2020年北京大学优秀中学生数学金秋营测试(第一天)试题

……………………………………………………………最新资料推荐………………………………………………… 1 2016年北大金秋营试题1、在ABC ∆内部有一点P 满足4C A P CB PAB ∠+∠=∠=∠，L 在AC 上且BL 平分ABC ∠，延长PL 交APC ∆的外接圆于Q . 证明：BQ 平分AQC ∠.2、对于}2,,2,1{n 的一个排列},,,,,,,{2121n n b b b a a a ，定义函数∑-=++-=11112121||),,,,,,,(n i i i i i n n b a b a b b b a a a f ，求所有的排列中，),,,,,,,(2121n n b b b a a a f 的最小值.3、求所有正整数c b a ,,，满足对任意实数v u ,，10≤<≤v u ，存在正整数n ，使得),(}{2v u c bn an ∈++成立.4、设p 为奇素数，)4(mod 1≡p ，正整数b a ,满足122=-pb a . 设q 也为奇素数，1),(=bp q . 考虑同余方程)(m od 01224q ax x ≡+-. 证明下述3个论述等价：（1）p 为模q 的二次剩余；（2）同余方程存在一个解；（3）同余方程存在四个互不相同的解.5、记函数∑==40)(i i i x a x f ，且]1,1[-∈x 时1|)(|≤x f . 求||2a 的最大可能值.6、一个班里有50人，相互之间发短信. 若在三个人C B A ,,之间，仅有A 给B 发过短信，B 给C 发过短信，C 给A 发过短信，则称三个人C B A ,,构成一个“循环”. 试求这50人中“循环”个数的最大可能值.7、试求所有正整数a ，使得对任意正整数k ，都存在正整数n ，使得2016+an 是一个正整数的k 次方.8、对（0，1）中的实数，称其中两个为相邻的，如果这两个数的十进制表示中只有一位不同. 是否可以将（0，1）中实数10染色，使得任意两个相邻的数颜色都不相同.。

年北京大学金秋营试题（考生回忆版）
第一天
1.对于非负实数，，，，考虑如下个实数
其中，记为这个数中所有正数之和，的条件下，求的
最小值
2.中，为的中点，，分别为，中点，
外接圆与射线，交于点，，交于点，证明：
若、、共点，则、交点在上
3.数列满足：，，已知求证：
4.求的最小值，使得将方格挖去个格后，剩余图形不存在字形（字形指一个方
格与其相邻的三个方格有公共边构成的图形）
第二天
，直线，，分别交对边于，，，若四边形，
，都有内切圆，求证：
6.若自然数可以写成若干个自己的不同的因数的和，其中有个为，就称为好数，证明：对任意大于，存在无穷个的正倍数为好数，且最小的倍数不大于，其中是最大的奇素因数（若为二的幂，则为）
7.为素奇数，
8.求所有的，使得平面上有个完全相同的凸多边形，且满足对任意个凸多边形，所有在他们之中且不在其余多边形中的点的集合为凸多边形（非退化）。

【最新整理，下载后即可编辑】北京大学“中学生数学奖”夏令营初赛 试题2018年6月23日本试卷共4题，每题30分，满分120分.考试时间180分钟.1.已知a 、b 、c 为整数，且对任意正整数m 、n ，存在整数x 满足如下关系：()2mod .ax bx c m n ++≡求所有满足要求的三元整数组(),,a b c .2.已知实数122018,,,a a a 两两不同，存在t 满足11i i a t a ++=（1,2,,2018i =，并规定20191a a =）.求实数t 的可能取值的个数.3.给定正整数n 、k .有一个密码锁，它有n 个按钮，编号分别为1n .打开该锁的密码是长度为k 的按钮序列.当且仅当连续正确的按动这k 个按钮时，密码锁会被打开.（例如3n =，2k =，密码为13时，依次按动1,2,3,2,1,1,3后可以打开该锁，按动2,2,3,1,3后也可以打开该锁.）要保证把这个密码锁打开，至少需要按动多少次按钮？4.如图，ABC ∆中AB AC ≠.点A 所对应的旁切圆圆J 分别与直线BC 、CA 、AB 相切于点D 、E 、F .点M 是线段BC 的中点.点S 在线段JM 上，且满足AS DS AE +=.求证：MS BD CD SJ ⋅=.试卷答案本试卷共4题1.设()2f x ax bx c =++，注意()()()mod f x f x n n ≡+，故本题只需对任意正整数n ，()()()0,1,,1f f f n -组成模n 的完全剩余系.下证0a =，1b =-或1.若0,1a b +≠±，取n a b =+，则()()()01mod f f n ≡，矛盾. 若0a b +=，则()2f x ax ax c =-+，此时()()01f f =，这也不可能. 故1a b +=-或1.当1a b +=时，0a ≠，则1641241248a b a a b +≥-+≥-=. 取164n a b =+，则()()()04mod f f n ≡，矛盾.故0a =. 类似当1a b +=-时，取164n a b =+，可得0a =.故()(),0,1a b =或()0,1-.注意对任意正整数m 、n ，同余方程()mod x c m n +≡和()mod x c m n -+≡显然有解.故()(),,0,1,a b c k =或()0,1,k -，k Z ∈.2.由已知有11i i a t a +=-，不动点方程为1x t x=-，化为210x tx -+=，设此一元二次方程的两根为α与β.当αβ=时，若2t =，则1112i i i a a a +--=-，111111i i a a +=---，2019111201811a a =---，矛盾. 若2t =-，同理可得2019111201811a a =+++，也矛盾. 所以αβ≠，可得1i i i a a t a ααα+--=⋅-，以及1i i i a a t a βββ+--=⋅-， 两式相除得11i i i i a a a a αααβββ++--=--，有2111111i i i i a a a a a a αααααββββ++-⎛⎫--==⋅ ⎪---⎝⎭， 从而40362019120191a a a a αααββ--=⋅--，40361α=， 由对称性，不妨设2018ki e πα=，()40362018k ieπβ-=，其中12018k ≤≤. 另一方面，当12018i j ≤<≤时，由i j a a ≠知，j i j i a a a a ααββ--≠--， 而()21j j t j t a a a a αααββ---=⋅--.所以当12018t ≤<时，21t α≠， 即2220181tki t e πα=≠，即对任意12018t ≤<，tk 都不是2018的倍数， 即(),20181k =，又因为201821009=⨯，所以这样的k 有11201811100821009⎛⎫⎛⎫⨯-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭个，所以2cos 2018k t παβ=+=有1008个取值. 3.最少需要按1k n k +-次.不同的密码共有k n 个，要保证打开密码锁，必须全部试过一遍.从第k 次按键开始，每次按动按钮都可以视为一个长为k 的序列末位，故至少需要1k n k +-次.下面给出按动1k n k +-次可以满足要求的存在性证明. 当1k =时结论显然成立，故下设2k ≥.构造图G ，共有1k n -个顶点，每个顶点对应为一个长为1k -的序列.对顶点A ，B ，若点A 所对应序列的后2k -位与点B 所对应序列的前2k -位相同，则在AB 之间连一条由A 指向B 的有向边.此时每一个长为k 的序列可以对应为该图中的一条边.注意图G 为连通图，且每个顶点的入度和出度均为n ，我们即证明该图中存在欧拉圈.为此给出如下引理：若有向连通图G 中所有顶点的入度和出度都相同，则该图中存在欧拉圈.对图G 的总边数进行归纳证明，若图G 每个顶点出入度为1，且该图中存在圈，再由连通性可得该圈为欧拉圈. 若总边数小于m 时结论成立，考虑总边数等于m 时. 考虑图中的最大有向圈Γ，显然这样的圈存在.若Γ不是欧拉圈，则从图G 中去掉Γ，得到图G '.此时图G '每点的出入度仍相同（但可以为0）.取G '中的一条边，使其一个顶点在Γ中，沿该边前进，可以得到图G '中的圈'Γ.注意Γ和'Γ没有公共边，故可将它们拼接得到一个更大的圈.这与Γ的最大性矛盾，故此时结论成立. 综上，引理得证.由引理，我们即可得到本题存在性证明.4.如图，作BDS ∠的平分线交BJ 于P ，以P 为圆心、点P 到直线BC 的距离为半径作P ，则P 与直线AB 、BD 、DS 均相切.过A 作P 的异于直线AB 的切线，交直线DS 于S '，则P 与四边形ABDS '的各边所在直线均相切，由“切线长相等”可得AB BD AS DS ''+=+，又已知AS DS AE AF AB BD +===+，因此AS DS AS DS ''+=+，故SS AS AS ''=-，由“三角形两边之差小于第三边”可知 S '与S 重合，所以P 与四边形ABDS 的各边所在的直线都相切. 作CDS ∠的平分线交CJ 于Q ，以Q 为圆心、点Q 到直线BC 的距离为半径作Q ，类似可证Q 与折四边形ACDS 的各边所在的直线都相切.从而AS 、DS 都与P 和Q 相切，故S 是P 和Q 的内位似中心.故S 、P 、Q 三点共线.下面证明//PQ BC .用反证法.假设直线PQ 与直线BC 相交于T ，因DP 、DQ 分别平分SDT ∠或SDT ∠的邻补角，所以DP 、DQ 、DS 、DT 是调和线束，该线束与直线PQ 截得4点P 、Q 、S 、T 是调和点列，故JP 、JQ 、JS 、JT 是调和线束，该线束再与直线BC 截得4点B 、C 、M 、T 是调和点列，但M 是BC 的中点，矛盾，所以//PQ BC .设PQ 与JD 相交于H .由DP 、DQ 分别平分BDS ∠及其邻补角得DP DQ ⊥，再结合//PQ BC 得PQ DH ⊥，所以 PH QH MS DH PH QH BD CD BD CD SJ HJ HJ HJ JD JD ⋅⋅====⋅=.。

