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3.3点的投影
一、点的投影特性及标记
P
1.点在一个投影面上的投影
● a A●
过空间点A的投射线与投 影面P的交点即为点A在P面上 的投影。
3 ●
●
● b
投影面上的投
解决办法？
影不能确定点
的空间位置。
采用多面投影。
2.点在三个投影面上的投影
都有哪些点？
V
a●
空间点：X,Y,Z都不为0
b
b
类似性
a
c c a
积聚性
βc
b
aγ
铅垂面
投影特性： 在它垂直的是平投为什面影什么？面么位上置？的的投影积聚成直
线。该直线与投影轴的夹角反映空间平面 与另外两投影面夹角的大小。
另外两个投影面上的投影为类似形。
⑵ 投影面平行面
积聚性
a b
c a c b 积聚性
a
实形性
c
b
投影特性：
●c
●d a ●
c ● a●
● b ●b
a● ●c
c
●
● b ●b
●c
不在同一 直线及 两平行直 两相交 平面
直线上的 线外一 线
直线
图形
三个点 点
二、平面的投影特性
⒈ 平面对一个投影面的投影特性
平行
垂直
倾斜
投影特性
★平面平行投影面——投影就把实形现
★平面垂直投影面——投影积聚成直线
★平面倾斜投影面——投影类似原平面
O
ay ay
A
Y X ax
●
向下翻
a●
● a
O
W
ay
Y
H
Y
二.点的投影规律
Z
Z
a●
az
a
●
V a
az
●
X
ax
Y O
ay
A
X ax
●
a●
● a
O
W
ay
a ●
Y ay
H
Y
① aa⊥OX轴 aa⊥OZ轴
② aax= aaz=y =Aa（A到V面的距离） aay= aaz =x =Aa（A到W面的距离） aax= aay =z =Aa （A到H面的距离）
四.重影点
空间两点在某一投影 面上的投影重合为一点时， 则称此两点为该投影面的 重影点。
A、C为H 面的重影点
a ●
● a
c●
● c
被挡住的投影 加( )
实质：只要空间两点的某两个坐 标值相同时，就会出现重影点。
a ●(c)
A、C为哪个投 影面的重影点 呢？
3.4 直线的投影
两点确定一条直线，将两 点的同名投影用直线连接，就 得到直线的同名投影。
立体感较差。
工程图样普遍采用正投影法绘制。
3.2 三视图的形成及投影规律
工程上多采用正投影法绘制投影图表达物体的形状,但不同 的物体在同一投影面上可获得相同的投影。
一个投影
不能唯一确 定的表达物 体的形状,必 须建立一个 投影体系,将 物体同时向 几个面投影, 用多个投影 图来确切的 表达物体的 形状。
真实性 积聚性 类似性
⒉ 平面在三投影面体系中的投影特性
平面对于三投影面的位置可分为三类：
垂直于某一投影面， 倾斜于另两个投影面
投影面垂直面
特殊位置平面
平行于某一投影面， 垂直于另两个投影面
投影面平行面
正垂面 侧垂面 铅垂面
正平面 侧平面 水平面
与三个投影面都倾斜 一般位置平面
⑴ 投影面垂直面
类似性
⑶ 棱柱面上取点
由于棱柱的表面都 是平面，所以在棱柱 的表面上取点与在平 面上取点的方法相同。
(b’ ) a’
a’’ b’’
作图分析:
b a
思考：如果b`带 （）怎么求？
(1) 由于前棱面的水平投影和侧面投影均具有积聚性,故可直接 求出a和a``。
(2) 由于左前棱面只有水平投影有积聚性,故只能利用积聚性 求出b,再根据YH=YW,由b和b`求出b``。
s`
s``
（n`）
n``
m`
b` n
s m
b
m``
c`
b``
a``（c``）
c
YW
YH
拓展思路：可以用辅 助面法求点吗？
s`
n`
h` m`
a`
b`
a
h
sn
m b
s``
( n`` )
h``
c` c``
a``
c
m`` b``
二 曲面立体 回转体
