微分方程数值解精彩试题库2011

微分方程数值解（学生复习题）
一．填空
1.Euler法的一般递推公式为，整体误差为，局部截断误差为：.，改进Euler的一般递推公式
整体误差为，局部截断误差为：。

2.线性多步法绝对稳定的充要条件是。

3.当，则单步法
1(,,)0,1,2,,
n n n n T
u u h t u h n
h
，稳定。

4. 一个相容，稳定的多步法若绝对稳定，则绝对稳定域在。

5. 若，则多步法是相容的。

6．所有内点，界点的差分方程组成一个封闭的线性代数方程组，其系数矩阵
是。

7.刚性方程是：
8．Runge-Kutta法的特征值为，
相容的充要条件为：
8.二阶常微分方程边值问题：
2
2
,
(), ()
d u
Lu qu f a x b dx
u a u b
的中心差分格式为：
9.若内点的四个相邻点均属于，则称为。

10.逼近泊松方程的五点差分格式的截断误差的阶为。

逼近泊松方程的九点差分格式的截断误差的阶为。

11.线性多步法A稳定的充要条件是。

12.SOR收敛当且仅当松弛因子0,2
（），且Jacobi迭代收敛。

最佳松弛因子是。

二．判断
1.当时间步长和空间步长无限缩小时，差分格式的解是否逼近到微分方程问题的解，这就是差分格式的收敛性问题。

2.单参数的PR迭代格式的收敛速度与SOR最佳超松弛法的收敛速度同阶。

3、对称矩阵的普条件数与条件数相同。

4、一级Runge-Kutta法的绝对稳定域（-2，0）。

菏泽学院数学系2011级 2013-2014学年第一学期数学与应用数学专业《数值分析和计算方法》期末试卷（A ）(110分钟)题号 一 二 三 四 五 总分得分 阅卷人一．选择题（将正确选项前的代号写在题号前的括号内，每小题3分，共15分）( )1.若用最小刻度为0.5mm 的刻度尺测量物体，其误差限为（ ）A.0.25mmB.1.0mmC.0.5mmD.0mm （ ）2.下列具有最高代数精度的求积公式是（ ）A.龙贝格求积公式B.复合辛普森求积公式C.牛顿-科特斯求积公式D.高斯求积公式（ ）3.已知2,1,0,,1)(==-=i i x x x f i i i 。

则函数)(x f 的插值多项式为（ ）A. 145412-+x x B.1-xC.-145412-+x x D.2+-x（ ）4.下列给出的是用不动点迭代法求032=-x 的根3*=x 的迭代函数，则相应的迭代方法局部收敛的是A.x x 3=)(ϕ B.3)(2-+=x x x ϕC.2321)(2-+=x x x ϕD.)3(21)(xx x +=ϕ( )5.线性方程组AX=b 能用高斯消元法求解的充要条件是（ ）A.A 为对称矩阵B.A.为实矩阵C.A 的各阶顺序主子式不为零D.0≠A得分 阅卷人二．填空题（请将正确答案填写在每小题的横线上，每空4分，共20分）1.计算积分⎰b adx x f )(的梯形公式为 。

