001_简谐运动及其运算

简谐运动速度如何计算公式简谐运动是指物体在受到恢复力作用下，沿着直线或者围绕着固定轴线作周期性的来回振动。

简谐运动在物理学中有着广泛的应用，比如弹簧振子、摆锤等等。

在简谐运动中，速度是一个非常重要的物理量，它可以帮助我们了解物体振动的特性和规律。

那么，简谐运动速度如何计算呢？下面我们就来详细介绍一下。

首先，我们需要了解简谐运动的基本特征。

在简谐运动中，物体的振动是周期性的，而且振动的加速度与位移成正比，速度与位移成正弦关系。

根据这些特征，我们可以得出简谐运动速度的计算公式。

简谐运动速度的计算公式如下：v = ω√(A^2 x^2)。

其中，v表示物体的速度，ω表示角频率，A表示振幅，x表示位移。

在这个公式中，角频率ω是描述简谐运动快慢的物理量，它的计算公式为：ω = 2πf。

其中，f表示简谐振动的频率。

振幅A表示物体振动时的最大位移，它是一个固定的值。

位移x表示物体当前的位移，它是一个随时间变化的物理量。

通过这个公式，我们可以计算出简谐运动中任意时刻物体的速度。

当位移为0时，速度达到最大值；当位移等于振幅时，速度为0；当位移等于振幅的负值时，速度达到最小值。

这与简谐运动速度与位移成正弦关系的特点是一致的。

除了使用上面的公式计算简谐运动速度外，我们还可以通过简谐运动的动能和势能来计算速度。

在简谐运动中，动能和势能之和保持不变，因此我们可以利用这一点来计算速度。

简谐运动的动能和势能分别为：动能K = 1/2mv^2。

势能U = 1/2kx^2。

其中，m表示物体的质量，v表示速度，k表示恢复力系数，x表示位移。

根据动能和势能守恒的原理，我们可以得到简谐运动速度的另一个计算公式：v = ωA√(1 (x/A)^2)。

这个公式与前面的公式是等价的，它们可以相互转换使用。

通过上面的介绍，我们可以看到，简谐运动速度的计算公式是非常简单的。

只要我们掌握了简谐运动的基本特征和动能势能守恒的原理，就可以轻松地计算出物体在简谐运动中的速度。

机械振动习题集同济大学机械设计研究所2004．91_简谐运动及其运算1-1求下列简谐函数的单边复振幅和双边复振幅 （1）)3sin(2πω+=t x （2）)410cos(4ππ+=t x （3）)452cos(3︒+=t x π1-2通过简谐函数的复数表示，求下列简谐函数之和。

（1）)3sin(21πω+=t x )32sin(32πω+=t x （2）t x π10sin 51=)410cos(42ππ+=t x（3）)302sin(41︒+=t x π )602sin(52︒+=t x π)452cos(33︒+=t x π)382cos(74︒+=t x π )722cos(25︒+=t x π答案：（1）)6.6cos(359.412︒+=t x ω （2）)52.4710cos(566.312︒-=t x π （3）)22.92cos(776.1412345︒+=t x π1-3试计算题1中)(t x 的一阶对数和二阶导数对应的复振幅，并给出它们的时间历程。

1-4设)(t x 、)(t f 为同频简谐函数，并且满足)(t f cx x b xa =++ 。

试计算下列问题 （1）已知)3712sin(10)(,25,6,5.1 +====πt x cb a ，求)(t f （2）已知)647sin(25)(,30,7,3 +====πt fc b a ，求)(t x 1-5简述同向异频简谐振动在不同频率和幅值下合成的不同特点。

1-6利用“振动计算实用工具”，通过变换频率和相位总结垂直方向振动合成的特点。

2_单自由度系统振动2-1请解释有阻尼衰减振动时的固有圆频率d ω为什么总比自由振动时的固有圆频率n ω小？ 答案：因为n d ωξω21-=，ξ<12-2在欠阻尼自由振动中，把ξ改成的时候，有人说曲线不过X 轴了，这种说法正确么，请说明理由？答案：ξ<1为小阻尼的衰减振动，当然过X 轴2-3在单自由度自由振动时候，给定自由振动时的固有圆频率n ω,阻尼系数ξ,初始位移0x ,以及初始速度0v ,利用本计算工具,请计算有阻尼衰减振动时的固有圆频率d ω.答案：如n ω2-4 如图2-1答案：T2=2-5 O 以角速度ω转动。

