符号微积分与符号方程求解资料重点

微积分(知识点概要)微积分 (知识点概要)第一章函数、极限与连续1．1函数定义与符号1．2极限概念与运算法则1．3求极限的方法1．4函数的连续性1．1函数的定义（P1）1函数的定义1．若变量x、y之间存在着确定的对应关系，即当x的值给定时，唯一y值随之也就确定，则称y是x的函数，记为y=f(x)。

2．确定函数有两个要素：函数的定义域和对应关系。

例如：y=lgx2 与y =2lgx 就不是相同的函数，因为它们的定义域不同。

2函数记号一旦在问题中设定函数y=f(x)，记号“f”就是表示确定的对应规则，f（3）就是表示按此对应规则在x=3时所对应的函数值y等。

3初等函数（P6）称幂函数x k（k为常数），指数函数a x ，对数函数loga x （a为常数，a﹥0，a≠1）三角函数及反三角函数为基本初等函数。

凡由基本初等函数经有限次．．．加、减、乘、除及有限次复合且能用一个式子表达的函数，称为初等函数。

4函数的简单性质（1）有界性：（P5）对于函数f(x)，若存在常数M、m对定义域内所有xf(x)≤M 称f(x)有上界f(x)≥m 称f(x)有下界，既有上界又有下界简称有界。

（2）奇偶性：（P3）若函数f(x)的定义域关于x=0的对称区间，又对于定义域内的任意x均有f(-x)=f(x) 则称f(x)为偶函数。

f(-x)=-f(x) 则称f(x)为奇函数。

（3）单调性：（P4）若函数f(x)在[a、b]上有定义对∀x∊[a、b]x1﹤x2时f(x1)≤f(x2) f(x) 在[a、b]上↗f(x1)≥f(x2) f(x) 在[a、b]上↘（4）周期性:(P5)若存在常数a(a≠0)，使对任意x且有f(x)= f(x+a)则称f(x)为周期函数，称常数a 为f(x)的周期。

1．2极限概念与运算法则1极限的直观定义（P11）当一个变量f(x)在x →a 的变化过程中变化趋势是无限地接近于一个常数b ，则称变量f(x)在x →a 的过程中极限存在。

知识点归纳1. 求极限2.1函数极限的性质P35唯一性、局部有界性、保号性P34Ax f x x =→)(lim 0的充分必要条件是：Ax f x f x f x f x x x x ==+==-+-→→)()0()()0(lim lim 0002.2 利用无穷小的性质P37：定理1有限个无穷小的代数和仍是无穷小。

