过圆外一点作圆切线的单尺作法

切线证明法切线的性质定理： 圆的切线垂直于经过切点的半径切线的性质定理的推论１: 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． 切线的性质定理的推论２: 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 切线的判定定理: 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．切线长定理: 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

一、要证明某直线是圆的切线，如果已知直线过圆上的某一个点，那么作出过这一点的半径，证明直线垂直于半径．【例1】如图1，已知AB 为⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上，BD ＝OB ,点C 在圆上，∠CAB ＝30º．求证:DC 是⊙O 的切线．思路:要想证明DC 是⊙O 的切线，只要我们连接OC ，证明∠OCD ＝90º即可． 证明：连接OC ，BC ．∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90º．∵∠CAB ＝30º，∴BC ＝21AB ＝OB ．∵BD ＝OB ，∴BC ＝21OD ．∴∠OCD ＝90º．∴DC 是⊙O 的切线．【评析】一定要分清圆的切线的判定定理的条件与结论，特别要注意“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线．【例2】如图2，已知AB 为⊙O 的直径,过点B 作⊙O 的切线BC ,连接OC ,弦AD ∥OC ．求证：CD 是⊙O 的切线．思路：本题中既有圆的切线是已知条件，又证明另一条直线是圆的切线．也就是既要注意运用圆的切线的性质定理，又要运用圆的切线的判定定理．欲证明CD 是⊙O 的切线，只要证明∠ODC ＝90º即可．图1图2证明：连接OD ．∵OC ∥AD ，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4． ∵OA ＝OD ，∴∠1＝∠2．∴∠3＝∠4． 又∵OB ＝OD ，OC ＝OC ，∴△OBC ≌△ODC ．∴∠OBC ＝∠ODC ．∵BC 是⊙O 的切线，∴∠OBC ＝90º．∴∠ODC ＝90º． ∴DC 是⊙O 的切线．【例3】如图2,已知AB 为⊙O 的直径,C 为⊙O 上一点，AD 和过C 点的切线互相垂直，垂足为D ．求证:AC 平分∠DAB ．思路：利用圆的切线的性质--与圆的切线垂直于过切点的半径．证明：连接OC ．∵CD 是⊙O 的切线，∴OC ⊥CD ．∵AD ⊥CD ，∴OC ∥AD ．∴∠1＝∠2． ∵OC ＝OA ，∴∠1＝∠3．∴∠2＝∠3． ∴AC 平分∠DAB ．【评析】已知一条直线是某圆的切线时,切线的位置一般是确定的．在解决有关圆的切线问题时，辅助线常常是连接圆心与切点，得到半径，那么半径垂直切线．【例4】 如图1,B 、C 是⊙O 上的点，线段AB 经过圆心O ，连接AC 、BC ，过点C 作CD ⊥AB 于D ,∠ACD =2∠B ．AC 是⊙O 的切线吗？为什么？解：AC 是⊙O 的切线． 理由：连接OC , ∵OC =OB ， ∴∠OCB =∠B ．图3 OABCD2 31∵∠COD是△BOC的外角,∴∠COD=∠OCB+∠B=2∠B．∵∠ACD=2∠B，∴∠ACD=∠COD．∵CD⊥AB于D,∴∠DCO+∠COD=90°．∴∠DCO+∠ACD=90°．即OC⊥AC．∵C为⊙O上的点，∴AC是⊙O的切线．【例5】如图2,已知⊙Ｏ是△ABC的外接圆，AB是⊙Ｏ的直径,D是AB的延长线上的一点，AE⊥DC交DC的延长线于点E，且AC平分∠EAB．求证：DE是⊙O的切线．证明:连接OC,则OA=OC，∴∠CAO=∠ACO，∵AC平分∠EAB，∴∠EAC=∠CAO=∠ACＯ,∴AE∥CO,又AE⊥DE，∴CO⊥DE，∴DE是⊙O的切线．二、直线与圆的公共点未知时须通过圆心作已知直线的垂直线段，证明此垂线段的长等于半径【例6】如图3，AB=AC，OB=OC，⊙O与AB边相切于点D．证明：连接OD，作OE⊥AC，垂足为E．∵AB=AC，OB=OC．∴AO为∠BAC角平分线，∠DAO=∠EAO∵⊙O与AB相切于点D，∴∠BDO=∠CEO=90°．∵AO=AO∴△ADO≌△AEO，所以OE=OD．∵OD是⊙O的半径,∴OE是⊙O的半径．∴⊙O与AC边相切．【例7】如图,在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，B为切点的切线交OD延长线于F.求证：EF与⊙O相切.证明：连结OE,AD。