2.设向量T n x )2,1,0( =，则=∞x 。

3.用牛顿法求方程0)(=x f 的根的公式为 。

4.已知n=3时的牛顿-科特斯系数83,83,81)3(2)3(1)3(0===C C C ,则=)3(3C 。

5.已知点,5,4,3,2,1,1=-=i i x i 则二阶差分=∆32x 。

三．判断题（对的在题前括号内划√，错的划×，每题2分，共10分）（ ）1.高斯求积公式的系数都是正的，故计算总是稳定的。

2011年（数学分析真题）一共九道
1，用W ALIS公式证明一个积分不等式
2，计算一个2型曲面积分
3，证明取得极值的必要条件是所有偏导为0
4，证明开集上的凸函数连续
5.证明斐波那契数列倒数和收敛（厦大那本上的）
6.证明很长的一个积分不等式
7证明点到点集的那个下确界函数一致连续
8证明质数的倒数和发散
9证明一个函数的极限在无穷远点的值为0
（线代与微分方程真题）一共十道前四道为微分方程后六道为高代
1.计算一个伯努力微分方程（简单）
2.计算一个非齐次的待定系数的方程（简单）
3.计算一个微分方程组（简单）
4.忘了，反正四个微分方程都很简单
5.计算一个矩阵的N次方
6一个矩阵的证明（简单）
7计算一个行列式
8计算一个分块矩阵的逆矩阵（这个题目我觉得是最难的）
9.计算矩阵的特征根
10，计算一个矩阵的若儿当标准型。

2010-2011学年第二学期常微分方程考试AB 卷答案理学院年级信息与计算科学专业 填空题（每题4分，共20分）1.形如)()('x Q y x P y +=（)(),(x Q x P 连续）的方程是一阶线性微分 方程，它的通解为⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰+⎰-⎰=c dx dxx P e x Q dx x P e y )()()(. 2.形如0y y '''-=的方程是3阶__齐次__(“齐次”还是”非齐次”)___常__系数的微分方程,它的特征方程为310λ-=.3.形如1111110n n nn n n n n d y d y dyx a x a x a y dx dxdx----++++=的方程为欧拉方程,可通过变换t x e =把它转化成常系数方程. 4.2(1)0,ydx x dy ++=满足初始条件：x =0,y =1的特解11ln 1y x=++5．5.微分方程0000(,),(),:,dyf x y y x y R x x a y y b dx==-≤-≤满足的解存在且唯一的条件是: (,)f x y 在R 上连续且满足利普希茨条件一、下列微分方程的解（每题5分，共30分） 1．dx dy =2)(1y x + 解：令x+y=u ,则dx dy =dxdu -1……………………….3 dx du -1=21uu-arctgu=x+c y-arctg(x+y)=c (5)2．()()053243=+++xdy ydx y xdy ydx x解：两边同乘以y x 2得：()()0532*******=+++ydy x dx y x ydy x dx y x (3)故方程的通解为：c y x y x=+5324 (5)3．2⎪⎭⎫⎝⎛-=dx dy y x解：令p dxdy=，则2p x y +=，两边对x 求导，得dxdp pp 21+= pp dx dp 21-=，……………………….3 解之得()c p p x +-+=21ln 2，所以()c p p p y +-++=221ln 2， (4)且y=x+1也是方程的解，但不是奇解 (5)4.04)5(='''-x x解：特征方程0435=-λλ有三重根0=λ，42λ=，52λ=-............................3 故通解为54232221c t c t c e c e c x t t ++++=-. (5)5.4523x x x t ''''''--=+解：特征方程32450λλλ--=有根=1λ0,231,5λλ=-= 齐线性方程的通解为x=5123t t c e c e c t -++ (3)又因为=λ0是特征根，故可以取特解行如2x At Bt =+代入原方程解得A=1425，B=25- (4)故通解为x=5212325t t c e c e c t t -++- (5)6.2ln 0,xy y y '-=初值条件:y(1)=e解:原方程可化为ln dy y ydx x=………………………1 分离变量可得ln dy dxy y x=…………………………………………………..3两边积分可得ln y cx =…………………………………………………..4将初值代入上式求得方程的解:ln 2y x = (5)二、求下列方程（组）的通解（每题10分，共30分）1．求一曲线，使其任一点的切线在OY 轴上的截距等于该切线的斜率. 解：设(,)p x y 为所求曲线上的任一点，则在p 点的切线l 在Y 轴上的截距为：dyy xdx-……………………….3 由题意得dyy x x dx-=即11dy y dx x =- 也即ydx xdy dx -+=- 两边同除以2x ，得2ydx xdy dxx x-+=-………………….5 即()ln yd d x x=- (7)即ln y cx x x =+……………………….10 为方程的解。

