高中物理.《简谐运动的图像和公式》教案教科版选修解析

《简谐运动的图像》一、教学三维目标（一）知识与技能1、知道振动图像的物理含义。

2、知道简谐运动的图像是一条正弦或余弦曲线。

3、能根据图象知道振动的振幅、周期和频率。

（二）过程与方法1、学会用图象法、列表法表示简谐运动位移随时间变化规律，提高运用工具解决物理问题的能力。

2、分析简谐运动图像所表示的位移，速度、加速度和回复力等物理量大小及方向变化的规律，培养抽象思维能力。

（三）情感态度与价值观1、描绘简谐运动的图像，培养学生认真、严谨、实事求是的科学态度。

2、从图像了解简谐运动的规律，培养学生分析问题的能力，以及审美能力（逐步认识客观存在着简洁美、对称美等）。

二、重点、难点、疑点及解决办法1、重点（1）简谐运动图像的物理意义。

（2）简谐运动图像的特点。

2、难点（1）用描点法画出简谐运动的图像。

（2）振动图像和振动轨迹的区别。

（3）由简谐运动图像比较各时刻的位移、速度、加速度和回复力的大小及方向。

3、疑点能用正弦（或余弦）图像判定一个物体的振动是否是简谐运动。

4、解决办法（1）通过对颗闪照相的分析，利用表格，通过作图比较，认识简谐运动的特点。

（2）复习数学中的正弦（或余弦）图像知识；比较几种典型运动（匀速直线运动，匀加速、匀减速直线运动）的图像与简谐运动图像的区别。

三、课时安排1课时四、教具、学具准备自制幻灯片、幻灯机（或多媒体课件）、音叉（带共鸣箱）（附小槌、灵敏话筒、示波器）。

五、学生活动设计1、学生观看多媒体课件，观察振子的简谐运动情况及其频闪照片、位移一时间变化表格。

2、学生根据表格画出s-t图3、学生分组讨论，确定振子在各时刻的位移、速度、回复力和加速度的方向。

六、教学步骤［导入新课］提问1、在匀速直线运动中，设开始计时的那一时刻位移为零，则运动的位移图像是一条什么线？ （是一条过原点的直线）2、在匀变速直线运动中，设开始计时的那一时刻位移为零，则运动的位移图像是一条什么线？（根据s＝at2,运动的位移图像是一条过原点的抛物线）那么，简谐运动的位移图像是一条什么线？［新课教学］多媒体课件（或幻灯）显示。

教学目标知识与技能：1、理解简谐运动图像的物理意义，知道简谐运动的图像是一条正弦或余弦曲线。

2、学会从图像中求出质点振动的有关物理量。

过程与方法：1、学习利用图像法表示简谐运动的位移随时间的变化规律，加深领悟用图像描绘运动的方法；提高学生运用数学工具解决物理问题的能力；2、通过利用图像得到的信息，例如判断物体的位移、速度、加速度等物理量的大小与方向的变化规律，培养学生的抽像思维能力。

情感、态度与价值观1、通过观察演示实验，亲身体验画出笔尖在各个时刻的位移图像，以及描绘简谐运动的图像，培养学生认真、严谨、实事求是的科学态度；2、进一步使学生掌握解决物理问题的两种方法：公式法和图像法。

教学重点1、简谐运动图像的物理意义和特点；2、简谐运动的图像对位移、周期、频率、加速度、回复力等运动情况的反映。

教学1、简谐运动位移——时间图像的建立及其物理意义；教学过程一、导入新课：1、从运动学的观点来看，简谐运动属于（ CD ）A匀速直线运动B匀变速直线运动C 变速运动D 变加速运动2、下列位移图像分别表示直线运动的质点做什么形式的运动？A 匀速直线运动B 加速直线运动思考回答图像法是研究物理问题的重要方法之一。

简谐运动物体的位移随时间在做周期性变化，位移与时间的关系也可以用图像和公式来表示。

引出新课内容。

简谐运动的图像和公式说课稿给位老师好：我叫武亚雄，来自首都师范大学。

今天我说课内容的题目是《简谐运动的图像和公式》。

下面我将围绕本节课“教什么“，“怎样教“，“为什么这样教“三个问题，从说教材，说学情，说教法，说学法，说教学过程，以及说板书设计六个方面加以说明。

教材分析：（一）教材所处的地位及前后联系：1）教材所处的地位及前后联系《简谐运动的图像和公式》是教科版选修3-4第一章《机械振动》第三节的内容。

本节的学习为下一章《机械波》的教学做铺垫，起着链条作用。

2）教学目标1. 知识与技能目标（1）．理解振动图像的物理意义（2）．通过利用图像获得信息（3）.理解简谐运动表达式（4）.通过实验法得到简谐运动的图像2. 过程与方法目标：通过探索图形的物理意义，培养学生的读图能力。

3. 情感与价值观目标：创设问题情景，激发学生观察、分析、探求问题的激情，强化学生参与意识及主体作用。

3）教学重点、难点本节课教学重点为：简谐运动图象的物理意义和特点；运用简谐运动的图象解决有关位移、周期、频率、加速度等问题。

本节课的难点为：用实验法描绘出简谐运动的图象；运用简谐运动的图象求解实际问题。

（二）学情分析本学段学生已通过相应阶段的数学学习，正弦或余弦曲线已有了一定的认识，初步掌握了正弦或余弦曲线的性质和特点，这有助于更好地学习本节内容。

（三）说教法物理学是一门以实验为基础，崇尚理性，重视逻辑推理的学科。

基于以上对教材、学情的分析和新课改的要求，本节课我们主要采用实验演示的方法，辅之以启发探究的方法，从而达到培养能力，养成良好学习态度的目的。

（四）说学法新课标强调以学生为主体，结合本节课的教学重难点，我确定本节课的学法为：自主探究法、合作交流法。

通过让学生对演示实验进行观察，同时利用已学知识，积极参与讨论总结规律，从而达到接受知识的目的，提高学生的观察、分析和逻辑思维能力。

（五）说教学过程1.导入创设情境。

引导学生回顾常见描述物体运动规律的方法，公式法和图像法。

《简谐运动的图像和公式》教学设计《《简谐运动的图像和公式》教学设计》这是优秀的教学设计文章，希望可以对您的学习工作中带来帮助！一、教学目标1.在物理知识方面的要求：(1)理解振动图象的物理意义;(2)利用振动图象求振动物体的振幅、周期及任意时刻的位移;(3)会将振动图象与振动物体在某时刻位移与位置对应，并学会在图象上分析与位移x有关的物理量。