第1节简谐运动知识点一机械振动与简谐振动1．机械振动(1)机械振动：物体(或物体的某一部分)在某一位置两侧所做的往复运动，简称振动。

(2)平衡位置：物体能静止的位置(即机械振动的物体所围绕振动的位置)。

2．简谐运动(1)回复力：①概念：当物体偏离平衡位置时受到的指向平衡位置的力。

②效果：总是要把振动物体拉回至平衡位置。

(2)简谐运动：①定义：如果物体所受的力与它偏离平衡位置的位移大小成正比，并且总是指向平衡位置，则物体所做的运动叫做简谐运动。

②公式描述：F＝－kx(其中F表示回复力，x表示相对平衡位置的位移，k为比例系数，“－”号表示F与x方向相反)。

[总结拓展]1．弹簧振子应满足的条件(1)质量：弹簧质量比小球质量小得多，可以认为质量只集中于振子(小球)上。

(2)体积：弹簧振子中与弹簧相连的小球的体积要足够小，可以认为小球是一个质点。

(3)阻力：在振子振动过程中，忽略弹簧与小球受到的各种阻力。

(4)弹性限度：振子从平衡位置拉开的最大位移在弹簧的弹性限度内。

2．简谐运动的位移(1)定义：振动位移可用从平衡位置指向振子所在位置的有向线段表示，方向为从平衡位置指向振子所在位置，大小为平衡位置到该位置的距离。

(2)位移的表示方法：以平衡位置为坐标原点，以振动所在的直线为坐标轴，规定正方向，则某时刻振子偏离平衡位置的位移可用该时刻振子所在位置的坐标来表示。

3．简谐运动的回复力(1)由F＝－kx知，简谐运动的回复力大小与振子的位移大小成正比，回复力的方向与位移的方向相反，即回复力的方向总是指向平衡位置。

(2)公式F＝－kx中的k指的是回复力与位移的比例系数，而不一定是弹簧的劲度系数，系数k由振动系统自身决定。

4．简谐运动的速度(1)物理含义：速度是描述振子在平衡位置附近振动快慢的物理量。

在所建立的坐标轴(也称为“一维坐标系”)上，速度的正负号表示振子运动方向与坐标轴的正方向相同或相反。

(2)特点：如图1－1－1所示为一简谐运动的模型，振子在O 点速度最大，在A 、B 两点速度为零。

专题一：简谐运动及其图象知识点一：弹簧振子1.弹簧振子如图，把连在一起的弹簧和小球穿在水平杆上，弹簧左端固定在支架上，小球可以在杆上滑动。

小球滑动时的摩擦力可以忽略，弹簧的质量比小球的质量小得多，也可忽略。

这样就成了一个弹簧振子。

注意：①小球原来静止的位置就是平衡位置。

小球在平衡位置附近所做的往复运动，是一种机械振动。

②小球的运动是平动，可以看作质点。

③弹簧振子是一个不考虑摩擦阻力，不考虑弹簧的质量，不考虑振子（金属小球）的大小和形状的理想化的物理模型。

2.弹簧振子的位移——时间图象（1）振动物体的位移是指由平衡位置指向振子所在处的有向线段，可以说某时刻的位移。

说明：振动物体的位移与运动学中位移的含义不同，振子的位移总是相对于平衡位置而言的，即初位置是平衡位置，末位置是振子所在的位置。

因而振子对平衡位置的位移方向始终背离平衡位置。

（2）振子位移的变化规律（3）弹簧振子的位移－时间图象是一条正（余）弦曲线。

知识点二：简谐运动1.简谐运动如果质点的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律，即它的振动图象(x-t图象)是一条正弦曲线，这样的振动，叫做简谐运动。