工程上常用的曲面立体一般为回转体。回转体 由回转面或回转面与平面围成。
铅垂线
正垂线
侧垂线
a
a c(d) d c e f e(f)
●
●
b
b
d
●
a(b)
c
ef
投影特性:一点两平
①在其垂直的投影面上， 投影有积聚性。
② 另外两个投影，反映线段实长，且垂直 于相应的投影轴。
⑶ 一般位置直线
V
b
B b
a
βγ
W
a
X
Ab
a
aH
a
投影特性
b Z b
a
O
Y
b
Y
三个投影都倾斜于投影轴，其与投影轴的夹角 并不反映空间线段与三个投影面夹角的大小。三个 投影的长度均比空间线段短，即都不反映空间线段 的实长。
3.5 平面的投影
一、平面的表示法
c
●
c
●
a●
a●
a●
● b
● b
●b
●b
a●
a●
a●
●c
● c
c
●
d a●
●
● b ●b
c
·2· 求曲线上一般点的投
1 b2
影;
·3· 判别可见性,光滑连线。
实长
b
Y
判断下列直线是什么位置的直线？
正平线
侧平线
实长 a
a
a
γ
b
b
b
a 实长
β
b
a
b
a
b
直线与投影面夹角的表示法：
与H面的夹角: 与V面的角:β
与W面的夹角:γ
例1：判断下列直线的空间位置
C′
a'
b'
a'
dd
d′
b'
C
a b
d
b a
AB为水平线
CD为侧平线
⑵ 投影面垂直线
三面投影体系的建立
正立投影面(简称V面)
水平投影面(简称H面) 侧立投影面(简称W面) 三面投影V⊥H⊥W 正面投影—主视图 水平投影—俯视图 侧面投影—左视图 投影面展开方法
V面不动,将H面绕OX轴向下旋转90,W面绕OZ轴向右旋转90,使三投 影面共面。
二、三视图的关系及投影规律
1.位置关系
主视图
左视图
主视图的 正右方
府视图
主视图的 正下方
2.三视图的投影关系
宽 高
长
宽
主视俯视长相等且对正 主视左视高相等且平齐 俯视左视宽相等且对应
三等关系
长对正 高平齐 宽相等
3.三视图之间的方位对应关系
上
上
左 下
右后 前 下
后 上
后
左
右
前
左
右
下 前
主视图反映：上、下 、左、右 俯视图反映：前、后 、左、右 左视图反映：上、下 、前、后
正面投影,试求其余两面投影。
解题分析
(1) 分析基本体的投影特性
c`
2`
圆柱面的水平投影有积聚性
(2) 分析线的位置及投影
b` 1`
线ABC位于前半个圆柱 a`
面上,空间为一段曲线,点A
在圆柱面的最左素线上,点
B在最前素线上
(3) 作图 ·1· 利用积聚性直接求出
ABC的水平投影,再求其侧 a
面投影;
它平行的轴线OO1旋转而成。
⑵ 圆柱体的三视图
圆柱面的俯视图积聚成一 个圆，在另两个视图上分别以 两个方向的轮廓素线的投影表 示。
O A
O1 A1
（3） 圆柱面上取点
例一 如下图所示,已知圆柱表面上点A和点B
的正面投影a`和b`,试求出a和a``及b和b``。
解题分析
(1) 分析基本体的投影特性
主要分析是否有积
X、Y、Z是点的坐标
2.点在三个投影面上的投影
V
点的分类？
a●
X
Z
A
●
● a
O
W
a●
空间点：X,Y,Z都不为0
H
Y
面上点： X,Y,Z一个为0
轴线点： X,Y,Z两个为0
原 点： X,Y,Z都为0
例：已知点的两个投影，求第三投影。
解法一:
a●
ax
az ●a
通过作45°线
使aaz=aax
⑴ 投影面平行线
水平线
投影特性：一斜两平
V
a ′ b′ Aβ γ
a βγ
H
a″ B b″W
b
① 在其平行的那个投影面上 的投影反映实长，并反映直线 与另两投影面倾角。
a ′ b ′ Za ″ b″ ② 另两个投影面上的投影平行
于相应的投影轴，其到相应投
X
O
a βγ
影轴距离反映直线与它所平行 Y 的投影面之间的距离。
面上点： X,Y,Z一个为0 X
