微分方程数值解试题库2011(试题参考)

装订线年 级 学 号 姓 名 专 业一、填空题（本题40分, 每空4分）1．设),,1,0()(n j x l j =为节点n x x x ,,,10 的n 次基函数，则=)(i j x l 1,0,1,,0i j i j n i j=⎧=⎨≠⎩ 。

2．已知函数1)(2++=x x x f ，则三阶差商]4,3,2,1[f = 0 。

3．当n=3时，牛顿-柯特斯系数83,81)3(2)3(1)3(0===C C C ，则=)3(3C 1/8 。

4．用迭代法解线性方程组Ax=b 时，迭代格式 ,2,1,0,)()1(=+=+k f Bx x k k 收敛的充分必要条件是 ()1B ρ< 。

5．设矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1221A ，则A 的条件数2)(A Cond = 3 。

6.正方形的边长约为100cm ，则正方形的边长误差限不超过 0.005 cm才能使其面积误差不超过12cm 。

（结果保留小数）7.要使求积公式)()0(41)(111x f A f dx x f +≈⎰具有2次代数精确度，则 =1x23 ， =1A 34。

8. 用杜利特尔（Doolittle ）分解法分解LUA =，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=135 9 45- 279 126 0 945- 0 45 1827- 9 189A 其中，则=L 10002100121023113⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-⎪ ⎪-⎪⎝⎭=U 918927091890281540009-⎛⎫⎪-⎪ ⎪-⎪⎝⎭。

二、计算题（10分）已知由数据（0,0），（0.5，y ），（1,3）和（2，2）构造出的三次插值多项式)(3x P 的3x 的系数是6，试确定数据y 。

2011级数值分析 试题 A 卷 2011 ～ 2012学年，第 1 学期一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分年 级2011级研究生 份 数 拟题人 王吉波 审核人装 订线年级 学 号 姓 名 专 业三、计算题（15分）试导出计算)0(1>a a的Newton迭代格式，使公式中（对n x ）既无开方，又无除法运算，并讨论其收敛性。

一．填空（1553=⨯分）1．若步长趋于零时，差分方程的截断误差0→lmR ，则差分方程的解lm U 趋近于微分方程的解lm u . 此结论_______（错或对）； 2．一阶Sobolev 空间{})(,,),()(21Ω∈''=ΩL f f f y x f H y x关于内积=1),(g f _____________________是Hilbert 空间；3．对非线性（变系数）差分格式，常用 _______系数法讨论差分格式的_______稳定性； 4．写出3x y =在区间]2,1[上的两个一阶广义导数：_________________________________， ________________________________________；5．隐式差分格式关于初值是无条件稳定的. 此结论_______（错或对）。

二．（13分）设有椭圆型方程边值问题用1.0=h 作正方形网格剖分 。

（1）用五点菱形差分格式将微分方程在内点离散化； （2）用截断误差为)(2h O 的差分法将第三边界条件离散化； （3）整理后的差分方程组为 三．（12）给定初值问题xut u ∂∂=∂∂ ， ()10,+=x x u 取时间步长1.0=τ，空间步长2.0=h 。

试合理选用一阶偏心差分格式（最简显格式）, 并以此格式求出解函数),(t x u 在2.0,2.0=-=t x 处的近似值。

1．所选用的差分格式是： 2．计算所求近似值：四．（12分）试讨论差分方程()ha h a r u u r u u k l k l k l k l ττ+-=-+=++++11,1111逼近微分方程0=∂∂+∂∂xu a t u 的截断误差阶R 。

思路一：将r 带入到原式，展开后可得格式是在点（l+1/2,k+1/2）展开的。

思路二：差分格式的用到的四个点刚好是矩形区域的四个顶点，可由此构造中心点的差分格式。

菏泽学院数学系2011级 2013-2014学年第一学期数学与应用数学专业《数值分析和计算方法》期末试卷（A ）(110分钟)题号 一 二 三 四 五 总分得分 阅卷人一．选择题（将正确选项前的代号写在题号前的括号内，每小题3分，共15分）( )1.若用最小刻度为0.5mm 的刻度尺测量物体，其误差限为（ ）A.0.25mmB.1.0mmC.0.5mmD.0mm （ ）2.下列具有最高代数精度的求积公式是（ ）A.龙贝格求积公式B.复合辛普森求积公式C.牛顿-科特斯求积公式D.高斯求积公式（ ）3.已知2,1,0,,1)(==-=i i x x x f i i i 。

则函数)(x f 的插值多项式为（ ）A. 145412-+x x B.1-xC.-145412-+x x D.2+-x（ ）4.下列给出的是用不动点迭代法求032=-x 的根3*=x 的迭代函数，则相应的迭代方法局部收敛的是A.x x 3=)(ϕ B.3)(2-+=x x x ϕC.2321)(2-+=x x x ϕD.)3(21)(xx x +=ϕ( )5.线性方程组AX=b 能用高斯消元法求解的充要条件是（ ）A.A 为对称矩阵B.A.为实矩阵C.A 的各阶顺序主子式不为零D.0≠A得分 阅卷人二．填空题（请将正确答案填写在每小题的横线上，每空4分，共20分）1.计算积分⎰b adx x f )(的梯形公式为 。