简谐运动是机械振动中最简单、最基本的振动。

弹簧振子的运动就是简谐运动。

2.描述简谐运动的物理量（1）振幅（A）振幅是指振动物体离开平衡位置的最大距离，是表征振动强弱的物理量。

（2）周期（T）和频率（f）周期和频率的关系是：（3）相位（φ）相位是表示物体振动步调的物理量，用相位来描述简谐运动在一个全振动中所处的阶段。

3. 固有周期、固有频率简谐运动的周期只由系统本身的特性决定，与振幅无关，因此T叫系统的固有周期，f叫固有频率。

弹簧振子的周期公式：，其中m是振动物体的质量，k为弹簧的劲度系数。

4.简谐运动的表达式y=Asin（ωt+φ），其中A是振幅，，φ是t=0时的相位，即初相位或初相。

知识点三：简谐运动的回复力和能量1.回复力：使振动物体回到平衡位置的力。

第一节：初识简谐运动及简谐运动公式教学目标：1、知识与技能：（1）．知道什么是机械振动．知道简谐运动是最简单、最基本的振动．（2）．知道什么是简谐运动．掌握简谐运动回复力的特征．（3）．掌握在一次全振动过程中回复力、加速度、速度随偏离平衡位置的位移变化的规律（定性）2、过程与方法：通过实验与探究弹簧振子的运动特征，用实验的方法得出它的运动曲线，用形象直观的方法突破教学的重点与难点，让学生学会化难为易的解决问题的物理思维方法。

3、情感、态度与价值观：善于观察与思考是学习物理学的方法之一，培养学生学习思维的良好习惯。

教学过程：引入：前面我们已经学过：在平衡力作用下的匀速运动，在大小和方向都不变的恒力作用下的匀变速运动，在大小不变而方向改变的向心力作用下的匀速圆周运动．现在我们要学习在大小和方向都改变的力作用下的机械振动．1．机械振动（１）定义：物体在平衡位置附近所做的往复运动，叫做机械振动。

＜演示＞挂在弹簧下端的重物的上下振动．提问：为什么物体会做这样的运动呢？（引导学生从力的角度来分析，分析并得出回复力的概念．）（２）产生振动的条件：①每当物体离开平衡位置就会受到回复力的作用；②阻力足够小．（３）回复力：使振动物体回到平衡位置的力．注：①回复力是根据力的效果命名的．②实际来源：沿振动方向的合外力。

提问：振动是自然界中普遍存在的一种运动形式，请举例说明还有什么样的运动属于振动？（微风中树枝的颤动、心脏的跳动、钟摆的摆动、声带的振动……）跟研究其它的现象一样，研究振动现象也要从最简单、最基本的振动来着手．我们首先学习一种最简单、最基本的振动——简谐运动．2．简谐运动第一步，实例分析：弹簧振子（1）一种理想化模型：①杆光滑，阻力不计；②轻弹簧，弹簧质量不计．＜演示＞气垫弹簧振子的振动（2）运动规律：注：在研究机械振动时，我们把偏离平衡位置的位移简称为位移。

分析在一次全振动过程中振子的位移的变化、弹力的变化、加速度的变化、速度的变化。

机械振动习题集同济大学机械设计研究所2004．91_简谐运动及其运算1-1求下列简谐函数的单边复振幅和双边复振幅 （1）)3sin(2πω+=t x （2）)410cos(4ππ+=t x （3）)452cos(3︒+=t x π1-2通过简谐函数的复数表示，求下列简谐函数之和。

（1）)3sin(21πω+=t x )32sin(32πω+=t x （2）t x π10sin 51=)410cos(42ππ+=t x（3）)302sin(41︒+=t x π )602sin(52︒+=t x π)452cos(33︒+=t x π)382cos(74︒+=t x π )722cos(25︒+=t x π答案：（1）)6.6cos(359.412︒+=t x ω （2）)52.4710cos(566.312︒-=t x π （3）)22.92cos(776.1412345︒+=t x π1-3试计算题1中)(t x 的一阶对数和二阶导数对应的复振幅，并给出它们的时间历程。

1-4设)(t x 、)(t f 为同频简谐函数，并且满足)(t f cx x b xa =++ 。

试计算下列问题 （1）已知)3712sin(10)(,25,6,5.1 +====πt x cb a ，求)(t f （2）已知)647sin(25)(,30,7,3 +====πt fc b a ，求)(t x 1-5简述同向异频简谐振动在不同频率和幅值下合成的不同特点。

