现代数字信号处理(王炳和)章 (2)

研究生教材内容介绍(1) 《数字信号处理——时域离散随机信号处理》丁玉美、阔永红等编450千字定价：22.00元本书在本科生学习完确定性数字信号处理的基础上，系统地介绍了时域离散随机信号处理的基本理论与分析方法。

全书共分七章，第一章时域离散随机信号分析是全书的理论基础。

第二、三章讲述了维纳滤波、卡尔曼滤波、自适应滤波等最佳滤波器。

第四章学习功率谱分析。

第五章介绍了一种非平稳随机数字信号地分析方法，即时频分析。

第六章讲述小波分析的基本原理及其应用。

本书在阐述基本理论的同时，也介绍了数字信号处理的新发展内容。

本书作为教材，选材少而精，努力做到深入浅出，说理详细，论述清楚。

为帮助读者深入理解书中的基本理论和基本分析方法，精选了例题，章后有习题，以及上机作业指导。

本书适合于作为理工科大学与信号处理有关专业的硕士研究生学位课或选修课的教材或参考书，也适合于教师、博士生和广大科技工作者自学与进修用。

(2) 《数字信号处理——时域离散随机信号处理》学习指导阔永红等编著198千字定价：10.00元本书是与研究生教材《数字信号处理——时域离散随机信号处理》配套的辅导用书。

该书在原教材的基础上，对各章内容进行了简单的总结，并指明了各章的内容要求。

为了配合书中的理论知识，作者精选了部分例题，并给出了书后习题的解答，最后，又给出了一些补充习题供同学练习。

参考《硕士学位全国统一考试大纲及指南》和其他院校《数字信号处理Ⅱ》的大纲，以及考虑到教材第五章《时频分析》和第六章《小波分析的基本原理和应用》都有专门的课程进行深入讨论，本书仅对教材的前四章内容进行了讨论，没有涉及后两章内容。

本书可供理工科研究生、高年级本科生阅读，也可作为从事相关专业的工程人员参考。

(3)《现代数字信号处理》王炳和等编著430千字定价：37.00元本书系统介绍了现代数字信号处理的主要内容和方法, 并对此领域内近十年来出现的新进展, 如高阶谱、时频分析与小波变换等也进行了讨论。

【最新整理，下载后即可编辑】第二章2.1 判断下列序列是否是周期序列。

若是，请确定它的最小周期。

（1）x(n)=Acos(685ππ+n )（2）x(n)=)8(π-ne j （3）x(n)=Asin(343ππ+n )解 (1)对照正弦型序列的一般公式x(n)=Acos(ϕω+n )，得出=ω85π。

因此5162=ωπ是有理数，所以是周期序列。

最小周期等于N=)5(16516取k k =。

（2）对照复指数序列的一般公式x(n)=exp[ωσj +]n,得出81=ω。

因此πωπ162=是无理数，所以不是周期序列。

（3）对照正弦型序列的一般公式x(n)=Acos(ϕω+n )，又x(n)=Asin(343ππ+n )＝Acos(-2π343ππ-n )＝Acos(6143-n π)，得出=ω43π。

因此382=ωπ是有理数，所以是周期序列。

最小周期等于N=)3(838取k k =2.2在图2.2中，x(n)和h(n)分别是线性非移变系统的输入和单位取样响应。

计算并列的x(n)和h(n)的线性卷积以得到系统的输出y(n)，并画出y(n)的图形。

(a)1111(b)(c)111110 0-1-1-1-1-1-1-1222222 3333444………nnn nnnx(n)x(n)x(n)h(n)h(n)h(n)21u(n)u(n)u(n)a n ===22解 利用线性卷积公式y(n)=∑∞-∞=-k k n h k x )()(按照折叠、移位、相乘、相加、的作图方法，计算y(n)的每一个取样值。