2010年北京大学优秀中学生夏令营试题2010年北京大学优秀中学生夏令营试题参考解答2011年北京大学优秀中学生夏令营试题2011年北京大学优秀中学生夏令营试题参考解答2012年北京大学优秀中学生夏令营试题2012年北京大学优秀中学生夏令营试题参考解答2013年北京大学暑期体验营数学试题2013年北京大学暑期体验营数学试题参考解答5、最小的短信条数总数为2n−2。

对每个人而言，至少需要对外发一条短信告知自己的信息，共n条．而这n条短信至多只能让2个人获得所有信息，此时还需要n−2条短信去通知剩余的同学，于是短信总数不少于2n−2。

另一方面，n−1名同学都将信息发送给最后一名同学，然后由这名同学再给n−1名同学回复，就可以用2n−2条短信完成任务。

综上，最小的短信条数总数为2n−2。

2014年北京大学秋令营数学试题2014年11月14日18:30—22:301、已知△ABC 满足AB+AC=2R ，其中R 是外接圆的半径，且∠A 为钝角；A 与三角形外接圆圆心的连线交BC 于点D ，若△ABD 的内切圆半径为1，求△ADC 的内切圆半径。

2、证明：若a,b 是正整数，则()()()()22222323a b a b ++-+不是完全平方数。

3、已知ai,bi,ci (i=1,2,3,4)是实数，求证：2221111a b c ++≤ 4、令求所有的正整数n ，使得f(n)是素数5、对正整数n ，称正整数组（12s ，，...λλλ）为n 的一个（无序的）分拆，如果12s ++...+=n λλλ，12s ...0λλλ≥≥≥>并称每个i λ为分拆的项。

计0()P n 为项全为奇数的n 分拆的集合，()d P n 为项两两不等的n 的分拆的集合，试在0()P n 与()d P n 之间建立一个双射。

6、设d 是一个大于100的整数，M 是所有在十进制下数码和为d 的倍数的正整数的集合，a n 是将M 中的数从小到大排列后的第n 个数，求证：存在无穷多个n ，使得n a nd ->【部分试题参考解答】第一题可以猜到答案也是1（因为AB=AC 时答案是1），然后只需证ABD 和ACD 的内切圆半径相等，然后由于sinC+sinB=2，而ABD 和ACD 的内角可以用C 、B 表示，所以用三角算一算就可以了，另外，A 是钝角可以由AB+AC=2R 推出，所以是多余的条件。

2020-2021北京市北大附中九年级数学上期中第一次模拟试题(带答案)一、选择题1．如图，BC 是半圆O 的直径，D ，E 是»BC上两点，连接BD ，CE 并延长交于点A ，连接OD ，OE ，如果40DOE ∠=︒，那么A ∠的度数为（ ）A ．35°B ．40°C ．60°D ．70° 2．如图A ，B ，C 是上的三个点，若，则等于（ ）A ．50°B ．80°C ．100°D ．130°3．下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（ ） A ． B ． C ．D ．4．如图所示的暗礁区，两灯塔A ，B 之间的距离恰好等于圆的半径，为了使航船（S ）不进入暗礁区，那么S 对两灯塔A ，B 的视角∠ASB 必须（ ）A ．大于60°B ．小于60°C ．大于30°D ．小于30° 5．已知()222226x y y x +-=+，则22x y +的值是（ ） A ．－2 B ．3 C ．－2或3 D ．－2且36．若关于x 的方程240kx x -+=有实数根，则k 的取值范围是( )A ．k 16≤B ．1k 16≤C ．k 16≤且k 0≠D ．1k 16≤且k 0≠ 7．如图，一个游戏转盘中，红、黄、蓝三个扇形的圆心角度数分别为60︒，90︒，210︒．让转盘自由转动，指针停止后落在黄色区域的概率是( )A ．16B ．14C ．13D ．7128．下列事件中，属于必然事件的是（ ）A ．任意数的绝对值都是正数B ．两直线被第三条直线所截，同位角相等C ．如果a 、b 都是实数，那么a ＋b ＝b ＋aD ．抛掷1个均匀的骰子，出现6点朝上 9．函数y=x 2+bx+c 与y=x 的图象如图所示，有以下结论：①b 2﹣4c ＞0；②b+c+1=0；③3b+c+6=0；④当1＜x ＜3时，x 2+（b ﹣1）x+c ＜0． 其中正确的个数为A ．1B ．2C ．3D ．410．如图，圆锥的底面半径r 为6cm ，高h 为8cm ，则圆锥的侧面积为（ ）A ．30πcm 2B ．48πcm 2C ．60πcm 2D ．80πcm 2 11．用配方法解方程2890x x ++=，变形后的结果正确的是( ) A ．()249x +=- B ．()247x +=- C ．()2425x +=D ．()247x += 12．如图，在⊙O 中，AB 是⊙O 的直径，AB ＝10，»»»AC CDDB ==，点E 是点D 关于AB 的对称点，M 是AB 上的一动点，下列结论：①∠BOE ＝60°；②∠CED ＝12∠DOB ；③DM ⊥CE ；④CM ＋DM 的最小值是10，上述结论中正确的个数是( )A．1B．2C．3D．4二、填空题13．如图，将正六边形ABCDEF放置在直角坐标系内，A(﹣2，0)，点B在原点，把正六边形ABCDEF沿x轴正半轴作无滑动的连续翻转，每次翻转60°，经过2020次翻转之后，点C的坐标是_____．14．某药品原价是100元，经连续两次降价后，价格变为64元，如果每次降价的百分率是一样的，那么每次降价的百分率是；15．有4根细木棒，长度分别为2cm、3cm、4cm、5cm，从中任选3根，恰好能搭成一个三角形的概率是__________．16．现有甲、乙两个盒子，甲盒子中有编号为4，5，6的3个球，乙盒子中有编号为7，8，9的3个球．小宇分别从这两个盒子中随机地拿出1个球，则拿出的2个球的编号之和大于12的概率为_____．17．要为一幅矩形照片配一个镜框，如图，要求镜框的四条边宽度都相等，且镜框所占面积是照片本身面积的四分之一，已知照片的长为21cm，宽为10cm，求镜框的宽度．设镜框的宽度为xcm，依题意列方程，化成一般式为_____．18．Rt△ABC中，∠C＝90°，若直角边AC＝5，BC＝12，则此三角形的内切圆半径为________．19．一元二次方程x2=3x的解是：________．20．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列4个结论：①abc＞0；②b ＜a+c；③4a+2b+c＞0；④b2﹣4ac＞0；其中正确的结论有_____．（填序号）三、解答题21．如图，已知抛物线y=﹣x 2+bx +c 与x 轴交于点A （﹣1，0）和点B （3，0），与y 轴交于点C ，连接BC 交抛物线的对称轴于点E ，D 是抛物线的顶点．（1）求此抛物线的解析式；（2）求点C 和点D 的坐标；（3）若点P 在第一象限内的抛物线上，且S △ABP =4S △COE ，求P 点坐标．22．如图，在等腰ABC ∆中，AB AC =，以AC 为直径作O e 交BC 于点D ，过点D 作DE AB ⊥，垂足为E .（1）求证：DE 是O e 的切线.（2）若3DE =30C ∠=︒，求»AD 的长.23．已知关于x 的一元二次方程222(1)20x a x a a --+--=有两个不相等的实数根1x ，2x .（1）若a 为正整数，求a 的值；（2）若1x ，2x 满足221212-16x x x x +=，求a 的值.24．已知关于x 的方程2(31)30mx m x +++=.（1）求证：不论m 为任何实数，此方程总有实数根；（2）若抛物线()2313y mx m x =+++与x 轴交于两个不同的整数点，且m 为正整数，试确定此抛物线的解析式．25．关于x 的一元二次方程mx 2﹣（2m ﹣3）x+（m ﹣1）＝0有两个实数根．（1）求m 的取值范围；（2）若m 为正整数，求此方程的根．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除1．D解析：D【解析】【分析】连接CD，由圆周角定理得出∠BDC＝90°，求出∠DCE＝20°，再由直角三角形两锐角互余求解即可，【详解】解：连接CD，如图，∵BC是半圆O的直径，∴∠BDC＝90°，∴∠ADC＝90°，∵∠DOE＝40°，∴∠DCE＝20°，∴∠A＝90°−∠DCE＝70°，故选：D．【点睛】本题考查了圆周角定理、直角三角形的性质；熟练掌握圆周角定理是解题的关键．2．D解析：D【解析】试题分析：根据圆周的度数为360°，可知优弧AC的度数为360°-100°=260°，然后根据同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，可求得∠B=130°．故选D考点：圆周角定理3．B解析：B【解析】由中心对称图形的定义：“把一个图形绕一个点旋转180°后，能够与自身完全重合，这样的图形叫做中心对称图形”分析可知，上述图形中，A、C、D都不是中心对称图形，只有B是中心对称图形.故选B.4．D解析：D试题解析：连接OA ，OB ，AB ，BC ，如图：∵AB=OA=OB ，即△AOB 为等边三角形，∴∠AOB=60°，∵∠ACB 与∠AOB 所对的弧都为»AB ，∴∠ACB=12∠AOB=30°， 又∠ACB 为△SCB 的外角，∴∠ACB ＞∠ASB ，即∠ASB ＜30°．故选D5．B解析：B【解析】试题分析：根据题意，先移项得()2222260x y y x +---=，即()2222260x y x y （）+-+-=，然后根据“十字相乘法”可得2222(2)(3)0x y x y +++-= ，由此解得22x y +=-2（舍去）或223x y +=.故选B.点睛：此题主要考查了高次方程的解法，解题的关键是把其中的一部分看做一个整体，构造出简单的一元二次方程求解即可.6．B解析：B【解析】【分析】当0k =时，代入方程验证即可，当0k ≠时，根据方程的判别式△≥0可得关于k 的不等式，解不等式即得k 的取值范围，问题即得解决.【详解】解：当0k =时，40x -+=，此时4x =，有实数根；当0k ≠时，∵方程240kx x -+=有实数根，∴△2(1)440k =--⨯⨯…，解得：116k …，此时116k …且0k ≠； 综上，116k …．故选B. 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟知一元二次方程的根的判别式与根的关系是解题的关键.7．B解析：B【解析】【分析】求出黄区域圆心角在整个圆中所占的比例，这个比例即为所求的概率．【详解】∵黄扇形区域的圆心角为90°，所以黄区域所占的面积比例为901= 3604，即转动圆盘一次，指针停在黄区域的概率是14，故选B．【点睛】本题将概率的求解设置于转动转盘游戏中，考查学生对简单几何概型的掌握情况，既避免了单纯依靠公式机械计算的做法，又体现了数学知识在现实生活、甚至娱乐中的运用，体现了数学学科的基础性．用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比．8．C解析：C【解析】【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．【详解】A. 任意数的绝对值都是正数是随机事件，错误；B. 两直线被第三条直线所截，内错角相等是随机事件，错误；C. 如果a、b都是实数，那么a＋b＝b＋a是必然事件，正确;D. 抛掷1个均匀的骰子，出现6点朝上是随机事件，错误；故选D.【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．9．B解析：B【解析】分析：∵函数y=x2+bx+c与x轴无交点，∴b2﹣4c＜0；故①错误。

