u r uuu r ，∴2222212122224445440141414m k m m k x x y y k k k --+--+=+==+++，∴22544m k =+，d =，∴222415m d k ==+，∴152d λ==.22.解：（Ⅰ）当2a =时，()e 2sin 1x f x x x =-+-，则()e 2cos x f x x =-+'，可得()e sin x f x x ='-'.当(],0x ∈-∞时，可得e 1x ≤，所以()1cos 0f x x ≤-+≤'，所以()f x 在(],0-∞单调递减；当()0,x ∈+∞时，e 1x >，所以()1sin 0f x x >-'≥'，所以()f x '在()0,+∞单调递增，所以()()00f x f ''>=，所以()f x 在()0,+∞单调递增.综上可得，()f x 在(],0-∞单调递减，在()0,+∞单调递增.（Ⅱ）当0x =时，()00e 01sin 00f =--+=，所以0x =是()f x 的一个零点，由()e cos x f x a x =-+'，令()e cos x g x a x =-+，可得()e sin x g x x '=-.因为12a ≤<，①当()0,x ∈+∞时，()0e sin e sin 0x g x x x >-'=-≥，()f x '在()0,+∞单调递增，则()()020f x f a >=-'>'，()f x 在()0,+∞单调递增，()()00f x f >=，所以()f x 在()0,+∞无零点.②当(],x π∈-∞-时，ax π-≥，有()e sin 10x f x x π≥++->，所以()f x '在(],π-∞-无零点.③当(),0x π∈-时，sin 0x <，()0g x '>，()f x '在(),0π-单调递增，又()020f a ='->，()e 10f a ππ-'-=--<，所以存在唯一()0,0x π∈-，使得()00f x '=.当()0,x x π∈-时，()0f x '<，()f x 在()0,x π-单调递减，当()0,0x x ∈时，()0f x '>，()f x 在()0,0x 单调递增，又()e 10f a πππ--=+->，()()000f x f <=，所以()f x 在(),0π-有1个零点.综上，当12a ≤<时，()f x 有2个零点.。

2021年百校联盟普通高中高考数学教育教学质量监测试卷（全国Ⅱ卷） 一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 若集合A ={x|x <2}，B ={x|x >−1}，则A ∩(∁R B)=( )A. {x|−1<x <2}B. {x|x ≤−1}C. {x|−1≤x <2}D. {x|≥2}2. (2+5i)(1−2i)=( )A. −12+iB. −12−iC. 12−iD. 12+i3. 国家统计局后发布的2020年煤炭进口月度走势图如图所示，现有如下说法：①2020年7月至11月期间，我国月煤炭的进口量逐渐减少； ②2020年12月煤炭进口量比11月份增加2732万吨； ③2020年3月至10月煤炭进口量的月平均值超过2000万吨． 则上述说法正确的个数为( )A. 0B. 1C. 2D. 34. 若a >b >2，则下列不等式恒成立的是( )A. 1a−2>1bB. lg(a−2b−2)<0 C. √a −13>√b −13D. 12a >12b5. 已知数列{a n }是等差数列，若a 4+2a 17<a 1<3a 13，则使得a n >0成立的最小正整数n 的值为( )A. 17B. 18C. 19D. 206. 为了庆祝学校的元旦晚会，甲、乙、丙、丁计划报名参加晚会的相声、小品、歌唱、舞蹈这4个节目，每个同学限报1个节目，在乙、丙、丁三个同学报的节目与甲不同的条件下，每个同学报的节目都不相同的概率为( )A. 332B. 227C. 23D. 297. 已知直线l ：x −my +3=0将圆C ：x 2+y 2−6x −4y +2=0的面积平分，过点M(−5,m)作圆C 的切线，切点为N ，则|MN|=( )A. 3√3B. 3√6C. 3√5D. 6√28. 已知函数f(x)=x 2(1+cosx)+2x 2+3x+1x，则下列说法正确的是( )A. 函数f(x)的图象关于原点对称B. 函数f(x)在(0,+∞)上单调递增C. 函数y =f(x)−5在(0,+∞)上无零点D. 函数f(x)的图象关于直线x =3对称9. 已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，记双曲线C 过一、三象限的渐近线的倾斜角为α，若点M 在过原点且倾斜角为α2的直线上，且|MF 1|−|MF 2|=2α，∠OMF 2=90°，则双曲线C 的离心率为( )A. 2√5−2B. √5−1C. 2√5−1D. √510. 已知四棱锥S −ABCD 中，SA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，SA =AB =6，平面α过SB ，CD ，SD 的中点，则平面α截四棱锥S −ABCD 所得的截面面积为( )A.454√6B. 27√62C. 9√6D. 12√611. 已知函数f(x)=2(2|cosx|+cosx)⋅sinx ，则( )A. 当x ∈[0,3π2]时，f(x)∈[0,3] B. 函数f(x)的最小正周期为π C. 函数f(x)在[π,5π4]上单调递减D. 函数f(x)的对称中心为(2kπ,0)(k ∈Z)12. 若关于x 的不等式2e x+2>x 2+2(1−a)x +a 2在(0,+∞)上恒成立，则实数a 的取值范围为( )A. [−2e,2e]B. [−√2e,√2e]C. [−e,e]D. [−√2e,√2e]二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知平面向量m⃗⃗⃗ =(3,−2)，n ⃗ =(2,λ)，若m ⃗⃗⃗ ⊥n ⃗ ，则|m ⃗⃗⃗ +n ⃗ |= ______ ． 14. 已知抛物线C ：y 2=2px(p >0)的焦点为F ，若抛物线C 与圆O ：x 2+y 2=12交于P ，Q 两点，且|PQ|=4√2，则△PFO 的面积为(O 为坐标原点) ______ ．15. 已知三棱锥S −ABC 外接球的球心O 在线段SA 上，若△ABC 与△SBC 均为面积是√3的等边三角形，则三棱锥S −ABC 的体积为______ ．16. 已知首项为1的数列{a n }的前n 项和为S n ，若λS n+1+S n S n+2=λS n +S n+12，且数列a 1，a 2，…，a k (k ≥3)成各项均不相等的等差数列，则k 的最大值为______ ． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知△ABC中，tan(5π4−A)=13．