2.设向量T n x )2,1,0( =，则=∞x 。

3.用牛顿法求方程0)(=x f 的根的公式为 。

4.已知n=3时的牛顿-科特斯系数83,83,81)3(2)3(1)3(0===C C C ,则=)3(3C 。

5.已知点,5,4,3,2,1,1=-=i i x i 则二阶差分=∆32x 。

三．判断题（对的在题前括号内划√，错的划×，每题2分，共10分）（ ）1.高斯求积公式的系数都是正的，故计算总是稳定的。

第十章微分方程习题一.填空题：（33）1-1-40、微分方程4233''4''')'(x y x y y 的阶数是 . 1-2-41、微分方程0'2'2xy yy xy 的阶数是 . 1-3-42、微分方程0d d d d 22sxs x s的阶数是 .1-4-43、x y y y y sin 5''10'''4)()4(的阶数是 .1-5-44、微分方程xyxy2d d 满足条件1|'0xy 的特解是 .1-6-45、微分方程0d d yxy的通解是 .1-7-46、方程y e y x'的通解是 . 1-8-47、方程y y y ln '的通解是 .1-9-48、方程04'4''y y y 的通解是 . 1-10-49、方程04'4''y y y 的通解是 . 1-11-50、方程013'4''yy y 的通解是 .1-12-51、已知特征方程的两个特征根,3,221r r 则二阶常系数齐次微分方程为1-13-52、微分方程xe y ''的通解为 . 1-14-53、微分方程x e y xsin ''2的通解为 .1-15-54、若0d ),(dx ),(yy x Q y x P 是全微分方程, 则Q P,应满足 .1-16-55、与积分方程xy x f yx x d ),(0等价的微分方程初值问题是 .1-17-56、方程0d )2(d )(22yxy xx y xy 化为齐次方程是 .1-18-57、通解为21221,(C C e C eC yxx 为任意常数)的微分方程为 .1-19-58、方程yx e y 2'满足条件0xy 的特解是 .1-19-59、方程0dy1dx2x xy 化为可分离变量方程是1-20-60、方程xy y 2'的通解是1-21-61、方程x yxyxy xyd d d d 22化为齐次方程是1-22-62、若t ycos 是微分方程09''yy 的解, 则.1-23-63、若ktCe Q 满足Qdt dQ03.0, 则k.1-24-64、y y 2'的解是1-25-65、某城市现有人口50(万), 设人口的增长率与当时的人口数x (万)和x 1000的积成正比, 则该城市人口)(t x 所满足的微分方程为1-26-66、圆222r yx 满足的微分方程是1-27-67、ax ae y满足的微分方程是1-28-68、一阶线性微分方程)()(d dyx Q yx P x的通解是 .1-29-69、已知特征方程的两个根3,221r r , 则二阶常系数线性齐次微分方程为 .1-30-70、方程25x y是微分方程y xy 2'的解.1-31-71、二阶常系数非齐次微分方程的结构为其一个特解与之和.1-32-72、二阶常系数齐次线性微分方程0'''qypy y 对应的特征方程有两个不等实根，则其通解为 .1-33-73、将微分方程0)2()(22dyxy xdxy xy写成齐次微分方程的标准形式为二.选择题：（29）2-1-56、微分方程yx2dxdy 的通解是 ( )A.2x yB.25x y C.2Cx yD.Cxy 2-2-57、微分方程0dy 1dx 2x xy 的通解是 ( ) A.21x eyB.21x CeyC.x C yarcsin D.21xC y 2-3-58、下列方程中是全微分方程的是 ( )A.0dy dx )(2x y xB. 0dy dx x yC.0dy)(1dx)1(xy y xy D.dydx)(22xy y x2-4-59、下列函数组中,线性无关的是 ( ) A.xxe e 32, B.x x 2sin ,2cos C. x x x sin cos ,2sin D.2ln ,ln xx 2-5-60、方程03'2''y y y 的通解是 ( )A.xxe C eC y 321 B. xxeC eC y 321 C.xx eC eC y 321 D.xxeC e C y3212-6-61、方程0''y y 的通解是 ( ) A.x C ysin B.x C ycos C.x C xycos sin D.xC xC ycos sin 212-7-62、下列方程中是可分离变量的方程是( )A.xyyx 33dxdy B.dy 2dx)3(2xy y exC.234dxdy xyyx D.yx xyy321dxdy 2-8-63、微分方程0cot 'x y y 的通解是 ( ) A.x C ycos B.x C ysin C.x C ytan D.xC ycsc2-9-64、已知微分方程0''pyy 的通解为)(212x C C e yx,则p 的值是 ( )A.1B.0C.21D.412-10-65、微分方程02'yy 的通解是 ( )A.C x y2sin B.C eyx24 C.xCe y2 D.xCey 2-11-66、方程xy2dx dy的通解是 ( )A.C ex2B.Cxe2C.2CxeD.2)(C x e2-12-67、xe y ''的通解为y( )A.xe B.xe C.21C xC exD.21C x C ex2-13-68、微分方程xe21dxdy满足1xy 的特解为 ( )A.1221xeyB.3221x ey C.C ey x212 D.212121xey2-14-69、微分方程0ydy-dx 3x 的通解是 ( ) A.Cyx2422B.Cyx2422C.2422yxD.12422yx2-15-70、微分方程0ydy-dx 3x 的通解是 ( )A.222yxB.933yxC.133yxD.13333yx2-16-71、过点,0()2的曲线,使其上每一点的切线斜率都比这点纵坐标大5的曲线方程是( )A.32xyB.52xy C.53xey D.5xCe y 2-17-72、齐次方程x yxy tandx dy化为可分离变量的方程, 应作变换 ( )A.2ux yB.22x u yC.ux yD.33xu y2-18-73、设方程)()('x Q y x P y 有两个不同的解21,y y ,若21y y 也是方程的解,则( ) A.B.0 C. 1 D.,为任意常数2-19-74、方程dx 2dx dy y x x 的通解是 ( ) A.x Cxy2B. x xC y2sin C.C xy 2cos D.Cxy 22-20-75、下面各微分方程中为一阶线性方程的是 ( )A.xyxy 2'B .xxyy sin 'C .xyy' D.xyy 2'2-21-76、曲线上任一点P 的切线均与OP 垂直的曲线方程是 ( )A.y xy' B.y xy'C.x yy' D.xy y'2-22-77、方程2)3(,0'y yy 的解是 ( )A.xey 32 B.xey 32 C.32x ey D.32x ey 2-23-78、微分方程x y y ln '的通解是 ( ) A.xx eyln B. xx Ceyln C.xx x ey ln D.xx x Cey ln 2-24-79、下列哪个不是方程y y 4''的解 ( )A. xey22 B.xe y2 C.xey 2 D.xey 22-25-80、方程0sin '''653)4(yy y y x xyy的阶是 ( )A. 6B. 5C. 4D. 32-26-81、如果一条曲线在它任意一点的切线斜率等于y x2，则这条曲线是( )A.椭圆 B.抛物线 C.双曲线 D. 圆2-27-82、下列可分离变量的方程是 ( )A.xyy x dxdy33B.2)3(2xydy dxy exC. xy yx dxdy D.yx xyy dxdy 3212-28-83、微分方程0cot 'xy y 的通解是 ( )A.x C ycos B.x C ysin C.x C ytan D.xC y csc 2-29-84、已知微分方程0''pyy 的通解为)(212x C C e yx ,则p 的值( )A. 1B. 0C.21D.41三.计算题：（59）3-1-52、0d tan sec d tan sec 22y x y x y x 3-2-53、0ln 'yy xy 3-3-54、0d sec )2(d tan 32yy e x y e x x3-4-55、yx y y x xy22222')1(3-5-56、yx eye x dxdy3-6-57、0)1()1(xdy y ydxx3-7-58、x x y yy x d sin cos d sin cos ,4|0xy 3-8-59、0)0(,02')1(22y xy y x3-9-60、1)(,ln 2'e y x y y 3-10-61、x x y y y x d sin cos d sin cos ,4|0xy 3-11-62、0y)dx -(x dy)(y x3-12-63、)ln (ln dx d x y y y x 3-13-64、0)2(22dyx dx xy y3-14-65、xy x y xy tan'3-15-66、xyx y x y xy ln)('3-16-67、dxdy xydxdy xy223-17-68、x y yx y', 2|1x y 3-18-69、x y xy y', ey ex|3-19-70、2|,'122xy y xyxy3-20-71、xx yxy sin 1', 1|xy 3-21-72、xex y xy 43'3-22-73、342'xxyy 3-23-74、xyxy ln 11'3-24-75、xeyxxy x21'3-25-76、x xy y sec tan ', 0|0xy 3-26-77、xx yxy sin 1', 1|xy 3-27-78、22112'xy xx y ,|0xy 3-28-79、x x yxy ln ', ey ex|3-29-80、22d dyx xexy