2021年北京海淀区北京大学自主招生数学试卷（优秀中学生暑期学堂）含答案解析一、综合题（本大题共20小题）1、函数f(x)=3xln⁡x +x 3−ax +5在(0,+∞)上非负，则a 的最大值为 ．2、平面内有定圆C 和动圆Γ，动圆Γ与定圆C 内切且恒过C 内不为圆心的一定点，则Γ的圆心轨迹为 ．3、已知{2x −5y ⩽−63x +6y ⩽25，则9x +y 的最大值为 ．4、已知0<x <y <π2，且满足sin⁡(cos x )=x ，cos⁡(sin y )=y ，则有序数对(x,y)的组数为 ．5、已知x 2+4y 2=1，则(x +2y )(x −y )的最小值为 ．6、若4x 2+2xy +y 2−2ax −ay +2⩾0对任意的x,y ∈R 恒成立，则a 的最大值为 ．7、已知复数x 1，x 2，⋯，x 2021是方程x 2021=1的2021个相异根，则∑1i+x j 2021j=1= ．8、在数列{a n }中，已知a 1=1，a 2=2，a 3=3，且当n ⩾3时，有a n+1=∏a i −1n i=1．记S n =∑a i 2−∏a i n i=1ni=1，则S 2021的值为 ．9、和式∑i 2021999999i=1的计算结果最后三位数字为 ．10、实数50×(7+4√3)2021的十进制小数表示中个位数字与十位数字之和为．11、设p∈R，方程z3+pz+8i=0的三个根在复平面构成一个等边三角形的三个顶点，则该等边三角形的面积为．12、已知(2x+1)4042(x+1)2021=∑a i x i2021i=0+1(x+1)2021∑b j x j2020j=0对任意的实数x均成立，则a2020=．13、已知x，y，z，w满足方程(1+√2+√3+√6)(x+√2y+√3z+√6w)=2021，则有理数对(x,y,z,w)的对数为．14、我们用[x]表示实数x的整数部分，用{x}表示实数x的小数部分，则关于n的不等式1−[√n2+1+n]⋅{√n2−1+n}<10−6的最小整数解为．15、已知a，b，c为三角形三边长，则ab+bc+ca(a+b+c)2的取值范围为．16、设12021有m种方式分为3个正整数的倒数之和，有n种方式分为3个正奇数的倒数之和，则（）．A. m=n=1B. m⩽6，n⩾1C. m=3，n=1D. 以上均不正确)，α+β+γ=π，且满足sin⁡α=αsin⁡β，则β与γ的大小关系17、已知α，β∈(0,π2为．18、方程√x+√y=2+√x+y的整数解的组数为．19、已知实数x，y满足(4x3−3x)2+(4y3−3y)2=1，则x+y的最大值为．20、集合{1,2,⋯,2021}的非空子集中元素和为3的倍数的集合个数为．1 、【答案】 6;【解析】 由题f(x)=3xln⁡x +x 3−ax +5⩾0，即a ⩽3ln⁡x +x 2+5x 恒成立．从而我们只需求函数g(x)=3ln⁡x +x 2+5x 的最小值．注意到g ′(x)=2x 3+3x−5x 2=(x−1)(2x 2+2x+5)x 2， 且2x 2+2x +5>0，故g(x)在x =1处取最小值，从而a ⩽g(x)min =g(1)=6，从而a 的最大值为6．2 、【答案】 椭圆;【解析】 不妨设定圆圆心为O ，半径为R ，动圆圆心为O ′，半径为r ，定点记为P ，切点为T ．如图所示，我们有O ′P +O ′O =O ′T +O ′O =R >OP ，这说明O ′点到两定点O 与P 的距离之和为定值R ，且大于两定点之间的距离，因此Γ的圆心O ′的轨迹为椭圆．3 、【答案】 86927; 【解析】 注意到27(9x +y)=47(3x +6y)+51(2x −5y)⩽47×25+51×(−6)=869， 即9x +y ⩽86927， 当且仅当x =8927，y =6827时，等号成立．故9x +y 的最大值为86927． 4 、【答案】 1;【解析】 解令x 1=x ，x 2=y ，由题可知0<x 1<x 2<1， 且{cos⁡x 1=arcsin⁡x 1sin⁡x 2=arccos⁡x 2. 利用函数与其反函数的图像关于直线y =x 对称，我们做出y =sin⁡x ，y =cos⁡x 以及 y =arcsin⁡x ，y =arccos⁡x 在区间(0,π2) 的大致图像，如下图：其中x 1为两条虚线的交点横坐标，x 2为两条实线的交点横坐标．从而由图可知：有序数对(x,y)的组数为1．5 、【答案】 1−√104; 【解析】 令x =cos⁡θ，y =sin θ2，则我们有 (x +2y )(x −y )=(cos⁡θ+sin⁡θ)(cos⁡θ−cos θ2) =sin⁡(2θ)+3cos⁡(2θ)+14=√10sin⁡(2θ+φ)+14）（其中tan⁡φ=3）⩾1−√104（当且仅当θ=3π−2φ4时等号成立）， 即(x +2y )(x −y )的最小值为1−√104．6 、【答案】 √6;【解析】 原题即为4x 2+(2y −2a)x +y 2−ay +2⩾0恒成立．所以我们有Δx =4(y −a)2−16(y 2−ay +2)⩽0 ⇒ 3y 2−2ay +8−a 2⩾0 恒成立， 从而有Δy =4a 2−12(8−a 2)⩽0 ⇒ −√6⩽a ⩽√6．于是可得a 的最大值为√6．7 、【答案】 20211+i; 【解析】 不妨令y j =1i+x j， 则 y 1，y 2，⋯，y 2021是方程(1y −i)2021=1⇒y 2021+(yi −1)2021=0的所有根，将(∗)式展开得(1+i)y 2021−2021y 2020+⋯=0，从而由韦达定理知，∑1i+x j 2021j=1=∑y j 2021j=1=20211+i ． 8 、【答案】 2026;【解析】 注意到，当n ⩾3时，有S n+1−S n =(∑a i 2−∏a i n+1i=1n+1i=1)−(∑a i 2−∏a i n i=1ni=1)=a n+12−(∏a i n i=1)(a n+1−1)=a n+12−(a n+1+1)(a n+1−1) =1．从而我们有S 2021=(2021−3)+S 3=2018+12+22+32−1×2×3=2026． 9 、【答案】 000;【解析】 注意到对任意的1⩽k ⩽499，我们有k 2021+(1000−k )2021≡k 2021+(−k )2021≡0(mod1000)，且显然1000|5002021，1000|10002021．所以∑i 2021999999i=1≡999×∑i 20211000i=1+∑j 2021999j=1≡0(mod1000)，从而末三数字为000．10 、【答案】18;【解析】注意到当n⩾2时，我们有0<50×(7−4√3)n<1，同时50×(7+4√3)n+50×(7−4√3)n∈Z，从而有⌊50×(7+4√3)n⌋=50×[(7+4√3)n+(7−4√3)n]−1，由于2|(7+4√3)n+(7−4√3)n，故100|50×[(7+4√3)n+(7−4√3)n]．因此我们有⌊50×(7+4√3)n⌋≡−1≡99(mod100)，这说明实数50×(7+4√3)2021的个位数字与十位数字之和为9+9=18．11 、【答案】3√3;【解析】我们容易知道若a+bi为方程z3+pz+8i=0的根，则−a+bi也为z3+pz+8i=0的根．注意到由题知方程z3+pz+8i=0共有三个不等根，这说明其必存在纯虚根，不妨设z1= reπ2i(z1=re3π2i)不合题意，则其余两根为z2=re(π2+2π3)i，z3=re(π2−2π3)i．从而由韦达定理我们有z1z2z3=−r3i=−8i⇒r=2．故有|z1|=|z2|=|z3|=2，于是可得S△z1z2z3=32×|z1|2sin⁡2π3=3√3．从而该等边三角形的面积为3√3．