2.1曲线与方程PPT课件

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§2.1 曲线与方程

建系--设点----限制条件--代入坐标--化简证明
以上步骤用一句话概括就是:建设现(限)代化. ．．．．．．．．
典型例题
例4.已知线段AB, B点的坐标（6,0），A点在曲线 y=x2+3上运动，求AB的中点M的轨迹方程. y 解；设AB的中点M的坐标为（x，y）， y=x2+3 又设A（x1，y1），则
典型例题
例 1 已知一条直线 l 和它上方的一个点 F,点 F 到 l 的距离是 2.一条曲线也在 l 的上方,它上面的每一点到 F 的距离减去到 l 的距离的差都是 2,建立适当的坐标系,求这条曲线的方程.y源自.M( x, y )
B
(0 F., 2 )
0
l
x
练习
1.已知点 M 与 x 轴的距离和点 M 与点 F(0,4)的距离相等,求点 M 的轨迹方程. 解:设点 M 的坐标为(x,y) 建立坐标系 ∵点 M 与 x 轴的距离为 y , 设点的坐标
10 8
x +6 x = 1 2 y = y1 2
x1 = 2x - 6 ∴ y1 = 2y
6
A
4
点A（x1，y1）在曲线y=x2+3上，则 y1=x1
2+3
2
M
代入，得 2y=（2x-6）2+3
整理 ,得 AB的中点的轨迹方程为 y = 2 x - 3 +
√ √ 2.写出适合条件 P 的几何点集: √ 3.用坐标表示条件 ,列出方程 √ 4.化简方程为最简形式; √ 5.证明(查漏除杂).
P (M ) f ( x, y ) 0
P M P ( M )
; ;

2014年人教A版选修2-1课件 2.1 曲线与方程

第二章
圆锥曲线与方程
本章内容
2.1 曲线与方程 2.2 椭圆 2.3 双曲线 2.4 抛物线第二章小结
2.1.1 曲线与方程
2.1.2 求曲线的方程
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1. 什么是曲线的方程和方程的曲线? 曲线的方程应满足什么条件?
2. 怎样确定坐标平面上的某点在不在给定的曲线上?

问题1. 图中直线 l1 的方程是不是 y=|x|? 方程 x+y=1 (x>0) 是不是直线 l2 的方程? (1) l1 的方程不是 y=|x|. 因为方程的解有些不在直线 l1 上, 如: 点 (-1, 1), (-2, 2), …. (2) 方程 x+y=1 (x>0) 表示
y
l 1 -1 o -1
C
1
x
(2) 圆 C 上任一点的坐标都是方程 (x-1)2+y2=1 的解, 反之, 方程 (x-1)2+y2=1 的任一解为坐标的点都在
圆 C 上. 所以方程 (x-1)2+y2=1 表示的曲线是圆 C.
一般地, 在直角坐标系中, 如果某曲线 C (看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹) 上的点与一个二元方程 f(x, y)=0 的实数解建立了如下的关系: (1) 曲线上点的坐标都是这个方程的解; (2) 以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 那么, 这个方程叫做曲线的方程; 这条曲线叫做方程的曲线.
练习(补充)
1. 证明圆心在坐标原点, 半径等于 5 的圆的方程是 x2+y2=25, 并判断点 M1(3, -4)、M2( - 2 5 , 2) 是否在这个圆上.
2. 求方程 y=ax2+bx+c 的曲线经过原点的充要条件.