(1)求sin2A+cos2A的值；(2)若△ABC的面积为4，AB=4，求BC的值．18.已知某品牌的蛋糕店在A地区有两家连锁分店，每个分店配有2名员工，且每个分店中至少有1人上班时，该分店可以正常营业；若某一家分店的员工全部休息，另一家分店的员工全部上班，则必须对员工进行调岗，将1人调至员工全部休息的分店，使得两店都正常营业；若人手不够，则挂出“今日休息”的牌样．(1)已知元旦这天，每名员工正常上班的概率均为13，求元旦这天不发生调岗的概率；(2)已知元旦这天，每名员工正常上班的概率均为12，记挂出“今日休息”的牌样的店数为ξ，求ξ的分布列和数学期望E(ξ)．19.如图所示，已知三棱柱ABC−A1B1C1，AC⊥CB，C1C⊥CB，∠ACC1=120°，四边形ACC1A1为菱形，∠CAB=45°，M，N分别是AA1，B1C1的中点．(1)求证：A1N//平面BC1M；(2)求直线BN与平面BC1M所成角的正弦值．20. 已知函数f(x)=(1+x)lnx +1x ．(1)求曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线方程； (2)求证：f(x)≥x ．21. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为√22，M ，为椭圆C 上两个动点，A(0,3)，当M ，N 分别为椭圆C 的左，右顶点时，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =5． (1)求椭圆C 的方程；(2)若线段MN 的垂直平分线l 的方程为x −y +λ=0，且AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ <283，求实数λ的取值范围．22. 已知在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =−ty =1−√3t(t 为参数)，曲线C 的参数方程为{x =2cosθy =2+2sinθ(θ为参数).以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，其中点M 的极坐标为(1,π2)．(1)求直线l 以及曲线C 的普通方程；(2)若直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，求|1|MA|−1|MB||的值．23. 已知函数f(x)=|2x −3|+|x +1|．(1)作出函数f(x)的图象；(2)若关于x 的不等式f(x)+x 2≥3x +a 恒成立，求实数a 的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】利用集合补集与交集的定义求解即可．本题考查了集合的运算，主要考查了集合补集与交集的求解，解题的关键是掌握补集与交集的定义，属于基础题．【解答】解：因为B={x|x>−1}，所以∁R B={x|x≤−1}，又集合A={x|x<2}，则A∩(∁R B)={x|x≤−1}．故选：B．2.【答案】D【解析】解：(2+5i)(1−2i)=2−4i+5i+10=12+i，故选：D．利用复数的运算法则即可得出．本题考查了复数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：根据柱状图得知：2020年7月至11月期间，我国月煤炭的进口量逐渐减少；故①正确；2020年12月煤炭进口量比11月份增加3908−1176=2732万吨，故②正确；≈2316.25>2000，超过2000万吨，故③正2020年3月至10月煤炭进口量的月平均值为2788+3005+...+13738确．故选：D．直接利用柱状图，平均值的求法的应用判断①②③的结论．本题考查的知识要点：柱状图，平均值的求法，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：当a =5，b =3时，1a−2=1b ，故A 选项错误， 当a =102，b =12，可得lg(a−2b−2)=lg10=1>0，故B 选项错误， 由指数函数的单调性可知，12a <12b ，故选项D 错误． 故选：C ．根据已知条件，结合特殊值赋值法，以及指数函数的单调性，即可求解．本题考查了不等式的基本性质、以及指数函数的单调性，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：设等差数列{a n }的公差为d ，由{a 4+2a 17<a 1a 1<3a 13得{2a 1+35d <0a 1+18d >0，即{a 18+a 19<0a 19>0，则a 18<0<a 19，所以使得a n >0成立的最小正整数n 的值为19． 故选：C ．设等差数列{a n }的公差为d ，根据{a 4+2a 17<a 1a 1<3a 13易分析出数列{a n }是由负到正的递增数列，所以可确定使得a n >0成立的最小正整数n 的值．本题主要考查等差数列的通项与性质，考查分析推理和运算求解能力，属于基础题．6.【答案】D【解析】解：根据题意，甲、乙、丙、丁计划报名参加晚会的相声、小品、歌唱、舞蹈这4个节目，若乙、丙、丁三个同学报的节目与甲不同，有C 41×3×3×3种情况，其中每个同学报的节目都不相同的情况有A 44种，则在乙、丙、丁三个同学报的节目与甲不同的条件下，每个同学报的节目都不相同的概率P =A 44C 41×3×3×3=29； 故选：D ．根据题意，由分步计数原理计算“乙、丙、丁三个同学报的节目与甲不同”和“每个同学报的节目都不相同”的情况数目，由古典概型公式计算可得答案．本题考查古典古典概型的计算，涉及排列组合的应用，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：由圆C：x2+y2−6x−4y+2=0，得(x−3)2+(y−2)2=11，则圆心坐标为(3,2)，代入直线l：x−my+3=0，得3−2m+3=0，即m=3，故M(−5,3)，则|MN|=√|MC|2−r2=√65−11=3√6．故选：B．化圆的方程为标准方程，求得圆心坐标，代入直线方程可得m值，得到M的坐标，再由两点间的距离公式及勾股定理求解．本题考查直线与圆的位置关系，考查两点间距离公式的应用，是基础题．8.【答案】C【解析】解：函数f(x)=x2(1+cosx)+2x2+3x+1x =x(1+cosx)+2x+1x+3，易知：y=x(1+cosx)和函数y=2x+1x为奇函数，且函数的图象关于原点对称，故函数f(x)=x2(1+cosx)+2x2+3x+1x，关于(0,3)对称，故AD错误；由于当x>0时，y=x(1+cosx)≥0，且3+2x+1x≥2√2+3，即f(x)>5，故函数y=f(x)−5在(0,+∞)上无零点，故C正确．由于函数满足f(0.1)>13>f(π2)，故B错误．故选：C．直接利用函数的图象和性质，函数的单调性和对称性的关系判断A、B、C、D的结论．