用由集合关系求参数范围共23页

《子集、全集、补集》典型例题剖析题型1 集合关系的判断例1 指出下列各组集合之间的关系：（1）{15},{05}A xx B x x =-<<=<<∣∣； （2）{}21(1)0,,2nA x x xB x x n ⎧⎫+-=-===∈⎨⎬⎩⎭Z ∣∣；（3）{(,)0},{(,)0,00,0}A x y xy B x y x y x y =>=>><<∣∣或； （4）{}{}2*2*1,,45,A x x a a B x x a a a ==+∈==-+∈N N ∣∣.解析 （1）中集合表示不等式，可以根据范围直接判断，也可以利用数轴判断；（2）解集合A 中方程得到集合A ，再根据集合B 中n 分别为奇数、偶数得到集合B ，进行判断；（3）可以根据集合中元素的特征或者集合的几何意义判断；（4）将集合A 中x 关于a 的关系式改写成集合B 中的形式，再进行判断.答案 （1）方法一：集合B 中的元素都在集合A 中，但集合A 中有些元素（比如00.5-，）不在集合B 中，故BA .方法二：利用数轴表示集合A ，B ，如下图所示，由图可知BA .（2）{}20{0,1}A x x x =-==∣.在集合B 中，当n 为奇数时,1(1)02nx +-==，当n 为偶数时，1(1)1,{0,1},2n x B A B +-==∴=∴=.（3）方法一：由00000xy x y x y >>><<得，或，；由000x y x >><，或，0y <得0xy >，从而A B =.方法二：集合A 中的元素是平面直角坐标系中第三象限内的点对应的坐标，集合B 中的元素也是平面直角坐标系中第一、三象限内的点对应的坐标，从而A B =.（4）对于任意x A ∈，有221(2)4(2)5x a a a =+=+-++.**,2{3,4,5},a a x B ∈∴+∈∴∈N N .由子集的定义知，A B ⊆.设1B ∈，此时2451a a -+=，解得*2,a a =∈N .211a +=在*a ∈N 时无解，1A ∴∉. 综上所述，AB .名师点评 对于（5），在判断集合A 与B 的关系时可先根据定义判断A B ⊆，再进一步判断AB .判断A B 时，只要在集合B 中找出一个元素不属于集合A 即可.变式训练1 判断下列各组中两个集合的关系：（1）{3,},{6,}A xx k k B x x z z ==∈==∈N N ∣∣； （2）1,24k A xx k ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭Z ∣，1,42k B x x k ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭Z ∣. 答案 （1）A 中的元素都是3的倍数，B 中的元素都是6的倍数，对于任意的,63(2)z z z ∈=⨯N ，因为z ∈N ，所以2z ∈N ，从而可得6z A ∈，从而有B A ⊆.设63z =，则12z =∉N ，故3B ∉，但3A ∈，所以BA . （2）方法一：取,0,1,2,3,4,5,k =，可得1357911,,,,,,,444444A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭,13537,,,1,,,,24424B ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭, 易知A 中任一元素均为B 中的元素，但B 中的有些元素不在集合A 中，A B .方法二：集合A 的元素为121()244k k x k +=+=∈Z ，集合B 的元素为12()424k k x k +=+=∈Z ，而21k +为奇数，2k +为整数，A B ∴.点拨 判断两个集合的关系要先找到集合中元素的特征，再由特征判断集合间的关系. 题型2 根据集合间的包含关系求参数的值范围 类型（一）有限集的问题例2 已知{}2230,{10}A x x x B x ax =--==-=∣∣，若BA ，试求a 的值.解析： 首先将集合A ，B 具体化，在对集合B 具体化时，要注意对参数a 进行讨论，然后再由BA 求a 的值.答案 {}2230{1,3}A x x x =--==-∣，且BA ，（1）当B =∅时，方程10ax -=无解，故0a =；（2）当B ≠∅时，则1B a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭.若11a =-,即1a =-时，B A ； 若13a =，即13a =时，B A . 综上可知，a 的值为：10,1,3-.易错提示 特别要注意子集与真子集的区别，审清题意，由题目的具体条件确定真子集是否有可能为∅，这是个易错点.变式训练2 已知集合{}2320,{05,}A x x x B x x x =-+==<<∈N ∣∣，那么满足A C B 的集合C 的个数是（ ）A.1B.2C.3D.4 答案 B点拨 {}2320{1,2},{05,}{1,2,3,4}A x x x B x x x =-+===<<∈=N ∣∣，由题意集合C 可以是{123}，，，{124}，，.本题考查对元素个数及真子集的理解，一定要弄清子集和真子集的区别.变式训练3 把上题改为：已知集合{2320}A x x x =-+=∣,{05,}B xx x =<<∈N ∣，则满足A C B ⊆⊆的集合C 的个数是___________.答案 4点拨 {}2320{1,2},{05,}{1,2,3,4}A x x x B x x x =-+===<<∈=N ∣∣，由题意集合C 可以是{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4}，故答案为4.类型（二） 无限集的问题例 3 已知集合{04},{}A x x B x x a =<=<∣∣，若A B ，求实数a 的取值集合.解析 将数集A 在数轴上表示出来，再将B 在数轴上表示出来，使得A B ，即可求出a 的取值范围.答案 将数集A 表示在数轴上（如图），要满足AB ，表示数a 的点必须在表示4的点处或在表示4的点的右边.所以所求a 的集合为{4}aa ∣.易错提示 在解决取值范围问题时，一般借助数轴比较直观，但一定要注意端点的取舍问题，能取的用实心点，不能取的用空心点，此题易漏掉端点4，显然4a =符合题意.变式训练 4 已知集合{25},{121}A xx B x a x a =-=+-∣∣. （1）若B A ⊆，求实数a 的取值范围； （2）若AB ，求a 的取值范围.答案 （1）,B A D ⊆∴=∅①时，满足要求. 则121a a +>-即2a <；②B ≠∅时，则121,12,23215a a a a a +-⎧⎪+-⇒⎨⎪-⎩.综上可知：3a ≤. （2）121,,12215a a AB a a +-⎧⎪∴+-⎨⎪-⎩，，且12215a a +≤--≥与中的等号不能同时成立. 解这个不等式组，无解，a ∴∈∅，即不存在这样的a 使A B .题型3 集合的全集与补集问题例4 已知全集U ，集合 {1,3,5,7},{2,46},{1,4,6}UU A A B ===，，则集合B =____________.解析 因为{1,3,5,7},{2,4,6}UA A ==，所以{1,2,3,4,5,6,7}U =.又由已知{1,4,6}UB =，所以{2,3,5,7}B =.答案 27}3{5，，，变式训练5 设集合{1,2,3,4,5,6},{1,2,3},{3,4,5}U M N ===，则集合UM 和UN 共有的元素组成的集合为（ ）A.{2,3,4,5}B.{1,2,4,5,6}C.{1,2,6}D.{6} 答案 D点拨 由题意 {4,5,6},{1,2,6}U UM N ==，所以集合U M 和UN 共有的元素为6，组成的集合为{6}.例5 已知集合{}21A x a x a =<<+∣，集合{}15B x x =<<∣. （1）若A B ⊆，求实数a 的取值范围； （2）若RAB ，求实数a 的取值范围.解析 （1）可借助数轴求解；（2）先根据集合B 求出共补集RB ，再根据RAB 列出不等式求解.注意要考虑A 为空集的情况.答案（1）若A =∅，则21a a +≤，解得1a ≤-，满足题意； 若A ≠∅，则21a a <+，解得1a >-.由A B ⊆，可得2151a a +≤≥且，解得12a ≤≤.综上，实数a 的取值范围为{1, 12}aa a -∣或. （2）R {1, 5}B xx x =∣或. 若A ≠∅，则211a a a +≤≤-，则，此时RAB ，满足题意；若A ≠∅，则1a >-. 又RAB ，所以5211a a ≥+≤或，所以510a a ≥-<≤或.综上，实数a 的取值范围为{0, 5}aa a ∣或. 变式训练6 已知集合{12},{}A xx B x x a =<<=<∣∣，若RA B ⊆，求实数a 的取值范围.答案由{}B xx a =<∣，得R {}B x x a =∣.又RA B ⊆，所以1a ≤，故a 的取值范围是1a ≤.规律方法总结1.判断集合间关系的常用方法. （1）列举观察法.当集合中元素较少时，可列出集合中的全部元素，通过定义得出集合之间的关系. （2）集合元素特征法.首先确定集合的代表元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系.一般地，设{()},{()}A xp x B x q x ==∣∣，①若由()p x 可推出()q x ，则A B ⊆；②若由()q x 可推出()p x ，则B A ⊆；③若()p x ，()q x 可互相推出，则A B =；④若由力()p x 推不出()q x ，由()q x 也推不出()p x ，则集合A ，B 无包含关系.（3）数形结合法.利用venn 图、数轴等直观地判断集合间的关系，一般地，判断不等式的解集之间的关系，适合用画数轴法.2.根据集合间的包含关系求参数的值或范围的方法.已知两个集合之间的包含关系求参数的值或范围时，要明确集合中的元素，对子集是否为空集进行分类讨论，做到不漏解.一般地，若集合元素是一一列举的，依据集合间的关系，转化为解方程（组）求解，此时要注意集合中元素的互异性；若集合表示的是不等式的解集，常依据数轴转化为不等式（组）求解，此时需注意端点值能否取到.3.求补集的策略.（1）若所给集合是有限集，则先把集合中的元素列举出来，然后结合补集的定义来求解另外，针对此类问题，在解答过程中也常常借助Venn 图来求解，这样处理比较直观、形象，且解答时不易出错.（2）若所给集合是无限集，在解答有关集合补集问题时，则常借助数轴，先把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后根据补集的定义求解.核心素养园地目的 以一元二次方程和两个集合的关系为知识载体，求参数的范围为任务，借助根与系数的关系、解方程分类讨论思想等一系列数学思维活动，加强逻辑推理和数学运算核心素养水平一、水平二的练习.情境 已知集合{}{}22240,2(1)10A x x x B x x a x a =+==+++-=∣∣，若B A ⊆，求实数a 的取值范围.分析 易知集合{0,4}A =-，由B A ⊆的具体含义可知 {0}B B =∅=或或{}{}404B B =-=-或，，进而得解.答案 {}240{0,4}A x x x =+==-∣.,B A B ⊆∴=∅或{}{}0404}{B B B ==-=-或或，. 当B =∅时，()22[2(1)]410,1a a a ∆=+--<∴<-；当{}0B =时，由根与系数的关系知202(1)01a a =-+⎧⎨=-⎩，，解得1a =-. 当{}4B =-时，由根与系数的关系知2442(1),161,a a --=-+⎧⎨=-⎩无解； 当{0,4}B =-时，由根与系数的关系知2402(1),0 1.a a -+=-+⎧⎨=-⎩解得1a =. 综上可知，实数a 的取值范围为{1, 1}aa a -=∣或.。