九年级数学第二学期第二十七章圆与正多边形专项练习考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、已知圆锥的底面半径为2cm，母线长为3cm，则其侧面积为（）cm．A．3πB．6πC．12πD．18π2、下列说法正确．．的个数有（）①方程210-+=的两个实数根的和等于1；x x②半圆是弧；③正八边形是中心对称图形；④“抛掷3枚质地均匀的硬币全部正面朝上”是随机事件；1,2，则这个函数图象位于第二、四象限．⑤如果反比例函数的图象经过点()A．2个B．3个C．4个D．5个∠等于（）3、如图，O中，90AOC︒∠=，则ABCA ．35︒B ．40︒C ．45︒D ．50︒4、如图，边长为 ）A ．B ．23π C ． D ．5、如图，四边形ABCD 内接于O ，若四边形ABCO 是菱形，则D ∠的度数为（ ）A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°6、如图，在Rt△ABC 中，90BAC ∠=︒，30B ∠=︒，3AB =，以AB 边上一点O 为圆心作O ，恰与边AC ，BC 分别相切于点A ，D ，则阴影部分的面积为（ ）A 3πB 3π-C 23π-D ．23π 7、利用定理“同弧所对圆心角是圆周角的两倍”，可以直接推导出的命题是（ ）A ．直径所对圆周角为90︒B ．如果点A 在圆上，那么点A 到圆心的距离等于半径C ．直径是最长的弦D ．垂直于弦的直径平分这条弦8、已知⊙O 的直径为10cm ，圆心O 到直线l 的距离为5cm ，则直线l 与⊙O 的位置关系是（ ）A ．相离B ．相切C ．相交D ．相交或相切9、如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，∠BAC ＝56°，则∠BOC 的度数为（ ）A ．28°B ．102°C ．112°D ．128°10、如图，正六边形ABCDEF 的边长为6，以顶点A 为圆心，AB 的长为半径画圆，则图中阴影部分图形的周长为（ ）A．2πB．4πC．2π+12D．4π+12第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、已知⊙A的半径为5，圆心A（4，3），坐标原点O与⊙A的位置关系是______．2、如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是边DC，CB上的动点，且始终满足DE＝CF，AE，DF交于点P，则∠APD的度数为______ ；连接CP，线段CP长的最小值为_______．3、如图，AB是半圆O的弦，DE是直径，过点B的切线BC与⊙O相切于点B，与DE的延长线交于点C，连接BD，若四边形OABC为平行四边形，则∠BDC的度数为______．BC=，以点A为圆心，2为半径的A与BC相切于点D，交AB于点E，交4、如图，在ABC中，4∠=°，则图中阴影部分的面积是______．EPFAC于点F，点P是A上一点，且405、如图，AB 为O 的直径，弦CD AB ⊥于点H ，8CD =，5OA =，则AH 的长为________．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 是⊙O 的直径，AB ⊥CD 于点E ，P 是AB 延长线上一点，且∠BCP ＝∠BCD（1）求证：CP 是⊙O 的切线；（2）连接DO 并延长，交AC 于点F ，交⊙O 于点G ，连接GC 若⊙O 的半径为5，OE ＝3，求GC 和OF 的长2、下面是“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程．已知：⊙O 和⊙O 外一点P ．求作：过点P 的⊙O 的切线．作法：如图，（1）连接OP；（2）分别以点O和点P为圆心，大于12OP的长半径作弧，两弧相交于M，N两点；（3）作直线MN，交OP于点C；（4）以点C为圆心，CO的长为半径作圆，交⊙O于A，B两点；（5）作直线PA，P B．直线PA，PB即为所求作⊙O的切线完成如下证明：证明：连接OA，OB，∵OP是⊙C直径，点A在⊙C上∴∠OAP=90°（___________）（填推理的依据）．∴OA⊥AP．又∵点A在⊙O上，∴直线PA是⊙O的切线（___________）（填推理的依据）．同理可证直线PB是⊙O的切线．3、如图，AB，AC是O的两条切线，切点分别为B，C，连接CO并延长交O于点D，过点D作O的切线交AB的延长线于点E，EF AC于点F．（1）求证：四边形CDEF是矩形；（2）若CD=2DE=，求AC的长.．4、如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，弦CD⊥AB于点E，且DC＝AD，过点A作⊙O的切线，过点C作DA的平行线，两直线交于点F，FC的延长线与AB的延长线交于点G．（1）求证：FG是⊙O的切线；（2）求证：四边形AFCD是菱形．5、如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AM是△ACD的外角∠DAF的平分线．（1）求证：AM是⊙O的切线；（2）连接CO并延长交AM于点N，若⊙O的半径为2，∠ANC= 30°，求CD的长．-参考答案-一、单选题1、B【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算．【详解】解：它的侧面展开图的面积＝1×2π×2×3＝6π（cm2）．2故选：B．【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．2、B【分析】根据所学知识对五个命题进行判断即可．【详解】1、Δ=12−4×1=−3<0，故方程无实数根，故本命题错误；2、圆上任意两点间的部分叫做圆弧，半圆也是，故本命题正确；3、八边形绕中心旋转180°以后仍然与原图重合，故本命题正确；4、抛硬币无论抛多少，出现正反面朝上都是随机事件，故抛三枚硬币全部正面朝上也是随机事件，故本命题正确；k>,它的函数图像位于一三象限，故本命题错误5、反比例函数的图象经过点 (1,2) ，则0综上所述，正确个数为3故选B【点睛】本题考查一元二次函数判别式、弧的定义、中心对称图形判断、随机事件理解、反比例函数图像，掌握这些是本题关键．3、C【分析】由题意直接根据圆周角定理进行分析即可得出答案.【详解】解：∵∠ABC和∠AOC是弧AC所对的圆周角和圆心角，90∠=，AOC︒∠AOC=45︒.∴∠ABC=12故选：C.【点睛】本题考查圆周角定理，注意掌握同弧（等弧）所对的圆周角是圆心角的一半．4、A【分析】正三角形的面积加上三个小半圆的面积，再减去中间大圆的面积即可得到结果．【详解】解：正三角形的面积为：162⨯=三个小半圆的面积为：(213182ππ⨯⨯⨯=，中间大圆的面积为：2416ππ⋅=，所以阴影部分的面积为：18162πππ-=，故选：A【点睛】本题考查了正多边形与圆，圆的面积的计算，正三角形的面积的计算，正确的识别图形是解题的关键．5、B【分析】设∠ADC =α，∠ABC =β，由菱形的性质与圆周角定理可得18012 ，求出β即可解决问题．【详解】解：设∠ADC =α，∠ABC =β；∵四边形ABCO 是菱形，∴∠ABC =∠AOC β=；∴ ∠ADC =12β；四边形ABCD 为圆的内接四边形，∴α+β=180°，∴ 18012，解得：β=120°，α=60°，则∠ADC =60°，故选：B ．【点睛】该题主要考查了圆周角定理及其应用，圆的内接四边形的性质，菱形的性质；掌握“同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半”是解本题的关键.6、A【分析】连结OC ，根据切线长性质DC =AC ，OC 平分∠ACD ，求出∠OCD =∠OCA =12ACD ∠=30°，利用在Rt△ABC中，AC =AB tan B =Rt△AOC 中，∠ACO =30°，AO =AC 1=，利用三角形面积公式求出12AOC S OA AC ∆=⋅=，12DOC S OD DC ∆=⋅=212011==3603OAD S ππ⨯扇形，利用割补法求即可． 【详解】解：连结OC ，∵以AB 边上一点O 为圆心作O ，恰与边AC ，BC 分别相切于点A , D ，∴DC =AC ，OC 平分∠ACD ，∵90BAC ∠=︒，30B ∠=︒，∴∠ACD =90°-∠B =60°，∴∠OCD =∠OCA =12ACD ∠=30°，在Rt△ABC 中，AC =AB tan B =在Rt△AOC 中，∠ACO =30°，AO =AC 1=，∴OD =OA =1，DC =AC∴11122AOC S OA AC ∆=⋅=⨯=11122DOC S OD DC ∆=⋅=⨯= ∵∠DOC =360°-∠OAC -∠ACD -∠ODC =360°-90°-90°-60°=120°， ∴212011==3603OAD S ππ⨯扇形，S 阴影=1133AOC DOC OAD S S S ππ∆∆+-扇形． 故选择A ．【点睛】本题考查切线长性质，锐角三角形函数，扇形面积，三角形面积，角的和差计算，割补法求阴影面积，掌握切线长性质，锐角三角形函数，扇形面积，三角形面积，角的和差计算，割补法求阴影面积是解题关键．7、A【分析】定理“同弧所对圆心角是圆周角的两倍”是圆周角定理，分析各个选项即可.【详解】A 选项，直径所在的圆心角是180°，直接可以由圆周角定理推导出：直径所对的圆周角为90︒，A 选项符合要求；B、C选项，根据圆的定义可以得到；D选项，是垂径定理；故选：A【点睛】本题考查圆的基本性质，熟悉圆周角定理及其推论是解题的关键.8、B【分析】圆的半径为,r圆心O到直线l的距离为,d当d r=时，直线与圆相切，当d r时，直线与圆相离，<时，直线与圆相交，根据原理直接作答即可.当d r【详解】解：⊙O的直径为10cm，圆心O到直线l的距离为5cm，∴⊙O的半径等于圆心O到直线l的距离，∴直线l与⊙O的位置关系为相切，故选B【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系的判定，掌握“直线与圆的位置关系的判定方法”是解本题的关键.9、C【分析】直接由圆周角定理求解即可．【详解】解：∵∠A＝56°，∠A与∠BOC所对的弧相同，∴∠BOC＝2∠A＝112°，故选：C ．【点睛】此题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解答本题的关键，同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．10、D【分析】根据正多边形的外角求得内角FAB ∠的度数，进而根据弧长公式求得FB l ，即可求得阴影部分的周长．【详解】 解：正六边形ABCDEF 的边长为6，1180360120,66FAB AF AB ∴∠=︒-⨯︒=︒== ∴FB l 12064180ππ⨯== ∴阴影部分图形的周长为412FB AF AB l π++=+故选D【点睛】本题考查了求弧长公式，求正多边形的内角，牢记弧长公式和正多边形的外角与内角的关系是解题的关键．二、填空题1、在⊙A 上【分析】先根据两点间的距离公式计算出OA ，然后根据点与圆的位置关系的判定方法判断点O 与⊙A 的位置关系．【详解】解：∵点A 的坐标为（4，3），∴OA，∵半径为5，∴OA =r ，∴点O 在⊙A 上．故答案为：在⊙A 上．【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：点与圆的位置关系有3种．设⊙O 的半径为r ，点P 到圆心的距离OP =d ，当点P 在圆外⇔d ＞r ；当点P 在圆上⇔d =r ；当点P 在圆内⇔d ＜r ．2、90︒1【分析】利用“边角边”证明△ADE 和△DCF 全等，根据全等三角形对应角相等可得∠DAE ＝∠CDF ，然后求出∠APD ＝90°，从而得出点P 的路径是一段以AD 为直径的弧，连接AD 的中点和C 的连线交弧于点P ，此时CP 的长度最小，然后根据勾股定理求得QC ，即可求得CP 的长．【详解】 解：四边形ABCD 是正方形，∴ AD ＝CD ，∠ADE ＝∠BCD ＝90°，在△ADE 和△DCF 中，90AD CD ADE BCD DE CF =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩， ∴△ADE ≌△DCF （SAS ）∴∠DAE ＝∠CDF ，∵∠CDF ＋∠ADF ＝∠ADC ＝90°，∴∠ADF＋∠DAE＝90°，∴∠APD＝90°，由于点P在运动中保持∠APD＝90°，∴点P的路径是一段以AD为直径的弧，取AD的中点Q，连接QC，此时CP的长度最小，则DQ＝12AD＝12×2＝1，在Rt△CQD中，根据勾股定理得，CQ所以，CP＝CO−QP1．故答案为：90︒1．【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，圆周角定理，全等三角形的性质和判定，能综合运用性质进行推理是解此题的关键．3、22.5︒【分析】先由切线的性质得到∠OBC=90°，再由平行四边形的性质得到BO=BC，则∠BOC=∠BCO=45°，由OD=OB，得到∠ODB=∠OBD，由∠ODB+∠OBD=∠BOC，即可得到∠ODB=∠OBD=22.5°，即∠BDC=22.5°．【详解】解：∵BC 是圆O 的切线，∴∠OBC =90°，∵四边形ABCO 是平行四边形，∴AO =BC ，又∵AO =BO ，∴BO =BC ，∴∠BOC =∠BCO =45°，∵OD =OB ，∴∠ODB =∠OBD ，∵∠ODB +∠OBD =∠BOC ，∴∠ODB =∠OBD =22.5°，即∠BDC =22.5°，故答案为：22.5°．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，切线的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形外角的性质，熟知切线的性质是解题的关键．4、849π-【分析】连接AD ，由圆周角定理可求出80EAF ∠=︒，即可利用扇形面积公式求出EAF S 扇形．由切线的性质可知AD BC ⊥，即可利用三角形面积公式求出ABC S ．最后根据ABC EAF S S S =-阴扇形，即可求出结果．【详解】如图，连接AD ．∵40EPF ∠=°，∴280EAF EPF ∠=∠=︒， ∴22808028==3603609EAF AE S πππ⨯⨯=扇形． ∵BC 是⊙O 切线，且切点为D ，∴AD BC ⊥，2AD =， ∴1124422ABC S AD BC =⋅=⨯⨯=△． ∵ABCEAF S S S =-阴扇形， ∴849S π=-阴． 故答案为：849π-． 【点睛】本题考查圆周角定理，切线的性质，扇形的面积公式．连接常用的辅助线是解答本题的关键． 5、8【分析】如图所示，连接OC ，由垂径定理可得1=42CH DH CD ==，再由勾股定理求出OH ，即可得到答案．【详解】解：如图所示，连接OC ，∵AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点H ，CD =8， ∴1=42CH DH CD ==，∠OHC =90°， ∵OC =OA =5，∴OH ，∴AH =OA +OH =8，故答案为：8．【点睛】本题主要考查了勾股定理和垂径定理，解题的关键在于能够熟练掌握垂径定理．三、解答题1、（1）见解析；（2）6GC =，2511OF =【分析】（1）连接OC ，由已知可得∠OCB ＋∠BCD ＝90°，进而根据∠BCP ＝∠BCD ，等量代换可得∠OCB ＋∠BCP ＝90°，即可证明CP 是⊙O 的切线；（2）证明OE 为△DCG 的中位线，由AO GC ∥，证明△GCF ∽△OAF ，进而列出比例式代入数值进行计算即可．【详解】（1）证明：连接OC∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB∵AB⊥CD于点E，∴∠CEB＝90° ∴∠OBC＋∠BCD＝90° ∴∠OCB＋∠BCD＝90° ∵∠BCP＝∠BCD，∴∠OCB＋∠BCP＝90° ∴OC⊥CP∴CP是⊙O的切线（2）∵AB⊥CD于点E，∴E为CD中点∵O为GD中点，∴OE为△DCG的中位线∥∴GC＝2OE＝6，OE GC ∥∵AO GC∴△GCF∽△OAF∴GC GF OA OF=即65GFOF =∵GF＋OF＝5，∴OF＝25 11【点睛】本题考查了切线的性质判定，相似三角形的性质与判定，掌握切线的性质与判定是解题的关键．2、直径所对的圆周角是直角经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线【分析】连接OA，OB，根据圆周角定理可知∠OAP=90°，再依据切线的判定证明结论；【详解】证明：连接OA，OB，∵OP是⊙C直径，点A在⊙C上，∴∠OAP=90°（直径所对的圆周角是直角），∴OA⊥AP．又∵点A在⊙O上，∴直线PA是⊙O的切线（经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线），同理可证直线PB是⊙O的切线，故答案为：直径所对的圆周角是直角；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．3、（1）见详解；（2）7【分析】（1）根据切线的性质和矩形的判定定理即可得到结论；（2）根据切线长定理可得AB =AC ，BE =DE ，再利用勾股定理即可求解．【详解】（1）证明：∵AC ，DE 是O 的两条切线，EF AC ⊥于点F∴∠EFC =∠EDC =∠FCD =90°，∴四边形CDEF 是矩形；（2）∵四边形CDEF 是矩形，∴EF =CD =CF =2DE =，∵AB ，AC ，DE 是O 的两条切线，∴AB =AC ，BE =DE ，设AB =AC =x ，则AE =x +2，AF =x -2，在Rt AEF 中，()(()22222x x -+=+， 解得：x =5，∴AC =5+2=7．【点睛】本题主要考查切线长定理和勾股定理以及矩形的判定定理，掌握切线长定理以及勾股定理是解题的关键．4、（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）连接OC、AC，证明△ACD为等边三角形，得出∠ADC=∠DCA=∠DAC=60°，∠OCD=30°，由FG∥DA，得出∠DCF=180°-∠ADC=120°，则∠OCF=∠DCF-∠OCD=90°，即FG⊥OC，即可得出结论；（2）证明AF∥DC，由FG∥DA，得出四边形AFCD是菱形．【详解】（1）证明：连接OC、AC，如图所示：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴CE=DE，AD=AC，∵DC=AD，∴DC=AD=AC，∴△ACD为等边三角形，∴∠ADC=∠DCA=∠DAC=60°，∠DAB=∠BAC=30°，∴∠BOC=2∠BAC=60°，∴∠OCD=90°-60°=30°，∵FG∥DA，∴∠D=∠DCG=60°，∴∠OCG=∠DCG+∠OCD=60°+30°=90°，∴FG⊥OC，∵OC为⊙O的半径，∴FG是⊙O的切线；（2）证明：∵AF与⊙O相切，∴AF⊥AG，∵DC⊥AG，∴AF∥DC，∵FG∥DA，∴四边形AFCD为平行四边形．∵DC＝AD，∴四边形AFCD是菱形．【点睛】本题考查了切线的判定与性质，菱形的判定与性质，等边三角形的性质，证明FG是⊙O的切线是解题的关键．5、（1）见解析（2）CD=【分析】（1）由题意易得BC=BD，∠DAM=1∠DAF，则有∠CAB=∠DAB，进而可得∠BAM=90°，然后问题可求2证；（2）由题意易得CD//AM，∠ANC=∠OCE=30°，然后可得OE=1，（1）证明：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E∴BC=BD∴∠CAB=∠DAB∵AM是∠DAF的平分线∠DAF∴∠DAM=12∵∠CAD+∠DAF=180°∴∠DAB+∠DAM=90°即∠BAM=90°，AB⊥AM∴AM是⊙O的切线（2）解：∵AB⊥CD，AB⊥AM∴CD//AM∴∠ANC=∠OCE=30°在R t△OCE中，OC=2∴OE=1，∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E∴CD=2CE=【点睛】本题主要考查切线的判定定理、垂径定理及含30度直角三角形的性质，熟练掌握切线的判定定理、垂径定理及含30度直角三角形的性质是解题的关键．。

