第6节 变换群与同构

群的同构定理在抽象代数中，群是一种具有代数结构的数学对象，它在数学领域中有着广泛的应用和重要地位。

对于群的研究，同构是一个重要的概念。

同构是指两个群之间存在一个一一对应的双射，其保持了两个群之间的运算结构。

在本文中，我们将探讨群的同构定理及其相关性质。

一、同构的定义和性质设G和H是两个群，若存在一个从G到H的双射f，且对于任意的元素a、b∈G，有f(ab)=f(a)f(b)，则称这个双射f为从G到H的同构映射，记作G≅H。

若存在一个同构映射从G到H，则称G和H是同构的。

同构的基本性质如下：1. 同构是等价关系。

即同一个群与自身同构，若G≅H，则一定有H≅G；若G≅H，H≅K，则一定有G≅K。

2. 同构保持群的运算结构。

若G≅H，且a、b∈G，则f(a·b)=f(a)·f(b)。

3. 同构保持单位元。

若G≅H，且eG和eH分别为G和H的单位元，则f(eG)=eH。

4. 同构保持逆元。

若G≅H，且a∈G，则f(a⁻¹)=f(a)⁻¹。

二、下面我们介绍两个经典的群的同构定理。

1. 序号群同构定理设G是一个群，H是G的一个子群。

对于G中的任意元素a∈G，定义一个同态映射f：G→H，使得f(a)=aH。

则f是从G到H的一个同态映射，并且Ker(f)={a∈G | a∈H}是G的一个同态核。

根据同态核定理，G/Ker(f)≅H。

2. 基本同构定理设f：G→H是一个群之间的同态映射，其同态核为Ker(f)。

根据同态核定理，G/Ker(f)≅Im(f)，即G除以同态核的商群与f(G)同构。

三、同构的应用群的同构是抽象代数中一个重要的研究对象，它在很多数学领域中有广泛的应用。

以下是一些同构的常见应用：1. 规范形式：通过寻找两个同构的群，可以将一个复杂的群转化为一个更简单的形式，从而更容易研究和理解。

2. 基于同构的证明：在证明中，可以通过寻找两个同构的群，将一个问题转化为另一个已知结论的证明，从而简化证明的难度。

变换群的概念变换群是数学中的一个重要概念，它是指一类具有特殊性质的变换的集合。

在讨论变换群时，我们通常关注的是其中的变换满足的一些性质以及它们之间的关系。

在数学中，变换是一种将一个对象映射为另一个对象的方法。

例如，我们可以考虑一个平面上的点，如果我们将这个点按照某种规则移动到另一个位置，则我们说发生了一个变换。

这个变换可以是平移、旋转、反射等等。

变换群就是由这些变换所组成的集合。

对于一个变换群来说，它必须满足以下几个条件：1. 闭合性：变换群中的任意两个变换的复合仍然是一个变换，也就是说，如果我们首先进行变换A，再进行变换B，那么结果可以看作是某一个变换C。