185神州教育浅谈集合中参数取值范围问题董佳辽宁省实验中学东戴河分校随着新课改进程的加快，教材在内容及结构上也日益变化，以达到素质教育的要求。

高中数学应注重提高学生的数学思维能力，同时也是新课改中重要组成部分。

可是无论怎样变更，对于数学问题而言，解题方法永远是重要的一点，而众多问题中，含参问题的讨论则是高中数学的重中之重，它也是历年考试中的必考内容，并且对最近几年的试题分析情况来看，分值略有上升趋势。

纵观整个中学数学，参数问题是一条贯穿其中的脉络，参数与函数的定义域，值域(最值)相结合；与单调性结合；与方程问题相结合；与恒成立问题相结合。

可谓参数问题在高中数学中无处不在。

含参数问题的讨论，是训练和检查学生逻辑推理能力和分析问题能力的一种综合题型.求解这类问题的方法不复杂，但在一定程度上反映了学生数学素养的高低，因此，一直为人们所重视。

作为中学数学的重要内容，参数问题在课程教学中占有重要地位。

按照高中数学的教学脉络，这部分知识与集合、简易逻辑、函数思想、微积分应用、立体几何、数列等都有紧密的联系。

其中新课改之后，更是把导数中的参数问题的讨论和解决，变为重中之重。

学生们学习中的思维和视野角度都变宽泛了。

代数方法中关于参数问题解析和讨论，大多运用分离参数方法，多和分类讨论思想相结合。

在运用分类讨论思想的时候，少有著作详细分析常规的步骤。

在代数分析的时候，大多要注意导函数图象的大致形状，导函数对应方程的根，以及要注重根的大小的比较。

教者们在讲解时也因为知识点多，方法多，与其他知识交汇点众多，从而使得学生接受起来困难重重。

关于参数讨论，多和函数思想结合，这方的著作例如白建华[3]的《函数与方程思想在解题中的运用》提出了可以把函数中参数问题转换成方程有解问题来解决。

集合是高中数学的重要基础知识，它贯穿于整个中学数学教学之中，并且作为一种数学语言和工具在其他数学问题中有广泛的运用。

在高考中，它也是年年必考内容之一。

【知识回顾】根据集合关系求参数取值范围的步骤：（1）化简：将给定的集合加以化简，若有不确定因素则需分类讨论； （2）画轴：画出数轴以便明确集合之间的关系； （3）列式：根据数轴及所给集合关系列出不等式（组）； （4）求解：对所列出的不等式（组）进行求解。

【例1】已知集合A={y|y>a 2+1或y<a},B={y|2≤y ≤4}，若A ∩B ≠φ，求实数a 的取值范围。

点评：应用集合关系求解参数范围的关键及注意点：（1）关键：解答此类问题的关键是利用两集合关系，列出所求参数满足的不等式（组）。

（2)注意点：当题目中含有条件B B A A B A ==Y I ,，注意将关系等价转化，如A B A =I B A ⊆⇔。

【例2】已知集合}3{+≤≤=a x a x A ,1{-<=x x B 或}5>x 。

（1）若∅=B A I ，求实数a 的取值范围；（2）若B B A =Y ，求实数a 的取值范围。

解析：∅≠+≤≤=}3{a x a x A Θ,1{-<=x x B 或}5>x ， （1）若∅=B A I ,如图4，则有⎩⎨⎧≤+-≥531a a ，解得21≤≤-a 。

（2）若B B A =Y ，如图，则B A ⊆，∴5,45,13>-<-⇒>-<+a a a a 或或 【例3】已知{|||},{||2}43|A x x a B x x <>＝－＝－．若A ∪B ＝R ，求实数a 的取值范围． 解：4{|}4A x a x a =<<Q －＋，B ＝{x|x<－1或x>5}，且A B R U ＝， ∴4145a a -<-⎧⎨+>⎩，13a ∴<<，∴实数a 的取值范围是(1,3)．针对训练：1．已知集合{}21P x x =≤，{}M a =．若P M P =U ，则a 的取值范围是（ ）A ．(],1-∞-B ．[)1,+∞C ．[]1,1-D ．(][),11,-∞-+∞U 【答案】C考点：集合的运算.2．如果集合=A {}0242=+-x mx x 中只有一个元素，则实数m 的值为（ ） A.0 B. C.2 D.0或2 【答案】D【解析】试题分析：因为集合=A {}0242=+-x mx x 中只有一个元素，所以方程2mx 420x -+=只有一个根，当0m =时显然符合题意，当0m ≠时，由0∆=得2m =，因此实数m 的值为0或2，故选D.考点：1、集合的表示；2、方程的根与系数之间的关系.3．已知集合{}{}2|30,1,A x x x B a =-<=，且A B I 有4个子集，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(0,3)B ．(0,1)(1,3)UC ．(0,1)D ．(,1)(3,)-∞+∞U 【答案】B.【考点】本题主要考查集合的关系．4．已知集合{}{}{}2310,9140,52A x x B x x x C x m x m =<<=-+<=-<<． （1）求(),A B C A B R IU ；（2）()x C x A B ∈∈⋂若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．【答案】（1）{}|37A B x x ⋂=<<，(){}710C A B x x x =<≥R U 或 （2）(],2-∞ 【解析】试题分析：（1） 由题问题为求集合的交并补运算，可先解出集合B ，再由集合运算的定义求解，注意求解中可借助数轴进行（数形结合）。

由集合间的关系求参数问题一、问题提出在数学中，我们经常遇到这样一类问题：给定两个集合A和B，以及它们之间的某些关系，要求我们求出集合B中满足给定关系的元素参数。

这类问题在各类数学模型中有着广泛的应用，因此，掌握好解决这类问题的思路和方法是非常重要的。

二、解题思路解决这类问题的关键在于理清集合间的关系，并根据关系式求出参数。

具体的解题思路如下：1. 认真审题，理解题意，找出已知条件和所求问题。

2. 分析两个集合之间的关系，找出关系式，并求出参数。

3. 验证结果是否符合题意，并进行调整和优化。

三、方法应用根据解题思路，我们可以使用以下几种方法来解决这类问题：1. 列举法：对于简单的问题，可以直接列举出符合条件的元素。

2. 公式法：对于有明确关系式的题目，可以使用相应的数学公式来求解参数。

3. 代数法：通过建立方程或方程组，利用代数方法求解参数。

4. 图形法：对于与图形有关的题目，可以使用图形法来求解参数。

四、实例分析下面通过一个具体的实例来演示如何应用上述方法解决实际问题。

假设有集合A={1, 2, 3, 4}和B={x|x^2 - 4x < 0}，已知A是B 的真子集，求参数x的值。

解题思路：1. 认真审题，理解题意：已知集合A是集合B的真子集，求参数x的值。

2. 分析两个集合之间的关系，得到关系式：B是A的真子集 =>B中所有元素均在A中，且B中可能没有元素。

3. 根据关系式得到参数x的限制条件：x^2 - 4x < 0 => x < 0且 x > 4。

4. 将限制条件代入已知条件中得到方程：{1, 2, 3} - {x|x < 0} = {1, 2}，求解得到x = -2。

5. 验证结果：将x = -2代入集合B中得到{x|x^2 - 4x < 0}={-2, -1, 0, 1, 2}，符合集合的定义和性质。

答案：参数x的值为-2。

五、总结通过上述解题过程可以看出，解决由集合间的关系求参数问题需要认真审题、分析关系、建立方程或方程组并求解参数。

2023年初高中衔接素养提升专题讲义第八讲集合的基本运算（精讲）（原卷版）【知识点透析】一、交集1、文字语言：对于两个给定的集合A ，B ，由属于A 又属于B 的所有元素构成的集合，叫做A ，B 的交集，记作A ∩B ，读作“A 交B ”2、符号语言：A ∩B ＝{x |x ∈A 且x ∈B }3、图形语言：阴影部分为A ∩B4、性质：A ∩B ＝B ∩A ，A ∩A ＝A ，A ∩∅＝∅∩A ＝∅，如果A ⊆B ，则A ∩B ＝A5、解题思路：单个数字交集找相同，不等式的交集画数轴，不同集合高度画不同。

二、并集1、文字语言：对于两个给定的集合A ，B ，由两个集合的所有的元素组成的集合，叫做A 与B 的并集，记作A ∪B ，读作“A 并B ”2、符号语言：A ∪B ＝{x |x ∈A 或x ∈B }3、符号语言：阴影部分为A ∪B4、性质：A ∪B ＝B ∪A ，A ∪A ＝A ，A ∪∅＝∅∪A ＝A ，如果A ⊆B ，则A ∪B ＝B .5、解题思路：两个集合所有元素集中在一起，但是重复元素只写一次，要满足集合中的互异性三、补集1、全集：在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集．记法：全集通常记作U .2、补集（1）文字语言：如果给定集合A 是全集U 的一个子集，由U 中不属于A 的所有元素构成的集合，叫做A 在U 中的补集，记作A C U .（2）符号语言：}|{A x U x x A C U ∉∈=且（3）符号语言：（4）性质：A ∪∁U A ＝U ；A ∩∁U A ＝∅；∁U (∁U A )＝A .【注意】并不是所有的全集都是用字母U 表示，也不是都是R，要看题目的。

