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各向异性弹性体的应力和应变关系精编版

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弹性力学：04 应力和应变的关系

弹性力学：04 应力和应变的关系

广义胡克定律
杨氏模量
单向应力状态时的胡克定律是
x E x
式中 E 称为弹性模量。对于一种材 料在一定温度下，E 是常数。
Chapter 5.1
广义胡克定律
泊松比
在单向拉伸时，在垂直于力作用线的方向发生收缩。
在弹性极限内，横向相对缩短 x 和纵向相对伸长 y
成正比，因缩短与伸长的符号相反，有：
ν
x y
Chapter 5.1
广义胡克定律
根据实验可知，xy只引起 xy 坐标面内的剪应变xy，
而不引起 xz、yz，于是可得
xy
xy
G
同理
yz
yz
G
zx
zx
G
Chapter 5.1
广义胡克定律
于是，得到各向同性材料的应变-应y
1 E
y
ν x
z
z
ij
1 2
ui, j u j.i
协调条件：
ij,kl kl,ij ik , jl jl,ik 0
对于一个假定位移场ui ，其相应的协调应变分量ij 可直接由应
变－位移关系得到。显然，这组协调的应变和位移，仅仅是许 多其他可能的应变和位移场中的一组。
几何可能的位移未必是真实的，真实位移在弹性体内部须满足 以位移表示的平衡微分方程。
应力和应变的关系
1. 本构关系的概念 2. 广义胡克定律 各向同性体 3. 各向异性弹性体 4. 热力学定律与应变能函数 5. 应变能和应变余能(自学) 6. 热弹耦合本构关系(自学) 7. 例题
应力和应变的关系
1. 本构关系的概念 2. 广义胡克定律 各向同性体 3. 各向异性弹性体 4. 热力学定律与应变能函数 5. 应变能和应变余能(自学) 6. 热弹耦合本构关系(自学) 7. 例题

第二章各向异性材料的应力应变关系(课堂使用)

第二章各向异性材料的应力应变关系(课堂使用)

基础教学
27
基础教学
28
基础教学
9
其应力-应变关系为：
基础教学
10
独立弹性常数只有５ 个
基础教学
11
具有无穷多个弹性对称面的材料称为各向同性材 料。这种材料对于三个相互垂直的弹性对称面 的弹性性能完全相同。刚度系数满足：
基础教学
12
其应力-应变关系：
基础教学
13
应变-应力关系：
只有２个独 立弹性常数
基础教学
14
用工程弹性常数（拉压模量、剪切模量、泊松比） 来表示各向异性材料应力-应变关系。
基础教学
5
则其应变-应力关系可以表示为：
基础教学
6
具有三个相互正交的弹性对称面的材料称为正交 各向异性材料。按单对称材料分析方法可得：
则应力-应变关系为：
基础教学
7
应变-应力关系为：
独立弹性常数只有９个， 正交各向异性材料三个 相互垂直的弹性对称面
的法线方向 称为该材料的主方向。
基础教学
8
三个相互垂直的弹性对称面中有一个是各向同 性的，如单向纤维增强复合材料。
i Cij j i Sij j
(i.j=1.2.3.4.5.6)
其中：[Cij]刚度矩阵，[Sij] 柔度矩阵，互为逆矩 阵，即[Cij]= [Sij]-1
基础教学
3
１Ｏ２ 平面是弹性对称面，沿 ３ 轴和 ３′ 轴方向上的应力和 应变有以下关系：
单对称材料的应力
基础教学
4
则单对称材料的应力应变关系就可以表示为：
➢ 柔度系数、刚度系数与工程弹性常数关系 由三个单向拉伸和三个纯剪切示意图来推导
基础教学
15