(速度v，加速度a，恢复力F。

)2.观察砂摆(或弹簧振子)演示实验中拉动木板匀速运动，让学生学会这是将质点运动的位移按时间扫描的基本实验方法。

3.渗透物理方法的教育：提高学生观察、分析、实验能力和动手能力，从而让学生知道实验是研究物理科学的重要基础。

二、重点、难点分析1.重点：简谐运动图象的物理意义。

2.难点：振动图象与振动轨迹的区别。

三、教具演示弹簧振子实验：弹簧振子、塑料板、毛笔、墨水四、主要教学过程【引入新课】视频和图片：由地震危害讲到研究振动的必要性，研究振动有图像和公式方法。

质点做直线运动时，x-t图象形象地说明质点的位移随时间变化的规律。

若以质点的初始位置为坐标原点，x表示质点的位移。

提问1：初速度为零的匀加速直线运动物体的位移随时间变化规律如何?并画出位移-时间的图象。

(答案见图)。

提问2：x-t图象是抛物线，其图象的横纵坐标、原点分别表示什么?物体运动的轨迹是什么?答2：横轴表示时间;纵轴表示位移;坐标原点表示计时、位移起点。

物体运动的轨迹是直线。

物体做简谐运动，是周期性变化的运动，它的位移随时间变化的规律又是什么样的呢?这正是本节要解决的问题。

【教学过程设计】【视频一】：沙摆讲解：1、质点做的是直线运动，但它每时刻的位移都有所不同。

如何将不同时刻的位移分别显示出来呢?2、让砂摆振动，同时沿着与振动垂直的方向匀速拉动摆下的纸条让学生观察现象：原先成一条直线的痕迹展开成一条曲线。

【动画二】：弹簧振子【演示实验】：实验操作一、作图方法1、建坐标2、描点连线讨论图线：(请同学们相互讨论)1.图线的x、y轴(横、纵坐标)分别表示什么物理量?2.曲线是不是质点的运动轨迹?质点做的是什么运动?3.图象的物理意义是什么?4.这条图线的特点是什么?请同学回答，并讨论得出正确结果。

第一章 机械振动 第三节 简谐运动的图像和公式【学习目标】1. 掌握简谐运动的位移－时间图像。

2.自主学习，小组合作探究，知道简谐运动的表达式，明确各量表示的物理意义，了解相位、初相和相位差的概念。

3.激情投入，领会科学探究中严谨、务实、友好合作的精神和态度。

重点：理解简谐运动的位移－时间图像，区分振幅和位移 难点：根据简谐运动的表达式指出振幅、频率及相位．【课程内容标准】能用公式和图像描述简谐运动的特征。

【课前预习案】【使用说明&学法指导】1．同学们要先通读教材，然后依据课前预习案再研究教材；2．勾划课本并写上提示语，熟记基础知识，用红笔标注疑问，并填写到后面“问题反馈”。

3.限时15分钟，独立完成 （一）教材助读 一、简谐运动的图像1．坐标系的建立：以横轴表示做简谐运动的物体运动的______，纵轴表示做简谐运动的物体运动过程中相对________的位移x. 2．图像的特点：一条_____曲线3．图像意义：表示做简谐运动的物体在任意时刻相对于平衡位置的_____． 4.图1-3-4，振动周期是__________，振幅是__________。

1s 末的位移________。

1.5s 末的位移是________。

二、简谐运动的公式、相位及相位差 1．简谐运动的表达式为x ＝Asin(ωt ＋φ)＝____________或x ＝Asin(2πft ＋φ) 一般表达式为：x ＝Asin ⎝⎛⎭⎫2πT t ＋φ.式中 ①x 表示振动质点相对于_________的位移，t 表示振动时间． ②A 表示简谐运动的_______．③⎝⎛⎭⎫2πT t ＋φ或（2πft ＋φ）代表简谐运动的相位，t ＝0时的相位φ，叫做_______，简称_____． 2．当两个摆长相同的单摆，从平衡位置拉开后，相隔不同时间放开，它们的振动步调将不相同，即它们各时刻的相位也就不同，或者说二者振动具有___ ___．（二）预习自测1.判断(1)简谐运动的图像就是振动物体的运动轨迹.( )(2)物体运动的方向可以通过简谐运动图像的走势来判断.( )(3)位移越大，速度越小，在最大位移处，速度为零，加速度也为零.( ) 2．关于简谐运动的周期,频率,振幅,下列说法中哪些是正确的( ) A ．振幅是矢量,方向从平衡位置指向最大位移处图1－3－3B ．周期和频率的乘积是一个常数C ．振幅增加,周期也必然增加,而频率减小D ．频率与振幅有关3.有两个简谐运动的振动方程：则下列说法中正确的是( )A ．它们的振幅相同B ．它们的周期相同C ．它们的相差恒定D ．它们的振动步调一致 4．如图的是一个质点做简谐运动的振动图象,从图中可以知道( ) A ．在t=0时,质点位移为零,速度和加速度也零B ．在t=4s 时,质点的速度最大,方向沿y 轴的负方向C ．在t=3s 时,质点振幅为-5cm,周期为4sD ．无论何时,质点的振幅都是5cm, 周期都是4s【问题反馈】：请将你在预习本节中遇到的问题写在下面。