过圆外一点作圆的切线是一个有趣且具有一定难度的几何问题。

在数学几何中，有两种方法可以用来找到过圆外一点作圆的切线，分别是几何构造法和解析几何法。

在本文中，我将探讨这两种方法，并对其进行全面评估，以帮助你深入理解这一概念。

1. 几何构造法几何构造法是通过几何图形的构造和推导来寻找问题的解。

在求解过圆外一点作圆的切线时，我们可以利用几何构造法来找到两种方法，即内切和外切。

我们来看内切的情况。

设圆的圆心为O，外点为P。

我们可以通过以下步骤来构造过外点P作圆的内切线：a. 以外点P为圆心，画一条与圆相切的直线L，相切点为T。

b. 连接PT，可得到过外点P作圆的内切线。

接下来，我们来看外切的情况。

同样假设圆的圆心为O，外点为P。

通过以下步骤可以构造过外点P作圆的外切线：a. 以外点P为圆心，画一条与圆相切的直线L，相切点为T。

b. 连接PT，可得到过外点P作圆的外切线。

通过几何构造法，我们可以清晰地看到过圆外一点作圆的内切线和外切线的构造过程，从而更好地理解这一概念。

2. 解析几何法解析几何法是通过坐标系和方程来寻找问题的解。

在求解过圆外一点作圆的切线时，我们同样可以利用解析几何法来找到两种方法。

设圆的方程为(x-a)²+(y-b)²=r²，外点P的坐标为(x₀, y₀)。

我们可以通过以下步骤来求解过外点P作圆的切线方程：a. 联立圆的方程和外点P到圆的距离公式，可得到切线方程。

b. 根据切线方程，可以求解出与圆相切的直线方程。

通过解析几何法，我们可以用数学的方式来推导出过圆外一点作圆的切线方程，从而更加深入地理解这一概念。

总结回顾通过本文的讨论，我们深入探讨了过圆外一点作圆的切线的两种方法，即几何构造法和解析几何法。

在几何构造法中，我们通过构造图形和推导过程来寻找切线；而在解析几何法中，我们通过坐标系和方程来求解切线方程。

这两种方法各有特点，可以帮助我们更全面、深刻地理解这一几何问题。

尺规作图 过圆外一点作圆的切线方法归纳胡小华(江苏省南京市金陵中学河西分校㊀２１００３６)摘㊀要:尺规作图是初中平面几何中的重要知识ꎬ是中考的热门题型.本文阐述了用多种方法过圆外一点作圆的切线ꎬ对学生的数学知识㊁方法㊁经验和思维能力都有一定的要求.通过尺规作图既复习了基本作图知识ꎬ又对圆的性质㊁切线的性质㊁以及切线的判定等知识进行了复习.关键词:尺规作图ꎻ切线ꎻ切线的判定中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０１９)３５－００３１－０２收稿日期:２０１９－０９－１５作者简介:胡小华ꎬ女ꎬ江苏省泰兴人ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事初中数学教学研究.㊀㊀尺规作图是初中平面几何中的重要知识ꎬ是中考的热门题型ꎬ学生需综合运用所学的知识ꎬ多角度思考问题.在初三第一轮复习时ꎬ我设计了这样一个问题 过圆外一点Ａ作☉Ｏ的切线ꎬ尺规作图ꎬ保留作图痕迹ꎬ并说明作图的依据ꎬ比一比谁的画法多 .学生作品展示图１方法一:利用直径所对的圆周角是直角.连接ＡＯꎬ以ＡＯ为直径作☉Ｂꎬ☉Ｂ与☉Ｏ相交于Ｄ㊁Ｅ两点ꎬ则ＡＤꎬＡＥ即为所求作的切线.理由:☉Ｂ中ȵＡＯ是直径ꎬʑøＡＤＯ＝９０ʎ即ＯＤʅＡＤ.ȵＡＤ经过半径ＯＤ的外端ꎬʑＡＤ与☉Ｏ相切.该方法是由切线想到垂直ꎬ构造直角的常用方法之一是利用直径所对的圆周角是直角这一定理.再由切线图２的判定方法:过半径外端ꎬ并且垂直于半径的直线是圆的切线.切线的作法即转化为主要考虑作半径的垂线的方法ꎬ联系初三刚学过的知识ꎬ我们首先想到的是直径所对的圆周角是直角这一定理ꎬ这一方法也就顺其自然而产生.方法二:利用 等腰三角形三线合一 的性质作垂直.以Ｏ为圆心ꎬＢＣ长为半径作弧ꎬ以Ａ为圆心ꎬＡＯ长为半径作弧ꎬ两弧交于点ＤꎬＯＤ与☉Ｏ相交于点Ｅꎬ连接ＡＥꎬ则ＡＥ即为☉Ｏ的切线.另一条切线也可以用同样的方法作出.理由:ȵＡＯ＝ＡＤꎬＯＤ＝ＢＣ＝２ＯＥꎬʑＥ为ＯＤ的中点.ʑＡＥʅＯＤꎬʑＡＥ与☉Ｏ相切.要作切线想到垂直ꎬ而利用等腰三角形三线合一的性质也是我们常见的构造垂直的方法之一.方法三:利用勾股定理的逆定理构造垂直.分析:先假设切线画出来了ꎬ则斜边长为ＡＯ长ꎬ一条直角边长为半径ｒꎬ根据勾股定理可以求出另一条直角边的长.图３作øＤＣＨ＝９０ʎꎬ在ＣＨ上截取半径ｒꎬ交ＣＨ于点Ｇꎬ以Ｇ为圆心ꎬＡＯ长为半径作弧ꎬ交ＣＤ于点Ｆꎬ则ＣＦ长即为所求作的切线长.以Ａ为圆心ꎬＣＦ长为半径作弧交圆Ｏ于点Ｅꎬ连接ＡＥꎬ则ＡＥ即为所求作的一条切线.理由:ȵøＣ＝９０ʎꎬ１３ʑＦＣ２＋ＣＧ２＝ＦＧ２.又ȵＡＯ＝ＦＧꎬＣＧ＝ＯＥꎬＦＣ＝ＡＥꎬʑＡＥ２＋ＯＥ２＝ＡＯ２.ʑＡＥʅＯＥꎬʑＡＥ是☉Ｏ的切线.图４该作图方法是利用勾股定理的逆定理构造直角ꎬ想法比较独特ꎬ通过先构造直角找到三边关系ꎬ再利用三边关系构造直角ꎬ从而创造切线.学生的思维让人眼前一亮.方法四:利用相似作垂直证半径.延长ＡＯ到Ｄꎬ使得ＯＤ＝ＯＡ.以Ｄ为圆心ꎬ以☉Ｏ直径长为半径作弧ꎬ以Ｏ为圆心ꎬＯＡ长为半径作圆ꎬ交弧于点Ｆꎬ连接ＡＦ.过Ｏ点作ＯＥʅＡＦꎬ交ＡＦ于点Ｅꎬ则ＡＥ即为所求作的切线.证明:ȵＡＤ为直径ꎬʑøＡＦＤ＝９０ʎ.ȵＯＥʅＡＦꎬʑＯＥʊＤＦꎬ㊀㊀ʑәＡＯＥʐәＡＤＦꎬʑＯＥＤＦ＝ＡＯＡＤ＝１２ꎬʑＯＥ＝１２ＤＦ＝ｒ.又ȵＯＥʅＡＦꎬʑＡＥ是☉Ｏ的切线.前三种方法均是连半径ꎬ作垂直ꎬ第四种方法是作垂直证半径ꎬ刚好复习了初中阶段的证明切线的两种方法ꎬ也是学生综合运用知识解决问题能力的一种体现.在复习期间这样一个开放性的问题激发了学生学习的热情和潜能ꎬ围绕数学问题展开的思维碰撞ꎬ无不是学生学习主动性㊁能动性和创造性的综合体现.在解决问题的过程中复习了初中阶段常见的构造垂直的几种重要方法ꎬ我不禁感叹 只要给学生一个舞台ꎬ他们必将还我一片精彩 !㊀㊀参考文献:[１]沈文选.中学数学思想方法[Ｍ].长沙:湖南师范大学出版社ꎬ１９９９.[２]罗增儒.数学思想方法的教学[Ｊ].中学教研(数学)ꎬ２００４(７):２９－３０.[责任编辑:李克柏]以情促教㊀践行自主课堂浅议培养初中生数学情感的策略芮亚琴㊀任㊀庆(江苏省宜兴市桃溪中学㊀２１４２００)摘㊀要:数学情感就是学生在数学活动中对数学产生的求知欲及好奇心ꎬ它更多地倾向于数学兴趣ꎬ能对学生的学习产生积极的影响.注重学生数学情感的培养可以促进教学ꎬ是提高学生学习数学的自主性和主动性的必要条件.本文根据笔者多年的教学经验ꎬ结合教学实例ꎬ就如何培养学生的数学情感提出几点建议.关键词:数学情感ꎻ数学兴趣ꎻ主动学习中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０１９)３５－００３２－０２收稿日期:２０１９－０９－１５作者简介:芮亚琴(１９８２.２－)ꎬ女ꎬ江苏省宜兴人ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事初中数学教学研究.任庆(１９７９.９－)ꎬ男ꎬ江苏省宜兴人ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事初中数学教学研究.㊀㊀情感是人与生俱来的一种心理活动ꎬ是人们对客观事物是否符合个体需要而产生的态度体验.情感对教学质量有一定的影响ꎬ积极的情感能让学生主动㊁快乐地学习ꎬ养成良好的习惯ꎬ获得一定的成就ꎬ消极的情感则会影响学生的学习效果.当新课标对学生的情感态度目标提出培养要求时ꎬ 数学情感 便作为数学学科上的专有名词被提了出来.初中学生正处在身心快速发展的时期ꎬ在教学中强化情感对学生的学习主动性及自觉性都有着积极的作用.在初中数学教学中ꎬ如何培养学生的数学情感ꎬ对此ꎬ笔者有以下几点粗浅的看法ꎬ供同仁们参考.㊀㊀一㊁渗透情感意义ꎬ体会情感价值什么是数学情感?为何要渗透数学情感的教育?数学情感对数学学习而言有着怎样的意义?让学生明白这些问题的本质是培养学生数学情感的第一步.教师在进行教学时可以将上述问题渗透至教学中ꎬ让学生体会数学情感的价值.如笔者在初二开学的起始阶段ꎬ专门开设了一堂主２３。

