3.简谐运动的图像和公式

简谐运动简谐运动的图象1、简谐运动简谐运动的图象2、简谐运动的能量特征受迫振动共振3、实验：用单摆测定重力加速度简谐运动简谐运动的图象：1、简谐运动：简谐运动是物体偏离平衡位置的位移随时间做正弦或余弦规律而变化的运动，是一种变加速运动。

2、弹簧振子（1）弹簧的质量比小球的质量小得多，可以认为质量集中于振子（小球）。

（2）当与弹簧振子相接的小球体积较小时，可以认为小球是一个质点。

（3）当水平杆足够光滑时，可以忽略弹簧以及小球与水平杆之间的摩擦力。

（4）小球从平衡位置拉开的位移在弹簧的弹性限度内。

3、单摆：悬挂物体的细线的伸缩和质量可以忽略，线长比物体的直径大得多。

单摆是实际摆的理想模型。

单摆摆动的振幅很小即偏角很小时，单摆做简谐运动。

4、描述简谐运动特征的物理量（1）位移、简谐运动的位移，以平衡位置为起点，方向背离平衡位置。

（2）回复力：回复力的作用效果是使振子回到平衡位置。

简谐运动中，，负号表示力的方向总是与位移的方向相反。

（3）周期：做简谐运动的物体完成一次全振动所需的时间。

用T表示，单位秒（s）。

单摆周期弹簧振子的频率只与弹簧的劲度系数和振子质量有关。

（4）频率：单位时间内完成全振动的次数。

用f表示，单位赫兹（Hz）。

周期与频率的关系：（5）振幅：振动物体离开平衡位置的最大距离。

5、简谐运动的公式描述：，A是简谐运动的振幅，ω是圆频率（或角频率），叫简谐运动在t时刻的相位，是初相位。

6、简谐运动的图象简谐运动的图象是正弦（或余弦）函数图象（注意简谐运动的具体图象形状，取决于t=0时振动物体的位置和正方向的选取，可参看“例1”）。

简谐运动图象的应用如下：（1）可直观地读取振幅A、周期T、各时刻的位移x及各时刻的振动速度的方向和加速度的方向；（2）能判定某段时间内位移、回复力、加速度、速度、动能、势能的变化情况。

7、简谐运动的能量：如忽略摩擦力，只有弹力做功，那么振动系统的动能与势能互相转换，在任意时刻动能和势能的总和，即系统的机械能保持不变，机械能由振幅决定。

简谐运动的图像知识要点：一、简谐运动的图像1、坐标轴:横轴表示时间,纵轴表示位移.具体作法：以平衡位置为坐标原点,以横轴表示，以纵轴表示质点对平衡位置的位移,根据实验数据在坐标平面上画出各个点，并用平滑曲线将各点连接起来，即得到简谐运动的位移--时间图像。

(通常称之为振动图像）2、简谐运动图像的特点：理论和实验都证明，所有简谐运动的振动图像都是正弦或余弦曲线。

3、简谐运动图像的物理意义：表示做简谐运动的质点的位移随时间变化的规律,即位移——时间函数图像。

注意:切不可将振动图像误解为物体的运动轨迹.处理振动图像问题时，一定要把图像还原为质点的实际振动过程分析。

二、从简谐运动图像可获取的信息1、任一时刻振动质点离开平衡位置的位移:纵坐标值。

2、振幅A:图像中纵坐标的最大值。

3、周期T：两相邻的位移和速度始终完全相同的两状态间的时间间隔.4、任一时刻的速度大小及方向：图线上该时刻对应的斜率大小反映速度大小,斜率正、负反映速度方向。

斜率大时速度大，斜率为正时速度为正,斜率为负值时速度为负。

5、任一时刻加速度(回复力）方向：与位移方向相反,总是指向平衡位置，即时间轴。

6、某一段时间内位移、回复力、加速度、速度、动能及势能的变化情况：当振动质点向平衡位置方向运动时，速度、动能均增大，而位移、回复力、加速度、势能均减小，否则相反.典型例题：例1、如图9—15所示为某质点简谐运动的振动图像，根据图像回答：⑴振幅、周期；⑵具有正向最大速度的时刻；⑶具有正向最大加速度的时刻；⑷在3～4s内，质点的运动情况；⑸1～4s内质点通过的路程。

解析：⑴由图像可知振幅A＝10cm，周期T＝4s.⑵物体在平衡位置时有最大速度，顺着时间轴向后看，看它下一时刻的位移，就知道它向哪个方向运动,故可知t＝0，4s，8s，…4ns（n为非负整数）时,具有正向最大速度。

⑶物体在最大位移处时具有最大加速度,由于加速度与位方向相反，故只胡当质点位为负时，加速度方为正，故可知t＝3s,7s，11s,…（4n＋3）s（n为非负整数）时，具有正向最大加速度。