选修2-1课件2.1.1曲线与方程

R
M
O Q
x
图2.5 3
证明 1 如图 2 . 5 3 , 设 M x0 , y0 是轨迹上的任意一点.因为点 M 与 x 轴的距离为 | y0 |, 与y轴的距离为 | x0 |, 所以 | x0 | | y0 | k .
即x0 , y0 是方程 xy 的解.
2 设点M 1的坐标 x1 , y1
又如, 以a, b 为圆心、r 为半径的圆的方程是
y
x a 2 y b2 r 2

x a y b r 2 .这就是说, 如果M x0 , y0 是
2 2
Mx 0 , y0
x
圆上的点, 那么它到圆心 O 的距离一定等于半径, 即
积为常数 k k 0 的点的轨迹方程 .
2 2 2 2
y
x a 2 y b2 r 2

r 的解, 即 x0 a
Mx 0 , y0
x
y0 b 2 r 2 , 也就是 x0 a 2 y0 b 2
O
图2.5 2
r , 即以这个解为坐标的点到点 a, b 的距离为r , 它一定在以a, b 为圆心r为半径的圆上圆 2.5 2 .
2 2
图2.5 2
x0 a y0 b r , 2 2 也就是 x0 a y0 b r 2 , 这说明它的坐 2 2 2 标 x0 , y0 是方程 x a y b r 的解 ;
反过来, 如果 x0 , y0 是方程 x a y b
2 .1. 1 曲线与方程
前面我们研究了直线、圆、圆锥曲线的方程 , 讨论了这些曲线( 包括直线)和相应的方程的关系下面 . 进一步研究一般曲线( 包括直线 ) 和方程的关系.

课件3：2.1.1曲线与方程的概念

曲线与方程
1．曲线的方程与方程的曲线的定义
在平面直角坐标系中，如果曲线C与方程F(x，y)＝0 之间具有如下关系：
(1)曲线C上点的坐标都是方程F(x，y)＝0的解；
(2)以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C 上．那么，曲线C叫做方程F(x，y)＝0的曲线，方程 F(x，y)＝0叫做曲线C的方程．
以上两点说明了圆上的点与方程x02+y02=r2的解之间有一一对应关系.
我们知道，圆可以看成是一个动点M的运动轨迹，于是在坐标平面上，当圆上一个动点M沿着该圆圆周运动时，点M的坐标（x，y）随之点M的运动而变化，点M运动的轨迹可以用方程x02+y02=r2来表达.
学习新知
一般地，一条曲线可以看成动点依某种条件运动的轨迹，所以曲线的方程又常称为满足某种条件的点的轨迹方程.
【答案】B 【解析】因为点在曲线上等价于点的坐标满足曲线方程，因此把点的坐标代入方程逐一验证即可.
课堂训练（3）已知两圆x2＋y2－2x－3＝0和x2＋y2＋6y－1＝0，求它们的公共弦所在的直线方程．
解：设经过两圆交点的圆系方程为
x2＋y2－2x－3＋λ(x2＋y2＋6y－1)＝0，
当λ＝－1时，方程为x＋3y＋1＝0.该方程表示两圆公共弦所在的直线方程．
3．用集合的特征性质描述曲线如果曲线C的方程是F(x，y)＝0，则M(x，y)∈C⇔ F(x，y)＝0. 因此，方程F(x，y)＝0可以作为描述曲线C的特征性质．曲线C用集合的特征性质可描述为C＝{M(x， y)|F(x，y)＝0}．
例题解析
例已知两圆 C1：x2+y2+6x-16=0, C2：x2+y2-4x-5=0,

曲线与方程(两课时精品)

平面解析几何研究的主要问题是：
研
1.求曲线的方程; 2.通过方程研究曲线的性质.
2.1.2 求曲线的方程
一、直接法求曲线方程
例 1.设 A、B 两点的坐标是 (-1,-1)、(3,7), 求线段 AB 的垂直平分线的方程.
解:设 M(x,y)是线段 AB 的垂直平分线上的任一点,
“以这个方程的解为坐标的点都在曲线上”说明符合条件的点都在曲线上而毫无遗漏（完备性）。简记：符合条件的都在曲线上即：“数由形定”
2.方程的曲线与曲线的方程的关系: 点 P ( x0 , y0 ) 在方程的曲线 C 上点 P( x0 , y0 ) 的坐标是曲线的方程 f ( x, y ) 0 的解.