x3-30-81、)sin (cos d dy2x xy yx3-31-82、5d dyxyy x3-32-83、02d dy4xyxy x3-33-84、4)21(3131d dy yx yx3-34-85、xyxy x 2d dy23-35-86、xy y '''3-36-87、01)'(''2y yy 3-37-88、01''3y y 3-38-89、y y 3'', 1|0xy , 2|'0xy 3-39-90、223''yy ,1|3xy ,1|'3xy 3-40-91、02''yy 3-41-92、013'4''y y y 3-42-93、0'2''y y y 3-43-94、04'5''y y y 3-44-95、04'3''y y y , 0|0xy , 5|'0xy 3-45-96、029'4''y y y , 0|0x y ,15|'0xy 3-46-97、0'4''4y y y , 2|0x y , 0|'0x y 3-47-98、0'4''4y y y , 2|0xy , 0|'0xy 3-48-99、013'4''y y y , 0|0x y , 3|'0x y 3-49-100、04'4''y y y , 0|0x y , 1|'0xy 3-50-101、xey y y 2'''23-51-102、x eyy xcos ''3-52-103、xex y y y 3)1(9'6''3-53-104、'''22xy y ye3-54-105、123'2''x y y y 3-55-106、''sin 20y yx, 1|xy , 1|xy 3-56-107、52'3''yy y , 1|0xy , 2|'0xy 3-57-108、xe y y y 29'10'',76|0x y ,733|'0x y 3-58-109、xxe yy 4'', 0|0xy , 1|'0xy 3-59-110、xxeyy y 26'5''四.应用解答题：（14）4-1-9、一曲线通过点)3,2(, 它在两坐标轴间的任一切线段均被切点所平分, 求这曲线方程.4-2-10、已知xxxy t t y tt 03231d )(12, 求函数)(x y 4-3-13、求一曲线, 这曲线通过原点, 并且它在点),(y x 处的切线斜率等于y x2.4-4-14、试求x y ''的经过点)1;0(M 且在此点与直线12x y相切的积分曲线.4-5-15、设某曲线,它上面的任一点的切线与两坐标轴所围成的三角形面积总等于2,求这条曲线的方程所满足的微分方程. 4-6-16、已知某曲线经过点)1,1(, 它的切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标,求它的方程.4-7-17、设可导函数)(x 满足xx t t t x x 01d sin )(2cos )(, 求)(x .4-8-10、已知某商品需求量Q 对价格p 的弹性为22pEpEQ, 最大需求量为1000Q, 求需求函数)(p f Q.4-9-11、设质量为m 的物体在高空中静止下落, 空气对物体运动的阻力与速度成正比. 求物体下落的数率v 与时间t 的关系, 再求物体下落距离与时间t 的关系4-10-12、在串联电路中, 设有电阻R, 电感L 和交流电动势tE Esin 0, 在时刻0t时接通电路, 求电流i 与时间t 的关系(0E ,为常数).4-11-13、如图, 位于坐标原点的我舰向位于x 轴上)0,1(A 点处的敌舰发射制导鱼雷, 鱼雷始终对准敌舰, 设敌舰以常数0v 沿平行与y 轴的直线行驰, 又设鱼雷的速度为02v , 求鱼雷的航行曲线方程.4-12-14、根据经验可知, 某产品的纯利润L 与广告支出x 有如下关系)(d dL L Ak x，（其中0,0Ak）, 若不做广告, 即0x时纯利润为0L , 且A L 0, 试求纯利润L 与广告费x 之间的函数关系.4-13-15、在宏观经济研究中, 知道某地区的国民收入y , 国民储蓄S 和投资I均是时间t 的函数, 且在任一时刻t , 储蓄)(t S 为国民收入)(t y 的101,投资额)(t I 是国民收入增长率t d dy的31. 设0t时国民收入为5(亿元), 假定在时刻t 的储蓄全部用于投资,试求国民收入函数.4-14-16、试建立描述市场价格形成的动态过程的数学模型.五.证明题：（2）5-1-18、设),(1x y )(2x y 是二阶齐次线性方程0)(')(''y x q y x p y 的两个解,令)()(')(')()(')(')()()(21212121x y x y x y x y x y x y x y x y x w 证明: )(x w 满足方程0)('wx p w5-2-19、设1y , 2y , 3y 是线性方程)()(d dyx Q y x P x的3个相异特解,证明1213y y y y 为一常数.部分应用题答案487．在串联电路中, 设有电阻R, 电感L 和交流电动势tE Esin 0, 在时刻0t时接通电路, 求电流i 与时间t 的关系(0E ,为常数).解. 设)(t i i, 由回路电压定律tE dtdi LRisin 0, 即tLE LR dtdisin 0]sin [)(0C dt teLE et i t dtLRLR =]sin [0C dt te LE et t LR LR =)cos sin (2220t L t R LRE CetLR将0|0ti 代入通解得222LRLE C)cos sin ()(2220t L t R LeLRE t i t LR488.设质量为m 的物体在高空中静止下落, 空气对物体运动的阻力与速度成正比. 求物体下落的数率v 与时间t 的关系, 再求物体下落距离与时间t 的关系解：.物体重力为mg w, 阻力为kv R , 其中g 是重力加速度, k 是比例系数.由牛顿第二定律得kvmg dtdv m ,从而得线性方程gv mk dtdv ,|0tv tmkdtdtCeg km C dt gee v km m k ][, 将0|0tv 代入通解得gkm C)1(t mk eg km v, 再积分得122C gekm gtkm Stmk,将0|0t S 代入求得gkm C 221)1(22t mkeg km gtkm S 489. 如图, 位于坐标原点的我舰向位于x 轴上)0,1(A 点处的敌舰发射制导鱼雷, 鱼雷始终对准敌舰, 设敌舰以常数0v 沿平行与y 轴的直线行驰, 又设鱼雷的速度为2v , 求鱼雷的航行曲线方程.解：设鱼雷的航行曲线方程为)(x y y, 在时刻t , 鱼雷的坐标巍巍),(y x P , 敌舰的坐标为),1(0t v Q .因鱼雷始终对准敌舰, 故x yt v y 1'0, 又弧OP 的长度为x tv dxy 0022'1,从以上两式消去t v 0得''121''')1(2y y y y x , 即2'121'')1(y y x 根据题意, 初始条件为0)0(y , 0)0('y 令p y', 原方程化为2121')1(pp x , 它是可分离变量得方程,解得21)1(112x C pp , 即21)1('1'12x C y y 将0)0('y 代入上式得11C , 故21)1('1'2x y y 而21)1(''1'1'122x y y y y , 得2121)1()1(21'x x y 积分得22321)1(31)1(C x x y, 将0)0(y 代入上式得322C ,所以鱼雷的航行曲线为32)1(31)1(2321x x y490．根据经验可知, 某产品的纯利润L 与广告支出x 有如下关系)(d dLL A k x ，（其中0,0Ak ）, 若不做广告, 即0x时纯利润为0L , 且AL 0, 试求纯利润L 与广告费x 之间的函数关系.解：依题意得)(L A k dx dL,|L L x, 解可分离变量得微分方程, 得通解kxCeAL , 将00|L L x 代入通解, 得AL C 0, 所以纯利润L 与广告费x 之间的函数关系为kxeA LAx L )()(.491．在宏观经济研究中, 知道某地区的国民收入y , 国民储蓄S 和投资I 均是时间t 的函数, 且在任一时刻t , 储蓄)(t S 为国民收入)(t y 的101, 投资额)(t I 是国民收入增长率t d dy的31.设0t时国民收入为5(亿元), 假定在时刻t 的储蓄全部用于投资,试求国民收入函数.解：依题意:yS101,dt dyI31, 解之得通解tCe y103, 将5|0ty 代入通解得5C, 所以国民收入函数为tey 1035492．试建立描述市场价格形成的动态过程的数学模型.解：设在某一时刻t , 商品的价格为)(t p , 因供需差价, 促使价格变动. 对新的价格,又有新的供需差, 如此不断地调节价格, 就构成了市场价格形成的动态过程.假设价格)(t p 的变化率dt dp与需求和供给之差成正比. 记需求函数为),(r p f , 供给函数为)(p g , 其中r 为参数. 于是得微分方程)](),([p g r p f k dtdp,)0(p p , 其中0p 为0t时商品的价格, k 为正常数.若需求供给函数均为线性函数, b kpr p f ),(, d cpp g )(, 则方程为)()(d b k p c k k dtdp ,)0(p p , 其中d c b k ,,,均为正常数, 其解为ckd b eckd b p t p tc k k )(0)()(下面对所得结果进行讨论:(1) 设p 为静态均衡价格, 则应满足0)(),(p g r p f , 即dpc bpk ,则c kdb p, 从而价格函数pep p t p c k k )(0)()(,取极限:pt p t)(lim .它表明: 市场价格逐步趋于均衡价格. 若初始价格p p 0, 则动态价格就维持在均衡价格p 上, 整个动态过程就变为静态过程.(2) 由于tc k k ec kk p pdtdp)(0)()(, 所以当p p 0时, 0dtdp,)(t p 单调下降向p 靠拢, 这说明: 初始价格高于均衡价格时,动态价格会逐渐降低, 逐渐接近均衡价格; 而当初始价格低于均衡价格时, 动态价格会逐渐增高, 逐渐接近均衡价格.。