(a) y(0)=x(O)h(0)=1y(l)=x(O)h(1)+x(1)h(O)=3y(n)=x(O)h(n)+x(1)h(n-1)+x(2)h(n-2)=4,n ≥2 (b) x(n)=2δ(n)-δ(n-1)h(n)=-δ(n)+2δ(n-1)+ δ(n-2) y(n)=-2δ(n)+5δ(n-1)= δ(n-3) (c) y(n)= ∑∞-∞=--k kn k n u k u a)()(=∑∞-∞=-k kn a=aa n --+111u(n)2.3 计算线性线性卷积 (1) y(n)=u(n)*u(n) (2) y(n)=λn u(n)*u(n)解：(1) y(n)=∑∞-∞=-k k n u k u )()( =∑∞=-0)()(k k n u k u =(n+1),n ≥0 即y(n)=(n+1)u(n)(2) y(n)=∑∞-∞=-k k k n u k u )()(λ=∑∞=-0)()(k kk n u k u λ=λλ--+111n ,n ≥0即y(n)=λλ--+111n u(n)2.4 图P2.4所示的是单位取样响应分别为h 1(n)和h 2(n)的两个线性非移变系统的级联，已知x(n)=u(n), h 1(n)=δ(n)-δ(n-4), h 2(n)=a n u(n),|a|<1,求系统的输出y(n).解ω(n)=x(n)*h1(n)=∑∞-∞=k ku)([δ(n-k)-δ(n-k-4)] =u(n)-u(n-4)y(n)=ω(n)*h2(n)=∑∞-∞=k k k ua)([u(n-k)-u(n-k-4)]=∑∞-=3nk ka,n≥32.5 已知一个线性非移变系统的单位取样响应为h(n)=a n-u(-n),0<a<1 用直接计算线性卷积的方法，求系统的单位阶跃响应。

习题二1、求证：,()(,)x i j x i j xi xj R t t C t t m m =+。

证明：(,)(,)(,,,)x i j i j iji j i j i j R t t E x x x xp x x t t dx dx ==⎰⎰(,)[(),()](),()(,,,)()(,,,)(,)(,)i j i j j i i j i j j i i j i jx i j i x j x i x j x i j i j i ji j i x j x x x i j i j i j x i j x x x x x x x i j x x C t t E x m x m x m x m p x x t t dx dx x x x m x m m m p x x t t dx dx R t t m m m m m m R t t m m =--=--=--+=--+=-⎰⎰⎰⎰ 2、令()x n 和()y n 不是相关的随机信号，试证：若()()()w n x n y n =+，则w x y m m m=+和222w x y σσσ=+。

证明：(1)[()][()()][()][()]x ym E n E x n y n E x n E y n m m ωω==+=+=+ (2)2222222222[(())]{[()()()]}[(())(())][(())][(())]2[(())(())]2[]x y x y x y x y x y x y x y x y x y x yE n m E x n y n m m E x n m y n m E x n m E y n m E x n m y n m m m m m m m m m ωωσωσσσσ=-=+-+=-+-=-+-+--=++--+=+即222x y ωσσσ=+3、试证明平稳随机信号自相关函数的极限性质，即证明： ①当0τ=时，2(0),(0)x x x x R D C σ==； ②当τ=∞时,2(),()0x x x R m C ∞=∞=。

Chapter2 Wiener and Kalman Filters在许多实际应用中，无法直接获得所需的有用信号。

例如，在传输或测量信号)(n x 时，由于存在测量噪声或信道噪声)(n v ，则接收到的)(n y 与)(n x 不同。

为了从)(n y 中提取或恢复)(n x ，需设计一个Filter ，使其输出 )(ˆn x 逼近)(n x ，或说使)(ˆn x成为)(n x 的最佳估计，这样的Filter 也叫做最佳Filter 。

设计Filter 时，需要对)(n x 、)(n v 的统计特性有所了解。

设它们均为平稳随机过程的一个取样序列，其功率谱已知。

如果)(n v 和)(n x 的谱在频上是分离的，测设计一个具有恰当频率特性的线性Filter 就能效地抑制噪声，但往往)(n x 和)(n v 的谱相互重叠，这就复杂得多，而成为信号的最佳估计问题。

所谓“最佳”是以一定标准的准则来衡量的。

常有四种“最佳”的准则：最大后验准则，最大似然准则，均方准则，以及线性均方准则。

本章要讨论的这两种Filter 是按线性均方准则来衡量为最佳的，Wiener and Kalman 滤波广义地称为最小二乘方滤波。

即线性最小均方误差滤波。

§ 2.1 Wiener Filtering Problem 维纳滤波问题一、Wiener Filtering ：由前知：测量所得数据 )()()(n v n x n y +=则误差信号：)(ˆ)()(n xn x n e -= 或称估计误差。

按照均方误差最小：[])(min )(2n h n e E ⇒==ξ 做成Filter h(n)，使得误差信号的功率最小→维纳Filtering 。

则由上图：∑∑-=-=⨯=iii y i n h i n y i h n h n y n x)()()()()()()(ˆ二、Wiener Filtering Problems 的三种情况：1.Smoothing （平滑）用全部已知观测数据来估计信号)(n x估计n 时的数据：既用n 时刻以前的也用n 时刻以后的数据来估计。