12 、【答案】0;【解析】考虑更一般的情形：若(2x+1)2n(x+1)n=∑a i x i2021i=0+1(x+1)n∑b j x jn−1j=0，则a n−1=0，事实上我们注意到：(2x +1)2n =[2(x +1)−1]2n=22n (x +1)2n −2n ⋅22n−1(x +1)2n−1+⋯，从而有(2x+1)2n (x+1)n =22n (x +1)n −2n ⋅22n−1(x +1)n−1+⋯．所以x n−1的系数a n−1=22n ⋅C n 1−2n ⋅22n−1=0，回到原题，当n =2021时，有a 2020=0．13 、【答案】 1;【解析】 由于(1+√2+√3+√6)(x +√2y +√3z +√6w)=2021，则有x +√2y +√3z +√6w =1+2+3+6 =(1+√2)(1+√3) =20212−2021√22−2021√32+2021√62， 也即(x −20212)−√2(y +20212)+√3(z +20212)+√6(w −20212)=0．由于{1,√2,√3,√6}在有理数域Q 上线性无关，则x =20212，y =−20212，z =−20212，w =20212．从而有理数对(x,y,z,w )14 、【答案】 500;【解析】 显然有n >0，且n <√n 2+1<n +1，则有[√n 2+1+n]=2n ，{√n 2+1+n}=√n 2+1−n ，从而原不等式转化为2n √n 2+1+n >1−10−6． 不妨令m =√n 2+1+n ，则n =1−m 22m ，故 2n √n 2+1+n=1−m 2>1−10−6⇒m <10−3． 即n >1−10−62×10−3=9999992000=499.9995，所以最小整数解为n =500．15 、【答案】 (14,13];【解析】 解为了消除三角形的三边关系限制， 不妨令{a =x +yb =x +zc =y +z，其中x ，y ，z >0．从而我们有ab+bc+ca (a+b+c)2=∑(x+y)(x+z)[∑(x+y)]2=(∑x )2+∑xy 4(∑x )2， 于是不失一般性，我们可令∑x =1，则问题转化为求14(1+∑xy )的范围．注意到由切比雪夫不等式有∑xy ⩽13(∑x )(∑y )=13×1×1=13，所以14(1+∑xy )⩽13，当且仅当x =y =z 时等号成立， 另一方面，令x →0，y →0，z →1，我们有14(1+∑xy )→14．综上所述，我们知ab+bc+ca a+b+c 的取值范围为(14,13]．16 、【答案】 D;【解析】 注意到12021=143×147， 这里考虑将143分为3个正整数的倒数之和，由于143−144=11892=11×22×11×43， 且有恒等式1abc =1ac(a+b)+1bc(a+b)，不妨取(a,b,c)=(1,1,1892)，(1,2,946)，(1,4,473)，(1,11,172)，(1,43,44)，(1,44,43)，(1,1892,1)，则说明143已经有7种方式表示成三个正整数的倒数之和，具体来说，即： 143=144+13784+13784=144+12838+15676 =144+12365+19460 =144+12064+122704=144+11936+183248=144+11935+185140=144+11893+13581556，故选D．17 、【答案】β<γ;【解析】假设β⩾γ，由题可知，sin⁡(β+γ)+(β+γ−π)sin⁡β=0．(∗)不妨令以γ为自变量的函数，f(γ)=sin⁡(β+γ)+(β+γ−π)sin⁡β，则有f′(γ)=cos⁡(β+γ)+sin⁡β且f′′(γ)=−sin⁡(β+γ)．注意到β+γ⩽2β<π，则f′′(γ)<0，从而f′(γ)单调递减，即f′(γ)⩾cos⁡(2β)+sin⁡β=1−2sin2β+sin⁡β=(1−sin⁡β)(2sin⁡β+1)>0，这说明f(γ)单调递增，即f(γ)⩽f(β)=sin⁡(2β)+(2β−π)sin⁡β=2[cos⁡β−(π2−β)]sin⁡β，注意到cos⁡β−(π2−β)=sin⁡(π2−β)−(π2−β)<0，所以f(γ)<0，也即sin⁡(β+γ)+(β+γ−π)sin⁡β<0，与(∗)式矛盾，从而假设不成立．因此有β<γ．18 、【答案】2;【解析】对方程两边平方可得√xy=2+2√x+y，再次两边平方可得xy=4+4(x+y)+8√x+y．由于x，y都是整数，所以√x+y∈N，不妨令x+y=p2，其中p⩾2且为整数．从而有{x+y=p2xy=4(p+1)2，这说明x，y是关于t的方程t2−p2t+4(p+1)2=0的两根，故我们有Δ=p 4−16(p +1)2=(p +2)2[(p −2)2−8]是个平方数，所以(p −2)2−8是一个平方数，不妨令(p −2)2−8=q 2，即 (p −q −2)(p +q −2)=23．从而有{p −q −2=2p +q −2=4⇒{q =1p =5． 故x ，y 是关于t 的方程t 2−25t +144=0的两根，所以(x,y )=(9,16)或(16,9)，即原方程的整数解的组数为2．19 、【答案】 √2+√62; 【解析】 不妨令{4x 3−3x =cos⁡3θ3y −4y 3=sin⁡3θ， 由三倍角公式我们有{x =cos⁡(θ+2kπ3),k =0,1,2y =sin⁡(θ+2kπ3),k =0,1,2． 从而可知x +y 可以分为3类．第一类：x +y =cos⁡(θ+2kπ3)+sin⁡(θ+2kπ3) =√2sin⁡(θ+3+8kπ12)⩽√2,k =0,1,2． 第二类：x +y =cos⁡(θ+2kπ3)+sin⁡[θ+2(k+1)π3]=cos⁡(θ+2kπ3)+cos⁡(θ+2kπ3+π6)=2cos⁡(θ+2kπ3+π12)cos⁡π12⩽√2+√62,k =0,1,2．第三类：x +y =cos⁡(θ+2kπ3)+sin⁡[θ+2(k+2)π3]=cos⁡(θ+2kπ3)+cos⁡(θ+2kπ3+5π6)=2cos⁡(θ+2kπ3+π12)cos⁡5π12⩽√6−√22,k =0,1,2．从而x +y 的最大值为√2+√62． 20 、【答案】 2674+22021−33; 【解析】 为了简化讨论我们将空集考虑进计算，并认为空集元素和为零．记集合 A n ={1,2,⋯,3n,3n +1,3n +2}，a n 为A n 子集中元素和为3的倍数的集合（简称为3倍集）的个数，b n 为A n 子集中元素和模3余1的集合的个数，c n 为A n 子集中元素和模3余2的集合的个数．下面考察集合A n+1={1,2,⋯,3n,3n +1,3n +2,3n +3,3n +4,3n +5}中3倍集的构成，共有四类（考察新增元素3n +3，3n +4，3n +5）： ①不含元素3n +3，3n +4，3n +5的集合，共有a n 个．②只包含元素3n +3的集合，共有a n 个；同时包含元素3n +4，3n +5的集合，共有a n 个；同时包含元素3n +3，3n +4，3n +5的集合，共有a n 个．③只包含元素3n +4的集合，共有c n 个；同时包含元素3n +3，3n +4的集合，共有c n 个．④只包含元素3n +5的集合，共有b n 个；同时包含元素3n +3，3n +5的集合，共有b n 个．因此我们有a n+1=4a n +2b n +2c n ，同理可得b n+1=4b n +2a n +2c n ．上述两式相减可得a n+1−b n+1=2(a n −b n )．我们容易知道a 1=12，b 1=10⇒a 1−b 1=2，故a n −b n =2n ．同理我们有a n −c n =2n ，即有 {a n −b n =2n a n −c n =2n ⇒2a n −(b n +c n )=2n+1． 同时我们熟知a n +b n +c n =23n+2⇒a n =2n+1+23n+23． 我们用a ^n 表示A n 非空子集中3倍集的个数，则由上述分析知a ^n =2n+1+23n+2−33． 回到原题，此时n =673，故个数为2674+22021−33．。