第十章微分方程习题一.填空题：（33）1-1-40、微分方程4233''4''')'(x y x y y 的阶数是 . 1-2-41、微分方程0'2'2xy yy xy 的阶数是 . 1-3-42、微分方程0d d d d 22sxs x s的阶数是 .1-4-43、x y y y y sin 5''10'''4)()4(的阶数是 .1-5-44、微分方程xyxy2d d 满足条件1|'0xy 的特解是 .1-6-45、微分方程0d d yxy的通解是 .1-7-46、方程y e y x'的通解是 . 1-8-47、方程y y y ln '的通解是 .1-9-48、方程04'4''y y y 的通解是 . 1-10-49、方程04'4''y y y 的通解是 . 1-11-50、方程013'4''yy y 的通解是 .1-12-51、已知特征方程的两个特征根,3,221r r 则二阶常系数齐次微分方程为1-13-52、微分方程xe y ''的通解为 . 1-14-53、微分方程x e y xsin ''2的通解为 .1-15-54、若0d ),(dx ),(yy x Q y x P 是全微分方程, 则Q P,应满足 .1-16-55、与积分方程xy x f yx x d ),(0等价的微分方程初值问题是 .1-17-56、方程0d )2(d )(22yxy xx y xy 化为齐次方程是 .1-18-57、通解为21221,(C C e C eC yxx 为任意常数)的微分方程为 .1-19-58、方程yx e y 2'满足条件0xy 的特解是 .1-19-59、方程0dy1dx2x xy 化为可分离变量方程是1-20-60、方程xy y 2'的通解是1-21-61、方程x yxyxy xyd d d d 22化为齐次方程是1-22-62、若t ycos 是微分方程09''yy 的解, 则.1-23-63、若ktCe Q 满足Qdt dQ03.0, 则k.1-24-64、y y 2'的解是1-25-65、某城市现有人口50(万), 设人口的增长率与当时的人口数x (万)和x 1000的积成正比, 则该城市人口)(t x 所满足的微分方程为1-26-66、圆222r yx 满足的微分方程是1-27-67、ax ae y满足的微分方程是1-28-68、一阶线性微分方程)()(d dyx Q yx P x的通解是 .1-29-69、已知特征方程的两个根3,221r r , 则二阶常系数线性齐次微分方程为 .1-30-70、方程25x y是微分方程y xy 2'的解.1-31-71、二阶常系数非齐次微分方程的结构为其一个特解与之和.1-32-72、二阶常系数齐次线性微分方程0'''qypy y 对应的特征方程有两个不等实根，则其通解为 .1-33-73、将微分方程0)2()(22dyxy xdxy xy写成齐次微分方程的标准形式为二.选择题：（29）2-1-56、微分方程yx2dxdy 的通解是 ( )A.2x yB.25x y C.2Cx yD.Cxy 2-2-57、微分方程0dy 1dx 2x xy 的通解是 ( ) A.21x eyB.21x CeyC.x C yarcsin D.21xC y 2-3-58、下列方程中是全微分方程的是 ( )A.0dy dx )(2x y xB. 0dy dx x yC.0dy)(1dx)1(xy y xy D.dydx)(22xy y x2-4-59、下列函数组中,线性无关的是 ( ) A.xxe e 32, B.x x 2sin ,2cos C. x x x sin cos ,2sin D.2ln ,ln xx 2-5-60、方程03'2''y y y 的通解是 ( )A.xxe C eC y 321 B. xxeC eC y 321 C.xx eC eC y 321 D.xxeC e C y3212-6-61、方程0''y y 的通解是 ( ) A.x C ysin B.x C ycos C.x C xycos sin D.xC xC ycos sin 212-7-62、下列方程中是可分离变量的方程是( )A.xyyx 33dxdy B.dy 2dx)3(2xy y exC.234dxdy xyyx D.yx xyy321dxdy 2-8-63、微分方程0cot 'x y y 的通解是 ( ) A.x C ycos B.x C ysin C.x C ytan D.xC ycsc2-9-64、已知微分方程0''pyy 的通解为)(212x C C e yx,则p 的值是 ( )A.1B.0C.21D.412-10-65、微分方程02'yy 的通解是 ( )A.C x y2sin B.C eyx24 C.xCe y2 D.xCey 2-11-66、方程xy2dx dy的通解是 ( )A.C ex2B.Cxe2C.2CxeD.2)(C x e2-12-67、xe y ''的通解为y( )A.xe B.xe C.21C xC exD.21C x C ex2-13-68、微分方程xe21dxdy满足1xy 的特解为 ( )A.1221xeyB.3221x ey C.C ey x212 D.212121xey2-14-69、微分方程0ydy-dx 3x 的通解是 ( ) A.Cyx2422B.Cyx2422C.2422yxD.12422yx2-15-70、微分方程0ydy-dx 3x 的通解是 ( )A.222yxB.933yxC.133yxD.13333yx2-16-71、过点,0()2的曲线,使其上每一点的切线斜率都比这点纵坐标大5的曲线方程是( )A.32xyB.52xy C.53xey D.5xCe y 2-17-72、齐次方程x yxy tandx dy化为可分离变量的方程, 应作变换 ( )A.2ux yB.22x u yC.ux yD.33xu y2-18-73、设方程)()('x Q y x P y 有两个不同的解21,y y ,若21y y 也是方程的解,则( ) A.B.0 C. 1 D.,为任意常数2-19-74、方程dx 2dx dy y x x 的通解是 ( ) A.x Cxy2B. x xC y2sin C.C xy 2cos D.Cxy 22-20-75、下面各微分方程中为一阶线性方程的是 ( )A.xyxy 2'B .xxyy sin 'C .xyy' D.xyy 2'2-21-76、曲线上任一点P 的切线均与OP 垂直的曲线方程是 ( )A.y xy' B.y xy'C.x yy' D.xy y'2-22-77、方程2)3(,0'y yy 的解是 ( )A.xey 32 B.xey 32 C.32x ey D.32x ey 2-23-78、微分方程x y y ln '的通解是 ( ) A.xx eyln B. xx Ceyln C.xx x ey ln D.xx x Cey ln 2-24-79、下列哪个不是方程y y 4''的解 ( )A. xey22 B.xe y2 C.xey 2 D.xey 22-25-80、方程0sin '''653)4(yy y y x xyy的阶是 ( )A. 6B. 5C. 4D. 32-26-81、如果一条曲线在它任意一点的切线斜率等于y x2，则这条曲线是( )A.椭圆 B.抛物线 C.双曲线 D. 圆2-27-82、下列可分离变量的方程是 ( )A.xyy x dxdy33B.2)3(2xydy dxy exC. xy yx dxdy D.yx xyy dxdy 3212-28-83、微分方程0cot 'xy y 的通解是 ( )A.x C ycos B.x C ysin C.x C ytan D.xC y csc 2-29-84、已知微分方程0''pyy 的通解为)(212x C C e yx ,则p 的值( )A. 1B. 0C.21D.41三.计算题：（59）3-1-52、0d tan sec d tan sec 22y x y x y x 3-2-53、0ln 'yy xy 3-3-54、0d sec )2(d tan 32yy e x y e x x3-4-55、yx y y x xy22222')1(3-5-56、yx eye x dxdy3-6-57、0)1()1(xdy y ydxx3-7-58、x x y yy x d sin cos d sin cos ,4|0xy 3-8-59、0)0(,02')1(22y xy y x3-9-60、1)(,ln 2'e y x y y 3-10-61、x x y y y x d sin cos d sin cos ,4|0xy 3-11-62、0y)dx -(x dy)(y x3-12-63、)ln (ln dx d x y y y x 3-13-64、0)2(22dyx dx xy y3-14-65、xy x y xy tan'3-15-66、xyx y x y xy ln)('3-16-67、dxdy xydxdy xy223-17-68、x y yx y', 2|1x y 3-18-69、x y xy y', ey ex|3-19-70、2|,'122xy y xyxy3-20-71、xx yxy sin 1', 1|xy 3-21-72、xex y xy 43'3-22-73、342'xxyy 3-23-74、xyxy ln 11'3-24-75、xeyxxy x21'3-25-76、x xy y sec tan ', 0|0xy 3-26-77、xx yxy sin 1', 1|xy 3-27-78、22112'xy xx y ,|0xy 3-28-79、x x yxy ln ', ey ex|3-29-80、22d dyx xexy x3-30-81、)sin (cos d dy2x xy yx3-31-82、5d dyxyy x3-32-83、02d dy4xyxy x3-33-84、4)21(3131d dy yx yx3-34-85、xyxy x 2d