青岛大学2011年硕士研究生入学考试试题科目代码：877科目名称：常微分方程（共3页）请考生写明题号，将答案全部答在答题纸上，答在试卷上无效一、填空题（20分,每小题4分）1．所谓微分方程就是一个或几个联系着之间关系的等式。

2．在微分方程中，必定含有未知函数的导数项，其中出现的就称为该微分方程的阶数。

3．对于n 阶方程0),...,,,,()(=′′′n y y y y x F ，如果它的解),...,,,(21n c c c x y ϕ=含有n c c c ,...,,21，则称这个解为其。

4．对于线性微分方程来说，其通解包含了它的；对于非线性方程来说其通解并不一定包含其。

5．形如n y x Q y x P dxdy)()(+=的方程，称为方程。

二、根据下图建立相应的微分方程（15分）如图所示，在一根长度为l 的可略去重量不计且不伸长的线上拴着一个质量为m 的小球，让它在过摆动线固定点的铅锤平面上的垂线附近摆动。

ϕ表示摆动线与垂线的夹角，并定义逆时针方向为正向，反之为负向。

试写出小球的摆动方程。

三、回答下列各题（25分）1．指出下列微分方程的阶数并判断是否为线性方程（1）yx dx dy 4sin −=，（2）0633=++xy dx dy y dxyd 2．什么是常微分方程的特解？何为初值问题？3．写出齐次和非齐次线性微分方程组的一般形式；叙述叠加原理；若)(1x ϕ和)(2x ϕ是非齐次线性微分方程组的解，问2211ϕϕϕc c +=是否仍为该非齐次线性微分方程组的解？四、叙述初值问题解的存在唯一性定理（Picard 定理）（10）五、利用变量分离法求解下列方程（25分）1．x y dx dycos 2=2．31−++−=y x y x dx dy 六、判定下列方程是否是全微分方程，并求解。

（20分）1．0)128()83(22322=++++dy y y x x dx xy y x 2．利用积分因子法求解方程0)(344=−+dy xy dx y x 七、求下述线性方程组的基本解矩阵（14分）x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=′2012八、求下述初值问题的解（11分）⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=′11)0(,03201x e x x t九、（10分）给定非线性微分方程组)(x f x =′。

2011年秋研究生数值分析期末考试试题答案一、单选题（4*5=20分）1、B;2、D ；3、D ；4、B ；5、C 。

二、填空题（4*5=20）1、2；2、()()1k k k k f x x x f x +=-'，平方收敛；3、8，8；4、9； 5、a <。

三、（10分）解：构造3次Lagrange 插值多项式3001001201()()(,)()(,,)()()L x f x f x x x x f x x x x x x x =+-+--0123012(,,,)()()()f x x x x x x x x x x +--- 3’利用待定系数法，令430123()()()()()()H x L x A x x x x x x x x =+----， 5’同时， '''14131101213()()()()()()f x H x L x A x x x x x x ==+--- 7’解出A 即可。

8’ 考虑余项4()()()E x f x H x =-，如果5()[,],,0,1,2,3i f x C a b a x b i ∈≤≤=，那么，当a x b ≤≤时()()5240123()()()()()()()5!f E x f x H x x x x x x x x x ξ=-=----. 0 10’ 四、（10分）解：设所求多项式为23202)(x C x C C x P ++=，10=ϕ，x =1ϕ，22x =ϕ，11),(10++==⎰+k j dx e k j k j ϕϕ，1),(100-==⎰e dx e f x ϕ， 1),(101==⎰dx xe f xϕ，2),(1022-==⎰e dx e x f x ϕ 5’ 所以有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡21151413141312131211210e e C C C ，求解得到 8’ ⎪⎩⎪⎨⎧===83917.085114.001299.1321C C C ，所求最佳平方逼近多项式为:2283917.085114.001299.1)(x x x P ++=。

