复变函数积分中柯西定理的推广

柯西中值定理柯西中值定理是微积分中的一个重要定理，它是由法国数学家柯西（Augustin-Louis Cauchy）在19世纪提出的。

这个定理在数学分析、实分析和复分析中有广泛的应用，特别是在微积分的复变函数中经常被用到。

定理表述柯西中值定理的表述如下：假设函数f(z)是一个定义在闭区间[a, b]上的连续函数，并且在开区间(a, b)内可导。

还假设a和b是复数。

那么在区间(a, b)内存在一个复数c，满足以下两个条件：1.c在闭区间[a, b]内；2.f’(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a)。

根据柯西中值定理，对于复变函数f(z)，在一定的条件下，存在一个复数c使得f’(c)的值等于f(z)在[a, b]区间上的平均变化率。

数学证明柯西中值定理的证明基于拉格朗日中值定理，它是实变函数中的一个关键定理。

使用拉格朗日中值定理可以证明，在实数轴上存在一个数c，满足f’(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a)。

然后，通过将实轴上的定理推广到复平面上的定理，就得到了柯西中值定理。

应用领域柯西中值定理在实际问题中有很多应用，在以下领域中被广泛使用：1. 复变函数柯西中值定理是复变函数理论中的一个重要定理。

利用柯西中值定理，我们可以推导出复变函数的一些重要性质，比如柯西-黎曼方程。

这个定理对于解析函数的研究和应用非常有帮助。

2. 数值计算在数值计算中，柯西中值定理有着广泛的应用。

它可以用于证明数值算法的收敛性，判断数值计算的有效性和准确性。

同时，柯西中值定理也为某些数值问题的数值求解提供了理论基础。

3. 物理学在物理学中，柯西中值定理同样有着重要的应用。

在电磁学中，柯西中值定理可以用来推导出麦克斯韦方程组中的一些重要结果。

在流体力学和热力学等领域，柯西中值定理也经常用到。

总结柯西中值定理是微积分中的一个重要定理，它在数学分析、实分析和复分析中有广泛的应用。

这个定理的证明基于拉格朗日中值定理，并且被广泛应用于复变函数、数值计算和物理学等领域。

第三章 复变函数的积分(II)§3-3 柯西公式【教材P 36-42】(一) 单连通区域中的柯西公式柯西公式： 设复变函数()f z 在闭单连通区域D （D l =+）中解析(l 是区域D 的边界线)， 则()f z 在区域D 内任一点α ()D α∈的值可由沿边界线的积分确定（积分路径沿区域边界线的正方向进行）:()lf z dz z α-⎰， ()2lf zdz z πα=-⎰柯西公式说明： 解析函数在其解析区域内任一点的函数值可由函数在该区域边界上的值来确定。

这是解析函数的重要性质之一。

证明： 对于任意固定的D α∈，由前面的例子知:11ldz z α=-⎰两边乘以()f α，得: ()()12lf f dz iz ααπα=-⎰, 因此只要证明:()()0lf z f z αα-=-⎰，即得:()()()2llf z f dz dz if z z απααα==--⎰⎰， 这就证得柯西积分公式。

()()f z f z αα--作为z 的函数在D 内除z α=点外均解析。

以z α=为圆心，很小的ε为半径，作圆周c ε。

由复连通区域的柯西定理，得:()()()()lc f z f f z f dz dz z z εαααα--=--⎰⎰，上式表明右边的积分是与c ε的半径ε无关的，所以:()()()()0lim c c f z f f z f dz dz z z εεεαααα→--=--⎰⎰ 而()()()()max 2c c f z f f z f dz z z εεααπεαα--≤--⎰()()max 2c cf z f z εεαπεα-=-()()()()max 22max cc f z f f z f εεαπεπαε-==-当0ε→时，c εα→（z α→），由于()f z 是连续的，则: ()()0lim max 0c f z f εεα→-=， ()()()()00limlim 2max 0c c fz f dz fz f z εεεεαπαα→→-∴≤-=-⎰，()()()()00lim0lim0c c fz f fz f dz dz z z εεεεαααα→→--∴=⇒=--⎰⎰。