本题考查的知识要点：函数的图象和性质，函数的单调性和对称性的关系，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．9.【答案】B【解析】解：由题意设P在第一象限，延长F2M交直线y=tanα⋅x(0<α<π2)于点P，由∠OMF2=90°可得M为PF2是中点，|OP|=|OF2|=c，设P(x,ba x)，则x2+b2a2x2=c2，可得x2=a2c2a2+b2=a2，所以x=a，所以可得P(a,b)则M(a+c2,b2)代入双曲线的方程可得：x2a2−y2b2=1中，可得：(a+c2)2a2−(b2)2b2=1，解得：e=ca=√5−1，故选：B．由题意可得|MF1|−|MF2|=2α可得M在双曲线上，延长F2M交渐近线于P点，可得M为PF2的中点，可得M的坐标，代入双曲线的方程可得a，c之间的关系，求出双曲线的离心率．本题考查双曲线的性质，及角平分线的性质，属于中档题．10.【答案】A【解析】解：分别取SB，BC，CD，SD的中点E，F，G，H，线段SA上靠近S的四等分点I，则平面EFGHI 即为平面α，而EF=HG=3√3，FG=3√2，IE=IH=3√52，故所求截面面积为3√2×3√3+12×3√2×3√32=454√6，故选：A．作图取取SB，BC，CD，SD的中点E，F，G，H，线段SA上靠近S的四等分点I，可得平面EFGHI即为平面α，数形结合即可求得截面面积本题考查平面的基本性质及截面面积求法，数形结合思想的应用，属于基础题．11.【答案】C【解析】解：当cosx≥0，即x∈[−π2+2kπ,π2+2kπ]时，f(x)=2(2cosx+cosx)⋅sinx=6sinxcosx=3sin2x．当cosx<0，即x∈(π2+2kπ,3π2+2kπ)时，f(x)=2(−2cosx+cosx)⋅sinx=−2sinxcosx=−sin2x．即f(x)={3sinx,−π2+2kπ≤x≤π2+2kπ−sin2x,π2+2kπ<x<3π2+2kπ，k∈Z．作出函数f(x)的大致图像如下图所示：当x∈[0,3π2]时，f(x)∈[−1,3]，故A错；函数f(x)的最小正周期为2π，故B错；函数f(x)的对称中心为(kπ,0)(k∈Z)，故D错．故选：C．遇见有绝对值的函数，首先考虑去绝对值．再利用正弦型函数的性质判断周期、单调性及对称中心．该题考查三角函数二倍角公式的利用，及正弦型函数的周期性、单调性、对称性等性质，属于中等题型．12.【答案】D【解析】解：不等式不等式2e x+2>x2+2(1−a)x+a2化为：e x+2−12(x−a)2−x>0．令g(x)=e x+2−12(x−a)2−x，g′(x)=e x+2−x−1+a，可得函数g′(x)在(0,+∞)上单调递增，①a≥1−e2时，g′(x)≥0，函数g(x)在(0,+∞)上单调递增，∴g(0)=e2−12a2≥0，解得−√2e≤a≤√2e.②a<1−e2时，g′(0)<0，∃x0∈(0,+∞)，使得g′(x0)=0，且函数g(x)在(0,x0)上单调递减，g(0)=e2−12a2<e2−12(1−e2)2<0，∴∃x∈(0,x0)，使得g(x)<0，不符合题意，舍去．综上可得：−√2e≤a≤√2e.故选：D．不等式不等式2e x+2>x2+2(1−a)x+a2化为：e x+2−12(x−a)2−x>0.令g(x)=e x+2−12(x−a)2−x，g′(x)=e x+2−x−1+a，可得函数g′(x)在(0,+∞)上单调递增，对a分类讨论，利用函数的单调性即可得出结论．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．13.【答案】【解析】解：∵m⃗⃗⃗ ⊥n⃗，m⃗⃗⃗ =(3,−2)，n⃗=(2,λ)，∴m⃗⃗⃗ ⋅n⃗=0，即6−2λ=0，解得λ=3，∴m⃗⃗⃗ +n⃗=(5,1)，∴|m⃗⃗⃗ +n⃗|=√52+12=√26．故答案为：√26．根据已知条件，利用向量垂直的性质求出λ，再求出|m⃗⃗⃗ +n⃗|即可．本题考查了向量垂直的性质，以及向量的模，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．14.【答案】√2【解析】解：不妨设P在第一象限，则y P=2√2，代入x2+y2=12中，解得：x P=2，故P(2,2√2)，×2√2×1=√2．代入抛物线方程可得p=2，所以△PFO的面积为：12故答案为：√2．求出P的坐标，代入抛物线方程，求解p，即可得到抛物线方程．本题考查抛物线的简单性质的应用，圆的方程的应用，是中档题．15.【答案】【解析】解：如图，∵三棱锥S−ABC外接球的球心O在线段SA上，∴OS=OA=OB=OC，又△ABC与△SBC均为面积是√3的等边三角形，设BC=a，则12a2×√32=√3，得a=2，即AB=BS=AC=SC=BC=2，可得BO⊥SA，CO⊥SA，进一步求得∠AB=∠ACS=90°，得到SA=2√2，设BC中点D，连接AD，SD，求得AD=SD=√3．且BC⊥AD，BC⊥SD，又SD∩AD=D，∴BC⊥平面SDA，在△SDA中，∵SD=AD=√3，SA=2√2，∴S△DSA=12×2√2×√3−2=√2，则V S−ABC=13S△DSA×BC=13×√2×2=2√23．故答案为：2√23．由已知可得AC⊥SC，AB⊥SB，再由已知三角形面积求得等边三角形的边长，进一步得到SA，取BC中点D，连接SD，AD，证明BC⊥平面SDA，求出三角形SDA的面积，代入棱锥体积公式可得三棱锥S−ABC 的体积．本题考查多面体的外接球，考查多面体体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．16.【答案】4【解析】解：数列a1，a2，…，a k(k≥3)成各项均不相等的等差数列，公差为d，则d≠0，a1=1，S1=a1=1，k=3，则a2=1+d，S2=a1+a2=2+d，a3=1+2d，S3=3+3d，因为λS n+1+S n S n+2=λS n+S n+12，当n=1时，λS2+S2S2=λS1+S22，可得λ(1+d)=d2+d+1①，同理，当k=4，n=2时，有λ(1+2d)=3d2+2d+1②，由①②可得，d=−2，λ=−3，当k=4时，符合题意，当k=5时，不符合题意．故k的最大值为4．故答案为：4．由已知的等式，利用赋值法，n和k进行取值，得到关于λ和d的关系，求出λ和d的值，然后验证即可得到答案．本题考查数列递推公式的应用，解题的关键是利用递推关系求出d 和λ的值，属于中档题．17.【答案】解：(1)∵tan(5π4−A)=tan(π4−A)=1−tanA 1+tanA =13，∴tanA =12，∴sin 2A +cos2A =sin 2A +cos 2A −sin 2A =cos 2A =cos 2Asin 2A+cos 2A =1tan 2A+1=45． (2)∵tanA =12>0，A ∈(0,π)， ∴sinA =√55，cosA =2√55， 又S =12bcsinA =4，c =AB =4， ∴b =2√5，由余弦定理知，a 2=b 2+c 2−2bccosA =20+16−2×2√5×4×2√55=4，∴a =2，即BC =2．