轴扭转计算分解

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11圆轴扭转变形与刚度计算

§7.5
圆轴扭转变形与刚度计算
m m

d T dx GI p
1
一、圆轴扭转变形公式
由
m
m

T ( x )dx 满足平面假设的圆轴： GI p ( x ) l Tl T=Const，等截面圆轴： GI p
GIp－抗扭刚度
d T dx GI p
Ti l i Ti，Ipi在各段内为常数的轴： i 1 GI pi
or
T 180 [ ] GI p max
/ m
等截面圆轴扭转的刚度条件为：
Tmax [ ] (rad/m) GI p
or
Tmax 180 [ ] GI p
/ m
4
【例题1】
传动轴图所示。主动轮A输入功率 PA=36kw ，从动轮 B 、 C 、 D 输出功率分别为 PB=PC=11kW ， PD=14kW ，轴的转速为 n=300r/min ，许用切应力为[]=50MPa，切变模量为G=80GPa，单位长度许用扭转角为[]=0.5()/m。试确定：实心圆截面轴的直径d0；
l
x
12
三、圆轴扭转静不定问题
【例题3】设有 A 、 B 两个凸缘的圆轴，在扭力矩 m 的作用下发生了变形。这时把一个薄壁圆筒与轴的凸缘焊接在一起，然后解除m。设轴和圆筒的抗扭刚度分别是 G1Ip1 和 G2Ip2 ，试求轴内和筒内的扭矩。
m
m
A
B
13
解：由于筒与轴的凸缘焊接在一起，外加扭力矩 m解除后，圆轴必然力图恢复其扭转变形，而圆筒则阻抗其恢复。这就使得在轴内和筒内分别出现扭矩T1和T2。设想用横截面把轴与筒切开，因这时已无外力偶矩作用，平衡方程为 T1-T2=0 一度静不定问题，应在寻求一个变形协调方程。

04. 圆轴的扭转解析

在工厂里当看到一套传动装置时，往往可从轴径的粗细来判断这一组传动轴中的低速轴和高速轴。
§4-1圆轴扭转时所受外力的分析与计算
一、搅拌轴的三项功能二、n ， P， m 之间的关系（重点）
一、搅拌轴的三项功能
1.传递旋转运动：将电动机或减速机输出轴的旋转运动传递给搅拌物料的桨叶。 2.传递扭转力偶矩：将轴上端作用的驱动力偶传至轴的下端，用以克服桨叶旋转时遇到的阻力偶；力偶通过轴传递时，其力偶矩称为扭矩，扭矩属于内力，其值可借助外力偶矩求出； 3.传递功率：转轴带动桨叶旋转时要克服流体阻力作功，所需功率也是从转轴的上端输入后，通过轴传递给浆叶的。
（KN*m）
圆轴传递的功率P和转数n为已知时，用上述公式即可求出该轴外力矩的大小。由上式可以看出：如轴的功率P一定，转数n越大，则外力矩越小，反之，转数越低则外力矩越大。例如:化工设备厂卷制钢板圆筒用的卷板机，工作时滚轴所需力矩很大，因为功率受到一定的限制，所以只能减低滚轴的转数n来增大力矩M。由电动机经过一个三级四轴减速机带动滚轴，此减速机各轴传递的功率可看成是一样的。因此，转数n高的轴，力矩M就小，轴径就细一些；转数低的轴，力矩M就大，轴径就粗.
A
解：1）用截面法把所求
各轴截开：
2)分别求各段轴的扭矩: M M 1+ M B = 0
1 2
= -M =-M
B
B
=-350N.m
C
M M
B D
+ M -M
3
C
+ M = 0
2
=0
M
-M
=-700N.m
M
3
= M
D
= 446N.m
二、扭转内力:(扭矩和扭矩图)（续3）

扭转—扭转轴的应力及强度计算(建筑力学)