2. 结合律：对于变换群中的三个变换A、B、C，我们有(A·B)·C = A·(B·C)。

也就是说，变换的复合运算是结合的。

3. 单位元：变换群中存在一个特殊的变换，称为单位元，记作e。

对于任意变换A，都有A·e = e·A = A。

也就是说，单位元对于变换的复合运算没有任何影响。

4. 逆元：对于变换群中的每个变换A，存在一个逆变换A'，使得A·A' = A'·A =e。

也就是说，任意变换的逆变换都存在，并且变换与其逆变换的复合等于单位元。

值得注意的是，变换群要求变换的复合运算是满足结合律的，这一点在讨论中是非常重要的。

结合律的要求保证了变换的复合是唯一的，也就是说，不管我们按照什么顺序进行变换的复合，最终的结果都是一样的。

变换群可以具有很多种形式，取决于所考虑的变换的性质。

例如，当我们考虑平面上的刚体变换时，就形成了一个平面上的刚体变换群。

这个变换群包括了平移、旋转和反射等变换，满足闭合性、结合律、单位元和逆元的要求。

在应用中，变换群有着广泛的用途。

在几何学中，变换群可以用来描述在空间中的物体的位置和形态的变化。

在代数学中，变换群是很多代数结构的重要组成部分，例如矩阵群和置换群等。

空间几何的变换群空间几何是几何学的一个分支，主要研究物体在空间中不同几何位置下的形态及其属性。

变换群是空间几何中的一个重要概念，它描述了空间中的各种变换所构成的数学对象。

本文将从变换群的概念、定义和性质等方面探讨空间几何的变换群。

一、概念在数学中，变换通常是指将一个数学对象（如图形、函数等）转换成另一个数学对象的操作。

在空间几何中，变换则是指将空间中的一个点、线、面或固体等通过某个规则转换成另一个点、线、面或固体的操作。

而变换群则是指一组变换所构成的集合，其中包括了所有可逆的变换和它们的复合。

其中，可逆的变换也称为同构，是指空间中的一个几何对象可以通过某个变换映射到另一个几何对象上，并且这个变换是可逆的。

例如，平移、旋转、反射等都是常见的空间几何变换，它们都可以构成一个变换群。

而在变换群中，任意两个变换的复合仍然是一个变换，而复合的顺序一般是从右往左进行。

二、定义空间几何的变换群定义为G={S|S:X→X}，其中X为空间几何中的点、直线、面或固体等几何对象的集合，S则是一个从X到X的可逆变换，即S是一个双射函数。

而变换群G满足以下条件：1.恒等变换：存在一个变换I，称为恒等变换，使得对于任意的几何对象x∈X，有I(x)=x；2.封闭性：对于任意的S,T∈G，它们的复合ST仍然属于G，即ST∈G；3.结合律：对于任意的S,T,R∈G，有(S∙T)∙R=S∙(T∙R)；4.逆变换：对于任意的S∈G，存在一个逆变换S-1，使得S∙S-1=I。

三、性质1.变换群是一个集合，其元素是一组可逆的变换；2.变换群中的变换满足封闭性和结合律，即任意两个变换的复合仍然是一个变换，并且复合的顺序没有影响；3.在任意一个变换群中，都存在一个恒等变换，它不改变几何对象的位置和形态；4.在任意一个变换群中，每个可逆变换都有一个唯一的逆变换；5.变换群中的元素可以用矩阵、向量、四元数等数学工具来表示和求解。

四、应用空间几何的变换群在几何学、物理学、计算机图形学等领域都有广泛应用。

群论是数学中的一个分支，研究的是群的性质、结构和变换。

群的同构在群论中扮演着重要的角色，可以帮助我们发现不同群之间的相似性，并且提供了一种分类不同群的方法。

同构定理则是群论中的一项重要成果，它不仅提供了一种判断群是否同构的方法，还为我们分析群之间的关系提供了便利。

首先，我们来了解一下群的同构。

群的同构是指两个群之间存在一个双射映射，该映射既保持群运算的性质，也保持了群元素间的关系。

具体来说，设有两个群G和H，如果存在一个映射f：G→H，满足以下条件：（1）f(x * y) = f(x) * f(y)，对任意x，y∈G成立；（2）f是双射（即一一映射和满射）；那么我们可以说G和H是同构的，记作G≅H。

同构的映射f在保持群运算的性质的同时，也保持了群元素之间的关系。

换句话说，两个同构群中的元素在运算上是相同的，在群的性质和结构上也是相似的。

例如，我们可以通过一个同构映射将整数加法群（Z，+）与自然数乘法群（N，*）建立起一一对应的关系，从而发现它们之间的相似性和对应关系。

而同构定理则进一步帮助我们判断群是否同构，以及刻画群之间的关系。

同构定理包括两个重要的定理，即第一同构定理和第二同构定理。

第一同构定理（同构基本定理）指出了任何一个群G和它的一个正规子群N的商群G/N之间存在一个同构关系。

具体来说，如果N是G的一个正规子群，那么存在一个同构映射f：G/N→im(f)，其中im(f)是映射f的像，满足f(gN) = f(g)，对任意g∈G成立。

第一同构定理不仅帮助我们理解了群的结构中正规子群的作用，也为判断群是否同构提供了一个重要的工具。

第二同构定理（同构定理）则是对第一同构定理的进一步应用和拓展。

它描述了两个群的商群之间的关系。

具体来说，设有两个群G和H，N1和N2分别是G和H的正规子群，并且存在一个同构映射f：G→H，那么G/N1和H/N2之间也存在一个同构的关系。

第二同构定理进一步说明了群的正规子群的作用，以及同构映射对群之间的关系的保持性。

第8 讲§5 变换群(Transformation group) 2课时本讲的教学目的和要求:在本讲中我们将进一步熟悉另一种重要理论意义的群─变换群。

变换群的重要特点在于，一方面可以说它是一种非常具体的群。

它的元素都具有明确的具体的意义，从而使得元素之间的运算方法也有相当明确的具体的意义；另一方面，这种非常具体的群具有普遍的意义：它代表了一切可能的群，这一点是靠凯莱定理来完成的。