【解析】(1)结合诱导公式和两角差的正切公式，可得tanA =12，再由二倍角公式和“同除余弦可化切”的思想，即可得解；(2)先根据三角函数的定义求得sin A 和cos A 的值，再由面积公式知b =2√5，然后根据余弦定理，即可得解．本题考查解三角形与三角恒等变换的综合应用，熟练掌握余弦定理，二倍角公式和两角差的正切公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．18.【答案】解：(1)记元旦这天发生调岗为事件M ，则P(M)=C 21×13×13×23×23=881， 故元旦这天不发生调岗的概率=1−P(M)=1−881=7381． (2)根据题意，ξ的所有可能取值为0，1，2．则P(ξ=2)=14×14=116，P(ξ=1)=14×12+12×14=14， ∴P(ξ=0)=1−P(ξ=1)−P(ξ=2)=1−14−116=1116，∴ξ的分布列为：∴E(ξ)=0×1116+1×14+2×116=38．【解析】(1)记元旦这天发生调岗为事件M ，利用互斥事件、相互独立事件概率计算公式可得P(M)，再利用对立事件概率计算公式即可得出元旦这天不发生调岗的概率．(2)根据题意，ξ的所有可能取值为0，1，2.利用互斥事件、相互独立事件概率计算公式即可得出分布列及其数学期望．本题考查了随机变量的分布列及其数学期望、互斥事件、相互独立事件概率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.【答案】(1)证明：取线段BC 1的中点P ，连接PM ，PN ，因为N 为B 1C 1的中点，所以PN//BB 1，且PN =12BB 1， 又M 为A 1A 的中点，所以A 1M//BB 1，且A 1M =12BB 1，所以PN//A 1M ，且PN =A 1M ，所以四边形A 1NPM 是平行四边形， 所以A 1N//PM ，又PM ⊂平面BC 1M ，A 1N ⊄平面BC 1M ，所以A 1N//平面BC 1M ； (2)解：作A 1O ⊥AC 于点O ，因为∠ACC 1=120°，所以∠AA 1O =30°， 所以AO =12A 1A =12AC ，即O 为AC 的中点；因为AC ⊥CB ，C 1C ⊥CB ，AC ∩CC 1=C ，所以BC ⊥平面A 1ACC 1， 所以BC ⊥A 1O ；因为AC ∩BC =C ，所以A 1O ⊥平面ABC ；故以点O 为坐标原点，OA ，OA 1所在直线分别为x 轴和z 轴，以过点O 且平行于BC 的直线为y 轴，建立空间直角坐标系如图所示，令AA 1=AC =BC =2a ，则B(−a,2a ，0)，C 1(−2a,0,√3a)，M(12a,0,√32a)，N(−2a,a,√3a)，所以BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−a,−a,√3a)，BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(32a,−2a,√32a)，C 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(52a,0,−√32a)，设平面BC 1M 一个法向量为m ⃗⃗⃗ =(x,y,z)，则{(x,y,z)⋅(32a,−2a,√32a)=0(x,y,z)⋅(52a,0,−√32a)=0，得{32x −2y +√32z =052x −√32z =0，取x =√3，y =2√3，z =5，所以m ⃗⃗⃗ =(√3,2√3,5)， 故直线BN 与平面BC 1M 所成角的正弦值sinθ=|m ⃗⃗⃗ ⋅BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|BN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√610．【解析】(1)取线段BC 1的中点P ，连接PM ，PN ，可得四边形A 1NPM 是平行四边形，由A 1N//PM 可得答案；(2)作A 1O ⊥AC 于点O ，得BC ⊥平面A 1ACC 1，A 1O ⊥平面ABC ，以点O 为坐标原点，OA ，OA 1所在直线分别为x 轴和z 轴，以过点O 且平行于BC 的直线为y 轴，建立空间直角坐标系，求出平面BC 1M 一个法向量m⃗⃗⃗ 再求与BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角可得答案． 本题考查了线面平行的证明、线面角的向量求法，解题的关键点是建立空间直角坐标系，利用向量的夹角公式求解，考查了学生的空间想象能力和计算能力，是中档题．20.【答案】解：(1)依题意，f′(x)=lnx +1x +1−1x 2，故f′(1)=1，又f(1)=1，故所求切线方程为y −1=x −1，即y =x ． (2)证明：由f(x)≥x ，得(1+x)lnx +1x ⩾x ，即lnx +1−x x⩾0，令g(x)=lnx +1x −1，则g′(x)=1x −1x 2=x−1x 2，当0<x <1时，g′(x)<0，g(x)单调递减；当x >1时，g′(x)>0，g(x)单调递增， 所以g(x)min =g(1)=0，即g(x)⩾0恒成立， 所以f(x)⩾x 恒成立．【解析】(1)根据导数的几何意义有k =f′(1)=1，进而结合点斜式求出切线方程； (2)把要证的不等式等价于lnx +1−x x⩾0，构造函数g(x)=lnx +1x−1，求g(x)的最小值即可求证原不等式．本题考查导数的几何意义，考查利用导数研究函数最值，考查不等式的证明，考查数学运算和数学抽象的核心素养，属于中档题．21.【答案】解：(1)由题意可得M(−a,0)，N(a,0)，则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−a,−3)⋅(a,−3)=−a 2+9=5，解得a 2=4， 所以e =c a=√1−b 2a2=√22，解得b 2=2，所以椭圆C 的方程为x 24+y 22=1．