1.5 10 6

MPa 51.4MPa
4
WP
2.92 10
扭转
(2) 求空心轴的内径
因为要求实心轴和空心轴的扭转强度相同，故两轴的最
大切应力相等，即
'max max 51.4MPa

max
Tmax
Tmax

WP
D23 1 4 16

6
16Tmax
16
变形的能力。单位GPa，其数值可由试验测得。
切应变的其单位是弧度（rad）
扭转
二、圆轴扭转时横截面上的应力
从几何关系、物理关系和静力学关系这三个方面来分析圆
轴受扭时横截面上的应力。
1. 几何变形方面
取一圆轴进行扭转试验
试验现象表明，圆轴表面上各点的变形与薄壁圆筒扭转
时的变形一样。
扭转
由观察到的现象，对圆轴内部的变形可做如下假设：扭转
截面（危险截面）边缘点处。因此，强度条件也可写成 maxFra bibliotekTmax

[ ]
W
圆轴强度条件可以解决圆轴扭转时的三类强度问题，即
进行扭转强度校核、圆轴截面尺寸设计及确定许用荷载。
扭转
例9-6 一实心圆轴，承受的最大扭矩Tmax=1.5kN•m，轴
的直径d1=53mm。求：（1）该轴横截面上的最大切应力。
扭转
第四节圆轴扭转的强度计算
一、圆轴的扭转破坏试验与极限应力
圆轴的扭转试件可分别用Q35钢、铸铁等材料做成，扭
转破坏试验是在扭转试验机上进行。试件在两端外力偶Me
作用下，发生扭转变形，直至破坏。
Q35钢
铸铁

轴强度计算公式完整版

#43;C) －Fr×C－Ma=0
RBV=(Fr×C+Fa×d/2)/(b+C)=3790N RCV=Fr－RBV=111N
M′1V=RBV×b=3790×110=416900Nmm M″1V=RCV×C=111×180=19980Nmm
危险截面计算应力：
ca

M ca W

M 2 (T )2
0.1d 3
1
Mpa
危险截面所需直径：
d
3Βιβλιοθήκη M ca0.1 1
3
M 2 (T )2
0.1 1
mm
［σ-1］－许用弯曲应力，按材料查表(15-1) ★ 危险截面的确定：
综合0500 tg12o15 2280 N 2 .求作支反力及弯矩图 H面：
RBH=FtC/(b+C)=10500×180/(110+180) =6520N
RCH=Ft－RBH=10500-6520=3980N
M1H=RBH×b=6520×110=717000Nmm
S S 2
步骤
1. 作轴的受力计算简图，求支反力
2. 求作支反力及弯矩图（MH、MV图） 3. 求作合成弯矩图（M图） 4. 求作扭矩及扭矩图（αT图） 5. 求作当量弯矩及当量弯矩图（Me图） 6. 强度计算(转轴)
⑵ 按疲劳强度条件精确校核计算
Ⅰ计算危险截面弯曲、扭转应力危险截面：
M
W
T
WT
载荷大直径小有应力集中处
Ⅱ 计算弯曲、扭转疲劳的安全系数
S

1 K a m
S

1 K a m
Ⅲ 计算危险截面疲劳强度的安全系数
Sca

转轴扭转强度、刚度校核

max M n/Wn (1500 103 / 29800 )MPa 50.3MPa＜[ ]
传动轴满足强度要求。 2)刚度校核传动轴的极惯性矩为
IP 0.1D 4 (1 a4 ) {0.1 904[1 (85 / 90)4 ]}mm4 134 10 4 mm4
max 180 M n /(GI P ) (180 1500 103 / 80 103 134 10 4 ) 103/m
当两轴材料、长度相同，它们的重量之比等于横截面面
积之比。设A1、A2分别为空心轴和实心轴的面积，则有
A 1
/
A 2
[
(D
2
d
2)
/
4] /(D 22
/
4)
(90 2
852 )
/
612
0.235
第四节圆轴扭转时的强度和刚度计算
一、强度计算
为了保证圆轴安全正常地工作，即
max M n/Wn [ ]
(6-12)
例6-4 某传动轴，已知轴的直径d=40mm，转速
n材=料20的0许r/m用i切n，应力 60MPa ，试求此轴可传递的最大功率。
解 (1)确定许可外力偶矩
由扭转强度条件得
M n Wn[ ] (0.2 403 109 60 106 )N m 768N m
最
大力偶矩M =1500N·m，G =80GPa。
(1)试校核其强度及刚度。 (2)若将AB轴改为实心轴，试求其直径。 (3)比较空心轴和实心轴的重量。解 (1)试校核其强度及刚度。 1) 强度校核传动轴各截面上的扭矩均为
Mn = M = 1500N·m
传动轴的抗扭截面系数为
Wn 0.2D 3 (1 d 4 ) {0.2 903[1 (85 / 90)4 ]}mm3 29800 mm3 传动轴横截面上的最大切应力为

