集合、函数基本性质中的参数问题(含详解)

一、选择题1．已知幂函数()(1)n f x a x =-的图象过点(2,8)，且(2)(12)f b f b -<-，则b 的取值范围是（ ） A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(,1)-∞D ．(1,)+∞2．已知()f x 为奇函数，且当0x >时，()2f x x =-，则1()2f -的值为（ ）A ．52- B ．32- C ．32 D ．523．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足：当[]0,1x ∈时，()31x f x =-，则()1f -=（ ） A ．2B ．1C ．-2D ．-14．我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图像来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数图像的特征.我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（ ）A ．()11f x x =- B ．()11f x x =- C ．()211f x x =- D ．()211f x x =+ 5．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，若12,x x R ∀∈，且12x x ≠，都有()()()()12120x x f x f x -->成立，则不等式()()2120x f x x -->的解集是（ ）A ．()(),11,2-∞B ．()()0,11,+∞C ．()(),01,2-∞D ．()()0,12,⋃+∞6．函数()ln x xxf x e e -=-的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知函数f (x )＝|x |＋ln|x |，若f （3a -1）＞f （1），则实数a 的取值范围是（ ） A ．a ＜0B ．23a >C ．023a <<D ．a ＜0或23a >8．设函数()()1xf x x R x=-∈+，区间[,]M a b =，集合{(),}N y y f x x M ==∈，则使MN 成立的实数对(,)a b 有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个9．若函数2()|2|f x x a x =+-在(0,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[]4,0- B ．(],0-∞C ．(],4-∞-D ．(,4][0,)-∞-+∞10．函数24()|3|3x f x x -=+-是（ ）A ．奇函数B ．偶函数C ．既奇又偶函数D ．非奇非偶函数11．函数1()2lg f x x x=+- ） A ．(0,2] B ．(0,2) C ．(0,1)(1,2]⋃ D ．(,2]-∞12．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)f x f x -=+.若(1)2f =，则()()()()2132020f f f f +++=（ ）A ．50B ．0C ．2D ．-2018 13．下列函数中，既是偶函数又在(0,+∞)上单调递增的是 （ ）A ．2x y =B ．2y xC ．2log y x =D ．21y x =+14．现有下列四个结论中，其中正确结论的个数是（ ） ①幂函数()k yx k Q =∈的图象与函数1y x =的图象至少有两个交点；②函数()30xy k k =⋅>（k 为常数）的图象可由函数3xy =的图象经过平移得到；③函数11(0)312xy x x ⎛⎫=+≠⎪-⎝⎭是偶函数； ④函数21lg ||x y x +=无最大值，也无最小值；A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个15．若()21f x ax x a =+++在()2,-+∞上是单调递增函数，则a 的取值范围是( ) A ．1(,]4-∞B ．1(0,]4C ．1[0,]4D ．1[,)4+∞二、填空题16．已知定义在R 上的偶函数()f x 满足：()()4f x f x +=-，对1x ∀，2[0,2]x ∈，当12x x ≠时，()()12120f x f x x x -<-，且()10f =，则不等式()0f x >在[2019,2023]上的解集为______． 17．设函数()f x 在(,0)(0,)-∞+∞上满足()()0f x f x ，在(0,)+∞上对任意实数12x x ≠都有1212()(()())0x x f x f x -->成立，又(3)0f -=，则(1)()0x f x -<的解是___________.18．设函数()()333f x x x x R =-+∈.已知0a >，且()()()()2f x f a x b x a -=--，b R ∈，则ab =______.19．定义在[0,)+∞上的函数()y f x =满足：（1）(2)0f =；（2）当02x <<时，()0f x ≠；（3）任意的,0x y >总有()(())()f x y f x f y f y +=⋅⋅成立．则1(3)2f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________．20．记号{}max ,m n 表示m ，n 中取较大的数，如{}max 1,22=．已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，且当0x >时，()222max ,4x f x x x a a ⎧⎫=-+-⎨⎬⎩⎭．若0x <时，()f x 的最大值为1，则实数a 的值是_________．21．已知函数y =f （x ）和y =g （x ）在[-2，2]的图像如图所示，给出下列四个命题：①方程f [g （x ）]=0有且仅有6个根 ②方程g [f （x ）]=0有且仅有3个根 ③方程f [f （x ）]=0有且仅有5个根 ④方程g [g （x ）]=0有且仅有4个根 其中正确的命题是___22．定义在()1,1-上的函数()3sin f x x x =--，如果()()2110f a f a -+->，则实数a 的取值范围为______.23．函数()f x 的定义域为R ，满足(1)2()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-，若对任意的(,]x m ∈-∞，都有8()9f x ≥-，则m 的取值范围是_______参考答案24．函数()22f x x x =-，[]2,2x ∈-的最大值为________.25．已知函数()()11xf x x x =>-，())2g x x x ≥，若存在函数()(),F x G x 满足：()()()()()(),G x F x f x g x g x f x =⋅=，学生甲认为函数()(),F x G x 一定是同一函数，乙认为函数()(),F x G x 一定不是同一函数，丙认为函数()(),F x G x 不一定是同一函数，观点正确的学生是_________.26．已知定义在R 上的偶函数满足：(4)()(2)f x f x f +=+，且当[0,2]x ∈时，()y f x =单调递减，给出以下四个命题：①(2)0f =；②4x =-为函数()y f x =图象的一条对称轴； ③()y f x =在[8,10]单调递增；④若方程()f x m =在[6,2]--上的两根为1x 、2x ，则128.x x +=- 以上命题中所有正确命题的序号为___________．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】先根据题意得幂函数解析式为3()f x x =，再根据函数的单调性解不等式即可得答案. 【详解】解：因为幂函数()(1)nf x a x =-的图像过点(2,8)， 所以1128na -=⎧⎨=⎩，所以23a n =⎧⎨=⎩，所以3()f x x =， 由于函数3()f x x =在R 上单调递增，所以(2)(12)212f b f b b b -<-⇔-<-，解得：1b <． 故b 的取值范围是(,1)-∞. 故选：C. 【点睛】本题考查幂函数的定义，根据幂函数的单调性解不等式，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于根据幂函数的系数为1待定系数求得解析式，进而根据单调性解不等式.2．C解析：C 【分析】根据函数为奇函数可知1122f f ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，然后根据0x >时()f x 的解析式可求解出12f ⎛⎫⎪⎝⎭的值，则12f ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值可求. 【详解】因为()f x 为奇函数，所以1122f f ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 又因为1132222f ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以113222f f ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故选：C. 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是利用奇偶性的定义将计算12f ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值转化为计算12f ⎛⎫⎪⎝⎭的值，从而根据已知条件完成求解.3．C解析：C 【分析】由()f x 为奇函数，结合已知区间的解析式即可求10x -≤≤时()f x 的解析式，进而求()1f -即可.【详解】∵()f x 在R 上是奇函数， ∴令10x -≤≤，则[0,1]x -∈， 由题意，有()31()xf x f x --=-=-，∴1()13x f x =-，故()111123f --=-=-， 故选：C 【点睛】关键点点睛：利用函数奇偶性，求对称区间上的函数解析式，然后代入求值.4．A解析：A 【分析】由图象知函数的定义域排除选项选项B 、D ，再根据()01f =-不成立排除选项C ，即可得正确选项. 【详解】由图知()f x 的定义域为{}|1x x ≠±，排除选项B 、D ，又因为当0x =时，()01f =-，不符合图象()01f =，所以排除C ， 故选：A 【点睛】思路点睛：排除法是解决函数图象问题的主要方法，根据函数的定义域、与坐标轴的交点、函数值的符号、单调性、奇偶性等，从而得出正确结果.5．C解析：C 【分析】根据条件先判断出()f x 的单调性，根据单调性得到()f x 取值的特点，根据1x -与0的关系，采用分类讨论的方法解不等式，从而求解出解集. 【详解】因为12,x x R ∀∈，且12x x ≠，都有()()()()12120x x f x f x -->成立，所以()f x 为R 上增函数，又因为()f x 为R 上奇函数，所以0x <时，()0f x <；0x >时，()0f x >；0x =时，()0f x =；当10x -=时，1x =，此时()()2012x f x x --=，不符合条件；当10x ->时，因为()()2120x f x x -->，所以22010x x x ⎧->⎨->⎩，解得0x <；当10x -<时，因为()()2120x f x x -->，所以22010x x x ⎧-<⎨-<⎩，解得12x <<；所以()()2120x f x x -->的解集为()(),01,2-∞，故选：C. 【点睛】结论点睛：可直接判断函数单调性的几种变形形式： （1）已知12,x x D ∀∈（D 为函数定义域），且12x x ≠，都有()()()()12120x x f x f x -->或()()12120f x f x x x ->- 成立，则()f x 为单调递增函数；（2）已知12,x x D ∀∈（D 为函数定义域），且12x x ≠，都有()()()()12120x x f x f x --<或()()12120f x f x x x -<- 成立，则()f x 为单调递增函数.6．C解析：C 【分析】结合选项中函数图象的特征，利用函数的性质，采用排除法求解即可. 【详解】由题可知，函数()f x 的定义域为()(),00,-∞⋃+∞，()()ln ln x x x xx xf x f x e e e e----==-=---， 所以函数()f x 为奇函数，所以排除选项BD ；又()10f =，所以排除选项A. 故选:C. 【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.7．D解析：D 【分析】根据函数为偶函数可转化为(|31|)(1)f a f ->，利用单调性求解即可.【详解】()||ln ||f x x x =+的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，关于原点对称，又()||ln ||()f x x x f x -=-+-=， 所以()||ln ||f x x x =+为偶函数， 当0x >时，()ln f x x x =+为增函数， 又(31)(1)f a f ->可化为(|31|)(1)f a f ->， 所以|31|1a ->，所以311a ->或311a -<-， 解得23a >或0a <， 故选：D 【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性，函数的单调性，绝对值不等式的解法，属于中档题.8．A解析：A 【分析】 由已知中函数()()1||xf x x R x =-∈+，我们可以判断出函数的奇偶性及单调性，再由区间[M a =，]()b a b <，集合{|()N y y f x ==，}x M ∈，我们可以构造满足条件的关于a ，b 的方程组，解方程组，即可得到答案．【详解】x R ∈，()()1xf x f x x-==-+，()f x ∴为奇函数， 0x 时，1()111x f x x x -==-++，0x <时，1()111x f x x x-==--- ()f x ∴在R 上单调递减函数在区间[a ，]b 上的值域也为[a ，]b ，则()(),f a b f b a ==， 即1a b a -=+，1ba b-=+，解得0a =，0b = a b <，使M N 成立的实数对(,)a b 有0对 故选：A 【点睛】本题考查的知识点是集合相等，函数奇偶性与单调性的综合应用，其中根据函数的性质，构造出满足条件的关于a ，b 的方程组，是解答本题的关键．9．A解析：A 【分析】将()f x 写成分段函数的形式，根据单调性先分析每一段函数需要满足的条件，同时注意分段点处函数值关系，由此求解出a 的取值范围. 【详解】因为2()|2|f x x a x =+-，所以222,2()2,2x ax a x f x x ax a x ⎧+-≥=⎨-+<⎩，当()212f x x ax a =+-在[)2,+∞上单调递增时，22a-≤，所以4a ≥-， 当()222f x x ax a =-+在()0,2上单调递增时，02a≤，所以0a ≤， 且()()12224f f ==，所以[]4,0a ∈-， 故选：A. 【点睛】思路点睛：根据分段函数单调性求解参数范围的步骤： （1）先分析每一段函数的单调性并确定出参数的初步范围； （2）根据单调性确定出分段点处函数值的大小关系； （3）结合（1）（2）求解出参数的最终范围.10．A解析：A 【分析】首先求出函数的定义域，然后利用奇偶性定义判断即可. 【详解】解：因为()|3|3f x x =+-所以240330x x ⎧-≥⎪⎨+-≠⎪⎩解得22x -≤≤且0x ≠，故函数的定义域为[)(]2,00,2-，定义域关于原点对称，所以()f x x=，[)(]2,00,2x ∈-,又()()f x f x x-==-=-所以函数为奇函数； 故选：A 【点睛】本题考查函数的奇偶性的判断，判断函数的奇偶性按照两步：①求函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称；②计算()f x -判断与()f x 之间的关系；11．C解析：C【分析】对数的真数大于零，分母不为零，偶次根式要求被开方式大于等于零，依据以上三点，列不等式求解. 【详解】欲使函数有意义，则0lg 020x x x >⎧⎪≠⎨⎪-≥⎩，即012x x x >⎧⎪≠⎨⎪≤⎩解得()(]0,11,2x ∈⋃ 故选：C . 【点睛】方法点睛：该题考查的是有关求函数定义域的问题，在求解的过程中，注意： （1）对数要求真数大于0； （2）分式要求分母不等于0； （3）偶次根式要求被开方式大于等于0.12．B解析：B 【分析】由奇函数和(1)(1)f x f x +=-得出函数为周期函数，周期为4，然后计算出(3),(2),(4)f f f 后可得结论．【详解】由函数()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，所以()()f x f x =--，且(0)0f =， 又由(1)(1)f x f x -=+，即(2)()()f x f x f x +=-=-，进而可得()(4)f x f x =+，所以函数()f x 是以4为周期的周期函数，又由(1)2f =，可得(3)(1)(1)2f f f =-=-=-，(2)(0)0f f ==,(4)(0)0f f ==, 则(1)(2)(3)(4)0f f f f +++=， 所以(1)(2)(3)(2020)505[(1)(2)(3)(4)]0f f f f f f f f ++++=⨯+++=.故选：B . 【点睛】关键点睛：本题考查利用函数的周期性求函数值，解决本题的关键是由函数是奇函数以及(1)(1)f x f x -=+得出函数是周期为4的周期函数，进而可求出结果.13．D解析：D 【解析】根据基本初等函数的性质知，符合条件的是21y x =+，因为满足2()1()f x x f x -=+=，且在(0,)+∞上是增函数，故选D.14．A解析：A 【分析】①举反例说明命题为假；②应该是伸缩变换，可以判断出命题为假；③由奇偶函数的定义判断处函数为偶函数，可得命题为真； ④将函数变形，由均值不等式的性质可得最小值，可得命题为假． 【详解】 解：①取幂函数2y x ，显然与1y x=仅有一个交点，所以①不正确；②函数()30xy k k =⋅>（k 为常数）的图象可由函数3xy =的图象经过伸缩得到，所以②不正确；③设()y f x =，由()()()3111,0312231xxxx f x x x +⎛⎫=+=≠ ⎪--⎝⎭，定义域关于原点对称， 则()()()()()()3131231231x x xxx x f x f x ---++-===--，()f x ∴是偶函数，故③正确；④函数215lg lg ||||||x y x x x ⎛⎫+==+ ⎪⎝⎭， 而lg y u =在定义域上单调递增，所以函数21lg ||x y x +=有最小值无最大值，所以④不正确． 故选：A ． 【点睛】本题考查指对幂函数的性质，属于基础题.15．C解析：C 【分析】先考虑a 是否为零，然后再分一次函数和二次函数分别考虑. 【详解】当0a =时，则()1f x x =+，显然在()2,-+∞上递增；当0a ≠时，则()21f x ax x a =+++是二次函数，因为()f x 在()2,-+∞上递增，则对称轴122x a =-≤-且0a >，解得：10,4a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦；综上：a 的取值范围是1[0,]4， 故选C. 【点睛】本题考查根据单调区间求解参数范围问题，难度一般.对于形如()2f x ax bx c =++的函数，一定要明确：并不一定是二次函数，可能会出现0a =的情况，所以要分类讨论.二、填空题16．【分析】先分析得到函数在上单调递减周期再得到当时即得解【详解】因为对当时所以在上单调递减而由偶函数得当时；又可得周期因为所以当时；于是的解集为故答案为：【点睛】方法点睛：对于函数的问题的研究一般从函 解析：(2019,2021)【分析】先分析得到函数()f x 在[0,2]上单调递减，周期4T=，再得到当(1,1)x ∈-时，()0f x >，即得解.【详解】因为对1x ∀，2[0,2]x ∈，当12x x ≠时，()()12120f x f x x x -<-，所以()f x 在[0,2]上单调递减，而()10f =， 由偶函数得当(1,1)x ∈-时，()0f x >； 又()()()4f x f x f x +=-=可得周期4T =，因为[2019,2023]x ∈，所以当(2019,2021)x ∈时，()0f x >； 于是()0f x >的解集为(2019,2021)． 故答案为：(2019,2021) 【点睛】方法点睛：对于函数的问题的研究，一般从函数的单调性、奇偶性和周期性入手，再研究求解.17．【分析】根据已知条件判断函数的奇偶性与单调性作出函数的草图等价于或根据函数图像解不等式【详解】由函数定义域及可知函数为奇函数在上对任意实数都有成立函数在上为增函数又函数为奇函数函数在为增函数又则作出 解析：()()3,01,3-【分析】根据已知条件判断函数的奇偶性与单调性作出函数的草图，(1)()0x f x -<等价于1()0x f x >⎧⎨<⎩或1()0x f x <⎧⎨>⎩，根据函数图像解不等式. 【详解】由函数()f x 定义域及()()0f x f x ，可知函数()f x 为奇函数，()f x 在(0,)+∞上对任意实数12x x ≠都有1212()(()())0x x f x f x -->成立，∴函数()f x 在(0,)+∞上为增函数，又函数()f x 为奇函数，∴函数()f x 在(,0)(0,)-∞+∞为增函数，又(3)0f -=，则(3)0f =， 作出函数草图如图所示：(1)()0x f x -<⇒1()0x f x >⎧⎨<⎩或1()0x f x <⎧⎨>⎩，根据()f x 的图像可知(1)()0x f x -<的解为：(3,0)(1,3)-.故答案为：(3,0)(1,3)-18．【分析】先将进行因式分解再与比较利用对应系数相等可得关于的方程即可得的值即可求解【详解】因为所以因为所以对任意的恒成立所以不恒为所以展开整理可得：所以解得：或（舍）所以故答案为：【点睛】关键点点睛： 解析：2-【分析】先将()()f x f a -进行因式分解再与()()2x b x a --比较，利用对应系数相等可得关于,a b 的方程，即可得,a b 的值，即可求解.【详解】因为()()333f x x x x R =-+∈，所以()()()()333333333f x f a x x a a x a x a -=-+----=-+，()()()()222233x ax a x ax x a x a x a a ⎡⎤---==+-++-⎣+⎦，因为()()()()2f x f a x b x a -=--，所以()()()2223x ax a x b x x a a ⎡⎤-=⎣-⎦++--，对任意的x 恒成立， 所以x a -不恒为0，所以()()223x ax a x b x a ++-=--展开整理可得：()23ax a a b x ab +-=-++，所以()23a a b a ab⎧=-+⎨-=⎩ 解得：12a b =⎧⎨=-⎩或12a b =-⎧⎨=⎩（舍），所以()122ab =⨯-=-， 故答案为：2-. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是将()()f x f a -进行因式分解，由x a -不恒为0，得出()()223x ax a x b x a ++-=--利用待定系数法可求,a b 的值.19．【分析】先令求得再令可得结合已知条件可得从而可得答案【详解】解：令则由得因为所以令则因为当时；所以所以所以所以故答案为：【点睛】关键点点睛：此题考查抽象函数求值问题解题的关键是结合已知条件正确赋值令解析：43【分析】先令1,2x y ==，求得(3)0f =，再令31,22x y ==，可得311(())()(2)222f f f f ⋅=，结合已知条件可得1()2f ，从而可得答案 【详解】解：令1,2x y ==，则由()(())()f x y f x f y f y +=⋅⋅得((2))(2)(12)f f f f ⋅=+， 因为(2)0f =，所以(3)0f =，令31,22x y ==，则311(())()(2)222f f f f ⋅=， 因为(2)0f =，当02x <<时，()0f x ≠；所以31(())0(2)22f f f ==， 所以31()222f =，所以14()23f =， 所以14(3)23f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 故答案为：43【点睛】关键点点睛：此题考查抽象函数求值问题，解题的关键是结合已知条件正确赋值，令31,22x y ==，则311(())()(2)222f f f f ⋅=，由(2)0f =，当02x <<时，()0f x ≠，可得31()222f =，从而得14()23f = 20．【分析】首先将时函数写成分段函数的形式并求函数的最小值根据奇函数的性质可知时的最小值是建立方程求【详解】当时解得：此时令解得此时所以时函数又因为此时是定义在上的奇函数所以图象关于原点对称时函数的最小解析：2±【分析】首先将0x >时，函数()f x 写成分段函数的形式，并求函数的最小值，根据奇函数的性质可知0x >时的最小值是1-，建立方程求a 【详解】当0x >时，22240x x x a a -+-+≥，解得：202x a <≤，此时()22x f x x a =-+，令22240x x x a a-+-+<，解得22x a >，此时()24f x x a =-， 所以0x >时，函数()222224,2,02x a x a f x x x x a a⎧-≥⎪=⎨-<≤⎪⎩，又因为此时()f x 是定义在R 上的奇函数，所以图象关于原点对称，0x ∴>时，函数的最小值是-1， 当22x a ≥时，函数单调递增，()222min 242f x a a a =-=-，当202x a <≤时，()222222124x a af x x x a a ⎛⎫=-=--+ ⎪⎝⎭，函数的()()22min 22f x f aa==-，所以0x >时，函数的最小值是22a -，即221a -=-，解得：a =故答案为：2± 【点睛】思路点睛：本题主要考查分段函数与函数性质的综合应用，首先根据新定义，正确写出函数()f x 的表达式，这是本题最关键的一点，然后就转化为分段函数求最值问题.21．①③④【分析】根据函数图像逐一判断即可【详解】对于①令结合图象可得有三个不同的解从图象上看有两个不同的解有两个不同的解有两个不同的解故有6个不同解故①正确对于②令结合图象可得有两个不同的解从图象上看解析：①③④ 【分析】根据函数图像逐一判断即可. 【详解】对于①，令()t x g =，结合图象可得()0f t =有三个不同的解12321,0,12t t t -<<-=<<，从图象上看()1g x t =有两个不同的解，()2g x t =有两个不同的解，()3g x t =有两个不同的解，故[()]0f g x =有6个不同解，故①正确.对于②，令()t f x =，结合图象可得()0g t =有两个不同的解1221,01t t -<<-<<， 从图象上看()1f x t =的有一个解，()2f x t =有三个不同的解， 故[()]0g f x =有4个不同解，故②错误. 对于③，令()t f x =，结合图象可得()0f t =有三个不同的解12321,0,12t t t -<<-=<<， 从图象上看()1f x t =有一个解，()2f x t =有三个不同的解，()3f x t =有一个解，故[()]0f f x =有5个不同解，故③正确.对于④，令()t x g =，结合图象可得()0g t =有两个不同的解1221,01t t -<<-<<， 从图象上看()1g x t =有两个不同的解，()2g x t =有两个不同的解， 故[()]0g g x =有4个不同解，故④正确. 故答案为①③④. 【点睛】本题考查了函数图像的应用，考查了数学结合思想，属于中档题.22．【分析】先得出函数是奇函数且是减函数从而得到结合函数的定义域从而求出的范围【详解】解：是奇函数又是减函数若则则解得：或由解得：综上：故答案为：【点睛】本题考查了函数的奇偶性函数的单调性的应用属于中档题解析：(【分析】先得出函数是奇函数且是减函数，从而得到211a a -<-，结合函数的定义域，从而求出a 的范围． 【详解】 解：()3sin (3sin )()f x x x x x f x -=-=-+=-，是奇函数，又()3cos 0f x x '=-+<，是减函数， 若2(1)(1)0f a f a -+->， 则2((1))1f a f a -->，则211a a -<-，解得：1a >或2a <-，由2111111a a -<-<⎧⎨-<-<⎩，解得：0a <<，综上：12a <<，故答案为：()1,2． 【点睛】本题考查了函数的奇偶性，函数的单调性的应用，属于中档题．23．【分析】首先根据已知条件依次得到在附近的区间对应的函数解析式然后按其规律画出函数的图像再根据不等式恒成立的意义与函数图像即可求得实数m 的取值范围【详解】当时则当时则当时则由此作出图象如图所示由图知当解析：7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【分析】首先根据已知条件依次得到在(0,1]x ∈附近的区间，(1,2]x ∈、(2,3]x ∈对应的函数解析式，然后按其规律画出函数的图像，再根据不等式恒成立的意义与函数图像即可求得实数m 的取值范围 【详解】当10-<≤x 时，011x <+≤，则11()(1)(1)22f x f x x x =+=+， 当12x <≤时，011x <-≤，则()2(1)2(1)(2)f x f x x x =-=--，当23x <≤时，021x <-≤，则22()2(1)2(2)2(2)(3)f x f x f x x x =-=-=--，由此作出()f x 图象如图所示，由图知当23x <≤时，令282(2)(3)9x x --=-， 整理得：(37)(38)0x x --=， 解得：73x =或83x =，要使对任意的(,]x m ∈-∞，都有8()9f x ≥-，必有73m ≤， 所以m 的取值范围是7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，故答案为：7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【点睛】本题主要考查函数的解析式，函数的图象，不等式恒成立问题，考查分类讨论，数形结合的思想，属于中档题.24．8【分析】首先画出的图象根据图象即可求出函数的最大值【详解】函数的图象如图所示：由图可知故答案为：【点睛】本题主要考查利用函数的图象求最值熟练画出函数图象为解题的关键属于中档题解析：8 【分析】首先画出()f x 的图象，根据图象即可求出函数的最大值. 【详解】函数()f x 的图象如图所示：由图可知，max ()(2)44=8f x f =-=+. 故答案为：8 【点睛】本题主要考查利用函数的图象求最值，熟练画出函数图象为解题的关键，属于中档题.25．甲【分析】由题意求出的解析式依据两函数为同一函数的条件:定义域和对应关系相同即可得出结论【详解】解得所以故答案为:甲【点睛】本题主要考查两函数为同一函数的条件：定义域和对应关系相同；正确求出两函数的解析：甲 【分析】由题意求出()(),F x G x 的解析式,依据两函数为同一函数的条件:定义域和对应关系相同,即可得出结论. 【详解】()()11xf x x x =>-,())2g x x x =≥, ()()11xf x x x ∴=>-, ())21x F x x x x x∴==≥-, ()()()G x g x f x =,())21G x x x x ∴=≥-, 解得())2G x x =≥,所以()())2F x G x x ==≥.故答案为:甲 【点睛】本题主要考查两函数为同一函数的条件：定义域和对应关系相同；正确求出两函数的解析式和定义域是求解本题的关键;属于易错题;26．①②④【分析】先求出从而得到为周期函数再根据函数为偶函数可逐项判断命题的正误【详解】令得故又函数是偶函数故；根据①可得则函数的周期是4由于偶函数的图象关于轴对称故也是函数图象的一条对称轴；根据函数的解析：①②④ 【分析】先求出()20f =，从而得到()f x 为周期函数，再根据函数为偶函数可逐项判断命题的正误. 【详解】令2x =-，得()()()222f f f =-+，故()20f =. 又函数()f x 是偶函数，故()20f =；根据①可得()()4f x f x +=，则函数()f x 的周期是4，由于偶函数的图象关于y 轴对称，故4x =-也是函数()y f x =图象的一条对称轴； 根据函数的周期性可知，函数()f x 在[]8,10上单调递减，③不正确； 由于函数()f x 的图象关于直线4x =-对称，故如果方程()f x m =在区间[]6,2-- [－6，－2]上的两根为12,x x ，则1242x x +=-，即128x x +=-.故正确命题的序号为①②④. 故答案为：①②④.. 【点睛】本题考查函数的奇偶性、周期性和单调性，注意偶函数在对称两侧区间上的单调性相反，具有周期性的偶函数的图象的对称轴有无数条，本题属于基础题.。