第二章各向异性材料的应力应变关系

第二章各向异性材料的应力应变关系

则用工程弹性常数表达的正交各向异性材料的应 变-应力关系为：
由刚度系数矩阵与柔度系数矩阵的可逆性，可得：
式中：
➢ 工程弹性常数的互等关系 由于柔度矩阵的对称性，可得工程弹性常数的
互等关系为：
9个工程弹性常数，3个拉压 弹性模量，3个剪切弹性模量， 3个主泊松比
则刚度矩阵和柔度矩阵分别为：
单对称材料的应力
则单对称材料的应力应变关系就可以表示为：
则其应变-应力关系可以表示为：
三：正交各向异性材料的应力-应 变关系
具有三个相互正交的弹性对称面的材料称为正交 各向异性材料。按单对称材料分析方法可得：
则应力-应变关系为：
应变-应力关系为：
独立弹性常数只有９个， 正交各向异性材料三个 相互垂直的弹性对称面
其应力-应变关系：
应变-应力关系：
只有２个独 立弹性常数
２.２正交各向异性材料的工程弹 性常数
用工程弹性常数（拉压模量、剪切模量、泊松比） 来表示各向异性材料应力-应变关系。
➢ 柔度系数、刚度系数与工程弹性常数关系 由三个单向拉伸和三个纯剪切示意图来推导
沿 １ 轴向单向拉伸时，应力σ ≠ ０ ，其他应 力均为零，可得： 根据胡克定律和泊松效应有：
则柔度系数与工程弹性常数关系为：
同理，沿 ２ 轴向和 ３ 轴向的 单向拉伸，还可得：
对于102面、203面和103面的纯剪切，可得：
式中E1,E2,E3和G12,G23,G13分 别为正交各向异性材料的拉压弹 性模量和剪切弹性模量； V12,V23,V13以及V21,V32,V31分 别为主泊松比和副泊松比
应变与应力的 关系
简化后，工程上常用的胡克定律表达式：
i C ij j
S (i.j=1.2.3.4.5.6)

第2章 各向异性材料的弹性应力-应变关系

第2章 各向异性材料的弹性应力-应变关系

只有三个独立参数，可以用E、、G表示。 实际上只有两个，因为E、、G之间有关 系。
2.5 正交各向异性材料的 工程弹性常数的物理意义
工程常数是指弹性模量Ei,泊松比ij和 剪切模量Gij，这些常数由实验测定。 分别在各弹性主方向有作 i E i i 1,2,3 — 用力时的应力应变之比
如取xoy坐标面与弹性对称面平行，取A与A’ 为相互对称点，则它们的弹性性能相同。即将z 轴转到z’轴时，应力应变关系不变。
此时：z=-z’，w=-w’，
yz zx
w v w v ( ) yz 4 y z y z u w u w ( ) yz 5 z x z x
记作{}=[C]{}， [C]—刚度矩阵， 可以证明， [C]是对称矩阵，因此它只 有21个独立变量。
同样，可用应力分量表示应变分量：
S
[S]＝[C]-1—柔度矩阵。
同样， [S]也是对称矩阵，它也有 21个独立变量。
2.2 各向异性材料的应力－应变关系
2.2.1 应力－应变关系、刚度矩阵
2.3.2正交各向异性材料
如果具有三个正交弹性对称面，则：
c11 c12 c13 0 0 0 c c c 0 0 0 12 22 23 c13 c23 c33 0 0 0 c 0 0 0 c44 0 0 0 0 0 0 c55 0 0 0 0 0 0 c66
2.3 正交各向异性材料的应力－应变关系
2.3.1 具有一个弹性性能对称面材料的应力－应变关系
x 1 y 2 z 3 应力 yz 4 zx 5 xy 6
应变
yz zx xy
x 1 y 2 z 3 2 yz 4 2 zx 5 2 xy 6