x
课堂小结
1.轨迹与轨迹方程是两个不同的概念，轨迹是指曲线，轨迹方程是指曲线的方程.求轨迹方程的本质，就是在给定的坐标系中，求轨迹上任意一点的横坐标与纵坐标之间的关系.
课堂小结
2.求已知类型的曲线方程，一般用待定系数法或直接法求解；求未知类型的曲线方程，有代入法、参数法、定义法等，其解法比较灵活，并且因题而异.
2.1.1 曲线与方程
问题1:坐标平面中第一、三象限的平分线L的方程是什么？
思考：如何理解两坐标轴所成的角位于第一、三象限的平分
线l的方程是x-y=0？
y
x-y=0
2 M（x,y) -2 -1 O -2 1 2 x
答：（1）直线l上的点的坐标都是方程x-y=0的解；
（2）以方程x-y=0的解为坐标的点都在直线上。
.M
B
( x, y )
(0, F. 2)
0
l
x
练习：如图,已知点 C 的坐标是(2 , 2) , 过点 C 直线 CA 与 x 轴交于点 A,过点 C 且与直线 CA 垂直的直线 CB 与 y 轴交于点 B,设点 M 是线段 AB 的中点,求点 M 的轨迹方程. y

曲线与方程课件

圆上点的坐标与方程的解建立了一一对应关系.
二、疑难点拨： 3.“曲线与方程”定义的理解
在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程 f x, y =0 的实数解建立了如下的关系：（1）曲线上点的坐标都是这个方程的解；（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 那么，这个方程叫曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线.
例2 证明与两条坐标轴的距离的积是常数k（k>0) 的点的轨迹方程是xy= k．请思考：证明该问题的理论依据是什么？
“曲线与方程” 的定义
证明已知曲线的方程的步骤是什么？
第一步，设M (x0 , y0)是曲线C上任一点，证明(x0 , y0)是 f(x , y)=0的解；第二步，设M1(x1, y1)是f(x , y)=0的任意一个解，证明点 M1 (x1 , y1)在曲线C上.
§2.1.1 曲线与方程
河师大附中宋超
一、问题反馈：
1.对数学中曲线的含义把握不准确； 2.不理解“曲线与方程”这个概念的构建过程； 3.对定义“曲线与方程”理解不到位.
二、疑难点拨： 1.曲线的含义
课本中，出现了“曲线（包含直线）”，直线是曲线吗？曲线：点的集合或适合某种条件的点的集合.
三、考一考：
例1 判断下列结论的正误，并说明理由. （1）过点A（3,0）且垂直于x 轴的直线的方程为x=3；（√）
（2）到 x 轴距离为5的点的轨迹方程为y=5；（×）
（3）到两坐标轴距离乘积等于10的点的轨迹方程为xy=10.（×）（4）过点A（2,0）平行于y轴的直线l的方程为|x|＝2. （×）
四、当堂检测：
1.已知曲线C的方程是f(x，y)＝0，记曲线C上的点的坐标构成的集合为C ，方程f(x，y)＝0 的解构成的集合为F，则集合C与F的关系为： _____________ . C=F

【数学】2.2.1 双曲线及其标准方程课件1(人教A版选修1-1)

( x c ) 2 y 2 ( x c ) 2 y 2 2a
( x c)
2
2Hale Waihona Puke 2y2 2a
2
( x c) y
2
2

2
cx a a ( x c) y
2
2 2 2 2 2 2
2
(c a ) x a y a (c a )
2 2
(4) 4 x 3 y 1
2 2
x2 y2 1 9 16
x y (5) 2 2 1(m 0) m m 1
2
2
请求出下列双曲线的 a、b、c和它们的焦点坐标。
x2 y 2 (1) 1 3 2
a 3, b 2, c 5 F1 ( 5, 0), F2 ( 5, 0)
（1）a=3,b=4，焦点在x轴上；
解：焦点在x轴上.
x2 y 2 可设所求双曲线方程为 2 2 1 a b
由题意得
a=3,b=4
x2 y 2 所求双曲线方程为 1 9 16
(2)求适合下列条件的双曲线的标准方程： a 2 5, 经过点A(2, 5), 焦点在y轴上；
解：焦点在y轴上.
可设所求双曲线方程为
a 2 5 由题意得： 25 4 2 2 1 b a
所求双曲线方程为
2
y2 x2 2 1 2 a b
解得 b 2 16
y x 1 20 16
2
（3）若a=6，c=10，焦点在坐标轴上。
解：
a 6, c 10 b c a 64
第二章圆锥曲线与方程 2.2.1 双曲线及其标准方程

