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考点53 矩阵与变换
一、选择题
1.（2013·上海高考理科·T17）在数列{}n a 中，21n n a =-，若一个7行12列的矩阵的第i 行第j 列的元素,i j i j i j a a a a a =⋅++，（1,2,,7;1,2,,12i j ==）则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为（ ）
A.18
B.28
C.48
D.63
【解析】选 A.,21i j i j i j i j a a a a a +=⋅++=-，而2,3,,19i j +=，故不同数值个数为18个，选A ．
二、填空题
2.（2013·上海高考理科·T3）若2211
x x x y y y =--，则______x y += 【解析】2220x y xy x y +=-⇒+=．
【答案】0.
3.（2013·上海高考文科·T4）已知
1x 12=0，1x 1y =1，则y= . 【解析】11
1 2021 1
2 =-==⇒=-=y x y x x x x ，又已知 ,1,2==y x 联立上式，解得
【答案】 1.
三、解答题
4.（2013·江苏高考数学科·Ｔ21）已知矩阵A =1002-⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B =1206⎡⎤⎢⎥⎣⎦
,求矩阵1-A B . 【解题指南】先求出矩陈A 的逆矩陈再运算1A B -，主要考查逆矩阵、矩阵的
乘法, 考查运算求解能力.
【解析】设矩阵A 的逆矩阵为a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦则1002-⎡⎤⎢⎥⎣⎦a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=1001⎡⎤⎢⎥⎣⎦即22a b c d --⎡⎤⎢⎥⎣⎦=1001⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
故a=-1, b=0, c=0, d=12,从而 A 的逆矩阵为1A -=10102-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 所以1A B -=10102-⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎣⎦1206⎡⎤⎢⎥⎣⎦=1203--⎡⎤⎢⎥⎣⎦
5.（2013·福建高考理科·Ｔ21）已知直线1:=+y ax l 在矩阵1201A ⎛⎫= ⎪⎝⎭
对应的变换作用下变为直线1:'=+by x l
（I ）求实数b a ,的值
（II ）若点),(00y x P 在直线l 上，且⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0000y x y x A ，求点P 的坐标 【解析】（Ⅰ）设直线:1l ax y +=上任意一点(,)M x y 在矩阵A 对应的变换作用下的像是(,)M x y '''
由12201x x x y y y y '+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得2x x y y y '=+⎧⎨'=⎩ 又点(,)M x y '''在l '上，所以1x by ''+=，即(2)1x b y ++= 依题意121a b =⎧⎨+=⎩，解得11
a b =⎧⎨=-⎩ （Ⅱ）由0000x x A y y ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得000002x x y y y =+⎧⎨=⎩
解得00y = 又点00(,)P x y 在直线l 上，所以01x =
故点P 的坐标为(1,0).
