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1.3.2杨辉三角与二项式系数的性质精品PPT课件

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杨辉三角与二项式系数的性质一ppt课件

杨辉三角与二项式系数的性质一ppt课件

最大项与增减性
增减性的实质是比较 Cnk与Cnk1的大小.
Cnk
k
!
n! (n
k)!
n
k k
1
(k
1)!
n! (n
k
1)!
n
k k
1
C k1 n
所以C
k n
相对于C
k n
1的增减情况由
nk 1 1 k n1
nk k
1 决定．
k
可知，当
k
n
1
2
时，
2
二项式系数是逐渐增大的，由对称性可知它的后
1 C
0 6
C
1 6
C
2 6
C
3 6
C
4 6
C
5 6
C
6 6
6 15 20 15 6 1
你知道这是什么图表吗？
《 杨辉 三角
详
解
九 章
杨
算
辉
法
》
记
载
的
表
以上二项式系数表,早在我 国南宋数学家杨辉1261年所著的
《详解九章算法》一书里就已经出现了，这个表称为杨辉三角，
杨辉指出这个方法出于《释锁》算书，且我国北宋数学家贾宪
(3)a1 a3 a5 a7 (4)a0 a2 a4 a6
解 : 设f (x) (1 2x)7
(3) f (1) a0 a1 a2 a7 f (1) a0 a1a2 a3 a7
2(a1 a3 a5 a7) f (1) f (1)
a1 a3 a5 a7
倒序相加法
知识对接测查3
1.C110 C120
C 10 10
2_1_0__1_; 1023

杨辉三角与二项式系数的性质 课件

杨辉三角与二项式系数的性质 课件
“杨辉三角”与二项式系数的性质
一般地，对于n N*有
二项定理:
二项展开式中的二项式系数指的是那些？共有多少个？
下面我们来研究二项式系数有些什么性质？我们先通过杨辉三角观察n为特殊值时，二项式系数有什么特点？
1．“杨辉三角”的来历及规律
展开式中的二项式系数，如下表所示：
C
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
…… …… ……
表中每行两端都是1，与这两个1等距离的系数相等；而且在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和；同一行中系数先增后减。
上面的表叫做二项式系数表(杨辉三角)
(1)对称性: 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．
(3)增减性与最大值.
增减性的实质是比较 的大小.
小结：赋值法在二项式定理中，常对a,b赋予一些特 定的值1，-1等来整体得到所求。
赋值法的应用 —解决二项式系数问题.
赋值法
例2.
例2
思考：
小结：求奇次项系数之和与偶次项系数的和 可以先赋值，然后解方程组整体求解
练习:(1﹣x )13 的展开式中系数最小的项是 ( ) (A)第六项 (B)第七项 （C）第八项 (D)第九项
例1 证明在 的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．
证明在(a+b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.
即证：
证明：在展开式 中 令a=1，b=－1得
（3）增减性与最大值
因此，当n为偶数时，中间一项的二项式
系数 取得最大值；

1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质说课课件

1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质说课课件

一：教材分析 二：目标分析 三：重点难点 四：过程分析 五：教法分析
一：教材分析
教材的地位及作用
本节课是普通高中课程标准实验教科书数学 选修2-3、第一章第3节、二项式定理第3课 时，前面已经学习了组合、组合数及二项式 定理。在此基础上继续学习杨辉三角，研究 二项式系数的性质。可以进一步深化认识组 合数，导出一些组合数的恒等式，进行组合 数的计算和变形。又与概率统计中的二项分 布有其内在联系。
设计意图：在例1的基础上及时巩固，目的在于 对赋值法领会及运用能力；
综合跃升
1、在(x＋y)n的展开式中，第四项与第八项的
系数相同，则展开式中系数最大的项是（ ）
A 第6项
B 第 5项
C 第5项和第6项 D 第6项和第7项
2、已知(1+2x)10=a0+ a1x+ a2x2+ …+a10x10
求(1) a0+ a1+ a2+… +a9+ a10的值；
质》
特征：
1 、 两端都是1
11 121
2 、 对称性
1331
3 、 中间数最大 1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
4 、 除1之外的每一个数都等于“肩上” 两个数的和
2021/1/7
质》
【设计意图 ： 】
由学生自己动手计算、填表、主动去发现 规律，可以培养学生观察、分析、比较、 归纳、猜想的积极探索能力
4、巩固新知
• 1、求 (a b)6展开式中的倒数第三项的二项 式系数。
• 2、(1 x)n 展开式中只有第十项二项式系数 最 大，求n的值.
设计意图：对性质1、2及时巩固应用