四、利用交并补求参数范围的解题思路1、根据并集求参数范围：=⇒⊆ A B B A B ，若A 有参数，则需要讨论A 是否为空集；若B 有参数，则≠∅B 2、根据交集求参数范围：=⇒⊆ A B A A B若A 有参数，则需要讨论A 是否为空集；若B 有参数，则≠∅B 【知识点精讲】题型一并集、交集、补集的运算【例题1】（2022·浙江·杭十四中高一期中）设全集{}1,2,3,4,5,6U =，集合{}{}1,3,5,2,3,4,5S T ==，则S T ⋃=（）A ．{}3,5B ．{}2,4C ．{}1,2,3,4,5D ．{}1,2,3,4,5,6【例题2】（2021春•山西大同期中）设集合{|1}A x x =<，{|22}B x x =-<<，则(A B = )A ．{|21}x x -<<B ．{|2}x x <C ．{|22}x x -<<D ．{|1}x x <【例题3】．（2022·江苏·高二期末）已知集合{}1,2A =，{}21,2B a a =-+，若{}1A B ⋂=，则实数a 的值为（）A ．0B ．1C ．2D ．3【例题4】．（2022·陕西·宝鸡市陈仓高级中学高三开学考试（理））已知集合{}21A x x =-<≤，{}0B x x a =<≤，若{|23}A B x x =-<≤ ，A B = （）A ．{|20}x x -<<B ．{|01}x x <≤C ．{|13}x x <≤D ．{|23}x x -<≤【例题5】．（2021·北京昌平区·高二期末）已知全集{0,1,2,3,4,5}U =，集合{0,1,2,3}A =，{3,4}B =，则()U A B = ð___________.【例题6】．（2022·四川南充高一课时检测）已知全集{}16A x x =≤≤，集合{}15B x x =<<，则A B =ð（）．A ．{}5x x ≥B ．{1x x ≤或}5x ≥C ．{1x x =或}56x <≤D ．{1x x =或}56x ≤≤【例题7】．41．（2021·陕西商洛市·镇安中学高一期中）已知集合{}25A x x =-≤≤，{}121B x m x m =+≤≤-．（1）若4m =，求A B ；（2）若A B =∅ ，求实数m 的取值范围．【变式1】．（2022·河北邢台高二期末）若集合{}|24M x x =-<≤，{}|46N x x =≤≤，则A ．M N ⊆B ．{}4M N =C ．M N ⊇D ．{}26|M N x x =-<< 【变式2】．（2022·江苏常州高三开学考试）设集合{}11A x x =-<<，{}220B x x x =-≤，则A B ⋃=（）A ．(]1,2-B ．()1,2-C ．[)0,1D ．(]0,1【变式3】（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（文））已知集合{}1,1,2M =-，{}2N x x x =∈=R ，则M N ⋃=（）A ．{}1B ．{}1,0-C ．{}1,0,1,2-D ．{}1,0,2-【变式4】．（2022·浙江·三模）已知集合{}{}25,36P x x Q x x =≤<=≤<，则P Q = （）A ．{}25x x ≤<B ．{}26x x ≤<C ．{}35x x ≤<D ．{}36x x ≤<题型二并集、交集、补集综合运算及性质的应用【例题8】．（2022·河南洛阳高一课时检测）已知全集U ，集合{}1,3,5,7,9A =，{}2,4,6,8U C A =，{}1,4,6,8,9U C B =，则集合B =（）A ．{}1,5,7B ．{}3,5,7,9C ．{}2,3,5,7,9D ．{}2,3,5,7【例题9】．（2022·重庆·西南大学附中模拟预测）已知集合{}|10A x ax =-=，{}*|14B x x =∈≤<N ，且A B B ⋃=，则实数a 的所有值构成的集合是（）A ．11,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭B ．11,23⎧⎫⎨⎬⎩⎭C ．111,,23⎧⎫⎬⎭D ．110,1,,23⎧⎫⎨⎬⎩⎭【例题10】．（湖北省“宜荆荆恩”2022-2023学年高三上学期起点考试）已知集合(,1][2,)A =-∞⋃+∞，{|11}B x a x a =-<<+，若A B =R ，则实数a 的取值范围为（）A ．(1,2)B ．[1,2)C ．(1,2]D ．[1,2]【例题11】．（2022·云南昆明一中高一检测）已知A ，B 都是非空集合，(){}&A B x x A B =∈⋃且()x A B ∉ ．若{}02A x x =<<，{}0B x x =≥，则&A B =（）A ．{}0x x ≥B ．{}02x x <<C ．{0x x =或}2x <-D ．{0x x =或}2x ≥【例题12】．（2021·江苏高一专题练习）已知集合{}42A x x =-<<，{}110B x m x m m =--<<->，．（1）若A B B ⋃=，求实数m 的取值范围；（2）若A B ⋂≠∅，求实数m 的取值范围．【变式1】（2022·辽宁沈阳高一课前预习）集合{}2320A x x x =-+=，{}2220B x x ax =-+=，若A B A ⋃=，求实数a 的取值范围.【变式2】．（2023·浙江高二开学考试）已知R a ∈，设集合{}22210A x x ax a =-+-<，{}2B x x =>，（1）当2a =时，求集合A ．（2）若R A B ⊆ð，求实数a 的取值范围．【变式3】．（2022·四川乐山市高一单元测试）已知集合{}211A x a x a =-<<+，{}01B x x =≤≤．(1)在①1a =-，②0a =，③1a =这三个条件中任选一个作为已知条件，求A B ；(2)若R A B A ⋂=ð，求实数a 的取值范围．题型三Venn 图的应用【例题13】．（2021·贵州省思南中学高三月考（理））已知全集U =R ，集合{}23,A y y x x R ==+∈，{}24B x x =-<<，则图中阴影部分表示的集合为（）A ．[]2,3-B ．()2,3-C ．(]2,3-D ．[)2,3-【例题14】．（2021·全国高三其他模拟）已知全集U x y ⎧⎫=∈=⎨⎩Z ，集合{}13M x x =∈-<Z ，{}4,2,0,1,5N =--，则下列Venn 图中阴影部分表示的集合为（）A ．{}0,1B ．{}3,1,4-C ．{}1,2,3-D ．{}1,0,2,3-【例题15】．（2021·山东济南·高一期中）国庆期间，高一某班35名学生去电影院观看了《长津湖》、《我和我的父辈》这两部电影中的一部或两部.其中有23人观看了《长津湖》，有20人观看了《我和我的父辈》则同时观看了这两部电影的人数为（）A ．8B ．10C ．12D ．15【变式】．（2021·广东·广州外国语学校高一检测）某公司共有50人，此次组织参加社会公益活动，其中参加A 项公益活动的有28人，参加B 项公益活动的有33人，且A ，B 两项公益活动都不参加的人数比都参加的人数的三分之一多1人，则只参加A 项不参加B 项的有（）A ．7人B ．8人C ．9人D ．10人。

集合间的基本关系例题讲解说明 所选例题题型、难易程度顺序不分先后题型一 根据集合间的基本关系求参数的值或取值范围对于两个集合A 与B ,A 或B 中含有待定的参数（字母）,若已知集合A 与B 的关系,求参数的值或取值范围时,常采用分类讨论和数形结合的方法.（1）分类讨论:若,在未指明集合A 非空时,应分为和两种情况B A ⊆∅=A ∅≠A 进行讨论.（2）数形结合:在对这种情况进行参数的确定时,要借助于数轴来完成.将∅≠A 两个集合在数轴上画出来,注意分清端点处的实心和空心,根据两个集合之间的基本关系,列不等式（组）求解.例1. 已知集合,,若,求实数的{}43≤≤-=x x A {}112+≤≤-=m x m x B A B ⊆m 取值范围.分析:需要知道的是由集合间的基本关系可以确定参数的取值范围. 本题在分类讨论时要用到下面的结论:关于集合为空集的重要结论（1）若集合,则;{}∅=≤≤=n x m x A n m >（2）若集合,则≥;{}∅=<<=n x m x A m n （3）若集合或,则≥. {}∅=<≤=n x m x A {}∅=≤<=n x m x A m n 最后,实数的取值范围最好写成集合的形式.m 解:∵,A B ⊆{}112+≤≤-=m x m x B ∴分为两种情况:①当时,,解之得:;∅=B 112+>-m m 2>m ②当时,则有:,解之得:≤≤2.∅≠B ⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≥-+≤-41312112m m m m 1-m 综上,实数的取值范围为. m {}1-≥m m例2. 已知集合,,若,求实数⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎩⎨⎧<->+=0102063x x x A {}121-≤≤+=m x m x B A B ⊆m 的取值范围.解:解不等式组得: ⎩⎨⎧<->+0102063x x 52<<-x ∴{}52<<-=x x A ∵,∴分为两种情况:A B ⊆①当时,,解之得:;∅=B 121->+m m 2<m ②当时,则有:,解之得:2≤.∅≠B ⎪⎩⎪⎨⎧<-->+-≤+51221121m m m m 3<m 综上,实数的取值范围是. m {}3<m m 例3. 设集合,,若,则实数{}042=+=x x x A (){}011222=-+++=a x a x x B A B ⊆的值取值范围为__________.a 分析:在进行分类讨论时要做到不重不漏,特别注意不能漏掉对的讨论.解∅=B 决本题还要明白以下两点:（1）空集是任何集合的子集;（2）空集是任何非空集合的真子集.解:{}{}4,0042-==+=x x x A ∵,A B ⊆(){}011222=-+++=a x a x x B ∴分为两种情况:（1）当时,方程没有实数根∅=B ()011222=-+++a x a x ∴,解之得:; ()[]()0141222<--+=∆a a 1-<a （2）当时,则有或或∅≠B {}0=B {}4-=B {}4,0-=B ①当或时,方程有两个相等的实数根 {}0=B {}4-=B ()011222=-+++a x a x ∴,解之得: ()[]()0141222=--+=∆a a 1-=a ∴符合题意;{}0=B②当时,由根与系数的关系定理可得: {}4,0-=B ()⎩⎨⎧=--=+-014122a a 解之得:.1=a 综上,实数的值取值范围为. a {}11-≤=a a a 或★例4. 已知集合,.{}52≤≤-=x x A {}121-≤≤+=m x m x B （1）若,求实数的取值范围;A B ≠⊂m （2）若,求实数的取值范围.B A ⊆m 分析:（1）本题中集合A 为非空集合,因为空集是任何非空集合的真子集,所以要对含参集合B 进行分类讨论;（2）由可知集合B 为非空集合.B A ⊆解:（1）∵,A B ≠⊂{}121-≤≤+=m x m x B ∴分为两种情况:①当时,,解之得:;∅=B 121->+m m 2<m ②当时,则有:或∅≠B ⎪⎩⎪⎨⎧<--≥+-≤+51221121m m m m ⎪⎩⎪⎨⎧≤-->+-≤+51221121m m m m 解之得:2≤≤3.m 综上所述,实数的取值范围为; m {}3≤m m （2）∵,且B A ⊆∅≠A ∴,则有:解之得:实数不存在.∅≠B ⎪⎩⎪⎨⎧≥--≤+-<+51221121m m m m m ∴不存在实数,使得.m B A ⊆注意:在第（1）问中,当时,结果是不正确的.如下图的数轴∅≠B ⎪⎩⎪⎨⎧<-->+-≤+51221121m m m m所示,应有:或.这一点雅慧你要特别注意了.⎪⎩⎪⎨⎧<--≥+-≤+51221121m m m m ⎪⎩⎪⎨⎧≤-->+-≤+51221121m m m m m m + 1 22m 1在第（2）问中,虽然得出,但不是,应是,见∅≠B 121-≤+m m 121-<+m m 如下图所示的数轴,应从整体上把握题目.鉴于此题的重要性和代表性,雅慧,建议你整理此题,并尝试独立解决.例5. 已知集合,,若,求实数的取{}51<<=x x A {}3423-<<-=a x a x C A C ⊆a 值范围.解:∵,∴分为两种情况:A C ⊆①当时,≥,解之得:≤1;∅=C 23-a 34-a a ②当时,则有:,解之得:≤2.∅≠C ⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥--<-5341233423a a a a a <1综上所述,实数的取值范围是.a {}2≤a a 例6. 已知集合.{}52≤≤-=x x A （1）若,,求实数的取值范围;A B ⊆{}121-≤≤+=m x m x B m （2）若,,求实数的取值范围;B A ⊆{}126-≤≤-=m x m x B m （3）若,,求实数的取值范围.B A ={}126-≤≤-=m x m x B m 解:（1）∵,,∴分为两种情况:A B ⊆{}121-≤≤+=m x m x B ①当时,,解之得:;∅=B 121->+m m 2<m ②当时,则有:∅≠B,解之得:2≤≤3. ⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥+-≤+51221121m m m m m 综上所述,实数的取值范围是; m {}3≤m m （2）∵,,∴B A ⊆{}52≤≤-=x x A ∅≠B 则有:,解之得:3≤≤4⎪⎩⎪⎨⎧≥--≤--<-51226126m m m m m ∴实数的取值范围是; m {}43≤≤m m （3）∵B A =∴,无解,即不存在实数,使得. ⎩⎨⎧=--=-51226m m m B A =题型二 集合间关系的判断判断集合间关系的常用方法（1）列举观察法当集合中元素较少时,可以列出两个集合中的全部元素,然后通过定义得出两个集合之间的关系.（2）集合元素特征法首先确定集合的代表元素是什么,弄清集合代表元素的特征,再利用集合元素的特征判断关系.一般地,设,: (){}x p x A =(){}x q x B =①若由可推出,则；()x p ()x q B A ⊆②若由可推出,则;()x q ()x p A B ⊆③若与可互相推出,则。