(2)设直线MN 的方程为y =−x +n ，联立 {y =−x +nx 24+y 22=1，得3x 2−4nx +2(n 2−2)=0，由△=(−4n)2−4×3×2(n 2−2)>0，得n 2<6， 设M(x 1−x 1+n)，N(x 2,−x 2+n)， 则x 1+x 2=4n3，x 1x 2=2(n 2−2)3，设MN 的中点为P(x 0,−x 0+n)，则x 0=x 1+x 22=2n3，−x 0+n =n3， 由于点P 在直线x −y +λ=0上，所以n3=2n 3+λ，得n =−3λ，代入n 2<6，得9λ2<6，所以−√63<λ<√63①，因为AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1,−x 1+n −3)，AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2,−x 2+n −3)， 所以AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1,−x 1+n −3)⋅(x 2,−x 2+n −3)=4(n 2−2)3−4n(n−3)3+(n −3)2=3n 2−6n+193，由AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ <283，得3n 2−6n +19<28， 解得−1<n <3， 所以−1<−3λ<3， 即−1<λ<13②， 由①②得−√63<λ<13，所以实数λ的取值范围为(−√63,13).【解析】(1)由题意可得AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−a,−3)⋅(a,−3)=5，解得a 2，又e =c a =√1−b 2a 2=√22，解得b 2，即可得出答案．(2)设直线MN 的方程为y =−x +n ，联立椭圆的方程，由△>0，得n 2<6，设M(x 1,−x 1+n)，N(x 2,−x 2+n)，结合韦达定理可得x 1+x 2，x 1x 2，设MN 的中点为P(x 0,−x 0+n)，则x 0=x 1+x 22=2n3，−x 0+n =n3，把点P 代入直线x −y +λ=0上，得n =−3λ，代入n 2<6，推出−√63<λ<√63①，由数量积计算AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ <283，得3n 2−6n +19<28，解得−1<λ<13②，由①②，即可得出实数λ的取值范围．本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．22.【答案】解：(1)由{x =−ty =1−√3t (t 为参数)，消去参数t 可得y =√3x +1，由{x =2cosθy =2+2sinθ(θ为参数)，可得{x =2cosθy −2=2sinθ，消去参数θ，得x 2+(y −2)2=(2cosθ)2+(2sinθ)2=4，即x 2+y 2−4y =0， ∴直线l 的普通方程为y =√3x +1，曲线C 的普通方程为x 2+y 2−4y =0； (2)由(1,π2)，得M(0,1)，设直线l 的参数方程为{x =12t y =1+√32t(t 为参数)， 设点A 、B 对应的参数分别t 1、t 2，将直线l 的参数方程代入x 2+y 2−4y =0， 得t 2−√3t −3=0，△=3+4×3=15， ∴t 1t 2=−3，t 1+t 2=√3， 由于直线l 过M(0,1)， 故|1|MA|−1|MB||=||MB|−|MA|||MA|⋅|MB|=|t 1+t 2||t 1t 2|=√33．【解析】(1)分别把直线l 与曲线C 的参数方程中的参数消去，可得直线l 与曲线C 的普通方程； (2)写出直线l 参数方程的标准形式，代入曲线C 的普通方程，化为关于t 的一元二次方程，由参数t 的几何意义及根与系数的关系求得|1|MA|−1|MB||的值．本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，考查运算求解能力，是中档题．23.【答案】解：(1)f(x)=|2x −3|+|x +1|={2−3xx <−14−x,−1≤x ≤323x −2,x >32，作出f(x)的图象如右上图所示；(2)由题意，如图所示，|2x −3|+|x +1|+x 2≥3x +a ， 即|2x −3|+|x +1|≥−x 2+3x +a 恒成立，结合y =f(x)的图象和二次函数y =−x 2+3x +a 的图象可得， 临界状态为y =−x 2+3x +a 过y =f(x)的最低点(32,52)， 将(32,52)代入y =−x 2+3x +a 中，解得a =14， 所以实数a 的取值范围是(−∞,14].【解析】(1)写出f(x)的分段形式，作出f(x)的图象；(2)由题意可得|2x −3|+|x +1|≥−x 2+3x +a 恒成立，结合y =f(x)的图象和二次函数y =−x 2+3x +a 的图象可得，求得二次函数经过点(32,52)时a 的值，结合图象可得所求范围．本题考查含绝对值的图象和函数恒成立问题解法，考查分类讨论思想和数形结合思想、运算能力，属于中档题．。

百校联盟2021 届普通高中教育教学质量监测考试全国卷（新高考）数学注意事项：1. 本试 卷分第1 卷（选择 题 ）和第 I[卷（非选择 题）两部 分．2. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置．3. 全部答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．4. 本试卷满分 150 分，测试 时间 120 分钟．5. 考试范围:必修1,必修2的1,2章，必修4,必修5,选修 2—1的1,3章,选修 2-2的1,3章．第 I 卷一、单项选择题：本题 共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的．1. 已知集合21{|2},{|4}2x A x y x x B x ==--+=>，则A B ＝ A. 1[2,)2--B. 1[1,)2--C. 1(,1]2- D. 1(,2]2-2. 若z i 2021= 2+ i , 则z ＝ A. -1+2iB.-1-2iC.1-2i D . 1 + 2i ,3. 点 P 在平面上以速度v =(-2 , 3) 作匀速直线运动，若4秒后点 P 的坐标为( -5,16)， 则点 P 的初始坐标为 A. ( 3 , 13)B. ( 3 , 4) C . ( -7, 19) D . (-13,28)4. 广东清远清新观景台，又叫百步梯，站在观景台上可鸟瞰清远市区和清新县全景，已知每级台阶的高度大致相同，约为 0. 15 米，第191 级台阶的海拔高度约为 186米 ，则第 51 级台阶到第 100 级台阶的海拔高度之和约为（结果精确到 0. 1 米 ） A. 8104. 0 米 B. 8268. 8 米 C. 8433. 8 米D . 8598. 6 米5. 函数sin||1e ()21e x x xf x -=+在[-π,π]上的图象大致为6. 若π(π,2π),cos sin()042ααα∈+-=,则πsin()6α+＝A. 3-B.0C.3 D. 3-或07. 已知在△ABC 中，∠C=90︒，AB =2AC =4，点D 沿A →C →B 运动，则AD BD 的最小值是A.-3B.-1C.1D.38. 若数列{a n }的前n 项和为S n , nn S b n=，则称数列{b n }是数列{a n }的“均值数列”．已知数列{b n }是数列{a n }的“ 均值数列”且通项公式为b n =n ，设数列11{}n n a a +的前n 项和为T n ，若2112n T m m <--对一切n ∈N*恒成立，则实数 m 的取值范围为 A. ( - 1， 3) B.[ - 1， 3] C . (-∞,-l)U ( 3，+∞) D. (-∞,-l]U[ 3，+∞)二 、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。