「精品」人教A版高中数学选修2-3课件1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质-精品课件

「精品」人教A版高中数学选修2-3课件1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质-精品课件

探究一
探究二
探究三
探究四
探究一 与杨辉三角有关的问题
解决与杨辉三角有关的问题的一般思路.
探究一
探究二
探究三
探究四
【典型例题 1】 下列是杨辉三角的一部分.
(1)你能发现组成它的相邻两行数有什么关系吗? (2)从图中的虚线上的数字你能发现什么规律?
探究一
探究二
探究三
探究四
解:(1)杨辉三角的两条腰都是由数字 1 组成的,其余的数都等于它肩上 的两个数之和.
∴第四项 T4=C63·(2 3 ������)3·(-1)3=-160x.
答案:-160x
12345
5.若(3x-1)7=a7x7+a6x6+…+a1x+a0,求: (1)a7+a6+…+a1;(2)a7+a5+a3+a1; (3)a6+a4+a2+a0;(4)|a7|+|a6|+…+|a1|.
等式组 AAkk++11≥≥AAkk+,2确定 k 的值.
探究一
探究二
探究三
探究四
解:T6=������n5·(2x)5,T7=������n6·(2x)6,依题意有������n5·25=������n6·26⇒ n=8.
∴(1+2x)8 的展开式中,二项式系数最大的项为 T5=������84·(2x)4=1 120x4. 设第 k+1 项系数最大,则有 ������8k ·2������ ≥ ������8k-1·2������-1, ������8k ·2������ ≥ ������8k+1·2������+1, 解得 5≤k≤6.∴k=5 或 k=6(∵k∈{0,1,2,…,8}).

数学课件：1.3.2 杨辉三角

数学课件：1.3.2 杨辉三角

间两项,这两项的二项式系数相等并且最大,最大为C������2 = C������2 .
题型一 题型二 题型三 题型四
题型一 杨辉三角的应用
【例1】 在“杨辉三角”中,每行的两端都是1,其余每个数都是它 “肩上”两个数的和,“杨辉三角”开头几行如图所示.
(1)利用“杨辉三角”展开(1-x)6; (2)在“杨辉三角”中哪一行会出现相邻的三个数,它们的比是
12
【做一做2-2】 在(1-x)6的展开式中,含x的奇数次幂的项的系数 和为( )
A.32 B.-32 C.0 D.-64 解析:由 Tr+1=C6������ (-x)r=(-1)rC6������ xr 可知,含 x 的奇数次幂的项的系数 和为-(C61 + C63 + C65)=-32. 答案:B
=
4 5
,
化简得
3 4 4 5
= =
������
������+1-������
������+1 ������-������
,
,
1.理解杨辉三角的意义. 2.掌握二项式系数的性质并会应用.
12
1.杨辉三角 关于(a+b)n展开式的二项式系数,当n取正整数时可以单独列成下 表的形式:
上面的二项式系数表称为“杨辉三角”或“贾宪三角”,在欧洲称为 “帕斯卡三角”.
12
名师点拨 解决与杨辉三角有关的问题的一般方法:观察——分 析——试验——猜想结论——证明.要得出杨辉三角中数的诸多排 列规律,取决于我们的观察能力,观察的方法:横看、竖看、斜看、 连续看、隔行看,从多角度观察.
12
【做一做1】 如图所示,在由二项式系数所构成的杨辉三角中,第

“杨辉三角”与二项式系数的性质课件

“杨辉三角”与二项式系数的性质课件

[规律方法] 解决与杨辉三角有关的问题的一般思路是：通 过观察找出每一行数据间的相互联系以及行与行间数据的相 互联系．然后将数据间的这种联系用数学式子表达出来，使 问题得解．注意观察方向：横看、竖看、斜看、连续看、隔 行看，从多角度观察．
题型二 二项展开式的系数和问题
【例2】 已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，求下列各式的值． (1)a1＋a2＋…＋a7； (2)a1＋a3＋a5＋a7； (3)a0＋a2＋a4＋a6； (4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|． [思路探索] 本题主要考查二项式系数与各项系数的区别，赋值法在求二项式系数中的应用以及分析 问题、解决问题的能力．可用赋值法解决各项系数和或部分项系数和，一般令x＝0或x＝±1解决问 题．
题型三 求二项展开式中的最大项问题
【例 3】 已知 f(x)＝(3 x2＋3x2)n 展开式中各项的系数和比各项的 二项式系数和大 992． (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项．
审题指导 (1)
(2)
由1知
―→
通项公式
―→
Tr＋1≥首项是 C22，第 2 项是 C21，第 3 项是 C32，第 4 项是 C31，…，第 17 项是 C120，第 18 项是 C110，第 19 项是 C121． ∴S19＝(C12＋C22)＋(C13＋C23)＋(C41＋C42)＋…＋(C110＋C210)＋C211 ＝(C12＋C13＋C14＋…＋C110)＋(C22＋C32＋…＋C121)＝2＋120×9 ＋C132＝274．
最大项
[规范解答] (1)令 x＝1，则二项式各项系数的和为 f(1)＝(1＋
3)n＝4n，又展开式中各项的二项式系数之和为 2n．由题意知，