专题01 含参数与新定义的集合问题【技巧总结】一．解决与集合有关的创新题的对策：（1）分析含义，合理转化，准确提取信息是解决此类问题的前提．剥去新定义、新法则的外表，利用我们所学集合的性质将陌生的集合转化为我们所熟悉的集合，陌生的运算转化为我们熟悉的运算，是解决这类问题的突破口，也是解决此类问题的关键．（2）根据新定义（新运算、新法则）的要求，“照章办事”，逐条分析、验证和运算，其中要注意应用集合的有关性质．（3）对于选择题，可结合选项，通过验证、排除、对比、特值法等进行求解或排除错淏选项，当不满足新定义的要求时，只需通过举反例来说明，以达到快速判断结果的目的．二．解决与集合有关的参数问题的对策（1）如果是离散型集合，要逐个分析集合的元素所满足的条件，或者画韦恩图分析．（2）如果是连续型集合，要数形结合，注意端点能否取到．（3）在解集合的含参问题时，一定要注意空集和元素的互异性．（4）由集合间关系求解参数的步骤：①弄清两个集合之间的关系，谁是谁的子集；②看集合中是否含有参数，若A B，且A中含参数应考虑参数使该集合为空集的情形；③将集合间的包含关系转化为不等式(组)或方程(组)，求出相关的参数的取值范围或值.（5）经常采用数形结合的思想，借助数轴巧妙解答.【题型归纳目录】题型一：根据元素与集合的关系求参数 题型二：根据集合中元素的个数求参数 题型三：根据集合的包含关系求参数 题型四：根据两个集合相等求参数 题型五：根据集合的交、并、补求参数 题型六：集合的创新定义 【典型例题】题型一：根据元素与集合的关系求参数 例1．（2022·全国·高一课时练习）已知集合{}212,4,2A a a a =+-，3A -∈，则=a （ ） A ．1- B ．3-或1 C ．3 D ．3-【答案】D【解析】∵3A -∈，∴234a a -=+或32a -=-．若234aa -=+，解得1a =-或3a =-．当1a =-时，2423a a a +=-=-，不满足集合中元素的互异性，故舍去；当3a =-时，集合{}12,3,5A =--，满足题意，故3a =-成立．若32a -=-，解得1a =-，由上述讨论可知，不满足题意，故舍去． 综上所述，3a =-． 故选：D ．例2．（2022·全国·高一专题练习）已知A 是由0，m ，m 2﹣3m +2三个元素组成的集合，且2∈A ，则实数m 为（ ）A ．2B ．3C ．0或3D ．0，2，3均可【答案】B【解析】∵2∈A ，∴m ＝2 或 m 2﹣3m +2＝2．当m ＝2时，m 2﹣3m +2＝4﹣6+2＝0，不合题意，舍去； 当m 2﹣3m +2＝2时，m ＝0或m ＝3，但m ＝0不合题意，舍去． 综上可知，m ＝3． 故选：B ．例3．（2022·全国·高一课时练习）设全集{}1,2,3,4,5A =，{}240B x x x m =-+=，若1AB ∉，则B 等于（ ） A ．{}1,3- B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,5【答案】C【解析】因为1AB ∉，所以1B ∈，所以140m -+=，解得3m =，所以{}{}24301,3B xx x =-+==∣，故选：C.例4．（多选题）（2022·江苏·扬中市第二高级中学高一开学考试）已知Z a ∈，{(,)|3}A x y ax y =-≤且，(2,1)A ∈，(1,4)A -∉，则a 取值可能为（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】BCD【解析】选项A ：当1a =-时，213--≤，143--≤，故(2,1),(1,4)A A ∈-∈，A 错误； 选项B ：当0a =时，13-≤，(4)3-->，故(2,1),(1,4)A A ∈-∉，B 正确； 选项C ：当1a =时，213-≤，1(4)3-->，故(2,1),(1,4)A A ∈-∉，C 正确； 选项D ：当2a =时，2213⨯-≤，21(4)3⨯-->，故(2,1),(1,4)A A ∈-∉，D 正确.故答案为：BCD.题型二：根据集合中元素的个数求参数 例5．（2022·江苏·高一单元测试）已知集合{}2410A x mx x =++=有两个子集，则m 的值是__________． 【答案】0或4【解析】当0m =时，1{}4A =-，满足题意 当0m ≠时，由题意得1640m ∆=-=，4m = 综上，0m =或4m = 故答案为：0或4例6．（2022·江苏·高一）已知{1}A x x m =∈-<Z∣，若集合A 中恰好有5个元素，则实数m 的取值范围为（ ） A ．45m < B ．45m <C ．34m <D ．34m <【答案】D【解析】由题意可知{}1,0,1,2,3A =-，可得34m <. 故选：D例7．（2022·全国·高一课时练习）已知R a ∈，集合{}2R 320A x ax x =∈-+=.(1)若A 是空集，求实数a 的取值范围； (2)若集合A 中只有一个元素，求集合A ；(3)若集合A 中至少有一个元素，求实数a 的取值范围. 【解析】（1）若A 是空集，则关于x 的方程2320ax x -+=无解，此时0a ≠，且980a ∆=-<，所以98a >，即实数a 的取值范围是9,8⎛⎫+∞⎪⎝⎭. （2）当0a =时，23A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，符合题意； 当0a ≠时，关于x 的方程2320axx -+=应有两个相等的实数根，则980a ∆=-=，得98a =，此时43A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，符合题意. 综上，当0a =时23A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭；当98a =时43A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭. （3）当0a =时，23A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，符合题意； 当0a ≠时，要使关于x 的方程2320axx -+=有实数根，则980a ∆=-≥，得98a ≤. 综上，若集合A 中至少有一个元素，则实数a的取值范围为9,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 例8．（2022·江苏·高一单元测试）已知集合{}2310C x ax x =-+=，(1)若C 是空集，求a 的取值范围；(2)若C 中至多有一个元素，求a 的值，并写出此时的集合C ； (3)若C 中至少有一个元素，求a 的取值范围.【解析】(1)若C 是空集，则0940a a ≠⎧⎨∆=-<⎩，解得94a >；(2)若C 中至多有一个元素当0a =时，13C ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，符合 当0a ≠时，若940a ∆=-<，解得94a >，此时C =∅若940a ∆=-=，得94a =，此时23C ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭. 综合得：当0a =时，13C ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭；当94a >，C =∅；当94a =，23C ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭. (3)若C 中至少有一个元素当0a =时，13C ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，符合 当0a ≠时，若940a ∆=-≥，解得94a ≤且0a ≠综合得94a ≤. 题型三：根据集合的包含关系求参数例9．（2022·上海·高一专题练习）集合A ={x |x2=1}，B ={x |ax =1}，若B ⊆A ，则实数a 的值为（ ） A ．1 B ．-1 C ．±1 D ．0或±1【答案】D【解析】A ={x |x2=1}={1，-1}.当a =0时，B =∅，满足B ⊆A ；当a ≠0时，B =1a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，因为B ⊆A ，所以1a =1或1a =-1，即a =±1.综上所述，a =0或a =±1.故选：D例10．（2022·全国·高一课时练习）已知集合{}1,4,M x =，{}21,N x =，若N M ⊆，则实数x 组成的集合为（ ） A ．{}0 B ．{}2,2- C ．2,0,2D ．2,0,1,2【答案】C【解析】因为N M ⊆，所以2x x =，解得0x =，1x =或24x=，解得2x =±，当0x =时，{}1,4,0M =，{}1,0N =，N M ⊆，满足题意. 当1x =时，{}1,4,1M =，不满足集合的互异性. 当2x =时，{}1,4,2M =，1,4N ，若N M ⊆，满足题意. 当2x =-时，{}1,4,2M =-，1,4N ，若N M ⊆，满足题意.故选：C.例11．（多选题）（2022·全国·高一单元测试）设{}29140A x xx =-+=，{}10B x ax =-=，若A B B =，则实数a 的值可以为（ ）A ．2B ．12C ．17D ．0【答案】BCD【解析】集合2{|9140}{2A x x x =-+==，7}，{|10}B x ax =-=，又AB B =，所以B A ⊆，当0a =时，B =∅，符合题意， 当0a ≠时，则1{}B a =，所以12a =或17a =， 解得12a =或17a =， 综上所述，0a =或12或17, 故选：BCD例12．（2022·湖南·株洲二中高一开学考试）已知集合{}{}24,3,56,3,A m B m =-=，若B A ⊆，则实数m =___________. 【答案】2-或3 【解析】B A ⊆，∴24m =或256m m -=， 解得2m =或2m =-或3m =，将m 的值代入集合A 、B 验证，知2m =不符合集合的互异性， 故2m =-或3. 故答案为：2-或3.例13．（2022·全国·高一专题练习）集合{}1,2A =-，{|20}B x ax =-=，若B A ⊆，则由实数a 组成的集合为____ 【答案】{}2,1,0-.【解析】集合{}1,2A =-，{|20}B x ax =-=，且B A ⊆，B ∴=∅或{}1B =-或{}2B =，0,1,2a ∴=-．则实数a 组成的集合为{}2,1,0-.故答案为：{}2,1,0-.例14．（2022·上海·高一专题练习）集合21242{}{}A B m B A ⊆＝﹣，，，＝，，，则m ＝___． 【答案】2±【解析】∵集合21242{}{}A B m B A -==⊆，，，，，， ∴24m=，解得2m =±．故答案为：±2．例15．（2022·全国·高一专题练习）已知集合{}2230A x x x =--=，{}20B x ax =-=，且B A ⊆，则实数a 的值为___________. 