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2020北京丰台初三（上）期末数学备考训练圆（教师版）一．选择题（共13小题）1．如图，A，B，C是⊙O上的点，如果∠BOC＝120°，那么∠BAC的度数是（）A．90°B．60°C．45°D．30°【分析】直接根据圆周角定理即可得出结论．【解答】解：∵∠BOC与∠BAC是同弧所对的圆心角与圆周角，∠BOC＝120°，∴∠BAC＝∠BOC＝60°．故选：B．【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．2．如图，将一把折扇打开后，小东测量出∠AOC＝160°，OA＝25cm，OB＝10cm，那么由，及线段AB，线段CD所围成的扇面的面积约是（）A．157cm2B．314cm2C．628cm2D．733cm2【分析】根据扇形面积公式计算即可．【解答】解：由，及线段AB，线段CD所围成的扇面的面积＝﹣≈733（cm2），故选：D．【点评】本题考查的是扇形面积计算，掌握扇形面积公式：S扇形＝πR2是解题的关键．3．如图，A，B是⊙O上的两点，C是⊙O上不与A，B重合的任意一点，如果∠AOB＝140°，那么∠ACB的度数为（）A．70°B．110°C．140°D．70°或110°【分析】根据点C在优弧AB上和劣弧AB上两种情况画出图形，根据圆周角定理和圆内接四边形的性质进行计算即可．【解答】解：如图1，∠ACB＝∠AOB＝70°；如图2，∠ADB＝∠AOB＝70°，∠ADB+∠ACB＝180°，∴∠ACB＝110°．故选：D．【点评】本题考查的是圆周角定理和圆内接四边形的性质，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．4．如果⊙O的半径为7cm，圆心O到直线l的距离为d，且d＝5cm，那么⊙O和直线l的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．不确定【分析】根据直线和圆的位置关系的内容判断即可．【解答】解：∵⊙O的半径为7cm，圆心O到直线l的距离为d，且d＝5cm，∴5＜7，∴直线l与⊙O的位置关系是相交，故选：A．【点评】本题考查了直线和圆的位置关系的应用，注意：已知⊙O的半径为r，如果圆心O到直线l的距离是d，当d＞r时，直线和圆相离，当d＝r时，直线和圆相切，当d＜r时，直线和圆相交．5．如图，AB是⊙O的直径，C，D两点在⊙O上，如果∠C＝40°，那么∠ABD的度数为（）A．40°B．50°C．70°D．80°【分析】由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，求得∠DAB的度数．由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角求得∠ADB的度数，进而即可求得∠ABD的度数．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠C＝40°，∴∠DAB＝∠C＝40°，∴∠ABD＝90°﹣∠DAB＝50°．故选：B．【点评】此题考查了圆周角定理．此题难度不大，注意掌握直径所对的圆周角是直角与在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等定理的应用是解此题的关键．6．如图，AB为半圆O的直径，弦AD，BC相交于点P，如果CD＝3，AB＝4，那么S△PDC：S△PBA等于（）A．16：9 B．3：4 C．4：3 D．9：16【分析】根据图形可得∠DCP＝∠BAP，∠CPD＝∠APB，进而得出△ABP∽△CDP，根据相似三角形的性质可得，S△PDC：S△PBA＝（）2，最后根据CD＝3，AB＝4进行计算即可．【解答】解：∵∠DCP＝∠BAP，∠CPD＝∠APB，∴△ABP∽△CDP，∴S△PDC：S△PBA＝（）2＝（）2＝，故选：D．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质以及圆周角定理的运用，解题时注意：相似三角形的面积的比等于相似比的平方．7．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BCD＝120°，则∠BAD的度数是（）A．30°B．60°C．80°D．120°【分析】直接根据圆内接四边形的性质即可得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠BCD＝120°，∴∠BAD＝180°﹣120°＝60°．故选：B．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键．8．小宏用直角三角板检查某些工件的弧形凹面是否是半圆，下列工件的弧形凹面一定是半圆的是（）A．B．C．D．【分析】根据90°的圆周角所对的弧是半圆，从而得到答案．【解答】解：根据90°的圆周角所对的弧是半圆，显然A正确，故选：A．【点评】本题考查了圆周角定理、圆周角的概念；理解圆周角的概念，掌握圆周角定理的推论，把数学知识运用到实际生活中去．9．如图，A，B，C是⊙O上的三个点，如果∠BAC＝30°，那么∠BOC的度数是（）A．60°B．45°C．30°D．15°【分析】直接根据圆周角定理即可得出结论．【解答】解：∵∠BOC与∠BAC是同弧所对的圆心角与圆周角，∠BAC＝30°，∴∠BOC＝2∠BAC＝60°．故选：A．【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．10．如图，扇形折扇完全打开后，如果张开的角度（∠BAC）为120°，骨柄AB的长为30cm，扇面的宽度BD的长为20cm，那么这把折扇的扇面面积为（）A．cm2B．cm2C．cm2D．300πcm2【分析】先求出AD的长，再根据S阴影＝S扇形BAC﹣S扇形DAE即可得出结论．【解答】解：∵AB＝30cm，BD＝20cm，∴AD＝30﹣21＝10（cm），∴S阴影＝S扇形BAC﹣S扇形DAE＝＝＝cm2．故选：C．【点评】本题考查的是扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键．11．如图，⊙O的半径为5，AB为弦，半径OC⊥AB，垂足为点E，若CE＝2，则AB的长是（）A．4 B．6 C．8 D．10【分析】由于半径OC⊥AB，利用垂径定理可知AB＝2AE，又CE＝2，OC＝5，易求OE，在Rt△AOE中利用勾股定理易求AE，进而可求AB．【解答】解：如右图，连接OA，∵半径OC⊥AB，∴AE＝BE＝AB，∵OC＝5，CE＝2，∴OE＝3，在Rt△AOE中，AE＝＝4，∴AB＝2AE＝8，故选：C．【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理，解题的关键是利用勾股定理先求出AE．12．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的点，若∠BAC＝40°，则∠D等于（）A．40°B．50°C．55°D．60°【分析】由“直径所对的圆周角是直角”推知∠ACB＝90°，则易求∠D＝∠B＝90°﹣40°＝50°．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°．又∵∠BAC＝40°，∠D＝∠B，∴∠D＝∠B＝90°﹣∠BAC＝50°．故选：B．【点评】本题考查了圆周角定理．同弧所对的圆周角相等．13．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OBC＝30°，则∠BAC的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．70°【分析】由OB＝OC，∠OBC＝30°，易求得∠BOC的度数，又由圆周角定理，即可求得∠BAC的度数．【解答】解：∵OB＝OC，∠OBC＝30°，∴∠OCB＝∠OBC＝30°，∴∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝120°，∴∠BAC＝∠BOC＝60°．故选：C．【点评】此题考查了圆周角定理与等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．二．填空题（共18小题）14．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E．如果∠B＝60°，AC＝4，那么CD的长为 4 ．【分析】由AB是⊙O的直径，根据由垂径定理得出AD＝AC，进而利用等边三角形的判定和性质求得答案．【解答】解：连接AD，∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∴AD＝AC，∵∠B＝60°，AC＝4，∴CD＝AC＝4．故答案为：4．【点评】此题考查了垂径定理以及等边三角形数的性质．注意由垂径定理得出AD＝AC是关键．15．刘徵是我国古代最杰出的数学家之一，他在《九算术圆田术）中用“割圆术”证明了圆面积的精确公式，并给出了计算圆周率的科学方法（注：圆周率＝圆的周长与该圆直径的比值）“割圆术”就是以“圆内接正多边形的面积”，来无限逼近“圆面积”，刘徽形容他的“割圆术”说：割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣．刘徽计算圆周率是从正六边形开始的，易知圆的内接正六边形可分为六个全等的正三角形，每个三角形的边长均为圆的半径R．此时圆内接正六边形的周长为6R，如果将圆内接正六边形的周长等同于圆的周长，可得圆周率为3．当正十二边形内接于圆时，如果按照上述方法计算，可得圆周率为 3.12 ．（参考数据：sin l5°＝0.26）【分析】连接OA1、OA2，根据正十二边形的性质得到∠A1OA2＝30°，△A1OA2是等腰三角形，作OM⊥A1A2于M，根据等腰三角形三线合一的性质得出∠A1OM＝15°，A1A2＝2A1M．设圆的半径R，解直角△A1OM，求出A1M，进而得到正十二边形的周长L，那么圆周率π≈．【解答】解：如图，设半径为R的圆内接正十二边形的周长为L．连接OA1、OA2，∵十二边形A1A2…A12是正十二边形，∴∠A1OA2＝30°．作OM⊥A1A2于M，又OA1＝OA2，∴∠A1OM＝15°，A1A2＝2A1M．在直角△A1OM中，A1M＝OA1•sin∠A1OM＝0.26R，∴A1A2＝2A1M＝0.52R，∴L＝12A1A2＝6.24R，∴圆周率π≈＝＝3.12．故答案为3.12．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用，正多边形和圆，等腰三角形的性质，求出正十二边形的周长L是解题的关键．16．阅读下面材料：在数学课上，老师请同学们思考如下问题：请利用直尺和圆规四等分．小亮的作法如下：如图，（1）连接AB；（2）作AB的垂直平分线CD交于点M．交AB于点T；（3）分别作线段AT，线段BT的垂直平分线EF，GH，交于N，P两点；那么N，M，P三点把四等分．老师问：“小亮的作法正确吗？”请回备：小亮的作法不正确（“正确”或“不正确”）理由是EF，GH平分的不是弧AM，BM所对的弦．【分析】由作法可知，弦AN与MN不相等，根据圆心角、弧、弦的关系定理得到≠，即EF平分的不是弧AM所对的弦．同理可得GH平分的不是弧BM所对的弦．由此得出小亮的作法不正确．【解答】解：小亮的作法不正确．理由是：如图，连结AN并延长，交CD于J，连结MN，设EF与AB交于I．由作法可知，EF∥CD，AI＝IT，∴AN＝NJ，∵∠NMJ＞∠NJM，∴NJ＞MN，∴AN＞MN，∴弦AN与MN不相等，则≠，即EF平分的不是弧AM所对的弦．同理可得GH平分的不是弧BM所对的弦．故答案为不正确；EF，GH平分的不是弧AM，BM所对的弦．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图，线段垂直平分线的性质，圆心角、弧、弦的关系定理．根据作法得出弦AN与MN不相等或弦BP与PM不相等是解题的关键．17．半径为2的圆中，60°的圆心角所对的弧的弧长为π．【分析】将n＝60，r＝2代入弧长公式l＝进行计算即可．【解答】解：l＝＝＝π．故答案为π．【点评】本题考查了弧长的计算．熟记弧长公式l＝（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为r）是解题的关键．注意在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．18．如图，等边三角形ABC的外接圆⊙O的半径OA的长为2，则其内切圆半径的长为 1 ．【分析】过点O作OH⊥AB与点H，则OH为内切圆的半径，根据等边三角形的性质即可求出OH的长．【解答】解：过点O作OH⊥AB与点H，∵△ABC是等边三角形，∴∠CAB＝60°，∵O为三角形外心，∴∠OAH＝30°，∴OH＝OA＝1，故答案为：1【点评】本题考查了等边三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．19．在平面直角坐标系中，过三点A（0，0），B（2，2），C（4，0）的圆的圆心坐标为（2，0）．【分析】已知A（0，0），B（2，2），C（4，0），则过A、B、C三点的圆的圆心，就是弦的垂直平分线的交点，故求得AB的垂直平分线和AC的垂直平分线的交点即可．【解答】解：已知A（0，0），B（2，2），C（4，0），如图：可设：AB的垂直平分线解析式为：y＝kx+b，把（0，2），（2，0）代入解析式可得：，解得：，所以AB的垂直平分线解析式是y＝﹣x+2，设AC的垂直平分线解析式为x＝m，把（2，2）代入解析式，可得：x＝2，所以AC的垂直平分线解析式是x＝2，∴过A、B、C三点的圆的圆心坐标为（2，0）．故答案为：（2，0）．【点评】此题考查垂径定理，圆心是弦的垂直平分线的交点，理解圆心的作法是解决本题的关键．20．下面是“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程．已知：⊙O和⊙O外一点P．求作：过点P的⊙O的切线．作法：如图，（1）连接OP；（2）分别以点O和点P为圆心，大于OP的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点；（3）作直线MN，交OP于点C；（4）以点C为圆心，CO的长为半径作圆，交⊙O于A，B两点；（5）作直线PA，PB．直线PA，PB即为所求作⊙O的切线．请回答以下问题：①连接OA，OB，可证∠OAP＝∠OBP＝90°，理由是直径所对圆周角是直角；②直线PA，PB是⊙O的切线，依据是经过半径的外端点，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．【分析】①根据“直径所对圆周角是直角”可得；②根据“经过半径的外端点，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线”可得．【解答】解：①连接OA，OB，可证∠OAP＝∠OBP＝90°，理由是：直径所对圆周角是直角，故答案为：直径所对圆周角是直角；②直线PA，PB是⊙O的切线，依据是：经过半径的外端点，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，故答案为：经过半径的外端点，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．【点评】本题主要考查作图﹣复杂作图，解题的关键是熟练掌握中垂线的尺规作图及圆周角定理、切线的判定．21．已知一扇形的面积是24π，圆心角是60°，则这个扇形的半径是12 ．【分析】把已知数据代入扇形的面积公式S＝，计算即可．【解答】解：设这个扇形的半径是为R，则＝24π，解得，R＝12，故答案为：12．【点评】本题考查的是扇形面积的计算，掌握扇形的面积公式S＝是解题的关键．22．如图，将半径为3cm的圆形纸片折叠后，劣弧中点C恰好与圆心O距离1cm，则折痕AB的长为2cm．【分析】连接OC并延长交⊙O于D，交AB于E，由点C是劣弧AB的中点，得到OC⊥AB，AE＝BE，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：连接OC并延长交⊙O于D，交AB于E，∵点C是劣弧AB的中点，∴OC⊥AB，AE＝BE，∵OD＝3，OC＝1，∴CE＝DE＝1，∴OE＝2，∴AE＝＝，∴AB＝cm；故答案为：2．【点评】本题考查的是翻折变换，垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．23．圆心角是60°的扇形的半径为6，则这个扇形的面积是6π．【分析】根据扇形的面积公式S＝计算，即可得出结果．【解答】解：该扇形的面积S＝＝6π．故答案为：6π．【点评】本题考查了扇形面积的计算，属于基础题．熟记公式是解题的关键．24．排水管的截面为如图所示的⊙O，半径为5m，如果圆心O到水面的距离是3m，那么水面宽AB＝8 m．【分析】过O点作OC⊥AB，连接OB，由垂径定理可得出AB＝2BC，在Rt△OBC中利用勾股定理即可得出BC的长，进而可得出AB的长．【解答】解：过O点作OC⊥AB，连接OB，如图所示：∴AB＝2BC，在Rt△OBC中，BC2+OC2＝OB2，∵OB＝5m，OC＝3m，∴BC＝＝4m，∴AB＝2BC＝8m．即水面宽AB为8m；故答案为：8．【点评】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．25．阅读下面材料：在数学课上，老师请同学思考如下问题：小亮的作法如下：老师说：“小亮的作法正确．”请你回答：小亮的作图依据是垂径定理．【分析】利用垂径定理得出任意两弦的垂直平分线交点即可．【解答】解：根据小亮作图的过程得到：小亮的作图依据是垂径定理．故答案是：垂径定理．【点评】此题主要考查了复杂作图以及垂径定理，熟练利用垂径定理的性质是解题关键．26．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点C，若AB＝8cm，OC＝3cm，则⊙O的半径为 5 cm．【分析】根据垂径定理可将AC的长求出，再根据勾股定理可将⊙O的半径求出．【解答】解：由垂径定理OC⊥AB，则AC＝BC＝AB＝4cm在Rt△ACO中，AC＝4，OC＝3，由勾股定理可得AO＝＝5（cm），即⊙O的半径为5cm．故答案为：5．【点评】本题综合考查了圆的垂径定理与勾股定理．27．已知扇形的圆心角为120°，半径为3cm，则这个扇形的面积为3πcm2．【分析】根据扇形的面积公式即可求解．【解答】解：扇形的面积＝＝3πcm2．故答案是：3π．【点评】本题主要考查了扇形的面积公式，正确理解公式是解题关键．28．如图，⊙O的直径CD过弦AB的中点E，∠BCD＝15°，⊙O的半径为10，则AB＝10 ．【分析】连接OB，根据圆周角定理求出∠BOD的度数，再根据垂径定理得出∠AOD的度数，由等边三角形的性质即可得出结论．【解答】解：连接OB，∵∠BCD与∠BOD是同弧所对的圆周角与圆心角，∴∠BOD＝2∠BCD＝2×15°＝30°，∵点E是弦AB的中点，∴AB⊥CD，＝，∴AB＝2AE，∠AOD＝∠BOD＝30°，∴∠AOB＝60°，∵AO＝BO，∴△AOB是等边三角形，∵⊙O的半径为10，∴OA＝AB＝BO＝10．故答案为：10．【点评】本题考查的是垂径定理及圆周角定理、等边三角形的性质等知识，根据题意作出辅助线，构造出圆心角是解答此题的关键．29．如图，⊙O的弦AB＝8，OD⊥AB于点D，OD＝3，则⊙O的半径等于 5 ．【分析】连接OA，由OD垂直于AB，利用垂径定理得到D为AB的中点，由AB的长求出AD的长，在直角三角形AOD中，由AD与OD的长，利用勾股定理求出OA的长，即为圆O的半径．【解答】解：连接OA，∵OD⊥AB，∴D为AB的中点，即AD＝BD＝AB＝4，在Rt△AOD中，OD＝3，AD＝4，根据勾股定理得：OA＝＝5，则圆O的半径为5．故答案为：5【点评】此题考查了垂径定理，以及勾股定理，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．30．若扇形的圆心角为60°，它的半径为3cm，则这个扇形的弧长是πcm．【分析】弧长公式是l＝，代入就可以求出弧长．【解答】解：弧长是：＝πcm．故答案为：π．【点评】此题考查了扇形的弧长公式的运用，正确记忆弧长公式是解题的关键．31．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠ABC＝20°，点D是弧CAB上一点，若∠ABC＝20°，则∠D的度数是70°．【分析】由AB为圆O的直径，根据直径所对的圆周角为直角得到∠ACB为直角，再由∠ABC的度数，利用三角形的内角和定理求出∠BAC的度数，由同弧所对的圆周角相等得到所求的角与∠BAC的度数相等，进而确定出所求角的度数．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，又∠ABC＝20°，∴∠BAC＝70°，∵∠D和∠BAC都为所对的圆周角，∴∠D＝∠BAC＝70°．故答案为：70°【点评】此题考查了圆周角定理，以及三角形的内角和定理，利用了转化的思想，熟练掌握圆周角定理是解本题的关键．三．解答题（共18小题）32．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连接AC．过点B作⊙O的切线，交AC的延长线于点D，在AD上取一点E，使AE＝AB，连接BE，交⊙O于点F．请补全图形并解决下面的问题：（1）求证：∠BAE＝2∠EBD；（2）如果AB＝5，sin∠EBD＝．求BD的长．【分析】（1）利用等腰三角形的性质证明∠BAE＝2∠BAF，再证明∠EBD＝∠BAF即可解决问题；（2）作EH⊥BD于H．由sin∠BAF＝sin∠EBD＝，AB＝5，推出BF＝，推出BE＝2BF＝2，在Rt△BEH中，EH＝BE•sin∠EBH＝2，推出BH＝＝4，由EH∥AB，推出＝，由此即可求出DH解决问题；【解答】（1）证明：连接AF．∵AB是直径，∴∠AFB＝90°，∴AF⊥BE，∵AB＝AE，∴∠BAE＝2∠BAF，∵BD是⊙O的切线，∴∠ABD＝90°，∵∠BAF+∠ABE＝90°，∠ABF+∠EBD＝90°，∴∠EBD＝∠BAF，∴∠BAE＝2∠EBD．（2）解：作EH⊥BD于H．∵∠BAF＝∠EBD，∴sin∠BAF＝sin∠EBD＝，∵AB＝5，∴BF＝，∴BE＝2BF＝2，在Rt△BEH中，EH＝BE•sin∠EBH＝2，∴BH＝＝4，∵EH∥AB，∴＝，∴＝，∴DH＝，∴BD＝BH+HD＝．【点评】本题属于圆综合题，考查了切线的性质，解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直径三角形解决问题，属于中考常考题型．33．如图，P是所对弦AB上一动点，过点P作PC⊥AB交于点C，取AP中点D，连接CD．已知AB＝6cm，设A，P两点间的距离为xcm，C．D两点间的距离为ycm．（当点P与点A重合时，y的值为0；当点P与点B重合时，y的值为3）小凡根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小凡的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：x/cm0 1 2 3 4 5 6y/cm0 2.2 2.9 3.2 3.4 3.3 3 （2）建立平面直角坐标系，描出补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）结合所画出的函数图象，解决问题：当∠C＝30°时，AP的长度约为 3.3 cm．【分析】（1）根据对称性可知：当x＝2和x＝4时，PA＝BP′＝2，因为PC⊥AB，P′C′⊥AB，即可推出PC ＝P′C′＝，再利用勾股定理即可解决问题；（2）利用描点法即可解决问题；（3）函数图象与直线y＝x的交点的横坐标即为PA的长，利用图象法即可解决问题；【解答】解：（1）如图，根据对称性可知：根据对称性可知：当x＝2和x＝4时，PA＝BP′＝2，∵PC⊥AB，P′C′⊥AB，∴PC＝P′C′＝，∴CD＝≈2.9．故答案为2.9．（2）利用描点法画出图象如图所示：（3）当∠DCP＝30°时，CD＝2PD，即y＝x，观察图象可知：与函数图象与直线y＝x的交点为（3.3，3.3），∴AP的长度为3.3．【点评】本题属于圆综合题，考查了勾股定理，函数图象，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用对称性解决问题，学会利用图象法解决问题，属于中考压轴题．34．在我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现代语言表述为：如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AE＝1寸，CD＝10寸，求直径AB的长．请你解答这个问题．【分析】连接OC，由直径AB与弦CD垂直，根据垂径定理得到E为CD的中点，由CD的长求出DE的长，设OC ＝OA＝x寸，则AB＝2x寸，OE＝（x﹣1）寸，由勾股定理得出方程，解方程求出半径，即可得出直径AB的长．【解答】解：如图所示，连接OC．∵弦CD⊥AB，AB为圆O的直径，∴E为CD的中点，又∵CD＝10寸，∴CE＝DE＝CD＝5寸，设OC＝OA＝x寸，则AB＝2x寸，OE＝（x﹣1）寸，由勾股定理得：OE2+CE2＝OC2，即（x﹣1）2+52＝x2，解得：x＝13，∴AB＝26寸，即直径AB的长为26寸．【点评】此题考查了垂径定理，勾股定理；解答此类题常常利用垂径定理由垂直得中点，进而由弦长的一半，弦心距及圆的半径构造直角三角形，利用勾股定理来解决问题．35．如图，AB是⊙O的直径，点C是的中点，连接AC并延长至点D，使CD＝AC，点E是OB上一点，且＝，CE的延长线交DB的延长线于点F，AF交⊙O于点H，连接BH．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）当OB＝2时，求BH的长．【分析】（1）先判断出∠AOC＝90°，再判断出OC∥BD，即可得出结论；（2）先利用相似三角形求出BF，进而利用勾股定理求出AF，最后利用面积即可得出结论．【解答】证明：（1）连接OC，∵AB是⊙O的直径，点C是的中点，∴∠AOC＝90°，∵OA＝OB，CD＝AC，∴OC是△ABD是中位线，∴OC∥BD，∴∠ABD＝∠AOC＝90°，∴AB⊥BD，∵点B在⊙O上，∴BD是⊙O的切线；解：（2）由（1）知，OC∥BD，∴△OCE∽△BFE，∴，∵OB＝2，∴OC＝OB＝2，AB＝4，，∴，∴BF＝3，在Rt△ABF中，∠ABF＝90°，根据勾股定理得，AF＝5，∵S△ABF＝AB•BF＝AF•BH，∴AB•BF＝AF•BH，∴4×3＝5BH，∴BH＝．【点评】此题主要考查了切线的判定和性质，三角形中位线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，求出BF ＝3是解本题的关键．36．已知：如图，AB为⊙O的直径，PA、PC是⊙O的切线，A、C为切点，∠BAC＝30°．（1）求∠P的大小；（2）若AB＝6，求PA的长．【分析】（1）由圆的切线的性质，得∠PAB＝90°，结合∠BAC＝30°得∠PAC＝90°﹣30°＝60°．由切线长定理得到PA＝PC，得△PAC是等边三角形，从而可得∠P＝60°．（2）连接BC，根据直径所对的圆周角为直角，得到∠ACB＝90°，结合Rt△ACB中AB＝6且∠BAC＝30°，得到AC＝AB cos∠BAC＝3．最后在等边△PAC中，可得PA＝AC＝3．【解答】解：（1）∵PA是⊙O的切线，AB为⊙O的直径，∴PA⊥AB，即∠PAB＝90°．∵∠BAC＝30°，∴∠PAC＝90°﹣30°＝60°．又∵PA、PC切⊙O于点A、C，∴PA＝PC，∴△PAC是等边三角形，∴∠P＝60°．（2）如图，连接BC．∵AB是直径，∠ACB＝90°，∴在Rt△ACB中，AB＝6，∠BAC＝30°，可得AC＝AB cos∠BAC＝6×cos30°＝3．又∵△PAC是等边三角形，∴PA＝AC＝3．【点评】本题着重考查了圆的切线的性质定理、切线长定理、直径所对的圆周角、等边三角形的判定与性质和解直角三角形等知识，掌握各知识点的运用是关键，难度适中．37．已知：△ABC．（1）求作：△ABC的外接圆，请保留作图痕迹；（2）至少写出两条作图的依据．【分析】（1）分别作出线段AB、BC的垂直平分线，画出外接圆即可；（2）根据线段垂直平分线的性质即可得出结论．【解答】解：（1）如图⊙O即为所求；（2）作图依据：①到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；②垂直平分线上一点到线段的两个端点距离相等．【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知三角形外接圆性质是解答此题的关键．38．如图，以△ABC的边AB为直径作⊙O，与BC交于点D，点E是弧BD的中点，连接AE交BC于点F，∠ACB＝2∠BAE．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若sin B＝，BD＝5，求BF的长．【分析】（1）连接AD，由圆周角定理得出∠1＝∠2．证出∠C＝∠BAD．由圆周角定理证出∠DAC+∠BAD＝90°，得出∠BAC＝90°，即可得出结论．（2）过点F作FG⊥AB于点G．由三角函数得出，设AD＝2m，则AB＝3m，由勾股定理求出BD＝m．求出m＝．得出AD＝，AB＝．证出FG＝FD．设BF＝x，则FG＝FD＝5﹣x．由三角函数得出方程，解方程即可．【解答】（1）证明：连接AD，如图1所示．∵E是弧BD的中点，∴，∴∠1＝∠2．∴∠BAD＝2∠1．∵∠ACB＝2∠1，∴∠C＝∠BAD．∵AB为⊙O直径，∴∠ADB＝∠ADC＝90°．∴∠DAC+∠C＝90°．∵∠C＝∠BAD，∴∠DAC+∠BAD＝90°．∴∠BAC＝90°．即AB⊥AC．又∵AC过半径外端，∴AC是⊙O的切线．（2）解：过点F作FG⊥AB于点G．如图2所示：在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，，设AD＝2m，则AB＝3m，由勾股定理得：BD＝＝m．∵BD＝5，∴m＝．∴AD＝，AB＝．∵∠1＝∠2，∠ADB＝90°，∴FG＝FD．设BF＝x，则FG＝FD＝5﹣x．在Rt△BGF中，∠BGF＝90°，，∴．解得：＝3．∴BF＝3．【点评】本题考查了切线的判定、圆周角定理、勾股定理、三角函数等知识；熟练掌握切线的判定和圆周角定理，由三角函数得出方程是解决问题（2）的关键．39．如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，∠CDA＝∠CBD．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E，若AB＝6，tan∠CDA＝，依题意补全图形并求DE的长．【分析】（1）连OD，OE，根据圆周角定理得到∠ADO+∠1＝90°，而∠CDA＝∠CBD，∠CBD＝∠1，于是∠CDA+∠ADO＝90°；（2）根据切线的性质得到ED＝EB，OE⊥BD，推出AD∥OE，∠OEB＝∠ADC，即可解决问题；【解答】（1）证明：连OD，OE，如图1所示，∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，即∠ADO+∠BDO＝90°，又∵∠CDA＝∠CBD，而∠CBD＝∠BDO，∴∠BDO＝∠CDA，∴∠CDA+∠ADO＝90°，即∠CDO＝90°，∴CD⊥OD，∴CD是⊙O的切线；（2）解：如图2所示，连接EO．∵EB为⊙O的切线，ED为切线，∴∠OED＝∠OEB，∵AD⊥BD，OE⊥BD，∴AD∥OE，∴∠ADC＝∠OED＝∠OEB，∴tan∠OEB＝＝，∵OB＝3，∴BE＝．【点评】本题考查了切线的判定与性质、圆周角定理的推论、三角形相似的判定与性质、勾股定理；熟练掌握切线的判定与性质，由三角函数和证明三角形相似是解决问题（2）的关键．40．如图，⊙O为△ABC的外接圆，直线l与⊙O相切与点P，且l∥BC．（1）请仅用无刻度的直尺，在⊙O中画出一条弦，使这条弦将△ABC分成面积相等的两部分（保留作图痕迹，不写作法）；（2）请写出证明△ABC被所作弦分成的两部分面积相等的思路．【分析】（1）连结PO并延长交BC于E，过点A、E作弦AD即可；（2）由于直线l与⊙O相切于点P，根据切线的性质得OP⊥l，而l∥BC，则PE⊥BC，根据垂径定理得BE＝CE，所以弦AE将△ABC分成面积相等的两部分．【解答】解：（1）如图所示：（2）∵直线l与⊙O相切与点P，∴OP⊥l，∵l∥BC，∴PE⊥BC，∴BE＝CE，∴弦AE将△ABC分成面积相等的两部分．【点评】此题主要考查了复杂作图，以及切线的性质，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图．41．如图，PB切⊙O于点B，联结PO并延长交⊙O于点E，过点B作BA⊥PE交⊙O于点A，联结AP，AE．（1）求证：PA是⊙O的切线；（2）如果OD＝3，tan∠AEP＝，求⊙O的半径．【分析】（1）连接OA、OB，根据垂径定理的知识，得出OA＝OB，∠POA＝∠POB，继而证明△PAO≌△PBO，然后利用全等三角形的性质结合切线的判定定理即可得出结论．（2）根据tan∠AEP＝得出＝，设AD＝x，DE＝2x，在Rt△AOD中，由勾股定理得出x，进而就可求得⊙O的半径．【解答】（1）证明：如图，连结OA，OB，∵PB是⊙O的切线，∴∠PBO＝90°，∵OA＝OB，BA⊥PE于点D，∴∠POA＝∠POB，在△PAO和△PBO中，，∴△PAO≌△PBO（SAS），∴∠PAO＝∠PBO＝90°，∴PA⊥OA，∴直线PA为⊙O的切线，（2）在Rt△ADE中，∠ADE＝90°，∵tan∠AEP＝＝，∴设AD＝x，DE＝2x，∴OE＝2x﹣3．在Rt△AOD中，由勾股定理，得（2x﹣3）2＝x2+32，解得x1＝4，x2＝0（不合题意，舍去），∴AD＝4，OA＝OE＝2x﹣3＝5，即⊙O的半径的长5．【点评】此题考查了切线的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，综合考查的知识点较多，关键是熟练掌握一些基本性质和定理，在解答综合题目能灵活运用．42．如图，在⊙O中，C、D为⊙O上两点，AB是⊙O的直径，已知∠AOC＝130°，AB＝2．求：（1）的长；（2）∠D的度数．【分析】（1）直接利用弧长公式求出即可；（2）利用邻补角的定义以及圆周角定理得出即可．【解答】解：（1）∵∠AOC＝130°，AB＝2，∴＝＝＝；（2）由∠AOC＝130°，得∠BOC＝50°，又∵∠D＝∠BOC，∴∠D＝×50°＝25°．。