简谐运动的图像和公式[目标定位] 1.知道所有简谐运动的图像都是正弦(或余弦)曲线.2.会根据简谐运动的图像找出物体振动的周期和振幅，并能分析有关问题.3.理解简谐运动的表达式，能从该表达式中获取振幅、周期(频率)、相位、初相等相关信息．一、简谐运动的图像1．坐标系的建立：以横坐标表示时间，纵坐标表示位移，描绘出简谐运动中振动物体离开平衡位置的位移x 随时间t 变化的图像，称为简谐运动的图像(或称振动图像)．2．图像形状：严格的理论和实验都证明所有简谐运动的运动图像都是正弦(或余弦)曲线． 3. 由简谐运动图像，可找出物体振动的周期和振幅．想一想 在描述简谐运动图像时，为什么能用薄板移动的距离表示时间？答案 匀速拉动薄板时，薄板的位移与时间成正比，即x ＝vt ，因此，一定的位移就对应一定的时间，这样匀速拉动薄板时薄板移动的距离就能表示时间．二、简谐运动的表达式x ＝A sin(ωt ＋φ)其中ω＝2πT ，f ＝1T，综合可得x ＝A sin(2πTt ＋φ)＝A sin(2πft ＋φ)．式中A 表示振动的振幅，T 和f 分别表示物体振动的周期和频率．物体在不同的初始位置开始振动，φ值不同． 三、简谐运动的相位、相位差 1．相位在式x ＝A sin(2πft ＋φ)中，“2πft ＋φ”这个量叫做简谐运动的相位．t ＝0时的相位φ叫做初相位，简称初相．2．相位差指两振动的相位之差．一、对简谐运动图像的认识 1．形状：正(余)弦曲线 2．物理意义表示振动质点在不同时刻偏离平衡位置的位移，是位移随时间的变化规律． 3．获取信息(1)简谐运动的振幅A 和周期T ，再根据f ＝1T求出频率．(2)任意时刻质点的位移的大小和方向．如图1－3－1所示，质点在t 1、t 2时刻的位移分别为x 1和－x 2.图1－3－1图1－3－2(3)任意时刻质点的振动方向：看下一时刻质点的位置，如图1－3－2中a 点，下一时刻离平衡位置更远，故a 此刻质点向x 轴正方向振动．(4)判断质点的速度、加速度、位移的变化情况：若远离平衡位置，则速度越来越小，加速度、位移越来越大；若靠近平衡位置，则速度越来越大，加速度、位移越来越小． 注意：振动图像描述的是振动质点的位移随时间的变化关系，而非质点运动的轨迹．比如弹簧振子沿一直线做往复运动，其轨迹为一直线，而它的振动图像却是正弦曲线．图1－3－3【例1】 如图1－3－3所示为某物体做简谐运动的图像，下列说法中正确的是( ) A ．由P →Q ，位移在增大 B ．由P →Q ，速度在增大 C ．由M →N ，位移先减小后增大 D ．由M →N ，加速度先增大后减小解析 由P →Q ，位置坐标越来越大，质点远离平衡位置运动，位移在增大而速度在减小，选项A 正确，选项B 错误；由M →N ，质点先向平衡位置运动，经平衡位置后又远离平衡位置，因此位移先减小后增大，由a ＝F m ＝－kx m可知，加速度先减小后增大，选项C 正确，选项D 错误．答案 AC借题发挥 简谐运动图像的应用(1)可以从图像中直接读出某时刻质点的位移大小和方向、速度方向、加速度方向、质点的最大位移．(2)可比较不同时刻质点位移的大小、速度的大小、加速度的大小．(3)可以预测一段时间后质点位于平衡位置的正向或负向，质点位移的大小与方向，速度、加速度的大小和方向的变化趋势．针对训练1 一质点做简谐运动，其位移x 与时间t 的关系图像如图1－3－4所示，由图可知( )图1－3－4A ．质点振动的频率是4 HzB ．质点振动的振幅是2 cmC ．t ＝3 s 时，质点的速度最大D ．在t ＝3 s 时，质点的振幅为零解析 由题图可以直接看出振幅为2 cm ，周期为4 s ，所以频率为0.25 Hz ，所以选项A 错误，B 正确；t ＝3 s 时，质点经过平衡位置，速度最大，所以选项C 正确；振幅等于质点偏离平衡位置的最大位移，与质点的位移有着本质的区别，t ＝3 s 时，质点的位移为零，但振幅仍为2 cm ，所以选项D 错误． 答案 BC二、简谐运动的表达式与相位、相位差做简谐运动的物体位移随时间t 变化的表达式x ＝A sin(2πft ＋φ)1．由简谐运动的表达式我们可以直接读出振幅A ，频率f 和初相φ.可根据T ＝1f求周期，可以求某一时刻质点的位移x .2．关于两个相同频率的简谐运动的相位差Δφ＝φ2－φ1的理解 (1)取值范围：－π≤Δφ≤π.(2)Δφ＝0，表明两振动步调完全相同，称为同相． Δφ＝π，表明两振动步调完全相反，称为反相． (3)Δφ>0，表示振动2比振动1超前． Δφ<0，表示振动2比振动1滞后．【例2】 一个小球和轻质弹簧组成的系统按x 1＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫8πt ＋π4cm 的规律振动． (1)求该振动的周期、频率、振幅和初相．(2)另一简谐运动的表达式为x 2＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫8πt ＋54πcm ，求它们的相位差．解析 (1)已知ω＝8π rad/s ，由ω＝2πT 得T ＝14s ，f ＝1T ＝4 Hz.A ＝5 cm ，φ1＝π4.(2)由Δφ＝(ωt ＋φ2)－(ωt ＋φ1)＝φ2－φ1得，Δφ＝54π－π4＝π.答案 (1)14 s 4 Hz 5 cm π4(2)π针对训练2 有两个振动，其表达式分别是x 1＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πt ＋π3cm ，x 2＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πt ＋π6cm ，下列说法正确的是( ) A ．它们的振幅相同B ．它们的周期相同C ．它们的相位差恒定D ．它们的振动步调一致解析 由简谐运动的公式可看出，振幅分别为4 cm 、5 cm ，故不同；ω都是100π rad/s ，所以周期(T ＝2πω)都是150 s ；由Δφ＝(100πt ＋π3)－(100πt ＋π6)＝π6得相位差(为π6)恒定；Δφ≠0，即振动步调不一致． 答案 BC简谐运动的图像图1－3－51．如图1－3－5表示某质点简谐运动的图像，以下说法正确的是( ) A ．t 1、t 2时刻的速度相同B．从t1到t2这段时间内，速度与位移同向C．从t2到t3这段时间内，速度变大，位移变小D．t1、t3时刻的回复力方向相反解析t1时刻振子速度最大，t2时刻振子速度为零，故A不正确；t1到t2这段时间内，质点远离平衡位置，故速度、位移均背离平衡位置，所以二者方向相同，则B正确；在t2到t3这段时间内，质点向平衡位置运动，速度在增大，而位移在减小，故C正确；t1和t3时刻质点在平衡位置，回复力为零，故D错误．答案BC图1－3－62．装有砂粒的试管竖直静立于水面，如图1－3－6所示，将管竖直提起少许，然后由静止释放并开始计时，在一定时间内试管在竖直方向近似做简谐运动．若取竖直向上为正方向，则如图所示描述试管振动的图像中可能正确的是( )解析试管在竖直方向上做简谐运动，平衡位置是在重力与浮力相等的位置，开始时向上提起的距离，就是其偏离平衡位置的位移，为正向最大位移．