【答案】2a =-或23a =或0【解析】已知集合{}{}22301,3A x xx =--==-，{}20B x ax =-=，当0,a B ==∅，满足B A ⊆； 当0a ≠时，{}220B x ax a ⎧⎫=-==⎨⎬⎩⎭，因为B A ⊆，故得到21a =-或23a =，解得2a =-或23a =； 故答案为：2a =-或23a =或0.例16．（2022·江苏·高一单元测试）已知集合{|4A x x =≥或}5x <-，{}|13B x a x a =+≤≤+，若B A ⊆，则实数a 的取值范围_________．【答案】{|8a a <-或}3a ≥【解析】用数轴表示两集合的位置关系，如上图所示，或要使B A ⊆，只需35a +<-或14a +≥，解得8a <-或3a ≥． 所以实数a 的取值范围{|8a a <-或}3a ≥. 故答案为：{|8a a <-或}3a ≥例17．（2022·全国·高一课时练习）已知m 为实数，(){}210A x x m x m =-++=，{}10B x mx =-=．(1)当A B ⊆时，求m 的取值集合； (2)当B A 时，求m 的取值集合.【解析】（1）因为()()()211x m x m x x m -++=--，所以当1m =时，{}1A =，当1m ≠时，{}1,A m =． 又A B ⊆，所以1m =，此时{}1B =，满足A B ⊆． 所以当A B ⊆时，m 的取值集合为{}1． （2）当1m =时，{}1A B ==，B A 不成立； 当0m =时，{}1,0A =，B =∅，B A 成立；当1m ≠且0m ≠时，1B m ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，{}1,A m =，由B A ，得1=m m，所以1m =-．综上，m 的取值集合为{}0,1-．例18．（2022·全国·高一专题练习）已知M ＝{x |2≤x ≤5}，N ＝{x |a +1≤x ≤2a ﹣1}．(1)若M ⊆N ，求实数a 的取值范围； (2)若M ⊇N ，求实数a 的取值范围．【解析】(1)∵M ⊆N ，∴12215a a +≤⎧⎨-≥⎩，∴a ∈∅； (2)①若N ＝∅，即a +1＞2a ﹣1，解得a ＜2时，满足M ⊇N ． ②若N ≠∅，即a ≥2时，要使M ⊇N 成立，则12215a a +≥⎧⎨-≤⎩，解得1≤a ≤3，此时2≤a ≤3．综上a ≤3．例19．（2022·全国·高一）已知集合{|32}A x x =-≤≤，集合{|131}B x m x m =-≤≤-． (1)当3m =时，求AB ；(2)若A B ⊆，求实数m 的取值范围 【解析】(1)当3m =时，{|28}B x x =-≤≤，{|32}{|28}{|22}A B x x x x x x ∴⋂=-≤≤⋂-≤≤=-≤≤；(2)由A B ⊆，则有：13312m m -≤-⎧⎨-≥⎩，解得：41m m ≥⎧⎨≥⎩， 即4m ≥，∴实数m 的取值范围为{|4}m m ≥．例20．（2022·福建省龙岩第一中学高一开学考试）设集合{|}R A x xx ∈+=240＝，R R {|()}B x x a x a a ∈=∈222110＝+＋+-， .(1)若0a =，试求AB ；(2)若B A ⊆，求实数a 的取值范围． 【解析】（1）由240xx +=，解得0x =或4x =-，}{,A =-40.当0a =时，得xx -+2210＝，解得12x =--x =12-{}1212B =--，；∴{}041212AB =---，，，.（2）由（1）知，}{,A =-40，B A ⊆， 于是可分为以下几种情况．当A B =时，}{,B =-40，此时方程()x a x a=222110+＋+-有两根为0，4-，则()()()a a a a ⎧∆=+⎪=⎨⎪-+=-⎩-->2224141010214-，解得1a =. 当B A ≠时，又可分为两种情况． 当B ≠∅时，即{}0B =或{}B -4＝， 当{}0B =时，此时方程()x a x a=222110+＋+-有且只有一个根为0，则22241410(0)()1a a a --⎧∆=+⎨-==⎩，解得1a =-， 当{}B -4＝时，此时方程()x a x a=222110+＋+-有且只有一个根为4-，则()2222414104()()()8110a a a a ⎧∆=+⎪⎨-=--=-⎪⎩＋+-，此时方程组无解， 当B =∅时，此时方程()x a x a=222110+＋+-无实数根，则2241410()()a a --∆+<=，解得1a <-.综上所述，实数a 的取值为}{a a a ≤-=11或.例21．（2022·江苏·高一）已知集合{}{}0,,,M x x x R N x x a x R =>∈=>∈． (1)若M N ⊆，求实数a 的取值范围； (2)若M N ⊇，求实数a 的取值范围； (3)若RRMN ，求实数a 的取值范围．【解析】(1)M N ⊆，0a ∴；(2)M N⊇，0a ∴；(3){|0RM x x =，}x R ∈，{|RN x x a=，}x R ∈，且RRMN ，0a ∴>．例22．（2022·全国·高一课时练习）已知集合2{|60}M x xx =+-=，{|20,R}N y ay a =+=∈，若满足MN N =的所有实数a 构成集合A ，则A =____，A的子集有____个．【答案】 20,1{,}3- 8 【解析】由MN N =得N M⊆，而{}3,2M =-，当0a =时，N =∅符合题意； 当0a ≠时，23y a =-=-或22y a =-=， ∴23a =或1a =-， ∴2{0,1,}3A =-， ∴A 的子集个数为328=.故答案为：20,1{,}3-；8.题型四：根据两个集合相等求参数例23．（2022·全国·高一课时练习）已知{}1,,A x y =，{}21,,2B x y =，若A B =，则x y -=（ ） A ．0 B ．1C ．14D ．32【答案】C【解析】因为A B =，所以22x x y y ⎧=⎨=⎩或22x y y x =⎧⎨=⎩，解得00x y =⎧⎨=⎩或10x y =⎧⎨=⎩或1214x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 又集合中的元素需满足互异性，所以1214x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则111244x y -=-=． 故选：C. 例24．（2022·全国·高一课时练习）已知集合{}21,,0,,b a a a b a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭，则20222023a b +=______． 【答案】1【解析】易知0a ≠．∵{}21,,0,,b a a a b a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭，∴0ba =，即0b =，∴21a=，1a =±．又由集合中元素的互异性，知1a ≠， ∴1a =-， 故()2022202220232023101ab +=-+=．故答案为：1例25．（2022·全国·高一课时练习）已知{}21,,3A a =，{}22,1,1B a a=+-.若A B =，则=a ______. 【答案】2 【解析】因为A B =所以22213a a a ⎧=+⎨-=⎩解之得：2a =故答案为：2例26．（2022·浙江丽水·高一期末）已知集合2{|0}A x xax b =++=，{3}=B ，若A B =，则实数a b +=_______【答案】3【解析】因为{3}A B ==， 所以方程20xax b ++=有且只有一个实数根3x =，所以240390a b a b ⎧-=⎨++=⎩，解得6,9a b =-=.所以3a b += 故答案为：3题型五：根据集合的交、并、补求参数例27．（2022·全国·高一课时练习）设a ∈R ，b ∈R ，全集U =R ，{}A x a x b =<<， {2UA x x =≤-或}3x ≥，则a b +=______.【答案】1【解析】因为U =R ，{}A x a x b =<<，所以{UA x x a =≤或}x b ≥.又{2UA x x =≤-或}3x ≥，所以2a =-，3b =，所以1a b +=.故答案为：1.例28．（2022·全国·高一专题练习）已知集合M ={1，2，3}，{}240,N x x x a a M=-+=∈，若M N ≠∅，则a 的值为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．1或2【答案】C【解析】当1a =时，由2410x x -+=，得23=x {23,23}N =+，不满足题意；当2a =时，由2420x x -+=，得22x =即{22,22}N =，不满足题意；当3a =时，由2430x x -+=，得1x =或3x =，即{1,3}N =，满足题意.故选：C例29．（2022·全国·高一课时练习）已知集合{}260M x x x =--=，{}N x x a =<，若MN ≠∅，则实数a 的取值范围是（ ）A ．{}2a a >-B ．{}2a a ≥-C ．{}3a a >D ．{}3a a ≥【答案】A 【解析】因为{}{}2602,3M x xx =--==-，又{}N x x a =<，所以当2a ≤-时，M N ⋂=∅，要使MN ≠∅，则2a >-，即{}2a a >-．故选：A ．例30．（2022·全国·高一）设全集{}22,4,U a =，集合{}4,2A a =+，{}UA a =，则实数a 的值为（ ） A ．0 B ．-1 C ．2 D ．0或2【答案】A【解析】由集合{}4,2A a =+知，24a +≠，即2a ≠，而{}UA a =，全集{}22,4,U a =，因此，222a aa ⎧=⎨+=⎩，解得0a =，经验证0a =满足条件，所以实数a 的值为0. 故选：A例31．（2022·全国·高一课时练习）已知集合{}|23A a a x a =≤≤+,{1B x x =<-或}5x >，若()R A B B =，求实数a 的取值范围．【解析】由()RA B B ⋂=，得()R B A ⊆，从而A B =∅．①若A =∅，则23a a >+，解得3a >；②若A ≠∅，在数轴上标出集合A ，B ，如图所示，则213523a a a a ≥-⎧⎪+≤⎨⎪≤+⎩，解得122a -≤≤． 综上，实数a 的取值范围是1232a a a ⎧⎫-≤≤>⎨⎬⎩⎭∣或． 例32．（2022·全国·高一课时练习）设集合{}12A x x =-≤≤，{}21B x m x =<<，{1C x x =<-或}2x >．(1)若AB B =，求实数m 的取值范围；(2)若B C ⋂中只有一个整数，求实数m 的取值范围． 【解析】（1）因为AB B =，所以B A ⊆．①当B ≠∅时，由B A ⊆，得2121m m <⎧⎨≥-⎩，解得1122m -≤<； ②当B =∅，即12m ≥时，B A ⊆成立．综上，实数m 的取值范围是12m m ⎧⎫≥-⎨⎬⎩⎭． （2）因为B C ⋂中只有一个整数，所以B ≠∅，且322m -≤<-，解得312m -≤<-， 所以实数m的取值范围是312m m ⎧⎫-≤<-⎨⎬⎩⎭． 