第三章 复变函数的积分§3-1复变函数的积分【刘连寿、王正清编著《数学物理方法》P 29-31】复变函数积分的定义：设C 为复平面上以0z 为起点，而以z 为终点的一段路径（即一根曲线），在C 上取一系列分点011,,,,n n z z z z z -=把C 分为n 段，在每一小段[1k k z z -]上任取一点k ξ作和数：()()()111nnn k k k k k k k S f z z f z ξξ-===-=∆∑∑, 其中1k k k z z z -∆=-如果当n →∞且每一小段的长度（1||||k k k z z z -∆=-）趋于零时， 和式()1nk kk f z ξ=∆∑的极限存在，并且其值与k z 及k ξ的选取方式无关，则称这一极限为()f z 沿路径C 由0z 到z 的积分:()()1limlim nn k k Cn n k fz dz S f z ξ→∞→∞===∆∑⎰，C 称为积分路径（()f z 在C 上取值，即z 在C 上变化）。

若C 为围线（闭的曲线），则积分记为： ()Cf z dz ⎰. (围道积分)几点说明：1. 复变函数的积分不仅与积分端点有关，还与积分路径有关。

(与我们以前在高等数学中学过的实变函数的线积分类似。

)2．因为 z x iy =+，dz dx idy =+，()()(),,f z u x y iv x y =+，于是()()()(),,CCf z dz u x y iv x y dx idy =++⎡⎤⎣⎦⎰⎰()()()(),,,,C C u x y dx v x y dy i v x y dx u x y dy ⎡⎤⎡⎤=-++⎣⎦⎣⎦⎰⎰，所以复变函数的积分可以归结为两个实变函数的线积分，它们分别是复变函数积分的实部和虚部。

3．从复变函数积分的定义出发，可以直接得出复变函数的积分具有如下简单性质：（1）0C dz z z =-⎰，z 、0z 分别为C 之起点、终点。

柯西积分公式及其推广论文柯西积分公式及其推广摘要:学复变以来,一直比较困惑于柯西积分定理、柯西积分公式及留数定理等三个问题的界线,同时也对于积分何时为零何时不为零的条件很模糊。

本文主要是归纳了有关这三个问题之间的一些关系及推导过程。

同时也得柯西积分公式进行了推导,并举例其应用。

关键词:柯西积分定理,柯西积分公式,留数定理,柯西积分公式的推广目录论文封面1摘要2对柯西积分的认识4一柯西积分定理与柯西积分公式5二留数定理及其与柯西积分公式的关系71.留数定理72.留数的求法83.留数定理与柯西积分公式的关系9三柯西积分公式的推广101.高阶导数102.处的柯西积分公式103.复连通区域中的柯西公式114.z在积分路径C上的柯西积分公式11四柯西积分公式的计算应用12五参考文献16对柯西积分公式的认识柯西积分公式是一个用边界值表示解析函数内部值的积分公式,也可以说是解析函数的积分表达式,柯西积分定理和柯西积分公式复变函数的基本定理和基本公式,因而成为了研究解析函数各种局部性质的重要工具。

首先,柯西积分定理与复交函数的积分有着密切的联系,为了能更好的对柯西积分公式应用和推广,通过留数定理与复变函数的积分之间的关系,有以下的结论:柯西积分定理实际上是被积函数在积分区域内为解析函数的留数定理;柯西积分公式实际上是被积函数在积分区域内有一阶极点的留数定理;高阶导数公式实际上是被积函数在积分区域内有n+l阶点的留数定理。

本文归简单给出柯西积分定理与柯西积分公式、高阶导数公式、留数定理之间的推导关系。

其次,从复积分求解出发,柯西积分定理只回答了解析函数沿闭域内任意一周线的积分值为零的问题,并由此导出了著名的柯西积分公式,即解析函数在C所围的区域内任一点z的函数值均可由在C上的积分值完全确定,这也只给出了求解光滑周线域内有一个或有限个奇点的复积分方法,而复积分的范围很大,有很多问题都超出了柯西积分定理的条件,因此本文对柯西积分的推广作了一个归纳。

柯西积分公式的推导柯西积分公式是复变函数理论中的重要定理，它给出了沿着一个简单闭曲线的积分与其内部的解析函数有关的关系。

它是由法国数学家奥古斯丁·路易·柯西在19世纪初发现的。

设函数f(z)在一个包含闭曲线C的区域内解析，柯西积分公式给出了f(z)在C上的积分与f(z)在闭曲线内部的解析函数值的关系：∮C f(z) dz = 2πi Res(f, a)其中，∮C表示沿着曲线C的积分，dz表示路径的微元素，a是闭曲线C内部的一个孤立奇点，Res(f, a)是f(z)在点a处的留数。