故正确答案为D.答案 D简谐运动的表达式3．一弹簧振子A的位移y随时间t变化的关系式为y＝0.1sin 2.5πt，位移y的单位为m，时间t的单位为s.则( )A．弹簧振子的振幅为0.2 mB．弹簧振子的周期为1.25 sC．在t＝0.2 s时，振子的运动速度为零D ．若另一弹簧振子B 的位移y 随时间变化的关系式为y ＝0.2 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2.5πt ＋π4，则振动A 滞后B π4解析 由振动方程为y ＝0.1 sin2.5πt ，可读出振幅A ＝0.1 m ，圆频率ω＝2.5π，故周期T ＝2πω＝2π2.5π＝0.8 s ，故A 、B 错误；在t ＝0.2 s 时，振子的位移最大，故速度最小，为零，故C 正确；两振动的相位差Δφ＝φ2－φ1＝2.5πt ＋π4－2.5πt ＝π4，即B 超前A π4，或说A 滞后B π4，选项D 正确．答案 CD4．物体A 做简谐运动的振动方程是x A ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100t ＋π2 m ，物体B 做简谐运动的振动方程是x B ＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100t ＋π6 m ．比较A 、B 的运动( )A ．振幅是矢量，A 的振幅是6 m ，B 的振幅是10 m B ．周期是标量，A 、B 周期相等，都为100 sC ．A 振动的频率f A 等于B 振动的频率f BD ．A 的相位始终超前B 的相位π3解析 振幅是标量，A 、B 的振动范围分别是6 m,10 m ，但振幅分别为3 m,5 m ，A 错；A 、B 的周期均为T ＝2πω＝2π100 s ＝6.28×10－2s ，B 错；因为T A ＝T B ，故f A ＝f B ，C 对；Δφ＝φA－φB ＝π3，为定值，D 对．答案 CD题组一 简谐运动的图像1．关于简谐运动的图像，下列说法中正确的是( ) A ．表示质点振动的轨迹是正弦或余弦曲线B ．由图像可判断任一时刻质点相对平衡位置的位移大小与方向C ．表示质点的位移随时间变化的规律D ．由图像可判断任一时刻质点的速度方向解析 振动图像表示位移随时间的变化规律，不是运动轨迹，A 错，C 对；由振动图像可判断质点位移和速度大小及方向，B 、D 正确． 答案 BCD2．如图1－3－7所示是一做简谐运动的物体的振动图像，下列说法正确的是( )图1－3－7A ．振动周期是2×10－2sB ．第2个10－2s 内物体的位移是－10 cm C ．物体的振动频率为25 Hz D ．物体的振幅是10 cm解析 振动周期是完成一次全振动所用的时间，在图像上是两相邻极大值间的距离，所以周期是4×10－2s ．又f ＝1T，所以f ＝25 Hz ，则A 项错误，C 项正确；正、负最大值表示物体的振幅，所以振幅A ＝10 cm ，则D 项正确；第2个10－2s 的初位置是10 cm ，末位置是0，根据位移的概念有x ＝－10 cm ，则B 项正确． 答案 BCD图1－3－83．一质点做简谐运动的振动图像如图1－3－8所示，则该质点( ) A ．在0～0.01 s 内，速度与加速度同向 B ．在0.01 s ～0.02 s 内，速度与回复力同向 C ．在0.025 s 时，速度为正，加速度为正 D ．在0.04 s 时，速度最大，回复力为零解析 F 、a 与x 始终反向，所以由x 的正负就能确定a 的正负．在x －t 图像上，图线各点切线的斜率表示该点的速度，由斜率的正负又可确定v 的正负，由此判断A 、C 正确． 答案 AC4．图1－3－9甲所示为以O 点为平衡位置，在A 、B 两点间做简谐运动的弹簧振子，图乙为这个弹簧振子的振动图像，由图可知下列说法中正确的是( )图1－3－9A．在t＝0.2 s时，弹簧振子可能运动到B位置B．在t＝0.1 s与t＝0.3 s两个时刻，弹簧振子的速度相同C．从t＝0到t＝0.2 s的时间内，弹簧振子的动能持续地增加D．在t＝0.2 s与t＝0.6 s两个时刻，弹簧振子的加速度相同答案 A图1－3－105．如图1－3－10所示是某一质点做简谐运动的图像，下列说法正确的是( )A．在第1 s内，质点速度逐渐增大B．在第1 s内，质点加速度逐渐增大C．在第1 s内，质点的回复力逐渐增大D．在第4 s内质点的动能逐渐增大E．在第4 s内质点的势能逐渐增大F．在第4 s内质点的机械能逐渐增大解析在第1 s内，质点由平衡位置向正向最大位移处运动，速度减小，位移增大，回复力和加速度都增大；在第4 s内，质点由负向最大位移处向平衡位置运动，速度增大，位移减小，动能增大，势能减小，但机械能守恒，选项B、C、D正确．答案BCD6．一个弹簧振子沿x轴做简谐运动，取平衡位置O为x轴坐标原点．从某时刻开始计时，经过四分之一周期，振子具有沿x轴正方向的最大加速度．能正确反映振子位移x与时间t 关系的图像是( )解析 根据F ＝－kx 及牛顿第二定律得a ＝F m ＝－k mx ，当振子具有沿x 轴正方向的最大加速度时，具有沿x 轴负方向的最大位移，故选项A 正确，选项B 、C 、D 错误． 答案 A图1－3－117．图1－3－11为甲、乙两单摆的振动图像，则( )A ．若甲、乙两单摆在同一地点摆动，则甲、乙两单摆的摆长之比l 甲∶l 乙＝2∶1B ．若甲、乙两单摆在同一地点摆动，则甲、乙两单摆的摆长之比l 甲∶l 乙＝4∶1C ．若甲、乙两摆摆长相同，且在不同的星球上摆动，则甲、乙两摆所在星球的重力加速度之比g 甲∶g 乙＝4∶1D ．若甲、乙两摆摆长相同，且在不同的星球上摆动，则甲、乙两摆所在星球的重力加速度之比g 甲∶g 乙＝1∶4解析 由图像可知T 甲∶T 乙＝2∶1，若两单摆在同一地点，则两摆长之比为l 甲∶l 乙＝4∶1；若两摆长相等，则所在星球的重力加速度之比为g 甲∶g 乙＝1∶4. 答案 BD8．如图1－3－12甲、乙所示为一单摆及其振动图像，由图回答：图1－3－12(1)单摆的振幅为________，频率为________，摆长约为________；图中所示周期内位移x 最大的时刻为____________．(2)若摆球从E 指向G 为正方向，α为最大摆角，则图像中O 、A 、B 、C 点分别对应单摆中的________点．一个周期内加速度为正且减小，并与速度同方向的时间范围是________．势能增加且速度为正的时间范围是________．解析 (1)由纵坐标的最大位移可直接读取振幅为 3 cm.从横坐标可直接读取完成一个全振动的时间即周期T ＝2 s ，进而算出频率f ＝1T ＝0.5 Hz ，算出摆长l ＝gT24π2＝1 m.从题图中看出纵坐标有最大值的时刻为0.5 s 末和1.5 s 末．(2)题图中O 点位移为零，O 到A 的过程位移为正，且增大，A 处最大，历时14周期，显然摆球是从平衡位置E 起振并向G 方向运动的，所以O 点对应E 点，A 点对应G 点．