函数值域、定义域、解析式专题
一、函数值域的求法
1、直接法：
例1：求函数y
例2：求函数1y =的值域。
2、配方法：
例1：求函数2
42y x x =-++（[1,1]x ∈-）的值域。
例2：求 函 数]2,1[x ,5x 2x y 2
-∈+-= 的 值域。
例3：求函数2
256y x x =-++的值域。 3、分离常数法： 例1：求函数125
x
y x -=+的值域。
例2：求函数1
22+--=x x x
x y 的值域．
例3：求函数1
32
x y x -=-得值域.
4、换元法：
例1：求函数2y x =+
例2： 求 函 数1x x y -+=的 值 域。
5、函数的单调性法：确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，求出函数的值域。
例1：求函数y x =-
例2：求函数()x x x f -++=11的值域。
例3：求 函 数1x 1x y --+=的 值 域。
6、数型结合法：函数图像是掌握函数的重要手段，利用数形结合的方法，根据函数图像求得函数值域，是一种求值域的重要方法。当函数解析式具有某种明显的几何意义（如两点间距离，直线的斜率、截距等）或当一个函数的图象易于作出时，借助几何图形的直观性可求出其值域。
例1：求函数|3||5|y x x =++-的值域。 7、非负数法
根据函数解析式的结构特征，结合非负数的性质，可求出相关函数的值域。 例1、(1)求函数216x y -=的值域。
(2)求函数1
3
22+-=x x y 的值域。
二、函数定义域
例1：已知函数()f x 的定义域为[]15-，，求(35)f x -的定义域．
例2：若()f x 的定义域为[]35-，，求()()(25)x f x f x ϕ=-++的定义域． 例3：求下列函数的定义域：
① 21
)(-=x x f ； ② 23)(+=x x f ；
③ x
x x f -+
+=
211)( 例4：求下列函数的定义域：
④ 14)(2--=x x f
⑤ ②2
14
3)(2-+--=
x x x x f
⑥ 3
7
3132+++-=
x x y ④x
x x x f -+=
0)1()(
三、解析式的求法
1、配凑法
例1：已知 ：23)1(2
+-=+x x x f ，求f(x)；
例2 ：已知2
2
1
)1
(x x x
x f +
=+ )0(>x ，求 ()f x 的解析式． 2、换元法（注意：使用换元法要注意t 的范围限制，这是一个极易忽略的地方。）
例1：已知：x x x f 2)1(+=+，求f(x);
例2：已知：11
)11(2-=+
x
x f ，求)(x f 。
例3 ：已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f ．
3、待定系数法
例1.已知：f(x) 是二次函数，且f(2)=-3, f(-2)=-7, f(0)=-3，求f(x)。
例2：设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f ．
4、赋值（式）法
例1：已知函数)(x f 对于一切实数y x ,都有x y x y f y x f )12()()(++=-+成立，且
0)1(=f 。(1)求)0(f 的值；
(2)求)(x f 的解析式。
例2：已知：1)0(=f ，对于任意实数x 、y ，等式)12()()(+--=-y x y x f y x f 恒成立，求)(x f ． 5、方程法
例1：已知：)0(,
31)(2≠=⎪⎭
⎫ ⎝⎛+x x x f x f ，求)(x f 。
例2：设,)1(2)()(x x
f x f x f =-满足求)(x f ．
6、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法． 例1：已知：函数)(2
x g y x x y =+=与的图象关于点)3,2(-对称，求)(x g 的解析式．
高考中的试题：
1．（2004.湖北理）已知)(,11)11(22
x f x
x x x f 则+-=+-的解析式可取为 （ ） A ．
2
1x
x
+ B ．2
12x
x
+-
C ．
2
12x x
+ D ．2
1x
x
+-
2．（2004.湖北理）函数]1,0[)1(log )(2
在++=x a x f a 上的最大值和最小值之和为a ，则a
的值为（ ）
A ．
4
1
B ．
2
1
C ．2
D ．4
3．（2004. 重庆理）函数y =的定义域是：
（ ）
A ．[1,)+∞
B ．23(,)+∞
C ．2
3[,1]
D ．23(,1]
4．（2004.湖南理）设函数,2)2(),0()4(.0,
2,
0,0,)(2-=-=-⎩⎨⎧>≤≤++=f f f x x x c bx x x f 若则关于x 的
方程x x f =)(解的个数为
（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
5、（2004. 人教版理科）函数)1(log 22
1-=
x y 的定义域为（ ）
A 、[
)(]
2,11,2 --
B 、)2,1()1,2( --
C 、[)(]2,11,2 --
D 、)2,1()1,2( --
6．（2006年陕西卷）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），
接收方由密文→明文（解密），已知加密规则为：明文,,,a b c d 对应密文
2,2,23,4.a b b c c d d +++例如，明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16.当接收方收到密文14,9,23,28时，则解密得到的明文为（C ）
（A ）7,6,1,4 （B ）6,4,1,7 （C ）4,6,1,7 （D ）1,6,4,7
7．（2006年安徽卷）函数()f x 对于任意实数x 满足条件()()
1
2f x f x +=，若()15,
f =-则()()5f
f =__________。
8．（2006年广东卷）函数)13lg(13)(2++-=x x
x x f 的定义域是
9. （2006年湖北卷）设()x x x f -+=22lg
，则⎪⎭
⎫
⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛x f x f 22的定义域为 （）
A. ()()4,00,4 -
B. ()()4,11,4 --
C. ()()2,11,2 --
D. ()()4,22,4 --
10．（2006年辽宁卷）设,0.(),0.
x e x g x lnx x ⎧≤=⎨>⎩则1
(())2g g =__________
11.( 2006年湖南卷）函数y =( )
A.(3,+∞)
B.[3, +∞)
C.(4, +∞)
D.[4, +∞)