1-6利用“振动计算实用工具”，通过变换频率和相位总结垂直方向振动合成的特点。

2_单自由度系统振动2-1请解释有阻尼衰减振动时的固有圆频率d ω为什么总比自由振动时的固有圆频率n ω小？答案：因为n d ωξω21-=，ξ<12-2在欠阻尼自由振动中，把ξ改成0.9的时候，有人说曲线不过X 轴了，这种说法正确么，请说明理由？答案：ξ<1为小阻尼的衰减振动，当然过X 轴2-3在单自由度自由振动时候，给定自由振动时的固有圆频率n ω,阻尼系数ξ,初始位移0x ,以及初始速度0v ,答案：如n ω2-4 如图2-1答案：T 2=2-5 以角速度ω答案：22ωω-=mn2-6 如图2-3所示，具有与竖直线成一微小角β的旋转轴的重摆，假设球的重量集中于其质心C 处，略去轴承中的摩擦阻力，试确定仅考虑球的重量W 时，重摆微小振动的频率。

简谐运动的公式和定义简谐运动是物理学中非常重要的一类运动，它是指一个物体在受到恢复力作用下，沿着直线或曲线来回振动的运动。

简谐运动在自然界中广泛存在，例如摆钟的摆动、弹簧的振动等。

简谐运动有以下几个基本特点：1.平衡位置：简谐运动的物体有一个平衡位置，当外力消失时会保持在该位置上不动。

2.恢复力：简谐运动的物体受到一个与位移方向相反，与位移大小成正比的恢复力作用，它的作用是使物体回到平衡位置。

3.振幅：简谐运动的物体从平衡位置开始向任意一侧运动，到达最远的位置后即返回，这个最远的位置称为振幅，用A表示。

4.周期：简谐运动的物体从一个最大位移到下一个最大位移所需的时间称为周期，用T表示。

5.频率：简谐运动的物体每秒钟完成的周期数称为频率，用f表示，它与周期的倒数成正比关系。

x(t) = A * cos(ω * t + φ)其中，x(t)表示位移的大小，A为振幅，cos为余弦函数，ω为角速度，t表示时间，φ为初相位。

根据位移方程的形式，对简谐运动的定义可以有以下几种：1. 物理定义：简谐运动是指在恢复力作用下，物体的位移与时间的关系满足x(t) = A * cos(ω * t + φ)的运动。

2.数学定义：简谐运动是一种二次函数，其图象为一条余弦曲线或正弦曲线，其周期性是函数x(t)的基本特征。

3.力学定义：简谐运动是指恢复力与位移成正比，且恢复力的方向与位移相反的运动。

这里的恢复力可以是弹簧的弹力、引力、电磁力等。

f=1/T其中，f为频率，T为周期。

频率的单位是赫兹(Hz)，周期的单位是秒(s)。

ω=2πf其中，ω为角速度，f为频率。

角速度的单位是弧度/秒(rad/s)。

简谐运动对于许多物理现象的研究都有着重要的应用。

例如，简谐运动可以用来描述弹簧振子的振动、声音的传播、电磁波的传播等等。

在实际应用中，很多系统的运动都可以近似地看作简谐运动，例如机械振动、电路的交流电信号等等。

总结起来，简谐运动是一种很重要的物理运动，具有平衡位置、恢复力、振幅、周期和频率等基本特征。

物简谐运动定理所有公式嘿，咱们来聊聊物理中那个有趣的简谐运动定理以及相关公式！首先，咱们得弄清楚啥是简谐运动。

想象一下，一个小球在弹簧上欢快地蹦跶，一会儿往左，一会儿往右，它的运动就是简谐运动。

简谐运动有几个重要的公式。

比如，位移公式x = A sin(ωt + φ) ，这里的 A 是振幅，就是小球蹦跶的最大距离；ω 是角频率，决定了小球蹦跶的快慢；t 是时间；φ 是初相位，好比小球出发时的姿势。