弹性体与变形弹性体的应力与应变关系

弹性体与变形弹性体的应力与应变关系

弹性体与变形弹性体的应力与应变关系弹性体是指在外部施加力后能够发生形变，但在去除力后能够恢复原状的物质。

而变形弹性体则是指在外力作用下形变后不能完全恢复原状的物质。

弹性体与变形弹性体在受力时会出现应力与应变的关系，这种关系是研究材料力学性能的重要内容。

一、弹性体的应力与应变关系弹性体在外力作用下，发生形变。

应力是单位面积上的力，定义为单位面积上的力与面积的比值，通常用σ表示，单位为帕斯卡（Pa）。

应变是物体的相对形变，定义为单位长度的变化量与被测长度的比值，通常用ε表示，无单位。

根据弹性体的应力与应变关系，我们可以得到胡克定律，即应力与应变成正比关系。

弹性体的胡克定律可表示为：σ = E * ε其中，E表示弹性体的弹性模量，是反映弹性体变形能力大小的重要参数，单位为帕斯卡（Pa）。

弹性模量越大，代表弹性体越难形变，具有较好的弹性性能。

根据胡克定律，当外力施加于弹性体上时，应力与应变成正比，且两者之间的关系是线性的。

即在弹性极限之内，如果应力增大，应变也会相应增大；如果应力减小，应变也会相应减小。

而且，当外力去除后，弹性体会恢复到原来的形状和大小，应变会回到零。

二、变形弹性体的应力与应变关系变形弹性体与弹性体不同，其在外力作用下形变后不能完全恢复原状。

因此，其应力与应变关系也存在一定的差异。

变形弹性体的应力与应变关系可以用应力-应变曲线来描述。

在应力-应变曲线中，随着应变的逐渐增大，物体的应力并不是线性变化的，而是呈现出一定的非线性特性。

应力-应变曲线通常可以分为弹性阶段、屈服阶段、塑性阶段和断裂阶段。

在弹性阶段，应力与应变基本保持线性关系，符合胡克定律；而在屈服阶段，应力增加的同时，应变开始出现非比例增长。

当应力达到一定程度后，材料会发生塑性变形，进入塑性阶段；在断裂阶段，材料发生破裂。

变形弹性体的应力与应变关系还可以通过一些指标进行描述，如屈服强度、断裂强度、延伸率等。

这些指标是衡量材料变形能力和抗破坏能力的重要参数。

弹性力学弹性体的应力与应变关系

弹性力学弹性体的应力与应变关系

弹性力学弹性体的应力与应变关系弹性力学是一门研究固体材料在外力作用下的变形和应力分布规律的学科。

其中，弹性体是一类能够在外力作用下发生形变，但恢复力可以将其恢复到原始状态的物质。

弹性体的应力与应变关系是弹性力学中的基本概念和重要理论。

一、什么是应力与应变在力学中，应力是物体受来自外界作用的力引起的单位面积内的力的大小。

它是描述物体受力情况的物理量。

应力可分为正应力和剪应力两种，正应力作用于物体的表面上的垂直方向，而剪应力则作用于物体的表面上的切向方向。

应变是描述材料形变程度的物理量，是物体在受力下发生变形时单位长度的变化。

应变也可分为正应变和剪应变两种，正应变是物体长度在受力作用下产生的相对变化量，而剪应变则是物体形状的变化量与原始尺寸之比。

二、背景知识弹性体的应力与应变关系可以通过背景知识来理解。

弹性体的主要特性是能够在外力的作用下发生形变，但当外力消失时，它能够恢复到原来的形状和尺寸。

这是因为弹性体的分子或原子之间存在着弹性力，当外力作用结束时，弹性力将趋于平衡，使得物体恢复到原来的状态。

三、胡克定律胡克定律是描述弹性体应力与应变关系的基本定律。

根据胡克定律，当外力作用于弹性体时，弹性体内部的应力与应变成正比。

具体数学描述如下：σ = Eε其中，σ代表应力，单位为帕斯卡（Pa），E代表弹性模量，单位为帕斯卡（Pa），ε代表应变，为无单位。

胡克定律适用于弹性体在线性弹性范围内，即应力与应变成正比，并且比例系数恒定。

此时的应力-应变关系为线性关系，称为胡克定律。

超出线性弹性范围后，材料会发生塑性变形。

四、弹性模量弹性模量是表征弹性体抵抗形变的能力大小的物理量。