2022年清北金秋营试题及答案一、以下每题中都列出了一种现象和5个可能引起这种现象的原因，请找出最合理的原因。

例题：进入公司工作三年的李立工作努力，但同事们却不信赖他。

不过，他比同期的人更早获得晋升。

原因：A.这家公司的考核制度以才能为主。

B.李立懂得要领。

C.上司的考评才能较差。

D.李立毕业于名牌大学。

E.与李立同期的人才能较低。

例题解答说明：答案为"A"。

其他四个原因都有可能引起所述现象的出现，但只有"A.公司的考核制度以才能为主"最合理。

晋升以考评为根据，但考评不是单纯靠上司来完成的，一般还会有同事、下属等参与，所以"C.上司的考评才能较差"不是最正确解释；同样，晋升是对员工才能的一种绝对评价，而非相对评价，因此不会出现有李立相对于其他同事才能要高些就一定得到晋升的事发生，这样就排除了答案E。

B、D所述原因与陈述相差太远。

1、黑色在白色的背景上最为醒目。

原因：(A)A.这两种颜色有强烈的比照性B.两种颜色都非常强烈C.这样甚至色盲的人也能分辨出来D.黑白结合会减少视觉上的错觉E.人们长久以来相信黑白是最醒目的结合2、太阳能虽然已被广泛讨论并深化研究，但还不能广泛应用。

原因：(B)A.太阳能的利用还缺乏足够的平安保障B.太阳光还不能被有效地集中搜集C.风能技术更加成熟D.还没有制成一种能有效地搜集和储存太阳能的系统E.太阳能的应用本钱太高3、邻居家的母鸡生蛋。

原因：(D)A.与公鸡养在一起B.吃了特别有营养的饲料C.邻居准备用鸡蛋换取钞票D.一种本能E.养着它就是为了生蛋4、有一段严重损坏的城市街道未能在冬季降临时修复。

原因：(D)A这条路不是城市的主干道B.某一方终止了修路合同C.修路期间扰民厉害D.出现了意料之外的材料短缺E.破损的路面更容易吸收雨雪5、与前几年相比，去年的加薪率很低。

原因：(D)A.经济持续不景气B.前年的出口大幅度增长C.今年的进口增加D.前年的消费需要锐减E.招聘人才难6、与其他国家相比，新加坡的犯罪率有逐年减少的趋势。

2020年北京海淀区北京大学自主招生数学试卷（强基计划）-学生用卷一、选择题（本大题共20个小题，每小题5分，共100分）1、【来源】 2020年北京海淀区北京大学自主招生（强基计划）第1题5分正实数x ，y ，z ，ω满足x ⩾y ⩾ω和x +y ⩽2(z +ω)，则ωx +z y 的最小值为（ ）．A. 34B. 78C. 1D. 前三个答案都不对2、【来源】 2020年北京海淀区北京大学自主招生（强基计划）第2题5分2020~2021学年北京高三单元测试2020~2021学年北京高二单元测试竞赛在(2019×2020)2021的全体正因数中选出若干个，使得其中任意两个的乘积都不是平方数，则最多可选因数个数为（ ）．A. 16B. 31C. 32D. 前三个答案都不对3、【来源】 2020年北京海淀区北京大学自主招生（强基计划）第3题5分2020~2021学年北京高三单元测试2020~2021学年北京高二单元测试整数列{a n }n⩾1满足a 1=1，a 2=4，且对任意n ⩾2有a n 2−a n+1a n−1=2n−1，则a 2020的个位数字是( )A. 8B. 4C. 2D. 前三个答案都不对4、【来源】 2020年北京海淀区北京大学自主招生（强基计划）第4题5分2020~2021学年北京高二单元测试2020~2021学年北京高三单元测试设a，b，c，d是方程x4+2x3+3x2+4x+5=0的4个复根，则a−1a+2+b−1b+2+c−1c+2+d−1d+2的值为()A. −43B. −23C. 23D. 前三个答案都不对5、【来源】 2020年北京海淀区北京大学自主招生（强基计划）第5题5分2020~2021学年北京高二单元测试2020~2021学年北京高三单元测试设等边三角形ABC的边长为1，过点C作以AB为直径的圆的切线交AB的延长线于点D，AD>BD，则△BCD的面积为()A. 6√2−3√316B. 4√2−3√316C. 3√2−2√316D. 前三个答案都不对6、【来源】 2020年北京海淀区北京大学自主招生（强基计划）第6题5分2020~2021学年北京高三单元测试2020~2021学年北京高二单元测试竞赛)π，其中k为整数，已知sin⁡(y+z−x)，sin⁡(x+z−y)，sin⁡(x+y−z)设x，y，z均不为(k+12成等差数列，则依然成等差数列的是（）．A. sin⁡x，sin⁡y，sin⁡zB. cos⁡x，cos⁡y，cos⁡zC. tan⁡x，tan⁡y，tan⁡zD. 前三个答案都不对7、【来源】 2020年北京海淀区北京大学自主招生（强基计划）第7题5分2020~2021学年北京高二单元测试竞赛2020~2021学年北京高三单元测试方程19x+93y=4xy的整数解个数为（）．A. 4B. 8C. 16D. 前三个答案都不对8、【来源】 2020年北京海淀区北京大学自主招生（强基计划）第8题5分2020~2021学年北京高二单元测试2020~2021学年北京高三单元测试+y2=1引切线，两个切点间的线段称为切点弦，则椭圆C内从圆x2+y2=4上的点向椭圆C：x22不与任何切点弦相交的区域面积为()A. π2B. π3C. π4D. 前三个答案都不对9、【来源】 2020年北京海淀区北京大学自主招生（强基计划）第9题5分2020~2021学年10月上海浦东新区华东师范大学第二附属中学高一上学期月考第16题 竞赛2020~2021学年11月浙江杭州滨江区浙江省杭州第二中学高一上学期周测A 卷第9题 2020~2021学年北京高二单元测试使得5x +12√xy ⩽a (x +y )对所有正实数x ，y 都成立的实数a 的最小值为（ ）．A. 8B. 9C. 10D. 前三个答案都不对10、【来源】 2020年北京海淀区北京大学自主招生（强基计划）第10题5分 设点P 为单位正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1上的一点，则PA 1+PC 1的最小值为（ ）．A. √2+√2B. √2+2√2C. 2−√22D. 前三个答案都不对11、【来源】 2020年北京海淀区北京大学自主招生（强基计划）第11题5分 数列{a n }(n ⩾1)满足a 1=1，a 2=9，且对任意n ⩾1，有a n+2=4a n+1−3a n −20，记S n 为数列的前n 项和，则S n 的最大值等于（ ）．A. 28B. 35C. 47D. 前三个答案都不对12、【来源】 2020年北京海淀区北京大学自主招生（强基计划）第12题5分2020~2021学年北京高二单元测试2020~2021学年北京高三单元测试设直线y=3x+m与椭圆x 225+y216=1交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB面积的最大值为()A. 8B. 10C. 12D. 前三个答案都不对13、【来源】 2020年北京海淀区北京大学自主招生（强基计划）第13题5分2020~2021学年北京高三单元测试2020~2021学年北京高二单元测试正整数n⩾3称为理想的，若存在正整数1⩽k⩽n−1使得C n k−1，C n k，C n k+1构成等差数列，其中C n k=n!k!(n−k)!为组合数，则不超过2020的理想数个数为()A. 40B. 41C. 42D. 前三个答案都不对14、【来源】 2020年北京海淀区北京大学自主招生（强基计划）第14题5分2020~2021学年北京高二单元测试2020~2021学年北京高三单元测试在△ABC中，∠A=150°，已知D1，D2，⋯，D2020依次为边BC上的点，且有BD1=D1D2= D2D3=⋯=D2019D2020=D2020C．设角度∠BAD1=α1，∠D1AD=α2，⋯，∠D2019AD2020=α2020，∠D2020AC=α2021，则sin⁡α1sin⁡α3⋯sin⁡α2021的值为()sin⁡α2sin⁡α4⋯sin⁡α2020A. 11010B. 12020C. 12021D. 前三个答案都不对15、【来源】 2020年北京海淀区北京大学自主招生（强基计划）第15题5分函数√3+2√3cos⁡θ+cos2θ√5−2√3cos⁡θ+cos2θ+4sin2θ的最大值为（）．A. √2+√3B. 2√2+√3C. √2+2√3D. 前三个答案都不对16、【来源】 2020年北京海淀区北京大学自主招生（强基计划）第16题5分2020~2021学年北京高二单元测试2020~2021学年北京高三单元测试竞赛方程√x+5−4√x+1+√x+2−2√x+1=1的实根个数为（）．A. 1B. 2C. 3D. 前三个答案都不对17、【来源】 2020年北京海淀区北京大学自主招生（强基计划）第17题5分竞赛2020~2021学年北京高三单元测试2020~2021学年北京高二单元测试凸五边形ABCDE的对角线CE分别与对角线BD和AD交于点F和G，已知BF:FD=5:4，AG:GD= 1:1，CF:FG:GE=2:2:3，S△CFD和S△ABE分别为△CFD和△ABE的面积，则S△CFD:S△ABE的值等于（）．A. 8:15B. 2:3C. 11:23D. 前三个答案都不对18、【来源】 2020年北京海淀区北京大学自主招生（强基计划）第18题5分2020~2021学年北京高二单元测试2020~2021学年北京高三单元测试设p，q均为不超过100的正整数，则有有理根的多项式f(x)=x5+px+q的个数为()A. 99B. 133C. 150D. 前三个答案都不对19、【来源】 2020年北京海淀区北京大学自主招生（强基计划）第19题5分2020~2021学年北京高三单元测试2020~2021学年北京高二单元测试满足对任意n⩾1，都有a n+1=2n−3a n且严格递增的数列{a n}(n⩾1)的个数为（）．A. 0B. 1C. 无穷多个D. 前三个答案都不对20、【来源】 2020年北京海淀区北京大学自主招生（强基计划）第20题5分设函数f(x,y,z)=xx+y+yy+z+zz+x，其中x，y，z均为正实数，则（）．A. f(x,y,z)既有最大值也有最小值B. f(x,y,z)有最大值但无最小值C. f(x,y,z)有最小值但无最大值D. 前三个答案都不对1 、【答案】 D;2 、【答案】 C;3 、【答案】 A;4 、【答案】 A;5 、【答案】 C;6 、【答案】 C;7 、【答案】 B;8 、【答案】 A;9 、【答案】 B;10 、【答案】 D;11 、【答案】 A;12 、【答案】 B;13 、【答案】 C;14 、【答案】 D;15 、【答案】 D;16 、【答案】 D;17 、【答案】 A;18 、【答案】 B;19 、【答案】 B;20 、【答案】 D;。