合肥工业大学2011级硕士研究生《数值分析》试卷(A)班级 姓名 学号 成绩一、判断题 (下列各题，你认为正确的，请在题后的括号内打“√ ”，错误的打“×”，每题2分，共10分) 1. 设函数f 具有5阶导数，则(5)[0,1,2,3,4,5]()f f ξ=，其中ξ介于0,1,2,3,4,5之间,[0,1,2,3,4,5]f 是()f x 关于节点0,1,2,3,4,5的5阶差商。

( )2. 若方阵A 是严格对角占优的，则可用Gauss 消去法直接求解方程组=Ax b ，无须选主元素。

( )3. 若()()0f a f b <，则方程()0f x =在区间(,)a b 内至少有一个根。

( )4. 若函数()f x 是多项式，则它的Lagrange 插值多项式()()p x f x ≡. ( )5. 解常微分方程初值问题的四阶Runge-Kutta 方法的局部截断误差是5()O h ，其中h 是步长。

( )二、填空题 (每空2分，共10分)1. 近似数*3.200x =关于准确值 3.200678x =有 位有效数字。

2. 设2435A =⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则1Cond()A = . 3. 设函数(2.6)13.4673,(2.7)14.8797,(2.8)16.4446f f f ===, 用三点数值微分公式计算(2.7)f '= 14.8865 .4. 设函数sin 2()x f x =, 2()p x 是()f x 的以1,2,3为节点的二次Lagrange 插值多项式，则余项2()()f x p x -= .5. 二元函数(,)f x y 在区域D 上关于y 满足Lipschitz 条件是：.三 (本题满分12分) 对下列方程组1231231235212,4220,23103x x x x x x x x x ++=-⎧⎪-++=⎨⎪-+=⎩ 建立Jacobi 迭代格式(4分)和Gauss –Seidel 迭代格式(4分)，写出Jacobi 迭代格式的迭代矩阵，并用迭代矩阵的范数判断所建立的Jacobi 迭代格式是否收敛(4分)。

装订线年 级 学 号 姓 名 专 业一、填空题（本题40分, 每空4分）1．设),,1,0()(n j x l j =为节点n x x x ,,,10 的n 次基函数，则=)(i j x l 1,0,1,,0i j i j n i j=⎧=⎨≠⎩ 。

2．已知函数1)(2++=x x x f ，则三阶差商]4,3,2,1[f = 0 。

3．当n=3时，牛顿-柯特斯系数83,81)3(2)3(1)3(0===C C C ，则=)3(3C 1/8 。

4．用迭代法解线性方程组Ax=b 时，迭代格式 ,2,1,0,)()1(=+=+k f Bx x k k 收敛的充分必要条件是 ()1B ρ< 。

5．设矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1221A ，则A 的条件数2)(A Cond = 3 。

6.正方形的边长约为100cm ，则正方形的边长误差限不超过 0.005 cm才能使其面积误差不超过12cm 。

（结果保留小数）7.要使求积公式)()0(41)(111x f A f dx x f +≈⎰具有2次代数精确度，则 =1x23 ， =1A 34。

8. 用杜利特尔（Doolittle ）分解法分解LUA =，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=1359 45- 279 126 0 945- 0 45 1827- 9 189A 其中，则=L 10002100121023113⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-⎪ ⎪- ⎪⎝⎭=U 918927091890281540009-⎛⎫⎪-⎪ ⎪-⎪⎝⎭。

二、计算题（10分）已知由数据（0,0），（0.5，y ），（1,3）和（2，2）构造出的三次插值多项式)(3x P 的3x 的系数是6，试确定数据y 。

2011级数值分析 试题 A 卷 2011 ～ 2012学年，第 1 学期一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分年 级2011级研究生 份 数 拟题人 王吉波 审核人装 订线年级 学 号 姓 名 专 业三、计算题（15分）试导出计算)0(1>a a的Newton迭代格式，使公式中（对n x ）既无开方，又无除法运算，并讨论其收敛性。

装 订 线 年 级学 号姓 名专 业一、填空题（本题40分, 每空4分） 1．设),,1,0()(n j x l j =为节点n x x x ,,,10 的n 次基函数，则=)(i j x l 。