它是胡克定律中比例系数的倒数，可以用来度量弹性体的刚度。

常见的弹性模量有：1. 杨氏模量（Young's Modulus）：用E表示，描述的是物体在拉伸或压缩时的应变与应力之间的关系。

2. 剪切模量（Shear Modulus）：用G表示，描述的是物体在受剪时的应变与应力之间的关系。

（整理）弹性力学第四章应力和应变关系

（整理）弹性⼒学第四章应⼒和应变关系第四章应⼒和应变关系知识点应变能原理应⼒应变关系的⼀般表达式完全各向异性弹性体正交各向异性弹性体本构关系弹性常数各向同性弹性体应变能格林公式⼴义胡克定理⼀个弹性对称⾯的弹性体本构关系各向同性弹性体的应⼒和应变关系应变表⽰的各向同性本构关系⼀、内容介绍前两章分别从静⼒学和运动学的⾓度推导了静⼒平衡⽅程，⼏何⽅程和变形协调⽅程。

由于弹性体的静⼒平衡和⼏何变形是通过具体物体的材料性质相联系的，因此，必须建⽴了材料的应⼒和应变的内在联系。

应⼒和应变是相辅相成的，有应⼒就有应变；反之，有应变则必有应⼒。

对于每⼀种材料，在⼀定的温度下，应⼒和应变之间有着完全确定的关系。

这是材料的固有特性，因此称为物理⽅程或者本构关系。

对于复杂应⼒状态，应⼒应变关系的实验测试是有困难的，因此本章⾸先通过能量法讨论本构关系的⼀般形式。

分别讨论⼴义胡克定理；具有⼀个和两个弹性对称⾯的本构关系⼀般表达式；各向同性材料的本构关系等。

本章的任务就是建⽴弹性变形阶段的应⼒应变关系。

⼆、重点1、应变能函数和格林公式；2、⼴义胡克定律的⼀般表达式；3、具有⼀个和两个弹性对称⾯的本构关系；4、各向同性材料的本构关系；5、材料的弹性常数。

§4.1 弹性体的应变能原理学习思路:弹性体在外⼒作⽤下产⽣变形，因此外⼒在变形过程中作功。

同时，弹性体内部的能量也要相应的发⽣变化。

借助于能量关系，可以使得弹性⼒学问题的求解⽅法和思路简化，因此能量原理是⼀个有效的分析⼯具。

本节根据热⼒学概念推导弹性体的应变能函数表达式，并且建⽴应变能函数表达的材料本构⽅程。

根据能量关系，容易得到由于变形⽽存储于物体内的单位体积的弹性势能，即应变能函数。

探讨应变能的全微分，可以得到格林公式，格林公式是以能量形式表达的本构关系。

如果材料的应⼒应变关系是线性弹性的，则单位体积的应变能必为应变分量的齐⼆次函数。

因此由齐次函数的欧拉定理，可以得到⽤应变或者应⼒表⽰的应变能函数。

2-第二章_各向异性材料的应力-应变关系【2024版】


S1132 S2232 S3332 S2332 S3132 S1232 S3232 S1332 S2132
S1113 S2213 S3313 S2313 S3113 S1213 S3213 S1313 S2113
S1121
S
2221
S3321 S2321
S3121
S1221
S3221
S1321
应力，即 3 0 ，其他应力分量均为零，得到
1 S11 S12 S13 0
2
S12
S22
S23
0
0 S16 0
0
S26
0
3 3
2
233
S031
S32 0
S33 0
0 S44
0 S45
S36 0
03
(2.20)
1
31
0
0
0
S45 S55
0 0
12 S16 S26 S36 0 0 S66 0
31
0
0
0
C45 C55
0
31
12 C16 C26 C36 0 0 C66 12
(2.17) (2.18)
显然，单对称材料的式(2.18)和一般各向异性材料的式(2.7)相比，独立的 弹性常数由21个减少到13个。 与式(2.18)相对应，其应变-应力的关系为:
1 S11 S12 S13 0
31
C51
C52
C53
C54
C55
C56
3'1
12 C61 C62 C63 C64 C65 C66 12
(2.7)
(2.12)
这样由式(2.7)可得 1 C111 C12 2 C133 C14 23 C15 31 C1612 (2.13)