圆外一点做圆切线的作图法(仅直尺)利用直尺和圆规过已知圆外一点作这个圆的切线，是一个比较简单的作图问题．但是，如果只利用直尺来完成这个作图问题，想必是中学时候未曾想过的问题事实上这是可以的,下面我们就来说明这样的一个事情:作法：1．作圆的三条割线PEC、PFD、PGH，交点如图示．2．连结DE、CF交于X，连结DG、HF交于Y．3．作直线XY交圆于A、B．4．作直线PA、PB，则PA、PB就是所求作的圆的切线．那么我们接下来就对其进行证明:首先引入两个引理：先给出一个定理引理1：在圆内接六边形ABCDEF中，若AB·CD·EF=FA·BC·DE，则AD、BE、CF相交于一点．证明设AD、BE相交于G，连结FG，并延长FG交⊙O于C＇，再连结BC＇、C＇D．易知△AGB∽△EGD，△C＇GD∽△AGF，△EGF∽△C＇GB.所以有',,'AB BG C D DG EF FG DE DG AF FG BC BG === 由之可得'1'AB C D EF DE AF BC ⋅⋅=，即''AB C D EF FA BC DE ⋅⋅=⋅⋅与已知式子相比较得''C D BC CD BC =即''CD BC BC C D ⋅=⋅ (1)连结CC ’、BD ，在园内接四边形BCC ’D 中，由托勒密定理，得'''CD BC BC C D BD CC ⋅=⋅+⋅ (2)(1)(2),那么可知 '0BD CC ⋅= 即 '0CC =从而可知C 、C ’两点重合，于是AD 、BE 、CF 相交于一点． # 注：托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积)等于两组对边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和)．已知：圆内接四边形ABCD ，求证：AC·BD＝AB·CD ＋AD·BC．证明：如上图，过C 作CP 交BD 于P ，使∠1=∠2，又∠3=∠4，∴△ACD∽△BCP．得AC ：BC=AD ：BP ，AC·BP=AD·BC ①。