例33．（2022·全国·高一课时练习）设集合{}25A x x =-≤≤，{}121B x m x m =+≤≤-． (1)若B A ⊆，求实数m 的取值范围；(2)当集合A 中的x ∈Z 时，求集合A 的非空真子集的个数；(3)若B ≠∅，且不存在元素x ，使得x A ∈与x B ∈同时成立，求实数m 的取值范围．【解析】（1）当121m m +>-，即2m <时，B =∅，满足B A ⊆．当121m m +≤-，即2m ≥时，要使B A ⊆，只需12215m m +≥-⎧⎨-≤⎩，即23m ≤≤． 综上，实数m 的取值范围是{}3m m ≤．（2）当x ∈Z 时，{}2,1,0,1,2,3,4,5A =--，共8个元素， 所以集合A 的非空真子集的个数为822254-=．（3）由B ≠∅，得121m m +≤-，即2m ≥． 又不存在元素x ，使得x A ∈与x B ∈同时成立， 所以15m +>或212m -<-，即4m >或12m <-． 所以实数m 的取值范围是{}4m m >．例34．（2022·全国·高一课时练习）已知集合{}52A x x =-<≤． (1)若{}B x x m =≥，A B B ⋃=，求实数m 的取值范围； (2)若{|2B x x m =<-或}x m >，AB =R ，求实数m 的取值范围．【解析】（1）由A B B ⋃=，知A B ⊆，所以5m ≤-，即实数m 的取值范围为{}5m m ≤-．（2）由题意，得252m m ->-⎧⎨≤⎩，解得32m -<≤，即实数m 的取值范围为{}32m m -<≤． 例35．（2022·全国·高一课时练习）已知集合{}2|8120A x x x =-+=.(1)若集合{}21,23B a a =+-，且A B =，求a 的值；(2)若集合{}2|60C x axx =-+=，且A ∩C ＝C ，求a 的取值范围.【解析】（1）由x 2﹣8x +12＝0得x ＝2或x ＝6，∴A ＝{2，6}， 因为A ＝B ，所以221223223616a a a a +=⎧-=⎧⎨⎨-=+=⎩⎩或，解得15529a a a a =⎧=±⎧⎪⎨⎨==±⎪⎩⎩， 故a ＝5.（2）因为A ∩C ＝C ，所以C ⊆A.当C ＝∅时，△＝1﹣24a ＜0，解得a 124＞；当C ＝{2}时，1﹣24a ＝0且22a ﹣2+6＝0，此时无解； 当C ＝{6}时，1﹣24a ＝0.且62a ﹣6+6＝0，此时无解或a ＝0.综上，a 的取值范围为1024a a a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭或. 例36．（2022·全国·高一课时练习）已知集合{}45A x x =<<，{}121B x m x m =+≤≤+，{0C x x =≤或}2x ≥．(1)若A B B ⋃=，求实数m 的取值范围；(2)若BC B =，求实数m 的取值范围．【解析】（1）∵A B B ⋃=，∴A B ⊆．在数轴上标出集合A ，B ，如图1所示，则由图1可知21514m m +≥⎧⎨+≤⎩，解得23m ≤≤． ∴实数m 的取值范围为[]2,3．（2）∵BC B =，∴B C ⊆．当B =∅，即121m m +>+，即0m <时，满足B C ⊆． 当B ≠∅，即0m ≥时，在数轴上标出集合B ，C ， 若B C ⊆，则有两种情况，如图2、图3所示． 由图2可知210m +≤，解得12m ≤-，又0m ≥， ∴无解；由图3可知12m +≥，解得m 1≥．综上，实数m 的取值范围是m 1≥或0m <．例37．（2022·江苏·高一单元测试）已知集合{}14A x x =<≤，{}12B x a x a =+≤≤. (1)当2a =时，求A B ；(2)若RBA =∅，求实数a 的取值范围.【解析】（1）当2a =时，{}34B x x =≤≤，A B ={}|14x x <≤.（2）A =R{|1x x ≤或4x >}，当B =∅时，B A ⋂=∅R，此时12a a >+，解得1a <；当B ≠∅时，若B A ⋂=∅R ，则241121a a a a ≤⎧⎪>⎨⎪≥⎩，＋，＋，解得12a ≤≤.综上，实数a 的取值范围为{}2a a ≤.例38．（2022·全国·高一课时练习）若集合{}2R 30A x xmx =∈-+=，{}2R 0B x x x n =∈-+=，且{}0,1,3AB =，则m =______，n =______．【答案】 4 0【解析】若0A ∈，则30=，显然不成立，所以0A ∉； 所以0B ∈，即2000n -+=，得0n =，此时{}{}200,1B x R xx =∈-==，所以3A ∈，即23330m -+=，得4m =．故答案为：4；0题型六：集合的创新定义例39．（2022·全国·高一课时练习）已知A ，B 都是非空集合，(){}&A B x x A B =∈⋃且()x A B ∉．若{}02A x x =<<，{}0B x x =≥，则&A B =（ ）A ．{}0x x ≥B ．{}02x x <<C ．{0x x =或}2x <-D ．{0x x =或}2x ≥【答案】D【解析】由题意，得{}0A B x x ⋃=≥，{}02A B x x ⋂=<<， 故{&0A B x x ==或}2x ≥． 故选：D例40．（2022·全国·高一课时练习）已知集合{}2,3,4,5,6A =，(){},,,B x y x A y A x y A =∈∈-∈，则集合B 中元素的个数为______.【答案】6【解析】因为x A ∈，yA ，x y A -∈，所以4x =时，2y =；5x =时，2y =或3y =，6x =时，2y =或3或4.()()()()()(){}4,2,5,2,5,3,6,2,6,3,6,4B =，所以集合B 中元素的个数为6.故答案为：6.例41．（2022·全国·高一课时练习）戴德金分割，是指将有理数集Q 划分为两个非空子集A 与B ，且满足A B ⋃=Q ，A B =∅，A 中的每一个元素都小于B 中的每一个元素．请给出一组满足A 中无最大元素且B 中无最小元素的戴德金分割______． 【答案】{}Q πA x x =∈<，{}Q πB x x =∈≥（答案不唯一）【解析】以无理数分界写出一组即可，如{}Q πA x x =∈<，{}Q πB x x =∈≥．（答案不唯一）； 故答案为：{}Q πA x x =∈<，{}Q πB x x =∈≥．（答案不唯一）例42．（2022·全国·高一课时练习）已知集合A 中的元素全为实数，且满足：若a A ∈，则11a A a+∈-． (1)若3a =-，求出A 中其他所有元素．(2)0是不是集合A 中的元素？请你取一个实数()3a A a ∈≠-，再求出A 中的元素．(3)根据（1）（2），你能得出什么结论？【解析】（1）由题意，可知3A -∈，则()()131132A +-=-∈--，11121312A ⎛⎫+- ⎪⎝⎭=∈⎛⎫-- ⎪⎝⎭，1132113A +=∈-，12312A +=-∈-， 所以A 中其他所有元素为12-，13，2．（2）假设0A ∈，则10110A +=∈-，而当1A ∈时，11a a +-不存在，假设不成立，所以0不是A 中的元素．取3a =，则13213A +=-∈-，()()121123A +-=-∈--，11131213A ⎛⎫+- ⎪⎝⎭=∈⎛⎫-- ⎪⎝⎭，1123112A +=∈-， 所以当3A ∈时，A 中的元素是3，2-，13-，12．（3）猜想：A 中没有元素1-，0，1；A 中有4个元素，其中2个元素互为负倒数，另外2个元素也互为负倒数．由（2）知0，1A ∉，若1A -∈，则()()11011A +-=∈--，与0A ∉矛盾， 则有1A -∉，即1-，0，1都不在集合A 中．若实数1a A ∈，则12111a a A a +=∈-，12131211111111111a a a a A a a a a +++-===-∈+---， 13143121111111111a a a a A a a a a ⎛⎫+- ⎪+-⎝⎭====-∈-+⎛⎫-- ⎪⎝⎭，1415114*********a a a a a A a a a -+++===∈---+． 结合集合中元素的互异性知，A 中最多只有4个元素1a ，2a ，3a ，4a 且131a a =-，241a a =-．显然12a a ≠，否则11111a a a +=-，即211a =-，无实数解．同理，14a a ≠，即A 中有4个元素．所以A 中没有元素1-，0，1；A 中有4个元素，其中2个元素互为负倒数，另外2个元素也互为负倒数．例43．（2022·上海·高一专题练习）已知集合A 为非空数集，定义：{}|,,S x x a b a b A ==+∈，{}|,,T x x a b a b A ==-∈.(1)若集合{}13A =，，求证：2S ∈，并直接写出集合T ； (2)若集合{}1234,,,A x x x x =，1234x x x x <<<，且T A =，求证：1423x x x x +=+.【解析】（1）根据题意，由集合}3{1A =，，计算集合{246}S =，，，{02}T =，，所以2S ∈；（2）由于1234{}A x x x x =，，，，1234x x x x <<<，且T A =， 所以T 中也只包含4个元素，即213141{0}T xx x x x x =---，，，， 剩下的元素满足2143x x x x -=-，即1423x x x x +=+例44．（2022·全国·高一单元测试）给定数集A ，若对于任意a ，b A ∈，有a b A +∈，a b A -∈，则称集合A 为闭集合.(1)判断集合{}14,2,0,2,4A =--，{}3,Z B x x k k ==∈是否为闭集合，并给出证明；(2)若集合C ，D 为闭集合，则C D ⋃是否一定为闭集合？请说明理由；(3)若集合C ，D 为闭集合，且C R ，D R ，证明：()C D ⋃ R .【解析】（1）因为14A ∈，12A ∈，1426A +=∉，所以1A 不是闭集合； 任取x ，yB ∈，设3x m =，3y n =，m ，Z n ∈，则()333x y m n m n +=+=+且Z m n +∈，所以x y B +∈，同理，x y B -∈，故B 为闭集合；（2）结论：不一定；不妨令{}2,C x x k k ==∈Z ，{}3,D x x k k ==∈Z ，则由（1）可知， D 为闭集合，同理可证C 为闭集合，因为2，3C D ∈⋃，235C D +=∉⋃，因此，C D ⋃不一定是闭集合，所以若集合C ，D 为闭集合，则C D ⋃不一定为闭集合； （3）不妨假设R C D ⋃=，则由C R ，可得存在R a ∈且a C ，故a D ∈.同理，存在R b ∈且b D ∉，故b C ∈，因为R a b C D +∈=⋃，所以a b C +∈或a b D +∈.若a b C +∈，则由C 为闭集合且b C ∈，得()a a b b C =+-∈，与a C 矛盾.若a b D +∈，则由D 为闭集合且a D ∈，得()b a b a D =+-∈，与b D ∉矛盾， 综上，R C D ⋃=不成立，故()C D ⋃ R .。

