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导数在高中数学解题中的应用

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简述导数在高中数学新课程中的地位与作用-教育文档资料

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简述导数在高中数学新课程中的地位与作用导数（“导函数”的简称）是一类特殊的函数，利用导数可以求曲线的切线，判断或论证函数的单调性，求函数的极值和最值，以及利用导数解决生活中的优化问题等。

导数在函数中的应用很广，所以，导数是分析和解决问题的有效工具。

本文通过探讨导数在新课程中的地位以及在数学解题中的应用，以拓展学生的解题思路，提高学生分析和解决问题的能力。

高中数学是由必修课程和选修课程两部分构成。

必修课程是整个高中数学课程的基础，选修课程是在完成必修课程学习的基础上，希望进一步学习数学的学生根据自己的兴趣选修。

选修课程由系列1、2、3、4等组成，在系列1和2中都选择了导数及其应用。

显然，导数的重要性不言而喻。

一、有利于学生理解函数的性质在高中阶段学习函数时，主要学习函数的定义域、解析式、值域、单调性、奇偶性、周期性、有界性等。

我们知道，函数的这些性质都可以通过函数的图像表示出来。

因而，如果能准确作出函数的图像，函数的性质就一目了然。

如果所涉及的函数是基本初等函数，用描点法就可以作出函数的图像。

但是，如果所涉及的函数是非基本初等函数，如函数y=x2-2x2+x-1，y=ex-x-1等，仅用描点法就很难准确地作出图像。

但是，掌握了导数的知识之后，学生就可以利用函数的一阶导数判定函数的单调区间、极值点和最值点；利用极限思想找出其水平渐近线和垂直渐近线，然后再结合描点法，就能较为准确地作出函数的图像。

这样就有利于学生理解函数的性质，同时也拓宽了学生的知识面。

1.利用导数求函数的解析式用解析式表示函数的关系，便于研究函数的性质，而利用导数求函数的解析式，函数的一些基本性质就会显得更加清晰。

例1.设函数y=ax3+bx2+cx+d的图像与y轴交点为P点，且曲线在P点处的切线方程为12x-y-4=0，若函数在x=2处取得极值0，试确定函数的解析式。

解析：因为函数y=ax3+bx2+cx+d的图像与y轴交点为P点，所以，P点的坐标为（0，d），又曲线在P点处的切线方程为y=12x-4，P点坐标适合方程，从而得：d=-4，又切线斜率k=12，故在x=0处的导数y′x=0=12，而y′=3ax2+2bx+c，y′x=0=c，从而得出：c=12，又函数在x=2处取得极值0，所以，12a+4b+12=08a+4b+20=0解得：a=2，b=-9。

导数在高中数学解题中的应用探究

导数在高中数学解题中的应用探究

导数在高中数学解题中的应用探究作者：谯洪斌来源：《新课程研究·上旬》2019年第02期摘要：导数是高中数学的重要内容，导数知识和其他数学知识结合可以产生多种多样的新题型，这类题型立意巧妙、观点新颖，成了考试题中的亮点，也成了学生的难题。

文章阐述了高中数学导数的概念，分析了导数在高中数学解题中的具体应用思路，并提出通过做题探索解题方法，使学生掌握利用导数解题的能力，提高学生的创造性能力。

关键词：导数；高中数学；解题应用作者简介：谯洪斌，四川省南充高级中学教师。

（四川南充 637205）中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1671-0568（2019）04-0052-02高考数学对学生的创新意识的要求越来越高。

以能力立意是高考数学命题的指导思想，命题方式也在不断变化，而导数解题的知识点是命题的重点。

导数是高中数学的重点内容，常与函数、方程、数列、不等式、几何、向量、线性规划以及实际生活等内容融合在一起。

导数问题巧而精，学生要解答正确并非易事，需要学生具备发散性思维，有足够的耐心，有自主学习和独立思考的能力。

本文对导数在高中数学解题中的应用进行分析，旨在探索规律，揭示方法。

一、高中数学中导数的含义导数是在函数概念中出现的，具有函数的基本性质，高中数学教材上写明导数展现了函数的变化趋势，从学习简单的初等函数开始，导数就可以在其中得到运用，求导总是能使问题迎刃而解。