还有速度公式v = ωA cos(ωt + φ) ，加速度公式 a = -ω²A sin(ωt+ φ) 。

我给您说个事儿，有一次我在课堂上讲简谐运动，有个学生一脸懵地问我：“老师，这简谐运动和我荡秋千有啥关系？”我一听，嘿，这孩子会思考！我就给他解释，荡秋千其实也可以近似看成简谐运动呀。

当你在秋千上，从最高处往低处荡的时候，速度越来越快，就像公式里速度在增大；而从低处往高处荡，速度又逐渐变小。

这孩子听完，眼睛一下子亮了，那种恍然大悟的表情，让我觉得教物理真是太有成就感啦！再来说说这些公式的应用。

比如说，一个单摆，我们通过测量它的周期 T ，就可以用公式T = 2π√(L/g) 来计算出摆长 L 或者当地的重力加速度 g 。

在实际生活中，简谐运动的例子可多啦。

像汽车减震器，就是利用简谐运动的原理来减少震动，让我们坐车更舒服。

还有乐器中的琴弦振动，也是简谐运动的表现。

学习简谐运动定理的公式，可不能死记硬背。

要多结合实际例子去理解，去感受其中的规律。

总之，简谐运动定理的公式虽然看起来有点复杂，但只要咱们用心去琢磨，多观察生活中的现象，就能轻松掌握。

就像那个对荡秋千好奇的学生一样，带着疑问去探索，总会发现物理的乐趣！希望您也能在简谐运动的世界里畅游，感受物理的奇妙！。

简谐运动简谐运动的表达式和图象Ⅱ1、机械振动：物体（或物体的一部分）在某一中心位置两侧来回做往复运动，叫做机械振动。

机械振动产生的条件是：（1）回复力不为零。

（2）阻力很小。

使振动物体回到平衡位置的力叫做回复力，回复力属于效果力，在具体问题中要注意分析什么力提供了回复力。

2、简谐振动：在机械振动中最简单的一种理想化的振动。

对简谐振动可以从两个方面进行定义或理解：（1）物体在跟位移大小成正比，并且总是指向平衡位置的回复力作用下的振动，叫做简谐振动。

（2）物体的振动参量，随时间按正弦或余弦规律变化的振动，叫做简谐振动，在高中物理教材中是以弹簧振子和单摆这两个特例来认识和掌握简谐振动规律的。

3、描述振动的物理量，研究振动除了要用到位移、速度、加速度、动能、势能等物理量以外，为适应振动特点还要引入一些新的物理量。

（1）位移x：由平衡位置指向振动质点所在位置的有向线段叫做位移。

位移是矢量，其最大值等于振幅。

（2）振幅A：做机械振动的物体离开平衡位置的最大距离叫做振幅，振幅是标量，表示振动的强弱。

振幅越大表示振动的机械能越大，做简揩振动物体的振幅大小不影响简揩振动的周期和频率。

（3）周期T：振动物体完成一次余振动所经历的时间叫做周期。

所谓全振动是指物体从某一位置开始计时，物体第一次以相同的速度方向回到初始位置，叫做完成了一次全振动。

（4）频率f：振动物体单位时间内完成全振动的次数。

（5）角频率：角频率也叫角速度，即圆周运动物体单位时间转过的弧度数。

引入这个参量来描述振动的原因是人们在研究质点做匀速圆周运动的射影的运动规律时，发现质点射影做的是简谐振动。

因此处理复杂的简谐振动问题时，可以将其转化为匀速圆周运动的射影进行处理，这种方法高考大纲不要求掌握。

周期、频率、角频率的关系是：。

（6）相位：表示振动步调的物理量。

现行中学教材中只要求知道同相和反相两种情况。

4、研究简谐振动规律的几个思路：（1）用动力学方法研究，受力特征：回复力F =－Kx；加速度，简谐振动是一种变加速运动。

简谐运动的证明与周期计算 徐汇区教师进修学院 张培荣 当物体所受回复力符合f ＝－kx 时，物体的运动就是简谐运动，简谐运动的周期为T ＝2m /k ，当物体运动的时间是周期的整数倍，或是由最大位移运动到平衡位置，就可以直接利用周期公式进行计算，如果不是这种情况，那就要利用单位圆来计算了，关于单位圆，我们另外写文章给大家介绍，这里就计算两个前一类的问题。