百校联盟 2021届普通高中教育教学质量监测考试全国卷 理科数学考试范围：高考全部内容．第Ⅰ卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合{|ln }A x y x ==，B ＝{x|x 2-3x+2＞0}，则A ∩B ＝A ．{x|x ＞2}B ．{x|0＜x ＜1或x ＞2}C ．{x|x ＞e}D ．{x|x ＝1或x ＞2}2．设复数2i13iz =+-，则z = A ．43i 55- B ．43i 55-+ C ．63i 55- D ．63i 55-+3．已知等比数列{a n }的公比q ≠1，且a 1+a 2＝2a 3，则75a a = A ．-1 B ．12- C ．1 D ．144．下表为2020年1～6月全国规模以上工业企业各月累计利润率，若y 与x 具有线性相关关系，且回归方程为y bx a =+，且由数据可得a b ≠，则月份 1～2 1～3 1～4 1～5 1～6 月份代码x 1 2 3 4 5 累计利润率y(%) 3.54 3.94 4.45 5.00 5.42A ．0b >，3 4.47b a +=B ．0b <，3 4.47b a +=C ．0b >，3 4.47a b +=D ．0b <，3 4.47a b +=5．已知点O 为坐标原点，点3(,0)2F 为抛物线C ：y 2＝2px 的焦点，动直线x-my-n ＝0与抛物线C 交于A ，B 两点，若OA ⊥OB ，则 A ．m ＝6 B ．n ＝6 C ．mn ＝6 D ．n ＝6m6．△ABC 中，点D ，E 为边BC 上动点，且()AE AB AC AD λμ=++，则λμ的最大值为A ．1B ．12C ．14D ．187．6211(2)(1)x x x-+-展开式中的常数项为A ．11B ．19C ．23D ．-118．在新冠疫情的冲击下，全球经济受到重创，下图是各国公布的2020年第二季度国内生产总值(GDP)同比增长率，现从这8个国家中任取4个国家，则这4个国家中第二季度GDP 同比增长率至少有2个不小于-15%的概率为A ．1770 B ．1835 C ．2635 D ．53709．矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝2，点E 为CD 中点，沿AE 把△ADE 折起，点D 到达点P ，使得平面PAE ⊥平面ABCE ，则异面直线AB 与PC 所成角的余弦值为A ．14B ．12C 2D 310．已知函数21,0(),02x x ax x f x a x ⎧-+≥⎪=⎨<⎪⎩，若存在x 0∈(0，+∞)，使得f(x)≥f(x 0)恒成立，则实数a 的取值范围是A ．[222,)+∞B ．(222,)-+∞C ．(0,222)D ．(0,222]11．已知过双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>左焦点的直线l 与双曲线C 的右支有公共点，且与圆x 2+y 2＝2a 2相切，则双曲线C 的离心率的取值范围为A ．3)B ．(3,)+∞C ．(1，2)D ．(2，+∞) 12．已知函数()2|sin |cos 32f x x x x =+，给出下列结论： ①f(x)的图象关于直线π12x =对称；②f(x)的值域为[-2，2]；③f(x)在π7π[,]1212上是减函数；④0是f(x)的极大值点．其中正确的结论有A ．①④B ．②③C ．①②③D ．①②④第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答． 二、填空题13．曲线()1sin 1f x x x =++在(0，f(0))处的切线方程为________．14．已知实数x ，y 满足50220220x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，则z ＝x-3y 的取值范围为________．15．已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若853a a =，则1113141593a a a aS +++=________． 16．已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为2，中心为M ，则四棱锥M-ABCD 的外接球被平面ABB 1A 1截得的截面面积为________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．已知△ABC 中，角A 为锐角且角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，3sin 3BB = 2sin a Ac． （1）求A ；（2）若点D 在边BC 上，且BD ＝2DC ，且AD ＝2，求△ABC 面积的最大值． 18．如图，在三棱锥P-ABC 中，2π3PBA CBA ∠=∠=，AB ＝BC ＝BP ＝2，6PC ．（1）求证：平面PAB ⊥平面ABC ；（2）求平面PAC 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值．19．蚂蚁森林是支付宝推出的公益活动，用户可以通过步行、在线缴费等减排行为获得积分，参与在荒漠化地区种树，该公益活动曾获得联合国“地球卫士奖”．蚂蚁森林2016年8月在支付宝上线，截止2020年8月5.5亿蚂蚁森林用户一起累计种下超过2.2亿颗真树．用户通过蚂蚁森林一年种植3棵树，可获得当年度全民义务植树尽责证书．某高校学生会调查了该校100名学生通过蚂蚁森林获得2020年度全民义务植树尽责证书的情况，已知这100名学生中有男生70名，男生中通过蚂蚁森林获得2020年度全民义务植树尽责证书人数占男生总数的67，女生中通过蚂蚁森林获得2020年度全民义务植树尽责证书人数占女生总数的23．（1）填写下列2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为该校学生的性别与通过蚂蚁森林获得 男生 女生 合计获得2020年度全民义务植树尽责证书 未获2020年度得全民义务植树尽责证书合计（2为该校每个学生通过蚂蚁森林获得2020年度全民义务植树尽责证书的概率，从全校所有学生中随机取出4个人，记这4人中通过蚂蚁森林获得2020年度全民义务植树尽责证书的人数与未通过蚂蚁森林获得2020年度全民义务植树尽责证书的人数之差为X ，求X 的分布列与期望． 