所以，高中的导数教学主要是通过求导解决实际题目来进行的，最终要使学生养成用导数解决数学难题的思维。

近几年的高考试题越来越多涉及导数问题，导数题型出现的频率越来越高，所以高中数学教学的重点就是让学生运用导数解决数学试题，体现出数学的实用性。

教师要教会学生灵活运用导数，学会快速从问题中发现是否需要求导，这是解决题目的突破点，也是导数学习的重难点，需要教师在设计教学方案和课堂讲授时加以重视。

二、导数在高中数学解题中的实际运用融合数学思想，强化数学思维能力的培养是当今时代所需。

论导数在高中数学中的应用

论导数在高中数学中的应用
理 化 空间
对 州
论导数在高中数学中的应用
周 萍
吉 林省德惠市德惠实验 中学 摘要 ： 在 高 中数 学中导数部分 的知识是相 当重要 的部分 ， （ 三） 利用导数求不等式 它是 高中数 学后继课程的基础也是 高考 中的热点 问题 ，蕴含 函数与不等式 的结合 出题是 高中数学 中比较常见 的 ， 这 着丰 富的数学思想 ， 在数 学解题 中的运 用广泛。 在 高中数 学中 种题型乍一看解决起来 比较 困难但是运用导数来解决就 比较 我们来看一个类型题。 引入导数增添 了高中数 学的活力 ，让数学题 目的解答 变得更 简单 ， 加灵活、 简单 。 本文主要 是对导数在 高 中数 学 中的应 用进行探 例： 对 于 函数 ｆ （ ｘ ） ＝ ｘ ｘ —ａ ） （ ｘ —ｂ ） ， 其中 Ｏ ＜ ａ ＜ ｂ ， 设ｆ （ ｘ ） 在 Ｘ ＝ Ｓ ， ｘ ＝ ｔ 取 到极值， 其中 ｓ ＜ ｔ ， 求证： Ｏ ＜ ｓ ＜ ａ ＜ ｔ ＜ ｂ 。 索， 希 望能够在 导数 的学习和使用 中起到一定的作用。 关键词 ： 高中数 学 导数 解题 证明： 首先求 ｆ （ ｘ ） 导数， 得： （ ｘ ） ＝ ３ ｘ ２ —２ （ ａ ＋ ｂ ） ｘ ＋ ａ ｂ 由ｆ （ ｘ ） 在 Ｘ ＝ ８和 ｘ ＝ ｔ 取到极值 ， 知： ｓ ， ｔ 是 二次方程 ｆ ， （ ｘ ） ＝ Ｏ 导数 是新课 改下新增 的内容 ，这一 内容在高中数学 的比 的两实根， 重越来越 多 ，导数 在数学 中的引入加深 了学生对于 函数 的理 又： ｆ ｔ （ ０ ） ＝ ａ ｂ ＞ Ｏ ｆ （ ａ ） ＝ ａ 一ａ ｂ ＝ ａ （ ａ －ｂ ） ＜ ０ ｆ （ ａ ） ＝ ｂ 。 一ａ ｂ ＝ ｂ （ ｂ － １ ＞ ０ 解， 激发 了学生 的创新思维 ， 并且 能够 引导 学生将数学知识运 ａ 即ｆ ， （ ｘ ） 在区间 （ ０ ， ａ ） （ ａ ， ｂ ） 内分别有一个实根， 用到实际生 活中极大地激 发了学生对 于学习数学 的积极性 。 由ｓ ＜ ｔ ， ｓ ， ｔ 都是方程 ｆ （ ｘ ） ＝ ０的两实根， 得出： Ｏ ＜ ｓ ＜ ａ ＜ ｔ ＜ ｂ 。 但是 对于初学 者来说 ， 导数的学习还是有一定 的难度 的 ， 所 以 二． 导数在 几何解题中的运用 必须 弄清导数 的定 义及其性质 ，并且慢慢地将 其运用到实际 解题 中去 ， 这样才能实现对导数的透彻理解。 在人教版高 中数 对 于一些几何 问题 的解决如果运用普通 的方法显得非 常 学中就有 “ 导数及其 运用 ” 一章 ， 在本文 中笔者 结合着课 本 内 麻 烦 ， 有时我们可以巧妙地运用导数来解决 。 我们 看下 面的一 容对 导数在高 中数学 中的运用进行一个新角度 的总结 。 个 例子 。 导数在代数解题中的运用 例： 用一条不限长度的钢丝 围成一个长方形 的框架 其长 、 （ 一） 小于等于 ８ ｍ） ， 那么 当其 长宽各 最 大面积是多少 ？ 在高 中数学 的学 习中会遇到判断 函数单调性 或是求 函数 为多少 时面积最大 ， 分析： 我们读 完题 目可 以看 出这是一个求最大值 的问题 ， 单调 区间的问题 ， 对于这个问题 利用导数 是特别容易解决 的， 正 如人教版高 中数学 中“ 导数及其 运用” 一章 中的“ 导数 在研 我们可 以将思维转 向函数 的导数上去解 决。 究 函数 中的应用 ” 一节就是运用导数 来解 决函数问题 的内容 ， 解： 设长方形 的宽 为 ｘ ｍ， 那么其长为 ２ ｘ ｍ ， 其中 ０ ＜ ｘ ≤８ ， 由 这是 因为 导数有这样 的性质 ， 对 于 函数 ｙ ＝ ｆ （ ｘ ） 在 某个 区间（ ａ ， 题 意可 得 ： ｂ ） 上， 如果 ｆ （ ｘ ） ＞ ０ ， 那 么函数 ｙ ＝ ｆ （ ｘ ） 在这个 区间上是单调 递增 长方形 的面积 Ｓ ＝ ２ ｘ ￣ ，ｓ ＝ ４ ｘ ，对 于 ｓ 来说 ， ｓ 始终都是大 的， 如果 ｆ ， （ ｘ ） ＜ ０ ， 那么 函数 ｙ ＝ ｆ （ ｘ ） 在这个 区间上是单 调递减 的， 于 ０的，所 以函数 ｓ是一个单调递增 的函数所 以当 ｘ ＝ ８时面 如果 ｆ （ ｘ １ ＝ ０ ， 那么 函数 ｙ － ｆ ｉ （ ｘ ） 是 常数 函数 ， 根 据导数 的这一 性 积有最 大值 ， 即宽为 ８ ｍ， 长为 １ ６ ｍ ， 最大面积 为 １ ２ ８ ｍ 。 质， 对于函数单调性的求解 就非 常容 易了。 三． 导 数在高中数学应用中要注意的问题 在导数部分 的教学过程中 ，要 注意一些问题把握教学要 例： 对于函数 ｘ ） ＝ｘ ３ ＋ ３ ｘ ２ ＋ ６ ｘ求其单调区间。 分析 ： 对于这一道题 目， 我们观察发 现它 的最高次 幂是 ３ 求， 很好地抓住教学 的重难点 。 首先在导数的定义理解上要让 次， 直接运用函数图像 去观察函数 的单调 区间是十分 困难 的， 学生有一个详实 的了解 ， 明确导数 的涵义 ， 然后是对于导数 的 由于其是可导 的所 以我们就可 以运用导数的性质来求解。 各种性质 的学 习， 在导数 的运用 中都是利用导数 的性质 的 ， 所 以对 于导数 的各种性 质要让学生 “ 知其然知 其所 以然 ” ， 记牢 解： 函数 ｘ １ 的导数为 ｆ ＇ （ ｘ ） ＝ ３ ｘ ２ ＋ ６ ｘ ， 当ｆ ， （ ｘ ） ＞ Ｏ时 ， ｘ ＞ Ｏ或 ｘ ＜ 一 ２ ， 即 函数 ｆ （ ｘ ） 在（ 一 ∞， 一 ２ ） ， （ ０ ， ＋ 这些性质并且理解这些性质 ， 最后就是运用导数进行解题 了 ， ∞） 上是单调递增 的； 运用导数去解题本身就是一种 比较便捷 的方法 ，在运用 的过 当ｆ （ ｘ ） ＜ ０时 ， 一 ２ ＜ ｘ ＜ Ｏ ， 即函数 ｆ （ ｘ ） 在（ 一 ２ ， ０ ） 上是 单调递减 程 中要避免学生又讲简单问题 复杂化 ，保证 学生能够巧妙地 运用导数来解题 。另外 ， 在导数知识 的学 习中 ， 要注意知识 的 的。 （ 二） 利 用 导 数 求 函数 的极 值 关联性与连续性 ， 学会让知识形成一个线形的系统。 在 高 中数 学 中还 经常 出现求 函数 在某 个 区间 的极 值 问 结语 ： 题 ，通过对导数的性质研究我们知道对于 函数 的导数在 区间 导数在高 中数学的地位重要 ， 由以上笔者 的分析 ， 可 以看 内如果两侧的符号不 同那么这个 函数在这个 区间上就存 在着 出运用导数可 以解决高中数学 中的许 多问题 ，这使原本枯燥 极大值或极小值 ，这就其实我们在求解 函数 的最值 时可 以通 的数学有 了乐趣 ， 原本 困难 的数学变得简单 ， 能够激发学生 的 过对于导数进行分析 。 学 习兴趣 ， 不失为一种不可多得 的数学学习方法。 例： 求 函数 ｆ （ ｘ ） 一ｘ ３ ＋ ３ ｘ ２ ＋ ９ ｘ在单调区间【 １ ， ５ ］ 上的最大值 。 参考文献 ： ［ １ 】 常利军． 探析 导数在高 中数学 中的应用 叨． 语数外 学 分析 ： 这个题 目给出了函数解析式要求 区间上 的最大值 ， 我们根据函数导数的性质便 可以轻松 地计算 出其最 。 习． ２ ０ １ ３ （ ０ ５ ） ． ［ ２ 】 吴龙福． 例析 导数在 高 中数学题 目解答 中的典型性应 解： 函数 ｘ ） 的导数为 ｆ （ ｘ ） 一３ ｘ ２ ＋ ６ ｘ ＋ ９ ， 所 以在 区间（ 一 １ ， ３ ） 上是单调 递增 的 ， 即ｆ ， （ ｘ ） ＞ ０ ； 在 区间（ 一 ｏ 。 ， 一 １ ） ， （ ３ ， ＋ 。 。 ） 上是单 用【 Ｊ ］ ． 数学大世界． ２ ０ １ ２ （ １ １ ） ． ［ ３ 】 漆建 哲． 导数在 高 中数学解题 中的应用分析 ［ Ｊ ］ ． 语数 调递减的 ， 即ｆ ， （ ｘ ） ＜０ ， 所 以我们得 出， 对于区间［ １ ， ５ 】 在【 １ ， ３ 】 范 围 内ｆ ， （ ｘ ） ＞ ０ ， 即是递增 的 ， 在［ ３ ， ５ 】 范 围内 ｆ （ ｘ ） ＜０ ， 即是递减 的 ， 所 外学习． ２ ０ １ ３ （ ０ ７ ） ． 以在 ｘ ＝ ３ 处取得最 大值 ， 即ｆ ３ ） ＝ ６ ３ 。