第二章各向异性材料的应力应变关系

的法线方向 称为该材料的主方向。
四：横向各向同性材料的应力-应 变关系
三个相互垂直的弹性对称面中有一个是各向同 性的，如单向纤维增强复合材料。
其应力-应变关系为：
独立弹性常数只有５ 个
五：各向同性材料的应力-应变关 系
具有无穷多个弹性对称面的材料称为各向同性材 料。这种材料对于三个相互垂直的弹性对称面 的弹性性能完全相同。刚度系数满足：
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复合材料力学与结构
第二章各向异性材料的应力应变关系
２.１三维各向异性材料的应力-应 变关系
一：广义胡克定律
在弹性变形范围内，应力与应变成正比例关系，
其比例系数称为弹性量。（拉压模量、剪切模
量等）
ij C ijkl kl
应力与应变的 关系
S ij
ijkl (ki.lj.k.l=1.2.3)
则柔度系数与工程弹性常数关系为：
同理，沿 ２ 轴向和 ３ 轴向的 单向拉伸，还可得：
对于102面、203面和103面的纯剪切，可得：
式中E1,E2,E3和G12,G23,G13分 别为正交各向异性材料的拉压弹 性模量和剪切弹性模量； V12,V23,V13以及V21,V32,V31分 别为主泊松比和副泊松比
单对称材料的应力
则单对称材料的应力应变关系就可以表示为：
则其应变-应力关系可以表示为：
三：正交各向异性材料的应力-应 变关系
具有三个相互正交的弹性对称面的材料称为正交 各向异性材料。按单对称材料分析方法可得：
则应力-应变关系为：
应变-应力关系为：
独立弹性常数只有９个， 正交各向异性材料三个 相互垂直的弹性对称面

弹性力学 第四章应力和应变的关系


vI t
x
x
t
y
y
t
z
z
t
yz
yz
t
xz
xz
t
xy
xy
t
若固定x,y,z的值，则得在dt时间内vI 的增量为，即在上式两边乘以dt
dvI xd x yd y zd z yzd yz xz d xz xyd xy
由于内能密度 vI 是状态的单值函数，dvI 必须是全微分，因此
所以
v
1 2
(
x
x
y y
zz
xy xy
xz xz
zy zy )
张量表示
v
1 2
ij
ij
弹性体应变能 V v dV V
§4－3 各向异性弹性体
（一）极端各向异性弹性体
理论具有36个弹性常数
x c11 x c12 y c13 z c14 xy c15 yz c16 zx y c21 x c22 y c23 z c24 xy c25 yz c26 zx
的值，根据无初始应力假设，( f1)0为0。均匀材料，函数 f1
对应变的一阶偏导数为常数。这是因为对物体内各点来说，
承受相同的应力，必产生相同的应变；反之，物体内各点
有相同的应变，必承受同样的应力。
经过上面的处理后，小变形情况就可简化为
广义胡克定律
x C11 x C12 y C13 z C14 xy C15 yz C16 xz y C21 x C22 y C23 z C24 xy C25 yz C26 xz z C31 x C32 y C33 z C34 xy C35 yz C36 xz xy C41 x C42 y C43 z C44 xy C45 yz C46 xz yz C51 x C52 y C53 z C54 xy C55 yz C56 xz xz C61 x C62 y C63 z C64 xy C65 yz C66 xz
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各向异性弹性体的应力
和应变关系
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下面从广义胡克定理公式出发，用应变能的概念建立常见的各向异性弹性体的应力和应变关系。