附：P(K 2≥k 0) 0.05 0.01 0.005 0.001k 0 3.841 6.635 7.879 10.828n ＝a+b+c+d ，2()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++．20．已知椭圆C ：22221(0)x y a b +=>>的左焦点为F ，点1(0,)3A -，1(0,)3B 三等分椭圆C 的短轴，且310sin FAB ∠．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点A 作与x 轴不垂直的直线l 与椭圆C 交于点M ，N ，椭圆C 上是否存在点P ，使得恒有PM ⊥PN ？若存在，求出点P 坐标；若不存在，请说明理由． 21．已知函数21()ln 2(ln 1)2()f x x x ax x =---． （1）讨论f(x)的单调性；（2）若1＜a ＜2，判断f(x)的零点个数． 请考生从第22、23题中任选一题作答．22．【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为2221111xttyt⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C2的极坐标方程为π4sin()3ρθ=+．（1）求C1的普通方程，C2的直角坐标方程；（2）判断曲线C1与圆C2的公共点个数．23．【选修4-5：不等式选讲】已知f(x)＝x2-|x-2|．（1）求不等式f(x)＞2|x|的解集；（2）已知a，b∈(-∞，0)，若存在x0∈R，使得f(x)≤a+b，求ab的最大值．。

2021—2021 学年普通高中高三教学质量监测理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由得：，由得：，有，则，选.2. 已知复数知足（为虚数单位），则复数的模为（）A. B. 2 C. 4 D. 8【答案】C【解析】由于，则，选.3. 已知两个随机变量，之间的相关关系如下表所示：按照上述数据取得的回归方程为，则大致可以判断（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】按照随机变量之间关系在表格中的数据可以看出，随的增大而增大，因此，由于， =.选；本题也可按照散点图观察求解.【点睛】按照散点图可以大致观察出回归直线的位置，借助回归直线必过样本中心点，按照散点图观察回归直线的斜率为正，得出，利用计算的数据判断得出.4. 已知向量，，，若，则（）A. 9B. 3C.D.【答案】D5. 已知等比数列的前项积为，若，则的值为（）A. B. 512 C. D. 1024【答案】A【解析】 ,则，而，选. 【点睛】本题考查等比数列的性质，注意表示数列的前项的积，注意等比数列的性质，有的灵活应用，还要注意对数的运算法则，运算时小心符号，以避免犯错.6. 执行如图所示的程序框图，则输出的的值为（）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】B【解析】开始运行程序，知足，，知足，，知足，，知足，，知足，不知足，输出,选.7. 已知三棱锥的四个极点在空间直角坐标系中的坐标别离为，，，，画该三棱锥的三视图的俯视图时，以平面为投影面，取得的俯视图可以为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】点在的投影为，点在的投影为，在的投影为，在的投影为，连接四点，注意实线和虚线，得出俯视图，选C8. 已知过点的直线与圆：相切于点（在第一象限内），则过点且与直线垂直的直线的方程为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由于圆的切线垂直于过切点的半径，点与圆心距离为4，圆的半径为2，得切线的倾斜角为，切点为，过点且与直线垂直的直线的方程为，即：.选.9. 函数的图象的大致形状为（）A. B. C.D.【答案】A【解析】利用偶函数的概念可以判断该函数为偶函数，图象关于轴对称，排除，取，，选 .【点睛】10. 已知函数，若的图象与的图象重合，记的最大值为，函数的单调递增区间为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】,的图象与的图象重合，说明函数的周期，由于，，， ,，，则，，选11. 已知双曲线：（，）的左右核心别离为、，点关于双曲线的一条渐近线的对称点在该双曲线的左支上，则此双曲线的离心率为（）A. B. C. 2 D.【答案】D【解析】设，渐近线方程，对称点，，，解得：，，代入到双曲线方程得: ,化简得：，选.12. 概念在上的函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由于概念在上的函数的图象关于轴对称，则函数为偶函数.，原不等式化为：偶函数在上单调增，则在上单调减，图象关于轴对称，则：，， ,故，，设，，易知当时，，则；令，，，，在上是减函数，，则，综上可得：，选D.【点睛】借助函数的奇偶性和单调性解不等式或比较大小是常见考题，本题首先借助函数的奇偶性和单调性转化把不等式进行转化，然后利用最值原理解决恒成立问题，利用导数求出函数的最值，求出参数的取值范围.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 的展开式中，含项的系数为__________（用数字填写答案）．【答案】【解析】展开式中含项为，含项为，含项为，的展开式中，含项的系数为.【点睛】利用二项式定理求二项展开式中的某些指定项，本题先利用二项式定理的通项公式求出的展开式中项的系数，然后利用多项式乘法得出含项的系数.14. 已知实数，知足，则的取值范围为__________．【答案】【解析】先画出二元一次不等式组所表示的平面区域，目标函数为斜率型目标函数，最优解为,的取值范围为 .15. 各项均为正数的数列的前项和为，且知足，则__________．【答案】【解析】 ,则【点睛】碰到二次三项式首先要考虑可否因式分解，这一步可是问题大大简化，数列求和有裂项相消法、错位相减法、倒序相加法、分组求和法等.本题利用的是裂项相消法.16. 如图所示，三棱锥中，是边长为3的等边三角形，是线段的中点，，且，若，，，则三棱锥的外接球的表面积为__________．【答案】【解析】三棱锥中，是边长为3的等边三角形，设的外心为，外接圆的半径，在中，，知足，为直角三角形，的外接圆的圆心为，由于，为二面角的平面角，别离过两个三角形的外心作两个半平面的垂线交于点，则为三棱锥的外接球的球心，在中，，则，连接，设，则，.