柯西积分公式的推导主要基于留数定理和柯西-黎曼方程。

留数定理指出，如果f(z)在奇点a处有一个留数，那么沿着C的积分等于2πi乘以该留数。

而柯西-黎曼方程则给出了解析函数f(z)的实部和虚部之间的关系。

推导柯西积分公式的过程如下：1. 首先，设f(z)在区域D内解析，闭曲线C完全包含在D内。

2. 将f(z)展开成泰勒级数：f(z) = a0 + a1(z - z0) + a2(z - z0)^2 + ...这里，z0是D内的一点。

3. 考虑沿着C的积分∮C f(z) dz，可以将路径C分解成小段，每段的长度趋近于0。

对于每一小段，我们可以将f(z)的级数展开式代入积分中。

4. 注意到在积分中，只有一次项a1(z - z0)对积分有贡献。

因为对于高次项，积分的值在小段长度趋近于0时趋于0。

5. 将积分路径的微元素dz替换成z - z0，得到积分∮C a1(z - z0) dz。

6. 对于每一小段，z - z0可以表示为曲线参数t的函数，即z - z0 = f(t)。

7. 假设曲线参数t的范围是a到b，那么z - z0在C上的积分可以变为曲线参数t的积分∫a^b a1f(t) f'(t) dt。

8. 根据柯西-黎曼方程的实部与虚部关系，可以得到f(t)f'(t)的实部和虚部分别是a1f'(t)和-a1f'(t)。

柯西积分公式在复变函数中的重要作用1引言复变函数产生于十八世纪，全面发展是十九世纪，是当时最独特的创造，到二十世纪还在不断发展，成为不仅是当时也是现在的一门优美的学科，被誉为十九世纪的数学享受．1831年，柯西在他的积分定理的基础上，又证明了重要的柯西积分公式，柯西积分公式是由柯西积分定理推出来的．柯西定理和柯西积分公式对我们深刻认识解析函数起到至关重要的作用，柯西定理彻底解决了复函数解析性和它的复积分与路径无关之间的关系问题，柯西积分公式则表明解析函数及其各阶导数在可求长连续封闭曲线所围内部的点处的函数值，可有其在该曲线上的函数值所确定的积分来表示．２ 柯西积分公式的定义2.1柯西积分公式[]()16465P - 设区域D 的边界是周线（或复周线）C ，函数()f z 在D 内解析，在D D C =+上连续，则对D 内任意一点z ．则有 ()1()2C f f z d i zζζπζ=-⎰ ()z D ∈ 这就是柯西积分公式，由证明过程知柯西积分公式是由柯西积分定理推出的，与柯西积分定理一样，柯西积分公式是复变函数论的基本公式，由这个公式可以推出许多非常重要结论．（1） 它给出了积分函数的积分表达式，从而为进一步研究解析函数提供了重要工具． （2） 它揭示了区域D 内的解析函数的边界值与内部点的值之间的关系，只要知道了它在区域边界上的值，那么通过柯西积分公式，区域内部的点上的值就完全确定了，特别地，从这里我们可以得到这样一个重要结论：如果两个解析函数在区域的边界上处处相等，则它们在整个区域上也恒等．例若)(z f 在边界D ∂上恒等于常数k ，则对D 内任意z ，有()f z k ≡．（3） 它给出了形如()Cf d zζζζ-⎰一类积分的计算公式． 例1 求积分 ()3zC e dz z z i -⎰其中C 是中心在点4i ，半径为3的圆周解 函数ze zf z=)(在这个圆的内部是解析的因此，利用柯西积分公式有()3z C e dzdz z z i -⎰=()3Cf z dz z i-⎰=323i e i i π= ()2cos3sin 33i π+例2 试计算积分24C dzz +⎰，其中C 为圆周： （1）122z i -= ， （2）122z i += ，（3）3z =（都按正方向计算）解 （1）1c ：122z i -= ，由柯西积分公式可得12124C dz i z π+⎰=111222C z i dz i z i π+-⎰=212z i z i =+=14i所以21C dz z +⎰=2π（2）2c ：122z i += 则22124C dz i z π+⎰=211222C z i dz i z i π-+⎰=212z iz i=--=14i-所以21C dz z +⎰=2π-(3) 3c ：3z =,由复周线柯西积分定理324C dz z +⎰=124C dz z +⎰+224C dz z +⎰=22ππ-=0例3 求积分zC e dz z⎰ ():1c z =， 从而证明：cos 0cos(sin )e d πθθθ⎰π= 解 根据柯西积分公式1z z e dz z =⎰=02zz ieπ==2i π另一方面，令i z e θ= ()πθπ-≤≤，则1z z e dz z =⎰=i e i i e ie d e θπθθπθ-⋅⎰ =cos sin i ie d πθθπθ+-⎰ =2icos 0cos(sin )ed πθθθ⎰cos sin(sin )e d πθπθθ--⎰比较2i π和2i cos 0cos(sin )e d πθθθ⎰cos sin(sin )e d πθπθθ--⎰得cos 0cos(sin )e d πθθθ⎰=π3柯西积分公式在复变函数中的重要作用柯西积分公式是复变函数论的基本公式，是解析函数的一种积分表达式．它深刻地反映了解析函数在解析区域的边界值与内部值的关系，同时柯西积分公式也为计算复函数的闭路积分提供了很好的方法和计算公式．