因此，要求：（1）理解什么是变换群；变换群的理论意义。

（2）凯莱定理的内容以及定理的证明过程。

本讲的重点和难点：研究一种代数体系就是要解决这种代数体系的下面三个问题：存在问题；数量问题以及结构问题。

如果这些问题都得到完满的解答就算达到了目的。

关于数量问题，指的是彼此不同构的代数体系的数量，因为同构的代数体系抽象地看可以认为是相同的代数体系。

凯莱定理告诉我们，如果将所有变换群都研究清楚了，也就等于把所有群都研究清楚了，无论是否如此简单，但至少从理论上知道凯莱定理的重要性。

故此，本讲中自然以凯来定理为重点，而其难点是有下列二个方面：（1）通过教材中定理1、定理2的论述对变换以及有关性质有一个清醒的认识。

（2）撑握凯来定理（定理3）的证明手法。

注意：本讲的教材在对映射的表示形式上有所改变：)(:x x x ττ= 将改成:.:ττx x x = 也就是说,过去我们的记法 “)(x τ”将变为“τx ”于是要当心：τλλτλττλ)())(())((x x x x =→= 用教材的话是说：当B A →:τ是映射时，用“)(a τ”. 当A A →:τ是变换时，使用“τa ”. 一、变换群的概念和基本性质（1） 集合A 的变换和表示形式定义1 设A 是一个非空集合，若τ是到A 的任一子映射.:A A →τ那就称τ是A 的一个变换（注：这个定义在第一章中曾出现过）.在表示形式方面，若':a a τ，现将')(a a =τ改写为'a a =τ.这样一改，在变换的合成方面，尤其要注意：如果21,ττ都是A 的变换，那么21ττ也显然是的变换，并且这时要注意：":21a a →ττ应该是1212)("ττττa a a ==（而过去是写成：))(()(2121a a ττττ=在合成的表示形式上，要习惯这种改变.例1． 设=A ｛１，２｝．现取出A 的几个变换12,21:1 τ （即 12,1111==ττ　） 22,21:2 τ （即22,2122==ττ） 22,11:3 τ （即 22,1133==ττ）12,21:4 τ （即 12,2144==ττ）可以看出．4321,,,ττττ是A 的全部变换．其中3τ和4τ是双射．并且3τ是恒等变换．习惯上记 .3ετ= （或 A 13=τ）利用例１．可以换算一下它们的合成（乘积）21ττ：1 ２；２ ２．即 1.212;2122122====ττττττ这表明 .221τττ= ·同理知442τττ=．利用3τ是恒等变换．则i i i τττττ==33 （)4,3,2,1=i ．这是因为i i i i i i i i τττττττττττττ=⇒⎪⎭⎪⎬⎫====32)2(21)1(13333 并且又有 i i i i i i i i τττττττττττττ=⇒⎪⎭⎪⎬⎫====32)2(21)1(13333． 定义２．设A 是一个非空集合，而ε是A 的恒等映射，那么，对A 的任一个变换τ，都有 .ττεετ==二．变换群的概念设A 是一个非空集合，而A 的一些变换能否形成一个群呢？ 就以例1做比方。

有限群的另一定义 群同态 变换群定理1 一个有乘法的有限集G 是群⇔1、关于乘法是半群；2、消去律成立。

证明：“⇐”设G=},,{1n a a ，G b a ∈∀,，构造},,(1'n aa aa G =，由半群的定义可知G G ⊆'，由消去律，当j i aa aa j i ≠≠时，所以'G G =，即'G b ∈，所以k aa b =，即方程b ax =在G 里有解，同理方程b ya =在G 里有解，所以G 是一个群。