【点睛】求多面体的外接球的面积和体积问题常常利用方式有（1）三条棱两两彼此垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再按照勾股定理求球的半径；（3）若是设计几何体有两个面相交，可过两个面的外心别离作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心，本题就是第三种方式.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解承诺写出文字说明、证明进程或演算步骤.）17. 已知在中，角、、的对边别离为、、，且、、成等比数列，.（Ⅰ）求的大小；（Ⅱ）若，求的周长和面积.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）依题意，，，，，，故或，所以或（舍），故.（Ⅱ）已知，则，因为、、成等比数列，所以，所以三角形的周长为，. 【点睛】有关正余弦定理应用问题是高考高频考点，巧妙利用正弦定理进行边转角、角转边，借助三角函数知识求出角；利用余弦定理沟通边角关系，借助题目条件和面积公式求出面积.18. 每一年的4月23日为世界念书日，为调查某高校学生（学生很多）的念书情况，随机抽取了男生，女生各20人组成的一个样本，对他们的年阅读量（单位：本）进行了统计，分析取得了男生年阅读量的频数散布表和女生年阅读量的频率散布直方图.男生年阅读量的频数散布表（年阅读量均在区间内）（Ⅰ）按照女生年阅读量的频率散布直方图估量该校女生年阅读量的中位数；（Ⅱ）若年不小于40本为阅读丰硕，不然为阅读不丰硕，依据上述样本研究年阅读量与性别的关系，完成下列列联表，并判断是不是有99%的把握以为阅读丰硕与性别有关；（Ⅲ）在样本中，从年阅读量在的学生中，随机抽取2人参加全市的征文比赛，记这2人中男生人数为，求的散布列和期望.附：，其中【答案】（Ⅰ）38.（Ⅱ）没有99%的把握（Ⅲ）【解析】（Ⅰ）前三组频率之和为：，中位数位于第三组，设中位数为，由题可知：，解得.该校女生年阅读量的中位数约为38.（Ⅱ），没有99%的把握以为阅读丰硕与性别有关. （Ⅲ）年阅读量在的学生中，男生2人，女生4人.由题意得的可能取值为0,1,2.，，.所以的散布列为.【点睛】频率散布直方图、独立性查验、回归方程、列出概率散布列求出期望和方差是高考统计题常考内容，要求会利用频率散布直方图求出三个统计量：众数、均值及中位数;要求会列列联表，计算并判断相关关系，要求会列概率散布列，求出期望和方差.19. 如图，已知矩形中，、别离是、上的点，，，，、别离是、的中点，现沿着翻折，使得二面角大小为. （Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值.【答案】（Ⅰ）详观点析（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）取的中点，连接，，又为的中点，所以，平面，平面，所以平面，同理可证，平面，又因为，所以平面平面，平面，所以平面.（Ⅱ）在平面内，过点作的垂线，易证明这条垂线垂直平面，因为二面角大小为，所以，成立空间直角坐标系如图所示，则，，，，，则，，，设平面的一个法向量，按照，令，则，，所以，设平面的一个法向量，按照，令，则，，所以，所以，所以二面角的余弦值为.【点睛】证明线面平行有两种方式，法一是利用判定定理，寻求线线平行；法二是寻求面面平行，本题是通过面面平行去证明线面平行.求二面角常常利用空间向量去求，先成立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，求出两个半平面的法向量，再利用公式求出二面角的余弦值.20. 已知椭圆：（）的离心率为，点是椭圆的上极点，点在椭圆上（异于点）.（Ⅰ）若椭圆过点，求椭圆的方程；（Ⅱ）若直线：与椭圆交于、两点，若以为直径的圆过点，证明：存在，.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）依题意，，，，解得，，故椭圆的方程为.（Ⅱ）由椭圆的对称性，不妨假设存在，使得.由题意得，，椭圆：，联立直线与椭圆的方程可得：，解得，所以，因为，，，，即.记，又，，所以函数存在零点，存在，使得.【点睛】先列方程组求出写出椭圆的标准方程，按照直线与椭圆相交，联立方程组后代入整理，求出点的横坐标，得出，由于，把替换为，得出，借助，得出关于的方程，构造函数利用零点原理说明函数存在零点，从而说明实数存在.21. 已知函数，其中.（Ⅰ）讨论函数的单调性；（Ⅱ）证明：（，）.【答案】（Ⅰ）详观点析（Ⅱ）详观点析【解析】（Ⅰ）函数的概念域为，.令，记，当时，得.若，则，，此时函数在上单调递减.当时，由得或.显然.故此时函数在上单调递增，在和上单调递减.综上，当时，在上单调递增，在和上单调递减；当时，函数在上单调递减.（Ⅱ）令，由（Ⅰ）讨论可得函数在区间上单调递减，又，从而当时，有，即.令，则，从而，则有，可得.【点睛】首先肯定函数的概念域，求导，对参数分情况讨论函数的单调区间；利用函数在区间上单调递减，说明不等式，以这个不等式为基础，令，得出不等关系后，对，再进行叠加得出所要证明的不等式，本题是导数与证明数列不等式综合问题，关键是利用导数证明函数不等式，在函数不等式的基础上令，得出关于的不等关系，在对得出的一列不等式进行叠加或叠成，得出所要证明的不等式，有必然的难度，常常作为压轴题.请考生在2二、23两题中任选一题作答，若是多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程已知在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴成立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（Ⅰ）求曲线的极坐标方程与曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线（）与曲线交于，两点，求线段的长度.【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）【解析】试题分析：（1）按照三角函数同角关系：消参数得的直角坐标方程，再利用将的直角坐标方程化为极坐标方程；利用将的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）将（）代入曲线极坐标方程得，利用韦达定理求线段的长度：.试题解析：（Ⅰ）因为故，故，故曲线的极坐标方程为.因为，故，故的直角坐标方程为（或写成）.（Ⅱ）设，两点所对应的极径别离为，，将（）代入中，整理得，故，，故. 23. 选修4-5：不等式选讲已知函数.（Ⅰ）记函数，在下列坐标系中作出函数的图象，并按照图象求出函数的最小值；（Ⅱ）记不等式的解集为，若，，且，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）由题意得，作出函数的图象如图所示，观察可知，当时，函数有最小值，最小值为.（Ⅱ）依题意，，则，则，则，故，，故，故，即实数的取值范围为.。