高中数学教学中导数的应用分析

高中数学教学中导数的应用分析
也可以写成闭区间的形式 ，具体的解题思路及方法如下例题所示 ：例 ： 分析函数 ． 厂 （ ） ＝Ｘ ’ 一 ３ ｘ 在哪个区间为增函数 ，在哪个区间为减 函数 ？ 分析 ：在进行判断函数单调性时 ，首先可以对函数 厂 （ ） 进行求导让 ， 求解出不等式 广（ ） ＞ ０和 ． 厂 ’ （ ）＜０的解 ， 从而可以得到 ． 厂 ’ （ ） ＞０的解 为单调增函数区间 ， 而 广（ ）＜０ 的解为单调减 函数 区间。 解 题 ： 由 题 目 可 以 得 知 ， 厂 （ ） ＝ 一３ ｘ ， 所 以 厂 ’ （ ） ＝３ ｘ 一３ ＝３ （ ｘ一１ ） ＋１ ），设 厂 （ ） ＞０，则 可 以得 出 ＜ｌ 或者 Ｘ ＞ｌ，因 此 可 以 得 出 单 调 增 区 间 为 （ １ ， 扣） 和 （ 一， 一 １ ） 。 然 后 设 ｆ ’ （ ）＜Ｏ，则可 以得出 一 ｌ ＜ ＜ｌ，所以可以得出 ｆ （ ｘ １ 的单 调减区间 为 （ 一 １ ，１ ）． ４ ． ２函数在求解极值 中的应 用 在高中数学教学中，极值是高 中函数教学 中的难点也是重点，其涉及 到中学数学知识各个方面的运用。在解析函数最值问题时导数的应用不仅 能够简化解题过程， 而且步骤简单， 容易掌握 。 一般情况下 ， 如果函数 厂 （ ）
． ．
在闭区间 ｂ 】 上可导 ， 则， （ ） 在闭区间【 ｄ 上的最值求法分为两步就能够 完成 ： 第一步， 求 出函数 ｆ （ ｘ ） 在 （ ａ Ｊ ） ） 上的驻点 ， 第二步： 计算 厂 （ ｘ ） 在 驻点和端点的函数值， 然后进行 比 较可以得知，最小的为函数的最小值 ， 蜀 Ｉ 大的为函数的最大 值。这种方法还可以运用到函数图像中 ，因为在画函 数图像时也要求出函数的极值 ， 运用导数能够轻
．