切线的判定归纳总结1. 切线的判定（1） 定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线； （2） 距离法：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线； （3） 定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．注意：定理的题设是①“经过半径外端”，②“垂直于半径”，两个条件缺一不可；定理的结论是“直线是圆的切线”．因此，证明一条直线是圆的切线有两个思路：①连接半径，证直线与此半径垂直；②作垂直，证垂直在圆上．2. 切线长和切线长定理（1） 切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长． （2） 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．3、三角形的内切圆1. 三角形的内切圆：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．2. 多边形的内切圆：和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形．3. 直角三角形内切圆的半径与三边的关系设a 、b 、c 分别为ABC △中A ∠、B ∠、C ∠的对边，面积为S ，则内切圆半径为sr p=，其中()12p a b c =++．若90C ∠=︒，则()12r a b c =+-．OOO llcb acbaO F ED CACBAB A4、切线的性质及判定【例1】 如图，ABC ∆为等腰三角形，AB AC =，O 是底边BC 的中点，O ⊙与腰AB 相切于点D ，求证AC 与O ⊙相切．【例2】 已知：如图，ABC ∆内接于O ，AD 是过A 的一条射线，且B CAD ∠=∠．求证：AD 是O 的切线．【例3】 已知：如图，AB 是O ⊙的直径，C 为O ⊙上一点，MN 过C 点，AD MN ⊥于D ，AC 平分DAB ∠．求证：MN 为O ⊙的切线．【例4】 如图，已知OA 是O ⊙的半径，B 是OA 中点，BC OA ⊥，P 是OA 延长线上一点，且PA AC =．求证：PC 是O ⊙的切线．【例5】 已知：如图，C 为O ⊙上一点，DA 交O ⊙于B ，连结AC BC 、，且DCB CAB ∠=∠．求证：（1）DC 为O ⊙的切线；【例6】 如图，以等腰ABC ∆中的腰AB 为直径作O ，交BC 于点D ．过点D 作DE AC ⊥，垂足为E ．（1）求证：DE 为O 的切线；（2）若O 的半径为5，60BAC ∠=︒，求DE 的长．OCBOAD CN M OCB A ODCBAO E D C B OD【例7】 如图，已知AB 为⊙O 的弦，C 为⊙O 上一点，⊙C =⊙BAD ，且BD ⊙AB 于B ．（1）求证：AD 是⊙O 的切线．（2）若⊙O 的半径为3，AB =4，求AD 的长．【例8】 如图，Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，以AB 为直径作O ⊙交AC 边于点D ，E 是边BC的中点，连接DE ．（1）求证：直线DE 是O ⊙的切线；【例9】 如图，AB 是O ⊙的的直径，BC AB ⊥于点B ，连接OC 交O ⊙于点E ，弦AD OC ∥，弦DF AB ⊥于点G ． （1）求证：点E 是BD 的中点； （2）求证：CD 是O ⊙的切线；【例10】 如图，等腰三角形ABC 中，10AC BC ==，12AB =．以BC 为直径作O ⊙交AB 于点D ，交AC 于点G ，DF AC ⊥，垂足为F ，交CB 的延长线于点E ． （1）求证：直线EF 是O ⊙的切线；BCOFODECBOG EDA。

过圆外一点的切线方程的几种求法摘要过圆x-a■+y-b■=r■外一点px■，y■作圆的切线有两条，求切线方程可从五个方面入手：相切的定义；相切的几何意义；转化与化归；三角参数；坐标平移转化。

关键词圆；切线；转化；化归；参数；平移众所周知过已知圆圆上一点有且只有一条切线，而且可以利用公式直接写切线方程。

那么，过圆x-a■+y-b■=r■ 外一点px■，y■作圆的切线有两条，如何求切线方程呢？下面以一道习题来分析：例：从点p-2，-1向圆x■+y■-4x+2y+1=0引切线，求切点坐标与切线方程。

解法一：判别式法。

不妨设切线的斜率存在，记作k ，那么过点p-2，-1 的直线方程为：y+1=kx+2，由y+1=kx+2 x■-4x+y+1■=0，得1+k■x■+4k■-1x+4k■=0由直线与圆相切有，△=16k■-1-16k■1+k■=0，解得k=±■此时切点的横坐标为x=-■=1，将x=1代入圆的方程，解得y=-1+■，即切点坐标为1，-1+■，1，-1-■ 。

将k=±■代入，得两条切线方程为：x-■y+2-■=0，x+■y+2+■=0。

点评：此法从相切的定义得到（有且只有一个公共点）。

但要注意，若求得的k值只有一个，再验证斜率不存在且过点p-2，-1的直线是否为切线。

解法二：几何法。

圆的方程化为x-2■+y+1■=4，圆心C（2，-1）。

设切线的斜率为k （存在时），则过点p-2，-1的直线方程为y+1=kx+2，即y-kx-2k+1=0。

由平面几何知识，圆心C（2，-1）到切线的距离等于圆半径，所以d=■=2。

解得k=±■。

将k=±■代入切线方程，得两条切线方程为x-■y+2-■=0，x+■y+2+■=0。

将切线方程y+1=±■（x+2）代入圆的方程，得x-2■+■x+2■=4，解得x=1，再代入切线方程，得y=-1±■ ，所以切点坐标为-1，-1+■，1，-1-■。

过圆外一点求圆的切线方程公式切线方程是解析几何中的重要内容，它描述了一个圆外一点到圆的切线的位置关系。

在学习切线方程的过程中，我们需要了解圆的基本性质，学习如何求解圆的切线方程，以及掌握应用切线方程的能力。

本文将从这三个方面展开，详细介绍圆的切线方程相关知识。

一、圆的基本性质圆是平面上到一个定点距离恒定的点的轨迹。

圆的基本性质包括圆的半径、直径、圆心、弧长、扇形面积等，这些性质都对于计算切线方程很重要。

1.圆的半径和直径：圆的半径是圆心到圆上任意一点的距离，用r表示。

圆的直径是穿过圆心并且两端点都在圆上的线段，直径的长度是半径的两倍，即直径d=2r。

2.圆的圆心：圆的圆心是到圆上任意一点的距离恒定的点，用O表示。

3.圆的弧长和扇形面积：圆的弧长是圆心周围一部分圆的长度，用l表示。

圆的扇形面积是由两条半径和围成弧的线段所围成的部分，扇形面积S = (1/2)rl。

以上是圆的一些基本性质，后面的内容将涉及到这些性质的运用。

二、求解圆的切线方程在解决圆的切线方程时，首先需要确定给定点到圆的位置关系，然后使用几何和代数的方法进行求解。

1.给定圆和外点的位置关系：首先，给定一个圆和一点P，我们需要判断这个点与圆的位置关系。

如果点P到圆的圆心的距离等于圆的半径，即OP = r，那么点P在圆上；如果OP < r，点P在圆内；如果OP > r，点P在圆外。

2.求解切线方程的一般步骤：（1）确定圆心O、圆的半径r和外点P的坐标；（2）计算圆心O到外点P的距离OP；（3）根据距离OP与半径r的关系，判断P与圆的位置关系；（4）分析切线的几何性质，求解切线斜率和切点；（5）写出切线方程的一般形式。

3.以圆心为原点的情况：当圆的圆心O为原点时，圆的方程为x^2 + y^2 = r^2。

假设给定外点P的坐标为(x1, y1)，根据距离公式，点到圆心的距离为OP = sqrt(x1^2 + y1^2)，然后根据P与圆的位置关系进行求解。

过圆外一点的圆的切线方程【摘要】过圆外一点的圆的切线方程是数学中重要的概念，对于理解圆的性质和几何关系具有重要意义。

本文首先介绍了切线的定义和性质，然后推导了切线方程及圆与直线的位置关系。

接着详细讨论了过圆外一点的圆的切线方程的推导过程，并探讨了在实际问题中的应用。

结论部分总结了过圆外一点的圆的切线方程在几何学中的意义，以及切线方程在不同领域的广泛应用。

未来研究方向也进行了展望，指出了在此领域可能的深入研究方向。

这篇文章的内容丰富而详实，有助于读者更好地理解过圆外一点的圆的切线方程及其应用。

【关键词】过圆外一点的圆的切线方程、切线、圆、外点、方程、定义、性质、推导、位置关系、实际问题、应用、意义、广泛、未来研究方向1. 引言1.1 过圆外一点的圆的切线方程的重要性过圆外一点的圆的切线方程是圆的基本性质之一，它在几何学和数学中具有极其重要的意义。

通过研究过圆外一点的圆的切线方程，我们可以了解到圆与直线之间的关系，以及如何推导出切线的方程。

这对于解决实际问题中的几何难题和数学难题是至关重要的。

2. 正文2.1 切线的定义和性质在几何学中，切线是指在圆或曲线上的一条直线，通过这个点时与曲线相切。

切线与曲线只有一个交点，这个交点就是切点。

切线与曲线的切点处的切线方向是曲线在该点的切线方向。

切线的性质包括以下几点：1. 切点：切线与圆或曲线相切的点称为切点，切点是切线和曲线的唯一交点。

2. 切线的斜率：切线的斜率可以理解为切线在切点处的倾斜程度，通常用斜率来表示。

切线的斜率可以通过切线的斜率公式来计算。

3. 切线的方程：切线的方程可以通过切线的斜率和切点来确定。

切线的方程通常是一般式或点斜式方程。

4. 切线长度：切线的长度是指切线上的两个端点之间的距离。

以上就是关于切线的定义和性质的内容。

切线在几何学中具有重要的作用，在解决几何问题和实际应用中都有广泛的应用。

在接下来的内容中，我们将会详细讨论切线方程的推导、圆与直线的位置关系以及过圆外一点的圆的切线方程的推导。

过圆外一点作圆的两条切线,切点连线的方程概述说明1. 引言1.1 概述在几何学中，研究圆的性质和相关问题一直是一个重要的课题。

其中，通过一点外于圆之外触发两条切线，并对切点进行连线，是一个经典且常见的问题。

本文旨在探讨过圆外一点作圆的两条切线以及切点连线的方程。

我们将从几何性质和数学推导两个方面展开讨论，解释其基本思路、求解方法与验证，并通过具体实例与数学证明来进一步说明和分析。

1.2 背景圆作为几何学中最基本的图形之一，在生活和科学研究中有广泛应用。

通过理解圆与其他图形（如直线）之间的关系，我们可以进一步揭示其内在规律和特性，并应用于各个领域，如物理、工程、计算机图形学等。

过圆外一点作圆的两条切线是一个常见且有趣的问题。

它不仅需要运用到圆与直线的基础概念，还需要灵活运用相关定理和推导思路来解决具体问题。

因此，深入研究这个问题对于提高我们几何思维能力和解决实际问题具有重要意义。

1.3 目的本文的目的是系统地阐述过圆外一点作圆的两条切线，并介绍切点连线的方程求解过程。

主要包括以下内容：第二部分将从圆与直线关系概述入手，引出过圆外一点作圆的两条切线，并介绍其定义及相关性质。

同时，还将对切点连线方程的推导过程进行简述，为后续章节做准备。

第三部分将详细讲解推导切线方程的基本思路，并提供不同方法求解切点坐标的详细步骤。

我们将探讨几种常见情况下的解法，并对结果进行验证和理论应用的讨论。

第四部分通过具体实例问题的分析与处理步骤说明，展示数学推演和证明过程。

我们将运用已掌握知识，以严谨而有效的方式解析问题，推演出结果并进行验证与总结。

最后，在第五部分中对研究成果进行总结归纳，并指出存在问题及未来研究需要改进之处。

通过这样一个完整而系统化的研究及阐述过程，我们希望能深入理解该问题，在此基础上可以进行更深入的研究，并为相关学科做出贡献。

2. 过圆外一点作圆的两条切线的几何性质2.1 圆与直线的关系概述在几何学中，圆和直线是基本的几何元素。

过圆外一点做切线的切线方程推理1. 引言：1.1 概述在几何学中，切线是一个重要的概念。

在研究圆形时，如何确定一个点到圆外一点的切线方程一直是一个基础性问题。

本文将对过圆外一点做切线的切线方程进行推理，并探讨其几何性质。

通过研究和推导，我们可以得到一般情况下切线方程的表达式，进而应用于解决各种相关问题。

1.2 文章结构本文分为以下几个部分来论述过圆外一点做切线的切线方程推理。

首先，在第二部分“轨迹分析”中，我们将进行圆外一点到圆的距离公式推导，并分析条件以确定该点是否可作为切点。

接着，我们将探讨过圆外一点做切线的几何性质。

在第三部分“切线方程推理”中，我们将根据前面所得到的轨迹分析结果，推导出两种不同情况下的切线方程。

通过详细的计算和论证过程，我们将给出每种情况下对应的具体表达式，并总结整个推理过程。

在第四部分“应用举例”中，我们将通过实例来展示如何应用所得到的切线方程解决具体问题。

两个实例将被提供，分别是求特定问题的切线方程和进一步应用举例。

同时，还将对结果进行验证和讨论。

最后，在第五部分“结论与展望”中，我们将总结研究成果和发现，并对进一步研究方向提出展望。

1.3 目的本文的主要目的是推导过圆外一点做切线的切线方程，并探讨其几何性质。

通过对相关轨迹和条件进行分析，我们希望能够得到切线方程的一般表达式，并能够应用于解决具体问题。

此外，本文也旨在为读者提供一个清晰、详细且易于理解的介绍过圆外一点做切线问题的文章。

2. 轨迹分析2.1 圆外一点到圆的距离公式推导:在开始讨论切线方程之前，我们首先需要了解圆外一点到圆的距离公式推导过程。

假设有一个圆，圆心坐标为(Ox, Oy)，半径为r，以及一个位于P(x, y)的点在圆外。

利用勾股定理，我们可以得出点P到圆心O的欧几里得距离d的公式：```d = √((x - Ox)^2 + (y - Oy)^2)```2.2 圆外一点做切线的条件分析:接下来，我们将讨论一个点如何成为圆的切点。