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,
C1n
,
C
2 n
,,
C
n n
从函数角度看，C
r n
可看
成是以r为自变量的函数f (r) ,
其定义域是：0,1,2,, n
当 n 6 时，其图象是右
图中的7个孤立点．
人教高中数学选修2“杨辉三角”与二 项式系 数的性 质PPT 课件
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在二项式定理中，令 a 1, b 1 ，则：
11 n Cn0 Cn1 Cn2 Cn3 (1)nCnn
0 (Cn0 Cn2 ) (Cn1 Cn3 )
C
0 n
C2n
C1n
C3n
2n 2
2n1
赋值法
例题
1.C110 C120
C 10 10
2_1_0 __1_;
二项式系数的性质
①对称性
与首末两端“等距离” 的两个二项式系数相等．
这一性质可直接由公式
C
m n
C
n n
m
得到．
图象的对称轴：r n 2
人教高中数学选修2“杨辉三角”与二 项式系 数的性 质PPT 课件
人教高中数学选修2“杨辉三角”与二 项式系 数的性 质PPT 课件
练习：
1、在(a＋b)６展开式中，与倒数第三项二 项式系数相等是( B )
r 8
所以当r 8时，系数绝对值最大的项为
T9
C
8 20
312
28
x12
y8
例题点评
解决系数最大问题，通常设第 r 1项是系数最
大的项，则有
TTrr
1 1
Tr Tr 2

1.3.2杨辉三角和二项式系数的性质


因此，当n为偶数时，中间一项的二项式
n
系数 C
2 n
取得最大值；
n 1
当n为奇数时，中间两项的二项式系数 C n 2 、
n 1
C
2 n
相等，且同时取得最大值。
精品课件
二项式系数的性质
（3）各二项式系数的和
在二项式定理中，令 ab1，则：
C 0 n C 1 n C n 2 C n n2 n
这就是说，(a b)n的展开式的各二项式系
数的和等于：2 n
同时由于C0n 1，上式还可以写成： C 1 n C 2 n C 3 n C n n 2 n 1
这是组合总数公式．精品课件
例1 证明在 (a b)n的展开式中，奇 数项的二项式系数的和等于偶数项的二 项式系数的和．
精品课件
例2
已知 (3 x 2 )n 的展开式中，第
x
4项的二项式系数是倒数第2项的二项式系 数的7倍，求展开式中x的一次项．
精品课件
内容小结
二项展开式中的二项式系数都是一些特 殊的组合数，它有三条性质，要理解和掌握 好，同时要注意“系数”与“二项式系数” 的区别，不能混淆，只有二项式系数最大的 才是中间项，而系数最大的不一定是中间项， 尤其要理解和掌握“取特值”法，它是解决 有关二项展开式系数的问题的重要手段。
1.3.2杨辉三角和二项式系数性 质
精品课件
杨辉三角
《
九
章
杨
算
辉
术
》
精品课件
杨辉三角
《
详
解
九
章
算
法
》
中
记
载
的
表
精品课件
杨辉三角