A 点到B 点的过程分析方法相同，因而O 、A 、B 、C 点对应E 、G 、E 、F 点．摆动中EF 间加速度为正，靠近平衡位置过程中速度逐渐减小且加速度与速度方向相同，即从F 到E 的运动过程对应题图中C 到D 的过程，时间范围是1.5 s ～2 s ．摆球远离平衡位置势能增加，即从E 向两侧摆动，又因速度为正，显然是从E 到G 的过程．对应题图中为O 到A 的过程，时间范围是0～0.5 s.答案 (1)3 cm 0.5 Hz 1 m 0.5 s 末和1.5 s 末 (2)E 、G 、E 、F 1.5 s ～2 s 0～0.5 s 题组二 简谐运动的表达式与相位、相位差9．有一个弹簧振子，振幅为0.8 cm ，周期为0.5 s ，初始时具有负方向最大加速度，则它的振动方程是( )A ．x ＝8×10－3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4πt ＋π2mB ．x ＝8×10－3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4πt －π2mC ．x ＝8×10－1sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πt ＋32πmD ．x ＝8×10－1sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4πt ＋π2m解析 ω＝2πT ＝4π，当t ＝0时，具有负向最大加速度，则x ＝A ，所以初相φ＝π2，表达式为x ＝8×10－3·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4πt ＋π2m ，A 对．答案 A10．某质点做简谐运动，其位移随时间变化的关系式为x ＝A sin π4t ，，则质点( )A ．第1 s 末与第3 s 末的位移相同B ．第1 s 末与第3 s 末的速度相同C ．第3 s 末与第5 s 末的位移方向相同D ．第3 s 末与第5 s 末的速度方向相同解析 根据x ＝A sin π4t 可求得该质点振动周期为T ＝ 8 s ，则该质点振动图像如右图所示，图像的斜率为正表示速度为正，反之为负，由图可以看出第1 s 末和第3 s 末的位移相同，但斜率一正一负，故速度方向相反，选项A 正确，B 错误；第3 s 末和第5 s 末的位移方向相反，但两点的斜率均为负，故速度方向相同，选项C 错误，D 正确． 答案 AD11．一个质点做简谐运动的图像如图1－3－13所示，下列叙述中正确的是( )图1－3－13A ．质点的振动频率为4 HzB ．在10 s 内质点经过的路程为20 cmC ．在5 s 末，质点做简谐运动的相位为32πD ．t ＝1.5 s 和t ＝4.5 s 两时刻质点的位移大小相等，都是 2 cm解析 由振动图像可直接得到周期T ＝4 s ，频率f ＝1T＝0.25 Hz ，故选项A 错误；一个周期内做简谐运动的质点经过的路程是4A ＝8 cm,10 s 为2.5个周期，故质点经过的路程为20cm ，选项B 正确；由图像知位移与时间的关系为x ＝A sin(ωt ＋φ0)＝0.02sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2t m.当t＝5 s 时，其相位ωt ＋φ0＝π2×5＝52π，故选项C 错误；在1.5 s 和4.5 s 两时刻，质点位移相同，与振幅的关系是x ＝A sin 135°＝22A ＝ 2 cm ，故D 正确． 答案 BD图1－3－1412．如图1－3－14所示，一弹簧振子在M 、N 间沿光滑水平杆做简谐运动，坐标原点O 为平衡位置，MN ＝8 cm.从小球经过图中N 点时开始计时，到第一次经过O 点的时间为0.2 s ，则小球的振动周期为________s ，振动方程为x ＝________cm .解析 从N 点到O 点刚好为T 4，则有T 4＝0.2 s ，故T ＝0.8 s ；由于ω＝2πT ＝5π2，而振幅为4 cm ，从最大位移处开始振动，所以振动方程为x ＝4cos 5π2t cm.答案 0.8 4cos 5π2t13.图1－3－15如图1－3－15所示为A 、B 两个简谐运动的位移－时间图像．请根据图像写出：(1)A 的振幅是________ cm ，周期是________ s ；B 的振幅是________cm ，周期是________s.(2)这两个简谐运动的位移随时间变化的关系式； (3)在时间t ＝0.05 s 时两质点的位移分别是多少？解析 (1)由图像知：A 的振幅是0.5 cm ，周期是0.4 s ；B 的振幅是0.2 cm ，周期是0.8 s. (2)由图像知：t ＝0时刻A 中振动的质点从平衡位置开始沿负方向振动，φ＝π，由T ＝0.4 s ，得ω＝2πT＝5π.则简谐运动的表达式为x A ＝0.5sin(5πt ＋π) cm.t ＝0时刻B 中振动的质点从平衡位置沿正方向已振动了14周期，φ＝π2，由T ＝0.8 s 得ω＝2πT ＝2.5π，则简谐运动的表达式为x B ＝0.2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2.5πt ＋π2cm.(3)将t ＝0.05 s 分别代入两个表达式中得：x A ＝0.5sin(5π×0.05＋π) cm ＝－0.5×22cm ＝－24 cm ，x B ＝0.2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2.5π×0.05＋π2cm ＝0.2sin 58π cm. 答案 (1)0.5 0.4 0.2 0.8 (2)x A ＝0.5sin(5πt ＋π)cm ，x B ＝0.2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2.5πt ＋π2cm (3)x A ＝－24 cm ， x B ＝0.2sin 58π cm.14．有一弹簧振子在水平方向上的B 、C 之间做简谐运动，已知B 、C 间的距离为20 cm ，振子在2 s 内完成了10次全振动．若从某时刻振子经过平衡位置时开始计时(t ＝0)，经过14周期振子有正向最大加速度．图1－3－16(1)求振子的振幅和周期；(2)在图1－3－16中作出该振子的位移—时间图像； (3)写出振子的振动方程．解析 (1)x BC ＝20 cm ，t ＝2 s ，n ＝10，由题意可知：A ＝x BC 2＝20 cm2＝10 cm ，T ＝t n ＝2 s10＝0.2 s.(2)由振子经过平衡位置开始计时经过14周期振子有正向最大加速度，可知振子此时在负方向最大位移处．所以位移—时间图像如图所示．(3)由A ＝10 cm ，T ＝0.2 s ，ω＝2πT＝10π rad/s ，故振子的振动方程为x ＝10sin(10πt＋π)cm.答案 (1)10 cm 0.2 s (2)如解析图所示(3)x ＝10sin(10πt ＋π)cm。