2．已知函数1)(2++=x x x f ，则三阶差商]4,3,2,1[f = 。

3．当n=3时，牛顿-柯特斯系数83,81)3(2)3(1)3(0===C C C ，则=)3(3C 。

4．用迭代法解线性方程组Ax=b 时，迭代格式 ,2,1,0,)()1(=+=+k f Bx x k k 收敛的充分必要条件是 。

5．设矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1221A ，则A 的条件数2)(A Cond = 。

6.正方形的边长约为100cm ，则正方形的边长误差限不超过 cm 才能使其面积误差不超过12cm 。

（结果保留小数） 7.要使求积公式)()0(41)(1110x f A f dx x f +≈⎰具有2次代数精确度，则 =1x ， =1A 。

8. 用杜利特尔（Doolittle ）分解法分解LU A =，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=135 9 45- 279 126 0 945- 0 45 1827- 9 18 9A 其中，则=L =U 。

二、计算题（10分）已知由数据（0,0），（0.5，y ），（1,3）和（2，2）构造出的三次插值多项式)(3x P 的3x 的系数是6，试确定数据y 。

2011级数值分析 试题 A 卷 2011 ～ 2012学年，第 1 学期 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分 年 级2011级研究生份 数拟题人 王吉波审核人装 订 线 年 级学 号姓 名专 业三、计算题（15分）试导出计算)0(1>a a 的Newton 迭代格式，使公式中（对n x ）既无开方，又无除法运算，并讨论其收敛性。

四、计算题（15分）已知43,21,41210===x x x 。

（1）推导出以这3个点作为求积节点在[0，1]上的插值型求积公式； （2）指明求积公式所具有的代数精确度；（3）用所求公式计算⎰102dx x 。

2011年下学期数值分析考试试卷答案(A)D222223221()()(1)(2)(1)21(45)2P x H x Ax x x x x x x x x =+-=-+-=-+余项为 R(x)=(5)22()(1)(2)5!f x x x ξ-- ……………………………12分解法2：构造带重节点的Newton 差商表 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 -1 2211/2 ………………………8分2222221()00(0)1(0)1(0)(1)(0)(1)21(45)2N x x x x x x x x x x =+-+----+--=-+…………………12分三、 (12分) 求()xf x e -= 在区间[-1，1]上的最佳平方逼近2次多项式. (用勒让德正交多项式2121{(),(),()}{1,,(31)}2P x P x P x x x =-) 解：用勒让德多项式20121{(),(),()}{1,,(31)}2P x P x P x x x =-,2(,)21iiP P i =+ …………………………………………………………………………………..3分计算：11101(,)( 2.3504）x f P e dx e e ---==-≈⎰,1111(,)20.7358x f P xe dx e---==-≈-⎰121211(,)(31)70.143132x f P x e dx e e ---=-=-≈⎰…………………………………………………………………………………..8分111101010011(,)(,)2* 1.1752,*3 1.1036(,)2(,)2/3 f P f P e e e a a e P P P P ----==≈==-=-≈-12222(,)7*0.3578(,)2/5f P e e a P P --==≈故最优平方逼近函数为：11112225351()3(31)22211.1752 1.10360.3758(31)20.5367 1.10360.9963e e e e p x e x x x x x x -----=-+⋅-≈-+⋅-=-+。