导数在高中数学解题中的应用实践研究

导数在高中数学解题中的应用实践研究

导数是高中数学教学的一个重要知识点，作为微积分知识的重要基础组成，导数的概念和相关方法是解决函数问题、曲线线性方程问题等数学问题的重要方法选择。

因此，虽然导数是选修教学的组成部分，但是导数在数学解题方面的效用是十分明显的，要加强导数相关知识的认识，并且将其有效的应用到各种相关数学问题的解决过程中。

一、导数相关概念知识的梳理导数是指当自变量的增量无限趋近于零的时候，因变量的增量与自变量增量之间的极限关系。

实质上，导数从根本上就是一个求极限的过程。

导数在高中数学问题解决过程中，主要应用在函数问题和实际问题解决方面。

高中数学教师在数学教学过程中要有意识的对学生的导数概念、知识和相关应用进行引导，即便在教材安排方面，导数的教学是被放在选修里面，但是导数在数学问题解决方面的重要应用应当引起教师和学生的特别关注。

二、导数在高中数学解题过程中的具体应用实践分析（一）导数在高中函数问题解决方面的应用分析函数问题是高中数学教学的重要问题，并且函数问题涉及的范围很广，出题的形式多样，是很多学生在高中数学学习方面遇到的困难知识点。

不同的函数问题涉及到的解决方法是多种多样的，但是导数在函数问题解决方面的应用无疑是为学生更好的解答函数问题提供了一种新的途径和方式，并且与其他解题方法相比，导数解答函数问题显得更加简单、便捷。

1、导数在函数最值问题的应用最值问题是高中函数问题最常见的内容之一，不论是在平时的练习还是在考试中，最值问题都是必然要考到的问题。

导数在解决函数最值方面能够提供相对便捷和简单的解题方式。

其中二次函数的最值问题是最典型的、最常见的函数最值问题，与利用数形结合的方式来解答最值的方式相比，导数方法显得更加便捷和有效。

下面以一道例题说明导数在最值问题解答中的应用。

题目：已知函数f（x）=-x2-2x+3在[a，2]上的最大值为154，求a的值。

这是一道最值问题的变形，根本仍然是函数的最值问题。

如果利用图形结合或者是一元二次方程根的求解方式，这道题的解决是比较麻烦的。

高中数学一元函数的导数及其应用

高中数学一元函数的导数及其应用

高中数学一元函数的导数及其应用
一元函数的导数是描述函数变化率的一个重要概念，它在高中数学中占有重要地位。

本文将从以下几个方面来介绍一元函数的导数及其应用。

1. 导数的定义及其运算法则
首先，我们需要了解导数的定义及其运算法则。

导数的定义是：函数$f(x)$在$x_0$处的导数为$f'(x_0)=limlimits_{Delta
xto0}dfrac{f(x_0+Delta x)-f(x_0)}{Delta x}$。

而导数的运算法则包括：常数求导法则、和差求导法则、积法求导法则、商法求导法则、复合函数求导法则以及反函数求导法则等。

2. 导数的图像及其性质
导数的图像是很有特点的，对于一些数学问题，我们可以通过导数图像来解决。

在本文中，我们将介绍导数图像的性质，如导数曲线的斜率、升降区间、极值和拐点等。

3. 极值与最值问题
极值与最值问题是高中数学中的一个重要问题，它跟导数密切相关。

在本文中，我们将介绍如何通过导数来求得函数的极值与最值，并讲解极值与最值的应用。

4. 函数图像的绘制
函数图像的绘制是高中数学中的一个必修内容，它要求我们能够通过导数来判断函数的升降性、极值和拐点等，从而画出函数的图像。

在本文中，我们将介绍如何通过导数来刻画函数图像的特点，并讲解
函数图像的绘制方法。

总之，本文的目的是让读者对一元函数的导数及其应用有一个全面的认识，从而更好地掌握高中数学的相关知识。

高中数学函数求导公式的推导及应用实例

高中数学函数求导公式的推导及应用实例一、导数的基本概念在高中数学中，我们学习了函数的概念，函数的导数是函数在某一点处的变化率。

导数的概念是数学中非常重要的概念，它不仅在数学中有广泛的应用，也在其他学科中有着重要的地位。

二、导数的定义函数f(x)在点x处的导数定义为：$$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}$$其中，$\Delta x$表示自变量x的增量。

三、导数的计算为了更方便地计算导数，我们需要推导出一些常用的函数求导公式。

下面，我们将介绍一些常见的函数求导公式及其推导过程。

1. 常数函数对于常数函数f(x) = c，其中c为常数，它的导数为0。

这是因为常数函数在任意一点的变化率都为0。

2. 幂函数对于幂函数f(x) = x^n，其中n为正整数，它的导数为：$$f'(x) = n \cdot x^{n-1}$$这个公式可以通过导数的定义进行推导。

3. 指数函数指数函数f(x) = a^x，其中a为正实数且不等于1，它的导数为：$$f'(x) = a^x \cdot \ln a$$这个公式可以通过对数函数的导数公式进行推导。

4. 对数函数对数函数f(x) = \log_a x，其中a为正实数且不等于1，它的导数为：$$f'(x) = \frac{1}{x \cdot \ln a}$$这个公式可以通过指数函数的导数公式进行推导。

5. 三角函数常见的三角函数有正弦函数、余弦函数和正切函数。

它们的导数公式如下：$$\sin' x = \cos x$$$$\cos' x = -\sin x$$$$\tan' x = \sec^2 x$$这些公式可以通过三角函数的定义和导数的定义进行推导。