该公式给出了解析函数的积分表示是研究解析函数有力工具，由它可推出解析函数的一系列重要性质,从下面讨论可以看出,柯西积分公式在复变函数的研究中起着非常重要的作用．3.1平均值定理 平均值定理[]()275P 如果函数()f z 在圆0z R ζ-<内解析,在闭圆0z R ζ-≤上连续．则 ()20001()Re 2i f z f z d πϕϕπ=+⎰证明 我们知道C 上的点可表成0Re i z ϕζ=+ ()02ϕπ≤≤ i d Rie d ϕζϕ=由柯西积分公式得001()()2C f f z d i z ζζπζ=-⎰=()2001Re 2i f z d πϕϕπ+⎰这个公式告诉我们，函数()f z 在圆心的值，恰好等于它在圆周上的值的平均数， 因此这个公式称为平均值公式．例4 设函数()f z 在闭圆z R ≤上解析，如果存在a >0，使得当z R =时，()f z a >而()0f a <．证明：在圆z R <内()f z 至少有一个零点． 证明 反证法．设()f z 在z R <内无零点 而由题设()f z 在z R =上也无零点， 于是1()()F z f z =，在闭圆z R ≤上解析， 由解析函数的平均值定理 201(0)(Re )2i F F d πϕϕπ=⎰又由题设 11(0)(0)F f a=> 11(Re )(Re )i i F af ϕϕ=< 从而201111(0)(Re )222i F F d a a πϕϕπππ<=≤⋅⋅⎰=1a与假设条件矛盾，故在圆z R <内()f z 至少有一个零点3.2解析函数的无穷次可微性在数学分析中，若()f x 在区间I 上可导，并不能保证它在I 上存在二阶导数，但在复变函数中却截然不同，若)(z f 在区域D 内解析，则它存在任意阶导数()()n fz （n=1,2,…）既解析函数具有无穷次可微性，这深刻地反映了复变函数与实变函数的巨大差别．柯西积分给出了区域D 内的解析函数的积分表达式()1()2C f f z d i zζζπζ=-⎰ z D ∈ （1） 为寻求)(z f 的各阶导数公式，可以设想对（1）式的两边关于变量z 求导．且设想在求等式右端的导数时可以交换积分与求导运算的次序．于是形式地可得．()()()212C f f z d i z ζζπζ'=-⎰ （2）在上面的假设下，对（2）式两端关于z 求导，形式地可得．()()()32!2C f f z d i z ζζπζ''=-⎰ ………… 继续这样做下去，便形式地得．()()()()1!2n n C f n f z d i z ζζπζ+=-⎰ （n=1,2,…） 于是可得到下面的结论：解析函数的无穷次可微性． 解析函数的无穷次可微性()3112114P ⎡⎤-⎣⎦设D 是以有限简单闭曲线C 为边界的有界单连通或多连通区域，函数)(z f 在D 内解析，在D 上连续．则对D 内任意一点z ，)(z f 的任意阶导数都存在且()()1!()()2n n C n f f z d i z ζζπζ+=-⎰ （n=1,2…） 上式称为高阶导数公式，设若)(z f 在区域D 内解析，则)(z f 在D 内具有各阶导数．高阶导数公式是一个重要理论意义的实用价值的公式．(1) 揭示了解析函数的无穷可微性,从而证实了解析函数的导函数仍是解析函数，由()x x f z u iv '=+及C R -条件说明x u x v y u y v 都连续且具有各阶偏导数．（2）开拓了用积分研究导数的新途径． (3) 提供计算一类闭路积分公式和方法， 并利用()()()()12!n n Cf i dz f z n z ζπζ+=-⎰ (Z D ∈ )C D =∂ 把求积分化成求导数，有时可以使问题大大简化．(4) 由这个定理可以直接或间接地推出许多重要定理，如柯西不等式，刘维尔定理，莫勒拉定理等．例5 求积分()3sin Czdzz i -⎰，其中C 是绕过点i 的任意简单光滑闭曲线解 将高导公式用于函数)(z f =sin z ，得()3sin C zdzdz z i -⎰=()222sin 2!z ii d z dz π=⋅=sin i i π-=()12e e iπ---例6 求积分()32zCe dz z z -⎰，其中C 分别为：（1）12z =,(2) 124z -=, (3) 3z =,方向都为正． 解 显然被积函数的奇点是0=z 及2z = （1）1C ：12z =， ()132zC e dz z z -⎰=()132zC e z dz z-⎰=()3022z z e i z π=⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎣⎦=4iπ-（2）2C ：124z -=23(2)zC e z dz z -⎰=22222!zz i d e dz z π=⎡⎤⎛⎫⋅⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦=2211z z d i e dz z z π=⎧⎫⎡⎤⎛⎫-⎨⎬ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎩⎭=232122z z i e z zz π=⎡⎤⎛⎫-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=24ie π（3）3C ：3z = 由复周线柯西积分定理得()332z C e dz z z -⎰=()132zC e dz z z -⎰+()232zC e dz z z -⎰=4i π-+24ie π 3.3柯西不等式与刘维尔定理 3.3.1柯西不等式[]()475P 若函数()f z 在区域D 内解析, a 为D 内一点,以a 为心作圆周:a R γζ-=．