1.完全各向异性弹性体
根据格林公式和广义胡克定律，有
；对于上式，如果
对切应变xy 求偏导数，有。

同理，有
；对于上
式，如果对正应变x 求偏导数，有。

因此，C 14=C 41。

对于其它的弹性常数可以作同样的分析，则
C mn =C nm
上述结论证明完全各向异性弹性体只有21个弹性常数。

其本构方程为
2．具有一个弹性对称面的各向异性弹性体?
如果弹性体内每一点都存在这样一个平面，和该面对称的方向具有相同的弹性性质，则称该平面为物体的弹性对称面。

垂直于弹性对称面的方向称为物体的弹性主方向。

若设yz为弹性对称面，则x轴为弹性主方向。

以下根据完全各向异性弹性体本构方程，推导具有一个弹性对称面的各向异性弹性体的本构方程。

将x轴绕动 z 轴转动π角度，成为新的Ox'y'z'坐标系。

新旧坐标系之间的关系为
x y z
x'l
1=-1 m
1
=0 n
1
=0
y'l
2=-1 m
2
=0 n
2
=0
z'l
3=-1 m
3
=0 n
3
=0
根据弹性对称性质。

关于x轴对称的应力和应变分量在坐标系变换时保持不变，而关于x轴反对称的应力和应变分量在坐标系变换时取负值。

所以
x'
=x，y' =y，z' =z，x'y' =xy，y'z' =yz，z'x' =zx
x'
=x，y' =y，z' =z，x'y' =xy，y'z' =yz，z'x' =zx
根据弹性主方向性质，作这一坐标变换时，本构关系将保持不变。

根据完全各向异性弹性体的本构方程，将
代入广义胡克定理，可得
将上式与广义胡克定理相比较，要使变换后的应力和应变关系保持不变，则必有
C 14=C
16
=C
24
=C
26
=C
34
=C
36
=C
54
=C
56
=0
这样，对于具有一个弹性对称面的弹性体，其弹性常数由21个将减少为13个。

具有一个弹性对称面的弹性体的应力应变关系为
3．正交各向异性弹性体
若物体每一点有两个弹性对称面，称为正交各向异性弹性体。

以下根据完全具有一个弹性对称面的各向异性弹性体本构方程
推导具有两个弹性对称面的各向异性弹性体的本构方程。

设 xz 平面也是弹性对称面，即y 轴也是弹性主方向。

在具有一个弹性对称面的基础上，
将 y 轴绕动z 轴转动角度，成为新的Ox'y'z'坐标系,。

根据弹性对称性质。

关于y轴对称的应力和应变分量在坐标系变换时也保持不变，而关于y轴反对称的应力和应变分量在坐标系变换时取负值。

所以，则新旧坐标系下的应力和应变分量的关系为
=x，y' =y，z' =z，x'y' =-xy，y'z' =-yz，z'x' =zx
x'
=x，y' =y，z' =z，x'y' =-xy，y'z' =-yz，z'x' =zx
x'
将上述关于y 轴弹性对称的应力应变关系代入具有一个弹性对称面的各向异性材料本构关系。

为保持应力和应变在坐标变换后不变，则必有
C
= C25= C35= C64=0
15
这样，对于具有二个弹性对称面的弹性体，
，其弹性常数由13个将减少为9个。

于是其应力应变关系简化为
假如弹性体有3个弹性对称面，也就是说，如果设xy平面也是弹性对称面，z 轴也为弹性主方向，则类似的推导可以证明，本构方程不会出现有新的变化。

因此，如果相互垂直的3个平面中有两个弹性对称面，则第三个必为弹性对称面。

二个弹性对称面的弹性体本构方程表明：如果坐标轴与弹性主方向一致时，正应力仅与正应变有关，切应力仅与对应的切应变有关，因此拉压与剪切之间，以及不同平面内的剪切之间将不存在耦合作用。

这种弹性体称为正交各向异性弹性体，其独立的弹性常数为9个。