函数基本概念及性质测试卷姓名：_______________ 班级：______________ 得分：______________ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．如下图可作为函数()y f x =的图象的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．下列各组函数()f x 和()g x 表示同一函数的是（ ）A ．()2f x x =与()3xg x x=B ．()f x x =与()()()00xx g x xx ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩C ．()2f x =与()g x =D ．()0f x x =与()1g x =3．集合{0x x >且}2x ≠用区间表示出来（ ） A ．()0,2 B ．()0,∞+C ．()()0,22,+∞ D ．()2,+∞4．函数1()2f x x =-的定义域为（ ） A ．(1,)-+∞ B ．[1,)-+∞ C ．(1,2)(2,)-+∞D ．[1,2)(2,)-+∞5．已知函数11y x =--，其中{}0,1,2,3x ∈，则函数的值域为（ ） A ．{}0,1,2,3 B ．{}1,0,1-C ．{}11y y -≤≤D ．{}02y y ≤≤6．若集合{A x y ==，{}22B y y x ==+，则A B 等于（ ）A ．[1,)+∞B ．(1,)+∞C ．[2,)+∞D ．(0,)+∞7．已知1,(1)()3,(1)x x f x x x +≤⎧=⎨-+>⎩，那么12f f ⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值是（ ） A ．52 B ．32C ．92D ．12-8．已知()f x 是一次函数，且(())41f f x x =-，则()f x 的解析式为（） A ．1()23f x x =-或()21f x x =-+ B ．()21f x x =+或()21f x x =-- C ．()21f x x =-或1()23f x x =-+D ．()21f x x =+或()21f x x =-9．下列函数中，是奇函数且在区间(0,)+∞上单调递减的是（ ） A ．2y x =-B ．12y x =C ．1y x -=D ．3y x =10．下列函数中是偶函数，且满足“1x ∀，()20x ∈+∞，，12x x >时，都有()()12f x f x <”的是（ ） A ．1y x =+B ．1y x x=-C ．4y x -=D ．3x y =11．函数2()2f x ax bx =+-是定义在[]1,2a +上的偶函数，则()f x 在区间[]1,2上是（ ） A ．增函数B ．减函数C ．先增后减函数D ．先减后增函数12．已知2()355f x ax bx a b =+-+是偶函数，且其定义域为[]31,a a -，则a b +=（ ） A ．17B ．12C ．14D ．7二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．函数1()ln(1)2f x x x =-+-的定义域是___________. 14．函数()2f x x x=+，[]1,2x ∈，则函数值域为______ 15．函数312x y x +=-的值域为_____． 16．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，2()f x x x =-；则当0x <时，()f x =__________.三、解答题：共70分，解答时应写出必要的文字说明、演算步骤.17．已知函数22()1x f x x=+． （1）求11(2),(3)23f f f f ⎛⎫⎛⎫++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值； （2）求证：1()f x f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭是定值．18．已知函数22,1(),122,2x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩.（1）求(f f 的值； （2）若()3f a =，求a 的值. 19．求下列函数的值域． （1）211x y x -=+，x ∈[3，5]； （2）y x =．20．（1）已知2(1)23f x x x +=-+，求()f x .（2）已知()49f f x x =+⎡⎤⎣⎦，且()f x 为一次函数，求()f x . （3）已知函数()f x 满足12()f x f x x ⎛⎫+=⎪⎝⎭，求()f x . 21．已知函数()f x ax b =+是R 上的奇函数，且()12f =． （1）求a ，b ；（2）用函数单调性的定义证明()f x 在R 上是增函数． 22．已知函数()()()ln 3ln 3f x x x =++-的定义域为()3,3-. （∈）证明：函数()f x 是偶函数； （∈）求函数()f x 的零点.参考答案1．D 【分析】根据函数的概念，进行判定，即可求解. 【详解】根据函数的概念，可知对任意的x 值，有唯一的y 值相对应， 结合选项，可得只有选项D 可作为函数()y f x =的图象. 故选：D. 2．B 【分析】比较各项中函数的定义域与对应法则后可得正确的选项. 【详解】对于A ，()f x 的定义域为R ，而()g x 的定义域为()(),00,-∞⋃+∞，故两者不是同一函数，故A 错误．对于B ，两个函数的定义域均为R ，且()g x x =，故两个函数的对应法则也相同，故B 正确．对于C ，()f x 的定义域为[)0,+∞，而()g x 的定义域为R ，故两者不是同一函数，故C 错误．对于D ，()f x 的定义域为()(),00,-∞⋃+∞，而()g x 的定义域为R ，故两者不是同一函数，故D 错误． 故选：B ． 3．C 【分析】根据集合的区间表示可得选项. 【详解】由集合{0x x >且}{202x x x ≠=<<或}()()20,22,x >=⋃+∞, 故选:C. 【点睛】本题考查集合的区间表示,属于基础题. 4．D 【分析】函数1()2f x x =-的定义域满足1020x x +≥⎧⎨-≠⎩,得到答案. 【详解】函数1()2f x x =-的定义域满足1020x x +≥⎧⎨-≠⎩ 则1x ≥-且2x ≠ 故选：D 5．B 【分析】分别求出当0x =、1x =、2x =、3x =时对应的函数值，由此可得出原函数的值域. 【详解】11y x =--，{}0,1,2,3x ∈.当0x =时，0y =；当1x =时，1y =-；当2x =时，0y =；当3x =时，1y =. 因此，原函数的值域为{}1,0,1-. 故选：B. 6．C 【分析】先求出集合A ，B ，再根据交集的定义即可求出. 【详解】{{}1A x y x x ===≥，{}{}222B y y x y y ==+=≥，{}[)22,A B x x ∴⋂=≥=+∞.故选：C. 7．B 【分析】先根据12所在区间计算出12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的结果，然后再根据12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭所在区间计算出12f f ⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值.【详解】 因为112≤，所以1131222f ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，又因为312>，所以133332222f f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选：B. 8．A 【分析】设()()0f x kx b k =+≠，由题意可得()(())()41f f x f kx b k kx b b x =+=++=-，即()2411k b k ⎧=⎪⎨+=-⎪⎩，求出k 和b 的值，即可得()f x 的解析式. 【详解】设()()0f x kx b k =+≠，则()(())()41f f x f kx b k kx b b x =+=++=-， 即241k x kb b x ++=-对任意的x 恒成立，所以()2411k b k ⎧=⎪⎨+=-⎪⎩，解得：213k b =⎧⎪⎨=-⎪⎩或21k b =-⎧⎨=⎩， 所以()f x 的解析式为1()23f x x =-或()21f x x =-+， 故选：A 【点睛】方法点睛：求函数解析式的方法（1）待定系数法：已知函数类型，可用待定系数法求解，先设出()f x ，再利用题目中给的已知条件，列出关于待定系数的方程组，进而求出待定的系数；（2）换元法：主要用于解决已知复合函数()f g x ⎡⎤⎣⎦的表达式求()f x 的解析式的问题，令()g x t =，解出x ，然后代入()f g x ⎡⎤⎣⎦中即可求得()f t ，从而求得()f x ，要注意新元的取值范围；（3）配凑法：配凑法是将()f g x ⎡⎤⎣⎦右端的代数式配凑成关于()g x 的形式，进而求出()f x 的解析式；（4）构造方程组法（消元法）：主要解决已知抽象函数关系式求解函数解析式的问题.方法是根据不同的变量之间的关系，利用变换形式构造不同的等式，通过解方程组求解. 9．C 【分析】根据函数的单调性和奇偶性对各个选项逐一分析即可. 【详解】 对A ，函数2y x =-的图象关于y 轴对称，故2y x =-是偶函数，故A 错误； 对B ，函数12y x =的定义域为[)0,+∞不关于原点对称，故12y x =是非奇非偶函数，故B 错误； 对C ，函数1y x -=的图象关于原点对称，故1y x -=是奇函数，且在(0,)+∞上单调递减，故C 正确； 对D ，函数3y x =的图象关于原点对称，故3y x =是奇函数，但在(0,)+∞上单调递增，故D 错误. 故选：C. 10．C 【分析】根据题中条件，确定函数()f x 在()0,∞+上单调递减，根据函数奇偶性与单调性，逐项判断，即可得出结果. 【详解】因为“1x ∀，()20x ∈+∞，，12x x >时，都有()()12f x f x <” 所以函数()f x 在()0,∞+上单调递减；A 选项，当0x >时，11y x x =+=+显然单调递增，故A 错；B 选项，对于1y x x =-，()()111x x x x x x ⎛⎫--=-+=-- ⎪-⎝⎭，所以1y x x =-是奇函数，不满足题意，故B 错； C 选项，对于4y x -=，()44x x ---=，所以4y x -=是偶函数，且4y x -=在()0,∞+上显然单调递减，满足题意，故C 正确；D 选项，当0x >时，33x x y ==显然单调递增，不满足题意；故D 错. 故选：C. 11．B 【分析】由偶函数可得定义域对称，可求得3a =-，由二次函数的性质即可判断. 【详解】2()2f x ax bx =+-是定义在[]1,2a +上的偶函数，12a ∴+=-，解得3a =-，()f x ∴的对称轴为y 轴，开口向下，∴()f x 在区间[]1,2上是减函数.故选：B. 12．C 【分析】由()f x 是偶函数，可得0a ≠且0b =，又由定义域[]31,a a -关于原点对称，可得31410a a a -+=-=，所以14a =，即可得解. 【详解】根据偶函数的性质，由2()355f x ax bx a b =+-+是偶函数，可得0b =， 又由定义域[]31,a a -关于原点对称， 可得31410a a a -+=-=，所以14a =， 所以14a b +=，故选：C. 【点睛】本题考查了偶函数的性质，考查了利用偶函数图像的对称性以及定义域的对称性求值，属于基础题.13．{1x x >且2}x ≠ 【分析】根据真数大于0，分母不为0，即可求得答案. 【详解】 由题意得1020x x ->⎧⎨-≠⎩，解得1x >且2x ≠，所以定义域为：{1x x >且2}x ≠故答案为：{1x x >且2}x ≠14． 【分析】利用基本不等式确定其最小值，结合端点值确定最大值，即可知值域. 【详解】由[]1,2x ∈，()2f x x x=+≥x =时等号成立，而(1)(2)3f f ==，所以()f x ∈，故答案为： 15．{}|3y R y ∈≠ 【分析】将函数分离常数，进行整理，得到反比例函数平移的形式，从而得到y 的取值范围，得到答案. 【详解】函数()3273173222x x y x x x -++===+---， 可以看作是将函数7y x=向右平移2个单位，再向上平移3个单位， 因为函数7y x=的值域为{}|0y R y ∈≠ 所以原函数的值域为{}|3y R y ∈≠. 故答案为：{}|3y R y ∈≠. 16．2x x -- 【分析】当0x <时，根据奇函数的性质转到0x >时的解析式可求得结果. 【详解】当0x <时，0x ->,2()()[()()]f x f x x x =--=----2x x =--. 故答案为：2x x --17．（1）1，1；（2）证明见解析. 【分析】（1）根据函数解析式代入即可求解. （2）根据解析式，代入整理即可求解. 【详解】（1）因为()221x f x x=+， 所以()2222112221212112f f ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭+=+= ⎪+⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭， ()2222113331313113f f ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭+=+= ⎪+⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭．（2）()22222222211111111111x x x x f x f x x x x x x ⎛⎫ ⎪+⎛⎫⎝⎭+=+=+== ⎪++++⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭，是定值． 18．（1）6；（2【分析】（1）逐步代入求值即可；（2）分段讨论每一段范围下对应的函数解析式，然后求解即可.【详解】解：（1）23,f ==((3)23 6.f f f ==⨯=（2）当a ≤-1时，f (a )=a +2=3得a =1舍去.当-1<a <2时，f (a )=a 2=3得a =或a =)当a ≥2时，f (a )=2a =3得a =1.5舍去综上所述得a19．（1）53,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）1,12⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭． 【分析】（1）分离常数法将该函数变成321y x =-+，由x ∈[3，5]，即可得出该函数值域； （2）令0t =≥，则223t x +=，把原函数转化为关于t 的二次函数即可求值域． 【详解】（ 1）212(1)332111x x y x x x -+-===-+++，因为x ∈[3，5]，所以416x ≤+≤， 所以133214x ≤≤+，331412x -≤-≤-+，即5332412x ≤-≤+， 所以211x y x -=+的值域为53,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦．（2）令0t =≥，则223t x +=， 则222232131333212t t t y t t +-+⎛⎫=-==-- ⎪⎝⎭（t ≥0）， 当32t =时，函数有最小值为112-. ∈函数的值域为1,12⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭． 20．（1）()2256f x x x =-+；（2）()23f x x =+或()29f x x =--；（3）21()33f x x x=-. 【分析】（1）用换元法，设1x t 求出x ，表示出()f t ，可得出()f x 的解析式.（2）通过()f x 为一次函数可设()f x kx b =+，然后再通过()f f x ⎡⎤⎣⎦的解析式，可求出,k b 的值.（3）由12()f x f x x ⎛⎫+=⎪⎝⎭可得出112()f f x x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，将两个方程联立可得出()f x 的解析式.【详解】（1）令1t x =+则1x t =-. 2()2(1)(1)3f t t t ∴=---+224213t t t =-+-++2256t t =-+.()2256f x x x ∴=-+（2）()f x 为一次函数∴设()(0)f x kx b k =+≠.()()()f f x f kx b k kx b b ∴=+=++⎡⎤⎣⎦249k x kb b x =++=+.249k kb b ⎧=∴⎨+=⎩23k b =⎧∴⎨=⎩或29k b =-⎧⎨=-⎩ ()23f x x ∴=+或()29f x x =--.（3）12()f x f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭∈112()f f x x x ⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭∈. 联立∈式，∈式 则21()33f x x x=-. 21．（1）2a =，0b =；（2）证明见详解.【分析】（1）根据函数是奇函数，得到()00f b ==，根据()12f =求出a ，再验证函数奇偶性，即可得出结果；（2）任取12x x <，作差比较()1f x 与()2f x ，根据函数单调性的定义，即可得出结论.【详解】（1）因为()f x ax b =+是R 上的奇函数，所以()00f b ==，则()f x ax =；又()12f =，所以2a =，则()2f x x =，此时()()2f x x f x -=-=-，所以()2f x x =是奇函数，满足题意；故2a =，0b =；（2）任取12x x <，则()()()121220f x f x x x -=-<显然成立，即()()12f x f x <， 所以()f x 在R 上是增函数.【点睛】方法点睛：定义法判定函数()f x 在区间D 上的单调性的一般步骤：1.取值：任取1x ，2x D ∈，规定12x x <，2.作差：计算()()12f x f x -；3.定号：确定()()12f x f x -的正负；4.得出结论：根据同增异减得出结论.22．（∈）证明见解析；（∈）-和【分析】（∈）利用函数奇偶性定义证明，先求得函数的定义域，再判断()(),f x f x -的关系.（∈）将函数变形为()()2ln 9f x x=-，令()()2ln 90f x x =-=求解. 【详解】（∈）由3030x x +>⎧⎨->⎩，解得33x -<<， 所以函数的定义域为{}|33x x -<<关于原点对称， 又∈()()()()ln 3ln 3f x x x f x -=-++=， ∈()f x 是偶函数.（∈）()()()()2ln 3ln 3ln 9f x x x x =-++=-. 令()()2ln 90f x x =-=，∈291x -=，解得x =±.∈函数()f x 的零点为-和。

【方法综述】导数中的参数问题主要指的是形如“已知不等式恒成立、存在性、方程的根、零点等条件，求解参数的取值或取值范围”.这类问题在近几年的高考中，或多或少都有在压轴选填题或解答题中出现，属于压轴常见题型。

而要解决这类型的题目的关键，突破口在于如何处理参数，本专题主要介绍分离参数法、分类讨论法及变换主元法等，从而解决常见的导数中的参数问题。

【解答策略】一．分离参数法分离参数法是处理参数问题中最常见的一种手段，是把参数和自变量进行分离，分离到等式或不等式的两边（当然部分题目半分离也是可以的），从而消除参数的影响，把含参问题转化为不含参数的最值、单调性、零点等问题，当然使用这种方法的前提是可以进行自变量和参数的分离. 1．形如()()af x g x =或()()af x g x <(其中()f x 符号确定)该类题型，我们可以把参数和自变量进行完全分离，从而把含参数问题转化为不含参数的最值、单调性或图像问题.例1．已知函数432121()ln 432e f x x x ax x x x =-++-在(0,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是 A ．21[,)e e++∞B ．(0,]eC ．21[2,)e e--+∞ D ．[21,)e -+∞【来源】广东省茂名市五校2020-2021学年高三上学期第一次（10月）联考数学（理）试题 【答案】A【解析】32()2ln 0f x x ex ax x '=-+-≥在(0,)+∞上恒成立2ln 2xa ex x x⇔≥+-， 设2ln ()2x p x ex x x =+-，221ln 2()()x e x x p x x-+-'=， 当0x e <<时，()0p x '>；当x e >时，()0p x '<；()p x ∴在(0,)e 单调递增，在(,)e +∞单调递减，21()()p x p e e e∴≤=+，21a e e ∴≥+.故选：A .专题6.2 导数中的参数问题【举一反三】1.（2020·宣威市第五中学高三（理））若函数()f x 与()g x 满足：存在实数t ，使得()()f t g t '=，则称函数()g x 为()f x 的“友导”函数.已知函数21()32g x kx x =-+为函数()2ln f x x x x =+的“友导”函数，则k 的最小值为（ ） A ．12B ．1C ．2D ．52【答案】C【解析】()1g x kx '=-，由题意，()g x 为函数()f x 的“友导”函数，即方程2ln 1x x x kx +=-有解，故1ln 1k x x x=++， 记1()ln 1p x x x x =++，则22211()1ln ln x p x x x x x-'=+-=+， 当1x >时，2210x x ->，ln 0x >，故()0p x '>，故()p x 递增； 当01x <<时，2210x x-<，ln 0x <，故()0p x '<，故()p x 递减， 故()(1)2p x p ≥=，故由方程1ln 1k x x x=++有解，得2k ≥，所以k 的最小值为2.故选：C. 2．（2020·广东中山纪念中学高三月考）若函数()()()2ln 2010a x x x f x x a x x ⎧-->⎪=⎨++<⎪⎩的最大值为()1f -，则实数a 的取值范围为（ ）A ．20,2e ⎡⎤⎣⎦B ．30,2e ⎡⎤⎣⎦C ．(20,2e ⎤⎦D ．(30,2e ⎤⎦【答案】B【解析】由12f a -=-+（） ，可得222alnx x a --≤-+ 在0x ＞ 恒成立， 即为a （1-lnx ）≥-x 2，当x e = 时，0e -＞ 2显然成立；当0x e ＜＜ 时，有10lnx -＞ ，可得21x a lnx ≥-，设201x g x x e lnx =-（），＜＜，222(1)(23)(1)(1)x lnx x x lnx g x lnx lnx （），---'==-- 由0x e ＜＜ 时，223lnx ＜＜ ，则0g x g x （）＜，（）'在0e （，）递减，且0g x （）＜ ， 可得0a ≥ ；当x e ＞ 时，有10lnx -＜ ，可得21x a lnx ≤- ， 设22(23)1(1)x x lnx g x x e g x lnx lnx -='=--（），＞，（）， 由32 e x e ＜＜ 时，0g x g x （）＜，（）' 在32 e e （，）递减， 由32x e >时，0g x g x '（）＞，（） 在32 ,x e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭递增， 即有)g x （ 在32x e = 处取得极小值，且为最小值32e ， 可得32a e ≤ ，综上可得302a e ≤≤ ．故选B ．3.（2020湖南省永州市高三）若存在，使得成立，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】原不等式等价于：令，则存在，使得成立又 当时，，则单调递增；当时，，则单调递减，，即当且仅当，即时取等号，即，本题正确选项：2．形如()(),f x a g x =或()()af x g x <（其中(),f x a 是关于x 一次函数）该类题型中，参数与自变量可以半分离，等式或不等式一边是含有参数的一次函数，参数对一次函数图像的影响是比较容易分析的，故而再利用数形结合思想就很容易解决该类题目了.【例2】已知函数2ln 1()x mx f x x+-=有两个零点a b 、，且存在唯一的整数0(,)x a b ∈，则实数m 的取值范围是（ ）A ．0,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．ln 2,14e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．ln 3,92e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．ln 2e 0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】由题意2ln 1()0x mx f x x+-==，得2ln 1x m x +=， 设2ln 1()(0)x h x x x +=>，求导4332(ln 1)12(ln 1)(2ln 1)()x x x x x h x x x x-+-+-+'=== 令()0h x '=，解得12x e -=当120x e -<<时，()0h x '>，()h x 单调递增；当12x e ->时，()0h x '<，()h x 单调递减； 故当12x e -=时，函数取得极大值，且12()2e h e -=又1=x e时，()0h x =；当x →+∞时，2ln 10,0x x +>>，故()0h x →； 作出函数大致图像，如图所示：又(1)1h =，ln 21ln 2(2)44eh +== 因为存在唯一的整数0(,)x a b ∈，使得y m =与2ln 1()x h x x+=的图象有两个交点， 由图可知：(2)(1)h m h ≤<，即ln 214em ≤< 故选：B.【方法点睛】已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 【举一反三】1．（2020·重庆市第三十七中学校高三（理））已知函数32()32f x x x ax a =-+--，若刚好有两个正整数(1,2)i x i =使得()0i f x >，则实数a 的取值范围是( )A ．20,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．20,3⎛⎤ ⎥⎦⎝C ．2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】A【解析】令32()3,()(2)()()()g x x x h x a x f x g x h x =-+=+∴=-，且2'()36g x x x =-+， 因为刚好有两个正整数(1,2)i x i =使得()0i f x >，即()()i i g x h x >， 作出(),()g x h x 的图象，如图所示，其中()h x 过定点(2,0)-，直线斜率为a ，由图可知，203a ≤≤时， 有且仅有两个点()()1,2,2,4满足条件， 即有且仅有121,2x x ==使得()0i f x >. 实数a 的取值范围是20,3⎛⎤ ⎥⎦⎝，故选：A2（2020济宁市高三模拟）已知当时，关于的方程有唯一实数解，则所在的区间是( ) A ．(3，4) B ．(4，5)C ．(5，6)D ．(6．7)【答案】C 【解析】由xlnx+（3﹣a ）x+a ＝0，得，令f （x ）（x ＞1），则f′（x ）．令g （x ）＝x ﹣lnx ﹣4，则g′（x ）＝10，∴g（x ）在（1，+∞）上为增函数， ∵g（5）＝1﹣ln5＜0，g （6）＝2﹣ln6＞0， ∴存在唯一x 0∈（5，6），使得g （x 0）＝0，∴当x∈（1，x 0）时，f′（x ）＜0，当x∈（x 0，+∞）时，f′（x ）＞0． 则f （x ）在（1，x 0）上单调递减，在（x 0，+∞）上单调递增．∴f（x）min＝f（x0）．∵﹣4＝0，∴，则∈（5，6）．∴a所在的区间是（5，6）．故选：C3.（2020蚌埠市高三）定义在上的函数满足，且，不等式有解，则正实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，故，因，所以即.不等式有解可化为即在有解.令，则，当时，，在上为增函数；当时，，在上为减函数；故，所以，故选C.二．分类讨论法分类讨论法是指通过分析参数对函数相应性质的影响，然后划分情况进行相应分析，解决问题的方法，该类方法的关键是找到讨论的依据或分类的情况，该方法一般在分离参数法无法解决问题的情况下，才考虑采用，常见的有二次型和指对数型讨论. 1.二次型根的分布或不等式解集讨论该类题型在进行求解过程，关键步骤出现求解含参数二次不等式或二次方程， 可以依次考虑依次根据对应定性（若二次项系数含参），开口，判别式，两根的大小（或跟固定区间的端点比较）为讨论的依据，进行分类讨论，然后做出简图即可解决.【例3】（2020·全国高三专题）函数()()23xf x x e =-，关于x 的方程()()210fx mf x -+=恰有四个不同实数根，则正数m 的取值范围为( ) A ．()0,2 B ．()2,+∞C ．3360,6e e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ．336,6e e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】利用导函数讨论函数单调性与极值情况，转化为讨论210t mt -+=的根的情况，结合根的分布求解.【详解】()()()()22331x xx x e x f e x x =+-=+-'，令()0f x '=，得3x =-或1x =，当3x <-时，()0f x '>，函数()f x 在(),3-∞-上单调递增，且()0f x >; 当31x -<<时，()0f x '<，函数()f x 在()3,1-上单调递减; 当1x >时，()0f x '>，函数()f x 在()1,+∞上单调递增. 所以极大值()363f e-=，极小值()12f e =-，作出大致图象：令()f x t =，则方程210t mt -+=有两个不同的实数根，且一个根在360,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭内，另一个根在36,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内， 或者两个根都在()2,0e -内.因为两根之和m 为正数，所以两个根不可能在()2,0e -内.令()21g x x mx =-+，因为()010g =>，所以只需360g e ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即6336610m e e -+<，得3366e m e >+，即m 的取值范围为336,6e e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭.故选：D【举一反三】1．（2020·湖南衡阳市一中高三月考（理））已知函数()f x kx =，ln ()xg x x=，若关于x 的方程()()f x g x =在区间1[,]e e内有两个实数解，则实数k 的取值范围是( )A ．211[,)2e eB ．11(,]2e eC ．21(0,)e D ．1(,)e+∞【答案】A【解析】易知当k ≤0时，方程只有一个解，所以k >0．令2()ln h x kx x =-，2121(21)(21)()2kx k x k x h x kx x x x--+=-=='， 令()0h x '=得12x k =，12x k=为函数的极小值点， 又关于x 的方程()f x =()g x 在区间1[,]e e内有两个实数解，所以()01()01()02112h e h e h k e ek ≥⎧⎪⎪≥⎪⎪⎨<⎪⎪⎪<<⎪⎩，解得211[,)2k e e ∈，故选A.2.（2020扬州中学高三模拟）已知函数有两个不同的极值点，，若不等式恒成立，则实数的取值范围是_______．【答案】【解析】∵，∴．∵函数有两个不同的极值点，，∴，是方程的两个实数根，且，∴，且，解得．由题意得．令，则，∴在上单调递增，∴．又不等式恒成立，∴，∴实数的取值范围是．故答案为．2．指数对数型解集或根的讨论该类题型在进行求解过程，关键步骤出现求解含参指对数型不等式或方程， 可以依次考虑依次根据对应指对数方程的根大小(或与固定区间端点的大小)为讨论的依据,进行分类讨论. 即可解决.【例4】（2020•泉州模拟）已知函数f （x ）＝ae x ﹣x ﹣ae ，若存在a ∈（﹣1，1），使得关于x 的不等式f （x ） ﹣k ≥0恒成立，则k 的取值范围为（ ） A ．（﹣∞，﹣1] B ．（﹣∞，﹣1）C ．（﹣∞，0]D ．（﹣∞，0）【答案】A【解析】不等式f （x ）﹣k ≥0恒成立，即k ≤f （x ）恒成立； 则问题化为存在a ∈（﹣1，1），函数f （x ）＝ae x ﹣x ﹣ae 有最小值，又f ′（x ）＝ae x ﹣1，当a ∈（﹣1，0]时，f ′（x ）≤0，f （x ）是单调减函数，不存在最小值； 当a ∈（0，1）时，令f ′（x ）＝0，得e x ＝，解得x ＝﹣lna ， 即x ＝﹣lna 时，f （x ）有最小值为f （﹣lna ）＝1+lna ﹣ae ； 设g （a ）＝1+lna ﹣ae ，其中a ∈（0，1），则g ′（a ）＝﹣e ，令g ′（a ）＝0，解得a ＝，所以a ∈（0，）时，g ′（a ）＞0，g （a ）单调递增；a ∈（，1）时，g ′（a ）＜0，g （a ）单调递减；所以g （a ）的最大值为g （）＝1+ln ﹣•e ＝﹣1； 所以存在a ∈（0，1）时，使得关于x 的不等式f （x ）﹣k ≥0恒成立，则k 的取值范围是（﹣∞，﹣1]．故选：A ． 【举一反三】1．函数()()211,12x f x x e kx k ⎛⎫⎛⎤=--∈⎪⎥⎝⎦⎝⎭,则()f x 在[]0,k 的最大值()h k =（ ） A . ()32ln22ln2-- B . 1- C . ()22ln22ln2k -- D . ()31k k e k --【答案】D2．（2020·浙江省杭州第二中学高三期中）已知函数()f x 的图象在点()00,x y 处的切线为():l y g x =，若函数()f x 满足x I ∀∈（其中I 为函数()f x 的定义域，当0x x ≠时，()()()00f x g x x x -->⎡⎤⎣⎦恒成立，则称0x 为函数()f x 的“转折点”，已知函数()2122x f x e ax x =--在区间[]0,1上存在一个“转折点”，则a 的取值范围是 A ．[]0,e B ．[]1,eC ．[]1,+∞D ．(],e -∞ 【答案】B【解析】由题可得()2xf x e ax =--'，则在()00,x y 点处的切线的斜率()0002xk f x e ax ==--'，0200122x y e ax x =--，所以函数()f x 的图象在点()00,x y 处的切线方程为：00200001(2)(2)()2x x y e ax x e ax x x ---=---，即切线()00200001:=(2)()+22x xl y g x e ax x x e ax x =-----，令()()()h x f x g x =-， 则002200011()2(2)()222x x xh x e ax x e ax x x e ax x =-------++，且0()0h x = 0000()2(2)=+x x x x h x e ax e ax e ax e ax =-------'，且0()0h x '=，()x h x e a ='-'，（1）当0a ≤时，()0xh x e a =-'>'，则()h x '在区间[]0,1上单调递增，所以当[)00,x x ∈，0()()0h x h x ''<=，当(]0,1x x ∈，0()()0h x h x ''>=，则()h x 在区间[)00,x 上单调递减，0()()0h x h x >=，在(]0,1x 上单调递增，0()()0h x h x >=所以当[)00,x x ∈时，0()()0h x x x -<，不满足题意，舍去，（2）当01a <<时， ()0xh x e a =-'>'（[]0,1x ∈），则()h x '在区间[]0,1上单调递增，所以当[)00,x x ∈，0()()0h x h x ''<=，当(]0,1x x ∈，0()()0h x h x ''>=，则()h x 在区间[)00,x 上单调递减，0()()0h x h x >=，在(]0,1x 上单调递增，0()()0h x h x >=，所以当[)00,x x ∈时，0()()0h x x x -<，不满足题意，舍去，（3）当1a =，()10x h x e =-'≥'（[]0,1x ∈），则()h x '在区间[]0,1上单调递增，取00x =，则()10x h x e x =-->'，所以()h x 在区间(]0,1上单调递增，0()()0h x h x >=，当00x x ≠=时，0()()0h x x x ->恒成立，故00x =为函数()2122x f x e ax x =--在区间[]0,1上的一个“转折点”，满足题意。