3．简谐运动的图像和公式学习目标知识脉络1.掌握简谐运动的位移——时间图像．(重点、难点)2．知道简谐运动的表达式、明确各量表示的物理意义．(重点)3．了解相位、初相和相位差的概念．4．能用公式描述简谐运动的特征．(重点、难点)简谐运动的图像[先填空]1．坐标系的建立在简谐运动的图像中，以横轴表示质点振动的时间，以纵轴表示质点偏离平衡位置的位移．2．物理意义表示做简谐运动质点的位移随时间变化的规律．3．图像的特点是一条正弦(或余弦)曲线．4．从图像中可以直接得到的信息(1)任意时刻质点偏离平衡位置的位移；(2)振动的周期；(3)振动的振幅．[再判断]1．简谐运动图像反映了物体在不同时刻相对平衡位置的位移．(√)2．振动位移的方向总是背离平衡位置．(√)3．振子的位移相同时，速度也相同．(×)4．简谐运动的图像都是正弦或余弦曲线．(√)[后思考]1．简谐运动的图像是否是振动物体的运动轨迹？【提示】不是．简谐运动的图像是描述振动物体的位移随时间变化的规律，并不是物体的运动轨迹．2．简谐运动中振动物体通过某一位置时，加速度和速度方向是否一致？【提示】不一定．振动物体通过某一位置时，加速度方向始终指向平衡位置，但速度方向可能指向平衡位置，也可能背离平衡位置，故加速度和速度方向不一定一致．1．图像含义表示某一质点不同时刻的位移；简谐运动图像不是做简谐运动的物体的运动轨迹．2．图像斜率该时刻速度的大小和方向．3．判断规律(1)随时间的延长，首先得到质点相对平衡位置的位移情况．(2)任意时刻质点的振动方向：看下一时刻质点的位置，如图1­3­1中a点，下一时刻离平衡位置更远，故a此刻向上振动．图1­3­1(3)任意时刻质点的速度、回复力、加速度的变化情况及大小比较：看下一时刻质点的位置，判断是远离还是靠近平衡位置，如图1­3­1中b点，从正位移向着平衡位置运动，则速度为负且增大．回复力方向与位移方向相反，总指向平衡位置，t 轴上方曲线上各点回复力取负值．t 轴下方曲线上各点回复力取正值，回复力大小和位移成正比，离平衡位置越远，回复力越大．加速度变化步调与回复力相同．1．一质点做简谐运动，其位移x 与时间t 的关系曲线如图所示，由图1­3­2可知( )图1­3­2A ．质点振动频率是4 HzB ．t ＝2 s 时，质点的加速度最大C ．质点的振幅为2 cmD ．t ＝2 s 时，质点的位移是2 cmE ．从t ＝0开始经过3 s ，质点通过的路程是6 cm【解析】 由图像知：质点的周期是4 s ，频率是14Hz ，A 错；t ＝2 s 时，质点的加速度最大，B 对；由图线知质点的振幅为2 cm ，C 对；t ＝2 s 时，质点的位移是－2 cm ，D 错；从t ＝0开始经过3 s ，质点通过的路程s ＝3A ＝6 cm ，E 正确．【答案】 BCE2．弹簧振子做简谐运动的振动图像如图1­3­3所示，则( )图1­3­3A ．t ＝0时，质点位移为零，速度为零，加速度为零B ．t ＝1 s 时，质点位移最大，速度为零，加速度最大C．t1和t2时刻振子具有相同的速度D．t3和t4时刻振子具有相同的加速度E．t2和t3时刻振子具有相同的速度【解析】t＝0时刻，振子位于平衡位置O，位移为零，加速度为零，但速度为最大值，选项A错误；t＝1 s时，振子位于正向最大位移处，位移最大，加速度最大，而速度为零，选项B正确；t1和t2时刻振子位于正向同一位置，t1时刻是经此点向正方向运动，t2时刻回到此点向负方向运动，两时刻速度大小相等，但方向相反，所以速度不相同，选项C 错误；t3和t4时刻振子位移相同，即处在同一位置，因此有大小相等、方向相同的加速度，选项D正确；t2和t3时刻振子速度的大小和方向都相同，E正确．【答案】BDE3．如图1­3­4所示为质点P在0～4 s内的振动图像，下列叙述正确的是( )【导学号：18640006】图1­3­4A．再过1 s，该质点的位移是正的最大B．再过1 s，该质点的速度沿正方向C．再过1 s，该质点的加速度沿正方向D．再过1 s，该质点加速度最大E．再过2 s，质点回到平衡位置【解析】将图像顺延续画增加1 s，质点应在正最大位移处，故A、D正确．再过2 s 质点回到平衡位置，E正确．【答案】ADE简谐运动图像的应用技巧1．判断质点任意时刻的位移大小和方向质点任意时刻的位移大小看质点离开平衡位置距离的大小即可，也可比较图像中纵坐标值的大小．方向由坐标值的正负判断或质点相对平衡位置的方向判断．2．判断质点任意时刻的加速度(回复力)大小和方向由于加速度(回复力)的大小与位移大小成正比，方向与位移方向相反，所以只要从图像中得出质点在任意时刻的位移大小和方向即可．简 谐 运 动 的 公 式 表 达[先填空]1．简谐振动的一般表达式为x ＝A sin (2πTt ＋φ)．