2.1.1--曲线和方程课件

x y= k是的解，则x1y1= k,
即|x1| |y1|= k, 而|x1|，Iy 1l 正是点M1 到纵轴、横轴的距离，因此点M1到这两条直线的距离的积是常数 k，点M1是曲线上的点．
由(1)(2)可知，xy＝ k是与两条坐标轴的距离的
积为常数k(k>0)的点的轨迹方程．
归纳:
证明已知曲线的方程的方法和步骤
y
也就是xo2 +yo2 = 25. 即 (x0,y0) 是方程x2 +y2 = 25的解. (2)设 (x0,y0) 是方程x2 +y2 = 25的解，那么
5
·M 2
0
5x
·M 1
x02 +y02 = 25
两边开方取算术根，得
x02 y02 5,
பைடு நூலகம்
即点M (x0,y0)到坐标原点的距离等于5，点M (x0,y0)是这个圆上的一点.
得出关系：
（1）曲线圆上点M的坐标（x0,y0）都是方程
x2+y2=r2 的解;
（2）以方程 x2+y2=r2的解为坐标（x0,y0）的点
M都在圆上.
得出定义
给定曲线C与二元方程f（x，y）=0，若满足
（1）曲线上的点坐标都是这个方程的解
（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点
那么这个方程f（x，y）=0叫做这条曲线C的方程
曲线上任意一点到定圆圆心的距离一定等于定长
(xa)2(yb)2r2
条件
得出关系：
方程
y
(x-a)2+(y-b)2=r2 （1）曲线圆上点M的坐标（x0,y0）都是
方程 (xa)2(yb)2r2 的解

人教新课标版数学高二选修2-1课件曲线与方程

普通高中课程标准实验教科书数学选修2-1
2.1.1 曲线与方程
教学目标
1.了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系. 2.初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念. 3.学会根据已有的情境资料找规律，学会分析、判断曲线与方程的关系，强化“形”与“数”的统一以及相互转化的思想方法.
下图为卫星绕月球飞行示意图，据图回答下面问题：假若卫星在某一时间内飞行轨迹上任意一点到月球球心和月球表面上一定点的距离之和近似等于定值2a，视月球为球体，半径为R，你能写出一个轨迹的方程吗？
1 2345
解析答案
课堂小结
(1)判断点是否在某个方程表示的曲线上，就是检验该点的坐标是不是方程的解，是否适合方程.若适合方程，就说明点在曲线上；若不适合，就说明点不在曲线上. (2)已知点在某曲线上，可将点的坐标代入曲线的方程，从而可研究有关参数的值或范围问题.
返回
答案
探究点1 曲线与方程的概念应用例1 证明与两条坐标轴的距离的积是常数k(k>0)的点的轨迹方程是xy＝±k.
反思与感悟
解析答案
探究点2 曲线与方程关系的应用例2 如果曲线C上的点的坐标(x，y)都是方程F(x，y)＝0的解，那么( ) A.以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上 B.以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点有些不在曲线C上 C.不在曲线C上的点的坐标都不是方程F(x，y)＝0的解 D.坐标不满足F(x，y)＝0的点不在曲线C上
自主学习
知识点一曲线与方程的概念一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条
件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关
系：
(1) 曲线上点的坐标都是这个方程的解；