四、导数的应用实例导数在数学中有着广泛的应用，下面我们将通过一些实例来说明导数的应用。

探析导数在高中数学中的应用

取值 范 围。
导数 的学 习 ， 掌握其 基本 定 义和 原理 ， 能 够帮 助我 们解 决 多种 ｆ ＊ － ｌ ￣ 。本 文 通过 实例 说 明导 数的 具体作 用 ， 希 望能 够在 导数 的 学习和使 用 中起 到一 定作 用 ， 能 够让 学生 充分认 识到 导数 的重要 性和便 捷 性 。 关 键词 ： 高中数 学 ； 导数 ； 函数 ； 应用 中图分 类号 ： Ｇ ６ ３ ３
一
到实际 生活 中 ， 解 决 生活 中 的 问题 ， 为 以后 的学 习和 应 用 打下 坚 来 解决 极值 的 问题 ， 只不 过具 体 使 用 中 发生 灵 活 的 变 动 ， 但 是 最
实 的基 础 。
一
终 离不 开其 本质 和 目的 。下 面是 具体 的解析 过程 ： 解： （ １ ） ，（ ） ＝ ６ ｘ ＋ ６ ａ ｘ ＋ ３ ６ ， 因 为 函数 ， （ ） 在 ＝１ 及 ＝ ２
、
导数在 求 函数单 调性 中 的应用
在 高 中数 学 的学 习中 ， 我 们经 常会 遇 到判 断 某一 个 函 数单 调
性或者要求分析函数的单调区间问题 ， 通常我们是根据 函数的特 性， 画 出其 图形 来求 解 ， 但 是 过 程 比较 复杂 ， 学生也不容易掌握，
给教 学带 来 困难 。但 是 随着导 数在 高 中数 学 中的 出现 和应 用 ， 我
语 数外学 习
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２ ０ １ ３年第 ５期
探 析 导 数在 高 中 数 学 中的应 用
常利 军
（ 山南地 区第二 高级 中学， 西藏 山南 ８ ５ ６ ０ ０ ０ ）

导数公式在高中数学中的应用

导数公式在高中数学中的应用作者：胡海燕来源：《理科考试研究·高中》2014年第03期近年来高考考试大纲的考点，大部分试题与导数有着千丝万缕的关系.从导数引申出来的考点比重逐渐上升，使得导数与函数、微积分、复合函数、反函数、隐函数之间的共通性愈加明显，尤其是函数的导数和导函数，以及函数图象与导数特性的融合，导数和函数的考试范畴逐渐加大.为此，本文研究导数公式在高中数学中的应用具有重要的实践意义.高中理科之间互相都有融合渗透，因为在物理学、几何学、经济学等学科中，一些重要概念都可以用导数来表示.从理科高三接触的微积分来分析，显示的自变量和变量之间的关系可以看出它应用的身影.当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限.在一个函数存在导数时，称这个函数可导或者可微分.可导的函数一定连续，不连续的函数一定不可导，这甚至可以被认为高中与高等数学衔接中最基础的定义.高中导数公式的应用过程，是让学生感知瞬时变化率的过程.导数的概念和导数公式的应用，正是实现由初等函数正常推导的过程，是从中规范导数实践教学的过程，也是深度理解和认识导数的过程.一、用导数判断函数的单调性在平面直角坐标系中，导数代表的就是某条曲线在某一点处切线的斜率.判断函数的单调性，就可以根据一点处切线的斜率来判定，斜率都大于零，那么可以准确判断出其单调递增的特征.尤其是在简单的一次函数中，当曲线斜率为正时，函数单调递增，反之为负时就是单调递增.例1 求函数y=x3-3x+1的单调区间.解析 y=x3-3x+1，y′=3x2-3，当3x2-3=0，即x=±1时，y有极值=-1和3，因为：x=2时，y（2）=3，x=1时，y（1）=-1， x=0时，y（0）=1，x=-1时，y（-1）=3，x=-2时，y（-2）=-1，所以函数在（-∞，-1]单调递增，在[-1，1]单调递减，在[1，+∞）单调递增.在求解单调函数的递增性上，求解函数单调性，更可以显示导数的价值.在实际应用中，还可以延伸出导函数“二次型单调性问题求解”.二、用导数求曲线的切线基本初等函数的导数由12个常用导数衍生出来，成为推导的依据.导数的几何意义就是曲线在某点处的切线斜率，也就是常说的切线方程公式，除了强调曲线上的点外，还体现函数在某点处可导的充分不必要条件.导数在数学中解决的问题就是，以此助推求解曲线切线，其应用价值就体现在函数在某点处可导，曲线在某点处一定存在切线，但是曲线在某点存在切线，却未必可导的特性.例2 函数y=f（x）在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y=f（x）在点P（x0， y=f（x0））处的切线的斜率.在求解中，设曲线y=f（x）在点P（x0，y）处的切线的斜率是f ′（x0），相应的切线方程为y-y0=f ′（x0）（x-x0）.在该例题的切线方程求解中，就是根据导数所体现的几何意义来求解的.三、用导数求三角函数三角函数的导数关系、商数关系、平方关系、积化和差、双曲函数等都可以在简单的导数中发现事物的本质，进而衍生出新的解题策略.从sinθ=y/r；cosθ=x/r；tanθ=y/x；cotθ=x/y等基本三角公式出发，推导出复杂三角函数的求解之法.例3 由sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB导数公式，推导出三角函数积化和差，和差化积问题.首先画单位圆交x轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点.角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新角A′OD.A（cosα，sinα），B（cosβ，sinβ），A′（cos（α-β），sin（α-β）），OA′=OA=OB=OD=1，D（1，0）∴[cos（α-β）-1]2+[sin（α-β）]2=（cosα-cosβ）2+（sinα-sinβ）2和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换（a+b）/2与（a-b）/2）.四、用导数公式求周期函数例4 试求所有的a∈R，使得f（x）=sinx+sinax为周期函数.从函数周期定律f ′（x）为以T为周期的周期函数着手，且f（x）处处有定义，则f ′（x）当a=-1，0，1时f（x）分别为0，sinx，2sinx，均为周期函数，若a≠0，a2≠1的情况.当f（x）以T为周期时，f ′（x）=cosx+acosax，f ″（x）=-sinx-2asinax，那么f ″（x）也应以T为周期.于是sinx+sinax=sin（x+T）+sin（ax+aT），sinx+2asinax=sin（x+T）+2asin（ax+aT）对所有x∈R成立.两式相减，2a≠1，则sinax=sin（ax+aT），有sinx=sin（x+T）.于是aT=2kπ，T=2mπ，k，m∈Z，那么a=k/m为有理数，必要性得证.从实际来看上只要f（x）为以T为周期的周期函数，f ′（x）在其定义域内就是周期函数.在实际应用中，利用导数求解导函数还可以扩大为“不必让f ′（x）处处有定义，实际上只要f（x）为以T为周期的周期函数，f ′（x）在其定义域内就是周期函数.”五、结束语导数在数学中的应用价值，主要显现为运用导数来求解曲线的切线、函数单调性、函数极值，不仅便捷还省时.高中数学导数公式集中反映了导数公式应用思想.导数是两个无穷小变量比的极限，反映函数的变化率.导数的几何意义是曲线切线的斜率，在物理上体现瞬时速度.在结合课改和高中生身心发展现状时，要培养学生的辩证思想和掌握导数的变化趋势，成为导数应用领域必须关注的大事.这对于应用导数公式解决高中生日常数学难题，具有积极的指导作用.。