专题2 根据集合间的关系求参数根据参数的取值讨论集合间的包含关系★★★○○○○表示关系文字语言记法集合间的基本关系子集集合A中任意一个元素都是集合B中的元素A⊆B或B⊇A真子集集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于AA B或B A 相等集合A的每一个元素都是集合B的元素，集合B的每一个元素也都是集合AA⊆B且B⊆A⇔A＝B空集是任何非空集合的真子集∅B且B≠∅集合间的常见包含关系为子集、真子集和相等。

在集合中含有参数时要讨论参数的取值来确定集合间的关系。

（1）认清元素的属性,解决集合问题时，认清集合中元素的属性（是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件. （2）注意元素的互异性.在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性"而导致解题错误.(3）防范空集。

在解决有关A∩B＝∅,A⊆B等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定先考虑∅是否成立，以防漏解.若集合A={x|2a+1≤x≤3a−5},B={x|3≤x≤22},则能使A⊆B成立的所有a的集合是（）A。

{a|1≤a≤9} B. {a|6≤a≤9} C. {a|a≤9}D。

ϕ【答案】C1．【广西省钦州市钦州港经济技术开发区中学2018届高三理科数学开学考试试卷】设集合A=｛x|1＜x＜2}，B=｛x｜x＜a}，若A∩B=A,则a 的取值范围是（ ）A. {a ｜a≤2}B. {a|a≤1}C. ｛a|a≥1｝ D 。

{a|a≥2} 【答案】D【解析】∵设A =｛x |1〈x 〈2}，B =｛x |x 〈a ｝,A∩B=A 得A ⊆B ，∴结合数轴,可得2⩽a ，即a ⩾2 故选：D2．【河北省衡水中学2018届高三上学期一轮复习周测数学(文）试题】若集合{}{}2|60,|10P x xx T x mx =+-==+=，且T P ⊆，则实数m 的可能值组成的集合是__________．【答案】11,,023⎧⎫-⎨⎬⎩⎭【解析】由题意得：{}2,3P =-，由T P ⊆易知,当T =∅时， 0m =；当{}2T =-时， 12m =-；当{}3T =时， 13m =，则实数m 的可能值组成的集合是11,,023⎧⎫-⎨⎬⎩⎭,故答案为11,,023⎧⎫-⎨⎬⎩⎭.3．【浙江省诸暨市牌头中学高中数学人教A 版必修1巩固练习：1。