湖北省荆州市沙市第五中学人教版高中数学课件选修2-1 2-1-1曲线与方程

-1)x=0,3
【解题指南】解答本题,要注意题目中的隐含条件x-3≥0.
【解析】因为(x+y-1)( -1)=0,所以可得 x3
x y 或1者 0, -1=0,也就是x+y-1=0(x≥3)或x=4. 故方x 程3表示0 一条射线和一x 条3直线.
第二十页，编辑于星期日：十五点四十五分。
【拓展提升】
x1
x2
1 2
,
又∵A(x1,y1),B(x2,y2)都在x直1 x线2 y=x32+. 3上,
∴y1=x1+3,y2=x2+3,∴y2-y1=x2-x1,
第二十七页，编辑于星期日：十五点四十五分。
∴|AB|= x2 x1 2 y2 y1 2
= 2 x2 x1 2 2[ x1 x2 2 4x1x2]
1-|x|≥0即-1≤x≤1,
∴方程表示如图所示的两条线段.
第二十三页，编辑于星期日：十五点四十五分。
类型三曲线的交点问题
【典型例题】
1.若直线x-2y-2k=0与y=x+k的交点在曲线x2+y2=25上,则k的值是( )
A.1
B.-1
C.1或-1
D.以上都不对
2.求直线y=x+3被抛物线y=2x2截得的线段的长度.
∴ AB (1 3 )2 (2 9 )2 5 2 .
∴所截线段的长为 2
2
2
52
.
2
x
3， 2
y3).,992，
22
第二十六页，编辑于星期日：十五点四十五分。
方法二:设直线y=x+3与抛物线y=2x2的交点坐标为
A(x1,y1),B(x2,y2),则由方程组