1.2 集合间的基本关系一、单选题1．设{}|26A x x =≤≤，{}|23B x a x a =≤≤+，若B A ⊆，则实数a 的取值范围是 A ．[]1,3 B ．[3,)+∞ C ．[1,)+∞ D ．()1,3 2．设集合{|03}A x N x =∈<的真子集个数为（ ）A ．16B ．8C ．7D ．43．以下六个关系式：①{}00∈，②{}0⊇∅，③0.3Q ∉，④0N ∈，⑤{}{},,a b b a ⊆， ⑥2{|20,}x x x Z -=∈是空集，其中错误的个数是 A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 4．设23{|}A x x =<<，{|}B x x m =<，若A B ⊆，则实数m 的取值范围是（ ）A ．[3,)+∞B ．(3,)+∞C ．(,2)-∞D ．(,2]-∞ 5．已知集合{|64A x x m n ==+其中,}m n Z ∈，{|108B x x a b ==+，其中,}a b Z ∈则A 与B 的关系为A ．AB =B ．B A ⊃≠C ．A B ⊃≠D ．A B =∅6．已知集合{=M x x ≥，a = ） A ．{}a M ⊆ B ．a M ⊆C ．{}a M ∈D ．a M ∉7．空集∅不包含任何元素，也就是空集中的元素个数是（ ）A ．0B ．1C ．+∞D ．i （虚数单位，平方等于1-）8．集合{}1,2,3A =的所有子集的个数为（ ） A ．5个 B ．6个 C ．7个D ．8个9．设集合{}220P x x =-≥，{}1,2,3,4Q =，则P Q 的非空子集的个数为（ ）A ．8B ．7C ．4D ．310．已知集合A ＝﹣1，2}，B ＝x|ax ＝1}，若B ⊆A ，则由实数a 的所有可能的取值组成的集合为（ ） A ．1{1,}2B ．1{1,}2- C ．1{0,1,}2D ．1{0,1,}2-二、填空题1．已知集合{}2230P x x x =+-=，{}1Q x mx ==，若Q P ⊆，则实数m 的取值集合为_______. 2．已知集合{},,2A a b =，{}22,,2=B b a 且A B =，则a =_______________．3．若集合{}{}1,21,2,3,4A ⊆，则满足条件A 有_____个.4．已知a 、b C ∈，集合{}{}2,,1a b a b =+，则⋅=a b ______.5．在①1⊆｛0,1,2｝；②｛1｝∈｛0,1,2｝；③｛0,1,2｝⊆｛0,1,2｝；④∅⊆｛0｝上述四个关系中，错误的是_________. 三、解答题 1．设集合，集合，若，求实数a 的取值范围.2．已知集合 2{|210}M x mx x =++=． （1）若 M 有两个子集，求 m 的取值范围； （2）若 M 中至多有两个子集，求 m 的取值范围．3．设集合{}25A x x =-≤≤，{}|121B x m x m =-≤≤+ （1）当*x ∈N 时，求集合A 的真子集的个数. （2）当x ∈R ，B A ⊆时，求 m 的取值范围.4．已知集合2{|30}P x x x m =∈-+=R ，集合22(){|(1)340}Q x x x x =∈++-=R ，集合P 能否成为Q 的一个子集？若能，求出m 的取值范围；若不能，请说明理由.5．已知函数()32f x x x =-+的定义域为集合A ，{|}B x x a =< （1）若A B ⊆，求a 的取值范围;（2）若全集{|4}U x x =≤，1a =-，求()U A C B ⋂.参考答案一、单选题1．C解析：由B A⊆，可对集合B分类：是∅或不是∅，然后计算得到结果. 详解：因为B A⊆，当B=∅时，符合要求，则有：23a a>+，即3a>；当B≠∅时，则有：232236a aaa≤+⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，解得13a≤≤；则a的取值范围是：[)1,+∞，故选C.点睛：本题考查利用子集关系求解参数范围问题，难度较易.利用子集关系求解问题时，注意集合是否可能是空集.2．C解析：首先判断集合A的元素个数，再求真子集个数.详解：{}0,1,2A=，所以集合A的真子集个数是3217-=.故选：C3．D详解：试题分析：根据元素与集合间的关系可判定①④正确，③不正确，根据集合与集合之间的关系可判定②⑤⑥正确.故选D．考点：1、元素与集合间的关系；2、子集与真子集．4．A解析：由A B⊆得到关于m的不等式，能求出实数m的取值范围．详解：解：{|23}A x x =<<，{|}B x x m =<，A B ⊆，3m ∴≥，∴实数m 的取值范围是[)3,+∞．故选：A ． 点睛：本题考查实数的取值范围的求法，考查元素与集合的关系、集合与集合的关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 5．A解析：先任取11,64,,∈=+∈x A x m n m n Z ，分,m n 同为奇数或同为偶数和,m n 一奇一偶两种情况向集合B 进行变形，得到1108,,=+∈x a b a b Z 形式，说明1,∈x B 同理任取2,∈x B 2108,,=+∈x a b a b Z ，变形为()2642=++x a a b 说明2,∈x A 得到A B =.详解：任取11,64,,∈=+∈x A x m n m n Z当,m n 同为奇数或同为偶数时， 1108()2-=+n mx m 当,m n 一奇一偶时，1510(2)8()2-+=-+n m x m 因为,m n Z ∈所以2-∈n m Z ，52-+∈n m Z 所以1108,,=+∈x a b a b Z 所以1,∈x B任取2,∈x B 2108,,=+∈x a b a b Z ，()2642=++x a a b,∈a b Z ，2∴+∈a b Z所以2,∈x A 所以A B = 故选：A 点睛：本题主要考查了集合的包含关系的判断和应用，还考查了转化化归分类的思想，属于难题. 6．A解析：M 是一个集合，a 是一个元素，且在集合M 中，由此可以选择. 详解：因为M 表示集合，a 表示一个元素，又≥，根据集合与元素之间的关系，可记作：a M ∈；亦可记作：{}a M ⊆. 故选：A. 点睛：本题考查集合与集合，元素与集合之间的关系以及记法，属简单基础题. 7．A解析：由空集的定义即可得到答案. 详解：由空集的定义知，空集不含任何元素，所以空集中的元素个数为0. 故选：A 点睛：本题考查空集的定义，考查学生对空集含义的理解，是一道容易题. 8．D解析：用列举法求出集合{}1,2,3A =的子集即可得解. 详解：解：因为集合{}1,2,3A =，则集合{}1,2,3A =的子集为：φ 、{}1、{}2、{}3、{}1,2{}1,3、{}2,3、{}1,2,3共8个，故选：D. 点睛：本题考查了集合子集的概念，属基础题. 9．B解析：先化简集合P ，由交集概念求出{}2,3,4⋂=P Q ，进而可求出其非空子集的个数. 详解：因为{}{220P x x x x =-≥=≥x ≤，{}1,2,3,4Q =，所以{}2,3,4⋂=P Q ，因此其非空子集的个数为：3217-=. 故选B 点睛：本题主要考查求集合的非空集合的个数，熟记公式，以及集合交集的概念即可，属于基础题型.10．D解析：先讨论B 为空集的情况，再根据B 不为空集求对应实数a 的值. 详解：当0a =时, B =∅，满足条件，所以0a =，当0a ≠时, 1{}B a=，由B ⊆A 得11a=-或12a=，所以1a =-或12a =， 因此由实数a 的所有可能的取值组成的集合为1{0,1,}2- 故选：D 点睛：本题考查根据集合包含关系求参数，考查基本分析求解能力，属中档题.二、填空题 1．20,1,3⎧⎫-⎨⎬⎩⎭解析：考虑Q =∅和Q ≠∅两种情况，31,2P ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，计算得到答案. 详解：{}232301,2P x x x ⎧⎫=+-==-⎨⎬⎩⎭，{}1Q x mx ==，Q P ⊆，当0m =时，Q =∅满足条件； 当11m =，即1m =时，满足条件；当132m =-，即23m =-时，满足条件. 故集合为20,1,3⎧⎫-⎨⎬⎩⎭. 故答案为：20,1,3⎧⎫-⎨⎬⎩⎭点睛：本题考查了根据集合包含关系求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力，忽略空集的情况是容易发生的错误.2．0或14解析：根据集合相等可得出关于实数a 、b 的方程组，利用集合元素满足互异性可求得实数a 的值.详解：集合{},,2A a b =，{}22,,2=B b a 且A B =，分以下两种情况讨论：①当22a a b b =⎧⎨=⎩时，解得00a b =⎧⎨=⎩或01a b =⎧⎨=⎩. 当0a b 时，集合A 、B 中的元素均不满足互异性； 当0a =，1b =时，{}0,1,2A B ==，合乎题意；②当22a b b a ⎧=⎨=⎩时，解得00a b =⎧⎨=⎩或1412a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.当0a b 时，集合A 、B 中的元素均不满足互异性；当14a =，12b =时，11,,242A B ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭，合乎题意.综上所述，0a =或14a =. 故答案为：0或14. 点睛：本题考查利用集合相等求参数值，考查分类讨论思想的应用，解题时要注意集合中的元素要满足互异性，考查计算能力，属于中等题. 3．3 详解：试题分析：集合A 显然一定含有元素1,2，而元素3,4可以都没有，也可以有一个，但不能两个都含有，故这样的A 有3个，实质是这里集合A 的个数是集合{}3,4的真子集的个数． 考点：子集．4．1-解析：根据题意得出21a b b a =+⎧⎨=⎩，解此方程组，即可计算出⋅a b 的值. 详解：1b b ≠+，且21a b b a =+⎧⎨=⎩，解得1212a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或1212a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩.当12a =，12b =-时，11122a b ⎛⎫⎛⎫⋅=-+=- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；当1322a i =-，1322b i =--时，131312222a b i i ⎛⎫⎛⎫⋅=---=- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 综上所述，1a b ⋅=-. 故答案为1-. 点睛：本题考查利用集合相等求参数，同时也考查了实系数方程虚根的求解，考查运算求解能力，属于中等题. 5．①②解析：①式中是元素与集合的关系，正确符号是∈．②式中是集合与集合的关系，正确符号是⊊．③根据集合相等定义，显然正确．④空集是任何集合的子集． 详解：①式中是元素与集合的关系，正确符号是∈．故错误． ②式中是集合与集合的关系，正确符号是⊊．故错误． ③根据集合相等定义，显然正确． ④空集是任何集合的子集，故正确． 综上所述，错误的是①②． 故答案为：①②． 点睛：本题考查命题的真假，考查元素与集合，集合与集合的关系，空集的性质．属于基础题．三、解答题 1．解析：先求出集合A 中的元素，结合集合A 和B 的关系，通过讨论B 中的元素得到关于的方程，解出即可． 详解： 集合 集合 若，则当时，，解得； 当时，则，解得，但当时，，不合题意；当时，则，解得，当时，，符合题意；当时，无解.综上，实数的取值范围是.点睛：本题考查了集合之间的关系，考查二次函数问题，分类讨论，是一道基础题．2．（1）{}01，；（2）{|10}m m m =或. 解析：（1）由子集的个数得集合A 中有且只有一个元素，从而可得参数值或范围； （2）由A 中元素个数为1或0可得结论． 详解：（1）① 0m = 时，2210mx x ++= 为一次方程，12M ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，符合题意；② 0m ≠ 时，若 M 中只有一个元素，则 Δ440m =-=，即 1m =．0m ∴= 或 1m =．（2）M 中至多只有一个元素：① M 中只有一个元素，由（1）知 0m =或1m =；② M 中没有元素，则此时 0440m m ≠⎧⎨∆=-<⎩，解得 1m ，所以 m 的取值范围为 {|10}m m m =或．3．（1）31个；（2）()[],21,2-∞-⋃-解析：（1）结合*x ∈N 得到集合A 中的元素，则A 的子集的个数可求； （2）根据B A ⊆，可讨论B 是否为空集，分别列出关于m 的不等式解出即可. 详解：（1）∵{}25A x x =-≤≤，*x ∈N ∴{}1,2,3,4,5A =，∴集合A 的真子集的个数为52131-=个. （2））∵B A ⊆；∴①B =∅时，121m m ->+，解得2m <-；②B ≠∅时，212215m m m ≥-⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩，解得12m -≤≤， 综上可得 m 的取值范围为()[],21,2-∞-⋃-.点睛：本题主要考查子集与真子集，考查了集合的包含关系及其应用，分类讨论思想的应用，属于中档题.4．能，9|4m m ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭.解析：分析P =∅与P ≠∅两种情况,再讨论P 是Q 的一个子集的情况即可.详解：（1）当P =∅时,则方程230x x m -+=无实数根,即940m ∆=-<,所以94m >.（2）当P ≠∅时,因为{1,4,1}Q =--,所以①当1P -∈时,1-是方程230x x m -+=的一个根,所以4m =-,此时{4,1}p =-,不是Q 的一个子集；②当4P -∈时,4-是方程230x x m -+=的一个根,所以28m =-,此时{4,7}P =-,不是Q 的一个子集；③当1P ∈时,1是方程230x x m -+=的一个根,所以2m =,此时{1,2}P =,不是Q 的一个子集. 综上可知,P 成为Q 的一个子集时,m 的取值范围是9|4m m ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭.点睛：本题主要考查了集合间的基本关系与二次函数根的问题,属于中等题型.5．()1 3.a >()[]21,3-解析：（1）根据函数定义域的要求,可得集合A.根据子集的意义和数轴,即可求得a 的取值范围;（2）根据补集和交集的运算即可求得()U A C B ⋂.详解：（1）函数()132f x x x =-++,所以x 需满足3020x x -⎧⎨+>⎩,解得23x -< 所以{|23}A x x =-<因为{|}B x x a =<且A B ⊆,图示如下所以a 的取值范围是 3.a >（2）因为全集{|4}U x x =≤,且{|23}A x x =-<所以|2{U C A x x =≤-或3}4x ≤＜因为1a =-所以{|1}B x x =<- 所以{}14U C B x x =-≤≤所以{}{}23141{|}|3|U A C B x x x x x x ⋂=-≤⋂-≤≤=-≤≤（）＜ 即()U A C B ⋂为[]1,3-点睛：本题考查了函数定义域及其求法,集合交集、补集的混合运算，注意边界能否取等号，属于基础题．。

1.2 集合间的基本关系一、单选题1．定义集合A*B=x x A x B ∈∉，}，若A=1，2,3,4,5}，B=2,4,5}，则集合A*B 的子集的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．42．已知集合{|}A x y x =∈Z ，则集合A 的真子集的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3．已知集合A=x|a≤x<3)，B=[1，+∞)，若A 是B 的子集，则实数a 取值范围为（ ）A ．[0，3)B ．[1，3)C ．[0，+∞)D ．[1，+∞)4．设集合1,42k A x x k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，1,24k B x x k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，则集合A 与B 的关系是（ ）A ．AB ⊆ B ．B A ⊆C ．A B =D ．A 与B 关系不确定5．已知集合{0,1,2}A =，{,2}B a =，若B A ⊆，则a =A ．0B ．0或1C ．2D ．0或1或26．已知集合{}1,2,4A =，{}1,B x =，若B A ⊆，则x = A ．1B ．2C ．2或4D ．1或2或47．满足关系{}1{1,2,3,4}B ⊆⊆的集合B 的个数（ ） A ．5个B ．6个C ．7个D ．8个8．集合{}{}14,A x x B x x a =-≤≤=>，若A B ⋂≠∅，则a 的取值范围为（ ） A ．4a < B ．4a >- C ．1a >-D ．14a -<≤9．已知全集{1,3,5,7}U =，集合{1,3},{3,5}A B ==，则()()U UA B =（ ）A ．{3}B ．{3}C ．{3,7}D ．{1,3,5}10．非空集合P 满足下列两个条件：（1）P {}1,2,3,4,5，（2）若元素a P ，则6a P -∈，那么集合P 的个数是（ ） A ．5 B ．6 C ．7D ．8二、填空题1．含有三个实数的集合既可表示成,,1b a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，又可表示成{}2,,0a a b +，则20212020a b +=_______． 2．已知集合{}1,0,1,7A =-，则集合A 的非空真子集的个数为_________.3．已知集合{}23A x x =-<<，{}B x x m =<，若A B B ⋃=，则实数m 的取值范围是______．4．已知集合{}101M =-，，，{},,N x x ab a b M a b ==∈≠且，则集合M 与集合N 的关系是__________．5．已知集合M ={1,ab ,b}，N ={0,a +b,b 2}，M =N ，则a 2010+b 2011=_______． 三、解答题1．已知集合{|12},{|11}A x ax B x x =<<=-<<，求满足A B ⊆的实数a 的取值范围. 2．已知是方程的实数解集，，，且，，求实数对．3．已知集合A ＝x|－2≤x≤5}，B ＝x|m ＋1≤x≤2m－1}． (1)若A∪B＝A ，求实数m 的取值范围； (2)当x∈Z 时，求A 的非空真子集的个数； (3)当x∈R 时，若A∩B＝∅，求实数m 的取值范围．4．设,x y R ∈，集合{}23,A x xy y =++，{}21,3B x xy x =++-，且A B =，求实数x ，y 的值5．已知函数()32f x x x =-+的定义域为集合A ，{|}B x x a =< （1）若A B ⊆，求a 的取值范围;（2）若全集{|4}U x x =≤，1a =-，求()U A C B ⋂.参考答案一、单选题 1．D解析：先理解新定义集合的运算法则，可求得A*B={}1,3,再求集合{}1,3的子集即可. 详解：解：由A=1,2,3,4,5}，B=2,4,5}，又集合A*B=x x A x B ∈∉，}， 所以A*B={}1,3,又集合{}1,3的子集为φ，{}1，{}3，{}1,3共4个， 即集合A*B 的子集的个数是4， 故选：D. 点睛：本题考查了新定义集合的运算，重点考查了集合子集的运算，属基础题. 2．C解析：由题可得,(1)(2)0x x --≥,结合Z x ∈可求出集合A ,进而可求出集合A 的真子集的个数. 详解：由题意,(1)(2)0x x --≥,解得12x ≤≤,又因为Z x ∈,所以1x =或2x =, 故{1,2}A =,则集合A 的真子集的个数为2213-=. 故选:C. 点睛：集合A 有n 个元素,其子集有2n 个,真子集有21n -个. 3．D解析：根据条件讨论A 是否为空集：A =∅时，3a ；A ≠∅时，31a a <⎧⎨⎩，解出a 的范围即可． 详解：解：{|3}A x a x =<，[1B =，)+∞，且A B ⊆，∴①A =∅时，3a ；②A ≠∅时，31a a <⎧⎨⎩，解得13a <，∴综上，实数a 的取值范围为[1，)+∞．故选：D ． 点睛：本题考查了子集的定义，描述法、区间的定义，分类讨论的思想，考查了计算能力，属于基础题． 4．B解析：化简集合A 与B,可知B 中的元素都在A 中，即可确定集合A 与集合B 的关系. 详解：因为12,,424k k A x x k Z x x k Z +⎧⎫⎧⎫==+∈==∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，21,4k B x x k Z +⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭， 当k Z ∈时，2k +为整数，21k +为奇数， 所以B A ⊆,故选B. 点睛：本题主要考查了集合之间的关系，子集的概念，属于中档题. 5．B解析：根据集合B 是集合A 的子集，得出a 的所有可能取值，由此得出正确选项. 详解：由B A ⊆，可知{0,2}B =或{1,2}B =，所以0a =或1.故选B 点睛：本小题主要考查子集的概念，考查集合元素的互异性，属于基础题. 6．C 详解：试题分析：∵集合{}1,2,4A =，{}1,B x =，B A ⊆，∴2x =或4x =才能满足集合的互异性.故选C. 考点：集合中子集的概念与集合中元素的互异性.7．D解析：根据题意得，B 是1，2，3，4}的一个包含元素1子集，列举法得出所以符合的子集. 详解：解：满足关系式{}1{1,2,3,4}B ⊆⊆的集合B 有{1},{1,3},{1,2},{1,4},{1,2,3},{1,2,4}，{1,3,4},{1,2,3,4}一共有8个. 故选：D. 点睛：本题考查元素与集合关系的判断和子集的应用，属于基本题. 8．A解析：据已知条件知A ，B 有公共元素，列出两个集合的端点满足的不等关系，结合数轴可以得出a 的范围． 详解：{}14A x x =-≤≤，{}B x x a =>，∵A B ⋂≠∅，∴对照数轴得4a <，即a 的取值范围为4a <， 故选：A. 点睛：本题考查集合关系中的参数取值问题和集合的交集运算，将集合的关系转化为集合端点的不等关系，是解决本题的关键，属于基础题. 9．B解析：根据集合的补集，交集运算求解即可. 详解：由题可得{5,7},{1,7}U U A B ==，所以()(){7}U U A B ⋂= 故选：B 点睛：本题主要考查了集合的交集和补集运算，属于基础题. 10．B解析：由题得可将P 中元素分组为{}15，,{}24，,{}3,再根据题意得出是求{}{}{}{}15,2,4,3，的非空真子集个数即可. 详解：由题得, 若元素a P ，则6a P -∈可以推导出集合P 中1,5要同时存在,2,4要同时存在,3可存在于P 中也可以不存在,故可以考虑集合P 等价于由元素{}15，,{}24，,{}3组成的集合，又P{}1,2,3,4,5,故本题相当于求集合{}{}{}{}15,2,4,3，的非空真子集个数.即3226-=个. 故选：B. 点睛：本题需要理清题意,将P 中元素分组求非空真子集. 若集合A 中有n 个元素,则集合A 有22n -个非空真子集.二、填空题 1．1-解析：先根据集合的无序性与互异性求参数a ，b ，再代入计算即得结果. 详解：由题意,,1ba a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭{}2,,0a a b =+，显然0a ≠，故0a b=，即0b =，此时{},0,1a {}2,,0a a =，故21a =，且1a ≠，即1a =-.所以()2021202120202020101a b +=-=-+.故答案为：1-. 2．14解析：先算出集合中的元素个数n ,根据非空真子集的计算公式22n -即可求出结果. 详解：解: 集合{}1,0,1,7A =-， 元素个数4n = ,所以非空真子集个数为4222214n -=-=. 故答案为:143．{}3m m ≥解析：由A B B ⋃=，得到A B ⊆，再根据{}23A x x =-<<，{}B x x m =<利用数轴求解. 详解：已知{}23A x x =-<<，{}B x x m =<， 因为A B B ⋃=，所以A B ⊆，所以3m ≥. 所以实数m 的取值范围是{}3m m ≥． 故答案为：{}3m m ≥. 点睛：本题主要考查集合的基本运算及其应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 4．NM解析：根据题意，对集合N 分3种情况讨论，①1a =-时，②0a =时，③1a =时，先分析b 的值，再求出x 的值，进而可得集合N 的元素，即可得集合N ，分析M 、N 的关系，可得答案． 详解：解：根据题意，对集合N 分类讨论可得： ①1a =-时，0b =或1，0x =或1-； ②0a =时，无论b 取何值，都有0x =； ③1a =时，1b =-或0，1x =-或0． 综上知{}0,1N =-， 则有N M；故答案为：N M．点睛：本题考查集合之间关系的判断，关键是要根据题意中a ，b M ∈且a b ，对集合N的元素进行分类讨论，属于中档题． 5．－1解析：利用集合相等所有元素都相等以及集合的互异性列方程求解即可. 详解：因为集合M ={1,ab ,b}，N ={0,a +b,b 2}，M =N ，所以{a b =0b 2=1b ≠1，解得{a =0b =−1，a 2010+b 2011=0+(−1)2011=−1， 故答案为−1. 点睛：本题主要考查集合相等的性质以及集合互异性的应用，属于基础题.三、解答题 1．{}(,2]0[2,)-∞-+∞解析：根据题意，分0a =，0a >和0a <三种情况分类讨论，结合A B ⊆，列出相应的不等式组，即可求解. 详解：由题意，集合{|12},{|11}A x ax B x x =<<=-<<， ①当0a =时，集合A φ=，满足A B ⊆；② 当0a >时，集合12{|}A x x a a =<<，因为A B ⊆，则1121a a ⎧≥-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，解得2a ≥；③ 当0a <时，集合21{|}A x x a a =<<，因为A B ⊆，则2111a a⎧≥-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，解得2a ≤-.综上所述，所求实数a 的取值范围为{}(,2]0[2,)-∞-+∞.故答案为：{}(,2]0[2,)-∞-+∞.点睛：本题主要考查了根据集合的包含关系求解参数问题，其中解答中熟练应用集合的包含关系，合理分类讨论求解是解答的关键，着重考查分类讨论思想，以及推理与运算能力. 2．或或解析：根据题意，分析可得或或，据此结合一元二次方程根与系数的关系分析、的值，总合即可得答案．详解： 解：根据题意，，，且，， 则或或，当时，方程有唯一的根4， 则，，此时实数对为；当时，方程有唯一的根10，则，，此时实数对为；当时，方程有两根4或10， 则，，此时实数对为；综合可得：实数对为或或．点睛：本题考查集合的包含关系的应用，关键是分析的元素，属于基础题．3．（1）(－∞，3] （2）254 （3）(－∞，2)∪(4，＋∞)解析：解：(1)因为A∪B＝A ，所以B ⊆A ，当B ＝∅时，m ＋1>2m －1，则m<2；当B≠∅时，根据题意作出如图所示的数轴，可得211{12215m m m m -≥++≥--≤，解得2≤m≤3.综上可得，实数m 的取值范围是(－∞，3]．(2)当x∈Z 时，A ＝x|－2≤x≤5}＝－2，－1,0,1,2,3,4,5}，共有8个元素，所以A 的非空真子集的个数为28－2＝254.(3)当B ＝∅时，由(1)知m<2；当B≠∅时，根据题意作出如图所示的数轴，可得211{212m m m -≥+-≤-， 或211{15m m m -≥++>，解得m>4. 综上可得，实数m 的取值范围是(－∞，2)∪(4，＋∞)． 4．32x y =⎧⎨=-⎩或16x y =-⎧⎨=-⎩解析：根据两个集合相等，则其元素全部相同，可得22133x xy y x xy x ⎧++=⎨++-=⎩，从而得出答案.详解：由A B =得 : 22133x xy y x xy x ⎧++=⎨++-=⎩解得 32x y =⎧⎨=-⎩ 或 16x y =-⎧⎨=-⎩5．()1 3.a >()[]21,3-解析：（1）根据函数定义域的要求,可得集合A.根据子集的意义和数轴,即可求得a 的取值范围;（2）根据补集和交集的运算即可求得()U A C B ⋂. 详解：（1）函数()132f x x x =-++,所以x 需满足3020x x -⎧⎨+>⎩,解得23x -<所以{|23}A x x =-<因为{|}B x x a =<且A B ⊆,图示如下所以a 的取值范围是 3.a >（2）因为全集{|4}U x x =≤,且{|23}A x x =-< 所以|2{U C A x x =≤-或3}4x ≤＜ 因为1a =- 所以{|1}B x x =<- 所以{}14U C B x x =-≤≤所以{}{}23141{|}|3|U A C B x x x x x x ⋂=-≤⋂-≤≤=-≤≤（）＜ 即()U A C B ⋂为[]1,3- 点睛：本题考查了函数定义域及其求法,集合交集、补集的混合运算，注意边界能否取等号，属于基础题．。

函数的单调性与最值一、知识梳理1．增函数、减函数一般地，设函数f (x )的定义域为I ，区间D ⊆I ，如果对于任意x 1，x 2∈D ，且x 1<x 2，则 有：(1)f (x )在区间D 上是增函数⇔f (x 1)<f (x 2)； (2)f (x )在区间D 上是减函数⇔f (x 1)>f (x 2)． 2．单调区间的定义若函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，则称函数y ＝f (x )在这一区间上具有(严格 的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间． 3．函数的最值注意：1．函数的单调区间是指函数在定义域内的某个区间上单调递增或单调递减．单调区间 只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集 符号“∪”联结，也不能用“或”联结．2．两函数f (x )，g (x )在x ∈(a ，b )上都是增(减)函数，则f (x )＋g (x )也为增(减)函数，但 f (x )·g (x )，()1f x 等的单调性与其正负有关，切不可盲目类比． [试一试]1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝ln(x ＋2)B ．y ＝－x ＋1C ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．y ＝x ＋1x解析：选A 选项A 的函数y ＝ln(x ＋2)的增区间为(－2，＋∞)，所以在(0，＋∞)上一定是增函数．2．函数f (x )＝x 2－2x (x ∈[－2,4])的单调增区间为______；f (x )max ＝________. 解析：函数f (x )的对称轴x ＝1，单调增区间为[1,4]，f (x )max ＝f (－2)＝f (4)＝8. 答案：[1,4] 8二、方法归纳1．判断函数单调性的四种方法(1)定义法：取值、作差、变形、定号、下结论；(2)复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时，为增函数，不同时为减函数； (3)图像法：如果f (x )是以图像形式给出的，或者f (x )的图像易作出，可由图像的直观性 判断函数单调性．(4)导数法：利用导函数的正负判断函数单调性． 2．求函数最值的五个常用方法(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值．(2)图像法：先作出函数的图像，再观察其最高点、最低点，求出最值．(3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值． (4)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不 等式求出最值．(5)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值． 提醒：在求函数的值域或最值时，应先确定函数的定义域． [练一练]1．下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是( ) A ．y ＝1xB ．y ＝e －x C ．y ＝－x 2＋1 D. y ＝lg|x |答案：C2．函数f (x )＝1x 2＋1在区间[2,3]上的最大值是________，最小值是________．答案：15 110三、考点精练考点一 求函数的单调区间1、函数()()5log 21f x x =+的单调增区间是________． 解析：要使()5log 21y x =+有意义，则210x +>，即12x >-，而5log y u =为()0,+∞ 上的增函数，当12x >-时，u ＝2x ＋1也为R 上的增函数，故原函数的单调增区间是 1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.答案：1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭2．函数y ＝x －|1－x |的单调增区间为________．解析：y ＝x －|1－x |＝1,121,1x x x ≥⎧⎨-<⎩作出该函数的图像如图所示．由图像可知，该函数的单调增区间是(－∞，1]． 答案：(－∞，1]3．设函数y ＝f (x )在(),-∞+∞内有定义．对于给定的正数k ，定义函数()()()(),,k f x f x k f x k f x k⎧≤⎪=⎨>⎪⎩取函数()2xf x -=，当k ＝12时，函数()k f x 的单调递增区间为( )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(1，＋∞)解析：选C 由f (x )>12，得－1<x <1.由f (x )≤12，得x ≤－1或x ≥1.所以()122,11,1122,1x x x f x x x -⎧≥⎪⎪=-<<⎨⎪⎪≤-⎩，故()12f x 的单调递增区间为(－∞，－1)．[解题通法]求函数单调区间的方法与判断函数单调性的方法相同即： (1)定义法；(2)复合法；(3)图像法；(4)导数法．考点二 函数单调性的判断 [典例] 试讨论函数()()0kf x x k x=+>的单调性． [解] 法一：由解析式可知，函数的定义域是()(),00,-∞⋃+∞．在(0，＋∞)内任取1x ，2x ，令12x x <，那么()()()()122121212121211211x x k k k f x f x x x x x k x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=+-+=-+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭因为120x x <<，所以210x x ->，120x x >.故当)12,x x ∈+∞时，()()12f x f x <，即函数在)+∞上单调递增．当(12,x x ∈时，()()12f x f x >，即函数在(上单调递减． 考虑到函数()()0kf x x k x=+>是奇函数，在关于原点对称的区间上具有相同的单调性，故在(,-∞单调递增，在()上单调递减． 综上，函数f (x )在(,-∞和)+∞上单调递增，在()和(上单调递减． [解题通法]1．利用定义判断或证明函数的单调性时，作差后要注意差式的分解变形彻底． 2．利用导数法证明函数的单调性时，求导运算及导函数符号判断要准确． [针对训练]判断函数g (x )＝－2xx －1在 (1，＋∞)上的单调性．解：任取x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1<x 2， 则()()()()()12121212122221111x x x x g x g x x x x x ----=-=----， 由于1<x 1<x 2，所以x 1－x 2<0，(x 1－1)(x 2－1)>0， 因此g (x 1)－g (x 2)<0，即g (x 1)<g (x 2)． 故g (x )在(1，＋∞)上是增函数． 考点三 函数单调性的应用 角度一 求函数的值域或最值1．已知函数f (x )对于任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x >0时，f (x )<0， f (1)＝－23.(1)求证：f (x )在R 上是减函数； (2)求f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值． 解：(1)证明：∵函数f (x )对于任意x ，y ∈R ， 总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，∴令x ＝y ＝0，得f (0)＝0. 再令y ＝－x ，得f (－x )＝－f (x )． 在R 上任取x 1>x 2，则x 1－x 2>0， f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2)＝f (x 1－x 2)． 又∵当x >0时，f (x )<0，而x 1－x 2>0，∴f (x 1－x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)． 因此f (x )在R 上是减函数．(2)∵f (x )在R 上是减函数，∴f (x )在[－3,3]上也是减函数， ∴f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值分别为f (－3)与f (3)． 而f (3)＝3f (1)＝－2，f (－3)＝－f (3)＝2. ∴f (x )在[－3,3]上的最大值为2，最小值为－2. 角度二 比较两个函数值或两个自变量的大小2．已知函数f (x )＝log 2x ＋11－x ，若x 1∈(1,2)，x 2∈(2，＋∞)，则( )A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0B ．f (x 1)<0，f (x 2)>0C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0D ．f (x 1)>0，f (x 2)>0解析：选B ∵函数f (x )＝log 2x ＋11－x 在(1，＋∞)上为增函数，且f (2)＝0，∴当x 1∈(1,2)时，f (x 1)<f (2)＝0，当x 2∈(2，＋∞) 时，f (x 2)>f (2)＝0，即f (x 1)<0，f (x 2)>0. 角度三 解函数不等式3．已知函数()2243,023,0x x x f x x x x ⎧-+≤⎪=⎨--+>⎪⎩则不等式f (a 2－4)>f (3a )的解集为( )A ．(2,6)B ．(－1,4)C ．(1,4)D ．(－3,5)解析：选B 作出函数f (x )的图像，如图所示，则函数f (x )在R 上是单调递减的．由f (a 2－4)>f (3a )，可得a 2－4<3a ，整理得a 2－3a －4<0，即(a ＋1)(a －4)<0，解得－1<a <4，所以不等式的解集为(－1,4)．角度四 求参数的取值范围或值4．已知函数()()2,211,22x a x x f x x ⎧-≥⎪=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎩满足对任意的实数12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，2)B.13,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．(－∞，2]D.13,28⎡⎫⎪⎢⎣⎭解析：选B 函数f (x )是R 上的减函数，于是有()22012212a a -<⎧⎪⎨⎛⎫-⨯≤- ⎪⎪⎝⎭⎩，由此解得a ≤138， 即实数a 的取值范围是13,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. [解题通法]1．含“f ”不等式的解法首先根据函数的性质把不等式转化为f (g (x ))>f (h (x ))的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意g (x )与h (x )的取值应在外层函数的定义域内．2．比较函数值大小的思路比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图像法求解．巩固练习一、选择题1．“a ＝1”是“函数f (x )＝x 2－2ax ＋3在区间[1，＋∞)上为增函数”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案：A 解析：f (x )对称轴x ＝a ，当a ≤1时f (x )在[1，＋∞)上单调递增．∴“a ＝1”为 f (x )在[1，＋∞)上递增的充分不必要条件．2．已知函数()224,04,0x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩，若f (2－a 2)>f (a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－1,2)C ．(－2,1)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)答案：C 解析：由题知f (x )在R 上是增函数，由题得2－a 2>a ，解得－2<a <1. 3．用min{a ，b ，c }表示a ，b ，c 三个数中的最小值．设f (x )＝min{2x ，x ＋2,10－x }(x ≥0)，则f (x )的最大值为 ( ) A ．4B ．5C ．6D ．7答案：C解析：由题意知函数f (x )是三个函数y 1＝2x ，y 2＝x ＋2，y 3＝10－x 中的较小者，作出三个函数在同一坐标系之下的图象(如图中实线部分为f (x )的图象)可知A (4,6)为函数f (x )图 象的最高点．4．若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是( ) A ．(－1,0)∪(0,1) B ．(－1,0)∪(0,1] C ．(0,1)D ．(0,1]答案：D 解析:f (x )在[a ，＋∞)上是减函数，对于g (x )，只有当a >0时，它有两个减区 间为(－∞，－1)和(－1，＋∞)，故只需区间[1,2]是f (x )和g (x )的减区间的子集即可，则a 的取值范围是0<a ≤1.5．已知定义在R 上的增函数f (x )，满足f (－x )＋f (x )＝0，x 1，x 2，x 3∈R ，且x 1＋x 2>0，x 2＋x 3>0，x 3＋x 1>0，则f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)的值 ( ) A ．一定大于0 B ．一定小于0 C ．等于0D ．正负都有可能答案：A 解析：∵f (－x )＋f (x )＝0，∴f (－x )＝－f (x )．又∵x 1＋x 2>0，x 2＋x 3>0，x 3＋x 1>0，∴x 1>－x 2，x 2>－x 3，x 3>－x 1. 又∵f (x 1)>f (－x 2)＝－f (x 2)，f (x 2)>f (－x 3)＝－f (x 3)，f (x 3)>f (－x 1)＝－f (x 1)， ∴f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)>－f (x 2)－f (x 3)－f (x 1)． ∴f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)>0.] 二、填空题6．函数y ＝－(x －3)|x |的递增区间是________．7．设f (x )是增函数，则下列结论一定正确的是________(填序号)． ①y ＝[f (x )]2是增函数；②y ＝1f (x )是减函数；③y ＝－f (x )是减函数；④y ＝|f (x )|是增函数． 答案：[0，32]解析：()()()()3030x x x y x x x ⎧--≥⎪=⎨-<⎪⎩画图象如图所示：可知递增区间为[0，32]．8．设0<x <1，则函数y ＝1x ＋11－x 的最小值是________．答案：4解析 y ＝1x ＋11－x ＝1x (1－x )，当0<x <1时，x (1－x )＝－(x －12)2＋14≤14，∴y ≥4.三、解答题9．已知函数f (x )＝a －1|x |.(1)求证：函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f (x )<2x 在(1，＋∞)上恒成立，求实数a 的取值范围． (1)证明：当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝a －1x ，设0<x 1<x 2，则x 1x 2>0，x 2－x 1>0.f (x 1)－f (x 2)＝(a －1x 1)－(a －1x 2)＝1x 2－1x 1＝x 1－x 2x 1x 2<0.∴f (x 1)<f (x 2)，即f (x )在(0，＋∞)上是增函数． (2)解：由题意a －1x <2x 在(1，＋∞)上恒成立，设h (x )＝2x ＋1x ，则a <h (x )在(1，＋∞)上恒成立．∵h ′(x )＝2－1x 2，x ∈(1，＋∞)，∴2－1x 2>0，∴h (x )在(1，＋∞)上单调递增．故a ≤h (1)，即a ≤3. ∴a 的取值范围为(－∞，3]．10．已知f (x )＝x 2＋ax ＋3－a ，若x ∈[－2,2]时，f (x )≥0恒成立，求a 的取值范围． 解：设f (x )的最小值为g (a )，则只需g (a )≥0，由题意知，f (x )的对称轴为－a2.(1)当－a 2<－2，即a >4时，g (a )＝f (－2)＝7－3a ≥0，得a ≤73.又a >4，故此时的a 不存在．(2)当－a 2∈[－2,2]，即－4≤a ≤4时，g (a )＝f (－a 2)＝3－a －a 24≥0得－6≤a ≤2.又－4≤a ≤4，故－4≤a ≤2.(3)当－a2>2，即a <－4时，g (a )＝f (2)＝7＋a ≥0得a ≥－7.又a <－4，故－7≤a <－4.综上得所求a 的取值范围是－7≤a ≤2.11．已知f (x )是定义在[－1,1]上的奇函数，且f (1)＝1，若a ，b ∈[－1,1]，a ＋b ≠0时， 有()()0f a f b a b+>+成立．(1)判断f (x )在[－1,1]上的单调性，并证明它； (2)解不等式：f (x ＋12)<f (1x －1)；(3)若f (x )≤m 2－2am ＋1对所有的a ∈[－1,1]恒成立，求实数m 的取值范围． 解：(1)任取x 1，x 2∈[－1,1]，且x 1<x 2， 则－x 2∈[－1,1]，∵f (x )为奇函数， ∴()()()()()()()()1212121212f x f x f x f x f x f x x x x x +--=+-=-+-由已知得()()()12120f x f x x x +->+-，x 1－x 2<0，∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)． ∴f (x )在[－1,1]上单调递增． (2)∵f (x )在[－1,1]上单调递增，∴112111121111x x x x ⎧+<⎪-⎪⎪-≤+≤⎨⎪⎪-≤<⎪-⎩∴－32≤x <－1.(3)∵f (1)＝1，f (x )在[－1,1]上单调递增． ∴在[－1,1]上，f (x )≤1.问题转化为m2－2am＋1≥1，即m2－2am≥0，对a∈[－1,1]成立．下面来求m的取值范围．设g(a)＝－2m·a＋m2≥0.①若m＝0，则g(a)＝0≥0，自然对a∈[－1,1]恒成立．②若m≠0，则g(a)为a的一次函数，若g(a)≥0，对a∈[－1,1]恒成立，必须g(－1)≥0，且g(1)≥0，∴m≤－2，或m≥2.∴m的取值范围是m＝0或|m|≥2.。