(1)x 表示振动质点偏离平衡位置的位移，t 表示振动时间． (2)A 表示简谐运动的振幅．(3)2πTt ＋φ叫简谐振动的相位．初始时刻t ＝0时的相位为φ，叫做初相位．简称初相．(4)圆频率(也叫角频率)：ω＝2πT＝2πf .2．如果两个简谐运动的频率相等，其初相位分别为φ1和φ2，当φ2＞φ1时，它们的相位差是φ2－φ1.(1)若φ2－φ1＝0，称之为同相． (2)若φ2－φ1＝π，称之为反相． [再判断]1．x ＝A sin ωt 中的A 为振幅是矢量．(×)2．简谐运动的位移表达式与计时时刻物体所在位置无关．(×) 3．一个物体运动时其相位变化2π，就意味着完成一次全振动．(√)4．简谐运动的表达式x ＝A sin(ωt ＋φ)中，ωt ＋φ的单位是弧度．(√) [后思考]1．有两个简谐运动：x 1＝3a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4πbt ＋π4和x 2＝9a sin ⎝⎛⎭⎪⎫8πbt ＋π2，它们的振幅之比是多少？频率各是多少？【提示】 它们的振幅分别为3a 和9a ，比值为1∶3；频率分别为2b 和4b . 2．简谐运动的相位差Δφ＝φ2－φ1的含义是什么？【提示】 两个简谐运动有相位差，说明其步调不相同，例如甲和乙两个简谐运动的相位差为32π，意味着乙总比甲滞后34个周期或34次全振动．1．根据表达式画振动图像(1)根据x ＝A sin (2πTt ＋φ)找出振幅A 和振动周期T ；(2)令t ＝0，找出初始时刻的位移x (x 的正、负要有明确表示)； (3)选好标度，画出正弦函数图像． 2．根据图像写表达式(1)从图像中找出振幅A 和周期T ；(2)根据t ＝0时的位移求出初相φ，即x 0＝A sin φ；(3)把A 、φ代入表达式x ＝A sin (2πTt ＋φ)即可．(若图像为余弦或其他形式也可以用该方法求得，只不过φ不相同)．4．物体A 做简谐运动的振动位移x A ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100t ＋π2 m ，物体B 做简谐运动的振动位移x B ＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫100t ＋π6 m ．比较A 、B 的运动( )A ．振幅是矢量，A 的振幅是6 m ，B 的振幅是10 m B ．周期是标量，A 、B 周期相等，为100 sC ．A 振动的频率f A 等于B 振动的频率f BD ．A 振动的圆频率ωA 等于B 振动的圆频率ωBE ．A 的相位始终超前B 的相位π3【解析】 振幅是标量，A 、B 的振幅分别是3 m ，5 m ，A 错；A 、B 的圆频率ω＝100，周期T ＝2πω＝2π100 s ＝6.28×10－2 s ，B 错，D 对；因为T A ＝T B ，故f A ＝f B ，C 对；Δφ＝φAO －φBO ＝π3为定值，E 对．【答案】 CDE5．一位游客在千岛湖边欲乘坐游船，当日风浪较大，游船上下浮动．可把游船浮动简化成竖直方向的简谐运动，振幅为20 cm ，周期为3.0 s ．当船上升到最高点时，甲板刚好与码头地面平齐．地面与甲板的高度差不超过10 cm 时，游客能舒服地登船．在一个周期内，游客能舒服登船的时间是________．【解析】 由于振幅A 为20 cm ，振动方程为y ＝A sin ωt (平衡位置计时，ω＝2πT)，由于高度差不超过10 cm ，游客能舒服地登船，代入数据可知，在一个振动周期内，临界时刻为t 1＝T12，t 2＝5T 12，所以在一个周期内舒服登船的时间为Δt ＝t 2－t 1＝T3＝1.0 s.【答案】 1.0 s6．一物体沿x 轴做简谐运动，振幅为8 cm ，频率为0.5 Hz ，在t ＝0时，位移是4 cm ，且向x 轴负方向运动，试写出用正弦函数表示的振动方程，并画出相应的振动图像．【解析】 简谐运动的表达式为x ＝A sin(ωt ＋φ)，根据题目所给条件得A ＝8 cm ，ω＝2πf ＝π，所以x ＝8sin(πt ＋φ)，将t ＝0，x 0＝4 cm 代入得4＝8sin φ，解得初相φ＝π6或φ＝56π，因为t ＝0时，速度方向沿x 轴负方向，即位移在减小，所以取φ＝56π，所求的振动方程为x ＝8sin(πt ＋56π) cm，画对应的振动图像如图所示．【答案】 见解析用简谐运动表达式解答振动问题的方法1．明确表达式中各物理量的意义，可直接读出振幅、圆频率、初相． 2．ω＝2πT＝2πf 是解题时常涉及到的表达式．3．解题时画出其振动图像，会使解答过程简捷、明了．。