九年级数学下册第二十九章直线与圆的位置关系定向测评考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、已知⊙O的半径为3，点P到圆心O的距离为4，则点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O外B．点P在⊙O上C．点P在⊙O内D．无法确定2、如图，BE是⊙O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，过点A作O的切线交BE延长线于点C，若∠ADE=36°，则∠C的度数是（）A．18°B．28°C．36°D．45°3、如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若18∠=︒，则这个正多边ADB形的边数为（）A ．10B ．11C ．12D ．134、在ABC 中，∠B ＝45°，AB ＝6；①AC =4；②AC ＝8；③外接圆半径为4．请在给出的3个条件中选取一个，使得BC 的长唯一．可以选取的是（ ）A ．①B ．②C ．③D ．①或③5、如图，PA ，PB 是⊙O 的切线，A ，B 是切点，点C 为⊙O 上一点，若∠ACB ＝70°，则∠P 的度数为（ ）A ．70°B ．50°C ．20°D ．40°6、如图，已知O 的内接正六边形ABCDEF 的边心距OM ）．A ．12πB ．23πC ．3π-D ．4π-7、如图，在Rt△ABC 中，90BAC ∠=︒，30B ∠=︒，3AB =，以AB 边上一点O 为圆心作O ，恰与边AC ，BC 分别相切于点A ，D ，则阴影部分的面积为（ ）A 3πB 3π-C 23π-D ．23π 8、如图，PA 、PB 是O 的切线，A 、B 是切点，点C 在O 上，且58ACB ∠=︒，则APB ∠等于（ ）A ．54°B ．58°C ．64°D ．68°9、如图，在矩形ABCD 中，6AB =，8AD =，点O 在对角线BD 上，以OB 为半径作O 交BC 于点E ，连接DE ；若DE 是O 的切线，此时O 的半径为（ ）A ．716B ．2110C ．2116D ．351610、如图，PA 、PB 是O 的切线，A 、B 为切点，连接OB 、AB ，若25ABO ∠=︒，则APB ∠的度数为（ ）A ．50°B ．55°C ．65°D ．70°第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、已知圆O 的圆心到直线l 的距离为2，且圆的半径是方程x 2﹣5x +6＝0的根，则直线l 与圆O 的的位置关系是______．2、已知⊙O 的半径为5cm ，OP = 4cm ，则点P 与⊙O 的位置关系是点P 在_____．（填“圆内”、“圆外”或“圆上”）3、如图，半径为2的O 与正五边形ABCDE 的边AB ，DE 分别相切于点B ，D ，则劣弧BD 的长为______．4、下面是“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程．已知：⊙O 和⊙O 外一点P ．求作：过点P 的⊙O 的切线．作法：如图，（1）连接OP；（2）分别以点O和点P为圆心，大于12OP的长半径作弧，两弧相交于M，N两点；（3）作直线MN，交OP于点C；（4）以点C为圆心，CO的长为半径作圆，交⊙O于A，B两点；（5）作直线PA，P B．直线PA，PB即为所求作⊙O的切线完成如下证明：证明：连接OA，OB，∵OP是⊙C直径，点A在⊙C上∴∠OAP=90°（___________）（填推理的依据）．∴OA⊥AP．又∵点A在⊙O上，∴直线PA是⊙O的切线（___________）（填推理的依据）．同理可证直线PB是⊙O的切线．5、已知⊙O的直径为6cm，且点P在⊙O上，则线段PO=_________ .三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，BD 平分ABC ∠，与AC 交于点D ，DE DB ⊥，垂足为D ，与AB 交于点E ，经过B ，D ，E 三点的O 与BC 交于点F ．(1)求证AC 是O 的切线；(2)若3BC =，4AC =，求O 的半径．2、【提出问题】如图①，已知直线l 与⊙O 相离，在⊙O 上找一点M ，使点M 到直线l 的距离最短．(1)小明给出下列解答，请你补全小明的解答．小明的解答过点O 作ON ⊥l ，垂足为N ，ON 与⊙O 的交点M 即为所求，此时线段MN 最短．理由：不妨在⊙O 上另外任取一点P ，过点P 作PQ ⊥l ，垂足为Q ，连接OP ，OQ ．∵OP +PQ ＞OQ ，OQ ＞ON ，∴ ．又ON ＝OM +MN ；∴OP +PQ ＞OM +MN ．又，∴．(2)【操作实践】如图②，已知直线l和直线外一点A，线段MN的长度为1．请用直尺和圆规作出满足条件的某一个⊙O，使⊙O经过点A，且⊙O上的点到直线l的距离的最小值为1．（不写作法，保留作图痕迹并用水笔加黑描粗）(3)【应用尝试】如图③，在Rt△ABC中，∠C＝90&#xF0B0;，∠B＝30&#xF0B0;，AB＝8，⊙O经过点A，且⊙O上的点到直线BC的距离的最小值为2，距离最小值为2时所对应的⊙O上的点记为点P，若点P在△ABC的内部（不包括边界），则⊙O的半径r的取值范围是．3、如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，直线l与⊙O相切于点A，在l上取一点D使得DA=DC，线段DC，AB的延长线交于点E．(1)求证：直线DC是⊙O的切线；(2)若BC=4，∠CAB=30°，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．4、如图，四边形OAEC是平行四边形，以O为圆心，OC为半径的圆交CE于D，延长CO交O于B，连接AD、AB，AB是O的切线．(1)求证：AD是O的切线．AB ，求平行四边形OAEC的面积．(2)若O的半径为4，85、如图，在平面直角坐标系xOy中，点A与点B的坐标分别是（1，0），（7，0）．(1)对于坐标平面内的一点P，给出如下定义：如果∠APB＝45°，那么称点P为线段AB的“完美点”．①设A、B、P三点所在圆的圆心为C，则点C的坐标是，⊙C的半径是；②y轴正半轴上是否有线段AB的“完美点”？如果有，求出“完美点”的坐标；如果没有，请说明理由；(2)若点P在y轴负半轴上运动，则当∠APB的度数最大时，点P的坐标为．-参考答案-一、单选题1、A【解析】【分析】根据点与圆心的距离与半径的大小关系即可确定点P与⊙O的位置关系．【详解】解：∵⊙O的半径分别是3，点P到圆心O的距离为4，∴d＞r，∴点P与⊙O的位置关系是：点在圆外．故选：A．【点睛】本题主要考查了点与圆的位置关系，准确分析判断是解题的关键．2、A【解析】【分析】连接OA，DE，利用切线的性质和角之间的关系解答即可．【详解】解：连接OA，DE，如图，∵AC是O的切线，OA是O的半径，∴OA⊥AC∴∠OAC=90°∠ADE=36°∴∠AOE=2∠ADE=72°∴∠C=90°-∠AOE=90°-72°=18°故选：A.【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的性质，能求出∠OAC和∠AOC是解题的关键．3、A【解析】【分析】作正多边形的外接圆，连接 AO，BO，根据圆周角定理得到∠AOB=36°，根据中心角的定义即可求解．【详解】解：如图，作正多边形的外接圆，连接AO，BO，∴∠AOB=2∠ADB=36°，∴这个正多边形的边数为36036=10．故选：A．【点睛】此题主要考查正多边形的性质，解题的关键是熟知圆周角定理．4、B【解析】【分析】作AD⊥BC于D，求出AD的长，根据直线和圆的位置关系判断即可．【详解】解：作AD⊥BC于D，∵∠B＝45°，AB＝6；∴AD DB==设三角形ABC1的外接圆为O，连接OA、OC1，∵∠B＝45°，∴∠O＝90°，∵外接圆半径为4，AC=∴1∵468<<∴以点A为圆心，AC为半径画圆，如图所示，当AC=4时，圆A与射线BD没有交点；当AC=8时，圆A与射线BD只有一个交点；当AC= A与射线BD有两个交点；故选：B．【点睛】本题考查了直角三角形的性质和射线与圆的交点，解题关键是求出AC长和点A到BC的距离．5、D【解析】【分析】首先连接OA，OB，由PA，PB为⊙O的切线，根据切线的性质，即可得∠OAP=∠OBP=90°，又由圆周角定理，可求得∠AOB的度数，继而可求得答案．【详解】解：连接OA，OB，∵PA，PB为⊙O的切线，∴∠OAP=∠OBP=90°，∵∠ACB=70°，∴∠AOB=2∠P=140°，∴∠P=360°-∠OAP-∠OBP-∠AOB=40°．故选：D．【点睛】此题考查了切线的性质与圆周角定理，注意掌握辅助线的作法和数形结合思想的应用．6、D【解析】【分析】连接正六边形的相邻的两个顶点与圆心，构造扇形和等边三角形，则可得到弓形的面积，阴影部分的面积等于弓形的6倍．【详解】解：连接OD、OE，OM =O 的内接正六边形ABCDEF ，60,DOE OD OE ∴∠=︒=，∴△DOE 是等边三角形，∴∠DOM =30°，设MD x =，则2OD x =2234x x ∴+=，解得：1x =，2OD ∴=，根据图可得：()6ODE ODE S S S =-阴影部分扇形正三角形，26026(3)360π=-，4π=-故选：D ．【点睛】本题考查了正多边形与圆及扇形的面积的计算，解题的关键是知道阴影部分的面积等于三个弓形的面积．7、A【解析】【分析】连结OC ，根据切线长性质DC =AC ，OC 平分∠ACD ，求出∠OCD =∠OCA =12ACD ∠=30°，利用在Rt△ABC中，AC =AB tan B =Rt△AOC 中，∠ACO =30°，AO =AC 1=，利用三角形面积公式求出12AOC S OA AC ∆=⋅=，12DOC S OD DC ∆=⋅=212011==3603OAD S ππ⨯扇形，利用割补法求即可． 【详解】解：连结OC ，∵以AB 边上一点O 为圆心作O ，恰与边AC ，BC 分别相切于点A , D ，∴DC =AC ，OC 平分∠ACD ，∵90BAC ∠=︒，30B ∠=︒，∴∠ACD =90°-∠B =60°，∴∠OCD =∠OCA =12ACD ∠=30°，在Rt △ABC 中，AC =AB tan B =在Rt △AOC 中，∠ACO =30°，AO =AC 1=，∴OD =OA =1，DC =AC∴11122AOC S OA AC ∆=⋅=⨯=11122DOC S OD DC ∆=⋅=⨯= ∵∠DOC =360°-∠OAC -∠ACD -∠ODC =360°-90°-90°-60°=120°， ∴212011==3603OAD S ππ⨯扇形，S 阴影=1133AOC DOC OAD S S S ππ∆∆+-扇形． 故选择A ．【点睛】本题考查切线长性质，锐角三角形函数，扇形面积，三角形面积，角的和差计算，割补法求阴影面积，掌握切线长性质，锐角三角形函数，扇形面积，三角形面积，角的和差计算，割补法求阴影面积是解题关键．8、C【解析】【分析】连接OB ，OA ，根据圆周角定理可得2116AOB ACB ∠=∠=︒，根据切线性质以及四边形内角和性质，求解即可．【详解】解：连接OB ，OA ，如下图：∴2112AOB ACB ∠=∠=︒∵PA 、PB 是O 的切线，A 、B 是切点∴90OBP OAP ∠=∠=︒∴由四边形的内角和可得：36064APB OBP OAP AOB ∠=︒-∠-∠-∠=︒故选C ．【点睛】此题考查了圆周角定理，切线的性质以及四边形内角和的性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质．9、D【解析】【分析】设O 半径为r ，如解图，过点O 作OF BE ⊥，根据等腰三角形性质BF EF =，根据四边形ABCD 为矩形，得出∠C =90°=∠OFB ，∠OBF =∠DBC ，可证BOF BDC ∽．得出BF BO BC BD=，根据勾股定理10BD ，代入数据810BF BO =，得出4455BF EF OB r ===，根据勾股定理在Rt DCE 中，222EC CD DE +=，即2225688r DE ⎛⎫- ⎪⎝⎭+=，根据DE 为O 的切线，利用勾股定理()222222618850E E r r O D r ⎛⎫+=++=⎭-- ⎪⎝，解方程即可．解：设O 半径为r ，如解图，过点O 作OF BE ⊥，∵OB =OE ，∴BF EF =，∵四边形ABCD 为矩形，∴∠C =90°=∠OFB ，∠OBF =∠DBC ，∴BOF BDC ∽． ∴BF BO BC BD=， ∵6,8AB AD ==，∴10BD ==， ∴810BF BO =， ∴4455BF EF OB r ===， ∴885EC r =-． 在Rt DCE 中，222EC CD DE +=，即2225688r DE ⎛⎫- ⎪⎝⎭+=， 又∵DE 为O 的切线，∴OE DE ⊥， ∴()222222618850E E r r O D r ⎛⎫+=++=⎭-- ⎪⎝， 解得3516r =或0（不合题意舍去）．【点睛】本题考查矩形性质，等腰三角形性质，圆的切线，勾股定理，一元二次方程，掌握矩形性质，等腰三角形性质，圆的切线性质，勾股定理，一元二次方程，矩形性质，等腰三角形性质，圆的半径相等，勾股定理，一元二次方程，是解题关键．10、A【解析】【分析】根据切线的性质得出PA=PB，∠PBO=90°，再根据三角形内角和定理求解即可．【详解】∵PA、PB是⊙O的切线，∴PA=PB，∠OBP=90°，又∵∠ABO=25°，∴∠PBA=90°-25°=65°=∠PAB，∴∠P=180°-65°-65°=50°，故选：A．【点睛】本题考查切线的性质，三角形内角和定理，掌握切线的性质和等腰三角形的性质，三角形内角和为180°是解题的关键．1、相切或相交【解析】【详解】首先求出方程的根，再利用半径长度，由点O到直线l的距离为d，若d＜r，则直线与圆相交；若d ＝r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离，从而得出答案．【分析】解：∵x2﹣5x+6＝0，（x﹣2）（x﹣3）＝0，解得：x1＝2，x2＝3，∵圆的半径是方程x2﹣5x+6＝0的根，即圆的半径为2或3，∴当半径为2时，直线l与圆O的的位置关系是相切，当半径为3时，直线l与圆O的的位置关系是相交，综上所述，直线l与圆O的的位置关系是相切或相交．故答案为：相切或相交．【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系，因式分解法解一元二次方程，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆的半径大小关系完成判定．2、圆内【解析】【分析】根据点与圆的位置关系进行解答即可得．【详解】解：∵点到圆心的距离d=4<5=r，∴该点P在O内，故答案为：圆内．【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，解题的关键是熟记点与圆的位置关系．3、85π##85π【解析】【分析】连接OB，OD，根据正多边形内角和公式可求出∠E、∠A，根据切线的性质可求出∠OBA、∠ODE，从而可求出∠BOD的度数，根据弧长的公式即可得到结论．【详解】解：连接OB，OD，∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠E＝∠A＝()521801085-⨯︒=︒．∵AB、DE与⊙O相切，∴∠OBA＝∠ODE＝90°，∴∠BOD＝（5﹣2）×180°﹣90°﹣108°﹣108°﹣90°＝144°，∴劣弧BD的长为14428= 1805，故答案为：85 ．【点睛】本题主要考查了切线的性质、正五边形的性质、多边形的内角和公式、熟练掌握切线的性质是解决本题的关键．4、直径所对的圆周角是直角经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线【解析】【分析】连接OA，OB，根据圆周角定理可知∠OAP=90°，再依据切线的判定证明结论；【详解】证明：连接OA，OB，∵OP是⊙C直径，点A在⊙C上，∴∠OAP=90°（直径所对的圆周角是直角），∴OA⊥AP．又∵点A在⊙O上，∴直线PA是⊙O的切线（经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线），同理可证直线PB是⊙O的切线，故答案为：直径所对的圆周角是直角；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．5、3cm【解析】【分析】根据点与圆的位置关系得出：点P 在⊙O 上，则PO r =即可得出答案．【详解】∵⊙O 的直径为6cm ，∴⊙O 的半径为3cm ，∵点P 在⊙O 上，∴3cm =PO ．故答案为：3cm ．【点睛】本题考查点与圆的位置关系：点P 在⊙O 外，则PO r >，点P 在⊙O 上，则PO r =，点P 在⊙O 内，则PO r <．三、解答题1、 (1)见解析 (2)158【解析】【分析】（1）连接OD ，利用角平分线的定义和等腰三角形的性质可证DBC ODB ∠=∠，从而∥OD BC ，得到OD AC ⊥，根据切线的判定方法可证AC 是O 的切线；（2）证明AOD ABC △△，利用相似三角形的性质可求O 的半径．(1)证明：连接OD ，∵DE DB ⊥，∴90EDB ∠=︒，∴BE 是直径，O 是BE 的中点．∵BD 平分ABC ∠，∴OBD DBC ∠=∠，∵OB OD =，∴OBD ODB ∠=∠，∴DBC ODB ∠=∠，∴∥OD BC ．又∵90C ∠=︒，∴90ADO ∠=︒，∴OD AC ⊥，又∵AC 经过半径OD 的外端，∴AC 是O 的切线．(2)解：∵∥OD BC ，∴AOD ABC ∠=∠，在AOD △与ABC 中，AOD ABC∠=∠，OAD BAC∠=∠，∴AOD ABC△△．∴AO OD AB BC=，在Rt ACB中，3BC=，4AC=，∴5AB=.设半径为r，则OD OB r==，5OA r=-，即553r r-=，∴158r=．∴O的半径为158．【点睛】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，平行线的判定与性质，以及相似三角形的判定与性质，掌握切线的判定方法是解（1）的关键，掌握相似三角形的判定与性质是解（2）的关键．2、 (1)OP+PQ＞ON； OP＝OM；PQ＞MN(2)见解析(3)1＜r＜4【解析】【分析】（1）利用两点之间线段最短解答即可；（2）过点A作l的线AB，截取BC=MN，以AC为直径作⊙O；（3）作AC的垂直平分线，交AC于F，交AB于E，以AF为直径作圆，过点A和点E作⊙O′，使⊙O′切EF于E，求出⊙O和⊙O′的半径，从而求出半径r的范围．(1)理由：不妨在⊙O上另外任取一点P，过点P作PQ⊥l，垂足为Q，连接OP，OQ．∵OP+PQ＞OQ，OQ＞ON，∴OP+PQ＞ON．又ON=OM+MN；∴OP+PQ＞OM+MN．又OP=OM，∴PQ＞MN．故答案为：OP+PQ＞ON，OP=OM，PQ＞MN；(2)解：如图，⊙O是求作的图形；(3)（3）如图2，作AC的垂直平分线，交AC于F，交AB于E，以AF为直径作圆，过点A和点E作⊙O′，使⊙O′切EF于E，∴∠FEO′=∠AFE=90°，∴AF∥EO′，∴∠AEO′=∠BAC=60°，∵AO′=EO′，∴△ADO′是等边三角形，∴AE=AO′，∵AB=8，∠B=30°，∴AC=12AB=4，∴AF=2，∴⊙O的半径是1，∴AE=12AB=4，∴1＜r＜4，故答案是：1＜r＜4．【点睛】本题考查了与圆的有关位置，等边三角形判定和性质，尺规作图等知识，解决问题的关键是找出临界位置，作出图形．3、 (1)见解析(2)83π 【解析】【分析】（1）连接OC ，由题意得90DAB ∠=︒，根据等边对等角得DAC DCA ∠=∠，OAC OCA ∠=∠，即可得90DCO ∠=︒，则OC DC ⊥，即可得；（2）根据三角形的外角定理得60BOC ∠=︒，又根据OC OB =得COB △是等边三角形，则4OC OB BC ===，根据三角形内角和定理得30E ∠=︒，根据直角三角形的性质得8OE =，根据勾股定理得CE =OEC 的面积减去扇形OCB 的面积即可得．(1)证明：如图所示，连接OC ，∵AB 是O 的直径，直线l 与O 相切于点A ，∴90DAB ∠=︒，∵DA DC =，OA OC =，∴DAC DCA ∠=∠，OAC OCA ∠=∠，∴++90DCO DCA OCA DAC OAC DAB ∠=∠∠=∠∠=∠=︒，∴OC DC ⊥，∴直线DC 是O 的切线．(2)解：∵30CAB ∠=︒，∴260BOC CAB ∠=∠=︒，又∵OC OB =，∴COB △是等边三角形，∴4OC OB BC ===，在Rt OCE 中，60EOC ∠=︒，∴30E ∠=︒，∴28OE OC ==，∴CE∴阴影部分的面积=2160?48=423603OCD OCB S S ππ⨯-⨯⨯=扇形． 【点睛】本题考查了切线，三角形的外角定理，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握这些知识点．4、 (1)见解析(2)32【解析】【分析】（1）连接OD ，证明AOB AOD △≌△，可得OBA ODA ∠∠=，根据切线的性质可得90OBA ∠=︒，进而可得90ODA =∠°，即可证明AD 是O 的切线；（2）根据平行四边形OAEC 的面积等于2倍ADO S △即可求解．(1)证明：连接OD ．∵四边形OAEC 是平行四边形， ∴AO CE ∥，,AOD ODC AOB OCD ∠∠∠∠∴== OD OC =ODC OCD ∴∠=∠AOB AOD ∴∠=∠又∵,AO AO OD OB ==， AOB AOD ∴△≌△∴OBA ODA ∠∠=，∵AB 与O 相切于点B ， OB AB ∴⊥90OBA ∴∠=︒∴90ODA =∠°，OD AD ∴⊥又∵OD 是O 的半径， ∴AD 为O 的切线． (2)∵AOB AOD ≅△△8AB AD ∴==在Rt △AOD 中，84AD OD ==，∴平行四边形OABC 的面积是28432ADO S =⨯=△【点睛】本题考查了切线的性质与判定，平行四边形的性质，三角形全等的性质与判定，掌握切线的性质与判定是解题的关键．5、 (1)①(4,3)或C(4，−3)，(0,3，(0,3(2)(0,P【解析】【分析】（1）①在x 轴的上方，作以AB 为斜边的等腰直角三角形△ACB ，易知A ，B ，P 三点在⊙C 上，圆心C的坐标为(4,3)，半径为，根据对称性可知点C (4，−3)也满足条件；②当圆心为C （4，3）时，过点C 作CD ⊥y 轴于D ，则D （0，3），CD =4，根据⊙C 的半径得⊙C 与y 轴相交，设交点为1P ，2P ，此时1P ，2P 在y 轴的正半轴上，连接1CP 、2CP 、CA ，则1CP =2CP=CA =r ，得2DP = （2）如果点P 在y 轴的负半轴上，设此时圆心为E ，则E 在第四象限，在y 轴的负半轴上任取一点M (不与点P 重合)，连接MA ，MB ，PA ，PB ，设MB 交于⊙E 于点N ，连接NA ，则∠APB =∠ANB ，∠ANB 是△MAN 的外角，∠ANB >∠AMB ，即∠APB >∠AMB ，过点E 作EF ⊥x 轴于F ，连接EA ，EP ，则AF =12AB =3，OF =4，四边形OPEF 是矩形，OP =EF ，PE =OF =4，得EF =OP(1)①如图1中，在x轴的上方，作以AB为斜边的等腰直角三角形△ACB，易知A，B，P三点在⊙C上，圆心C的坐标为(4,3)，半径为根据对称性可知点C(4,−3)也满足条件，故答案是：(4,3)或C(4，−3)，②y轴的正半轴上存在线段AB的“等角点”。