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由(1),(2)可知， xyk是与两条坐标轴。的的积为常k(k数0)的点的轨迹方程。
2020年10月2日
9
归纳: 证明已知曲线的方程的方法和步骤
第一步，设 M (x0,y0)是曲线C上任一点，证明(x0,y0)是f(x,y)=0的解；
第二步，设(x0,y0)是 f(x,y)=0的解，证明点 M (x0,y0)在曲线C上.
2020年10月2日
13
练习4:设圆M的方程为(x3)2(y2)22,直线l
的方程为x+y-3=0, 点P的坐标为(2,1),那么( C )
A.点P在直线上，但不在圆上 B.点P在圆上，但不在直线上； C.点P既在圆上，也在直线上 D.点P既不在圆上，也不在直线上
练习5:已知方程 m2xn2y40的曲线经过
点 A (1,2)B ,(2,1),则 m =_____, n =______.
2020年10月2日
4
4
5
5
14
课外练习:
1“. 曲线 C 上的点的坐标都是方程 f (x, y) =0 的解”
是“方程 f (x, y) =0 是曲线 C 的方程”的（C ）条
件.
(A)充分非必要
(B)必要非充分
(C)充要
离乘积为1的点集其方程为y=
1
1
-1 0
x 1
x
-2 -1 0 1 2
x
-2 -1 0 1 2
⑴ 2020年10月2日
⑵
⑶
11
练习2:下述方程表示的图形分别是下图中的哪一个？
① x - y =0 ② |x|-|y|=0 ③ x-|y|=0
Y
Y
1
1
Y
Y
1
1
O
1X
A
O
1 X -1 O
在曲线C 上的充要条件是 f(x0, y0)=0
2020年10月2日
6
例1 :判断下列命题是否正确 (1)过点A（3，0）且垂直于x轴的直线的方程为︱x︱=3 (2)到x轴距离等于1的点组成的直线方程为y=1 (3)到两坐标轴的距离之积等于1的点的轨迹方程为︱xy︱=1 (4) △ABC的顶点A(0,-3)，B(1,0)，C(-1,0)， D为BC中点，则中线AD的方程x=0
（2）以方程x-y=0的解为坐标的点都
在 l上
∴说直线 l 的方程是 x y 0 ,又说方程 x y 0 的直线是 l .
2020年10月2日
3
思考?
圆心为C(a,b) ,半径为r的圆C的方程为:
(xa)2(yb)2r2
2020年10月2日
4
定义: 一般地,在直角坐标系中,如果某曲线C(看
解:(1)不正确，不具备(2)完备性，应为x=3,
(2)不正确,不具备(1)纯粹性，应为y=±1.
(3)正确.
(4)不正确,不具备(2)完备性,应为x=0(-3≤y≤0).
2020年10月2日
7
例2.证明与两条坐标轴的距离的积是常数k(k>0) 的点的轨迹方程是xy=±k.
证明： (1)如图，设 M ( x 0 , y 0 ) 是轨迹上的任意一点，
2.1 曲线与方程
2.1.1 曲线与方程
2020年10月2日
1
复习回顾:
我们研究了直线和圆的方程. 1.经过点P(0,b)和斜率为k的直线l的方程
为_____y___k_x___b
2.在直角坐标系中,平分第一、三象限的
直线方程是___x__-y__=_0______
3.圆心为C(a,b) ,半径为r的圆C的方程
因为点 M 与 x 轴的距离为 y 0 , 与 y 轴的距离为 x 0 , 所以 x 0 • y 0 k ,即 ( x 0 , y 0 ) 是方程 xy k 的解。
y
M
o
x
2020年10月2日
8
(2)设M 点 1的坐 (x1,标 y1)是方 xy程 k的解即 x1y1k,即 x1•y1k
而x1, y1正是点M1到纵轴、横轴的距离，因此点M1到两条直线的距离的是积常数k, 点M1是曲线上的点。
(D)既非充分也非必要
2.△ABC 的顶点坐标分别为 A(4, 3) ， B(2, 1) ，
C(5, 7)，则 AB 边上的中线的方程为___________.
3x 2 y 0(1≤ x ≤5)
2020年10月2日
15
2.1.2求曲线的方程（1）
1X O
1X
-1 -1
B
C
D
①表示 B ②表示 C ③表示 D
2020年10月2日
12
练习3:若命题“曲线C上的点的坐标满足方程
f(x,y)=0”是正确的,则下列命题中正确的是( D)
A.方程f(x,y)=0 所表示的曲线是C B.坐标满足 f(x,y)=0 的点都在曲线C上 C.方程f(x,y)=0的曲线是曲线C的一部分或是曲线C D.曲线C是方程f(x,y)=0的曲线的一部分或是全部
作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系:
(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解;
(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.
那么,这个方程叫做曲线的方程; 这条曲线叫做方程的曲线.
y
f(x,y)=0
说明:
0
x
1.曲线的方程—反映的是图形所满足的数量关系; 方2020程年10月的2日曲线—反映的是数量关系所表示的图形5 .
2.“曲线上的点的坐标都是这个方程的解” , 阐明曲线上没有坐标不满足方程的点，也就是说曲线上所有的点都符合这个条件而毫无例外.
（纯粹性）.
3.“以这个方程的解为坐标的点都在曲线上”, 阐明符合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏.
（完备性）.
由曲线的方程的定义可知:
如果曲线C的方程是 f(x,y)=0，那么点P0(x0 ,y0)
为___(_x___a_)_2___( _y__b__)2___r_2__.
为什么?
2020年10月2日
2
思考?
坐标系中,平分第一、三象限的直线方程是x-y=0
第一、三象限角平分线 l 点的横坐标与纵坐标相等条件
曲线
x=y（或x- y=0）方程
l y
x-y=0 含有关系：
0 x （1） l上点的坐标都是方程x-y=0的解
2020年10月2日
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练习1:下列各题中，下图各曲线的曲线方程是所列出的方程吗？为什么？
(1)曲线C为过点A(1，1)，B(-1，1)的折
线(如图(1))其方程为(x-y)(x+y)=0; 不是
(2)曲线C是顶点在原点的抛物线其方程
为x+ y =0;
不是
(3)曲线C是Ⅰ, Ⅱ象限内到x轴，y轴的距

2.1曲线与方程PPT课件

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