2020年北京大学附中高考数学模拟试卷（一）（4月份）一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.若集合A={x∈R|3x+2＞0}，B={x∈R|x2-2x-3＞0}，则A∩B=（）A. {x∈R|x＜-1}B.C. D. {x∈R|x＞3}2.若函数是奇函数，则=（）A. B. C. D.3.已知平面向量，满足||=3，||=2，与的夹角为120°，若（+m）⊥，则实数m的值为（）A. 1B.C. 2D. 34.若某多面体的三视图（单位：cm）如图所示，则此多面体的体积是（）A. B. cm3 C. cm3 D. cm35.若复数z1=1+i，z2=1-i，则下列结论错误的是（）A. z1•z2是实数B. 是纯虚数C. |z|=2|z2|2D. z=4i6.若y=8x-log a x2（a＞0且a≠1）在区间（0，]上无零点，则实数a的取值范围是（）A. （1，+∞）B. （0，）∪（1，+∞）C. （，1）∪（1，+∞）D. （0，1）∪（4，+∞））7.如果把一个平面区域内两点间的距离的最大值称为此区域的直径，那么曲线|y|=2-x2围成的平面区域的直径为（）A. 2B. 4C.D.8.某校象棋社团组织中国象棋比赛，采用单循环赛制，即要求每个参赛选手必须且只须和其他选手各比赛一场，胜者得2分，负者得0分，平局两人各得1分．若冠军获得者得分比其他人都多，且获胜场次比其他人都少，则本次比赛的参赛人数至少为（）A. 4B. 5C. 6D. 7二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.抛物线x2=4y的焦点到双曲线x2的渐近线的距离为______．10.圆心为（1，0），且与直线y=x+1相切的圆的方程是______．11.已知实数x，y满足，若z=mx+y（m＞0）取得最小值的最优解有无数多个，则m的值为______．12.在平面直角坐标系xOy中，以Ox为始边的角θ的终边经过点，则sinθ=______，tan2θ=______．13.已知点A（-a，0），B（a，0）（a＞0），若圆（x-2）2+（y-2）2=2上存在点C使得∠ACB=90°，则a的最大为______．14.如果函数f（x）满足：对于任意给定的等比数列{a n}，{f（a n）}仍是等比数列，则称f（x）为“保等比数列函数”．在下列函数：①f（x）=2x②f（x）=x+1③f（x）=x2④f（x）=2x⑤f（x）=ln|x|中所有“保等比数列函数”的序号为______．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.函数的部分图象如图所示．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及解析式；（Ⅱ）设g（x）=f（x）-cos x，求函数g（x）在区间上的最小值．16.已知等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a2=b3=4，a6=b5=16．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式：（Ⅱ）求和：b1+b3+b5+…+b2n-1．17.为了参加某数学竞赛，某高级中学对高二年级理科、文科两个数学兴趣小组的同学进行了赛前模拟测试，成绩（单位：分）记录如下．理科：79，81，81，79，94，92，85，89文科：94，80，90，81，73，84，90，80（1）画出理科、文科两组同学成绩的茎叶图；（2）计算理科、文科两组同学成绩的平均数和方差，并从统计学的角度分析，哪组同学在此次模拟测试中发挥比较好；（参考公式：样本数据x1，x2，…，x n的方差：，其中为样本平均数）（3）若在成绩不低于90分的同学中随机抽出3人进行培训，求抽出的3人中既有理科组同学又有文科组同学的概率．18.已知函数f（x）=ln x-x+a，其中a∈R．（Ⅰ）如果曲线y=f（x）与x轴相切，求a的值；（Ⅱ）若a=ln2e，证明：f（x）≤x；（Ⅲ）如果函数在区间（1，e）上不是单调函数，求a的取值范围．19.过椭圆W：=1的左焦点F1作直线l1交椭圆于A，B两点，其中A（0，1），另一条过F1的直线l2交椭圆于C，D两点（不与A，B重合），且D点不与点（0，-1）重合．过F1作x轴的垂线分别交直线AD，BC于E，G．（Ⅰ）求B点坐标和直线l1的方程；（Ⅱ）求证：|EF1|=|F1G|．20.在四棱锥P-ABCD中，平面ABCD⊥平面PCD，底面ABCD为梯形，AB∥CD，AD⊥DC．（Ⅰ）求证：AB∥平面PCD；（Ⅱ）求证：AD⊥平面PCD；（Ⅲ）若点M是棱PA的中点，求证：对于棱BC上任意一点F，MF与PC都不平行．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：，B={x∈R|x＜-1或x＞3}；∴A∩B={x∈R|x＞3}．故选：D．先求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．本题考查不等式的解法，交集及其运算，属于基础题．2.答案：A解析：【分析】本题考查奇函数的定义，已知函数求值的方法，分段函数的概念，根据f（x）为奇函数即可求出，而根据x＞0时f（x）的解析式即可求出f（），从而可求出的值．【解答】解：∵x＞0时，，且f（x）为奇函数；∴．故选A．3.答案：D解析：【分析】本题考查了向量数量积的运算和定义、向量垂直与数量积的关系，属于基础题．由（+m）⊥，可得（+m）•=0，再利用数量积的运算和定义展开即可得出．【解答】解：∵||=3，||=2，与的夹角为120°，∴=cos120°==-3．∵（+m）⊥，∴（+m）•==32-3m=0，解得m=3．故选：D．4.答案：A解析：【分析】本题考查由三视图还原几何体并且求几何体的体积，本题解题的关键是看出几何体各个部分的长度，本题是一个基础题．由三视图知几何体是一个正方体减去一个三棱柱，正方体的棱长是1，三棱柱的底面是腰长是的直角三角形，高是1，做出两个几何体的体积，相减得到结果．【解答】解：由三视图知几何体是一个正方体减去一个三棱柱，正方体的棱长是1，∴正方体的体积是1×1×1=1，三棱柱的底面是腰长是的直角三角形，高是1，∴三棱柱的体积是=∴几何体的体积是1-=故选：A．5.答案：D解析：【分析】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．直接利用复数代数形式的乘除运算及复数模的求法逐一判断得答案．【解答】解：∵z1=1+i，z2=1-i，∴z1•z2=1-i2=2，故A正确；，故B正确；，，故C正确；，故D错误．故选：D．6.答案：C解析：解：若y=8x-log a x2（a＞0且a≠1）在区间（0，]上无零点，即8x=log a x2（a＞0且a≠1）在区间（0，]上无解，则函数f（x）=8x与h（x）=log a x2=2log a x，（a＞0且a≠1）在区间（0，]上没有交点，则当a＞1时，h（x）为增函数，此时两个函数在（0，]上没有交点，满足条件，当0＜a＜1时，当x=时，f（）==2，即A（，2），要使两个函数在（0，]上没有交点，则只需要当x=时，h（）＞f（）=2即可，此时2log a＞2，得log a＞1，得log a＞log a a，则＜a＜1，综上＜a＜1或a＞1，即实数a的取值范围是（，1）∪（1，+∞），故选：C．根据函数与方程之间的关系转化为两个函数f（x）=8x与h（x）=log a x2=2log a x，（a＞0且a≠1）在区间（0，]上没有交点，利用数形结合以及指数和对数函数的图象和性质进行求解即可．本题主要考查函数与方程的应用，结合条件转化为两个函数图象没有交点以及利用数形结合是解决本题的关键．7.答案：B解析：解：曲线|y|=2-x2，等价于，如图：由图形可知，上下两个顶点之间的距离最大：4，那么曲线|y|=2-x2围成的平面区域的直径为：4．故选：B．化简切线方程，在平面直角坐标系中画出图形，利用新定义判断求解即可．本题考查函数与方程的应用，曲线的图形的画法，考查数形结合以及计算能力．8.答案：C解析：解：由题意可得，冠军得分比其他参赛人员高，且获胜场次比其他人都少，所以冠军与其他匹配场次中，平均至少为3场，A选项：若最少4人，当冠军3次平局时，得3分，其他人至少1胜1平局，最低得3分，故A不成立，B选项：若最少5人，当冠军1负3平局时，得3分，其他人至少1胜1平，最低得3分，不成立，当冠军1胜3平局时，得5分，其他人至少2胜1平，最低得5分，不成立，故B不成立，C选项：若最少6人，当冠军2负3平局时，得3分，其他人至少1胜1平，最低得3分，不成立，当冠军1胜4平局时，得6分，其他人至少2胜1平，最低得5分，成立，故C成立，D选项：7＞6，故不为最少人数，故不成立，故选：C．由题意可得，冠军得分比其他参赛人员高，且获胜场次比其他人都少，所以冠军与其他匹配场次中，平均至少为3场，分别对于4，5，6分类讨论即可判断本题考查了逻辑推理问题，关键掌握题干的意义，属于中档题9.答案：解析：解：抛物线的交点为F（0，1），双曲线x2的一条渐近线方程为：y=x，即x-y=0，∴F到渐近线的距离为d==．故答案为：．根据点到直线的距离公式计算．本题考查了抛物线的性质，距离公式应用，属于中档题．10.答案：（x-1）2+y2=2解析：【解答】解：圆的半径为点（1，0）到直线y=x+1的距离，即r==，故圆的方程为（x-1）2+y2=2，故答案为：（x-1）2+y2=2．【分析】利用到直线的距离公式，求得圆的半径，从而得到圆的标准方程．本题主要考查点到直线的距离公式，圆的标准方程，求出半径，是解题的关键，属于基础题．11.答案：1解析：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=mx+y（m＞0）得y=-mx+z，∵m＞0，∴目标函数的斜率k=-m＜0．平移直线y=-mx+z，由图象可知当直线y=-mx+z和直线x+y+1=0平行时，此时目标函数取得最小值时最优解有无数多个，∴m=1，故答案为：1．作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，要使目标函数的最优解有无数个，则目标函数和其中一条直线平行，然后根据条件即可求出m的值．本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法．12.答案：-解析：解：∵以Ox为始边的角θ的终边经过点，∴x=，y=，r=1，∴sinθ==，∴tanθ==，∴tan2θ===-，故答案为：；-．利用任意角的三角函数的定义求得sin θ 和tanθ的值，再利用二倍角的正切公式求得tan2θ的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，二倍角的正切公式，属于基础题．