0)sin 2(30lim =+→x x x定理2有界函数与无穷小的乘积是无穷小。

0)1sin (20lim =→x x x定理3无穷大的倒数是无穷小。

反之，无穷小的倒数是无穷大。

例如：lim∞→x 12132335-++-x x x x ∞= , lim∞→x 13123523+--+x x x x 0=2.3利用极限运算法则P412.4利用复合函数的极限运算法则P452.4利用极限存在准则与两个重要极限P47夹逼准则与单调有界准则，lim→x x x tan 1=，lim 0→x x x arctan 1=，lim 0→x x xarcsin 1=，lim )(∞→x ϕ)())(11(x x ϕϕ+e =，lim 0)(→x ϕ)(1))(1(x x ϕϕ+e =2.6利用等价无穷小P55当0→x 时，x x ~sin ，x x ~tan ，x x ~arcsin ，x x ~arctan ，x x ~)1ln(+，x e x ~，221~cos 1x x -，x x αα++1~)1(，≠α0 为常数2.7利用连续函数的算术运算性质及初等函数的连续性P64如何求幂指函数)()(x v x u 的极限？P66)(ln )()()(x u x v x v ex u =，)(ln )()(lim )(lim x u x v x v ax ax ex u →=→2.8洛必达法则P120limax →)()(x g x f )()(lim x g x f a x ''=→ 基本未定式：00，∞∞，其它未定式 ∞⋅0，∞-∞，00，∞1，0∞（后三个皆为幂指函数）2. 求导数的方法2.1导数的定义P77：lim00|)(→∆==='='x x x dx dyx f y x x f x x f xy x ∆-∆+=∆∆→∆)()(000limh x f h x f h )()(000lim-+=→ h x f h x f h ---=→)()(000lim0)()(limx x x f x f x x --=→左极限：h x f h x f x f h )()()(0000lim-+='-→- 右极限：hx f h x f x f h )()()(0000lim-+='+→+定理1：)(x f y =在0x 处可导的充分必要条件是：)()(00x f x f +-'='2.2 求导的四则运算法则P84、反函数的导数P86、复合函数的导数P872.3高阶导数P922.4隐函数的导数P95、对数求导法P97、参数方程的导数P982.5函数的微分定义P1002.6基本初等函数的微分公式与微分运算法则P1033.求积分的方法3.1原函数的定义、不定积分的定义P161 3.2不定积分的性质P163：性质1－性质4例10 ,P1653.3基本积分表 3.4换元积分法3.4.1凑微分法P167常用凑微分公式P1683.4.2变量代换法P170补充基本积分公式P1733.5分部积分法P1753.6有理函数的积分4.6.1有理函数的积分P1804.6.2三角有理函数的积分万能置换公式，修改的万能置换公式4.6.3简单无理函数的积分P1864.其它4.1 判断函数连续性及间断性P59例1,例2,例4,例5,例6,例84.2求方程的根4.2.1零点定理P67,例5,例64.2.2罗尔定理P114,例1,例24.4.3判断根的唯一性：罗尔定理P114 的例2,单调性P132例54.4.4导数的几何意义P80、可导性与连续性的关系P81例10,例11 4.4证明恒等式P116,例34.5证明不等式4.5.1用拉格郎日中值定理P117,例44.5.2利用函数单调性P132,例44.5判断单调性P131与凹凸性P133、求拐点P1344.6求函数的极值及最值4.6.1求函数的极值P136必要条件P137，第一充分条件P137，第二充分条件P1394.6.2求函数的最值P1404.7求曲线的渐近线P1444.8导数在经济学中的运用4.8.1边际函数及其经济意义P1474.8.2弹性函数及其经济意义P150。