圆轴扭转

空心圆截面：
Wt

D3
16
(1
d4 D4
)

D3
16
(1 4 )
四等直圆杆扭转时的应力
例题1 已知空心圆截面的扭矩T=1kN·m，D=40mm，d=20mm，求最大、最小切应力。
解：
max
T
Wt
T

16
D3
(1

d4 D4
)
max min

16 1000

4.按大小比例和正负号，将各段杆的扭矩画在基线两侧，并在图上标出数值和正负号
例题1 画出图示杆的扭矩图 3kN·m Ⅰ 5kN·m Ⅱ 2kN·m
解： AC段
m 0
AⅠ 3kN·m
CⅡ
T1 T2
3kN·m
B 2kN·m
T1 3 0 T1 3kN m
BC段 m 0
T2 2 0 T2 2kN m
ρ
τdA b dA
O2 T
四等直圆杆扭转时的应力
4 极惯性矩
【公式3-16；公式3-18】
IP
2dA
A
D
2 2 2 d 0
O
D4
32
D
环形截面：
IP

32
(D4

d4)
d D
极惯性矩单位： m4
四等直圆杆扭转时的应力
同一截面，扭矩T，极惯性矩IP为常数，因此各点切应力τ的大小与该点到圆心的距离ρ成正比，方向垂直于圆的半径，且与扭矩的转向一致
例题3 画出图示杆的扭矩图
4kN·mⅠ 6kN·mⅡ 8kN·mⅢ 6kN·m

圆轴扭转变形与刚计算

2 dsdx
2G
l
T2
T2
8 2G dsdx
l

8
2G
ds

dx
T为常数的等截面杆
V

T 2l 2GI t
=W=T / 2
式中：
It

4 2 ds

Tl
GI t
27
三、开口薄壁杆的扭转应力
max
3T max
n
hi i 3
i 1

3Tl
n
G hi i 3
i 1
3
1
2
28
【例题5】如图所示为相同尺寸的闭口钢管和开口钢管，承受相同的扭矩T。设平均直径为d，壁厚为t，
试比较两者的强度和刚度。
d
t (a)
d
t (b)
29
T 2
Tl
GI t
4 2 I t ds

解：1. 对闭口薄圆环， A d 2 s d ，则
dT
t
t
(a)
(b)
相同的扭矩，由于应力分布不同导致了应力大小差别。
33
课后练习
思考：
一等直圆杆，当受到轴向拉伸时，杆内会产生切应变吗？当受到扭转时，杆内会产生正应变吗？
作业：
4-16 4-27 4-32 4-33
34
T1-T2=0
T1