函数概念常考基础题型题型一：函数概念1、下列各曲线中，不能表示y 是x 的函数的是（）A ．B ．C ．D ．2、下列对应关系是从集合A 到集合B 的函数的是（）A ．A R =，{}0B x x =>，f ：x y x→=B ．A R =，{}0B x x =>，f ：ln x y x→=C ．A Z =，B N =，f ：x y →=D ．A Z =，B N =，f ：2x y x →=3、判断下列对应是否为函数：（1）f ：x →y ＝x ，x ∈{x |0≤x ≤6}，y ∈{y |0≤y ≤3}；（2）f ：x →y ＝16x ，x ∈{x |0≤x ≤6}，y ∈{y |0≤y ≤3}；（3）f ：x →y ＝3x ＋1，x ∈R ，y ∈R .题型二：区间表示1、用区间表示下列集合：（1）{|13}x x -≤≤；（2）{|01}x x <≤；（3）{|25}x x ≤<；（4）{|02}x x <<；（5）{|3}x x <；（6）{|2}x x ≥.2、若[a,3a－1]为一确定区间，则a 的取值范围是________．题型三：求函数的定义域1、求下列函数的定义域：（1）1 231y x x =++-；（2）1 y x=；（3）y =+2、解下列各题:（1）已知函数()f x 的定义域是[]1,2，求函数()1f x +的定义域.（2）已知函数()1f x +的定义域是[]1,2，求函数()f x 的定义域.（3）已知函数()1f x +的定义域为[]2,1-，求函数()()122g x f x x =+--的定义域。

（4）已知函数y R ，求实数m 的取值范围．3、若()y f x =的定义域为[1,1]-，则函数(3)3x y f x f ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的定义域为_________.。

1.3集合的基本运算常考题型训练题型：求集合的交集1、简单求交集1.集合A ＝{1,3}，B ＝{2,3,4}则A∩B ＝（ ）A ．{1}B ．{2}C ．{3}D ．{1,2,3,4}2.已知集合{|||2}A x x =<，{1,0,1,2,3}B =-，则A B =A ．{0,1}B ．{0,1,2}C ．{1,0,1}-D ．{1,0,1,2}-3.已知集合{}{}02,1,0,1,2M x x N =≤<=-，则MN =__________． 4.已知集合{}0,1,2,3,4,5A =，{}1,3,5,7,9B =则A B =（ ）A ．{}1,2,3,5B ．{}0,1,3,5C ．{}1,3,5D ．{}0,1,2,3,4,5,7,95.已知集合A ＝｛1，2，3，4｝，B ＝｛1，3，5｝，则A∩B＝A ．｛1，2，3，4，5｝B ．｛1，3，5｝C ．｛1，4｝D ．｛1，3｝6.设集合{}2,3,4,5M =，集合{}2,4,6N =，则M N ⋂是（ ）A ．{}2,3,4,5B ．{}2,4C ．{}2,3,4,5,6D ．{}2,4,67.已知集合{}1,2,3,4A =，{}1,4,5B =，C AB =，则C 的子集共有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．8个D ．4个 8.已知集合A={1,2,3,4}，B={2,4,6,8}，则A B 中元素的个数为A ．1B ．2C ．3D ．49.已知集合M=｛x|-3<x<1｝，N=｛-3，-2，-1，0，1｝，则M∩N= （ ）A ．｛-2，-1，0,1｝B ．｛-3，-2，-1，0｝C ．{-2，-1，0}D ．{-3，-2，-1 }10.已知集合{}{}22,1,0,2,3,|1,A B y y x x A =--==-∈，则A B 中元素的个数是A ．2B ．3C ．4D ．5 11.若集合{|210}A x x =->，{|||1}B x x =<，则A B = . 12.集合{|03}A x x =<<，{|||2}B x x =<，则A B =__________13.已知集合{|02}A x x =<<，{|1}B x x =>，则AB =______ 14.已知集合A =｛x |x -2＜1｝，B =｛x |2x +1＞3｝，则A ∩B =（ ）A ．｛x |0＜x ＜1｝B ．｛x |2＜x ＜3｝C ．｛x |1＜x ＜3｝D ．Ø15.已知集合={|1}A x x >-，{|2}B x x =<，则A ∩B =A ．(–1，+∞)B ．(–∞，2)C ．(–1，2)D ．∅16.已知集合{}1,2,3,4,{|32},A B y y x x A ===-∈，则A B ⋂=（ ）A ．{1}B ．{4}C ．{1,3}D ．{1,4}17.已知集合{12}A x x =-≤≤，{13}B x x =≤≤，则A B =( )A ．[1,2]B ．[1,2]-C ．[1,3]-D ．[1,3]18.若集合{|23}A x x =-≤≤，{1B x x =<-或}4x >，则集合A B 等于（ ）A ．{|3x x ≤或}4x >B ．{}|13x x -<≤C ．{}|21x x --<≤D ．21(1)1-=-+-m y m x x19.已知集合(){}22,1A x y x y =+=，(){},B x y y x ==，则集合A B 的子集的个数为（）A ．2B ．4C ．8D ．1620.若集合{|23}A x x =-≤≤，{|14}B x x x =<->或，则集合A B 等于（ ）A ．{}|34x x x >或≤B ．{}|13x x -<≤C ．{}|21x x --<≤D ．21(1)1m y m x x -=-+-2、求参数1.已知集合{3,4,5,6}A =，{}B a =，若{6}A B =，则a =（ ）A ．3B ．4C ．5D ．62.已知集合{A x y ==，{}B x x a =≥，若A B A =，则实数a 的取值范围是( ) A ．(],3-∞- B ．(),3-∞- C ．(],0-∞ D ．[)3,+∞3.设集合{}1,2,4A =，{}240B x x x m =-+=．若{}1A B ⋂=，则B = ( )A ．{}1,3-B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,54.已知[1,)A =+∞，[0,31]B a =-，若A B ⋂≠∅，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[1,)+∞B ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ D ．(1,)+∞5.集合{|12}A x x =-，{|}B x x a =<．（1）若A B A =，求实数a 的取值范围；（2）若A B =∅，求实数a 的取值范围．6.已知集合A ＝{x|2a ＋1≤x≤3a －5}，B ＝{x|x ＜－1，或x ＞16}，分别根据下列条件求实数a 的取值范围． （1）A∩B ＝∅；（2）A⊆（A∩B ）．7.设集合{}240A x x x =+=，(){}222110B x x a x a =+++-=， （1）当1a =-时，求A B ；（2）若A B B =，求a 的取值范围.8.已知集合{}13A x x =<<，集合{}21B x m x m =<<-（1）若A B ⊆，求实数m 的取值范围.（2）若A B =∅，求实数m 的取值范围.9.设集合{}1,0,3A =-，{}3,21B a a =++，{}3A B ⋂=，则实数a 的值为________，10.已知集合{}1,2A =，{}2,3B a a =+，若A B={1}⋂则实数a 的值为________ 题型：求集合的并集1、简单求解1.已知集合{0,1}A =，{0,1,2,3}B =，则A B 中的元素个数为________. 2、求参数1.设集合{}{}23,0,3,1A B t t =-=-+，若A B A ⋃=，则t 的值为（ ） A ．1- B ．2 C ．1 D ．2或1-3.已知集合{A =，{}1,B m =，若A B A ⋃=，则m =（ ）A ．0B ．0或3C ．1D ．1或3 4.已知{}{}2512A x x B x m x m =-≤≤=+≤≤，，若A B A ⋃=，求实数m 的取值范围.5.已知集合{|12}A x x =≤≤，集合{|}B x x a =≥，若A B B ⋃=，则实数a 的取值范围是_______. 题型：求集合的补集1、简单求补集1.设集合{}{}1,3,5,7,9,11,5,9==A B ,则A B =（ ） A ．{}5,9 B ．{}1,3,7,11 C ．{}1,3,7,9,11D ．{}1,3,5,7,9,11 2.已知集合U ={-2，-1，0，1，2}，A ={0，1，2}，则∁U A =（ ）A ．{}2,1,0--B ．{}2,1--C ．{0,1,2}D ．{}1,23.设集合A ={0,2,4,6,8,10},B ={4,8}，则∁A B =A ．{4,8}B ．{0，2,6}C ．{0，2，6,10}D ．{0，2，4，6，8,10} 4.设全集U =R ，集合{|3A x x =>或1}x <，则U A__. 5.已知全集U =R ，集合{|2A x x =<-或2}x >，则U A （ ）A ．(2,2)-B ．(,2)(2,)-∞-+∞C ．[2,2]-D ．(,2][24,)-∞-+∞2、求参数1.设全集{}25,3,4U a a =+-，U 的子集{|2|,5}A a =+．如果{3}U A =，求实数a 的值．2.设集合{}0,1,2,3U =，集合{}2|0A x U x mx =∈+=，若{}1,2U C A =，则实数m =_____. 3.设全集{}22,3,3U a a =+-，集合{},3A a =，{}2U C A =，则a =___________. 题型：集合的综合运算1、简单的计算1.已知全集{}1,0,1,2,3U =-，集合{}0,1,2A =，{}1,0,1B =-，则()U A B ⋂=（ ）A ．{}1-B ．{}0,1C ．{}1,2,3-D ．{}1,0,1,3-2.已知全集U ={1,2,3,4,5,6}，集合A ={2,3,5}，集合B ={1,3,4,6}，则集合A ∩（∁U B ）=（ ）A ．{3}B ．{2,5}C ．{1,4,6}D ．{2,3,5}3.已知全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U =，集合{}2,3,5,6A =，集合{}1,3,4,6,7B =，则集合U A B ⋂=（ ）A ．{}2,5B ．{}3,6C ．{}2,5,6D ．{}2,3,5,6,8 4.已知全集{1,3,5,7}U =，集合{1,3}A =，{3,5}B =，则()()U U A B ⋂=（ ） A ．{3} B ．{7} C ．{3,7} D ．{1,3,5}5.设全集，集合{}1,4M =，{}1,3,5N =，则()U NM =（ ） A ．{}1 B ．{}3,5 C ．{}1,3,4,5D ．{}1,2,3,5,6 6.已知全集{0,1,2,3,4,5}，集合{1,5}A =，集合{}2B =，则集合()U C A B ＝（ ）A ．{}0,2,3,4B ．{}0,3,4C ．{}2D ．∅ 7.设集合{}1,2,3,4,5U =，{}13,5A =,，{}2,3,5B =，则 ()U C A B 等于（ ）A ．{}1,2,4B ．{}4C ．{}3,5D ．ϕ8.已知全集{1,2,3,4,5,6}U =，集合{1,3,4}A =，集合{1,3,5}B ，则()U C A B （ ）A ．{5}B ．{1,3}C ．{1,3,4,5}D ．∅ 9.已知集合,A B 均为全集{1,2,3,4,5,6,7}U =的子集，集合{1,2,3,4}A =，则满足{1,2}U AB =的集合B 可以是（ ）A ．{1,2,3,4}B ．{1,2,7}C ．{3,4,5,6}D ．{1,2,3} 10.已知全集{1,2,3,4,5,6},U集合{1,3,4}A =，集合{1,3,5}B ，则()U C A B （ ）A ．{5}B ．{1,3}C ．{1,3,4,5}D ．∅ 11.已知全集{}1,2,3,4,5,6,7,8,9U =，{}2A B ⋂=，()(){1,9}U U C A C B =，(){4,6,8}U C A B =，则集合A =________.12.已知集合{}|6A x x =>,{}2,5,6,8,10B =,则()R C A B =( ) A ．{}8,10 B ．{}2,5 C ．{}6,8,10 D ．{}2,5,613.设集合{}1,1,2,3,5A =-，{}2,3,4B = ，{|13}C x R x =∈< ，则()AC B = A ．{2} B ．{2，3} C ．{-1，2，3}D ．{1，2，3，4}14.设全集为R ，集合A ={x |x 2−4<0}，B ={x |−1<x ≤3}，则A ∩(∁U B )=( )A ．(−2,−0)B ．(−2,−1)C ．(−2,−1]D ．(−2,−2)15.已知集合{0,1,2},{1235}A B xx ==<+<∣，则()R A B =（ ） A ．{0,1} B ．{0,2} C ．{1,2} D ．∅16.设全集U =R ，集合{|1}A x x =≥，{|03}B x x =≤<，则集合()U A B 是（ ） A ．{|01}x x << B ．{|01}x x ≤< C ．{|01}x x <≤D ．{|01}x x ≤≤ 17.已知全集,{|1},{|2}U R M x x P x x ==≤=，则()U M P ⋃=( ) A ．{|12}x x << B ．{|1}x x C ．{|2}x x ≤D ．{|1x x 或2}x 18.设集合{}1,0,1A =-，{}1,2,3B =-，{}11C x R x =∈-≤<，则()AB C =（ ） A ．{}1- B ．{}1,0- C ．{}1,1- D ．{}1,0,1-19.已知集合{}{}||12A x x a B x x =<=<<，，且()A B ⋃=R R ，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1a ≤ B ．1a < C ．2a ≥ D ．2a >20.已知全集={1,2345}={12}={234}U A B ,,,,,,,,,则()U A B =（ ） A ．{}2,3 B ．{}3,4 C ．{}3D ．{}4 21.已知集合{}|35M x N x *=∈-<≤，{|5N x x =≤-或}5x ≥，则()R M N =（ ） A ．{}1,2,3,4,5B ．{}35x x -<< C ．{}5|5x x -<≤ D ．{}1,2,3,4 22.已知集合{}A x x a =<，{}2B x x =<，且()R AB =R ，则a 满足（ ） A ．2a ≥ B ．2a >C ．2a <D ．2a ≤ 23.设U ={1，2，3，4，5}，且A ∩B ={2}，()U C A B ⋂={4}，()()U U C A C B ={1，5}，则下列结论正确的是（ ） A ．3∈A ，3∈B B ．2∈U C A ，3∈B C ．3∈U C B ，3∈A D ．3∈U C A ，3∈U C B24.设全集U =｛|20x x 的素数｝，(){3,5}U B A ⋂=，(){7,19}U A B ⋂=，()(){2,17}U U A B ⋂=，求集合A ，B ．25.已知集合{|21}A x x =-<<，{}2|20B x x x =+=．全集U =R ，求()()U U A B ⋂和()U A B ⋂． 2、求参数1.已知集合{}2|0A x x ax b =++=，{}2|150B x x cx =++=．若{3}A B ⋂=，{3,5}A B ⋃=，求a ，b 的值．2.已知集合{}2|2A x x -=≤≤，集合{}|1B x x =>.（1）求()R C B A ⋂；（2）设集合{}|6M x a x a =<<+，且A M M ⋃=，求实数a 的取值范围. 3.设全集为R ，集合{|36}A x x =≤<，{|29}B x x =<<.（1）分别求A B ⋂，()R C B A ⋃；（2）已知{|1}C x a x a =<<+，若C B ⊆，求实数a 的取值范围构成的集合.4.已知全集U =R ，集合{}|7217A x x =-≤-≤，{}|132B x m x m =-≤≤-，，1）当3m =时，求A B 与()U A B ⋃，，2）若A B B =，求实数m 的取值范围．5.已知集合{|3A x x =≤-或2}x ≥，{|15}B x x =<<，{|12}C x m x m =-≤≤（1）求A B ，()R C A B ⋃；（2）若B C C ⋂=，求实数m 的取值范围.6.已知集合{,,}A a b c =．（1）写出所有满足条件A B A ⋃=的集合B ；（2）满足条件A C C =的集合C 有多少个？7.已知集合2{2342}A a a =++，，，2{07242}B a a a =-+-，，，，{}3,7A B ⋂=.求a 的值及集合A B 。

1.2 集合间的基本关系一、单选题1．若集合(){}|10A x x x =+≥，{B y y ==，则 A ．A B = B ．A B ⊆ C ．A B R = D ．B A ⊆答案：D解析：分别求解出集合A 和集合B ，根据集合的包含关系可确定结果. 详解：(){}(][)|10,10,A x x x =+≥=-∞-+∞，{[)0,B yy ==+∞B A ∴⊆本题正确选项：D 点睛：本题考查集合间的包含关系，属于基础题.2．已知集合{1A =，2}，{|10}B x mx =-=，若A B B =，则符合条件的实数m 的值组成的集合为（ ） A ．{1，1}2 B ．{1-，1}2C ．{1，0，1}2D ．{1，1}2-答案：C解析：A B B =等价于B A ⊆，分B φ=和B φ≠两类情况，分别求出m 的值，得出答案． 详解：A B B =，B A ∴⊆，当0m =时，B φ=满足要求；当B φ≠时，10m +=或210m -=，1m =-或12，∴综上，{1m ∈，0，1}2．故选：C 点睛：本题考查集合间的关系，考查转化思想和分类讨论思想，属于基础题． 3．若集合{}|sin 21A x x ==，,42k B y y k Z ππ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，则（ ） A ．A B A ⋃= B ．R R C B C A ⊆ C ．A B =∅ D ．R R C A C B ⊆答案：B解析：根据正弦函数的性质可得集合A ，由集合性质表示形式即可求得A B ⊆，进而可知满足R R C B C A ⊆.详解：依题意，{}|sin 21|,4A x x x x k k Z ππ⎧⎫====+∈⎨⎬⎩⎭； 而|,42k B y y k Z ππ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭()212|,,4242n n x x n Z x n Z ππππ+⎧⎫==+∈=+∈⎨⎬⎩⎭或()21|,,442n x x n n Z x n Z ππππ+⎧⎫==+∈=+∈⎨⎬⎩⎭或，故A B ⊆， 则R R C B C A ⊆. 故选：B. 点睛：本题考查了集合关系的判断与应用，集合的包含关系与补集关系的应用，属于中档题. 4．设{,}A a b =，{,,,,,}B a b c d e f =，集合M 满足A MB （都是真包含），这样的集合有（ ） A ．12个 B ．14个 C ．13个 D ．以上都错答案：B解析：根据集合M 满足A MB ，分析出集合M 至少含3个元素，最多含5个元素再求解.详解：因为集合M 满足AMB ， 所以集合M 至少含3个元素，最多含5个元素，则这样的集合有12344414C C C ++=（个）.故选：B 点睛：本题主要考查集合的基本关系，属于基础题. 5．下面每一组的两个集合，相等的是（ ） A ．{(1,2)}M =，{(2,1)}N = B ．{1,2}M =，{(1,2)}N =C ．M =∅，{}N =∅D ．{}2|210M x x x =-+=，{1}N =答案：D解析：由相等集合的概念一一分析每个选项中的集合，然后进行比较即可得出答案.A 选项中(1,2)，(2,1)表示两个不同的点，∴M N ，∴该选项不符合；B 选项中集合M 有两个元素1，2是实数，N 有一个元素(1,2)是点，∴MN ，∴该选项不符合；C 选项中集合M 是空集，集合N 是含有一个元素∅的集合，∴M N ，∴该选项不符合；D 选项中由2210x x -+=得121x x ==，∴{1}M N ==，∴该选项符合.故选：D. 点睛：本题考查了相等集合的判断，属于基础题. 6．已知集合{0,1,2}A =,则A 的子集个数为( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．16答案：C解析：根据子集的个数为2n (n 为集合元素的个数),即可求得答案. 详解： {0,1,2}A =.根据子集的个数为2,n (n 为集合元素的个数)∴ A 的子集个数328=.故选:C ． 点睛：本题考查了求集合子集个数问题,解题关键是掌握子集概念,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.7．已知集合A 、B ，若A 不是B 的子集，则下列命题中正确的是 （ ） A ．对任意的a A ∈，都有a B ∉ B ．对任意的b B ∈，都有b A ∈ C ．存在0a ，满足0a A ∈，0a B ∉ D ．存在0a ，满足0a A ∈，0a B ∈答案：C解析：根据子集的定义进行判断. 详解：根据子集的定义：如果集合A 的任意一个元素都是集合B 的元素，那么集合A 称为集合B 的子集.因为A 不是B 的子集所以存在0a ，满足0a A ∈，0a B ∉ 故选：C本题主要考查了集合子集的概念，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.8．若集合M=x|x≤6}， ） A ．{}a M ⊆ B ．a M ⊆C ．{}a M ∈D ．a M ∉答案：A解析：根据元素与集合的关系，以及集合之间的包含关系，即可求解，得到答案． 详解：根据实数的性质，可得6，所以{|6}x x ≤，则a M ∈，所以B 、D 不正确；又根据集合的包含关系可得{|6}x x ⊆≤，即{}a M ⊆，故选A ． 点睛：本题主要考查了元素与集合，集合与集合的关系的判定，其中解答中熟记元素与集合的关系，以及集合间的包含关系的概念与判定是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题．9．集合M=16x x m m ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z ，，N=}1-23n x x n -⎧=∈⎨⎩Z ，，P=126p x x p ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z ，，则M ，N ，P 之间的关系是（ ） A ．M=N ⫋P B ．M ⫋N=P C ．M ⫋N ⫋P D ．N ⫋P=M 答案：B解析：通分化简，再利用集合之间的包含关系即可求解. 详解： M=616m x x m Z ⎧⎫+=∈⎨⎬⎩⎭，， N=3-23(-1)166n n x x n Z ⎧+⎫==∈⎨⎬⎭⎩，， P=316p x x p Z ⎧⎫+=∈⎨⎬⎩⎭，． 由于3(n-1)+1和3p+1都表示被3除余1的数，而6m+1表示被6除余1的数， 所以M ⫋N=P ． 故选：B 点睛：本题考查了集合的包含关系，考查了基本知识掌握情况，属于基础题. 10．下列几个关系中正确的是 A ．{}00∈ B ．{}00= C ．{}00⊆ D ．{}0∅=答案：A解析：由元素与集合、集合与集合的关系即可判断是否正确． 详解：0是集合{}0 的一个元素，所以{}00∈ ，故选择A ． 点睛：本题考查了元素与集合、集合与集合的关系，属于基础题概念题． 11．下列表示正确的个数是（ ）（１）{}{}2100;(2)1,2;(3){(,)}3,435x y x y x y +=⎧∉∅∅⊆=⎨-=⎩；（４）若A B ⊆则A B A = A ．０ B ．１ C ．２ D ．３答案：D解析：选项（1）中元素与空集的关系是不属于，正确；（2）空集是非空集的子集正确；（3）集合前后不相等，一个是方程的根构成的集合，有一个元素，一个是两个实数构成的集合，故不正确；（4）根据集合子集的意义知若A B ⊆则A B A =正确.12．已知集合{|}M x x x Z <<∈＝，则下列集合是集合M 的子集的为( ) A ．P ＝－3,0,1} B ．Q ＝－1,0,1,2}C ．R ＝y|－π<y<－1，y∈Z}D ．{|}S x x x N ∈＝答案：D 详解：集合{}{}|2,1,0,1M x x x Z <<∈=--＝，所以可知，P ＝－3,0,1}不成立，Q ＝－1,0,1,2}不成立，{}{}|13,2,1,0R y y y Z π<<∈=---＝－－，,不成立.{}{}|1,0S x x x N ∈=±＝，满足.故选D.点睛：集合的表示法有描述法和列举法，本题中集合元素是整数即可利用限制条件解出，用列举法表示出来，进而将四个选项的元素与其比较，注意将描述法表示的集合转为列举法，一目了然.13．已知集合{}*3A x N x =∈<∣，则集合A 的子集个数为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6答案：B解析：先化简集合A ，再求得其子集即可. 详解：因为集合{}{}*31,2A x N x =∈<=∣，所以集合A 的子集为{}{}{},1,2,1,2∅, 所以集合A 的子集个数为4, 故选：B14．集合{}0与∅的关系是 A ．{}0∅ B ．{}0∈∅ C ．{}0=∅ D ．{}0⊆∅答案：A解析：根据空集为任意集合的子集，空集为任意非空集合的真子集，得出选项. 详解：因为空集为任意集合的子集，空集为任意非空集合的真子集，∴{}0∅，故选A ． 点睛：本题考查空集的含义以及集合间的关系，属于基础题.15．设集合[)1,2M =-，(),N a =-∞，若M N ⋂=∅ ，则实数 a 的取值范围是（ ） A ．2a ≤ B ．1a ≤- C ．1a <- D ．2a >答案：B解析：根据交集运算及空集的定义，可直接得到答案. 详解：[)1,2M =-，(),N a =-∞，且M N ⋂=∅，1a ∴≤-故选：B 点睛：本题主要考查交集运算以及空集，属于基础题. 16．下列关系中正确的个数为（ ） ①{}00∈；②∅{}0；③{}(){}0,10,1⊆；④(){}(){}1,00,1=.A ．1B ．2C ．3D ．4答案：B解析：由集合的概念、元素与集合间的关系、集合与集合间的关系，逐项判断即可得解. 详解：对于①，因为0是{}0中的元素，所以{}00∈，故①正确； 对于②，因为空集是任何非空集合的真子集，所以∅{}0，故②正确；对于③，{}0,1为数集，(){}0,1为点集，所以{}(){}0,10,1，故③错误；对于④，集合(){}1,0、(){}0,1均为点集，但所含元素不同，故④错误. 故选：B. 点睛：本题考查了元素与集合、集合与集合间关系的判断，属于基础题.17．已知集合{}{}|15,|,x A x e B x x a =<<=<若,A B ⊆则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)ln 5,+∞B ．(ln5,)+∞C ．(,ln5)-∞D ．[)0,+∞答案：A解析：利用指数函数的性质化简集合A ，再利用包含关系求解即可. 详解：由15x e <<，得0ln5x <<，{}|0ln5A x x ∴=<<，,ln5A B a ⊆∴≥，a ∴的取值范围是[)ln 5,+∞，故选：A 点睛：本题主要考查指数函数的性质以及利用包含关系求参数，属于基础题.18．已知集合1,6M xx m m Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭∣，1,23n N x x n Z ⎧⎫==-∈⎨⎬⎩⎭∣，1,26p P x x p Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭∣，则M ，N ，P 的关系为（ ）A ．M N P =⊆B ．M N P ⊆=C ．M N P ⊆⊆D ．N P M ⊆⊆答案：B解析：将三个集合中的元素的公共属性分别变形为121626m x m =+=+，m Z ∈ ，1112326n n x -=-=+，n Z ∈，126p x =+，p Z ∈，比较可得答案.详解：因为121{|626m M x x m ==+=+，}m ∈Z ， 111{|2326n n N x x -==-=+，}n Z ∈， 1{|26p P x x ==+，}p Z ∈， 所以M N P ⊆=. 故选：B. 点睛：本题考查了判断集合间的关系，将三个集合中的元素的公共属性分别变形是解题关键，属于基础题.19．下列各式：①{}10,1,2∈；②{}0,1,2∅⊆；③{}{}10,1,2∈；④{}{}0,1,22,0,1=，其中错误的个数是（ ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个答案：A解析：根据集合与集合的关系，元素与集合的关系即可求解. 详解：由元素与集合的关系可知{}10,1,2∈正确，{}{}10,1,2∈不正确， 由集合之间的关系知{}0,1,2∅⊆正确， 由集合中元素的无序性知{}{}0,1,22,0,1=正确， 故错误的个数为1， 故选：A 点睛：本题主要考查了元素与集合的关系，集合的子集，集合的相等，属于容易题. 20．已知集合{}{}|02|20M x x N x x =≤≤=-=，，则下列说法正确的是 A ．B ．C ．D ．答案：B 详解：试题分析：{}{}|202N x x N M =-==∴⊆ 考点：集合的子集关系。