因此也可用半群和消去律来定义有限群。

由有限集A 的代数运算可用一个运算表给出：nmn n m m mn d d d d d d d d d a a a a a a 2122221112112121 从表上可看出代数运算的许多性质，如1、 是代数运算⇔表中所有A d ij ∈；2、 适合交换律⇔表中关于主对角线对称的元相等；3、 适合左(右)消去律⇔A 中每个元在表的各行(列)都出现且只出现一次；4、i a 是A 的左(右)单位元⇔i a 所在的行(列)与顶行(左列)一致；5、i j a a 是的左(右)逆元⇔j a 所在的行与i a 所在的列相交处是单位元。

因此利用运算表可以帮助我们判断一个有限集合是否构成群，但结合律的检验比较麻烦，不能从表中看出。

在第一章中，我们讨论了集合的同态映射，这里我们要在两个群中讨论同态映射。

定义：若G ，G 1是两个群，若存在一个G 到G 1的同态满射，则称G 与G 1同态。

定理2 G 是一个群，群G 与G 1对它们的乘法运算同态，则G 1也是群。

证明：设ϕ是G 到G 1的同态满射，则G x x x G y y y ∈∃∈∀3211321,,,,,使332211)(,)(,)(y x y x y x ===ϕϕϕ，所以1212121)()()(G x x x x y y ∈==ϕϕϕ；又有321321321321321)())(()()())()()(()(y y y x x x x x x x x x y y y ===== ϕϕϕϕϕϕ；由G是一个群，x ex xe G x G e ==∈∀∈∃都有使,设1')(G e e ∈=ϕ，则1G y ∈∀有y x xe e x ye ====)()()()('ϕϕϕϕ，y x ex x e y e ====)()()()('ϕϕϕϕ，所以G 1有单位元；G x G y ∈∃∈∀,1使1'11)(,)(G y x G x y x ∈=∈∃=--ϕϕ使，使''e yy =，同理''e y y =，所以G 1中每一个元都有逆元。

群与群同构的基本概念与性质群与群同构是抽象代数中的一个重要概念。

本文将重点介绍群与群同构的基本概念和性质，以及它们在数学和其他领域中的应用。

1. 群的定义与性质群是一种由一组元素和一个二元运算组成的代数结构。

它需要满足四个性质：封闭性、结合律、存在单位元和存在逆元。

记群为(G, *)，其中G为元素的集合，*为群的二元运算。

2. 群同构的定义设(G, *)和(H, ⊗)是两个群，若存在一个双射函数f: G -> H，且满足对于任意的a, b∈G，有f(a * b) = f(a) ⊗ f(b)，则称G与H同构，记作G ≃ H。