微积分基本公式的符号
微积分是数学中的一个重要分支，其中有许多基本公式和符号。

下面我将从不同的角度来回答你的问题。

1. 基本公式：
微积分中的基本公式包括导数和积分的基本定义。

导数的基本
公式包括：
函数f(x)的导数表示为f'(x)，也可以写作dy/dx或者y'。

积分的基本公式包括不定积分和定积分的定义，不定积分表示
为∫f(x)dx，定积分表示为∫[a, b]f(x)dx。

2. 符号：
微积分中常用的符号包括：
dx，表示自变量x的无穷小增量。

dy，表示因变量y的无穷小增量。

f'(x)，表示函数f(x)的导数。

∫，表示积分符号，用于表示定积分或不定积分。

d/dx，表示求导数的操作符号。

Σ，表示求和符号，在微积分中用于表示级数求和。

除了上述基本公式和符号外，微积分中还涉及到许多函数、极限、微分方程等内容，这些都是微积分的重要组成部分。

希望以上回答能够帮助你全面了解微积分基本公式和符号。

如果你还有其他问题，欢迎继续提问。

微积分到知识点总结微积分的知识点非常多，本文将介绍微积分的一些基本概念和重要知识点，并对其进行总结和归纳。

一、函数与极限函数是微积分中的基本概念，它描述了一个变量如何依赖于另一个变量。

函数的导数描述了函数在某一点的变化率，而函数的积分则描述了函数所围成的曲线与坐标轴之间的面积。

函数与极限是微积分的重要基础，它们为微积分的后续理论和方法打下了基础。

1. 函数的概念函数是一个特殊的映射关系，它描述了自变量和因变量之间的对应关系。

函数可以用数学公式表示，例如y=f(x)，其中x是自变量，y是因变量，f是函数关系。

2. 极限的概念极限描述了函数在某一点附近的性质，是微积分中一个非常重要的概念。

极限可以使我们研究函数在某一点的趋势和性质，从而为导数和积分的研究打下基础。

3. 极限的性质极限具有一些基本的性质，例如极限的唯一性、极限的保号性和极限的四则运算法则等。

这些性质是极限运算的基础，对于求解极限问题非常重要。

4. 极限的计算极限的计算是微积分教学的一大重点，它包括一些常见的极限计算方法，例如无穷大极限、洛必达法则、泰勒展开式等。

熟练掌握这些方法，对于解决极限计算问题大有帮助。

二、导数与微分导数是函数在某一点的变化率，它是微积分中的一个重要概念。

导数可以帮助我们研究函数的单调性、凹凸性以及最值等问题，是微积分中的一个基础工具。

1. 导数的定义导数描述了函数在某一点的瞬时变化率，它可以用函数的极限概念进行定义。

导数的定义包括了函数在某一点的切线斜率以及函数的增量和自变量的增量之比。

2. 导数的性质导数具有一些基本的性质，包括导数的唯一性、导数的和差积商法则、导数的连续性等。

这些性质是导数运算的基础，可以帮助我们进行导数的运算和求解导数的问题。

3. 高阶导数高阶导数是导数的推广概念，它描述了函数的高阶变化率。

高阶导数包括了二阶导数、三阶导数、四阶导数等，它们可以帮助我们研究函数的曲率和波动性。

4. 微分的概念微分是导数的对应概念，它描述了函数在某一点的变化量。

专题七MATLAB符号计算7.2 符号微积分☐符号函数的极限☐符号函数的导数☐符号函数的积分1. 符号函数的极限☐求符号函数极限的命令为limit，其调用格式为：limit(f,x,a)即求函数f关于变量x在a点的极限。

☐limit函数的另一种功能是求单边极限，其调用格式为：limit(f,x,a,'right')limit(f,x,a,'left')例1 求下列极限。

（1）（2）ax ax m max --→lim nn n)11(lim +∞→>> syms a m x n;>> f=(x^(1/m)-a^(1/m))/(x-a);>> limit(f,x,a) ans =a^(1/m -1)/m >> g=(1+1/n)^n;>> limit(g,n,inf) ans =exp(1)即自然常数e 。

2. 符号函数的导数MATLAB中的求导函数为：diff(f,x,n)即求函数f关于变量x的n阶导数。

参数x的用法同求极限函数limit，可以缺省，默认值与limit相同，n的默认值是1。

例2 求下列函数的导数。

(1) ，求y'。

(2)，求、。

>> syms x y z;>> f=sqrt(1+exp(x));>> diff(f) ans =exp(x)/(2*(exp(x) + 1)^(1/2))x e y +=12y xe z y ='x z 'y z >> g=x*exp(y)/y^2;>> diff(g,x) ans =exp(y)/y^2 >> diff(g,y) ans =(x*exp(y))/y^2 -(2*x*exp(y))/y^33. 符号函数的积分（1）不定积分在MATLAB中，求不定积分的函数是int()，其常用的调用格式为：int(f,x)即求函数f对变量x的不定积分。

matlab符号微积分微分⽅程符号极限、微积分和符号⽅程的求解1.语法：sym(‘表达式’)%创建符号表达式f1=sym('a*x^2+b*x+c')f1 =a*x^2+b*x+c2.使⽤syms命令创建符号变量和符号表达式语法：syms arg1 arg2 …,参数%把字符变量定义为符号变量的简洁形式syms a b c x %创建多个符号变量f2=a*x^2+b*x+c %创建符号表达式3.4.1符号极限假定符号表达式的极限存在，Symbolic Math Toolbox提供了直接求表达式极限的函数limit，函数limit的基本⽤法如表3.2所⽰。