一、选择题1．设集合A={2，1-a ，a 2-a +2}，若4∈A ，则a =（ ） A ．-3或-1或2 B ．-3或-1 C ．-3或2D ．-1或22．若{}21,,0,,b a a a b a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭，则20192019a b +的值为（ ） A ．0B ．1-C ．1D ．1或1-3．已知x ，y 都是非零实数，||||||x y xy z x y xy =++可能的取值组成的集合为A ，则下列判断正确的是（ ） A ．3A ∈，1A -∉B ．3A ∈，1A -∈C ．3A ∉，1A -∈D ．3A ∉，1A -∉4．对任意x M ∈，总有2x M ∉且x M ∉，若{}0,1,2,3,4,5M ⊆，则满足条件的非空集合M 的个数是（ ） A ．11B ．12C ．15D ．165．若集合{}2560A x x x =+-=，{}222(1)30B x x m x m =+++-=.若{}1A B ⋂=,求实数m 的值为（ ） A ．0B ．-2C ．2D ．0或-26．已知集合302x A xx ⎧⎫+⎪⎪=⎨⎬-⎪⎪⎩⎭，{}B y y m =<，若A B ⊆，则实数m 的取值范围为( ) A ．()2∞+，B ．[)2∞+，C ．()3∞-+，D ．[)3∞-+，7．如图所示的韦恩图中，A 、B 是非空集合，定义*A B 表示阴影部分的集合，若x ,y ∈R ，2{|4}{|3,0}x A x y x x B y y x ==-==>，则A *B 为（ ）A ．{|04}x x <≤B ．{|01x x ≤≤或4}x >C ．{|01x x ≤≤或2}x ≥D ．{|01x x ≤≤或2}x >8．集合2|01x A x x -⎧⎫=<⎨⎬+⎩⎭，{|()()0}B x x a x b =--<，若“2a =-”是“A B ⋂≠∅”的充分条件，则b 的取值范围是（ ） A ．1b <-B ．1b >-C ．1b ≤-D ．12b -<<-9．设所有被4除余数为()0,1,2,3k k =的整数组成的集合为k A ，即{}4,k A x x n k n Z ==+∈，则下列结论中错误的是（ ）A ．02020A ∈B ．3a b A +∈，则1a A ∈，2b A ∈C ．31A -∈D ．k a A ∈，k b A ∈，则0a b A -∈10．设{}|13A x x =≤≤，(){}|lg 321B x x =-<，则A B =（ ）A ．3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,32⎛⎤⎥⎝⎦11．已知集合{}25A x x =-≤≤，{}121B x m x m =+≤≤-，若B A ⊆，则实数m 的取值范围是（ ） A ．3m <B ．23m ≤≤C ．3m ≤D ．23m <<12．已知全集U =R ，集合(){}{}20,1A x x x B x x =+<=≤，则图中阴影部分表示的集合是（ ）A ．()2,1-B ．[][)1,01,2-C ．()[]2,10,1--D ．0,1二、填空题13．已知集合{|M m Z =∈关于x 的方程2420x mx +-=有整数解}，集合A 满足条件：①A 是非空集合且A M ⊆；②若a A ∈，则a A -∈．则所有这样的集合A 的个数为______．14．设集合{}0,4A =-，B ＝{}22|2(1)10,x x a x a x R +++-=∈．若B A ⊆，求实数a 的取值范围_______________15．已知非空集合{}|121A x m x m =+≤≤-，集合{}2|1030B x x x =+-≥，若A B =Φ，则实数m 的取值范围为__________16．设全集{|35}Ux x =-≤≤，集合1{|||1},{|0}2A x xB x x =≤=>+，则()UC A B ⋂=_____________．17．已知集合{}{}2430,21xA x x xB x =++≥<，则AB =____________18．设集合1{|0}x A x x a-=≥-，集合{}21B x x =-，且B A ⊆，则实数a 的取值范围为______．19．设集合{}1,2,3A =，若B ≠∅，且B A ⊆，记G(B)为B 中元素的最大值和最小值之和，则对所有的B ，G(B)的平均值是_______.20．若不等式34x b -<的解集中的整数有且仅有5,6，则b 的取值范围是______.三、解答题21．已知集合{}2210,A x ax x a R =++=∈． （1）若A 中只有一个元素，求a 的值； （2）若A 中至少有一个元素，求a 的取值范围； （3）若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围. 22．已知全集为R ，集合{}503x A x R x -=∈>+，()2{|21050}B x R x a x a =∈-++≤． （1）若RB A ⊆，求实数a 的取值范围；（2）从下面所给的三个条件中选择一个，说明它是RB A ⊆的什么条件(充分必要性)．①[)7,10a ∈-；②(]7,10a ∈-；③(]6,10a ∈． 23．已知集合612A xx ⎧⎫=≥⎨⎬+⎩⎭,{}2(4)70B x x m x m =-+++<．（1）若3m =时，求()RAB ；（2）若A B A ⋃=，求实数m 的取值范围．24．已知全集为R ，函数()()lg 1f x x =-的定义域为集合A ，集合(){}16B x x x =->. （1）求AB ；（2）若{}11C x m x m =-<<+，()()R C AC B ⊆，求实数m 的取值范围.25．已知集合{121}A xa x a =-<<+∣，{}03B x x =<≤，U =R . （1）若12a =，求A B ；()U A B ⋂. （2）若A B =∅，求实数a 的取值范围.26．已知集合A x y ⎧⎫⎪==⎨⎪⎩，集合1228xB x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭.(1)求AB ；(2)若集合{}21C x a x a =≤≤+，且()A B C ⋂⊇，求实数a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C解析：C 【解析】若1−a =4，则a =−3，∴a 2−a +2=14，∴A ={2,4,14}； 若a 2−a +2=4，则a =2或a =−1，检验集合元素的互异性： a =2时，1−a =−1，∴A ={2,−1,4}； a =−1时,1−a =2(舍)， 本题选择C 选项.2．B解析：B 【分析】根据集合相等以及集合元素的互异性可得出关于a 、b 的方程组，解出这两个未知数的值，由此可求得20192019a b +的值. 【详解】b a 有意义，则0a ≠，又{}21,,0,,b a a a b a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭，0b a ∴=，可得0b =，所以，{}{}21,,00,,a a a =，21a ∴=，由集合中元素的互异性可得1a ≠，所以，1a =-， 因此，()2019201920192019101ab +=-+=-.故选：B. 【点睛】本题考查利用集合相等求参数，同时不要忽略了集合中元素互异性的限制，考查计算能力，属于中等题.3．B解析：B 【分析】分别讨论,x y 的符号，然后对||||||x y xy z x y xy =++进行化简，进而求出集合A ，最后根据集合元素的确定性即可得出答案. 【详解】当0x >，0y >时，1113z =++=； 当0x >，0y <时，1111z =--=-； 当0x <，0y >时，1111z =-+-=-； 当0x <，0y <时，1111z =--+=-. 所以3A ∈，1A -∈. 故选：B. 【点睛】本题考查了对含有绝对值符号的式子的化简，考查了集合元素的特点，考查了分类讨论思想，属于一般难度的题.4．A解析：A 【分析】根据题意，0M ∉且1M ∉，且2、4不同时在集合M 中，对集合M 分两种情况讨论：①2M ∉且4M ∉；②2和4有且只有一个在集合M 中，分别列举出符合条件的集合M ，即可得出答案. 【详解】2111==，200=，由题意可知0M ∉且1M ∉，由于242=， 所以，2和4不同时在集合M 中.①当2M ∉且4M ∉时，则符合条件的集合M 有：{}3、{}5、{}3,5，共3种； ②若2和4有且只有一个在集合M 中，则符合条件的集合M 有：{}2、{}2,3、{}2,5、{}2,3,5、{}4、{}3,4、{}4,5、{}3,4,5，共8种.综上所述，满足条件的非空集合M 的个数是3811+=. 故选：A. 【点睛】本题考查满足条件的集合个数的求解，列举出满足条件的集合即可，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.5．D解析：D 【分析】根据A ∩B ＝{1}可得出，1∈B ，从而得出1是方程x 2+2（m +1）x +m 2﹣3＝0的根，1代入方程即可求出m 的值； 【详解】 A ＝{﹣6，1}； ∵A ∩B ＝{1}； ∴1∈B ；即1是方程x 2+2（m +1）x +m 2﹣3＝0的根； ∴1+2（m +1）+m 2﹣3＝0； ∴m 2+2m ＝0； ∴m ＝0或m ＝﹣2；当m ＝0时，B ＝{﹣3，1}，满足A ∩B ＝{1}； 当m ＝﹣2时，B ＝{1}，满足A ∩B ＝{1}； ∴m ＝0或m ＝﹣2； 故选：D 【点睛】考查交集的定义及运算，元素与集合的关系，描述法、列举法的定义，一元二次方程实根的情况,是基础题．6．B解析：B 【分析】求出集合A ，由A B ⊆，结合数轴，可得实数m 的取值范围. 【详解】解不等式302x x +≤-，得32x -≤<，[)3,2A ∴=-. A B ⊆，可得2m ≥.故选：B . 【点睛】本题考查集合间的关系，属于基础题.7．B解析：B 【分析】弄清新定义的集合与我们所学知识的联系：所求的集合是指将A B ⋃除去A B ⋂后剩余的元素所构成的集合．再利用函数的定义域、值域的思想确定出集合A ，B ，代入可得答案． 【详解】依据定义，*A B 就是指将A B ⋃除去A B ⋂后剩余的元素所构成的集合；对于集合A ，求的是函数y =解得：{|04}A x x =≤≤；对于集合B ，求的是函数3(0)x y x =>的值域，解得{}1B y y =； 依据定义，借助数轴得：*{|01A B x x =≤≤或4}x >． 故选：B ． 【点睛】本小题考查数形结合的思想，考查集合交并运算的知识，借助数轴保证集合运算的准确性,属于中档题．8．B解析：B 【分析】由题意知{}|12A x x =-<<，当2a =-时，()(){}|20B x x x b =+-<，且A B ⋂≠∅成立，通过讨论2b <-，2b =-，2b >-三种情况，可求出b 的取值范围.【详解】 解：{}2|0|121x A x x x x -⎧⎫=<=-<<⎨⎬+⎩⎭，当2a =-时，()(){}|20B x x x b =+-< 当2b <- 时，{}|2B x b x =<<-，此时AB =∅不符合题意；当2b =-时，B =∅ ，此时AB =∅不符合题意；当2b >-时，{}|2B x x b =-<<因为A B ⋂≠∅，所以1b >-.综上所述，1b >-. 故选:B. 【点睛】本题考查了分式不等式求解，考查了一元二次不等式，考查了由两命题的关系求参数的取值范围.本题的关键是由充分条件，分析出两集合的关系.9．B解析：B 【分析】首先根据题意，利用k A 的意义，再根据选项判断. 【详解】A.202045050=⨯+，所以02020A ∈，正确；B.若3a b A +∈，则12,a A b A ∈∈，或21,a A b A ∈∈或03,a A b A ∈∈或30,a A b A ∈∈，故B 不正确；C.()1413-=⨯-+，所以31A -∈，故C 正确；D.4a n k =+，4b m k =+，,m n Z ∈，则()40,a b n m -=-+()n m Z -∈，故0a b A -∈，故D 正确.故选：B 【点睛】关键点点睛：本题考查集合新定义，关键是理解k A 的意义，再将选项中的数写出k A 中的形式，就容易判断选项了.10．B解析：B 【分析】求出集合,A B 后可得A B .【详解】13{|}A x x =≤≤，73{|03210}{|}22B x x x x =<-<=-<<； ∴31,2A B ⎡⎫⎪⎢⎣=⎭⋂，故选：B. 【点睛】本题考查一元二次不等式的解、对数不等式的解及集合的交集运算，解对数不等式时注意真数恒为正，属于中档题.11．C解析：C【分析】由B A ⊆，分B =∅和B ≠∅两种情况讨论，利用相应的不等式（组），即可求解. 【详解】由题意，集合{}25A x x =-≤≤，{}121B x m x m =+≤≤-，因为B A ⊆， （1）当B =∅时，可得121m m +>-，即2m <，此时B A ⊆，符合题意；（2）当B ≠∅时，由B A ⊆，则满足12121215m m m m +≤-⎧⎪-≤+⎨⎪-≤⎩，解得23m ≤≤，综上所述，实数m 的取值范围是3m ≤. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了了集合的包含关系求解参数的取值范围问题，其中解答中熟记集合件的基本关系，合理分类讨论列出方程组是解答的根据，着重考查分类讨论思想，以及运算能力.12．C解析：C 【分析】由集合描述求集合,A B ，结合韦恩图知阴影部分为()()U C A B A B ⋂⋂⋃，分别求出()U C A B 、()A B ⋃，然后求交集即可.【详解】(){}20{|20}A x x x x x =+<=-<<，{}1{|11}B x x x x =≤=-≤≤，由图知：阴影部分为()()U C A B A B ⋂⋂⋃，而{|10}A B x x ⋂=-≤<，{|21}A B x x ⋃=-<≤，∴(){|1U C A B x x ⋂=<-或0}x ≥，即()(){|21U C A B A B x x ⋂⋂⋃=-<<-或01}x ≤≤，故选：C 【点睛】本题考查了集合的基本运算，结合韦恩图得到阴影部分的表达式，应用集合的交并补混合运算求集合.二、填空题13．15【分析】先依题意化简集合M 再根据条件确定集合A 是由互为相反数的四组数字构成的非空集合即得这样的集合的个数【详解】设为方程的两个根则当时；当时；当时；当时；由条件①知且又由条件②知A 是有一些成对的解析：15 【分析】先依题意化简集合M ，再根据条件确定集合A 是由互为相反数的四组数字构成的非空集合，即得这样的集合的个数. 【详解】设a ，b 为方程2420x mx +-=的两个根，则a b m +=-，42ab =-， 当1=a ，42b =时，41m =±； 当2=a ，21b =时，19m =±； 当3a =，14b =时，11m =±； 当6a =，7b =时，1m =±；{}{}{}{}{}1,111,1119,1941,411,1,11,11,19,19,41,41M =-⋃-⋃-⋃-=----，由条件①知A ≠∅且A M ⊆，又由条件②知A 是有一些成对的相反数组成的集合． 所以M 的4对相反数共能组成42115-=个不同的非空集合A ． 故答案为：15. 【点睛】 关键点点睛：本题解题关键在于明确题中条件要求集合A 是由互为相反数的四组数字构成的非空集合，即计算集合个数突破难点.14．或【分析】分类讨论四种情况讨论再求并集即可【详解】因为所以或或或当时方程无实根所以解得；当时方程有两个相等的实根所以解得：；当时方程有两个相等的实根所以此时无解；当时方程有两个不相等的实根所以解得：解析：1a ≤-或1a = 【分析】分类讨论B =∅，{}0B =、{}4B =、{}0,4B =四种情况讨论，再求并集即可. 【详解】因为B A ⊆，所以B =∅或{}0B =或{}4B =或{}0,4B =， 当B =∅时，方程222(1)10x a x a +++-=无实根， 所以()()224141220a a a ∆=+--=+<，解得1a <-；当{}0B =时，方程222(1)10x a x a +++-=有两个相等的实根120x x ==，所以()1221221010x x a x x a ⎧+=-+=⎨=-=⎩ ，解得：1a =-； 当{}4B =-时，方程222(1)10x a x a +++-=有两个相等的实根124x x ==-，所以()12212218116x x a x x a ⎧+=-+=-⎨=-=⎩ ，此时无解； 当{}0,4B =时，方程222(1)10x a x a +++-=有两个不相等的实根1204,x x ==-，所以()1221221410x x a x x a ⎧+=-+=-⎨=-=⎩，解得：1a =； 综上所述：1a ≤-或1a =， 【点睛】本题主要考查了集合之间的包含关系，分类讨论的思想，属于中档题.15．或【分析】化简集合对集合是否为空集分类讨论若满足题意若根据条件确定集合的端点位置即可求解【详解】由得若满足题意；若可得或解得或；综上：或故答案为：或【点睛】本题考查集合间的运算不要遗漏空集情况属于中解析：4m >或2m < 【分析】化简集合B ，对集合A 是否为空集分类讨论，若A =∅满足题意，若A =∅，根据条件确定集合A 的端点位置，即可求解. 【详解】由21030x x +-≥得25,[2,5]x B -≤≤∴=-， 若,121,2A m m m =∅+>-<，满足题意； 若,A AB ≠∅=∅，可得12115m m m +≤-⎧⎨+>⎩或121212m m m +≤-⎧⎨-<-⎩，解得4m >或m ∈∅； 综上：4m >或2m <． 故答案为：4m >或2m < 【点睛】本题考查集合间的运算，不要遗漏空集情况，属于中档题．16．【分析】解绝对值不等式求得集合然后求得其补集解分式不等式求得集合由此求得【详解】由解得所以由解得所以故填：【点睛】本小题主要考查集合交集和补集的概念和运算考查绝对值不等式和分式不等式的解法属于基础题 解析：(2,1)(1,5]--【分析】解绝对值不等式求得集合A ，然后求得其补集.解分式不等式求得集合B ，由此求得()U C A B ⋂.【详解】由1x ≤解得11x -≤≤，所以[)(]3,11,5U C A =--⋃.由102x >+解得2x >-，所以()U C A B ⋂(2,1)(1,5]=--.故填：(2,1)(1,5]--.【点睛】本小题主要考查集合交集和补集的概念和运算，考查绝对值不等式和分式不等式的解法，属于基础题.17．【解析】【分析】根据一元二次不等式的解法和指数函数的单调性求出集合和集合然后进行交集的运算即可求解【详解】根据一元二次不等式的解法可得集合由指数函数的单调性可得集合所以【点睛】本题主要考查了集合表示 解析：(][),31,0-∞-⋃-【解析】【分析】根据一元二次不等式的解法和指数函数的单调性，求出集合A 和集合B ，然后进行交集的运算，即可求解．【详解】根据一元二次不等式的解法，可得集合(][),31,A =-∞-⋃-+∞，由指数函数的单调性，可得集合(),0B =-∞，所以A B =(][),31,0-∞-⋃-．【点睛】本题主要考查了集合表示方法、一元二次不等式的解法和指数函数的单调性，以及交集的运算，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．18．【分析】解可得集合B 对于A 先将转化为且分三种情况讨论求出集合A 判断是否成立综合可得a 的范围即可得答案【详解】或则或对于A 且时成立符合题意时或不会成立不符合题意时或要使成立必有则a 的范围是综合可得a 的 解析：[]1,3【分析】 解21x ->可得集合B ，对于A ，先将1|0x x a -≥-转化为()()10x x a --≥且x a ≠，分1a =，1a >，1a <三种情况讨论，求出集合A ，判断B A ⊆是否成立，综合可得a 的范围，即可得答案【详解】211x x ->⇔<或3x >，则{|1B x x =<或3}x >，对于A ，()()1010x x x a x a-≥⇔--≥-且x a ≠， 1a =①时，{|1}A x x =≠，B A ⊆成立，符合题意，1a <②时，{|A x x a =<或1}x ≥，B A ⊆不会成立，不符合题意，1a >③时，{A x x a =或1}x ≤，要使B A ⊆成立，必有3a ≤，则a 的范围是13a ，综合①②③可得，a 的取值范围为13a ≤≤，即[]1,3；故答案是：[]1,3．【点睛】本题考查集合之间关系的判断，涉及分式、绝对值不等式的解法，解分式不等式一般要转化为整式不等式，有参数时，一般要分类讨论．19．4【分析】根据题意列出所有可能的集合B 求出相应的求出平均数即可【详解】因为集合若且所以集合B 为：当时当时当时当时当时当时当时则G(B)的平均值是故答案为：【点睛】本题主要考查了集合间的包含关系考查学解析：4【分析】根据题意列出所有可能的集合B ，求出相应的()G B ，求出平均数即可.【详解】因为集合{}1,2,3A =，若B ≠∅，且B A ⊆所以集合B 为：{}{}{}{}{}{}{}1231,21,32,31,2,3，，，，，，当{}1B =时，()112G B =+=当{}2B =时，()224G B =+=当{}3B =时，()336G B =+=当{}1,2B =时，()123G B =+=当{}1,3B =时，()134G B =+=当{}2,3B =时，()235G B =+=当{}1,2,3B =时，()134G B =+=则G(B)的平均值是246345447++++++= 故答案为：4【点睛】本题主要考查了集合间的包含关系，考查学生分析问题和解决问题的能力，属于中档题. 20．【分析】先求得不等式的解集根据不等式的解集中的整数有且仅有得出不等式组即可求解得到答案【详解】由题意不等式即解得要使得不等式的解集中的整数有且仅有则满足解得即实数的取值范围是故答案为【点睛】本题主要 解析：[]16,17【分析】 先求得不等式34x b -<的解集4433b b x -++<<，根据不等式34x b -<的解集中的整数有且仅有5,6，得出不等式组44534673b b -+⎧≤<⎪⎪⎨+⎪<≤⎪⎩，即可求解，得到答案. 【详解】 由题意，不等式34x b -<，即434x b -<-<，解得4433b b x -++<<， 要使得不等式34x b -<的解集中的整数有且仅有5,6， 则满足44534673b b -+⎧≤<⎪⎪⎨+⎪<≤⎪⎩，解得1617b ≤≤，即实数b 的取值范围是[]16,17.故答案为[]16,17.【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的求解，以及集合的应用，其中解答中正确求解绝对值不等式，根据题设条件得到不等式组是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.三、解答题21．（1）0a =或1a =；（2）1a ≤；（3）0a =或1a ≥.【分析】根据集合中元素的个数以及方程的解即可确定a 的取值范围.【详解】解：（1）若A 中只有一个元素，则当0a =时，原方程变为210x +=，此时12x =-符合题意， 当0a ≠时，方程2210ax x ++=为二元一次方程，440a ∆=-=，即1a =， 故当0a =或1a =时，原方程只有一个解；（2）A 中至少有一个元素，即A 中有一个或两个元素，由0∆>得1a <综合（1）当1a ≤时A 中至少有一个元素；（3）A 中至多有一个元素，即A 中有一个或没有元素当44a 0∆=-<，即1a >时原方程无实数解，结合（1）知当0a =或1a ≥时A 中至多有一个元素.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是理解集合中的元素与方程的根之间的关系.22．（1）610a -≤≤；（2）答案见解析.【分析】()1先求集合A ，B ，A R ，再由R B A ⊆得到a 的不等式，解得即可；()2结合()1利用充分必要条件的定义逐一判定．【详解】解：()1集合5|0(3)(5,)3x A x R x -⎧⎫=∈>=-∞-⋃+∞⎨⎬+⎩⎭， 所以[]35R A =-，，集合()()()2{|21050}{|250}B x R x a x a x R x a x =∈-++≤=∈--≤，若R B A ⊆， 只需352a -≤≤， 所以610a -≤≤．()2由()1可知的充要条件是[]610a ∈-，， 选择①，则结论是既不充分也不必要条件；选择②，则结论是必要不充分条件；选择③，则结论是充分不必要条件．【点睛】关键点睛，利用集合关系求参数范围，求集合A ，B ，A R ，再由R B A ⊆得到a 的不等式，进而利用a 的范围，判定充分必要条件，属于中档题．23．（1）{}22x x -<≤；（2）197,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【分析】（1）依题意先求出集合A 和集合B ，再求出B R ，然后按照交集的定义求出结果即可； （2）由A B A ⋃=可得出B A ⊆，然后分B φ=和B φ≠两种情况进行分类讨论，进而求出结果即可.【详解】（1）{}24A x x =-<≤，当3m =时，{}25B x x =<<， ∴{2C B x x =≤R 或}5x ≥，(){}22R A B x x ⋂=-<≤；（2）∵A B A ⋃=，∴B A ⊆，令()2(4)7=-+++f x x m x m ， ①当B φ=时，即()0f x ≥恒成立，所以()2=44(7)0∆+-+≤m m ，解得：62m -≤≤；②当B φ≠时，即()0f x <有解，所以6m <-或2m >，令()0f x =，解得：x =，所以24≥-≤ ， 解得1963-≤<-m 或723<≤m ， 综合①②得m 的范围是197,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【点睛】 易错点点睛：由A B A ⋃=可得出B A ⊆，然后进行分类讨论，切记别漏掉B φ=的情形，否则容易漏解.24．（1）{|1x x <或3}x >；（2）[]1,0-.【分析】（1）化简集合A ，B ，根据并集运算即可. （2）计算()R AC B ，根据()()R C A C B ⊆，建立不等式求解即可. 【详解】（1）由10x ->得，函数()()lg 1f x x =-的定义域{}1A x x =< 260x x -->，即()()320x x -+>，解得{}32B x x x =><-或 A B ∴={|1x x <或3}x >，（2）{}23R C B x x =-≤≤， (){}21R A C B x x ∴⋂=-≤<{}21C x x ⊆-≤<，则121011m m m -≥-⎧⇒-≤≤⎨+≤⎩， 故实数m 的取值范围为[]1,0-.【点睛】本题主要考查了集合的并集运算，补集、交集的运算，子集的概念，属于中档题.25．（1）1|32x x ⎧⎫-<≤⎨⎬⎩⎭，1|02x x ⎧⎫-<≤⎨⎬⎩⎭；（2）{1|2a a ≤-或}4a ≥. 【分析】 （1）化简集合，利用集合的交并补运算求解即可；（2）讨论A =∅，A ≠∅两种情况，列出相应的不等式，求解即可得出答案.【详解】（1）若12a =时，12,{03}2A x x B x x ⎧⎫=-<<=<≤⎨⎬⎩⎭∣∣ ∴1|32A B x x ⎧⎫⋃=-<≤⎨⎬⎩⎭，由{|0U B x x =≤或3}x > 所以()1|02U A B x x ⎧⎫⋂=-<≤⎨⎬⎩⎭（2）由AB =∅知 当A =∅时，121,2a a a -≥+∴≤-当A ≠∅时，21113a a a +>-⎧⎨-≥⎩或211210a a a +>-⎧⎨+≤⎩ 4a ∴≥或122a -<≤- 综上：a 的取值范围是{1|2a a ≤-或}4a ≥. 【点睛】本题主要考查了集合的交并补混合运算以及根据交集的结果求参数的范围，属于中档题. 26．(1)()3,0-；(2)312a -<<-或1a >. 【分析】(1)由已知条件分别计算出集合A 和集合B ,然后再计算出A B 的结果.(2)由已知条件()A B C ⋂⊇,则分类讨论C =∅和C ≠∅两种情况,求出实数a 的取值范围.【详解】(1)已知集合A x y ⎧⎫⎪==⎨⎪⎩,则230x x -->,解得30x -<<,即()3,0A =-,集合1228x B x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭,解得31x -<<,即()3,1B =-,所以()3,0A B ⋂=- (2)因为集合{}21C x a x a =≤≤+,且()A B C ⋂⊇,由(1)得()3,0A B ⋂=-,则当C =∅时,21a a >+,即1a >,当C≠∅时,212310a aaa≤+⎧⎪>-⎨⎪+<⎩,得312a-<<-,综上,312a-<<-或1a>.【点睛】本题考查了集合的交集运算和子集运算,在含有参量的子集题目中需要注意分类讨论,尤其不要漏掉空集情况,然后求解不等式组得到结果.本题较为基础.。