13.答案：解析：解：设C（2+cosα，2+sinα），∴=（2++a，2+sinα），=（2+-a，2+sinα），∵∠ACB=90°，∴•=（2+cosα）2-a2+（2+sinα）2=0，∴a2=10+4（sinα+cosα）=10+8sin（α+）≤10+8=18，（sin（α+）=1时取等），∴0＜a≤3．故答案为：3．根据圆的参数方程设点C（2+cosα，2+sinα），再根据∠ACB=90°得•=0以及三角函数的性质可得．本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题．14.答案：①③解析：解：由等比数列性质知a n•a n+2=，对于①，f（a n）•f（a n+2）=2a n•2a n+2==f2（a n+1），∴①正确；对于②，f（a n）•f（a n+2）=（a n+1）•（a n+2+1）=a n•a n+2+（a n+a n+2）+1=+1+（a n+a n+2）≠f2（a n+1），∴②错误；对于③，f（a n）•f（a n+2）=•==f2（a n+1），∴③正确；对于④，f（a n）•f（a n+2）=•=≠=f2（a n+1），④错误；对于⑤，f（a n）•f（a n+2）=ln|a n|•ln|a n+2|≠ln||=f2（a n+1），⑤错误；综上，正确的命题序号为①③．故答案为：①③．根据新定义，结合等比数列的性质a n•a n+2=，对题目中的命题进行判断正误即可．本题考查了等比数列性质及应用问题，也考查了新定义的应用问题，是中档题．15.答案：解：（Ⅰ）由图可得A=1，，所以T=2π，ω=1．当时，f（x）=1，可得，∵，∴．∴．（Ⅱ）∵=．∵，∴．当，即x=0时，g（x）有最小值为．解析：（Ⅰ）由最值可求A，由周期可求ω，由时，f（x）取得最大值可求φ，进而可求f（x）；（Ⅱ）先用和差角公式化简g（x），然后结合正弦函数的性质可求函数g（x）的最小值及相应的x本题主要考查了由函数的图象求解正弦函数的解析式，解题的关键是熟练掌握正弦函数的性质并能灵活应用．16.答案：解：（Ⅰ）∵等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a2=b3=4，a6=b5=16．∴，解得a1=1，d=3，∴数列{a n}的通项公式a n=3n-2,．（Ⅱ）∵等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a2=b3=4，a6=b5=16．∴，解得=4，∴b2n-1==（q2）n-1=4n-1，，∴b1+b3+b5+…+b2n-1==,．解析：本题考查数列的通项公式、前n项和的求法，考查等差数列、等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，是中档题．（Ⅰ）由等差数列{a n}满足a2=4，a6=16，列方程组求出a1=1，d=3，由此能求出数列{a n}的通项公式．（Ⅱ）由等比数列{b n}满足b3=4，b5=16．列出方程组求出=4，从而b2n-1==（q2）n-1=4n-1，由此能求出b1+b3+b5+…+b2n-1．17.答案：解：（1）根据题意，画出理科、文科两组同学成绩的茎叶图，如图所示；（2）计算理科同学成绩的平均数是=×（79+79+81+81+85+89+92+94）=85，方差是=×[（79-85）2+（79-85）2+（81-85）2+（81-85）2+（85-85）2+（89-85）2+（92-85）2+（94-85）2]=31.25；计算文科同学成绩的平均数是=×（73+80+80+81+84+90+90+94）=84，方差是=×[（73-84）2+（80-84）2+（80-84）2+（81-84）2+（84-84）2+（90-84）2+（90-84）2+（94-84）2]=41.75；所以从统计学的角度分析，理科同学在此次模拟测试中发挥比较好；（3）成绩不低于90分的同学有理科2个，记为A、B，文科有3人，记为c、d、e；从中随机抽出3人，基本事件为ABc、ABd、ABe、Acd、Ace、Ade、Bcd、Bce、Bde、cde共10种，抽出的3人中既有理科组同学又有文科组同学是ABc、ABd、ABe、Acd、Ace、Ade、Bcd、Bce、Bde共9种，故所求的概率为P=．解析：（1）根据题意，画出理科、文科两组同学成绩的茎叶图即可；（2）计算理科、文科同学成绩的平均数与方差，比较得出结论；（3）得出成绩不低于90分的同学有理科2个，文科3个，用列举法求出基本事件数，求出对应的概率．本题考查了茎叶图的应用问题，也考查了平均数与方差、概率的计算问题，是基础题．18.答案：解：（I）求导．得f′（x）=-1=∵曲线y=f（x）与x轴相切，∴此切线的斜率为0．由f′（x）=0，解得x=1，又由曲线y=（x）与x轴相切，得f（1）=-1+a=0解得a=1．证明（II）由题意，f（x）=ln x-x+ln2e，令函数F（x）=f（x）-x=ln x-2x+ln2e求导，得F′（x）=-2=由F′（x）=0，得x=，当x变化时，F′（x）与F（x）的变化情况如下表所示：x（0，）（，+∞）F′（x）+ 0-F（x）增极大值减∴函数F（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）单调递减，故当x=时，F（x）max=F（）=ln-1+ln2e=0，∴任给x∈（0，+∞），F（x）=f（x）-x≤0，即f（x）≤x，（Ⅲ）由题意可得，g（x）=，∴g′（x）=，当g′（x）≥0时，在（1，e）上恒成立，函数g（x）单调递增，当g′（x）≤0时，在（1，e）上恒成立，函数g（x）单调递减，∴x-2ln x+1-2a≥0在（1，e）上恒成立，或x-2ln x+1-2a≤0在（1，e）上恒成立，∴2a≤x-2ln x+1在（1，e）上恒成立，或2a≥x-2ln x+1在（1，e）上恒成立，令h（x）=x-2ln x+1，∴h′（x）=1-=，由h′（x）=0，解得x=2，当x∈（1，2）时，h′（x）＜0，函数h（x）单调递减，当x∈（2，e）时，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增，∵h（1）=2，h（e）=e-2+1=e-1，∴h（x）max=h（1）=2∴h（x）min=h（2）=3-2ln2，∴2a≥2或2a≤3-2ln2，∴a≥1或a≤-ln2，∵函数在区间（1，e）上不是单调函数，∴-ln2＜a＜1，故a的取值范围为（-ln2，1）．解析：（Ⅰ）先求导，再根据导数的几何意义即可求出，（Ⅱ）构造函数F（x）=f（x）-x=ln x-2x+ln2e，根据导数和函数单调性的关系以及最值得关系，即可证明（Ⅲ）先求出函数g（x）在（1，e）上是单调函数a的范围即可，求导，分离参数构造函数，求出函数的最值即可．本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和最值，以及导数的几何意义，同时考查了运算求解的能力，属于难题．19.答案：（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意可得直线l1的方程为y=x+1．与椭圆方程联立，由可求．……………（4分）（Ⅱ）证明：当l2与x轴垂直时，C，D两点与E，G两点重合，由椭圆的对称性，|EF1|=|F1G|．当l2不与x轴垂直时，设C（x1，y1），D（x2，y2），l2的方程为y=k（x+1）（k≠1）．由消去y，整理得（2k2+1）x2+4k2x+2k2-2=0．则，．由已知，x2≠0，则直线AD的方程为，令x=-1，得点E的纵坐标．把y2=k（x2+1）代入得．由已知，，则直线BC的方程为，令x=-1，得点G的纵坐标．把y1=k（x1+1）代入得．==把，代入到2x1x2+3（x1+x2）+4中，2x1x2+3（x1+x2）+4=．即y E+y G=0，即|EF1|=|F1G|..…………（14分）解析：（Ⅰ）由题意可得直线l1的方程为y=x+1．与椭圆方程联立，求解B的坐标即可．（Ⅱ）当l2与x轴垂直时，C，D两点与E，G两点重合，由椭圆的对称性，|EF1|=|F1G|．当l2不与x轴垂直时，设C（x1，y1），D（x2，y2），l2的方程为y=k（x+1）（k≠1）．由消去y，利用韦达定理，结合直线AD的方程为，令x=-1，求出EG的坐标，然后转化求解即可．本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，考查设而不求转化思想的应用，分类讨论思想的应用．20.答案：证明：（Ⅰ）因为：AB∥CD，CD⊂平面PCD，AB⊄平面PCD，所以：AB∥平面PCD．（Ⅱ）法一：因为：平面ABCD⊥平面PCD，平面ABCD∩平面PCD=CD，AD⊥CD，AD⊂平面ABCD所以：AD⊥平面PCD．法二：在平面PCD中过点D作DH⊥CD，交PC于H，因为平面ABCD⊥平面PCD，平面ABCD∩平面PCD=CD，DH⊂平面PCD，所以DH⊥平面ABCD，因为AD⊂平面ABCD，所以DH⊥AD，又AD⊥PC，PC∩DH=H，所以AD⊥平面PCD．（Ⅲ）法一：假设存在棱BC上点F，使得MF∥PC，连接AC，取其中点N，在△PAC中，因为M，N分别为PA，CA的中点，所以MN∥PC，因为过直线外一点只有一条直线和已知直线平行，所以MF与MN重合，所以点F在线段AC上，所以F是AC，BC的交点C，即MF就是MC，而MC与PC相交，矛盾，所以假设错误，问题得证．法二：假设存在棱BC上点F，使得MF∥PC，显然F与点C不同，所以P，M，F，C四点在同一个平面α中，所以FC⊂α，PM⊂α，所以B∈FC⊂α，A∈PM⊂α，所以α就是点A，B，C确定的平面ABCD，且P∈α，这与P-ABCD为四棱锥矛盾，所以假设错误，问题得证．解析：（Ⅰ）利用线面平行判定定理即可证明AB∥平面PCD．（Ⅱ）法一：利用面面垂直的性质即可证明AD⊥平面PCD．法二：在平面PCD中过点D作DH⊥CD，交PC于H，利用面面垂直的性质可证DH⊥平面ABCD，进而利用线面垂直的性质可证DH⊥AD，再根据线面垂直的判定定理即可证明AD⊥平面PCD．（Ⅲ）法一：假设存在棱BC上点F，使得MF∥PC，连接AC，取其中点N，有MN∥PC，即可证明MF与MN重合，即MF就是MC，由MC与PC相交，矛盾，即可问题得证．法二：假设存在棱BC上点F，使得MF∥PC，显然F与点C不同，可得P，M，F，C四点在同一个平面α中，即B∈FC⊂α，A∈PM⊂α，α就是点A，B，C确定的平面ABCD，且P∈α，这与P-ABCD为四棱锥矛盾，即可得解假设错误，问题得证．本题主要考查了线面平行判定定理，面面垂直的性质，线面垂直的性质，线面垂直的判定定理，考查了数形结合思想和反证法的应用，属于中档题．。