第 3 节简谐运动的图像和公式1.简谐运动图像是一条正弦(或余弦 )曲线，描绘了质点做简谐运动时位移x 随时间 t 的变化规律，其实不是质点运动的轨迹。

2．由简谐运动图像能够直接得出物体振动的振幅、周期、某时辰的位移及振动方向。

2π3．简谐运动的表达式为x＝Asin( T t ＋φ)或 x＝ Asin(2 ftπ2π＋φ)，此中A为质点振幅、(T t＋φ)为相位，φ为初相位。

对应学生用书P7简谐运动的图像[ 自读教材·抓基础]1．成立坐标系以横轴表示做简谐运动的物体的时间t ，纵轴表示做简谐运动的物体运动过程中相对平衡地点的位移x。

2．图像的特色一条正弦 ( 或余弦 ) 曲线，如图1－ 3－ 1 所示。

图 1－ 3－13．图像意义表示物体做简谐运动时位移随时间的变化规律。

4．应用由简谐运动的图像可找出物体振动的周期和振幅。

[ 跟从名师·解疑难]1．图像的含义表示某一做简谐运动的质点在各个时辰的位移，不是振动质点的运动轨迹。

2．由图像能够获取哪些信息？(1)可直接读取振幅、周期。

(2) 随意时辰质点的位移的大小和方向。

如图1－ 3－2 所示，质点在t 1、 t 2时辰的位移分别为 x1和－ x2。

图 1－ 3－2(3) 随意时辰质点的振动方向：看下一时辰质点的地点，如图1－3－ 3 中a点，下一时刻离均衡地点更远，故 a 现在向上振动。

图 1－ 3－3(4)随意时辰质点的速度、加快度、位移的变化状况及大小比较：看下一时辰质点的地点，判断是远离仍是凑近均衡地点，若远离均衡地点，则速度愈来愈小，加快度、位移越来越大，若凑近均衡地点，则速度愈来愈大，加快度、位移愈来愈小。

如图中 b 点，从正位移向着均衡地点运动，则速度为负且增大，位移、加快度正在减小； c 点从负位移远离均衡地点运动，则速度为负且减小，位移、加快度正在增大。

[ 学后自检 ] ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄( 小试身手 )一质点做简谐运动，其位移x 与时间 t 关系曲线如图1－3－ 4 所示，由图可知()图 1－ 3－4A．质点振动的频次是 4 HzB．质点振动的振幅是 2 cmC．在t＝ 3 s 时，质点的速度最大D．在t＝ 4 s 时，质点所受的合外力为零1分析：选 BC从振动图像可知振幅A＝2 cm，周期 T＝4 s，则频次为 f ＝T＝0.25 Hz。