【例3.14】分别求1/x在0处从两边趋近、从左边趋近和从右边趋近的三个极限值。

f=sym('1/x')limit(f,'x',0) %对x求趋近于0的极限ans =NaNlimit(f,'x',0,'left') %左趋近于0ans =-inflimit(f,'x',0,'right') %右趋近于0ans =inf程序分析：当左右极限不相等，表达式的极限不存在为NaN。

3.4.2符号微分函数diff是⽤来求符号表达式的微分。

语法：diff(f) %求f对⾃由变量的⼀阶微分diff(f,t) %求f对符号变量t的⼀阶微分diff(f,n) %求f对⾃由变量的n阶微分diff(f,t,n) %求f对符号变量t的n阶微分【例3.15】已知f(x)＝ax2+bx+c，求f(x)的微分。

f=sym('a*x^2+b*x+c')f =a*x^2+b*x+cdiff(f) %对默认⾃由变量x求⼀阶微分ans =2*a*x+bdiff(f,'a') %对符号变量a求⼀阶微分ans =x^2diff(f,'x',2) %对符号变量x求⼆阶微分ans =2*adiff(f,3) %对默认⾃由变量x求三阶微分ans = 0微分函数diff 也可以⽤于符号矩阵，其结果是对矩阵的每⼀个元素进⾏微分运算。

电子一班王申江实验十 符号计算基础与符号微积分一、实验目的1、掌握定义符号对象的方法2、掌握符号表达式的运算法则及符号矩阵运算3、掌握求符号函数极限及导数的方法4、掌握求符号函数定积分和不定积分的方法二、实验内容1、已知x=6,y=5，利用符号表达式求z =提示：定义符号常数()()'6','5'x sym y sym ==。