T2

mG2 I p2 G1Ip1 G2 Ip2
T2
2
1
T1
16
§7.6 非圆截面杆的扭转
m
m
农业机械中的方轴
柴油机曲柄的受扭截面为矩形

圆轴扭转时的强度和刚度计算

A1 / A2 = [π (D 2 − d 2 ) / 4] /(πD 2 2 / 4) = (90 2 − 852 ) / 612 = 0.235
传动轴满足强度要求。 2)刚度校核传动轴的极惯性矩为
I P = 0.1D 4 (1 − a 4 ) = {0.1 × 90 4 [1 − (85 / 90 ) 4 ]}mm 4 = 134 × 10 4 mm 4 θ max = 180 M n /(πGI P )
= (180 × 1500 × 10 3 / 80 × 10 3 × 134 × 10 4 π ) × 10 3 °/m
= 0.8°/m ＜ [θ ]
传动轴满足刚度要求。 (2)计算实心轴的直径
1)按强度条件设计(设直径为D1)。若实心轴与空心轴强度相同，当材料相同时，它们的抗扭截面系数应相等，即
W n = πD 13 / 16 = πD 3 (1 Βιβλιοθήκη a 4 ) / 16由此得
D 1 = D3 1 − a 4 = [90 × 3 1 − (85 / 90) 4 ]mm = 53mm
根据扭转刚度条件，可以解决三类问题，即校核刚度、设计截面和确定许可载荷。
例6-5 汽车传动轴AB由45号无缝钢管制成，外径D=90mm,
[ 内径d=85mm，许用切应力 [τ ]=60MPa，θ ] =1.0°/m，工作时最
大力偶矩M =1500N·m，G =80GPa。 (1)试校核其强度及刚度。 (2)若将AB轴改为实心轴，试求其直径。 (3)比较空心轴和实心轴的重量。解 (1)试校核其强度及刚度。 1) 强度校核传动轴各截面上的扭矩均为
θ max = 180M n /(πGI P ) ≤ [θ ]
(6-13)

11.轴的扭转

已知传动轴的转速为300r/min, 主动轮输主动轮A输例11.2* 已知传动轴的转速为入功率为P 入功率为 A=500kW。从动轮。从动轮B,C,D输出功率输出功率分别为 PB =150kW, PC =150kW, PD =200kW. 求作：该轴扭矩图。求作：该轴扭矩图。解: （1）计算主、从动轮传递的外力偶矩）
第 11 章
轴的扭转
11.1
扭转概念及外力偶矩计算
11.1.1 扭转的概念
扭转及变形是一种因转动引起的常见现象。扭转及变形是一种因转动引起的常见现象。通过扭转传递功率的构件（转动的杆）轴：通过扭转传递功率的构件（转动的杆）.
m
m
m
m
11.1.2 外力偶矩的计算
已知：已知：输入输出功率 P (kW) ，转速 n (r/min) . 则：外力偶矩
如图. 用截面法计算扭矩计算扭矩：解: 如图用截面法计算扭矩： T = m = 156N ⋅ m 实心段AC： ① 实心段：
16 T 156 × 103 τ max1 = = ≈ 24 ( MPa) 3 W p1 6.55 × 10 W p1 =
π
D 3 ≈ 0 .2 × 32 3 = 6 .55 × 10 3 ( mm 3 )
M e = 9550 P / n ( N ⋅ m )
M e dϕ dW = = M eω 证明：证明：Q P = dt dt
ω = 2π n
∴ P = 2πnM e P ∴ Me = 2π n
P
n
Me
输入功率P以、转速n以为单位代入，输入功率以kW、转速以 r/min为单位代入，为单位代入那么，外力偶矩M 那么，外力偶矩 e为:

轴的扭转强度计算

非定位轴肩→便于装配→h=(0.5～1)mm
定位轴肩→零件定位→ h ＝3~5 mm 2.设计轴肩时应注意: (1)轴承定位轴肩(套筒)不能过高 (2)轴长应略短于轮毂宽度 (3)安装标准件轴段直径， (a)滚动轴承 (b)联轴器 (c)密封件 (4)轴肩圆角ｒ轮毂孔圆角Ｒ(倒角Ｃ)

轴上有键槽时：放大轴径：一个键槽：3~5%
二个键槽：7~10%
取标准植
13.3 轴的强度计算

二、轴的弯扭合成强度计算
转轴同时承受扭矩和弯矩，必须按二者组合强度进行计算。通常把轴当作置于铰链支座上的梁，作用于轴上零件的力作为集中力，其作用点取为零件轮毂宽度的中点上。具体的计算步骤如下：
①轴和轴上零件要有准确、牢固的工作位置 ②轴上零件装拆、调整方便 ③轴应具有良好的制造工艺性等 ④尽量避免应力集中