其中f被称为群同构映射。

3. 同构的性质3.1 保结合律：若G与H同构，且*a, *b∈G，则f(a * b) = f(a) ⊗f(b)。

3.2 保单位元：若G与H同构，且e_G为G的单位元，e_H为H的单位元，则f(e_G) = e_H。

3.3 保逆元：若G与H同构，且a∈G，则f(a^(-1)) = f(a)^(-1)。

4. 群同构的例子4.1 整数加法群与整数乘法群的同构在群的运算中，整数加法群和整数乘法群是两个经典的例子。

通过定义f(n) = 2^n，可以证明整数加法群(Z, +)与整数乘法群(Z*, ×)是同构的。

证明过程略。

4.2 平面刚体的旋转群与复数单位圆上的乘法群的同构平面刚体的旋转群与复数单位圆上的乘法群也是一个重要的例子。

通过定义f(θ) = e^(iθ)，其中θ为旋转角度，可以证明它们是同构的。

证明过程略。

5. 群同构的应用群同构在数学和其他领域中有着广泛的应用。

5.1 在密码学中，群同构可用于构造具有高安全性的加密算法。

5.2 在量子力学中，群同构用于研究粒子的对称性和守恒定律。

5.3 在拓扑学中，群同构用于研究拓扑空间的同伦性质。

总结：群与群同构是抽象代数中的重要概念。

群同构的定义和性质揭示了群之间的一种特殊关系，具有保结合律、保单位元和保逆元的性质。

群论中的同构及其性质在群论中，同构是一种重要的概念。

同构是指两个群之间存在一种双射，使得这两个群的运算结果相同。

下面是同构的定义：设群G和H，若存在一个双射f: G→H，且满足对于任意的g1,g2∈G，有f(g1g2)=f(g1)f(g2)，那么称G和H同构，记作G≅H。

同构的定义可以理解为，如果将一个群的元素和运算方式，都映射到另一个群中去，且这个映射保存群的运算性质，那么这两个群就是同构的。

同构有以下的性质：1.同构是等价关系，即对于任意的群G，它和自己是同构的（自同构），即G≅G。

另外，如果群G和群H同构，那么群H 和群G也同构。

2.同构是保群结构的映射，即如果两个群G和H同构，那么它们的乘法表、单位元、逆元等的性质都是相同的。

3.同构保运算的性质，即如果两个群G和H是同构的，那么它们之间的所有运算都是相同的，包括乘法和幂运算等。

通过同构，我们可以将一个不熟悉的群G和一个我们熟悉的群H联系起来，用我们已知的群H的性质来研究群G。

在实际问题中，有时候我们需要判断两个群是否同构，有一些方法可以用来进行判断。

一种方法是使用群的阶。

假设G和H是两个有限群，如果它们的阶相等（即G的元素数等于H的元素数），那么它们同构的可能性比较大。

但是阶相等并不能保证两个群一定同构，对于特殊的群如循环群和阿贝尔群，需要更具体的方法进行判断。

另一种方法是使用群的性质。

如一个群的元素都是奇数，而另一个群的元素都是偶数，那么这两个群就不可能同构。

因为同构需要保持乘法表和单位元等的性质，而奇偶性这类性质是不同的。

同构在数学中有广泛的应用。

在物理、化学、计算机等领域中，同构也有着重要的地位。

举个例子，假设我们要在计算机网络中进行数据的传输和处理，我们可以使用同构群来进行数据的加密和解密。

因为同构的定义保证了数据的最终结果是相同的，而同构的这一性质又保护了数据的安全性。

另外，同构也可以帮助我们在解决一些复杂问题时简化计算，例如在物理学中，用同构代替不同的材料，有助于我们通过计算得到物质性质的变化趋势，而不需要进行大量的实验。

置换群的内同构群证明置换群是群论中的一种重要的代数结构，它由一组元素的置换所构成。

在群论中，我们常常关注内同构的理论，即寻找一个群的内同构群。

本文将探讨置换群的内同构群，并给出其证明。

首先，我们来定义一下置换群的概念。

一个置换群是由一组置换所构成的集合G，满足以下条件：1. G中的每个置换都是G到自身的双射。

2. G中的置换之间满足封闭性，即两个置换的乘积仍然是G中的置换。

3. G中存在一个单位元，即恒等置换。

4. G中的每个置换都存在逆置换，使得乘积为单位元。

接下来，我们来证明置换群的内同构群的存在性。

设G是一个置换群，其元素为{g1, g2, ..., gn}，我们要找到一个置换群的子集H，使得H与G内同构。

我们定义H为G中的所有置换的集合，即H={h1, h2, ..., hm}，其中hi是G中的一个置换。

我们可以证明H满足置换群的要求：1. H中的每个置换都是H到自身的双射。

这是因为H是G的子集，G中的每个置换都是H的置换。

2. H中的置换之间满足封闭性。

这是因为G中的置换满足封闭性，而H是G的子集，所以H中的置换之间的乘积仍然是H中的置换。

3. H中存在一个单位元。

这是因为G中存在单位元，而H是G的子集，所以H中也存在单位元。

4. H中的每个置换都存在逆置换。

这是因为G中的每个置换存在逆置换，而H是G的子集，所以H中的每个置换也存在逆置换。

综上所述，我们可以得出结论：置换群G的内同构群存在，即G的所有置换的集合构成了一个置换群，满足群的各项要求，因此G的内同构群存在。

在群论中，内同构群的研究对于理解不同群之间的关系以及结构的相似性至关重要。

通过寻找内同构群，我们可以对置换群的结构和性质进行更深入的研究。

同时，内同构群的存在性也为群论的进一步发展提供了基础。

总结起来，本文探讨了置换群的内同构群，并给出了其证明过程。

置换群的内同构群存在性的证明为群论的研究提供了重要的理论基础，也为我们更好地理解和探索不同群之间的关系和结构提供了帮助。