高中数学选修2(新课标)课件1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质

解析：根据二项式系数的性质进行判断，由二项式系数的性质 知：二项式系数之和为 2n，故 A 正确；当 n 为偶数时，二项式系数 最大的项是中间一项，故 B 正确，C 错误；D 也是正确的，因为展 开式中第 6 项的系数是负数，所以是系数中最小的．
答案：C
2．已知(a＋b)n 展开式中只有第 5 项的二项式系数最大，则 n 等于( )
－1，可解出 a0＋a2＋a4＋…＋a12. (2)令 x＝1，由各项系数和先求出 n，再求常数项．
方法归纳
二项展开式中系数和的求法 (1)对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R，m，n∈N*)的 式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令 x＝1 即可； 对(ax＋by)n(a，b∈R，n∈N*)的式子求其展开式各项系数之和，只 需令 x＝y＝1 即可． (2)一般地，若 f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则 f(x)展开式中 各项系数之和为 f(1)， 奇数项系数之和为 a0＋a2＋a4＋…＝f1＋2f－1， 偶数项系数之和为 a1＋a3＋a5＋…＝f1－2f－1.
解析：(1)令 x＝1，
得 a0＋a1＋a2＋…＋a2 018＝(－1)2 018＝1. (2)令 x＝－1，得
a0－a1＋a2－…－a2 017＋a2 018＝32 018. ①＋②得
2(a0＋a2＋a4＋…＋a2 018)＝1＋32 018，
所以
a0＋a22.
1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质
知识点一 杨辉三角的特点
(1)在同一行中，每行两端都是____1____，与这两个 1 等距离的 数___相__等___．
(2)在相邻的两行中，除 1 以外的每一个数都等于它“肩上”两 个数的____和____，即 Cnr＋1＝Crn－1＋Crn.