2016 年北京大学优秀中学生数学金秋营试题学科专业能力测试一第一天2016 年 10 月 14 日下午 14:00— 17:301、在△ ABC内部有一点 P 满足∠ PAB=∠PCB=，L在AC上且BL平分∠ ABC，延长 PL 交△ APC的外接圆于 Q。

证明： BQ平分∠ AQC.2、对于f(的一个排列)={.}定义函数求所有的排列中，f() 的最小值。

3、求所有正整数a,b,c满足对任意实数u,v,0≤u＜v≤1. 存在正整数n, 使得{} ∈(u,v)成立 .4、设 p 为奇素数， p≡1(mod 4). 正整数 a,b 满足-p =1. 设 q 也为奇素数，(q,bp)=1.考虑同余方程-2a +1≡0(mod q). 证明下述 3 个论述等价 :（1） p 为模 q 的二次剩余；（2）同余方程存在一个解；（3）同余方程存在四个互不相同的解。

学科专业能力测试二第二天2016 年 10 月 15 日上午 09:00-12 ： 005、设函数 f(x)=, 且 x∈[-1,1]时，|f(x)|≤1，求|| 的最大可能值。

6、一个班里有 50 人，相互之间发短信，若在三个人 A,B,C 之间，仅有 A 给 B 发过短信， B 给 C 发过短信， C给 A 发过短信。

则称 A,B,C 三个人构成一个“循环”，试求这 50 个人中“循环”个数的最大可能值。

7、试求所有正整数 a, 使得对任意正整数 k , 都存在正整数 n, 使得 an+2016 是一个正整数的 k 次方。

8、对（ 0，1）中的实数称其中两个为相邻的，如果这两个数的十进制表示中只有一位不同，是否可以将（ 0，1）中的实数 10 染色，使得任意两个相邻的数颜色都不相同？【部分试题参考解答】第 6 题参考解答第 7 题参考解答。