13.2 轴的结构设计
二、零件在轴上的固定 1、周向固定为了传递运动和转矩，防止轴上零件与轴作相对转动。常用的周向固定方法有键、花键、销、过盈配合、弹性环联接、成形联接等。
碳钢比合金钢价廉，对应力集中的敏感性比较低，适用于一般要求的轴。合金钢比碳钢有更高的力学性能和更好的淬火性能，在传递大功率并要求减小尺寸和质量、要求高的耐磨性，以及处于高温、低温和腐蚀条件下的轴常采用合金钢。在一般工作温度下（低于200℃），各种碳钢和合金钢的弹性模量均相差不多，因此相同尺寸的碳钢和合金钢轴的刚度相差不多。
一、轴的扭转强度计算
用于：①只受扭矩或主要承受扭矩的传动轴的强度计算 ②结构设计前按扭矩初估轴的直径dmin
对于圆截面的实心轴，其抗扭强度条件为：
强度条件
T
T WT
9.55 106
0.2d 3

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5.3.1实心圆轴横截面上的应力
工程中要求对受扭杆件进行强度计算，根据扭矩T确定横截面上各点的切应力。下面用实心圆轴推导切应力在横截面上的分布规律。
1、变形几何关系
取一实心圆轴，在其表面等距离地画上圆周线和纵向线，如图5.9（a）所示，然后在圆轴两端施加一对大小相等、方向相反的扭转力偶矩，使圆轴产生扭转变形，如图5.9（b）所示，可观察到圆轴表面上各圆周线的形状、大小和间距均未改变，仅是绕圆轴线作了相对转动；各纵向线均倾斜了一微小角度。
第5章扭转
5.1 扭转的概念及外力偶矩的计算
5.1.1、扭转的概念
在工程实际中，有很多以扭转变形为主的杆件。例如图示5.1，常用的螺丝刀拧螺钉。
图5.1
图示5.2，用手电钻钻孔，螺丝刀杆和钻头都是受扭的杆件。
图5.2
图示5.3，载重汽车的传动轴。
图5.3
图示5.4，挖掘机的传动轴。
图5.4
图5.5所示，雨蓬由雨蓬梁和雨蓬板组成（图5.5a），雨蓬梁每米的长度上承受由雨蓬板传来均布力矩，根据平衡条件，雨蓬梁嵌固的两端必然产生大小相等、方向相反的反力矩（图5.5b），雨蓬梁处于受扭状态。
（5.1）
式中m----作用在轴上的外力偶矩，单位为；
N-----轴传递的功率，单位为；
n------轴的转速，单位为r/min。
图5.7
5.2 圆轴扭转时横截面上的内力及扭矩图
5.2.1扭矩
已知受扭圆轴外力偶矩，可以利用截面法求任意横截面的内力。图5.8a为受扭圆轴，设外力偶矩为，求距A端为x的任意截面上的内力。假设在截面将圆轴截开，取左部分为研究对象（图5.8b），由平衡条件，得内力偶矩T和外力偶矩的关系
图5.10
设半径R，根据平面假设，可以设想扭转时各横截面如同刚性平面一样绕杆轴作相对转动。则由图可知变形后，纵向线段变为，和的夹角为（切应变），对应横截面的圆心角，在小变形的条件下可以建立如下关系。
为了研究横截面上任意点的切应变，从圆轴截面内取半径为的微段，如图5.10（b）所示。同理可得
（5.2）
上式表明，横截面上任意点的切应变同该点到圆心的距离成正比关系。
2、物理关系
根据剪切胡克定律，在剪切比例极限之内（或弹性范围以内）切应力和切应变成正比关系
将（5–2）式代入上式，得
（5.3）
上式表明，圆轴扭转时，横截面上任意点处的切应力与该点到圆心的距离成正比，其分布如图5.11所示，式中可利用静力方程确定。
塑性材料
脆性材料
例题5.2汽车的主传动轴，由45号钢的无缝钢管制成，外径，壁厚，工作时的最大扭矩，若材料的许用切应力，试校核该轴的强度。
