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具体方法是：1）. 构造一个具有性质 P 的区间，性 质 P要根据性质 P 来定;
2）. 在具有性质 P 的区间中确定一个长度不超过该区间 长度 1的也具有性质 P 的子区间（通常采用二等分法），
2 然后继续使用上述步骤，可得具有性质 P的区间套. 实 现将具有性质 P 的这个数“套”出来.
二、确界定理
将闭区间 a1，b1 二等分，所得两个闭区间为a1，a12b1与a1
2
b1
，b1
，其中必有一个具有性
质 P，将其记为 a2，b2 .
同样方法，将闭区间 a2，b2 二等分，必有 一个闭区间具有性质 P，将其记为 a3，b3 .二等
用分法无限进行下去，可得区间套 an，bn ，
线段),后者被包含在前者之中,并且这些闭线段的 长构成的数列以0为极限.则这一闭线段存在唯一 一个公共点.
注: 一般来说,将闭区间列换成开区间列,区间套 定理不一定成立.
a1 a2
a3
an l bn
b3 b2
b1 x
证： 由条件 1），数列 an 单调增加有上界 b1， 数列 bn 单调减少有下界 a1，即
定理 2. 确界定理 设 E R，若 E 有上
(下)界则数集 E 必存在唯一的上(下)确界.
证 因为 E R，所以 b1 E，又 E 有
下界，设 a1 是 E 的下界，则 a1 b1，不妨设 a1 b1 .这时闭区间 a1，b1 具有如下性质（称为具有性 质P）：
1. 闭区间 a1，b1 左侧没有数集 E 的点； 2. 闭区间 a1，b1 中至少有数集 E 的一个点；
2）
0 ，n0
1，有
n0 n0 1
1 2
1 2
.
即
inf
n
n
1
n
N
1 2
.
例2 证明sup1,2,3,4 4,inf 1,2,3,4 1
证明：(1)k 1,2,3,4, k 4;(2) 0, 4 1,2,3,4,有 4 4 . sup1,2,3,4 4
又(1)k 1,2,3,4,k 1; (2) 0, 11,2,3,4, 有 1 1 . inf 1,2,3,4 1
(1) x E , x ;
(2) 0,x E ,有 : x . 则称是 数集E 的下确界.表为 inf E 定理(可列化) 设 E 是非空集合，则 sup E
(1) x E , x ;
(2) xn E, xn (n )
定理(可列化) 设 E 是非空集合，则 inf E (1) x E , x ;
为了叙述方便，我们把满足闭区间套定理条件
的闭区间序列 an，bn ，称为区间套.
推论(点 l 的特性)若 l 是区间套所确定的点，则
0，N N ，n N，有 an，bn U l， .
注:区间套定理中要求各个区间都是
闭区间，否则结论不一定成立.
例如
开区间序列
1，1 n
.
区间套定理的应用：一般来讲，证明问题需要找 出一个具有某种性质 P 的数，常用区间套定理将这个 数“套”出来.
a1 a2 an bn b2 b1.
依据单调有界数列必有极限，数列 an
收敛，设
lim
n
an
l
.
由条件
2）
lim
n
bn
lim
n
bn an an
lim n
bn an
lim
n
bn
l.
lim
n
an
lim
n
bn
l.
下面我们来证实数 l 属于所有闭区间，即证
k N ，有 l ak ,bk ，或 ak l bk .
一、闭区间套定理
• 定理1.(闭区间套定理) 设有闭区间列 {[an ,bn ]}.
若: 1) a1，b1 a2，b2 an，bn ;
2)
lim
n
bn an
0,
则存在唯一数l 属于所有的闭区间(即 an，bn l), n1
且:
lim an
n
lim
n
bn
l.
• 从图上看,有一列闭线段(两个端点也属于此
第四章 实数的连续性
§4.1 实数的连续性定理 §4.2 闭区间连续函数整体性质的证明
§4.1 实数的连续性定理
极限的理论问题首先是极限的存在问题. 一个 数列是否存在极限，不仅与数列本身的结构有关， 而且与数列所在的数集有关.
我们知道有理数列的极限不一定是有理数,但在 实数集内，实数列的极限一定是实数.实数的这个 性质称为实数集的连续性或实数的完备性.因此实 数集的连续性是数学分析的理论基础.下面我们给 出几个等价的描述实数集连续性的定理.这些定理 是数学分析理论的基石.
(2) xn E, xn (n )
例1
证明
sup
n
n
1
n
N
1,
inf
n n
1
n
N
1 2
.
证 1）n N，有 n 1； n1
2） 0 1，由 n 1 ,
n1
可知
n
1
1，所以
n0
1
，有
n0 n0
1
1
.
即
sup
n n
1
n
N
1.
同样 1）n N，有 n 1； n1 2
非空数集 E 有上界,则它有无限多个上界,在这无
限多个上界之中,有一个上界 与数集 E有一种特殊
关系.
定义:设 E 是非空数集.若 R 使
(1) x E , x ; (2) 0,x E ,有 : x .
则称是 数集 E 的上确界.表为 sup E
定义:设 E是非空数集.若 R 使
因为 n k，有 ak an bn bk . 从而
ak
lim
n
an
l
lim
n
bn
bk
即 k N ，l ak，bk .
最后证 l 的唯一性，假设还有一个 l 也属于所有
闭区间，从而 n N ，有 l，l an，bn ，即
l l bn an，
所以
l
l
lim
n
bn
an
0，
故 l l，即 l 是唯一的.
2) 0，由区间套定理的推论可知，N N ，
m N，有 am，bm U ， ，即 x0 E，使 x0 am，bm ，
且每个 an，bn 具有性质 P .
根据区间套定理，存在唯一一个数 属于所有的
闭区间 an，bn ，且
lim
n
an
lim
n
bn
.
1） x E，有 x . 否则，若 x0 E，有 x0 .
则由
lim
n
an
及数列极限保序性可知，m N
，使
am x0 . 这与性质 P 的 1）矛盾.