简谐运动的图象物体运动的位移和时间的关系，可以用公式表示，也可以用图象表示．在匀速直线运动中，设开始计时的那一时刻位移为零，则运动的公式是s=vt，运动的位移图象是过原点的一条直线．在初速度为零的匀变速直线运动中，设开始计时的那一时刻位移为零，则运动的公式是s=系，也可以用公式来表示，但较为复杂，所以我们先研究简谐运动的图象．简谐运动的图象图9-4是用频闪照相的办法拍下的一个弹簧振子的振动情况．甲图是振子静止在平衡位置时的照片．乙图是振子被拉伸到左侧距平衡位置20mm处，放手后，在向右运动的1/2周期内的频闪照片．丙图是振子在接下来的1/2周期内的频闪照片．已知频闪的频率为9.0 Hz，即相邻两次闪光的时间间隔t0=0.11s，振动的周期 T=1.33s．照片上记录的是每隔时间t0振子所在的位置．简谐运动是以平衡位置为中心的往复运动，它的位移是指对平衡位置的位移．在图9-4中，取水平向右的方向为位移的正方向，则振子在平衡位置右方时位移为正值，在左方时位移为负值．下表是由照片得到的数据．第一个 1/2周期( T=1.33s)第二个1/2周期以纵轴表示位移x，横轴表示时间t，根据上表的数据在坐标平面上画出各个点，并用平滑曲线将各点连接起来，我们得到一条余弦曲线(图9-5)．简谐运动的位移-时间图象通常称为振动图象，也叫振动曲线．理论和实验都证明，所有简谐运动的振动图象都是正弦或余弦曲线．振动图象表示出振子的位移随时间变化的规律，它可以告诉我们振子在任一时刻对平衡位置的位移，还可以表示出振幅和周期(图9-6)．所以认识振动图象对于学习简谐运动是十分有益的．振动曲线可以用上面介绍的描点法画出，也可以用在振动物体上固定一个记录装置的办法画出．例如在弹簧振子的小球上安置一枝记录用的笔P，在下面放一条白纸带(图9-7)，当小球振动时，沿垂直于振动方向匀速拉动纸带，笔P就在纸带上画出一条振动曲线．纸带的运动应该是匀速的，这样，纸带运动的距离就可以代表时间(为什么？)．像图9-7这种记录振动的方法在实际中有很多应用．医院里的心电图仪(图9-8)，监测地震的地震仪(图9-9)等，都是用这种方法记录振动情况的．简谐运动虽然是一种理想化的情况，但研究它具有重要的实际意义和理论意义．某些实际的振动，在振幅很小的情况下，可以近似地作为简谐运动来处理．一切复杂的振动都不是简谐运动，但它们都可以看做是由若干个振幅和频率不同的简谐运动合成的．在图9-10中，最下方的曲线表示某个复杂的非简谐运动，它虽然具有周期性，但振动图象不是正弦或余弦曲线，它是由图中上方两条曲线所示的两个简谐运动合成的．。

简谐运动表达式
简谐运动是一种重要的物理现象，它描述了在恢复力作用下，质点沿着直线或曲线作谐振运动的过程。

简谐运动的数学表达式可以使用正弦或余弦函数来表示，通过以下公式进行描述：
$ x(t) = A \times \cos(\omega t + \phi) $
其中，$ x(t) $ 是质点在时间 $ t $ 时的位移，$ A $ 是振幅，$ \omega $ 是角频率，$ \phi $ 是初相位。

在这个表达式中，振幅 $ A $ 表示了简谐运动的最大位移，角频率 $ \omega $ 则代表了单位时间内变化的相位角度。

初相位 $ \phi $ 反映了质点在 $ t=0 $ 时刻的初始位置。

简谐运动的表达式还可以通过正弦函数表示，具体形式如下：
$ x(t) = A \times \sin(\omega t + \phi) $
与余弦函数表示法相比，正弦函数表示法在初始位移上有所不同，但本质是相同的。

简谐运动的表达式不仅适用于描述单摆、弹簧振子等机械振动系统，也能有效描绘声波、光波等波动现象。

通过这一简洁的数学表达式，我们能够更深入地理解和分析复杂的振动运动规律。

总的来说，简谐运动表达式是物理学中重要的数学工具，它通过简单的公式形式，展现了自然界中许多周期性运动现象的共性特征，为我们解释和预测自然现象提供了重要参考。

简谐运动知识点总结大学简谐运动是物理学中的一个重要概念，它描述了物体在受到恢复力作用下做周期性运动的现象。

在现实生活中，简谐运动无处不在，例如摆动的钟表、弹簧振子、水波运动等都属于简谐运动的范畴。

下面我们将对简谐运动的相关知识点进行总结。

一、简谐运动的基本概念1. 弹簧振子：弹簧振子是较为典型的简谐振动系统，它由一根具有一定弹性的弹簧和挂在弹簧上的质点组成。

当质点偏离平衡位置时，弹簧会产生恢复力，质点受到的力将使其进行振动运动。

弹簧振子的运动规律可以用简谐运动的相关理论进行描述和分析。

2. 产生简谐运动的条件：简谐运动的产生需要满足一定条件，其中最重要的是恢复力与质点位移成正比，即F=-kx，其中F为恢复力，k为弹簧的弹性系数，x为质点的位移。