x=sym('6'),y=sym('5')x =6y =5>> z=(x+1)/(sqrt(3+x)-sqrt(y))z =7/(3-5^(1/2)) 2、分解因式（1）44x yx=sym('x')x =x>> y=sym('y') y =y>> A=x^4-y^4 A =x^4-y^4>> factor(A)ans =(x-y)*(x+y)*(x^2+y^2)（2）5135factor(sym('5135'))ans =(5)*(13)*(79)3、化简表达式（1）1212sin cos cos sin ββββ-byte1=sym('byte1')byte1 =byte1>> byte2=sym('byte2')byte2 =byte2>> S=sin(byte1)*cos(byte2)-cos(byte1)*sin(byte2)S =sin(byte1)*cos(byte2)-cos(byte1)*sin(byte2)>> simplify(S)ans =sin(byte1)*cos(byte2)-cos(byte1)*sin(byte2)（2）248321x x x +++ x=sym('x')x =x>> S=(4*x^2+8*x+3)/(2*x+1)S =(4*x^2+8*x+3)/(2*x+1)>> simple(s)>> simple(S) simplify:2*x+3 radsimp:2*x+3combine(trig): 2*x+3factor:2*x+3expand:4/(2*x+1)*x^2+8/(2*x+1)*x+3/(2*x+1) combine:(4*x^2+8*x+3)/(2*x+1)convert(exp):(4*x^2+8*x+3)/(2*x+1)convert(sincos):(4*x^2+8*x+3)/(2*x+1)convert(tan):(4*x^2+8*x+3)/(2*x+1)collect(x):(4*x^2+8*x+3)/(2*x+1)ans =2*x+3>>4、已知12010100100,010,001101a b c P P A d e f g h i ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦完成下列运算：（1） B =P 1⨯ P 2⨯AP1=[0 1 0;1 0 0;0 0 1]P1 =0 1 01 0 00 0 1>> P2=[1 0 0;0 1 0;1 0 1]P2 =1 0 00 1 01 0 1>>a=sym('a');b=sym('b');c=sym('c');d=sym('d');e=sym(' e');f=sym('f');g=sym('g');h=sym('h');i=sym('i'); >> A=[a b c;d e f;g h i]A =[ a, b, c][ d, e, f][ g, h, i]B=P1*P2*AB =[ d, e, f][ a, b, c][ a+g, b+h, c+i]（2）B的逆矩阵并验证结果C=inv(B)C =[ (i*b-c*h)/(i*d*b-d*c*h-i*a*e+a*f*h+g*e*c-g*f*b),(-e*c-i*e+f*b+f*h)/(i*d*b-d*c*h-i*a*e+a*f*h+g*e*c-g*f*b),-(-e*c+f*b)/(i*d*b-d*c*h-i*a*e+a*f*h+g*e*c-g*f*b)][ -(i*a-c*g)/(i*d*b-d*c*h-i*a*e+a*f*h+g*e*c-g*f*b),-(-d*c-i*d+f*a+f*g)/(i*d*b-d*c*h-i*a*e+a*f*h+g*e*c-g*f*b),(-d*c+f*a)/(i*d*b-d*c*h-i*a*e+a*f*h+g*e*c-g*f*b)][ (a*h-b*g)/(i*d*b-d*c*h-i*a*e+a*f*h+g*e*c-g*f*b),(-d*b-d*h+e*a+e*g)/(i*d*b-d*c*h-i*a*e+a*f*h+g*e*c-g*f*b),-(-d*b+e*a)/(i*d*b-d*c*h-i*a*e+a*f*h+g*e*c-g*f*b)]（3）包括B矩阵主对角线元素的下三角阵tril(B)ans =[ d, 0, 0][ a, b, 0][ a+g, b+h, c+l]（4）B的行列式值det(B)ans =i*d*b-d*c*h-i*a*e+a*f*h+g*e*c-g*f*b5、用符号方法求下列极限或导数()()()()()()()()()()22sin tan 31'''3222220,11211lim sin 2lim 1cos 23,4cos ln 5,2,x x x x x y xy x y x e e xx y y y x a t dA d A d A A dx dt dxdt t x x y f f x y x x e x x y +→----==+---=⎡⎤=⎢⎥⎣⎦∂∂=-∂∂∂求已知，分别求、、已知求、 (1)x=sym('x')x =x>> f=(x*(exp(sin(x))+1)-2*(exp(tan(x))-1))/sin(x).^3f =(x*(exp(sin(x))+1)-2*exp(tan(x))+2)/sin(x)^3>> limit(f)ans =-1/2（2）x=sym('x')x =xf=(sqrt(pi)-sqrt(acos(x)))/sqrt(x+1)f =(3991211251234741/2251799813685248-acos(x)^(1/2))/(x+1)^(1/ 2)>> limit(f,x,-1,'right')ans =-inf（3）x=sym('x')x =x>> y=(1-cos(2*x))/xy =(1-cos(2*x))/x>> diff(y,x,1)ans =2*sin(2*x)/x-(1-cos(2*x))/x^2 >> diff(y,x,2)ans =4*cos(2*x)/x-4*sin(2*x)/x^2+2*(1-cos(2*x))/x^3 （4）x=sym('x')x =x>> y=(1-cos(2*x))/xy =(1-cos(2*x))/x>> diff(y,x,1)ans =2*sin(2*x)/x-(1-cos(2*x))/x^2>> diff(y,x,2)4*cos(2*x)/x-4*sin(2*x)/x^2+2*(1-cos(2*x))/x^3>> syms a t x;>> f=sym('[a^x,t^3;t*cos(x),log(x)]')f =[ a^x, t^3][ t*cos(x), log(x)]>> diff(f,x,1);>> diff(f,x,1)ans =[ a^x*log(a), 0][ -t*sin(x), 1/x]>> diff(f,t,2)[ 0, 6*t][ 0, 0]>> diff(f,x)/diff(f,t)ans =[ 0, 1/cos(x)*a^x*log(a)] [ 1/3/t^2/x, -1/cos(x)*t*sin(x)] （5）syms x y>> f=(x.^2-2.*x).*exp(-x.^2-y.^2-x.*y)f =(x^2-2*x)*exp(-x^2-y^2-x*y)>> diff(y,x)ans =>>>> a=diff(f,x)/diff(f,y)a =((2*x-2)*exp(-x^2-y^2-x*y)+(x^2-2*x)*(-2*x-y)*exp(-x^2-y^2-x*y))/(x^2-2*x)/(-2*y-x)/exp(-x^2-y^2-x*y)>> x=0;y=1;>> eval(a)ans =Inf>>6、用符号方法求下列积分()()()()()482042ln 2011213141xx dx x xdx x dx x e e dx+∞+++++⎰⎰⎰⎰ （1）sym('x')ans =x>> f=1/(1+x^4+x^8)f =1/(1+x^4+x^8)>> int(f,x)ans =1/6*3^(1/2)*atan(1/3*(2*x-1)*3^(1/2))+1/6*3^(1/2)*atan(1/3*(1+2*x)*3^(1/2))-1/12*3^(1/2)*log (-x^2+3^(1/2)*x-1)+1/12*3^(1/2)*log(x^2+3^(1/2)*x+1)>>（2）sym('x')ans =x>> f=1/(asin(x).^2.*sqrt(1-x.^2))f =1/asin(x)^2/(1-x^2)^(1/2)>> int(x)ans =1/2*x^2>>（3）syms x>> f=(x.^2+1)/(x.^4+1)f =(x^2+1)/(1+x^4)>> int(f,x,0,inf)ans =1/2*pi*2^(1/2)>>（4）syms x>> f=exp(x).*(1+exp(x)).^2f =exp(x)*(1+exp(x))^2>> int(f,x,0,log(2))ans =-7/3+exp(6243314768165359/9007199254740992)+exp(6243314768165359/9007199254740992) ^2+1/3*exp(6243314768165359/9007199254740992)^3>>。