安徽大学20 11 —20 12 学年第 一 学期《 常微分方程 》（A 卷）考试试题参考答案及评分标准一、 选择题（每小题5分，共20分）（1） (a)；（2） (d)；（3） (d)；（4）(b)；二、请判断下面各题是否正确，并简述理由（每小题5分，共15分）（1）正确 …………………………2分事实上，(),f x y 在H 上满足局部L -条件，因此方程满足初始条件的解存在且唯一 . ……5分（2）正确 …………………………2分事实上，作变换1x x ydt =⎰，则原方程可化为()111120x a t x dy y dt x '+⎡⎤⎣⎦+= …………………………4分 然后用常数变易法知可解 ……………5分（3）错误 …………………………2分事实上，二阶线性方程()()()12x a t x a t x f t '''++=与一类特殊的线性微分方程组()()()()()21010,,x Ax f t A f t a t a t f t ⎛⎫⎛⎫'=+== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭矛盾. …………………5分三、计算题（每小题10分，共50分）（1）解：方程变形为()2222sin 1x y x x y x '+=++，令2u x y =+， 则2u y x ''=+， ………………5分可得22sin 1x u u x '=+，求解得()2csc cot 1u u C x -=+，………………7分由初始条件22y π⎛= ⎝⎭知，22C π=+。

……………………10分 （2）解：方程320dy dy x y dx dx ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭可写为32,dy y p xp p dx =+= 两边关于x 求导数，得到()2320p x dp pdx ++=当0p ≠时，计算11,2,,M N p x M N p x M p∂∂∂∂-∂∂===∂∂-因此()p p μμ== ……5分 上式两边乘以p 并积分之，得到4234p xp c += …………………………7分得到方程的通解为22334, 0212c x p p p c y p p ⎧=-⎪⎪≠⎨⎪=-⎪⎩ ……………9分 当0p =时，由方程可以直接得到0y =也是方程的解. ……………10分（3）解：作极坐标cos ,sin x r y r θθ== ……………2分2222220004222t t x y t r r f dxdy d rf dr rf dr πθπ+≤⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰ ……………5分 将原式两边关于t 求导数，得()()2488t f t tf t te πππ'-= ……………7分其通解为()()2244t f t t c e ππ=+ ……………9分 由初始条件()01f =求得特解为()()22441t f t t e ππ=+ ……………10分 （4）解：对应的齐次线性微分方程为90y y ''+=其通解为12sin 3cos3y c x c x =+ 当02x π≤≤时，求得9sin y y x ''+=有一特解为11sin 8y x =，于是其有121sin 3cos3sin 8y c x c x x =++ 由初始条件()()00,00y y '==代入，有特解为11sin 3sin 248y x x -=+。

———--——--—--——-———--——-—----——-—------———--——---—-————-——-—------————--——--——-———-———-———-—-----————--——--—--——-----——《常分方程数值解法》试题一及答案———-—————-—---------———--————-————--———-——-----—-———---—--——-—-——--——---———-—----———-———--——-—-—-—-———-—----——-—--—--—1．用欧拉法解初值问题⎩⎨⎧1=060≤≤0--='2)().(y x xy y y ，取步长h =0。

2.计算过程保留4位小数。

解：h =0.2， f (x ）=－y －xy 2。

首先建立欧拉迭代公式 ),,k )(y x (y .y hx hy y )y ,x (hf y y k k k k k k k k k k k 21042021=-=--=+=+ 当k =0，x 1=0。

2时，已知x 0=0，y 0=1，有 y (0.2)y 1=0.2×1(4－0×1)＝0.800 0当k ＝1,x 2=0.4时,已知x 1=0.2, y 1=0。

8,有y (0.4）y 2=0。

2×0.8×(4－0.2×0。

8)＝0。

614 4当k =2，x 3=0。

6时,已知x 2=0。

4，y 2=0.614 4，有y (0。

6)y 3=0.2×0.614 4×（4－0。

4×0。

4613）＝0.800 02．对于初值问题⎩⎨⎧1=0='2)(y xy y 试用（1)欧拉法；(2)欧拉预报－校正公式；(3)四阶龙格－库塔法分别计算y (0.2),y （0.4）的近似值.3．证明求解初值问题的梯形公式是 y k +1=y k +)],(),([211+++k k k k y x f y x f h , h =x k +1－x k (k =0，1，2，…，n －1），4．将下列方程化为一阶方程组（1）430(0)1,(0)0y y y y y '''-+=⎧⎨'==⎩（2）2322ln (1)1,(1)0x y xy y x x y y '''⎧-+=⎨'==⎩（3）26(0)1,(0)1,(0)2y y y y y y ''''⎧=⎨'''==-=⎩5．取步长h = 0。