过圆外一点的切线方程公式
圆外一点的切线方程是用来描述从原点到圆外一点，连线在圆上所做切线的方程。

它用于计算圆周上点到圆心的距离，以及圆周上点的坐标值。

圆外一点的切线方程可以表示为y=mx+b的形式，其中m表示斜率，b为截距，他们结合圆的极坐标表示式，可以得出圆外一点的切线方程。

斜率m就是圆的极坐标中半径r的倒数，截距b是指圆周上使第一个点在直线上的测试，从而可以求出当前的点在直线上对应的y 值。

然后，通过圆外一点的切线方程，就可以求出圆上各点到圆心的距离，并计算出圆周上点的坐标值。

另外，这个方程也可以用于求出任意两点之间的夹角，以及两个圆之间的夹角，快捷方便的解决与圆有关的问题。

总的来说，圆外一点的切线方程具有广泛的应用，它可以为曲线正弦或余弦方程的求解工作提供了有力的支持，同时也可以用于解决圆、圆周上点等问题。

它为人们在计算机辅助设计、机械工程、电子科技等领域提供了有力的帮助。

过圆外一点的切线方程
“过圆外一点的切线方程”是指一条直线通过圆外一点，且切点在圆上的切线方程。

它是椭圆、双曲线及其他
曲线的重要特征之一，也是几何学中常见的问题。

“过圆外一点的切线方程”可以用符号表示如下:
Q(x,y) = 0
其中Q(x,y)是指该切线方程的函数，x和y分别为切线的坐标。

“过圆外一点的切线方程”的求解过程可以分为三步:
1、首先，根据圆的标准方程C(x,y)=0，我们可以求
出圆上的切点坐标(a,b)；
2、然后，根据圆外一点的坐标(x0,y0)，我们可以求出这条切线的斜率k= (y0-b)/(x0-a)；
3、最后，我们可以根据斜率k，连同圆外一点的坐标(x0,y0)，求出这条切线的方程式，即Q(x,y) = 0。

“过圆外一点的切线方程”的应用非常广泛，它能够解决几何学中的许多具体问题，如求解两个圆的交点、求
解两个圆的公切线等。

以求解两个圆的公切线为例，我们
可以先根据两个圆的标准方程，求出两个圆上的切点坐
标；然后，在两个圆外取一点，求出该点到两个圆上的切
点，所形成的两条切线的斜率；最后，根据斜率，求出两条切线的方程式，即可找到这两条切线的位置。

“过圆外一点的切线方程”对于理解几何学中的曲线性质，解决几何学中的具体问题，都有着重要的意义。

熟练掌握“过圆外一点的切线方程”，可以帮助我们更好地理解几何学中的曲线性质，并有效解决几何学中的具体问题。