dy23-35-86、xy y '''3-36-87、01)'(''2y yy 3-37-88、01''3y y 3-38-89、y y 3'', 1|0xy , 2|'0xy 3-39-90、223''yy ,1|3xy ,1|'3xy 3-40-91、02''yy 3-41-92、013'4''y y y 3-42-93、0'2''y y y 3-43-94、04'5''y y y 3-44-95、04'3''y y y , 0|0xy , 5|'0xy 3-45-96、029'4''y y y , 0|0x y ,15|'0xy 3-46-97、0'4''4y y y , 2|0x y , 0|'0x y 3-47-98、0'4''4y y y , 2|0xy , 0|'0xy 3-48-99、013'4''y y y , 0|0x y , 3|'0x y 3-49-100、04'4''y y y , 0|0x y , 1|'0xy 3-50-101、xey y y 2'''23-51-102、x eyy xcos ''3-52-103、xex y y y 3)1(9'6''3-53-104、'''22xy y ye3-54-105、123'2''x y y y 3-55-106、''sin 20y yx, 1|xy , 1|xy 3-56-107、52'3''yy y , 1|0xy , 2|'0xy 3-57-108、xe y y y 29'10'',76|0x y ,733|'0x y 3-58-109、xxe yy 4'', 0|0xy , 1|'0xy 3-59-110、xxeyy y 26'5''四.应用解答题：（14）4-1-9、一曲线通过点)3,2(, 它在两坐标轴间的任一切线段均被切点所平分, 求这曲线方程.4-2-10、已知xxxy t t y tt 03231d )(12, 求函数)(x y 4-3-13、求一曲线, 这曲线通过原点, 并且它在点),(y x 处的切线斜率等于y x2.4-4-14、试求x y ''的经过点)1;0(M 且在此点与直线12x y相切的积分曲线.4-5-15、设某曲线,它上面的任一点的切线与两坐标轴所围成的三角形面积总等于2,求这条曲线的方程所满足的微分方程. 4-6-16、已知某曲线经过点)1,1(, 它的切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标,求它的方程.4-7-17、设可导函数)(x 满足xx t t t x x 01d sin )(2cos )(, 求)(x .4-8-10、已知某商品需求量Q 对价格p 的弹性为22pEpEQ, 最大需求量为1000Q, 求需求函数)(p f Q.4-9-11、设质量为m 的物体在高空中静止下落, 空气对物体运动的阻力与速度成正比. 求物体下落的数率v 与时间t 的关系, 再求物体下落距离与时间t 的关系4-10-12、在串联电路中, 设有电阻R, 电感L 和交流电动势tE Esin 0, 在时刻0t时接通电路, 求电流i 与时间t 的关系(0E ,为常数).4-11-13、如图, 位于坐标原点的我舰向位于x 轴上)0,1(A 点处的敌舰发射制导鱼雷, 鱼雷始终对准敌舰, 设敌舰以常数0v 沿平行与y 轴的直线行驰, 又设鱼雷的速度为02v , 求鱼雷的航行曲线方程.4-12-14、根据经验可知, 某产品的纯利润L 与广告支出x 有如下关系)(d dL L Ak x，（其中0,0Ak）, 若不做广告, 即0x时纯利润为0L , 且A L 0, 试求纯利润L 与广告费x 之间的函数关系.4-13-15、在宏观经济研究中, 知道某地区的国民收入y , 国民储蓄S 和投资I均是时间t 的函数, 且在任一时刻t , 储蓄)(t S 为国民收入)(t y 的101,投资额)(t I 是国民收入增长率t d dy的31. 设0t时国民收入为5(亿元), 假定在时刻t 的储蓄全部用于投资,试求国民收入函数.4-14-16、试建立描述市场价格形成的动态过程的数学模型.五.证明题：（2）5-1-18、设),(1x y )(2x y 是二阶齐次线性方程0)(')(''y x q y x p y 的两个解,令)()(')(')()(')(')()()(21212121x y x y x y x y x y x y x y x y x w 证明: )(x w 满足方程0)('wx p w5-2-19、设1y , 2y , 3y 是线性方程)()(d dyx Q y x P x的3个相异特解,证明1213y y y y 为一常数.部分应用题答案487．在串联电路中, 设有电阻R, 电感L 和交流电动势tE Esin 0, 在时刻0t时接通电路, 求电流i 与时间t 的关系(0E ,为常数).解. 设)(t i i, 由回路电压定律tE dtdi LRisin 0, 即tLE LR dtdisin 0]sin [)(0C dt teLE et i t dtLRLR =]sin [0C dt te LE et t LR LR =)cos sin (2220t L t R LRE CetLR将0|0ti 代入通解得222LRLE C)cos sin ()(2220t L t R LeLRE t i t LR488.设质量为m 的物体在高空中静止下落, 空气对物体运动的阻力与速度成正比. 求物体下落的数率v 与时间t 的关系, 再求物体下落距离与时间t 的关系解：.物体重力为mg w, 阻力为kv R , 其中g 是重力加速度, k 是比例系数.由牛顿第二定律得kvmg dtdv m ,从而得线性方程gv mk dtdv ,|0tv tmkdtdtCeg km C dt gee v km m k ][, 将0|0tv 代入通解得gkm C)1(t mk eg km v, 再积分得122C gekm gtkm Stmk,将0|0t S 代入求得gkm C 221)1(22t mkeg km gtkm S 489. 如图, 位于坐标原点的我舰向位于x 轴上)0,1(A 点处的敌舰发射制导鱼雷, 鱼雷始终对准敌舰, 设敌舰以常数0v 沿平行与y 轴的直线行驰, 又设鱼雷的速度为2v , 求鱼雷的航行曲线方程.解：设鱼雷的航行曲线方程为)(x y y, 在时刻t , 鱼雷的坐标巍巍),(y x P , 敌舰的坐标为),1(0t v Q .因鱼雷始终对准敌舰, 故x yt v y 1'0, 又弧OP 的长度为x tv dxy 0022'1,从以上两式消去t v 0得''121''')1(2y y y y x , 即2'121'')1(y y x 根据题意, 初始条件为0)0(y , 0)0('y 令p y', 原方程化为2121')1(pp x , 它是可分离变量得方程,解得21)1(112x C pp , 即21)1('1'12x C y y 将0)0('y 代入上式得11C , 故21)1('1'2x y y 而21)1(''1'1'122x y y y y , 得2121)1()1(21'x x y 积分得22321)1(31)1(C x x y, 将0)0(y 代入上式得322C ,所以鱼雷的航行曲线为32)1(31)1(2321x x y490．根据经验可知, 某产品的纯利润L 与广告支出x 有如下关系)(d dLL A k x ，（其中0,0Ak ）, 若不做广告, 即0x时纯利润为0L , 且AL 0, 试求纯利润L 与广告费x 之间的函数关系.解：依题意得)(L A k dx dL,|L L x, 解可分离变量得微分方程, 得通解kxCeAL , 将00|L L x 代入通解, 得AL C 0, 所以纯利润L 与广告费x 之间的函数关系为kxeA LAx L )()(.491．在宏观经济研究中, 知道某地区的国民收入y , 国民储蓄S 和投资I 均是时间t 的函数, 且在任一时刻t , 储蓄)(t S 为国民收入)(t y 的101, 投资额)(t I 是国民收入增长率t d dy的31.设0t时国民收入为5(亿元), 假定在时刻t 的储蓄全部用于投资,试求国民收入函数.解：依题意:yS101,dt dyI31, 解之得通解tCe y103, 将5|0ty 代入通解得5C, 所以国民收入函数为tey 1035492．试建立描述市场价格形成的动态过程的数学模型.解：设在某一时刻t , 商品的价格为)(t p , 因供需差价, 促使价格变动. 对新的价格,又有新的供需差, 如此不断地调节价格, 就构成了市场价格形成的动态过程.假设价格)(t p 的变化率dt dp与需求和供给之差成正比. 记需求函数为),(r p f , 供给函数为)(p g , 其中r 为参数. 于是得微分方程)](),([p g r p f k dtdp,)0(p p , 其中0p 为0t时商品的价格, k 为正常数.若需求供给函数均为线性函数, b kpr p f ),(, d cpp g )(, 则方程为)()(d b k p c k k dtdp ,)0(p p , 其中d c b k ,,,均为正常数, 其解为ckd b eckd b p t p tc k k )(0)()(下面对所得结果进行讨论:(1) 设p 为静态均衡价格, 则应满足0)(),(p g r p f , 即dpc bpk ,则c kdb p, 从而价格函数pep p t p c k k )(0)()(,取极限:pt p t)(lim .它表明: 市场价格逐步趋于均衡价格. 若初始价格p p 0, 则动态价格就维持在均衡价格p 上, 整个动态过程就变为静态过程.(2) 由于tc k k ec kk p pdtdp)(0)()(, 所以当p p 0时, 0dtdp,)(t p 单调下降向p 靠拢, 这说明: 初始价格高于均衡价格时,动态价格会逐渐降低, 逐渐接近均衡价格; 而当初始价格低于均衡价格时, 动态价格会逐渐增高, 逐渐接近均衡价格.。