只要γ及其内部k 均含于D ．则有()()!()n n n M R f a R≤其中()()max z a R M R f z -== （n=1,2…） 证明 应用高阶导数公式的定理可得()()n fa =()()1!2n r f n d i a ζζπζ+-⎰ ()1!22n M R n R R ππ+≤⋅⋅()!nn M R R =这就是柯西不等式，柯西不等式是对解析函数各阶导数模的估计式,说明解析函数在解析点a 的各阶导数模的估计与它的解析区域的大小密切相关．例7 证明 若()f z 在单位圆1z <内解析，且1()1f z z≤- 则()()()01!n fe n ≤+ （n=1,2,…）证 以0z =为心，以1nn ρ=+ ，()1o ρ<<为半径作圆周C ρ． 由已知，()()max z c M f z ρρ∈=111n n ≤⎛⎫- ⎪+⎝⎭1n =+因为()f z 在单位圆内解析，所以()f z 满足柯西不等式的条件， 于是()()0n f≤1!()n n M ρρ+()11!1nn n ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭()1!e n ≤+在整个复平面上解析的函数称为整函数,例如ze ,cos z ,及sin z 都是整函数,常数当然也是整函数,应用柯西不等式,可得一个关于整函数的定理：3.3.2 刘维尔定理[]()47576P - 有界整函数()f z 必为常数证明 由定理假设存在常数M ，使对z C ∀∈，()f z M ≤，0z C ∀∈， 在0z z R -<上应用柯西不等式得：0()Mf z R'≤，令R →∞． 得到0()0f z '=所以'()0f z ≡，故()f z 必为一常数．刘维尔定理的几何意义就是：非常数整函数的值不能全含于一圆之内． 例8 试证 非常数整函数的值不能全含于一圆之外．证明 用反证法．假设非常整函数()f z 的值全含于某圆0w w R -=之外， 即z C ∀∈，有0()f z w R ->．于是，z C ∀∈，011()f z w R<-根据刘维尔定理，1()f z w -是常数，与已知矛盾．故非常数整函数的值不能全含于一圆之外3.4莫勒拉定理 莫勒拉定理[]()555P 如果函数()f z 在单连通区域D 内连续，并且对D 内任意一条其内部属于D 的简单光滑闭曲线C ，都有()0Cf z dz =⎰ ， 则()f z 在D 内解析证明 在假设条件下，根据已知定理有 0()()zz F z f d ζζ=⎰0()z D ∈在内解析，且'()()F z f z = ()z D ∈，但解析函数()F z 的导数'()F z 还是解析的，而是说在D 内解析．这个定理给出了解析函数的一个充分条件，与柯西积分定理合并叙述．得出解析函数的充要条件是: （1）()f z 在D 内连续．（2）对于其内部和自身都含于D 的任意一条闭曲线C ，积分()0Cf z dz =⎰．4 总结掌握了研究柯西积分公式的理论基础知识，充分了解了本课题的相关内容，使我进一步地了解了柯西积分公式在复变函数的重要作用及相关背景．知道了柯西积分公式是解析函数的积分表达式，用边界值确定内部值，可见解析函数的函数值之间有着密切的关系．总的说，柯西积分公式告诉我们对于解析函数，只要知道了它在区域边界上的值，那么通过积分公式，区域内部的点上的值就完全确定了．柯西积分公式还可以帮助我们详细地研究解析函数的各种局部性质，柯西积分公式不仅是研究函数的重要工具，而且在数分，物理和工程技术上都有着广泛的应用，因此了解柯西积分公式对解决数学与其他学科中的各种实际问题都具有十分重要的意义．柯西积分公式是复变函数论中的一个重要公式，它在研究复变函数特别是解析函数时所起的作用是相当关键的，所以说柯西积分公式为复变函数论的研究和发展起着非常重要的作用． 参考文献[1] 盖云英． 复变函数与积分变换[M]． 北京：科学出版社，2007 [2] 钟玉泉．复变函数论[M]（第三版）．北京：高等教育出版社，2003 [3] 杨林生．复变函数[M]． 北京：高等教育出版社，2001 [4] 马立新．复变函数学习指导[M]．济南：山东大学出版社， 2004 [5] 余家荣． 复变函数[M]（第四版）． 北京：高等教育出版社， 2007 [6] 郑建华．复变函数[M]． 北京：清华大学出版社，2005 [7] 潘永亮．复变函数[M]． 北京：科学出版社，2006 [8] 方企勤．复变函数教程[M]． 北京：北京大学出版社，2003[9] Lang,Ｓ. 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复变函数积分计算公式柯西定理是复变函数的一个基本定理，它与实分析中的格林定理相对应。