“导数”在高中数学解题中的一些应用

56学习版目前，在高中数学教学中，我们数学教师可以发现“导数”这部分内容近几年来一直是高考考查的内容,它主要是作为我们研究高中数学函数的一些性质的工具。

“导数”在高中数学中的引入应用,让我们数学教师解决一些问题,有了更加简捷的方法。

下面我结合自己的一些教学实例,浅谈“导数”在高中数学解题中的一些应用。

一、利用导数研究高中数学函数的单调性在高中数学教学中，如果在一个区间内,函数的导数>0,则在此区间内单调递增；如果在一个区间内,函数的导数<0,则在此区间内单调递减。

例1:证明f(x)==ln(1+x)-x+在(0,+∞)上单调递增。

证明:f'(x)=-1+x=∵x>0∴f'(x)>0∴f(x)在（0，+∞）上单调递增。

该例题利用导数研究函数的单调性没有什么难度,只要掌握导数对原函数的单调性的影响这个知识点就没问题了。

求解中我们数学教师可以看出对函数求导的掌握也是解题的一个关键所在。

求函数的导数极少单独命题,但是，在运用导数研究高中数学函数的过程中,求导数是首要的步骤,因而理解和掌握求导数的基本方法并能灵活运用十分重要。

在高中数学教学中，利用导数解决单调性问题的考查形式有时延伸为证明不等式,此类证明前提要构造函数。

例2:已知函数f(x)=ln 求证x ∈(0,1)时，f(x)>2(x+)。

证明：令g(x)=f(x）-2(x+)= ln-2(x+)，得g'(x)=+-2(1+x 2)=，∵x ∈(0,1)∴g'(x)>0∴g(x)在(0,1)上单调递增，从而有g(x)>g(0)=0所以x ∈(0,1)时，f(x)>2(x+)。

构造函数是解决导数问题重要的基本方法之一,但如何合理的构造函数,让问题能够顺利的解决成了这类问题的关键所在。

本例的函数的构造相对来说一目了然不等式左右两边的函数都是我们熟悉的函数,直接构造计算量是我们能接受范围内的,因此直接构造问题就迎刃而解。

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导数在高中数学解题中的应用高二年级数学组钱洪永摘要：导数作为高中新教材的新增内容之一，它给高中数学增添了新的活力，特别是导数广泛的应用性，为解决函数、切线、不等式、数列、实际等问题带来了新思路、新方法，为我们展现出了一道亮丽的风景线，也使它成为新教材高考试题的热点和命题新的增长点．这几年的高考命题趋势表明：导数已经由以往的“配角”地位上升到“主角”，成为分析问题和解决问题的重要工具．将导数与传统内容结合，不仅能加强能力的考查力度，而且也使试题具有更广泛的实践意义。

导数的思想方法在高中数学解题中是非常重要的，在解决许多问题上起到居高临下和以繁化简的作用。

文章着重运用导数的基本知识和理论，来解决高中数学里的函数的图像、单调性、最值等函数问题以及导数在研究方程的根上的运用，结合实例阐述了导数在代数问题，解析几何及实际问题的一些应用。

这对高中数学的教学具有一定的指导作用。

关键词：导数；高中数学；应用1引言导数是我们研究中学数学的一个有力工具，它使各个章节的内容联系的更加紧密，有助于我们对中学数学的深入学习。

数的工具性微积分作为一种强有力的数学工具的地位是毋庸置疑的,而导数则以它优良的性质、广泛的用途扮演了重要的角色.以中学数学为例导数作为一个交汇点,联结起了函数、方程、向量、数列、不等式、解析几何等内容;并为解决这些提供了统一、有章可循的方法。

导数在现行的高中数学教材中处于一种特殊的地位,在高中阶段学习函数时,为了理解函数的性态,学生主要学习函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、有界性等。

有利于学生更好地掌握函数思想数学上的许多问题,用初等数学方法是不能解决的,或者难以解决,而通过建立函数关系,利用函数思想,然后用导数来研究其性质,充分发挥导数的工具性和应用性的作用,可以轻松简捷地获得问题的解决。