微积分初步（11秋）模拟试题2011年11月一、填空题（每小题4分，本题共20分）1．函数x x x f 2)1(2+=+，则=)(x f 。

2．=∞→xx x 1sin lim 。

3．曲线x y =在点)1,1(处的切线方程是 。

4．若⎰+=c x x x f 2sin d )(，则=')(x f 。

5．微分方程x y xy y cos 4)(7)5(3=+''的阶数为 。

二、单项选择题（每小题4分，本题共20分）1．设函数x x y sin 2=，则该函数是（ ）。

A ．非奇非偶函数B ．既奇又偶函数C ．偶函数D ．奇函数2．当0→x 时，下列变量中为无穷小量的是（ ）。

A ．x 1B ．x x sinC ．)1ln(x +D ．2xx 3．下列函数在指定区间上单调减少的是（ ）。

A ．x cos B ．x -5 C ．2x D ．x 24．设c xx x x f +=⎰ln d )(，则=)(x f （ ）。

A ．x ln ln B ．x x ln C ．2ln 1xx - D ．x 2ln 5．下列微分方程中，（ ）是线性微分方程。

A ．x y y x y x ln e sin ='-''B ．x xy y y e 2=+'C ．y y x y e ='+''D ．y y yx '=+ln 2三、计算题（本题共44分，每小题11分）1．计算极限623lim 222-++-→x x x x x 。

2．设x x y 2cos +=，求y d 。

3．计算不定积分x x d )12(10⎰-。

4．计算定积分⎰π20d sin x x x 。

四、应用题（本题16分）欲做一个底为正方形，容积为108立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？微积分初步（11秋）模拟试题参考答案（供参考）2011年11月一、填空题（每小题4分，本题共20分）1．12-x 2．1 3．2121+=x y 4．in2x 4s - 5．5 二、单项选择题（每小题4分，本题共20分）1．D 2．C 3．B 4．C 5．A三、（本题共44分，每小题11分）1．解：原式5131lim )3)(2()2)(1(lim22=+-=+---=→→x x x x x x x x 2．解：2ln 221sin x x x y +-=' x xx y x d )2sin 2ln 2(d -=3．解：x x d )12(10⎰-= c x x x +-=--⎰1110)12(221)12(d )12(21 4．解：⎰20d sin πx x x +-=20cos πx x 1sin d cos 2020==⎰ππx x x 四、应用题（本题16分）解：设长方体底边的边长为x ，高为h ，用材料为y ，由已知22108,108x h h x == x x x x x xh x y 432108442222+=⋅+=+= 令043222=-='xx y ，解得6=x 是唯一驻点， 因为问题存在最小值，且驻点唯一，所以6=x 是函数的极小值点，即当6=x ，336108==h 时用料最省。

装 订 线 年 级学 号姓 名专 业一、填空题（本题40分, 每空4分） 1．设),,1,0()(n j x l j =为节点n x x x ,,,10 的n 次基函数，则=)(i j x l 。

2．已知函数1)(2++=x x x f ，则三阶差商]4,3,2,1[f = 。

3．当n=3时，牛顿-柯特斯系数83,81)3(2)3(1)3(0===C C C ，则=)3(3C 。

4．用迭代法解线性方程组Ax=b 时，迭代格式 ,2,1,0,)()1(=+=+k f Bx x k k 收敛的充分必要条件是 。

5．设矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1221A ，则A 的条件数2)(A Cond = 。

6.正方形的边长约为100cm ，则正方形的边长误差限不超过 cm 才能使其面积误差不超过12cm 。

（结果保留小数） 7.要使求积公式)()0(41)(1110x f A f dx x f +≈⎰具有2次代数精确度，则 =1x ， =1A 。

8. 用杜利特尔（Doolittle ）分解法分解LU A =，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=135 9 45- 279 126 0 945- 0 45 1827- 9 18 9A 其中，则=L =U 。

二、计算题（10分）已知由数据（0,0），（0.5，y ），（1,3）和（2，2）构造出的三次插值多项式)(3x P 的3x 的系数是6，试确定数据y 。

2011级数值分析 试题 A 卷 2011 ～ 2012学年，第 1 学期 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分 年 级2011级研究生份 数拟题人 王吉波审核人装 订 线 年 级学 号姓 名专 业三、计算题（15分）试导出计算)0(1>a a 的Newton 迭代格式，使公式中（对n x ）既无开方，又无除法运算，并讨论其收敛性。

四、计算题（15分）已知43,21,41210===x x x 。

（1）推导出以这3个点作为求积节点在[0，1]上的插值型求积公式； （2）指明求积公式所具有的代数精确度；（3）用所求公式计算⎰102dx x 。

2011年下学期数值分析考试试卷答案(A)D222223221()()(1)(2)(1)21(45)2P x H x Ax x x x x x x x x =+-=-+-=-+余项为 R(x)=(5)22()(1)(2)5!f x x x ξ-- ……………………………12分解法2：构造带重节点的Newton 差商表 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 -1 2211/2 ………………………8分2222221()00(0)1(0)1(0)(1)(0)(1)21(45)2N x x x x x x x x x x =+-+----+--=-+…………………12分三、 (12分) 求()xf x e -= 在区间[-1，1]上的最佳平方逼近2次多项式. (用勒让德正交多项式2121{(),(),()}{1,,(31)}2P x P x P x x x =-) 解：用勒让德多项式20121{(),(),()}{1,,(31)}2P x P x P x x x =-,2(,)21iiP P i =+ …………………………………………………………………………………..3分计算：11101(,)( 2.3504）x f P e dx e e ---==-≈⎰,1111(,)20.7358x f P xe dx e---==-≈-⎰121211(,)(31)70.143132x f P x e dx e e ---=-=-≈⎰…………………………………………………………………………………..8分111101010011(,)(,)2* 1.1752,*3 1.1036(,)2(,)2/3 f P f P e e e a a e P P P P ----==≈==-=-≈-12222(,)7*0.3578(,)2/5f P e e a P P --==≈故最优平方逼近函数为：11112225351()3(31)22211.1752 1.10360.3758(31)20.5367 1.10360.9963e e e e p x e x x x x x x -----=-+⋅-≈-+⋅-=-+。

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------《常分方程数值解法》试题一及答案----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1．用欧拉法解初值问题⎩⎨⎧1=060≤≤0--='2)().(y x xy y y ，取步长h =0.2.计算过程保留4位小数。

解：h =0.2, f (x )=－y －xy 2.首先建立欧拉迭代公式),,k )(y x (y .y hx hy y )y ,x (hf y y k k k k k k k k k k k 21042021=-=--=+=+当k =0，x 1=0.2时，已知x 0=0,y 0=1，有y (0.2)≈y 1=0.2×1(4－0×1)＝0.800 0当k ＝1，x 2=0.4时，已知x 1=0.2, y 1=0.8，有y (0.4)≈y 2=0.2×0.8×(4－0.2×0.8)＝0.614 4当k =2，x 3=0.6时，已知x 2=0.4,y 2=0.614 4，有y (0.6)≈y 3=0.2×0.614 4×(4－0.4×0.4613)＝0.800 02．对于初值问题⎩⎨⎧1=0='2)(y xy y 试用(1)欧拉法；(2)欧拉预报－校正公式；(3)四阶龙格－库塔法分别计算y (0.2),y (0.4)的近似值.3．证明求解初值问题的梯形公式是y k +1=y k +)],(),([211+++k k k k y x f y x f h , h =x k +1－x k (k =0,1,2,…,n －1)，4．将下列方程化为一阶方程组（1）430(0)1,(0)0y y y y y '''-+=⎧⎨'==⎩（2）2322ln (1)1,(1)0x y xy y x x y y '''⎧-+=⎨'==⎩ （3）26(0)1,(0)1,(0)2y y y y y y ''''⎧=⎨'''==-=⎩5．取步长h = 0.2再用四阶龙格――库塔方法解初值⎩⎨⎧=≤≤+=1)0(10'y x y x y并用前题比较结果。

微分⽅程数值解法答案包括基本概念，差分格式的构造、截断误差和稳定性，这些内容是贯穿整个教材的主线。

解答问题关键在过程，能够显⽰出你已经掌握了书上的内容，知道了解题⽅法。

这次考试题⽬的类型：20分的选择题，主要是基本概念的理解，后⾯有五个⼤题，包括差分格式的构造、截断误差和稳定性。

习题⼀1．略2． y y x f -=),(，梯形公式：n n n n n n y hh y y y h y y )121(),(2111+-+=+-=+++，所以0122)1(01])121[()121()121(y hh y h h y h h y hhn h h n n n +--+--+-+=+-+==+-+= ，当0→h 时，x n e y -→。