只有符合这一条件，系统才能产生简谐运动。

3. 简谐运动的特征：简谐运动具有一系列特征，包括周期性、振幅、频率和相位等。

这些特征描述了简谐运动的基本规律和运动状态。

二、简谐运动的相关物理量和表达式1. 位移、速度和加速度：在简谐运动中，质点的位移、速度和加速度都是关键的物理量。

它们可以用数学表达式来描述，其中位移x、速度v和加速度a分别满足关系式x=Acos(ωt)、v=-Aωsin(ωt)、a=-Aω²cos(ωt)。

其中A为振幅，ω为角频率，t为时间。

2. 动能和势能：简谐振动系统中，质点具有动能和势能，它们随着时间的变化而变化。

动能和势能的表达式为K=1/2mω²A²sin²(ωt)和U=1/2kx²。

3. 机械能：简谐振动系统的机械能由动能和势能组成，它保持不变。

简谐振动的机械能可以用公式E=K+U=1/2kA²表示。

三、简谐运动的图像和图象1. 位移-时间图像：简谐运动的位移-时间图像通常是正弦曲线形状，它描述了质点在振动过程中位置随时间的变化规律。

在这个图像中，横轴代表时间，纵轴代表位移，通过这个图像可以清晰地观察到振动的周期性和规律性。

学案3简谐运动的图像和公式［目标定位］1.知道所有筒谐运动的图像都是正弦(或余弦)曲线2会根据简谐运动的图像找出物体振动的周期和振幅，并能分析有关问题.3.理解简谐运动的表达式，能从该表达式中获取振幅、周期(频率)、相位、初相等相关信息.基础自学落实重点互动探究知识•探究一、简谐运动的图像［问题设计］1.我们研究直线运动时，经常使用工-7图像和0-，图像来描述物体的运动，对于简谐运动也可以用运动图像来描述它的运动情况.甲、乙两同学合作模拟简谐运动的X」图像如图1所示，取一•张白纸，在正中间画一•条直线,将白纸平铺在桌面上，甲同学用手使铅笔尖从。

点沿垂宜于。

'方向振动画线，乙同学沿。

’。

方向水平向右匀速拖动白纸.(1)白纸不动时，甲同学画出的轨迹是怎样的？(2)乙同学匀速向右拖动白纸时，甲同学画出的轨迹又是怎样的? 答案(1)是一条垂直于的线段.(2)轨迹如图所示，类似于正弦曲线.2.绘制简谐运动的工- /图像X如图2所示，使漏斗在竖直平面内做小角度摆动，并垂直于摆动平面匀速拉动薄板，则细沙在薄板上形成曲线.若以漏斗的平衡位置为坐标原点，沿着振动方向建立x轴，垂直于振动方向建立/轴，则这些曲线就是漏斗的位移一时间图像.(1)为什么这就是漏斗的位移一时间图像？E10 (2)位移一时间图像与什么函数图像类似？答案(1)当单摆摆动时，薄板从左向右匀速运动，所以薄板运动的距离与时间成正比，因此 可用薄板运动的距离代表时间轴，图像上每一个点的位置反映了不同时刻摆球(漏斗)离开平 衡位置的位移，即位移随时间变化的规律.(2)与正弦(或余弦)函数图像类似.［要点提炼］1. 图像的建立 以横轴表示做简谐运动的物体的运动时间t,纵轴表示做简谐运动的物体运动过程中相对平 衡位置的位移X2. 图像的特点-条正弦(或余弦)曲线,如图3所示.3. 图像的应用(1)确定振动物体在任一时刻的位移.如图4所示，对应小先时刻的位移分别为x 】 = 7 cm, 、2=—5 cm.(2) 确定振动的振幅.山图可知，振动的振幅是10cm.(3) 确定振动的周期和频率.由图可知，T=0.2s,频率/=|=5 Hz.(4) 确定各质点的振动方向.例如图中的九时刻，质点正远高平衡位置向正方向运动；在b 时 刻，质点正向着平衡位置运动.(5) 比较各时刻质点加速度的大小和方向.例如在图中人时刻质点位移为为正，则加速度％ 为负，时刻质点位移巧为负，则加速度。