高中新课程改革的背景下,导数知识作为高等数学微积分中的内容在高中课程中做铺垫,又对导数内容的教材进行了修改。

课程改革是导数知识在实践中经历了变化与发展的过程。

应用非常广泛，涉及到中学数学的各个方面。

我们应该把导数的工具作用发挥出来，在数学中应该加强导数的思想教学。

2文献综述2.1国内外研究现状在查阅到的文献资料中，大量学者对导数在高中数学中的应用有不同的见解，华东师范大学数学系．数学分析（上册）．第三版中提到导数在高中求极值问题； 陈应昌在文献[2]中讲述了在导数在高中数学中单调性的应用；郭金芝在文献[3]中讲述了导数在高中数学中求极值的应用；李汉云、张丽娟、窦宝权等人在文献[4]-[9]中谈到国导数在高中数学中利用导数求函数解析式和利用导数画函数图像以及利用导数在求切线解析式的应用；周国球在文献[10]中讲述了导数在高中数学解题中应注意的方面；王淑茂 ，吴永清文献[11]中讲述了导数应用的几个误区和怎样才能避免这些误区发生；肖志向、朱家俊文献[12]-[13]中用导数法证明了不等式和等式；秦学锋文献[14]讲述了在求和数列中的应用；张红文献[15]详细讲述了导数的发展。

2.2 国内外研究现状评价在查到的文献[1]-[15]中，作者分别从不同的方面说明导数的一些应用及应该注意的一些问题，但是都过于单调，不够完善，不能体现导数在高中数学的重要性及广泛性。

2.3提出问题以上文献针对导数在高中数学的重要性，从导数的基本定义在高中数学的应用，从导数的定义在高中数学中不同的应用，但不够完善，本文将导数在中学数学中的应用进行了一个综合，更能体现导数在高中数学中的重要性及广泛性。

3 预备知识导数的定义（1）导数第一定义：设函数 ()x f y = 在点0x 的某个邻域内有定义，当自变量x 在 0x 处有增量x ∆ (0x + x ∆ 也在该邻域内 ) 时，相应地函数取得增量 y ∆ = f ()x x ∆+0 - f (0x ) ；如果 y ∆ 与 x ∆ 之比当 x ∆→0 时极限存在，则称函数()x f y = 在点 0x 处可导，并称这个极限值为函数 ()x f y = 在点 x0 处的导数记为 ()0'x f ,即 ()()()()000dyx dy ,limlim'00000'x x x x x x x x dx dy y x x f x x f x yx f ===→∆→∆∆-∆+=∆∆=或也可记作为导数第一定义（2）导数第二定义：设函数 ()x f y = 在点 0x 的某个邻域内有定义，当自变量x 在 0x 处有变化x ∆()也在该领域内0x x - 时，相应地函数变化()()0x f x f y -=∆；如果 y ∆ 与 x ∆ 之比当0→∆x 时极限存在，则称函数()x f y = 在点 0x 处可导，并称这个极限值为函数 ()x f y = 在点 0x 处的导数记为 ()0'x f ,即()()()0'0limx x x f x f x f x x o --=→为导数第二定义（3）导函数与导数：如果函数 ()x f y = 在开区间I 内每一点都可导，就称函数()x f 在区间I 内可导。

这时函数 ()x f y = 对于区间I 内的每一个确定的x 值，都对应着一个确定的导数，这就构成一个新的函数，称这个函数为原来函数()x f y = 的导函数，记作()()dx x df dx dy x f y /,/,,''。