符号函数及其微积分一、符号函数计算 MA TLAB 中的符号函数计算主要有复数计算、复合函数计算和反函数计算。

这些有关的符号函数的计算命令及说明列于表2—1。

实例1、求12sin ,3-==x u u u f 的复合函数>> syms x y z u t %定义符号变量>> f=u^3;g=sin(2*x-1); %定义符号表达式f,g >> compose(f,g) %求f,g 的复合函数 ans =sin(2*x-1)^3>> compose(f,g,t) %求f,g 的复合函数，再将自变量x 换为t ans =sin(2*t-1)^3实例2、求x 2x 1,22+--e x的反函数。

>> finverse(exp(2*x)-2) %求22-e x的反函数 ans =1/2*log(2+x)>> finverse((1-x)/(2+x)) %求x 2x1+-的反函数ans =-(2*x-1)/(1+x)二、绘制二维图形 1、图形窗口及其操作 MA TLAB 中不仅有用于输入各种命令和操作语句的命令窗口，而且有专门用于显示图形和对图形进行操作的图形窗口。

图形窗口的操作可以在命令窗口输入相应命令对其进行操作，也可以直接在图形窗口利用图形窗口的本身所带的工具按钮、相关的菜单对其进行操作。

下面将介绍一些对图形窗口进行基本操作的命令和函数。

（1） 图形窗口操作命令对图形窗口的控制和操作的命令很多，这里主要介绍常用的figure 、shg 、clf 、clg 、home 、hold 、subplot 等常用命令。

它们的调用格式及有关说明了见表2—2。

（2）坐标轴、刻度和图形窗口缩放的操作命令MA TLAB中对图形窗口中的坐标轴的操作命令是axis，坐标刻度的操作命令是xlim、ylim、zlim等，其使用方法见表2—3，表2—4。