集合参数求取值范围技巧集合参数是数学中的一个重要概念，它可以用来描述一组具有共同特征的对象。

在求取值范围时，我们可以运用一些技巧来简化计算过程，提高效率。

本文将介绍一些常用的技巧，帮助读者更好地理解和应用集合参数求取值范围。

一、使用数轴表示集合参数在求取值范围时，我们可以使用数轴来表示集合参数的取值范围。

首先，我们需要确定集合参数的定义域，即参数可以取到的值。

然后，我们可以在数轴上标出这些取值点，并根据集合参数的性质来确定其取值范围。

例如，假设集合参数为x，定义域为实数集。

我们可以在数轴上标出x的取值点，并根据题目给出的条件来确定x的取值范围。

这样，我们就可以清晰地看到x的取值范围在数轴上的位置。

二、利用集合参数的性质进行求解在求取值范围时，我们可以利用集合参数的性质来简化计算过程。

例如，如果集合参数满足某种特定的性质，我们可以根据这个性质来确定其取值范围。

举个例子，假设集合参数为x，定义域为正整数集。

如果题目给出的条件是x是一个偶数，那么我们可以利用偶数的性质来确定x的取值范围。

由于偶数是可以被2整除的数，所以x的取值范围可以表示为{x | x = 2n, n ∈ 正整数}。

三、利用集合参数的关系进行求解在求取值范围时，我们还可以利用集合参数之间的关系来简化计算过程。

例如，如果题目给出了多个集合参数之间的关系，我们可以利用这些关系来确定它们的取值范围。

举个例子，假设集合参数x和y之间满足x > y，且x和y的定义域都是实数集。

那么我们可以根据这个关系来确定x和y的取值范围。

由于x > y，所以x的取值范围应该大于y的取值范围。

四、注意集合参数的边界条件在求取值范围时，我们还需要注意集合参数的边界条件。

边界条件是指集合参数取值范围的最大值和最小值。

我们需要根据题目给出的条件来确定集合参数的边界条件，并在求解过程中加以考虑。

举个例子，假设集合参数x的定义域为[0, 10]，且题目给出的条件是x > 5。

ʏ张文伟集合是高考的必考知识,高考主要考查两个方面:一是集合的概念与性质,二是集合与其他数学知识的综合运用㊂高考对常用逻辑用语的考查主要涉及四种命题的关系㊁命题的否定等㊂下面就集合与常用逻辑用语的常见典型考题,举例分析,供大家参考㊂题型一:集合的基本概念用描述法表示集合,首先要搞清楚集合中代表元素的含义,再看元素的限制条件,明白集合的类型,是数集㊁点集还是其他类型的集合㊂集合中元素的互异性常常容易忽略,特别是含有字母的集合,在求出字母的值后,要注意检验集合中元素是否满足互异性㊂分类讨论的思想方法常用于解决集合问题㊂例1 集合x ɪN *12xɪZ {)中含有的元素个数为( )㊂A.4 B .6 C .8 D .12解:因为集合x ɪN *12xɪZ {)中的元素表示的是被12整除的正整数,所以集合中的元素为1,2,3,4,6,12㊂应选B ㊂题型二:集合之间的基本关系空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集,在涉及集合关系时,必须优先考虑空集的情况,否则会造成漏解;已知两个集合间的关系求参数时,关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系,进而转化为参数所满足的关系㊂常用数轴㊁V e n n 图来直观解决这类问题㊂例2 (多选题)已知集合A =-13,12{},B ={x |a x +1=0},且B ⊆A ,则实数a 的可能取值为( )㊂A.-3 B .-2 C .0 D .3解:本题考查集合之间的关系㊂由B ⊆A ,B ={x |a x +1=0},可得B =-13{}或B =12{}或B =⌀㊂当B =-13{}时,由-13a +1=0,解得a =3;当B =12{}时,由12a +1=0,解得a =-2;当B =⌀时,可得a =0㊂综上可得,实数a 的可能取值为3,0,-2㊂应选B C D ㊂题型三:集合的运算问题集合是由元素组成的,从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提㊂有些集合是可以化简的,先化简再研究其关系并进行运算,可使问题简单明了,易于解决㊂集合之间的运算要注意数形结合思想的应用,常用的数形结合形式有数轴㊁坐标系和V e n n 图㊂例3 (1)已知全集U ={-2,-1,0,1,2,3},集合A ={-1,0,1},B ={1,2},则∁U (A ɣB )=( )㊂A .{-2,3}B .{-2,2,3}C .{-2,-1,0,3}D .{-2,-1,0,2,3}(2)已知集合A ={x ||x |<3,x ɪZ },B ={x ||x |>1,x ɪZ },则A ɘB =( )㊂A .⌀B .{-3,-2,2,3}C .{-2,0,2}D .{-2,2}解:(1)由A ={-1,0,1},B ={1,2},可得A ɣB ={-1,0,1,2}㊂由全集U ={-2,-1,0,1,2,3},可得∁U (A ɣB )={-2,3}㊂应选A ㊂(2)由已知得集合A ={x |-3<x <3,x ɪZ }={-2,-1,0,1,2},B ={x |x <-1或x >1,x ɪZ },所以A ɘB ={-2,2}㊂应选D ㊂题型四:利用集合的运算求参数的取值范围根据集合的运算结果求参数时,可先把符号语言转化为文字语言,然后应用数形结合法求解㊂例4 (1)已知集合A ={x |x 2-3x <0),B ={1,a },且A ɘB 有4个子集,则实数a 的取值范围是( )㊂A.(0,3)B .(0,1)ɣ(1,3)C .(0,1)D .(-ɕ,1)ɣ(3,+ɕ)(2)已知集合A ={x |-2ɤx ɤ5},B ={x |m -2ɤx ɤ2m -1}ʂ⌀,若A ɣB =A ,则实数m 的取值范围为㊂解:(1)因为A ɘB 有4个子集,所以A ɘB 中有2个不同的元素,所以a ɪA ,所以a 2-3a <0,解得0<a <3㊂又因为a ʂ1,所以实数a 的取值范围是(0,1)ɣ(1,3)㊂应选B ㊂(2)由A ɣB =A 知B ⊆A ,在数轴上画出集合A 与B 的关系,如图1所示㊂图1因为B ʂ⌀,所以2m -1ȡm -2,m -2ȡ-2,2m -1ɤ5,ìîíïïï解得0ɤm ɤ3,即实数m 的取值范围为[0,3]㊂题型五:集合中的新定义问题集合新定义问题的 三定 :一定元素,确定已知集合中所含的元素,利用列举法写出所有元素;二定运算,根据要求及新定义,将所求集合的运算转化为集合的交集㊁并集与补集的基本运算,或转化为数的有关运算;三定结果,根据新定义,利用列举法或描述法写出所求集合中的所有元素㊂例5 定义集合的商集运算为AB=x x =mn,m ɪA ,n ɪB {},已知集合A ={2,4,6},B =x x =k2-1,k ɪA {},则集合B A ()ɣB 中的元素个数为()㊂A.6 B .7 C .8 D .9解:由A ={2,4,6},可得B ={0,1,2}㊂由新定义得B A =0,16,14,13,12,1{},所以B A ()ɣB =0,16,14,13,12,1,2{},可知共有7个元素㊂应选B ㊂题型六:定义法判断充要条件确定谁是条件,谁是结论;尝试从条件推结论,若条件能推出结论,则条件是结论的充分条件,否则条件就不是结论的充分条件;尝试从结论推条件,若结论能推出条件,则条件是结论的必要条件,否则条件就不是结论的必要条件㊂提醒:不能将 若p ,则q 与 p ⇒q混为一谈,只有 若p ,则q 为真命题,才有 p ⇒q㊂例6 已知m ,n ɪR ,则 mn-1=0 是 m -n =0 成立的( )㊂A.充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件解:由m n -1=0,可得mn=1即m =n ,所以m -n =0㊂反之,当m =n =0时,虽然m -n =0,但是mn-1=0显然不成立,所以m -n =0不能得到m n -1=0㊂故 mn-1=0 是 m -n =0成立的充分不必要条件㊂应选A ㊂题型七:集合观点解充分条件㊁必要条件问题的策略一般情况下,若条件甲为x ɪA ,条件乙为xɪB,当且仅当A⊆B时,甲为乙的充分条件;当且仅当B⊆A时,甲为乙的必要条件;当且仅当A=B时,甲为乙的充要条件㊂提醒:结合集合中 小集合⇒大集合 的关系来理解㊂例7设xɪR,则 |x-1|<4 是x-52-x>0 的()㊂A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解:由|x-1|<4得-4<x-1<4,即-3<x<5㊂由x-5x-2<0,解得2<x<5㊂因为(2,5)⫋(-3,5),所以 |x-1|<4 是x-52-x>0 的必要而不充分条件㊂应选B㊂题型八:等价转化法判断充要条件判断p是q的什么条件,只需判断 q 是 p的什么条件即可㊂等价转化法体现了 正难则反 的解题思想,在正面解题受阻或不易求解时,可考虑此法㊂例8给定两个条件p,q,若 p是q的必要不充分条件,则p是 q的()㊂A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解:因为 p是q的必要不充分条件,则q⇒ p,但 p⇒/q,其逆否命题为p⇒ q,但 q⇒/p,所以p是 q的充分不必要条件㊂应选A㊂题型九:利用充分条件㊁必要条件求参数的取值范围利用充分㊁必要㊁充要条件的关系求参数范围的四个步骤:化简p,q两命题;根据p 与q的关系(充分㊁必要㊁充要条件)转化为集合间的关系;利用集合间的关系建立不等式;求解参数范围㊂例9(1)是否存在实数m,使2x+m< 0是x<-1或x>3的充分条件?(2)是否存在实数m,使2x+m<0是x<-1或x>3的必要条件?解:(1)欲使2x+m<0是x<-1或x>3的充分条件,只需x x<-m2{)⊆{x| x<-1或x>3},所以-m2ɤ-1,可得mȡ2㊂故存在实数mȡ2,使2x+m<0是x< -1或x>3的充分条件㊂(2)欲使2x+m<0是x<-1或x>3的必要条件,只需{x|x<-1或x>3}⊆x x<-m2{},显然这是不可能的㊂故不存在实数m,使2x+m<0是x<-1或x>3的必要条件㊂题型十:抽象命题间充要条件的判断解答这类问题的关键是作出它们的关系图表,根据定义,用 ⇒ ⇐ ⇔ 建立它们之间的 关系链 ,直观求解㊂例10已知p,q都是r的必要条件,s 是r的充分条件,q是s的充分条件㊂(1)s是q的什么条件?(2)r是q的什么条件(3)p是q的什么条件?图2解:根据题意得p,q,r,s之间的关系,如图2所示㊂(1)因为q⇒s,s⇒r⇒q,所以s是q的充要条件㊂(2)因为r⇒q,q⇒s⇒r,所以r是q的充要条件㊂(3)因为q⇔r,r⇒p,所以q⇒p,可知p 是q的必要条件㊂题型十一:全称量词命题和存在量词命题的真假判断要判断一个全称量词命题是真命题,必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立;要判断全称量词命题是假命题,只要举出集合M中的一个x=x0,使得p(x0)不成立即可(这就是通常所说的 举出一个反例 )㊂要判断一个存在量词命题是真命题,只要在限定集合M中,找到一个x,使p(x)成立即可;否则,这一存在量词命题就是假命题㊂提醒:判断全称量词命题为假,只需举一个反例即可;判断存在量词命题为真,只需举一个特例㊂例11 (多选题)下列命题正确的是( )㊂A .存在x <0,x 2-2x -3=0B .对一切实数x <0,都有|x |>xC .∀x ɪR ,x 2=xD .已知a n =2n ,b m =3m ,对于任意n ,m ɪN *,a n ʂb m解:因为x 2-2x -3=0的根为x =-1或x =3,所以存在x =-1<0,使x 2-2x -3=0,A 为真命题㊂B 显然为真命题㊂x 2=|x |=x ,x >0,0,x =0,-x ,x <0,ìîíïïïC 为假命题㊂当n =3,m =2时,a 3=b 2,D 为假命题㊂应选A B ㊂题型十二:简易逻辑的综合应用在一些逻辑问题中,当题中并未出现 或 且 非 时,应从语句的陈述中搞清含义,并根据题目进行逻辑分析,找出各个命题之间的内在联系,从而解决问题㊂例12 在 一带一路 知识测验后,甲㊁乙㊁丙三人对成绩进行预测㊂甲:我的成绩比乙高㊂乙:丙的成绩比我和甲的都高㊂丙:我的成绩比乙高㊂成绩公布后,三人成绩互不相同且只有一个人预测正确,那么三人按成绩由高到低的次序为( )㊂A .甲㊁乙㊁丙 B .乙㊁甲㊁丙C .丙㊁乙㊁甲D .甲㊁丙㊁乙解:依题意可知,若甲预测正确,则乙㊁丙均预测错误,此时三人成绩由高到低的次序为甲㊁乙㊁丙㊂若乙预测正确,此时丙预测也正确,这与题意相矛盾㊂若丙预测正确,则甲预测错误,此时乙预测正确,这与题意相矛盾㊂综上所述,三人成绩由高到低的次序为甲㊁乙㊁丙㊂应选A ㊂1.(多选题)下列语句是全称量词命题的是( )㊂A .梯形的对角线相等B .存在一个四边形有外接圆C .二次函数都与x 轴相交D .菱形的四条边都相等提示:对于A ,可完整地表述为 所有梯形的对角线相等 ,显然为全称量词命题㊂对于B ,含存在量词,所以为存在量词命题㊂对于C ,可完整地表述为 所有的二次函数都与x 轴相交,故为全称量词命题㊂对于D ,可完整地表述为 任意菱形的四条边都相等,故为全称量词命题㊂应选A C D ㊂2.用量词符号 ∀ ∃表述下列命题㊂(1)所有实数x 都能使x 2+x +1>0成立㊂(2)对所有实数a ,b ,方程a x +b =0恰有一个解㊂(3)一定有整数x ,y ,使得3x -2y =10成立㊂(4)所有的有理数x 都能使13x 2+12x +1是有理数㊂提示:(1)∀x ɪR ,x 2+x +1>0㊂(2)∀a ,b ɪR ,a x +b =0恰有一个解㊂(3)∃x ,y ɪZ ,3x -2y =10㊂(4)∀x ɪQ ,13x 2+12x +1是有理数㊂3.已知命题 ∀x ɪR ,a x 2+4x +1>0 是假命题,则实数a 的取值范围是㊂提示:当原命题为真命题时,a >0且Δ<0,所以a >4,故当原命题为假命题时,a ɤ4㊂4.已知命题 ∃x ɪR ,4x 2+(a -2)x +14ɤ0是假命题,则实数a 的取值范围为㊂提示:因为命题 ∃x ɪR ,4x 2+(a -2)x +14ɤ0 是假命题,所以其否定为 ∀x ɪR ,4x 2+(a -2)x +14>0是真命题,则Δ=a 2-4a <0,解得0<a <4㊂作者单位:河南省开封高中(责任编辑 郭正华)。

利用集合间包含关系求参数取值范围-高考数学解题方法一、单选题1．设集合{}220M x x x =-≥，{}N x x a =<，若M N ⊆，则实数a 的取值范围是（ ） A ．2a <B ．2a >C ．2a ≥D ．2a ≤2．已知集合{}12A x x =<<，集合{}B x x m =>，若()A B =∅R，则m 的取值范围为（ ） A ．(],1-∞B ．(],2-∞C ．[)1,+∞D ．[)2,+∞3．已知集合{1}A =,{|}B x x a =≥，若A B B ⋃=，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,1)-∞B ．(,1]-∞C ．(1,)+∞D ．[1,)+∞4．已知集合{}2|20,{|1},A x x x B x x m AB A =--<=-<<=，则实数m 的取值范围为（ ） A ．(2,)+∞ B ．(1,2)- C ．[2,)+∞D ．(1,2]-5．已知集合{}220A x x x =+-=，若{}B x x a =≤，且AB ，则a 的取值范围是（ ） A ．1a >B ．1a ≥C ．2a ≥-D ．2a ≤-6．若{}1,4,A x =，{}21,B x =且B A ⊆，则x =（ ）.A ．2±B ．2±或0C ．2±或1或0D ．2±或±1或07．已知p ：x a ≥，q ：23x a +<，且p 是q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(]1-∞-，B ．()1-∞-，C ．[)1+∞，D ．()1+∞，8．已知集合{}M x y x R ==∈，{},N y y x a x R ==-+∈，若M N ⊆，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()1,+∞B ．[)1,+∞C ．(),3-∞-D ．(],3-∞- 9．设U =R ，N ={x |-2<x <2}，M ={x |a -1<x <a +1}，若U N 是U M的真子集，则实数a的取值范围是（ ）A ．-1<a <1B ．-1≤a <1C ．-1<a ≤1D ．-1≤a ≤110．已知集合{}220A x x x =-≤，{}0lg 1B x x =<≤，2a C x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，若{}()03A B C x x =≤<∣，则a 的值为（ ）A ．1B ．3C ．6D ．811．已知{}{},14||A x x a B x x =<=<<，若RA B ⊆，则实数a 的取值范围为（ ）A ．{}|1a a <B ．{}4|a a ≤C ．{}|1a a ≤D ．{}|1a a ≥12．已知集合{}2230A x N x x *=∈--<，{}20B x ax =+=，若AB B =，则实数a 的取值集合为（ ） A ．{}1,2--B ．{}1,0-C ．2,0,1D ．{}2,1,0--13．已知集合{}2230A x x x =--≤，{}22B x m x m =-≤≤+．若R A C B A =，则实数m 的取值范围为（ ） A ．5m >B ．3m <-C ．5m >或3m <-D ．35m -<<14．已知集合1ln 1x a e a x A x x x --⎧⎫+=-≤⎨⎬⎩⎭，集合{}2021ln 2021B x x x =+≥，若B A ⊆，则实数a 的取值范围为（ ）A ．[],e e -B ．[],1e -C ．[]1,1-D ．[]1,e -15．已知0a >，函数()()21sin cos 2f x a x x x x a =+-+++-，x ∈R ．记函数()f x 的值域为M ，函数()()f f x 的值域为N ，若M N ⊆，则a 的最大值是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．416．设函数()()()21ln 31f x g x ax x ==-+，若对任意1[0,)x ∈+∞，都存在2x R ∈，使得()()12f x g x =，则实数a 的最大值为（ ）A ．94B ．2C ．92D ．417．若对函数()2sin f x x x =-的图象上任意一点处的切线1l ，函数。