导函数简称导数。

4 导数在代数问题中的应用(1)利用导数求函数的解析式用解析式表示函数关系，便于研究函数的性质，而利用导数求函数的解析式，函数的一些基本性质就会显得更加的明了．例1.设函数d cx bx ax y +++=23的图像与y 轴交点为P 点，且曲线在P 点处的切线方程为0412=--y x ，若函数在2=x 处取得极值0，试确定函数的解析式．解：因为函数d cx bx ax y +++=23的图像与y 轴交点为P 点，所以P 点的坐标为()d ,0，又曲线在P 点处的切线方程为412-=x y ，P 点坐标适合方程，从而4-=d ，又切线斜率12=k ，故在0=x 处的导数120='=x y ，而c bx ax y ++='232，c y x ='=0，从而12=c ，又函数在2=x 处取得极值0，所以⎩⎨⎧=++=++．，020********b a b a 解得2=a ，9-=b ，所以所求函数解析式为4129223-+-=x x x y ．(2)利用导数求函数的值域求函数的值域是中学数学中的重点，也是难点，方法因题而异，不易掌握．但是，如果采用导数来求解，则较为容易，且一般问题都可行．例2.求函数212)(+-+=x x x f 的值域．分析 先确定函数的定义域，然后根据定义域判断)(x f '的正负，进而求出函数)(x f 的值域．解：显然，)(x f 定义域为[)∞+-，21，由于 12221222221121)(+++-+=+-+='x x x x x x x f ，又1222721222++++=+-+x x x x x ，可见当21->x 时，0)(>'x f ．所以212)(+-+=x x x f 在[)∞+-，21上是增函数．而26)21(-=-f ，所以函数212)(+-+=x x x f 的值域是),2/6[+∞-．(3)利用导数求函数的最（极）值求函数的最（极）值是高中数学的重点，也是难点，是高考经常要考查的内容之一，它涉及到了函数知识的很多方面，用导数解决这类问题可以使解题过程简化，步骤清晰，也容易掌握，从而进一步明确了函数的性态．一般地，函数)(x f 在闭区间[]b a ,上可导，则)(x f 在[]b a ,上的最值求法： (1) 求函数)(x f 在()b a ,上的极值点； (2) 计算)(x f 在极值点和端点的函数值；(3) 比较)(x f 在极值点和端点的函数值，最大的是最大值，最小的是最小值．例3.求函数x x x f 3)(3-=在[]233，-上的最大值和最小值． 分析 先求出)(x f 的极值点，然后比较极值点与区间端点的函数值，即可得该函数在区间[]233，-上的最大值和最小值． 解：由于)1)(1(3)1(333)(22-+=-=-='x x x x x f ，则当[)1,3--∈x 或(]23,1∈x 时，0)(>'x f ，所以[]13--，，[]231，为函数)(x f 的单调增区间；当()1,1-∈x 时，0)(<'x f ，所以[]11，-为函数)(x f 的单调减区间． 又因为18)3(-=-f ，2)1(=-f ，2)1(-=f ，9)23(-=f ，所以，当3-=x 时，)(x f 取得最小值18-；当1-=x 时，)(x f 取得最大值2．(4)利用导数作函数图像中学数学教材中介绍的描点法作函数图像, 作图比较粗糙不准确, 一般只适用于简单的函数, 但对比较复杂的函数就很难做出.现用导数的知识来作函数图像就相当的简便.作函数图像的一般步骤： （1） 求出函数的定义域；（2）考察函数的奇偶性、周期性；（3）求函数的一些特殊点, 如与两坐标轴的交点等(列表)； （4）确定函数的单调区间, 极值点, 凸性区间及拐点(列表)； （5）考察渐近线； （6）画图.例4.作函数2015623--+=x x x y 的图像. 解：(1) 函数的定义域),(+∞-∞ (2) 曲线与x , y轴交点分别为55(1,0),(20)22+-+---. (3) 令0)1)(5(3151232=-+=-+='x x x x y 解得1,5-=x 令0)2(6126=+=+=''x x y 解得2-=x(6) 作图：(5)在一些含位置参数的题中, 有我们通过运用导数之似乎可以化简函数, 从而更快速的求出参数.例 5.已知函数()22()2x af x x R x -=∈+在区间[-1, 1]上是增函数, 求实数a 的取值所组成的集合A .解：222222)2()2(2)2(224)(+---=+-+='x ax x x x ax x f 又()f x 在[-1, 1]上是增函数0)(≥'x f 对[]1,1-∈x 恒成立, 即022≤--ax x 对[]1,1-∈x 恒成立.设2)(2--=ax x x ϕ, 那么问题就等价于()()⎩⎨⎧≥-≤0101ϕϕ 即⎩⎨⎧≥-+≤--021021a a 故11≤≤-a 所以 {}11≤≤-=a a A(6)研究方程的根我们知道在解决一元二次方程根的时候通常会用到伟大定理, 但有很多关于方程根的问题如果仅仅用伟大定理来解决的话会显得很吃力, 并且找不着下手的方向.此时我们可以尝试用导数的方法来解决有关问题.例6.若3m >, 则方程0123=+-mxx x 在[]0,2上有多少根？ 解：设()123+-=mx x x f , 则()mxx x f 232-='当3m >且()2,0∈x 时, ()0<'x f ,故)(x f 在()0,2上单调递减, 而)(x f 在0x =与2x =处都连续, 且(0)10f =>,(2)940f m =-<故 )(x f 在[]0,2上只有一个根.导数有一个很好的作用就是降次, 我们可以三次函数降为更为熟悉的二次函数, 从而达到化简的目的.例7.(2005年山东卷)已知函数1x =是函数32()3(1)1f x mx m x nx =-+++的一个极值点, 其中,m n R ∈, 0m <.(1)求m 与n 的关系表达式； (2)求()f x 的单调区间；(3)当[1,1]x ∈-时, 函数()y f x =的图像上任意一点的切线斜率恒大于3m ,求m 的取值范围.分析：这类题目解决的关键在于深刻理解并灵活运用导数的知识, 第1小题根据极值点处导数为零, 可确定m 与n 的关系；第2小题求函数的单调区间可根据求导法得到, 列出表格, 答案一目了然；第3小题根据导数的几何意义结合一元二次函数的性质即可得到结论.解：(1) 2()36(1)3f x mx m x m n '=-+++由1x =是()f x 的一个极值点, 知(1)0f '=, 即36(1)0m m n -++=, 36n m ∴=+(2) 由(1), 得2()36(1)35f x mx m x m '=-+++23(1)[(1)]m x x m=--+ 由0m <知, 211x>+, 当x 变化时, ()f x 与()f x '的变化如下： 由上可知, ()f x 在区间(1,)+∞和(,1)m -∞+上递减,在区间(1,1)m+上递增. (3) 由已知得()3f x m '>,即22(1)20mx m -++>,即当11x -≤≤时,有2122(1)0x x m m-++<.① 设212()2(1)g x x x m m=-++,其函数开口向上,由题意①式恒成立,所以()()⎩⎨⎧<<-0101g g 即⎪⎩⎪⎨⎧<-<+++0102221m m 解之得, 43m -<,又0m <,所以403m -<<.即m 的取值范围为4(,0)3-.例8.（2012全国卷） 设函数()2--=ax e x f x (Ⅰ)求f(x)的单调区间(Ⅱ)若a=1，k 为整数，且当x>0时，1)()(++'-x x f k x >0，求k 的最大值 解：(Ⅰ)a e x f x -=')(当0≤a ，0)(>'x f ，)(x f 在),(+∞-∞是增函数；当0>a ，当)ln ,(a x -∞∈时，0)(<'x f ；当),(ln +∞∈a x 时，0)(>'x f所以)(x f 在)ln ,(a -∞是减函数，)(x f 在),(ln +∞a 是增函数(Ⅱ) a=1时，且当x>0时01)1)((1)()(>++--=++'-x e k x x x f k x xx e x k x +-+<⇔11)0(>x ；令x e x x g x +-+=11)(，2)1()2()(---='x x x e x e e x g 由(Ⅰ)知2)(--=x e x h x 在),0(+∞是增的，0)2(,0)1(><h h ，所以)(x h 在),0(+∞上存在唯一的零点，所以)(x g '在),0(+∞上存在唯一的零点设为a ，当),0(a x ∈时，0)(<'x g ；当),(+∞∈a x 时，0)(>'x g ，所以)(x g 在),0(+∞的最小值为)(a g 。