同理可以证明预报-校正法收敛到微分⽅程的解.3．局部截断误差的推导同欧拉公式;整体截断误差:++++++-++≤1),())(,(11111n nx x n n n n n n n dx y x f x y x f R εε11)(++-++≤n n n y x y Lh R ε，这⾥R R n ≤ ⽽111)(+++-=n n n y x y ε，所以 R Lh n n +=-+εε1)1(，不妨设1()]11111[1111101---++-+-+-≤≤-+-=n n n n Lh Lh Lh R Lh Lh R Lh εεε ]1[2)(02)(00-+≤--x X L x X L eLh R eε4．中点公式的局部截断误差： dx x y x f hx y h x f x y x f yx y n n x x n n n n n n))](,(2)(,2())(,([)(11*1?+++-=-++dx x y x f hx y h x f h x y h x f h x y x y dxx y x f hx y h x f hx y h x f h x y h x f x y x f n n n n x x n n n n n n n x x n n n n n n n n))](,(2)(,2())2(,2([)]2()([))](,(2)(,2())2(,2())2(,2())(,([11++-++++'-'=++-+++++-=??++所以上式为+--+''=?++dx hx x x y e n nx x n n n )2()(11θdx x y x f h x y h x f h x y h x f n n n n x x n n n n))](,(2)(,2())2(,2([1++-++?+ 3218)(LMh h x y Lh e n n ≤+''≤+?中点公式的整体截断误差：dx y x f hy h x f x y x f y x y y x y n n x x n n n n n n n n)],(2,2())(,([)()(111?+++-+-=-++dxy x f hy h x f x y x f h x y h x f x y x f hx y h x f x y x f y x y n n n n n n n n x x n n n n n n n n))],(2,2()))(,(2)(,2()))(,(2)(,2())(,([)(1++-+++++-+-=?+因⽽n n n L h Lh R εεε)21(1+++≤+，R L h Lh n n +++≤-122)21(εε≤≤])21()21(1[2)21(1222222022-+++++++--+++n nL h Lh L h Lh Lh Lh RL h Lh ε )1(00-+≤--x X L x X L e LhR eε 5．略 6．略 7．略8．（1）欧拉法：2.0≤h ；四阶Runge-Kutta ⽅法：278.0≤h （2）欧拉法：3 54≤h ；四阶Runge-Kutta ⽅法：3556.5≤h（3）欧拉法：1≤h ；四阶Runge-Kutta ⽅法：278.0≤h 9．略 10．略习题21．略 2．略 3．略4．差分格式写成矩阵形式为：n n M n M n n n M n M n n e u u u u r t r r r t r r r t r r r t u u u u +?--------= --+-+-++12211221121212121 αβαααβαααβαααβ矩阵的特征值为：)cos(221Mj r r t j πααβλ+-?-=，要使格式稳定，则特征值须满⾜t c j ?+≤1λ，即21≤r α5．利⽤泰勒展式可以得到古典隐式差分格式的截断误差为)(2h t O +?。

微分方程习题§1 基本概念1. 验证下列各题所给出的隐函数是微分方程的解.（1）y x y y x C y xy x -='-=+-2)2(,22（2）⎰'=''=+y 0 222t -)(,1e y y y x dt2..已知曲线族，求它相应的微分方程（其中21C , ,C C 均为常数）（一般方法：对曲线簇方程求导，然后消去常数，方程中常数个数决定求导次数.）（1）1)(22=++y C x ；（2）x C x C y 2cos 2sin 21+=.3．写出下列条件确定的曲线所满足的微分方程。

（1）曲线在()y x , 处切线的斜率等于该点横坐标的平方。

（2）曲线在点P ()y x ,处的法线x 轴的交点为Q,，PQ 为y 轴平分。

（3）曲线上的点P ()y x ,处的切线与y 轴交点为Q , PQ 长度为2，且曲线过点（2，0）。

§2可分离变量与齐次方程1.求下列微分方程的通解（1）2211y y x -='-；（2）0tan sec tan sec 22=⋅+⋅xdy y ydx x ；（3）23xy xy dxdy =-；（4）0)22()22(=++-++dy dx y y x x y x .2．求下列微分方程的特解（1）0 ,02=='=-x y x y e y ；（2）21 ,12==+'=x y y y y x 3. 求下列微分方程的通解（1）)1(ln +='xy y y x ； （2）03)(233=-+dy xy dx y x .4. 求下列微分方程的特解（1）1 ,022=-==x y yx xy dx dy ； （2）1 ,02)3(022==+-=x y xydx dy x y .5. 用适当的变换替换化简方程，并求解下列方程（1）2)(y x y +='；（2）)ln (ln y x y y y x +=+'（3）11+-='yx y （4）0)1()1(22=++++dy y x xy x dx xy y6. 求一曲线，使其任意一点的切线与过切点平行于y 轴的直线和x 轴所围城三角形面积等于常数2a .7. 设质量为m 的物体自由下落，所受空气阻力与速度成正比，并设开始下落时)0(=t 速度为0，求物体速度v 与时间t 的函数关系.8. 有一种医疗手段，是把示踪染色注射到胰脏里去，以检查其功能.正常胰脏每分钟吸收掉%40染色，现内科医生给某人注射了0.3g 染色，30分钟后剩下0.1g ，试求注射染色后t 分钟时正常胰脏中染色量)(t P 随时间t 变化的规律，此人胰脏是否正常？9.有一容器内有100L 的盐水，其中含盐10kg ，现以每分钟3L 的速度注入清水，同时又以每分钟2L 的速度将冲淡的盐水排出，问一小时后，容器内尚有多少盐？§3 一阶线性方程与贝努利方程1．求下列微分方程的通解（1）2x xy y =-'； （2）0cos 2)1(2=-+'-x xy y x ；（3）0)ln (ln =-+dy y x ydx y ；（4）)(ln 2x y y y -='； （5）1sin 4-=-x e dxdy y 2．求下列微分方程的特解（1）0 ,sec tan 0==-'=x yx x y y ；(2)1|,sin 0==+'=x y xx x y y 3．一 曲线过原点，在) ,(y x 处切线斜率为y x +2，求该曲线方程.4．设可导函数)(x ϕ满足方程⎰+=+ x0 1sin )(2cos )(x tdt t x x ϕϕ，求)(x ϕ. 5．设有一个由电阻Ω=10R ，电感H L 2=，电流电压tV E 5sin 20=串联组成之电路，合上开关，求电路中电流i 和时间t 之关系.6．求下列贝努利方程的通解(1) 62y x xy y =+' （2）x y x y y tan cos 4+='（3）0ln 2=-+y x x dydx y （4）2121xy x xyy +-='§4 可降阶的高阶方程1.求下列方程通解。

微分方程数值解（学生复习题）
一．填空
1.Euler法的一般递推公式为，整体误差为，局部截断误差为：.，改进Euler的一般递推公式
整体误差为，局部截断误差为：。

2.线性多步法绝对稳定的充要条件是。

3.当，则单步法
1(,,)0,1,2,,
n n n n T
u u h t u h n
h
，稳定。

4. 一个相容，稳定的多步法若绝对稳定，则绝对稳定域在。

5. 若，则多步法是相容的。

6．所有内点，界点的差分方程组成一个封闭的线性代数方程组，其系数矩阵
是。

7.刚性方程是：
8．Runge-Kutta法的特征值为，
相容的充要条件为：
8.二阶常微分方程边值问题：
2
2
,
(), ()
d u
Lu qu f a x b dx
u a u b
的中心差分格式为：
9.若内点的四个相邻点均属于，则称为。