它的表述如下：设f(z)是C上的连续函数，在C的内部点a处可导，则对于C上的任意闭合路径L，有积分公式：∮L f(z)dz = 0其中∮代表沿曲线的积分。

柯西定理揭示了一个重要性质，即在曲线内部的积分和沿曲线上的积分是等值的。

这个公式的实际应用是在计算闭合曲线围成的域内的积分时，可以通过计算沿曲线的积分来得到结果。

柯西-黎曼公式是复分析中的一个重要公式，它是柯西定理在复平面上的推广。

其表述如下：设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是定义在单连通域D上的全纯函数，则对于D上的任意简单闭合曲线L，有积分公式：∮L [u(x, y)dx - v(x, y)dy] + i∮L [v(x, y)dx + u(x, y)dy]=其中i是虚数单位。

柯西-黎曼公式是柯西定理在复平面上的推广，它关联了函数的实部和虚部，揭示了全纯函数在实轴和虚轴上的性质，是复变函数积分计算的基础。

在计算复变函数积分时，需要将积分路径表示为参数方程形式，并根据具体问题选择合适的计算方法。

常用的计算方法包括直接计算、换元法、分部积分法、留数法等。

直接计算方法是将积分路径表示为参数方程形式，然后将积分公式代入进行计算。

这种方法在积分路径较简单且函数形式简化时适用。

换元法是将积分路径用新的参数方程表示，通过变量替换将复变函数积分转化为实变函数积分。

这种方法主要用于积分路径的形式复杂且可以找到合适的变换。

分部积分法是将复变函数积分转化为求导和积分的组合运算，通过重复应用分部积分法，可以将复杂的函数逐步简化。

留数法是一种特殊的计算方法，适用于计算含有奇点的函数的积分。

留数法利用了复变函数在奇点处的局部性质，通过计算奇点处的留数来求解积分。

总之，复变函数积分的计算公式主要有柯西定理和柯西-黎曼公式，并且还需要根据具体问题选择合适的计算方法进行计算。