1.2 集合间的基本关系一、单选题1．{|12}A x a x a =-≤<+，{|35}B x x =<≤，B A ⊆则实数a 的取值范围是（ ） A ．34a <≤ B ．34a ≤≤ C ．34a << D ．34a ≤< 2．若集合{|2}M x N x =∈，则M 的真子集有（ ）A ．3个B ．4个C ．7个D ．8个3．若集合{}210xax ax ++=∣的子集只有一个，则实数a 的取值情况是（ ） A ．0a =或4a = B ．4a = C ．04a ≤< D ．04a << 4．集合A ＝x|－2≤x≤2}，B ＝y|y ＝x ，0≤x≤4}，则下列关系正确的是（ ）A ．A ⊆B RB ．B ⊆A RC ．A B ⊆R RD ．A∪B＝R5．集合{}32,M x x k k Z ==-∈，{}31,P y y n n Z ==+∈，{}61,S z z m m Z ==+∈之间的关系是（ ） A ．M S P ⊆= B ．S P M =⊆ C ．P M S =⊆D ．S P M ⊆=6．若非空集合{}135X x a x a =+≤≤-，{}116Y x x =，则使得()X X Y ⊆成立的所有a 的集合是A ．{}07a aB ．{}37a a ≤≤C ．{}7a aD ．∅7．已知全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U = ，集合{}2,3,5,6A = ，集合{}1,3,4,6,7B = ，则集合U A B ⋂= A ．{}2,5B ．{}3,6C ．{}2,5,6D ．{}2,3,5,6,88．已知集合{0,1}A =，{|}B x x A =⊆，则下列关于集合A 与B 的关系正确的是（ ） A ．A B ⊆B ．A B ≠⊂ C ．B A ≠⊂ D ．A B ∈9．设集合{}22(,)|2A x y x y =+=，{}(,)|3xB x y y ==，则A B 的子集的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．110．已知集合{}2*|1,P x x n n N ==+∈，{}2*|45,M x x m m m N ==-+∈，则集合P 与M 的关系是（ ） A ．PMB ．PMC ．P M ⊆D ．M P ⊆二、填空题1．已知集合{}2230P x x x =+-=，{}1Q x mx ==，若Q P ⊆，则实数m 的取值集合为_______.2．已知{||23|}A x x a =-<，{|||10}B x x =≤，且A B ，则实数a 的取值范围________3．集合{}1,3,5的非空真子集的个数为________. 4．使2x,x+y}=7,4}的（x,y ）是_________5．满足{}01P ⊆，{}012345，，，，，的集合P 的个数是________. 三、解答题 1．设集合，．若，求a 的值； 若，求a 的值．2．设集合，集合，且.（1）若，求实数、的值； （2）若，且，求实数的值.3．已知集合A ＝x|1－a<x≤1＋a}，集合B ＝122x x ⎧⎫-<≤⎨⎬⎩⎭∣. （1）若A ⊆B ，求实数a 的取值范围； （2）若B ⊆A ，求实数a 的取值范围；（3）是否存在实数a 使A ，B 相等？若存在，求出a ；若不存在，请说明理由.4．对于任意两个集合A ，B ，关系式()()A B A B ⋂⊆⋃总成立吗？说明理由．5．已知集合2{|30}A x x x n =-+=，且1A ∈. （1）求集合A ；（2）如果集合{|10}B x mx =+=，且B A ⊆，求m 的值组成的集合.参考答案一、单选题 1．A解析：由集合包含关系可得不等式组，解不等式组求得结果. 详解：B A ⊆ 1325a a -≤⎧∴⎨+>⎩，解得：34a <≤故选：A 点睛：本题考查根据集合的包含关系求解参数范围的问题，易错点是对于区间端点值能否取得的判断. 2．C解析：先求出集合M ，明确M 的元素的数目，再由集合的元素与子集的数目关系计算可得答案. 详解：根据题意，集合{}{|2}0,1,2M x N x =∈=，共3个元素， 则其真子集的数目为3217-=； 故选：C. 点睛：本题考查集合的子集数目的计算，需要注意x ∈N 这个条件. 3．C解析：集合是空集的时候满足题意， 求210ax ax ++=无解时a 的取值范围即可. 详解：集合{}210xax ax ++=∣的子集只有一个，所以集合是空集， 当0a =时，10≠，满足条件；当0a ≠时，有240a a ∆=-<，即04a <<，集合是空集，满足条件，综上所述，集合{}210xax ax ++=∣的子集只有一个时，04a ≤<，点睛：本题考查了集合的性质，空集的性质. 4．C解析：由题意，化简集合B ，再用集合运算求解. 详解：解：{}{}B=|4=x |02y y x x ≤≤≤≤，故B A ⊆，故A B ⊆R R . 故选C. 点睛：本题考查了集合的化简与运算. 5．D解析：分别求出集合M 、P 、S 的元素，再根据集合包含关系和相等关系的定义即可求解. 详解：{}(){}32,311,M x x k k x x k k Z ==-∈==-+∈Z因为k Z ∈，所以1k Z -∈，所以集合M 中的元素是3的整数倍加1这样的数，{}31,P y y n n Z ==+∈，所以集合P 中的元素是3的整数倍加1这样的数， {}{}61,321,S z z m m Z z z m m Z ==+∈==⋅+∈因为m Z ∈，所以2m 是偶数，所以集合S 中的元素是3的偶数倍加1这样的数， 所以S P M ⊆=， 故选：D. 6．B解析：将()X X Y ⊆转化为X Y ⊆，再根据子集的定义，结合题设范围进行求解即可 详解：由()X X Y ⊆可知X Y ⊆，又由X ≠∅得113516a a ≤+≤-≤，解得37a ≤≤， 故选B. 点睛：本题考查根据子集的条件求解参数问题，将()X X Y ⊆转化为X Y ⊆这一步至关重要，由于题中明确了集合X 非空，降低了难度，若没这一条件，则应讨论集合X 为空集的情况 7．A{}2,5,8UB =,所以{}2,5U A B ⋂=，故选A.考点：集合的运算.8．D解析：根据集合间的基本关系分析即可. 详解：因为x A ⊆,所以{,{0},{1},{0,1}}B =∅,集合{0,1}A =是集合B 中的元素,所以A B ∈. 故选：D 点睛：本题主要考查了集合间的基本关系的理解,属于基础题型. 9．A解析：由题意画出图形，数形结合得答案． 详解：解：{}22(,)|2A x y x y =+=，0x ∃222(,)|3xx y A B x y y ⎧⎫⎧+=⎪⎪∴⋂=⎨⎨⎬=⎪⎪⎩⎩⎭， 如图：由图可知，A B 的元素有2个，则A B 的子集有224=个． 故选：A ． 点睛：本题考查交集及其运算，考查数形结合的解题思想方法，属于基础题． 10．A解析：根据{}(){}22**|45,2,1|M x x m m m N x x m m N ==-+∈=+=-∈，由题中条件，即可得出结果. 详解：因为{}{}2*222|1,11,21,31,......P x x n n N ==+∈=+++，{}(){}{}22**222|45,|2,1,11,21,31,...1...M x x m m m N x x m m N ==-+∈==-∈=++++即集合M 比集合P多一个元素1， 因此P M.故选：A.点睛：本题主要考查集合间的关系，熟记集合间的包含关系即可，属于基础题型.二、填空题 1．20,1,3⎧⎫-⎨⎬⎩⎭解析：考虑Q =∅和Q ≠∅两种情况，31,2P ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，计算得到答案. 详解：{}232301,2P x x x ⎧⎫=+-==-⎨⎬⎩⎭，{}1Q x mx ==，Q P ⊆，当0m =时，Q =∅满足条件； 当11m =，即1m =时，满足条件；当132m =-，即23m =-时，满足条件. 故集合为20,1,3⎧⎫-⎨⎬⎩⎭. 故答案为：20,1,3⎧⎫-⎨⎬⎩⎭点睛：本题考查了根据集合包含关系求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力，忽略空集的情况是容易发生的错误.2．(,17]-∞解析：求出集合A 、B ，由A B ，讨论A =∅或A ≠∅，再由集合的包含关系即可求解. 详解：{||23|}A x x a =-<，{}{|10}1010B x x x x =≤=-≤≤，由A B ，当0a ≤时，A =∅满足题意； 当0a >时，332322a ax a x -+-<⇒<<， 因为A B ，所以310231001720aaa a -⎧≥-⎪⎪+⎪≤⇒<≤⎨⎪>⎪⎪⎩， 综上所述，实数a 的取值范围为(,17]-∞. 点睛：本题考查了集合的包含关系求参数的取值范围、绝对值不等式的解法，属于基础题. 3．6解析：根据非空真子集的定义求出即可. 详解：根据非空真子集的定义，得集合{1,3,5}的非空真子集为{1},{3},{5},{1,3},{1,5},{3,5}，共6个. 故答案为：6. 点睛： 结论点睛：集合含有n 个元素，则子集的个数为：2n ；非空子集为：21n -，非空真子集为：22n -.4．71(,)22或(2,5)解析：两个集合相等，集合内的元素相等，{274x x y =+=或{247x x y =+=，两种情况依次求解即可.详解：由题2x,x+y}=7,4}即{274x x y =+=或{247x x y =+=，解得：7212x y ==⎧⎨⎩或{25x y ==，所以（x,y ）是71(,)22或(2,5)故答案为：71(,)22或(2,5) 点睛：此题考查通过两个集合相等，求参数的值，需要注意两个集合相等，集合中的元素相同，分别列方程组求解即可. 5．15解析：由题知集合P 中一定有元素0,1,可能包含元素2345，，，,且集合P 为{}012345，，，，，的真子集,故集合P 的个数等于集合{}2345，，，的真子集的个数. 详解：由题知, 集合P 的个数等于集合{}2345，，，的真子集的个数,共421=15-个, 故答案为：15. 点睛：(1)本题中集合P 中确定包含元素0,1,故可重点思考剩下的元素2345，，，,分析得可以简化为计算{}2345，，，的真子集的个数,需要一定的思维转换. (2) 若集合A 中有n 个元素,则集合A 有21n -个真子集.三、解答题 1．（1）（2）或． 解析：（1）根据，得到是方程的根，代入即可求解； （2）由集合，根据，对集合B 进行讨论，即可求出的值，得到答案．详解：（1）由题意，因为，即是方程的根，可得，即，解得；（2）由题意，集合，因为，可得 当时，则，解得； 当或时，则，解得，此时满足题意；当时，则，解得，综上可得，或．点睛：本题考查了元素与集合的关系，以及集合与集合的关系的应用，其中解答中熟练应用集合的包含函数，合理分类讨论求解是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于基础题．2．（1），或，或，；（2）或.解析：（1）解出集合，分集合、、三种情况讨论，结合韦达定理可得出实数、的值；（2）由可得出或，并利用集合中的元素满足互异性得出实数的值.详解：（1），，且，分以下三种情况讨论：①当时，由韦达定理得；②当时，由韦达定理得；③当时，由韦达定理得.综上所述，，或，或，；（2），且，或，解得或.当时，，集合中的元素满足互异性，合乎题意；当时，，集合中的元素不满足互异性，舍去；当时，，集合中的元素满足互异性，合乎题意.综上所述，或.点睛：本题考查利用集合的包含关系求参数，同时也考查了一元二次方程根与系数的关系，解题时要注意有限集中的元素要满足互异性，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.3．（1）a≤1；（2）a≥32；（3）不存在，答案见解析.解析：（1）根据集合的包含关系，即可列出不等式组，求解即可；（2）根据集合的包含关系，即可列出不等式组，求解即可；（3）根据（1）（2）所求，即可判断.详解：（1）∵A ⊆B ，∴a≤0或112120a a a ⎧-≥-⎪⎪+≤⎨⎪>⎪⎩解得a≤1. （2）∵B ⊆A ，∴11212a a ⎧-≤-⎪⎨⎪+≥⎩解得a≥32. （3）不存在.理由：若A B =，需满足A ⊆B ，且B ⊆A ，即a≤1且a≥32，显然不存在这样的a .故不存在a 使得A B =.点睛：本题考查根据集合的包含关系，以及集合相等求参数范围，属综合基础题.4．总成立．理由见解析解析：分A B =∅，A B ⋂≠∅两种情况，利用集合包含关系的定义，即得解. 详解：总成立．理由如下：①若A B =∅，则()()A B A B ⋂⊆⋃成立；②若A B ⋂≠∅，任取x A B ∈，则x A ∈且x B ∈，故x A B ∈，则有()()A B A B ⋂⊆⋃综上，()()A B A B ⋂⊆⋃总成立．点睛：本题考查了集合的包含关系，考查了学生概念理解，分类讨论的能力，属于基础题.5．（1）{}12，；（2）1012⎧⎫--⎨⎬⎩⎭，，. 解析：（1）直接根据1A ∈，代入方程解得2n =，再确定集合A ；（2）分类讨论集合B ，即①当B =∅和②当B ≠∅，再综合得m 取值构成的集合.详解：（1）因为1A ∈，直接将1代入方程：230x x n -+=得，2n =， 所以，方程为2320x x -+=， 即()()120x x --=， 解得1x =或2x =，所以，集合{}12A =，； （2）因为B 是A 的子集，分两类讨论： ①当B =∅时，0m =，由于空集是任何集合的子集， 所以，B =∅，符合题意；②当B ≠∅，则{}1B =或{}2B =， 代入解得，1m =-或12-，综合以上讨论得，m 的取值集合为：1012⎧⎫--⎨⎬⎩⎭，，.。

1.1 集合的概念一、单选题1．已知集合{|2,}A x x k k N ==∈，{|4,}B x x k k N ==∈，则A 与B 的关系为（ ） A ．A B ⊆B ．B A ∈C ．B A ⊆D ．A B =2．已知集合{}2,1,0,1,2,3M =--，若集合N 满足N M ⊆，则N 可能为（ ） A ．{}3,2,1,0,1,2,3--- B ．{}3,2,1--- C ．{}2,1,0,1,2,3,4--D ．{}0,1,23．若集合{}0123A =，，，，()}{,,B x y x A y A x y A =∈∈-∈，，则B 中所含元素的个数为（ ） A ．4 B ．6 C ．7 D ．104．已知{}232,2a a ∈++，则实数a 的值为（ ）A ．1或1-B ．1C ．1-D ．1-或05．已知全集{}1,0,1,2,3U =-，集合{}0,1,2A =，{}1,0,1B =-，则()U A B ⋂=A ．{}1-B ．{}0,1C ．{}1,2,3-D ．{}1,0,1,3-6．下列说法：①集合x∈N|x 3＝x}用列举法表示为－1,0,1}； ②实数集可以表示为x|x 为所有实数}或R}； ③方程组31x y x y +=⎧⎨-=-⎩的解集为x ＝1，y ＝2}．其中正确的有( ) A ．3个 B ．2个 C ．1个D ．0个7．如果集合{}2|410A x ax x =++=中只有一个元素，则a 的值是（ ）A ．0B ．4C ．0或4D ．不能确定 8．已知全集{0,1,2,3,4,5}，集合{1,5}A =，集合{2}B =，则集合()U C A B ⋃=（ ） A ．{0,2,3,4}B ．{0,3,4}C ．{2}D ．φ9．设集合{}1A x Q x =∈>-，则（ ）A ．0A ∉B AC ．{2}A ∈D ．A10．现有以下说法，其中正确的是 ①接近于0的数的全体构成一个集合； ②正方体的全体构成一个集合；③未来世界的高科技产品构成一个集合； ④不大于3的所有自然数构成一个集合． A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．②④二、填空题1．把集合{37}A x N x =∈<<用列举法表示出来_______________. 2．2{|420}A x ax x =-+=至多有一个元素，则a 的取值范围是___________.3．式子22a b a a b a +++________.4．若{a ∈，则a =______．5．已知不等式2202x xx a+≤+解集为A ，且2A ∈，3A ∉，则实数a 的取值范围是________ 三、解答题1．对于集合A ，B ，我们把集合(){},|,a b a A b B ∈∈记作A B ⨯例如，{}1,2A =，{}3,4=B ，则有：()()()(){}1,3,1,4,2,3,2,4⨯=A B ，()()()(){}3,1,3,2,4,1,4,2⨯=B A ，()()()(){}1,1,1,2,2,1,2,2⨯=A A ，()()()(){}3,3,3,4,4,3,4,4⨯=B B ，据此，试回答下列问题：（1）已知{}=C a ，{}1,2,3=D ，求C D ⨯；（2）已知()(){}1,2,2,2⨯=A B ，求集合A ，B ；（3）若集合A 中有3个元素，集合B 中有4个元素，试确定A B ⨯中有多少个元素.2．已知函数()()25,f x x bx c b c R =++≤∈，记(){}A x f x x ==，()(){}B x f f x x ==．（1）若5b =，3c =，求集合A 、B ；（2）若集合{}12,A x x =，{}1234,,,B x x x x =，且12341x x x x -+-≤恒成立，求b c +的取值范围．3．已知集合{1,2,}A a =,{}2,1B a a =+(1)当1a =-时,求A B .(2)是否存在实数a ,使得{0}A B =,说明你的理由;(3)记{}2|,C y y x x A ==∈若B C ⋃中恰好有3个元素,求所有满足条件的实数a 的值.(直接写出答案即可)4．已知集合{}2320,,A x ax x x R a R =-+=∈∈.（1）若A 是空集，求a 的取值范围；（2）若A 中只有一个元素，求a 的值，并求集合A ； （3）若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围5．已知集合{}12,,,n S a a a =中的元素都是正整数，对任意,i j a a S ∈，定义11(,)||i j i j d a a a a =-.若存在正整数k ，使得对任意(),i j i j a a S a a ∈≠，都有21(,)i j d a a k ≥，则称集合S 具有性质k F .记()d S 是集合中的(){},,i j i j d a a a a S |∈最大值.（1）判断集合{}1,2,3,4A =和集合{}6,8,12,16B =是否具有性质4F ，直接写出结论； （2）若集合S 具有性质k F ，求证： ①21()n d S k -≥； ②21n k ≤-.参考答案一、单选题 1．C解析：根据子集的概念分析可得结果. 详解：若x B ∈，则42(2)x k k A ==∈，所以B A ⊆， 因为2A ∈，且2∉B ，所以A 不是B 的子集. 故选：C 点睛：关键点点睛：掌握子集的概念是解题关键. 2．D解析：由子集的概念，即可得出结果. 详解：N M ⊆3M -∉，A ，B 不正确； 4∉M ，C 不正确；0,1,2∈∈∈M M M ，D 正确.故选：D 3．D解析：根据题中条件，由列举法写出集合B 中的所有元素，即可得出结果. 详解：因为集合{}0123A =，，，，()}{,,B x y x A y A x y A =∈∈-∈，， 当0x =时，0y =；则()0,0是集合B 中的元素；当1x =时，0y =或1y =，则()1,0，()1,1是集合B 中的元素；当2x =时，0y =或1y =或2y =，则()2,0，()2,1，()2,2是集合B 中的元素；当3x =时，0y =或1y =或2y =或3y =，则()3,0，()3,1，()3,2，()3,3是集合B 中的元素. 即B 中所含元素的个数为10个.4．C解析：分类讨论，解出a ，根据集合中元素的互异性进行验证可得解. 详解：当23a +=时，得1a =，此时223a +=，不满集合中元素的互异性，不合题意； 当223a +=时，得1a =±，若1a =，则23a +=，不满集合中元素的互异性，不合题意；若1a =-，则21a +=，满足{}232,2a a ∈++.故选：C 点睛：易错点点睛：求出a 后，不对集合中元素的互异性进行验证导致错误. 5．A解析：本题根据交集、补集的定义可得.容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查. 详解：={1,3}U C A -，则(){1}U C A B =-故选：A 点睛：易于理解集补集的概念、交集概念有误. 6．D解析：x 3=x 的解为-1，0，1，因为x∈N 从而可知①错误；实数集可以表示为x|x 为实数}或R ，故②错误；集合x=1，y=2}表示x=1与y=2两条直线，故③错误． 详解：∵x 3=x 的解为-1，0，1，∴集合x∈Z|x 3=x}用列举法表示为-1，0，1}，故①正确； 实数集可以表示为x|x 为实数}或R ，故②错误；方程组31x y x y +=⎧⎨-=-⎩的解集为（1，2）}，集合x=1，y=2}中的元素是x=1，y=2；故③错误；故选D ． 点睛：本题考查了元素与集合的关系的判断及集合的表示法的应用，属于基础题． 7．C解析：利用0a =与0a ≠，结合集合元素个数，求解即可．解：当0a =时，集合21{|410}{}4A x ax x =++==-，只有一个元素，满足题意；当0a ≠时，集合2{|410}A x ax x =++=中只有一个元素，可得2440a ∆=-=，解得4a =． 则a 的值是0或4． 故选：C ． 点睛：本题考查了集合中元素的个数问题及方程的解集有且仅有一个元素的判断，属于基础题． 8．A解析：由集合的并集、补集运算，先求出{0234}，，，=U C A ，再求出(){0,2,3,4}=U C A B ，即可得结果. 详解：全集{0,1,2,3,4,5}，集合{1,5}A =则{0234}，，，=U C A 集合{2}B =所以(){0,2,3,4}=U C A B 故选：A 点睛：本题考查了集合的并集和补集运算，考查了数学运算能力，属于基础题目. 9．B解析：根据有理数的分类，结合元素与集合的关系、集合与集合的关系逐一判断即可. 详解：集合A 用语言叙述是所有大于－1的有理数， 所以0是集合A 中的元素，故A 错，A 中的元素，故B 正确，2}应该是集合A 的子集，故C 错误，不是集合A 的子集，故D 错误．故选：B 10．D解析：由集合元素特征三要素中的“确定性”可以判断正误． 详解：在①中，接近于0的标准不明确，不满足集合中元素的确定性，不能构成一个集合，故①错误；在②中，正方体的全体能构成一个集合，故②正确；在③中，未来世界的高科技产品不能构成一个集合，高科技的标准不明确，不满足集合中元素的确定性，故③错误；在④中，不大于3的所有自然数能构成一个集合，故④正确．故选D ． 点睛：集合元素的三要素是：确定性、互异性和无序性.确定性是指集合中的元素是明确的，要么属于这个集合，要么不属于这个集合，两者只能取其一．互异性是指集合中不能有相同元素．无序性指集合中的元素没有顺序．二、填空题 1．{}4,5,6解析：根据x 为自然数及x 的范围，即可列出x 的所有取值，即可得答案. 详解：因为x ∈N 且37x ， 所以x 的所有取值为4,5,6， 故答案为：{}4,5,62．{|2a a 或0}a =解析：由集合A 为方程的解集，根据集合A 中至多有一个元素，转化为方程至多有一个解求解. 详解：当0a =时，方程2420ax x -+=，即为12x =，1{}2A =，符合题意； 当0a ≠时，因为2420ax x -+=至多有一个解， 所以△1680a =-， 解得2a ，综上，a 的取值范围为：2a 或0a =. 故答案为：{|2a a 或0}a =. 点睛：本题主要考查集合元素的个数以及方程的解，还考查了分类讨论思想，属于基础题. 3．{}2,0，得到 0b <，再分0a >和 0a <求解.详解：， 所以 0b <，当0a >时，222a b a a b a ++=，当0a <时，220a b a a b a ++=，所以式子22a b a a b a +++{}2,0，故答案为： {}2,0 点睛：本题主要考查式子的化简和集合的表示，属于基础题. 4．0解析：分别令1a =和a =a 的值，再检验满足元素互异性即可. 详解：当1a =时，则{{}1,1=，不满足元素互异性，舍去；当a =1a =（舍）或0a =，此时{{}1,0=，符合题意， 所以0a =， 故答案为：0 点睛：本题主要考查了集合元素的互异性和确定性，属于基础题.5．3[,1)2--解析：由题意可知，代入2x =可满足不等式，代入3x =则不满足不等式，从而得到关于a 的不等式组，解得a 的取值范围. 详解：因为不等式2202x xx a+≤+解集为A ，且2A ∈，3A ∉， 所以可得代入2x =，不等式成立，即2022222a≤+⨯+，解得1a <-， 代入3x =，不等式不成立，即2323032a+⨯>+，解得32a >-， 且当32a =-时，3x =也不满足不等式，综上，a 的范围为3,12⎡⎫--⎪⎢⎣⎭，故答案为：3,12⎡⎫--⎪⎢⎣⎭点睛：本题考查根据分式不等式的解集中的元素求参数的范围，属于中档题.三、解答题1．（1）()()(){},1,,2,,3⨯=C D a a a ；（2）{}1,2A =，{}2B =；（3）12个元素. 解析：（1）根据(){},|,⨯=∈∈A B a b a A b B ，计算C D ⨯即可. （2）根据()(){}1,2,2,2⨯=A B ，即可得到集合A ，B .（3）根据A B ⨯的定义得到若A 中有m 个元素，B 中有n 个元素，则A B ⨯中应有m n ⨯个元素，由此即可得到答案. 详解：（1）()()(){},1,,2,,3⨯=C D a a a ，（2）因为()(){}1,2,2,2⨯=A B ，所以{}1,2A =，{}2B =.（3）由题意可知A B ⨯中元素的个数与集合A 和B 中的元素个数有关，即集合A 中的任何一个元素与B 中的任何一个元素对应后，得到A B ⨯中的一个新元素. 若A 中有m 个元素，B 中有n 个元素，则A B ⨯中应有m n ⨯个元素.于是，若集合A 中有3个元素，集合B 中有4个元素，则A B ⨯中有12个元素. 点睛：本题主要考查集合的新定义，同时考查学生分析问题的能力，属于简单题.2．（1）{}1,3A =--，{}1,3B =--；（2）5,84⎡⎫-⎪⎢⎣⎭.解析：（1）当5b =，3c =时，直接解方程()f x x =可得集合A ，解方程()()0f f x x -=可得集合B ；（2）由题意得()()()()2121f x x x b x c x x x x -=+-+=--，由此化简得出()()()()()()1221111f f x x x x x x x x x x ⎡⎤-=---+-++⎣⎦，由此可得出3x 、4x 是方程()()()2121221110x x x x x x -+-+--+=的两根，利用韦达定理可得1234x x x x -+-=()24145b c <--≤，经过化简计算得出b c+的取值范围. 详解：（1）当5b =，3c =时，()253f x x x =++，则()()()24313f x x x x x x -=++=++，{}1,3A ∴=--.()()()()()()()()()()()()1313f f x x f f x f x f x x f x f x x x -=-+-=+++++()()()()()()1313f x x x f x x x x x =-++-+++++()()()()()()()()()()()32143213136913x x x x x x x x x x x x =+++++++=++++=++，{}1,3B ∴=--；（2）由题意得()()()()2121f x x x b x c x x x x -=+-+=--，()()()()()()()()()()()()1212f f x x f f x f x f x x f x x f x x x x x x -=-+-=--+-- ()()()()()()1212f x x x x f x x x x x x x x =-+--+-+--()()()()()()12211211x x x x x x x x x x x x =--+--++--()()()()1221111x x x x x x x x =---+-++⎡⎤⎣⎦，则方程()()211110x x x x -+-++=的两根为3x 、4x ，即方程()()()2121221110x x x x x x -+-+--+=的两根为3x 、4x ，由韦达定理得34122x x x x +=+-，()3412122x x x x x x =-++，34x x ∴-=1234x x x x -+-=令2t =>，1t ，函数()g t t =()2,+∞上单调递增，且1g ，则()g t g ≤，2t ∴<≤()24145b c ∴<--≤，则()()22151444b bc ----≤<，()()22151444b b bc +-+-∴≤+<，55b -≤≤，416b ∴-≤+≤，()20136b ∴≤+≤，因此，584b c -≤+<.点睛：本题考查方程的求解，同时也考查了代数式取值范围的计算，涉及不等式基本性质的应用，灵活利用因式分解是解答的关键，考查计算能力，属于难题.3．(1){}1,0,1,2A B ⋃=-.(2)不存在,证明见解析;(3)0a =,3a =.解析：解:(1)将1a =-代入集合中,再求出A B 即可.(2)不存在.证明:若{0}A B =,则0{1,2,}A a ∈=且{}20,1B a a ∈=+,将0a =代入集合A 和B 中,再求交集,得出{0,1}A B =,与{0}A B =矛盾,故不存在.(3)根据{1,2,}A a =得出{}21,4,C a =,再根据B C ⋃中恰好有3个元素,即可得出满足条件的实数a 的值.详解：解:(1)当1a =-时,{1,2,1}A =-,{}1,0B =所以{}1,0,1,2A B ⋃=-.(2)不存在实数a ,使得{0}A B =,证明:若{0}A B =,则0{1,2,}A a ∈=,且{}20,1B a a ∈=+,所以0a =,则{1,2,0}A =,{}0,1B =则{0,1}A B =,与{0}A B =矛盾,故不存在实数a ,使得{0}A B =;(3)因为{}2|,C y y x x A ==∈,{1,2,}A a =所以C 含有21,4,a ，{}2,1B a a =+,B C ⋃含有21,4,,1a a +，又因为B C ⋃中恰好有3个元素,所以当11a +=时,0a =, {}1,4,0B C ⋃=,当14a +=,3a =,{}1,4,9B C ⋃=,所以满足条件的实数a 的值有0a =,3a =.点睛：本题考查集合的基本性质和集合的基本运算,注意集合的互异性是解题中容易出错的地方.4．（1）9,8⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（2）当0a =时，23A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭；当98a =时，43A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭；（3）{}90,8⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭. 解析：（1）方程ax 2﹣3x+2＝0无解，则0a ≠，根据判别式即可求解；（2）分a ＝0和a≠0讨论即可；（3）综合（1）（2）即可得出结论.详解：（1）若A 是空集，则方程ax 2﹣3x+2＝0无解此时0,a ≠ ∆＝9-8a ＜0即a 98＞ 所以a 的取值范围为9,8⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭（2）若A 中只有一个元素则方程ax 2﹣3x+2＝0有且只有一个实根当a ＝0时方程为一元一次方程，满足条件当a≠0，此时∆＝9﹣8a ＝0，解得：a 98=∴a＝0或a 98= 当0a =时，23A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭；当98a =时，43A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭（3）若A 中至多只有一个元素，则A 为空集，或有且只有一个元素由（1），（2）得满足条件的a 的取值范围是{}90,8⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭.5．（1）集合{1,2,3,4}A =具有性质4F ，集合{6,8,12,16}B =不具有性质4F ；（2）①证明见解析；②证明见解析.解析：（1）根据定义，任意(),i j i j a a S a a ∈≠，都有21(,)i j d a a k ≥，对集合A 和B 进行计算即可；（2）不妨设12n a a a <<<， （i ）由120n a a a <<<<得12111n a a a >>>，1111111111()()()0n i j i j na a a a a a a a ---=-+-≥，所以11111n i ja a a a -≥-，再结合新定义即可得解， （ii ）由（i ）可知，对任意1,2,,1i n =-，都有21112(,)(,)(,)(,)i i i n n n i i n id a a d a a d a a d a a k-+++-=+++≥， 所以211i n n i a a k --≥，所以21i n i a k->，因为对任意1,2,,1i n =-，i a i ≥，所以11i a i ≤，所以21n i i k->，即2()i n i k -<，再利用反证法即可得解. 详解：（1）集合{1,2,3,4}A =具有性质4F ，集合{6,8,12,16}B =不具有性质4F .（2）证明：不妨设12n a a a <<<. （i ）由120n a a a <<<<得12111na a a >>>. 对任意1i j n ≤≤≤，有11(,)(,)i j j i i jd a a d a a a a ==-， 因为1111111111()()()0n i j i j na a a a a a a a ---=-+-≥， 所以11111n i ja a a a -≥-. 所以对任意1i j n ≤≤≤，都有1(,)(,)n i j d a a d a a ≥，所以111()n d S a a =-. 又因为11223111111111n n n a a a a a a a a --=-+-++- 1223121(,)(,)(,)n n n d a a d a a d a a k --=+++≥， 所以21()n d S k -≥. （ii ）由（i ）可知，对任意1,2,,1i n =-，都有 21112(,)(,)(,)(,)i i i n n n i i n i d a a d a a d a a d a a k -+++-=+++≥， 所以211i n n i a a k --≥，所以21i n i a k->. 因为对任意1,2,,1i n =-，i a i ≥，所以11i a i ≤，所以21n i i k ->， 即2()i n i k -<，1,2,,1i n =-. 若2n k ≥，则当i k =时，2()()(2)i n i k n k k k k k -=-≥-=，矛盾.所以2n k <.又因为n 是正整数，所以21n k ≤-.点睛：本题考查了关于集合的新定义，考查了对新定义的理解和运算，考查了放缩法和反正法等数学方法，要求较高的计算能力和思维推理能力，属于较难题.。