解：1、计算抗扭截面系数
主传动轴的内外径之比
抗扭截面系数为
2、计算轴的最大切应力
3、强度校核
主传动轴安全
例题5.3如把上题中的汽车主传动轴改为实心轴，要求它与原来的空心轴强度相同，试确定实心轴的直径，并比较空心轴和实心轴的重量。
图5.5
分析以上受扭杆件的特点，作用于垂直杆轴平面内的力偶使杆引起的变形，称扭转变形。变形后杆件各横截面之间绕杆轴线相对转动了一个角度，称为扭转角，用表示，如图5.6所示。以扭转变形为主要变形的直杆称为轴。
图5.6
本章着重讨论圆截面杆的扭转应力和变形计算。
5.1.2、外力偶矩的计算
工程中常用的传动轴（图）是通过转动传递动力的构件，其外力偶矩一般不是直接给出的，通常已知轴所传递的功率和轴的转速。根据理论力学中的公式，可导出外力偶矩、功率和转速之间的关系为：
图5.9
根据观察到的现象，由表及里作出如下假设。
⑴变形后，圆轴上所有的横截面均保持为平面，即平面假设；
⑵横截面上的半径仍保持为直线；
⑶各横截面的间距保持不变。
圆轴扭转时，横截面上的切应力非均匀分布，仅依靠静力方程无法求出，必须利用变形条件建立补充方程，即切应力的导出需按解超静定问题的相似步骤进行。
根据上述假设，从圆轴中取相距为的微段进行研究，如图5.10（a）所示。
5.3.2极惯性矩和抗扭截面系数
极惯性矩和抗扭截面系数可按其定义通过积分求得。下面介绍其计算方法。
对于图5.12（a）实心圆轴，可在圆轴截面上距圆心为处取厚度为的环形面积作为微面积dA，于是，从而可得实心圆截面的极惯性矩为
抗扭截面系数为
如为图（b）空心圆轴，则有
式中为空心圆轴内外径之比。空心圆轴截面的抗扭截面系数为
极惯性矩的量纲是长度的四次方，常用的单位为或。抗扭截面系数的
量纲是长度的三次方，常用单位为或。
（a）（b）
图5.12
5.4 等直圆轴扭转时的强度计算
5.4.1圆轴扭转强度条件
工程上要求圆轴扭转时的最大切应力不得超过材料的许用切应力，即
对于等截面圆轴，表示为
上式称为圆轴扭转强度条件
试验表明，材料扭转许用切应力和许用拉应力有如下近似的关系。
例题5.1图示传动轴，转速，A轮为主动轮，输入功率，B、C、D为从动轮，输出功率分别为，，，试求各段扭矩。
解：1、计算外力偶矩
2、分段计算扭矩，设各段扭矩为正，用矢量表示，分别为
（图c）
（图d）
（图e）
，为负值说明实际方向与假设的相反。
3、作扭矩图
例题5.1图
5.3 等直圆轴扭转时横截面上的切应力
内力偶矩T称为扭矩。
扭矩的正负号规定为：自截面的外法线向截面看，逆时针转向为正，顺时针转向为负。
图5.8
图示5.8的b和c，从同一截面截出的扭矩均为正号。扭矩的单位是或。
5.2.2扭矩图
为了清楚地表示扭矩沿轴线变化的规律，以便于确定危险截面，常用与轴线平行的坐标表示横截面的位置，以与之垂直的坐标表示相应横截面的扭矩，把计算结果按比例绘在图上，正值扭矩画在轴上方，负值扭矩画在轴下方。这种图形称为扭矩图。
图5.11
3、静力学关系
根据图5.11所示，横截面上任意点的切应力和中，称截面的极惯性矩，代入上式，得
（5.4）
将（5.4）式代入（5.3）式，得到圆轴扭转横截面上任意点切应力公式
（5.5）
当时，表示圆截面边缘处的切应力最大
（5.6）
式中，称为抗扭截面系数。它是与截面形状和尺寸有关的量。
解：1、求实心轴的直径，要求强度相同，即实心轴的最大切应力也为，即