例1：一长列火车因惯性驶向倾角为的小山坡，当列车速度减到零时，列车一部分在山坡上，还有一部分仍在水平地面上，试求列车从开始上山到速度减到零所经历的时间，已知列车总长为L ，摩擦不计。

分析与解：在上山的过程中，设某时刻列车质量为M ，在山上的长度为x ，则列车所受的阻力为MxL g sin ，考虑到与运动方向相反，所以可以写成f ＝－Mx Lg sin ，它符合f ＝－kx ，其中k ＝M Lg sin ，那么列车的这段运动可以看成是简谐运动的一部分，刚好从最大速度位置运动到最大位移处，时间为四分之一周期，则t ＝T 4 ＝2 M k ＝2 ML Mg sin ＝2 Lg sin 。

例2：如果沿地球的直径挖一条隧道，求物体从此隧道一端释放到达另一端所需时间。

设地球是一个密度均匀的球体，其半径为R ，地面的重力加速度为g ，不考虑阻力。

分析与解：在运动过程中，设某时刻物体离地球球心为x ，地球质量为M ，我们可以把地球分成一个半径为x 的球体和一个内半径为x 、外半径为R 的球壳，球壳对壳内物体的万有引力为零，球体对球外物体的万有引力可以把球体看成质点，其质量集中于球心，此球的质量为：Mx 3R 3 则此时物体所受地球的万有引力指向地心，大小为F ＝G Mx 3R 3 m x 2 ＝G Mmx R3 ，考虑到力的方向与位移方向相反，所以F ＝－G Mmx R 3 ，它符合f ＝－kx ，其中k ＝GMm R 3，那么物体的运动是简谐运动，所求时间就是半个周期，则 t ＝T 2 ＝m k ＝mR 3GMm ＝R 3GM。

第三节简谐运动的公式描述简谐运动是一种特殊的周期性运动，它的公式描述可以使用正弦函数或者余弦函数来表示。

在简谐运动中，物体围绕平衡位置以固定的频率振动，振动的幅度保持不变，且运动轨迹为周期性的。

简谐运动的公式描述有以下几种形式：1. 位移公式：x(t) = A * cos(ωt + φ)其中，x(t)代表物体在时间t时刻的位移，A为振幅，ω为角频率，t为时间，φ为初相位。

2. 速度公式：v(t) = -A * ω * sin(ωt + φ)其中，v(t)代表物体在时间t时刻的速度。

3. 加速度公式：a(t) = -A * ω^2 * cos(ωt + φ)其中，a(t)代表物体在时间t时刻的加速度。

在上述的公式中，振幅A代表物体的最大位移，角频率ω代表单位时间内振动的周期数，初相位φ则决定了物体振动的起始位置。

通过这些公式，我们可以描述简谐运动的各种特性。

首先，振幅A决定了物体在简谐运动中的最大位移。

振幅越大，表示物体振动的幅度越大；振幅越小，表示物体振动的幅度越小。

其次，角频率ω决定了振动的频率，即单位时间内振动的周期数。

角频率越大，表示物体振动的频率越高；角频率越小，表示物体振动的频率越低。

初相位φ则决定了物体振动的起始位置。

当φ为零时，物体在平衡位置开始振动；当φ不为零时，物体将在偏离平衡位置的位置开始振动。

速度公式和加速度公式则描述了物体在简谐运动中的速度和加速度变化情况。

速度公式表明，在简谐运动中，物体的速度是按照正弦函数的形式进行变化的；加速度公式则表明，在简谐运动中，物体的加速度是按照余弦函数的形式进行变化的。

简谐运动的公式描述可以通过实验观察数据和理论推导得到。

在实验中，我们可以测量物体的运动轨迹、位移、速度和加速度，并通过这些数据来计算振幅、角频率和初相位等参数。

而在理论推导中，我们可以通过运动方程以及牛顿第二定律等原理，推导出简谐运动的公式描述。

总之，简谐运动的公式描述为x(t) = A * cos(ωt + φ)，其中x(t)为位移，A为振幅，ω为角频率，t为时间，φ为初相位。