集合的概念练习题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________评卷人得分一、单选题1．下列选项中，表示同一集合的是（）A．A={0，1}，B={（0，1）}B．A={2，3}，B={3，2}C．A={x|–1<x≤1，x∈N}，B={1}D．A=∅，2．下列各项中，不能组成集合的是（）A．所有的正数B．所有的老人C．不等于0的数D．我国古代四大发明3．下列对象能构成集合的是( )①NBA联盟中所有优秀的篮球运动员；②所有的钝角三角形；③2015年诺贝尔经济学奖得主；④大于等于0的整数；⑤我校所有聪明的学生．A．①②④B．②⑤C．③④⑤D．②③④4．下列说法正确的是（）A．我校爱好足球的同学组成一个集合B．是不大于3的自然数组成的集合C．集合和表示同一集合D．数1，0，5，，，，组成的集合有7个元素5．下列关于集合的命题正确的有（）①很小的整数可以构成集合②集合{y|y=2x2+1}与集合{(x,y) |y=2x2+1}是同一个集合;③1，2，|-|，0.5，这些数组成的集合有5个元素④空集是任何集合的子集A．0个B．1个C．2个D．3个x+=的实数解”中，能够表6．在“①个子较高的人；②所有的正方形；③方程260示成集合的是（ ）A ．②B ．③C ．①②③D ．②③评卷人得分 二、填空题7．已知集合A ={x ，，1}，B ={x 2，x +y ，0}，若A =B ，则x 2017+y 2018=______．8．定义集合A －B ＝{x|x∈A，且x ∉B}，若集合A ＝{x|2x ＋1>0}，集合B ＝{x|<0}，则集合A －B ＝____________.9．在数集{}0,1,2x -中，实数x 不能取的值是______. 10．下列对象：①方程x 2＝2的正实根，②我校高一年级聪明的同学，③大于3小于12的所有整数，④函数y ＝2x 的图像上的点．能构成集合的个数为___________________________________．评卷人得分 三、解答题11．已知集合，是否存在这样的实数，使得集合有且仅有两个子集？若存在，求出所有的的值组成的集合；若不存在，请说明理由.答案1．下列选项中，表示同一集合的是A ．A={0，1}，B={（0，1）}B ．A={2，3}，B={3，2}C ．A={x|–1<x≤1，x∈N}，B={1}D ．A=∅，【答案】B【解析】【分析】利用集合相等的定义直接求解．【详解】在A中，A={0，1}是数集，B={（0，1）}是点集，二者不表示同一集合，故A错误；在B中，A={2，3}，B={3，2}，集合中的元素具有无序性，所以两个集合相等，表示同一集合，故B正确；在C中，A={x|–1<x≤1，x∈N}={0，1}，B={1}，二者不相等，不表示同一集合，故C错误；在D中，A=∅，={0}，二者不相等，不表示同一集合，故D错误．故选B．【点睛】本题考查集合相等的判断，考查集合相等的定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2．下列各项中，不能组成集合的是A．所有的正数B．所有的老人C．不等于0的数D．我国古代四大发明【答案】B【解析】【分析】根据集合的三要素：确定性、互异性、无序性得到选项．【详解】集合中的元素具有确定性，老人的标准不确定，元素不能确定，故所有的老人不能构成集合，故选B．【点睛】本题考查集合中元素满足的三要素：确定性、互异性、无序性．3．下列对象能构成集合的是( )①NBA联盟中所有优秀的篮球运动员；②所有的钝角三角形；③2015年诺贝尔经济学奖得主；④大于等于0的整数；⑤我校所有聪明的学生．A．①②④B．②⑤C．③④⑤D．②③④【答案】D【解析】由集合中元素的确定性知，①中“优秀的篮球运动员”和⑤中“聪明的学生”不确定，所以不能构成集合．选D4．下列说法正确的是（）A．我校爱好足球的同学组成一个集合B．是不大于3的自然数组成的集合C．集合和表示同一集合D．数1，0，5，，，，组成的集合有7个元素【答案】C【解析】【分析】根据集合的含义逐一分析判断即可得到答案【详解】选项A，不满足确定性，故错误选项B，不大于3的自然数组成的集合是，故错误选项C,满足集合的互异性，无序性和确定性，故正确选项D，数1，0，5，，，，组成的集合有5个元素，故错误故选C【点睛】本题考查了集合的含义，利用其确定性、无序性、互异性进行判断，属于基础题。

1.2 集合间的基本关系一、单选题1．定义集合A*B=x x A x B ∈∉，}，若A=1，2,3,4,5}，B=2,4,5}，则集合A*B 的子集的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．42．已知集合{}|1P x y x ==+，集合{}|1Q y y x =-＝，则P 与Q 的关系是（ ） A ．P Q = B ．P Q ⊆ C ．P Q ⊇D ．P Q =∅3．已知函数1()lg1xf x x+=-的定义域为A , 函数()lg(1)lg(1)g x x x =+--的定义域为B ,则下述关于A B 、的关系中,不正确的为A ．AB ⊇ B ．A B B ⋃=C ．A B B =D ．B A 4．设集合A ＝x|x ＝2k ＋1，k ∈Z}，若a ＝5，则有（ ）A ．a ∈AB ．－a ∉AC ．a}∈AD ．a}∉A 5．集合{|212}P x N x =∈-<-<的子集的个数是（ ） A ．7B ．3C ．4D ．86．若集合(){}|10A x x x =+≥，{}1B y y x ==+，则 A ．A B = B ．A B ⊆C ．A B R =D ．B A ⊆7．已知集合，，则下列结论正确的是 A ．B ．C ．D ．8．集合A 满足{}{},,,,a b A a b c d ⊆⊆的集合A 有（ ）个. A ．1B ．2C ．3D ．49．下列集合的说法中正确的是（ ）A ．绝对值很小的数的全体形成一个集合B ．方程2(1)0x x -=的解集是{1,0,1}C ．集合{}1,,,a b c 和集合{},,,1c b a 相等D ．空集是任何集合的真子集10．能正确表示集合M ＝x|x∈R 且0≤x≤1}和集合N ＝x∈R| x 2＝x}关系的Venn 图是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题1．已知集合{2,1}A =-，{|2,B x ax ==其中,}x a ∈R ，若A B B =，则a 的取值集合为___________.2．用适当的符号填空：（1）a_____{,,}a b c ；（2）0____2{}|0x x =；（3）∅____2{0}|1x x ∈+=R ； （4）{0,1}____N ；（5）{0}____2{|}x x x =；（6）{2,1}____2|320{}x x x -+=. 3．满足{}{}0,10,1,2,3,4,5P ⊆⊆的集合P 的个数是__________． 4．若全集{}{}0,1,2,3,2U U C A ==，则集合A 的真子集共有________5．函数()()2241,2f x x x g x x a =-+=+，若存在121,,12x x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()12f x g x =，则a 的取值范围是___________. 三、解答题1．已知{}2|3100A x x x =--<，{|121}B x m x m =+-，B A ⊆，求m 的取值范围.2．已知集合{}2|560A x x x =+-=，集合{|20}B x mx =-=，若B A ⊆，求实数m 的值．3．设集合，.（1）若，试判断集合与的关系；（2）若，求实数的所有可能取值构成的集合.4．已知集合{|1A x x =<-或}1x ≥，{|}112,B x a a a x <+<=<，B A ⊆，求实数a 的取值范围．5．已知集合{}(){}22|320,=|10A x x x B x x a x a =-+≤-++≤（1）当A B =时，求实数a 的值； （2）当A B ⊆时，求实数a 的取值范围.参考答案一、单选题 1．D解析：先理解新定义集合的运算法则，可求得A*B={}1,3,再求集合{}1,3的子集即可. 详解：解：由A=1,2,3,4,5}，B=2,4,5}，又集合A*B=x x A x B ∈∉，}， 所以A*B={}1,3,又集合{}1,3的子集为φ，{}1，{}3，{}1,3共4个， 即集合A*B 的子集的个数是4， 故选：D. 点睛：本题考查了新定义集合的运算，重点考查了集合子集的运算，属基础题. 2．C解析：求函数定义域求得集合P ，求函数值域求得集合Q ，由此得出两个集合的关系. 详解：对于集合A ，由10x +≥解得1x ≥-.对于集合Q ，0y ≥.故集合P 包含集合Q ，所以本小题选C. 点睛：本小题主要考查集合与集合的关系，考查函数定义域和值域的求法，考查集合的研究对象，属于基础题. 3．D解析：分别求出两函数的定义域，再判断集合关系. 详解： 因为1()lg1xf x x +=-，所以101x x+>-即()()110x x +-> ，解得11x -<< 故{}11A x x =-<<因为()lg(1)lg(1)g x x x =+--，所以1010x x +>⎧⎨->⎩，解得11x -<<故{}11B x x =-<< 所以A B =故选D. 点睛：本题考查函数的定义域与集合之间的关系，属于简单题. 4．A解析：由题意，集合A 为奇数集，易得a ∈A ，－a ∈A ，所以选项A 正确，选项B 不正确，而选项C 、D 两个集合之间的符号使用有误，所以选项C 、D 不正确． 详解：解：对选项A ：当k ＝2时，x ＝5，所以a ∈A ，故选项A 正确； 对选项B ：当k ＝－3时，x ＝－5，所以－a ∈A ，故选项B 不正确；对选项C 、D ：因为集合a}与集合A 之间的符号使用有误，所以选项C 、D 不正确； 故选：A. 5．D解析：求出集合}{0,1,2P =，再由子集个数为32即可求解. 详解：由题意{|13}{0P x N x =∈-<<=，1，2}， 有三个元素，其子集有8个． 故选：D ． 6．D解析：分别求解出集合A 和集合B ，根据集合的包含关系可确定结果. 详解：(){}(][)|10,10,A x x x =+≥=-∞-+∞，{}[)10,B yy x ==+=+∞B A ∴⊆本题正确选项：D 点睛：本题考查集合间的包含关系，属于基础题. 7．D 详解： 试题分析：，{}{|lg(2)}2,B x y x x x A B B ==-=∴⋂=，故选D.考点：集合的运算．8．D解析：由集合A 与两集合的关系可将其可能性一一列出，即可求得其个数. 详解：由集合A 与两集合的关系将其一一列出：{}{}{}{},,,,,,,,,,,a b a b c a b d a b c d ，共四个. 故选D. 点睛：本题考查集合间的关系，由集合间的关系确定其可能含有的元素，求出集合，注意集合也是集合本身的子集. 9．C解析：逐项分析选项A,B 不符合集合的三要素，选项C 满足集合三要素，选项D 不符合真子集的定义，即可得出结论. 详解：选项A:不满足集合的确定性，错误； 选项B:不满足集合的互异性，错误；选项C:集合无序性，只需集合元素相同，则集合相等，正确； 选项D: 空集不是本身的真子集，错误. 故选: C 点睛：本题考查对集合概念的理解，以及空集的性质，属于基础题. 10．B解析：先求集合N,再判断集合间的关系 详解：N ＝x∈R|x 2＝x}＝0,1}，M ＝x|x∈R 且0≤x≤1}，∴N M.故选：B 点睛：本题考查集合间的关系，是基础题二、填空题 1．{}1,0,2-解析：根据A B B =得到,A B 之间的关系，由此确定出可取的a 的值.因为A B B =，所以B A ⊆， 当B =∅时，0a =；当B ≠∅时，若{}2B =-，则22a -=，所以1a =-；若{}1B =，则2a =. 综上可知：a 的取值集合为{}1,0,2-， 故答案为：{}1,0,2-. 点睛：本题考查根据集合间的包含关系求解参数，难度一般.分析集合间的子集关系时，注意分析空集的存在.2．∈∈= =解析：根据元素与集合,集合与集合的关系填空即可.详解：(1)元素a 属于集合{,,}a b c ,故{,,}a a b c ∈. (2)元素0x =满足20x =,故20{}|0x x =∈.(3)因为210x +=在x ∈R 时无解,故2{}|10x x ∅+=∈=R (4)因为0,1均属于自然数,故集合{0,1}N(5)因为20,1x x x =⇒=,故{0}2{|}x x x =.(6)因为2320x x -+=的根为1,2x =.故2{2,1}{|32}0x x x -+==. 故答案为：(1).∈ (2).∈ (3).= (4).(5).(6).=点睛：本题主要考查了元素与集合和集合与集合间的基本关系,属于基础题型. 3．16解析：由题意可知0,1P ∈,2,3,4,5可在或不在集合P 中,即可求得P 的个数． 详解：{}0,1P ⊆⊆{}0,1,2,3,4,5,0,1P ∴∈,2,3,4,5可在或不在集合P 中,∴集合P 的个数是4216=,故答案为:16． 点睛：本题主要考查子集个数公式,等价转化的数学思想等知识.将原问题转化为子集个数公式的问题是解本题关键.解析：先确定集合A ，再用列举法写出集合A 的所有真子集. 详解：解：因为{}{}0,1,2,3,2U U C A ==，所以{}0,1,3A =.则集合A 的真子集有：∅，{}{}{}{}{}{}0,1,3,0,1,0,3,1,3，共有7个.故答案为：7. 点睛：本题考查集合的真子集个数问题，属于基础题.5．33,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦解析：先根据1x 的范围计算出()1f x 的值域，然后分析()2f x 的值域，考虑当两个值域的交集不为空集时对应a 的取值范围即可. 详解：因为()2241f x x x =-+，所以当11,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时()111,2f x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，因为()2g x x a =+，所以当21,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时()[]21,2g x a a ∈++，由题意可知[]11,1,22a a ⎡⎤--++≠∅⎢⎥⎣⎦，当[]11,1,22a a ⎡⎤--++=∅⎢⎥⎣⎦时，112a +>-或21a +<-，所以32a >-或3a <-，综上可知：33,2a ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦.故答案为：33,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦. 点睛：本题考查根据函数值域的关系求解参数范围，难度一般. 当两个函数的值域的交集不为空集时，若从正面分析参数的范围较复杂时，可考虑交集为空集时对应的参数范围，再求其补集即可求得结果.三、解答题 1．(),3-∞解析：先求解出集合A ，然后根据B A ⊆分别考虑B =∅和B ≠∅的情况，由此求解出m 的取值范围.因为23100x x --<，所以25x -<<，所以{}25A x x =-<<， 当B =∅时，B A ⊆满足，此时211m m -<+，所以2m <；当B ≠∅时，若B A ⊆，则有21112215m m m m -≥+⎧⎪+>-⎨⎪-<⎩，所以23m ≤<，综上可知：3m <，即(),3m ∈-∞. 点睛：本题考查根据集合的包含关系求解参数范围，其中涉及分类讨论的思想，难度一般.根据集合的包含关系求解参数范围时，一定要注意分析集合为空集的情况.2．0，2，13-．解析：先解方程求出{1,6}A =-，再分别讨论B =∅，{1}B =，{6}B =-三种情况，即可得出结果. 详解：由题意，解方程2560x x +-=，得{1,6}A =-． ∵B A ⊆，∴①当B =∅时，0m =； ②当{1}B =时，2m =； ③当{6}B =-时，13m =-． 综上所述，m 的值为0，2，13-． 点睛：本题主要考查由集合的包含关系求参数的问题，属于基础题型. 3．（1）；（2）解析：（1）解一元二次方程求得集合，解一元一次方程求得集合，由此判断出两个集合的关系. （2）将分成和两种情况进行讨论，由此求得实数的所有可能取值构成的集合.详解： （1）由，解得或，即.若，由，得，此时.所以.（2）①若，则方程无解，此时； ②若，则，由，可得，所以或，即或.综上所述，.点睛：本小题主要考查集合的包含关系，考查根据子集求参数，考查一元二次方程和一元一次方程的解法，属于基础题.4．{|2a a ≤-或112a ⎫≤<⎬⎭解析：由题B ≠∅，在数轴上画出集合A 的范围，从而得到a 应满足的条件，可解得a 的范围. 详解：解:∵1a <，∴21a a <+，∴B ≠∅．画出数轴，如图所示．或由图知要使B A ⊆，需21a ≥或11a ≤-+，即12a ≥或2a ≤-．又∵1a <，∴实数a 的取值范围是{|2a a ≤-或112a ⎫≤<⎬⎭．点睛：本题考查根据集合之间的关系求未知量的取值范围，属于基础题.5．（1）2a =；（2）[)2,+∞解析：分析：利用一元二次不等式的解法，化简集合{}|12,A x x =≤≤化简集合{}|1,B x x a =≤≤（1）利用集合相等的定义可得结果；（2）利用子集的定义可得结果. 详解：由2320x x -+≤，可得12x ≤≤， 所以{}|12,A x x =≤≤由2(1)0x a x a -++≤可得，1x a ≤≤ 集合{}|1,B x x a =≤≤（1）因为A Ba=；=，所以2（2）因为A Ba≥，⊆，所以22,+∞.即实数a的范围是[)点睛：本题主要考查集合相等与集合子集的定义，意在考查对基本概念掌握与理解的熟练程度.。

1.2 集合间的基本关系一、单选题1．已知集合(){}(){}22,1,,A x y x y B x y y x =+===，则A B 的子集个数为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1答案：A 解析：解方程组221x y y x⎧+=⎨=⎩，根据解的个数求出交集，再得出子集个数． 详解：解：由221x y y x ⎧+=⎨=⎩得，x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴2=(2A B ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭， ∴A B 的子集个数为224=，故选：A ．点睛：本题主要考查集合的交集运算，考查有限集的子集个数，属于基础题． 2．下列与集合{}1,2A =-相等的是（ ）A ．1,2B ．1,2C ．(){},1,2x y x y =-=D ．{}220x x x --=答案：D解析：集合相等指的是两个集合中元素完全相同，A 为点集，B 不是集合，C 也是点集，D 经过计算后可知元素与集合A 中完全相同，故选D.详解：解：∵{}{}2201,2x x x --==-，∴与集合{}1,2A =-相等的是{}220x x x --=.故选：D3．在下列命题中，不正确的是（ ）A ．1}∈0，1，2}B ．φ⊆0，1，2}C ．0，1，2}⊆0，1，2}D ．0，1，2}=2，0，1}答案：A详解：对于A ，1}⊆0，1，2}，错误； 对于B ，空集是任何集合的子集，正确；对于C ，相等的两个集合互为子集，正确；对于D ，二者显然相等，正确.故选A4．已知全集U =R ，则正确表示集合21|1M y y x ⎧⎫==⎨⎬+⎩⎭和集合{}2|1N x y x ==-关系的韦恩图是A ．B ．C ．D ．答案：D解析：首先解出,M N ，然后判断两个集合的关系.详解：{}01M y y =<≤，210x -≥，解得11x -≤≤ {}11N x x ∴=-≤≤M N ，故选D.点睛：本题考查了判断集合的关系，属于简单题型.5．已知全集{}0,1,2,3,4,5U =,集合{}1,2,3,5A =,{}2,4B =，则()U C A B ⋃=A ．{}4B ．{}0,2,3,4C ．{}0,2,4D ．{}1,2,4答案：C详解：{}(){}0,40,2,4U U C A C A B =⇒⋃=,故选C.6．已知全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U = ，集合{}2,3,5,6A = ，集合{}1,3,4,6,7B = ，则集合U A B ⋂=A ．{}2,5B ．{}3,6C ．{}2,5,6D ．{}2,3,5,6,8答案：A详解：{}2,5,8U B =,所以{}2,5U A B ⋂=，故选A.考点：集合的运算.7．设集合X 是实数集R 的子集，如果点0x R ∈满足：对任意0a >，都存在x X ∈，使得00x x a <-<，那么称0x 为集合X 的聚点，用Z 表示整数集，下列四个集合：①|,01n n Z n n ⎧⎫∈≥⎨⎬+⎩⎭，②{}|0x x ≠，③1|,0n Z n n ⎧⎫∈≠⎨⎬⎩⎭，④整数集Z ．其中以0为聚点的集合有 A ．①②B ．②③C ．①③D ．②④答案：B详解： 试题分析：：①集合|,01n n Z n n ⎧⎫∈≥⎨⎬+⎩⎭中的元素是极限为1的数列，除了第一项0之外，其余的都至少比0大12，∴在12a <的时候，不存在满足0x a <<的x ，∴0不是集合|,01n n Z n n ⎧⎫∈≥⎨⎬+⎩⎭的聚点； ②集合{}|0x x ≠，对任意的a ，都存在2a x =（实际上任意比a 小的数都可以），使得02a x a <=<，∴0是集合{}|0x x ≠的聚点； ③集合1|,0n Z n n ⎧⎫∈≠⎨⎬⎩⎭中的元素是极限为0的数列，对于任意的0a >，存在1n a >，使10x a n <=<，∴0是集合1|,0n Z n n ⎧⎫∈≠⎨⎬⎩⎭的聚点； ④对于某个1a <，比如0.5a =，此时对任意的x Z ∈，都有00x -=或者01x -≥，也就是说不可能000.5x <-<，从而0不是整数集Z 的聚点．综上可知B 正确.考点：新概念.8．已知集合{|6A x x =<且}*N x ∈，则A 的非空真子集的个数为A ．30B ．31C ．62D ．63答案：A解析：先化简集合A ，再根据非空真子集的个数与集合A 的元素个数间的关系求解. 详解：因为集合{|6A x x =<且}{}*N 1,2,3,4,5x ∈=， 所以A 的非空真子集的个数为52230-= .故选：A点睛：本题主要考查集合的基本关系，属于基础题.9．已知集合{}2*2240,M x x x x N =+-=∈，{}6,0,4N =-，则集合M 与N 的关系是（ ）A ．M NB ．N M ⊂≠C ．N M ⊂≠D ．N M ⊆答案：C解析：首先解方程22240x x +-=，求出M ，根据元素即可判断M 与N 的关系.详解：首先解方程22240x x +-=，由*x ∈N 可得4x =或6x =-（舍）所以{}4M =，可得N M ⊂≠.故选：C.点睛：本题考查了集合间关系，考查了真子集的概念，属于基础题.10．若{}21,,0,,b a a a b a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭，则20192019a b +的值为（ ） A ．0B ．1-C ．1D ．1或1-答案：B 解析：根据集合相等以及集合元素的互异性可得出关于a 、b 的方程组，解出这两个未知数的值，由此可求得20192019a b +的值.详解： b a 有意义，则0a ≠，又{}21,,0,,b a a a b a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭，0b a ∴=，可得0b =， 所以，{}{}21,,00,,a a a =，21a ∴=，由集合中元素的互异性可得1a ≠，所以，1a =-，因此，()2019201920192019101a b +=-+=-.故选：B.点睛：本题考查利用集合相等求参数，同时不要忽略了集合中元素互异性的限制，考查计算能力，属于中等题.二、填空题1．若{}|1,I x x x Z =≥-∈，则I C N =___________.答案：{}1-解析：根据N 自然数，所以在全集I 上直接去补集即可得解.详解：{}1I N =-，{}1I C N =-.故答案为：{}1-2．角的集合{|,}2A x x k k ππ==+∈Z 与集合{|2,}2B x x k k ππ==±∈Z 之间的关系为________．答案：A B =解析：在集合A 中，分析k 的奇偶，可得出集合A 所表示的角的终边，与集合B 相比较，可得出结果.详解： 解：集合{|,}2A x x k k ππ==+∈Z ，当k 为奇数时，假设21k n =-，则{|2,}2A x x n k πππ==-+∈Z ，即{|2,}2A x x n k ππ==-∈Z 表示终边在y 轴非正半轴上的角，当k为偶数时，假设2k n =，集合{|2,}2A x x n k ππ==+∈Z ，表示终边在y 轴非负半轴上的角； 集合{|2,}2B x x k k ππ==±∈Z ，则集合B 表示终边落在y 轴上的角的集合，所以A B =. 故答案为：A B =.3．已知集合{}3A =，集合{}2|2 0x x x B a -+==，且A 是B 的真子集，则实数a =_________．答案：3-解析：由A 是B 的真子集知，23230a -⨯+=，解得a 的值即可.详解：A 是B 的真子集，∴3B ∈，即23230a -⨯+=，解得：3a =-.故答案为：3-.点睛：本题主要考查真子集的概念，属于基础题.4．集合{(,)|2A x y xy ==且3,,}x y x R y R +=∈∈的所有子集为________．答案：∅，{(1,2)}，{(2,1)}，{(1,2),(2,1)}解析：先解方程组23xy x y =⎧⎨+=⎩求出集合A ，再用列举法写出子集即可. 详解：由23xy x y =⎧⎨+=⎩得：12x y =⎧⎨=⎩或21x y =⎧⎨=⎩， 所以()(){}1,2,2,1A =，因此其所有的子集为：∅，{(1,2)}，{(2,1)}，{(1,2),(2,1)}.故答案为：∅，{(1,2)}，{(2,1)}，{(1,2),(2,1)}.点睛：本题主要考查求集合的子集，属于基础题型.5．使2x,x+y}=7,4}的（x,y ）是_________答案：71(,)22或(2,5)解析：两个集合相等，集合内的元素相等，{274x x y =+=或{247x x y =+=，两种情况依次求解即可. 详解：由题2x,x+y}=7,4}即{274x x y =+=或{247x x y =+=， 解得：7212x y ==⎧⎨⎩或{25x y ==， 所以（x,y ）是71(,)22或(2,5) 故答案为：71(,)22或(2,5)点睛：此题考查通过两个集合相等，求参数的值，需要注意两个集合相等，集合中的元素相同，分别列方程组求解即可.三、解答题1．已知集合{|()0,}M x f x x x R =-=∈与集合{|[()]0,}N x f f x x x R =-=∈，其中()f x 是一个二次项系数为1的二次函数．（1）判断M 与N 的关系；（2）若M 是单元素集合，求证：M N ．答案：（1）M N ⊆；（2）证明见解析解析：（1）根据集合元素的属性特征，结合复合函数的性质进行求解即；（2）根据题意可以求出函数()f x 的表达式，最后再根据集合N 元素属性特征，结合函数()f x 的解析式进行求解即可.详解：（1）任取0x M ∈，则()00f x x =，故()()000f f x f x x ==⎡⎤⎣⎦，∴0x N ∈．∴M N ⊆；（2）设{}M a =，则2()()f x x x a -=-．∴2()()f x x a x =-+．222222[()]()]()()()()0f f x x x a x a x a x x x a x a x a ⎡⎡⎤-=-+-+-+-=-+-+-=⎣⎣⎦．∴2()0,0x a x a x a x a ⎧-+-=⇒=⎨-=⎩．故[()]0f f x x -=只有一个根a ．∴M N . 点睛：本题考查了集合之间的关系判断，考查了二次复合函数的运算，考查了数学运算能力和推理论证能力.2．已知集合或 ，,若，求实数的取值范围．答案：或 解析：根据可得出，从而可讨论是否为空集列不等式，解出的范围即可．详解： 解：， ， 当时， ； 当时，或， 或， 综上所述：或．点睛：本题考查了描述法的定义，交集的定义及运算，子集和空集的定义，考查了计算能力，属于基础题．3．设集合(){1,2,3,...,}2,n A n n n N =≥∈，集合n P A ⊆，如果对于任意元素x P ∈，都有1x P -∈或1x P +∈，则称集合P 为n A 的自邻集.记(1,)kn k n k N a ≤≤∈为集合n A 的所有自邻集中最大元素为k 的集合的个数. （1）直接判断集合{1,2,3,5}P =和{1,2,4,5}Q =是否为5A 的自邻集；（2）比较610a 和531010a a +的大小，并说明理由；（3）当4n ≥时，求证：121111...n n n n n n a a a a ----≤+++.答案：（1）P 不是5A 的自邻集，Q 是5A 的自邻集；（2）610a >531010a a +，理由见解析；（3）证明见解析解析：（1）利用自邻集的定义直接判断即可；（2）利用自邻集的定义求出10A 的自邻集中最大元集分别为6，5，3的所有自邻集，从而可得答案；（3）记集合(){1,2,3,...,}2,n A n n n N =≥∈所有子集中自邻集的个数为n a ，可得1n n n n a a a -=+，然后分：①自邻集中含2,1,n n n --这三个元素，②自邻集中含有1,n n -这两个元素，不含2n -，且不只有1,n n -这两个元素，③自邻集只含有1,n n -这两个元素，三种情况求解即可 详解：解：（1）因为{}51,2,3,4,5A =，所以5{1,2,3,5}P A =⊆和5{1,2,4,5}Q A =⊆，因为51,51P P -∉+∉，所以{1,2,3,5}P =不是5A 的自邻集，因为112,21,415,514Q Q Q Q +=∈-∈+=∈-=∈所以{1,2,4,5}Q =是5A 的自邻集，（2）{}101,2,3,4,5,6,7,8,9,10A =，则其自邻集中最大元素为6的集合中必含5和6，则有5，6}，4，5，6}，3，4，5，6}，2，3，5，6}，1，2，5，6}，2，3，4，5，6}，1，2，3，5，6}，1，2，4，5，6}，1，2，3，4，5，6}共9个，即6109a =其自邻集中最大元素为5的集合中必含4和5，则有4，5}，3，4，5}，2，3，4，5}，1，2，4，5}，1，2，3，4，5}共5个，5105a =其自邻集中最大元素为3的集合中必含2和3，则有2，3}，1，2，3}共2个，3102a =所以610a >531010a a +（3）证明：记集合(){1,2,3,...,}2,n A n n n N =≥∈所有子集中自邻集的个数为n a ，由题意可得当4n ≥时，1211111...n n n n n a a a a -----=+++ ，121...n n n n n nn a a a a a -=++++，显然1n n n n a a a -=+ ①自邻集中含2,1,n n n --这三个元素，记去掉这个自邻集中的元素n 后的集合为D ，因为2,1n n D --∈，所以D 仍是自邻集，且集合D 中的最大元素为1n -，所以含有2,1,n n n --这三个元素的自邻集的个数为1n n a -，②自邻集中含有1,n n -这两个元素，不含2n -，且不只有1,n n -这两个元素，记自邻集除1,n n -之外最大元素为m ，则23m n -≤≤，每个自邻集中去掉1,n n -这两个元素后，仍为自邻集，此时的自邻集的最大元素为m ，可将此时的自邻集分为4n -种情况：含有最大数为2的集合个数为2n a含有最大数为3的集合个数为3n a……，含有最大数为3n -的集合个数为3n n a -则这样的集合共有233n n n n a a a -++⋅⋅⋅+，③自邻集只含有1,n n -这两个元素，这样的自邻集只有1个，综上可得23312331211n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a -----=+++⋅⋅⋅++≤+++⋅⋅⋅+++因为1n n n n a a a -=+，121...n n n n n n n a a a a a -=++++， 所以23312331211n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a -----=+++⋅⋅⋅++≤+++⋅⋅⋅+++，所以1n n n a a -≤，所以121111...n n n n n n a a a a ----≤+++点睛：关键点点睛：此题考查集合的新定义，考查集合子集的有关知识，考查分析问题的能力，解题的关键是对集合新定义的理解，考查理解能力，属于较难题4．写出下列每对集合之间的关系：（1）{1,2,3,4,5}A =，{1,3,5}B ；（2）2{|1}C x x ==，{|||1}D x x ==；（3）(,3)E =-∞，(1,2]F =-；（4）{|G x x =是对角线相等且互相平分的四边形}，{|H x x =是有一个内角为直角的平行四边形}．答案：（1）B A ；（2）C D =；（3）F E ；（4）G H =．解析：因为集合之间的关系是通过元素来定义的，因此只要针对集合中的元素进行分析即可．详解：（1）因为B 的每个元素都属于A ，而4A ∈且4B ∉，所以B A ．（2）不难看出，C 和D 包含的元素都是1和1-，所以C D =．（3）在数轴上表示出区间E 和F ，如图所示．由图可知F E ．（4）如果x G ∈，则x 是对角线相等且互相平分的四边形，所以x 是矩形，从而可知x 是有一个内角为直角的平行四边形，所以x H ∈，因此G H ⊆．反之，如果x H ∈，则x 是有一个内角为直角的平行四边形，所以x 是矩形，从而可知是x 对角线相等且互相平分的四边形，所以x G ∈，因此H G ⊆．综上可知，G H =．点睛：本题主要考查的是集合与集合间的关系同时考查了子集以及集合相等的定义，当A 是B 的子集时，要么A 是B 的真子集，要么A 与B 相等．是基础题.5．已知{|3},{|21},A x x B x x a A B =<=+<⊆，求实数a 的取值范围.答案：[7,)+∞解析：首先求出集合B ，再根据集合的包含关系，得到不等式，解得.详解：解：{|21}B x x a =+<1|2a B x x -⎧⎫∴=<⎨⎬⎩⎭. {|3}A x x =<又A B ⊆, 所以132a -,解得7a ,所以实数a 的取值范围为[7,)+∞ 点睛：本题考查根据集合的包含关系求参数的取值范围，属于基础题.。