1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质


(a + b)1 (a + b)2
11 121
P353
(a + b)3
13 31
(a + b)4
14 6 41
(a + b)5
1 5 10 10 5 1
(a + b)6
1 6 15 20 15 6 1
规律
1：(1)
Cn0
=
C
n n
=
1
当n不大时，可借
(2)
C
m n
=
C n-m n
助“杨辉三角”直接得
n +1 项）的
2
n
二此当 二项两n项为式项式奇系二系数数项数时最式相：大系等中数且，间是最此两：大项项二C（项nn第2-1式n系2C1数+nn12是+1项：）C的n2
思考题:已知二项式 ( a + b )15
(1)求二项展开式中的中间项；
(2)比较T3, T7 , T12 , T13项中二项式系数的大小,
由 ( 1 + 2 ) 2 得 a 0 + a 2 + a 4 + a 6 = 1093
【练习】已知( 1 + 2 x)n .若展开式前三项的二项式系数和等于 2
79，求展开式中系数最大的项．
(((解222)))：∵∵∵∵CCC00nn0nC＋＋＋0n＋CCC1n1n1nC＋＋＋1n＋CCC2n2n2nC＝＝＝2n＝777999，7，，9∴，∴∴n∴nn222＋＋n＋2n＋nn－－－n1－115556166＝5＝＝60＝00. ..0. ∴∴∴nnn＝＝＝＝11112222或或或或 nnnn＝＝＝＝－－－－11113333((((舍舍舍舍去去去去)))． )．．．设设设设TTTTkk＋kk＋＋＋1111项项项项的的的的系系系系数数数数最最最最大大大大，，，，
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(a+b)n的展开式的所有二项式系数的和等于2n
应用: 集合a1, a2,, an的非空子集有多少个?
2n 1
例5.在(a b)n 展开式中,奇数项二项式系数的和 等于偶数项二项式系数的和.
证明： 在(a+b)n中,令a=1,b= -1得：
(11)n Cn0 Cn1 Cn2 Cn3 Cnr (1)n Cnn ,
Cn2
2n2
(1)
C n1 n1 n
2
(1)n
例6.已知(1+x)3+(1+x)4+…+(1+x)50 .
(1) 求展开式的各项系数和； (2) 求x的偶次幂项系数和.
解: 设: (1+x)3 +(1+x)4 +…+(1+x)50 =a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a50x50
(1)即求：a0+a1+a2+…+a50
例3．求(2x+1)12展开式中系数最大的项.
解: 设Tr+1 的系数最大，则Tr+1 的系数 不小于Tr 与Tr+2 的系数，即有
新疆 王新敞
奎屯
C1r2 212r C1r2 212r
C 2 r1 13r 12
C1r211211r
C2C1r21r22CC11rr2211
3 1 r 4 1 , r 4
令x=1得：a0 +a1 +a2 +…+a50 =251 -23
253 23
(2)即求：a0+a2+a4+…+a50
2
令x=1得： a0+a1+a2+a3+…+a50=251-23 令x=-1得： a0 -a1+a2 -a3+…+a50=0
例7. (3+2x)10的展开式中，
(1) 所有项的二项式系数和为_2_1_0_;
C 有中间一项:
第
n
2
+1
项T
n 2
+1
的二项式系数最大,
为
n
n2
(2)当n为奇数时，展开式共有n+1(偶数)项，所以展开式
C C 有中间两项:
为
n -1
2
n
、
第
n+1
2
n+1
2.
n
、n+2 1+1 项的二项式系数最大,
例题巩固
例1. (1-x)n的展开式中第4项与第7项的二项式系数相等，
则展开式中: (1)二项式系数最大的项是第_5_、_6_项;
a0 a1 a2 a7 a0 a1 a2 a7
(a0 a1 a2 a7 ) f (1) (4)7 47.
.已知(2x 3)100 a0 a1x a2 x2 a100 x100 , 求下列各式的值 : (1)(a0 a2 a100 )2 (a1 a3 a99 )2 a7 27
f (1) a0 a1a2 a3 a7 47
(1)a1 a3 a5 a7
f (1) f (1) 2
27
47 ;
2
(2)a0 a2 a4 a6
f (1) f (1) 24 47 ;
2
2
(3)因为a1, a3, a5 , a7是负数
此表在我国现称为杨辉三角(“开方做法本源”).
杨辉三角
杨辉(宋朝) 《九章算术》
杨辉三角
《详解九章算法》中记载的表
二项式系数的性质
1.对称性 与首末两端“等距离”
的两个二项式系数相等． 这一性质可直接由公式
Cmn Cnnm 得到．
图象的对称轴：r n 2
如n=6时
2.增减性与最大值
由于：
二项式系数的性质
(a+b) (a+b)2 (a+b)3 (a+b)4 (a+b)5
11 121 13 31 1 4 64 1 1 55 10 10 55 1
(a+b)6 …
1 6 15 20 15 6 1
………….
………….
(a+b)n Cn0 Cn1 Cn2
Cnn-2 Cnn-1 Cnn
共有 n+1 项
(2)系数最大的项是____; (3)系数最小的项是____.
T5=C
4 9
x4
T6=C 95 (-x)5
=
-
C
5 9
x5
略解: 由题意可得:
(2)(3)要求：具体写出其项是什么.
Cn3 =Cn6 得 n = 9 最大二项式系数为 Cn4 、Cn5
例2.在（x 1 ）10的展开式中 x
系数最大的项是： 第5、第7项
3
3
∴展开式中系数最大项为第5项，T5=
C142 (2x)8 31680x8
例4.证明:Cn0 Cn1 Cn2
证明：
(1 x)n Cn0 Cn1x Cn2 x2
Cnn 2n. Cnr xr Cnn xn
令x=1得： 2n Cn0 Cn1 Cn2 Cnr Cnn.
0 (Cn0 Cn2 ) (Cn1 Cn3 ),
Cn0 Cn2 Cn1 Cn3 2n1,
(奇数项 的二项式系数和)
(偶数项 的二项式系数和)
对恒等式的字母进行赋值，可得一些重要性质 ——赋值法(是数学中一种常用方法).
练练,证明 :
2n
Cn1
2n1
Cn2
2n2
(1)
C
k n
n(n
1)(n 2)(n k (k 1)!
k
1)
Ck 1 n
n
k k
1
所以Ckn
相对于C
k n
1的增减情况由
n
k k
1
决定．
2.增减性与最大值
由： n k 1 1 k n 1
k
2
可知，当 k n 1 时， 2
二项式系数是逐渐增大的，由对称性可知它的 后半部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值.
n1
C n1 n
2
(1)n
1
证明: 由
(a b)n Cn0a n Cn1a n1b Cnr a nrbr Cnnbn ( n N * )
令a 2,b 1可得 :
(2 1)n Cn0 2n Cn1 2n1
(1)
C n1 n1 n
2
(1
)
n
(n N* )
1
2n
Cn1
2n1
因此，当n为偶数时，中间一项的二项式系数
n
Cn2 取得最大值；
n1
n1
当n为奇数时，中间两项的二项式系数
C
2 n
Cn2
相等，且同时取得最大值.
2.增减性与最大值
(1)若二项式的幂指数是偶数,中间一项的二项式系数最大;
(2)若二项式的幂指数是奇数,中间两项的二项式系数相等最大.
(最大系数规律)
(1)当n为偶数时，展开式共有n+1(奇数)项，所以展开式
510
(2) 所有项的系数和为_____.
赋值法 求所有项的系数和：令x=1即得.
例8.已知(3x 1)7 a0x7 a1x6 a6x a7. 求(1)a1 a3 a5 a7;(2)a0 a2 a4 a6;
(3) a0 a1 a2 a7 .
解 :设f (x) (3x 1)7