《微分方程数值解法》复习、练习题第一章复习题1、建立差分格式的三个主要步骤（三个离散化）。

2、差分格式的相容性、收敛性概念。

3、Poisson 方程的5点菱形差分格式，矩形、非矩形区域情形边界条件的处理（离散化）。

4、对长方形区域作正方形网格剖分，求解Poisson 方程边值问题的五点菱形差分格式，按什么顺序对节点编号，可使差分方程带宽更窄？（按短方向排）5、差分方程有哪些共同特性，求解选用哪类方法？（大型稀疏，带状，主对角占优等，一般采用迭代法）多重网格等略。

6、极值原理。

7、5点菱形差分格式求解Poisson 方程第一边值问题的收敛性。

第一章练习题1、设有边值问题=?+??-=-==<<<<=?====x u n u u y u u y x x u y y x x 2,1122.00,3.00,2.003.00取h =0.1的正方形网格。

（1）用5点菱形格式在内点建立差分格式；（2）用截断误差为)(2h O 的方法离散化第三边界条件（有两种方式）；（3）写出整理后的差分方程的矩阵形式=??????? ????????? ?D C B A u u u u2、定义方形算子如下：(),1,11,11,11,1,2142i j i j i j i j i j i j u u u u u u h---++-++=+++- 试讨论5点方形差分方程,,i j i j u f =逼近微分方程(,)u f x y ?=的截断误差是几阶？3、设有{}220,(,)0,1ln (1)u x y x y u x y ?Ω?=∈Ω=<，取h =1/3，列出5点方形差分格式所得的差分方程。

第二章复习题1、差分格式稳定性与收敛性的定义。

2、有关求特征值的几个结论。

3、判断稳定性的矩阵法和Fourier 分析法（Von-Neumann 条件）的应用。

4、显隐格式在一般情况下的优缺点。

5、熟悉古典显、隐格式，六点对称隐格式（C-N 格式）。

微分方程数值法复习题一、证明：同一个函数的广义导数并不唯一，但不同的广义导数几乎处处相等。

二、设A 为对称正定矩阵，证明下列两个问题等价：（1）求0n x R ∈，使0()min ()nx RJ x J x ∈= ，其中1()(,)()2J x A x x b x =--（2）求下列方程组的解：A x b =证明：由于00002000002000()()1(,)(,)21[(,)(,)(,)(,)](,)(,)2()[(,)(,)2(,)](,)22J x x Ax Ax x x b x x Ax x Ax x Ax x Ax x b x b x J x Ax x Ax x b x Ax x ϕλλλλλλλλλλλ=+=++-+=+++--=++-+又A 是对称矩阵，从而00(,)(,)Ax x Ax x =，故 200()()(,)(,)2J x Ax b x Ax x λϕλλ=+-+如果()J x 于0x 取极小值，即()ϕλ于0λ=取极小值，则有0(0)(,)0,nAx b x x R ϕ'=-=∀∈从而00Ax b -=，即0x 是A x b =的解，又(0)(,)0,Ax x x ϕθ''=>∀≠故A 必为正定矩阵。

反之，设A 是对称正定矩阵，0x 是方程组的解，即 00Ax b -= 则得202()()(,)2(0)(,)(0),0,2J x Ax x Ax x x λϕλλϕϕλθ=+=+>≠≠即()J x 于0x 取极小值。

证毕。

三、证明下列定理：设02*(),f C I u C ∈∈是边值问题(),(,)(),()0d du Lu p qu f x a b dx dx u a a u b ⎧=-+=∈⎪⎨⎪'==⎩ 的解，则*u 使1()(,)(,)2J u a u u f u '=-达到极小值；反之，若21*E u C H ∈ 使()J u 达到极小值，则*u 是上述边值问题的解。