1.1 集合的概念1．下列对象能构成集合的是A ．高一年级全体较胖的学生B ．30,45,cos 60,1sin sinC ．全体很大的自然数D ．平面内到ABC ∆ 三个顶点距离相等的所有点 2．已知集合2{2,4,10}A a a a =-+，若3A -∈，则实数a 的值为（ ） A ．-1 B ．-3 C ．-3或-1D ．无解 3．设集合{}|2A x N x =∈<，则下列关系中正确的是 A ．1A -∈B ．1A ∈C ．{}1,0A -⊆D ．{}1A = 4．若集合3,2,1,0,1,2A ，集合{}1,B y y x x A ==+∈，则B =（ ） A ．{}1,2,3 B ．{}0,1,2C ．{}0,1,2,3D ．{}1,0,1,2,3- 5．用列举法表示集合{}23,x x x *-<∈N 为．A ．{}0,1,2,3,4B ．{}1,2,3,4C ．{}0,1,2,3,4,5D ．{}1,2,3,4,56．若21{0,,}x x ∈，则x =.A ．1B ．1-C ．0或1D ．0或1-7．已知a 、b 、c 为实数，2()()()f x x a x bx c =+++，2()(1)(1)g x ax cx bx =+++，记集合{|()0,}S x f x x ==∈R ，{|()0,}T x g x x ==∈R ，则下列命题为真命题的是（ ） A ．若集合S 的元素个数为2，则集合T 的元素个数也一定为2B ．若集合T 的元素个数为2，则集合S 的元素个数也一定为2C ．若集合S 的元素个数为3，则集合T 的元素个数也一定为3D ．若集合T 的元素个数为3，则集合S 的元素个数也一定为38．设集合{}1A x Q x =∈>-，则（ ）A ．0A ∉B AC ．{2}A ∈D ．A9．若集合A ＝(1,2)，(3,4)}，则集合A 中元素的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．410．已知集合()1,1A =-，下列选项正确的是（ ）A ．A ∅∈B ．1A -∈C ．0A ∈D ．1A ∈ 11．若集合{}210b a a a b a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭，，，，，则20212020a b +的值为（ ）A ．0B ．1C ．1-D ．1±12．设集合{}1,1,2,3,5A =-，{}2,3,4B = ，{|13}C x R x =∈< ，则()A C B =A ．2}B ．2，3}C ．-1，2，3}D ．1，2，3，4} 13．已知,,a b c 均为非零实数，集合{|}a b ab A x x a b ab ==++，则集合A 的元素的个数为． A ．2 B ．3 C ．4 D ．514．下面几组对象可以构成集合的是A ．视力较差的同学B ．2018年的中国富豪C ．充分接近2的实数的全体D ．大于–2小于2的所有非负奇数 15．下列关系中正确的是（ ）A ．0∈∅B ．2Q ∈C ．0N ∈D ．{}1(0,1)∈ 16．已知集合{}()20A x x a a R =+∈，且1,2A A ∉∈，则A ．4a >-B ．2a ≤-C ．42a -<<-D ．42a -<≤- 17．下列说法正确的是A ．0与的意义相同 B ．高一（1）班个子比较高的同学可以形成一个集合 C ．集合是有限集 D ．方程的解集只有一个元素 18．下列常数集表示正确的是( ) A ．实数集RB ．整数集QC ．有理数集ND ．自然数集Z 19．用“book”中的字母构成的集合中元素个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 20．已知{}22(,)1,,A x y x y x Z y Z =+≤∈∈，{}(,)3,3,,B x y x y x Z y Z =≤≤∈∈.定义集合{}12121122(,)(,),(,),A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，则A B ⊕的元素个数n 满足（ ）A ．77n =B ．49n ≤C ．64n =D ．81n ≥参考答案1．D解析：根据集合的互异性、确定性原则判断即可.详解：对于A ，高一年级较胖的学生，因为较胖学生不确定，所以不满足集合元素的确定性，故A 错误；对于B ,由于如130cos602sin ==,不满足集合元素的互异性，故B 错误；对于C ，全体很大的自然数，因为很大的自然数不确定，所以不满足集合元素的确定性，故C 猎误； 对于D ，平面内到ABC ∆三个顶点距离相等的所有点，可知这个点就是ABC ∆外接圆的圆心，满足集合的定义， D 正确，故选D.点睛：本题主要考查集合的性质，属于基础题.集合的主要性质有：（1）无序性；（2）互异性；（3）确定性.2．B解析：根据题意可得23a -=-或243a a +=-解方程，再利用集合元素的互异性即可求解. 详解：若3A -∈，可得当23a -=-时，解得1a =-，此时{}3,3,10A =--，不满足集合的互异性，故1a =-（舍去），当243a a +=-，解得1a =-（舍去）或3a =-，此时{}5,3,10A =--，满足题意，故实数a 的值为-3.故选：B点睛：本题考查了由集合中的元素求参数值、集合的特征，属于基础题.3．B解析：根据集合的表示方法，可得集合{}|2{0,1}A x N x =∈<=，即可作出判定，得到答案. 详解：由题意，根据集合的表示方法，可得集合{}|2{0,1}A x N x =∈<=，所以1A ∈，故选B.点睛：本题主要考查了集合的表示方法，其中解答中熟练把描述法的集合表示为列举法的集合是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.4．C解析：将A 集合中元素逐个代入1y x =+中计算y 的值，然后根据元素的互异性得到B 集合的组成.详解： 由1y x =+，x A ∈得，当3x =-，1时，2y =；当2x =-，0时，1y =；当1x =-时，0y =；当2x =时，3y =.故集合{}0,1,2,3B =，故选C.点睛：本题考查对集合的两种表示方法的理解，难度较易.通过运算得到函数值的集合时，注意利用互异性对函数值进行取舍.5．B解析：由23,x x *-<∈N ，解得1,2,3,4x =，再根据集合的表示方法，即可求解，得到答案．详解：由题意，因为23x -<，解得5x <，又由x *∈N ，所以1,2,3,4x =， 所以{}{}23,1,2,3,4x x x *-<∈=N ． 故选B ．点睛：本题主要考查了集合的表示方法，其中解答中熟记集合的表示方法，准确运算与改写是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．6．B解析：根据集合中元素的确定性得出1肯定是x 或者2x 的一个，又由互异性可知1只能为2x ，较易解出答案.详解：根据集合中元素的确定性和互异性可知，只能21x =，且1x ≠；所以1x =-．故选B点睛：此题考查集合元素三特性中的确定性和互异性，重点是互异性的理解，即同一个集合里不能出现两个相同的元素，属于简单题目.7．D解析：利用一元二次方程根的判别式,结合函数的表达式,先考虑当集合S 的元素个数分别为2、3时, 集合T 的元素个数情况；再考虑当集合T 的元素个数分别为2、3时, 集合S 的元素个数情况,最后选出正确答案.详解：选项A ：当0,2,1a b c ===时2()(21)00,1f x x x x x =++=⇒=-，集合S 的元素个数为2，此时2()2101g x x x x =++=⇒=-,集合T 的元素个数为1,故本选项说法错误；选项B ：当0,3,2a b c ===时21()2310,12g x x x x =++=⇒=--,集合T 的元素个数为2,此时2()(32)00,2,1f x x x x x =++=⇒=--，集合S 的元素个数为3，故本选项说法错误；选项C ：当0,3,2a b c ===时2()(32)00,2,1f x x x x x =++=⇒=--，集合S 的元素个数为3，此时21()2310,12g x x x x =++=⇒=--,集合T 的元素个数为2,故本选项说法错误； 选项D ：若集合T 的元素个数为3，方程2()(1)(1)0g x ax cx bx =+++=有三个不等实根,则有22220000404010a a c c b c b c c b a ab c aa ≠⎧≠⎧⎪≠⎪⎪≠⎪⎪⇒->⎨⎨>⎪⎪⎪⎪-+≠-+≠⎩⎪⎩,在该条件下方程2()()()0f x x a x bx c =+++=一定有x a =-这一个根，且x a =-不是20x bx c ++=的根，又24bc >，所以20x bx c ++=有两个不等于a -的根，即集合S 的元素个数也一定为3.故选：D点睛：本题考查了通过方程根的情况求参数问题,考查了分类讨论思想.8．B解析：根据有理数的分类，结合元素与集合的关系、集合与集合的关系逐一判断即可. 详解：集合A 用语言叙述是所有大于－1的有理数，所以0是集合A 中的元素，故A 错，A 中的元素，故B 正确，2}应该是集合A 的子集，故C 错误，不是集合A 的子集，故D 错误．故选：B9．B详解：集合A ＝(1,2)，(3,4)}中有两个元素，(1,2)和(3,4)故选B.10．C解析：根据元素与集合的关系，即可得到答案.详解：因为()1,1A =-，且0(1,1)∈-，所以0A ∈.故选：C点睛：本题考查元素与集合的关系，属于基础题.11．C解析：由集合相等和集合中元素的互异性，可得出结果.详解：由题意可知0a ≠，0,0∴=∴=bb a ，21a ∴=且1a ≠，1a ∴=-2021202020212020(1)01+=-+=-a b故选：C12．D解析：先求A C ，再求()A C B ．详解：因为{1,2}A C =，所以(){1,2,3,4}A C B =.故选D ．点睛：集合的运算问题，一般要先研究集合中元素的构成，能化简的要先化简，同时注意数形结合，即借助数轴、坐标系、韦恩图等进行运算．13．A解析：当0a >，0b >时，1113a babx a b ab =++=++=；当0a >，0b <时，1111a b ab x a b ab =++=--=-，当0a <，0b >时，1111a b ab x a b ab=++=-+-=-，；当0,0a b <<时，1111ab ab x a b ab =++=--+=-，故x 的所有值组成的集合为{}1,3-，故选A.14．D解析：利用集合元素的确定性对选项逐一分析，由此判断出正确选项.详解：集合的元素需要满足确定性.对于A,B,C 三个选项来说，研究对象无法确定，所以不能组成集合.对于D 选项，大于2-小于2的所有非负奇数为1，可以构成集合.故本小题选D. 点睛：本小题主要考查集合元素的确定性，属于基础题.15．C解析：根据空集是不含有任何元素的集合，得到A 不正确；由2是无理数，得到B 不正确； 由元素与集合的关系，得到D 不正确，即可求解.详解：由题意，A 中，空集是不含有任何元素的集合，所以不正确；由2是无理数，所以2Q ∈不正确；根据元素与集合的关系，{}1(0,1)∈不正确，又由0是自然数，所以0N ∈，故选C.点睛：本题主要考查了元素与集合的关系，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.16．D详解：因为1,2A A ∉∈，所以2040a a +≤⎧⎨+>⎩， 解得42a -<≤-.故选：D.17．D详解：试题分析：0表示元素，0}表示集合，所以意义不同，故A 错误；B 中元素不满足集合的特征——确定性，故错误；C 选项中表示无限集，故也错误；D 中方程所以方程的解集只有一个元素.考点：1、集合的表示；2、集合的基本特征．18．A解析：因为Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集，N 表示自然数数集，所以A 正确，故选A.19．C解析：由集合中元素的特征直接求解即可详解：解：“book”中的字母构成的集合为{},,b o k ，有3 个元素，故选：C20．A解析：先理解题意，然后分①当11x =±,10y =时,②当10x =,11y =±时, ③当10x =,10y =时,三种情况讨论即可.详解：解:由{}22(,)1,,A x y x y x Z y Z =+≤∈∈，{}(,)3,3,,B x y x y x Z y Z =≤≤∈∈,①当11x =±,10y =时, 124,3,2,1,0,1,2,3,4x x +=----,123,2,1,0,1,2,3y y +=---,此时A B ⊕的元素个数为9763⨯=个,②当10x =,11y =±时, 123,2,1,0,1,2,3x x +=---,124,3,2,1,0,1,2,3,4y y +=----,这种情况和第①种情况除124,4y y +=-外均相同,故新增7214⨯=个, ③当10x =,10y =时, 123,2,1,0,1,2,3x x +=---,123,2,1,0,1,2,3y y +=---,这种情况与前面重复,新增0个,综合①②③可得:A B ⊕的元素个数为6314077++=个,故选:A.点睛：本题考查了元素与集合关系的判断，重点考查了计数原理的应用，属中档题.。

1.1 集合的概念一、单选题1．由实数2,,|,x x x -所组成的集合，最多可含有（ ）个元素A ．2B ．3C ．4D ．52．在2N,0N ,5Q Z +-∈∈-∈中，正确的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．43．已知集合{}21log A x N x k =∈<<，集合A 中至少有3个元素，则 A ．8k >B ．8k ≥C ．16k >D ．16k ≥4．在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成的一个集合称为“类”，记为[]k ，即[]{}5k n k n Z =+∈，0k =、1、2、3、4，给出如下四个结论：①[]20133∈；②[]22-∈；②[][][][][]01234Z =⋃⋃⋃⋃；④若整数a 、b 属于同一“类”，则“[]0a b -∈”，其中正确结论的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．45．已知集合A=a-2，2a 2+5a ，12}，-3∈A，则a 的值为（ ） A ．1-B ．32-C ．1或32-D ．1-或32-6．若22{1,1,1}a a ∈++，则a =（ ） A ．2B ．1或－1C ．1D ．－17．若集合{}1,2,3A =，(){},40,,B x y x y x y A =+->∈则集合B 中的元素个数为（ ） A ．5B ．6C ．4D ．38．下列四个集合中，是空集的是（ ）A ．{}|33x x +=B ．{}22(,)|,,x y y x x y R =-∈C ．{}2|0x x ≤D ．{}2|10,x x x x R -+=∈9．下列各组对象不能构成集合的是（ ） A ．拥有手机的人 B ．2021年高考数学难题 C ．所有有理数 D ．小于π的正整数10．集合{}|5x N x ∈<用列举法表示正确的是（ ）A ．{}0,1,2,3,4B ．{}1,2,3,4C ．{}0,1,2,3,4,5D ．{}1,2,3,4,5二、填空题1．已知集合(){}222,133A a a a a =++++,，若1A ∈，则2019a 的值为______．2．若集合A 具有以下两条性质，则称集合A 为一个“好集合”.（1）0A ∈且1A ∈；（2）若x 、y A ，则x y A -∈，且当0x ≠时，有1A x∈. 给出以下命题：①集合{}2,1,0,1,2P =--是“好集合”； ②Z 是“好集合”； ③Q 是“好集合”； ④R 是“好集合”；⑤设集合A 是“好集合”，若x 、y A ，则x y A +∈； 其中真命题的序号是________.3．设集合A 中有n 个元素，定义|A|=n ，若集合6|3P x Z Z x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭，则|P|=____________. 4．设a ，b ∈R ，若集合{1,,}0,,b a b a b a⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭，则20202020a b +=_______.5．定义集合运算：{|,,}A B z z xy x A y B *==∈∈，设{1,2}A =，{0,2,3}B =，则集合A B *的所有元素之和为______ 三、解答题1．用列举法表示下列集合：（1）小于10的所有自然数组成的集合； （2）方程2x x =的所有实数根组成的集合.2．用适当的方法表示下列集合． （1）小于5的自然数构成的集合； （2）直角坐标系内第三象限的点集； （3）偶数集．3．设集合A=x|x+1≤0或x ﹣4≥0}，B=x|2a≤x≤a+2} （1）若A∩B=B，求实数a 的取值范围． （2）若A B φ⋂≠，求实数a 的取值范围．4．已知M 是满足下列条件的集合：①0,1M M ∈∈②若,x y M ∈，则x y M -∈,③若x M ∈且0x ≠，则1M x∈（1）判断13M ∈是否正确，说明理由 （2）证明：若,x y M ∈则x y M +∈ （3）证明：若,x y M ∈则xy M ∈5．设集合W 是满足下列两个条件的无穷数列a n }的集合： ①②，其中n∈N *，M 是与n 无关的常数(1)若a n }是等差数列，S n 是其前n 项的和，a 3=4，S 3=18，试探究S n }与集合W 之间的关系； (2)设数列b n }的通项为b n =5n-2n ，且b n }∈W，M 的最小值为m ，求m 的值； (3)在(2)的条件下，设，求证：数列C n }中任意不同的三项都不能成为等比数列．参考答案一、单选题 1．B解析：把2,,|,x x x -分别可化为x ，x -，2x ，x ，2x ，，根据集合中元素的互异性，即可得到答案． 详解：由题意，当0x ≠时所含元素最多，此时2,,|,x x x -分别可化为x ，x -，2x ，所以由实数2,,|,x x x -所组成的集合，最多可含有3个元素．故选：B 2．A解析：根据数集的表示方法，逐个判定，即可求解. 详解：由数集的表示方法知N 为自然数集，N +为正整数集，Q 为有理数集，可得2N -∈，0N +∈Q 不正确；5Z -∈正确； 故选：A. 3．C 详解：试题分析：因为{}21log A x N x k =∈<<中到少有3个元素，即集合A 中一定有2,3,4三个元素，所以4216k >=，故选C.考点：1.集合的运算；2.对数函数的性质.4．C解析：根据“类”的定义对上述五个结论的正误进行判断. 详解：对于①，201354023=⨯+，[]20133∴∈，结论①正确；对于②，253-=-+，[]23∴-∈，结论②错误；对于③，对于任意一个整数，它除以5的余数可能是0、1、2、3、4，[][][][][]01234Z ∴=，结论③正确；对于④，整数a 、b 属于同一“类”，设a 、[]b k ∈，0k =、1、2、3、4，则存在m 、n Z ∈，使得5a m k =+，5b n k =+，()()()[]5550a b m k n k m n ∴-=+-+=-∈，结论④正确.故选C.点睛：本题考查集合中的新定义，在判断命题的正误时应充分结合题中定义来理解，考查推理能力，属于中等题. 5．B解析：根据元素与集合关系分类讨论，再验证互异性得结果 详解： ∵-3∈A∴-3=a-2或-3=2a 2+5a ∴a=-1或a=-32，∴当a=-1时，a-2=-3，2a 2+5a=-3，不符合集合中元素的互异性，故a=-1应舍去 当a=-32时，a-2=-72，2a 2+5a=-3，满足． ∴a=-32． 故选B ． 点睛：本题考查元素与集合关系以及集合中元素互异性，考查基本分析求解能力，属基础题. 6．D解析：分别令212a +=，12a +=，求出a 值，代入检验． 详解：当212a +=时，1a =±，当1a =时，2112a a +=+=，不满足互异性，舍去，当1a =-时，集合为{1,2,0}，满足；当12a +=时，1a =，不满足互异性，舍去. 综上1a =-． 故选：D ． 点睛：本题考查集合的定义，掌握集合元素的性质是解题关键．求解集合中的参数值，一般要进行检验，检验是否符合元素的互异性．如有其他运算也要满足运算的结论． 7．D解析：由已知可得()()(){}2,3,3,2,3,3B =，问题得解. 详解： 由已知，得：2,3x y ==；3,2x y ==；3,3x y ==满足题意，所以()()(){}2,3,3,2,3,3B =，集合B 中有三个元素. 故选：D 点睛：本题考查了列举法表示集合，注意该集合是点集，属于基础题. 8．D解析：对每个集合进行逐一检验，研究集合内的元素是否存在即可选出. 详解：选项A ，{}{}|330x x +==；选项B ，{}{}22(,)|,,(0,0)x y y x x y R =-∈=； 选项C ，{}{}2|0=0x x ≤；选项D ，210,1430x x -+=∆=-=-<，方程无解，∴{}2|10,x x x x R -+=∈=∅.选:D. 9．B解析：根据集合的确定性直接判断即可得解. 详解：B 选项中“难题”的标准不明确，不符合确定性， 其他选项均满足确定性. 故选：B. 10．A解析：由x ∈N 可知x 为自然数，再列举即可 详解：因为x ∈N 且5x <，所以x 的值可取0，1，2，3，4. 故选：A.二、填空题 1．1解析：根据1A ∈，分类讨论，结合元素的互异性，求解0a =，即可求解2019a 的值，得到答案． 详解：（1）若21a +=，即1a =-，则()210a +=，2331a a ++=，不满足集合中元素的互异性； （2）若()211a +=，则2a =-或0a =，当2a =-时，则20a +=，2331a a ++=，不满足集合中元素的互异性； 当0a =时，则22a +=，2333a a ++=，满足题意；（3）若2331a a ++=，则1a =-或2-，由①②，可知均不满足集合中元素的互异性． 综上，知实数a 的值为0，故2019a 的值为1． 故答案为1. 点睛：本题主要考查了集合中元素与集合的关系及其应用，其中解答中根据元素与集合的根据，合理分类讨论，结合元素的互异性求解是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于中档试题．2．③④⑤解析：取2x =，2y =-结合（1）可判断①的正误；取2x =结合（2）可判断②的正误；利用“好集合”的定义可判断③④的正误；由y A ，可推导出y A -∈，再结合（1）可判断⑤的正误. 详解：对于命题①，2P ∈，2P -∈，但()224P --=∉，①错误； 对于命题②，2Z ∈，但12Z ∉，②错误；对于命题③④，显然，集合Q 、R 均满足（1）（2），所以，Q 、R 都是“好集合”，③④正确；对于命题⑤，当y A 时，由于0A ∈，则0y y A -=-∈， 当x A ∈，则()x y x y A +=--∈，⑤正确. 故答案为：③④⑤. 点睛：解决集合中新定义问题的关键是准确理解新定义的实质，紧扣新定义进行推理论证，把其转化为我们熟知的基本运算． 3．8解析：根据集合中元素的性质列式可求出集合中的所有元素，进而可得结果. 详解： 因为63Z x ∈-，且x ∈Z ， 所以|3|6x -=或|3|3x -=或|3|2x -=或|3|1x -=，所以3x =-或9x =或0x =或6x =或4x =或1x =或2x =或5x =， 所以{3,0,1,2,4,5,6,9}P =-， 所以||8P =， 故答案为：8 点睛：本题考查了求集合中元素的个数，属于基础题. 4．2解析：由集合相等的定义，分类讨论求出1a =-，1b =，代入20202020a b +求解即可. 详解：由{1,,}0,,b a b a b a⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭易知0a ≠，1a ≠由两个集合相等定义可知若10b a b =⎧⎨+=⎩，得1a =-，经验证，符合题意；若01b a a b +=⎧=⎪⎨⎪⎩，由于0a ≠，则方程组无解 综上可知，1a =-，1b =，故2020202020202020(1)12a b +=-+=. 故答案为：2 点睛：本题主要考查了根据集合相等求参数，属于基础题. 5．15解析：直接利用新定义，求出集合A*B 的所有元素,然后求出和. 详解：因为{|,,}A B z z xy x A y B *==∈∈, {1,2}A =, {0,2,3}B =, 所以集合{0,2,3,4,6}A B *=,所以0234615++++=,. 故答案为: 15. 点睛：本题考查新定义，集合的基本运算，考查计算能力,是基础题.三、解答题1．（1）{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}；（2）{0,1}.解析：（1）用列举法写出小于10的所有自然数即可； （2）解方程2x x =，求出根，即可得出对应集合. 详解：（1）设小于10的所有自然数组成的集合为A ，那么{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}A =. （2）设方程2x x =的所有实数根组成的集合为B ，那么{0,1}B =. 点睛：本题主要考查了用列举法表示集合，属于基础题.2．（1）{0,1,2,3,4}；（2）{(,)|0,0}x y x y <<；（3）{|2,}x x k k Z =∈. 解析：（1）用列举法表示集合，自然数集{}0,1,2,3,4,5N =;（2）用描述法表示集合，第三象限内上点横纵坐标都小于零；（3）用描述法表示集合，能被2整除的整数叫偶数. 详解：（1）{}0,1,2,3,4； （2）{(,)|0,0}x y x y <<； （3）{|2,}x x k k Z =∈ 点睛：本题考查了用不同方法表示集合，其时用描述法表示集合时，也不是唯一的一种表示方法，比如本题的偶数集也可以表示为{|22,},{|22,}x x k k Z x x k k Z =-∈=+∈等等，再有本题的第一个集合也可以用描述法进行表示：{|04},{|05}x N x x N x ∈≤≤∈≤<等等.3．（1）3a ≤-或2a ≥；（2）2a =或12a ≤-. 详解：试题分析：（1）若A B φ⋂≠，共包含两种情况，一是B 为空集，—是B 不为空集，但B 与A 无公共元素，由此我们可以构造关于a 的不等式组，解不等式组即可得到实数a 的取值范围；（2）若A B B =，则可分为三种情况，一是B 为空集，二是B 满足A 中10x +≤，三是B 满足A 中40x -≥；构造关于a 的不等式组，解不等式组即可到实数a 的取值范围.试题解析：（1）,A B B B A ⋂=∴⊆，有三种情况：①22,321a a a a ≤+⎧∴≤-⎨+≤-⎩；②22,224a a a a ≤+⎧∴=⎨≥⎩；③ ,22,2B a a a =∅∴>+∴>，综上，a 的取值范围为3a ≤-或2a ≥， （2）22,24a a A B a φ≤+⎧⋂≠∴⎨+≥⎩或222,212a a a a a ≤+≤⎧⎧∴⎨⎨≤-≥⎩⎩或212a a ≤⎧⎪⎨≤-⎪⎩，综上所述：结论为2a =或12a ≤-.【方法点睛】本题主要考查集合的基本运算、分类讨论思想.属于难题.分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中.4．（1）正确，理由见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.解析：（1）根据定义依次确定M 包含元素11,2,3,3-；（2）根据定义确定M 包含元素y -，即得结论；（3）根据定义依次确定M 包含元素2221111()()1,,,(1),,,,1(1)22x y x y x x x x xy x x x x x +---=---,即得结论 详解：（1）13M ∈正确.证明如下：由①知0,1M M ∈∈由②可得()()011,112,213M M M -=-∈∴--=∈--=∈ 由③得13M ∈（2）证明：由①知0M ∈由题知y M ∈， ∴由②可得0y y M -=-∈ 又()x M x y M ∈∴--∈，即x y M +∈（3）证明：,x M y M ∈∈，由②可得1x M -∈，再由③可得11,1M M x x ∈∈-111M x x ∴-∈-即()11M x x ∈-， ()1x x M ∴-∈即2x x M -∈，2x M ∴∈即当2,x M x M ∈∈由（2）可知，当,,x y M x y M ∈+∈112M x x x ∴+=∈2M x∴∈ ∴当,x y M ∈，可得()22222,,,22x y x y x y M ++∈ ()22222x y x y xy M ++∴-=∈ 点睛： 本题考查新定义、元素与集合关系，考查综合分析论证判断能力，属中档题.5．(1) S n }⊆W ； (2) M 的最小值为7； (3) 见解析.解析：第一问利用S n =-n 2+9n满足①当n=4或5时，S n 取最大值20第二问中b n+1-b n =5-2n 可知b n }中最大项是b 3=7∴ M≥7 M 的最小值为7 …………8分第三问中，假设C n }中存在三项b p 、b q 、b r （p 、q 、r 互不相等）成等比数列，则b q 2=b p ·b r∴∴∵ p、q 、r∈N *∴ p=r 与p≠r 矛盾解：(1) S n =-n 2+9n满足①当n=4或5时，S n 取最大值20∴S n ≤20满足② ∴S n }∈W …………4分(2) b n+1-b n =5-2n 可知b n }中最大项是b 3=7∴ M≥7 M 的最小值为7 …………8分(3)，假设Cn }中存在三项bp、bq、br（p、q、r互不相等）成等比数列，则bq 2=bp·br∴∴∵ p、q、r∈N*∴ p=r与p≠r矛盾∴ Cn}中任意不同的三项都不能成为等比数列…………12分。

集合的表示方法练习题（内含详细答案)学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题 1．方程组的解构成的集合是（ ）A ．B ．C ．D ．2．设集合{}1,0A =-，{},B t t y x x A y A ==-∈∈且，则A B ⋂=（ ） A ．{}1 B ．{}1-C ．{}1,1-D ．{}1,0-3．如果全集，，则（ ）A ．B ．C ．D ．4．用列举法表示集合，正确的是（ ）A ．，B ．C ．D ．5．集合，，则集合中的所有元素之积为（ ）A ．36B ．54C ．72D ．108 6．一次函数 和的交点组成的集合是（ ） A ．B ．C ．D ．7．对于集合M ，定义函数fM(x)＝对于两个集合A ，B ，定义集合A△B＝{x|fA(x)·fB(x)＝－1}．已知A ＝{2,4,6,8,10}，B ＝{1,2,4,8,12}，则用列举法写出集合A△B 的结果为( ) A ．{1,6,10,12} B ．{2,4,8} C ．{2,8,10,12} D ．{12,46} 8．集合{(x ，y)|y ＝2x －1}表示( )B．点(x，y)C．平面直角坐标系中的所有点组成的集合D．函数y＝2x－1图像上的所有点组成的集合9．已知集合和集合，则等于（）A．B．C．D．10．集合M={（1，2），（2，1）}中元素的个数是A．1 B．2 C．3 D．411．若A=，则（）A．A=B B．A C．A D．B二、填空题12．用列举法写出集合______13．若集合Z中有且只有一个元素，则正实数的取值范围是________三、解答题14．已知，用列举法表示集合．15．若P＝{0,2,5}，Q＝{1,2,6}，定义集合P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，用列举法表示集合P＋Q.答案一、单选题 1．方程组的解构成的集合是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】求出二元一次方程组的解，然后用集合表示出来. 【详解】 ∵∴∴方程组的解构成的集合是{（1，1）}故选：C ． 【点睛】本题考查集合的表示法：注意集合的元素是点时，一定要以数对形式写． 2．设集合{}1,0A =-，{},B t t y x x A y A ==-∈∈且，则A B ⋂=（ ） A ．{}1 B ．{}1-C ．{}1,1-D ．{}1,0-【答案】D 【解析】 【分析】由题意首先求得集合B ，然后进行交集运算即可. 【详解】由于：()()101,011,11000--=---=---=-=，故由题意可知：{}101B =-,,，结合交集的定义可知：{}1,0A B =-.【点睛】本题主要考查集合的表示方法，交集的定义与运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3．如果全集，，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】首先确定集合U，然后求解补集即可.【详解】由题意可得：，结合补集的定义可知.本题选择C选项.【点睛】本题主要考查集合的表示方法，补集的定义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4．用列举法表示集合，正确的是（）A．，B．C．D．【答案】B【解析】【分析】解方程组解得，再根据集合的表示方法，列举即可得到答案。