10.逼近泊松方程的五点差分格式的截断误差的阶为。

逼近泊松方程的九点差分格式的截断误差的阶为。

11.线性多步法A稳定的充要条件是。

12.SOR收敛当且仅当松弛因子0,2
（），且Jacobi迭代收敛。

最佳松弛因子是。

二．判断
1.当时间步长和空间步长无限缩小时，差分格式的解是否逼近到微分方程问题的解，这就是差分格式的收敛性问题。

2.单参数的PR迭代格式的收敛速度与SOR最佳超松弛法的收敛速度同阶。

3、对称矩阵的普条件数与条件数相同。

4、一级Runge-Kutta法的绝对稳定域（-2，0）。

安徽大学20 11 —20 12 学年第 一 学期《 常微分方程 》（A 卷）考试试题参考答案及评分标准一、 选择题（每小题5分，共20分）（1） (a)；（2） (d)；（3） (d)；（4）(b)；二、请判断下面各题是否正确，并简述理由（每小题5分，共15分）（1）正确 …………………………2分事实上，(),f x y 在H 上满足局部L -条件，因此方程满足初始条件的解存在且唯一 . ……5分（2）正确 …………………………2分事实上，作变换1x x ydt =⎰，则原方程可化为()111120x a t x dy y dt x '+⎡⎤⎣⎦+= …………………………4分 然后用常数变易法知可解 ……………5分（3）错误 …………………………2分事实上，二阶线性方程()()()12x a t x a t x f t '''++=与一类特殊的线性微分方程组()()()()()21010,,x Ax f t A f t a t a t f t ⎛⎫⎛⎫'=+== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭矛盾. …………………5分三、计算题（每小题10分，共50分）（1）解：方程变形为()2222sin 1x y x x y x '+=++，令2u x y =+， 则2u y x ''=+， ………………5分可得22sin 1x u u x '=+，求解得()2csc cot 1u u C x -=+，………………7分由初始条件22y π⎛= ⎝⎭知，22C π=+。

……………………10分 （2）解：方程320dy dy x y dx dx ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭可写为32,dy y p xp p dx =+= 两边关于x 求导数，得到()2320p x dp pdx ++=当0p ≠时，计算11,2,,M N p x M N p x M p∂∂∂∂-∂∂===∂∂-因此()p p μμ== ……5分 上式两边乘以p 并积分之，得到4234p xp c += …………………………7分得到方程的通解为22334, 0212c x p p p c y p p ⎧=-⎪⎪≠⎨⎪=-⎪⎩ ……………9分 当0p =时，由方程可以直接得到0y =也是方程的解. ……………10分（3）解：作极坐标cos ,sin x r y r θθ== ……………2分2222220004222t t x y t r r f dxdy d rf dr rf dr πθπ+≤⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰ ……………5分 将原式两边关于t 求导数，得()()2488t f t tf t te πππ'-= ……………7分其通解为()()2244t f t t c e ππ=+ ……………9分 由初始条件()01f =求得特解为()()22441t f t t e ππ=+ ……………10分 （4）解：对应的齐次线性微分方程为90y y ''+=其通解为12sin 3cos3y c x c x =+ 当02x π≤≤时，求得9sin y y x ''+=有一特解为11sin 8y x =，于是其有121sin 3cos3sin 8y c x c x x =++ 由初始条件()()00,00y y '==代入，有特解为11sin 3sin 248y x x -=+。

2010-2011学年第二学期常微分方程考试AB 卷答案理学院年级信息与计算科学专业 填空题（每题4分，共20分）1.形如)()('x Q y x P y +=（)(),(x Q x P 连续）的方程是一阶线性微分 方程，它的通解为⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰+⎰-⎰=c dx dxx P e x Q dx x P e y )()()(. 2.形如0y y '''-=的方程是3阶__齐次__(“齐次”还是”非齐次”)___常__系数的微分方程,它的特征方程为310λ-=.3.形如1111110n n nn n n n n d y d y dyx a x a x a y dx dxdx----++++=的方程为欧拉方程,可通过变换t x e =把它转化成常系数方程. 4.2(1)0,ydx x dy ++=满足初始条件：x =0,y =1的特解11ln 1y x=++5．5.微分方程0000(,),(),:,dyf x y y x y R x x a y y b dx==-≤-≤满足的解存在且唯一的条件是: (,)f x y 在R 上连续且满足利普希茨条件一、下列微分方程的解（每题5分，共30分） 1．dx dy =2)(1y x + 解：令x+y=u ,则dx dy =dxdu -1……………………….3 dx du -1=21uu-arctgu=x+c y-arctg(x+y)=c (5)2．()()053243=+++xdy ydx y xdy ydx x解：两边同乘以y x 2得：()()0532*******=+++ydy x dx y x ydy x dx y x (3)故方程的通解为：c y x y x=+5324 (5)3．2⎪⎭⎫⎝⎛-=dx dy y x解：令p dxdy=，则2p x y +=，两边对x 求导，得dxdp pp 21+= pp dx dp 21-=，……………………….3 解之得()c p p x +-+=21ln 2，所以()c p p p y +-++=221ln 2， (4)且y=x+1也是方程的解，但不是奇解 (5)4.04)5(='''-x x解：特征方程0435=-λλ有三重根0=λ，42λ=，52λ=-............................3 故通解为54232221c t c t c e c e c x t t ++++=-. (5)5.4523x x x t ''''''--=+解：特征方程32450λλλ--=有根=1λ0,231,5λλ=-= 齐线性方程的通解为x=5123t t c e c e c t -++ (3)又因为=λ0是特征根，故可以取特解行如2x At Bt =+代入原方程解得A=1425，B=25- (4)故通解为x=5212325t t c e c e c t t -++- (5)6.2ln 0,xy y y '-=初值条件:y(1)=e解:原方程可化为ln dy y ydx x=………………………1 分离变量可得ln dy dxy y x=…………………………………………………..3两边积分可得ln y cx =…………………………………………………..4将初值代入上式求得方程的解:ln 2y x = (5)二、求下列方程（组）的通解（每题10分，共30分）1．求一曲线，使其任一点的切线在OY 轴上的截距等于该切线的斜率. 解：设(,)p x y 为所求曲线上的任一点，则在p 点的切线l 在Y 轴上的截距为：dyy xdx-……………………….3 由题意得dyy x x dx-=即11dy y dx x =- 也即ydx xdy dx -+=- 两边同除以2x ，得2ydx xdy dxx x-+=-………………….5 即()ln yd d x x=- (7)即ln y cx x x =+……………………….10 为方程的解。

《微分方程》考试大题（以下知识点都很重要）（上次发的考试复习上有几处错误或考题有变化（下面已更改）：P1的①、P5的5、P6中PMECME 模式的M: C = O w-C ］要作相应的修改（见下面%5 + 740相应的题目）） （考试会有多选题）①方法的相容阶、收敛阶、绝对稳定性、零稳定性及它们的相互关系'单步方法：相容阶=收敛阶初值至少P 阶收敛计算得到'多步方法:、方法是P 阶相容的> 卩阶收敛的多步方法满足根条件「5级4阶⑤ ode45, R-K-F 方法构造原理• ~ ~ （见十张讲义中的第5面）16级5阶（可能以填空题形式出现）ode45的主要思想是R-K-F 方法构造原理 ------------ 以5级4阶方法 作预估，以6级5阶方法进行校正。

⑥ Richardson 外推法（提髙阶的方法）（见十张讲义屮的第5面）Richardson 外推法用来提高精度阶大题：1. 构造方法（见复印的复习资料）求出以下方法的各个系数Adams 外插：Adams 内插：Gear 方法:三步方法：三步Adams 夕卜插“，心丄其中Mr 啗/=()/=07=0 JZQ A _; = /Z /W 其中 C U =/=0(-l/Ooi（k=2）; 三步Gear方法（k=3）;二步方法：二步 Adams 外插(k=l); 二步 Gear 方法(k=2);(下而的叙述多以二步四阶Milne 方法为例进行说明)2. 误差常数(P27表中误差常数和一些特殊方法误差常数的推导过程，不过一般方程表达式 会给出)3. 相容阶14 1二步四阶方法(Milne 方法)：“,,+2 = + /z(3 又+2 + ■又+1 +-/J 1 4 1其中，a o =-i ，汉i =o,汉2=1，A )=-，為=了，=q +1 = 0, c*| — 6^ + 2—(Ao+A + 爲)=0从而知二步四阶方法(Milne 方法)的误差为L\u(t)Ji\ = -+o(h 6) = <?(/?) = o(h 4+1)则该方法是4阶相容的。